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Aproximación de Taylor

Si uno trata de calcular el valor en un punto dado de una función polinomial p(x),puede resultar un tanto cuanto laborioso, pero al final de día todo se reduce a sumasy multiplicaciones, no es el caso de otro tipo de funciones como las trigonométri-cas, logarítmicas, hiperbólicas y sus inversas. Un alumno diría que para obtener losvalores de estas funciones basta buscar en tablas, usar una calculadora o usar progra-mas especializados, lo cual es cierto, pero ¿cómo determinan esos medios los valoresrequeridos?

En esta lectura se mostrará cómo aproximar funciones bien comportadas mediantepolinomios y que tales polinomios pueden emplearse en lugar de la función original,cuando estemos seguros que la aproximación es suficientemente buena.

De entre los varios métodos para aproximar funciones mediante polinomios, unode los más utilizados hace uo de la fórmula de Taylor. El siguiente teorema, hastacierto punto una generalización del teorema del valor medio, proporciona la fórmulade Taylor.

Teorema 19.0.1. Sea f una funcion continua al igual que sus primeras n derivadas enel intervalo [a, b]. Suponga que f (n+1)(x) existe para toda x ∈ (a, b). Entonces, existe unz ∈ (a, b) tal que

f (b) =f (a) + f′(a)1!

(b − a) + f′′(a)2!

(b − a)2 + · · ·

f (n)(a)n!

(b − a)n + f(n+1)(z )(n + 1)! (b − a)

n+1 (1)

La ecuación (1) también se cumple si b < a; en tal caso [a, b] se remplaza por [b , a] y (a, b)por (b , a).

Cuando n = 0, obtenemos

f (b) = f (a) + f ′(z )(b − a)

donde z está entre a y b . Esta es la conclusión del teorema del valor medio.

341

Universidad Autónoma Metropolitana IztapalapaProhibida su reproducción parcial o total con fines de lucro

342 CAPÍTULO 19. APROXIMACIÓN DE TAYLOR

Si en (1) remplazamos b por x , obtenemos la fórmula de Taylor,

f (x) =f (a) + f′(a)1!

(x − a) + f′′(a)2!

(x − a)2 · · ·

=

f (n)(a)n!

(x − a)n + f(n+1)(z )(n + 1)! (x − a)

n+1 (2)

donde z está entre a y x .La condición en la que se cumple (2) es que f y sus primeras n derivadas sean

continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x , y la (n + 1)-ésima derivadade f exista en todos los puntos del intervalo abierto correspondiente. La fórmula (2)puede escribirse como

f (x) = Pn(x) +Rn(x) (3)

donde

Pn(x) = f (a) +f ′(a)

1!(x − a) + f

′′(a)2!

(x − a)2 + · · · + f(n)(a)n!

(x − a)n (4)

y

Rn(x) =f (n+1)(z )(n + 1)! (x − a)

n+1 (5)

donde z está entre a y x .Pn(x) se denomina polinomio de Taylor de n-ésimo grado de la función f en el

número a, Rn(x) se llama residuo, donde z está entre 0 y x .. El término Rn(x), dadoen (5), se denomina forma de Lagrange del residuo. El caso especial de la fórmula deTaylor que se obtiene al considerar a = 0 en (2) es

f (x) = f (0)+ f′(0)1!

x +f ′′(0)

2!x2+ · · · + f

(n)(0)n!

xn +f (n+1)(0)(n + 1) x

n+1

Está fórmula recibe el nomber de fórmula de Maclaurin. El polinomio de Maclaurinde n-ésimo grado para una función f , obteneido a partir de (4) con a = 0 es

Pn(x) = f (0)+f ′(0)

1!x +

f ′′(0)2!

x2+ · · · + f

(n)(0)n!

xn (6)

De este modo, una función puede aproximarse por medio de un polinomio deTaylor en un número a o por un polinomio de Maclaurin.

