aplicaciones de recursióntlacuatl.mx/docencia/tc/tc21.pdf · aplicaciones de recursión esta vez...

Aplicaciones de recursión

Esta vez nos interesa desarrollar diversas aplicaciones de los teoremas de recursión. Dec-imos teoremas porque ya contamos con varias versiones de ellos. Haremos una serie deafirmaciones, a veces implícitas, en otras ocasiones explícitas, sin demostración, que ellector debe formalizar. Es importante este punto, pues es una de las formas más impor-tantes para que el lector aduiera confianza y desarrolle los razonamientos necesarios paracontinuar en teoría de conjuntos.

Para comenzar, nos ocupamos de la cerradura transitiva de un conjunto.

Teorema 44.0.1. Para cualquier conjunto A, existe un conjunto transitivo A tal que A ⊆ A.

Demostración. Sea A un conjunto. Considere la siguiente definición por casos.

y =

A, si f = �⋃f (k ), si Fun(f ) ∧ ∃ k ∈ ω(dom(f ) = k + 1)

�, en otro caso.

(✡)

Sea ϕ(f , y) una fórmula que expresa (✡). Es claro que para cada f existe una única ytal que ϕ(x, y). Por el teorema de recursión en ω, sabemos que existe una funión F condominio ω tal que ϕ(F ↾ m,F (m)) para toda m ∈ ω. Así, para cada m ∈ ω, se cumple

F (m) =

{A, si m = 0⋃F (n), si ∃n ∈ ω(m = n + 1).

Sea A =⋃{F (n) : n ∈ ω}. Se infiere que F (0) = A. En consecuencia, A ⊆

⋃n∈ω F (n), por

lo que A ⊆ A.A�rmación 1. A es transitivo.

Demostración de la a�rmación 1. Sean y ∈ A y x ∈ y . Se sigue que y ∈ F (n) paraalguna n ∈ ω, lo que implica y ⊆

⋃F (n). Dado que F (n + 1) =

⋃F (n), deducimos que

x ∈ F (n + 1), dando lugar a x ∈ A. X (1) �

427

Universidad Autónoma Metropolitana IztapalapaProhibida su reproducción parcial o total con fines de lucro

428 CAPÍTULO 44. APLICACIONES DE RECURSIÓN

Observe que A del teorema (44.0.1) es el menor transitivo que contiene a A. En efecto,suponga que X es un conjunto transitivo y que A ⊆ X . Debemos cerciorarnos de que

A ⊆ X . Con este fin, procedemos a probar F (n) ⊆ X para cada n < ω, por inducciónen n. Si n = 0, F (0) = A ⊆ X . Suponga que F (n) ⊆ X y probemos para n + 1; usamosla definición F (n + 1) =

⋃F (n). Tomamos z ∈ F (n + 1), entonces existe u ∈ F (n) tal que

z ∈ u. Por hipótesis de inducción, u ∈ F (n) ⊆ X y como X es transitivo, z ∈ X .

También es fácil de verificar que, por la definición dada arriba, A tiene la forma

A = A ∪⋃

A ∪⋃⋃

A ∪⋃⋃⋃

A ∪ · · ·

Definición 44.0.2. Si A es un conjunto, CT (A) es el conjunto transitivo más pequeñorespecto a la contención que contiene a A.

Por lo recién visto, CT (A) = A.

44.1 La jerarquía de Zermelo

En seguida trataremos de una suerte de desmontaje del universo de los conjuntos (enpresencia de ZFE), conocida como la jerarquía de Zermelo. De hecho, ya hemos tenidoun contacto previo con ella, aunque sólo con sus primeros estratos, los estratos finitos.

Sea ϕ(f , y) la fórmula que asegura la siguiente definición por casos.

y =

�, si Fun(f ) ∧ f = �

Pot (f (γ)), si Fun(f ) ∧ ∃ γ(Or (γ) ∧ dom(f ) = γ + 1)⋃f [α], si Fun(f ) ∧ ∃α(Or (α) ∧ α es límite ∧ dom(f ) = α)

�, en otro caso.

