Leccin 1 Funciones 1.1 Introduccin. Desde la poca de Galileo Galilei (1564-1642), la matemtica ha

ocupado un lugar de excelencia en el mtodo cientfico. Uno de los ms fuertes defensores de la matemtica en este sentido fue el filosofo y matemtica francs Rene Descartes (1596-1650), quien declaraba que no admita ni esperaba ningn principio de fsica, a no ser aquellos que se explicaran mediante geometra o la matemtica abstracta. Podemos considerar que la matemtica moderna nace en el siglo XVII, con la creacin de la geometra analtica y el calculo infinitesimal , con ello nace el concepto de funcin, el cual es uno de los conceptos ms importantes de la matemtica. No nos estamos refiriendo solamente a la idea de dependencia, lo cual existe desde la poca griega, sino al concepto de funcin por si mismo como elemento esencial de la matemtica. La mayora de las funciones conocidas en el siglo XVII fueron estudiadas como curvas, este fue el caso, por ejemplo, de las funciones ax, log x, sen x. La grafica de esta ultima, es decir la curva senoidal, aparece en un trabajo sobre la Cicloide cuyo autor es el matemtico francs Personne de Roberval (1602-1675), a la cual llama curva compaera de la cicloide. En esta poca disponan de tablas de valores para las funciones trigonomtricas y logartmicas con un alto grado de aproximacin, sin embargo, el concepto funcin no estaba totalmente claro. Un intento de definicin de funcin, en el siglo XVII, fue dada por el matemtico y astrnomo escocs James Gregor, quien deca que una funcin era una cantidad obtenida de otras cantidades por una sucesin de operaciones algebraicas o por cualquier otra operacin imaginable (por esto ultimo se refera al paso limite). La palabra funcin fue usada por primara vez en 1673 por el abogado, filosofo y matemtico alemn Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) a quien le deben tambin los trminos de variable, constante y parmetro: Leibniz no solamente pas a la historia de la matemtica por la creacin del clculo quien junto con Newton comparte ese honor, sino que tambin fue un importante filosofo e invento una calculadora mecnica, la cual era una versin perfeccionada de la maquina de Pascal. Actualmente, el concepto de funcin ya es una nocin muy depurada, sin embargo las funciones interpretadas como formulas o expresiones matemticas, o bien como grficas siguen teniendo vigencia. En la prctica, podemos decir que lo relevante de una funcin es: a) La expresin matemtica que la define b) Su grfica c) Una tabla de valores Desde el punto de vista conceptual, concebir una funcin de esta manera es insuficiente. Por ejemplo, si deseamos establecer con precisin los resultados del clculo, conviene interpretar las funciones como reglas de asociacin y distinguir los valores de la funcin misma. En este aspecto, resulta de gran utilidad el smbolo f(x), introducido por el matemtico suizo Leonhard Euler (1707-1783) , el ms prolfico de todos los tiempos.

1.2 El concepto de funcin. An cuando en este libro solamente manejaremos funciones de las que llamaremos de varias variables reales con valores reales o vectoriales, es conveniente que estudiemos los elementos bsicos acerca de las funciones en forma general, pues este importante concepto est presente en todas las reas de la matemtica.

1.3 Definicin 1. Dados X, Y, conjuntos cualesquiera, una FUNCIN con DOMINIO X y CONTRADOMINIO Y, es toda regla o ley de asociacin que hace corresponder a cada elemento de x X uno y slo uno y Y. Usualmente a las funciones (las cuales son reglas), se les asigna nombres de una sola legra de nuestro alfabeto como son f, g, h, F, G, H, pero tambin se pueden usar nombres ms largos, letras de otros idiomas o incluso smbolos. Si f es una funcin con dominio X y contradominio Y, para referirnos a este hecho escribiremos

f : X Y lo cual debe leerse f de X en Y Dado x X; si y Y es el elemento asociado a x segn la funcin f, escribiremos f

x y x y, en la ltima simbolizacin hemos omitido el nombre de la funcin f, y esta notacin la usaremos solamente cuando no haya ambigedad sobre la funcin a la cual nos estemos refiriendo. Una manera ms socorrida de representar este mismo hecho es escribiendo y = f(x), lo cual debe leerse e igual a f de x. El conjunto de imgenes { y y = f(x) para algn x X} lo denotaremos por f(X) y le llamaremos IMAGEN de la funcin f (algunos autores de texto le llaman RANGO de f). En general, si A X, la IMAGEN de A bajo f es el conjunto f(A) = { y y = f(x) para algn x A} La IMAGEN de un conjunto A bajo una funcin f : X Y es un subconjunto del contradominio Y, mientras que la IMAGEN INVERSA de un conjunto M bajo una funcin f es un subconjunto del dominio X de f. El smbolo f-1 (M) debe leerse imagen inversa de M y de ninguna manera f a la menos 1 de M o f inversa de M. Ms adelante hablaremos de la funcin f inversa, pero en este caso no estamos refirindonos a ella.

En trminos estrictos, una funcin f : X Y es la terna (f,X,Y), donde X es el dominio de la funcin, Y es el contradominio de la funcin y f es la regla de correspondencia. Dos funciones son iguales si y solamente si son iguales los trminos correspondientes de la terna. Si dos funciones tienen distinto contradominio, son diferentes. Por ejemplo, las funciones f : R R y g: R R+ {0} dadas respectivamente por f(x) = x2 y g(x) = x2 Son diferentes. En la mayora de los casos resulta totalmente irrelevante cul es el contradominio de una funcin, por ejemplo, usted podra pensar que esto es as para las funciones anteriores. En cierto modo, lo ms importante de una funcin es su dominio y su regla de asociacin f, cuando este sea el caso obviaremos las diferencias respecto al contradominio, siempre y cuando ello no cause confusin alguna, como regla general identificaremos dos funciones que slo difieran en el contradominio. Por otra parte con frecuencia nos referiremos a la regla f, como la funcin misma, de hecho esta fue nuestra primera definicin, y la seguiremos adoptando a lo largo del texto; solamente

en situaciones muy especiales podramos hacer la distincin entre la funcin como terna y la funcin como regla de asociacin. Una funcin cuyo dominio sea un subconjunto de los nmeros reales, le llamaremos FUNCIN DE VARIABLE REAL. Una funcin cuyo contradominio sea un subconjunto de los reales, es decir, una funcin cuyos valores son nmeros reales, le llamaremos FUNCION REAL. En nuestro primer curso de clculo estudiamos funciones reales de variable real.

Dado que las funciones reales de variable real, generalmente estn dadas por frmulas, haremos de una vez para siempre la convencin de que si no se indica explcitamente el dominio y el contradominio, entonces debemos entender que el dominio existe para todos los nmeros reales para los cuales tenga sentido o se pueda calcular la frmula, y el contradominio se sobreentender que consiste de todos los nmeros reales R. Por ejemplo, la funcin f dada por f(x) = log (1 x2) tiene por dominio el intervalo (-1,1). As que podemos escribir f : (-1,1) R

1.4 Funciones Inyectivas, Suprayectivas y Biyectivas. Consideremos las funciones f y g, ambas de R R, dadas por: f(x) = x2 g(x) = x3 Hay una diferencia importante entre ellas, en la primera se repiten sus valores, por ejemplo se tiene que f(-1) = f(1) = 1, f(-3) = f(3) = 9. Es decir, hay un par de puntos x, y de su dominio R (de hecho hay una infinidad de pares de puntos, nosotros hemos ilustrado dos pares) donde la funcin toma el mismo valor. Para la segunda funcin esto no ocurre, es decir, siempre que se tomen dos puntos diferentes de su dominio R, se obtendrn valores diferentes. Una funcin con las caractersticas de g se dice que es inyectiva, la funcin f no es inyectiva. Observemos que las dos funciones tienen como dominio y contradominio el conjunto R, la funcin f solamente toma valores no negativos, es decir, hay elementos del contradominio que no son valores de la funcin, por ejemplo, -1 no es un valor que pueda asumir la funcin f, mientras que la funcin g toma como valor todo elemento de su contradominio. Una funcin como g se dice que es suprayectiva; la funcin f no es suprayectiva. A continuacin precisamos estos conceptos. Definicin 2. Sea f : X Y una funcin arbitraria.

1) Se dice que f es INYECTIVA o UNO A UNO, si puntos diferentes del dominio tienen imgenes diferentes. Es decir, si se vale la implicacin: x1, x2 X, x1 x2 f(x1) f(x2)

equivalentemente, si x1, x2 X, f(x1) = f(x2) x1 = x2

2) Se dice que f es SUPRAYECTIVA o SOBRE, si cada elemento de su contradominio es imagen de algn elemento de su dominio. Es decir, si para cada y Y, existe x X tal que y = f(x)

3) Se dice que f es BIYECTIVA, si f es inyectiva y suprayectiva a la vez. Nota. En forma breve podemos decir que f es suprayectiva si F(X) = Y. Por otra parte, que f NO sea suprayectiva significa que existe y Y, para la cual no existe x X.

Dicho de otro modo, f no es suprayectiva si existe y Y tal que y f(x) para toda x X. Una funcin no suprayectiva, esencialmente puede hacerse suprayectiva redefiniendo su contradominio igual a su imagen: f : X f(X), sin embargo, en trminos estrictos esta funcin es diferente de la original, pero posee lo esencial de ella. Ejemplo 1. 1) La funcin f dada por f(x) = x es biyectiva trivialmente. Recordemos que nuestra

convencin para estos casos es que R siempre ser el contradominio, el dominio depender de la frmula o expresin. Para la funcin dada, el dominio es R mismo.

2) g(x) = ex es inyectiva pero no suprayectiva, pues toma solamente valores positivos. 3) h(x) = log x es inyectiva y suprayectiva, o sea, es biyectiva 4) F(x) = tan x es suprayectiva pero no inyectiva 5) f(x) = x4 no es inyectiva ni suprayectiva 6) G(x) = arctan x es inyectiva pero no suprayectiva

Si una funcin f : X Y es inyectiva pero no suprayectiva, redefiniendo su contradominio obtenemos una funcin biyectiva. Hablando estrictamente, lo que se obtiene es otra funcin, sin embargo, como se dijo anteriormente, identificaremos ambas funciones, en todo caso podemos entender que ignoramos la funcin original y que asignamos el mismo nombre a la funcin redefinida. Las funciones biyectivas son especialmente importantes, para ellas hacemos la siguiente definicin. Definicin 3. Si f : X Y es una funcin biyectiva, su FUNCIN INVERSA o simplemente la INVERSA de f, es la funcin f-1 : Y X definida como sigue: para cada y Y, f-1(y) = x si f(x) = y Ejemplo 2. La funcin logaritmo log: R+ R, cuyo valor en cada x R+ es log x es biyectiva y su inversa es la funcin exponencial exp: R R+, cuyo valor en cada real es exp(x) = ex. Esta ltima funcin tambin es biyectiva y su inversa es la funcin logaritmo, vale decir que son mutuamente inversas. Tenemos un resultado general el cual es obvio. Proposicin 1. Si f : X Y es una funcin suprayectiva, entonces as lo es f 1: Y X, y adems (f-1)-1 = f. Terminamos esta seccin con dos proposiciones que se prueban fcilmente. Proposicin 2. Si f : X Y y g : Y Z son funciones biyectivas, entonces la composicin g f : X Z es biyectiva. Demostracin. Mostremos que g f es inyectiva: Sean x1 y x2 elementos diferentes de X. Como f es inyectiva, tenemos que f(x1) f(x2). Como g es inyectiva, tenemos que g(f(x1)) g(f(x2)), es decir (g f)(x1) (g f) (x2). Esto prueba que g f es inyectiva. Mostremos que g f es suprayectiva: Sea z Z. Como g es suprayectiva, existe y Y tal que g(y) = z. Como f es suprayectiva para la y encontrada existe x X tal que f(x) = y. Se tiene entonces g(f(x)) = z es decir (g f) (x) = z. Esto prueba que g f es suprayectiva. Hemos probado que g f es biyectiva.

