Alessandra Zurita Cahill

La Integral definida y sus aplicaciones

Integral definida: definición

La integral definida se define como:

Donde F’(x) = f(x) y además f(x) es una función continua y finita en el intervalo de integración [a; b].

a y b reciben el nombre de extremo inferior y superior de integración, respectivamente.

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

Área como límite de una suma

Considere la región definida por la gráfica de la función y = f(x), el eje X y las verticales x = a y x = b, siendo f(x) ≥ 0 y f continua en el intervalo[a; b].

Para abordar el problema de hallar el área de dicha región, la relacionaremos con áreas de figuras conocidas, por ejemplo rectángulos

Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la región cuya área se desea calcular

El área de una región podrá plantearse por una integral definida:

A = f(b) – f(a)

Dividiremos dicha región en rectángulos verticales. Por ejemplo ...

n = 3 rectángulos

n = 6 rectángulos

n = 12 rectángulos

n = 24 rectángulos

n = 48 rectángulos

n = 99 rectángulos

La integral definida plantea el límite de una suma de áreas.

Interpretación geométrica de la integral definida

b

a

dxxfÁrea )(

altura

ancho

Suma desde “a” hasta “b”

Ejemplo 2

¿De cuántas formas podemos calcular el área “R”?

f(x) = 2x

0 2

R

Forma 1: Base*altura/2

2*4/2=4 u2

Forma 2: integral definida

2222

0

22

0

402)2( uxdxx

Como acaba de verse, el área de una región podrá plantearse como el límite de una suma de áreas. Este límite está dado por la integral definida:

a

bdxxfA )(

Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y positiva en ese intervalo.

¿Cómo está definida el área sombreada de los siguientes gráficos?

Analicemos los siguientes ejemplos…….

Ejemplo 3: área debajo del eje X

La altura no puede ser negativa

b

a

dxxf )(Respuesta:

Ejemplo 4: área por encima y debajo del eje X

c

a

dxxf )( La altura no puede ser

negativa

b

c

dxxf )(

Respuesta:

Ejemplo 5: área entre dos curvas

¿Cómo podemos aplicar los conocimientos previos a este gráfico?

Si se sabe que: )()( xgxf bax ,

Ejemplo 5 (recordando..)

El área bajo la curva f(x) es…

El área bajo la curva g(x) es…

Ejemplo 5

Respuesta: b

a

dxxgxf )()(

Aplicaciones de la Integral Definida

1. Excedente del Consumidor

2. El Excedente del Productor

3.Estimación del cambio neto, a partir de la razón de cambio, en el valor de reventa de bienes capitales o en la

utilidad, ingresos y costos de una empresa

Aplicaciones de la Integral Definida

4.Estimación del exceso de utilidad de un plan de inversión, respecto de otro

ANÁLISIS 1: Recordando el concepto de la demanda

Una curva de demanda resume la relación inversa existente entre precios y cantidades.

Una curva de demanda refleja las cantidades que están dispuestos a comprar los

consumidores, ante determinados precios.

Una curva de demanda representa la disponibilidad marginal de gastar de

parte del consumidor.

Dem

andaAlimentos (unidades

mensuales)

Precio de los alimentos

G

E

F

2,00$

4 12 20

1,00$

0,50$

ANÁLISIS 2: La disponibilidad total a gastar de los consumidores

PS/

. por

uni

dad

0 1 2 3 4 5 6 …….

Dem

andaq

6

0)( dqqD

0

0)(

qdqqDGeneralizando:

En el ejemplo….DTG

La disponibilidad total a gastar de los consumidores refleja la utilidad total que alcanzan los consumidores.

La disponibilidad total a gastar de los consumidores está representada por toda el área de la región que está por

debajo de la curva de demanda

ANÁLISIS 3: El gasto de los consumidores

Ofe

rtaE

q

Dem

anda

0 1 2 3 4 5 6 …….

PS/

. por

uni

dad

4

3

2

Si se define al gasto como p.q....

¿Cuál sería el gasto efectuado por los

consumidores en este ejemplo? RTA: S/. 8

¿Cuál sería el área respectiva?

Gasto

RTA….

ANÁLISIS FINAL: El excedente de los consumidores

4

0)( dqqD

q

Dem

anda

0 1 2 3 4 5 6 …….

PS/

. por

uni

dad

4

3

2

q

Dem

anda

0 1 2 3 4 5 6 …….

PS/

. por

uni

dad

4

3

2

Análisis 2 La disponibilidad a gastar en este caso es….

Gasto

Análisis 3 El gasto efectivo (lo que realmente gastan) en este caso es…. = 8u2

Finalmente…. - Todos aquellos consumidores que estuvieron dispuestos a pagar un precio mayor que el del

mercado (S/.2 por unidad), se benefician

El área que representa dicho “excedente” es el EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR :

Área de Disponibilidad total – Área de Gasto

4

0)4)(2()( dqqDEC

Resultado del ejemplo

En este ejemplo…

Generalizando:

p = D(q)

2

0 4 q

p

EC

0

0 00)(q

qpdqqDEC

La ecuación de demanda para un producto es p = D(q) = -q2+25, para

0 < q < 5. Sabiendo que p es el precio por unidad en dólares y q la cantidad de unidades demandadas.

(a) ¿Cuál es la disponibilidad total de gasto de los consumidores de este mercado, si se sabe que el precio de mercado asciende a $9?

(b) ¿Cuál es el EC?

Ejercicio Matemático

50 p

Problemas de texto : Haeussler, Jr; “Matemáticas para administración y economía”; páginas 672-674

Ejercicios del libro