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APLICACIONESTÍPICAS DEL AO

3.1. INTRODUCCIÓ N

Existen innumerables aplicaciones para los AO, tanto lineales como no lineales, muchas de lascuales pueden ser mejoradas mediante pequeñas variaciones. El gran problema, es sin duda saber cualaplicación utilizar para solucionar un determinado problema, es imprescindible entonces, previo a elegir unaaplicación, el saber como funciona. Las formas de analizar las aplicaciones son diferentes para cada tipo,esto suele llevar a confusiones, sin embargo, es posible elaborar una metodología que puede ser de muchaayuda. El presente capítulo muestra una gran variedad de aplicaciones con sus correspondientes análisis.

3.2. RESOLUCIÓ N DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Esta aplicación es una de las más tradicionales del AO y se conoce como Computador Analógico,el cual consiste una combinación de integradores y derivadores, los que permiten la resolución de unaecuación diferencial.

El diferenciador práctico

En el capítulo 1, se revisó la configuración para el diferenciador ideal. Su respuesta en el dominiode la frecuencia está dada por la siguiente gráfica.

Av

0 dB ω1

Rf C

dB

_

+ vo

R

Cvi

Rs

f

R1

(a) (b)

Figura 3.1. (a) Respuesta del diferenciador Ideal. (b) Configuración práctica.

Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO 38

El problema de este circuito es que la reactancia capacitiva varía en forma inversa con la frecuencia,haciendo muy sensible el circuito al ruido de alta frecuencia, sin embargo, la configuración práctica de la fig.3.1b inhibe estos efectos. La resistencia Rs en serie con el condensador C, hace que disminuya la gananciapara alta frecuencia a la relación Rf/Rs, pero este circuito actuará como diferenciador sólo a frecuenciasmenores que

CRf

sc π2

1= o CRsc

1=ω

Para frecuencias mayores a fc, el circuito se aproxima a un amplificador inversor con ganancia -Rf/Rs. La fig. 3.2 indica la respuesta en frecuencia de la configuración práctica la cual muestra unalimitación de la ganancia por sobre la frecuencia de corte fc.

Av

0 dB ω1

Rf C1

R Cs

-RR

f

s dB

dB

Figura 3.2. Respuesta en frecuencia de un diferenciador práctico.

y su función de transferencia esV sV s

R CsR Cs

o

i

f

s

b gb g = −

+ 1

El valor RfC se conoce como constante de tiempo y se suele hacer igual al período de la señal deentrada del derivador. Rs en la práctica se considera entre 50-200 ohm.

Integrador práctico

El integrador ideal se modifica mediante la incorporación de una resistencia Rs en paralelo con elcapacitor de realimentación. Esta resistencia permite limitar la ganancia en baja frecuencia.

_

+ vo

R

C

vi

Rs

R1

Av

0 dB ω1

Rf C1

R Cs

-RR

fs

Curva ideal

Curva práctica

(a) (b) Figura 3.3. (a) Integrador práctico. (b) Respuesta en frecuencia del integrador práctico.


En la práctica se diseña Rs= 10R, y RC debe diseñarse igual al período de la señal de entrada. Parafrecuencias menores a

ω = 1R Cf

El circuito se comporta como un amplificador inversor, cuya ganancia está definida por -Rf/Rs.

$ EJEMPLO 3.1.

Implementar un circuito con AO operacionales que permita resolver la siguiente ecuacióndiferencial:

01212

2

=+++ vvkdtdvk

dtvd

siendo v1 función del tiempo, k1 y k2 constantes positivas.

Resolución:

Paso 1: Se supone conocida 2

2

dtvd

, para facilitar el desarrollo podemos definir los siguientes símbolos:

∫−≡ dx-k

Bloque multiplicador por -k. Bloque sumador orestador.

Construyendo cada uno de los elementos de la ecuación diferencial

d vdt

2

2− dv

dt (A) integrando nuevamente− dv

dt v (B)

Tomando− dv

dt -k1 kdvdt1 (C)

Tomemos v y multipliquémosla por la constante k2.

v -k2 − k v2 (D)

Paso 2: Ahora podemos unir (A) con (B) , (B) con (D) y (A) con (C), además, haciendo la resta (C)-(D)luego sumando v1 y finalmente invirtiendo este resultado llegamos a

121 vvkdtdvk −−− , lo que es igual a 2

2

dtvd

− dvdt v − k v2


d vdt

2

2

-k1

-k2

-1+

-

v1

+ +

121 vvkdtdvk −−−

kdvdt1

Figura 3.4. Configuración en base a los símbolos.

Uniendo la entrada con la salida e intercalando un interruptor podemos obtener la solución de laecuación diferencial.

Paso 3: Se debe realizar su implantación con AO.

_

+

R

C

_

+

R

C

_

+

R

vi

_

+

R

R

R

_

+

R

R

R

R

_

+

R R

R

v 1

1

2

t=0

Figura 3.5. Implementación con AO.Donde

122

11 === RC

RRk

RRk

El circuito se cierra en t=0. En ese preciso instante el valor de la función v(t) puede ser medido en lasalida del segundo integrador.


3.3. COMPARADORES

Son circuitos que se utilizan para comparar dos voltajes, por ejemplo para determinar cual de elloses mayor. Existen diferentes tipos de comparadores, y gran parte de estos utilizan el AO en lazo abierto, esdecir, sin realimentación.

