aplicaciones termoeconomicas del metodo exergetico

APLICACIONES TERMOECONMICAS DEL

MTODO EXERGTICO

Miguel ngel Lozano Serrano Departamento de Ingeniera Mecnica

(Abril 1997)

UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA

Aplicaciones Termoeconmicas del Mtodo Exergtico 1

ndice

Captulo 1. EFICIENCIA Y COSTE ............................................................................................................... 3

1.1. Conceptos bsicos .............................................................................................................. 4 Eficiencia y exerga .................................................................................................. 4 Fuel, producto y coste exergtico unitario ................................................................ 4 Amortizacin y coste econmico unitario ................................................................ 5

1.2. Rendimiento ptimo ........................................................................................................... 6 Balance de costes, factor exergoeconmico y rendimiento ptimo .......................... 6 Rendimiento ptimo para diseo a producto constante ............................................ 9 Ejemplo 1: Turbina de gas ...................................................................................... 12 Rendimiento ptimo para diseo a fuel constante .................................................. 15 Ejemplo 2: Caldera de recuperacin ....................................................................... 17

1.3. Factores en competencia .................................................................................................. 19 Ejemplo 3: Prensadosecado de pasta de papel ...................................................... 20 Ejemplo 4a: Transporte de agua ............................................................................. 22 Ejemplo 4b: Inversin mnima para el transporte de agua ....................................... 24

1.4. Productores en competencia ............................................................................................. 27 Inversin ................................................................................................................. 27 Operacin ................................................................................................................ 31 Ejemplo 5: Reparto ptimo de carga ...................................................................... 33 Ejemplo 6: Los beneficios de la colaboracin ........................................................ 36

Bibliografa ................................................................................................................................. 40

Captulo 2. ANLISIS TERMOECONMICO DE SISTEMAS ................................................................. 43

2.1. El proceso de formacin del coste .................................................................................... 43 Equipo individual .................................................................................................... 43 Proceso secuencial .................................................................................................. 44 Ejemplo 1: Anlisis de sistemas alternativos de calefaccin .................................. 45

2.2. Principio de no equivalencia de las irreversibilidades locales .......................................... 49

2.3. Clculo de costes .............................................................................................................. 51 Clculo directo de costes ........................................................................................ 51 Clculo matricial de costes ..................................................................................... 55 Termoeconoma simblica ...................................................................................... 58 Ejemplo 2: Criterios de asignacin de costes en cogeneracin ............................... 59

Bibliografa ................................................................................................................................. 72

2 Aplicaciones Termoeconmicas del Mtodo Exergtico

Captulo 3. APLICACIONES 73

3.1. Valoracin de alternativas ................................................................................................ 73 Ejemplo 1: Modificacin del sistema de soplado ................................................... 74 Ejemplo 2: Accionamiento de la bomba de alimentacin ....................................... 75

3.2. Diagnstico de la operacin ............................................................................................. 79 Anlisis termodinmico convencional .................................................................... 81 Ahorro tcnico de exerga ....................................................................................... 83 Malfuncin ............................................................................................................. 85 Impacto en consumo de combustible ...................................................................... 86

3.3. Control ptimo de la operacin ........................................................................................ 91 Ejemplo 3: Planta de cogeneracin ......................................................................... 91

Bibliografa ................................................................................................................................. 98

CAPTULO 1: Eficiencia y coste

1.1. Conceptos bsicos

La preocupacin creciente por el ahorro de energa ha fomentado el desarrollo de tcnicas de anlisis basadas en el Segundo Principio, y en particular en el concepto de exerga1,2.

El balance de exerga de una instalacin nos permite localizar y cuantificar las irreversibilida-des con que se desarrolla el proceso productivo, e identificar qu equipos y por qu causas, son responsables de su ineficiencia. Buena parte de los trabajos publicados sobre anlisis exergtico se limitan a determinar la irreversibilidad y rendimiento de la planta y de sus equi-pos. Esta informacin, aunque de gran utilidad, resulta insuficiente. En la prctica, cuando se pretende conseguir ahorros efectivos de energa en una instalacin deben considerarse los tres factores adicionales siguientes: i) No toda irreversibilidad es evitable3,4. As, el ahorro tcnico de exerga es siempre de menor magnitud que el ahorro termodinmico. La diferencia entre ambos depende del nivel de decisin5,6 que limita el tipo de acciones a emprender (operacin, mantenimiento, circuitera, proceso, etc.). ii) Los ahorros locales de exerga que puedan conseguirse en los distintos equipos o procesos de una instalacin no son equivalentes3,7. Una disminucin en la irreversibilidad local de un equipo supondr en general una variacin de magnitud diferente en el consumo de energa de la planta. iii) Las oportunidades de ahorro solo podrn concretarse mediante un estudio concienzudo de los mecanismos fundamentales de generacin de entropa8. Adems debern relacionarse las posibilidades de control de dichos mecanismos con las variables libres de diseo y con el coste de inversin necesario.

La consideracin de estos factores, en una u otra forma, ha dado lugar a la aparicin de teoras que fundamentadas en el Segundo Principio y agrupadas bajo el nombre de Termoeconoma se plantean como objetivo la asignacin de costes y optimizacin econmica de los sistemas trmicos9,10.

El objetivo de la Termoeconoma es el de sentar las bases tericas del ahorro de energa. Para ello deber formular criterios generales que permitan evaluar la eficiencia de los sistemas energticos y que expliquen de manera racional cul es el proceso de formacin del coste de sus productos.


Eficiencia y exerga

Una central trmica o una planta qumica son ejemplos de sistemas energticos formados por un conjunto de subsistemas o equipos relacionados entre s a travs de los flujos de materia y energa que procesan. Estos sistemas interaccionan con su entorno consumiendo unos recur-sos externos que transforman en unos determinados productos. El propsito de esta transfor-macin est animado por un aumento de la utilidad econmica.

El concepto de eficiencia es central en toda teora de la produccin. El deseo de producir un determinado bien es algo externo al sistema. Dicho bien constituye la causa final y debe defi-nirse a priori. Una vez hecho, el diseo del sistema y su estructura funcional debern ade-cuarse al objetivo de utilizar de forma eficiente los recursos disponibles (capital, materias primas, personal, etc.) o causa material. Toda definicin de eficiencia exige comparar el pro-ducto obtenido con el consumo o coste que ha sido necesario para obtenerlo. Para que dicha comparacin tenga un significado inequvoco ambos conceptos debern expresarse en unida-des equivalentes (de igual valor).

El Segundo Principio afirma que no existe ningn proceso natural que se desarrolle reversi-blemente. Esto implica que todo proceso conlleva una destruccin de recursos energticos o irreversibilidad (I). Tambin nos permite cuantificar dicha irreversibilidad a travs de la fun-cin exerga. La exerga de un sistema termodinmico es la mnima cantidad de trabajo tc-nico necesario para constituirlo a partir del ambiente de referencia (AR), donde el AR repre-senta aquellos recursos que la Naturaleza pone a nuestra disposicin en cantidades ilimitadas a un coste de extraccin nulo evaluado en trabajo tcnico11.

La exerga es la funcin termodinmica de estado que permite formular la relacin de equiva-lencia entre los diversos flujos de materia y/o energa de una planta. Dos flujos o sistemas sern termodinmicamente equivalentes; es decir, ser posible, al menos tericamente, obte-ner uno a partir del otro, y viceversa, sin un consumo adicional de recursos limitados (fuentes de energa) si slo tienen igual exerga7.

Fuel, producto y coste exergtico unitario

Sea P la produccin de un proceso (Producto) y F los recursos disponibles consumidos (Fuel), ambos valorados por su exerga. Entonces, se cumplir que:

F P = I 0

siendo I = T0Sg (Teorema de GouyStodola) la cuantificacin en trminos de exerga des-truida de la irreversibilidad del proceso, T0 la temperatura ambiente y Sg la entropa generada. Su verdadera eficiencia termodinmica vendr dada por:

=PF

1

Captulo 1: Eficiencia y coste 5

nmero adimensional que al estar comprendido necesariamente entre cero y uno, representa el ratio universal para evaluar la calidad termodinmica de los procesos. La inversa de la fun-cin eficiencia as definida representar el coste exergtico unitario del producto:

kP* =

FP

=1

1

En sentido estricto, el objetivo de la optimizacin energtica debe encaminarse a minimizar el coste exergtico unitario de los productos funcionales.

Una vez desentraada la relacin conceptual entre el Segundo Principio, la Eficiencia y el Coste Exergtico, estamos en condiciones de desarrollar procedimientos de anlisis para: i) desglosar la irreversibilidad o ineficiencia de un sistema, por complejo que sea, por equipos o causas (Anlisis Exergtico); ii) calcular los costes exergticos de sus flujos internos y pro-ductos finales (Control de costes); y iii) establecer valoraciones precisas de la repercusin en consumo de fuel ocasionado por el mal funcionamiento de cualquier de los equipos que com-ponen la estructura del sistema (Auditora Exergtica).

Amortizacin y coste econmico unitario

No obstante, la evaluacin final de cualquier proceso debe realizarse en trminos monetarios incorporando al coste de los flujos internos y productos todos y cada uno de los recursos utili-zados. Aquellos sistemas industriales en que predominan los procesos de transformacin energtica, entendidos en sentido amplio, vienen condicionados por dos medios ambientales relacionados entre s: un ambiente fsico constituido por el AR y los recursos energticos y de materias primas, y otro ambiente econmico caracterizado por el precio de mercado de estos ltimos, as como por lo que Tribus y ElSayed12 denominan medidas de la corrosividad del capital, que incluyen, por ejemplo, las reglas utilizadas para contabilizar el coste de amortizacin y mantenimiento de los equipos.

Cuando se analiza el proceso de formacin del coste de los flujos internos y productos de un sistema, tomando en consideracin nicamente el ambiente fsico, la variable relevante es su coste exergtico que nos informa de la cantidad real de exerga que ha sido necesaria para producirlos. ste depender tanto de la estructura del sistema (relacin funcional entre equi-pos y flujos) como de la calidad del funcionamiento (rendimiento exergtico) de los equipos. Una mejora de la estructura o de la eficiencia de los equipos implicar siempre un menor con-sumo de recursos.

