aplicación de un algoritmo aco al problema de minimización

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN Profesor Patrocinante

Facultad de Ingeniería Sr. Eduardo Salazar H.

Departamento de Ingeniería Industrial

APLICACIÓN DE UN ALGORITMO ACO AL PROBLEMA DE

MINIMIZACIÓN DE MAKESPAN EN MÁQUINAS

PARALELAS IDÉNTICAS CON TIEMPOS DE SETUP

DEPENDIENTES DE LA SECUENCIA

Pablo Arriagada Pizarro

Informe de Memoria de Título para optar al título de

Ingeniero Civil Industrial

Abril, 2012

ii

Sumario

El objetivo general de esta memoria de título es el desarrollo de una metaheurística basada en Ant

Colony System que busque minimizar el makespan en el problema de máquinas paralelas

idénticas con tiempo de preparación dependiente de la secuencia de trabajos.

Este problema consiste básicamente en la configuración de máquinas que simultáneamente

procesan trabajos, uno a la vez, con un tiempo de proceso y que al pasar de un trabajo a otro,

existe un tiempo de preparación de máquinas que depende exclusivamente de estos trabajos

saliente y del entrante. El objetivo primario de la programación es minimizar el tiempo de

finalización del último trabajo que se procesa, lo que a fin de cuentas se consigue balanceando los

tiempos de finalización de las máquinas. El problema es fuertemente NP-completo, de acuerdo a

la clasificación de Garey y Johnson (1979).

Se describe el problema de programación de la producción, planteando sus características teóricas

y sus aplicaciones prácticas, que cubre incluso más allá del ámbito productivo industrial, desde la

configuración de rutas en vehículos de reparto a la exploración planetaria y satelital, entre muchos

otros. Como el problema propiamente tal no tiene una resolución heurística simple, se presentan

adaptaciones de problemas similares que intentan aproximarse a la (desconocida) solución óptima:

dos nacidas a partir de la heurística Longest Processing Time (LPT), otra de acuerdo a la

simulación Montecarlo y una más a partir de una secuenciación de la heurística del mejor vecino.

Para contrastar los resultados que entregan estas heurísticas, se presenta una heurística de

programación de trabajos que utiliza en su operación Ant Colony System (ACS), que forma parte

de un grupo de metaheurísticas dentro de Ant Colony Optimization (ACO), heurísticas

multipropósito que se originan e inspiran en el comportamiento de ciertas especies de hormigas

que van creando el camino más conveniente para su colonia depositando feromonas que estimulan

a los insectos, en una especial forma de comunicación denominada estigmergia, que es el

intercambio de información modificando un lugar específico o su entorno inmediato y al que se

accede sólo estando en ese lugar. La heurística de programación de la producción secuencia los

trabajos inicialmente por medio de ACS, de manera que se utilice el menor tiempo de setup

posible. Luego, la secuencia inicial es dividida para que los trabajos sean asignados en las

máquinas que conforman el sistema. Esta asignación se divide internamente en dos variantes: una

que asigna hasta el último trabajo que no sobrepase un límite determinado por el makespan inicial

(asignación “antes”) y otra donde en cada máquina se asigna hasta el primer trabajo que

sobrepase ese límite (asignación “después”). Los trabajos no secuenciados por alguna de las dos

variantes se localizan en la máquina donde puedan terminar antes. Por último, la heurística

propuesta intenta reducir la utilización de la máquina más utilizada, la que termina definiendo el

makespan total. Entre los dos resultados obtenidos (producidos por las variantes antes y después),

iii

la heurística genera el makespan inferior. Este método heurístico es un híbrido entre

configuraciones constructivas y procedimientos metaheurísticos adaptados completamente para

este tipo de problemas.

Los resultados fueron probados en 6 escenarios diferentes, con 20 instancias en cada uno y

muestran que la heurística basada en Ant Colony System con revisión en su etapa final es

consistentemente mejor que todos los otros métodos constructivos presentados, generando un

makespan inferior en todos los experimentos y que en promedio supera entre un 5,5 y un 11% a la

segunda mejor heurística (Mejor Vecino). Las diferencias son mayores cuando se está ante un

escenario donde los tiempos de setup de los trabajos son comparables a los tiempos de proceso,

con lo que la heurística propuesta maneja mejor la mayor variabilidad de las soluciones. Si bien

comparativamente los tiempos que lleva ACS en ejecutarse son significativamente mayores que los

de heurísticas constructivas (medio minuto vs. una fracción de segundo, en el peor caso), no son

extremadamente grandes ni perjudican la toma de decisiones en ambientes de trabajo reales; es

más, para problemas de esta clase de complejidad los tiempos de ejecución computacional de esta

magnitud son especialmente bajos.

iv

Índice

1. Antecedentes Generales .......................................................................................................... 1

1.1. Introducción ....................................................................................................................................... 1

1.2. Revisión Bibliográfica ........................................................................................................................ 2

2. Programación de la Producción .............................................................................................. 5

2.1. Aspectos Generales .......................................................................................................................... 5

2.2. Ambientes de Máquinas .................................................................................................................... 6

2.3. Restricciones ..................................................................................................................................... 7

2.4. Medidas de Desempeño .................................................................................................................... 9

2.5. Configuraciones Productivas ........................................................................................................... 11

2.5.1. Por Proyectos ......................................................................................................................... 11

2.5.2. Por Lotes ................................................................................................................................ 11

2.5.3. Configuración Continua .......................................................................................................... 12

3. Minimización del Makespan en Máquinas Paralelas Idénticas ........................................... 13

3.1. El Problema ................................................................................................................... 13

3.2. El Problema | | .............................................................................................................. 14

3.3. Formulación Matemática ................................................................................................................. 14

3.4. Aplicaciones en el Mundo Real ....................................................................................................... 16

4. Heurísticas para el Problema de Máquinas Paralelas ......................................................... 20

4.1. Heurísticas ...................................................................................................................................... 20

4.1.1. Longest Processing Time (LPT) ............................................................................................. 20

4.1.2. Adaptación a LPT ................................................................................................................... 23

4.1.3. Montecarlo .............................................................................................................................. 24

4.1.4. Mejor Vecino ........................................................................................................................... 25

5. Ant Colony Optimization ........................................................................................................ 30

5.1. Origen en la Biología ....................................................................................................................... 30

5.2. La Metaheurística ACO ................................................................................................................... 32

5.3. Variantes de ACO ........................................................................................................................... 35

5.3.1. Ant System (AS) ..................................................................................................................... 35

5.3.2. Elitist Ant System (EAS) ......................................................................................................... 37

v

5.3.3. Rank-Based Ant System (ASrank) ............................................................................................ 37

5.3.4. MAX-MIN Ant System (MMAS) ............................................................................................... 38

5.3.5. Ant Colony System (ACS) ...................................................................................................... 38

6. Método Propuesto ................................................................................................................... 41

6.1. Relación de | | con TSP ................................................................................................. 41

6.2. Extensión de ACS con Revisión Final ............................................................................................. 42

7. Evaluación y Análisis de Resultados .................................................................................... 48

7.1. Información Preliminar ..................................................................................................................... 48

7.2. Escenarios de Evaluación ............................................................................................................... 49

7.3. Definición de Parámetros ................................................................................................................ 51

7.3.1. Montecarlo .............................................................................................................................. 51

7.3.2. Extensión de ACS con Revisión Final .................................................................................... 52

7.4. Resultados ...................................................................................................................................... 59

7.4.1. Nivel de Setup Alto ................................................................................................................. 59

7.4.2. Nivel de Setup Bajo ................................................................................................................ 62

7.5. Análisis de Resultados .................................................................................................................... 65

7.5.1. Influencia del Proceso de Revisión Final Mediante ACS ........................................................ 66

7.5.2. Diferencias entre la Asignación “Antes” y “Después” .............................................................. 67

7.5.3. Consistencia de Métodos Heurísticos ..................................................................................... 69

7.6. Validación Estadística ..................................................................................................................... 70

7.6.1. Análisis de Varianza ............................................................................................................... 70

7.6.2. Supuestos de ANOVA ............................................................................................................ 72

8. Conclusiones ........................................................................................................................... 75

Referencias ...................................................................................................................................... 78

Anexos .............................................................................................................................................. 85

A1. Parámetros del Problema Ejemplo .................................................................................................. 86

A2. Definición de Parámetros ACS ........................................................................................................ 87

A3. Diferencias de Métodos Heurísticos ................................................................................................ 94

A4. Diferencias Generadas por el Proceso de Revisión de ACS ......................................................... 100

A5. Análisis de Varianza ...................................................................................................................... 102

A6. Verificación de supuestos de ANOVA ........................................................................................... 108

1

Aplicación de un algoritmo ACO al problema | |

1. Antecedentes Generales

1.1. Introducción

Debido al ritmo que llevan nuestras actividades, rápidamente se ha vuelto indispensable la

organización y programación de las actividades que se realizarán, ya sea para poder compatibilizar

distintas tareas durante una jornada laboral o para planificar las vacaciones, siempre se busca un

objetivo común: aprovechar el tiempo, saber distribuirlo de la mejor manera. Tiempos de salida en

el transporte público, la atención en un consultorio, los horarios de profesores en una institución

educacional o la entrega de pizza a domicilio son sólo una pequeña muestra de la importancia de

la programación de los trabajos.

En las industrias, por lo tanto, esta situación no difiere de toda actividad que se quiere ejecutar y

más cuando hay involucrada maquinaria que por lo general implica un desembolso de dinero

importante. A cualquier empresa le gustaría utilizar sus equipos menos y poder producir más, y

existe una multitud de casos donde se puede lograr, eliminando tiempos muertos perfectamente

evitables si se redistribuyera la configuración de actividades. Tal es el caso de los tiempos de

preparación de tareas, que por muchas décadas se tenían asumidos como parte inmodificable de

los sistemas y poco a poco se ha entendido su relevancia, llegando a ocupar fácilmente desde el

20% de la capacidad de producción disponible (Allahverdi y Soroush, 2008). El interés de reducir

estos tiempos se ha visto ayudado también por el explosivo aumento en la capacidad

computacional para resolver problemas de optimización en lapsos que eran impensados diez años

antes.

Uno de los modelos más utilizados en la representación de la programación de actividades es la

carta Gantt, llamadas así por su creador, Henry Laurence Gantt (1861-1919), ingeniero industrial y

discípulo de Frederick W. Taylor, padre de la administración científica del trabajo. Básicamente,

una carta Gantt representa la asignación de trabajos contra el tiempo, con recursos específicos en

el eje vertical y una escala de tiempo en el eje horizontal. En varias páginas de esta investigación

se utilizan para ejemplificar la asignación de trabajos.

Como en cualquier actividad que involucra personas, el objetivo de aumentar la producción en

tiempos cada vez menores debe siempre ir acompañado de beneficios que permitan mejorar las

condiciones laborales (y por lo tanto, de vida) de cada trabajador involucrado, partiendo por

asegurar su seguridad y la ergonomía de su estación de trabajo, hasta recibir la retribución justa

que conlleva ser parte fundamental de la cadena productiva en una empresa.

2


1.2. Revisión Bibliográfica

Un problema ampliamente difundido en artículos científicos en programación de la producción es

, consistente en un número de máquinas paralelas idénticas, sin tiempos de

preparación entre trabajos y sujetos a minimización de makespan. El primer trabajo en este tema

es realizado por McNauhgton (1959), donde el tiempo disponible para cada máquina estaba

previamente definido y el algoritmo arbitrariamente toma un trabajo y lo procesa en la máquina

disponible que tenga el menor número correlativo, hasta que todos los trabajos se asignen. Hace

una contribución relevante a la programación, incorporando al secuenciamiento medidas de

desempeño como el makespan, la tardanza total ponderada y el tiempo de flujo ponderado.

Instancias pequeñas del problema pueden ser resueltas en un tiempo computacional razonable

mediante algoritmos exactos, como branch-and-bound (van de Velde, 1993) y el método de planos

de corte (Mokotoff, 2004), pero este problema, por ser NP-hard, toma tiempos computacionales

exponenciales de resolución en instancias mayores, con lo que se recurre a heurísticas, como la

bien conocida regla Longest Processing Time (LPT) de Graham (1969), que en una primera etapa

ordena los trabajos en una lista de mayor a menor tiempo de procesamiento para después asignar.

Más tarde, Coffman, Garey y Johnson (1978) proponen el algoritmo MULTIFIT que abarca la

relación entre los problemas de bin packing y los de tiempo de finalización máxima, de manera

que la heurística funciona con límites de tiempo que van cambiando de acuerdo a nuevas

soluciones encontradas. Yue (1990), calculando cotas superiores de heurísticas, mostró que las

heurísticas MULTIFIT no garantizan un mejor rendimiento que LPT en cualquier problema. Gupta y

Ruiz-Torres (2001) propusieron un algoritmo LISFIT que combina el método de bin packing

utilizado en la heurística MULTIFIT con listas múltiples de trabajos. Los resultados

computacionales mostraron que la heurística superaba a los algoritmos LPT y MULTIFIT,

comparando sus límites en el peor caso. Min y Cheng (1999) propusieron un algoritmo genético

basado en el lenguaje de máquinas, diseñado especialmente para instancias grandes de

programación. Indicaron que la calidad de la solución entregada es superior a procedimientos

heurísticos basados en recocido simulado (Simulated Annealing, SA). Lee, Wu y Chen (2006)

proponen un algoritmo SA para el problema y compararon sus resultados con el algoritmo LISFIT,

superándolo en todas las pruebas (en tiempo y calidad de la solución) y mostrando mejor

rendimiento aún en problemas calificados como difíciles por los mismos Gupta y Ruiz-Torres.

Sevkli y Uysal (2009) utilizan por primera vez búsqueda en vecindad variable para el problema,

mostrando mejores resultados que LPT y algoritmos genéticos. Una heurística y un método exacto

para el problema se encuentran recopilados en Dell'Amico et al. (2008). La primera está basada en

una búsqueda scatter, computacionalmente efectiva y capaz de llegar al óptimo en un alto

porcentaje de instancias. El segundo, basado en búsqueda binaria y branch-and-price, llega al

óptimo en las instancias restantes.

3


A pesar de su relevancia, pasan quince años desde los primeros trabajos de programación de

máquinas paralelas hasta que se consideran los tiempos de preparación en el análisis: Marsh y

Montgomery (1973) propusieron aproximaciones heurísticas para el problema de minimización del

costo total de setup en máquinas idénticas y no idénticas. Para este último caso, los tiempos de

setup dependen tanto de la secuencia de trabajos como la máquina donde se procesa. Deane y

White (1975) extendieron los resultados de Marsh y Montgomery para incluir balance de cargas de

trabajo, desarrollando un algoritmo branch-and-bound para minimizar el costo de preparación.

Geoffrion y Graves (1976) desarrollaron una formulación de asignación cuadrática para minimizar

la suma de los costos de setup, producción y faltas por atrasos.

La primera heurística en resolver el problema fue publicada en 1978 (Frederickson, Hecht y Kim),

mediante dos algoritmos de aproximación que se derivan de la equivalencia entre el problema

| | y el del Vendedor Viajero (TSP), y hace uso de procedimientos heurísticos basados

en resoluciones para el TSP y el -TSP (TSP múltiple). Dearing y Henderson (1984) publicaron un

modelo de programación lineal para la asignación de telares en la industria textil para la

minimización de costo total de setup, considerando también restricciones de capacidad en el uso

de los telares. Sus resultados los lograron mediante el redondeo de las soluciones obtenidas por la

relajación lineal del modelo. Sumichrast y Baker (1987) proponen un método heurístico basado en

la solución de una serie de subproblemas binarios que mejora los resultados de Dearing y

Henderson, con resultados más cercanos al óptimo y menos carga computacional. Ambos trabajos

consideran que un trabajo puede ser dividido en varias máquinas.

Otros autores, como Flynn (1987), Hahn, Bragg y Shin (1989) y Boborowski y Kim (1994, 1997),

investigaron el impacto de la variación de los tiempos de setup en la decisión de secuenciamiento y

concluyen que su consideración influye significativamente en la programación de la producción, por

lo tanto no recomiendan abordar el problema dejando los tiempos de preparación como parte del

tiempo de proceso. Guinet (1993) muestra que el problema puede reducirse a uno de ruteo de

vehículos y sugiere primero hacer una heurística de dos pasos. Además formula el problema

linealmente con variables binarias y propuso una nueva heurística que consiste en resolver el

problema dual del problema de asignación obtenido. Una recopilación de trabajos sobre

programación de máquinas paralelas en base a tiempos de finalización, due dates, y tiempos de

flujo como medidas de desempeño, se presentan en Cheng y Sin (1990). Lam y Xing (1997)

revisaron nuevos desarrollos, asociados a los problemas de producción just-in-time, trabajos con

preferencia y máquinas con capacidad. Algunas variaciones del problema, como en Kurz y Askin

(2001) presentan una programación entera mixta para | | y aplican cuatro heurísticas

basadas en trabajos anteriores (Coffman et al., 1978; Johnson y Papadimitriou, 1985; Reinelt,

1994; Papadimitriou y Steiglitz, 1998), además de hacer una revisión más acabada de heurísticas

utilizadas.

4


El uso de metaheurísticas para este problema comienza cuando França et al. (1996) abarcan el

problema con una heurística de tres fases: la primera genera una solución inicial, que se mejora en

una segunda etapa mediante una búsqueda tabú. La tercera etapa consiste en mejorar la

secuencia de trabajos en la máquina más ocupada, la que determina el makespan. Este trabajo

mejora varias heurísticas previas, incluyendo el “trabajo-padre” de Frederickson et al. Gendreau,

Laporte y Morais (2001) idearon límites inferiores y una heurística de dividir-y-unir fácil de

implementar que resulta ser más rápida que la heurística de França et al., y de calidad similar.

Mendes et al. (2002) compararon tres metaheurísticas: dos basadas en búsqueda tabú (adaptada

de 1996) y una memética, que combina un algoritmo genético con búsqueda local. Los resultados

mostraron que mientras la memética es superior cuando los tiempos de setup eran pequeños en

comparación a los tiempos de proceso, lo contrario sucede con tiempos de setup grandes y

muchas máquinas. Para la minimización del tiempo de finalización ponderado con tiempos de

liberación de trabajos distintos a cero, Nessah, Yalaoui y Chu (2005) tratan de minimizar la suma

de tiempos de finalización presentando una condición necesaria y suficiente para obtener óptimos

locales, además de un límite inferior. La heurística que generan se basa en la condición que

exponen. Tahar et al. (2006) presentaron una heurística basada en programación lineal (con

división de trabajos), cuyo rendimiento fue testeado en problemas con un límite inferior, entregando

buenas soluciones en tiempos de ejecución cortos, mientras que Rocha et al. (2007) propusieron

un algoritmo de búsqueda en vecindad variable y mostraron que su algoritmo supera a un

algoritmo greedy de procedimiento de búsqueda adaptativa aleatoria, con muy buenas soluciones

en instancias de 60 o más trabajos. Behnamian, Zandieh y Ghomi (2009) plantean una

metaheurística híbrida para el problema, donde la solución inicial es generada por un método

basado en Ant Colony Optimization (ACO), recocido simulado para su evolución y una búsqueda

en vecindad variable (VNS) con búsqueda local para mejorarla. Esta combinación proporciona

mejores resultados que los métodos de búsqueda variable y aleatoria anteriores.

En cuanto a recopilaciones sobre el tema, Allahverdi, Jatinder, Gupta, y Tariq Aldowaisan (1999),

publican un estado del arte de la programación de la producción con tiempos de setup. Allahverdi,

Ng, Cheng y Kovalyov (2008) es una continuación del estudio anterior, comprende los trabajos

publicados entre ambas revisiones. La publicación de Yang y Liao (1999) es otra revisión de

secuenciamiento de trabajos con setup, mientras que Zhu y Wilhelm (2006) se concentran en

seleccionar las investigaciones de programación con tiempos de preparación dependientes de la

secuencia.

5


2. Programación de la Producción

2.1. Aspectos Generales

La programación de la producción es un proceso de toma de decisiones constantemente utilizado

por las industrias productivas y de servicios. En términos simples consiste en la asignación de

recursos a tareas que toman cierto tiempo en realizarse y cuya meta es optimizar uno (o más)

objetivos. Estos recursos pueden traducirse generalmente como máquinas, pero también pueden

ser equipos de personas, computadores y otros dispositivos con los que puede resolverse

análogamente un problema de programación.

En todos los problemas de programación de la producción considerados, el número de trabajos y el

número de máquinas son finitos. El número de trabajos se denota por y el número de máquinas

por . Usualmente, el subíndice se refiere a un trabajo, mientras que el subíndice indica una

máquina. Si un trabajo requiere de un número determinado de pasos u operaciones, el par

indica la operación del trabajo en la máquina .

Tiempo de proceso Representa el tiempo de procesamiento del trabajo en la máquina

. Este subíndice se omite si el tiempo de proceso del trabajo no depende de la máquina

donde se utiliza o si el trabajo sólo se procesa en una máquina definida.

Tiempo de liberación Indica el tiempo en que el trabajo llega al sistema, lo que es

equivalente al tiempo más temprano en que el trabajo puede comenzar su proceso.

Due date Representa el envío comprometido o el tiempo acordado con el cliente cuando

el trabajo esté realizado. La finalización de un trabajo después de su due date está permitido,

pero se incurre en una falta. De no estar permitido, es un deadline, .

Peso También llamada ponderación, es básicamente un factor de prioridad que denota la

importancia de un trabajo en relación a los otros trabajos en el sistema. Por ejemplo, el peso

puede representar el costo real de mantener un trabajo en el sistema.

Un problema de programación de la producción se describe por la notación , introducida

por Graham et al. en 1979. describe el ambiente de las máquinas y contiene sólo una entrada.

detalla las características del proceso con sus restricciones y puede no tener ninguna, una, o

múltiples entradas. describe el objetivo a minimizar y por lo general contiene una sola entrada. A

continuación se describen estos campos, a partir de Pinedo (2008) y Baker (2009).

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2.2. Ambientes de Máquinas

Los ambientes de máquinas posibles descritos en son:

Taller de una máquina es el caso más simple de todos y un caso especial de todos los

otros escenarios más complejos. Una máquina se encarga de procesar todos los trabajos.

Máquinas idénticas en paralelo es cuando existen máquinas idénticas trabajando a

la vez. El trabajo requiere una única operación y puede ser procesado en cualquiera de las

máquinas o en cualquiera que pertenezca a un subgrupo determinado . Si sucede este

último caso, la entrada debe aparecer en el campo .

Máquinas en paralelo con diferentes velocidades es cuando cada máquina influye en

los tiempos de proceso. La velocidad de cada máquina se denota por . El tiempo que el

trabajo utiliza en la máquina es igual a ⁄ (asumiendo que el trabajo se ejecuta

completamente en la máquina). A este ambiente también se le llama máquinas uniformes. Si

es igual para todas las máquinas, estamos ante un sistema de máquinas paralelas idénticas.

Máquinas no relacionadas en paralelo es una generalización adicional de la

configuración previa, donde la velocidad del trabajo depende de la máquina y del propio

trabajo. El tiempo que el trabajo utiliza en la máquina es igual a ⁄ (asumiendo

nuevamente que el trabajo se ejecuta completamente en la máquina).

Flow shop es cuando existen máquinas en serie, cada trabajo debe ser procesado en

cada una de las máquinas y todos deben seguir la misma ruta de máquinas. Una vez que un

trabajo termina en una máquina pasa a una cola de espera (queue) y espera ser procesado en

la máquina siguiente, usualmente bajo la priorización FIFO, que debe indicarse en el campo

(en el caso de FIFO, la entrada es ).

Flexible flow shop es una generalización del flow shop y de la configuración de

máquinas paralelas, donde en vez de máquinas en serie hay etapas en serie de máquinas

paralelas idénticas. En la literatura, es también llamado hybrid flow shop (flow shop híbrido) o

multi-processor flow shop (flow shop con procesadores múltiples).

7


Job shop es el caso cuando cada trabajo tiene su ruta predeterminada en las

máquinas. Se hace una distinción entre job shops donde cada trabajo visita cada máquina a lo

más una vez y en los cuales los trabajos pueden visitar cada máquina más de una vez. Para el

último caso, el campo contiene la entrada , indicando recirculación.