Comparador de saturación

Considerando que la salida en función de la entrada obedece a la siguiente expresión

( )−+ −= vvAv vo

Tenemos que si v+ > v- la diferencia es positiva, luego esta diferencia es multiplicada por laganancia en lazo abierto (que es muy grande), como consecuencia, la salida es muy grande. Por otro lado, seve limitada por la tensión de alimentación +Vcc. Si v+ < v- , entonces el voltaje aplicado es negativo, luegola salida es -Vcc.

En el circuito mostrado en la fig. 3.6, la salida es positiva (+Vcc) cuando la tensión de entrada vi,es menor que el voltaje de referencia Vref. Luego la salida se vuelve negativa cuando vi es mayor que Vref.

Este tipo de comparador se conoce como comparador de saturación.

_

+

-Vcc

+Vcc

vo

vi

VRef

v Vo cc= cuando v Vi f⟨ Re

vi

vovcc

cc-v

VRef

(a)

-

+

-V

+V

vovi

VRef

cc

cc v Vo cc= cuando v Vi f⟩ Re

vi

vovcc

cc-v

VRef

(b)

Figura 3.6. Circuitos comparadores de saturación.

En un circuito ideal el paso de un estado a otro es instantáneo, pero en un circuito real este cambiorequiere de un pequeño tiempo, el cual puede ser de algunos microsegundos. Si utilizamos un AO 741, estese demora aproximadamente 40 µs en pasar de un estado a otro. La exactitud de un comparador práctico esla diferencia de tensión necesaria entre la entrada y la referencia para hacer que la salida cambie de unestado a otro.

Modificando la configuración anterior se puede variar la configuración para hacer variable lareferencia modificando dos resistencias.


_

+

-Vcc

+Vcc

vo

vi

VRef

R

R 2

1

R R 21

v sio ⟩0, V

RvR

vRR

Vf ii f

ReRe

1 2

2

1

0+ ⟩ ⇒ ⟩−

vi

vovcc

cc-v

VRefRR

21

VRef <0

_

+

-Vcc

+Vcc

vov i

VRef

R

R 2

1

RR 21

siv o ,0⟩ fiif V

RRv

Rv

RV

Re1

2

21

Re 0 ⟨−⇒⟨+

vi

vovcc

cc-v

VRefRR

21

VRef >0

Figura 3.7. Comparador con referencia variable.

Para encontrar el punto de conmutación del comparador se debe encontrar v- y v+, luego, el cambiode estado del comparador ocurrirá cuando dichos voltajes son iguales.

Considerando el circuito de la fig. 3.7a se tiene:

V vR

v vR

f iRe −+ − =

+ +

1 2

0

v-=0

luego, si v+>v- entonces vo=+Vcc, es lo mismo que decir v+>0. Usando esa condición podemosdeterminar para que valor de la señal de entrada el comparador cambia de estado. Existen otras alternativas a la indicada en la fig. 3.8, las que permiten obtener una referenciavariable ajustable mediante un potenciómetro.

_

+

-Vcc

+Vcc

vo

vi

VRefR

+Vcc

Figura 3.8. Comparador con referencia ajustable.

Comparador de ventana

La siguiente configuración se conoce como comparador de ventana y permite discriminar sideterminado voltaje (vi) se encuentra entre dos niveles, uno superior (VrefUp) y otro inferior (VrefLow).


_

+

-Vcc

+Vcc

_

+

-Vcc

+Vcc

vo

D

D

Vref Up

Vref Low

v

v

v

1

2

i

R L

1

2

Figura 3.9. Comparador de ventana.

Para analizar el circuito comparador de ventana, podemos examinar los tres casos posibles:

Caso 1: vi<VrefLow<VrefUp

ccrefUpiv

ccirefLowv

VVVvAVVVvVAV

−=⇒−=+=⇒−=

11

22

)()(

De acuerdo a esto D2 conduce y D1 no conduce, luego cuando la entrada se encuentra bajo lareferencia inferior, la salida vo=+Vcc.

Caso 2: VrefLow <vi<VrefUp

ccrefUpiv

ccirefLowv

VVVvAVVVvVAV

−=⇒−=−=⇒−=

11

22

)()(

En este caso D1 y D2 no conducen pues v1=v2=-Vcc, entonces vo=0.

Caso 3: vi>VrefLow>VrefUp

ccrefUpiv

ccirefLowv

VVVvAVVVvVAV

+=⇒−=−=⇒−=

11

22

)()(

Finalmente sucede que D2 no conduce y D1 si, entonces vo=+Vcc.

Si la señal se encuentra entre los rangos indicados, la salida de dicho comparador, se encontrará enun estado "bajo" (cero volts). Si la señal se encuentra fuera de la ventana, la salida tomará el valor +Vcc.

Si se quiere limitar la salida del comparador de saturación, puede considerarse la siguientemodificación.

_

+

-V

+V

vo

vi

VRef

R=10K

z

Ω

cc

cc


Figura 3.10. Comparador con limitador zener.

$ EJEMPLO 3.2.

Diseñe un circuito que permita detectar cuando una señal sobrepasa los 5 volts.

_

+

-10 volts

+10 volts

vo

vs

1K

5 v+

Para esta situación se tiene que( )svo vAv −= 5

En el caso que la señal de entrada vs esté por debajo de los 5 volts, vo será igual a +10 volts, lo queimplica que el diodo led está apagado. Cuando vs supere los 5 volts, vo será igual a -10 volts, luego el LEDse prenderá.

En la práctica es posible implementar un comparador con cualquier AO, esto va a depender de lasexigencias de la aplicación, sobretodo en cuanto a rapidéz. Habitualmente, se utilizan AO con alto SlewRate, pero en el caso de requerir una mayor cantidad de corriente en la salida, se puede utilizar undispositivo creado especialmente para ser usado como comparador. Su SR supera los 50V/µs y por lo generalpresenta una salida "open colector" la que permite obtener corrientes mayores a las que provee un AO.