Cuando se considera tambin el ambiente econmico, la perspectiva se ampla al introducir dos factores adicionales en el anlisis. Por una parte los recursos energticos y de materias primas procesados tendrn una escala de costes o precios de mercado (cF) no ligada necesariamente a sus exergas respectivas. Por otra debern contabilizarse como fuentes de coste la amortizacin y mantenimiento de la instalacin que posibilita la existencia del


proceso productivo (Z). El problema de la optimizacin econmica de un sistema resulta en consecuencia mucho ms complejo que el de su optimizacin puramente termodinmica, pues ahora son varios los factores de produccin que entran en competencia. As, normalmente, la mejora de su estructura o el incremento de la eficiencia de los equipos implicar menos consumo de fuel pero llevar consigo un incremento de costes de capital. Tambin podr plantearse la posibilidad de sustitucin econmica de los recursos que constituyen el fuel, bien entre s o bien por otros recursos alternativos. La funcin a minimizar ahora ser el coste econmico unitario del producto:

cP =cF F + Z

P=

cF

+ZP

1.2. Rendimiento ptimo

Balance de costes, factor exergoeconmico y rendimiento ptimo

Utilizando los conceptos bsicos desarrollados en el apartado anterior podemos representar el balance econmico correspondiente al diseo de un equipo o sistema con la figura siguiente

donde las variables se expresan en un determinado sistema de unidades con el nico objetivo de facilitar la compresin de su significado (cualquier otro conjunto coherente de unidades tambin sera vlido).

La expresin del balance de costes (costes de los recursos consumidos = coste del producto) es la siguiente:

cP P = cF F + Z

A partir de esta ecuacin podemos relacionar el coste unitario del producto cP con el coste unitario del fuel cF y los consumos unitarios de fuel kF y capital kZ que se definen como:

kF FP

=1

kZ ZP


Dividiendo el balance de costes por la cantidad de producto P, resulta la siguiente ecuacin:

cP = cF kF + kZ cF

La desigualdad indicada se cumple siempre pues kF = 1/ 1 y kZ 0. El coste unitario del producto aumenta con el consumo unitario de fuel (que equivale a una disminucin de ren-dimiento) y con el consumo unitario de capital. Normalmente, ambos factores siguen tenden-cias opuestas al modificar el diseo de un equipo o sistema, por lo que no es posible conseguir en la prctica que cP = cF.

Si en el balance de costes sustituimos el balance de exerga F = I+P y reorganizamos trmi-nos, resulta

cP cF =cF I + Z

P 0

Esta ecuacin nos indica que el coste unitario del producto siempre ser mayor que el del fuel a causa de la irreversibilidad (I > 0) y de los costes de capital (Z > 0). Tsatsaronis13 ha defi-nido como factor exergoeconmico de un equipo o sistema al cociente:

fk =Z

cFI + Z

y lo ha aplicado para el anlisis de las posibilidades de mejora en el diseo de plantas comple-jas14,15. Este parmetro pondera la repercusin relativa de los costes de inversin sobre el incremento del coste unitario entre fuel y producto para el equipo analizado. Supngase que se parte de un diseo preliminar. Si el factor exergoeconmico est prximo a la unidad resul-tar difcil mejorarlo econmicamente incrementando la inversin de capital para disminuir la irreversibilidad. Por el contrario un factor exergoeconmico pequeo nos indica que al menos en teora la inversin de capital adicional para mejorar la eficiencia del equipo puede resultar econmicamente rentable. En procesos y plantas con tecnologa bien establecida el diseador experto dispondr de valores razonables del factor exergoeconmico para distintos tipos de equipos. Bajo este supuesto podr: i) discriminar con facilidad en qu equipos actuar, cmo, cunto para mejorar la eficiencia del sistema y ii) valorar aproximadamente el ahorro eco-nmico de las acciones propuestas.

Sea x el vector de variables libres de diseo para un equipo determinado. El objetivo primor-dial de la termoeconoma consistir en seleccionar el valor de dichas variables que conduce a un coste unitario mnimo del producto de dicho equipo. Es decir

MINIMIZAR cp (x) = cF kF (x) + kZ (x)

En general, al modificar una variable xi cambiarn kF y kZ, probablemente en sentido contra-rio, alcanzndose la condicin de optimidad cuando


cPxi

= cFkFxi

+kZxi

= 0 kZxi

= cFkFxi

el coste de inversin marginal se compense con el ahorro marginal de costes de fuel.

Como el anlisis con varias variables resulta difcil de visualizar vamos a suponer ahora la situacin en que slo existe una sola variable libre de diseo que es el rendimiento del equipo o planta de inters. En este caso el criterio de optimidad resulta

MINIMIZAR cP () = cF kF () + kZ () = cF/ + kZ ()

Cmo vara en general kZ con el rendimiento ? Para un equipo concreto y un instante determinado que define el nivel de desarrollo tecnolgico, podemos realizar dos afirmaciones: i) la inversin necesaria aumenta al mejorar el rendimiento por lo menos en el intervalo en que se encuentra el rendimiento ptimo; ii) por mucho que aumentemos la inversin no pode-mos construir un equipo comercial que supere cierto rendimiento lmite max por razones tec-nolgicas. Modificando una expresin analtica propuesta por Szargut16 para que satisfaga estas afirmaciones proponemos la siguiente funcin

kZ ( )= kZo + k Z

max

n

con el exponente n > 0. Representando grficamente las dos componentes del coste podemos ver cualitativamente el efecto del rendimiento.


Puede demostrarse que el rendimiento ptimo vendr dado por

dcPd

= 0 optmax

=1

1+max k Zn

cF

1n+1

A continuacin se presenta un desarrollo ms general para los casos de diseo a producto constante y fuel constante.

Rendimiento ptimo para diseo a producto constante

La siguiente aproximacin puede utilizarse para optimizar equipos individuales o plantas completas. El modelo termoeconmico de la planta es

La inversin neta de capital actualizada al comienzo de la operacin se aproxima por

J = J0 +

max

n

Pm (um)

donde J0, , n y m son constantes que dependen del equipo o planta considerado y max es la mxima eficiencia tecnolgicamente alcanzable.

Los costes de amortizacin del capital invertido y de su mantenimiento en servicio pueden expresarse como

Z = J (um/s)

con

=fa 1 + fm( )

31,536 106 fu (1/s)


donde fa es el factor de amortizacin anual (1/ao), fm el factor de mantenimiento y fu el fac-tor de utilizacin de la capacidad instalada.

Los costes ligados a la operacin pueden expresarse como

C0 + P + cF F (um/s)

donde C0 sern los costes fijos de operacin y el coste por unidad de producto asociado a la actividad del sistema (servicios generales, mano de obra, tratamiento de residuos,).

En estas condiciones el coste total del producto ser

CTOT = C0 + P + cFF + J 0 +

max

n

Pm

Si fijamos la produccin nominal del equipo o planta (P) as como los distintos coeficientes, dejando por tanto como nica variable libre la eficiencia termodinmica, el criterio de optimi-dad ser

d CTOTd

=d cF F( )

d+ Pm

dd

max

n

= 0

Aplicando la regla de la cadena de la derivacin

d cFF( )

d=

d cF F( )dF

dFd

= Fd P ( )

d= F P

2

donde F es el coste marginal del fuel (F = cF si el coste marginal es igual al coste medio). Por otro lado

dd

max

n

= n

max

n1max

max ( )2 = n

max2

max

n+1

Combinando los resultados anteriores resulta

F P = n maxPm

max

n+1

Szargut16 define el nmero de similitud termoeconmica como

Fk = maxF P

1m


El rendimiento ptimo, correspondiente al mnimo coste unitario, es

optmax

=1

1 + n Fk( )1 n+1( )

En el caso particular en que se cumplen las condiciones

F = cF C0 0 J0 0 0 m 1 max = 1

podemos escribir

cP =cF F + Z

P=

cF

+ kz

kz =

1

n

Fk = cF

En este caso, Tsatsaronis13 demuestra que en el ptimo se cumplen las siguientes condiciones para el incremento relativo de costes y el factor exergoeconmico:

rk cP cF

cF=

1

n +1n

fk Z

cF I + Z=

11+ n

Obsrvese que la ltima relacin nos dice que n = cF I/Z donde Z es el coste de capital y cF I puede interpretarse como el coste de la irreversibilidad. Para equipos o plantas con n muy grande debemos admitir diseos con altos grados de irreversibilidad pues una mayor inversin de capital para mejorar la eficiencia termodinmica no es rentable.

Tsatsaronis13 dice que para las bombas accionadas con motor elctrico n < 0,6 y para las tur-binas de vapor n > 0,9. Los valores de n para intercambiadores de calor y reactores qumicos dependen en general de la localizacin y propsito de estos equipos en la planta y del tipo de sustancias que manejan.


EJEMPLO 1: Turbina de gas

Se plantea disear una turbina de gas. Los componentes de la turbina de gas son: 1) combus-tor, 2) compresor y 3) turbina. Las ecuaciones que relacionan la inversin en los equipos con otras variables del problema son1718:

J1 = 25m1+ exp 0,018T4 26,4( )

0,995 1

J 2 = 40 mrp2 ln rp2( )

0,90 - 2

J 3 = 265 m ln rp2( )1 + exp 0,036T4 54,4( )

0,92 3

con 1 P4/P3, rp2 P2/P0 y siendo 2 y 3 los rendimientos isentrpicos de compresor y turbina, respectivamente.

0 = 1

2 = 3

5 = 6 = 7

W

4

W2

F

2 3

1Aire

Combustible

Gases

Se considerar que el fluido de trabajo es gas ideal (aire seco) con calor especfico constante (ca = 1 kJ/kg K y Ra = 0,287 kJ/kg K). Se supondrn las siguientes condiciones ambientales: P0 = 1,013 bar y T0 = 288,15 K (15C). El coste de la energa aportada por el combustible es cF = 4106 $/kJ y el factor de amortizacin es = 6,7109 s1 en el escenario econmico normal para el diseo.