Proposicin 3. Sean f: X Y y g : Y X dos funciones cualesquiera. Si g f es la funcin identidad X X, es decir, si (g f ) (x) = x para toda x X, entonces f es inyectiva y g suprayectiva. Demostracin. Mostremos que f es inyectiva: Sean x1 y x2 elementos de X tales que f(x1) = f(x2). Se tiene entonces que g(f(x1)) = g(f(x2)); pero g(f(x)) = x para toda x X, por lo tanto x1 = x2. esto prueba que f es inyectiva. Mostremos que g es suprayectiva: Elijamos un punto arbitrario x del contradominio X de g. Sea y = f(x), se tiene entonces g(y) = g(f(x)) = ( g f) (x) = x

Esto prueba que g es suprayectiva. 1.5 Propiedades bsicas. Finalizamos este captulo con algunas propiedades sobre

imgenes, unin e interseccin de conjuntos- Proposicin 4. Sea f : X Y una funcin arbitraria y A, B subconjuntos de X se tiene entonces:

1) Si A B entonces f(A) f(B) 2) f(AB) = f(A) f (B) 3) f(AB) f(A)f(B) 4) f(A-B) f(A) 5) f(A-B) f(A)-f(B) Demostracin. El inciso (1) es obvio. Prueba de (2): Sea y f(AB); existe x AB tal que y = f(x). Si x A, entonces y = f(x) f(A), luego y f(A)f(B). Si x B, entonces y = f(x) f(B), luego, tambin obtenemos que y f(A)f(B). En cualquiera de los casos hemos obtenido que y f(A)f(B), esto prueba la contencin f(AB) f(A)f(B). La contencin f(A)f(B)f(AB) se sigue de la parte (1) y de los hechos A AB y B AB. Prueba de (3): Esta contencin se sigue de (1) y de las contenciones AB A y AB B, pues f(AB)f(A) y f(AB)f(B). El inciso (4) se sigue inmediatamente de la parte(1) Prueba de (5): Sea y f(A)-f(B); tenemos entonces y f(A) y y f(B). Existe x A tal que y = f(x), esta x no puede estar en B, pues si se tuviese x B, querra decir y f(B), as que x A-B, esto significa que y = f(x) f(A-B). Esto prueba la proposicin 4.

Es fcil probar que en el inciso (3) no se cumple en general la igualdad. Por ejemplo, considrese la funcin f dada por f(x) = x2 y los conjuntos A = (-1,0), B=( 0,1), la interseccin de ellos es el conjunto vaco por lo que f(AB) = , pero f(A)f(B) = (0,1). El mismo ejemplo sirve para mostrar que en general no hay igualdad en el inciso (5).

Las imgenes inversas son mejor comportadas, como se muestra en la siguiente proposicin.

Proposicin 5. Sea f : XY una funcin arbitraria y F, G subconjuntos de Y. Se tiene entonces:

1) Si FG entonces f-1(F) f-1(G) 2) f-1(FG) = f-1(F) f-1(G) 3) f-1(FG) = f-1(F) f-1 (G) 4) f-1(F-G) = f-1(F) - f-1(G) Demostracin. Prueba de (1): Sea x f-1(F); se tiene entonces f(x) F. Como FG, f(x)G; pero esto significa a su vez que x f-1(G).

Prueba de (2): Sea x f-1(FG); se tiene entonces f(x) FG. Hay dos posibilidades, f(x) F f(x) G. Si f(x) F, entonces x f-1(F), luego x f-1(F) f-1(G). Si f(x) G, entonces x f-1(G), luego x f-1(F) f-1(G). En cualquiera de los dos casos se tiene x f-1(F) f-1(G), hemos probado que f-1(FG) f-1(F) f-1(G). La prueba de la otra contencin se sigue de la parte (1) y de los hechos F FG, G FG.

Prueba de (3): Sea x f-1(F) f-1(G); se tiene entonces, x f-1(F) y x f-1(G), es decir, f(x) F y f(x) G, o sea f(x) FG. Pero esto significa que x f-1(FG). Hemos probado que f-1(F) f-1(G) f-1(FG). La otra contencin se sigue de la parte (1) y de los hechos FG F y FG G. Prueba de (4): Sea x f-1(F-G); se tiene entonces f(x) F-G, luego f(x) F y f(x)G, esto implica que x f-1(F) y x f-1(G), es decir x f-1(F) - f-1(G). Esto prueba la contencin f-1(F-G ) f-1(F) - f-1(G). Sea ahora x f-1(F) - f-1(G); se tiene entonces x f-1(F) y x f-1(G), es decir f(x) F-G. Pero esto significa que x f-1(F-G). Esto prueba la contencin f-1(F) - f-1(G) f-1(F-G) y por lo tanto el inciso (4).

La prueba de la siguiente proposicin es muy fcil y se deja como ejercicio para el lector.

Proposicin 6. Sea f : X Y una funcin arbitraria y A, F subconjuntos de X y Y respectivamente. Se tiene entonces

1) f(f-1(F)) = F f(X) 2) f-1(f(A)) A

Problemas y ejercicios. 1. Pruebe la proposicin 6. 2. En cada uno de los siguientes incisos, determine el dominio de las

funciones que se indican. a) f(x) = 1 .

1 x

x - 2 . x 1

b) g(x) = 1 . 1 - x-2 . x+1 - 1 . x+1

d) F(x) = log ( (1/x2+1)-1) e) G(x) = log ( (1/x2+0.9)-1) f) h(x) = (x-1/2-x) g) H(x) = (1/ (x-1)(2-x))

3) Pruebe que en general no se cumple la igualdad f-1(f(A)) = A 4) Pruebe que la funcin f dada por f(x) = x3 es biyectiva 5) Pruebe que la funcin f: R (-1,1), dada por f(x) = x / (1 + x ) es biyectiva. 6) Pruebe que la funcin f dada por f(x) = 200x3 90x2 + 12x + 1 no es inyectiva.

Leccin 2. El Espacio Vectorial Rn 2.1 el conjunto Rn. Las funciones que estudiamos en nuestros cursos de Clculo I y II, son de las que se llaman de una variable, por ejemplo f(x) = log x g(x) = 1 / (x3 + 1) son funciones que dependen de x, que se denomina variable independiente y a la cual podemos asignarle valores numricos que elegimos de un subconjunto de los nmeros reales, al que hemos llamado dominio de la funcin. Para la funcin f el dominio est constituido por todos los reales positivos, mientras que el dominio de g est formado por todos los reales con excepcin de x=-1. Dado que las funciones que estudibamos tenan como dominio un subconjunto de los nmeros reales R, en nuestro curso de Clculo I hicimos un estudio previo de este conjunto, antes de iniciar propiamente el tratado sobre funciones. Ahora nuestro inters estar enfocado hacia las funciones de ms de una variable, por ejemplo de dos variables. Una funcin de este tipo se dice que es de varias variables y suelen definirse mediante frmulas. Por ejemplo f(x,y) = xy g(x,y) = log (x2 y2) h(x,y) = z/ (x+y-1) son funciones de varias variables. Para hablar del dominio de una funcin de varias variables, necesitaremos de un nuevo ente matemtico en donde lo ubicaremos. Este nuevo ente es el conjunto Rn, que a continuacin definimos. 1.6 Definicin 1. Para cada natural n, Rn es el conjunto de las n-adas ordenadas (x1, x2, . .

., xn), de nmeros reales: Rn = {( x1, x2, . . ., xn) | x1, x2, . . ., xn R}

Cada elemento de la n-ada (x1, x2, . . ., xn) lo denominaremos una ENTRADA. Los elementos de Rn los denotaremos por la correspondiente letra minscula pero sin ndice, por ejemplo x = (x1, x2, . . ., xn), a = (a1, a2, . . ., an). Tambin haremos la identificacin obvia de R1 como R misma. En trminos estrictos R1 no es otra cosa que el conjunto {(x)| x R}, pero en este caso sera necio usar los parntesis que encierran la x. La definicin resulta interesante para casos n = 2, 3, . . . ., sin embargo tambin incluiremos el caso n = 1, lo cual significa que en nuestro estudio estaremos considerando el caso de las funciones de una sola variable.

En realidad en nuestro primer curso de clculo, nuestro estudio sobre R no se limit a considerarlo como mero conjunto, sino que estudiamos sus propiedades relacionadas con las operaciones algebraicas (propiedades de campo) y las relacionadas con la convergencia que involucraban al supremo e nfimo (propiedades de continuidad). Ahora haremos lo correspondiente para Rn. 2.2 E Espacio vectorial Rn. El estudio de la estructura algebraica de R, se refiere a las propiedades de las operaciones +, -, * y entre los nmeros reales. Estas operaciones no requirieron definicin dado que se supona un conocimiento de ellas, el cual obtuvimos desde nuestros cursos elementales de aritmtica. Sin embargo, ahora los elementos de Rn son nuevos entes: n-adas ordenadas.

(x1, x2, . . ., xn) En este caso tenemos un conjunto puro, carente de operaciones, por lo que ser necesario definirlas para darle esa estructura algebraica que necesitamos. Esto lo haremos a continuacin. Definicin 2. Sean x = (x1, x2, . . ., xn), y y = (y1, y2, . . ., yn) elementos cualesquiera de Rn. Definimos x+y como el elemento de Rn dado por x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . ., xn + yn) Este elemento lo denominaremos la SUMA de x y y, por otra parte, si es un real cualquiera, definimos x como el elemento de Rn dado por x = (x1, x2, . . ., xn), el cual se obtiene multiplicando cada entrada de x por . Para el caso particular = -1, ( x1, x2, . . ., xn) lo escribiremos simplemente como ( x1, x2, . . ., xn). Nota. Obsrvese que no hemos definido el producto de dos elementos de Rn, es decir, la multiplicacin de dos n-adas. Ejemplo 1. En Rn tenemos

i) (1,-1,0) + (2,1,2) = (3,0,2) ii) 2(1.5,-3, 4/5) = 3, -6, 8/5) iii) (-1) (6, 0, -4) = -(6, 0, -4) = (-6,0,4)

Las propiedades bsicas de estas operaciones las resumimos en la siguiente proposicin, de las cuales demostraremos solamente algunas de ellas, la prueba de las restantes se deja como ejercicio para el lector. Cabe aclarar, sin embargo, que algunas de estas propiedades son demasiado evidentes, por lo que seguramente usted se podr preguntar por qu se insiste en incluirlas. La razn de organizarlas y presentarlas en bloque, obedece al hecho de que en el futuro cualquier propiedad algebraica en relacin a estas operaciones podr ser deducida de las que aparecen en la proposicin por lo que no ser necesario recordar cmo fueron definidas las operaciones. Este es el verdadero espritu del estudio de toda estructura axiomtica. Observe por ejemplo, que el hecho evidente 0x=0 no aparece en la lista. Si bien

es cierto que es un hecho que se deduce inmediatamente de la definicin de la multiplicacin por escalares, el que no est incluida en la lista significa que podemos de la proposicin, an cuando ignorramos cmo est definida la multiplicacin por escalares. Proposicin 1. Sean (x1, x2, . . ., xn), (y1, y2, . . ., yn) y (z1, z2, . . ., zn) elementos cualesquiera de Rn y sea = (0, 0, . . . ., 0) el elemento Rn cuyas entradas son todas cero. Entonces se tiene:

1. x + (y+z) = (x+y) + z 2. x + = + x = x 3. x + (-x) = (-x) + x = 4. x + y = y + x 5. 1x = 1 6. ()x = (x) para cualesquiera , R 7. (x+y) = x + y para cualquier R 8. (+)x = x + x para cualquier , R

Demostracin. Prueba de (1): x + ( y + z) = (x1, x2, . . ., xn) + ((y1, y2, . . ., yn) + (z1, z2, . . ., zn)) = (x1, x2, . . ., xn) + (y1 + z1, y2 + z2, . . ., yn + zn) = (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2), . . ., xn + (yn +zn)) = ((x1 + y1)+ z1, (x2 + y2)+ z2, . . ., (xn + yn ) +zn) = (x + y) +z Prueba de (3). x + (-x) = (x1, x2, . . ., xn) + (-1) (x1, x2, . . ., xn) = (x1, x2, . . ., xn) + (-x1, -x2, . . ., -xn) = (x1 - x1, x2 - x2, . . ., xn - xn) = (0, 0, . . . ., 0) = . Las propiedades que aparecen en la proposicin anterior corresponden a lo que se llama un ESPACIO VECTORIAL, por lo que nos referiremos a Rn de esa manera.

