Resumen de Límites

Cálculo analítico de límites:

I. El dominio de las funciones con las cuales vamos a trabajar inicialmente será el conjunto de los números reales o bien un subintervalo de este.

Distinguiremos inicialmente dos tipos de funciones a las cuales les aplicaremos límites, aquellas a las cuales

les aplicamos límites directamente y por otro lado aquellas a las cuales haciendo uso de operatoria,

amplificación o símplificación los pódremos calcular.

Funciones a las cuales les aplicamos límites directamente

1. Función constante:

Si ( ) , f es función constante y sea a un número cualquiera, entonces

( )

Ejemplo:

2. Función identidad:

Para cualquier número dado a,

Ejemplo:

3. Función polinómica: Si p es un polinomio y a es un número real, entonces ( ) ( )

Ejemplos:

4. Funciones trigonométricas.

Sea c un número en el dominio de la función trigonométrica dada.

Entonces:

Álgebra de límites.

Teorema de límites (cero aniquila):

Si es una función acotada en una vecindad de c y ( ) , entonces

[ ( ) ( )]

Ejemplo:

(

)

(

) ( ) (

)

(Ya que seno es una función acotada, (

) es acotada y ( ) tiende a cero)

Límites para funciones cuyo dominio no son todos los reales.

Consideraremos límite de x tendiendo a algún elemento del dominio de la función.

1. Función Racional: Si f es una función racional y a pertenece al dominio de f, entonces ( ) ( )

Ejemplo:

2. Función exponencial:

3. Función Radical:

Ejemplo:

√

√

√

4. Las otras funciones trigonométricas

) ) ) )

Observación:

Límites que no existen.

Para las funciones anteriores hay límites que no existen, por ejemplo. (Consultas a su profesor, adjuntaré las

gráficas de estas funciones)

, no existe, pero

√ , no existe, pero √

Para estos dos ejemplos:

¿Qué puedes observar en estas gráficas?

Existen también otras funciones que teniendo dominio en los reales tienen algunos límites que existen y

otros que no

Ejemplo. La función parte entera.

⟦ ⟧, no existe.

⟦ ⟧

Los límites cuando x tiende a algún número entero, no existen.

Tarea: A partir de estos ejemplos podríamos decir en qué casos el límite no existe.

Otros ejemplos a partir de sus gráficas:

Todas estas funciones tienen límite definidos en todos los reales.

( )

Esta función tiene límites definidos para todo real mayor que – 3.

] ]

( )

Esta función tiene límites definidos para todo número menor que -3 y para todo número mayor que 3

] [ ] [

( )

Esta función tiene límites definidos para todo real en ] [

] [

( )

Esta función tiene límites definidos para todo real distinto de -1

{ }

( )

Esta función tiene límites definidos para todo real distinto de 0

{ }

( )

Función compuesta:

Si f y g son funciones tales que ( ) ( ) ( ) entonces

( ( )) ( )

Ejercicio de prueba:

a)

))(ln(

2

xsenlímx

0)1ln())

2(ln(

sen

II. Funciones para las cuales no está definido ( ) o bien hay un salto en .

Cuando al evaluar la función en c esta nos da la forma indeterminada “0/0”, muchas veces es posible calcular

el límite pero previamente hay que utilizar una simplificación pertinente, para lograr esto disponemos de

procedimientos algebraicos eficaces como la factorización o la amplificación etc.

Teorema 2.

Funciones que coinciden salvo en un punto.

Sea ( ) ( ) para todo en un intervalo abierto que contiene a c.

Si existe el límite de ( ) cuando tiende a , entonces también existe el de ( ) y

( )

( )

Ejemplos:

En los ejemplos siguientes, debemos factorizar primero, luego simplificar, para por último evaluar.

⁄

En los ejemplos siguientes debemos usar diferencia de cuadrados y suma de cubos o diferencia de cubos.

√ √

√

Ejercicios de prueba:

a)

x

xlímx 2

16 2

4

√

( )( )

√

( √ )( √ )( )

( √ )

( √ )( )

( )( )

b)

43

242

23

1 xx

xxxlímx

( )( )

( )( )

( )

( )

( ( ) ( ) )

( )

Ejercicios Leithold.