Ejemplo 19.0.2. Considere f (x) = e x y calcule el polinomio de Maclaurin de n-ésimogrado para la función exponencial natural. Si f (x) = e x , todas sus derivadas soncontinuas e iguales a e x , y las derivadas evaluadas en 0 son 1. De (6), obtenemos

Pn(x) = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · · + x

n

n!(7)


343

Así, los primeros cuatro polinomios de Maclaurin de la función exponencial natu-ral son

P0(x) = 1P1(x) = 1 + x

P2(x) = 1 + x +12x2

P3(x) = 1 + x +12x2+

16x3

La figura muestra las gráficas de f (x) = e x y las de los cuatro primeros polinomiosP0(x), . . . ,P3(x). Observe que los polinomios aproximan a e x para valores de x cercanosa cero, y note que conforme n crece, la aproximación mejora.

En las tablas de la figuara se muestra entre otras cosas, e x − Pn(x) para x = 0.4 yx = 0.2, respectivamente. Observe que con estos valores de x , a medida que x estámás cerca de 0, es mejor la aproximación para un Pn(x) específico.

Figura 19.1: Ejemplo 19.0.2



De (5), la forma de Lagrange del residuo, cuando Pn(x) es el polinomio de Maclau-rin de n-ésimo grado para la funcón exponencial, es

Rn(x) =e z

(n + 1)!xn+1 donde z está entre 0 y x (8)

En particular, si P3(x) se emplea para aproximar e x , entonces

R3(x) =e z

4!x4 donde z está entre 0 y x

ye x = P3(x) +R3(x),

Ejemplo 19.0.3. Utilice un polinomio de Maclaurin para determinar el valor de√e .

Si f (x) = e x , el polinomio de Maclaurin de n-ésimo grado de f está dado por (7)y la forma de Lagrange del residuo está dada por (8). Si se considera x = 1/2 en (8),logramos

Rn

(

12

)

=

e z

(n + 1)!

(

12

)n+1

donde 0 < z <12

Así,�

�

�

�

Rn

(

12

)�

�

�

�

<

e 1/2

2n+1(n + 1)!Como e < 4, enctonces e 1/2

< 2, de modo que�

�

�

�

Rn

(

12

)�

�

�

�

<

22n+1(n + 1)!

=

12n(n + 1)!

Debido a que el valor de√e se aproximara, se desea que |Rn(1/2)| sea menor que

0.00005 (se puede usar cualquier aproximación); |Rn(1/2)| será menor que 0.00005 si1/2n(n + 1)! < 0.00005. Cuando n = 5,

12n(n + 1)! =

1(32)(720)

= 0.00004

Como 0.00004 < 0.00005, se considera P5(1/2) como la aproximación de√e de cuatro

cifras decimales. De (7),

P5

(

12

)

= 1 − 12− 1

8− 1

48− 1

384− 1

3840

de donde se obtiene,√e = 1.6487.

Ejemplo 19.0.4. Determine el polinomio de Maclaurin de n-ésimo grado para la fun-ción seno.

Si f (x) = sen x , entonces

f ′(x) = cos x f ′′(x) = − sen x f ′′′(x) = − cos x

f (4)(x) = sen x f (5)(x) = cos x f (6)(x) = − sen x


345

Figura 19.2: Ejemplo 19.0.4

y así sucesivamente. De esta forma, f (0) = 0

f ′(0) = 1 f ′′(0) = 0 f ′′′(0) = −1 f (4)(0) = 0 f (5) = 1

De esta forma, P0(x) = 0,

P1(x) = x P2(x) = x

P3(x) = x −x3

6P4(x) = x −

x3

6

P5(x) = x −x3

6+

x5

120P6(x) = x −

x3

6+

x5

120

P7(x) = x −x3

6+

x5

120− x7

5040P8(x) = x −

x3

6+

x5

120− x7

5040

y así sucesivamente. Las figuras 7-10 muestran la gráfica de la función seno juntocon las gráficas de sus polinomios de Maclaurin de grados 1,3,5 y 7, respectivamente,trazadas en el rectángulo de inspección de [−6, 6] por [−4, 4]. La figura 11 muestra lasgráficas de estos cuatro polinomios de Maclaurin y la gráfica de f (x) = sen x dibujadosen el mismo sistema coordenado. Note que las aproximaciones polinomiales mejoranconforme n se incrementa.

