“maestría en ingeniería de minerales” “apuntes de matemáticas” · 2017-09-21 · dado un...
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSÍ (UASLP)
FACULTAD DE INGENIERÍA
“INSTITUTO DE METALURGIA”
“Maestría en Ingeniería de Minerales”“Apuntes de Matemáticas”
Elaborado por: Ing. González Olivares Miguel Ángel
Álgebra Lineal
1.1 Vectores:a) Concepto del Vector y del Escalar.
b) Componentes y Longitud de un VectorEjemplos sobre Representación Gráfica y Determinación de Longitud.
c) Adición de vectores y Multiplicación por escalar, Vectores Unitarios. Ejemplos sobre la aplicación de las propiedades de la adición de vectores yMultiplicación por un número escalar.
d) Producto Escalar (Producto Punto) y concepto de Ortogonalidad.
e) Producto Vectorial (Producto Cruz). Las propiedades de estos productos. Ejemplos en los que se demuestre dichos productos (A.B) y (AxB) en coordenadas cartesianas.
1.2 Matrices:a) Representación de Sistemas de Ecuaciones lineales. Elementos de una Matriz.
Adición de matrices y Multiplicación por escalares. Propiedades de la adición de Matrices. Ejemplos.
b) La Transpuesta de una Matriz. Matrices Simétricas y Antisimétricas.c) Multiplicación de Matrices y sus propiedadesd) Resolución de sistemas de Ecuaciones Lineales por eliminación Gaussiana.e) Determinantes
1.3 Funciones de una variable:Derivadas:a) Definición e Interpretación Gráfica de la Derivada.b) Reglas de la Derivación para Suma, Productos , Cocientes y Potencias (Ejemplos)c) Regla de la Cadena y derivada Implícita (Ejercicios y ejemplos)d) Derivadas de Funciones Trigonométricas, Logarítmicas, Exponenciales y de funciones Inversas. Ejemplos y Ejercicios.
e) Máximos y Mínimos: Describir los criterios de Primera y Segunda Derivada para evaluar los puntos críticos. Problemas de Optimización de Parámetros.
1.4 Integrales
a) Inverso de la Diferenciación, definición de la Antiderivadab) Fórmulas Fundamentales de Integración. (Ejemplos)c) Métodos de Integración (Por cambios de variables, Sustitución Trigonométrica, Por partes)d) Integral Definida.
1.5 Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales lineales de primer ordenEcuaciones diferenciales exactas. Condición de exactitudCondiciones inicialesMétodo de Separación de variables Factores integrantes Aplicaciones de las E.D.O de primer grado.Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneas.Ecuaciones diferenciales homogéneas no lineales
Continuación….
Ecuaciones diferenciales de Bernouilli y de RiccatiEcuaciones diferenciales de segundo orden.Principio de superposición de superposición.Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes
constantes.La ecuación característicaDependencia e independencia lineal de funciones.Ecuaciones Lineales homogéneas de orden arbitrarioEcuaciones Lineales homogéneas de orden arbitrario con coeficientes
constantes.Ecuaciones Lineales no homogéneas de orden arbitrario. Método de
coeficientes indeterminados.
Bibliografía
Albert Rabenstein, (1973), Ecuaciones Diferenciales Elementales con Algebra Lineal (México).
Spiegel, M.R.,(1981), Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, 3th ed, Prentice HallHispanoamericana S.A., (México).
Boyce, W.E., DiPrima, R.C. (1997), Elementary Differential Equations, 6th ed., John Wiley (New York).
Kreyszig, E. (1999), Advanced Engineering Mathematics, 8th ed., John Wiley (New York).
Spiegel, M.R. (ed.) (1968), Mathematical Handbook of Formulas and Tables, McGraw-Hill (New York).
Dennis G. Zill and Michael R. Cullen. Differential Equations with Boundary-Value Problems. 5a. Ed.
Álgebra Lineal
Vectores:
a) Definición de un Vector y un Escalar:
En Física y Geometría existen cantidades, cada una de las cuales quedan completamente
especificadas al dar solamente su magnitud, es decir su tamaño ó su número de unidades de
acuerdo a alguna escala. Por ejemplo: La Densidad de un material, La Resistencia de un
Resistor, La Masa de un cuerpo, la Carga del electrón, etc...
Cada una de estas cantidades se describen con un solo numero, a estas cantidades se les
denominan “Escalares”.
Pero también hay otras cantidades Físicas y Geométricas que no pueden describirse tan solo
con mediante un número debido a que para su completa caracterización se necesita dar su
Dirección así como también su Magnitud. Por ejemplo, Las Fuerzas son cantidades de este
tipo, la Velocidad, la Aceleración entre otras. Estas cantidades se representan por medio de
una Flecha ó un segmento rectilíneo dirigido.
A este segmento rectilíneo dirigido se le da el nombre de “Vector”, la longitud y
dirección del segmento es la longitud y dirección del vector.
Álgebra Linealb) Componentes y Longitud de un Vector:
Ahora sabemos que un vector es un segmento rectilíneo dirigido, luego como este es un
segmento recto debe de tener un inicio y un final los cuales son 2 puntos extremos, de ahí
cada punto extremo tiene su representación en el Sistema de Coordenadas como (x, y, z).
