apéndice iv - operadores y observables

OperadoresConmutadores en Mecanica Cuantica

Tema 2: Complemento sobre “operadores”

Ismanuel Rabadan

25 de febrero de 2008

Ismanuel Rabadan Tema 2: Complemento sobre “operadores”


Objetivos

1 Saber que es un “operador”.

2 Aprender a aplicarlos.

3 Aprender a operar entre ellos.

4 Conocer algunos tipos de operadores.

5 Establecer la relacion entre “operador” y “observable”.



Contenidos

1 OperadoresDefinicionOperaciones con operadoresOperadores linealesAutovalores y autovectoresOperador hermıticoOperadores unitarios

2 Conmutadores en Mecanica CuanticaObservables y operadoresSimetrıa de la funcion de onda



DefinicionOperaciones con operadoresOperadores linealesAutovalores y autovectoresOperador hermıticoOperadores unitarios

Operadores

Definicion de “operador” (Levine):

Regla (o receta) que transforma una funcion dada en otra

Cada observable fısico tiene asociado un operador.

Operador de energıa (total) ⇒ el hamiltoniano (H):

H = −~2

2

∑i

1

mi∇2

i + V

Valor esperado de la energıa:

< E >=

∫ψ∗(r)Hψ(r)dr




Operaciones con operadores (I)

Suma, resta: (A± B)f = Af ± Bf

Producto: ABf ≡ A[Bf ]

Dos operadores son iguales si Af = Bf ∀fOperador identidad 1: 1f = f . Truco

∑i |i〉〈i |f = f




Operaciones con operadores (II)

La propiedad conmutativa no se cumple, generalmente.Se define el conmutador [A, B] ≡ AB − BASi A y B conmutan, entonces [A, B] = 0

La potencia n de un operador, An, es aplicar ese operador nveces sucesivas. (A2f = AAf ).

La exponencial de un operador eA se define:

eA = 1 + A +A2

2!+

A3

3!+ · · ·




Operadores lineales

SatisfacenA(f + g) = Af + Ag

A(cf ) = cAf

Ejemplo: d/dx

(d/dx)[f (x) + g(x)] = (d/dx)f (x) + (d/dx)g(x)

(d/dx)[cf (x)] = c (d/dx)f (x)

Ejemplo: ()2

(f (x) + g(x))2 6= (f (x))2 + (g(x))2

Operador antilineal (reversibilidad en el tiempo):

A(λf + µg) = λ∗Af + µ∗Ag




Autovalores y autovectores (autofunciones, autoestados)

f es autofuncion de A si la aplicacion de A sobre f da fmultiplicada por una constante (a, por ejemplo)

Af = af

ψa(r) es autoestado de A si se cumple:

Aψa(r) = aψa(r)

Y si el estado del sistema es combinacion lineal deautoestados de A (ψ = caψa + cbψb):

< A >= a|ca|2 + b|cb|2




Operador hermıtico

Valor esperado de un operador: < A >=∫ψ∗(r)Aψ(r)dr

Valor de un observable fısico ha de ser real: < A >=< A >∗∫ψ∗(r)Aψ(r)dr =

∫(Aψ(r))∗ψ(r)dr

Si A es hermıtico y Aψa = aψa ⇒ a = a∗.

Si A es hermıtico, sus autofunciones son ortogonales:

Aψb = bψb ; Aψa = aψa

⇒∫ψ∗aψb = 0

Si a = b, se pueden ortogonalizar ψb′ = ψa + cψb

c = −∫ψ∗aψb∫ψ∗aψa




Operadores unitarios

Un operador lineal cuyo inverso es su adjunto se llama unitario

U−1 = U†

UU† = U†U = I

Un operador unitario conserva las longitudes y los angulosentre vectores.

Sus autofunciones son ortogonales.

Sus autovalores no tienen por que ser reales.



Observables y operadoresSimetrıa de la funcion de onda

Conmutadores en Mecanica Cuantica

Solo podemos obtener el valor definido de dos observables A yB, si ψ es autofuncion de A y B a la vez.

Supongamos que se cumple:

AψAi ,Bj= AiψAi ,Bj

y BψAi ,Bj= BjψAi ,Bj

Multiplicamos la primera ecuacion por B y la segunda por A

BAψAi ,Bj= BAiψAi ,Bj

y ABψAi ,Bj= ABjψAi ,Bj

ψAi ,Bjes una autofuncion A y B

BAψAi ,Bj= AiBjψAi ,Bj

y ABψAi ,Bj= BjAiψAi ,Bj

Para ψAi ,Bjgeneral: [A, B] = 0




Operador

Cada observable en Mecanica Clasica tiene asociado unoperador en Mecanica Cuantica que es lineal y hermıtico.

Operador×Ψ = valor del observable×Ψ

ΩΨ = ωΨ

Los operadores fundamentales son posicion y momento:

x = x ; px = −i~∂

∂x




Medida del observable asociado a un operador

En cualquier medida de un observable asociado a unoperador A, los unicos valores que se obtendran son losautovalores ai , que satisfacen la ecuacion:

AΨi = aiΨi

Si Ψ es autoestado de A, la medida siempre produce a.

Si Ψ no es autoestado de A

Ψ =n∑i

ciΨi con AΨi = aiΨi

Entonces la probabilidad de obtener el valor ai es |ci |2.Si se obtiene ai ⇒ Ψ = Ψi

Si ai es degenerado, Ψ =∑

deg Ψdeg




Valor medio del observable asociado a un operador

Si un sistema esta en un estado descrito por la funcion deonda normalizada Ψ, entonces el valor medio delobservable correspondiente a A viene dado por

< A >=

∫ ∞

−∞Ψ∗AΨdτ




Simetrıa de la funcion

La funcion de onda total debe ser antisimetrica conrespecto del intercambio de todas las coordenadas de unfermion con las de otro. El espın electronico se debeincluir en este conjunto de coordenadas.

Principio de exclusion de Pauli


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