Para resolver el problema se fijar una potencia neta W = 30000 kW para la turbina. Como todas las variables extensivas (incluyendo los costes) son proporcionales a la potencia neta los resultados son independientes del valor de sta.


La funcin objetivo a minimizar ser el coste total

CTOT = cF F + f (J1 + J2 + J3)

introducindose el parmetro f para modificar las condiciones econmicas (obsrvese que con f => 0 slo se valoran los costes de combustible y con f >> 1 los costes de inversin). Las res-tricciones correspondientes al modelo fsico pueden escribirse como sigue:

rt2 = 1 +rp2rcp 1

2

rt5 = rt4 1 3 1 1rp2( )rcp

F = m ca T0 rt4 rt2( )

W = m ca T0 rt4 rt5 rt2 +1( )

con rti Ti/T0 y rcp Ra /ca.

Puede comprobarse que existen cinco variables libres de diseo habindose seleccionado: 1, 2, 3, rp2 y rt4.

Los resultados correspondientes al diseo ptimo en funcin del parmetro f se muestran en el cuadro siguiente.

Parmetro Variables libres

f (adim)

(tpu)

jZ ($/kW)

1 (adim)

2 (adim)

3 (adim)

rp2 (adim)

rt4 (adim)

cP ($/kJ)

Ctot ($/s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.025

0.050

0.100

0.250

0.500

1.000

2.500

5.000

10.000

0.470

0.463

0.451

0.434

0.416

0.395

0.361

0.332

0.300

1964.094

1409.071

873.601

518.524

346.056

231.977

139.355

98.201

71.025

0.9917

0.9907

0.9895

0.9872

0.9850

0.9821

0.9774

0.9729

0.9675

0.884

0.879

0.873

0.863

0.854

0.844

0.830

0.819

0.807

0.914

0.912

0.910

0.905

0.901

0.895

0.884

0.874

0.861

31.748

31.744

26.470

22.526

19.116

15.810

11.936

9.675

7.790

5.258

5.227

5.188

5.148

5.120

5.093

5.060

5.037

5.017

8.835e6

9.109e6

9.448e6

1.009e5

1.077e5

1.168e5

1.342e5

1.534e5

1.810e5

0.2651

0.2733

0.2834

0.3027

0.3230

0.3504

0.4025

0.4603

0.5429


Se incluyen como resultados de inters el rendimiento de la turbina de gas

= W/F

el coste de inversin por unidad de potencia neta

jZ = (J1 + J2 + J3)/W

y el coste medio del producto de la turbina de gas

cP = CTOT/W

Procediendo al ajuste de los resultados segn la ecuacin

jZ JP

=

max

n

se obtienen los siguientes coeficientes

33,06 max = 0,4987 n = 1,4574

La bondad del ajuste puede apreciarse en la grfica siguiente.

0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0

500

1000

1500

2000

jZ

($/kW)


Podemos comprobar ahora su valor predictivo aplicando las conclusiones alcanzadas antes. Para f = 1 (escenario econmico normal) se obtiene

Fk =f max

cF=

6, 7 109 33, 06 0,49874 106

= 27,62 103

nFk( )1 n +1( )

= 1,4574 27,62 103( )1 2,4574 = 0,27055

opt =max

1+ nFk( )1 n+1( ) =

0, 49871,27055

= 0,393

resultado muy prximo a 0,395 que es el que se obtiene directamente. En el escenario econ-mico normal se ha supuesto que la turbina de gas operara 8000 h/ao a carga nominal. En otro escenario con 3200 h/ao de operacin (equivalente a f = 2,5) se obtendra el siguiente ptimo:

Fk = 0,06905

n Fk( )1 n+1( )

= 0,4756

opt = 0,358

frente a 0,361 que se obtena directamente.

Rendimiento ptimo para diseo a fuel constante

Hay proyectos que se caracterizan porque la cantidad de fuel a consumir viene dada y el obje-tivo del diseo consiste en encontrar la cantidad ptima de producto. Cualquier equipo de recuperacin de calor residual plantea un problema de diseo de este tipo.

F P

Z

c P P

PTcF cP


El esquema permite formular este problema como uno de costes. Empleando razonamientos similares al caso anterior la funcin objetivo consistir en minimizar

CTOT = Co + F + cF F + Z + c P PT P( ) (um/s)

con Z = J = Jo + 1

max

n

F m

(um/s)

donde PT > P es la demanda de producto a satisfacer y c P es el coste medio de la produccin alternativa.

Dados F, PT > P, as como los distintos coeficientes, queda como nica variable libre de diseo el rendimiento y resulta el siguiente criterio de optimidad

d CTOT

d= Fm

dd

1max

n

d c PP( )d

= 0

Aplicando la regla de la cadena de la derivacin

d c PP( )

d=

d c PP( )dP

dPd

= Pd F( )

d= P F

donde P es el coste marginal del producto obtenido por medios alternativos ( P = c P si es igual al coste medio). Por otro lado

( )1n

max

1nmax

n

max

1nn

1dd

+

==

Combinando los resultados anteriores obtenemos

P F = n Fm 1

max

n+1

Definiendo como nmero de similitud termoeconmica

Pk

P F1m

el rendimiento ptimo correspondiente al mnimo coste del producto total resulta

opt = max n Pk( )1 n+1( )


EJEMPLO 2: Caldera de recuperacin

Se trata de disear una caldera de recuperacin de la energa trmica de los gases de escape de una turbina de gas para la produccin de vapor saturado a Pv = 10 bar. La turbina de gas ya existe y produce 3000 kW de potencia neta para una prdida de presin admisible de 0,036 bar para los gases de escape que atravesarn la caldera de recuperacin. El flujo msico de ga-ses de escape que abandonan la turbina a una temperatura Tg = 864,4 K (591,3C) es mg = 9,928 kg/s. Se supondr que el calor especfico de los gases es constante e igual a cg = 1 kJ/kg K. Un esquema de la instalacin se muestra a continuacin

En las condiciones descritas la inversin a realizar en la caldera de recuperacin slo depende de su eficacia

J = 1610 mg ln1

1 ($)


El flujo de calor mximo que puede recuperarse en la caldera se obtiene para = 1 lo que implica Ts = Tv y una superficie de intercambio de calor infinita. As

Qmax = mg cg (Tg Tv) = 4083 kW

Este equivale a una cantidad de producto expresado en exerga

Pmax = Qmax 1ToTv

=1483 kW

La exerga trmica de los gases (Fuel) es

kW 2578TT

ln TTTcmFo

googgg =

=

y por tanto el rendimiento exergtico mximo resulta

max =Pmax

F= 0,5765

Para un determinado valor de la eficacia el rendimiento exergtico podr calcularse como = max. Suponiendo un factor de amortizacin = 6,7109 s1, calculando la inversin necesaria J () con la ecuacin suministrada y realizando un ajuste de los resultados a la frmula

Z = 1

max

n

Fm

para 0,95 < < 0,995 se obtienen los siguientes coeficientes

= 5,95 108$kJ

n = 0,318 m = 1

Aplicando las condiciones de optimidad obtenidas antes para distintos escenarios relativos al coste de produccin de la exerga del vapor por medios convencionales resulta

con c P = 8$

GJ Pk = 0,0104 opt = 0,5663 0,5659

c P = 9$GJ

Pk = 0,0095 opt = 0,5672 0,5670

c P =10$

GJ Pk = 0,0088 opt = 0,5679 0,5679

donde los valores a la derecha corresponden al ptimo real.


Detallando los resultados para el ltimo caso

= /max 0,985

Ts = Tg (Tg Tv) 459 K

Tpinch = Ts Tv 6 K

Q = Qmax = 4020 kW

P = Pmax = 1460 kW

Z = 5,95108 1

max

0,318

F = 6,96104 $/s

J = Z/ = 104000 $

Ahorro = c P P Z = 0,014 $/s

1.3. Factores en competencia

Sean dos componentes del coste, por ejemplo capital y energa, que varan en sentido contra-rio al hacerlo la variable libre de decisin x. Supngase que el coste total puede expresarse mediante una funcin de la forma CTOT (x) = CO + CA (x) + CB (x), donde CO son los costes fijos (independientes de la decisin x), CA (x) = cA xa (a > 0) los del factor cuyo coste variable crece con x y CB (x) = cB xb (b > 0) los del factor cuyo coste variable decrece con x.

El criterio de minimizacin del coste total es

d CTOT x( )

dx= a cA x

a 1 b cB x b+1( ) = 0

del cual se obtienen los siguientes resultados

xopt =b cBa cA

1a +b

CMIN = Co + cAb cBa cA

aa+b

+ cBb cBa cA

b

a+b

CACB

opt

=ba


En particular el ltimo resultado nos dice que en el ptimo los costes variables de ambos fac-tores mantendrn una relacin constante al cambiar las circunstancias econmicas salvo que stas afecten a los exponentes a y b.

La formulacin anterior puede aplicarse al anlisis de una gran variedad de problemas de opti-mizacin energtica19. Tres casos tpicos de factores en competencia son los siguientes:

a) EnergaEnerga: Determinadas operaciones industriales requieren consumir dos recur-sos energticos diferentes de modo que el aumento en el consumo de uno de ellos reduce el consumo del otro y viceversa. Como ejemplo trataremos aqu el prensado (energa mecnica) secado (energa trmica) para la eliminacin de humedad en un slido. Otros ejemplos son: i) el calentamiento de un material rgido reducir la energa mecnica para darle forma, ii) el calentamiento de un fluido viscoso reducir el con-sumo de trabajo necesario para su transporte por el interior de un conducto, iii) el calen-tamiento de una mezcla slidolquido aumentar la solubilidad requirindose menor agitacin para su disolucin.

b) EnergaCapital: El diseo ptimo de todo sistema energtico consiste en equilibrar estos factores. Normalmente toda mejora de la eficiencia energtica se produce a travs de un equipamiento ms caro. El apartado anterior sobre rendimiento ptimo trata sobre esto con detalle. Aqu haremos una aplicacin sobre el diseo de un sistema de conduc-cin de lquidos.

c) CapitalCapital: Se comentar con mayor detalle al final de este apartado tras el ejem-plo de aplicacin.