Ejemplo 19.0.5. Determine la exactitud cuando se utiliza el polinomio de Maclaurinde grado 7 de la función seno, P7(x), para aproximar sen 0.5.



Si usamos (3) con f (x) = sen x y n = 7, obtenemos

sen x = P7(x) +R7(x).

Por tanto,sen 0.5 = P7(0.5)+R7(0.5),

donde, de (5) con x = 0.5 y a = 0, logramos

R7(0.5) = f(8)(z )8!

(0.5)8 z ∈ (0, 0.5)

= 0.0000001 sen zcomo | sen z | < 1, entonces

|R7(0.5)| < 0.0000001.

Concluimos que cuando P7(0.5) se emplea para aproximar sen 0.5, el valor es aproxi-mado a seis cifras decimales.

Mostremos que con x = 0.5, |R7(x)| < 0.0000001. Dado que R7(x) = sen x − P7(x),

P7(x) = x −x3

6+

x5

120− x7

5040

se trazan las gráficas de

y = sen x −(

x − x3

6+

x5

120− x7

5040

)

y = ±0.0000001


347

en el rectángulo de inspección de [−1, 1] por [−2× 10−6, 2× 10−6], como se ilustra en lafigura 12.

Al sustituir 0.5 por x en la expresión para P7(x), ocurre

P7(x) = 0.5 − (0.5)36+

(0.5)5120

− (0.5)75040

= 0.47942553

Así,

sen 0.5 = 0.479426.

Ejemplo 19.0.6. Determine el polinomio de Taylor de tercer grado de la funcióncoseno en 1

4π y la forma de Lagrange del residuo. Trace las gráficas del polinomio yde la función en el mismo rectángulo de inspección.

Sea f (x) = cos x . Entonces,

P3(x) =f(

π

4

)

+ f ′(

π

4

) (

x − π4

)

+

f ′′(

14π

)

2!

(

x − π4

)2+

+

f ′′′(

14

)

3!

(

x − π4

)3

Como f (x) = cos x , f ′(x) = − sen x , f ′′(x) = − cos x , f ′′′(x) = sen x

f

(

14π

)

=

12

√2 f ′

(

14π

)

= −12

√2 f ′′

(

14π

)

= −12

√2 f ′′′

(

14π

)

=

12

√2

Por tanto,

P3(x) =12

√2 − 1

2

√2(

x − 14π

)

− 14

√2(

x − 14π

)2

+

112

√2(

x − 14π

)3

Como f (4)(x) = cos x ,

R3(x) =1

24(cos z )

(

x − 14π

)4

z ∈(

14π, x

)

Debido a que | cos z | ≤ 1, se concluye que |R3(x)| ≤ 124

(

x − 14π

)4para toda x .

La figura 13 muestra las gráficas de P3(x) y de f (x) = cos x trazadas en el rec-tángulo de inspección de [−π, π] por [−2, 2]. Observe como la gráfica del polinomioaproxima la gráfica de la función coseno cerca de x = 1

4π.

Ejemplo 19.0.7. Utilice el polinomio de Taylor de tercer grado de la función cosenode 1

4π para calcular un valor aproximado de cos 47◦, y determine la exactitud delresultado.



Dado que 47◦ ≈ 47180π radianes, usamos x = 47

180π, x −14π =

190π, y

cos 47◦ =12

√2

[

1 − 190π − 1

2

(

190π

)2

+

16

(

190π

)3]

+R3

(

47180π

)

(9)

donde

R3

(

47180π

)

=

124

cos z(

190π

)4 14π < z <

47180π

Como 0 < cos z < 1

0 < R3

(

47180π

)

<

124

(

190π

)4

< 0.00000007 (10)

Si se considera 190π ≈ 0, 0349066, de (9) se obtiene

cos 47◦ ≈ 0.681998

la cual tiene exactitud de seis cifras decimales debido a la desigualdad (10).

