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Recta tg y normal L’Hopital Formula de Taylor Analisis de funciones Graficas Aplicaciones economicas

APLICACIONES DE LA DERIVADA EN UNAVARIABLE REAL

Matematicas para la Economıa: Calculo(Economıa)

Matematicas II (ADE)Facultad de Ciencias Economicas y Empresariales

Jose Jaime Noguera Noguera

15 de noviembre de 2020


Contenidos

1 Recta tg y normal

2 L’Hopital

3 Formula de Taylor

4 Analisis de funciones

5 Graficas

6 Aplicaciones economicas


Recta tangente y normal

Figura: Fuente: www.calculo.cc


Recta tangente y normal

Recta tangenteSi f (x) es derivable en x0, la ecuacion de la recta tangente a lagrafica de y = f (x) en x0 es:

y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0).

Recta normalSi f (x) es derivable en x0, la ecuacion de la recta normal a lagrafica de y = f (x) en x0 es:

y = f (x0)− 1f ′(x0)(x − x0).


Recta tangente y normalEjemplo: halla las ecuaciones de la recta tangente normal a lafuncion f (x) = 5x4 − 3x en x0 = −2.

f (x0) = f (−2) = 5 · (−2)4 − 3 · (−2) = 86f ′(x) = 20x3 − 3→ f ′(x0) = f ′(−2) = 20 · (−2)3 − 3 = −163

Recta tangente y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)y = 86− 163(x − (−2))

y = 86− 163x − 326y = −240− 163x

Recta normal y = f (x0)− 1f ′(x0) (x − x0)

y = 86− 1−163(x − (−2))

y = 86 + 1163x + 2

163y = 14020

163 + 163x


Regla de l’Hopital

Teorema (Regla de l’Hopital)

Si lımx→a

f (x)g(x) (donde a puede ser un numero o +∞ o −∞) es una

indeterminacion del tipo(

00

)o(±∞±∞

)entonces:

lımx→a

f (x)g(x) = lım

x→af ′(x)g ′(x)

Nota1 El teorema puede aplicarse repetidamente, es decir

lımx→a

f (x)g(x) = lım

x→af ′(x)g ′(x) = lım

x→af ′′(x)g ′′(x) = . . .

2 En algunos casos de lımites tipo ∞−∞ o (1)∞ el teoremapuede tambien aplicarse transformando previamente loslımites a tipo

(00

)o(±∞±∞

)


Ejemplos

Caso directo. lımx→0

ex−e−x

sin x = 00 = lım

x→0ex +e−x

cos x = 21 = 2

Caso 0 · ∞.lımx→2

(x − 2) ln(x − 2) = 0(−∞) = lımx→2

ln(x−2)1

x−2= −∞±∞

= lımx→2

1x−2

0·(x−2)−1·1(x−2)2

= lımx→2

(x−2)2

(−1)(x−2) = lımx→2−(x−2) = 0

Caso ∞−∞. lımx→0

(1x −

1sin x

)=∞−∞ = lım

x→0sin x−xx sin x = 0

0

= lımx→0

cos x−11·sin x+x cos x = 0

0 = lımx→0

− sin xcos x+1·cos x+x(− sin x)

= 02 = 0


Ejemplos

Cuando tenemos indeterminaciones del tipo 1∞, ∞0 o 00 se tomanlogaritmos y se aplican las propiedades.

Caso 1∞.lımx→0

(sin x + cos x) 1x = 1∞ → L = lım

x→0(sin x + cos x) 1

x →

ln L = ln(

lımx→0

(sin x + cos x) 1x

)= lım

x→0

(ln(sin x + cos x) 1

x)

lımx→0

(1x ln(sin x + cos x)

)=∞ · 0 = lım

x→0ln(sin x+cos x)

x = 00

L′Hopital−−−−−−→= lımx→0

1sin x+cos x (cos x−sin x)

1 = 1

Por tanto ln L = 1⇒ L = e1 = e.


Ejemplos

Caso 00. lımx→0

x sin x = 00 → L = lımx→0

x sin x →

ln L = ln(

lımx→0

x sin x)

= lımx→0

(ln x sin x) =

lımx→0

(sin x · ln x) = 0 · (−∞) = lımx→0

ln x1

sin x= −∞∞


1x

0·sin x−1·cos xsin2 x

= lımx→0

sin2 x−x cos x = 0

0


2 sin x ·cos x−1·cos x+(−x)(− sin x) =

= lımx→0

2 sin x ·cos x− cos x+x sin x = 0

−1 = 0

Por tanto ln L = 0⇒ L = e0 = 1.