@ TAREA 3.1.

Investigue los Circuitos Integrados LM319 y LM339. Explique el concepto "open colector".

3.3. CIRCUITOS DISPARADORES

Señales ruidosas y comparadores

Considere un comparador cuya referencia es cero volts, luego, aliméntelo con dos tipos de señales,una sin ruido y otra con ruido. Para simplificar la situación, el ruido será una pequeña señal cuadrada de altafrecuencia, la cual será sumada a la señal de entrada. Ambas situaciones están indicadas en la fig. 3.11.


vi

vo

t

t

vi

vo

t

t

(a) (b)

Figura 3.11. Respuesta del comparador: (a) Sin ruido. (b) Con ruido

Note que en la fig. 3.11a el cambio de estado del estado del comparador se produce cuando la señaltriangular cruza por cero. Para la segunda situación (fig. 3.11b), ocurre exactamente lo mismo, sinembargo, el efecto del ruido hace que el cambio de estado sea adulterado. Esto trae como consecuenciasdesastrosas, sobretodo si el dispositivo final (sobre el cual se realiza la actuación) es de caracterelectromecánico.

Para solucionar este problema, se introduce una realimentación positiva en el comparador, con elfin de definir una banda para la cual el circuito permanezca insensible al ruido.

Comparadores Realimentados

Una clase de comparador especial se conoce como disparador de Schmitt (Schmitt Trigger). Estecircuito usa realimentación positiva para acelerar el ciclo de conmutación. Note que en la fig. 3.12, la señalde salida es realimentada a través de R2 al terminal No inversor del AO. Esto aumenta la ganancia y por lotanto, agudiza la transición entre los dos niveles de salida.

Revisemos el siguiente circuito

_

+

V

+V

vovi

R

R2

1

cc

cc_

Figura 3.12. Disparador de Schmitt.

Este es un disparador de Schmitt en el cual se encuentra la tensión de referencia en cero volts, yaque v-=0. Para obtener la curva característica debe considerar que el cambio de estado del comparadorsiempre se realiza cuando v+=v-.

La tensión en v+ se puede determinar a partir de

212121

110Rv

Rv

RRv

Rvv

Rvv oioi +=

+⇒=−+− +

−+


21

1

21

2

RRRv

RRRvv oi

++

+=+

Si v+>v- (o sea mayor que cero), entonces vo=+Vcc, luego si vi>0 es muy grande, entonces vosigue permaneciendo en +Vcc.

Si se reduce la magnitud de vi, se puede encontrar el punto de conmutación, como esto ocurrecuando v+= v-=0, entonces se reemplaza dicho valor y se despaja vi.

2

1

2

1

21

0RVR

RvRv

Rv

Rv cco

ioi −=−=⇒+=

La tensión de salida vo pasa de Vcc a -Vcc. Si la tensión sigue decreciendo vo=-Vcc.

Si la tensión de entrada varía ahora desde el punto más negativo hacia el punto más positivo, lasalida vo cambia a Vcc, cuando v+=v-=0.

2

1

2

1

2

1 )(RVR

RVR

RvRv cccco

i =−−=−=

La tensión vo permanecerá en +Vcc mientras vi aumente más allá de R1Vcc/R2.

De acuerdo a lo planteado la relación vo/vi queda de la siguiente forma

v i

vvcc

cc-v

VR1 ccR2

V1 ccRR2

o

Figura 3.13. Curva de respuesta del disparador de Schmitt.

El dibujo realizado corresponde a una especie de histéresis. Se utiliza para describir una situaciónen la que el sistema tiene memoria.

La siguiente configuración se conoce como disparador de Schmitt inversor:

_

+V

+V

vo

vi

R

R2

1

cc

cc_

Figura 3.14. Disparador de Schmitt inversor.


El punto de conmutación se encuentra utilizando las dos ecuaciones

21

1

RRvRv

vvo

i

+=

=+

−

El cambio de estado se produce cuando las dos tensiones son iguales

21

1

RRvRv o

i +=

Si vo=Vcc y además vi aumenta desde el punto más negativo hacia una tensión positiva, la salidaconmuta cuando

21

1

RRVRv cc

i +=

Si vo=-Vcc y vi pasa de una tensión positiva a una negativa, el punto de conmutación ocurre cuando

21

1

RRVRv cc

i +−=

La relación vo/vi se encuentra dada por la siguiente curva

vi

vvcc

cc-v

VRR

1 cc+R1 2

VR

1 cc+R1 2

R

o

Figura 3.15. Curva de respuesta del disparador de Schmitt inversor.

En el circuito anterior se puede reemplazar el terminal v+ que va a tierra por un valor de tensión dereferencia v1, dejando v2 como entrada.

_

+-V

+V

vo

v

R

R2

1

2

v1

cc

cc

Figura 3.16. Disparador con referencia.

Su relación vo/vi, en este caso si vi=v2 y v1=VREF está dada por la siguiente curva.


v

vvcc

cc-v

VRR

1 cc+R1 2

R +R1 2

R+ 2VR cc+R1 2

R1 VREF

i

R +R1R2 V REF

2

++R1 2

R2 VR REF

o

Figura 3.17. Curva de respuesta vo/vi.

@ TAREA 3.2.

Determinar la curva vo/vi si v2=VREF y v1=vi para la fig. 3.17.