Flexible job shop es una generalización del job shop y las máquinas paralelas. En vez

de máquinas en serie, hay centros de trabajo con un cierto número de máquinas paralelas

idénticas. Cada trabajo sigue su propia ruta en el taller y cada trabajo se procesa en cada

centro de trabajo en una sola máquina y cualquier máquina dentro del centro puede hacerlo.

También puede considerarse recirculación.

Open shop es donde hay máquinas y cada trabajo debe ser procesado en cada una

de las máquinas. Sin embargo, algunos de estos tiempos de proceso pueden ser cero. No

hay restricciones en cuanto a la ruta de cada trabajo, el programador determina la ruta para

cada trabajo y diferentes trabajos pueden tener diferentes rutas.

2.3. Restricciones

Las restricciones del proceso especificadas en el campo pueden ser una, más de una o ninguna.

Las entradas posibles para son:

Tiempos de liberación Cuando aparece este símbolo, el trabajo no puede iniciar su

proceso antes su tiempo de liberación . Si no aparece, el trabajo puede iniciar su proceso en

cualquier momento.

Interrupciones Implican que no es necesario mantener un trabajo en proceso hasta

su finalización. El programador puede interrumpir el proceso de un trabajo en cualquier punto y

poner un nuevo trabajo en su reemplazo. Cuando el trabajo interrumpido se reanuda en la

misma máquina o en otra, completa el tiempo que le restaba.

Restricciones de precedencia Es cuando se requiere que uno o más trabajos deben

completarse antes de que otro trabajo pueda ejecutarse.

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Tiempos de setup dependientes de la secuencia Representa el tiempo de preparación

determinado por la secuencia de trabajos y . denota el tiempo de setup del trabajo

cuando es el primero en la secuencia y el tiempo de limpieza necesario después de

procesar el trabajo (Ambos pueden ser cero). Si además este tiempo depende de la máquina,

se indica como . Si no hay ninguna indicación del setup en el campo , se asume que

estos tiempos son cero o son independientes de la secuencia, con lo que se incluyen en el

tiempo de proceso.

Familias de trabajos Cuando hay grupos de trabajos que pueden procesarse sin

existir tiempos de setup entre ellos. El tiempo de preparación entre una familia y se

representa por , pero también estos tiempos pueden depender sólo de la familia que se

procesará o incluso no depender de ninguna familia .

Proceso batch Cuando una máquina puede procesar simultáneamente una

cantidad de trabajos. Cuando el problema se reduce a un problema convencional de

programación. Si , no hay límite de trabajos simultáneos en una máquina.

Fallas Se refiere a que una o más máquinas pueden no estar disponibles en

intervalos de tiempo determinados, por fallas y/o mantenciones.

Restricciones de elección de máquinas Define qué máquinas son capaces de procesar

el trabajo .

Permutación En un flow shop, implica que el orden en que entran los trabajos en la

primera máquina se mantiene en todo el sistema.

Bloqueo Se da en flow shops cuando se llega al tope del buffer entre máquinas, o

cuando no hay buffer. La máquina es bloqueada hasta que la siguiente pueda ser utilizada.

No-wait Es cuando en un flow shop un trabajo no puede esperar que lo procese una

máquina, por lo que debe retrasarse su proceso en la que lo antecede.

Recirculación Cuando un trabajo puede visitar una máquina o un centro de trabajo

más de una vez. En job shops o flexible job shops.

9


2.4. Medidas de Desempeño

El campo , que se refiere al objetivo a minimizar (medidas de desempeño del sistema), es

siempre una función de los tiempos de finalización de los trabajos, que dependen de la

programación, evidentemente.

El tiempo de finalización del trabajo en la máquina se denota por y el tiempo en que el

trabajo se va del sistema es , que es igual a en sistemas donde un trabajo se procesa una

única vez.

El objetivo también puede ser función de los due dates. El atraso de un trabajo se define como:

que es positivo cuando el trabajo finaliza tarde y negativo cuando se completa temprano,

comparando con el due date. La tardanza de un trabajo se define como:

{ }

La diferencia entre el atraso y la tardanza está en el hecho que la tardanza nunca es negativa. Un

trabajo tardío se define

{

El objetivo también puede ser en relación a los tiempos de liberación, así se define el tiempo de

flujo:

que es el tiempo que el trabajo pasa en el sistema. Cuando los tiempos de liberación son cero, .

Así, a partir de estas medidas de desempeño individuales en cada trabajo, se generan medidas de

desempeño del sistema que son las que corresponden al campo .

Makespan Es equivalente al tiempo de finalización del último trabajo en salir del

sistema. Un mínimo makespan por lo general implica una buena utilización de las máquinas.

10


Atraso máximo Mide el mayor desfase de los trabajos en relación a los due dates.

Tardanza máxima Recoge la misma idea que el atraso máximo.

Flujo máximo Indica el tiempo del trabajo que más permanece en el sistema.

También están las medidas de desempeño que surgen de la suma de las medidas de desempeño

individuales, tales como:

Suma de tiempos de finalización: ∑

Atraso total: ∑

Tardanza total: ∑

Tiempo total de flujo: ∑

Número de trabajos tardíos: ∑

En problemas que incluyan peso, estas expresiones se modifican para poder considerar la

prioridad de los trabajos:

Tiempo total de finalización ponderado: ∑

Tardanza ponderada: ∑

Tiempo de flujo ponderado: ∑

Número ponderado de trabajos tardíos: ∑

Todas estas funciones objetivo se llaman medidas de desempeño regulares. Se definen así todas

las medidas de desempeño que su valor aumenta si algún valor de aumenta. Por ejemplo, la

prontitud no es regular:

{ }

11


2.5. Configuraciones Productivas

Además de la configuración de máquinas, una industria debe considerar el uso que le dará a estas

para la posterior producción de bienes, lo que dependerá tanto de la cantidad y variedad de los

productos, como del tipo de demanda que deben cubrir. Los distintos tipos de proceso son

recogidos por Domínguez Machuca et al. (1995) a partir de la clasificación de Hayes y Wheelwright

(1984) que es la que se usa habitualmente en los departamentos de operaciones. Los tipos de

procesos están ordenados de modo que aumenta el volumen de producción, la automatización y

homogeneización de los procesos, la repetividad de las operaciones, la inversión en capital y la

estandarización del producto. A continuación se detallan estos tipos de procesos.

2.5.1. Por Proyectos

Es la configuración que se utiliza para cuando se generan productos o servicios “únicos” y de cierta

complejidad (aviones, barcos y obras públicas en general) que se obtienen a partir de inputs de

gran tamaño, generalmente. Esto, junto a la especificidad de inputs y outputs, hace que

comúnmente los primeros se trasladen al lugar donde se está creando el producto o servicio. Estas

mismas características hacen que se requiera un nivel de coordinación de personas muy grande.

2.5.2. Por Lotes

Lo que caracteriza a este tipo de proceso es que utiliza las mismas instalaciones para obtener

múltiples productos, de manera que una vez que se obtiene un tipo de ellos, se ajustan las

instalaciones y se procesa un lote de un producto distinto al anterior, repitiéndose la secuencia.

Hay tres tipos de configuración por lotes, que dependen del tamaño, homogeneidad y variedad de

los productos y cómo es el proceso en sí. Estos son:

Configuración Job Shop: Producen lotes pequeños de una gran variedad de productos

prácticamente no estandarizados, más bien, están cerca de ser hechos “a medida”, con lo que se

usan equipos versátiles. Los costos variables son altos, debido a la poca automatización, pero por

esto mismo, el costo fijo de inversión es bajo. Es importante notar que esta no es la misma

definición que la dada en ambientes de máquinas. La configuración puede desagregarse en:

Configuración a medida o de talleres: En este caso, en el proceso hay un número bajo de

operaciones poco especializadas, las que ejecuta uno o varios trabajadores. El lote suele ser

de pocas unidades de un producto, que normalmente está diseñado a partir de los

requerimientos del cliente, por lo que la variedad está sólo limitada por su imaginación y las

posibilidades de la empresa. Un ejemplo es una mueblería a medida, donde cada operario

debe dominar cada una de las tareas que están involucradas en el proceso.

12


Configuración en batch: Aquí el proceso requiere más operaciones, las que son más

especializadas, con lo que es más improbable que un operario las domine todas a un nivel alto,

por lo que generalmente está sólo en un centro de trabajo. Los centros de trabajo tienen

maquinaria más sofisticada y enfocada a operaciones específicas del proceso, con lo que la

inversión es mayor, aunque sigue existiendo una automatización básica, lo que abre espacio a

una buena flexibilidad. El lote (más grande que en el caso anterior) llega al centro de trabajo

para sufrir una operación, y no es hasta que todo el lote se procesa que se traslada a otro

centro de trabajo para su proceso, o en su defecto a un almacén de espera mientras el centro

se utiliza. El producto tiene varias versiones que el cliente puede elegir, con lo que hay cierto

grado de estandarización, aunque con una baja repetitividad de las operaciones. Un ejemplo

de esta configuración es una fábrica normal de muebles, donde el cliente puede elegir

características como la tapicería de las sillas, el barnizado o el tamaño de un armario.

Configuración en línea: Es básicamente cuando se fabrican grandes lotes de pocos productos

diferentes, pero que son técnicamente homogéneos y usando las mismas instalaciones. Los

distintos productos requieren una secuencia similar de operaciones, aunque más de alguno puede

saltar alguna de estas. Por su naturaleza, las máquinas se disponen en línea, una después de la

otra, las que luego de terminar la producción de un lote se ajustan para producir un lote distinto, y

así sucesivamente. En este caso, las máquinas son mucho más especializadas, lo que conlleva

una alta inversión y también una mayor automatización y homogeneidad que con un Job Shop, lo

mismo pasa con la especialización de los operarios, que genera menores costos variables de

producción, pero perdiendo flexibilidad. Los costos de inversión en esta configuración son mucho

mayores que los de un Job Shop y aparecen también altos costos de preparación que, eso sí,

producen productos de alta calidad. Un ejemplo de este proceso es la línea de montaje de un

automóvil, donde, aunque varíen algunas características (motor, puertas, equipamiento), siempre

es el mismo modelo.

2.5.3. Configuración Continua

La producción pasa a ser continua cuando se eliminan los tiempos ociosos y de espera, de forma

que siempre se estén ejecutando las mismas operaciones, en las mismas máquinas, para tener

siempre el mismo producto, en una disposición en cadena o lineal. Tanto la automatización como

la especialización y homogeneidad son altísimas, pero aunque las operaciones sean distintas,

todas deben considerarse simultáneamente para que el sistema funcione. En estos procesos la

producción no para en ningún momento, salvo cuando hay detenciones programadas. Un caso de

producción continua es el de la celulosa, donde las detenciones programadas no ocurren con

frecuencia.

13


3. Minimización del Makespan en Máquinas Paralelas Idénticas

Por lo general, la programación de trabajos requiere dos tipos de decisiones:

1. Decisiones de secuenciamiento

2. Decisiones de asignación de recursos.

Cuando existe sólo un recurso, la decisión de asignación de recursos depende completamente de

la secuencia. En cambio, la importancia de ambas decisiones se hace notar en configuraciones

con más de una máquina, ya sean máquinas paralelas, flow shops o job shops, donde se amplía el

número de posibilidades de operación que tienen los trabajos y a su vez complejiza la

programación de la producción.

La minimización del makespan es un objetivo de especial interés en un ambiente de máquinas

paralelas, debido a que hacer que el proceso entero termine antes implica necesariamente

balancear la carga de trabajo en cada máquina, repartiendo las tareas en forma equilibrada.

3.1. El Problema

En el modelo estático de máquinas paralelas, la secuencia de trabajos en una máquina particular

es irrelevante al tener las tareas ya asignadas, ya que no cambiará el tiempo de finalización de esa

máquina. Aun así, el problema de minimización de makespan es un problema complejo, al intentar

elegir qué trabajos operan en qué máquina, para obtener el máximo equilibrio en el uso de

máquinas. Una cota inferior para , se define así:

{∑

}

Si bien este valor no es el makespan mínimo para el problema, la cota inferior da una buena idea

de lo que se aspira en minimizar el makespan y algunas restricciones que se encuentran en el

problema . El primer argumento indica la búsqueda del equilibrio en todas las máquinas,

intentando que terminen su proceso en tiempos lo más cercanos posibles, mientras que el segundo

argumento muestra lo que puede suceder con algún tiempo de proceso considerablemente

mayor al resto de los otros trabajos: si es mayor al promedio de tiempos de finalización de las

máquinas, obligadamente ese tiempo será el mínimo makespan del sistema.

Al no permitirse ni detenciones ni ningún tipo de trabajos parciales, buscar el equilibrio en la

utilización de las máquinas se vuelve mucho más complejo, de hecho, el problema es

14


NP-completo

1 y es fuertemente NP-completo

2 (Garey y Johnson, 1979). Sólo se puede

resolver en tiempo polinomial si todos los trabajos tienen la misma duración.

3.2. El Problema | |

En este problema, a diferencia del modelo anterior, sí cobran relevancia ambas decisiones de la

programación de la producción, debido a que en una misma máquina dos secuencias con los

mismos trabajos entregan resultados diferentes en cuanto al makespan; de hecho, en cada

máquina, la cantidad de combinaciones de las distintas secuencias posibles entregará el mismo

número de posibles tiempos de finalización. Algunos makespan parciales podrán repetirse, pero

serán originados por distintos tiempos de preparación. Esto hace que se esté ante un problema

más complejo que , porque además de considerar en qué máquina asignar los trabajos,

la secuencia debe ser tal que genere los menores tiempos de preparación, en orden de producir el

menor makespan. Entonces, como es un problema fuertemente NP-completo,

| | también lo es (Rocha et al., 2007). El problema tratado tiene esta complejidad

también porque el modelo con una máquina equivale al problema del vendedor viajero, TSP, que

es NP-completo (França et al., 1996)

3.3. Formulación Matemática

El problema | | puede ser expresado matemáticamente, con los siguientes parámetros

considerados (Gutiérrez y Mejía, 2006):

: Tiempo de proceso del trabajo .

: Tiempo de preparación determinado por la secuencia de trabajos y

: Tiempo de preparación para el trabajo cuando es el primero que se programa en la máquina.

Y las variables de decisión:

{

{

1 Problema NP que puede resolverse, pero no en tiempo polinomial por algún algoritmo eficiente.

2 Problema NP-completo que sigue siéndolo aunque sus parámetros se acoten polinomialmente.

15


( )

( )

∑

∑

∑

∑

(1) Establece el tiempo de finalización de un trabajo, asegurando que el tiempo de finalización es

al menos igual a la suma del tiempo de finalización del trabajo precedente, el tiempo de setup y

su tiempo de proceso.

(2) Es la aplicación del punto (1) para los trabajos asignados en la primera posición en cada

máquina.

(3) Si un trabajo es asignado a una máquina, entonces tiene definido sólo un predecesor.

(4) Si un trabajo es asignado a una máquina, entonces tiene definido sólo un sucesor.

(5) A lo más un trabajo es asignado en la primera posición de la secuencia de cada máquina.

(6) Un trabajo es asignado sólo a una máquina.

(7) Establece el makespan.

(8) Establece no negatividad para los valores de tiempos de finalización.

(9) Establece no negatividad para las variables de decisión.

16


3.4. Aplicaciones en el Mundo Real

El problema estudiado además de tener una relevancia teórica (al ser una generalización del

problema de una máquina y un caso especial de flow shop), tiene importancia en la industria

productiva: una gran variedad de rubros necesitan considerar tiempos de preparación al pasar de

una tarea a otra. Algunas áreas, documentadas por Allahverdi y Soroush (2008) son:

Industria textil: Las operaciones de tejer y secar están sujetas a los tiempos de preparación,

que dependen de los trabajos: los distintos tipos de telas hacen que tenga que cambiarse la

cadena urdidora de la máquina.

Industria del plástico: El setup varía según el tipo y color del plástico a producir. Cuando el

color de un ítem previamente procesado en la máquina no es el mismo que el que se procesa

después, una cantidad de plástico se desperdicia. La secuencia de trabajos determina cuánto

plástico se pierde.

Industria química: El tiempo necesario para limpiar un reactor antes de procesar un nuevo

producto depende de qué fue lo último que se produjo en el reactor.

Imprentas: Se requiere un tiempo de setup para preparar la máquina (para limpiarla, por

ejemplo), lo que depende del color de la tarea actual y la inmediatamente posterior.

Informática: En el desarrollo y ejecución de algunos software, una tarea necesita un tiempo de

preparación para cargar un compilador diferente si el anterior no era el adecuado.

Producción de botellas: El setup depende de los tamaños y formas del envase.

Industria aeroespacial: En las líneas de producción de aspas para motores de aviones, un

setup alto se requiere para pasar de una familia de aspas a otra.

Situaciones similares se dan en la industria del papel y la industria del vidrio.

Además de todas las aplicaciones en procesos productivos que necesitan tiempos de preparación,

el problema | | es análogo al problema de múltiples vendedores viajeros, -TSP

(como se detallará más adelante) y a una relajación del problema de ruteo de vehículos, VRP; de

modo que el radio de aplicación real de se extiende más allá de la secuenciación en máquinas

paralelas. Algunos ejemplos, recopilados por Bektas (2006), son:

17


Prensa: Gorenstein (1970) trabaja un caso de la impresión de revistas. En este caso, existen

cinco pares de cilindros entre los cuales los rollos de papel y ambos lados de una página se

imprimen simultáneamente. Existen tres tipos de plantillas, de 4, 6 y 8 páginas, que se usan

para imprimir las ediciones. El problema de secuenciación consiste en decidir qué plantilla se

usará en qué corrida y la duración de cada corrida. El costo de cambiar estas plantillas es el

que depende de la secuencia. En un contexto parecido, el problema puede ser usado para

desarrollar programación de la producción para publicidad ya impresa en los diarios, como

explican Carter y Ragsdale (2002). En este caso, los anunciantes deben insertar anuncios

específicos dentro o con el diario, para distribuirlos a diferentes regiones geográficas. Para el

contexto de la programación en máquinas, las regiones son los trabajos y las máquinas son las

líneas de producción.

“Programación” de personal: Svestka y Huckfeldt (1973) crean una aplicación para la

recolección de depósitos entre las distintas sucursales de un banco. Los depósitos necesitan

llegar a la oficina central por un grupo de mensajeros, trabajo análogo al que hacen los

llamados juniors. El objetivo es determinar las rutas de los mensajeros a un mínimo costo.

Lenstra y Rinnooy Kan (1975) describen dos aplicaciones similares, la primera consiste en

encontrar las rutas del personal técnico, que tiene que visitar cabinas telefónicas, lo que es

similar a lo hace ahora el servicio técnico de las empresas de televisión, telefonía e internet. La

segunda aplicación involucra diseñar las rutas de vehículos para visitar 200 casillas de correo,

para que el número usado de vehículos sea el mínimo. Otra aplicación para la programación

de equipos de personas está dada por Zhang, Gruver y Smith (1999), que investiga el

problema de programar equipos de fotógrafos de un estudio a un grupo grande de escuelas

primarias y secundarias.

Problemas de ruteo: El problema de programar buses es investigado por Angel et al. (1972)

como una variación del -TSP con algunas restricciones. El objetivo es obtener buses llenos

de tal forma que el número de rutas se minimice, la distancia total que recorre toda la flota se

mantenga al mínimo, ningún bus esté sobrecargado y el tiempo requerido para viajar en

cualquier ruta no exceda el máximo definido. De manera general, el problema es equivalente a

asignar rutas de vehículos con capacidad, minimizando la ruta más larga.

Programación de entrevistas: Gilbert y Hofstra (1992) describen una variación multiperiodo

del problema, para programar entrevistas entre representantes y vendedores en la industria del

turismo. Cada representante representa a un vendedor que debe visitar un grupo específico de

puestos de vendedores, en un set de ciudades.

18


Planificación de misiones: La planificación de misiones generalmente surge en el contexto

de robots móviles autónomos, donde una variedad de aplicaciones incluye construcción,

reconocimiento militar, automatización de bodegas, automatización de correos y exploración

planetaria. Consiste en determinar el camino óptimo para cada robot para que complete los

objetivos de la misión en el menor tiempo posible. El planificador utiliza una variación del -

TSP donde hay robots, objetivos que deben ser visitados por los robots, y una ciudad

base a la cual todos los robots deben volver. Dos aplicaciones de este problema han sido

publicadas por Brummit y Stentz (1996, 1998), la segunda para ambientes no estructurados. La

planificación de robots autónomos es modelada por Zhong et al. (2002) en el campo de

robótica cooperativa. Similarmente, los problemas de ruteo surgidos en la planificación de

aplicaciones de vehículos aéreos no tripulados son investigados por Ryan et al. (1998) pueden

ser modelados como un -TSP con ventanas de tiempo.

Laminación en caliente: En la industria del hierro y acero, las órdenes de trabajo deben

programarse en el taller de laminado de modo que el costo (setup) total de transición en la

secuencia se minimice. Una aplicación reciente que modela este problema se encuentra en un

complejo de hierro y acero en China, por Tang et al. (2000).

Vigilancia satelital: Una aplicación reciente y muy interesante es investigada por Saleh y

Chelouah (2004). Un sistema global de navegación satelital (GNSS) es un sistema de satélites

basado en el espacio que provee cobertura a todos los lugares del mundo y que es

trascendental en aplicaciones de alerta temprana y manejo de desastres, monitoreo del

medioambiente y agricultura, etc. El objetivo es determinar las posiciones geográficas de

puntos desconocidos en y sobre la Tierra usando satélites. Estos puntos, en los cuales se

sitúan receptores, son coordinados por una serie de sesiones de observación. Cuando hay

receptores o períodos de trabajo múltiples, el problema de encontrar el mejor orden de

sesiones.

Los casos prácticos mencionados pueden ser directamente modelados desde | | (o un

-TSP), con algunas extensiones menores de ser necesarias. Sin embargo, el problema es

importante también debido a que es un subproblema de otros que son más generales. Por ejemplo,

el balancear las cargas de trabajo entre los vendedores, discutido por Okonjo-Adigwe (1988),

que agregó límites inferior y superior a los tiempos de viaje y el peso de cada vendedor. Otro

ejemplo es el del problema del guardia nocturno, investigado por Calvo y Cordone (2003), que

consiste en asignar tareas a un grupo de guardias que realizan servicios de inspección de rutina en

un número definido de lugares. Se agregan las restricciones de capacidad y espacios de tiempo.

19


También surge como subproblema en la programación de grúas en la planificación de operación

de barcos. Kim y Park (2004) investigan el problema, utilizando -TSP para encontrar límites

inferiores en un algoritmo branch-and-bound.

Una aplicación interesante está en el problema de coordinar el movimiento de múltiples

objetos, como lo plantean Basu, Elnagar y Al-Hajj (2000). El problema surge en el ensamblaje de

circuitos electrónicos, administración de memoria de sistemas distribuidos y la coordinación de

robots móviles en un espacio estructurado, como una bodega. Se define en una red rectangular

que se divide en cuadrados, que pueden contener un objeto o estar en blanco. Entonces el

movimiento óptimo de objetos en una red con múltiples espacios en blanco puede encontrarse

usando un modelo -TSP.

Por último, es importante considerar que el problema de máquinas paralelas idénticas puede

utilizarse para optimizar partes de otros problemas de programación de la producción, como son

flow shops flexibles y job shop flexibles, que incluyen en cada etapa un set de máquinas

paralelas idénticas (ver Figura 3.1, los círculos son las máquinas de cada etapa), con lo que igual

pueden optimizarse estos procesos sin recurrir a métodos de mayor escala cuando no se

necesitan.

Figura 3.1 Flexible Flow Shop

20


4. Heurísticas para el Problema de Máquinas Paralelas

4.1. Heurísticas

Las heurísticas son criterios, métodos o principios para decidir cuál de una variedad de cursos de

acción alternativos promete ser el más efectivo en orden de lograr un objetivo. Representan el

compromiso entre dos requerimientos: la necesidad de hacer estos criterios simples y, al mismo

tiempo, el deseo de ver que discriminen correctamente entre elecciones buenas y malas.