Ejemplos

Caso ∞0

lımx→+∞

(x3 − 1) 1x =∞0 → L = lım

x→+∞(x3 − 1) 1

x

→ ln L = ln(

lımx→+∞

(x3 − 1) 1x

)= lım

x→+∞

(ln(x3 − 1) 1

x)

= lımx→+∞

1x ln(x3 − 1) = 0 · ∞ = lım

x→+∞ln(x3−1)

x = ∞∞

L′Hopital−−−−−−→ lımx→+∞

1x3−1

·(3x2)1 = lım

x→+∞3x2

x3−1 = 0

Por tanto ln L = 0⇒ L = e0 = 1.


Formula de Taylor

Teorema (de Taylor)Dada una funcion f continua y derivable n + 1 veces en el intervalo[a, x ], se cumple que:

f (x) = f (a) + f ′(a) (x − a)1! + f ′′(a) (x − a)2

2! + · · ·+ f (n)(a) (x − a)n

n! + Tn(x)

Lo anterior se conoce como la formula de Taylor de f en el puntoa. Tn(x) es el resto de la formula de Taylor. Puede adoptar variasexpresiones, la mas utilizada es la forma de Lagrange:

Tn(x) = f (n+1)(ξ)(x − a)n−1

(n + 1)! ,

para algun numero ξ ∈ (a, x).


Polinomio de TaylorSe llama polinomio de Taylor de grado n para f (x) en a, a la expre-sion:

Pn(x) = f (a)+f ′(a)(x − a)1! +f ′′(a)(x − a)2

2! +· · ·+f (n)(a)(x − a)n

n! .

Tenemos pues que:

f (x) = Pn(x) + Tn(x).

Dado que ξ es desconocido, no podemos calcular Tn(x) pero sı sepuede acotar, es decir que |Tn(x)| ≤ cota.Si lo que queremos es obtener una aproximacion polinomica a f (x)sin pasarnos de un cierto error, es decir una cierta cota, se calcula n0para que |Tn0(x)| ≤ cota y de esta manera calculamos el polinomiode Taylor de grado n0. Ası:

|f (x)− Pn0(x)| = |Tn0 | ≤ cota


Formula de McLaurin

Si la formula de Taylor se calcula en el punto a = 0 entonces sedenomina formula o desarrollo de McLaurin:

f (x) = f (0)+f ′(0)(x − 0)1! +f ′′(0)(x − a)2

2! +· · ·+f (n)(0)xn

n! +Tn(x),

conTn(x) = f (n+1)(ξ) xn−1

(n + 1)! ,

para algun numero ξ ∈ (0, x).


Ejemplo

Halla el polinomio de Taylor de grado 3 en un entorno de x = 1para la funcion f (x) = ln(x) + xex [septiembre 2018, Economıa].

Calculamos las derivadas sucesivas:1 f ′(x) = 1

x + ex + xex

2 f ′′(x) = − 1x2 + ex + ex + xex = − 1

x2 + 2ex + xex

3 f ′′′(x) = 2x3 + 2e2 + ex + xex = 2

x3 + 3ex + xex

Sustituimos la funcion y las derivadas en x = 1:1 f (1) = ln(1) + 1e1 = e2 f ′(1) = 1

1 + e1 + 1e1 = 1 + 2e3 f ′′(1) = − 1

12 + 2e1 + 1e1 = −1 + 3e4 f ′′′(1) = 2

13 + 3e1 + 1e1 = 2 + 4e


EjemploPor tanto:

P3(x) = e + (1 + 2e)(x − 1) + −1 + 3e2 (x − 1)2 + 2 + 4e

6 (x − 1)3.

Si queremos dar una expresion del error, es decir, T3(x), debemoscalcular una derivada mas:

f iv)(x) = − 6x4 + 3ex + ex + xex = − 6

ξ4 + 4ex + xex .

Con lo que:

T3(x) =− 6

ξ4 + 4eξ + xeξ

4! (x − 1)4.

La solucion al ejercicio sera:

f (x) = e + (1 + 2e)(x − 1) + −1+3e2 (x − 1)2 +

+ 1+2e3 (x − 1)3 +

− 6ξ4 +4eξ+ξexi

24 (x − 1)4.