Demostración del teorema 19.0.1. Sean F ,G dos funciones definidas por

F (x) =f (b) − f (x) − f ′(x)(b − x) − f ′′(x)2!

(b − x)2 − · · · −

− f (n−1)(x)(n − 1)! (b − x)n−1 − f (n)(x)

n!(b − x)n (11)

y

G (x) =(b − x)n+1

(n + 1)! (12)


349

Entonces se deduce que F (b) = 0 y G (b) = 0. Al diferenciar (11) se obtiene

F ′(x) = − f ′(x) + f ′(x) − f ′′(x)(b − x) + 2f ′′(x)(b − x)2!

− f ′′′(x)(b − x)22!

+

3f ′′′(x)(b − x)23!

− f (4)(x)(b − x)3!

+

+ · · · + (n − 1)f (n−1)(x)(b − x)n−2

(n − 1)! − f (n)(x)(b − x)n−1

(n − 1)! +

+

n f (n)(x)(b − x)n−1

n!− f (n+1)(x)(b − x)n

n!.

Al reducir términos semejantes se observa que la suma de cada término impar y elsiguiente término par es igual a cero; de modo que sólo queda el último término. Portanto,

F ′(x) = − f(n+1)(x)n!

(b − x)n (13)

Si se deriva en (12), logramos

G ′(x) = − 1n!(b − x)n (14)

Al verificar las hipótesis del valor medio de Cauchy se observa que

• F y G son continuas en [a, b];

• F y G son diferenciables en (a, b);

• para toda x ∈ (a, b), G ′(x) , 0.

De modo que,F (b) − F (a)G (b) −G (a) =

F ′(z )G ′(z )

donde z ∈ (a, b). Pero F (b) = 0 y G (b) = 0. Por lo que,

F (a) = F′(z )

G ′(z )G (a) (15)

para alguna z ∈ (a, b).Si se considera x = a en (12), x = z en (13) y x = z en (14), y si se sustituyen en (15)

se obtiene

F (a) = − f(n+1)(z )n!

(b − z )n[

− n!(b − z )n

]

(b − a)n+1)

(n + 1)!

F (a) = f(n+1)(z )(n + 1)! (b − a)

n+1 (16)

Si x = a en (11), result

F (a) =f (b) − s (a) − f ′(a)(b − a) − f ′′(a)2!

(b − a)2 − · · · −

− f (n−1)(a)(n − 1)! (b − a)n−1 − f (n)(a)

n!(b − a)n



A sustituir de (16) en la ecuación anterior, se tiene

f (b) =f (a) + f ′(a)(b − a)+ f′′(a)2!

(b − a)2 + · · ·+

f (n)(a)n!

(b − a)n + f(n+1)(z )(n + 1)! (b − a)

n+1

lo cual es el resultado deseado. El teorema se cumple si b < c debido a que la con-clusión del teorema del valor medio de Cauchy no se afecta si a y b se intercambian.

�

Existen otras formas del residuo de la fórmula de Taylor. Dependiendo de la fun-ción, puede convenir emplear una forma del residuo más que otra. El teorema sigu-iente, llamado fórmula de Taylor con forma integral del residuo, expresa el residuocomo una integral.

Teorema 19.0.8. Si f es una función cuyas primeras n + 1 derivadas son continuas enun intervalo cerrado que contiene a a y x , entonces f (x) = Pn(x) +Rn(x), donde Pn(x) es elpolinomio de Taylor de n-ésimo grado de f en a y Rn(x) es el residuo dado por

Rn(x) =1n!

∫ x

a(x − t )n f (n+1)(t )dt .

A continuación presentamos ejemplos de diversa naturaleza.

Ejemplo 19.0.9. Determine la serie de Taylor de f (x) = ln x centrada en a = 1.

f (x) = ln x f (1) = 0

f ′(x) = 1x

f ′(1) = 1

f ′′(x) = − 1x2

f ′′(1) = −1

f ′′′(x) = 1 · 2x3

f ′′′(1) = 2!

......

...

f (n)(x) = (−1)n−1 (n − 1)!xn

f (n)(1) = (−1)n−1(n − 1)!