Los algoritmos son la heurística plasmada, definida paso a paso, que cumplen una misión similar a

la de una receta de cocina: seguir instrucciones para lograr el objetivo propuesto, o al menos

acercársele. Acercarse, porque en algunos casos resulta muy complejo llegar a la solución óptima

de un problema de optimización combinatoria, muchos de estos problemas requieren la evaluación

de un inmenso número de posibilidades para determinar una solución exacta, lo que lleva a

necesitar tiempos extremadamente largos, incluso décadas. Las heurísticas juegan un rol efectivo

en estos problemas, indicando una forma de reducir el número de evaluaciones y obtener

soluciones dentro de restricciones de tiempo razonables.

El problema de máquinas paralelas idénticas con tiempos de setup dependientes de la secuencia,

al ser fuertemente NP-completo, es un problema que requiere heurísticas de aproximación para

tener soluciones que se acercan a la ideal. Además de los tiempos exponenciales que requiere un

algoritmo exacto, no se ha desarrollado ninguno para el problema, lo que refuerza más aún la idea

de profundizar la investigación en heurísticas efectivas de resolución.

Aunque no hay ninguna heurística definida explícitamente para el modelo, hay un número grande

de heurísticas diseñadas: se han adaptado algunas del problema (considerando la

existencia de tiempos de preparación) o por otro lado, se ha adaptado el problema a estas

heurísticas (integrando los tiempos de preparación a los tiempos de proceso). En este trabajo se

consideran ambas aproximaciones, además de algoritmos usados en TSP y otros problemas de

optimización.

4.1.1. Longest Processing Time (LPT)

Desarrollada por Graham (1969), esta regla asigna en los primeros trabajos, ordenados

descendentemente por sus tiempos de proceso, a las máquinas. Luego, los trabajos restantes

se programan en la máquina que esté libre antes que las otras. La heurística intenta programar los

trabajos que requieren menos tiempos de proceso al final de la secuencia, donde puedan usarse

para balancear la carga en las máquinas.

21


Una modificación de la heurística, que considera los tiempos de setup, se encuentra en Cortés

(2009):

1. Generar la secuencia de acuerdo a la regla LPT.

2. Asignar los primeros trabajos a las primeras máquinas.

3. Siguiendo la secuencia generada, fijar el trabajo siguiente en la máquina que termine antes de

procesarlo considerando los tiempos de setup.

La diferencia con la heurística LPT original es sutil: ambas buscan fijar los trabajos en la máquina

que lo haga finalizar antes, pero mientras para sólo hay que considerar la máquina que

finaliza antes, para | | hay que considerar eso, pero originado por el tiempo de setup

entre los trabajos: si es grande, puede evitar que un trabajo sea asignado en una iteración.

A modo de ejemplo, a continuación se muestra la resolución de un problema con 15 trabajos y 3

máquinas. Los tiempos de proceso se distribuyen uniformemente en y los tiempos de

preparación en (Anexo 1).

Al ordenar los 15 trabajos de acuerdo a LPT, se obtiene la secuencia dada por la Tabla 4.1:

15 2 13 12 10 6 11 3 5 9 8 14 7 4 1

99 88 82 81 70 64 54 39 35 35 30 23 20 17 11

Tabla 4.1 Secuencia de trabajos de acuerdo a LPT

El segundo paso consiste en asignar los primeros trabajos (en este caso, 15, 2 y 13) a las

primeras máquinas, como lo muestra la Figura 4.1.

Figura 4.1 Paso 2 de algoritmo LPT

La zona achurada corresponde a los tiempos de setup, y específicamente en la figura anterior, a

los tiempos de setup iniciales de cada máquina, dependientes del primer trabajo.

15

2

13

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

22


La asignación posterior sigue el orden de la secuencia LPT, en la máquina que permita que el

trabajo finalice antes. Para el trabajo que corresponde inmediatamente a los tres primeros (el 6), la

decisión se toma de la forma mostrada en la Figura 4.2

Figura 4.2 Paso 3 de algoritmo LPT

En este caso, el menor tiempo de finalización del trabajo 12 se da en , pero como se da

tanto en la máquina 2 como en la 3, se elige la máquina 2 simplemente por un criterio de

desempate (menor número de máquina).

Finalmente, al seguir este criterio de asignación, la programación de trabajos por medio de la

extensión de LPT está distribuida como muestra la Figura 4.3.

Figura 4.3 Resultado de programación con extensión de LPT

La aplicación de esta heurística para este problema en específico entrega el makespan

determinado por la primera máquina y da como resultado:

15

2

13

12

12

12

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

15

2

13

6

12

10

5

11

3

9

8

14

7

1

4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

23


4.1.2. Adaptación a LPT

La extensión de LPT explicada anteriormente sigue sin considerar la importancia de los tiempos de

setup en el ordenamiento inicial, los trabajos sólo se ordenan de acuerdo a su duración. Es por eso

que en esta heurística, presentada en Medina (2010), los tiempos de proceso se modifican y se

componen del tiempo de proceso y además del tiempo de preparación, de la forma señalada a

continuación:

es el valor promedio de todos los tiempos de setup que podría tener el trabajo .

∑

Para este ejemplo, al ordenar estos nuevos tiempos de proceso de acuerdo a LPT, se tiene:

15 2 13 12 10 6 11 3 5 9 8 14 7 4 1

113,2 106,3 94,9 93,7 88,1 83,5 67,9 57,7 52,9 48,7 46,9 38,5 37,5 34,1 28,3

Tabla 4.2 Secuencia de trabajos de acuerdo a la adaptación a LPT

De la misma manera que la extensión de LPT se asignan los trabajos. A partir de ese algoritmo, la

programación de trabajos resulta ser como lo muestra la Figura 4.4

Figura 4.4 Resultado de programación con adaptación a LPT

Casualmente es la misma secuencia y asignación entregada por la extensión de LPT, con el

tiempo de finalización:

15

2

13

6

12

10

5

11

3

9

8

14

7

1

4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

24


4.1.3. Montecarlo

Montecarlo es un algoritmo probabilístico3 desarrollado a mediados de los años 40 por von

Neumann, Ulam y Metropolis mientras trabajaban en el Proyecto Manhattan4. Su nombre es a

partir del Casino de Montecarlo, por su relación con el azar y por ser donde el tío de Ulam gastaba

su dinero. Su esencia es usar distribuciones de números aleatorios que representen un proceso en

específico para calcular muestras que se aproximen a un comportamiento real. Se utiliza sobre

todo cuando no se tiene un algoritmo determinístico para el problema en cuestión. Salazar (2010)

define el algoritmo de Montecarlo para el secuenciamiento de la siguiente manera:

1. Determinar de forma aleatoria secuencias, denotadas por

2. Evaluar cada secuencia respecto a la medida de desempeño considerada.

3. Denotar por el valor resultante de para la secuencia .

4. La mejor secuencia , con valor de medida de desempeño es tal que

Para este caso el a minimizar es el makespan, , y la asignación es la misma de LPT.

Para ejemplificar el funcionamiento de esta aplicación de Montecarlo, se usa el mismo problema

presentado con los algoritmos LPT. En el software SPS_PS_Setup5 (v2012), creado a partir de

rutinas adaptadas de SPS_Optimizer (Salazar, 2010), se generan aleatoriamente

secuencias que se asignan de la misma manera que las heurísticas modificadas de LPT. Como es

una generación aleatoria, los resultados dependen de cada ejecución; en este caso, los resultados

están dados por la programación de máquinas de la Figura 4.5

Figura 4.5 Resultado de una corrida de la heurística de Montecarlo, N=100

El makespan para esta configuración lo determina la máquina 3, y es:

3 Algoritmo que utiliza la aleatoriedad como parte de su lógica.

4 Proyecto dirigido por EE.UU que tuvo como fin el desarrollo de la primera bomba atómica.

5 Desarrollado por el profesor Eduardo Salazar H. ([email protected])

6

15

3

12

11

1

7

9

8

4

13

10

14

2

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

25


4.1.4. Mejor Vecino

La heurística del mejor vecino se origina en la resolución del problema del vendedor viajero como

una solución inicial a ser mejorada por otros métodos de optimización. Es una heurística conocida

como greedy, golosa, por elegir la opción más conveniente en cada iteración. Para el problema de

programación de la producción de una máquina, consiste en generar secuencias de acuerdo a

SST (shortest setup time, ordenar los trabajos por tiempos de setup, ascendentemente), cada una

de estas secuencias comenzando por cada uno de los trabajos. La secuencia elegida es la que

minimice la función objetivo. El algoritmo de la heurística del mejor vecino para el secuenciamiento

de trabajos en una máquina se define a continuación.

1. Asignar cada trabajo como primer trabajo de la secuencia.

2. Realizar secuenciamiento SST (prioriza el trabajo que genera menor tiempo de preparación)

con los trabajos restantes.

3. Calcular la suma de los tiempos de preparación.

4. Seleccionar la secuencia con menor suma de tiempos de preparación.

Para el problema que concierne a este trabajo, la heurística del mejor vecino puede utilizarse como

punto de partida para la posterior asignación en cada una de las máquinas. Cortés (2009)

propone un algoritmo doble de resolución, que internamente tiene dos variantes de asignación:

antes y después de un límite definido tanto por el makespan inicial como por el número de

máquinas. El algoritmo se describe de la siguiente manera:

MVA

1. Realizar la secuencia como la heurística del mejor vecino.

2. Obtener el makespan de la secuencia, como si se trabajara con una sola máquina.

3. Dividir el makespan obtenido por (número de máquinas). Hacer este valor igual a .

4. Asignar la mayor cantidad de trabajos a la primera máquina (manteniendo la secuencia), hasta

que el makespan parcial de la máquina no sea mayor a . Repetir el mismo procedimiento para

cada máquina.

5. Si existen trabajos que no han sido programados, elegir el primer trabajo restante y asignarlo

en la máquina en donde genere menor makespan parcial. Repetir el mismo procedimiento para

cada trabajo restante.

MVD

1. Realizar la secuencia como la heurística del mejor vecino.

2. Obtener el makespan de la secuencia como si se trabajara con una sola máquina.

26


3. Dividir el makespan obtenido por (número de máquinas). Hacer este valor igual a .

4. Asignar la mayor cantidad de trabajos a la primera máquina (manteniendo la secuencia),

siendo el último trabajo asignado a la máquina el primer trabajo que sobrepase el valor .

Repetir el procedimiento para cada máquina.

5. Si existen trabajos que no han sido programados, elegir el primer trabajo restante y asignarlo

en la máquina en donde genere menor makespan parcial. Repetir el mismo procedimiento para

cada trabajo restante.

Usando el mismo ejemplo de prueba, se elige la secuencia que utiliza menor tiempo de setup entre

las generadas por la heurística del mejor vecino (Figura 4.6).

Figura 4.6 Heurística del mejor vecino

La secuencia generada tiene un makespan dado por:

∑ ∑

Al dividir este resultado por , se obtiene:

Σ

18 1 2 5 4 13 6 12 1 11 9 14 4 9 1 10 1 15 20 7 2 8 8 3 19 4 4 2 26 6 125

6 2 1 13 1 1 2 5 7 12 1 11 9 14 4 9 1 10 1 15 20 7 2 8 8 3 19 4 26 6 108

12 3 1 12 1 11 2 1 2 5 4 13 8 6 3 15 7 9 1 10 16 2 1 14 8 4 6 8 28 7 100

22 4 2 10 1 12 1 11 2 1 2 5 4 13 8 6 3 15 7 9 3 7 2 8 7 14 21 2 6 3 91

24 5 4 13 1 1 2 8 3 9 1 10 1 12 1 11 9 14 5 15 20 7 3 4 4 2 6 3 20 6 104

15 6 3 15 1 11 2 1 2 5 4 13 6 12 9 4 2 10 16 2 1 14 4 9 3 7 2 8 8 3 78

15 7 2 8 3 9 1 10 1 12 1 11 2 1 2 5 4 13 8 6 3 15 14 14 8 4 4 2 6 3 74

27 8 3 9 1 10 1 12 1 11 2 1 2 5 4 13 8 6 3 15 14 14 8 4 4 2 6 3 14 7 98

5 9 1 10 1 12 1 11 2 1 2 5 4 13 8 6 3 15 14 14 8 4 4 2 6 3 14 7 2 8 75

21 10 1 12 1 11 2 1 2 5 4 13 8 6 3 15 7 9 3 7 2 8 7 14 8 4 4 2 6 3 79

12 11 2 1 2 5 4 13 6 12 3 15 7 9 1 10 9 6 16 2 1 14 8 4 6 8 8 3 14 7 99

11 12 1 11 2 1 2 5 4 13 8 6 3 15 7 9 1 10 16 2 1 14 8 4 6 8 8 3 14 7 92

27 13 1 1 2 5 7 12 1 11 9 14 4 9 1 10 1 15 20 7 2 8 8 3 19 4 4 2 26 6 132

15 14 3 1 2 5 4 13 6 12 1 11 14 7 2 8 3 9 1 10 1 15 22 6 16 2 6 3 19 4 115

13 15 1 11 2 1 2 5 4 13 6 12 9 4 2 10 9 6 16 2 1 14 4 9 3 7 2 8 8 3 82

27


Al aplicar la heurística con asignación antes, puede verse que la asignación de trabajos en la

máquina 1 hasta la tarea 12 entrega un makespan parcial de 258 y al agregar el trabajo siguiente

de la secuencia (11) el makespan pasa a ser 313, con lo que debe dejarse el trabajo 11 asignado

en la siguiente máquina, para cumplir que para cada división de la secuencua el makespan sea

menor a (274), según indica el algoritmo. (Figura 4.7)

Figura 4.7 Asignación “antes”

Luego, después de asignar el trabajo 11 y todos los restantes posibles antes del valor , la

configuración queda como muestra la Figura 4.8.

Figura 4.8 Asignación completa del paso 4 del algortimo “antes”

En este caso, sólo queda por asignar el trabajo 3, con lo que se aplica lo especificado en el paso 5

del algoritmo: asignarlo donde la máquina pueda finalizar su proceso antes. Como lo muestra la

Figura 4.9, es por esto que termina asignándose a la máquina 1.

Figura 4.9 Paso 5 del algoritmo

7 8 9 10 12 11

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

7

11

15

8

1

14

9

5

4

10

13

2

12

6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

7

11

15

8

1

14

9

5

4

10

13

2

12

6

3

3

3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

28


Por lo tanto, de acuerdo a la heurística del mejor vecino con asignación “antes”, la configuración

final de trabajos queda presentada en la Figura 4.10.

Figura 4.10 Asignación final del algoritmo del mejor vecino con asignación “antes”

Con un makespan

A partir de los datos ya obtenidos al principio de la heurística anterior, la asignación “después” de

en la primera máquina es la que se muestra en la Figura 4.11

Figura 4.11 Asignación “después”

A diferencia de la asignación antes de , en este caso el makespan parcial al terminar el trabajo 12

permite programar una nueva tarea que sobrepase este límite . Como ahora el

makespan es 313, ya no se pueden asignar nuevos trabajos y se pasa a la siguiente máquina.

Una vez asignados los trabajos por este método, la distribución de trabajos está en la Figura 4.12

7

11

15

8

1

14

9

5

4

10

13

2

12

6

3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

7 8 9 10 12 11

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

29


Figura 4.12 Asignación final del algoritmo del mejor vecino con asignación “después”

Esta heurística, al ir asignando trabajos más allá del límite , llega a la última máquina con una

especie de buffer que prevendrá que se tengan que reasignar trabajos, lo que tiene pros y contras,

dependiendo del caso: a favor, que se evite perder la secuencia generada inicialmente sin

enfrentar un escenario más incierto de programación, pero en contra que pueda entregar

resultados muy desbalanceados.

El makespan después de la ejecución de este algoritmo es

Y por lo tanto, la extensión de la heurística del mejor vecino en este ejemplo arroja el makespan:

{

}

Con la programación determinada por la heurística del mejor vecino, con asignación antes de

(Figura 4.10).

La diferencia entre las asignaciones antes y después de para este ejemplo está dada sobre todo

por la división de la secuencia inicial: su asignación en las máquinas genera un escenario

excesivamente desbalanceado (y por lo tanto, peor) para el caso donde se asigna después, en

comparación a la variante antes de . Esto no necesariamente significa que ese sea siempre el

comportamiento de la heurística, para poder llegar a alguna conclusión de ese tipo es lógico que

deben hacerse más pruebas. En el caso del ejemplo, es claro que la configuración desbalanceada

está originada por los tiempos de proceso de varios de los trabajos asignados a las máquinas 1 y

2, considerablemente más altos que los de la máquina 3, pero desbalanceos de esta forma pueden

ser originados por tiempos de setup grandes en otros casos.

7

1

14

8

5

4

9

13

2

10

6

3

12

15

11

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

30


5. Ant Colony Optimization

La inteligencia de enjambre es un enfoque relativamente nuevo para la resolución de problemas

que se inspira en el comportamiento social de insectos y otros animales. En particular, las

hormigas han inspirado variados métodos y técnicas, una de las más estudiadas es la técnica de

optimización conocida como Ant Colony Optimization (ACO).

ACO se inspira en el comportamiento de ciertas especies de hormigas cuando buscan su alimento.

Estas hormigas depositan feromonas en el suelo para marcar los caminos que deberían seguir los

otros miembros de la colonia. Ant Colony Optimization explota un mecanismo similar para resolver

problemas de optimización.

Desde los años noventa, cuando el primer algoritmo de ACO fue publicado, la técnica atrajo la

atención de más investigadores y está disponible un número relativamente grande de aplicaciones

exitosas. Por otro lado, un volumen importante de resultados teóricos se ha masificado, lo que

entrega una muy útil guía para investigadores en aplicaciones adicionales de ACO.

5.1. Origen en la Biología

En los años cuarenta y cincuenta, el entomólogo Pierre-Paul Grassé observó que algunas especies

de termitas (Bellicositermes natalensis y Cubitermes) reaccionan a lo que llamó estímulos

significantes. Observó que los efectos de estas reacciones pueden actuar como nuevos estímulos

significantes tanto para el insecto que lo produjo como para los otros insectos en la colonia. Grassé

usó el término estigmergia para describir esta particular forma de comunicación donde los

“trabajadores son estimulados por el desempeño logrado”.

Las dos características principales que distinguen a la estigmergia de otras formas de

comunicación son las siguientes:

Es una forma de comunicación indirecta y sin símbolos en la que media el ambiente: los

insectos intercambian información modificando su entorno.

La información es local: Sólo pueden acceder a ella los insectos que visitan el lugar donde se

liberó (o su entorno inmediato).

Variados ejemplos de estigmergia pueden encontrarse en colonias de hormigas: en muchas

especies, las hormigas caminan desde y hacia una fuente de comida depositada en el suelo

depositando feromonas. Otras hormigas perciben la presencia de feromona y tienden a seguir

caminos donde su concentración es mayor. A través de este mecanismo las hormigas son capaces

de transportar comida al hormiguero en una forma extraordinariamente efectiva.

31


Deneubourg et al. (1990) estudiaron extensivamente esta depositación de feromonas y el

consiguiente comportamiento de las hormigas. En un experimento conocido como “del puente

doble”, el hormiguero de una colonia de hormigas argentinas (Linepithema humile) fue conectado a

una fuente de alimento por dos puentes de igual longitud (Figura 5.1a). En esa configuración, las

hormigas comenzaron a explorar los alrededores del hormiguero y eventualmente llegaron a la

comida. A lo largo de su camino entre el hormiguero y su fuente de alimentos, las hormigas

anrgentinas depositan feromona. Inicialmente, cada hormiga elige al azar uno de los dos puentes,

sin embargo, debido a fluctuaciones aleatorias, después de un tiempo uno de los dos puentes

presenta una concentración mayor de feromonas y por lo tanto atrae más hormigas. Este puente

se vuelve más atractivo, con el resultado que después de un tiempo toda la colonia converge a

usar el mismo puente. Los investigadores realizaron el experimento en reiteradas oportunidades y

verificaron que cada puente es utilizado el 50% de las veces (Figura 5.2a).

Este comportamiento se basa en la autocatálisis, que es el aprovechamiento de retroalimentación

positiva; de esta manera, las hormigas buscan el camino más corto entre la fuente de alimentos y

el hormiguero. Goss et al. (1989) consideraron una variante del experimento del puente doble en el

cual un puente es significativamente más largo que el otro (Figura 5.1b). En este caso, las

fluctuaciones aleatorias en la elección inicial de un puente están muy reducidas y un segundo

mecanismo juega un rol importante: las hormigas que eligen al azar el puente corto son las

primeras en llegar al hormiguero, con lo que este puente recibe antes feromonas que el más largo

(Figura 5.2b).

Figura 5.1 Esquema del experimento del puente doble (Dorigo y Stützle, 2004)

32


Figura 5.2 Resultados del experimento del puente doble (Dorigo y Stützle, 2004)

Goss et al. (1989) desarrollaron un modelo del comportamiento de estas hormigas, asumiendo que

en un momento del tiempo hay hormigas que utilizaron el primer camino y el segundo, hay

una probabilidad de cruzar el primer puente y una de cruzar el segundo, dadas por:

Este modelo fue la principal fuente de inspiración para el desarrollo de la optimización de colonia

de hormigas: en ACO, un número predeterminado de hormigas artificiales construye soluciones de

un problema de optimización e intercambia información sobre la calidad de estas soluciones por

medio de un sistema de comunicación que recuerda al que utilizan hormigas reales.

5.2. La Metaheurística ACO

ACO se ha formalizado como una metaheurística para problemas de optimización combinatoria por

Marco Dorigo y otros colaboradores. Una metaheurística es un set de conceptos algorítmicos que

pueden ser usados para definir métodos heurísticos aplicables a un amplio grupo de problemas

diferentes. Es decir, una metaheurística es una estructura algorítmica de propósito general que

puede aplicarse a diferentes problemas de optimización con pocas modificaciones. ACO no es la

única metaheurística existente, de hecho hay una gran cantidad de procedimientos metaheurísticos

creados los últimos 50 años, entre los que se cuentan búsqueda tabú, computación evolutiva,

recocido simulado o búsqueda iterativa local, por nombrar unos pocos.

33


Para aplicar ACO a un problema de optimización se necesita un modelo adecuado:

que consiste en:

Un espacio de búsqueda definido sobre un set finito de variables de decisión discretas

;

Un set de restricciones ; y

Una función objetivo a ser minimizada (o maximizada: ).

La variable genérica toma valores en

. Una solución factible es una

asignación completa de valores a variables que satisfacen todas las restricciones en . Una

solución es llamada un óptimo global si y sólo si

Este modelo es usado para definir el modelo de feromonas de ACO. Un valor de feromona está

asociado con cada componente de la solución posible, esto es, con cada posible asignación de un

valor a una variable. Formalmente, el valor de feromona está asociado con el componente de la

solución , que consiste en la asignación . El set de todos los componentes de solución

posibles se denota por .

En ACO, una hormiga artificial construye una solución recorriendo el grafo de construcción, un

grafo completo , donde es un set de vértices y un set de aristas. Este grafo puede

obtenerse desde el set de componentes de solución de dos formas: representando los

componentes como vértices o aristas. Para ir creando esta solución, las hormigas artificiales se

mueven de vértice en vértice (sin repetirse) recorriendo las aristas del grafo y adicionalmente

dejando una cierta cantidad de feromona en los componentes: en los vértices o en las aristas,

según se haya definido. La cantidad de feromona que se deposita, , puede depender de la

calidad de la solución encontrada y esta información es usada por las hormigas subsecuentes

como una guía hacia regiones prometedoras del espacio de búsqueda.

La metaheurística ACO se describe en la Figura 5.3. Después de su inicialización, itera sobre tres

fases: en cada iteración, un número de soluciones se construyen por las hormigas; estas

soluciones son mejoradas mediante una búsqueda local (opcional) y finalmente la feromona se

actualiza.

34


Figura 5.3 Descripción de la metaheurística ACO (Dorigo y Stützle, 2004)

ConstruirSolucionesdeHormigas: Un set de hormigas artificiales construye soluciones

desde elementos de un set finito de componentes de soluciones disponibles { }

. Una construcción de solución comienza desde una solución parcial

vacía . En cada paso, la solución parcial es extendida agregando un componente de

solución factible desde el set , que es definido como el set de componentes que

pueden agregarse a la solución parcial sin violar ninguna de las restricciones en . El

proceso de construir soluciones puede considerarse como un paseo por el grafo de

construcción .

La elección de un componente de solucion de es guiada por un mecanismo estocástico,

que está influenciado por la feromona asociada a cada uno de los elementos de . Esta

elección varía en los distintos algoritmos ACO, pero todos ellos fueron inspirados en el modelo

de comportamiento dado en la ecuación de Goss et al.