Crecimiento-decrecimiento

DefinicionSe dice que f es creciente en x0 si existe un entorno del punto x0,(x0 − a, x0 + a), tal que:

Si x0 − a < x < x0 ⇒ f (x) < f (x0)Si x0 < x < x0 + a ⇒ f (x0) < f (x)

DefinicionSe dice que f es decreciente en x0 si existe un entorno del puntox0, (x0 − a, x0 + a), tal que:

Si x0 − a < x < x0 ⇒ f (x) > f (x0)Si x0 < x < x0 + a ⇒ f (x0) > f (x)


Crecimiento-decrecimiento

PropiedadSe cumple:

Si f (x) derivable y creciente en x0 ⇒ f ′(x) ≥ 0.Si f (x) derivable y decreciente en x0 ⇒ f ′(x) ≤ 0.

Teorema (CRITERIO CRECIMIENTO-DECRECIMIENTO).

f ′(x0) > 0 ⇒ f es creciente en x0.f ′(x0) < 0 ⇒ f es decreciente en x0.


Crecimiendo-decrecimineto

Figura: Crecimiento-decrecimiento segun el signo de la derivada.


Crecimiendo-decrecimineto

Ası pues si nos piden estudiar el crecimiento-decrecimiento de unafuncion (que es lo mismo que nos pidan estudiar la monotonıa)debemos hacer:

1 Hallar los puntos en los que la derivada de la funcion se anula.Esto se hace resolviendo la equacion f ′(x) = 0. Las solucionesde esa ecuacion seran x0, x1, x2, . . .

2 Si hay discontinuidades, anadimos dichos puntos a losanteriores.

3 Para el primer intervalo, tomar un punto interior, por ejemploun a tal que −∞ < a < x0 y lo sustituimos en la derivada dela funcion:

Si f ′(a) > 0⇒ la funcion f (x) es creciente en (−∞, x0).Si f ′(a) < 0⇒ la funcion f (x) es decreciente en (−∞, x0).

4 Repetir el paso anterior para el resto de intervalos.


Maximos y mınimos

Figura: Maximo y mınimo.


Maximos-mınimos

DefinicionSe dice que la funcion f tiene un maximo relativo en x0 si existe unnumero ε, tal que si x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), entonces f (x) < f (x0).

DefinicionSe dice que la funcion f tiene un mınimo relativo en x0 si existe unnumero ε, tal que si x ∈ (x0 − ε, x0 + ε), entonces f (x) > f (x0).

Teorema (Condicion necesaria de maximo o mınimo relativo)Si f (x) es derivable en x0 y tiene un maximo o mınimo relativo enx0, entonces f ′(x0) = 0.

IMPORTANTE: el recıproco del teorema NO ES CIERTO.


Maximos y mınimos

DefinicionDecimos que f tiene un maximo absoluto en [a, b] si f (x0) > f (x)para todo x ∈ [a, b].

DefinicionDecimos que f tiene un mınimo absoluto en [a, b] si f (x0) < f (x)para todo x ∈ [a, b].

IMPORTANTE: Si nos piden hallar los maximos o mınimos abso-lutos de una funcion en un intervalo debemos hallar los maximos omınimos relativos y debemos incluir los extremos del intervalo comoposibles maximos o mınimos absolutos. El maximo o mınimo absolu-to se hallara comparando los valores de la funcion en dichos puntos(los maximos o mınimos relativos mas los extremos del intervalo).Esto hay que aplicarlo en problemas de optimizacion.


Maximo y mınimos

Figura: Maximos y mınimos relativos y absolutos.


Concavidad-convexidad

DefinicionDenotemos y = t(x) a la recta tangente a la curva y = f (x) en x0.Entonces:

Si en las cercanıas de x0, f (x) > t(x) entonces la curva esCONCAVA en x0.Si en las cercanıas de x0, f (x) < t(x) entonces la curva esCONVEXA en x0.En otro caso (la curva no esta siempre a un lado de latangente) x0 es un PUNTO DE INFLEXION.



Figura: Concavidad-convexidad.



Teorema (Curvatura y segunda derivada)Si f tiene segunda derivada en x0, se cumple que:

f es concava en x0 ⇒ f ′ es creciente en x0 ⇒ f ′′(x0) ≥ 0.f es convexa en x0 ⇒ f ′ es decreciente en x0 ⇒ f ′′(x0) ≤ 0.f tiene un punto de inflexion en x0 ⇒ f ′′(x0) = 0 o f ′′ noexiste en x0 (LO CONTRARIO NO SIEMPRE ES CIERTO)

REGLA PRACTICA PARA HALLAR LA CURVATURA1 Resolvemos la ecuacion f ′′(x) = 0, obteniendo x0, x1, x2, . . .2 Anadimos los posibles puntos de discontinuidad.3 Tomamos un punto del primer intervalo que obtenemos, es

decir un a ∈ (−∞, x0):Si f ′′(a) > 0 ⇒ f es concava en (−∞, x0).Si f ′′(a) < 0 ⇒ f es convexa en (−∞, x0).

4 Repetimos el paso anterior para los siguientes intervalos.



REGLA PRACTICA PARA HALLAR LOS PUNTOS DE IN-FLEXIONHay dos posibilidades:

x0 sera un punto de inflexion si f ′′(x0) = 0 y la funcion pasade concava a convexa o viceversa.x0 sera un punto de inflexion si f ′′(x0) = 0 y f ′′′(x0) 6= 0

En el caso que f ′′(x0) = 0 y f ′′′(x0) = 0 se deberıa recurrir alcriterio de las primeras r − 1 derivadas nulas. Se va derivandohasta que f (r)(x0) 6= 0:

r par y f (r)(x0) < 0→ Hay un maximo local.r par y f (r)(x0) > 0→ Hay un mınimo local.r impar → Hay un punto de inflexion.


Maximos-mınimos

APLICACION DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA HALLARMAXIMOS Y MINIMOSTenemos otra opcion para hallar maximos y mınimos. Si f ′(x0) = 0y existe f ′′(x0) y no es nula, entonces:

f ′′(x0) > 0 ⇒ f tiene un mınimo relativo en x0.f ′′(x0) < 0 ⇒ f tiene un maximo relativo en x0.


Representacion grafica

Debemos estudiar los puntos:1 Dominio.2 Puntos de corte con los ejes coordenados.3 Simetrıa.4 Periodicidad.5 Asıntotas.6 Intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonıa).

Maximos y mınimos.7 Concavidad, convexidad y puntos de inflexion.8 Grafica.


Ejemplo

Lo veremos con un ejemplo, f (x) = x2

x−1

1 Dominio: x − 1 = 0⇒ x = 1→ Domf (x) = R\{1}2 Corte con los ejes:

Eje Y: si x = 0→ y = 0Eje X: si y = 0→ 0 = x2

x−1 → x = 03 Simetrıa. Se calcula f (−x):

Si f (−x) = f (x) es simetrica respecto al eje OY (o la funciones par).Si f (−x) = −f (x) es simetrica respecto al Origen (o lafuncion es impar).

En nuestro caso f (−x) = (−x)2

−x−1 = x2

−x−1Como f (x) 6= f (−x) y −f (x) 6= f (−x) entonces la funcion nopresenta simetrıas.


Ejemplo

4 Periodicidad. No presenta periodicidad. (Solo se estudia en lastrigonometricas).

5 AsıntotasA.H. lım

x→+∞x2

x−1 = +∞→ No hay A.H.

A.V. lımx→1

x2

x−1 = 10 = ±∞→ x = 1 es A.V. Ademas

lımx→1+

x2

x−1 = +∞[

(1,1)2

1,1−1 = (+)]

lımx→1−

x2

x−1 = −∞[

(0,9)2

0,9−1 = (−)]

A.O. m = lımx→+∞

f (x)x = lım

x→+∞

x2x−1x = lım

x→+∞x2

x2−x = 1

n = lımx→+∞

(f (x)−mx) = lımx→+∞

(x2

x−1 − x)

=

lımx→+∞

x2−x2+xx−1 = lım

x→+∞x

x−1 = 1Por tanto y = x + 1 es A.O.


Ejemplo

6 Crecimiento-decrecimiento Calculamos los puntos tales quef ′(x) = 0:f ′(x) = 2x(x−1)−x2·1

(x−1)2 = 2x2−2x−x2

(x−1)2 = x2−2x(x−1)2

x2−2x(x−1)2 = 0→ x2 − 2x = 0→ x(x − 2) = 0.Luego los posibles maximos y mınimos son x = 0 y x = 2.

