Aplicaciones del Concepto de Fuerzas Configuraciones en la Mecánica de

Fractura

Angel A. Ciarbonetti, Alfredo E. Huespe, Pablo J. Sánchez

Introducción• La mecánica de fractura brinda herramientas para evaluar los

fenómenos de fisuración.• Para evaluar los campos (tensión y deformación) alrededor de las

fisuras se utiliza en factor de intensidad de tensiones, o alternativamente utilizando aproximaciones energéticas la tasa de relajación de energía asociada a la Integral-J.

• Estos parámetros aunque con limitaciones, están bien establecidos y continúan teniendo gran importancia en las aplicaciones tecnológicas, por lo tanto es importante su correcta determinación.

Objetivos del trabajo

• Este trabajo se centra en el cálculo de la Integral-J en forma numérica utilizando para ellos dos métodos:

Determinación a través de una integral de contorno numérica. J.E.Ortiz, A.P. Cisilino, 2002 y TL.Anderson 2000.

Determinación por medio de las Fuerzas Configuracionales. Gurtin M.E, P.Steinmann 2000, Mueller 2002.

El Tensor de Tensiones de EshelbyEscribimos la función de energía de deformación en forma explicita con la deformación como .

De la ecuación de balance de la cantidad de movimiento para un problema cuasi estático se tiene (ecuación de Cauchy). b = fuerza por unidad de volumen.Reemplazando y reagrupando términos

1-

Cant. De mov. Generalizada

𝛻 .𝚺+𝐠=0

Llamando 1 (Tensor de Eshelby) (Unidades ([𝛴]=N/m2))

Se define como fuerzas configuraciones

T. Eshelby

Flujo de energía en la punta de una fisura (Integral-J)

Analizamos el flujo de energía hacia la punta de una fisura que propaga en un medio sólido B (elástico iso-entrópico) con una velocidad v, como se observa en la figura de la Izquierda.• Definimos el dominio Ω delimitado por C, C+,C-,Γ.• El dominio Ωi, delimitado por Γ se mueve con la

punta de la fisura sin cambio de forma.

Consideramos un observador en la punta de la fisura y evaluamos el balance de energía en Ω. Nos interesa determinar el flujo de energía a través de Γ, concepto asociado con la Integral-J y el Tensor Aplicando el teorema de Fuerzas vivas (Oliver, 2000).

Integral-J

Pot. Mecánica externa

• Considerando que la fisura está libre de tracciones ( en ).• Aplicando el teorema de Reynolds para el termino de la derecha

(evaluandolo con la velocidad relativa del material ω v).• Resulta•

Flujo de E. M del medio sobre Ω

Cambio de E.D de Ω

Flujo E.M de Ωi a Ω

Integral-J

• La velocidad en el contorno para el observador , se escribe:• ; • La velocidad de la punta de la fisura el segundo término de la

derecha de (en notación indicial) puede escribirse como:

• Definiendo la tasa de relajación de energía como:

∑

Integral-J

• Y aplicando el Teorema de Green y la ecuación de balance para las tensiones de Eshelby.

𝒢=𝑙𝑖𝑚𝛤→ 0

¿¿

Integral-J

Evaluación Numerica de la Integral-J

• Presentamos dos métodos para evaluar la Integral-J ambos relacionados.

Evaluación de las Fuerzas Configurcionales

El método de la integral de dominio

Evaluación Integral-J

Fuerzas configuracionales

Partimos de la ecuación e introducimos un método de residuos ponderados para evaluarla (A)Debilitando y aproximando el problema por elementos finitos obtenemos la forma discreta: Donde: es el desplazamiento virtual del nodo correspondiente a la punta de la fisura.Además del vector es la integral-J

Evaluación Integral-J

Integral de Dominio

• Para calcular ahora la integral dada por (A), definimos el dominio Ω y la función arbitraria .

• Escribimos entonces • Aplicando el Teorema de Green y asumiendo• integración independiente del camino nos queda:

• se determina como un post-proceso una vez conocidos en cada punto de Gauss.

Evaluación Integral-J

Ejemplos

Viga Simple con Fisura de Borde

• Discretización: malla de elementos finitos S2.• Material lineal Elástico.• En la punta de la fisura se colapsan los elementos finitos en triángulos y se

densifica notablemente.

Vista General de la malla

Malla en la punta de la fisura

Ejemplos

Método integral de dominio

• Este método se refleja en el dominio representado por la función arbitraria que representa al dominio Ωi

Fuerzas Configuraciones

• En este caso aparecen las fuerzas de modulo mas significativo en la punta de la fisura que son las que intervienen en el valor de la Integral-J .Este método brinda además un índice de calidad de la desratización gracias a las fuerzas de residuo que aparecen

Representación del dominio de integración a través de la función q

Fuerzas Configuracionales Desequilibradas

Ejemplos

• Analizamos entonces la convergencia de los dos métodos en función del coeficiente α = r/l.

α=0.60 α=0.40

α=0.30 α=0.25

El valor mas exacto se consigue para α =0.25con un error de 2.23% frente al valor analítico.Para valores menores de α, los valores obtenidos caen drasticamente.Para relaciones mayores el error aumenta.

Ejemplos

Probeta compacta Analizamos el caso de una probeta compacta. En este ejemplo se cotejan valores obtenidos para distintas mallas con un criterio

de diseño similiar al ejemplo anterior. Se utilizaran elementos finitos rectangulares S2 y Q1, para comparar

convergencias.

Cada malla se fue refinando en las proximidades de la punta de la fisura.

Se colapsan los elementos finitos rectangulares en triangulos.

1

2

3

• Convergencia. Ambos métodos tienen buena convergencia, el método de fuerzas configuracionales brinda mayor información a serca de la calidad de discretización.

• Los elementos finitos S2 tuvieron un mejor comportamiento respecto a los Q1.

E.F S2 (8 nodos) E.F Q1 (4 nodos)

Ejemplos

Conclusiones• Se han presentado dos metodologías numéricas para evaluar el

parámetro integral-J. Ambas están íntimamente relacionadas con el concepto del tensor de tensiones de Eshelby.

• Se ha presentado la validación de los resultados mediante dos ensayos estándar de la literatura para problemas 2D. Generalizar ambas metodologías a 3D resulta directo.

• El método basado en la determinación de las fuerzas configuraciones provee mayor información que el método basado en la integral de domino y a un costo computacional similar.

• Las configuracionales dan un indicio de la calidad de la malla de elementos finitos utilizada, mediante la magnitud de las fuerzas configuracionales desequilibradas que aparecen en los nodos internos.