aplicacion del calculo integral a estructuras geométricas sólidas - luisa vélez

Colegio Nuevo Colombo Americano. Vélez, Luisa. Calculo Integral en estructuras sólidas.

Resumen— El objetivo fundamental del presente trabajo de grado del PMV de Matemáticas es hacer un acercamiento más específico en el área del Cálculo integral, teniendo en cuenta los conocimientos previos y la ejercitación proporcionada a través del semestre; para de esta manera llegar a la resolución de un problema de aplicación. En este caso la situación determinada es: Calcule el volumen de una cruz formada por dos cilindros circulares rectos de radio r y de altura h que se intersecan en un ángulo recto.

Índice de Términos—Cálculo integral, Cilindro, Integral definida, Teorema fundamental del cálculo, Volumen de un sólido a través de secciones trasversales.

I.INTRODUCCIÓN

En el 2009 el Colegio Colombo Americano decidió cambiar las políticas para el proyecto medio vocacional trabajado por los estudiantes de grado décimo y undécimo. En este no sólo se va a tener en cuenta la parte investigativa, sino también un enfoque de aprendizaje por medio de clases magistrales, las cuales le dan soporte y enseñanza a los conceptos vistos en esquemas universitarios; es por esto que en el segundo semestre se hizo un acercamiento en le calculo integral, proporcionando herramientas para la solución de situaciones de aplicación.

El Cálculo integral es una de las ramas de las matemáticas, en ella se estudia el Cálculo a partir de la integración, este es un proceso inverso a la derivación. Es por esto que si la derivación consiste en dada una función f se encuentra su derivada f’, entonces la integración busca encontrar un función f de la cual f` sea su derivada.

Dentro del campo del cálculo integral se encuentra la integral definida, ésta es utilizada para hallar áreas y volúmenes, pues al ser definida da como resultado un real y no una función, este es el caso de la integral indefinida. No obstante hay que tener en cuanta las características del integrando pues de esto depende que el resultado sea un área o un volumen.

De la misma manera es utilizada para modelar situaciones cotidianas, es por esta razón que el proyecto media vocacional del segundo semestre del año 2009 se enfocó en el desarrollo de estas situaciones. Específicamente esta investigación consiste en hallar el volumen del sólido formado por la intersección en un ángulo recto de dos cilindros de radio r y de altura h. Esto se realizara guiado por las siguientes líneas estratégicas, en primer lugar el bosquejo o graficación para ayudar a la visualización y materialización de la situación, segundo lugar se plantea una formula general que describe la manera por cual se va a resolver el problema de aplicación, por ultimo a través de las integrales definidas y sus diferentes métodos en este caso secciones trasversales se dará una solución apropiada para la investigación.

II. Contenido

Como estrategia se utilizó en primer lugar el bosquejo, graficación y análisis de la situación problema, con esto se planteó una fórmula general que la modelara. Luego se desglosó y desarrolló cada una de las partes de la fórmula planteada para llegar a la solución del enunciado.

PMV Matemáticas 2009

Aplicación del cálculo integral a estructuras geométricas sólidas

Vélez, Luisa [email protected]

Colegio Nuevo Colombo Americano

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Primera parte:

Se definen las teorías básicas:Para poder comenzar es necesario tener en cuenta que la aplicación de una integral definida depende de las características del integrando, esto se puede observar en lo siguiente:

(1)

También hay que tener en cuenta que los cilindros que conforman el sólido descrito en la situación problema son iguales.

Modelar la figura geométrica:


2

La estrategia a desarrollar consiste en hallar el volumen de un sólo cilindro; ya que, como

se dijo anteriormente , y este

valor se multiplicará por dos. Los cilindros tienen base circular y su altura está delimitada por a y b.

Se debe aclarar que la base de los cilindros está dada por la ecuación

(2)

La Fig. 2 representa el sólido formado a partir de la intersección de dos cilindros de igual tamaño.

Figura 1 Cruz formada por la intersección de dos cilindros

Figura 2


También hace parte de la teoría básica que el volumen de un cilindro es

Lo cual además se puede demostrar por medio de la integración:

(3)

Plantear la fórmula general:

(4)

Donde VTS : volumen total del sólido VC: Volumen del cilindro completo VTI: Volumen total de la intersección El sólido se dividió en 2 partes, una de ellas representa uno de los cilindros (ubicado en el eje x) y la otra parte constituye la intersección de los dos cilindros. El plan a desarrollar consiste en hallar el volumen del cilindro mencionado y posteriormente multiplicarlo por dos, a continuación se halla el volumen total de la intersección, el cual se le restará al resultado anterior.