Se sigue que para toda f existe un único y tal que ϕ(f , y). El teorema de recursión enOr implica que existe una función ordinal F que satisface ϕ(F ↾ α,F (α)) para toda α ∈ Or .Para cualquier ordinal α, hacemos Vα = F (α). Se sigue que tenemos el comportamientoahora descrito,

V0 = �

Vγ+1 = Pot (Vγ)

Vα =⋃

γ∈α

Vγ para todo ordinal límite α

Teorema 44.1.1. Los estratos de la jerarquía de Zermelo tienen las siguientes propiedades. Seaα un ordinal

(a) Vα es transitivo.

(b) Si β < α, Vβ ∈ Vα.

(c) Si β ≤ α, Vβ ⊆ Vα.

(d) Vα ∩Or = α. En particular α ∈ Vα+1.


44.1. LA JERARQUÍA DE ZERMELO 429

Demostración. (a) Por inducción en α. Si α = 0, V0 = � que es transitivo. Suponga queα = β + 1 y que Vβ es transitivo. Tomamos x ∈ y ∈ Vα. Por definición de Vα = Pot (Vβ ),lo que da lugar a y ∈ Pot (Vβ ), esto es, y ⊆ Vβ , por lo que x ∈ Vβ . Como Vβ es transitivopor hipótesis de inducción, x ⊆ Vβ , lo que es equivalente a x ∈ Vβ+1 = Vα. Finalmente,si α es límite, Vα es la unión de los estratos previos Vβ , β < α, cada uno de los cuales estransitivo, y como sabemos, la unión de conjuntos tansitivos es transitiva.

(b) Por inducción en α, se verifica que Vβ ∈ Vα para cada β < α. Para α = 0 no haynada que mostrar. Supóngalo cierto para α y probemos para α + 1. Tomamos β < α + 1.Si β < α, Vβ ∈ Vα, así que Vβ ⊆ Vα porque este último es transitivo. En consecuenia,Vβ ∈ Pot (Vα) = Vα+1. Si β = α, Vα ⊆ Vα, así que, Vα ∈ Pot (Vα) = Vα+1. Tome α límitey suponga cierta la afirmación para cualquier γ < α. Sea β < α, debemos verificar queVβ ∈ Vα. Dado que β < α y α es límite, β < β + 1 < α, por lo que Vβ ∈ Vβ+1, de dondese sigue Vβ ∈ Vα, pues Vα es la unón de los estratos previos.

(c) Es una consecuencia inmediata de (a) y (b).(d) Procedemos por inducción en α. Si α = 0,V0 ∩Or = �∩Or = � = α. Si α = β + 1,

se cumple Vβ ∩Or = β y debemos mostrar Vβ+1 ∩Or = β + 1.⊆) Sea γ ∈ Vβ+1, por lo que γ ⊆ Vβ por la definición de Vβ+1. Por hipótesis de

inducción, γ ⊆ β , es decir γ ∈ β + 1.⊇) Sea γ < β + 1. Si γ < β , por hipótesis de inducción γ ∈ Vβ , por lo que γ ∈ Vβ+1.

La hipótesis de inducción y la definición de Vβ+1 propician β ∈ Vβ+1, lo que da lugar aγ ∈ Vβ+1 también en el caso γ = β .

Sigue el caso α límite. Si γ ∈ Vα, por definición de Vα, γ ∈ Vβ para alguna β < α ypor hipótesis de inducción, γ < β , así γ < α. Por otro lado, si γ < α, por hipótesis deinducción γ ∈ Vγ+1, y como Vγ+1 ⊆ Vα, deducimos γ ∈ Vα. �

Así, los estratos de la jerarquía de Zermelo conforman una sucesión creciente porcontención; Vα contiene a los ordinales menores que α, lo cual se expresa diciendo queVα tiene altura ordinal α.

Una pregunta nada natural pero de enorme relevancia es la siguiente. Si tomamos launión de todos los estratos de la jerarquía de Zermelo, ¿qué tan grande es esta unión?

Primero, ¿qué significa tomar la unión de todos los estratos?

z ∈⋃

α∈Or

Vα ⇔ ∃α(Or (α) ∧ z ∈ Vα).