3.3. GENERADORES DE FUNCIONES

Generador de onda cuadrada

La siguiente configuración se conoce como oscilador de relajación, el cual genera una ondacuadrada. Esta es una configuración con realimentación positiva.

_

+vo

R R21

C

R

Figura 3.18. Oscilador de Relajación.

El voltaje en la entrada no inversora está dado por el divisor de tensión

21

1

RRvRv o

+=+

Por otro lado, si el condensador inicialmente esta dascargado se tiene que el circuito se comportaen un comparador realimentado, el que puede estar en cualquier estar estado, luego, la tensión en v- sedesarrolla en el condensador como parte de una combinación RC.


_

+vo

R R21

R

Figura 3.19. Oscilador de Relajación.

Si v+ > v-, entonces vo= +Vcc. , pero si v+ < v-, entonces vo= -Vcc.

Si se parte considerando que vo= +Vcc (v+>v-), entonces el valor de v+ será una porción de vo (v+ < vo), es decir

21

1

RRVRv CC

++=+

En ese preciso instante v-=Vc se comienza a desarrollar. Esta tensión aumentará en formaexponencial hasta que v-=v+. En ese instante vo cambia de signo pues v- > v+, entonces el condensador seempieza a descargar (con la misma constante de tiempo) hasta que vc=v+ y nuevamente vo cambia designo.

T/2 Tt

Vcc

v-=vc

vo

v+=Vcc R1R1 R2+

-v+=-VccR1R1 R2+

0

-Vcc

T/2 Tt

Vcc

-Vcc

-v+

v+

v-=vc

vo

0

V + v+cc

(a) (b)

Figura 3.20. (a) Carga y descarga del condensador. (b) Señal de salida vo y voltaje del condensador.

La curva de carga del condensador evoluciona en forma exponencial hasta un valor final +Vccdesde un valor inicial -v+, como se indica en la fig. 3.20b. la constante de tiempo es τ=RC.

Determinando la curva en el terminal v-. Cuando 0< t < T/2

( ) +− −−= veAv RCt

c 1donde

( ) ++ +=−−= vVvVA cccc

luego

( ) ( ) RCt

ccccc evVVvtv −+− +−==


Para el semiciclo en que T/2 < t < T, el valor inicial es v+ y el valor final es -Vcc.

( ) ( ) +

−−

+− +

−+−= veVvtv RC

Tt

cc

21

Si evaluamos en el momento en que cambia la pendiente, tenemos

( ) ( )( )

( )cc

ccRCT

RCT

cccc

RCT

cccc

VvvVe

eVvvV

eVvVvTv

+−=

+=−

+−==

+

+−

−++

−++−

2

2

22/

para determinar el período de oscilación T, se sabe que

21

1

RRvRv o

+=+

pero vo=+Vcc, luego21

1

RRVRv cc

+=+

Para simplificar se supone que R1=R2, entonces

2ccVv =+

Luego reemplazando el nuevo valor de v+, tenemos

31

2

22 =

+

−=−

cccc

cccc

RCT

VV

VVe

Despejando T nos queda T=2.2RC

FinalmentezH

RCTf =

455.01 =

Si se requiere limitar la salida a un valor inferior al voltaje de saturación, se deben colocar dosdiodos zener como indica la siguiente configuración, donde Vz1=Vz2=Vz < Vcc.


_

+vo

R R21

C

R

Vz1

Vz2

Figura 3.21. Oscilador de relajación con salida limitada por zener.

Si se realiza el mismo análisis anterior, se determina que T es independiente de Vz.

@ TAREA 3.3.

Determinar la frecuencia del oscilador de la fig. 3.21, considerando R1≠ R2 y Vz1≠ Vz2.

Generador de onda triangular

Es posible implementar un generador de onda triangular, a partir de un circuito similar al estudiadoanteriormente. Bastaría agregar un circuito integrador a la etapa de salida del oscilador de relajación.Evidentemente, debe tomarse en cuenta la frecuencia a la cual trabaja el oscilador y las consideracionesvistas para el diseño del integrador práctico.

_

+vo

R

C

vi

Rs

_

+ vo

R

C

Rs

_

+R

R2

1

C

R

Vz1

Vz2

Figura 3.22. Generador de señal triangular.

Consideremos el siguiente circuito:

_

+

v o

R

C

_

+

R2R1

R 6 R3 4

R 5

Va

Vz1

Vz2

Figura 3.23. Generador de señal triangular sin oscilador de relajación.


Para analizar el circuito de la fig. 3.23, debemos definir Vz1=Vz2=Vz. El primer amplificadoroperacional forma una configuración de comparador. Si v+ es levemente mayor que cero, Va=Vz, en casocontrario Va= -Vz.

Consideremos para nuestro análisis Va=Vz, podemos asumir que este cambio es como un pequeñoescalón, luego la salida es una rampa negativa

( )tRRC

Vv Zo

43 +-=

Determinemos ahora la tensión en el punto v+. Para ello debemos ver el efecto de Va en vo y v+.

El voltaje v+ está dado por:

00 =+

=++ +=

ao Vvvvv

_

+

R2

Vz1Vz2

R1

R6

R5

Va

Vo =0vo

-

+

R2R1

R6

R5

Va =0

Figura 3.24. Aplicando superposición.

Finalmente se obtiene( )

521

21

521

5

RRRRRv

RRRRVv oa

++++

++=+

El cambio de Va a -Vz ocurre cuando v+=0. Note de la ecuación anterior que si la contribución devo se hace más negativa, v+ puede tomar valores negativos. Supongamos que esto ocurre en un tiempot=t1, entonces tenemos v+(t=t1)=0, luego reemplazamos.