Sea el segmento PQ de donde el punto inicial es ),,( 111 zyxP = y el punto final es
( )222 ,, zyxQ = de ahí los “Componentes del vector” PQ serán ( )121212 ,, zzyyxx −−− .
Por definición la Longitud PQ del vector PQ es la distancia entre los puntos P y Q.
Por Pitágoras tenemos entonces para un Caso General que su “Longitud” es:
( ) ( ) ( )2122
122
12 zzyyxxPQ −+−+−=
Adición de Vectores y Multiplicación por EscalarA d ición d e V ectores y M u ltip licación p or E scalar:
D ados 2 vecto res a y b lo s cuales son rep resen tado s de la sigu ien te m anera:
( )321 ,, aaaa = y ( )321 ,, bbbb =
L uego nu estro vecto r c R esu ltan te de la sum a d e lo s 2 vecto res se ob tendrá por la ad ic ión
de las com ponen tes correspond ien tes de a y b , po r lo tan to tendrem os que el vecto r sum a c
es:
( ) ( )332211321 ,,,, bababacccc +++==
E sta ad ic ión de vecto res a y b se pued e rep resen ta r co locando el pun to in ic ial de b en el
pun to term inal de a , luego nuestra sum a de lo s 2 v ecto res a y b es e l vecto r c trazado desde
el pun to in ic ia l de a a l te rm inal de b .
L as p rop ied ad es en la A d ición d e vectores son las sigu ien tes:
a + b = b + a
(u + v ) + w = u + (v + w )
a + 0 = 0+ a = a
a + (-a ) = 0
Adición de Vectores y Multiplicación por Escalar
Multiplicación por Escalares (números):
Sea a cualquier vector y k cualquier número real, entonces el valor de ka se define así:}
La longitud de ka, es ak .
Si 0≠a y 0>k entonces ka tiene la dirección de a.
Si 0≠a y 0<k entonces ka tiene la dirección opuesta de a.
Si 0=a ó 0=k ó ambos son 0, entonces ka es igual a cero.
Ahora para un vector a de componentes ( )321 ,, aaaa = entonces el Producto del vector por
el escalar k será igual a: ( )321 ,, kakakaka =
Algunas Propiedades en la Multiplicación de un Vector por un Escalar k:
k ( a + b) = ka + kb
(c +k) a = ca + ka
c ( ka ) = (ck) a
1a = a
0a = 0
Vectores Unitarios
Vectores Unitarios:
Son aquellos vectores cuya longitud es el valor de la unidad.
Dado un sistema de coordenadas cartesianas, ahora se puede representar un vector a, con
los componentes 321 ,, aaa , como la suma de 3 vectores paralelos a los ejes de coordenadas.
Con este fin, a ese sistema de coordenadas se le asocian 3 vectores unitarios i, j, k que
tienen las direcciones positivas de los ejes de coordenadas, entonces:
kajaiaa 321 ++=
De donde i, j, k son los Vectores Unitarios:
)0,0,1(=i )0,1,0(=j )1,0,0(=k
Producto Escalar y OrtogonalidadProducto Escalar (Producto Punto ó Producto Interior)
Es el producto realizado entre vectores, el Producto Escalar ó Producto Punto ó Producto
Interior de 2 vectores a y b en el espacio tridimensional se escribe ba. y se define de la
siguiente manera.
βCosbaba =. Cuando 0,0 ≠≠ ba
De donde:
ba , Son las longitudes de los 2 vectores.
β Es el ángulo entre los 2 vectores
0. =ba Cuando 0=a ó 0=b ó o90=β (entre 0o y 180o)
El valor del Producto Punto es un Escalar, por eso se le llama Producto Escalar.
Ortogonalidad:
Dos vectores diferentes de cero son ortogonales (perpendiculares) si y solo si su producto
interior (producto punto) es cero.
Propiedades del Producto Punto
Linealidad: [ ] cbkcakcbkak ... 2121 +=+
Simetría abba .. =
Distributividad cbcacba ..).( +=+
Desigualdad de Schwartz baba ≤.
Si se representan los vectores a y b en términos de componentes digamos:
kajaiaa 321 ++= kbjbibb 321 ++=
Luego el producto Punto será:
332211. babababa ++= (Importante)
Dado que i, j, k son vectores unitario se tiene:
1. =ii 1. =jj 1. =kk
Y además por ser Ortogonales tenemos:
0. =ji 0. =kj 0. =ik
Producto Vectorial (Producto Cruz)
Producto Vectorial (Producto Cruz)
Sean los vectores a y b. Si a y b tienen la misma dirección ó sus direcciones son opuestas ó
uno de estos vectores es cero, entonces v = axb = 0
En cualquier otro caso, v=axb es el vector cuya longitud es igual al Área del paralelogramo
que tiene a a y b como lados adyacentes u cuya dirección es perpendicular tanto a a como
a b, y es tal que a, b, v en ese orden forman una Terna derecha.
El termino Terna derecha proviene del hecho de que los vectores a, b y c en este orden
toman el mismo tipo de orientación que los dedos pulgar, índice y medio de la mano
derecha.
Propiedades del Producto Cruz.