EJEMPLO 3: Prensadosecado de pasta de papel19

Una instalacin de secado trata 1,23106 kg/da de pasta de papel con tasa de materia seca del 26% aumentando dicha tasa al 90%. La secuencia de operaciones es: primero se prensa mec-nicamente la pasta tras lo cual se procede a su secado por evaporacin de agua con aporte de calor.

W Q

Pasta hmeda

xe = 0,26

Pasta seca

xs = 0,90

Agua lquida Agua vapor

xPrensado mecnico

Secado trmico


Un conjunto de pruebas de rendimiento realizadas sobre la instalacin de secado variando la tasa de materia seca tras el prensado produce los siguientes resultados

Tasa de materia seca Energa consumida por kg de pasta seca

x (kg/kg) W (kWh/kg) Q (termia/kg)

0,36

0,40

0,44

0,01385

0,02570

0,04522

2,31

1,95

1,65

Un anlisis de los datos conduce a las siguientes correlaciones con los coeficientes ya ajustados

W = 5,716 x5,9 Q = 1,306 x1 1,318

Si los precios de los recursos son

cW = 10 ptas/kWh cQ = 1 ptas/termia

la ecuacin del coste total resulta

CTOT = 57,16 x5,9 + 1,306 x1 1,318 CA (x) CB (x) Co

Las condiciones de optimidad tras identificar coeficientes con el caso general son

xopt =b cBa cA

1a +b

=1 1,318

5,9 57,16

15,9+1

= 0,448

CMIN = 57,16 0,4485,9 +

1,3060, 448

1,318 = 2,10 ptas/kg

CACB

opt

=ba

=1

5,9= 0,17

Puesto que la relacin de costes variables de ambos factores en el ptimo slo depende del comportamiento fsico de la instalacin y no de los precios de los recursos, (CA/CB)opt = 0,17 se mantendr constante al modificar dichos precios. Por ejemplo, si el precio del trabajo (fac-tor A) se duplica mantenindose constante el del combustible (factor B) podemos predecir que el nuevo ptimo se obtendr reduciendo W y aumentando Q lo que implica un menor valor de x.


Los resultados obtenidos son

xopt = 0,405

CMIN = 2,46 ptas/kg

EJEMPLO 4a: Transporte de agua19

Se trata de optimizar el diseo de una instalacin de transporte de 120 m3/h de agua por tubera entre dos depsitos al mismo nivel que distan L = 1000 m. La longitud equivalente de codos, vlvulas y otros accesorios es L = 300 m. La variable libre de diseo es el dimetro de la tubera d (m). Al aumentar ste disminuirn las prdidas de presin en el proceso de transporte y los costes energticos para impulsar el agua (factor B) pero aumentar el coste de amortizacin de la tubera (factor A). Los detalles del clculo se aportan a continuacin

Para tubera de acero comercial y flujo turbulento

f = 0,16 Re0,16

Por tanto

d

2cRe0,16

d2c

fL

P 20,162

==

Como Re = c d / y c = 4V/(d2), resulta

t

m3/s


PL

=0,125 0,16 0,84 V1,84

d4 ,84

Para el agua a temperatura ordinaria

viscosidad: = 1,1 103 Ns/m2

densidad: = 1000 kg/m3

PL

=13,92 V1,84

d4 ,84

La potencia consumida por la bomba ( = 0,8) ser

W =V

PL

L + L ( )= 17,4 V2,84 L + L ( )d4,84

Sustituyendo los valores de diseo para V, L y L

W =1,44d4,84

Los costes de inversin para la bomba y tubera resultan

J b = 1,5 1,6 106 +

13 1,44d4,84

= 2,4 106 +

28d4,84

Jt = 1,7 1,6 (70 103 d1,42) L = 0,19 109 d1,42

y la inversin total

JTOT = 2,4 106 + 28/d4,84 + 0,19 109 d1,42

El coste de la energa elctrica para cinco aos de operacin viene dado por

Ce = ce W N =12

10001, 44d4,84

6000 5 =520d4,84

Sumando los costes de inversin y consumo de energa elctrica

CTOT = JTOT + Ce = 0,19 109 d1,42 + 548 d4,84 + 2,4 106 CA (d) CB (d) Co


Obsrvese que el primer trmino del ltimo miembro de la ecuacin recoge los costes de inversin de la tubera (que aumentan con d) y el segundo integra los costes de inversin variables para la bomba y los de la energa elctrica que consume (que disminuyen al aumen-tar d). Las condiciones de optimidad tras identificar coeficientes con el caso general resultan

dopt =b cBa cA

1a +b

=4,84 548

1, 42 0,19 109

11,42 +4,84

0,16 m

En la tabla siguiente se muestran algunos resultados correspondientes a la solucin de este ejemplo al ir aumentando el nmero de aos de servicio N.

Influencia del tiempo de operacin sobre el diseo ptimo

N = 5 aos

N = 10 aos

N = 15 aos

dopt 0,16 m

dopt 0,18 m

dopt 0,19 m

copt 1,66 m/s

copt = 1,31 m/s

copt = 1,17 m/s

(P/L)opt = 1,3190 Pa/m

(P/L) opt = 1,3107 Pa/m

(P/L) opt = 1,382 Pa/m

Incrementar el nmero de aos de servicio equivale a ponderar ms los costes energticos de la operacin en la funcin objetivo a minimizar. Como consecuencia su reduccin pasa por aumentar el dimetro de la tubera. Resulta interesante comparar los resultados del cuadro con las reglas prcticas de diseo:

copt 12 m/s (P/L)opt 100200 Pa/m

EJEMPLO 4b: Inversin mnima para el transporte de agua

Considere como objetivo de diseo en el ejemplo anterior el de minimizar los costes de inversin.

Como ya habamos obtenido la inversin total

JTOT = 0,19 109 d1,42 + 28/d4,84 + 2,4 106 CA (d) CB (d) Co

las condiciones de optimidad tras identificar coeficientes con el caso general se obtienen directamente

dopt =b cBa cA

1a +b

=4,84 28

1, 42 0,19 109

11,42 +4,84

0,10 m


En la tabla siguiente se muestran los resultados econmicos para cinco aos de vida til correspondientes a los criterios de mnima inversin y mnimo coste total

Inversin mnima Coste total mnimo

Dimetro ptimo 0,10 m 0,16 m

Motobomba

Tubera

4,3 106 ptas

7,2 106 ptas

2,6 106 ptas

14,1 106 ptas

Inversin 11,5 166 ptas 16,7 106 ptas

Energa 36,0 106 ptas 3,7 106 ptas

Coste total 47,5 106 ptas 20,4 106 ptas

Obsrvese que la inversin adicional J = 5,2 106 ptas produce un ahorro en los costes ener-gticos de operacin de 6,46 106 ptas por ao de operacin, lo que implica que la sobrein-versin destinada a la eficiencia energtica se recupera en diez meses de operacin del sis-tema, a partir de los que el ahorro de costes energticos supone una ganancia neta.

La figura E4b.1 muestra como varan los costes con el dimetro de la tubera para ambos criterios de optimizacin. Un anlisis ms detallado de esta formulacin se expone en el libro de Le Golf19. Una cuestin interesante se deduce de la figura correspondiente a los costes de inversin. Si pensramos slo en los costes de inversin de la tubera podramos concluir incorrectamente que la inversin mnima para el diseo del sistema se producira con el menor dimetro posible (limitado por otras causas: erosin, ruido, resistencia mecnica, etc.). Esto no es cierto. Al considerar la inversin necesaria para producir la energa consumida (en nuestro caso la energa mecnica entregada por la bomba al flujo de agua para que sea capaz de vencer la friccin en el conducto) vemos que sta crece con el consumo de energa alcanzndose la mnima inversin total para un valor no mximo de despilfarro de energa. Como corolario podemos afirmar que una sociedad que no valora la energa ni promueve su ahorro guindose por criterios de mnima inversin puede (si no incorpora la inversin global requerida por los equipos que producen la energa consumida por la instalacin que se disea) cometer el desatino de no minimizar ni la inversin ni por supuesto el consumo de energa. En definitiva estara invirtiendo en despilfarrar energa.


0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.200x 10 0

2x 10 7

4x 10 7

6x 10 7

8x 10 7

10 8

d [m]

C_TOT [ptas]

J_TOT [ptas]

C_F [ptas]

N = 5 aos

Coste Total

0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.200.0 x 10 0

5.0 x 10 6

1.0 x 10 7

1.5 x 10 7

2.0 x 10 7

d [m]

J_TOT [ptas]

J_t [ptas]

J_b [ptas]

Inversion Total

FIGURA E4b.1: Coste total e Inversin total en funcin del dimetro de la tubera.

e


1.4. Productores en competencia

Inversin

Supngase que se requiere instalar una nueva planta de produccin existiendo dos tecnologas alternativas A y B tal como muestra la figura

FA

cFA cPA

P

ZA

A

P

cPB cFB

FB

ZB

B

Se trata se seleccionar la ms adecuada. Supongamos que partimos de un diseo ya optimi-zado para ambas. Lgicamente la alternativa de mayor inters econmico resultar ser aquella con menor coste medio para el producto final:

cP =cF F + Z

P= cF + kZ

Puesto que la planta puede no operar a carga nominal y/o continuamente su produccin ser menor que la nominal. Definiremos por tanto fu como factor de utilizacin de la capacidad instalada Pn. Por ejemplo si una central elctrica tiene una potencia nominal Pn = 500 MW su mxima produccin anual es de 500 MW x 8760 h/ao = 4,38 106 MWh. Si la planta ha pro-ducido realmente 3,72 106 MWh su factor de utilizacin habr sido de 3,72/4,78 0,85.