Como (n − 1)!/n! = 1/n, n ≥ 1,

(x − 1) − 12(x − 1)2 + 1

3(x − 1)3 − · · · =

∞∑

k=

(−1)n−1

k(x − 1)k .

Ejemplo 19.0.10. Establezca la serie de Taylor de f (x) = sen x centrada en a = π/3.


351

f (x) = sen x f(

π

3

)

=

√3

2

f ′(x) = cos x f ′(

π

3

)

=

12

f ′′(x) = − sen x f ′′(

π

3

)

= −√

32

f ′′′(x) = − cos x f ′′′(

π

3

)

= −12

Por consiguiente, la serie es√

32+

12 · 1!

(

x − π3

)

−√

32 · 2!

(

x − π3

)2− 1

2 · 3!

(

x − π3

)3+ · · ·

Note que | f (n+1)(c )| ≤ 1, lo que implica

|Rn(x) ≤|x − π/3|n+1 |

(n + 1)!de donde se deduce

limn→∞

Rn(x) = 0.

Ejemplo 19.0.11. Determine la serie de Maclaurin de f (x) = cos x .

f (x) = cos x f (0) = 1f ′(x) = − sen x f ′(0) = 0f ′′(x) = − cos x f ′′(0) = −1f ′′′(x) = sen x f ′′′(0) = 0



La serie es

1 − x2

2!+

x4

4!− x

6

6!+ · · · =

∞∑

k=0

(−1)k(2k )! x

2k .

| f (n+1)(x)| ={

| sen x |, n par| cos x |, n impar

En cualquier caso

| f (n+1)(c )| ≤ 1 para cualquier real c

|Rn(x)| =| f (n+1)(c )|(n + 1)! |x |n+1 ≤ |x |n+1

(n + 1)!

limn→∞

|x |n+1

(n + 1)! = 0

Pero

limn→∞

|Rn(x)| = 0

implica

limn→∞

Rn(x) = 0.

Por lo tanto,

cos x = 1 − x2

2!+

x4

4!− x

6

6!+ · · · + (−1)n x

2n

(2n)! + · · ·

Los polinomios de Taylor son,

P0 = 1, P2(x) = 1 − 12x2 P4(x) = 1 − 1

2!x2+

14x4

P10(x) = 1 − 12!x2+

14x4 − 1

6x6+

18x8 − 1

10!x10.

Ejemplo 19.0.12. Aproxime e−0.2 mediante un polinomio de Taylor P3(x).Dado que x = −0.2 es cercano a cero, usamos el polinomio de Taylor de f (x) = e x

en a = 0,

P3(x) = f (0) +f ′(0)

1!+

f ′′(0)1!

x2+

f ′′(0)3!

x3

Se sigue que

f (x) = f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = 0f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = 1

P3(x) = 1 + x +12x2+

16x3


353

Entonces,

P3(−0.2) = 1 + (−0.2) + 12(−0.2)2 + 1

6(−0.2)3 ≈ 0.8187

por lo que,

e−0.2≈ 0.8187

Además,

|R3(x)| =e c

4!|x |4 < |x |4

4!

ya que −0.2 < c < 0 y e c < 1,

|R3(−0.2)| < | − 0.2|424

< 0.0001

La aproximación es exacta hasta tres cifras decimales.

Ejemplo 19.0.13. En la figura arriba, la ecuación (17) da la serie de Maclaurin parasen x . Nos apoyamos en ella para calcular el valor aproximado de una integral que



no se puede calcular mediante métodos elementales.

∫

senx2dx =

∫ (

x2 − x6

3!+

x10

5!− x

14

7!+ · · ·

)

dx

=

x3

3− x7

7 · 3!+

x1111 · 5!

− x13

15 · 7!+ · · · + c (23)

Si queremos aproximar∫ 1

0 sen x2dx hasta tres cifras decimales, usamos (23)

∫ 1

0senx2dx =

x3

3− x7

7 · 3!+

x1111 · 5!

− x13

15 · 7!+ · · · + c

=

13− 1

7 · 3!+

111 · 5!

