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Aplicación de Maple en el estudio de mecánica de fluidos
en procesos metalúrgicos
Dr. Bernardo Hernández Morales
Objetivos de cálculo de mecánica de fluidos en procesos metalúrgicos
Para flujo laminar: Campo de velocidad Campo de presión Fuerzas ejercidas sobre las fronteras del sistema
Para flujo turbulento se requiere, además de lo anterior:
Nivel de turbulencia Calidad del flujo
NOTA: Solo se considerará el caso de flujo laminar.
Dr. Bernardo Hernández Morales
Introducción
La secuencia de cálculo (para el campo de velocidad) se
esquematiza como sigue:
Esquema Características del sistema Formulación matemática
Ecuación gobernante Condiciones de frontera
Solución general Solución particular Graficación
Dr. Bernardo Hernández Morales
Introducción
Maple1 es un lenguaje de programación simbólica. Esto es, permite
manipular expresiones matemáticas además de poder evaluarlas
numéricamente.
En una hoja de trabajo de Maple pueden combinarse elementos de:
texto, operaciones simbólicas, operaciones numéricas y graficación.
1 www.maplesoft.com
Dr. Bernardo Hernández Morales
Maple
La solución de la ecuación gobernante requiere de la
aplicación de conocimientos de ecuaciones diferenciales
y álgebra. Además, es deseable graficar la solución.
Es por esto que un paquete de cómputo como Maple puede
utilizarse para automatizar el procedimiento y así concentrarse
en la interpretación de los resultados.
Evidentemente, la hoja de cálculo de Maple debe seguir la
secuencia mostrada anteriormente.
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Maple
Flujo en un ducto vertical
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r
z
Ejemplo
Características:
Flujo 1D Estado estable Flujo completamente desarrollado Fluido incompresible Fluido newtoniano Sistema isotérmico Mecanismo de transp.: viscoso Impulso debido a Fg
Esquema:
Formulación matemática
Considerando que:
El flujo es 1D (dirección z en coordenadas cilíndricas), en estado estable y está completamente desarrollado Se trata de un fluido incompresible, newtoniano y de viscosidad constante El impulso que recibe el fluido se debe a la fuerza gravitatoria y a una diferencia de presión
Se escribe la componente z de la ecn. de balance microscópico de cantidad de movimiento para coordenadas cilíndricas, eliminando términos de acuerdo a las características del sistema:
Adicionalmente, podría escribirse la ecn. de continuidad.Dr. Bernardo Hernández Morales
zrz g
LP
drrrd
r ))((1
Formulación matemática (cont.)
Como se trata de un fluido newtoniano, puede escribirse que:
Por lo que:
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drdvz
rz
zrz g
LP
drrrd
r ))((1
Formulación matemática (cont.)
Las condiciones de frontera reflejan que:
El campo de velocidad es simétrico, por lo que existe un máximo en el centro del tubo y, por lo tanto, el flux de momentum viscoso vale cero en esa posición:
El fluido en contacto con la pared del tubo está estacionario:
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0en 0dr
dvo0 z rrz
Rrvz en 0
Solución de la ecuación gobernante
La formulación matemática arroja una ecuación diferencial ordinaria(E.D.O.) de 2do orden, lineal, de coeficientes constantes (Ec. 3.14).
Este tipo de ecuación se resuelve con el comando dsolve
A partir de la solución general para el campo de velocidad, puedeobtenerse una expresión para el campo de gradiente de velocidady de flux de momentum (mecanismo viscoso)
Dr. Bernardo Hernández Morales
Solución de la ecuación gobernante (cont.)
Solución particular
Para determinar las constantes que resultan de resolver a la E.D.O.se aplican las condiciones de frontera y se resuelve el sistemade dos ecuaciones algebraicas.
Las constantes se substituyen entonces en la solución generalpara obtener la solución particular.
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Funciones para graficar
Las dos soluciones particulares se redefinen para que Maplepueda graficarlas fácilmente.
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Verificación de la solución
La solución particular debe verificarse.
Para ello, se substituyen las condiciones de frontera, obteniéndosedos ecuaciones que deben arrojar dos igualdades.
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Graficación
Finalmente, se dan valores de las constantes y se grafican lasfunciones de interés.
Para esto se utiliza el comando plot.
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