( ) ( ) 0521

21

521

51 =

++++

++==+

RRRRRv

RRRRVttv oa

215)1(RR

RzVtov

+−=⇒

Pasado este punto, Va=-Vz, luego el integrador considera esta señal como otro escalón, así lasalida.

( )tRRCzV

tov43

)(+

=

En este punto v+<0, la contribución de vo hace que se haga positivo (pues se ha transformado enuna rampa positiva), supongamos que esto ocurre en un instante t=t3.


( )

21

52

521

21

521

52

)(

0)(

RRRVtv

RRRRRv

RRRRVtv

zo

oz

+=⇒

++++

++−==+

Finalmente llegamos a la siguiente curva

t

v (t)o

t t1 2

R V5 zR +R1 2

R V5 zR +R1 2

Figura 3.25. Voltaje de salida de un generador de señal triangular.

Para determinar la frecuencia de oscilación, debemos encontrar t1. Podemos determinar lapendiente de la curva en el tramo 0 < t < t1.

( )0

2

1

21

5

−+

−

=t

RRVR

m

z

además,( )CRR

Vm z

43 +−=

Igualando y despejando t1 ( )21

4351

2RR

CRRRt++=

Pero T=t1+t2=2T1 entonces

( )CRRRRR

Tf

435

21

41

++==

Una configuración de generador de onda triangular más simplificada es la siguiente

_

+ vo

R

C

_

+

R

R2

1


Figura 3.26. Generador de señal triangular simplificado.

En esta también tenemos una etapa compuesta por un comparador, seguida por un circuitointegrador. La relación R1/R2 maneja la amplitud del triángulo. En la salida de la etapa de comparacióntenemos una señal cuadrada y a la salida del integrador la señal triangular, para ambas formas de onda, lafrecuencia de oscilación está dada por:

=

1

2

41

RR

RCf

@ TAREA 3.4.

Determinar la expresión para la frecuencia de oscilación para el circuito de la fig. 3.26.

3.3. OSCILADORES

Los generadores de función, son básicamente circuitos osciladores, estos se caracterizan por notener señal de excitación y además por su realimentación positiva. Las siguientes configuraciones permitengenerar señales sinusoidales.

Oscilador de Wien

También llamado oscilador Puente de Wien, emplea un puente equilibrado como red derealimentación. Si los dos capacitores y las dos resistencias son iguales.

vo

_

+

R

R

1

C

C

2

R

R

Figura 3.27. Oscilador de Wien.

La frecuencia de oscilación está dada por

RCf o π2

1=

Esto se determina planteando las ecuaciones de nudos en v- y v+

0)(12

=−− −−

RV

RVsVo


011)( =−

+− ++

sCRV

sCRVsVo

Luego, considerando v+=v-

( ) 0121

2222 =

+

−− RCs

RRsCRsVo

Encontrando las raíces de la ecuación

2222

1

222

1

22,1 42

212

21 CRCR

RR

CRRR

RCs −

−±

−=

Para satisfacer la condición de oscilación, las raíces deben ser complejas conjugadas y sin parte real,o sea

12 2RR =

De aquí podemos obtener que una solución del tipo

tRC

jtRC

j

o eKeKv1

2

1

1−

+=

Lo que determina una señal sinusoidal con frecuencia igual a RC1=ω

Oscilador Seno-coseno (oscilador de cuadratura)

El oscilador de cuadratura (seno-coseno), también consta de un doble integrador, este entrega en v1la señal cosωt y en vo la señal senωt. Es muy útil cuando se requiere tener dos señales que tengan un desfasede 90º. En teoría, todas las resistencias deben ser iguales, pero en la práctica, R1 es levemente menor que lasotras para asegurar la partida.

_

+ vo

R

C

_

+

R

R

1

C

C

v1

Figura 3.28. Oscilador de cuadratura.

Para determinar la frecuencia de oscilación, puede utilizarse el mismo procedimiento del osciladorde Wien. Suponga todas las resistencias iguales y plantee las ecuaciones en v+ y v-.

En el primer AO se tiene


( ) 011

=−+− −−

sCVVRV

( ) 0=−+−+

+

RVVsCV o

En el segundo AO tenemos un integrador inversor, luego

11 V

RCsVo −=

Como R1=R, podemos encontrar la ecuación diferencial que rige el comportamiento de Vo.

( ) 01222 =+CRssVo

Finalmente la frecuencia de oscilación obedece a la relación

RC1=ω

Oscilador Twin-T

Un típico circuito oscilador sinusoidal es el "TWIN-T" o doble integrador, mostrado en la figura

_

+voR

R1

2

C

R

R/2

R

C

2C

v1

v2

Figura 3.29. Oscilador Twint-T.

Para determinar la salida del oscilador, se deben plantear las ecuaciones de nudos en v+, v- , V1 yV2. De acuerdo a esto es posible llegar a una ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes, asítenemos que:

21

2

RRRVV o

+=+

01_

2_

1 =−+−R

VV

sC

VV

0211

111 =−+−+−−

RV

sC

VV

sC

VV o


021

222 =−+−+−−

Cs

VR

VVR

VV o

Luego reordenando queda una ecuación diferencial en función de Vo(s)

( ) 042

1222

2

1 =

−+−

RRRCssCR

RRsVo

Encontrando las soluciones del polinomio característico, podemos obtener la función v(t). Lafrecuencia de oscilación esta dada por la siguiente expresión

RCf o π2

1=

Las consideraciones prácticas para el diseño son

R2 = 2R y R1 = 10R2


3.6. RECTIFICADORES

Rectificadores de media onda

Una de las aplicaciones no lineales más básicas y útiles son los llamados circuitos rectificadores. Sepueden diseñar ya sea para recortar la parte negativa (o positiva) de una señal o para entregar una salida quecorresponda al valor absoluto de la entrada.El circuito de la fig. 3.30 se conoce rectificador inversor demedia onda.

_

+

viR

RF

A D1

D2o

RA RF

v

i

Figura 3.30. Rectificador inversor de media onda.

Supongamos un AO ideal, v-= v+= 0, si vi>0, la tensión en la salida del AO v1<0, luego D1conduce.

viR

RF

A

D2

o

RA RF

R f

i

v1v

Figura 3.31. Circuito rectificador con D1 conduciendo.

−+=

<−=

viRv

vRR

v

Fo

iA

f 01

como i=0 y v-=0, entonces0≈ov

Finalmente como v1< 0, D2 NO conduce.La otra situación ocurre cuando D2 conduce, lo que se da cuando vi <0 y v1>0. Luego se puede

reemplazar el circuito inicial por el siguiente circuito equivalente.


_

+

viR

RF

A

RA RF

Rf VD+vo

Figura 3.32. Rectificador con D2 conduciendo.

−

−

+=+−=viRv

viRv

Ai

Fo

pero0== +− vv

Luego

iA

Fo

A

i vRRvi

Rv −=⇒=

A partir de esto se puede obtener la característica de transferencia del circuito rectificador

vo

vi

RF

R A

t

vi

t

viRFRA

vo =

(a) (b)

Figura 3.33. (a) Característica vo/vi del rectificador inversor de media onda. (b)Diagrama deseñales de entrada y salida de un rectificador de media onda.

Modificando resistencia RF, podemos variar la amplitud de salida vo. El circuito de la figura 3.32es una variación del rectificador de media onda.

_

+

viR

RF

A D1

D2

o

RA RF

v

Figura 3.34. Rectificador de media onda (variación).


En este caso :Cuando vi>0, el circuito se comporta como amplificador inversor, donde vo= -RF/RA, pero

cuando vi<0, vo=0.

vo

vi

RFRA

t

vi

t

viRFRA

vo

-

(a) (b)

Figura 3.35. (a) Curva vo/vi del rectificador de media onda (variación). (b) Diagrama de señalesde entrada y salida de un rectificador de media onda (variación).

Rectificador de onda completa

El circuito rectificador de onda completa tiene la siguiente respuesta

t

vi

t

vo

Figura 3.36. Respuesta de un rectificador de onda completa.

Considerando ahora dos circuitos, el primero que entregue la respuesta A y el segundo que entreguela respuesta B. Al realizar la operación de resta de la respuesta B menos la respuesta A, se puede obtenerla salida deseada.


A

B

t

v 01

t

v02

_

+

viR

RF

A D1

D2RA RF

-

+

R

RF

A D1

D2RA RF

_

+

R

R

R

R

vo

(a) (b) Figura 3.37. Circuito rectificador de onda completa.

El circuito descrito requiere del uso de 3 AO. Analicemos ahora la situación de la fig. 3.38., en estecaso tenemos dos señales, una de amplitud 2A y otra de amplitud A, las cuales se suman (restan) paraobtener la señal rectificada. Dicha situación sólo requiere de dos AO.

tv

vo2

o1A

BA

-A

-2A +A

-A

B-A

t

t

vo

Figura 3.38. Manejo de señales para la obtención de un rectificador de onda completa.

Sólo se requiere invertir la señal B-A, para obtener la respuesta deseada.

_

+

viR

RF

A D1

D2RA RF

_

+

R

R

R

R

vo

F1

F1

A2

A1

RA1 A2R

Figura 3.39. Rectificador de onda completa utilizando dos AO.


iA

Fi

AA

FF

A

i

A

iA

F

Fo vRRv

RRRR

Rv

R

vRR

Rv2

1

1

1

211 −=

+−

−=

,iiA

Fo vv

RRv −=

212

1

1

1 =∧==A

F

A

F

A

F

RR

RR

RR

entonces

0< para para

iio

iio

vvvvvv

,0,

−=>=

3.7. CIRCUITOS LIMITADORES

Un circuito limitador obliga a una señal a mantenerse por debajo (o por encima) de un puntollamado punto de ruptura. La señal de salida va a ser proporcional a la entrada, mientras ésta se encuentrepor debajo del punto de ruptura. Si la señal de entrada sobrepasa este límite, la salida no podrá ser mayorque éste.

El siguiente circuito es un limitador básico realimentado.

_

+vo

R

R1

ARF

D

R2

VREF

vi

RA RF

Figura 3.40. Circuito limitador.

Para analizar este circuito se recurre al estudio de dos casos, primero, cuando el diodo no conduce yluego cuando el diodo conduce.

Caso 1: El diodo no conduce:


_

+vo

R

R1

ARF

R2

VREF

vi

RA RF

v1i2

i1

Figura 3.41. Limitador cuando D no conduce.

La salida es igual:

iA

Fo v

RRv −=

Ahora se debe encontrar el punto de ruptura, que está dado por el voltaje v1.

2

1

1

121 0

Rvv

RvVii oREF −+−==+

02

1

1

1

21

=−−+Rv

Rv

Rv

RV oREF

021

211

21

12 =+−+RRRRv

RRvRVR oREF

( )

+=+

+=

2121

21

12

21

211 R

vR

VRRRR

vRVRRR

RRv oREFoREF

El diodo conduce cuando Vγ > v1. Si Vγ es el voltaje necesario para hacer conducir el diodo.

21

121 RR

vRVRvV oREF

++=⟩γ

Como ánodo del diodo se encuentra a 0 volts, el punto v1 debe ser negativo. Luego v1=-Vγ, para queel diodo conduzca. Ahora podemos despejar la salida:

1

2

1

21

RVR

RRRVv REF

o −+−= γ

Si hacemos Vγ=0, entonces 1

2

RVRv REF

o −=

La salida es un valor constante que sólo depende de R1, R2 y VREF.Esto representa el punto deruptura entre las dos condiciones del circuito.

Caso 2: El diodo conduce:Se reemplaza el diodo por un generador de tensión Vγ y una resistencia Rf. Luego el circuito queda

de la siguiente forma:


_

+vo

R

R 1

A

R FR2

VREF

vi

R A R F

v1

i 2

i1R f

V+ γ

Figura 3.42. Limitador cuando D conduce.

Para simplificar el circuito podemos encontrar un equivalente Thévenin de la red resistiva que seencuentra al lado derecho del diodo.

vo

R 1R 2

VREF

+

-

+

RAR F

vi

R A R F

R fV

+ γ

RR1 2VREF

R1

V

R2

R

V+

TH

EQTH

o

Figura 3.43. Equivalente Thévenin.Lo que implica que:

21 RRREqTH =

( )21

12

21

12

21

21

2121 RR

vRVRRR

vRVRRR

RRRv

RVRRV oREFoREFoREF

TH ++=+

+=

+=

Finalmente el limitador queda transformado como sigue:

_

+vo

R A

R F

vi

R A R F

R fV

+ γ

+VTH

REqTH

Figura 3.44. Circuito equivalente.

γVVRRR

RvRRv TH

f

Fi

A

Fo +

+−−=

21


+

++

+−−= γV

RRvRVR

RRRRv

RRv oREF

f

Fi

A

Fo

21

12

21

+

++−−=

++

+ γVRR

VRRRR

RvRR

RRR

RRRRv REF

f

Fi

A

F

f

Fo

21

2

2121

1

21

1

ConsideracionesR

R R RF

f +⟩⟩

1 2

1

La ecuación queda

vR

RR

R R R vRR

VRR

VoA

f i REF= − +FHG

IKJ + − − +F

HGIKJ

11 12

11 2

2

1

2

1

e j γ

Donde el término que multiplica a vi, es la ganancia del circuito.

Si R2<<R1 y Rf << R1|| R2, la ganancia se reduce a:

( )( )AA R

RRR

2211 −=−≈ Ganancia

Con estos antecedentes se puede determinar la característica vo/vi del circuito limitador.

voc

vicvi

vo

R

RA

F

Figura 3.45. Característica vo/vi.

REFREF

oc VRR

RVR

RRRVv

1

2

1

2

1

21 −≈−+−= γ

++= γV

RRV

RR

RRv REF

F

Aic

2

1

1

2 1

La pendiente cambia de -RF/RA a más o menos -R2/RA, cuando vi aumenta más allá del punto deruptura. Si VREF es negativo, la ruptura ocurre para un valor de vo negativo, esto significa que el punto(voc, vic) se traslada al segundo cuadrante del eje vo/vi.

R2 debe ser mucho menor que RA, si se desea alcanzar una buena limitación. Debe existir unapendiente lo más cercano a cero más allá del punto de ruptura.


El valor de salida cambia cuando cambia la pendiente, voc debe ser menor que la tensión desaturación.

Se puede configurar un circuito un que tenga un límite inferior y superior, el cual se muestra en lasiguiente figura, donde además se muestra su característica vo/vi.

_

+vo

R

R 1

A

R F

D

R 2

V REF

v i

R A R F

D 2

1

-V REF

R

R 2

1

vi

vo

-V

V REF

REF

(a) (b)

Figura 3.46. (a) Circuito limitador (con límite superior e inferior). (b) Característica vo/vi.

@ TAREA 3.5.

Realice un análisis para determinar la curva vo/vi para el circuito mostrado en la fig. 3.46a.


3.8. AMPLIFICADOR LOGARÍTMICO Y ANTILOGARÍTMICO

Los amplificadores logarítmicos y antilogarítmicos son usados para realizar multiplicación ydivisión de señales analógicas. Así también para obtener su logaritmo o su función exponencial.

Para producir una amplificador con respuesta logarítmica, se debe utilizar un dispositivo quepresente dicha característica. El elemento utilizado es el diodo semiconductor.

La corriente a través de este dispositivo está dada por la siguiente expresión

I I e I eD s

qVkT

s

qVkT

D D

= −FHG

IKJ≅1

donde:Is : Corriente de saturación inversaq : Carga del electrón (1.6 x 10-19 Cb)VD : Voltaje del diodo.k : Contante de Boltzman (1.38 x 10-23 joule/°K)T : Temperatura absoluta en grados Kelvin

Analicemos la siguiente configuración

_

+ vo

R

D1ID

1

i1

vi

Figura 3.47. Amplificador logarítmico.donde

111111 R

viRivRiv

VvVvi

i

DDo

=⇒=+=

−=+−=−

−

Como i1=ID, tenemos que

kTqV

si

D

eIRv =

1

Además, vo=-VD

)ln(1 s

io IR

vq

kTv −=

La salida es función del logaritmo natural de la entrada. Usualmente kT/q≈ 26mV a 25°C.Si intercambiamos la resistencia R1 por el diodo D1 en el amplificador logarítmico podemos obtener

una nueva configuración:


_

+vo

RD1

ID

1i1

vi

Figura 3.48. Amplificador antilogarítmico.

kTqV

sDo

kTqV

sD

Di

D

D

eIRIRv

eII

Vv

11 −=−=

=

=

Esta configuración se conoce como amplificador antilogarítmico. La salida es una funciónexponencial de la entrada.