Sean axb =v y bxa=w, entonces por definición wv = y, en el orden en el que b, a y w
forman una terna derecha, debe tenerse que v=-w, luego esto implica que:
)(axbbxa −=
Luego la Multiplicación Cruz de vectores no es Conmutativa sino Anticonmutativa
Propiedades del Producto CruzPara cualquier constante k tenemos:
( ) ( ) ( )kbaxaxbkxbka ==
La Multiplicación Cruz es Distributiva con respecto a la adición de vectores:
( ) ( )axcaxbcbax +=+ )(
( ) ( ) ( )bxcaxcxcba +=+
La Multiplicación Cruz no es asociativa:
( ) ( )xcaxbbxcax ≠
Producto Vectorial en términos de una Fuerza:
Con respecto a un sistema derecho de coordenadas cartesianas, supongamos que a tiene los
componentes a1, a2 y a3 y b los componentes b1, b2 y b3 entonces:
( ) ( ) ( )kbabajbabaibabaaxb 122131132332 −+−+−=
También se puede obtener por medio de Determinantes.
MatricesMatrices:
Las Matrices son arreglos rectangulares ó cuadradas de números encerrados por corchetes.
Por ejemplo:
− 766.03
45.12 ,
−
−
482856263
,
40
……..
Un arreglo Rectangular de números (reales ó complejos) de la forma:
mnmnmmi
n
n
aaa
aaaaaa
.......
.........................................
2
22221
11211
Se le llama Matriz. Los números mnaaa ,........, 1211 son los elementos de la Matriz.
Las Líneas Horizontales reciben el nombre de Filas ó reglones ó vectores reglón de la
Matriz.
Las Líneas Verticales reciben el nombre de Columnas o vectores Columna de la Matriz.
Cuando una matriz tiene “m” filas y “n” columnas se dice que la matriz es de orden m por
n = (m x n)
Representación de Sistemas de Ecuaciones Lineales por Matrices
L as m atrices se representan en relación con Transform aciones L ineales o Sistem as de
E cuaciones L ineales.
Por ejem plo:
Sean las 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:
575.03320
21
21
=+=+
xxxx
Luego los coeficientes 20, 3, 0.5, y 7 se les puede representar en la m atriz tal com o se
presentan en la ecuación.
75.0320
Finalm ente nuestro sistem a de Ecuaciones puede ser representado de la siguiente m anera:
=
53
75.0320
2
1
xx
Para 3 E cuaciones con 3 incógnitas (x, y, z) tendríam os la siguiente representación :
107544956
2763
=++−=++
=+−
zyxzyxzyx
⇔
−=
−
104
2
754956763
zyx
Adición de Matrices y Multiplicación por Escalares (números)
La Adición de Matrices se define “solo para aquellas que tienen el mismo número de filas
(reglones) y columnas”.
La Suma de 2 matrices A y B, de orden (mxn), donde A [ ]ija= y B [ ]ijb= es la Matriz
C [ ]ijc= de orden (mxn) con elementos.
ijijij bac += njmi
,....2,1,.....2,1
==
y se puede representar así:
A + B =C
Propiedades de la Adición de Matrices:
Es bastante semejante a la adición con números reales.
A + B = B +A
(U + V)+W =U + ( V + W)
A + 0= A
A + (-A)= 0
Multiplicación de Matrices por Escalares
La Multiplicación de Matrices por Escalares (números) se define como el producto de
una matriz A de orden (mxn) por un escalar k (un número) y se denota mediante Ak ó kA y
es una matriz de orden (mxn) que se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz A
por el número escalar “k” es decir:
k A = A k =
mnmm
n
n
kakaka
kakakakakaka
.........................................
........
.......
21
22221
11211
Propiedades de Multiplicaciones de Matrices (A, B) por Escalares (c y k)
AAAckkAckAcAAkckBkABAk
==
+=++=+
1)()(
)()(
Transpuesta de una MatrizTranspuesta de una Matriz:
La Transposición de una Matriz se define como la Transpuesta AT de una matriz A = [ ]jkade orden (mxn), la cual es la matriz de orden (nxm) que se obtiene al intercambiar las filas
y las columnas de A , es decir el j-ésimo reglón de A se convierte en la j-ésima columna de
A.
Por ejemplo:
mnmnmmi
n
n
aaa
aaaaaa
A
=
..........................................
.............
2
22221
11211
Su Transpuesta será:
nxmmnnn
m
m
T
aaa
aaaaaa
A
=
..........................................
.............
21
22212
12111
Luego nosotros podemos probar que: TTT BABA +=+ )(
Matrices Simétricas y Antisimétricas
Matrices Simétricas y Antisimétricas:
Se dan solo en Matrices Cuadradas (# filas = #Columnas).
Se dice que una Matriz Cuadrada Real A=[ ]jka es “Simétrica”, si esta matriz es igual a su
Transpuesta.
Entonces: Será Simétrica si: AAT = es decir jkkj aa = j =k = 1, 2, 3…n
Se dice que una Matriz Cuadrada Real A=[ ]jka es “Antisimétrica”, si ésta matriz es igual a
la Negativa de su Transpuesta.
Será Antisimétrica si: AAT −= es decir jkkj aa −= j = k = 1, 2, 3…n
Multiplicación de Matrices y sus PropiedadesM ultip licación de M atrices y sus Propiedades:
A hora definirem os la M ultiplicación de una m atriz por otra m atriz .
