aplicaciones de la integral definida cÁlculo diferencial e
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Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Sea una función definida sobre , , con derivada contínua sobre , . Sea además una
partición ,.......,, 10 entonces podemos obtener la poligonal formada por la
unión de segmentos con extremos ,...,1;))(,(,))(,( 111 entonces:
21
21
11 ))()(()( es la longitud de la poligonal.
Si existe el número0||
lim este es llamado la del gráfico de desde
))(,( hasta ))(,( .
x =bx x
Pi-1PiP0
Pn
Si )( es una función con derivada contínua sobre , entonces la
longitud de arco desde ))(,( hasta ))(,( es dada por:2
1
Se tiene usando las definiciones previas con sumas de Riemann.
Si )( es una función con derivada contínua sobre , entonces la longitud de arco desde ))(,( hasta ))(,( es dada por:
2
1
x0=a xn=bxi-1 xi
10.1. LONGITUD DE ARCO.
longitud de arco
- 158 -
Teorema 10.1.
Demostración:
Observación:
f ba ba
bxxxa n
nixfxPxfxP iiiiii
n
iiiiii
n
iii xfxfxxPPL
LL f
afa bfb
xfy ba
afa bfbb
adx
dx
dyL
yfx dccfc dfd
d
cdy
dy
dxL
[ ] [ ]{ }===ℑ
=−−−
∑∑=
−−=
−ℑ −+−==
ℑ→ℑ=
= [ ]
∫
+=
= [ ]
∫
+=
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Dada la función 3,8;)ln()(
Inmediatamente tiene derivada contínua en 3,8
Por el teorema anterior 3
8
2
2
3
8
2 11)('1
Entonces3
8
21 )1(
Dado que 02
11podemos sustituir 22
Entonces
11
11ln
2
11
1
1ln
2
1
1)1(
2
22
221
Entonces
3
8
2
223
8
21
11
11ln
21
1)1(
32
ln21
1
Sea )( es una función contínua sobre , y ,;0)(entonces el área de la región limitada por la gráfica de , el eje y las rectas ,
es dada por )(
Se tiene directamente de la definición de integral definida.
Si ,;0)( entonces )(
Si , son funciones contínuas sobre , y ,;)()(entonces el área de la región limitada por la gráfica de , y las rectas , es
dada por ))()((
a b
f(x)
R
Ejemplo:
10.2. ÁREA DE REGIONES PLANAS.
Teorema 10.2.
.
Demostración:
- 159 -
Observación:
Corolario 10.3.
.
Demostración:
[ ]−−∈−==
[ ]−−
( ) ∫∫−
−
−
−
+=+=
∫−
−
− +=
=+−
∈ =⇒+=
+
++
−+++=+
+
−+=
−=+∫ ∫−
−
−
−
−
−
++
−+++=+= ∫
+−=
= [ ] [ ]∈∀≥==
∫=
[ ]∈∀≤ ∫−=
[ ] [ ]∈∀≤==
∫ −=
xxxfy
f
dxx
dxxfL
dxxxL
xdxzdzxiz
Cx
xxC
z
zzzdz
z
zdxxx
x
xxdxxxL
xfy ba baxxf
R f X bxaxb
aR dxxfA
baxxfb
aR dxxfA
gf ba baxxgxfR f g bxax
b
aR dxxfxgA
Z
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Como )( es una función contínua en el intervalo , tiene mínimo absoluto tal que
,;)( .Trasladando el origen ,0 tenemos ',0'En el gráfico de tenemos ))(,'(),'()','())'(,'(En el gráfico de tenemos ))(,'())'(,'(Además )()(0)'()'(0
Según el teorema y la observación anterior ))(())((
Por propiedad de integral definida ))()((
Para determinar estas áreas también se puede trabajar funciones )(,)(
contínuas sobre , obteniéndose ))()((
Para determinar el área comprendida entre las curvas 222 ,Podemos considerar las funciones:
a b
g(x)
R
f(x)m
R
x´
x
32
)(2)(
1
0
232
)(2 s
158
31
53
231
53
2
1
0
335
Dada una región plana conteniendo un segmento de recta, el sólido obtenido al rotar la región plana alrededor del segmento es llamado . La recta conteniendo el segmento es llamado eje de revolución.
1
x2=y
x3=y2
R
R
xfy ba m
baxmxf
m myyxx
f mxfxmyxyxxfx
g mxgxxgx
mxgmxfxgxfb
a
b
aR dxmxfdxmxgA
b
aR dxxfxgA
ygxyfx
dcd
cR dyyfygA
yxxy
yyfx
yygx
dyyyAR
yy
= [ ][ ]∈∀≥
( ) +=+=−=−==
−=−≤−≤⇒≤≤
∫∫ −−−=
∫ −=
==
[ ] ∫ −=
==
==
==
∫ −=
=
−=
−=
Observación:
Ejemplo:
- 160 -
10.3. AREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN.
Definición 10.1.sólido de revolución
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Dada una región limitada por el gráfico de una función con derivada contínua tal que
],[,0)( . Si rotamos esta region obtenemos una superficie de revolución .
Ahora considerando una partición = ,.......,0 de [ ]
El i-esimo intervalo [ ], forma con los puntos ))(,(,))(,( 111 un
trapezoide que al ser rotado nos dá un tronco de cono circular recto de área lateral:
21
2111 ))()(()(),(;))()((
Según el teorema del valor medio ))((́)()(;, 111
Entonces
21 ))(́(1))()((
xi-1 ba
Pi-1
xi
Pi
i
Sumando las áreas de todos los troncos de cono según la partición tenemos:
1
21
1
))(́(1))()((
Ahora si | | 0 entonces ,1 además )(2)()( 1
Según la definición de integral de Riemann el área lateral de será:
2))(́(1)(2
Si el grafico de se encuentra a un mismo lado de la recta la superficie de revolución alrededor de la recta tendrá área lateral:
2))(́(1|)(|2
Área lateral de superficies de revolución:
- 161 -
Observación:
R f
baxxf R S
bxax n a,b
xi-1, xi iiiiii xfxPxfxP
iiiiiiiiiii xfxfxxPPdLLxfxfA
iiiiiiii xxfxfxfxx
iiiii xfxfxfA
n
iiiii
n
ii xfxfxfA
iii xx iii fxfxf
S
b
aS dxxfxfA
f y = kS
b
aS dxxfkxfA
∈∀≥
{ }==
−−−
−−−− −+−==+=
−−− −=−⟩⟨∈∃
∆++= −
λ
∑∑=
−=
∆++=
→ →− →+−
∫ +=
∫ +−=
P
P
p
ll
lp
lp
l l
p
p
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Consideremos el sólido tal que al trazar planos perpendiculares a cualquier eje por ejemplo el eje obtenemos continuamente secciones transversales , ],[ .
Considerando la aplicación área :],[: la cuál es contínua.
Entonces el volumen de S es dado por:
Dado el sólido que es parte común de dos cilindros circulares rectos de radio . Si los ejes de los cilindros se cortan perpendicularmente.
Podemos tomar como 8
1 de porción de la superficie con secciones transversales
rectangulares de área: 222||2
Entonces :
0
322
0 32
21
Por tanto 33
3
16)
3
2(8
Dada una región limitada por la gráfica de una función contínua ],[;)( , el eje
y las rectas , es dada. Rotando esta región alrededor del eje obtenemos un
sólido de revolución para el cuál las secciones transversales perpendiculares al eje son
yx
discos circulares de radio | | = | |.
Entonces 222 ))((||
Por lo tanto 2))((
ba
Sx
R
f(x)
x
y
10.4. VOLUMEN DE SÓLIDOS.
1) Volumen de sólidos usando secciones transversales
Ejemplo:
2) Volumen de sólidos de revolución por discos circulares
- 162 -
SX Sx bax
xSAxIRbaAb
a SS dxAVx
r
S1
xrxxyAx
rr
xS rdxxrxdxAV
rrVS
R baxxfy
X bxax X
S X
Sx y f(x)
xfyyAxS
b
aS dxxfV
∈∀
→→
∫=
−==
∫∫ =−==
==
∈∀=
==
===
∫=
ppp
p
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Dada una región limitada por la gráfica de las funciones continuas
],[;)(,)( , las rectas , tal que los gráficos de las funciones
están a un mismo lado de la recta y | | | g |.
Entonces rotando esta región alrededor de la recta obtenemos un sólido de revolución
para el cuál las secciones transversales perpendiculares al eje son anillos circulares de
radio menor | | = | | y radio mayor | | = | |.
Así ]))(())([( 22
ba
Sx
R
f(x)
y
z
x
y =k
g(x)
]))(())([( 22
Para la recta se tiene el volumen ]))(())([( 22
Para la recta se tienen: ]))(())([( 22
Para la recta se tienen ]))(())([( 22
Consideremos los gráficos de , funciones continuas sobre [ , ] tales que
],[,)()( , la recta con .
3) Volumen de sólidos de revolución por anillos circulares
- 163 -
Observación:
4) Volumen de sólidos de revolución por anillos circulares
R
baxxgyxfy bxax
y = k f(x)-k (x-k)
y = k S
X Sx
y f(x)-k y g(x)-k
kxfkxgAxS
b
b
aS dxkxfkxgV
y = 0b
aS dxxfxgV
x = kb
aS dykyfkygV
z = k b
aS dzkzfkzgV
f g a b
baxxgxf x = k k a
∈∀== ==
≤
−−−=
⇒ ∫ −−−=
∫ −=
∫ −−−=
∫ −−−=
∈∀≤
p
p
p
p
p
£
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Si alrededor de la recta hacemos rotar la región formada por los gráfico de , ,
las rectas , obtenemos un sólido de revolución el cuál es unión de cilindros ,
],[ de radio y altura .
Entonces el volumen de es dado por:
)]()()[(2
Para la recta se tienen:
)]()()[(2
ba
Sx
R
f(x)
y
z
x
y =kg(x)
S
Para determinar el volumen del sólido generado por la rotación de la región
limitada por: 1,)1( 2 alrededor de es dada por:
Consideramos:
]4,0[),(1)1()( 2
4
0)]()()[4(2
4
0
2 ])1(1)[4(2
4
0
23 )127(23
644
f(x)=(x-1)2
g(x)=x+1
R
x = k R f(x) g(x)
x = a x = b S Sx
bax x-k g(x)-f(x)
S
b
aS dxxfxgkxV
k b
b
aS dxxfxgxkV
aS
S R
xyxy L : x = 4
xxgxxxf
dxxfxgxVS
dxxxx
dxxxx
∈
∫ −−=
∫ −−=
∫
+=−=
∈=−≤−=
∫ −−=
∫ −−+−=
∫ +−= =
p
³
p
p
p
p p
Observación:
- 164 -
Ejemplo:
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Dada una partícula de masa y una recta se define el de la
partícula respecto de la recta como la masa por la distancia de la partícula a la recta ó
sea: ( ).
Una si dos divisiones de ella de igual área tienen el mismo
peso. La de una lámina es la masa de una unidad cuadrada de lámina (Por lo
que la densidad de una lámina homogénea es constante y la masa de la lámina es
Área), en el caso de un alambre )).
El homogénea es el punto de equilibrio de la lámina.(Por
ejemplo el centro de masa de una lámina circular es el centro y de una lámina rectangular
está en la intersección de las diagonales).
El de masa respecto de una recta es el momento de
masa de una partícula de masa situada en el centro de masa de la lámina.
Si una lámina es dividida el momento de la lámina respecto de una recta es la suma de los
momentos de las divisiones.
El momento de masa de una partícula de masa situada en el punto ( )
del plano Euclidiano respecto de los ejes X, Y son dados por: ,
Para un sistema de partículas de masas , situadas en los puntos ( ), .., ( )
respectivamente se tienen los momentos del sistema:
1
, 1
Ahora si ),( es el centro de masa ó gravedad del sistema de partículas, con masa
1
entonces los momentos de masa de ),( respecto de los ejes coordenados
estarán dados por:
P(x, y)x
y
10.5. MOMENTOS Y CENTROS DE MASA.
Definición 10.2. (Densidad, momentos y centro de masa)
1.- momentos de masa
2.- lámina es llamada homogénea
densidad
3.- centro de masa de una lámina
4.- momento de masa de una lámina
5.-
Centro de masa ó centro de gravedad en el plano
Definición 10.3.
- 165 -
P m L
P L
ML = md P, L
m =
( m = (Longitud
m
m
P m x, y
MX = my MY = mx
n m1,… mn x1, y1 xn, yn
n
iiiX ymM
n
iiiY xmM
yxC
n
iimm yxC
ρ
∑=
= ∑=
=
∑=
=r r
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
, con 11
,
Por tanto ,),(
Consideremos una lámina homogénea ocupando una región en el plano la cuál está limitada
por las gráficas de las funciones continuas , sobre [ ] y las rectas x = a , x = b tales que
],[;)()( . Podemos considerar una partición = ,.......,0 de [ ]
con punto medio ],[ 1
Por ser la lámina homogénea la masa de i-esimo rectángulo de la partición es dado por
,......1;)]()([ y el centro de masa de este rectángulo es dado por.
)()(
a b
f(x)
R
xixi-1 i
Ci
g (x)
2
)()(,
Por lo que los momentos de masa para los n-rectángulos estarán dados por:
11 2
)()())()((
11
))()((
Entonces el centro de masa ó gravedad para los n-rectángulos homogéneos estará dado por:
1
1
22
1
1
))()((
]))(())([(2
1
,))()((
))()((,),(
xmMymM YX
n
iiiY
n
iiiX xmMymM
m
M
m
MyxC XY
R
f g a, b
baxxgxf bxax n a,b
i ii xx
niiiii xfgm
gf iiii
gfC
i
n
i
iiii
n
iiiX x
gffgymM
i
n
iiii
n
iiiY xfgxmM
n
iiii
n
iiiii
n
iiii
n
iiiii
XY
xfg
xfg
xfg
xfg
m
M
m
MyxC
== ∑∑==
==
=
∈≤ { }==
−
=∆−=
+
λ
+=
∆
+−== ∑∑
==
∆−== ∑∑==
∆−
∆−
∆−
∆−=
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
Centro de masa ó gravedad de una lámina en el plano
- 166 -
P
l
llr
ll lll
llllr
lllr
ll
lll
ll
lll
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Ahora si | | 0 entonces por definición de integral de Riemann el centro de masa ó gravedad
de la lámina limitada por la región es dado por:
))()((
]))(())([(,
))()((
))()((),(
22
2
1
Observar que las coordenadas del centro de masa no dependen de la densidad . Además
recordar que el área de la región es dada por:
))()(()( .
Consideremos un alambre homogéneo ocupando una curva en el plano, descrita por el gráfico
de una función con derivada contínua ],[;)( .
Con una partición del intervalo [ ], = ,.......,0 obtenemos la poligonal desde
))(,( 00 hasta ))(,( que une los segmentos de recta desde ))(,( 11 hasta
))(,( y los centros de gravedad de estos segmentos de rectas es dado por
2
))((, 1 donde
21 .
Los momentos de los n-segmentos estarán dados por:
1
121
21
1 2
)()())()(()(
1
21
21
1
))()(()(
Por otro lado en cada ,1 existe tal que ))((')()( 11 entonces:
x0=a xn=bxi-1 xii
P
P
→
−
−
−
−=
∫
∫
∫∫
ρ
∫ −=
∈=
{ }==
−−
+− += −
∑∑=
−−−
=
+−+−==
∑∑=
−−=
−+−==
⟩⟨ − −− −=−
λ
R
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfxg
dxxfxg
dxxfxg
dxxfxgxyxC
R
b
adxxfxgRA
baxxfy
a,b bxax n
xfx nn xfx ii xfx
ii xfx
iii
xfxf iii
xx
n
i
iiiiii
n
iiiX
xgxfxfxfxxymM
n
iiiiii
n
iiiY xfxfxxxmM
ii xx ci iiiii xxcfxfxf
Centro de masa ó gravedad de un alambre en el plano
- 167 -
l l
r
lr
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
1
12
2
)()())('(1 ,
1
2))('(1
Ahora si | | 0 entonces )(2
)(2
2
)()(,, 1
1
Por tanto según definición de integral de Riemann el centro de masa del alambre es dado por:
22 ))('(1)(,
))('(1,),(
2))('(1 .
Consideremos una lámina homogénea de densidad constante la cuál esta limitada en el plano
por el gráfico de una función contínua en , y ,;0)( . Entonces el
sólido de revolución obtenido al rotar la región alrededor del eje tiene centro de gravadad
llamado ubicado en el eje de revolución en este caso el eje .
Para una partición = ,.......,0 el i-esimo rectángulo al girar genera un disco de
radio )( con 1 , espesor y volumen 2))(( .
Luego la masa del disco estará dada por 2))(( donde es la densidad.
El centro de masa de este disco está sobre el eje de revolución )0,0,( .
El momento de masa del disco respecto del plano estará dado por )))((( 2
x0=a xn=bxi-1 xii
z
y y=f(x)
∑=
−
+∆+=
∑=
∆+=
→ =→+
→→ −−
++=
=∫∫
∫ +=
[ ] [ ]∈∀≥
{ }==
+= − ∆ ∆
∆ ρ
∆
λ
n
i
iiiiX
xgxfxcfM
n
iiiiY xcfM
iiii
iiii cfcfxfxf
cxx
L
dxxfxf
L
dxxfx
m
M
m
MyxC
b
a
b
aXY
b
adxxfL
XY f ba baxxf
X
X
bxax n
if iii
xxix ii xf
ii xf
i
YZ iii xf
r
lr
l
l l lp
lr p
l
lr pl
P
P
Centroide de sólidos de revolución en el espacio
centroide
- 168 -
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Y el momento de masa para todos los discos será 1
2))((
Ahora si | | 0 entonces por definición de integral de Riemann se tiene que el momento de
masa del sólido de revolución respecto del plano es dado por 2))(( con
masa total 2))(( .
Por tanto el centroide del sólido 0,0,))((
))((0,0,)0,0,(
2
2
Si una región del plano está limitada por los gráficos de las
funciones contínuas , en [ , ] y con centro de masa ó gravedad ),( de la
lámina que ocupa .
Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje es dado
a b
g(x)
R
,
f(x)
Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje es dado
por: 2 . Donde es el área de la región .
Usando discos circulares: ]))(())([( 22
En el centro de gravedad ),( de se tiene:
))()((
]))(())([( 22
2
1
Como el área de es ))()((
entonces 2
∑=
∆
→
∫=
∫=
=
==
∫∫
( )
=
∫ −=
∫
∫−
−=
∫ −=
=
n
iiii xf
YZb
aYZ dxxfxM
b
adxxfm
b
a
b
aYZ
dxxf
dxxfx
m
MxC
R
f(x) g(x) a b g(x) f(x) yx
R
S R X
yx
S R X
RS AyV A R
b
aS dxxfxgV
yx R
b
a
b
a
dxxfxg
dxxfxgy
Rb
aR dxxfxgA
RS AyV
lr pl
r p
r p
³
p
p
p
P
Teorema 10.4. (De Papus)
- 169 -
Demostración:
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Usando transformación de coordenadas el volumen del sólido al rotar la región alrededor de
la recta es dada por 2 . Donde es el área de y es la distancia del centro de
gravedad de la lámina hasta .
Para la lámina que ocupa la región limitada por ,4 2
Se tiene que:
6
27])4[(
3
0
2
5
54])4[(
2
1 22
4
27])4([ 2
223
,5
12,),(
Considerar el sólido de revolución generado al rotar sobre el eje X la región
limitada por el eje , y la recta .
Podemos usar el método de los discos circulares para determinar:
0,0,)0,0,(
4
x=4y-y2
y=xR
3
2
243
))((3
0
53
0
2
5
243
))((3
0
43
0
2
Entonces 0,0,2
50,0,)0,0,(
3
y=x2
R
y
z
x
Observación:
Ejemplo:
Ejemplo:
- 170 -
R
L AdVS A R d
R L
R xyyyx
dyyyyA
dyyyyM Y
dyyyyyM Y
m
M
m
MyxC XY
X y = x2 x = 3
m
MxC YZ
m
dxxdxxfxM YZ
dxxdxxfm
m
MxC YZ
p
rr
rr
r p
r pr p
r p
r pr p
=
=−=
=−−= ∫
∫ =−−=
∫ =−−=
=
=
==
=
== ∫∫
=
== ∫∫
=
==
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Si se ejerce una fuerza constante sobre un cuerpo entonces en un desplazamiento el trabajo
realizado se define .
En el plano Euclidiano podemos considerar F(x) = k constante y el incremento de la distancia
en el eje desde hasta
Entonces el trabajo realizado por la fuerza para desplazar el cuerpo la distancia será:
que es el área del rectángulo limitado por , , y el eje .
Ahora si consideramos un cuerpo desplazado por una fuerza variable y el
desplazamiento desde hasta . Para obtener el trabajo total W realizado por esta
fuerza podemos considerar una partición = ,......., tal que desde hasta
F
d
F(x)=k
R
y
a b x
fuerza podemos considerar una partición = ,.......,0 tal que desde hasta
consideramos la fuerza constante ],[,)()( 1 con trabajo )( .
Cuando | | 0 podemos usar la definición de integral de Riemann para obtener que el
trabajo realizado por la fuerza desde hasta es dado por: )(
x0=a xn=bxi-1 xii
yy=F(x)
10.6. CALCULO DEL TRABAJO Y PRESIÓN DE LÍQUIDOS.
Trabajo realizado por una fuerza
- 171 -
F d
W = Fd
x X x = a x = b
F d = b-a
W = Fd F(x) = k x = a x = b X
F = F(x)
x = a x = b
bxax xi-1 xi
bxax n xi-1 xi
iiiii xxxkFxF iii xxFW
F(x) x = a x = bb
adxxFW
∆
{ }==
{ }==
−∈== ∆=
→
∫=
λ
P
P
P
l
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Sobre el eje consideremos un resorte de longitud . Según la ley de Hooke la
fuerza necesaria para alargar ó comprimir el resorte es directamente proporcional la
elongación ó compresión. Ó sea la fuerza necesaria para estirar ó comprimir el resorte
unidades es dado por donde es una constante.
El trabajo para estirar el resorte es0
,
para comprimir 0
Para determinar el trabajo necesario al bombear un líquido de un recipiente
semiesférico de radio y altura podemos tener en cuenta: Centrar el recipiente en el eje ,
cortar el recipiente por el plano determinando el trabajo para levantar le líquido de la
mitad del recipiente el trabajo total será .
Para esto consideremos una partición = ,......., con el intervalo ],[
-b
L
a
b
Para esto consideremos una partición = ,.......,0 con el intervalo ],[ 1
podemos construir una sección cilíndrica de profundidad radio 22 )()( el
cuál tendrá volumen: ))(())(( 222
2
1
2
1
h+r
xi-1
xi
i
hz
y
Ejemplo:
Ejemplo:
- 172 -
X L
x
F(x) =Kx K
akxdxW
bkxdxW
r h X
XZ W1
W = 2W1
rhxhx xx
rhxhx n ii xx
ix hrf ii
iiiii xhrxfV
∫=
∫−
=
{ }+==
{ }+== −
∆ −−=
∆−−=∆=
ε
P
P
ee
epep
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Si es el peso por unidad de volumen del líquido entonces el peso de la sección cilíndrica
requerida para el volumen será ))(( 22
2
1 que es la fuerza requerida para
bombear el elemento de volumen . Cuando | | 0 la distancia que recorre el elemento de
volumen es i y el trabajo para bombear el elemento de volumen será:
entonces ))(( 22
2.
El trabajo total: ))((2
22 221
La fuerza ejercida por unidad cuadrada por un líquido sobre una placa se
llama presión del líquido.
Para una placa sumergida horizontalmente:
Si es el número de unidades del peso por unidad cúbica del líquido y es el número de
unidades de profundidad de un punto bajo la superficie del líquido entonces es la
unidad de presión ejercida por el líquido en el punto.
Ahora si es el número de unidades cuadradas de área de una placa plana que está
sumergida horizontalmente en el líquido y es el número de unidades de fuerza originada
por la presión del líquido que actúa sobre la cara superior de la placa entonces:
Para una placa sumergida verticalmente:
Podemos considerar el principio de Pascal: “En cualquier punto en un líquido la presión es
la misma en todas las direcciones”
Ahora sea una placa ocupando la región limitada por el eje , las rectas , y la
función contínua ],[,)( .
La longitud de la placa en una profundidad está dada por .
Consideremos una partición = ,.......,0 de ],[ el intervalo ],[ 1 dá
un i-esmo rectángulo con longitud )( y ancho 1 .
Si rotamos cada rectángulo 90º tenemos placas rectangulares sumergidas horizontalmente a
una profundidad i.
w
Vi iii xhrP w
Vi
iii PW iiii xhrW w
rh
hxdxhxrwWW
w h
p = wh
A
F
whAFpAF whAFpAF
R X x = a x = b
baxxfy
x f(x)
rhxhx n ba ii xx
if iii xxx
∆−−=
→
ε
= ∆−−=
∫+
−−==
=⇒= =⇒=
∈=
{ }+== −
−−=∆
ε
ep
e eepp
p
e
P
P
Presión de líquidos
Definición 10.4.
i)
- 173 -
ii)
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Como sabemos la fuerza ejercida por la presión del líquido estará dada )(
Cuando | | 0 podemos usar la definición de integral de Riemann para obtener la fuerza
ejercida por la presión del líquido: )(
b
xi-1
xi
i
a
x
y
y=f(x)
iiii xfwF
b
adxxwxfW
∆=
→
∫=
ε
ee
P
- 174 -
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
I. - Graficar y hallar el área limitada por: 1) y2 = 5a2 – ax ; y2 = 4ax 2) y = ln( x2 ) ; y = ln( 4 ) ; x = e
3) y = tg –1x ; y = cos -1
2
3 ; y = 0
4) 0;
0;4
4 2
4;163
4;16
4882
5) y + x = 0 ; y = 0
)( ; f(t) = 0;12
2;3 2
II.- a) Solucionar los siguientes problemas 1) Determinar el volumen del sólido que es la parte común a dos cilindros circulares
rectos de radio r suponiendo que sus ejes se cortan perpendicularmente. 2) La base de un sólido S es una elipse cuyos ejes miden 20 y 10 unidades. La
intersección de ese sólido con un plano perpendicular l eje mayor de la elipse es un cuadrado. Hallar el volumen de S.
3) La base de un sólido S está limitado por x = y2 , x = 3 – 2y2. Hallar el volumen de S sí las secciones transversales perpendiculares al eje X son cuadrados.
b) Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R alrededor L. 1) L : y = 0 y R : y = sen2 x , x = 0, x = 2) L : y = 0 y R : x2 + (y – b)2 = a2 ; b a 3) L : y = -1 y R : y = cos-1 x ; y = sen-1 x ; x = 1
4) L : x = 0 y R : y = 102 ; x = 3 ; x = 4
5) L : y = 0 y R : y = cos1
sen ; x = ; x =
3 5) L : y = 0 y R : y =
cos1 ; x =
2 ; x =
2 6) L : x = 1 y R : y = | x2 – 2x – 3 | ; y +1 = 0 ; x = 2 ; x = 4 7) L : x = 0 y R : y = | sen x | ; 2x = ; 2x = 3 ; y = 0 8) L : x = -4 y R : 2x + 3y = 0 ; 4x2 + 9y2 = 36
9) L : y = 2
y R : y = tg-1 x ; x = 0 ; x = 4
; y = 0
III.- Hallar el Centro de Gravedad de las regiones limitadas por: 1) y = x2 – 4 ; y = 2x – x2
2) 3 ; y = 0 ; x = 0
3) y = x3 – 3x ; y = x sobre el lado derecho del eje Y 4) La elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 con los ejes x 0 , y 0 5) y = x3 , y = 4x en el primer cuadrante.