Problemas y ejercicios.

1. Pruebe las propiedades no demostradas en la proposicin 1.

2.3 Espacios Vectoriales Abstractos. Para comprender mejor lo que se pretende con la proposicin 1 de la seccin anterior, revisaremos el concepto de Espacio Vectorial Abstracto.

Definicin 3. Un ESPACIO VECTORIAL es cualquier conjunto V acompaado de dos operaciones:

i) SUMA VECTORIAL: Para cualquier x, y V hay definido un elemento x+y V. ii) MULTIPLICACIN POR ESCALARES: Para cualesquiera x V y R, hay definido un elemento x V.

Estas operaciones deben satisfacer las siguientes propiedades:

1. x + (y+z) = (x+y) + z para cualesquiera elementos x, y, z de V 2. Existe un elemento en V tal que x+ = + x = x para todo elemento de x V. 3. Para cada elemento x de V existe un elemento x de V tal que x + w = w + x = 4. x + y = y + x para cualesquiera elementos x, y V 5. 1x = x para toda x V 6. () x = (x) para toda x V y cualesquiera , R 7. ( x+y) = x + y para cualesquiera x, y V y para toda R 8. ( + )x = x + x para cualesquiera , R y toda x V.

La teora sobre espacios vectoriales consiste en obtener la mxima informacin sobre el espacio a partir de las 8 operaciones listadas, sin tener que particularizar el conjunto V y obviamente son necesidad de explicitar las definiciones de la suma vectorial y de la multiplicacin por escalares ( lo cual es imposible hacerlo si no se tiene un conjunto V especfico), estas propiedades se denominan AXIOMAS DE ESPACIO VECTORIAL. Los elementos del conjunto V pueden ser de cualquier naturaleza, el caso en el que estamos interesados, V es Rn, cuyos elementos son n-adas ordenadas de nmeros reales, pero los elementos de un espacio vectorial V pueden ser, por ejemplo, funciones, polinomios, sucesiones, etc, etc. En cualquiera de los casos, para referirnos a los elementos de un espacio vectorial V usaremos el trmino genrico VECTOR, independientemente de su naturaleza, entonces valdr decir que un polinomio es un vector cuando se considere como elemento de un espacio vectorial. Definicin 4. Si V es cualquier espacio vectorial, a cada uno de sus elementos lo denominaremos VECTOR y lo denotaremos por cualquier letra con una flecha sobrepuesta, por ejemplo x, a, r.

Se sigue de la proposicin 1, que en Rn con las operaciones dadas en la definicin2 es un espacio vectorial. Sus elementos (x1, x2, . . ., xn) sern denotados por x y se les denomina vectores.

Problemas y Ejercicios.

1. Pruebe que en todo espacio vectorial V 0x = 0 para todo vector x V. 2. Sea V el conjunto de todos los polinomios, es decir, polinomios de todos los grados

posibles, con coeficientes reales. Considere la suma vectorial y la multiplicacin por escalares definidas como la suma usual entre polinomios y la multiplicacin usual de un polinomio por un real. Estas operaciones las recordamos a continuacin:

i) Sean p(x) = an xn + . . . . . . + a1 x + a0 y q(x) = bm xm + . . . . . . + b1 x + b0 dos polinomios de grados n y m respectivamente. Si los polinomios son de grado diferentes, completamente a uno de ellos con trminos en cero para poder escribir ambos como p(x) = ak xk + . . . . . . + a1 x + a0

q(x) = bk xk + . . . . . . + b1 x + b0 donde k = max{m, n}. Entonces se tiene por definicin (p+q)(x) = (ak + bk)xk + . . . . . + (a1 + b1)x + (a0 + b0)

ii) Si p(x) = an xn + . . . . . . + a1 x + a0 es un polinomio y es un real, ambos cualesquiera, entonces (p)(x) = (an)xn + . . . . . . + (a1)x + (a0) Pruebe que V acompaado de estas operaciones es un espacio vectorial.

3. Sea V el conjunto de todas las funciones continuas f: [0, 1] R. Para f, g V y R definimos f+g y f como sigue:

(f+g)(x) = f(x) + g(x) (f)(x) = f(x) Estas son las operaciones usuales entre funciones. Pruebe que V es un espacio vectorial. 4. Sea V el conjunto de reales positivos R+. Definamos en V la operacin suma +

como: a + b = ab Si a es un elmento de V, es decir un real positivo y es cualquier otro real, es decir R, definimos el producto a como a = a Pruebe que R+ acompaado de estas dos operaciones es un espacio vectorial. Cul es el elemento neutro V? Cul es el negativo de un elemento a V? 5. Sea V el conjunto de todas las sucesiones reales x = (x1, x2, x3, . . . . . ) Consideremos la suma usual entre sucesiones y la multiplicacin de una sucesin por un real como las operaciones suma vectorial y multiplicacin por escalares respectivamente, es decir, si x = (x1, x2, x3, . . . . . ) y y = (y1, y2, y3, . . . . . ) son dos elementos de V y es un real cualquiera, entonces x+y y x estn definidas como x+y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, . . . . . ) x = (x1, x2, x3, . . . . . ) Pruebe que V, junto con estas dos operaciones es un espacio vectorial. 6. Considere el conjunto W constituido por las sucesiones de reales x = (x1, x2, x3, . . . . . ) convergentes a cero, es decir lim xn = 0 n

y considere las operaciones definidas de la misma manera que en el ejercicio 3. Pruebe que W es un espacio vectorial. 7. Cuadros mgicos. Una matriz de 3x3

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

se dice que es un CUADRADO MGICO, si la suma de los elementos de cualquier rengln, columna o diagonal es una constante. Los siguientes son ejemplo de cuadrados mgicos.

1 1 1 0 1 1 -1 1 0 4 3 8 1 1 1 -1 0 0 1 0 1 9 5 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 7 6

Consideremos la suma entre cuadrados mgicos y la multiplicacin de un cuadrado mgico como las operaciones para matrices (de hecho un cuadrado mgico es una matriz). Pruebe que el conjunto de cuadrados mgicos junto con estas operaciones constituye un espacio vectorial. Escriba el cuadrado mgico

4 3 8 9 5 1 2 7 6 en la forma

1 1 1 0 1 1 -1 1 0 1 1 1 + -1 0 0 + 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1

2.4 Interpretacin geomtrica en R2 y R3. Las definiciones que hemos establecido para la suma vectorial y multiplicacin por escalares en Rn han sido puramente algebraicas, carente de significado fsico o geomtrico para el caso general, sin embargo para el caso general, sin embargo para los caso particulares de R2 y R3 es posible hacer tal interpretacin. Veamos primero el caso n = 2: R2 = {(x, y)| x, y R} Si consideramos el plano fsico P con un sistema de ejes cartesianos x, y de referencia Y

(x, y)

X

Figura 1. podemos asociar a cada punto del plano una pareja ordenada de reales (x, y), como siempre lo hemos hecho desde nuestros curso de geometra analtica elemental. Recprocamente, a cada pareja de reales (x, y) podemos asociarle un punto del plano fsico. De este modo, tenemos una identificacin entre los puntos del plano P y los elementos de R2, que son parejas ordenadas de reales (x, y). En este sentido R2 es una representacin algebraica del

plano P, vale decir que un punto P del plano P tiene coordenadas (x, y) (respecto al sistema de referencia elegido). Veamos ahora cmo se traducen las operaciones algebraicas de R2 en el plano P; para ello ser til introducir un elemento geomtrico, que es el de SEGMENTO DIRIGIDO (tambin denominado VECTOR). Sea P un punto P de coordenadas (x, y), consideremos el segmento de recta dirigido significa que sus extremos O y P se diferencian uno del otro; a uno lo denominamos extremo inicial y al otro final, digamos que el segmento va de un extremo a otro, geomtricamente los distinguimos colocando en el extremo final de una punto de flecha, como se muestra en la figura 2.

Y

P

X

Denotaremos a este segmento de recta dirigido por OP o simplemente por P. Si P tiene coordenadas (x, y), valdr escribir P(x, y) o bien P = (x, y) Sean P1=(x1, y1) y P2=(x2, y2). En las siguientes figuras podemos observar las relaciones geomtricas entre los segmentos dirigidos correspondientes a los vectores (x1, y1), (x2, y2) y (x1 + x2, y1 + y2) en R2.

(x1 + x2, y1 + y2)

y2 (x2, y2)

(x1, y1)

y1

x1 x2

Figura 3.

El segmento dirigido P asociado a la pareja (x1 + x2, y1 + y2) se puede construir trasladando paralelamente el segmento P2 a una posicin en donde su origen coincida con el extremo final de P1. Esta configuracin de los segmentos determina un nuevo punto del plano y por lo tanto un segmento dirigido P que corresponde precisamente a la suma (x1 + y1, x2 + y2).

(x1 + y1, x2 + y2)

(x2, y2) P P2

(x1, y1) P1

La construccin anterior se denomina la REGLA DEL PARALELOGRAMO, pues el vector P resulta ser una de la diagonales del paralelogramo cuyos dos de sus lados son los segmentos P1 y P2.

(x1 + y1, x2 + y2)

(x2, y2) P P2

(x1, y1) P1 X Interpretemos ahora la Multiplicacin por Escalares. Sea (x, y) R2 y P el

segmento dirigido asociado como se muestra en la siguiente figura. Consideremos tambin 2(x, y) = (2x, 2y) y su segmento dirigido asociado.

2y (2x, 2y)

y

x 2x

figura 6.

Observemos que el segmento dirigido asociado a (2x, 2y), el cual denotamos por Q, tiene una magnitud que es igual al doble de la del segmento P (esto se deduce de uno de los criterios de semejanza para tringulos de la geometra elemental euclidiana).

As pues, el segmento dirigido asociado a 2(x, y) = (2x, 2y) tiene la misma direccin y sentido del segmento asociado a (x, y), pero el doble de magnitud. Es fcil intuir que un resultado anlogo ocurre para el segmento asociado a 3(x, y) = (3x, 3y), slo que en este caso la magnitud queda multiplicada por 3. En general, el segmento asociado a (x, y) = (x, y) para > 0, es otro segmento con la misma direccin y sentido, pero cuya longitud es veces la longitud del segmento asociado a (x, y). Si =0, no se genera ningn nuevo segmento, pues en este caso se tiene 0(x, y) = (0, 0) el cual no tiene asociado ningn segmento dirigido.

Si = -1, tenemos entonces (-1)(x, y) = (-x, -y)

Y

y (x, y)

X x

Y

X

(-x , -y)

Figura 7.