Sea J la inversin de capital necesaria en pesetas para construir la planta de capacidad nomi-nal Pn en kW y el factor de amortizacin y mantenimiento por ao de operacin. Para una produccin P expresada en kWh/ao como promedio a lo largo de la vida til de la planta

Z = J (ptas/ao)

kZ = JP

= J

8760 fu Pn (ptas/kWh)

Definiremos ahora kZn = J

8760 Pn (ptas/kWh)


como parmetro caracterstico de la tecnologa representando el coste de capital por unidad de producto cuando la planta opera a lo largo de su vida til a carga nominal.

El coste medio por unidad de producto puede expresarse como

cP = cF/ + kZn/fu

donde cF y cP se expresan en ptas/kWh.

La tecnologa A ser superior a B cuando (cP)A < (cP)B.

Para idntico valor del factor de utilizacin fu las tres condiciones que contribuyen a dicha condicin son (cF)A < (cF)B, A > B y (kZn)A < (kZn)B. Es decir combustible ms barato, mayor eficiencia y menor inversin. Si estas tres condiciones no se presentan simultnea-mente no podr afirmarse, en general, que la tecnologa A resulta superior a la B.

En la Tabla 4.1 se muestran los datos necesarios para realizar la comparacin de distintas tec-nologas de produccin de energa elctrica. Estos datos se han adaptado para la situacin espaola a partir de los propuestos por Schwarzenbach y Wuncsh de ASEA BROWN BOVERY20. Los resultados corresponden a un factor de utilizacin fu = 0,685 equivalente a 6000 h/ao de operacin a carga nominal.

La Fig. 4.1 muestra la variacin del coste medio de la electricidad producida para algunas tecnologas con el factor de utilizacin. Vemos que el ciclo combinado es el ms econmico, para los precios supuestos para los combustibles, siempre que el factor de utilizacin sea mayor que 0,20. Por debajo de este valor la turbina de gas es ms competitiva.

Supngase que debe decidirse la seleccin de la tecnologa de las nuevas centrales a instalar para satisfacer la demanda descrita en la Fig. 4.2. En este caso, como por debajo de 0,20 8760 = 1750 h/ao de operacin la turbina de gas es ms econmica que el ciclo com-binado, deberan instalarse como mnimo 3200 MW en centrales de ciclo combinado y 1200 MW en centrales de turbina de gas. No obstante, este anlisis resulta muy simple por varias razones: i) se requerira la instalacin de cierta capacidad extra, ii) los parmetros eco-nmicos (inversin necesaria, tipos de inters, precios de los combustibles) pueden cambiar; por ejemplo, un incremento inesperado del precio del gas natural favorecer las tecnologas basadas en carbn tal como muestra la Fig. 4.3, y iii) en un problema real deber tenerse en cuenta el estado previo del sistema de generacin, es decir, el parque de centrales instaladas y sus niveles de obsolescencia e infrautilizacin as como la evolucin de la demanda adicional de energa elctrica en funcin del tiempo. Todas estas razones sugieren que la toma de las decisiones sobre cunta potencia elctrica adicional deber instalarse, cundo hacerlo y con qu tipo de tecnologa, resulta bastante complicada2123. Un factor que provoca incertidum-bre sobre la previsin de la demanda a satisfacer con nuevas centrales es el grado de incorpo-racin de nuevos sistemas de cogeneracin en los sectores industrial y residencialcomercial, muy dependiente de decisiones en poltica energtica.


TABLA 4.1: Comparacin del coste de produccin de energa elctrica con distintas tecnologas (D: con desulfuracin, S: sin desulfuracin, TG: turbina de gas, CC: ciclo combinado,

IGCC: gasificacin integrada con ciclo combinado).

Hidrulica Nuclear Carbn D Carbn S TG CC IGCC

INVERSIN

J/Pn (ptas/kW)

275000

275000

175000

135000

60000

100000

200000

COMBUSTIBLE

Tipo

cF (ptas/kWh)

Rendimiento ()

Coste cF/

Agua

0,80

0

Uranio

0,75

0,30

2,50

Carbn

1,5

0,37

4,05

Carbn

1,5

0,40

3,75

Gas N

2,5

0,30

8,35

Gas N

2,5

0,48

5,20

Carbn

1,5

0,385

3,90

AMORTIZACIN

m (aos de construccin)

4

7

4

3

1,5

2,5

3,5

n (aos de operacin) 30 25 25 25 25 25 25

ic (inters construccin) 0,10 (1/ao)

io (inters operacin) 0,12 (1/ao)

c = (1 + ic)m/2 1,21 1,40 1,21 1,15 1,08 1,13 1,18

o = (1 + io)n 30 17 17 17 17 17 17

= c io o/(o 1) 0,15 0,18 0,15 0,15 0,14 0,14 0,15

kZn (ptas/kWh) 4,70 5,65 3,00 2,30 0,95 1,60 3,40

fu 0,685 (6000 h/ao)

Coste kZn/fu 6,85 8,25 4,40 3,35 1,40 2,35 4,95

COSTE PRODUCTO

cP (ptas/kWh)

6,85

10,75

8,45

7,10

9,75

7,55

8,85


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.05.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

12.0

13.0

14.0

15.0

f

ce [pts/kWh]

nuclear

carbon (d)

turbina de gas

ciclo combinado

IGCC

c (carbon) = 1.5 pts/kWh c (gas natural) = 2.5 pts/kWh

FIGURA 4.1: Coste de produccin de la energa elctrica para distintas tecnologas en funcin

del factor de utilizacin de la capacidad instalada.

FIGURA 4.2: Curva montona de la demanda de energa elctrica.


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.05.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

12.0

13.0

14.0

15.0

f

ce [pts/kWh]

ciclo combinado (3.0)



carbon (d)

c (carbon) = 1.5 pts/kWh c (gas natural) = 2.5-3.5 pts/kwh

FIGURA 4.3: Coste de produccin de la energa elctrica para distintas tecnologas en funcin

del factor de utilizacin de la capacidad instalada.

Operacin

Supngase que se dispone de un conjunto n de equipos o plantas capaces de contribuir al suministro de un mismo producto para el que existe la demanda PT. Un problema importante de operacin consistir en repartir la carga entre ellos del modo ms econmico. Para realizar este reparto debern conocerse a priori sus posibilidades tcnicas de operacin:

Pimin Pi Pi

max y Fi = Fi (Pi)

as como el coste de los recursos energticos consumidos cFi.

El problema matemtico de optimizacin puede plantearse como:

MINIMIZAR CTOT = Ci = cFi Fi Pi( )i=1

n

i=1

n

SUJETO a PT Pi = 0i=1

n


F1

Fn

P1

Pn

PiPT

1

n

Fi

Definiendo la funcin lagrangiana correspondiente

L P1,,Pn,( )= cFi Fi Pi( )+ PT Pi

i=1

n

i=1

n

las condiciones de optimidad resultan

LPi

= cFidFidPi

= 0 = cFidFidPi

i =1,, n

L

= PT Pi = 0 PT = Pii=1

n

i=1

n

La primera condicin nos dice que el coste marginal (coste de produccin de la ltima unidad de producto) es igual para todos los productores en competencia e igual por tanto al del sis-tema

= C1 P1

= = Cn Pn

= CTOT

PT

Esta condicin de optimidad resulta lgica. Si no se cumpliera podramos dejar de producir una unidad de producto con el grupo con mayor coste marginal para producirla con cualquier otro grupo consiguiendo una disminucin del coste total.

No deben olvidarse sin embargo dos condiciones implcitas que si no se cumplen invalidan dicho resultado. Estas son: i) los nicos costes variables con la cantidad de producto son los de combustible, ii) en la solucin ptima obtenida todos los productores entran en servicio con una produccin factible, es decir cumpliendo: Pi

min < Pi < Pimax. En caso de que estas

condiciones no resulten satisfechas la obtencin de criterios para el reparto ptimo de cargas a los productores resulta ms difcil debiendo consultarse la bibliografa especializada2223.


EJEMPLO 5: Reparto ptimo de carga22

El consumo de combustible F (GJ/h) de cada una de las tres centrales termoelctricas de una empresa puede expresarse en funcin de la potencia elctrica que producen P (MW) mediante un polinomio de grado dos:

F = a + b P + c P2

En la siguiente tabla se dan los coeficientes de ajuste as como la potencia mnima y mxima a la que puede operar cada central

Central Coeficientes Fi (Pi) Lmites Pi (MW)

i ai bi ci Min. Max.

1 2 3

538 327 82

7,60 8,28 8,40

0,00150 0,00205 0,00508

150 100 50

600 400 200

Determinar el reparto ptimo de carga para una potencia total PT = 850 MW y los siguientes precios de los combustibles consumidos por cada central:

a) cF1 = cF2 = cF3 = 400 ptas/GJ

b) cF1 = 440 ptas/GJ cF2 = cF3 = 400 ptas/GJ

c) cF1 = 360 ptas/GJ cF2 = cF3 = 400 ptas/GJ

Supngase ahora que las prdidas por transporte de energa elctrica Pp (MW) entre las cen-trales productoras y los centros de consumo son:

P p = 0,00003 P12 + 0,00009 P 2

2 + 0,00012 P32

d) resulvase el problema con los precios del caso a).