Sea A = [ ]ija una m atriz de orden de (m xn) luego para que pueda darse la m ultiplicación de
2 m atrices, la otra m atriz B = [ ]ijb debe ser del orden de (nxp) (V er que tanto la prim era
m atriz deben de tener n colum nas y la segunda m atriz deberá tener n filas ó reglones)
com o la segunda m atriz será del orden de (nxp), nos dará com o producto una m atriz C de
orden (m xp).
Por ejem plo:
A =
34434241
333231
232221
131211
xaaaaaaaaaaaa
B =
33333231
232221
131211
xbbbbbbbbb
==→ CAB
34434241
333231
232221
131211
xcccccccccccc
D e donde:
31132112111111 bababac ++=
32132212121112 bababac ++=
… … …
… … .
33432342134143 bababac ++=
Multiplicación de Matrices y sus PropiedadesPropiedades de la multiplicación de Matrices:
La multiplicación de Matrices es Asociativa y Distributiva respecto a la adición de
Matrices, es decir:
( ) ( ) ( )kBAABkBkA ==
( ) ( )CABBCA =
( ) BCACCBA +=+
( ) CBCABAC +=+
Donde k es cualquier número.
La multiplicación de Matrices no es Conmutativa , esto es si A y B son matrices tales que
tanto AB como BA estan definidas entonces, en general:
BAAB ≠
En general no se cumple la Ley de Cancelación , es decir:
AB =0 no necesariamente implica que A = 0 ó B = 0
Transposición del producto:
La Transpuesta de un producto es igual al producto de los factores transpuestos tomados en
orden inverso. TTT ABAB =)(
Determinante de una MatrizDeterminante de una Matriz:
En muchas aplicaciones de Álgebra Lineal hacia la geometría y el análisis el concepto de
Determinantes juega un papel importante. En el presente tema estudiaremos las propiedades
básicas de de los determinantes. Tener en cuenta que se puede realizar determinantes solo
para Matrices Cuadradas.
Determinantes de Orden 2: Esta definido mediante la siguiente formula
2221
1211detaaaa
211222112221
1211 aaaaaaaa
−==
Notar que una Matriz se representa por corchetes mientras que un Determinante se
representa por barras.
Determinantes de Orden 3: Se pueden expresar en términos de Determinantes de
Segundo Orden.
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
detaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
+−==
Propiedades de Determinante de una Matriz (Orden 3)
Propiedades Generales de las Matrices de Tercer Orden:
a) El valor de un Determinante no se altera si se escriben sus filas como columnas en el
mismo orden.
12240063121
201462031
−=−
=−
b) Si se intercambian dos filas ó dos columnas de un Determinante el valor de este se
multiplica por -1.
12201462031
201031462
=−
−=−
c) Puede colocarse un factor de los elementos de cualquier fila ó columna antes del
determinante.
541233124
353.4123.3313.24
5121293164
−−=
−−=
−−
Propiedades de Determinante de una Matriz (Orden 3)
d) Si cada uno de los elementos de una fila ó columna de un Determinante se expresa como
un Binomio, el determinante puede escribirse como la suma de 2 determinantes.
111430123
11243124
1112431234
−−+
−=
−−
+
xxx
xxx
e) Si se aplica la regla del producto de una Derivación se obtiene la propiedad siguiente:
“Si los elementos de un determinante son Funciones Diferenciables de una variable, la
Derivada del determinante puede escribirse como la suma de 3 determinantes”.
111
111
111
wvurqphgf
wvurqphgf
wvurqphgf
wvurqphgf
dxd
++=
De donde los apóstrofos denotan derivadas con respecto a x.
DerivadasLa Derivada:
La Derivada de una función ( )xfy = con respecto a x, se define por el siguiente límite:
hxfhxfxf h)()(lim)( 0
1 −+= →
Siempre que exista.
Este límite se denomina también cociente instantáneo de incrementos (ó simplemente
cociente de incrementos) de y con respecto de x en el punto 0xx = .
xxfxxf
xyxf xx ∆
−∆+=
∆∆
= →∆→∆)()(limlim)( 00
001
Un gran ejemplo es el de la “Velocidad Instantánea”. Pues la velocidad )(tv es igual a la
derivada )(1 tf donde ( )tf es la función de la posición.
Sea la Función Posición f descrita por la ecuación: ( ) 216144 tttf −=
Luego la Derivada 1f es una nueva función (Velocidad) dado por: ( ) ttf 321441 −=
Derivadas
Esta respuesta de Velocidad la encontramos por la definición de Derivada es decir.
( ) ( )h
tfhtftf h−+
= →01 lim)(
Sabemos que: ( ) 216144 tttf −= ( ) 2)(16)(144 hththtf +−+=+→
Luego ( ) ( ) th
tfhtftf h 32144lim)( 01 −=
−+= →
Mediante la Definición de Límites, demostrar que la Derivada de:
cxf =)( es 0
bmxxf +=)( es m
12)( += xxf es ( ) 2
112
1+x
DerivadasReglas de la Derivación para la Suma, Productos, Cocientes y Potencias
El álgebra de las Derivadas:
Teorema: Si f y g son 2 funciones definidas sobre un intervalo común. Y cada punto
f y g tienen una derivada, al igual se dará para la suma gf + , la diferencia gf − , el
producto gf . y el cociente gf (Observación: Para g
f nosotros necesitamos poner
mucha atención en la función g porque este no debe de ser cero en el punto en cuestión).