LlamemosV =⋃α∈Or Vα. Según el teorema (44.1.1),Or ⊆ V, por lo queV es una clase

propia. En cualquier caso, V ⊆ V , dondeV es, como sabemos, el universo de conjuntos.

Lema 44.1.2 (ZF). Sea A un conjunto. Suponga que para toda x ∈ A existe un ordinal α talque x ∈ Vα. Entonces A ∈ Vβ para algún ordinal β .

Demostración. Sea ϕ(x, y) una fómula que expresa la siguiente definición por casos.

y =

{α, si α es el menor ordinal con x ∈ Vα�, en otro caso.

Para cada x existe un único y tal que ϕ(x, y). Por hipótesis, para toda x ∈ A, existe unúnico ordinal α , 0 talque ϕ(x, α). Por el axioma de remplazo, existe un conjunto S tal



que α ∈ S si y sólo si ϕ(x, α) para alguna x ∈ A. Sea γ = sup(S ) y probemos que A ⊆ Vγ .Sea x ∈ A, por lo que x ∈ Vα para alguna α ∈ S . Dado que α ≤ γ, x ∈ Vγ, de donde sesigue A ⊆ Bα y A ∈ Vγ+1. �

Teorema 44.1.3 (ZF).V = V.

Demostración. Ya sabemos que V ⊆ V . Sea A ∈ V , es decir A es un conjunto. Sabemos queexiste CT (A) y A ⊆ CT (A).

A�rmación 1. Para cada x ∈ CT (A), existe un ordinal β tal que x ∈ Vβ .Demostración de la a�rmación 1. Suponga que no es así. Por tanto, el conjunto

B = {x ∈ CT (A) : ∀ β (x <Vβ )},

no es vacío. Aquí aparece un punto importante en la prueba, por el axioma de regularidadexiste b ∈ B tal que b ∩ B = �. Por consiguiente,

∀ x ∈ b(x < B). (■)

Como b ∈ CT (A) , b ⊆ CT (A), por lo que (■) implica que para todo x ∈ b , existe unordinal α con x ∈ Vα. Se sigue que b ∈ Vβ para algún ordinal β de acuerdo con ellema (44.1.2). En consecuencia, b < B , una contradicción, que indica que se cumple laafirmación. X (1)

El lema (44.1.2) implica que CT (A) ⊆ Vγ para algún ordinal γ y como A ⊆ CT (A),A ⊆ Vγ, lo que abre paso a A ∈ Vγ+1. �

Nuestra siguiente aplicación de recursión es la noción de rango de un conjunto, r k (x).Después veremos que hay una sensible relación entre r k y la jerarquía de Zermelo.

Teorema 44.1.4. La relación de pertenencia ∈ está bien fundada y es conjuntista en V .

Demostración. Aquí, identificamos ∈ con {(x, y) : x ∈ y}. La existencia de un elemento∈-mínimo en u , � se obtiene directamente del axioma de regularidad. Si x ∈ V esarbitrario, ponemos y = CT ({x}); entonces, x ∈ y y cuando z0 es un ∈-predecesor dez1, donde z1 ∈ y , entonces z0 ∈ y por la transitividad de y , lo que comprueba que ∈ esconjuntista enV . �

Con este teorema estamos en posición de realizar ∈-recursión.

Definición 44.1.5. Por ∈-recursión definimos una función r k :V → Or , mediante

r k (x) = sup{r k (y) + 1 : y ∈ x}.

Hemos cometido algunas faltas en cuanto a la formalidad. Primero que nada, noespecificamos suficientemente el contradominio de la función r k . Simplemente pusimosOr sin mayor explicación. Peor aún, usamos el supremo en la definición sin tener lagarantía que esto tenga sentido.

Para formalizar el asunto, procedemos como sigue. Definimos por ∈-recursión r k :

V →V mediante la receta r k (x) =⋃{r k (y) ∪ {r k (y)} : y ∈ x}.



A�rmación 1. r k (x) ∈ Or .Demostración de la a�rmación 1. Procedemos por ∈-recursión. Sea x un conjunto

y suponga que r k (y) ∈ Or para cada y ∈ x . Entonces r k (y) ∪ {r k (y)} = r k (y) + 1 yr k (x) =

⋃{r k (y) + 1 : y ∈ x}. Dado que x es un conjunto, {r k (y) + 1 : y ∈ x} es un

conjunto de ordinales por remplazo, así que⋃{r k (y) + 1 : y ∈ x} es el supremos del

conjunto de ordinales {r k (y) + 1 : y ∈ x}, por lo que es un ordinal. X (1)Queda entonces justificada la definición de r k (x).

Teorema 44.1.6. Se cumplen las siguientes propiedades.

(a) x ∈ y ⇒ r k (x) < r k (y).

(b) x ⊆ y ⇒ r k (x) ≤ r k (y).

(c) Para cualquier ordinal α, r k (α) = α.

(d) Si α es un ordinal, r k (Vα) = α.

Demostración. (a) Por definición de r k (y), r k (x) ∈ r k (y) para cada x ∈ y .(b) Se sigue de (a).(c) Procedemos por inducción transfinita sobre α. Si α = 0, r k (0) = sup{r k (y) + 1 :

y ∈ �} = sup(�) = 0. Supongamos que r k (α) = α. En tal caso,

r k (α + 1) = sup{r k (ξ) + 1 : ξ ∈ α + 1}

= sup ({r k (ξ) + 1 : ξ ∈ α} ∪ {r k (α) + 1})

= α + 1.

Ahora sea α un ordinal límite y supongamos que r k (β ) = β para cada β < α.

r k (α) = sup{r k (β ) + 1 : β < α}. (✝)

Note que r k (β ) = β y r k (β ) + 1 = β + 1 < α, por lo que el lado derecho de (✝) esprecisamente α.

(d) Antes probamos que Vα ∩Or = α y α ∈ Vα+1. Procedmos por inducción en α. Siα = 0, r k (V0) = r k (�) = 0. Supongamos que r k (Vα) = α y estimemos r k (Vα+1). Observeque α + 1 ⊆ Vα+1, así que r k (α + 1) ≤ r k (Vα+1),

r k (Vα+1) = sup{r k (y) + 1 : y ∈ Vα+1}

= sup({r k (y) + 1 : y ∈ Vα} ∪ {r k (y) + 1 : y ∈ Vα+1 −Vα}

).

Cada y ∈ Vα+1 −Vα es un subconjuno de Vα, así que r k (y) ≤ r k (Vα) = α, por lo quer k (y) + 1 ≤ α + 1, de donde se sigue

sup{r k (y) + 1 : y ∈ Vα+1} ≤ α + 1.

�

Ahora podemos establecer la estrecha relación entre la función r k y la jerarquía deZermelo.



Teorema 44.1.7 (ZF). Se cumple la siguiente igualdad.

Vα = {x : r k (x) < α}. (✧)

Demostración. Procedemos por inducción en α. Si α = 0, V0 = � = {x : r k (x) < 0}.Supongamos que (✧) es cierta para β y que α = β + 1. Si x ∈ Vα, x ⊆ Vβ , por lo quer k (x) ≤ r k (Vβ ) = β < α. Por otro lado, si r k (x) < α, r k (y) < r k (x) ≤ β para cada y ∈ x;de la hipótesis de inducción se deduce que x ⊆ Vβ , es decir, x ∈ Vα. Ahora suponga que αes límite. Si x ∈ Vα, x ∈ Vβ para alguna β < α, de donde se sigue que r k (x) < β < α porhipótesis de inducción. Ahora, sea r k (x) = β < α. Otra vez, por hipótesis de inducción,x ∈ Vβ+1 ⊆ Vα. �

Corolario 44.1.8 (ZF). Para cualquier conjunto x se cumple,

r k (x) = min{α : x ∈ Vα+1} = min{α : x ⊆ Vα}.

Demostración. Sea β = r k (x), entonces x ∈ Vβ+1, x ⊆ Vβ , por lo quemin{α : x ∈ Vα+1} ≤ β .Supongamos que min{α : x ∈ Vα+1} < β , entonces x ∈ Vα+1 ⊆ Vβ+1 para alguna α < β , encuyo caso r k (x) < α + 1 por el teorema (44.1.7), así que r k (x) ≤ α < β , una contradicción.