AplicarBúsquedaLocal: Una vez que las soluciones se construyeron y antes de actualizar

las feromonas, es común mejorar las soluciones obtenidas por las hormigas mediante una

búsqueda local. Esta fase, que depende específicamente del problema, es opcional, aunque

está incorporada en los algoritmos ACO modernos.

ActualizarFeromonas: Su objetivo es aumentar los valores de feromona que están

asociados con soluciones buenas o prometedoras y disminuir las asociadas a soluciones

malas. Usualmente esto se logra:

Disminuyendo todos los valores de feromonas a través de evaporación.

Aumentando los niveles de feromonas asociados con un grupo elegido de buenas

soluciones.

Definir parámetros, inicializar rastros de feromona

Mientras ¬(condición) Hacer

ConstruirSolucionesdeHormigas

AplicarBúsquedaLocal (opcional)

ActualizarFeromonas

Fin Mientras

35


5.3. Variantes de ACO

Para una major comprensión de cada heurística, estas son explicadas por medio el problema del

vendedor viajero, TSP, porque aunque si bien ACO puede aplicarse a una gran variedad de

problemas de optimización, con TSP la relación con las rutas que recorren las hormigas es mucho

más directa. De hecho, las primeras implementaciones de Ant Colony Optimization fueron para

este problema.

En TSP, un set de ciudades es dado, la distancia entre ellas es conocida y el objetivo es encontrar

la ruta más corta que permita visitar todas las ciudades una sola vez. Formalmente, el objetivo es

encontrar un camino hamiltoniano6 de largo mínimo en un grafo completo.

5.3.1. Ant System (AS)

Desarrollado por Dorigo, Maniezzo y Colorni (1991), es el primer algoritmo ACO propuesto en la

literatura. Su característica principal es que en cada iteración los valores de feromona se actualizan

por todas las hormigas que construyeron una solución. Las feromonas , asociadas a la arista

que une los vértices y se actualizan así:

∑

es la tasa de evaporación de feromona, el número de hormigas y la cantidad de

feromona que deposita la hormiga , que se define en forma diferente dependiendo de la versión

de Ant System que se usa.

Originalmente, el trabajo de Dorigo et al. (1991) considera tres diferentes versiones de AS: ant-

density, ant-quantity y ant-cycle. En ant-density la actualización de feromona es inmediatamente

después de que la hormiga se desplaza de un vértice a otro y su valor está dado por una cantidad

fija , de la siguiente manera:

{

En ant-quantity la actualización de feromona también es inmediatamente después de que una

hormiga recorra un arco, pero a diferencia de ant-density, la actualización considera la distancia

que hay entre un vértice y otro: el valor asignado al arco, como se presenta a continuación.

6 Es un grafo no dirigido que visita cada vértice sólo una vez.

36


{

De esa manera, se asigna menos feromona a los arcos más extensos.

Ant-cycle se diferencia de las otras dos versiones en que la actualización de feromona se hace

sólo después que todas las hormigas construyan sus rutas en una función que depende de la

calidad de la ruta completa generada. La cantidad de feromona depositada en este caso está

definida de la siguiente forma:

{

Donde es una constante y es el largo del recorrido hecho por la hormiga . Como se puede

ver, entre más corta la ruta dada por la hormiga, más feromonas se depositarán, lo que va de

acuerdo con el objetivo de minimización.

Cuando una hormiga ha construido una solución parcial y está en el vértice , elige llegar al

vértice por un procedimiento aleatorio, con una probabilidad

{

∑

Donde es el conjunto de componentes factibles: aristas donde es una ciudad (vértice)

no visitada por la hormiga . y controlan la importancia relativa de las feromonas versus la

información heurística , dada por

Donde es la distancia entre dos vértices.

Aunque originalmente AS se componía de tres variaciones, en estos días se considera que al

referirse a Ant System se está refiriendo en realidad a ant-cycle, debido a que las otras dos

definiciones fueron abandonadas por su desempeño inferior.

37


5.3.2. Elitist Ant System (EAS)

Es la primera mejora de AS, que se introdujo por Dorigo (1992). Modifica las feromonas entregando

más a los arcos pertenecientes a la mejor ruta desde el inicio del algoritmo, (best so far tour).

Esto se logra agregando una cantidad ⁄ , donde es un parámetro que define el peso dado a

, y es su largo. La actualización de feromona entonces, es así:

∑

{

5.3.3. Rank-Based Ant System (ASrank)

Esta es otra mejora sobre AS, planteada por Bullnheimer et al. (1999). En este caso, cada hormiga

deposita feromona que va descendiendo de acuerdo a su ranking; también se le da más feromonas

a los arcos de la mejor ruta, como en EAS. Antes de actualizar las feromonas, las hormigas son

ordenadas de acuerdo al largo de su ruta, en orden ascendente; luego cada hormiga deposita

feromonas ponderada por su ranking . En cada iteración sólo las hormigas mejor

rankeadas y la que ha producido el mejor recorrido (en la iteración o desde el inicio) son las que

depositan feromonas. La hormiga con mejor ruta desde el inicio tiene la actualización mayor, con

peso y la -ésima hormiga de la iteración contribuye a la actualización de feromonas con el valor

⁄ multiplicado por un peso dado por . Entonces, se actualiza así:

∑

Los resultados de Bullnheimer et al. muestran que su algoritmo tiene mejores resultados que AS y

EAS.

38


5.3.4. MAX-MIN Ant System (MMAS)

Realizado por Stützle y Hoos (1996, 2000) es una mejora de Ant System. Sus elementos

característicos son que sólo la mejor hormiga actualiza los rastros de feromona y que su valor está

limitado. La actualización de feromonas opera de la forma:

[ ]

Donde y son los límites superior e inferior de feromona, respectivamente. El operador

se define como:

{

Y el valor de es

{

es el largo de ruta de la mejor hormiga, que puede ser tanto la mejor de la iteración o la mejor

desde el inicio del algoritmo, o combinadas, dependiendo de la programación.

Todas las heurísticas descritas son modificaciones mayores o menores de Ant System. A

continuación se describe una heurística, que aunque inspirada fuertemente en AS, introduce

nuevas funcionalidades ausentes en la heurística original.

5.3.5. Ant Colony System (ACS)

ACS es desarrollado por Dorigo y Gambardella (1997) y se diferencia de Ant System en tres

puntos:

Aprovecha la experiencia de búsqueda acumulada por las hormigas mucho más que AS, a

través del uso de una regla de acción más agresiva.

La evaporación y el depósito de feromona toma lugar sólo en los arcos del mejor tour

desde el inicio del algoritmo.

Cada vez que una hormiga utiliza el arco para desplazarse de la ciudad (vértice) a la

, remueve algo de feromonas del arco para aumentar la exploración de caminos

alternativos.

39


Cuando una hormiga se desplaza de a , lo hace de acuerdo a la regla proporcional

pseudoaleatoria, dada por

{

{

}

Donde es una variable aleatoria distribuida uniformemente en es un

parámetro, y es una variable aleatoria seleccionada de acuerdo a la distribución de

probabilidades dada por la ecuación de Ant System, con :

{

∑

Lo que que quiere decir que, con una probabilidad , la hormiga hace el mejor movimiento

posible, de acuerdo a los rastros de feromona aprendidos y la información heurística (aprovecha el

conocimiento aprendido), mientras que con probabilidad realiza una exploración

influenciada de los arcos. La definición de permite controlar el grado de exploración y la decisión

de concentrarse en la búsqueda alrededor de la mejor solución obtenida hasta el momento, o la de

la exploración de otras rutas.

En Ant Colony System sólo una hormiga (la de la mejor ruta hasta el momento) puede depositar

feromonas en cada iteración. Esta es la llamada actualización global y se define como:

La actualización de feromonas a sólo una hormiga tiene especial relevancia: reduce la complejidad

computacional de cada iteración de a , siendo el tamaño de la instancia que se está

resolviendo. El factor sigue representando evaporación, con la diferencia que ahora se evaporan

tanto la feromona existente como la feromona depositada .

Además de esta actualización de feromona global, en ACS las hormigas también tienen un método

de actualización local, que aplican inmediatamente después de cruzar un arco :

40


es el valor inicial de feromona. El efecto de esta regla de optimización local es que cada vez que

una hormiga utiliza un arco , su rastro de feromona se reduce, con lo que la arista se

vuelve menos atractiva para las siguientes hormigas, lo que genera un aumento de la exploración

de arcos que no han sido visitados y se evita el estancamiento7.

ACS está basado en Ant-Q, un algoritmo anterior que propusieron Dorigo y Gambardella (1995),

que se diferencia de ACS en la definición de ; Ant-Q lo definía como

, a

partir de una definición similar en el algoritmo Q-learning8. Si se deja como un valor pequeño

resulta un algoritmo más simple, lo que sumado a que los resultados de los algoritmos no diferían

demasiado, Ant-Q fue dejado de lado.

MMAS y ACS comparten el hecho que ocupan límites de feromonas: uno explícitamente y el otro

implícitamente: en ACS los rastros de feromona nunca serán menores que , porque en ambas

ecuaciones de feromonas se agrega un valor mayor o igual a , y este es el valor inicial. Por una

razón similar, los rastros de feromona nunca pueden ser mayores que ⁄ . Por lo tanto,

implícitamente: ⁄ (Dorigo y Stützle, 2004).

A partir de un significativo número de instancias, en la literatura se recomienda configurar los

parámetros de ACO en TSP como se muestra en la Tabla 5.1.

Algoritmo

AS 1 2 a 5 0,5 ⁄ EAS 1 2 a 5 0,5 ⁄

ASrank 1 2 a 5 0,1 ⁄ MMAS 1 2 a 5 0,02 ⁄

ACS - 2 a 5 0,1 10 ⁄ Tabla 5.1 Configuración de parámetros para algoritmos ACO (Dorigo y Stützle, 2004)

representa el número de vértices a recorrer y la feromona inicial puede inicializarse con cualquier

solución inicial, no estrictamente la del mejor vecino. Además, algunos parámetros adicionales se

requieren en las extensiones de AS.

EAS:

ASrank: El número de hormigas que depositan feromonas .

MMAS: ⁄ y √

⁄ √

. es el número

promedio de opciones en cada iteración.

ACS: y

7 Que las hormigas converjan a generar el mismo camino, que puede ser una mala solución.

8 Técnica de aprendizaje por refuerzo que indica qué acción debe ejecutarse dependiendo del estado en que

se encuentre el agente. El aprendizaje por refuerzo es un esquema de prueba y error donde un agente computacional aprende a realizar una acción al recibir realimentación evaluativa del medio.

41


6. Método Propuesto

6.1. Relación de | | con TSP

Varios problemas de la programación de la producción comparten similitudes con algunas

instancias del problema del vendedor viajero, siendo el caso más directo el de | | :

La secuencia de ciudades a recorrer es análoga a la secuencia de trabajos a programar en una

máquina.

Las rutas están determinadas por la distancia entre las ciudades, de la misma forma que la

secuencia de trabajos depende de los tiempos de setup.

El objetivo a minimizar en TSP es la distancia recorrida por todas las ciudades, lo mismo que

minimizar los tiempos de preparación, ante tiempos de proceso invariables.

Por lo general, en problemas de programación de la producción se trabaja con tienpos de setup

que no son simétricos , con lo que la asociación es con el problema aTSP, problema

del vendedor viajero asimétrico .

Para el caso con máquinas paralelas idénticas, la analogía se transforma en -TSP con un

objetivo minmax, que es el problema de múltiples vendedores viajeros ( ), con el objetivo de

minimizar el largo de la ruta más extensa, con lo que se equilibran las distancias a recorrer entre

los vendedores. Lo mismo que sucede con | | : el objetivo es minimizar el tiempo de

finalización del proceso, lo que se define por la máquina que ocupa más tiempo en el sistema.

Entre las múltiples heurísticas de resolución de TSP y sus variantes, han tomado mucha fuerza en

los últimos quince años el uso de metaheurísticas, por sus nuevos enfoques al enfrentarse a

problemas de optimización, su efectividad y adaptabilidad. Las metaheurísticas ACO han mostrado

resultados prometedores en algunos casos y que superan métodos previos, en muchos otros. Por

ejemplo, para TSP, dos de las heurísticas más desarrolladas y efectivas de ACO son MAX-MIN Ant

System y Ant Colony System, que según los estudios de Dorigo (2004) exhiben comportamientos

distintos: MMAS inicialmente entrega soluciones pobres y aunque demora, finalmente entrega las

mejores soluciones; en cambio, ACS es el algoritmo ACO más agresivo y entrega las mejores

soluciones en un lapso corto y muy cercanas a las que entrega MMAS en tiempos largos, como lo

muestra la Figura 6.1. Por tener un mejor balance entre ambas opciones, se opta por usar ACS en

la heurística para | |

42


Figura 6.1 Desviación del valor óptimo vs. tiempo computacional de ACO en 2 problemas TSP (Dorigo

y Stützle, 2004)

Heurísticas ACO se han utilizado en la resolución de diversos problemas de programación de la

producción y otros, por su relación con el problema TSP. Salazar y Ruiz (2009) presentan un

modelo que utiliza ACS para el problema de recolección de residuos domiciliarios por

contenedores, que reduce las rutas que deben tomar los camiones recolectores. Behnamian et al.

(2009) utilizan MMAS para generar una solución inicial en | | , Salazar y Pavón (2011)

ejecutan ACS en una adaptación del problema | | , que es el problema de flow

shop de permutación con tiempos de preparación dependientes de la secuencia y minimización de

makespan, mientras que Salazar y Sánchez (2012) evalúan tres variantes distintas de MMAS en el

problema de programación de una máquina con tiempos de setup dependientes de la secuencia,

| | .

El algoritmo diseñado para la programación de la producción reemplaza la heurística del mejor

vecino presente en Cortés (2009) por ACS y agrega una fase de optimización local en la etapa final

de ambas variantes internas (antes/después), que funciona por medio de ACS también.

6.2. Extensión de ACS con Revisión Final

El algoritmo, al igual que en la extensión del método del mejor vecino, considera dos variantes

internas para la asignación de los trabajos luego de ser secuenciados por ACS: una asignación

antes del límite y otra después. Los trabajos pendientes son localizados en la máquina que

pueda terminar su proceso antes. La última fase de optimización local de las máquinas reordena

mediante ACS la máquina más ocupada, que es la que está determinando el makespan del

sistema: si se disminuye su valor y una nueva máquina es la más ocupada, se realiza el mismo

proceso a este recurso. Este proceso de revisión final nace para amortiguar el efecto que tienen los

tiempos de setup iniciales y los generados por la localización de trabajos pendientes.

43


ACSA

1. Secuenciar los trabajos de acuerdo a la heurística Ant Colony System.

2. Obtener el makespan de la secuencia, considerando una configuración de una máquina.

3. Obtener , dividiendo el makespan obtenido por el número de máquinas .

4. Manteniendo la secuencia inicial, asignar la mayor cantidad de trabajos a la primera

máquina, hasta que el tiempo de finalización parcial de la máquina no sobrepase el valor .

Repetir para cada máquina.

5. Si todos los trabajos están programados, continuar al paso 6. Si no es así, asignarlos

donde se genere un menor makespan parcial.

6. Calcular el makespan.

7. Seleccionar la máquina cuya secuencia genere el tiempo de finalización más grande.

8. Re-secuenciar los trabajos de la máquina seleccionada de acuerdo a la heurística Ant

Colony System

9. Si el makespan no se reduce, finalizar. Si el makespan disminuye y la máquina

resecuenciada sigue siendo la más ocupada, actualizar y finalizar. Si la máquina ya no es

la más ocupada, volver al paso 7.

ACSD

1. Secuenciar los trabajos de acuerdo a la heurística Ant Colony System.

2. Obtener el makespan de la secuencia, considerando una configuración de una máquina.

3. Obtener , dividiendo el makespan obtenido por el número de máquinas .

4. Manteniendo la secuencia inicial, asignar la mayor cantidad de trabajos a la primera

máquina, de modo que el último trabajo en la máquina será a su vez el primero que

sobrepase . Repetir para cada máquina.

5. Si todos los trabajos están programados, continuar al paso 6. Si no es así, asignarlos

donde se genere un menor makespan parcial.

6. Calcular el makespan.

7. Seleccionar la máquina cuya secuencia genere el tiempo de finalización más grande.

8. Re-secuenciar los trabajos de la máquina seleccionada de acuerdo a la heurística Ant

Colony System

9. Si el makespan no se reduce, finalizar. Si el makespan disminuye y la máquina

resecuenciada sigue siendo la más ocupada, actualizar y finalizar. Si la máquina ya no es

la más ocupada, volver al paso 7.

El makespan generado por el procedimiento heurístico es el menor entre las dos variantes:

44


Aplicando el algoritmo para el problema-ejemplo de y y usando los parámetros

recomendados por la literatura en ACS para resolver TSP (Dorigo y Stützle, 2004), se obtiene la

siguiente secuencia por medio del software SPS_PS_Setup:

2 14 4 10 12 11 1 5 13 6 15 9 7 8 3

88 23 17 70 81 54 11 35 82 64 99 35 20 30 39

Tabla 6.1 Secuencia inicial generada por ACS

Con

Que es completamente distinta a la secuencia inicial de LPT, lógicamente, y también diferente a la

generada por la heurística del mejor vecino, sin dejar de considerar eso sí la existencia de

“subrutas” que coinciden en ambas secuencias.

El makespan que produce la secuencia total es:

∑ ∑

Con lo que el parámetro resulta ser:

La asignación de trabajos antes de este límite se presenta en la Figura 6.2.

Figura 6.2 Asignación de ACS, antes de L

2

12

13

14

11

6

4

1

10

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

45


En este caso faltan 5 trabajos por asignar, se aplica el mismo procedimiento de los otros

algoritmos, programando donde la máquina termine de funcionar antes. De esta manera, la

configuración queda tal como muestra la Figura 6.3.

Figura 6.3 Programación de heurística ACSA, hasta paso 5

El makespan lo define la máquina 2, y es .

En este punto, la heurística revisa si esta máquina 2 puede finalizar su operación antes,

reordenando su secuencia con este objetivo, mediante ACS. Resulta que hay una secuencia de

estos trabajos que termina antes, como lo muestra la Figura 6.4:

Figura 6.4 Revisión de ACSA en máquina 2

El makespan parcial de la máquina 2 pasa a ser 282 y como la máquina 1 es ahora la más

ocupada, el makespan del sistema es .

Como es una nueva máquina la más ocupada, el algoritmo nuevamente revisa si ACS puede

determinar un reordenamiento que entregue un makespan menor, situación que se da nuevamente

(Figura 6.5).

2

12

13

14

11

6

4

1

15

10

5

7

9

8

3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

2

3

13

14

12

6

4

11

15

10

1

7

5

8

9

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

46


Figura 6.5 Revisión de ACSA en máquina 1

El nuevo makespan parcial de la máquina 1 es 279, pero como M3 es ahora la máquina más

ocupada, el makespan del sistema cambia a .

Una vez más, al cambiar la máquina que determina el makespan del sistema, se revisa si algún

reordenamiento puede seguir reduciéndolo. Esta vez no es posible, con lo que la secuencia final de

ACSA es la misma obtenida en la iteración anterior y, por lo tanto, el makespan es

.

Ahora, en cuanto a la asignación después del límite , los trabajos quedan asignados de esta

manera, a partir de la secuencia ACS inicial (Figura 6.6)

Figura 6.6 Asignación de ACS, después de L

En este ejemplo todos los trabajos ya han sido asignados a partir de la secuencia inicial que

produjo ACS, por lo que también es la programación hasta el paso 5 del algoritmo ACSD.

El makespan lo define la máquina 1, y es .

Posteriormente, se revisa la posibilidad de que el makespan de la máquina 1 pueda disminuir; este

no es el caso, por lo que la asignación que entrega ACSD es la mostrada en la Figura 6.5 y su

makespan es .

2

3

13

14

12

6

4

11

15

7

1

8

5

10

9

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

2

11

15

14

1

9

4

5

7

10

13

8

12

6

3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

M1

M2

M3

47


Finalmente, el makespan que entrega la heurística ACS con revisión es el menor entre las

variantes ACSA y ACSD:

{

}

Makespan cuya programación corresponde a la que generó la sección ACSA de la heurística,

representado en la Figura 6.5.

Los resultados que entregaron las cinco heurísticas para el problema ejemplo se presentan en la

Tabla 6.2.

Heurística LPT xLPT MC-100 MV ACS(S) ACS(C)

336 336 311 309 297 283

Tabla 6.2 Makespan del problema ejemplo en distintas heurísticas

Al menos para este problema ejemplo se puede observar que la secuenciación inicial mediante

ACS reduce el makespan del problema de máquinas paralelas, en comparación con su método

“hermano” (extensión del mejor vecino) y que la optimización llevada a cabo por ACS en la etapa

de revisión del algoritmo propuesto lo reduce y en una mayor proporción, incluso. Esta última etapa

resulta ser muy exitosa debido al balanceo de cargas entre las máquinas; de hecho, la diferencia

entre la primera máquina en terminar y la última no supera los 5 segundos. Por otro lado,

Montecarlo muestra el potencial de generar makespan similares a los de la extensión del mejor

vecino. Por último, las heurísticas basadas en Longest Processing Time exhiben un desempeño

inferior al de los otros procedimientos y que no se diferencia al menos en este ejemplo.

Evidentemente, esta es sólo una comparación ilustrativa. Una comparación mucho más acabada

de cada uno de los métodos heurísticos se presenta en el Capítulo 7, con instancias para

problemas de complejidad superior.

48


7. Evaluación y Análisis de Resultados

7.1. Información Preliminar

Para la evaluación de la efectividad del método heurístico propuesto y las demás heurísticas

expuestas, es necesario definir los parámetros involucrados en la programación del problema

| | , de manera que presenten variabilidad y prueben las heurísticas en distintos

escenarios. Estos parámetros básicos son:

Número de trabajos, .

Número de máquinas, .

Tiempos de proceso de los trabajos, .

Tiempos de setup dependientes de la secuencia de trabajos,

Ya que el problema en sí no es cubierto extensamente, en la literatura asociada es común generar

problemas artificiales. La cantidad de trabajos y máquinas en estos trabajos aunque no es la

misma, tiende a coincidir: Kurz et al. (2001) usan y , Behnamian et al. (2009)

utilizan y , respectivamente, França et al. (1996) y

; mientras que Gendreau et al. (2001) experimentan con un número más amplio de

valores, y . En Mendes et al. (2002), al igual que França et al. eligen una

proporcionalidad entre trabajos y máquinas: y . Por último, Rocha et

al. (2007) mantienen fijo el número de máquinas en 6 y varía entre 10 y 100.

En cuanto a los tiempos del sistema existe más divergencia: Kurz y Behnamian con sus

colaboradores establecen los tiempos de acuerdo a aplicaciones del mundo real, el primer trabajo

plantea dos escenarios, donde los tiempos de setup son en promedio iguales a los de proceso y

otro donde los tiempos de proceso multiplican por 10 los de setup. El segundo trabajo considera

que los tiempos de setup son aproximadamente entre el 20 y 40% de los tiempos que demoran las

tareas en ejecutarse, con lo que plantea que , además de

. Los otros autores estudiados asignan los tiempos aleatoriamente sin ninguna

referencia real, pero manteniendo lógicas similares a los autores anteriores: França et al. equilibran

ambos tiempos, en valores más bajos, comparando con las otras referencias:

. Gendreau et al. diferencian los promedios de tiempos de setup y

proceso, con , mientras que Mendes et al. dejan los mismos escenarios

de Kurz et al: uno donde los tiempos de setup y proceso son en promedio iguales, y otro donde son

el 10% de los tiempos de trabajo. Rocha et al. están más cerca de la consideración de Behnamian

y sus colaboradores, considerando los setup aproximadamente un 40% de los tiempos de proceso.

49


7.2. Escenarios de Evaluación

Es en base a esta información, y con el objetivo de acercar el planteamiento teórico a las

aplicaciones prácticas, que las heurísticas se estudiaron de acuerdo a tres escenarios en lo que a

y respecta:

Lo que hace que progresivamente aumente la complejidad del problema, manteniendo una relación

de aproximadamente 10 trabajos en cada máquina, mismo criterio utilizado en Cortés (2009) y

Medina (2010).