Como x = −1 hay una discontinuidad, tambien lo incluimos ennuestro estudio:

INTERVALO (−∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2,+∞)Signo f (x) + − − +

↗ ↘ ↘ ↗

Si x = −1→ f ′(−1) = 34 > 0

Si x = 0,5→ f ′(0, 5) = −3 < 0Si x = 1,5→ f ′(1,5) = −3 < 0Si x = 3→ f ′(3) = 3

4 > 0


Ejemplo

6 Por tantoIntervalos de crecimiento (−∞, 0) ∪ (2,+∞).Intervalos de decrecimiento (0, 1) ∪ (1, 2).En x = 0 hay un maximo relativo de valor f (0) = 0.En x = 2 hay un mınimo relativo de valor f (2) = 4.

7 Concavidad-convexidad. Debemos resolver la ecuacionf ′′(x) = 0 para hallar los posibles puntos de inflexion.f ′′(x) = (2x−2)(x−1)2−(x2−2x)·2(x−1)

(x−1)4 = (2x−2)(x−1)−(x2−2x)·2(x−1)3

= 2x2−2x−2x+2−2x2+4x(x−1)3 = 2

(x−1)3

La ecuacion 2(x−1)3 = 0 no tiene solucion. Por tanto no hay

puntos de inflexion.


Ejemplo

En cualquier caso debemos estudiar la concavidad-convexidad antesy despues de x = 1:

INTERVALO (−∞, 1) (1,+∞)Signo f ′′(x) - +

∩ ∪

Si x = 0→ f ′′(0) = 2−1 < 0

Si x = 2→ f ′′(2) = 21 > 0

Por tanto la funcion es convexa en (−∞, 1) y concava en (1,+∞)


Ejemplo

8 Grafica. Representamos las asıntotas x = 1, y = x + 1 , y lospuntos maximo (0, 0) y mınimo (2, 4):


Ejemplo

8 Grafica. Sabemos que lımx→1+

x2

x−1 = +∞ y lımx→1−

x2

x−1 = −∞,que pasa por (0, 0) y tambien:

INTERVALO (−∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2,+∞)Signo f (x) + − − +

↗ ↘ ↘ ↗

INTERVALO (−∞, 1) (1,+∞)Signo f ′′(x) - +

∩ ∪


Ejemplo

8 Grafica


Aplicaciones economicas

Coste marginal. Si C(x) es la funcion de coste, C ′(x) es elcoste marginal.Ingreso marginal. Si I(x) es la funcion de beneficio, I ′(x) esel ingreso marginal.Beneficio marginal. Ingreso marginal. Si B(x) es la funcionde beneficio, B′(x) es el ingreso marginal.Elasticidad. Representa la variacion porcentual de f (x)cuando x varıa un 1 %:

(Economıa) Ex f = xf (x) · f

′(x)(ADE) Ex

Ep = pf (p) · f

′(p), siendo p el precio por unidad y x lademanda (numero de unidades que se adquieren durante unperıodo de tiempo a precio p, x = f (p)). Si η =

∣∣∣ExEp

∣∣∣:η = 0. Demanda perfectamente inelastica.0 < η < 1. Demanda inelastica.η = 1. Demanda unitaria.η > 1. Demanda elastica.η =∞. Demanda perfectamente elastica.


EjemploSea −100x + 30p = 80 la funcion de demanda y C(x) = 200 + 5x2

la funcion de coste, determina:1 El coste marginal para x = 50.

C ′(x) = 10x → C ′(50) = 500.2 El ingreso marginal cuando x = 150.

La funcion ingreso esI(x) = x · p = x · 80+100x

30 = 83 x − 10

3 x2 → I ′(x) = 83 + 20x

3 .I ′(150) = 80

3 + 30003 = 3080

3 .3 El beneficio marginal para x = 10.

B(x) = I(x)− C(x) = 83 + 20x

3 − (200 + 5x2).B′(x) = 20

3 − 10x → B′(10) = −2803 .

4 La elasticidad para p = 7.ExEp = p

f (p) f ′(p) = p80−30p−100

· 310 = −3p

8−3p .

η =∣∣∣Ex

Ep (7)∣∣∣ =

∣∣∣−21−13

∣∣∣ = 1, 61 > 1→ La demanda es elastica,es decir, varıa en una proporcion mayor que el precio.

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