APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS NEGOCIOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

En esta sección se analizaran cuatro ejemplos de los negocios y la economía y la economía, donde las cantidades pueden expresarse como integrales definidas y representarse geométricamente como áreas entre curvas o bajo estas.Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidades pueden expresarse como integrales definidas y representarse geométricamente como áreas entre curvas.

UTILIDADES NETAS

Veamos el caso de las utilidades netas

Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a un ritmo de

R1 ( x )=50+x2 Dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a un ritmo

de R2 ( x )=200+5x dólares por año.a.) ¿Cuántos años será más rentable el 2º plan?b.) ¿Cuál es el exceso de utilidad neta, si se invierte en el 2º plan, en lugar del 1º,

durante el período que éste es más rentable que el 1º?c.) Explicar y representar, geométricamente, el exceso de utilidad neta calculado

en el ítem b.

Solución:

a.) El segundo plan será más rentable hasta que R1 ( x )=R2 ( x )

50+x2=200+5 x⇒ x2−5 x−150=0⇒ x=15 años ( no tener en cuenta x=−10 )b) Para 0≤x≤15 , el ritmo al que las utilidades generadas por el 2º plan

exceden las del 1º es R2 ( x )−R1 ( x ) dólares por año. Entonces el exceso de utilidad neta que genera el 2º plan durante los 15 años está dado por la integral definida:

Exc . de utilidad neta=∫0

15 [R2 ( x )−R1 (x ) ] dx=∫0

15 [ (200+5 x )−( 50+x2) ] dx=

¿∫0

15(−x2+5 x+150 ) dx=(−x3

3+5

2x+150 x)|0

15=1 . 687 ,50 dól .

c) Geométricamente, la integral definida antes calculada es el área de la región

limitada por las curvas y=R2 ( x ) , y=R1 ( x ) desde x=0 hasta x=15

GANANCIAS NETAS PRODUCIDAS POR UNA MAQUINARIA INDUSTRIAL

Otra aplicación importante es el cálculo de las ganancias netas producidas por una maquinaria industrial, por ejemplo.

Cuando tienes x años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de

R ( x )=5 . 000−20 x2dólares por año, y los costos de operación y mantenimiento

se acumulan a razón de C ( x )=2 . 000+10 x2 dólares por año.

a.) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?b.) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria en ese periodo

de tiempo?c.) Explicar y representar, geométricamente, las ganancias netas calculadas.

Solución:a) El uso de la maquinaria será rentable en tanto que el ritmo al que se generan

los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que R ( x )=C ( x )

5000−20x2=2000+10 x2

30 x2=3000 ⇒ x=10 años ( no tener en cuenta x=−10 )b) Dado que las ganancias netas generadas por la maquinaria durante cierto

período de tiempo están dadas por la diferencia entre el ingreso total generado

por la misma y el costo total de operación y mantenimiento de ésta, se puede determinar esta ganancia por la integral definida:

Ganancia neta=∫0

10 [R (x )−C ( x ) ] dx=∫ 0

10 [ (5000−20 x2)−(2000+10 x2) ] dx==∫0

10 (3000−30x2 ) dx=(3000 x−10 x3 ) | 010=20000 dól .

c) En términos geométricos, la ganancia neta calculada en el ítem anterior está

representada por el área de la región limitada entre las curvas y=R ( x ) y y=C ( x ) , desde x=0 hasta x=10 .

EXCEDENTE DE LOS CONSUMIDORES Y DEL EXCEDENTE EN LA PRODUCCIÓN.

Otra importante aplicación es el cálculo del excedente de los consumidores y del excedente en la producción.

La siguiente gráfica muestra una curva de oferta F (q ) para un producto, donde p indica el precio por unidad al que un fabricante venderá o suministrará q unidades.

También se muestra la curva de demanda D (q ) para el producto, donde p indica el precio por unidad al que los consumidores comprarán o demandarán q unidades del mismo.

El punto (q0 , p0)es el punto de equilibrio, en el cual se presenta estabilidad en la relación producto – consumidor.

Gan. Neta

y

C(x)

R(x)

2000

3000

5000

0 5 10 x x

Suponiendo que el mercado está en equilibrio, en que el precio por unidad del

producto es p0 , observando la curva de demanda se puede apreciar que hay

consumidores que estarían dispuestos a pagar más que p0 por el producto, así como también, si observamos la curva de la oferta, podríamos concluir diciendo que hay productores que están dispuestos a ofrecer el producto a un precio

inferior quep0 .De esta manera ambas partes pueden obtener una ganancia total que llamamos exceso.

En el caso de los consumidores, se denomina excedente o superávit del consumidor, y es la ganancia total que obtienen los consumidores por el hecho de estar dispuestos a pagar el producto a un precio superior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida dada por:

Exc . Cons=∫0

q0 [ D (q )−p0 ] dq==∫0

q0 D (q ) dq−∫ 0

q0p0 dq=

=∫0

q0 D (q ) dq− p0. q|0

q 0 =

=∫0

q0 D (q ) dq− p0 . q0

En el caso de los productores, se denomina excedente o superávit del productor, y es la ganancia total que obtienen los productores por el hecho de estar dispuestos a ofrecer el producto a un precio inferior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida dada por:

D(q)

p 0

p

q 0 q

Ex .C

0

Exc . P rod=∫ 0

q0 [ p0−F (q ) ] dq==∫0

q0 p0 dq−∫ 0

q0F (q ) dq−=

= p0 . q| 0

q0−∫ 0

q0 F (q ) dq=

=p0 . q0 −∫ 0

q0 D (q ) dq

En el caso de que las funciones de oferta y demanda estuviesen representadas cantidades en función de los precios, el planteo para el cálculo de los excedentes es el siguiente:

Exc . Cons .=∫ p0

p2 D (p ) dp Exc . Pr od .=∫ p1

p0 F ( p ) dp

F(q)

p 0

p

q 0 q

Ex. P

0

p0

Ex P

Ex C

p2p1 p0

q0

q

1.- Si la función de demanda es p(q) = 32 ¡ 4q ¡ q2 y, el precio se encuentra dado en pesos, determine el excedente del consumidor si q0 = 3 artículos y haga una gráfica que represente el excedente del consumidor.Solución:Como q0 = 3 artículos, el precio del mercado es p(3) = 11 pesos, así, se tiene

Es decir, la ganancia adicional obtenida por el consumidor es de $36.La gráfica siguiente muestra el resultado anterior,

En donde el área sombreada representa el excedente del consumidor.2.- Si la función de demanda es p(q) = p 9 ¡ q y q0 = 5 artículos, evaluar el excedente del consumidor y haga una gráfica en donde se muestre el excedente del consumidor para cada caso.Solución (1):