En cuanto a los tiempos involucrados en | | , para ver la influencia de los tiempos de

preparación en la resolución, se ha resuelto plantear dos escenarios:

Un nivel alto y otro bajo, para contrastar con los tiempos de proceso, distribuidos uniformemente:

Los tiempos de setup que están asociados al primer trabajo a procesarse en una máquina son

considerados y están definidos tal como los otros tiempos de setup, en un nivel alto y bajo:

A continuación se definen todos los escenarios:

Setup

Alto U[1,100] U[1,100] 3 30 5 50

10 100

Bajo U[1,30] U[1,100] 3 30 5 50

10 100

Tabla 7.1 Escenarios considerados para la comparación de las heurísticas

En la notación de los resultados expuestos LPT representa la heurística extensión de LPT para

trabajos con setup, xLPT su adaptación, con tiempo de setup promedio considerado; MC es la

heurística Montecarlo, MV la del Mejor Vecino y ACS es la heurística Ant Colony System con

Revisión.

50


Cada vez que se compare porcentualmente los resultados de una heurística con otra , es por

medio de la razón:

De esta manera, combinadas todas las posibilidades descritas, las heurísticas se resolvieron en 6

escenarios distintos, en las que se ejecutaron 20 repeticiones para poder apreciar de mejor manera

el comportamiento de las opciones de resolución. Para el caso de la heurística basada en

Montecarlo, se definió el a utilizar mediante una prueba preliminar en el problema de

máquinas, entre , eligiendo la que entregue la mejor

solución en un tiempo razonable.

Los resultados de las heurísticas LPT, Montecarlo y del Mejor Vecino se registran mediante la

ejecución de una sola repetición por instancia, a diferencia de la heurística ACS con Revisión,

donde se consideran 10 repeticiones. Esto es porque la heurística ACS es un procedimiento

pseudoaleatorio que considera una sola solución inicial, sujeta por tanto a variaciones entre una

ejecución y otra. En el otro procedimiento aleatorio (Montecarlo) no se hace lo mismo, sólo por el

hecho que define internamente un número de repeticiones donde se elige la mejor.

Las 120 distintas consideradas se generan en el software Microsoft Excel mediante la función

ALEATORIO() y luego se ejecutan en SPS_PS_Setup, diseñado para resolver cada instancia del

problema y cuya interfaz se muestra en la Figura 7.1. El software se ejecuta en un computador con

procesador Intel Core i5-460M de 2.53 GHz y 4 GB de memoria RAM con el Sistema Operativo

Windows 7 Home Premium.

Figura 7.1 Interfaz de software SPS_PS_Setup

Sistema de Programacion de Maquinas Paralelas con Setup <SPS_PS_Setup> Prof. Eduardo Salazar H. <[email protected]> DII-Universidad de Concepcion / Chile <2009 - 2012>

Ingrese Archivo…: ejemplo.txt Heuristicas Maquinas Paralelas <setup>

1 LPT_Setup

2 LPT_xSetup

3 MV_A

4 MV_D

5 Montecarlo

6 ACS_PS

Ingrese Heuristica: _

51


7.3. Definición de Parámetros

7.3.1. Montecarlo

Para definir el usado en la heurística Montecarlo, se ejecutaron 20 instancias en el problema con

, y tiempos de setup en nivel alto, uno de los problemas de mayor complejidad

entre los 6 expuestos anteriormente, debido a su tamaño. Los valores de analizados fueron 10,

100, 1.000, 10.000, 100.000 y 1.000.000. Como la primera ejecución de demoró

más de 10 minutos, se decidió excluir del análisis. Los makespan generados son los que se

exponen en la Tabla 7.2

Instancia MC10 MC100 MC1000 MC10000 MC100000 MC1000000

1 758 742 711 706 695 689

2 819 791 776 760 747 733

3 796 749 739 718 711 699

4 751 715 711 704 693 682

5 770 746 718 702 690 692

6 741 716 706 696 681 669

7 726 705 696 674 670 657

8 833 793 795 775 767 758

9 818 784 770 750 744 732

10 782 752 736 739 722 701

11 728 717 690 700 687 659

12 720 704 675 664 661 648

13 774 747 745 739 721 707

14 795 746 737 720 718 715

15 726 739 710 706 692 684

16 761 741 721 706 705 684

17 758 708 709 687 684 680

18 756 743 724 714 703 685

19 757 735 726 717 700 699

20 761 735 710 714 699 691

Tabla 7.2 Makespan para MC100A

En promedio, y como es de esperar, los tiempos de finalización van mejorando a medida que el

valor de aumenta, disminución expresada de esta forma.

→

→

→

→

→

Si bien parece que una disminución del makespan de 1 o 2% puede ser baja, se traduce en

alrededor de 10 segundos, lo que en el largo plazo ayuda a disponer antes de los productos y

máquinas, además de tener un menor uso de estas últimas.

52


En cuanto al tiempo de ejecución de las heurísticas, varía en promedio desde una fracción de

segundo a más de un minuto, como puede verse en la Tabla 7.3:

M10 M100 M1000 M10000 M100000 M1000000

0,00 0,01 0,07 0,71 7,08 70,78

Tabla 7.3 Tiempos de ejecución promedio para MC100A

Los tiempos de ejecución pasan de ser en promedio menores a 0,01 segundos para los casos de

a irse multiplicando por 10 a medida que se multiplica por 10 también, hasta llegar a

ser un poco más de un minuto en el caso de . Si bien es un valor considerablemente

mayor a los que toma la ejecución de las otras cinco instancias, sigue siendo un tiempo que no es

grande y permite analizar un millón de alternativas sin la necesidad de ir haciendo repeticiones. El

tiempo es la misma razón por la que no se considera Montecarlo con un , ya no es

práctico mejorar resultados en un 1% esperando 10 minutos más.

De esta manera, se considera y los makespan registrados quedan para la

comparación con las otras heurísticas en este escenario.

7.3.2. Extensión de ACS con Revisión Final

Dorigo y Stützle, en el libro básico de la metaheurística (Ant Colony Optimization, 2004),

recomiendan que para asegurar un buen desempeño en la aplicación de Ant Colony System para

TSP los parámetros involucrados deben definirse de la manera presentada a continuación:

Parámetros determinados a partir de la experiencia en la resolución de ese problema de

optimización. Para el caso de | | , se compararon las secuencias iniciales de trabajos

generadas por ACS, para ver la influencia directa de las primeras tres variables expuestas. Los

valores de cada parámetro se definieron por medio de combinaciones alrededor de estos números

recomendados. Específicamente, las combinaciones son a partir de los siguientes números:

53


Para comenzar la comparación, se ejecutan las 27 combinaciones de parámetros en 10 instancias

diferentes del problema más complejo entre los escenarios de evaluación planteados, en el que

está definido y tiempos de setup en un nivel alto, que es el mismo problema usado para

definir el en Montecarlo. Los resultados de esta comparación se encuentran en el Anexo 2 y se

resumen en la Figura 7.2.

Figura 7.2 Comparación de combinaciones de parámetros para ACS

Al ser complicado verificar sólo con este gráfico si alguna combinación es mejor que otra, es

pertinente hacer un análisis más detallado. Un ranking de los promedios de makespan que

generan las distintas configuraciones se muestra parcialmente en la Tabla 7.4 y completamente en

el Anexo 2.

Parámetros Promedio Desv. Est.

2.15.90 5359,9 286,4

2.10.85 5369,4 282,4

2.10.95 5369,8 288,5

2.5.85 5370,5 289,4

2.15.85 5374,4 289,2

3.5.85 5378,8 288,0

2.10.90 5379,3 280,9

3.15.85 5379,3 281,7

2.5.90 5379,7 279,0

3.10.85 5380,2 277,5

Tabla 7.4 Ranking de los primeras 10 combinaciones de parámetros, según makespan

Por otro lado, es necesario verificar cuan robusta es la generación de makespan de una

combinación de parámetros, debido a que el promedio oculta esa información. Una forma de

4900

5100

5300

5500

5700

5900

2.5

.85

2.1

0.9

0

2.1

5.9

5

3.5

.85

3.1

0.9

0

3.1

5.9

5

5.5

.85

5.1

0.9

0

5.1

5.9

5

2.5

.90

2.5

.95

2.1

0.8

5

2.1

0.9

5

2.1

5.8

5

2.1

5.9

0

3.5

.90

3.5

.95

3.1

0.8

5

3.1

0.9

5

3.1

5.8

5

3.1

5.9

0

5.5

.90

5.5

.95

5.1

0.8

5

5.1

0.9

5

5.1

5.8

5

5.1

5.9

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

54


observarlo es registrar cuantas veces una combinación es la mejor o está entre las mejores (o las

peores). La Tabla 7.5 muestra las cinco mejores, según su lugar promedio en cada una de las 10

instancias del problema y refleja en qué porcentaje una combinación se ubica entre las tres

primeras.

Instancia 2.15.90 2.5.85 2.10.85 2.10.95 2.15.85

1 2 1 7 3 4

2 2 8 4 1 5

3 1 9 4 2 7

4 3 3 1 5 9

5 3 4 7 4 1

6 1 2 4 5 3

7 3 6 12 4 12

8 2 3 5 8 12

9 2 9 1 10 11

10 3 8 8 13 4

% en “podio” 100% 40% 20% 30% 20%

Tabla 7.5 Posiciones de las mejores cinco combinaciones

La heurística ACS que combina y es la que muestra

consistentemente el mejor comportamiento entre las 27 alternativas: es dos veces el valor mínimo,

cuatro veces el segundo valor y cuatro veces el tercero; no sale de esas posiciones. En cambio,

todas las otras opciones tienen un comportamiento más errático, llegando a ser la primera en una

instancia y la 13° en otra, además que no llegan a estar entre los tres mejores resultados ni el 50%

de las instancias, lo que nunca es deseable. En la otra vereda, las cinco combinaciones que

muestran el comportamiento más pobre son las que muestra la Tabla 7.6:

Instancia 3.5.95 5.15.95 5.10.95 5.5.95 5.5.90

1 15 24 20 27 22

2 15 19 27 26 25

3 21 20 24 24 27

4 27 25 22 26 22

5 27 24 9 25 26

6 26 19 24 18 20

7 23 26 27 21 24

8 13 26 27 19 19

9 22 18 27 22 26

10 23 20 14 21 27

% en “podio” 30% 30% 40% 40% 50%

Tabla 7.6 Posiciones de las peores cinco combinaciones

55


Si se agrupan las combinaciones de acuerdo a los distintos niveles que tienen los parámetros, se

aprecia claramente que el valor de influye directamente en el desempeño de la heurística para

minimizar el makespan de la secuencia de trabajos inicial: mientras más bajo es , se llega a

mejores soluciones de makespan; de hecho, las cinco mejores combinaciones del set de 27 son

con y siete de las ocho peores son con . No es difícil explicar el porqué: es el

parámetro que determina la importancia relativa que se le da a la información heurística9, con lo

que si es mayor, en cada iteración el algoritmo tenderá a comportarse más cercano a un algoritmo

greedy en cada iteración, siempre y cuando .

Por otro lado, para este problema los valores de y no ejercen una influencia tal que

determinen por sí mismos el desempeño de la heurística, sí combinados con : se encuentran

configuraciones buenas (pero no las mejores) en niveles bajos, medios y altos de y con

valores de .

Para determinar finalmente qué parámetros se utilizaron en la experimentación de la heurística

ACS con Revisión, se eligió el set de cinco mejores combinaciones para testearlos en cinco

problemas distintos a los que se utilizaron en la prueba preliminar, repitiendo cinco veces. De esta

manera, pudo verificarse con mayor seguridad el desempeño de una y otra opción, así como

cuándo la búsqueda de la solución se estabiliza dentro de los 5000 ciclos de prueba, importante

para eliminar tiempo de ejecución computacional innecesario.

Para ejemplificar el comportamiento, se muestran los resultados de una instancia del problema

(Tabla 7.7).

1 2 3 4 5 Promedio Desv. Est.

2.15.90 4881 4869 4882 4893 4889 4882,8 9,18

2.5.85 4883 4915 4885 4911 4888 4896,4 15,32

2.10.85 4880 4888 4891 4896 4872 4885,4 9,48

2.10.95 4887 4907 4886 4925 4910 4903,0 16,54

2.15.85 4900 4893 4905 4882 4890 4894,0 8,92

Tabla 7.7 Makespan obtenidos con las cinco combinaciones de parámetros

Las cinco combinaciones seleccionadas no se comportan establemente, entregando distintos

resultados, esto es porque ACS es un procedimiento pseudoaleatorio dirigido, con lo que la mejor

solución en ese espacio factible tan grande puede ser desplazada por una solución que sigue

siendo buena, debido a las bondades de la exploración de las hormigas. De hecho, las soluciones

9 Para ACO, información proporcionada al principio de la ejecución de la heurística. En el caso de TSP, son

las distancias entre las ciudades y en el de | | , los tiempos de setup. Se opone a la información de

feromona, que va cambiando a medida que se desarrolla la heurística ACO.

56


por lo general están separadas entre 10 y 20 segundos. Pese al comportamiento descrito, puede

observarse una tendencia: la heurística ACS que combina y

nuevamente es la que en promedio genera menores makespan, seguida muy de cerca por la de

parámetros y , aunque la última tiene una desviación ligeramente

mayor. La Figura 7.3 permite verificar gráficamente estas características en una de las instancias.

Figura 7.3 Makespan obtenidos con las cinco combinaciones de parámetros

Estas observaciones no sólo se rescatan de la instancia ejemplificada, sino que con pocas

diferencias se presentan en las otras cuatro: en todas ellas la heurística con parámetros

y es la que en promedio entrega el menor makespan, además que en 4 de las

5 instancias es el mejor valor entre todos y donde no lo es, es el segundo mejor. La información de

las cinco instancias se presenta en el Anexo 2.

Es por todas estas razones que se resuelve trabajar la heurística ACS para el problema

| | con los parámetros:

Ahora, para fijar el número de iteraciones que tendrá como máximo la heurística para buscar una

solución, se utilizan las mismas instancias y repeticiones resueltas por esta combinación de

parámetros, pero ahora considerando cada iteración donde el makespan de la secuencia inicial fue

mejorando. La información de dos instancias se resume en la Figura 7.4.

4840

4860

4880

4900

4920

4940

2.15.90 2.5.85 2.10.85 2.10.95 2.15.85

1 2 3 4 5

57


Figura 7.4 Comportamiento de ACS en 5000 ciclos para dos instancias distintas

En estos casos, una repetición es la mejor cerca del ciclo 5000, tres repeticiones encuentran su

mejor solución alrededor del ciclo 4000, dos cerca de 3000, dos alrededor de 2000 y otras dos

cerca del ciclo 1000, lo que muestra que es bien variable la convergencia de una solución, porque

tiene un factor aleatorio considerable. Es por esto que es mejor observar cuántas veces se llega a

mejorar la solución en cierto ciclo y cuánto se mejora.

Ciclo Dism. Makespan Frecuencia Frecuencia relativa

0-10 4172,84 25 100%

11-500 79,2 25 100%

501-1000 9,75 24 96%

1001-1500 7,41 22 88%

1501-2000 5,05 21 84%

2001-2500 3,16 19 76%

2501-3000 5 18 72%

3001-3500 4,07 15 60%

3501-4000 1,92 12 48%

4001-4500 5,6 10 40%

4501-5000 5,67 6 24%

Tabla 7.8 Ciclos de mejora de solución y disminución de makespan

5540

5590

5640

5690

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

1 2 3 4 5

5400

5450

5500

5550

5600

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

1 2 3 4 5

58


Es claro que la mejora más importante se da en los primeros 2000 ciclos, y por sobre todo los

primeros 10, donde disminuye de forma radical una solución generada aleatoriamente. Este

comportamiento es característico de ACS y fue una de las razones de su elección sobre otras

heurísticas ACO. La cantidad de repeticiones donde la heurística llega a mejorar va disminuyendo

a medida que los ciclos aumentan, llegando a ser un 24% entre los ciclos 4500 y 5000,

prácticamente la mitad que en el ciclo inmediatamente anterior. Esta situación “real” se refleja en la

Tabla 7.9, donde se asigna un valor 0 en todos los intervalos donde ya no se mejore la solución

obtenida (entre el mejor encontrado y el último evaluado, 5000).

Ciclo Disminución Makespan

0-10 4172,84

11-500 79,2

501-1000 9,36

1001-1500 6,52

1501-2000 4,24

2001-2500 2,4

2501-3000 3,6

3001-3500 2,44

3501-4000 0,92

4001-4500 2,24

4501-5000 1,36

Tabla 7.9 Disminución “real” de makespan en cada tramo de ciclos

Como en más de la mitad de las instancias el makespan disminuye hasta el ciclo 3500, se eligió

ese número como el tope de iteraciones para la generación de la secuencia inicial por medio de

ACS. Si bien puede seguir mejorándose ese makespan, se incurre un tiempo innecesario de

resolución para mejorar tiempos que se redistribuirán en las máquinas y serán de magnitudes

muy similares a los que se reducen en la etapa de optimización del algoritmo, la última etapa de

ACS con Revisión.

De esta manera, al utilizar 3500 ciclos de límite en vez de 5000 para minimizar los tiempos de

setup en una secuencia de trabajos, se reduce considerablemente el tiempo de ejecución

computacional, un 30% aproximadamente para el caso en que se hicieron las pruebas ( ,

y tiempos de setup en nivel alto): de un poco más de 50 segundos a alrededor de 35

segundos.

Con estos parámetros definidos, la heurística ACS con Revisión se ejecutará 10 veces para una

misma instancia, de modo que la que genere menor makespan se comparará a cada una de las

otras cinco heurísticas.

59


7.4. Resultados

7.4.1. Nivel de Setup Alto

Primero se compara la heurística propuesta sin optimización final con los otros cuatro

procedimientos.

n=30 n=50 n=100

LPT xLPT MC MV ACS(S) LPT xLPT MC MV ACS(S) LPT xLPT MC MV ACS(S)

1 921 964 737 661 647 814 890 706 643 603 794 772 689 642 637

2 948 905 754 720 647 774 728 669 630 573 800 788 733 695 622

3 923 902 725 686 636 871 869 738 681 661 754 757 699 648 633

4 887 880 682 662 602 778 795 664 588 571 747 709 682 633 624

5 958 975 703 663 627 949 847 714 637 629 725 767 692 642 620

6 982 1032 810 767 701 815 859 684 620 586 733 743 669 601 592

7 845 893 692 579 591 827 847 699 652 621 718 699 657 609 578

8 841 899 609 548 530 901 864 729 645 658 805 846 758 682 653

9 850 950 672 676 566 809 796 713 611 637 801 775 732 659 641

10 970 919 686 602 610 854 800 734 655 615 752 773 701 663 632

11 820 869 724 672 653 855 837 710 597 626 745 730 659 618 576

12 987 1013 760 664 609 868 901 755 660 659 678 726 648 567 595

13 814 874 600 564 535 850 836 728 645 630 768 788 707 647 655

14 827 862 720 629 638 826 819 701 608 614 745 744 715 654 601

15 772 872 609 526 531 790 823 655 566 563 757 733 684 615 579

16 1014 914 777 749 699 678 659 609 543 525 763 746 684 605 606

17 858 905 672 603 585 806 862 702 632 629 730 749 680 606 615

18 792 825 672 644 580 873 811 708 641 629 746 767 685 628 586

19 1065 992 716 697 689 867 869 762 686 646 732 755 699 636 597

20 886 845 637 561 538 781 806 660 597 587 786 773 691 645 597

Tabla 7.10 Resultados de makespan para el nivel de setup alto

El menor makespan de cada instancia está subrayado y con negrita y muestra que el efecto que

tiene el cambio de Mejor Vecino a ACS en la secuenciación inicial es disminuir el makespan en el

85% de las instancias para y en el 80% del resto de los casos ( y ). Los

tiempos que demoró la ejecución computacional se muestran a continuación.

LPT xLPT MC MV ACS

n=30 0,00 0,00 15,43 0,00 4,96

n=50 0,00 0,00 26,07 0,00 10,83

n=100 0,00 0,00 70,78 0,02 37,19

Tabla 7.11 Tiempo promedio de ejecución para nivel alto de setup

Tiempos que varían entre una fracción de segundo para LPT y Mejor Vecino en todos los casos y

tiempos menores a un minuto en heurísticas aleatorias, salvo Montecarlo para .

60


El desempeño de los procedimientos heurísticos para el problema con y puede

diferenciarse con mayor claridad en la Figura 7.5.

Figura 7.5 Resultados para el problema con , y nivel de setup alto

Se observa que los makespan generados se agrupan en 2: un grupo de tiempos de finalización

altos (LPT y xLPT) y otro distanciado del primero, donde está Mejor Vecino, Montecarlo y ACS,

siendo esta última la que tiene en promedio menores valores. Esto es establecido numéricamente

al calcular las diferencias promedio entre las heurísticas: a la mejor heurística, ACS, sigue la

heurística del Mejor Vecino, teniendo tiempos de finalización 5,38% más altos, luego sigue

Montecarlo con 14,41% y mucho más lejos las dos variaciones de LPT, con 47,37% para LPT y

50,48% en la adaptación de LPT con tiempos de setup promedio, que en términos prácticos

representan diferencias de 33, 87, 287 y 304 segundos, respectivamente, en tiempos alrededor de

600 segundos. Estas diferencias se detallan en el Anexo 3.


480

580

680

780

880

980

1080

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

LPT xLPT MV MC ACS(S)

500

600

700

800

900

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21


61


A diferencia del escenario con , para la heurística del Mejor Vecino se diferencia en

un mayor grado de Montecarlo, debido a que el problema se vuelve más complejo, y por lo tanto el

espacio de soluciones factibles es más grande, con lo que es más improbable encontrar buenas

soluciones buscando con un procedimiento aleatorio. De todas maneras, la mejor heurística sigue

siendo ACS con Revisión y en promedio, el makespan generado por el procedimiento del Mejor

Vecino es un 2,31% mayor, lo sigue Montecarlo con un 14,56% y luego LPT y xLPT con valores

muy similares: 35,27% y 34,77% sobre ACS, respectivamente. En promedio, estos porcentajes

sobre ACS implican una diferencia de 14 segundos en relación a Mejor Vecino, 89 con Montecarlo

y alrededor de 215 segundos (casi cuatro minutos) en comparación a las heurísticas LPT, que

reflejan un porcentaje alto del tiempo total en el sistema (610 segundos de promedio, para ACS).


En el caso con sigue presentándose la distancia entre Montecarlo y la heurística del Mejor

Vecino con ACS a medida que el tamaño del problema crece. Un problema crecientemente más

complejo sigue sin afectar mayormente a la heurística ACS, aunque el desempeño de las otras se

acerca: ACS es seguido una vez más por la heurística MV, con makespan 3,77% mayores,

Montecarlo con 13,34% y LPT junto a xLPT con diferencias de 23,29% y 23,76%, que implican

tiempos de 23, 81, 142 y 145 segundos en tiempos de sistema que son en promedio desde 610

segundos.

La evolución de todas estas diferencias para los casos estudiados se representa en la Tabla 7.12.

LPT xLPT MC MV

n=30 50,48% 47,37% 14,41% 5,38%

n=50 35,27% 34,77% 14,56% 2,31%

n=100 23,29% 23,76% 13,34% 3,77%

Tabla 7.12 Diferencias de makespan en nivel de setup alto

540

590

640

690

740

790

840

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21


62


7.4.2. Nivel de Setup Bajo

Los makespan generados por todas las instancias en un nivel de setup bajo comparado con los

tiempos de proceso se presentan en la Tabla 7.13.

n=30 n=50 n=100

LPT xLPT MC MV ACS(S) LPT xLPT MC MV ACS(S) LPT xLPT MC MV ACS(S)

1 673 639 623 612 581 734 732 695 682 641 601 601 593 583 547

2 669 654 610 614 576 613 617 590 565 553 626 638 622 594 585

3 640 615 597 587 546 680 672 653 626 611 642 643 641 628 603

4 563 548 489 465 454 665 664 628 612 576 623 634 617 582 580

5 607 592 538 528 496 653 645 620 626 569 563 571 557 545 542

6 625 608 557 530 518 664 669 632 605 588 614 605 608 601 568

7 571 596 522 520 484 622 646 596 591 570 652 659 657 645 613

8 550 578 497 492 467 590 585 565 537 531 568 575 570 566 529

9 616 645 572 568 524 660 666 628 607 587 609 606 591 593 573

10 645 644 578 572 549 600 589 550 559 536 565 554 557 532 516

11 654 656 607 575 564 599 591 567 565 528 624 632 630 620 605

12 523 519 482 479 440 664 666 637 629 590 646 632 622 616 586

13 712 724 655 650 626 643 650 606 602 581 551 559 558 543 521

14 678 662 607 589 593 651 656 614 576 570 620 623 607 603 568

15 686 712 644 618 595 627 634 598 568 556 585 589 577 555 530

16 627 640 575 541 545 630 631 609 568 555 602 603 595 590 559

17 692 701 636 619 601 633 635 607 612 574 667 662 664 653 629

18 628 632 581 564 545 678 672 674 662 646 591 590 589 567 566

19 567 589 510 503 480 555 542 529 523 522 541 550 546 549 517

20 731 729 685 666 657 623 624 598 598 570 604 598 600 592 569

Tabla 7.13 Resultados de makespan para el nivel de setup bajo

El desempeño de ACS es indiscutiblemente superior una vez más: en las 120 instancias el tiempo

de finalización que entrega es el menor entre los cinco procedimientos heurísticos, salvo en 2

ocasiones ( ). Los tiempos de ejecución computacional que se presentan en la Tabla 7.14

son prácticamente iguales a los que se dan en un escenario con nivel alto de setup, por lo que se

puede inferir que la complejidad computacional entre ambas configuraciones es la misma.

LPT xLPT MC MV ACS

n=30 0,00 0,00 15,45 0,00 4,78

n=50 0,00 0,00 26,06 0,00 10,69

n=100 0,00 0,00 70,54 0,01 36,92

Tabla 7.14 Tiempo promedio de ejecución para nivel bajo de setup

63


Figura 7.7 Resultados para el problema con , y nivel de setup bajo

En el caso menos complejo del escenario de setup bajo, los makespan de Montecarlo y Mejor

Vecino exhiben un comportamiento muy similar, mucho más que lo que sucede con tiempos de

setup alto. ACS se comporta mejor que ambas heurísticas, aunque a menor distancia que en los

casos anteriores. Las dos variantes de LPT continúan con un desempeño equivalente, pero alejado

de los otros tres procedimientos. Los tiempos de finalización de la Extensión del Mejor Vecino para

| | son en promedio un 4,29% mayores que los de ACS, seguidos de cerca por los que

genera Montecarlo, con 6,79% y más alejados LPT con xLPT (17,00% y 17,29%, respectivamente).

En promedio, ACS entrega makespan de 542 segundos y las diferencias con los otros

procedimientos (23, 36, 91 y 92 segundos) reflejan que la optimización es considerable.


Cuando el problema es asignar 50 trabajos en 5 máquinas, la heurística ACS se separa un poco

más de la heurística del Mejor Vecino, comparando con el caso de . Esta última tiene tiempos

de finalización 3,98% más altos. Montecarlo lo sigue bien de cerca: los makespan que entrega son

400

450

500

550

600

650

700

750

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21


485

535

585

635

685

735

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21


64


6,45% más altos que ACS. Para confirmar el comportamiento similar de las dos variantes de LPT,

ambas tienen makespan 11,62% mayores que el procedimiento propuesto en este trabajo. En

promedio, ACS tiene un makespan de 577, con lo que diferencias de 23, 37 y 67 segundos son

una mejora significativa para las operaciones.


El caso más complejo en el escenario de setup bajo muestra una similitud mucho mayor entre las

heurísticas constructivas LPT, Mejor Vecino y Montecarlo. De hecho, los resultados de MV son un

4,01% mayores a los de ACS, los de Montecarlo son un 6,17% mayores, los de LPT 6,99% y los de

xLPT 7,27%, que se ven reflejados en diferencias de 23, 35, 39 y 41 segundos, respectivamente,

en un escenario donde ACS entrega un makespan de 565 segundos.

En resumen, las diferencias relativas entre ACS y las otras heurísticas ejecutadas se presentan en

la Tabla 7.15.

LPT xLPT MC MV

n=30 17,00% 17,29% 6,79% 4,29%

n=50 11,62% 11,62% 6,45% 3,98%

n=100 7,27% 6,99% 6,17% 4,01%

Tabla 7.15 Diferencias de makespan en nivel de setup alto

500

550

600

650

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21


65


7.5. Análisis de Resultados

Si bien el desempeño de las heurísticas está ordenado de la misma manera tanto en un nivel alto

como en un nivel bajo de setup, las diferencias observadas son un tanto distintas en uno y otro

caso, como lo señala la Tabla 7.16.

Nivel de Setup Alto Nivel de Setup Bajo

LPT xLPT MC MV LPT xLPT MC MV

n=30 50,48% 47,37% 14,41% 5,38% 17,00% 17,29% 6,79% 4,29%

n=50 35,27% 34,77% 14,56% 2,31% 11,62% 11,62% 6,45% 3,98%

n=100 23,29% 23,76% 13,34% 3,77% 7,27% 6,99% 6,17% 4,01%

Tabla 7.16 Diferencias de makespan en relación a ACS

Una de las características que distinguen a ambos escenarios y que puede explicar las diferencias

es que un proceso con tiempos de setup altos hace mucho más importante la decisión de ordenar

trabajos: en un secuenciamiento que no es tan bueno claramente un tiempo de setup grande

afectará la configuración del sistema mucho más que tiempos pequeños de preparación, por esto

mismo en el primer caso se está frente a una variabilidad mucho mayor en los tiempos de

finalización, que se hace notar en heurísticas que no manejan de la mejor manera la minimización

de tiempos entre trabajos (LPT, xLPT y en menor medida Montecarlo).

Los procedimientos del Mejor Vecino y ACS siguen un camino distinto a los otros tres algoritmos,

porque precisamente buscan minimizar los setup en la etapa inicial, con resultados distintos

generados por la diferencia que hay entre los dos procedimientos: la secuenciación inicial en ACS

busca una solución que se aproxima a la mejor que se pueda encontrar en el espacio de

soluciones, mientras que en muchos casos la Extensión del Mejor Vecino no lo logra por su

naturaleza greedy: en las últimas asignaciones de trabajos ya no van quedando necesariamente

tiempos de setup bajos, sólo los de trabajos que no se han elegido.

En la heurística propuesta también se plantea un proceso de optimización en la última etapa cuyo

objetivo es reducir la variabilidad que se da en cada una de las máquinas y que es creada por

los tiempos involucrados en el proceso, aprovechando las ventajas que ya son evidentes en Ant

Colony System. Su desempeño es analizado a continuación para poder definir el grado de

relevancia que tiene su implementación.

66


7.5.1. Influencia del Proceso de Revisión Final Mediante ACS

En la Tabla 7.17 se presenta una comparación entre la heurística planteada con y sin el

procedimiento de optimización final mediante ACS para todos los escenarios de análisis ya

descritos.


n=30 n=50 n=100 n=30 n=50 n=100

ACS(S) ACS(C) ACS(S) ACS(C) ACS(S) ACS(C) ACS(S) ACS(C) ACS(S) ACS(C) ACS(S) ACS(C)

1 647 597

603 589 637 594 581 569 641 641 547 547

2 647 647

573 549 622 622 576 575 553 535 585 585

3 636 594

661 623 633 592 546 543 611 601 603 596

4 602 564

571 527 624 577 454 444 576 573 580 569

5 627 596

629 602 620 583 496 496 569 569 542 530

6 701 701

586 557 592 576 518 518 588 586 568 565

7 591 556

621 570 578 566 484 484 570 553 613 612

8 530 530

658 621 653 644 467 460 531 518 529 528

9 566 553

637 585 641 612 524 524 587 578 573 552

10 610 569

615 612 632 601 549 536 536 515 516 516

11 653 593

626 515 576 555 564 561 528 528 605 591

12 609 594

659 619 595 540 440 438 590 577 586 586

13 535 480

630 617 655 612 626 608 581 562 521 508

14 638 589

614 558 601 585 593 567 570 564 568 565

15 531 497

563 535 579 576 595 593 556 556 530 528

16 699 657

525 498 606 595 545 530 555 547 559 551

17 585 563

629 574 615 585 601 592 574 554 629 618

18 580 569

629 595 586 584 545 545 646 619 566 545

19 689 603

646 639 597 597 480 469 522 485 517 513

20 538 538

587 560 597 584 657 637 570 554 569 549

Tabla 7.17 Comparación entre ACS con revisión y ACS sin revisión

Para el escenario de setup alto, el procedimiento de revisión mejora la solución inicial en la

mayoría de las instancias ejecutadas: en el 80% para , el 90% para y el 100% para

. Cuando los tiempos de setup son bajos comparados a los de proceso, la situación es

ligeramente distinta: la revisión mejora la solución inicial en el 75% de las instancias para y

en el 80% de las instancias para y . Esto se explica porque la revisión por medio de

ACS intenta amortiguar la variabilidad que se produce al dividir la solución inicial en partes,

donde aparecen los tiempos de setup que anteceden el primer trabajo de las máquinas y que no

estaban considerados en la secuencia inicial. Además, amortigua posibles tiempos de setup

grandes generados por los trabajos que no se asignaban antes/después de . Esa amortiguación

será mayor mientras más variabilidad haya, lo que se da cuando hay nivel de setup alto.

67


La influencia de la etapa final de revisión entonces puede inferirse a partir de la información ya

expuesta, pero se plasma en la comparación entre la diferencia porcentual que tiene ACS sin

revisión sobre ACS con revisión en la Tabla 7.18.


Heurística n=30 n=50 n=100 n=30 n=50 n=100

ACS sin revisión 5,45% 6,36% 3,93% 1,39% 2,19% 1,37%

Tabla 7.18 Diferencia porcentual entre ACS con revisión y ACS sin revisión

Si bien parecen diferencias menores, la inclusión del proceso de revisión produce disminuciones

de makespan que no son despreciables: el 6,36% de diferencia que se da en el caso de ,

y nivel de setup alto, representa 36 segundos en procesos que de otra manera demorarían

613 segundos en promedio. El detalle de las diferencias que involucra la presencia de revisión se

encuentra en el Anexo 4.

7.5.2. Diferencias entre la Asignación “Antes” y “Después”

Tanto la heurística del Mejor Vecino como ACS con Revisión internamente se dividen en dos: en

una heurística donde los trabajos se asignan hasta el límite calculado y otra donde la asignación

es hasta el primer trabajo que sobrepase ese valor. La idea de esta programación es elegir la

configuración que balancea mejor las máquinas, ante variabilidades de cada uno de los dos

métodos. Sin embargo, es necesario saber en qué proporción se van eligiendo las soluciones para

entender su funcionamiento y también para tomar decisiones de diseño de algoritmo, en casos

como cuando sólo una alternativa entregue siempre los makespan menores.

La Tabla 7.19 acumula las instancias de la Extensión de la heurística del Mejor Vecino donde el

tiempo de finalización menor es generado por la variante antes y/o después.

Mejor Vecino Antes Después Empate

Nivel de setup alto

n=30 10 10 0 n=50 6 14 0 n=100 5 15 0 Total 21 39 0

Nivel de setup bajo

n=30 13 6 1 n=50 12 8 0 n=100 12 7 1 Total 37 21 2

Total 58 60 2

Tabla 7.19 Distribución de mejores soluciones en Mejor Vecino

Para esta heurística, en los casos de setup alto la asignación después de va aumentando su

efectividad a medida que el tamaño del problema crece y cuando el setup es bajo hay una

68


estabilidad independiente de la complejidad, pero que favorece a la asignación antes de . En el

caso de la heurística ACS propuesta existen algunas diferencias frente a MV, como se muestra en

la Tabla 7.20.

ACS sin revisión Antes Después Empate

Nivel de setup alto

n=30 6 12 2 n=50 3 17 0 n=100 2 18 0 Total 11 47 2

Nivel de setup bajo

n=30 8 12 0 n=50 11 9 0 n=100 9 11 0 Total 28 32 0

Total 39 79 2

Tabla 7.20 Distribución de mejores soluciones en ACS sin Revisión

La asignación después de es claramente la que entrega mejores resultados en el escenario de

setup alto, llega a ser la mejor más del 80% de las instancias, lo que no se replica cuando los

tiempos de preparación son bajos en relación a los tiempos de proceso; en este caso se aprecia

que entre ambas se reparten los menores makespan. La Tabla 7.21 muestra cómo es la

distribución de makespan mínimos después de la revisión en la máquina más ocupada.

ACS con revisión Antes Después Empate

Nivel de setup alto

n=30 3 15 2 n=50 4 16 0 n=100 1 19 0 Total 8 50 2

Nivel de setup bajo

n=30 8 12 0 n=50 11 9 0 n=100 10 10 0 Total 29 31 0

Total 37 81 2

Tabla 7.21 Distribución de mejores soluciones en ACS con Revisión

Son varios los valores que cambian, pero en general se mantiene sin grandes cambios la

tendencia: si la variante antes (después) es la mejor antes de hacer cualquier revisión, es probable

que lo siga siendo luego de ser optimizada.

De esta manera, en el diseño del algoritmo no puede dejarse de lado ninguna de las dos opciones

consideradas, debido a que una u otra puede producir la mejor solución, sobre todo a partir de

factores aleatorios como el tiempo de proceso de un trabajo: si es muy grande en comparación a

los otros en el sistema, existe la posibilidad alta que termine desbalanceando una máquina y

favoreciendo la otra alternativa que pudo manejar mejor ese problema.

69


7.5.3. Consistencia de Métodos Heurísticos

Si sólo se analizan valores y diferencias promedio de makespan, es posible perder una parte

importante de información del comportamiento de las heurísticas en cada instancia. Por ejemplo,

un procedimiento aunque tenga una mejor diferencia promedio frente a otro, puede que en varias

oportunidades sea sobrepasado, debido a inconsistencias en su funcionamiento entre instancias

(aleatoriedad, por ejemplo). La Tabla 7.22 indica en qué porcentaje de las 20 instancias una

heurística se ubica en primer, segundo, tercer, cuarto o quinto lugar en el escenario de tiempos de

setup en nivel alto. La Tabla 7.23 refleja lo mismo, pero para un nivel bajo de setup.

m=3, n=30 m=5, n=50 m=10, n=100

LPT xLPT MV MC ACS LPT xLPT MV MC ACS LPT xLPT MV MC ACS

1° 0% 0% 20% 0% 80% 0% 0% 20% 0% 80% 0% 0% 20% 0% 80%

2° 0% 0% 75% 5% 20% 0% 0% 80% 0% 20% 0% 0% 80% 0% 20%

3° 0% 0% 5% 95% 0% 0% 0% 0% 100% 0% 0% 0% 0% 100% 0%

4° 65% 35% 0% 0% 0% 45% 55% 0% 0% 0% 50% 50% 0% 0% 0%

5° 35% 65% 0% 0% 0% 55% 45% 0% 0% 0% 50% 50% 0% 0% 0%

Tabla 7.22 Porcentajes de posiciones de las heurísticas (Nivel alto)

m=3, n=30 m=5, n=50 m=10, n=100

LPT xLPT MV MC ACS LPT xLPT MV MC ACS LPT xLPT MV MC ACS

1° 0% 0% 10% 0% 90% 0% 0% 0% 0% 100% 0% 0% 0% 0% 100%

2° 0% 0% 85% 5% 10% 0% 0% 85% 20% 0% 5% 0% 90% 5% 0%

3° 0% 0% 5% 95% 0% 0% 5% 15% 75% 0% 20% 20% 5% 55% 0%

4° 50% 50% 0% 0% 0% 55% 40% 0% 5% 0% 40% 20% 5% 40% 0%

5° 50% 50% 0% 0% 0% 45% 55% 0% 0% 0% 35% 60% 0% 0% 0%

Tabla 7.23 Porcentajes de posiciones de las heurísticas (Nivel bajo)

ACS genera los mejores resultados la gran mayoría de las instancias ejecutadas (90%, en

promedio). La Extensión de la heurística del Mejor Vecino en promedio es la que sigue a ACS en

desempeño, pero en algunas ocasiones (que siguen siendo minoría) es superada por Montecarlo,

que aprovecha la menor variabilidad que provocan tiempos de setup bajos. Montecarlo es en

general la heurística que presenta el tercer mejor desempeño, aunque en una menor proporción en

el problema de , y nivel bajo de setup, donde LPT y xLPT aprovechan la menor

variabilidad de las soluciones y que el problema sea más complejo, con lo que Montecarlo tiene

menos probabilidades de obtener soluciones buenas. Las dos variantes de Longest Processing

Time se disputan el cuarto lugar: su rendimiento es prácticamente igual y en los 120 problemas

LPT tiene 61 veces mejor solución que xLPT (59). Es importante acotar que la etapa de revisión

hace que la heurística propuesta sea la mejor en el 100% de los casos.

70


7.6. Validación Estadística

7.6.1. Análisis de Varianza

Además de comparar el comportamiento promedio de las heurísticas, es necesario verificar si los

resultados tienen una diferencia estadísticamente significativa, de manera de asegurar que una

heurística es consistentemente mejor que otra y que sus resultados no fueron producto de mero

azar. El análisis de varianza, también conocido como ANOVA, se utiliza para contrastar la hipótesis

de igualdad de medias poblacionales, eligiendo entre las dos hipótesis:

Donde representa la media de la población de la cual se ha tomado una muestra. El rechazar la

hipótesis nula indica simplemente que no se puede asegurar que las distintas muestras

tengan la misma media.

El análisis de la varianza descompone la variabilidad de los datos observados en dos

componentes: una componente entre grupos, que en este caso cuantifica las diferencias entre el

makespan generado por las distintas heurísticas, y una componente dentro de grupos, que

cuantifica las diferencias dentro de cada heurística. Si se estima la variabilidad entre grupos y es

significativamente mayor que la variabilidad dentro de grupos, es evidente que las medias de los

grupos no son similares.

Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P

Entre grupos 1,8402E6 4 460050, 115,10 0,0000 Intra grupos 379705, 95 3996,9

Total (Corr.) 2,21991E6 99

Tabla 7.24 Ejemplo de tabla ANOVA

Tanto la razón-F como el valor-P pueden entregar los resultados del análisis de varianza, pero

suele utilizarse este último, por ser más directo. Cuando un valor-P es menor a 0,05 (con 5% de

nivel de significancia10

), la hipótesis nula se rechaza. En el caso del ejemplo se están comparando

los cinco métodos heurísticos en tiempos de setup de nivel alto, con . Como 0,0000 < 0,05,

existe una diferencia significativa entre las medias.

Si el valor-P es pequeño, las muestras deben ser examinadas para determinar qué medias son

significativamente diferentes unas de otras. Un método para hacer esta comparación son las

pruebas de múltiples rangos por medio de los intervalos HSD de Tukey (Honestly Significant

Difference), que compara todos los pares de muestras mediante la diferencia de sus medias e

10

Error de tipo I, probabilidad de rechazar cuando en realidad es verdadera.

71


identifica cuando una de ellas es mayor al error estándar esperado. La tabla especifica claramente

cuáles muestras tienen una media significativamente diferente.

Método: 95,0 porcentaje Tukey HSD

Casos Media Grupos Homogéneos

ACS 20 579,5 X MV 20 643,65 X MC 20 697,85 X LPT 20 898,0 X xLPT 20 914,5 X

Contraste Sig. Diferencia +/- Límites

LPT - xLPT -16,5 55,5938 LPT - MV * 254,35 55,5938 LPT - MC * 200,15 55,5938 LPT - ACS * 318,5 55,5938 xLPT - MV * 270,85 55,5938 xLPT - MC * 216,65 55,5938 xLPT - ACS * 335,0 55,5938

MV - MC -54,2 55,5938 MV - ACS * 64,15 55,5938 MC - ACS * 118,35 55,5938

* indica una diferencia significativa. Tabla 7.25 Test de Rangos Múltiples

La sección inferior muestra cada par de medias. La columna Diferencia muestra la media simple

del primer grupo menos la del segundo. La columna +/- Límites muestra un intervalo de confianza

para la diferencia. Cualquier par de medias para el que el valor absoluto de la diferencia exceda el

límite presenta diferencia estadísticamente significativa al nivel de confianza seleccionado y es

representado por un * en la columna Sig.

Cuando existen valores atípicos, deben utilizarse procedimientos no paramétricos como una

alternativa a los análisis estándar de la varianza seleccionando test como el de Kruskal-Wallis, que

compara las medianas de las muestras en vez de las medias:

Tamaño de Muestra Rango Promedio

LPT 20 78,725 xLPT 20 82,125 MV 20 31,025 MC 20 44,575 ACS 20 16,05

Estadístico = 80,7532 Valor-P = 0

Tabla 7.26 Prueba de Kruskal-Wallis

72


Nuevamente es el valor-P el que debe observarse: si es menor que 0,05, la hipótesis nula se

rechaza, y si es mayor se acepta que las medianas son todas iguales.

Los resultados de ANOVA muestran que existe una diferencia estadísticamente significativa entre

las medias de los makespan generados por las heurísticas, con un valor-P que fue siempre menor

del orden de 0,0000. La prueba de Kruskal-Wallis también entrega valores-P muy cercanos a cero,

lo que lleva a concluir que las medianas de los tiempos de finalización no son iguales. Por último,

el test de rangos múltiples evalúa las diferencias estadísticas entre cada par de heurísticas y arroja

las siguientes conclusiones:

No hay diferencia estadística significativa entre los makespan generados por LPT y xLPT.

No existe diferencia estadística significativa entre Montecarlo y la Extensión del Mejor Vecino

en ninguna de las instancias de tiempos de setup en nivel bajo. Tampoco en el caso de ,

y tiempos de setup en nivel alto, cuando en promedio MV tiene mejor desempeño que

Montecarlo.

Los resultados de makespan que genera ACS con Revisión tienen una diferencia

estadísticamente significativa con todos los otros procedimientos heurísticos, salvo en el caso

de , y tiempos de setup en nivel bajo, donde no la hay con Montecarlo y el Mejor

Vecino, aunque de todas maneras siempre tenga los menores valores, que es lo que realmente

importa.

El detalle de estos resultados y las pruebas de hipótesis asociadas se encuentran en el Anexo 5.

7.6.2. Supuestos de ANOVA

Para que los resultados de la validación estadística representen realmente el comportamiento de la

muestra, según Dean y Voss (2009) y Kutner (2004) deben cumplirse obligatoriamente tres

condiciones básicas en relación a los residuos11

de cada muestra:

Independencia.

Normalidad.

Homocedasticidad.

Si se realiza un análisis bajo estos supuestos cuando las variables de error son dependientes, los

verdaderos niveles de significancia en las pruebas de hipótesis pueden ser mucho más altos que

los planteados y los verdaderos niveles de confianza mucho menores. La forma más simple de

observar la independencia de los residuos es graficando los residuos estandarizados en el orden

en que las observaciones correspondientes se recolectaron y en una disposición que permita ver la

11

Diferencia entre una observación y la media de la muestra.

73


diferencia con el valor 0, ya sea en forma diagonal u horizontal. Si se cumple el supuesto de

independencia, los residuos deberían estar dispersos alrededor de cero sin ningún patrón

distinguible. De todas maneras, para no estar sujeto al arbitrio de lo que se aprecia en un gráfico,

se busca probar las siguientes hipótesis para descartar correlación12

en las instancias generadas:

La prueba más común para la independencia es la prueba chi-cuadrada, que compara las

frecuencias esperadas y observadas calculando:

∑∑

Donde representa el número de filas y el número de columnas del conjunto de datos. Asociada

a la prueba hay un valor-P que si es menor a 0,05 (cuando el nivel de confianza es del 5%) permite

rechazar la hipótesis nula. Este valor-P se calcula comparando la estadística de prueba a una chi-

cuadrada con grados de libertad.

Tal como con la independencia de los residuos, la normalidad puede verificarse mediante un

gráfico, que contrasta los residuos estandarizados contra los percentiles de la distribución

estándar, de manera que si los puntos muestran una tendencia diagonal, se está ante normalidad.

Pero como es preferible contar con un resultado concreto, pueden utilizarse las pruebas de bondad

de ajuste, que en el caso que concierne a esta verificación, las hipótesis son:

Otraa prueba chi-cuadrada (que funciona de manera similar a la prueba de independencia) divide

el rango de la muestra en intervalos y hace la comparación entre y , de la forma

∑

es el número de datos observados en el intervalo y el número esperado de datos en el

intervalo. El valor es comparado con una distribución chi-cuadrada con , con

dependiendo de la distribución comparada. Si el valor-P que resulta de esta prueba es mayor a

0,05, se rechaza la hipótesis nula.

12

Grado de dependencia entre muestras.

74


Por último, la homocedasticidad se puede verificar mediante el planteamiento de estas dos

hipótesis:

Prueba Valor-P

Levene's 1,81737 0,131841

Tabla 7.27 Verificación de varianza

La prueba de Levene entrega, aparte de su estadístico, un valor-P que si es menor que 0,05 indica

una diferencia estadísticamente significativa entre las varianzas de las muestras. Un valor mayor a

0,05 no permite rechazar . Además se indica cuáles son las varianzas comparadas, como se

muestra en la Tabla 7.26.

Comparación Sigma1 Sigma2 F-Ratio P-Valor

ResLPT / ResxLPT 80,8768 56,3116 2,06277 0,1233 ResLPT / ResMV 80,8768 66,4936 1,47941 0,4010 ResLPT / ResMC 80,8768 56,7332 2,03223 0,1310 ResLPT / ResACS 80,8768 51,3066 2,48485 0,0541 ResxLPT / ResMV 56,3116 66,4936 0,717194 0,4756 ResxLPT / ResMC 56,3116 56,7332 0,985192 0,9744 ResxLPT / ResACS 56,3116 51,3066 1,20462 0,6890

ResMV / ResMC 66,4936 56,7332 1,37368 0,4956 ResMV / ResACS 66,4936 51,3066 1,67963 0,2673 ResMC / ResACS 56,7332 51,3066 1,22272 0,6656

Tabla 7.28 Comparación de desviaciones de residuos.

Los supuestos estadísticos de ANOVA se cumplen en cada una de las heurísticas aplicadas en los

6 escenarios diferentes, información disponible en el Anexo 6.

75


8. Conclusiones

El problema | | a pesar de no ser abordado extensamente en la literatura (como

) tiene una multitud de aplicaciones en áreas de la industria tan diversas como la

producción de plásticos, imprentas, producción de vidrio e industrias textiles, además es análogo a

problemas que tampoco se exploran con frecuencia, como el -TSP donde se minimiza la ruta

más larga entre viajeros, aplicado por ejemplo a ruteo de buses, programación de repartidores,

servicio técnico e incluso aplicaciones satelitales y de exploración militar y planetaria. El problema

tiene una alta complejidad, con lo que es posible ir mejorando las soluciones con nuevos métodos

y mejorar los procesos de muchas áreas de la vida productiva.

La heurística consistente en una extensión del método del Mejor Vecino entrega mejores

resultados que las heurísticas basadas en LPT y el algoritmo aleatorio de Montecarlo, pero tiene

las limitaciones que se dedica a mejorar el procedimiento ACS propuesto: la secuencia inicial que

genera al ser mediante un algoritmo greedy no permite una exploración acabada de posibles

soluciones. En este caso sólo se revisan opciones, correspondientes a los trabajos que

comienzan una secuencia y a medida que avanzan las asignaciones de la secuencia ya no se elige

necesariamente un tiempo de setup bajo entre trabajos, sino que sólo las opciones que no se han

elegido antes. Luego, en la etapa final del algoritmo, las asignaciones antes/después de y de los

trabajos no asignados no logran corregir variabilidades que nacen tanto del tiempo inicial de setup

en cada máquina como de la partición en secuencias, que con alta probabilidad no será lo

idealmente balanceado. Las modificaciones incluidas en la heurística ACS con Revisión

demuestran numéricamente que tanto la optimización inicial por ACS como la revisión final en la

máquina más ocupada disminuyen los tiempos de makespan: la exploración inicial permite

encontrar una solución que está entre las mejores en el espacio de soluciones factibles y la etapa

de revisión permite optimizar sub-secuencias que para la solución inicial de trabajos no eran la

mejor opción, sin dejar de considerar la variabilidad ya mencionada. El procedimiento ACS sin

revisión es mejor que el Mejor Vecino alrededor del 90% de los casos y con revisión en el 100%,

con tiempos de finalización promedio que son mejorados un 6,4% en promedio.

El desempeño de la heurística basada en ACS es en promedio superior al de los cuatro métodos

ya mencionados y su diferencia se amplía cuando los tiempos de setup son comparables a los

tiempos de proceso, debido a la mayor influencia que tienen en el secuenciamiento tiempos de

preparación grandes. Esto es porque la variabilidad de las soluciones es más grande y una

solución que no es lo suficientemente buena puede desbalancear la carga de una o más máquinas

o por otro lado puede generar un sistema balanceado pero con tiempos de finalización que pueden

seguir siendo optimizados.

76


La asignación de trabajos antes y después del parámetro que utilizan tanto ACS como la

extensión del Mejor Vecino no pueden calificarse como uno mejor que el otro: hay casos donde la

asignación “después” entrega muchas más soluciones para la heurística que la variante después

(niveles de setup alto), mientras que en otros casos el comportamiento es repartido (niveles bajos

de setup), lo que es definido sobre todo por factores aleatorios, como un trabajo con tiempo de

proceso muy alto que desbalancee la configuración de una asignación y favoreciendo otra. Ningún

rediseño que considere este tipo de asignaciones debería dejar de lado una u otra variante.

Algunas de las razones que originan las diferencias de desempeño entre las heurísticas estudiadas

tienen que ver con que algunas son adaptaciones imperfectas de procedimientos aplicados

exitosamente en otros algoritmos. Es el caso de LPT, que tiene buenos resultados en el problema

, pero que no maneja de la mejor forma la presencia de tiempos de preparación entre

trabajos: empieza ordenando los trabajos según su tiempo de proceso y luego limita la decisión de

minimizar el setup a opciones en cada iteración, lo que de por sí limita cualquier búsqueda de

solución. La adaptación consistente en considerar un promedio de los tiempos de setup posibles

para cada trabajo es inefectiva por esta limitación de la decisión y porque ese promedio introducido

no permite aprovechar combinaciones de trabajos que minimicen una secuencia. Aun así, estas

dos variantes de Longest Processing Time logran acercarse a los métodos con mejor desempeño

en el problema más grande analizado y con los tiempos de setup más bajos, ya que en ese caso

trabajan con una variabilidad de tiempos menor a la del caso de un nivel de setup alto y alcanzan a

ejecutar mejor su estrategia de asignar los trabajos con menores tiempos de proceso al final para

balancear el sistema.

El trabajo mostró también la relevancia que puede tener un método heurístico pseudoaleatorio que

va usando la información disponible (y modificándola en el camino) versus un procedimiento que

ocupa sólo la aleatoriedad, sin dirigirla, como Montecarlo, que sólo genera y genera soluciones en

forma aleatoria y elige la mejor. Esta diferencia se plasma en el hecho que ACS con Revisión

chequea entre 3500 soluciones posibles exploradas por 10 hormigas para entregar una solución

que llega a ser más de un 20% mejor que un algoritmo que revisó 1.000.000 de alternativas y que

terminó necesitando más del doble de tiempo en su ejecución computacional.

La definición de los parámetros necesarios en un procedimiento metaheurístico demuestra ser tan

importante como la misma elección del método, es el caso de la determinación de los parámetros

y y sobre todo con el factor : para el caso tratado en este trabajo, si se escoge un valor alto

dentro de lo que es recomendado en la literatura, las soluciones encontradas no son las mejores y

se llega en pocas iteraciones al estancamiento de la búsqueda. Es necesario entonces hacer las

pruebas suficientes para afinar el funcionamiento y tener la mejor puesta a punto del sistema. Si

bien uno de los parámetros escogidos es ligeramente distinto al que recomienda la literatura para

77


TSP, su comportamiento en las pruebas fue el más consistente, lo que puede explicarse por dos

motivos: la naturaleza del problema que se está tratando (sin dejar de lado su complejidad), y por

otro lado que los autores de la metaheurística los testearon en márgenes más amplios, para poder

abordar buena parte de los niveles posibles que se pueden combinar.

Los resultados que genera la heurística ACS con Revisión son un indicativo fuerte del potencial

que tiene la aplicación de metaheurísticas en la resolución de distintos problemas de optimización,

potencial que se ha visto facilitado por todos los avances exponenciales que ha tenido la

tecnología las últimas décadas. Lo más interesante de todo es que a pesar de todas las ventajas

que entrega el progreso extensivo de la tecnología, la ciencia (y por tanto el hombre) se vuelve

hacia la naturaleza que siempre ha estado, para inspirarse y aprovechar los recursos que ha

creado. Casos como algoritmos evolutivos, algoritmos genéticos, algoritmos de abejas o el mismo

Ant Colony Optimization lo comprueban.

A partir de esta propuesta de heurística híbrida entre métodos constructivos y metaheurísticas

pueden desarrollarse trabajos futuros que aprovechen aún más las ventajas de la optimización

proporcionada por Ant Colony System, integrando funciones de intercambio de tareas entre las

máquinas, de inserción de un trabajo en otra máquina, o la remoción de un proceso crítico para

después asignarlo en otro recurso, por ejemplificar algunas. Funciones como esas permiten

explorar más a fondo aún el espacio de soluciones del problema | | y posiblemente

llegar a encontrar mejores soluciones a las que no tiene acceso ACS con Revisión. Además, la

extensión de un procedimiento heurístico como este no necesariamente puede ser sólo con nuevas

funciones o la misma metaheurística ACO, puede considerar aplicaciones generalmente utilizadas

en problemas de optimización combinatorial complejos, como procedimientos de búsqueda local,

que exploran soluciones de forma iterativa en las vecindades de las soluciones y que pueden

lograr una convergencia más rápida del procedimiento. Otro tipo de metaheurísticas, como

búsqueda tabú pueden ayudar a este mismo objetivo, ignorando en algunas iteraciones soluciones

que no son lo suficientemente buenas, o puede aprovecharse el uso de algoritmos genéticos en

algunas funciones, como la de intercambio, por la directa relación que puede tener con su idea de

cromosomas y el uso de crossovers. La idea general es no limitarse a un procedimiento y buscar

como objetivo optimizar las soluciones, para que el impacto real que pueda tener sea el máximo

posible.

78


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ANEXOS

86


A1. Parámetros del Problema Ejemplo

1 11

2 88

3 39

4 17

5 35

6 64

7 20

8 30

9 35

10 70

11 54

12 81

13 82

14 23

15 99

18 6 12 22 24 15 15 27 5 21 12 11 27 15 13

- 7 16 16 2 28 17 2 25 26 8 4 14 18 16

29 - 6 16 12 26 14 10 11 26 26 21 1 1 9

19 21 - 19 29 20 14 26 18 27 5 1 16 21 7

26 4 21 - 18 26 7 6 9 2 28 27 7 4 27

27 26 26 15 - 23 30 18 9 26 8 7 4 14 28

6 16 24 26 7 - 16 27 29 24 29 8 13 22 3

22 24 27 3 9 18 - 2 3 12 3 16 24 7 20

26 25 8 23 29 20 28 - 3 7 28 18 9 7 25

24 28 18 18 23 2 3 21 - 1 24 20 5 22 13

19 16 17 18 14 9 22 30 22 - 17 1 5 24 1

2 17 17 24 19 23 14 18 14 25 - 10 24 9 29

26 20 12 9 26 25 19 12 29 27 1 - 11 26 3

1 16 22 16 18 8 23 22 17 13 10 6 - 28 14

3 21 29 8 22 28 20 8 4 21 9 18 13 - 5

12 28 26 23 16 22 20 24 7 13 1 23 21 14 -

87


A2. Definición de Parámetros ACS

Prueba Preliminar

Las configuraciones se describen como:

2.5.85 2.10.90 2.15.95 3.5.85 3.10.90 3.15.95 5.5.85 5.10.90 5.15.95

1 5255 5292 5273 5271 5267 5278 5299 5297 5299

2 5623 5627 5644 5632 5622 5635 5651 5661 5649

3 5414 5417 5418 5413 5420 5460 5432 5447 5436

4 5135 5148 5169 5154 5168 5165 5156 5165 5176

5 5248 5273 5249 5263 5265 5269 5244 5287 5300

6 5010 5051 5045 5027 5040 5084 5048 5100 5067

7 5006 4993 5024 4993 5029 5030 5005 5015 5054

8 5861 5872 5894 5867 5876 5887 5897 5896 5917

9 5666 5631 5671 5657 5648 5674 5681 5699 5685

10 5487 5489 5491 5511 5486 5501 5503 5509 5506

2.5.90 2.5.95 2.10.85 2.10.95 2.15.85 2.15.90 3.5.90 3.5.95 3.10.85

1 5262 5274 5267 5257 5259 5256 5275 5281 5286

2 5632 5623 5617 5602 5620 5610 5621 5633 5630

3 5422 5412 5407 5402 5413 5395 5404 5439 5411

4 5155 5134 5133 5142 5150 5135 5147 5187 5157

5 5261 5259 5252 5248 5239 5246 5272 5309 5282

6 5045 5075 5016 5017 5014 4997 5050 5097 5039

7 5023 5048 5020 5000 5020 4996 5014 5040 5015

8 5866 5888 5866 5869 5879 5860 5906 5883 5849

9 5643 5671 5629 5668 5671 5630 5665 5691 5672

10 5488 5465 5487 5493 5479 5474 5480 5511 5461

3.10.95 3.15.85 3.15.90 5.5.90 5.5.95 5.10.85 5.10.95 5.15.85 5.15.90

1 5285 5271 5266 5295 5321 5286 5288 5300 5281

2 5652 5616 5631 5669 5671 5650 5675 5640 5660

3 5425 5425 5420 5475 5465 5472 5465 5419 5432

4 5174 5153 5156 5175 5184 5175 5175 5147 5151

5 5271 5259 5265 5306 5304 5279 5257 5254 5294

6 5049 5042 5036 5072 5064 5059 5088 5090 5079

7 5018 5008 5028 5046 5038 5038 5062 5030 5036

8 5869 5864 5884 5895 5895 5906 5924 5888 5895

9 5685 5659 5685 5703 5691 5679 5724 5686 5702

10 5512 5496 5483 5521 5508 5517 5496 5499 5497

88


Promedios de Makespan

2.15.90 2.10.85 2.10.95 2.5.85 2.15.85 3.5.85 2.10.90 3.15.85 2.5.90

5359,9 5369,4 5369,8 5370,5 5374,4 5378,8 5379,3 5379,3 5379,7

3.10.85 3.10.90 3.5.90 2.5.95 3.15.90 2.15.95 5.5.85 3.10.95 5.15.85

5380,2 5382,1 5383,4 5384,9 5385,4 5387,8 5391,6 5394 5395,3

3.15.95 5.15.90 5.10.85 3.5.95 5.10.90 5.15.95 5.5.95 5.10.95 5.5.90

5398,3 5402,7 5406,1 5407,1 5407,6 5408,9 5414,1 5415,4 5415,7

Posiciones de las 27 Heurísticas en las 10 Instancias

2.5.85 2.10.90 2.15.95 3.5.85 3.10.90 3.15.95 5.5.85 5.10.90 5.15.95

1 1 21 11 9 7 14 24 23 24

2 8 10 18 13 7 16 21 24 19

3 9 10 11 7 13 23 18 22 20

4 3 8 20 12 19 17 14 17 25

5 4 19 6 13 14 16 2 22 24

6 2 16 11 6 9 23 13 27 19

7 6 1 15 1 17 18 5 9 26

8 3 10 18 7 11 15 23 22 26

9 9 3 11 6 5 15 17 24 18

10 8 11 12 23 7 18 19 22 20

2.5.90 2.5.95 2.10.85 2.10.95 2.15.85 2.15.90 3.5.90 3.5.95 3.10.85

1 5 12 7 3 4 2 13 15 18

2 13 8 4 1 5 2 6 15 11

3 15 6 4 2 7 1 3 21 5

4 13 2 1 5 9 3 6 27 16

5 12 10 7 4 1 3 18 27 21

6 11 21 4 5 3 1 15 26 8

7 14 25 12 4 12 3 8 23 9

8 5 16 5 8 12 2 24 13 1

9 4 11 1 10 11 2 8 22 14

10 10 2 8 13 4 3 5 23 1

89


3.10.95 3.15.85 3.15.90 5.5.90 5.5.95 5.10.85 5.10.95 5.15.85 5.15.90

1 17 9 6 22 27 18 20 26 15

2 22 3 12 25 26 20 27 17 23

3 16 16 13 27 24 26 24 12 18

4 21 11 14 22 26 22 22 6 10

5 17 10 14 26 25 20 9 8 23

6 14 10 7 20 18 17 24 25 22

7 11 7 16 24 21 21 27 18 20

8 8 4 14 19 19 24 27 16 19

9 18 7 18 26 22 16 27 21 25

10 25 14 6 27 21 26 14 17 16

Promedio y Desviación Estándar de las Posiciones

2.15.90 2.5.85 2.10.85 2.10.95 2.15.85 3.15.85 3.5.85 2.5.90 3.10.85

Promedio 2,2 5,3 5,3 5,5 6,8 9,1 9,7 10,2 10,4

Desviación est. 0,7888 3,0569 3,335 3,7491 7,306 4,0675 5,9824 4,077 6,8993

3.5.90 2.10.90 3.10.90 2.5.95 3.15.90 2.15.95 5.5.85 5.15.85 3.10.95

Promedio 10,6 10,9 10,9 11,3 12 13,3 15,6 16,6 16,9

Desviación est. 6,7032 6,3675 4,7246 7,5873 3,171 4,3218 7,306 6,5693 5,087

3.15.95 5.15.90 5.10.85 5.10.90 3.5.95 5.15.95 5.10.95 5.5.95 5.5.90

Promedio 17,5 19,1 21 21,2 21,2 22,1 22,1 22,9 23,8

Desviación est. 3,171 4,5326 3,5277 4,5326 5,1812 3,178 6,1905 3,1429 2,8983

90


Makespan de las cinco mejores combinaciones (cinco instancias)

Parámetros 1 2 3 4 5 Promedio Desv. Est.

2.15.90 5037 5029 5035 5038 5039 5035,6 3,97492138

2.5.85 5065 5020 5042 5036 5037 5040 16,2326831

2.10.85 5055 5032 5036 5045 5050 5043,6 9,55510335

2.10.95 5069 5035 5057 5036 5053 5050 14,4913767

2.15.85 5051 5031 5047 5055 5029 5042,6 11,8659176


2.15.90 4881 4869 4882 4893 4889 4882,8 9,1760558

2.5.85 4883 4915 4885 4911 4888 4896,4 15,323185

2.10.85 4880 4888 4891 4896 4872 4885,4 9,47628619

2.10.95 4887 4907 4886 4925 4910 4903 16,5378354

2.15.85 4900 4893 4905 4882 4890 4894 8,91627725


2.15.90 5553 5547 5555 5558 5549 5552,4 4,44971909

2.5.85 5562 5551 5553 5564 5561 5558,2 5,80517011

2.10.85 5572 5549 5574 5560 5574 5565,8 11,0544109

2.10.95 5585 5577 5548 5559 5568 5567,4 14,5705182

2.15.85 5547 5552 5551 5557 5560 5553,4 5,12835256


2.15.90 5410 5433 5429 5401 5419 5418,4 13,2211951

2.5.85 5417 5438 5406 5433 5443 5427,4 15,4369686

2.10.85 5438 5421 5451 5415 5411 5427,2 16,8285472

2.10.95 5442 5418 5425 5441 5420 5429,2 11,5195486

2.15.85 5422 5421 5424 5419 5434 5424 5,87367006


2.15.90 5179 5199 5205 5206 5191 5196 11,2249722

2.5.85 5196 5189 5197 5216 5210 5201,6 11,058933

2.10.85 5189 5200 5201 5209 5218 5203,4 10,8305125

2.10.95 5224 5195 5199 5205 5240 5212,6 18,928814

2.15.85 5210 5191 5207 5204 5196 5201,6 7,8930349

91


Posiciones de los makespan en las cinco instancias


2.15.90 11 2 6 13 14 9,2 5,06951674

2.5.85 24 1 15 8 11 11,8 8,5264295

2.10.85 21 5 8 16 18 13,6 6,80441033

2.10.95 25 6 23 8 20 16,4 8,79204186

2.15.85 19 4 17 21 2 12,6 8,90505474


2.15.90 4 1 5 16 13 7,8 6,37965516

2.5.85 7 24 8 23 11 14,6 8,2643814

2.10.85 3 11 15 18 2 9,8 7,12039325

2.10.95 10 21 9 25 22 17,4 7,36885337

2.15.85 19 16 20 5 14 14,8 5,9749477


2.15.90 9 1 11 13 4 7,6 4,97995984

2.5.85 18 6 9 19 17 13,8 5,89067059

2.10.85 21 4 22 15 22 16,8 7,72657751

2.10.95 25 24 3 14 20 17,2 9,03880523

2.15.85 1 8 6 12 15 8,4 5,41294744


2.15.90 3 17 16 8 1 9 7,31436942

2.5.85 6 20 2 17 24 13,8 9,39148551

2.10.85 20 11 25 5 4 13 9,246621

2.10.95 23 7 15 22 10 15,4 7,09224929

2.15.85 13 11 14 8 19 13 4,0620192


2.15.90 1 10 15 17 4 9,4 6,87749955

2.5.85 7 2 9 22 20 12 8,63133825

2.10.85 2 12 13 19 23 13,8 7,98122798

2.10.95 24 6 10 15 25 16 8,39642781

2.15.85 20 4 18 14 7 12,6 6,91375441

92


Convergencia de la heuristica ACS

Instancia 1

Instancia 2

Instancia 3

5025

5075

5125

5175

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

1 2 3 4 5

4870

4920

4970

5020

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

1 2 3 4 5

5540

5590

5640

5690

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

1 2 3 4 5

93


Instancia 4

Instancia 5

5400

5450

5500

5550

5600

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

1 2 3 4 5

5170

5220

5270

5320

5370

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

1 2 3 4 5

94


A3. Diferencias de Métodos Heurísticos

Comparados con ACS sin el proceso de revisión.