�

Corolario 44.1.9 (ZF). Sea A una clase. Entonces, A es una clase propia cuando y sólo cuandork (A) = Or , es decir, ∀α∃ x(x ∈ A ∧ r k (x) > α).

Demostración. Suponga que A es una clase propia. Sabemos que V = V, si A ⊆ Vα paraalguna α, A ∈ Vα+1 y sería un conjunto. Se sigue que para cada α ∈ Or , existe x ∈ A talque x ∈ Vγ −Vα para alguna γ > α, por lo que

r k (A) = sup{r k (y) + 1 : y ∈ A}

debe ser Or .Para la conversa, si r k (A) = Or , significa que para cada α ∈ Or , existe y ∈ A tal que

r k (y) + 1 > α, así que A " Vα para toda α, de donde se deduce que A no puede ser unconjunto (recuerde que A es conjunto si y sólo si A ∈ V ). �

Los resultados anteriores se han establecido en ZFE o ZF, pero siempre en presenciadel axioma de regularidad. Queremos saber qué pasa con este axioma. Lo que veremoses que en presencia de ZF − {Re g } no podemos probar que V = V.

Puesto que no conocemos si se da la igualdad, definimos una noción de rango paraconjuntos basados exclusivamente en V; aunque, cuando tengamos la certeza de queV =V ambas nociones de rango coinciden.

Se x un conjunro en V, definimos

r g (x) = min{α : x ∈ Vα+1}.

Recuerde que probamos una igualdad correspondiente para r k en presencia de ZF, peror k se definió de otra forma.

Es claro que r g (x) ∈ Or para cualquier conjunto x . Sabemos que Or ⊆ V, por lo queV es una clase propia.



Lema 44.1.10. Si x ∈ V, entonces el menor δ tal que x ∈ Vδ es un ordinal sucesor.

Demostración. Note que δ no puede ser cero, pues V0 = �. Si x ∈ Vδ y δ es límite, pordefinicón de Vδ, debe existir β < δ tal que x ∈ Vβ , por lo que δ no puede ser el menorordinal con x ∈ Vδ. �

Lema 44.1.11. Para cualquier ordinal α ocurre lo siguiente.

(a) Vα+1 −Vα = {x ∈ V : r g (x) = α}.

(b) Vα = {x ∈ V : r g (x) < α}.

(c) Si x ∈ y ∈ V, entonces x ∈ V y r g (x) < r g (y).

Demostración. (a) Sea z ∈ Vα+1 −Vα, entonces z ⊆ Vα, pero z < Vα, así que r g (z ) ≥ α ycomo z ∈ Vα+1, r g (z ) ≤ α.

Si r g (z ) = α, por definición de r g , z ∈ Vα+1 y z <Vβ para cualquier β < α + 1, por loque z <Vα .

(b) Por indución en α. Si α = 0, � = {x ∈ V : r (x) < 0}. Supongamos que Vα = {x ∈

V : r g (x) < α} y sea z ∈ Vα+1. Entonces, r g (z ) ≤ α < α + 1.Si r g (z ) < α + 1, entonces r g (z ) ≤ α, por lo que z ∈ Vα+1 por definición de r g y a que

la jerarquía de Zermelo es ⊆-creciente.Suponga que α es límite. Si z ∈ Vα, existe β < α tal que (z ∈ Vβ ), pues por hipótesis

de inducción r g (z ) < β < α. Si r g (z ) = γ < α, z ∈ Vγ+1 y como γ < α y α es límite,γ + 1 < α, por lo que z ∈ Vα.

(c) Sean x ∈ y y y ∈ V, r g (y) = α. Entonces, y ∈ Vα+1 y como x ∈ y , x ∈ Vα+1, así quex ∈ V. Como y ∈ Pot (Vα), y ⊆ Vα, de donde se sigue x ∈ Vα, por lo que de (b) deducimosr g (x) < α = r g (y). �

Lema 44.1.12. Si α es un ordinal, entonces r g (α) = α.

Demostración. Antes mostramos que Or ∩Vα = α, por lo que α ∈ Vα+1 −Vα, así quer g (α) = α. �

Lema 44.1.13. Para cualquier conjunto y , y ∈ V⇔ y ⊆ V, en cuyo caso

r g (y) = sup{r g (y) + 1 : x ∈ y}. (✱)

Demostración. Si y ∈ V, entonces y ⊆ V por (44.1.11(c)). Si y ⊆ V, como y es un conjunto,tenemos derecho a definir

β = sup{r g (x) + 1 : x ∈ y}

pues ya vimos que y ⊆ Vα para alguna α ∈ Or . En consecuencia, y ⊆ Vβ , por lo quey ∈ Vβ+1, esto es, y ∈ V y r g (y) ≤ β .

Si r g (x) < r g (y) para cualquier x ∈ y , tenemos r g (x) + 1 ≤ r g (y). Si tomamos elsupremo sobre los x ∈ y , obtenemos β ≤ r g (y). �

Corolario 44.1.14. Si V =V , entonces r g (x) = r k (x) para todo conjuno x.



�

Lema 44.1.15. Si z ⊆ y ∈ V, entonces z ∈ V y r g (z ) ≤ r g (y).

Demostración. Tenemos y ∈ Vα, z ⊆ Vα, por lo que z ∈ Vα+1, así que z ∈ V y r g (z ) ≤ r g (y)por (✱) arriba. �

Lema 44.1.16. Suponga que x, y ∈ V. Se cumple lo siguiente.

1. {x, y} ∈ V y r g ({x, y}) = max{r g (x), r g (y)} + 1.

2. (x, y) ∈ V y r g ((x, y)) = max r g (x), r g (y) + 2.

3. P ot (x) ∈ V y r g (Pot (x)) = r g (x) + 1.

4.⋃x ∈ V y r g (

⋃x) ≤ r g (x).

5. x ∪ y ∈ V y r g (x ∪ y) = max{r g (x), r g (y)}.

6. CT (x) ∈ V y r g (CT (x)) = r g (x).

Demostración. (1) y (2) se derivan del lema (44.1.13).

(3) Si x ∈ V, por (44.1.14), y ⊆ x ⇒ y ∈ V y r g (y) ≤ r g (x). Ahora, apelamos al lema(44.1.13) para deducir Pot (x) ∈ V y r g (Pot (x)) = sup{r g (y) + 1 : y ⊆ x} = r g (x) + 1.

(4), (5) y (6) se prueban en forma similar. �

A continuación, la equivalencia prometida del axioma de regularidad.

Teorema 44.1.17 (ZF − {Re g }). El axioma de regularidad es equivalente a a�rmar queV =V .

Demostración. ⇐) Sea x un conjunto. Debemos mostrar que existe un conjunto y ∈ x talque x ∩ y = �. Considere el conjunto A = {r g (y) : y ∈ x} que es un conjunto de ordinales,por lo que tiene un menor elemento, digamos r g (y∗) con y∗ ∈ x . Si existe z ∈ x ∩ y∗,tendríamos r g (z ) < r g (y∗) y z ∈ x, lo que se opone a la definición de y∗. Por consiguiente,y∗ ∈ x y y∗ ∩ x = �.

⇒) Suponga cierto el axioma de regularidad. Sea x ∈ V ; debemos confirmar quex ∈ V.

Recuerde que CT (x) es transitiva. Si CT (x) ⊆ V, entonces x ⊆ V, por lo que x ∈ V,según el lema (44.1.13). Ahora suponga que CT (x) * V. Por regularidad podemosencontrar y ∈ CT (x) −V mínimo respecto a ∈, es decir, y ∩ (CT (x) −V) = �. Como y ⊆

CT (x), dado que CT (x) es transitivo, ocurre y ⊆ V, por lo que y ∈ V, una contradicción.�

Lema 44.1.18. Si t ∈ V y t es transitivo, entonces {r g (z ) : z ∈ t } ∈ Or .


44.2. EJERCICIO 435

Demostración. Sean S = {r g (z ) : z ∈ t }, α el menor ordinal que no pertenece a S , asíα ⊆ S .