SOLUCIN:

a) El coste marginal para los tres productores es

=C1P1

= cF1dF1dP1

= 400 7,60 + 2 0,00150 P1( ) (ptas/MWh)

=C2P2

= cF2dF2dP2

= 400 8,28 + 2 0,00205 P2( ) (ptas/MWh)

=C3P3

= cF3dF3dP3

= 400 8,40 + 2 0,00508 P3( ) (ptas/MWh)


El sistema de ecuaciones (lineales en este problema) a resolver es

= 3040 +1,200P1

= 3312 +1,640P3

= 3360 + 4,064P3850 = P1 + P2 + P3

= 3688 3,688 ptas/kWh( )P1 = 540 MW

P2 = 229 MW

P3 = 81 MW

En la siguiente tabla se muestran otros resultados para el reparto ptimo de carga

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 TOTAL

Fuel (GJ/h)

Producto (MW)

Rendimiento

Coste (103 ptas/h)

Coste medio (ptas/kWh)

Coste marginal (ptas/kWh)

5080

540

0,383

2032

3,76

3,69

2333

229

0,354

933

4,07

3,69

793

81

0,366

317

3,93

3,69

8206

850

0,373

3282

3,86

3,69

b) Al aumentar el precio del combustible consumido por el grupo 1 se reduce la carga adjudicada al mismo en el ptimo

= 3344 +1,320P1 = 3312 +1,640P2

= 3360 + 4,064P3850 = P1 + P2 + P3

= 3861 3,861 ptas/kWh( )P1 = 392 MW

P2 = 335 MW

P3 = 123 MW

c) Al disminuir el precio del combustible consumido por el grupo 1 aumenta la carga adju-dicada al mismo

= 2736 +1,080P1

= 3312 +1,640P3

= 3360 + 4,064P3850 = P1 + P2 + P3

= 3496 3,496 ptas/kWh( )P1 = 704 > 600 MW

P2 =113 MW

P3 = 34 < 50 MW

La solucin obtenida no es vlida pues no cumple las restricciones de limitacin de carga para los grupos 1 y 3. Limitando la produccin del grupo 1 a su carga mxima P1 = 600 MW se obtiene la solucin correcta


= 3312 +1,640P1

= 3360 + 4,064P3250 = P2 + P3

= 3618 3,618 ptas/kWh( )P2 =186 MW

P3 = 64 MW

d) Al introducir las prdidas de transporte Pp el problema debe reformularse como

MINIMIZAR CT = cFi Fi Pi( )i=1

3

SUJETO a ( ) =

=+3

1ii321pT 0P P,P,P PP

resultando

( ) ( ) ( )

++=

==

3

1ii321pTi

3

1iiF321 P P,P,P PP PF c ,P,P,P iL

Las condiciones de optimidad resultan

LPi

= cFidFidPi

1PpPi

= 0 = cFi

dFidPi

+ PpPi

i = 1,2,3

LPi

= PT + Pp P1,P2,P3( ) Pi = 0 PT = Pi Pp P1,P2,P3( )i=1

n

i=1

3

y el sistema de ecuaciones (no lineales) a resolver

= 3040 + 1,200 P1 + 0,00006 P1

= 3312 + 1,640 P2 + 0,00018 P2

= 3360 + 4,064 P3 + 0,00024 P3

850 = P1 + P2 + P3 0,00003 P12 0,00009 P2

2 0,00012 P32

La solucin final es

= 3826 (3,826 ptas/kWh)

P1 = 550 MW

P2 = 221 MW

P3 = 94 MW


Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 TOTAL

Fuel (GJ/h) Producto (MW) Rendimiento Coste (103 ptas/h) Coste medio (ptas/kWh) Coste marginal (ptas/kWh)

5172 550 0,383 2069 3,76 3,70

2256 221 0,352 902 4,09 3,67

913 94 0,369 365 3,90 3,74

8341 850 0,367 3336 3,92 3,83

RESUMEN:

=C1P1

= =CnPn

=CTOT

PT

=C1 P1

1 PpP1

= =Cn Pn

1 PpPn

=CTOT

PT

EJEMPLO 6: Los beneficios de la colaboracin22

Supngase que la empresa del ejemplo anterior (denominada ahora empresa A) puede inter-cambiar energa elctrica con otra empresa B a travs de la red a coste nulo. En un instante dado los consumidores de la empresa A demandan 700 MW y los de la empresa B demandan 1100 MW. Los datos correspondientes a las centrales de ambas empresas se especifican a continuacin

Empresa Central Precio combustible Coeficientes Fi (Pi) Lmites Pi (MW)

i cFi (ptas/GJ) ai bi ci Min Max

A 1 2 3

440 400 400

538 327 82

7,60 8,28 8,40

0,00150 0,00205 0,00508

150 100 50

600 400 200

B 4 5 6

380 380 380

528 311 311

7,45 7,87 7,87

0,00147 0,00194 0,00194

140 110 110

590 440 440

a) Cul ser el reparto ptimo de carga a los grupos si las empresas A y B atienden la demanda de sus respectivos consumidores sin intercambiar energa entre ellas.


b) Qu beneficio econmico total pueden obtener entre las dos empresas intercambiando energa elctrica.

c) Cmo crees que deben repartirse las empresas dicho beneficio?

SOLUCIN:

a) Aplicando los mismos procedimientos que en el ejemplo anterior puede comprobarse que el reparto ptimo de carga a realizar por las empresas A y B cuando abastecen inde-pendientemente sus mercados es

EMPRESA A Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 TOTAL

Fuel (GJ/h)

Producto (MW)

Rendimiento

Coste (103 ptas/h)



3135

322

0,369

1380

4,29

3,77

2789

278

0,359

1116

4,01

3,77

977

100

0,370

391

3,89

3,77

6901

700

0,365

2887

4,12

3,77

EMPRESA B Grupo 4 Grupo 5 Grupo 6 TOTAL

Fuel (GJ/h)

Producto (MW)

Rendimiento

Coste (103 ptas/h)



4830

524

0,390

1835

3,51

3,42

2741

288

0,379

1042

3,61

3,42

2741

288

0,379

1042

3,61

3,42

10312

1100

0,384

3919

3,56

3,42

Vemos como la empresa B es capaz de satisfacer su demanda con mayor eficiencia ter-

modinmica y econmica que la empresa A. Su coste marginal en el ptimo nos indica que podra producir energa elctrica adicional a 3,42 ptas/kWh disponiendo adems de una capacidad excedente de 370 MW. Para el primer kWh producido por A y vendido a B se tendra un ahorro para el sistema de 3,77 3,42 = 0,35 ptas/kWh.


b) Si las empresas A y B operaran coaligadas para satisfacer conjuntamente la demanda de sus mercados la solucin ptima resultara.

EMPRESA A Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 TOTAL


1974 183 0,333 869 4,76 3,58

1761 166 0,340 704 4,23 3,58

562 55 0,354 225 4,07 3,58

4297 404 0,338 1798 4,45 3,58

EMPRESA B Grupo 4 Grupo 5 Grupo 6 TOTAL


5435 590 0,391 2065 3,50

3797 403 0,382 1443 3,58 3,58

3798 403 0,382 1443 3,58 3,58

13030 1396 0,386 4951 3,55 3,58

El coste total para la produccin conjunta

CTOT (A + B) = 1798 + 4951 = 6749 103 ptas/h

frente al coste de la produccin independiente (apartado a)

CTOT (A) + CTOT (B) = 2887 + 3919 = 6806 103 ptas/h

implica un ahorro igual a

CTOT (A) + CTOT (B) CTOT (A + B) = 57 103 ptas/h

con un intercambio de energa elctrica producida por B y vendida por A de:

PB=>A = 1396 1100 = 700 404 = 296 MW

c) Resulta claro que ninguna de las empresas aceptar colaborar con la otra si esto le supone un perjuicio econmico. Los dos casos lmite en que una de las empresas no gana nada con la colaboracin quedandose la otra todo el beneficio son:


Todos los beneficios para la empresa B

En este caso la empresa A paga a la empresa B la diferencia de costes de generacin entre la situacin inicial en que ella produce su demanda y la final en que compra 296 MW a la empresa B para satisfacerla

PAGO de A a B = 2887 1798 = 1089 103 ptas/h

lo que supone un precio de intercambio

cB=>A = 1089/296 = 3,68 ptas/kWh

y unas ganancias para la empresa B

GANANCIAS de B = 4951 1089 3919 = 57 103 ptas/h

Todos los beneficios para la empresa A

En este caso la empresa B acepta vender la energa elctrica intercambiada con A sin beneficios. El coste de producir dicha energa deber ser compensado con

PAGO de A a B = 4951 3919 = 1032 103 ptas/h

lo que supone un precio de intercambio

cB=>A = 1032/296 = 3,49 ptas/kWh

y unas ganancias para la empresa A

GANANCIAS de A = 2887 1798 1032 = 57 103 ptas/h

Beneficios iguales para ambas empresas

Un acuerdo lgico es que las empresas A y B se repartan los beneficios. En este caso las ganancias de ambas empresas sern

GANANCIAS de A = GANANCIAS de B = 57/2 = 28,5 103 ptas/h

Esto implica que A paga a B

PAGO de A a B = 2887 28,5 1798 = 1060,5 103 ptas/h

por la electricidad intercambiada a un precio

cB=>A = 1060,5/296 = 3,58 ptas/kWh


Bibliografa

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CAPTULO 2: Anlisis termoeconmico de sistemas

2.1. El proceso de formacin del coste

En este apartado analizamos como se forman los costes en un proceso productivo alcanzando importantes conclusiones que luego podrn aplicarse al diagnstico, contabilidad y control de los costes de produccin en los sistemas energticos.

Equipo individual

Los conceptos bsicos a manejar se resumen en la figura siguiente en la que se muestra un equipo genrico i con solo un recurso energtico consumido Fi y un solo producto Pi.

El consumo exergtico unitario del equipo kF,i se define como la inversa del rendimiento exergtico i y expresa el nmero de unidades de exerga del fuel Fi que han sido consumidas para producir una unidad del producto Pi. El coste exergtico unitario o medio de un flujo kj* se define como el nmero de unidades de exerga de recursos externos consumidos por la


planta para producir una unidad de exerga del flujo j. Si el equipo genrico i est inmerso en una planta podemos afirmar que

kP, i* = kF,i

* kF,i

Definimos como coste econmico unitario de un flujo cj al nmero de unidades monetarias que hemos gastado en los recursos consumidos (energticos y de otro tipo) para producir la unidad de exerga del flujo j. Si valoramos tanto los costes de energa como de capital resulta:

cP,i = cF,i kF, i + kZ, i

siendo kZ,i = Zi/Pi los costes de operacin no energticos (amortizacin y mantenimiento del capital invertido en el equipo) por unidad de exerga en el producto.