Nivel de Setup Alto

m = 3, n = 30

Makespan Diferencia porcentual Diferencia en segundos

LPT xLPT MC MV ACS(S) LPT xLPT MC MV LPT xLPT MC MV

1 921 964 737 661 647 42,35% 49,00% 13,91% 2,16% 274 317 90 14

2 948 905 754 720 647 46,52% 39,88% 16,54% 11,28% 301 258 107 73

3 923 902 725 686 636 45,13% 41,82% 13,99% 7,86% 287 266 89 50

4 887 880 682 662 602 47,34% 46,18% 13,29% 9,97% 285 278 80 60

5 958 975 703 663 627 52,79% 55,50% 12,12% 5,74% 331 348 76 36

6 982 1032 810 767 701 40,09% 47,22% 15,55% 9,42% 281 331 109 66

7 845 893 692 579 591 42,98% 51,10% 17,09% -2,03% 254 302 101 -12

8 841 899 609 548 530 58,68% 69,62% 14,91% 3,40% 311 369 79 18

9 850 950 672 676 566 50,18% 67,84% 18,73% 19,43% 284 384 106 110

10 970 919 686 602 610 59,02% 50,66% 12,46% -1,31% 360 309 76 -8

11 820 869 724 672 653 25,57% 33,08% 10,87% 2,91% 167 216 71 19

12 987 1013 760 664 609 62,07% 66,34% 24,79% 9,03% 378 404 151 55

13 814 874 600 564 535 52,15% 63,36% 12,15% 5,42% 279 339 65 29

14 827 862 720 629 638 29,62% 35,11% 12,85% -1,41% 189 224 82 -9

15 772 872 609 526 531 45,39% 64,22% 14,69% -0,94% 241 341 78 -5

16 1014 914 777 749 699 45,06% 30,76% 11,16% 7,15% 315 215 78 50

17 858 905 672 603 585 46,67% 54,70% 14,87% 3,08% 273 320 87 18

18 792 825 672 644 580 36,55% 42,24% 15,86% 11,03% 212 245 92 64

19 1065 992 716 697 689 54,57% 43,98% 3,92% 1,16% 376 303 27 8

20 886 845 637 561 538 64,68% 57,06% 18,40% 4,28% 348 307 99 23

Promedio diferencias 47,37% 50,48% 14,41% 5,38% 287,3 303,8 87,15 32,95

95


m = 5, n = 50



1 814 890 706 643 603 34,99% 47,60% 17,08% 6,63% 211 287 103 40

2 774 728 669 630 573 35,08% 27,05% 16,75% 9,95% 201 155 96 57

3 871 869 738 681 661 31,77% 31,47% 11,65% 3,03% 210 208 77 20

4 778 795 664 588 571 36,25% 39,23% 16,29% 2,98% 207 224 93 17

5 949 847 714 637 629 50,87% 34,66% 13,51% 1,27% 320 218 85 8

6 815 859 684 620 586 39,08% 46,59% 16,72% 5,80% 229 273 98 34

7 827 847 699 652 621 33,17% 36,39% 12,56% 4,99% 206 226 78 31

8 901 864 729 645 658 36,93% 31,31% 10,79% -1,98% 243 206 71 -13

9 809 796 713 611 637 27,00% 24,96% 11,93% -4,08% 172 159 76 -26

10 854 800 734 655 615 38,86% 30,08% 19,35% 6,50% 239 185 119 40

11 855 837 710 597 626 36,58% 33,71% 13,42% -4,63% 229 211 84 -29

12 868 901 755 660 659 31,71% 36,72% 14,57% 0,15% 209 242 96 1

13 850 836 728 645 630 34,92% 32,70% 15,56% 2,38% 220 206 98 15

14 826 819 701 608 614 34,53% 33,39% 14,17% -0,98% 212 205 87 -6

15 790 823 655 566 563 40,32% 46,18% 16,34% 0,53% 227 260 92 3

16 678 659 609 543 525 29,14% 25,52% 16,00% 3,43% 153 134 84 18

17 806 862 702 632 629 28,14% 37,04% 11,61% 0,48% 177 233 73 3

18 873 811 708 641 629 38,79% 28,93% 12,56% 1,91% 244 182 79 12

19 867 869 762 686 646 34,21% 34,52% 17,96% 6,19% 221 223 116 40

20 781 806 660 597 587 33,05% 37,31% 12,44% 1,70% 194 219 73 10


96


m = 10, n = 100



1 794 772 689 642 637 24,65% 21,19% 8,16% 0,78% 157 135 52 5

2 800 788 733 695 622 28,62% 26,69% 17,85% 11,74% 178 166 111 73

3 754 757 699 648 633 19,12% 19,59% 10,43% 2,37% 121 124 66 15

4 747 709 682 633 624 19,71% 13,62% 9,29% 1,44% 123 85 58 9

5 725 767 692 642 620 16,94% 23,71% 11,61% 3,55% 105 147 72 22

6 733 743 669 601 592 23,82% 25,51% 13,01% 1,52% 141 151 77 9

7 718 699 657 609 578 24,22% 20,93% 13,67% 5,36% 140 121 79 31

8 805 846 758 682 653 23,28% 29,56% 16,08% 4,44% 152 193 105 29

9 801 775 732 659 641 24,96% 20,90% 14,20% 2,81% 160 134 91 18

10 752 773 701 663 632 18,99% 22,31% 10,92% 4,91% 120 141 69 31

11 745 730 659 618 576 29,34% 26,74% 14,41% 7,29% 169 154 83 42

12 678 726 648 567 595 13,95% 22,02% 8,91% -4,71% 83 131 53 -28

13 768 788 707 647 655 17,25% 20,31% 7,94% -1,22% 113 133 52 -8

14 745 744 715 654 601 23,96% 23,79% 18,97% 8,82% 144 143 114 53

15 757 733 684 615 579 30,74% 26,60% 18,13% 6,22% 178 154 105 36

16 763 746 684 605 606 25,91% 23,10% 12,87% -0,17% 157 140 78 -1

17 730 749 680 606 615 18,70% 21,79% 10,57% -1,46% 115 134 65 -9

18 746 767 685 628 586 27,30% 30,89% 16,89% 7,17% 160 181 99 42

19 732 755 699 636 597 22,61% 26,47% 17,09% 6,53% 135 158 102 39

20 786 773 691 645 597 31,66% 29,48% 15,75% 8,04% 189 176 94 48

Promedio diferencias 23,29% 23,76% 13,34% 3,77% 142 145,05 81,25 22,8

97


Nivel de Setup Bajo

m = 3, n = 30



1 673 639 623 612 581 15,83% 9,98% 7,23% 5,34% 92 58 42 31

2 669 654 610 614 576 16,15% 13,54% 5,90% 6,60% 93 78 34 38

3 640 615 597 587 546 17,22% 12,64% 9,34% 7,51% 94 69 51 41

4 563 548 489 465 454 24,01% 20,70% 7,71% 2,42% 109 94 35 11

5 607 592 538 528 496 22,38% 19,35% 8,47% 6,45% 111 96 42 32

6 625 608 557 530 518 20,66% 17,37% 7,53% 2,32% 107 90 39 12

7 571 596 522 520 484 17,98% 23,14% 7,85% 7,44% 87 112 38 36

8 550 578 497 492 467 17,77% 23,77% 6,42% 5,35% 83 111 30 25

9 616 645 572 568 524 17,56% 23,09% 9,16% 8,40% 92 121 48 44

10 645 644 578 572 549 17,49% 17,30% 5,28% 4,19% 96 95 29 23

11 654 656 607 575 564 15,96% 16,31% 7,62% 1,95% 90 92 43 11

12 523 519 482 479 440 18,86% 17,95% 9,55% 8,86% 83 79 42 39

13 712 724 655 650 626 13,74% 15,65% 4,63% 3,83% 86 98 29 24

14 678 662 607 589 593 14,33% 11,64% 2,36% -0,67% 85 69 14 -4

15 686 712 644 618 595 15,29% 19,66% 8,24% 3,87% 91 117 49 23

16 627 640 575 541 545 15,05% 17,43% 5,50% -0,73% 82 95 30 -4

17 692 701 636 619 601 15,14% 16,64% 5,82% 3,00% 91 100 35 18

18 628 632 581 564 545 15,23% 15,96% 6,61% 3,49% 83 87 36 19

19 567 589 510 503 480 18,13% 22,71% 6,25% 4,79% 87 109 30 23

20 731 729 685 666 657 11,26% 10,96% 4,26% 1,37% 74 72 28 9


98


m = 5, n = 50



1 734 732 695 682 641 14,51% 14,20% 8,42% 6,40% 93 91 54 41

2 613 617 590 565 553 10,85% 11,57% 6,69% 2,17% 60 64 37 12

3 680 672 653 626 611 11,29% 9,98% 6,87% 2,45% 69 61 42 15

4 665 664 628 612 576 15,45% 15,28% 9,03% 6,25% 89 88 52 36

5 653 645 620 626 569 14,76% 13,36% 8,96% 10,02% 84 76 51 57

6 664 669 632 605 588 12,93% 13,78% 7,48% 2,89% 76 81 44 17

7 622 646 596 591 570 9,12% 13,33% 4,56% 3,68% 52 76 26 21

8 590 585 565 537 531 11,11% 10,17% 6,40% 1,13% 59 54 34 6

9 660 666 628 607 587 12,44% 13,46% 6,98% 3,41% 73 79 41 20

10 600 589 550 559 536 11,94% 9,89% 2,61% 4,29% 64 53 14 23

11 599 591 567 565 528 13,45% 11,93% 7,39% 7,01% 71 63 39 37

12 664 666 637 629 590 12,54% 12,88% 7,97% 6,61% 74 76 47 39

13 643 650 606 602 581 10,67% 11,88% 4,30% 3,61% 62 69 25 21

14 651 656 614 576 570 14,21% 15,09% 7,72% 1,05% 81 86 44 6

15 627 634 598 568 556 12,77% 14,03% 7,55% 2,16% 71 78 42 12

16 630 631 609 568 555 13,51% 13,69% 9,73% 2,34% 75 76 54 13

17 633 635 607 612 574 10,28% 10,63% 5,75% 6,62% 59 61 33 38

18 678 672 674 662 646 4,95% 4,02% 4,33% 2,48% 32 26 28 16

19 555 542 529 523 522 6,32% 3,83% 1,34% 0,19% 33 20 7 1

20 623 624 598 598 570 9,30% 9,47% 4,91% 4,91% 53 54 28 28


99


m = 10, n = 100



1 601 601 593 583 547 9,87% 9,87% 8,41% 6,58% 54 54 46 36

2 626 638 622 594 585 7,01% 9,06% 6,32% 1,54% 41 53 37 9

3 642 643 641 628 603 6,47% 6,63% 6,30% 4,15% 39 40 38 25

4 623 634 617 582 580 7,41% 9,31% 6,38% 0,34% 43 54 37 2

5 563 571 557 545 542 3,87% 5,35% 2,77% 0,55% 21 29 15 3

6 614 605 608 601 568 8,10% 6,51% 7,04% 5,81% 46 37 40 33

7 652 659 657 645 613 6,36% 7,50% 7,18% 5,22% 39 46 44 32

8 568 575 570 566 529 7,37% 8,70% 7,75% 6,99% 39 46 41 37

9 609 606 591 593 573 6,28% 5,76% 3,14% 3,49% 36 33 18 20

10 565 554 557 532 516 9,50% 7,36% 7,95% 3,10% 49 38 41 16

11 624 632 630 620 605 3,14% 4,46% 4,13% 2,48% 19 27 25 15

12 646 632 622 616 586 10,24% 7,85% 6,14% 5,12% 60 46 36 30

13 551 559 558 543 521 5,76% 7,29% 7,10% 4,22% 30 38 37 22

14 620 623 607 603 568 9,15% 9,68% 6,87% 6,16% 52 55 39 35

15 585 589 577 555 530 10,38% 11,13% 8,87% 4,72% 55 59 47 25

16 602 603 595 590 559 7,69% 7,87% 6,44% 5,55% 43 44 36 31

17 667 662 664 653 629 6,04% 5,25% 5,56% 3,82% 38 33 35 24

18 591 590 589 567 566 4,42% 4,24% 4,06% 0,18% 25 24 23 1

19 541 550 546 549 517 4,64% 6,38% 5,61% 6,19% 24 33 29 32

20 604 598 600 592 569 6,15% 5,10% 5,45% 4,04% 35 29 31 23


100


A4. Diferencias Generadas por el Proceso de Revisión de ACS

Nivel de Setup Alto

n=30 n=50 n=100

ACS sin ACS con Dif. % Dif.

ACS sin

ACS con

Dif. % Dif.

ACS sin

ACS con

Dif. % Dif.

1 647 597 8,38% 50

603 589 2,38% 14 637 594 7,24% 43

2 647 647 0,00% 0

573 549 4,37% 24 622 622 0,00% 0

3 636 594 7,07% 42

661 623 6,10% 38 633 592 6,93% 41

4 602 564 6,74% 38

571 527 8,35% 44 624 577 8,15% 47

5 627 596 5,20% 31

629 602 4,49% 27 620 583 6,35% 37

6 701 701 0,00% 0

586 557 5,21% 29 592 576 2,78% 16

7 591 556 6,29% 35

621 570 8,95% 51 578 566 2,12% 12

8 530 530 0,00% 0

658 621 5,96% 37 653 644 1,40% 9

9 566 553 2,35% 13

637 585 8,89% 52 641 612 4,74% 29

10 610 569 7,21% 41

615 612 0,49% 3 632 601 5,16% 31

11 653 593 10,12% 60

626 515 21,55% 111 576 555 3,78% 21

12 609 594 2,53% 15

659 619 6,46% 40 595 540 10,19% 55

13 535 480 11,46% 55

630 617 2,11% 13 655 612 7,03% 43

14 638 589 8,32% 49

614 558 10,04% 56 601 585 2,74% 16

15 531 497 6,84% 34

563 535 5,23% 28 579 576 0,52% 3

16 699 657 6,39% 42

525 498 5,42% 27 606 595 1,85% 11

17 585 563 3,91% 22

629 574 9,58% 55 615 585 5,13% 30

18 580 569 1,93% 11

629 595 5,71% 34 586 584 0,34% 2

19 689 603 14,26% 86

646 639 1,10% 7 597 597 0,00% 0

20 538 538 0,00% 0

587 560 4,82% 27 597 584 2,23% 13

Promedio diferencias 5,45% 31,2

6,36% 35,85 3,93% 22,95

101


Nivel de Setup Bajo

n=30 n=50 n=100

ACS sin ACS con Dif. % Dif.

ACS sin

ACS con

Dif. % Dif.

ACS sin

ACS con

Dif. % Dif.

1 581 569 2,11% 12 641 641 0,00% 0 547 547 0,00% 0

2 576 575 0,17% 1 553 535 3,36% 18 585 585 0,00% 0

3 546 543 0,55% 3 611 601 1,66% 10 603 596 1,17% 7

4 454 444 2,25% 10 576 573 0,52% 3 580 569 1,93% 11

5 496 496 0,00% 0 569 569 0,00% 0 542 530 2,26% 12

6 518 518 0,00% 0 588 586 0,34% 2 568 565 0,53% 3

7 484 484 0,00% 0 570 553 3,07% 17 613 612 0,16% 1

8 467 460 1,52% 7 531 518 2,51% 13 529 528 0,19% 1

9 524 524 0,00% 0 587 578 1,56% 9 573 552 3,80% 21

10 549 536 2,43% 13 536 515 4,08% 21 516 516 0,00% 0

11 564 561 0,53% 3 528 528 0,00% 0 605 591 2,37% 14

12 440 438 0,46% 2 590 577 2,25% 13 586 586 0,00% 0

13 626 608 2,96% 18 581 562 3,38% 19 521 508 2,56% 13

14 593 567 4,59% 26 570 564 1,06% 6 568 565 0,53% 3

15 595 593 0,34% 2 556 556 0,00% 0 530 528 0,38% 2

16 545 530 2,83% 15 555 547 1,46% 8 559 551 1,45% 8

17 601 592 1,52% 9 574 554 3,61% 20 629 618 1,78% 11

18 545 545 0,00% 0 646 619 4,36% 27 566 545 3,85% 21

19 480 469 2,35% 11 522 485 7,63% 37 517 513 0,78% 4

20 657 637 3,14% 20 570 554 2,89% 16 569 549 3,64% 20

Promedio diferencias 1,39% 7,6 2,19% 11,95 1,37% 7,6

102


A5. Análisis de Varianza

Nivel de Setup Alto

m = 3, n = 30

Tabla ANOVA Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P


Total (Corr.) 2,21991E6 99

Pruebas de Múltiples Rangos Método: 95,0 porcentaje Tukey HSD Casos Media Grupos Homogéneos



LPT - xLPT -16,5 55,5938 LPT - MV * 254,35 55,5938 LPT - MC * 200,15 55,5938 LPT - ACS * 318,5 55,5938 xLPT - MV * 270,85 55,5938 xLPT - MC * 216,65 55,5938 xLPT - ACS * 335,0 55,5938 MV - MC -54,2 55,5938 MV - ACS * 64,15 55,5938 MC - ACS * 118,35 55,5938

* indica una diferencia significativa.

Prueba de Kruskal-Wallis Tamaño de Muestra Rango Promedio

LPT 20 78,725 xLPT 20 82,125 MV 20 31,025 MC 20 44,575 ACS 20 16,05


103


m = 5, n = 50



Total (Corr.) 1,24625E6 99


ACS 20 577,25 X MV 20 626,85 X MC 20 702,0 X xLPT 20 825,9 X LPT 20 829,3 X


LPT - xLPT 3,4 40,4932 LPT - MV * 202,45 40,4932 LPT - MC * 127,3 40,4932 LPT - ACS * 252,05 40,4932 xLPT - MV * 199,05 40,4932 xLPT - MC * 123,9 40,4932 xLPT - ACS * 248,65 40,4932 MV - MC * -75,15 40,4932 MV - ACS * 49,6 40,4932 MC - ACS * 124,75 40,4932



LPT 20 79,6 xLPT 20 79,225 MV 20 28,55 MC 20 50,875 ACS 20 14,25


104


m = 10, n = 100


Entre grupos 434894, 4 108724, 129,13 0,0000 Intra grupos 79987,9 95 841,978

Total (Corr.) 514882, 99




LPT - xLPT -3,05 25,5161 LPT - MV * 119,2 25,5161 LPT - MC * 60,75 25,5161 LPT - ACS * 164,95 25,5161 xLPT - MV * 122,25 25,5161 xLPT - MC * 63,8 25,5161 xLPT - ACS * 168,0 25,5161 MV - MC * -58,45 25,5161 MV - ACS * 45,75 25,5161 MC - ACS * 104,2 25,5161


Prueba de Kruskal-Wallis

Tamaño de Muestra Rango Promedio

LPT 20 78,15 xLPT 20 79,725 MV 20 29,7 MC 20 52,3 ACS 20 12,625


105


Nivel de Setup Bajo

m = 3, n = 30


Entre grupos 152957, 4 38239,4 11,94 0,0000 Intra grupos 304219, 95 3202,3

Total (Corr.) 457176, 99




LPT - xLPT -1,3 49,7618 LPT - MV * 68,25 49,7618 LPT - MC * 54,6 49,7618 LPT - ACS * 98,4 49,7618 xLPT - MV * 69,55 49,7618 xLPT - MC * 55,9 49,7618 xLPT - ACS * 99,7 49,7618 MV - MC -13,65 49,7618 MV - ACS 30,15 49,7618 MC - ACS 43,8 49,7618



LPT 20 69,125 xLPT 20 69,825 MV 20 39,975 MC 20 45,925 ACS 20 27,65

Estadístico = 32,6576 Valor-P = 0,00000140367

106


m = 5, n = 50


Entre grupos 86740,7 4 21685,2 14,16 0,0000 Intra grupos 145473, 95 1531,29

Total (Corr.) 232214, 99


ACS 20 560,75 X MV 20 595,65 X MC 20 609,8 XX LPT 20 639,2 X xLPT 20 639,3 X


LPT - xLPT -0,1 34,4107 LPT - MV * 43,55 34,4107 LPT - MC 29,4 34,4107 LPT - ACS * 78,45 34,4107 xLPT - MV * 43,65 34,4107 xLPT - MC 29,5 34,4107 xLPT - ACS * 78,55 34,4107 MV - MC -14,15 34,4107 MV - ACS * 34,9 34,4107 MC - ACS * 49,05 34,4107



LPT 20 68,65 xLPT 20 69,425 MV 20 41,85 MC 20 50,675 ACS 20 21,9

Estadístico = 37,559 Valor-P = 1,38158E-7

107


m = 10, n = 100


Entre grupos 32379,9 4 8094,98 7,12 0,0000 Intra grupos 108007, 95 1136,92

Total (Corr.) 140387, 99

Pruebas de Múltiples Rangos

Método: 95,0 porcentaje Tukey HSD Casos Media Grupos Homogéneos



LPT - xLPT -1,5 29,6503 LPT - MV 16,85 29,6503 LPT - MC 4,65 29,6503 LPT - ACS * 47,0 29,6503 xLPT - MV 18,35 29,6503 xLPT - MC 6,15 29,6503 xLPT - ACS * 48,5 29,6503 MV - MC -12,2 29,6503 MV - ACS * 30,15 29,6503 MC - ACS * 42,35 29,6503



LPT 20 60,95 xLPT 20 62,05 MV 20 46,95 MC 20 56,85 ACS 20 25,7

Estadístico = 21,6407 Valor-P = 0,000236274

108


A6. Verificación de supuestos de ANOVA

Nivel de Setup Alto

m = 3, n = 30

Prueba Chi-Cuadrado de Independencia Prueba Estadístico Gl Valor-P

Chi-Cuadrada 88,739 76 0,6693

Pruebas Chi-Cuadrado de Normalidad

Heurística Estadístico Valor-P

LPT 4,7 0,910297 xLPT 9,9 0,44931 MV 6,0 0,815263 MC 13,8 0,182311 ACS 13,8 0,182311

Verificación de Varianza

Prueba Valor-P

Levene's 1,81737 0,131841


ResLPT / ResxLPT 80,8768 56,3116 2,06277 0,1233 ResLPT / ResMV 80,8768 66,4936 1,47941 0,4010 ResLPT / ResMC 80,8768 56,7332 2,03223 0,1310 ResLPT / ResACS 80,8768 51,3066 2,48485 0,0541 ResxLPT / ResMV 56,3116 66,4936 0,717194 0,4756 ResxLPT / ResMC 56,3116 56,7332 0,985192 0,9744 ResxLPT / ResACS 56,3116 51,3066 1,20462 0,6890 ResMV / ResMC 66,4936 56,7332 1,37368 0,4956 ResMV / ResACS 66,4936 51,3066 1,67963 0,2673 ResMC / ResACS 56,7332 51,3066 1,22272 0,6656

m = 5, n = 50


Chi-Cuadrada 57,818 76 0,9402

109


Pruebas Chi-Cuadrado de Normalidad Heurística Estadístico Valor-P

LPT 8,6 0,570438 xLPT 7,3 0,696852 MV 7,3 0,696852 MC 9,9 0,44931 ACS 4,7 0,910297

Verificación de Varianza Prueba Valor-P

Levene's 0,949777 0,438888



m = 10, n = 100


Chi-Cuadrada 19,458 76 1,0000


LPT 11,2 0,34215 xLPT 17,7 0,0602401 MV 7,3 0,696852 MC 16,4 0,0887402 ACS 17,7 0,0602401


Levene's 0,580127 0,677752

110




Nivel de Setup Bajo

m = 3, n = 30


Chi-Cuadrada 15,951 76 1,0000



LPT 6,0 0,815263 xLPT 11,2 0,34215 MV 9,9 0,44931 MC 6,0 0,815263 ACS 6,0 0,815263


Levene's 0,036171 0,997459



111


m = 5, n = 50


Chi-Cuadrada 9,487 76 1,0000



LPT 8,6 0,570438 xLPT 13,8 0,182311 MV 9,9 0,44931 MC 12,5 0,252985 ACS 8,6 0,570438


Levene's 0,0938543 0,984191



112


m = 10, n = 100


Chi-Cuadrada 5,438 76 1,0000


LPT 8,6 0,570438 xLPT 9,9 0,44931 MV 7,3 0,696852 MC 7,3 0,696852 ACS 8,6 0,570438


Levene's 0,0148062 0,999561



UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN – FACULTAD DE INGENIERÍA

RESUMEN DE MEMORIA DE TÍTULO

Departamento de Ingeniería Industrial

Título Aplicación de un algoritmo ACO al problema de

minimización de makespan en máquinas

paralelas idénticas con tiempos de setup

dependientes de la secuencia

Nombre Memorista Pablo Arriagada Pizarro

Modalidad Investigación Profesor Patrocinante

Concepto Sr. Eduardo Salazar Hornig

Calificación Ingeniero Supervisor Institución

Fecha Abril, 2012 - -

Comisión (Nombre y Firma)

Sr. Alejandro Concha Sra. Lorena Pradenas

Resumen

Este trabajo aplica un procedimiento heurístico al problema | | , que es el problema de

programación de la producción sobre la minimización de makespan en máquinas paralelas

idénticas, con tiempos de preparación dependientes de la secuencia de trabajos, un problema que

se encuentra bastante en las industrias, pero que no tiene la misma consideración teórica que

(sin tiempos de setup). La heurística aprovecha la metaheurística Ant Colony System por

su aplicación exitosa en el Problema del Vendedor Viajero y similares. El algoritmo consiste en

generar una secuencia inicial de trabajos por medio de ACS, para luego distribuirlos en las

máquinas disponibles para producir; con dos variantes dentro de la misma heurística: uno que va

asignando los trabajos antes de un límite calculado a partir de los parámetros de la instancia y otro

que lo asigna después. Finalmente, por medio de ACS la máquina más ocupada pasa a ser

revisada para evaluar si puede disminuir su tiempo de finalización, y, por lo tanto, el de todo el

sistema. El makespan que entrega la heurística es el menor entre las dos variantes descritas.

El desempeño de este procedimiento se compara con el de otras cuatro alternativas: LPT, LPT con

tiempos de setup promedio, Mejor Vecino y Montecarlo. Los resultados de makespan generados

por la heurística ACS con revisión muestran ser consistentemente menores que los otros cuatro

métodos descritos, diferencia que es mayor en escenarios balanceados, donde los tiempos de

setup son comparables a los tiempos de proceso.

aplicación de un algoritmo aco al problema de minimización

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