A�rmación 1. α = S .Demostración de la a�rmación 1. Supongamos que no es así y sea β el menor

ordinal en S − α, por lo que α < β y para cualquier z ∈ t , r g (z ) < α o r g (z ) ≥ β . Fijamosv ∈ t con r g (v) = β . Por el lema (44.1.13), r g (v) = sup{r g (z ) + 1 : z ∈ v}. Para cada z ∈ v ,z ∈ t (pues t es transitivo) y r g (z ) < r g (v) = β , así que r g (z ) < α. En tal caso, r g (v) ≤ α,una contradicción. X (1) �

Lema 44.1.19. El conjunto x pertenece a Vω si y sólo si x ∈ V y CT (x) es �nita.

Demostración. ⇒) Si x ∈ Vω, x ∈ Vn para alguna n < ω. Dado que Vn es transitivo,CT (x) ⊆ Vn y cada Vn es finito (se prueba por inducción en n).

⇐) Sea n = {r g (z ) : z ∈ CT (x)}. Entonces n es finito, porque CT (x) es transitivo yn ∈ Or por el lema (44.1.18), así que n ∈ ω. Dado que r g (z ) < n para todo z ∈ x ⊆ CT (x),x ⊆ Vn , lo que implica x ∈ Vn+1. �

Definición 44.1.20. Definimos al conjunto de conjuntos hereditariamente finitos comoHF =Vω.

44.2 Ejercicio

1. Si x ∈ V, pruebe que r g (⋃x) = r g (x). Si r g (x) es un ordinal límite o 0, y que

r g (⋃x) = α, si r g (x) = α + 1.

2. Defina e ⊆ ω × ω mediante nEm ⇔ 2 ∤ ⌊m2−n⌋; en forma equivalente, existe un1 en la posición n en la representación binaria de m (contando desde la derecha,así, 43 = 101011b tiene 1 en las posiciones 0, 1, 3, 5. Puesto que 〈ω,E〉 � 〈HF , ∈〉.[Sugerencia: Sea f : ω → HF la aplicación definida por recursión mediant f (m) ={f (n) : nRm}. Por ejemplo

f (0) = � = 0

f (1) = {�} = 1

f (2) = f (10b ) = {1}

f (3) = f (11b ) = {1, 0} = 2

f (5) = f (101b ) = {{1}, 0}

f (43) = f (101011b) = {f (5), f (3), f (1), f (0)} = {{{1}, 0}, 2, 1, 0}

f (265536) = {{{{{1}}}}}.

3. Sea K una clase tal que para todo conjunto y , si y ⊆ K , entonces y ∈ K . Muestreque V ⊆ K .

4. Sea ≤ el orden natural en R y suponga que f : ω → R es tal que para cualesquierm, n ∈ ω, si n ∈ m, entonces f (n) < f (m). Haga A = {f (i ) : i ∈ ω}. Verifique lassiguientes aseveraciones.



(a) Sean in, j ∈ ω. Si f (i ) < f ( j ), entonces i ∈ j .

(b) El orden ≤ es un buen orden en A.

5. Recuerde que CT (x) es el menor conjunto transitivo que contiene a x . Demuestreque CT ({x}) es el menor conjunto transitivo que tiene a x como elemento.

6. Sea A un conjunto. Demuestre que {x : x ∈ A} es un conjunto, donde x = CT (x).Cerciórese de las siguientes afirmaciones.

(a) Si x ∈ A, x ⊆ A.

(b) A ∪⋃{x : x ∈ A} ⊆ A.

(c) A ∪⋃{x : x ∈ A} es transitivo.

(d) A ∪⋃{x : x ∈ A} = A.

7. Sea A un conjunto. Por recursión defina (justifique) una función F : ω→V tal que

• F (0) = A

• F (n + 1) = {F (n)}∀n ∈ ω

Ponga C = F [ω]. Muestre que C es un conjunto, que A ∈ C y que para cada X , siX ∈ C , entonces {X } ∈ C .

8. Sea A un conjunto. Mediante el teorema de recursión defina una función F : ω→V(justifique) con las siguientes propiedades.