Luego las derivadas de estas funciones están dadas por las siguientes formulas:
Suma ( ) 111 gfgf +=+
Resta ( ) 111 gfgf −=−
Producto ( ) 111 ... fggfgf +=
Cociente 2
111 ..g
gffggf −
=
en un punto de x tal que ( ) 0≠xg
Algunas Fórmulas de DerivaciónAlgunas Fórmulas de Derivación:
En las formulas siguientes vu, y w son funciones derivables de x.
a) ( ) 0=cdxd Siendo c una constante.
b) ( ) 1=xdxd
c) ( ) ( ) ( ) ( )wdxdv
dxdu
dxdwvu
dxd .......... ++=+++
d) ( ) ( ) ( )udxdvv
dxduuv
dxd
+=
e) ( ) ( ) ( ) ( )udxdvwv
dxduww
dxduvuvw
dxd
++=
f) ( )udxd
ccu
dxd .1
=
/ 0≠c
g) ( )udxd
uc
udxdc
uc
dxd .1
2−=
=
Algunas Fórmulas de Derivación
h) ( ) ( )
2v
vdxduu
dxdv
vu
dxd −
=
/ 0≠v
i) ( ) 1−= mm mxxdxd
j) ( ) ( )udxdmuu
dxd mm 1−=
Ejemplos:
a) Si ( ) 22 xxxf −+= calcule )10(),1(),0( 111 −fff
b) Calcular las derivadas de:
23)( 2 ++= xxxf
xxxf 3)( 2 −=
senxxxf .)( 4=
123)( 24
2
++++
=xxxxxf
Derivada Implícita
Función Implícita:
Cuando una ecuación, definida en el campo de variación de sus variables se escribe en la
forma ( ) 0, =yxf se dice que y es una Función Implícita de x. Por ejemplo:
012 =−−+ yxxy , siendo 2≠x define la función 2
1−−
=xxy .
03694 22 =−+ yx Define la función 2932 xy −= cuando 3≤x e 0≥y
Para hallar la Derivada 1y se puede seguir el siguiente procedimiento:
a) Primeramente despejar y , si es posible, y derivar con respecto a x. Este
procedimiento se debe evitar, a menos que se trate de una ecuación bien sencilla.
b) Derivar la ecuación dada con respecto a x, teniendo en cuenta que y es función de x,
y despejar 1y . Esta forma de efectuar derivación se llama Derivación Implícita.
Derivada Implícita
Ejemplo
Hallar 1y en la ecuación 012 =−−+ yxxy
:Tenemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )01.2..dxd
dxdy
dxdx
dxdx
dxdyy
dxdx =−−++
0021. 11 =−−++ yyyx
Finalmente: xyy
−+
=211
Más ejemplos en la Pizarra:
Mediante la Derivación Implícita derivar lo siguiente:
a) 1622 =+ yx
b) ( )yxy −= cos
c) ( ) ( ) 3322 yxyxyx +=−−+
Derivadas de Funciones TrigonométricasD erivadas de las Funciones T rigonom étricas:
Sea u una función derivable de x , en estas condiciones tenem os:
a) ( )dxduusenu
dxd cos=
b) ( )dxdusenuu
dxd
−=cos
c) ( )dxduutagu
dxd 2sec=
d) ( )dxduuu
dxd 2csccot −=
e) ( )dxdutaguuu
dxd .secsec =
f) ( )dxduuuu
dxd cot.csccsc −=
E jem plitos:
H allar la Prim era y Segunda derivadas de:
xxseny 2cos3 += xtagy 2= ( )232 −= xtagy
Derivadas de Funciones Logarítmicas y Exponenciales
Derivadas de las Funciones Logarítmicas y Exponenciales:
Sea uuna función derivable de x, en estas condiciones tenemos:
Recordando antes lo siguiente:
Si 0>a y 1≠a , y si xay = entonces xy alog=
Reglas de Derivación:
a) ( )dxdue
uu
dxd
aa log1log = , 1,0 ≠> aa
b) ( )dxduu
udxd 1ln =
c) ( )dxduaaa
dxd uu ln= , )0( >a
Derivadas de Funciones Logarítmicas y Exponenciales
d) ( )dxduee
dxd uu =
Ejemplitos:
Derivar:
)53(log 2 −= xy a )3(ln2 += xy axax
axax
eeeey −
−
+−
=
Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas
Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas:
La función inversa de senyx = es arcsenxy = ó bien xsen 1− . El dominio de definición
del arcsenx es 11 ≤≤− x , es decir, el campo de variación de y; el campo de variación de
arcsenx es el conjunto de números reales, es el dominio de la definición de sen y. El
dominio de definición y el campo de variación de las restantes funciones trigonométricas
inversas se establecen de la forma análoga.
arcsenxy = 22ππ
≤≤− y
xy arccos= π≤≤ y0
arctagxy = 22ππ
≤≤− y
Reglas de Derivación: Sea u una función derivable de x; entonces:
( )dxdu
uarcsenu
dxd
211−
= ( )dxdu
uuarc
dxd
211cot+
−=
Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas
( )dxdu
uu
dxd
211arccos−
−= ( )dxdu
uuuarc
dxd
11sec2−
=
( )dxdu
uarctagu
dxd
211+
= ( )dxdu
uuuarc
dxd
11csc2−
−=
Ejemplitos:
Derivar:
( )xxarcxf
−+
=11cot )32( −= xarcseny
Máximos y Mínimos
Función Creciente y D ecreciente: Una función ( )xf es Creciente en un punto 0xx = cuando, dado un h positivo e
infinitam ente pequeño, se verifica
( ) ( ) ( )hxfxfhxf +<<− 000 .
Una función ( )xf es Decreciente en un punto 0xx = cuando, dado un h positivo e
infinitam ente pequeño, se verifica
( ) ( ) ( )hxfxfhxf +>>− 000 .
Si 0)( 01 >xf la función ( )xf es Creciente en el punto 0xx = , y si 0)( 0
1 <xf es
Decreciente en dicho punto, adem ás si 0)( 01 =xf direm os que la función es Estacionaria
en el punto 0xx =
Para determ inar los M áxim os (M ínim os) relativos de una función ( )xf continua, así com o
su Derivada se sigue los Criterios de la Prim era y Segunda Derivada .
Máximos y Mínimos
En la Figura, la función )(xfy = es Creciente en los intervalos rxa << y uxt << ,
Decreciente en el rango de txr << y Estacionaria en los puntos txsxrx === ,,
Los valores de ),,( tsrx para los cuales la función )(xf es Estacionaria ( )0)( 1 =xf reciben
el nombre de “Valores Críticos”y los puntos correspondientes de la curva (R, S, T) el de
Puntos Críticos.
Máximos y MínimosCriterio de la Primera Derivada:
a) Resolver la ecuación 0)( 01 =xf para calcular los Valores Críticos.
b) Representar estos valores Críticos sobre el eje de las abscisas de un Sistema
Coordenado, de esta manera hemos establecido un cierto número de intervalos.
c) Determinar el signo de )(1 xf en cada uno de los intervalos anteriores.
d) Para cada uno de los Valores Críticos 0xx =
)(xf Tiene un Máximo ( )[ ]0xf= , si )(1 xf pasa de + a –
)(xf Tiene un Mínimo ( )[ ]0xf= , si )(1 xf pasa de - a +
)(xf No tiene ni máximo ni mínimo en el punto 0xx = , si )(1 xf no cambia de signo.
Observación: Una función puede tener máximos ó mínimos ( )[ ]0xf= aunque no exista
)( 01 xf . Los valores 0xx = , para los cuales )(xf esta definida pero no existe )(1 xf
también reciben el nombre de Valores Críticos u junto con aquellos otros para los
cuales 0)(1 =xf han de servir para establecer los intervalos.
Máximos y Mínimos
Puntos de Inflexión: Es un punto en el cual la curva pasa de Cóncava a Convexa ó
viceversa. Una curva ( )xfy = tiene un punto de inflexión en el punto 0xx =
Si 0)(11 =oxf ó no esta definida.
Si )(11 xf cambia de signo en un entorno de 0xx = (Esto ultimo equivale a
0)( 0111 ≠xf cuando existe la tercera derivada )( 0
111 xf .
Criterio de la Segunda Derivada:
a) Resolver la ecuación 0)( 01 =xf para calcular los Puntos Críticos.
b) Para cada uno de los Valores Críticos 0xx =
( )xf Tiene un Máximo ( )[ ]0xf= , si 0)( 011 <xf
( )xf Tiene un Mínimo ( )[ ]0xf= , si 0)( 011 >xf
Si 0)( 011 =xf ó se hace infinito, nada se puede afirmar.
Máximos y Mínimos
Ejemplos:
1) Dada la función 8621
31 23 +−+= xxxy
Calcular:
a) Los puntos Críticos.
b) Intervalos en los cuales y es creciente y decreciente.
c) Máximos y Mínimos de y.
2) Dada la función 4432 234 +−−+= xxxxy , Calcular
a) Intervalos en los que y es Creciente y Decreciente.
b) Máximos y Mínimos de y.
Integrales
La Integral:
En muchos problemas se conoce la Derivada de una función y el objetivo es hallar la
función misma, por ejemplo un Sociólogo que conoce el ritmo al que esta creciendo la
población puede desear utilizar esta información para predecir niveles futuros de población,
un Físico que conoce la velocidad de un cuerpo que se mueve puede desear calcular la
posición futura de un cuerpo, un Economista que conoce el ritmo de inflación puede desear
estimar los precios futuros.
El proceso de Obtención de una función a partir de su derivada se llama Calculo de
Primitivas ó Integración.
Una función F cuya derivada es igual a f se dice que es una Primitiva ó Integral
Indefinida de f .
Luego es habitual escribirlo de esta manera:
( ) ( ) CxFdxxf +=∫
Integrales
De donde el símbolo ∫ se llama Signo Integral e indica que va hallar la Primitiva de la
función que le sigue.
Las siguientes 2 hojas (Word) nos resumen la Integrales más conocidas que hay.
Integrales por Partes
Integral por Partes:
Sean u y v funciones derivables de x. En estas condiciones,
( ) vduudvvud +=.
( ) vduvududv −= .
∫∫ −= vduvuudv .
Para aplicar la ultima ecuación en la practica, se separa el integrando en 2 partes, una de
ellas se iguala a u y la otra junto con dx , a dv . (Por esta razón, este método se denomina
Integración por Partes).
Se recomienda para ello tener en cuenta los siguientes criterios:
a) La parte que se iguala a dv debe de ser fácilmente Integrable.
b) ∫vdu no debe ser mas complicada que ∫udv .
Integrales por Partes
Por ejemplo:
Integrar dxex x 23∫
Tenemos que aplicar acá Integral por Partes:
2xu = xdxdu 2=→
dxxedv x 2
= ( )22
212
21 xxx edxxedxxev ===→ ∫∫
Luego:
dxex x23∫ = xdxeex Xx 2.21..
21 222 ∫−
dxex x23∫ Ceex xx +−=22
21..
21 2
Integrales por Partes
Integrar dxx )2ln( 2 +∫
)2ln( 2 += xu ( )22
2 +=→xxdxdu
dxdv = xv =→
Luego:
dxx )2ln( 2 +∫ = ( )∫ +−+
22)2ln(. 2
22
xdxxxx
dxx )2ln( 2 +∫ = ( ) dxx
xx ∫
+−−+
2422ln. 2
2
dxx )2ln( 2 +∫ = ( ) Cxarctagxxx +
+−+
22222ln. 2
Integración por Sustitución Trigonométrica
Integración por Sustitución Trigonométrica:
Las Sustituciones trigonométricas nos permiten reemplazar los binomios 22 xa + , 22 xa − y 22 ax − por términos cuadrados simples y, de este modo transformar numerosas integrales
que contienen raíces cuadradas en otras integrales que pueden ser evaluadas directamente.
Las 3 Sustituciones Básicas:
Las Sustituciones más comunes son:
Con θtanax = θθθ 222222222 sec)tan1(tan aaaaxa =+=+=+
Con θasenx = θθθ 222222222 cos)1( asenasenaaxa =−=−=−
Con θsecax = θθθ 222222222 tan)1(secsec aaaaax =−=−=−
Luego tenemos el siguiente resumen:
1. θtanax = sustituye 22 xa + por θ22 seca
2. θasenx = sustituye 22 xa − por θ22 cosa
3. θsecax = sustituye 22 ax − por θ22 tana
Integración por Sustitución Trigonométrica
Ejemplo:
∫ + 24 xdx
Luego establecemos del problema:
θtan2=x θθddx 2sec2= ,
Entonces:
θθθ 2222 sec4)tan1(4tan444 =+=+=+ x
Luego:
Cddddx
dx++=====
+ ∫∫∫∫∫ θθθθθθθ
θθθ
θθθ tanseclnsec
secsec
sec4sec2
sec4sec2
4
2
2
2
2
2
2
Cxx++
+→
224ln
2
Integración por Sustitución Trigonométrica
Realizar la Integral:
∫ − 2
2
9 xdxx
θsenx 3= , θθddx cos3=
θθ 222 cos9)1(99 =−=− senx
Entonces:
θθθ
θθθ dsendsenxdxx
∫∫∫ ==−
22
2
2
9cos3
cos3.99
Luego sabemos lo siguiente:
Csenddsen +
−=
−= ∫∫ 2
229
22cos199 2 θθθθθθ
Cxxxsen +
−−→ −
39.
3329 2
1
Integral DefinidaIntegral Definida:
El símbolo ( )dxxfb
a∫ se lee “Integral Definida” de ( )xf con respecto a x, desde ax = a
bx =
La función ( )xf recibe el nombre de Integrando y a , b el de limites Inferior y Superior de
Integración, respectivamente.
Propiedades de la Integral Definida:
Si ( )xf y ( )xg son continuas en el intervalo de Integración bxa ≤≤ :
a) ( ) 0=∫ dxxfa
a
b) ( ) ( )dxxfdxxfa
b
b
a∫∫ −=
c) ( ) ( )dxxfcdxxcfb
a
b
a∫∫ = , siendo c una constante.
d) ( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxfa
b
a
b
b
a∫∫∫ ±=±
Integral Definida
e) ( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfb
a
b
c
c
a∫∫∫ =+ , cuando bca <<
f) S i ( ) ( ) ,dxxfuFu
a∫= se verifica ( ) ( )ufuF
dud
=
T eorem a F u n d am en ta l d el C álcu lo In tegra l:
R egla d e B arrow . S i ( )xf es con tinua en el in tervalo cerrado ,bxa ≤≤ y )( xF es la
p rim itiva ó in tegral defin ida de ( )xf , se verifica
( ) ( ) ( ) ( )aFbFab
xFdxxfb
a
−==∫
E jem p los:
a) S ea ( ) ,cxf = una constante, y ( ) ,cxxF = tendrem os ( )abcab
cxcdxb
a
−==∫
b ) S ea ( ) ,xxf = y ( ) ,21 2xxF = tendrem os 5.120
225
05
21 2
5
0
=−==∫ xxdx
c) S ea ( ) ,3xxf = y ( ) ,41 4xxF = tendrem os 20
41
481
13
41 4
3
1
3 =−==∫ xdxx
Integral Definida
Cálculo de Áreas Planas por Integración:
Los pasos a tener en cuenta para plantear la integral definida que proporciona el valor del
Área a calcular son:
a) Trazar un diagrama en el que figuren:
- El Área a determinar.