Desarrollo de la primera parte a partir de las fórmulas enunciadas:

Lo primero que se debe hacer es hallar el volumen del cilindro parcial a partir de la integración, lo cual se evidencia en el siguiente desarrollo matemático:

(5)

Segunda parte:

En segundo lugar se debe hallar el volumen de la intersección por medio del método de secciones transversales, sin embargo hay que aclarar que principalmente se tomó sólo un octavo de la intersección (un octante) ya que al analizar la situación se hizo evidente que el volumen de un octante se puede resolver por medio de secciones trasversales, y así hallar la totalidad de la intersección multiplicando el volumen encontrado por 8.


3

Es pertinente aclarar que hace

alusión a “r”.


Figura 3 Octante de la intersección y su sección transversal

La sección transversal está perpendicular al el eje Y, por lo cual Y es el mismo valor para cualquiera de los lados de la sección, es por esto que de la ecuación de la circunferencia que describe la base de los cilindros se despeja la variable X.

Se utilizó el método de secciones trasversales cuadradas de lado X, donde X vale:

(6.1)

Debido a que

(6.2)

Sabiendo que el área de un cuadrado (la sección transversal que se va a usar AS) es y aplicando que se

dice que el área de la sección es

(7)

El siguiente paso es integrar la fórmula que representa el área de la sección usada.

(8)

Donde VOI: Volumen octante de la intersección. Posteriormente el resultado se multiplica por 8 para así calcular el volumen total de la intersección.


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(9)

Tercera partePor último se van a unificar las fórmulas encontradas para finalmente producir una formula general para hallar el volumen de la cruz formada por dos cilindros de radio r y altura h que se intersectan.

Donde VTS: Volumen total del sólido VC: Volumen del cilindro completo VTI: Volumen total de intersección

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III. RESULTADOS

Después del trabajo y las deducciones realizadas se puede concluir que la siguiente formula modela el volumen del sólido descrito en la situación problema, una cruz formada por la intersección de dos cilindros de altura h y radio r.

IV. CONCLUSIONES

La realización de este proyecto trajo consigo grandes aprendizajes para la vida, como lo fue la autonomía e independencia ya que lo que se buscaba era que cada estudiante realizara su proyecto con base en los conocimientos adquiridos en clase y a través de la lectura y la investigación.

Aporta herramientas de conocimiento para el estudio de las matemáticas en un esquema universitario. Teniendo en cuenta el resultado obtenido se pudo encontrar que la división del sólido en partes cuyos volúmenes son

conocidos o más fáciles de hallar, lleva a un desarrollo más eficaz de la investigación. Hay que tener en cuenta la parte geométrica de la situación ya que su falta de comprensión puede causar una serie de

errores que evitan la exactitud de los cálculos. Durante el desarrollo de la investigación se puedo demostrar que un método eficaz y eficiente para hallar el volumen del

sólido trabajado son las secciones transversales puesto que es un método fácil de usar y contribuye a un resultado exacto.

Esta oportunidad se presta para generar experiencia en la presentación de trabajos de grado así como en la sustentación pues se maneja un ambiente investigativo.


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V. REFERENCIAS

[1] CARDONA, Oscar; NAVARRO, Guillermo. Editorial Universidad Pontificia Bolivariana. 1997 “Cálculo integral”. [2] THOMAS, George B. Editorial Aguilar. 1964. “Cálculo infinitesimal y Geometría analítica”. [3] COQUILLAT, Fernando. Editorial Tebar flores. 1999. “Cálculo integral: Metodología y problemas”.[4] McCrea, William H. Editorial Dossad. Madrid. 1942. “Geometría analítica tres dimensiones” [5] STEWART, James. Editorial Thomson. 2001. “Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas”.[6] GÓMEZ MULLET, Alfonso. Universidad EAFIT. 1980 “Cálculo Integral”.[7] ALLENDOERFER, Carl; OAKLEY, Cletus. Editorial McGraw-Hill. Madrid. 1966. “Fundamentos de matemáticas universitarias”.

VI. Autor

Luisa Fernanda Vélez


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