APLICACIONES A LAS REDES ELETRICAS

Estas aplicaciones se utilizan en trabajos de ingeniería avanzada, cuando a menudo es esencial considerar redes eléctricas que involucren más de una malla.

A estas redes comúnmente se les conoce como redes de Kirchhoff cuyas ecuaciones de equilibrio forman sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se les llama redes de Kirchhoff de primer orden. Si forman sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden se les conoce como redes de Kirchhoff de segundo orden. Las redes cuyas ramas son resistencias, autoinducciones, capacidades, y fuentes de tensión y de intensidad independientes, cuyos valores son funciones reales de tiempo. Son redes de primer o segundo orden.

Para resolver este tipo de problemas es necesario:

LAS DOS LEYES DE KIRCHHOFF

1. La suma algebraica de las corrientes que viajan hacia cualquier nudo (A o B) es igual a cero.

2. La suma algebraica de las caídas de potencial (o caídas de voltaje) alrededor de cualquier malla cerrada es igual a cero.

Para poder aplicar estas leyes consistentemente adoptamos las siguientes CONVENCIONES a) Si I es la corriente en una dirección, -I es la corriente en la dirección opuesta.b) Para escribir la suma algebraica de las caídas de potencial alrededor de una malla cerrada,

consideraremos una caída de potencial como positiva si al describir la malla viajamos en la misma dirección indicada por la corriente y negativa si viajamos en la dirección opuesta a la corriente.

c) Un aumento de potencial (debido a la batería o generador por ejemplo) se considera la negativa de una caída de potencial.

Para ver los procedimientos involucrados, consideremos la siguiente red eléctrica

La primera cosa a hacer es marcar las corrientes en varias partes. En nuestra red hemos adoptado las direccione mostradas por I1, I2 e I3. De esto es muy claro que I1 = I2 + I3.

Consideremos ahora la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff Para la malla JHGBNDAKJ si seguimos la dirección de la corriente eléctrica:

H

G

1) Caída de voltaje a través de R es I1R 2) Caída de voltaje a través de L es LdI2/dt3) Caída de voltaje a través de la batería E es – E por convención c)

Por lo tanto .................... (1)

Para la malla JHGBFEAKJ:1) Caída de voltaje a través de R es I1R2) Caída de voltaje a través de C es Q3/C (donde Q3 es la carga en el condensador C

proporcionada por la corriente I3)3) Caída de voltaje a través de E es –E

Por lo tanto …………… (2)

Para la malla NFEDN 1) Caída de voltaje a través de L es -LdI2/dt2) Caída de voltaje a través de C es Q3/C.

Por lo tanto …………… (3)

De estas tres ecuaciones (3) y (2) son independientes puesto que (1) se obtiene de la sustracción de (3) y (2).

Sabiendo que ; , y reemplazando estos valores en (2) se obtiene el sistema:

Reemplazando con el operador

el sistema puede resolverse por el método de eliminación.

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 13. En t = 0 la carga en el condensador en el circuito es 1 culombio, mientras que la corriente en el inductor es cero. Determine la carga en el condensador y la corriente en los varios nudos en cualquier tiempo.DatosR1= 20 , R2= 2L= 0.5 , C= 0.05

(1)

(2)

Solución: Nos piden hallar Q2(t), I1 , I2 e I3

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff para mallas cerradasa) Para la malla ABEFA

b) Para la malla BCDEB

Reemplazando el valor de en (1) y resolviendo:

sabemos que

Hallando las constantes:Como Q2(0) =1 Reemplazando este valor en Q2(t) e I2(t)

Para hallar I3 Reemplazamos Q2(t) e I2(t) en (2)

A B C

DEF

I1

I2

I3

Como I1= I2+ I3

Ejercicio 2

En el circuito el condensador C tiene una carga Q0 en el tiempo t = 0, mientras que las corrientes a través de los inductores son cero en ese tiempo. Muestre que en cualquier tiempo t > 0 la carga en el condensador está dada por:

Solución:

Suponiendo que por CF pasa una intensidad de corriente I2 y por CBA una corriente I3

y sabiendo que c tiene una carga Q, entonces se cumple:

Aplicando la segunda ley de Kirchhoffa) Para la malla EABDE

………………(1)

b) Para la malla EDCF

………………. (2)

Reemplazando I1 en las ecuaciones (1) y (2)

………………. (3)

……………(4)

Reemplazando I2 y (3) en la ecuación (4)

como

A

F C

D

B

E

Sabemos que

Por lo tanto Q (t)=

Sabemos que

e

lqqd

Ejercicio 3En t = 0 los condensadores de la red de la Figura 10.20 se cargan al potencial V0, y los interruptores K1 y K2, se cierran. Halle la carga que pasa por la capacitancia 2c

Solución

Suponiendo que por DC pasa una corriente I1, por CB una corriente I3 y por CF una corriente I2 se

deduce:

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff

a) Para la malla DCFED

……………(1)

b) Parta la malla CBAFC

A B

C

DE

F

…………………(2)

Reemplazando en (1) e en (1) y (2)

Se obtiene el sistema:

Reemplazando

Resolviendo

Hallando la determinante mediante conocimientos previos de algebra se obtiene:

Puesto que la discriminante de la ecuación es cero dos de las raíces de esta ecuación se repiten.

Donde ,

Para

de este sistema

luego:

de esta ecuación obtenemos la primera solución particular para la carga que pasa por 2c:

De la misma manera se resuelve para

DF

De esta ecuación obtenemos la segunda solución particular para la carga que pasa 2c

La solución general está dada por

Ejercicio 4

Determinar las cargas que pasan por el capacitor del cable FA y la inductancia del cable AB, en la red eléctrica que se muestra en el siguiente diagrama donde E = E0 t

Solución

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a cada una de las mallas obtenemos:a) Para la malla FABGF

b) Para la malla ADEBA

G E

Remplazando I2=I1- I3 en (2) y (3)

Reemplazando con el operador y sustituyendo nos queda:

Resolviendo el sistema mediante matrices:

Hallando las raíces de D:

La solución homogénea de la ecuación será:

Ahora hallando la solución particular: Suponiendo que

Reemplazando estos valores en (3) nos queda

Entonces la solución general será:

Resolviendo para Q2

Hallando las raíces de D:

La solución general para Q2

Ejercicio 5

Encontrar las intensidades I1, en función del tiempo del siguiente sistema de red eléctrica:

Solución

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a cada una de las mallas y sabiendo que se

obtiene el siguiente sistema:

Para eliminar la integral de la primera ecuación se deriva esta con respecto al tiempo, se obtiene:

De (3) despajamos

De (1) despejamos

Reemplazamos (4) en (2)

Derivando (6) en función de (t)

Reemplazando (5) en (7)

Derivando (7) en función de t

Reemplazando (5) en (8)

Simplificando

Como Nuestra ecuación solo depende de I1 hacemos un cambio de variable a todas las constantes:

De esta ecuación si V1 y V2 son funciones que dependen del tiempo entonces existirá solución particular, si son constantes el segundo miembro será igual a cero.

Hallando la solución homogénea

Igualando el primer miembro a cero:

Sabemos que si a,b,c,d > 0, entonces una solución será real y dos complejos conjugadas

Entonces la forma que tendría nuestra solución será:

Ejercicios propuestos

1. Determine la respuesta forzada de la corriente del inductor Ip(t) en el circuito RLC paralelo mostrado en la siguiente red. Cuando If = 8e-2t, R=6Ω, L=7H y C=(1/42)F

Respuesta:

2.- Para el circuito mostrado en la figura se pide encontrar el valor de V(t) e I(t), sabiendo que R1=10Ω, R2=8Ω, C=1/8 F , L=2H, Vc(0)=1V , IL(0)=1/2ª

Respuesta:

3.- Considere el circuito paralelo con R=2Ω, C= 1/5F F, L= 5H, con condiciones iniciales IL(0)=-1A y Vc(0)=4V. Encuentre el voltaje V(t).

Respuesta:

4.- En el siguiente circuito mostrado encuentre V0 (t) para t>0

Respuesta:

5.- Determine V(t) en el siguiente circuito que se muestra. Suponga que existen condiciones de estado estable cuando t=0.

Respuesta:

6.- Encuentre V0(t) para t >0 para el circuito que se muestra:

Respuesta: