aproximaciÓn al area de una regiÓn plana

5/13/2018 APROXIMACIÓN AL AREA DE UNA REGIÓN PLANA - slidepdf.com

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APROXIMACIÓN AL ÁREA DE

UNA REGIÓN PLANA

LIC. EDWIN SALAZAR



EL AREA BAJO UNA CURVAOtra de las interpretaciones de la integración defunciones corresponde al cálculo del área bajo unacurva descrita por una función.



NOTACIÓN SIGMALa suma de “n” términos se escribe:

donde i es el índice de la suma, ai es el i-ésimo término dela suma y los límites inferior y superior de la suma son 1y n.

1 2 ..... na a a

1

n

i

i

a



EJEMPLOS

Uso de sigma:

7

1

6

3

43 3 3 3 3

1

1 2

1

1 2 3 4 5 6 7

( 1) 4 5 6 7

1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ... ( )

i

i

i

n

i n

i

i

i

i

f x x f x x f x x f x x



PROPIEDADES DE LA

SUMATORIA



ALGUNAS FORMULAS ÚTILES

1

( 1 )

21

( 1 ) ( 2 1 )2

612 2

( 1 )3

4

1

nk k n

i

n n ni

in n n n

ii

n n ni

i



EVALUACIÓN DE UNA SUMA



CÁLCULO APROXIMADO DE ÁREAS

1/4

2( ) 1 f x x

f(2)



SOLUCIÓN

Usando los rectángulos de la figura anterior podemoshallar una buen aproximación a la región que seencuentra entre la grafica y el eje “x”.

De esta manera podemos ver que el ancho de cadaintervalo es de 0.25 y que la altura la podemos calcular se evaluamos cada valor extremo derecho del rectángulo en la función. Por ejemplo el área del último

rectángulo:

8(0.25) (2) A base altura f



SUMA DE LAS AREAS DE

LOS RECTANGULOS Usando la notación de la sumatoria (sigma) tenemos:

8 82

1 1

28 811( ) 1

44 4 41 1

1 11 1 8 9 171 8 5.18

4 416 16 6i i

i i f

i i

i



ANÁLISIS Como la región cubierta por rectángulos (enel intervalo (0,2) es mayor al área quedeseamos determinar, entonces hemoscalculado el área por exceso.



ÁREA EXACTA BAJO LA CURVA

Supongamos que construimos “n” rectangulos

sobre la superficie la cual deseamos calcular el

área, entonces, podemos concluir que entre mayor

sea el número de estos, el c{alculo será mas exacto, por lo cual el área de la región S que se

encuentra debajo de la gráfica de la función

continua f es el límite de la suma de las áreas de los

rectángulos de aproximación:

* * *

1 2

1

1 1 1lim lim ...

n

i nn n

i

A A f x f x f xn n n



LIMITE DE S(n) CUANDO “n”

TIENDE A INFINITOEjemplo: Calcular

3 2

3

3 2

3 3 3

2

4lim ( ) (2 3 ) Aplicamos la propiedad distribitiva

32 3

lim ( ) Simplificamos las expresiones3 3 3

2 1 1

lim ( ) Calculamos el Limite3 3

2lim ( )

3

n

n

n

n

s n n n n

nn n n

s nn n n

s n n n

s n



USO DE LIMITES PARA EL

CÁLCULO DEL ÁREACalculemos el área bajo la curva de la función

en el intervalo [0,1]3( ) 2 f x x x



ESCRIBIENDO LA

SUMATORIASi partimos en “n” intervalos el intervalo cuya longitud esde 1, entonces la base de cada rectángulo será de 1/n;la altura en cada caso estará dada por la expresión

f(i/n), para i=1, 2, 3…n, por tanto tendremos quecalcular:

1

3

1

1( ) ( ) Aplicamos la definición de la función

1( ) 2

n

i

n

i

i s n f

n ni i

s nn n n



CALCULANDO LA

SUMATORIA3

1

3

31

3

2 41

1( ) 2 Resolvemos la potencia y reescribimos

1 2 1( ) Resolvemos la potencia y reescribimos

2 1

( ) Aplicamos la propieda

n

i

n

i

n

i

i i s n

n n n

s n i in n n

s n i in n

2 4 3 2

2 4

d distributiva

2 1 2Remplazamos por las formulas de suma

2 4

n n n n n

n n



CÁLCULO DEL LIMITE

2 4 3 22 1 2

lim 2 42 4

R emplazamos por las formulas de suma

2 4 3 22 2 2lim

2 2 4 4 42 2 4 4 4

n n n n n

n n n

n n n n n

n n n n n n



Aplicamos la Propiedad distributiva1 1 1 1

lim 1

24 2 4Simplificamos, calculamos el limite

1 3=1 :Respuesta

4 4

n nn n

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