6) y = a cosh entre x = -a , x = a ( Arco de la Catenaria )
IV.- Hallar el centroide del sólido de revolución de : 1) La región limitada por x + 2y = 2 , el eje X , el eje Y alrededor del eje X
10.7. RELACIÓN DE EJERCICIOS:
- 175 -
<
≥−
=
≤−
−>−+
=
∫
>−−
<
π≥
+
−−
π π
=+
≥ ≥
x
xx
xxx
yxx
xxx
y
xdttf
tt
tt
x
x
x
x
yx
a
x
p p
p p
Aplicaciones de la integral definida CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
2) La región limitada por y2 = x3 ; x = 4 alrededor del eje X. 3) La región limitada por y = x3 ; x = 2 , el eje X, alrededor de x = 2 4) La región limitada por x4y = 1 ; y = 1 ; y = 4 , alrededor del eje Y. 5) La región limitada por y = x2 ; y = x + 2 alrededor de y = 6
6) La región limitada por y = 4 el eje X, la recta x = p, alrededor de x = p
V.- 1) A(0, 0), B(a, 0), C(0, 2
) ; a > 0 vértices de un triángulo. Calcular el volumen del
sólido obtenido por la rotación en torno de la recta = x – a de la región limitada por el triángulo
2) Sea R la región limitada por y = x2 – 1 , y = x – 1 Hallar el volumen del sólido obtenido por la rotación de la región R alrededor de la recta y = x – 1.
3) Usar el teorema de Papus para hallar el centro de gravedad de la región limitada por un semicírculo y su diámetro.
4) Usar el teorema de Papus para hallar el volumen de una esfera de radio r.
5) Sí R es la región limitada por el semicírculo y 22 y el eje X. Usar el teorema de Papus para hallar el momento de R respecto de la recta y = -4
VI. 1) Un resorte tiene una longitud natural de 8 Ud. Sí una fuerza de 20 Ud. estira el resorte 0.5 Ud. Hallar el trabajo realizado al estira l resorte de 8Ud. a 11Ud.
2) Un resorte tiene una longitud de 6 Ud. Una fuerza de 12,000 Ud. comprime el resorte 5.5 Ud. Hallar el trabajo realizado al comprimirlo de 6 Ud. a 5 Ud. (la ley de Hooke se cumple para extender y comprimir )
3) Un tanque de agua en forma de cono recto mide 20 Ud. de diámetro en su parte superior y 15 Ud. de profundidad. Sí la superficie del agua está 5 Ud. por debajo de la tapa del tanque hallar el trabajo realizado al bombear el agua hasta la parte superior del tanque
4) Una pila llena de agua tiene 10 Ud. de largo y su transversal tiene la forma de un triángulo isósceles de 2 Ud. de ancho de sección en el tapón y 2 Ud. de altura ¿ Cuánto trabajo se realiza al bombear todo el agua fuera de la pila sobre la parte ¿ Cuánto trabajo se realiza al bombear todo el agua fuera de la pila sobre la parte superior ?
5) Un tanque rectangular lleno de agua tiene 2 pies de ancho y 18 pulgadas de profundidad hallar la fuerza de presión a un extremo del tanque.
6) El fondo de una alberca es un plano inclinado. La alberca tiene 2 Ud. de profundidad en el extremo y 8 Ud. en el otro. Sí el ancho de la alberca es 25 Ud. y la longitud es de 40 Ud. Hallar la fuerza total debido a la presión del líquido sobre el fondo.
7) Halle la fuerza que el agua ejerce sobre un triángulo sumergido con base paralela a la superficie de 9 dm. altura 4 dm. con base sumergida a 2 dm.
8) Halle la fuerza que soporta un semicírculo de radio sumergido verticalmente en agua de tal forma que su diámetro coincide con la superficie libre de aquella.
9) Una presa vertical tiene la forma de un trapecio. Calcule la presión total del agua sobre dicha presa sabiendo que la base superior tiene a = 70 mt. base inferior b = 50 mt. y su altura h= 20 mt.
px
a
xr −
- 176 -