Teniendo en cuenta que kF,i 1 = Ii/Pi se obtiene:

kP,i* kF, i* = kF,i*I iPi

cP,i cF,i = cF, iIiPi

+ k Z,i

Estas ecuaciones ponen de manifiesto que el coste unitario del producto es siempre mayor o igual que el del fuel. La diferencia entre ambos se explica como una funcin de los factores irreversibilidad (Ii) y amortizacin (Zi) por unidad de producto.

Proceso secuencial

Consideraremos ahora un sistema que podemos calificar de secuencial pues el producto de un equipo se utiliza como fuel en el siguiente tal como refleja la figura

F1 P1

(Z1)

kF 1,* k

P 1,*

(kz,1)kF,1

Proceso secuencial

cP,1cF,1

Fi Pi

(Zi)

kF,i* k

P i,*

(kz,i)kF,i

cP,icF,i

Fn Pn

(Zn)

kF,n* k

P,n*

(kz,n)kF,n

cP,ncF,n

. . . . . . . . .. . .FT

cF,T

PT

kP T,*

cP,T

kF,T* = 1

Para cada uno de los equipos se cumplir lo dicho antes para el equipo genrico. En una valo-racin convencional a los recursos energticos consumidos por la planta se les asignar un coste exergtico unitario igual a la unidad. De este modo los costes exergticos calculados

Captulo 2: Anlisis termoeconmico de sistemas 45

para los flujos se referirn al consumo de exerga del sistema que ha sido necesario para pro-ducir la unidad de exerga del flujo en cuestin.

Considerando el proceso completo de produccin del producto del equipo i pueden estable-cerse las siguientes expresiones para su coste exergtico unitario

kP,i* FTPi

=

Pi + Irr=1

i

Pi

= 1+IrPir =1

i

kP, i

* kF,i* kF,i = kP, i1

* kF,i = kF, i1* kF, i1kF,i = = kF, r

r=1

i

Ambas explican el proceso de formacin de dicho coste. La primera como la suma de su exer-ga y la irreversibilidad en todos los equipos involucrados en su produccin. La segunda como el producto de los consumos unitarios de la cadena productiva. Lgicamente, como Ir > 0 y kF,r > 1, el coste exergtico unitario aumenta al avanzar el proceso alcanzando su valor mxi-mo para el producto final.

Para el coste econmico unitario obtenemos las expresiones siguientes:

cP,i

cF,T FT + Zrr =1

i

Pi

= cF,T 1 +I rPir=1

i

+ZrPir =1

i

cP,i = cF,T kF, r + k Z,r k F,ss= r+1

i

r=1

i1

r=1

i

+ kZ ,i

La interpretacin del proceso de formacin del coste econmico unitario es similar a la del coste exergtico unitario incluyendo ahora en el anlisis los costes de amortizacin. Como Zr > 0 y kZ,r > 0 podemos afirmar que el incremento relativo de los costes econmicos unita-rios al avanzar el proceso productivo es mayor que el de los costes exergticos unitarios.

EJEMPLO 1: Anlisis de sistemas alternativos de calefaccin

Un ingeniero propone tres sistemas diferentes para suministrar agua caliente y calefaccin a un chalet.

(1) Radiadores de resistencia elctrica y calentadores elctricos Coste de capital: 10000 ptas/kW Rendimiento: 100%


(2) Calentador de gas Coste de capital: 25000 ptas/kW Rendimiento: 80%

(3) Bomba de calor Coste de capital: 40000 ptas/kW Coeficiente de operacin: 250%

Los costes de capital se expresan por kW de calor en forma de agua caliente o calefaccin ambiental cuando la instalacin opera a carga nominal

a) Suponiendo que el rendimiento de generacin de energa elctrica es del 30%, cul de los sistemas es ms eficiente desde el punto de vista del consumo de energa primaria.

b) Si los costes de amortizacin y mantenimiento de la instalacin son del 25% del coste de capital, los precios de la electricidad y el gas natural son 15 ptas/kWh y 6 ptas/kWh, respectivamente, y el nmero de horas equivalentes de operacin a carga nominal por ao es de 2500, determinar el coste econmico unitario del calor suministrado por los tres sistemas en ptas/kWh.

SOLUCIN

a) El sistema ms eficiente ser aqul que consuma una menor cantidad de energa prima-ria para producir la energa trmica demandada. Los procesos de produccin pueden representarse como sigue:

(1) Radiadores de resistencia elctrica y calentadores elctricos

Combustible fsilCentralelctrica

= 30%

Resistenciaelctrica

= 100%

Calor. . .Ep Ec

= 100%

Ee Eq

Coste energtico unitario del calor = 3,3310,311

EE

EE

EE

EE

q

e

e

c

c

p

q

p ===


(2) Calentador a gas

Combustible fsilCalentador

a gas

= 80%

CalorEp

= 100%

Eg Eq. . .

Coste energtico unitario del calor = E pE q

=E pEg

EgEq

= 11

0,8=1,25

(3) Bomba de calor

Combustible fsilCentralelctrica

= 30%

Bombade calor

COP = 250%

CalorEp Ec

= 100%

Ee Eq. . .

Coste energtico unitario del calor =E pE q

=E pEc

EcEe

EeE q

= 11

0,31

2,5= 1,33

Vemos pues que el sistema ms eficiente es el de calefaccin a gas, seguido de cerca por la bomba de calor. Ambos son mucho ms eficientes que la calefaccin elctrica directa. Un anlisis ms detallado tomara en consideracin el rendimiento de los procesos de extraccin, tratamiento y transporte de los combustibles as como el de transporte de energa elctrica. De esta forma los costes energticos calculados se incrementaran de un 5 a un 15%, mantenindose vlidas las conclusiones obtenidas.

b) El sistema ms econmico ser aqul que produzca la energa trmica demandada a un coste menor expresado en unidades monetarias. Como la instalacin no est construida debemos imputar como coste la inversin a realizar, es decir su coste de amortizacin. Los costes de amortizacin y mantenimiento por unidad de producto son:

kz( )1 = 0,25

1a n o

10000 ptas kW2500 h a n o

= 1ptaskWh

kz( )2 = 0,25

1a n o


= 2,5ptaskWh


kz( )3 = 0, 25

1a n o


= 4ptaskWh

Los costes econmicos de la energa por unidad de producto son:

ce ( )1 =

15 ptas/kWh (e)1 kWh/kWh (e)

=15 ptas/kWh

cg ( )2 =

6 ptas/kWh (g)0,8 kWh/kWh (g)

= 7,5 ptas/kWh

ce ( )3 =

15 ptas/kWh (e)2,5 kWh/kWh (e)

= 6 ptas/kWh

El coste total del kWh de calor producido para las tres alternativas

cPcF F Z+

P--------------------

cF----- kZ+= =cF

F P

Z

kZ = Z/P

= P/F

se obtendr sumando ambos costes, resultando:

(1) Resistencia elctrica: cq = 1 + 15 = 16 ptas/kWh

(2) Calentador a gas: cq = 2,5 + 7,5 = 10 ptas/kWh

(3) Bomba de calor: cq = 4 + 6 = 10 ptas/kWh

Las dos ltimas alternativas son de igual inters econmico por lo que para decidirnos por alguna de ellas deberamos considerar otros factores no tenidos en cuenta en este ejercicio.

Comprubese que los resultados que se obtienen respecto a la alternativa ms adecuada dependen mucho del nmero de horas equivalentes de operacin a carga nominal por ao, es decir, del clima local en que se localiza el chalet. Por debajo de 500 h el sistema de calefaccin elctrica es el ms econmico, entre 500 y 2500 h lo es el calentador a gas y a partir de 2500 h la bomba de calor. Concluimos, por tanto, que una tasa de utilizacin elevada de la capacidad instalada favorece a aquellas alternativas que consi-guen altos rendimientos a costa de una mayor inversin.


2.2. Principio de no equivalencia de las irreversibilidades locales

El anlisis del sistema secuencial realizado antes nos permite adelantar con razonamientos simples un principio de aplicacin general a todo tipo de sistemas denominado principio de no equivalencia de las irreversibilidades locales.

Supngase una planta en operacin desarrollando un proceso secuencial a la que se impone producir una cantidad fija de producto PT. El balance de exerga aplicado a la misma nos dice que el fuel FT consumido, dado por

FT = PT + I i

i=1

n

depende de las irreversibilidades en cada uno de los equipos.

Esta expresin muy utilizada para representar los resultados del anlisis exergtico puede inducir a valorar por igual las distintas irreversibilidades. En efecto:

FT = Ii (a PT cte y Iji cte)

Esta valoracin resulta errnea, en general, pues presupone que las irreversibilidades de los equipos individuales son independientes entre s. En realidad esta hiptesis no es razonable como se demostrar a continuacin.

Supngase que en una planta en operacin se produce una malfuncin del equipo i la cual conlleva una disminucin de su rendimiento y por tanto un incremento de su consumo exerg-tico unitario dkF,i > 0. El resto de los equipos siguen funcionando segn diseo mante-nindose constante su rendimiento (y consumo exergtico unitario). En estas condiciones es fcil comprender que aguas abajo del equipo i no varan los flujos de exerga pues no lo hacen la cantidad de producto total ni los consumos unitarios de los equipos situados tras el equipo en cuestin. Por tanto se cumplir que Pi se mantiene constante. Del mismo modo al no cambiar los consumos unitarios de los equipos situados aguas arriba del equipo i no lo harn tampoco los costes exergticos unitarios incluido el del fuel consumido por dicho equipo. Concluimos por tanto que

Fi = Pi + Ii dFi = dIi (a Pi cte)

FT = kF,i* Fi dFT = kF,i* dFi (a kF,i* cte) y obtenemos la relacin buscada

dFT = kF,i* dIi (a PT cte y kF,ji cte)


que nos indica que el coste exergtico marginal de la irreversibilidad producida en el equipo i a causa de su malfuncin (dkF,i > 0) es igual al coste exergtico unitario del fuel consumido por dicho equipo. Como adems

Fi = kF,i Pi dFi = Pi dkF,i (a Pi cte)

tambin podemos escribir la siguiente expresin

dFT = kF,i* Pi dkF,i (a PT cte y kF,ji cte) Sacamos pues dos conclusiones: 1) un incremento de irreversibilidad resulta tanto ms nocivo, es decir conlleva un mayor incremento de consumo de fuel por el sistema, cuanto ms avanzada sea la posicin del equipo en que se produce dentro del proceso productivo (mayor sea kF,i* ) y 2) un incremento del consumo unitario de un equipo (una disminucin de su rendi-miento) es tanto ms perniciosa cuanto mayor sea su producto y el coste exergtico unitario del fuel que consume.

Otra conclusin digna de destacarse proviene de analizar el hecho de que al modificarse el rendimiento del equipo i se producir una variacin local de la irreversibilidad (disfuncin) en el conjunto de los equipos que le preceden en la cadena de produccin por un valor de

dFT dIi = dIT dIi = (kF, i

* 1) dIi (a PT cte y kF,ji cte)

Ntese que aunque este incremento de irreversibilidad ser contabilizado en dichos equipos, su causa es la malfuncin del equipo i y por tanto su coste debe achacarse a l.

Estas conclusiones son de particular inters para el diagnstico de la operacin de instalacio-nes reales mediante pruebas de rendimiento.

En un problema de diseo de la planta debemos preguntarnos como priorizar las oportunida-des de invertir capital en los distintos equipos para aminorar la irreversibilidad producida en ellos y como consecuencia reducir el consumo de fuel de la planta. Un anlisis paralelo al anterior nos indica que

dCTdcF,TFT+ Zjnj=1 =PicF,idkF,i+dkZ,i (a PT cte, kF,ji cte y kZ,ji cte) La conclusin es que aquellas inversiones que satisfagan la condicin

cF,i dkF,i d kZ,i cF,i dIi dZi

resultarn rentables, pues el ahorro econmico debido al fuel dejado de consumir compensa o supera a los costes de amortizacin.


Escribiendo las relaciones anteriores en la forma

d kF,id kz,i

cF,i

d IidZi

cF,i

vemos que, a igualdad de las funciones kF (kZ) o I(Z) para dos equipos, deberemos invertir ms para conseguir un mayor rendimiento en el equipo situado en posicin ms avanzada en el proceso de produccin, pues es el que consume un recursos energtico (fuel) de mayor valor econmico.

Aunque las conclusiones alcanzadas en este apartado se han obtenido del anlisis de un pro-ceso secuencial, que rara vez se da en la prctica, podemos afirmar su validez universal en el dominio conceptual: podr ocurrir que las expresiones matemticas obtenidas no sean direc-tamente aplicables en procesos ms complejos o que cuando lo sean slo den resultados aproximados, pero la regla deducida que aconseja extremar el control de las irreversibilidades en los equipos ms avanzados en el proceso productivo y con mayor cantidad de producto seguir siendo vlida.

2.3. Clculo de costes

En la mayor parte de las plantas reales existen equipos que consumen ms de un recurso ener-gtico y existen recirculaciones de flujos. Debemos ampliar por tanto nuestra capacidad de anlisis a procesos ms complejos que el tratado en el apartado anterior. ste es el objetivo de este apartado. Como veremos seguirn siendo de aplicacin general los conceptos de con-sumo exergtico unitario, coste exergtico unitario y coste econmico unitario manejados antes. El clculo de los dos ltimos para los flujos y productos de las plantas reales puede parecer a primera vista ms complicado pero veremos que el uso del lgebra de matrices facilita la resolucin directa del mismo incluso en plantas muy complejas.

Clculo directo de costes

Comenzaremos estudiando el caso de la central trmica mostrada en la figura siguiente en su nivel de mxima agregacin

Central trmica

= 0,35

Pn = 350 MW

Potencia neta

Fc = 1000 MW

cc = 0,4 ptas/MJ

Combustible

Z = 100 ptas/s

FIGURA 3.1: Central trmica.


Podemos calcular directamente los costes del producto (potencia neta):

Coste exergtico : Pn*= Fc = 1000 MW Coste exergtico unitario : kn* =Pn*/Pn= 2,857 Coste econmico de combustible : Cn* = cc Fc = 400 ptas/s Coste econmico unitario de combustible : cn* =Cn* /Pn = 1,143 ptas/MJ Coste econmico : Cn = cc Fc + Z = 500 ptas/s

Coste econmico unitario : cn = Cn/Pn = 1,429 ptas/MJ

Los flujos de exerga para la planta desagregada en tres componentes junto con los costes de amortizacin por separado de stos se muestran a continuacin:

FIGURA 3.2: Central trmica desagregada en tres componentes.

El proceso de produccin de energa elctrica no es secuencial pues parte de la energa elc-trica producida se consume en los equipos auxiliares de caldera (molinos de carbn, precipita-dores electrostticos, ventiladores de aire y gases,) y de ciclo (bombas de alimentacin a caldera y bombas de circulacin de agua en el circuito de refrigeracin,). Adems debemos tener en cuenta que los componentes caldera y ciclo consumen dos recursos energticos de procedencia independiente por lo que para describir su comportamiento necesitaremos de dos consumos exergticos unitarios distintos, uno para cada recurso. Partiendo de los datos de la figura anterior se han calculado los consumos unitarios mostrados a continuacin:


FIGURA 3.3: Consumos unitarios.

Nuestro objetivo ahora es calcular los costes unitarios de todos los flujos del sistema anali-zado. Tenemos un total de siete flujos (Fc, Pb, Pm, Pe, Pn, Pa1 y Pa2). Deberemos conocer los costes de los flujos de entrada: en nuestro caso el coste del combustible consumido que es cc = 0,4 ptas/MJ. Por otro lado los balances conservativos de costes en cada equipo (caldera, ciclo y alternador) nos proporcionan tres ecuaciones independientes a partir de las cuales podemos calcular el coste unitario de sus productos:

Exerga del vapor : cb = cc kc + ca1 ka1 + kz1

Potencia mecnica : cm = cb kb + ca2 ka2 + kz2

Potencia elctrica : ce = cm km + kz3

Atribuyendo idntico coste unitario a los flujos de energa elctrica, pues todos ellos proceden del flujo de energa elctrica bruta producido en el alternador y tienen idntico proceso de formacin, podemos escribir ca1 = ce, ca2 = ce y cn = ce. Las ecuaciones correspondientes a los balances de costes resultarn suficientes por tanto para calcular los costes unitarios independientes desconocidos (cb, cm y ce):

Exerga del vapor : cb = cc kc + ce ka1 + kz1

Potencia mecnica : cm = cb kb + ce ka2 + kz2

Potencia elctrica : ce = cm km + kz3

Puede comprobarse que la aplicacin de estos razonamientos a cualquier proceso por com-plejo que sea pero siempre que cada componente tenga solo un producto, conducir a deter-minar los costes de todos los flujos. Adems las ecuaciones obtenidas nos sirven para deter-minar todos los costes unitarios haciendo las valoraciones apropiadas. En efecto:


a) Costes econmicos unitarios: Valoramos los recursos energticos consumidos por su precio (cc = 0,4 ptas/MJ) y cargamos los costes econmicos de amortizacin y mantenimiento del capital invertido (kz1 = 0,100 ptas/MJ, kz2 = 0,105 ptas/MJ y kz3 = 0,027 ptas/MJ). Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos

Exerga del vapor : cb = 0,929 ptas/MJ Potencia mecnica : cm = 1,365 ptas/MJ Potencia elctrica : ce = 1,429 ptas/MJ

b) Costes econmicos unitarios de combustible: Cargamos nicamente como costes de produccin los recursos energticos consumidos valorados por su precio (cc = 0,4 ptas/MJ). En este caso tomamos kz1 = kz2 = kz3 = 0 y resolviendo el sistema de ecuaciones resulta

Exerga del vapor : cb* = 0,823 ptas/MJ

Potencia mecnica : cm*

= 1,113 ptas/MJ

Potencia elctrica : ce* = 1,143 ptas/MJ

c) Costes exergticos unitarios: Los costes exergticos unitarios de los recursos energ-ticos consumidos se igualan a la unidad (cc = 1 MJ/MJ) y no se considera el coste de amortizacin de los equipos (kz1 = kz2 = kz3 = 0). Resolviendo el sistema de ecuaciones calculamos

Exerga del vapor : kb*

= 2,057 MJc/MJb

Potencia mecnica : km*

= 2,782 MJc/MJm

Potencia elctrica : ke* = 2,857 MJc/MJe

Los costes unitarios calculados en a) son tiles para comparar alternativas de inversin y en la optimizacin econmica del diseo, los calculados en b) se emplean para el diagnstico eco-nmico y control ptimo de la operacin del sistema, y los calculados en c) se usan para el diagnstico energtico, la deteccin de malfunciones en la operacin de los equipos y la com-paracin termodinmica de distintos sistemas.

Existen otras posibilidades de valoracin. Una particularmente interesante es la que trata de obtener el consumo de energa primaria que ha sido necesario para obtener los distintos flujos y productos:

d) Costes exergticos acumulados: Supngase que la central termoelctrica analizada consume carbn. El carbn consumido es a su vez el producto de otros procesos: extrac-cin de la mina, tratamiento, transporte, almacenamiento, etc. En estos procesos se ha realizado un consumo de energa de modo que la energa primaria (carbn en la mina) puesta en juego para que en la central se consuma 1 MJ de carbn ser mayor que 1 MJ. Supongamos que es kca = 1,1 MJp/MJc. Por otro lado, para producir los equipos que componen la central tambin habr sido necesario consumir directa o indirectamente energa primaria. Estos consumos debern cargarse a la produccin de la central. Supon-


gamos que al dividirlos por la produccin total estimada a lo largo de su vida til obte-nemos: kz1a = 0,05, kz2a = 0,04 y kz3a = 0,01. Los costes exergticos unitarios acumulados pueden calcularse entonces a partir de las mismas ecuaciones (bastar sustituir cc por kca y kzi por kzia ), obtenindose

Exerga del vapor : kba

= 2,315 MJp/MJb

Potencia mecnica : kma

= 3,173 MJ

aplicaciones termoeconomicas del metodo exergetico

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