De la figura anterior podemos observar que el segmento asociado a la pareja ordenada (x, y) = (-x, -y) tiene la direccin pero de sentido opuesto al del segmento asociado a (x, y), la magnitud es la misma. Si es un real negativo cualquiera, es fcil intuir que (x, y) = (x, y) determina un segmento con la misma direccin, sentido opuesto y cuya magnitud es veces la magnitud del segmento asociado a (x, y). Con esto terminamos la discusin en R2. Para R3 la situacin es completamente anloga. En este caso consideramos el espacio fsico tridimensional , en donde tenemos establecido un sistema de referencia de tres ejes cartesianos. Z

Y X

Figura 8.

Cualquier punto del espacio lo identificamos ahora con una terna ordenada de reales (x, y, z) y viceversa. En este caso los segmentos dirigidos se encuentran en el espacio.

Z

z

(x, y, z)

y Y

x (x, y, 0)

X

Figura 9.

En el plano, un sistema de ejes cartesianos lo divide en CUADRANTES, mientras que en el espacio el sistema de tres ejes lo divide en OCTANTES que son 8 regiones que podramos denominar, por ejemplo, octante anterior superior derecho. Otro sera octante posterior superior izquierdo, etc. En el espacio se tiene la correspondiente LEY DEL PARALELOGRAMO, slo que en este caso se construye un paralelogramo con segmentos en el espacio tridimensional. Por su parte la multiplicacin por escalares tiene su interpretacin completamente similar a la ya vista en el plano.

Problemas y Ejercicios.

1. Liste los nombres de cada uno de los octantes que determina un sistema de tres ejes cartesianos en el espacio tridimensional.

2. Dibuje un sistema de tres ejes cartesianos tomando como unidad 0.5cm. en cada uno de los tres ejes. Trace los vectores (segmentos dirigidos) que se indican a continuacin. Para los tres primeros incisos utilice un sistema de referencia y para los dos restantes haga un dibujo por separado.

a) (3, 2, 1) b) (1, 2, 3) c) (3, 2, 1) + 2(1, 3, 2) d) (-1, 2, 4) e) (-1, 2, 4)

3. Qu restricciones deben hacerse sobre x, y y z para que la terna (x, y, z) se encuentre:

a) sobre el eje x b) sobre el eje y c) sobre el eje z d) sobre el plano xy e) sobre el plano xz f) sobre el plano yz g) sobre el octante posterior-superior-izquierdo h) sobre el octante posterior-inferior-derecho i) sobre el octante anterior-inferior-izquierdo

4. Dibuje los vectores u = (1, 2, 3), v = (2, 1, 3), w = (3, 2, 1), as como el vector u-w.

5. En cada uno de los siguientes casos calcule x, y y z, segn se indique a) (-1, 4, 5) + (2, -4, 3) = (x, y, z) b) (7, y, -9 + z) + (x, -4, 3) = (2, 1, x) c) (a, 4b, d-5) + (x, z-4, x+y) = (0, y, c)

2.5 Rectas en el plano y ene. Espacio. Respecto a un sistema de ejes cartesianos x, y, una recta en el plano represente algebraicamente por una expresin de la forma ax + by = c

la cual es conocida como ECUACIN CARTESIANA de la recta. Esta ecuacin establece una relacin entre las coordenadas de los puntos (x, y) que se encuentran sobre la recta

Y

ax + by = c

X

Figura 10

Otra representacin algebraica de la recta se obtiene mediante su ecuacin paramtrica, la cual obtendremos a continuacin.

En la seccin 4 interpretamos geomtricamente la suma a + b de dos vectores a y b de R2. este es un caso particular de las sumas de la forma a+tb donde t es un nmero real.

tb l

tb

a

a

b b

Haciendo variar t sobre todos los nmeros reales, se obtienen puntos a + tb sobre un recta l. La expresin L(t) = a + bt Se denomina la ECUACIN PARAMETRICA de la recta l. Esta recta pasa por el punto a y observe que es paralela al vector b (el punto a se obtiene de t=0). Explicitando los vectores a =(a1, a2) y b =(b1, b2) obtenemos

L(t) = (a1, a2) + t(b1, b2) o sea

L(t) = (a1+tb1, a2+tb2)

Esta expresin indica cmo son las coordenadas de los puntos sobre la recta. Tambin se vale escribir

x = a1+tb1 y = a2+tb2

y son referidas como las ECUACIONES PARAMETRICAS de la recta l. Conviene son embargo manejar estas ecuaciones en una sola relacin breve L(t) =a + tb, ambas maneras son formas algebraicas equivalentes de representar a la recta.

Haciendo t = 0 se obtiene el punto a; con t = 1 se obtiene el punto a + b l Y t

t=1 t=0

a+tb a

b X

Figura 12

Podemos imaginar la situacin como si trasladramos los nmeros de la recta l, donde el cero se ubica en a y el 1 en a+b. En general el real t se ubica en el punto a+tb, dnde se ubican los reales negativos?.

Ejemplo 2. la ecuacin paramtrica que pasa por el punto a= (-1,2) y que es paralela al vector b=(1, 1) es L(t) = (-1, 2) + t(1, 1), o sea L(t) = (-1+t, 2+t) Y

a+tb

a b X

Figura 13

Tambin podemos describir la recta como x = -1+t y = 2 +t

Para obtener la ecuacin paramtrica de una recta, de la cual sabemos que pasa por dos puntos dados p = (p1, p2) y q = (q1, q2), conviene tener una interpretacin geomtrica de la diferencia de dos vectores.

Sean a y b dos vectores en R2. El vector x que satisface la ecuacin a + x = b

es el vector diferencia b a. Para determinarlo geomtricamente, observemos que x debe ser un vector tal, que cuando se traslade paralelamente, segn la Regla del Paralelogramo, debe darnos b.

Y

a

b x

X

Figura 14

Esto significa que el vector x es paralelo al segmento dirigido que va del extremo final de a al extremo final de b, de este modo obtenemos geomtricamente el vector diferencia.

Y

b-a

a b

X

En la figura anterior hemos identificado el segmento mismo que une los extremos finales de ay b con el vector diferencia b-a. En trminos estrictos el vector b-a se obtiene trasladando al origen dicho segmento. Y

b a

b-a X

Figura 16

Supngase ahora que se desea la ecuacin paramtrica de la recta que pasa por dos puntos dados p y q. Esta recta tiene la direccin del vector q-p

Y

q-p

q

p X

Figura 17

As que se trata de la recta que pasa por el punto p y es paralela al vector q-p, por lo tanto su ecuacin estar dada por

L(t) = p + t(q-p)

Para verificar que se trata de la ecuacin deseada, basta observar que con t=0 se obtiene el punto p L(0) = p + 0(q-p) = p y haciendo t=1 se obtiene el punto q

L(1) = p + 1(q-p) = q

De las ecuaciones paramtricas de una recta

x = a1 + tb1 y = a2 + tb2 podemos obtener su ecuacin cartesiana despejando t de una de las relaciones y sustituyndola en la otra. Por ejemplo, si b1 0 t = (x a1)/b1 por lo tanto y = a2 + b2[(x a1)/b1] o sea y = (b2/b1) (x-a1) + a2 Para el caso de las rectas en el espacio tridimensional, el tratamiento es completamente similar: Si a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) son dos vectores en R3. La ECUACIN PARAMETRICA de la recta que pasa por el punto a y es paralela al vector b est dada por L(t) = a + tb, t R o sea L(t) = (a1 + tb1, a2 + tb2, a3 + tb3) Esta ecuacin tambin se puede escribir en la forma x = a1 + tb1 y = a2 + tb2 z = a3 + tb3 que se denominan ECUACIONES PARAMETRICAS de la recta. A la variable t se le llama PARAMETRO y toma valores sobre todos los nmeros reales. Z

p q

Y X

La ecuacin de la recta en el espacio tridimensional que pasa por dos puntos dados p = (p1, p2, p3) y q = (q1, q2, q3) esta dada por L(t) = p + t (q-p) que tambin escribimos L(t) = tq + (1-t)p

Ejemplo 3. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos p = (1, 3, 2) y q = ( 2, 5, 1) est dada por L(t) = (1, 3, 2) + t [(2, 5, 1) (1, 3, 2)] = (1, 3, 2) + (1, 2, -1) o sea L(t) = (1 + t, 3 + 2t, 2 t) Tambin podemos escribir esta ecuacin como x = 1 + t y = 3 + 2t z = 2 t

Como caso especial tenemos las rectas que pasan por el origen del sistema de ejes. Los puntos sobre estas rectas no son otra cosa que los mltiplos de un vector, as que su ecuacin es de la forma L(t) = tb = (tb1, tb2, tb3).

Para finalizar esta seccin mencionaremos que algunos libros de texto tambin se refieren a la ecuacin cartesiana de una recta en el espacio tridimensional. Esta se obtiene de despejar el parmetro t de las ecuaciones paramtricas. x = a1 + tb1 y = a2 + tb2 z = a3 + tb3

t = (x a1)/b1 t = (y a2)/b2 t = (z a3)/b3

y construyendo la cadena de igualdades (x a1)/b1 = (y a2)/b2 = (z a3)/b3 denominando a esta expresin como la ecuacin cartesiana. Esto es poco popular debido seguramente a los dos signos de igualdad. Nosotros no las utilizaremos. 2.6 Planos en el espacio. Con el mismo tipo de ideas de la seccin anterior podemos describir los planos en el espacio tridimensional. Considrese primero un par de vectores a y b en el espacio.

Z

a

b Y Figura 19

Estos vectores generan un plano, definido por las rectas que se obtienen al prolongarlos. Los mltiplos sa del vector a generan una recta la mientras que los mltiplos tb del vector b generan otra recta lb, ambas rectas pasan por el origen. La suma de los mltiplos sa + tb es un vector que se encuentra precisamente en el plano P definido por las dos rectas la y lb. Este plano contiene al origen y se dice que es GENERADO por los vectores a y b y su ECUACIN PARAMETRICA est dada por

Z

a b

Y

X

Figura 20

Ahora obtendremos la ecuacin de un plano en general, que puede o no pasar por el origen. Dado que un plano que no contiene al origen O, lo podemos obtener trasladando paralelamente otro que pase por este punto O, concluimos que la ECUACION PARAMETRICA del PLANO PARALELO A LOS VECTORES a y b y que pasa por el punto p est dado por

P(s, t) = p + sa + tb s, t R Z

a

b p

Y X

Figura 21

Explicitando las coordenadas de los vectores p, a y b obtenemos que la ecuacin del plano es

P(s, t) = (p1 + sa1 + b1, p2 + sa2 + b2, p3 + sa3 + b3) donde p = (p1, p2, p3), a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) y s, t son parmetros que

toman valores en todo R. Tambin se vale decir que el plano tiene las ECUACIONES PARAMETRICAS x = p1 + sa1 + b1 y = p2 + sa2 + b2 z = p3 + sa3 + b3

Tomando dos de estas ecuaciones, resolvindolas para s y t y sustituyendo los valores obtenidos en la tercera restante, obtenemos la ECUACION CARTESIANA del plano, la cual tendr la forma

ax + by + cz = d

por ejemplo, si de las dos primeras ecuaciones despejamos s y t en trminos de las variables x, y y sustituimos los valores obtenidos en la ltima de las ecuaciones, obtenemos una relacin de la forma

z = Ax + By + C

Ejemplo 4. La ecuacin paramtrica del plano que pasa por el punto p = (3, 1, 2) y es paralelo a los vectores a = (-1, 1, 0) y b = (1, 2, -1), esta dado por:

P(s, t) = p + sa + tb = (3, 1, 2) + s (-1, 1, 0) + t(1, 2, -1)

que tambin podemos escribir como

x = 3 s + t y = 1 + s + 2t z = 2 t

La ecuacin cartesiana despegando s y t de la primera y tercera ecuaciones: t = 2 z s = 3 + 2 z x = 5 z x y sustituyendo sus valores en la segunda ecuacin, para obtener finalmente y= 1 + 5 z x + 2(2-z) o sea x + y + 3z = 10

Si tenemos dados tres puntos de un plano u, v y w, para obtener su ecuacin basta establecer

p = u a = v u b = w u

y considerarlo como el plano que pasa por p y es paralelo a los vectores a y b.

Para finalizar esta leccin veamos lo que se adopta como una representacin estndar de los vectores en R3. si v = (x, y, z) es un vector cualquiera de R3, entonces es claro que podemos escribir

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1).

El conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) recibe el nombre de BASE CANONICA de R3 y cada uno de ellos se denota de manera especial:

i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)

con esta notacin podemos escribir

v = xi + yj + zk

para todo vector v = (x, y, z) R3. A los vectores i, j y k se les llama BASE debido a la propiedad de que todo vector de R3 se puede representar en la forma anterior.

En general el conjunto de vectores en Rn 1 = (1, 0, . . . . . , 0) 2 = (0, 1, . . . . . , 0) .

.

.

n = (0, 0, . . . . . , 1)

donde cada una de las entradas i son cero, excepto la i-sima que vale 1, se denomina la BASE CANONICA DE Rn.

Si x = (x1, x2, . . . . . ., xn) = x1(1, 0, . . . . . , 0) + x2(0, 1, . . . . . , 0) + . . . . . + xn(0, 0, . . . . . , 1) es decir x = x1 1 + x2 2 + . . . . . + xnn Por ejemplo el vector x = (2, -4, 5, 1, 0) en R5se escribe como x = 2 1 - 4 2 + 5 3 + 4

Problemas y Ejercicios.

1. En cada uno de los siguientes casos halle la ecuacin paramrica de la recta generada por el vector indicado y trace la recta en el espacio tridimensional.

a) v = (1, 3, 5) b) v = (2, -1, 1) c) v = (-1, -1, 2) d) v = 4i +2j + k e) v = -i 2j 3k

2. En cada uno de los siguientes casos halle la ecuacin paramtrica del plano generado por los vectores indicados.

a) u = (3, 2, 0) y w = (2, 0, 3) b) u = (1, 0, 1) y w = (0, 1, 1) c) u = (4, 4, 0) y w = (0, 0, 1) d) v = j +k y w = -j + k e) v = i +j y w = j + k

3. Halle las ecuaciones cartesianas de los planos del ejercicio 2. 4. En cada uno de los siguientes casos determine la ecuacin paramtrica de

la recta que pasa por el punto a y en direccin del vector v indicados. a) a = (1, 1, 1), v = i j b) a = (0, 1, 1), v = j k c) a = (0, 1, 1), v = -i j - k

5. En cada uno de los siguientes casos halle la ecuacin paramtrica del plano que pasa por el punto a y que es paralelo al plano generado por los vectores v yw.

a) a = (1, 2, 0), v = -i + j y w = -i +k b) a = (1, 1, 1), v = -i + j y w = -i j k c) a = (0, 1, 1), v = i j y w = -j + k

6. Halle las ecuaciones cartesianas de los planos del problema 5. 7. Encuentre los puntos de interseccin con los planos coordenados de la

recta cuyas ecuaciones paramtricas son x (t) = 1 + 3t y (t) = 2 t z (t) = 4 + 5t

8. Encuentre los puntos de interseccin con los planos coordenados de la recta dada por L(t) = (2-t, 1+t, 3+2t)

9. Halle las ecuaciones de las rectas que son la interseccin con los planos coordenados del plano cuya representacin paramtrica es

P(s, t) = (2+t-s, 1-2t+3s, 2+3t+4s) 10. Halle las ecuaciones de las rectas que son la interseccin con los planos

coordenados del plano cuya ecuacin cartesiana es 5x + 3y z = 2 11. Halle la interseccin del plano cuya ecuacin cartesiana es

x 2y + 4z = 2 con la recta cuyas ecuaciones paramtricas son x = 1 t y = 2 + 5t z = 1 + 3t

12. Halle la interseccin del plano cuyas ecuaciones paramtricas son

x = 2 + t s y = 3 2t + 5s z = 1 + 4t 3s

con la recta cuya representacin paramtrica es L(t) = (t, 2 + 6t, 4 3t) 13. Halle las ecuaciones cartesianas y paramtricas del plano que contiene a

los puntos a = (3, -1, 4), b = (0, -2, 5) y c = (1, 5, 2).

Leccin 3

El espacio normado Rn

3.1. La Norma Euclidiana Rn. Uno de los conceptos ms importantes del Clculo y del Anlisis Matemtico es el de METRICA o DISTANCIA. Este concepto es lo que permite definir las diversas nociones de lmite o convergencia. Por ejemplo, lmite de una funcin en un puno, lmite de una sucesin de nmeros, lmite de una sucesin de funciones. En Rn la nocin de mtrica depende a su vez del concepto de NORMA DE UN VECTOR, por lo cual comenzaremos con ello.

La MAGNITUD o NORMA de un vector v = (x, y) en R2 es la longitud del segmento de recta que une los puntos O = (0, 0) y P = (x, y). Sabemos, por el teorema de Pitgoras de nuestro curso de geometra elemental euclidiana, que esta longitud est dada por x2 + y2 . Este nmero no negativo lo denominamos la NORMA del vector v = OP. En el espacio tridimensional tambin es fcil ver que la longitud del segmento que une los puntos O = (0, 0, 0) y P = (x, y, z) est dada por la expresin similar x2 + y2 + z2. Ahora extenderemos esta relacin al caso Rn, la cual adoptaremos como definicin de norma de un vector.

Definicin 1. Si x = (x1, x2, . . . . , xn) es un elemento de Rn, definimos la NORMA EUCLIDIANA de x como el real no negativo x12 + x22 + . . . . + xn2 que denotaremos por cualquiera de los smbolos x o N(x), es decir x = N(x) = x12 + x22 + . . . . + xn2

tenemos definida una funcin : Rn R que denominamos la NORMA EUCLIDIANA, la cual asigna a cada vector x en Rn un real x . En la proposicin de abajo establecemos las propiedades ms importantes de la norma euclidiana. Para su prueba necesitaremos de lo que se conoce como Desigualdad de Cauchy-Schwarz, la cual enunciamos y probamos a continuacin.

Lema 1. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sean x = (x1, x2, . . . . , xn) y y = (y1, y2, . . . . , yn) elementos de Rn, entonces

x1y1 + x2y2 + . . . . + xnyn x12 + x22 + . . . . + xn2 y12 + y22 + . . . . + yn2

la cual implicar la desigualdad deseada ya que

x1y1 + x2y2 + . . . . + xnyn x1 y1 + x2 y2 + . . . . + xn yn

Si alguno de los vectores x o y es 0, entonces la desigualdad se cumple trivialmente, pues en este caso ambos miembros valen cero. El casi interesante es cuando ambos vectores y y son diferentes de 0.

Supongamos entonces x 0 y y 0 y hagamos

= x12 + x22 + . . . . + xn2 y = y12 + y22 + . . . . + yn2 Usando y , la desigualdad a probar se escribe x1 y1 + x2 y2 + . . . . + xn yn

Como > 0 y > 0 esta desigualdad es equivalente a x1/ y1/ + x2/ y2/ + . . . . . + xn/ yn/ 1

probemos pues, la desigualdad escrita en la forma anterior (prcticamente en este momento estamos iniciando la demostracin). Dado que para cualesquiera reales a y b se cumple

ab (a2 + b2)/2

se tiene entonces

x1/ y1/ + x2/ y2/ + . . . . . + xn/ yn/ * (sigue abajo)

(x12/2 + y12/2) / 2 + (x22/2 + y22/2) / 2 + . . . . . + (xn2/2 + yn2/2) / 2 *

[(x12 + x22 + . . . . + xn2)/ 2]/2 + [(y12 + y22 + . . . . + yn2) /2]/2 = + = 1

Esto prueba el lema.

Veamos ahora las propiedades de la norma euclidiana

Proposicin 1. Para cualesquiera vectores x, y en Rn y toda R se cumple

1) x 0, 0 = 0 2) x = x 3) x + y x + y 4) x = 0 x = 0

Demostracin.

Prueba de (1):

La propiedad x 0, o sea x12 + x22 + . . . . + xn2 0 no es otra cosa que la definicin misma del smbolo de raz cuadrada que representa la raz positiva.

Prueba de (2):

Se tiene x = (x1) 2 +(x2) 2 + . . . . + (xn) 2 = 2 x12 + 2 x22 + . . . . + 2 xn2 = 2 (x12 + x22 + . . . . + xn2) = 2 (x12 + x22 + . . . . + xn2) = (x12 + x22 + . . . . + xn2) = x Esto prueba (2). Note que hemos usado 2 = , consecuencia nuevamente del hecho de que 2 debe de ser mayor o igual que cero.

Prueba de (3).

Se tiene

x + y = ( x1 + y1)2 + + (xn + yn)2

= x12 + 2x1y1 + y12 + +xn2 + 2xnyn + yn2

= ( x12 + + xn2 ) + 2( x1y1 + + xnyn ) + ( y12 + + yn2 ) = x 2 + 2( x1y1 + + xnyn ) + y 2 Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz x1y1 + + xnyn x y obtenemos x + y x 2 + x y + y 2 es decir x + y 2 ( x + y ) 2 de donde al extraer la raz cuadrada de ambos miembros obtenemos finalmente x + y x + y que es lo que desebamos probar.

Prueba de (4).

Si x = 0, se tiene entonces x12 + x22 + . . . . + xn2

es decir x1

2 + x2

2 + . . . . + xn

2 = 0

Pero siendo cada xi2 mayor o igual que cero, se debe tener que xi2 = 0 para i = 1, 2, . . . , n, o sea xi = 0 para i = 1, 2, . . . . . ., n. Esto significa que x = 0.

Con esto queda probada la proposicin 1.

Nota 1. Usando la idea anterior se puede probar la llamada desigualdad de Cauchy-Schwarz para integrales: si f y g son funciones continuas [a, b] R, entonces

ab f(x) g(x) dx ( ab f2(x) dx) ( ab g2(x) dx)

3.2. El concepto general de norma en Rn. Las propiedades de la norma euclidiana vistas en la proposicin 1 las adoptaremos para definir la nocin abstracta de norma:

definicin 2. Una NORMA en Rn es cualquier funcin : Rn R que satisface las siguientes propiedades que denominaremos AXIOMAS DE NORMA: para cualesquiera x, y Rn y para toda R, se cumple

i) x 0, 0 = 0 ii) x = x iii) x + y x + y iv) x = 0 x = 0

Si hacemos una revisin cuidadosa de la teora desarrollada a lo largo del texto, podemos darnos cuenta que no es necesario manejar la expresin explcita de la norma euclidiana x = x12 + x22 + . . . . + xn2. Bastara conocer solamente las propiedades que aparecen en la proposicin 1, que son las mismas que constituyen la definicin anterior. De esto deducimos que, durante el desarrollo de la teora, podemos prescindir de la definicin misma de la norma euclidiana, siendo suficiente suponer vlidas las tan citadas propiedades. As que para fines tericos es totalmente irrelevante cmo est definida la norma euclidiana. Dicho de otro modo, si hubisemos definido de otra manera la norma euclidiana, todo ira igual de bien, con tal de que se satisficiesen los llamados axiomas de norma.

Las propiedades importantes de la norma euclidiana se deducen de los axiomas (i) (iv), por lo tanto estas mismas propiedades se valdrn para normas en general. Por otra parte, todas las propiedades que valgan para normas en general valdrn para la norma euclidiana, dado que tales propiedades se deducirn de (i) (iv).

