APROXIMACIÓN AL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

LIC. EDWIN SALAZAR

EL AREA BAJO UNA CURVAOtra de las interpretaciones de la integración de funciones corresponde al cálculo del área bajo una curva descrita por una función.

NOTACIÓN SIGMALa suma de “n” términos se escribe:

donde i es el índice de la suma, ai es el i-ésimo término dela suma y los límites inferior y superior de la suma son 1y n.

1 2 ..... na a a+ + +

1

n

ii

a=

∑

EJEMPLOSUso de sigma:

7

1

6

3

43 3 3 3 3

1

1 21

1 2 3 4 5 6 7

( 1) 4 5 6 7

1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ... ( )

i

i

i

n

i ni

i

i

i

f x x f x x f x x f x x

=

=

=

=

= + + + + + +

+ = + + +

= + + +

∆ = ∆ + ∆ + + ∆

∑

∑

∑

∑

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

ALGUNAS FORMULAS ÚTILES

1

( 1 )

21

( 1 ) ( 2 1 )261

2 2( 1 )341

nk k n

in n n

ii

n n n ni

i

n n ni

i

= ×∑=

+=∑

=

+ +=∑

=

+=∑

=

EVALUACIÓN DE UNA SUMA

CÁLCULO APROXIMADO DE ÁREAS

1/4

2( ) 1f x x= +

f(2)

SOLUCIÓN

Usando los rectángulos de la figura anterior podemoshallar una buen aproximación a la región que seencuentra entre la grafica y el eje “x”.

De esta manera podemos ver que el ancho de cadaintervalo es de 0.25 y que la altura la podemos calcularse evaluamos cada valor extremo derecho delrectángulo en la función. Por ejemplo el área del últimorectángulo:

8 (0.25) (2)A base altura f= × = ×

SUMA DE LAS AREAS DE LOS RECTANGULOS

Usando la notación de la sumatoria (sigma) tenemos:

28 811( ) 1

44 4 41 1

8 81 1 1 8 9 172 1 8 25.54 16 64 61 1

i if

i i

ii i

∑ ∑× = + = = =

× ×∑× + = × × =∑= =

ANÁLISIS

Como la región cubierta por rectángulos (enel intervalo (0,2)…) es menor al área queabarcan estos, podemos afirmar que el áreaque deseamos calcular es menor, es decirhemos calculado el área por exceso.

ÁREA EXACTA BAJO LA CURVA

Supongamos que construimos “n” rectangulossobre la superficie la cual deseamos calcular elárea, entonces, podemos concluir que entre mayorsea el número de estos, el c{alculo será masexacto, por lo cual el área de la región S que seencuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de losrectángulos de aproximación:

( ) ( ) ( )* * *1 2

1

1 1 1lim lim ...

n

i nn n

i

A A f x f x f xn n n→∞ →∞

=

= = + + +

∑

LIMITE DE S(n) CUANDO “n” TIENDE A INFINITO

Ejemplo: Calcular

3 2

3

3 2

3 3 3

2

4lim ( ) (2 3 ) Aplicamos la propiedad distribitiva

3

2 3lim ( ) Simplificamos las expresiones

3 3 3

2 1 1lim ( ) Calculamos el Limite

3 3

2lim ( )

3

n

n

n

n

s n n n nn

n n ns n

n n n

s nn n

s n

→∞

→∞

→∞

→∞

= + +

= + +

= + +

=

USO DE LIMITES PARA EL CÁLCULO DEL ÁREA

Calculemos el área bajo la curva de la función en el intervalo [0,1]3( ) 2f x x x= −

ESCRIBIENDO LA SUMATORIA

Si partimos en “n” intervalos el intervalo cuya longitud esde 1, entonces la base de cada rectángulo será de 1/n;la altura en cada caso estará dada por la expresiónf(i/n), para i=1, 2, 3…n, por tanto tendremos quecalcular:

1

3

1

1( ) ( ) Aplicamos la definición de la función

1( ) 2

n

i

n

i

is n f

n n

i is n

n n n

=

=

=

= −

∑

∑

CALCULANDO LA SUMATORIA

3

1

3

31

3

2 41

1( ) 2 Resolvemos la potencia y reescribimos

1 2 1( ) Resolvemos la potencia y reescribimos

2 1( ) Aplicamos la propieda

n

i

n

i

n

i

i is n

n n n

s n i in n n

s n i in n

=

=

=

= −

= −

= −

∑

∑

∑2 4 3 2

2 4

d distributiva

2 1 2 Remplazamos por las formulas de suma

2 4

n n n n n

n n

+ + +−

CÁLCULO DEL LIMITE

2 4 3 22 1 2lim

2 42 4

R em plazam os por las form ulas de sum a

2 4 3 22 2 2lim2 2 4 4 42 2 4 4 4

n n n n n

n n n

n n n n n

n n n n n n

+ + + − → ∞

+ − − −→ ∞

Aplicamos la Propiedad distributiva

1 1 1 1lim 1

24 2 4

Simplificamos, calculamos el limite

1 3=1 :Respuesta

4 4

n nn n+ − − −

→∞

− =