Multiplicación y división de señales análogas

_

+

R

_

+vo

RAmpLog

AmpLog

Amp

Anti-Log

R

R

R

v

v

1

2

v01

V02

F1 F23

4

Figura 3.49. Diagrama de un circuito multiplicador.

Si definimos k1= kT/q, k2=R1Is

( )

+

=+−=

−=

−=

2

21

2

110201

2

2102

2

1101

lnln1

ln

ln

kvk

kvkvvF

kvkv

kvkv

2

21

2

2

2

12

lnln1

2

1

2

1

2

2

2 22

121

111

kvv

kv

kvkF

ekekekF kvk

kvk

kkF

kTqF

−=

−=

−=−=−=

+

Finalmente definimos k2=R4/R3, luego la salida nos queda


212

21

3

4 vvkvv

RRvo =

−−=

vo es el producto v1v3.

Para realizar la división análoga de señales, el diagrama del circuito es el siguiente

_

+

R

_

+vo

RAmpLog

AmpLog

Amp

Anti-Log

R

RR

v

v

1

2

v01

V02

F1 F23

4

R

Figura 3.50. Diagrama de un circuito divisor de señales.

( )

−=

−=−=−=−=

=

−

=+−=

−=

−=

2

12

ln

2

ln1

2

1

2

1

2

2

11

2

21

2

110201

2

2102

2

1101

2

2

lnlnln1

ln

ln

21

21

111

vvkF

ekekekekF

vvk

kvk

kvkvvF

kvkv

kvkv

vv

vv

kkk

F

kTqF

Si hacemos R4/R3=(1/k2), llegamos a

2

1

2

12

3

4

vv

vvk

RRvo =

−−=


3.9 AMPLIFICADORES DE INSTRUMENTACIÓ N

El Amplificador de Instrumentación (AI) es uno de los circuitos electrónicos más versátiles usadosen los sistemas de instrumentación moderna, también es usando en los sistemas de control moderno.

Básicamente el AI es un amplificador con entrada diferencial con muy alta impedancia de entrada ymuy alto CMRR, normalmente tiene ganacia ajustable y bajo impedancia de salida. es usado comoamplificador de señales continuas y alternas.

En los sistemas de instrumentación se requiere un amplificador que responda a la diferencia de dosseñales, las cuales son referenciadas sobre un punto común, además debe tener un alto CMRR (para atenuaral máximo las señales en modo común). Por otro lado el transductor es una fuente de alta impedancia, lo queimplica que el amplificador debe tener una alta resistencia de entrada para obtener una mejor prestación.

Amplificador diferencial

Consideremos el amplificador diferencial de la fig. 3.51. Este es un circuito de medición, el cual seve afectado por un interferencia.

_

+

vo

vn

vsvn

V1 V2

Amplificador Diferencial

Riel común

vc

Interferencia

Pto. común

Transductor

Figura 3.51. Amplificador diferencial.

Determinando V1 y V2nsc vvvV ++=1

nc vvV +=2

La salida queda( ) ( )ncnscdmdmout vvvvvAVVAv +−++=−= 21

Finalmentesdmout vAv =

El amplificador deferencial básico (fig. 1.8) puede ser usado como parte de un AI, pero requiere unelemento adicional para el ajuste del CMRR.


_

+

Ra

Rf

V2

voR a

Rf

V1

Ajuste del

CMRR

AO

Figura 3.52. Amplificador diferencial con ajuste de CMRR.

@ TAREA 3.6.

Determine ¿Por qué? el potenciómetro de la figura 3.52. es capaz de ajustar el CMRR.

Este amplificador presenta problemas con su resistencia de entrada. La solución a esto es sencilla,incorporando un seguidor de emisor en cada entrada del amplificador diferencial, de acuerdo a la fig. 3.52a,observe que la tensión de salida está dada por

v V Vo = −2 1

V2

V1

+

_

+

voRL

V2

V1

+

_

+

vo

R

R

gR

(a) (b)

Figura 3.53. (a) Buffer para AI. (b). Buffer con ganancia.

Note que la tensión vo es aplicada es la que será aplicada al amplificador diferencial.

Para obtener la ganancia variable, se puede hacer la modificación indicada en la fig. 3.53b, deacuerdo a esto tenemos en la salida

( )gRRIvo += 2Además


( )gR

VVI 12 −=

Finalmente

( )( ) ( )1212 122 VV

ggRR

gRVVvo −

+=+−=

Amplificador de Instrumentación

La fig. 5.54 muestra dos AI completos, dependiendo del tipo de AO que se utilicen para configurarestos AI, la prestación será incrementada.

_

+

R a

R f

R a

Rf Ajuste del

CMRR

V2

V1 +

_

+

vo

V

2

_

+

R

R

voR

R Ajuste del

CMRR

V

1

_

+

_

+

R

R

gR

(a) (b)

Figura 3.54. (a) AI sin ganancia ajustable. (b) AI con ajuste de ganancia.

Finalmente el AI de la fig. 3.54b, satisface todos los requerimientos planteados, es decir, la salidavo no depende del voltage en modo común,sino de la diferencia de las entradas. La impedancia de entradaserá muy alta, y no cambia la ganancia varía, y finalmente, la ganancia de tensión sólo depende de unaresistencia.

aplicaciones tÍpicas del ao - web quidel (universidad de...

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