Proposicin 2. Para toda norma : Rn R se cumple 1) -x = x para todo vector x Rn 2) x - y x - y para cualesquiera vectores x, y Rn

Demostracin. El inciso (1) se sigue del axioma (ii), haciendo = -1

Probemos (2). Puesto que

x = x y+ y x - y + y, se tiene

x - y x - y,

Intercambiamos los papeles de x y y, obtenemos

y - x y - x ,

pero x - y = y - x , por lo tanto.

y - x x - y

Combinando las dos desigualdades, obtenemos finalmente

x - y x y

Nota 2. La condicin 0 = 0 que aparece en el axioma (i) para normas, se deduce del axioma (ii) haciendo simplemente = 0. esto significa que podemos omitir tal propiedad de (i), obteniendo de esta manera un conjunto de axiomas equivalentes: i') x 0 ii) x = x iii) x + y x + y iv) x = 0 x = 0

No obstante que podemos prescindir de la condicin 0 = 0, sin afectar el contenido de los axiomas en conjunto, preferimos incluirla dentro de los axiomas de norma, dado lo socorrido de ella. Un subconjunto de axiomas, donde una o varias propiedades se deducen de las restantes se dice que es REDUNDANTE. Un conjunto de axiomas redundante no provoca conflicto lgico alguno, slo suministra informacin no necesaria.

3.3. Otras normas en Rn. Para que tenga sentido, y sobre todo, resulte til, haber definido el concepto general de norma en Rn, debiramos disponer de otras normas adems de la euclidiana. En esta seccin veremos dos normas muy interesantes .

definamos 1: Rn R por

x 1 = x1 + x2 + . . . . . . + xn

para todo vector x = (x1, x2, . . . . ., xn) Rn

Proposicin 3. La funcin 1: Rn R es una norma en Rn.

Demostracin. Debemos verificar los axiomas (i), (ii), (iii) y (iv) para normas.

Verificacin de (i):

Dado que para todo real x, x 0, se tiene

x 1 = x1 + x2 + . . . . . . + xn 0 para todo x = (x1, x2, . . . . ., xn) Rn.

Verificacin de (ii):

Si es un real y x = (x1, x2, . . . . ., xn) Rn, entonces x = x1 + x2 + . . . . . + xn = x1 + x2 + . . . . . + xn = ( x1 + x2 + . . . . . + xn ) = x1

Verificacin de (iii):

Si x = (x1, x2, . . . . ., xn) y y = (y1, y2, . . . . ., yn) son elementos cualesquiera de Rn, tenemos

x + y = x1 + y1 + x2 + y2 + . . . . . . + xn + yn x1 + y1 + x2 + y2 + . . . . . . + xn + yn = ( x1 + x2 + . . . . . . + xn) + ( y1 + y2 + . . . . . + yn) = x 1 + y1

verificacin de (iv): Supngase x = (x1, x2, . . . . ., xn) Rn tal que

x 1 = x1 + x2 + . . . . . . . + xn = 0

Es claro entonces que xi = o para i = 1, 2, . . . ., n Esto significa que x = 0

Nos referiremos a 1 como a la NORMA 1. En R2 la norma 1 de un vector v del primer cuadrante es la suma de sus coordenadas.

Consideremos ahora la funcin : Rn R dada por

x = max { x1, x2, . . . . ., xn}

para todo vector x = (x1, x2, . . . . ., xn) Rn. La notacin x que puede parecernos un tanto extraa obedece a razones que ms adelante explicaremos.

Proposicin 4. La funcin es una norma en Rn, que se denomina NORMA DEL MAXIMO o NORMA CUBICA.

Demostracin. Verifiquemos los axiomas (i) (iv) para las normas.

Verificacin de (i):

Puesto que cada xi es mayor o igual que cero, obviamente se tiene

max { x1, x2, . . . . ., xn} 0

es decir x 0.

Verificacin de (ii):

Antes de proceder a verificar el segundo axioma, observemos que por definicin

max {a1, a2, . . . ., an}

es el mayor de los elementos a1, a2, . . . . ., an, por lo que necesariamente es uno de los elementos mismos. Supngase que ai0 es un elemento de valor mximo (puede haber varios), entonces diremos que max {a1, a2, . . . ., an} se realiza en ai0.

Sea ahora R y x Rn. Se tiene entonces

|| x || = max {|x1|, |x2|, . . . ., |xn|} = max {|| |x1|, || |x2|, . . . ., || |xn|} Mostremos que max {|| |x1|, || |x2|, . . . ., || |xn|} = || max {|x1|, |x2|, . . . ., |xn|}

Sea |xi0| = max {|x1|, |x2|, . . . ., |xn|}. Tenemos entonces

|xi0| |xi| para i = 1, 2, . . . . ., n.

Luego

|| |xi0| || |xi| para i = 1, 2, . . . . ., n. Por lo tanto

| xi0| | xi| para i = 1, 2, . . . . ., n.

Esto significa que

|||xi0| = |xi0| = max {|x1|, |x2|, . . . ., |xn|}

es decir

|| max { x1, x2, . . . . ., xn} = max {|| |x1|, || |x2|, . . . ., || |xn|}

Esto muestra que

|| || x || =||x||

Verificacin de (iii):

Se tiene || x+y|| = max {|x1 + y1| + |x2 + y2| + . . . . . . + |xn + yn|}

Como |xi0 + yi0| |xi0| + |yi0|

se tiene

max {|x1 + y1| + |x2 + y2| + . . . . . . + |xn + yn|} |xi0| + |yi0|

Pero, por definicin de max {|x1|, |x2|, . . . ., |xn|} y max {|y1|, |y2|, . . . ., |yn|} tambin se tiene

|xi0| max {|x1|, |x2|, . . . ., |xn|} |yi0| max {|y1|, |y2|, . . . ., |yn|}

luego

max {|x1 + y1| + |x2 + y2| + . . . . . . + |xn + yn|} max {|x1|, |x2|, . . . ., |xn|} + max {|y1|, |y2|, . . . ., |yn|}

o sea

||x + y|| ||x|| + || y||

que es lo que deseabamos probar.

La verificacin de (iv) es fcil y se deja como ejercicio para el lector. Con esto queda probada la proposicin 4.

3.4 Norma de Minkowski en Rn. En el ejercicio 2, se dan los lineamientos paso a paso, de la prueba de que en general la funcin || ||p : Rn R para p 1 (por ejemplo p = 1.5, p = 3, p = 5) dada por

||x||p = [|x1|p + . . . . . . + |xn|p]1/p es una norma en Rn. Las normas euclidiana y || ||1 resultan ser casos particulares de estas normas. La norma euclidiana se obtiene con p=2, razn por la cual usaremos el smbolo || ||2 para denotarla. En lo sucesivo reservaremos el smbolo (sin ndice) para representar cualquiera de las normas || ||1, || ||2 o || ||, es interesante observar que la teora desarrollada a lo largo del texto ser vlida si se provee Rn con cualquiera de estas normas, por lo que la mayora de los resultados los enunciaremos en trminos de la norma || ||, la podr significar cualquiera de las normas || ||1, || ||2 o || ||. De hecho, tambin podramos hacer || || = || ||p, para cualquier p 1. para no pecar de ambiciosos, reservemos el smbolo || || para representar solamente cualquiera de las tres normas || ||1, || ||2 o || ||.

La norma || || no pertenece a la familia de normas || ||p, puede probarse (ejercicio 3) que

lim ||x||p = lim [|x1|p + . . . . . + |xn|p]1/p max {|x1|, . . . . . .,|xn|}

para toda x Rn. Esta es la razn por la que adoptamos el smbolo || || para denotar al mximo de los elementos |x1|, |x2|, . . . . . .,|xn|. La convergencia de ||x||p a ||x|| la interpretaremos geomtricamente ms adelante.

Problemas y ejercicios.

1. Pruebe la desigualdad de Cauchy-Schwarz para integrales: si f y f son funciones continuas [a,b] R, entonces

abf(x)g(x) dx (ab f2(x) dx)1/2 (abg2(x) dx)1/2

2. En este problemas se prueba que || ||p, para p > 1 es una norma sobre Rn. Es un ejercicio fcil la verificacin de los axiomas (i), (ii) y (iv) para la norma. Como siempre, el nico axioma que presenta alguna dificultad es la desigualdad del tringulo.

||x + y||p ||x||p + || y||p para el caso de la norma euclidiana (p=2), sta se verific usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz que a su vez se obtuvo de la desigualdad elemental

|ab| (a2 + b2)/2 (*) la cual vale para cualesquiera reales a y b.

La prueba de la desigualdad del tringulo para || ||p es totalmente similar: para ello vamos a requerir de una generalizacin de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, conocida como la desigualdad de Hlder, la cual se obtiene a su vez de una generalizacin de la desigualdad (*). La prueba la realizamos en tres etapas:

(1) Generalizacin de la desigualdad |ab| (a2 + b2)/2

Sean p y q reales cualesquiera mayores que 1 tales que 1/p + 1/q = 1

(por ejemplo, p = q = 2 o bien p = 3 y q = 3/2). Pruebe que para cualesquiera reales a y b se tiene

|ab| |ap|/p + |bq|/q para su prueba considera la funcin f : [0, +) R dada por

f(x) = x + x + donde es un real en (0, 1) y muestre que alcanza un valor mximo en x =1. Tome el caso particular = 1/p y haga x = ap/bq. Observe que las siguientes relaciones son equivalentes

1/p + 1/q = p + q / pq = 1

p + q = pq p = q / q-1

(2) Desigualdad de Hlder. Sean p y q como en el inciso (1), pruebe que

n n n

|xiyi| [|xi|p]1/p [|yi|q]1/q i=1 i=1 i=1

para cualesquiera vectores x = (x1, x2, . . . . . ., xn) y y = (y1, y2, . . . . . ., yn) en Rn. Esta relacin generaliza la desigualdad de Cauchy-schwarz y es conocida como DESIGUALDAD DE HLDER, para su prueba separe el caso x 0 y y haga = [|x1|p + |x2|p + . . . . . + |xn|p]1/p = [|y1|q + |y2|q + . . . . . + |yn|q]1/q

La desigualdad a probar se escribe entonces como |(x1/)(y1/)| + |(x2/)(y2/)| + . . . . . . + |(xn/)(yn/)| 1

despus aplique las mismas ideas que para la prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, usando ahora la desigualdad del inciso (1). Escriba los detalles.

(3) Desigualdad de Minkowski. Pruebe la desigualdad del tringulo para || ||p, donde p>1, la cual en forma explcita queda como n n n

[ |xi + yi|p]1/p [|xi|p]1/p + [|yi|p]1/p i=1 i=1 i=1

Esta relacin es conocida como DESIGUALDAD DE MINKOWSKI, para su demostracin escriba

n n

|xi + yi|p [|xi| + |yi|]p i=1 i=1

n

= [|xi| + |yi|]p-1[|xk| + |yk| i=1

n n

= [|xi| + |yi|]p-1 |xk| + [|xi| + |yi|]p-1|yk| i=1 i=1

y aplique la desigualdad de Hlder a cada una de las sumatorias del ltimo miembro, haciendo para la primera sumatoria

ai =|xi| y bi = [|xi| + |yi|]p-1 y para la segunda una eleccin anloga.

La norma || ||p la denominaremos NORMA DE MINKOWSKI. 3. Si p > 1,

a) Pruebe que ||x|| ||x||p n1/p ||x||,

para todo vector x Rn.

b) Deduzca del inciso (a) que lim ||x||p = ||x|| p

para todo vector x Rn

c) Pruebe la desigualdad ||x|| ||x||p ||x||1,

para todo vector x Rn.

Leccin 4.

El Espacio Mtrico Rn

4.1. La Mtrica Euclidiana en Rn. Como ya hemos mencionado antes, el tener la nocin de distancia en R o ms generalmente en Rn, es lo que nos permite hablar de lmites o de convergencia. Cuando nos referimos a lmites, involucramos expresiones o ideas de aproximacin o acercamiento, lo cual lleva implcito el manejo de distancia. Ha y una nocin natural de distancia entre dos puntos en el mundo fsico, es la que corresponde a la longitud del segmento de recta que une los puntos. Esta no siempre es la mejor manera de medir distancias, despus de todo, la distancia entre dos puntos de la ciudad se mide a lo largo de calles y no mediante el segmento de recta ideal que los une. La distancia entre dos puntos del globo terraqueo, se mide a lo largo de una curva y no mediante el segmento de recta que lo atraviesa por su interior. Estas diferentes maneras de medir distancias son legitimas tanto desde el punto de vista prctico, como desde el punto de vista matemtico, pues corresponden a la nocin general de distancia que se hace en matemticas.

Consideremos nuevamente la nocin comn de distancia entre dos puntos del espacio tridimensional R3 dada por la longitud del segmento de recta que los une. Si x = (x1, x2, x3) y y = (y1, y2, y3) son dos puntos de R3, entonces la distancia entre x y y est dada por

|| x-y ||2 = (x1-y1)2 + (x2-y2)2 + (x3-y3)2 Esta distancia la denominamos mtrica euclidiana y la generalizamos a Rn en la siguiente definicin.

Definicin 1. Sean x = (x1, x2, . . . . ., xn) y y = (y1, y2, . . . . ., yn) elementos cualesquiera de Rn, definimos la DISTACIA EUCLIDIANA entre ellos como d2 (x, y) = || x-y ||2

= (x1-y1)2 + (x2-y2)2 +. . . . . .+ (xn-yn)2 La funcin d2: Rn x Rn R dada por la relacin anterior se denomina DISTANCIA o METRICA EUCLIDIANA en Rn.

En seguida resumimos las propiedades ms importantes de esta funcin.

Proposicin 1. Para cualesquiera vectores x, y y z en Rn se tiene

1) d2 (x, y) 0, d2 (x, x) = 0 2) d2 (x, y) = d2 (y, x) 3) d2 (x, y) d2 (x, z) + d2 (z, y) 4) d2 (x, y) = 0 x = y

Demostracin. Para la prueba recurriremos a la proposicin 1 de la leccin anterior.

Prueba (1):

Como d2 (x, y) = ||x -y||2,

se sigue automticamente que d2(x, y) 0. Adems si d2(x, y) = ||x -y||2 = 0

entonces x y = 0, es decir x = y.

Prueba de (2): d2 (x, y) = ||x -y||2 d2 (x, y) = ||y -x||2

= d2 (y, x)

Prueba de (3): d2 (x, y) = ||x -y||2

= ||x z + z - y||2 ||x - z||2 + || z - y ||2 = d2 (x, z) + d2 (z, y)

Prueba de (4):

Si d2(x, y) = 0, se tiene por definicin || x y ||2 = 0. O sea x y = 0, es decir x = y. Esto prueba la proposicin 1.

4.2. Otras Mtricas en Rn. Como podemos observar, en la prueba de la proposicin anterior solamente recurrimos a las que aparecen en la proposicin 1 de la leccin 3, que son las mismas que se adoptaron como axiomas en la definicin de norma. Dado que las normas || ||1, || || tambin poseen estas propiedades, concluimos que d2 y d dadas por

d1(x, y) = || x y ||1 d(x, y) = || x y ||

satisfacen las propiedades correspondientes. Se tiene entonces la siguiente proposicin.

Proposicin 2. Si || || es cualquiera de las normas || ||1, || ||2, || ||, la funcin d:Rn xRn R, dada por

d(x, y) = || x-y || satisface las siguientes propiedades

1) d(x, y) 0, d(x, x) = 0 2) d(x, y) = d(y, x) 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) 4) d(x, y) = 0 x = y

Definicin 2. Cualquier funcin d: RnxRn R que satisfaga las siguientes condiciones (AXIOMAS DE MTRICA): para cualesquiera x, y, z Rn.

i) d(x, y) 0, d(x, x) = 0 ii) d(x, y) = d(y, x) iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) iv) d(x, y) = 0 x = y

se denomina METRICA o DISTANCIA en Rn.

Se tiene entonces que d1(x, y), d2(x, y) y d(x, y) son mtricas en Rn. Como hemos dicho antes, d2 se llama METRICA EUCLIDIANA; a la funcin d se le llama METRICA DEL MAXIMO o METRICA CBICA.

Nota. En la seccin 3.4, se mencion (ejercicio 2) que para p 1, la funcin || ||p: RnR dada por

|| ||p = [|x1|p + . . . . . . . + |xn|p]1/p

es una norma en Rn, la cual hemos denominado Norma de Minkowski. La mtrica correspondiente dp: RnRn R, est dada por

dp(x, y) = ||x-y||p = [|x1-y1|p + . . . . . . . + |xn-yn|p]1/p

y nos referiremos a ella como METRICA DE MINKOWSKI. Casos particulares de la mtrica de Minkowski son las mtricas d1 y la mtrica euclidiana d2. Otros ejemplos de la mtrica de Minkowski son

d3(x, y) = 3|x1-y1|3 + . . . . . . . + |xn-yn|3 d2(x, y) = [|x1-y1|2 + . . . . . . . + |xn-yn|2]2/2

Leccin 5.

Bolas y Esferas

5.1. Bolas abiertas, Bolas cerradas y Esferas. En la presente seccin comenzamos propiamente nuestro estudio de la topologa de Rn. Ahora sera un tanto difcil describir de lo que se trata dicho estudio, por el momento solamente diremos que los que definimos a continuacin. En lo que sigue, d representar cualquiera de las mtricas d1, d2 o d en Rn.

Definicin 1. Sea x0 un punto en Rn.

1. La BOLA ABIERTA con CENTRO x0 y radio r > 0 es el conjunto B(x0; r) = { x Rn | ||x-x0|| < r }. 2. La BOLA CERRADA con CENTRO en x0 y RADIO r 0 es el conjunto

B(x0; r) = { x Rn | ||x-x0|| r }. 3. La ESFERA con CENTRO x y RADIO r 0 es el conjunto S(x0; r) = { x Rn | ||x-x0|| = r }.

Observemos que la bola abierta est definida para radios estrictamente positivos, mientras que la bola cerrada y la esfera pueden tener radio cero. En este ltimo caso ambas se reducen a un punto:

B(x0;0) = {x0} S(x0;0) = {x0}

Los conjuntos B(x0;r), B(x0; r) y S(x0;r) son subconjuntos de Rn y su aspecto depende de la mtrica d con la cual se midan las distancias.

Consideremos el caso particular de la bola cerrada con centro en el origen 0 y radio r = 1 en el plano R2, para cada una de las mtricas d1, d2, y d. Denotemos por B1(0;1), B2(0;1) y B(0;1) las bolas cerradas segn estas mtricas, respectivamente.

La bola cerrada

B2(0;1) = { x R2 | ||x||2 1} = { (x, y) R2 x2 + y2 1 } = { (x, y) R2 | x2 + y2 1 }

corresponde al disco con centro en el origen 0 = (0, 0) y radio r = 1.

x2 +y2 1

(1, 0)

Figura 22.

La periferia o circunferencia de este disco, es el crculo que tiene por ecuacin x

2+y2=1, esto corresponde a la esfera

S2(0;1) = {x R2 | ||x||2 = 1}

x2+y2= 1

(1,0)

Sea ahora la bola cerrada

B1(0;1) = {x R2 | ||x||1 1 } B1(0;1) = {(x, y) R2 | |x| +|y| 1 }

Para determinar geomtricamente este conjunto de puntos del plano, consideremos como inicio el primer cuadrante. Es decir, consideremos los puntos (x, y) de R2 con x0, y0. en este caso la desigualdad |x|+|y| 1 se escribe como

x + y 1 y la regin correspondiente son los puntos del primer cuadrante que se encuentran abajo de la recta x +y = 1, es decir, son los puntos de la regin triangular que tiene por vrtices (0, 0), (1, 0) y (0, 1).

(0, 1)

(1,0)

figura 24.

Consideremos ahora los puntos (x, y) del segundo cuadrante, los cuales satisfacen x 0, y 0. La desigualdad |x| + |y| 1 en este caso toma la forma

-x + y 1

Los puntos (x, y) que satisfacen esta desigualdad, son los que se encuentran en el semiplano inferior determinado por la recta y-x=1, as que la regin correspondiente es el triangulo cuyos vrtices son los puntos (-1,0) (0,0) y (0, 1).

(0,1)

(-1, 0)

Haciendo un anlisis similar para cada uno de los 2 cuadrantes restantes y reuniendo las regiones determinadas, obtenemos finalmente que el cnjunto.

B1(0;1) = {(x, y) R2 | |x| + |y| 1 }

corresponde al cuadrado en el plano cuyos vrtices son los puntos (1,0), (0,1), (-1,0) y (0, -1).

|x| + |y| 1

Figura 26.

Se deja como ejercicio para el lector el anlisis para los cuadrantes III y IV.

La esfera S1(0;1) = { x R2 | ||x||1=1}

es el contorno de este cuadrado, dicho de otro modo, la ecuacin del contorno poligonal es |x| + |y| = 1.

|x| + |y| = 1

Consideremos finalmente la bola cerrada

B(0;1) = {x R2| ||x|| 1 } B(0;1) = {(x, y) R2| max {|x|, |y|} 1} Nuevamente iniciaremos nuestro anlisis con el primer cuadrante. Se tiene entonces |x|=x, y |y|=y Por definicin se tiene

x si x y Max {x ,y} = y si y x

Consideremos la recta a 45, y = x

y = x

Es claro que para los puntos (x, y) del primer cuadrante que se encuentren debajo de la recta se tiene max{x, y} = x, y para los puntos del mismo cuadrante que se encuentran arriba de la recta, se cumple max{x, y} = y.

Max{x, y} = y

Max {x, y} = x

De esto se sigue que los puntos (x, y) del primer cuadrante que satisfacen max {x, y} 1 son los del cuadrado que tiene por vrtices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1).

Max {x, y} = y 1 y = x

Max {x, y} = x 1

Haciendo un anlisis similar para cada uno de los cuadrantes, obtenemos que el conjunto B(0, 1) corresponde precisamente al cuadrado cuyos vrtices son (-1, -1), (1, -1), (1, 1) y (-1, 1).

(-1, 1) y (1, 1)

x

(-1, -1) (1, -1)

Nota 1. Si a y b son nmeros reales cualesquiera, el lector puede verificar fcilmente que

Max {a , b} = a + b + |a b| 2 entonces podemos escribir para x R2

||x|| = max {|x|, |y|} = |x| + |y| + | |x| -|y| | 2 Con esta frmula, podemos escribir la ecuacin del contorno del cuadrado anterior Como

|x| + |y| + | |x| - |y| | = 1 2

o sea

|x| + |y| + | |x| - |y| | = 2 (-1, 1) Y (1, 1)

X

(-1, -1) (1, -1)

Nota 2. en las figuras de abajo se encuentran sobre puestas las regiones correspondientes a las bolas B1(0, 1), B2(0, 1) y B(0, 1), as como las esferas correspondientes (figuras sin sombrear) en R2.

En la siguiente figura se muestran adems las esferas correspondientes a las mtricas d1.5 y d10.

Como podemos intuir, haciendo variar p creciendo desde 1, el cuadrado interior se deforma continuamente hasta convertirse en el crculo (p2), ste a su vez se deforma continuamente, tendiendo al cuadrado exterior, el crculo se alcanza con p=2, el cuadrado exterior no se alcanza para ningn valor de p, solamente se obtiene como lmite (p).

Nota 3. El anlisis para la interpretacin geomtrica de las bolas cerradas B1(0; 1), B2(0; 1) y B(0; 1) en el espacio tridimensional es ms complicado. En la siguiente figura se ilustran las esferas correspondientes S1(0; 1), S80; 1), as como la conocida esfera S2(0; 1) respecto a la norma euclidiana.

La esfera S(0; 1) es un cubo con centro en 0, caras paralelas a los planos coordenados y arista de longitud 2. La esfera S1(0; 1) en un octaedro regular, con centro en el origen 0 y la arista igual a 2, es una especie de diamante.

5.2. Relacin entre las normas. || ||1, || ||2, || ||. Las figuras anteriores muestran la situacin geomtrica relativa, entre las bolas cerradas B1(0; 1), B2(0; 1) y B(0; 1). Se puede probar que en general se tienen las contenciones

B1(x0; r) B2(x0; r) B(x0; r) Y por supuesto, las correspondientes para las bolas abiertas.

B1(x0; r) B2(x0; r) B(x0; r) Esto es consecuencia de las desigualdades

||x|| ||x||2 ||x||1 que en forma explcita se escriben

max{|x1|, . . . . . .,|xn|} x21 + . . . . . . . +x2n |x1| + . . . .+ |xn| Antes de probar las contenciones, probemos las desigualdades anteriores: Sea x = (x1, . . . . . ., xn) Rn. Como

(max{|x1|, . . . . . .,|xn|})2 x21 + . . . . . . . +x2n tenemos

max{|x1|, . . . . . .,|xn|} x21 + . . . . . . . +x2n Por otra parte, dado que

x2

1 + . . . . . . . +x2n (|x1| + . . . .+ |xn|)2

tenemos x21 + . . . . . . . +x2n |x1| + . . . .+ |xn|

Esto prueba la doble desigualdad.

Las contenciones, tanto para las bolas cerradas como para las bolas abiertas, se siguen entonces de las desigualdades.

||x x0|| ||x x0||2 ||x x0||1 < r pues, por ejemplo, si x B2(x0; r) entonces ||x x0||2 < r, luego ||x x0|| < r es decir x B(x0; r). Esto prueba que

B2(x0; r) B(x0; r). Se deja como ejercicio para el lector las pruebas de las otras contenciones. Para las esferas no hay alguna relacin similar, lo que se puede deducir de las desigualdades anteriores son las siguientes relaciones

S1(x0; r) B2(x0; r) B(x0; r) S2(x0; r) B(x0; r)

Y obviamente S(x0; r) B(x0; r).

Problemas y ejercicios.

1. Complete la demostracin de que la bola cerrada B1(0;1) corresponde al cuadrado en el plano, que tiene por vrtices (1,0), (0,1), (-1, 0) y (0, -1).

2. complete la demostracin de que la bola cerrada B(0; 1) corresponde al cuadrado en el plano, cuyos vrtices son (1, 1), (-1, 1), (-1, -1) y (1, -1).

3. Pruebe la relacin Max {a, b} = a + b + | a b|

2 4. Halle una frmula para el mn {a, b} 5. Halle frmulas para max {a, b, c} y min {a, b, c}. 6. Determine la ecuacin de la superficie del cubo en el espacio tridimensional, con

centro en el origen, caras paralelas a los planos coordenados y de arista 2.

Leccin 6.

Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados.

6.1. Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados. El concepto ms importante en la topologa de Rn es el conjunto abierto. Junto con l, su pareja inseparable, el del conjunto cerrado. Conjunto abierto y conjunto cerrado dos conceptos que o coinciden ni son contrarios; son duales, en un sentido que trataremos de explicar a lo largo del texto. Por ahora solamente, veremos la definicin de cada uno de ellos y algunas de sus propiedades ms importantes, las cuales con toda intencin formularemos paralelamente, con lo que empezaremos a entender esa dualidad.

Como todo concepto nuevo, tendremos que ir gradualmente entendindolos y acostumbrndonos a su significado, a base de un repetido uso. Las palabras abierto y cerrado que empleamos, tienen un significado coloquial que nada tiene que ver con su significado matemtico.

Definicin 1.

1) Un conjunto V Rn se dice que es ABIERTO si para cada x V existe una bola abierta B(x, r) contenida en V. Es decir, si para cada x V existe r > 0 tal que B(x, r) V.

2) Un conjunto F Rn se dice que es CERRADO si su complemento Fc = Rn F es un conjunto abierto.

Para ilustrar esta definicin acudiremos a dos conjuntos que son casos extremos, tanto desde el punto de vista de la contencin de conjuntos, como de la lgica que aplicaremos.

Ejemplo 1. El espacio mismo Rn es un conjunto abierto. Este es un hecho trivial, ya que dado cualquier punto x Rn, toda bola abierta B(x, r) est contenida en Rn.

Ejemplo 2. El conjunto vaco Rn es abierto. A diferencia de la afirmacin del ejemplo 1 que result demasiado obvia, en este caso a los principiantes la afirmacin puede parecerles falsa o un tanto absurda. La prueba requiere cierta madurez en el razonamiento, son las afirmaciones que se dice valen por vacuidad. Mostremos que es un conjunto abierto, haremos la prueba razonando por contradiccin. Si no fuera un conjunto abierto, existira un punto x para el cual no sera posible hallar una bola abierta B(x, n) contenida en . Pero esto no es posible, pues contradira el hecho de que no tiene elementos. Como la contradiccin se obtiene de suponer que no es abierto, se deduce que tiene que ser abierto.

Nota 1. En el ejemplo 2, se recurri a la prueba por contradiccin involucrando al conjunto vaco, cosa que tal vez desconcierta al estudiante, y tambin se recurri a la negacin de un enunciado, cosa de la cual probablemente no se percat. Generalmente, la negacin de un enunciado causa muchas dificultades, y es muy comn que se formulen mal las negaciones. Hacer una negacin en general es difcil, ello requiere de una prctica constante. Es un buen hbito aprovechar cada oportunidad que se presente para poner en prctica la negacin de enunciados. El saber hacer buenas negaciones puede reflejar la buena comprensin del enunciado mismo. Esto ltimo no necesariamente es cierto en todos los casos, para hacer la negacin de un enunciado, se requiere, adems de entender el aspecto lgico, un manejo propio y correcto del lenguaje, tanto en lo que se refiere al idioma como al lenguaje de la matemtica.

Comencemos pues, nuestra prctica haciendo la negacin del enunciado de que un conjunto X es abierto.

Un conjunto X Rn no es abierto, si existe un punto x0 X tal que no existe bola abierta alguna B(x0; r) contenida en X.

o sea

Un conjunto X Rn no es abierto, si existe un punto x0 X tal que para toda r > 0, B(x0, r) Xc .

Un ejercicio ms completo consiste en formular los enunciados anteriores con otras palabras, desde empleando un lenguaje casi totalmente simblico, hasta parafraseando el enunciado con un lenguaje totalmente retrico, por ejemplo:

Un subconjunto X de Rn no es abierto, si tiene algn punto para el cual ninguna bola abierta, centrada en este punto, est contenida en el conjunto.

X no es abierto si

( x0 X) ( r > 0) B(x0; r) Xc . Nota 2. En ocasiones, un enunciado retrico pude dar mayor claridad a su significado. un enunciado retrico no necesariamente es impreciso, puede tener tanto rigor como un enunciado que se formula simblicamente. Los estudiantes suelen creer que para que un conjunto sea riguroso debe escribirse con smbolos matemticos como , , , etc., incluyendo el uso de algunos smbolos taquigrficos. No olvidemos cuado se emplea bien, la virtud del lenguaje retrico como el medio natural que tenemos para comunicar nuestras ideas. Vale la pena comentar, sobre el uso ( o ms bien, abuso) del smbolo como el representante taquigrfico de la palabra ENTONCES, esto en la mayora de los casos es lgicamente incorrecto y en ocasiones puede ocasionar serias confusiones. Por ejemplo, supngase que en lugar de escribir

Si x A, entonces x B, entonces x C, entonces x D:

escribimos

Si x A, x B entonces x C x D. en donde algunas de las palabras entonces las hemos sustituido (lo cual es muy comn) por el smbolo , obtenemos un enunciado con un significado totalmente diferente. El segundo enunciado, dice que si se vale la implicacin

x A x B

entonces se vele la implicacin x C x D

(por ejemplo, si se vale un teoremas X, entonces se vale el teorema Y), mientras que el primer enunciado corresponde a la cadena de implicaciones

Si x A, x B x C x D.

La regla es muy simple, si usted est usando el si como condicional, entonces use la palabra entonces y no el smbolo de implicacin , este smbolo lalo implica, si cuando lo lee as, usted no escucha bien el enunciado, entonces lo est usando incorrectamente.

Como corolario de los ejemplos 1 y 2 tenemos:

Ejemplo 3. Los conjuntos Rn y son cerrados. En efecto, Rn es cerrado por su complemento es abierto. Similarmente, es cerrado pues su complemento Rn es abierto.

Nota 3. Los ejemplos anteriores muestran que existen conjuntos que pueden ser abiertos y cerrados a la vez, esto significa que los conceptos no se excluyen, de ehecho se tiene:

i) existen conjuntos abiertos que no son cerrados ii) existen conjuntos cerrados que no son abierto iii) existen conjuntos que nos abiertos y cerrados a la vez iv) existen conjuntos que no son abierto ni cerrados

tenemos entonces que los conceptos abierto y cerrado no se incluyen ni se excluyen. Solamente hemos probado el inciso (iii), nos resta probar los otros incisos, esto lo haremos con algunos ejemplos. A propsito de las negaciones, tambin es comn encontrarse con quienes dicen que un conjunto que no es abierto entonces es cerrado, esto, por supuesto, es falso y se concluye del inciso (iv).

Otros ejemplos de conjuntos abierto estn dados por la siguiente proposicin.

Proposicin 1. Toda bola abierta en Rn es un conjunto abierto.

Demostracin.

Sea x0 Rn y r > 0. mostremos que B(x0; r) es un conjunto abierto. Debemos probar que para cada x B(x0; r), existe una bola abierta (x; R) contenida a su vez en la bola abierta B(x0; r)

Sea pues x B(x0; r) y consideremos R = r - ||x x0||. Como x B(x0; r), se tiene entonces que ||x x0|| < r, por lo tanto R > 0. mostraremos que la bola abierta B(x; R) est contenida en B(x0; r).

x0

r

R x

Sea entonces y B(x; r). Por definicin se tiene que

||y - x|| < R por lo tanto

||y-x0|| = ||y x + x x0|| ||y x0|| ||y - x|| + ||x x0|| ||y x0|| < R + ||x x0|| = r

esto prueba que y B(x0; r) y por lo tanto la proposicin 1.

En las siguientes dos proposiciones dan ejemplos de conjuntos cerrados

Proposicin 2. Toda bola cerrada en Rn es un conjunto cerrado.

Demostracin. Sea x0 Rn y r 0. probaremos que la bola cerrada B(x0; r) es un conjunto cerrado, es decir que su complemento Rn B(x0; r) es un conjunto abierto.

Sea pues x Rn B(x0; r). Como x no est en la bola cerrada B(x0; r), se tiene entonces que ||x x0|| > r. Definamos R = ||x x0|| - r > 0, esto equivale a r =||x x0||- R. Veamos que

B(x: R) Rn B(x0; r)

En efecto, sea y B(x; R) se tiene entonces

||y -x|| < R,

R x

x0

r

por lo tanto

||x x0|| = ||x y + y - x0|| ||x x0|| ||x y|| + ||y - x0||

||x x0|| < R + ||y x0||