− 115 · 7!

+ · · · a4 =

115 · 7!

≈ 0.000013 < 0.0005 (24)

Si cortamos en tres términos∫ 1

0sen x2dx ≈

13− 1

7 · 3!+

111 · 5!

≈ 0.3103 (19.0.1)

aproximado hasta tres cifras decimales.

Ejemplo 19.0.14. En ocasiones es útil la serie de Taylos para calcular límites. Porejemplo, se sabe que limx→0

sen xx = 0. Si usamos la ecuación (17) y dividimos por x ,

obtenemos

limx→0

sen xx= limx→0

x − x3

3! +x5

5! − · · ·x

= limx→0

(

1 − x2

3!+

x4

5!− · · ·

)

= 1.

Ejemplo 19.0.15. Evalue limx→0x−tan−1 x

x3 .El límite presenta una indeterminación de la forma 0/0. Por la ecuación (18)

limx→0

x − tan−1 x

x3= limx→0

x −(

x − x3

3 +x5

5 − · · ·)

x3

= limx→0

x3

3 − x5

5 + · · ·x3

= limx→0

(

13− x

2

5+ · · ·

)

=

13

.

Ejemplo 19.0.16. Determine los tres primeros términos de la serie de Maclaurin def (x) = tan x .

De (16) y (17) podemos escribir

tan x =sen xcos x

=

x − x3

3! +x5

5! −x7

7! + · · ·1 − x2

2! +x4

4! −x6

6! + · · ·


355

Empleamos divisón de polinomios

x − x3

3! +x5

5! −x7

7! + · · ·1 − x2

2! +x4

4! −x6

6! + · · ·= x +

13x3+

215x5+ · · ·

por lo que

tan x = x +13x3+

215x5+ · · ·

Ejercicios1. Escriba la serie de Maclaurin.

(a) f (x) = 12−x

(b) f (x) = ln(1 + x)(c) f (x) = sinh x

(d) f (x) = 11+5x

(e) f (x) = cos 2x

(f) f (x) = e−x

(g) f (x) = cosh x .

2. Encuentre los primeros cuatro términos distintos de cero de la serie de Maclau-rin

(a) f (x) = tan x

(b) f (x) = sen−1 x

3. Encuentre la serie de Taylor en el punto dado.

(a) f (x) = 11+x , a = 4

(b) f (x) =√x a = 1

(c) f (x) = sen x a = π/4

(d) f (x) = e−2x , a = 1/2

(e) f (x) = ln(x + 1), a = 2.

4. Use resultados previos para determinar la serie de Maclaurin,

(a) f (x) = e−x2

(b) f (x) = x2e−3x

(c) f (x) = ln(1 − x)(d) f (x) = sec2 x



(e) f (x) = ln(

1+x1−x

)

(f) f (x) = ln(cos x)

5. Evalue el límite empleando series de Maclaurin

(a) limx→0x3

x−sen x

(b) limx→01+x−e x1−cos x

6. Sume series de Maclaurin para determinar la que se pide.

(a) f (x) = cosh x

(b) f (x) = sinh x

7. Use multiplicación para determinar la serie de Maclaurin

(a) f (x) = e x

1−x(b) f (x) = e x sen x .

8. Use división para encontrar los cinco términos distintos de cero de la serie deMaclaurin.

(a) f (x) = e x

cos x

(b) f (x) = sec x .

9. Establezca el valor indicado para la integral definida.

(a)∫ 1

0 e−x2dx = 1 = 1

3 +1

10 −1

42 + · · ·

(b)∫ 1

0sen xx dx = 1 − 1

3·3! +1

5·5! −1

7·7! + · · · .

10. Aproxime la cantidad dada usando el polinomio de Taylor Pn(x) para el valorindicado de n y a.

(a) sen 46◦, n = 2, a = π/4 [Sugerencia: convierta a radianes.]

(b) e 0.3, n = 4, a = 0

(c) sinh(0.1), n = 3, a = 0.

(d) cos 29◦, n = 2, a = π/6.


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