• F (0) = A.

• F (n + 1) = Pot (F (n))∀n ∈ ω.

Haga D = F [ω]. Demuestre que D es un conjunto, A ∈ D y para todo X , si X ∈ D ,entonces Pot (X ) ∈ D .

9. Sea R una relación binaria en un conjunto X . Demuestre que las siguientes afirma-ciones son equivalentes.

(i) R está bien fundada en X .

(ii) Existe una función f : X → Or con f (x) < f (y) siempre que R(x, y).

(iii) No existe una función f : ω→ X tal que ∀n ∈ ω(R(n + 1, n).

[Sugerencia: (i)⇒(ii) Por recursión en Or defina g : Or → Pot (X ) mediante

g (β ) = {x : x es el elemento mínimo de X −⋃

{g (α) : α < β }}.

USe g para obtener f : X → Or ,

f (x) =

{el único ordinal α con x ∈ g (α), en caso de existir

0, en otro caso


44.2. EJERCICIO 437

Verifique debe exisitir un menor ordinal δ tal qe δ < r an(f ), lo que significa g (δ) = 0;dado que R está bien fundada, constate que

X =⋃

{g (α) : α < δ}.

Suponga que R(x, y) y f (y) = β . Se cumple y ∈ g (β ), por lo que y es elementomínimo de

X −⋃

{g (α) : α < δ},

infiera que

x < X −⋃

{g (α) : α < β }

En otras palabras, x ∈ g (α) para alguna α < β , por lo que f (x) = α < β = f (y).

(2)⇒(3) Si (3) fuese falso. si f ′ : ω→ X fuese el contraejemplo, use f de (2) paramostrar que f ◦ f ′ es una sucesión decreciente infinita de ordinales.

(3)⇒(1) Pruebe ¬(1) ⇒ ¬(3). Suponga que X no está bien fundado, lo que significaqe existe Y ⊆ X no vacío que carece de elemento mínimo. Fije y0 ∈ Y y construyaf : ω→ X por recursión: f (0) = y0; se tiene

∀ y ∈Y ∃ !x(z = {x ∈Y : R(x, y)}

por remplazo∃Z (Z = {z : ∃ y ∈Y (z = {x ∈Y : R(x, y)})}

y comoY carece de elemento mínimo, todo z ∈ Z es no vacío. Por el AE existe

g : Z →⋃

Z

tal que para cada z ∈ Z , g (z ) ∈ z . Así, para cada y ∈Y

g ({x ∈Y : R(x, y)}) ∈ {x ∈Y : R(x, y)})

y para cad y ∈YR(g ({x ∈Y : R(x, y)}), y).

Por recursión defina f : ω→Y mediante f (0(= y0 y

f (n + 1) = g ({x ∈Y : R(x, f (n))}).

10. Un cpo (T , <) con menor elemento es un árbol cuando para cada t ∈ T , el con-junto de <-predecesores de t forman un conjunto bien ordenado, el tipo ordinal delconjunto de predecesores de t se llama la altura de t en T . Dmuestre las siguientesafirmaciones.

(a) Para cualquierconjunto X y todo ordinal β , el cpo (⋃{X α : α ∈ β }, ⊂) es un

árbol.

(b) Para todo árbol T existe un conjunto X y un ordinal α tal que T es isomorfoa un subconjunto S del cpo del inciso previo.



11. Si α es un ordinal, verifique que CT (α) = α y que CT ({α}) = α + 1.

12. Si α es un ordinal límite y numerable, muestre que existe una sucesión crecienteestricta (βi : i < ω) con α = supi<ω βi .

13. Demuestre que Vω+ω es cerrado respecto a las siguientes operaciones.

(a) Conjunto potencia, pareja ordenada, pareja, unión.

(b) Para toda fórmula ϕ(x, y , z ), la aplicación fϕ que recibe la pareja (y , z ) y actúasegún,

fϕ = {x ∈ y : ϕ(x, y , z )}.


aplicaciones de recursióntlacuatl.mx/docencia/tc/tc21.pdf · aplicaciones de recursión esta vez...

Documents