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Resumen de Límites
Cálculo analítico de límites:
I. El dominio de las funciones con las cuales vamos a trabajar inicialmente será el conjunto de los números reales o bien un subintervalo de este.
Distinguiremos inicialmente dos tipos de funciones a las cuales les aplicaremos límites, aquellas a las cuales
les aplicamos límites directamente y por otro lado aquellas a las cuales haciendo uso de operatoria,
amplificación o símplificación los pódremos calcular.
Funciones a las cuales les aplicamos límites directamente
1. Función constante:
Si ( ) , f es función constante y sea a un número cualquiera, entonces
( )
Ejemplo:
2. Función identidad:
Para cualquier número dado a,
Ejemplo:
3. Función polinómica: Si p es un polinomio y a es un número real, entonces ( ) ( )
Ejemplos:
4. Funciones trigonométricas.
Sea c un número en el dominio de la función trigonométrica dada.
Entonces:
Álgebra de límites.
Teorema de límites (cero aniquila):
Si es una función acotada en una vecindad de c y ( ) , entonces
[ ( ) ( )]
Ejemplo:
(
)
(
) ( ) (
)
(Ya que seno es una función acotada, (
) es acotada y ( ) tiende a cero)
Límites para funciones cuyo dominio no son todos los reales.
Consideraremos límite de x tendiendo a algún elemento del dominio de la función.
1. Función Racional: Si f es una función racional y a pertenece al dominio de f, entonces ( ) ( )
Ejemplo:
2. Función exponencial:
3. Función Radical:
Ejemplo:
√
√
√
4. Las otras funciones trigonométricas
) ) ) )
Observación:
Límites que no existen.
Para las funciones anteriores hay límites que no existen, por ejemplo. (Consultas a su profesor, adjuntaré las
gráficas de estas funciones)
, no existe, pero
√ , no existe, pero √
Para estos dos ejemplos:
¿Qué puedes observar en estas gráficas?
Existen también otras funciones que teniendo dominio en los reales tienen algunos límites que existen y
otros que no
Ejemplo. La función parte entera.
⟦ ⟧, no existe.
⟦ ⟧
Los límites cuando x tiende a algún número entero, no existen.
Tarea: A partir de estos ejemplos podríamos decir en qué casos el límite no existe.
Otros ejemplos a partir de sus gráficas:
Todas estas funciones tienen límite definidos en todos los reales.
( )
Esta función tiene límites definidos para todo real mayor que – 3.
] ]
( )
Esta función tiene límites definidos para todo número menor que -3 y para todo número mayor que 3
] [ ] [
( )
Esta función tiene límites definidos para todo real en ] [
] [
( )
Esta función tiene límites definidos para todo real distinto de -1
{ }
( )
Esta función tiene límites definidos para todo real distinto de 0
{ }
( )
Función compuesta:
Si f y g son funciones tales que ( ) ( ) ( ) entonces
( ( )) ( )
Ejercicio de prueba:
a)
))(ln(
2
xsenlímx
0)1ln())
2(ln(
sen
II. Funciones para las cuales no está definido ( ) o bien hay un salto en .
Cuando al evaluar la función en c esta nos da la forma indeterminada “0/0”, muchas veces es posible calcular
el límite pero previamente hay que utilizar una simplificación pertinente, para lograr esto disponemos de
procedimientos algebraicos eficaces como la factorización o la amplificación etc.
Teorema 2.
Funciones que coinciden salvo en un punto.
Sea ( ) ( ) para todo en un intervalo abierto que contiene a c.
Si existe el límite de ( ) cuando tiende a , entonces también existe el de ( ) y
( )
( )
Ejemplos:
En los ejemplos siguientes, debemos factorizar primero, luego simplificar, para por último evaluar.
⁄
En los ejemplos siguientes debemos usar diferencia de cuadrados y suma de cubos o diferencia de cubos.
√ √
√
Ejercicios de prueba:
a)
x
xlímx 2
16 2
4
√
( )( )
√
( √ )( √ )( )
( √ )
( √ )( )
( )( )
b)
43
242
23
1 xx
xxxlímx
( )( )
( )( )
( )
( )
( ( ) ( ) )
( )
Ejercicios Leithold.