- Una franja representativa.
b) Aplicar la regla de Barrow ó Teorema Fundamental del cálculo Integral.
Ejemplo:
a) Hallar el área limitada por la curva 2xy = , el eje x y las ordenadas en los puntos 1=x y
3=x
b) Hallar el área comprendida entre el eje x y la parábola 24 xxy −=
Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales Una Ecuación Diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función
desconocida de una ó más variables. Si la función desconocida depende de una sola
variable )(xf (de tal modo que las derivadas son Derivadas Ordinarias) la ecuación se
llama una Ecuación Diferencial Ordinaria.
Si la función desconocida depende de más de una variable ...),,( zyxU (de tal modo que las
derivadas son derivadas Parciales) la ecuación de llama Ecuación Diferencial Parcial.
Ejemplos:
01252
2
=−− xdtdx
dtxd ó 012´5´´ =−− xyy E.D.Ordinaria. (1)
03 =∂∂
+∂∂
yU
xU , T
zT
yT
xT
=∂∂
−∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2
122 E.D.Pacial (2)
Orden de las Ecuaciones Diferenciales
El Orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en
la ecuación.
Por ejemplo la ecuación (1) es de Segundo Orden.
Por ejemplo las ecuaciones (2) son de Primer y Segundo Orden respectivamente.
Ahora que orden tendrá esta ecuación?.
0´)'( 2 =−+ yxyy
Respuesta: es de …….. Orden.
Ecuaciones Diferenciales Lineales ó no lineales
Ecuaciones Diferenciales Lineal y No lineal:
“Para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”
Una ecuación diferencial ordinaria lineal será es una ecuación que puede ser escrita en la
forma siguiente:
)()(')(..............)()( 1)1(
1)( xFyxayxayxayxa nn
nno =++++ −
−
De donde F(x) y los coeficientes )(..,),........(),( 1 xaxaxa no son funciones dadas de x y
)(xao no es idéntica a cero.
Una ecuación diferencial que no puede escribirse en la forma anterior se llama Ecuación
Diferencial No Lineal.
“Ahora ya estamos preparados para el Desarrollo de los Primeros Problemas
propuestos”
Origen de las Ecuaciones Diferenciales
Origen de las Ecuaciones Diferenciales
Una ecuación Diferencial es una ecuación que contiene derivadas por ejemplo:
1) 5+= xdxdy 5) ( ) ( ) 231211 3 xyyy =++
2) 0232
2
=++ ydxdy
dxyd 6)
yzxz
xz
∂∂
+=∂∂
3) 31 =+ yxy 7) yxyz
xz
+=∂∂
+∂∂ 2
2
2
2
2
4) ( ) xyyy cos2 1211111 =++
Si hay una sola variable independiente como en las ecuaciones del 1 al 5, las derivadas son
Ordinarias y su ecuación se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria.
Si hay 2 ó más variables independientes como la ecuación 6 ó 7 se llaman Ecuaciones
Diferenciales Parciales.
Origen de las Ecuaciones Diferenciales
El orden de una Ecuación Diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que
interviene en ella.
El grado de una ecuación diferencial que puede escribirse como un polinomio respecto a
las derivadas es el grado de la derivada de mayor orden que interviene en ella.
Todas las ecuaciones de los ejemplo anteriores son de primer grado excepto la #5 que es de
segundo grado.
Soluciones de las ecuaciones diferenciales:
El problema en las ecuaciones Diferenciales Elementales consiste esencialmente en
encontrar la Primitiva que dio origen a la ecuación.
Una solución particular de una ecuación Diferencial se obtiene de la primitiva dando
valores definidos a las constantes arbitrarias.
Ecuación Diferencial de Primer OrdenE cuación D iferencial L ineal de Prim er O rden:
Sea la ecuación: ( ) ( )xQxyPdxdy
=+
C ada m iem bro de la izquierda es lineal tanto en la variable dependiente com o en su
derivada, se llam a ecuación lineal de prim er orden , por ejem plo:
senxxydxdy
=+ 3 es una ecuación lineal, m ientras que senxxydxdy
=+ 23 no lo es
C om o
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+∫=∫+∫=
∫ xyP
dxdyeexyPe
dxdyye
dxdy dxxPdxxPdxxPdxxP .
D e donde ( )∫ dxxP
e es un factor integrante, y su Prim itiva es
( ) ( ) ( )
CexQedxxPdxxP+∫=∫ ∫ .
Ecuación Diferencial Lineal de Primer orden
La Ecuación de Primer Orden Lineal:
Una ecuación que puede escribirse de la siguiente forma:
( ) ( )xQyxPdxdy
=+
De donde ( )xP y ( )xQ son funciones de x
Para estos tipos de ecuaciones el Factor Integrante es:
∫ PdxeIntegranteF :.
Multiplicando en ambos miembros por el Factor Integrante tenemos lo siguiente:
( ) ( ) ∫=∫+∫ PdxPdxPdxexQyexP
dxdye
Ecuación Diferencial Lineal de Primer orden
Lo cual es equivalente a:
( ) ∫=
∫ PdxPdx
exQyedxd
De ahí finalmente tenemos
( ) dxexQyedPdxPdx ∫=
∫
Integrando tenemos:
( ) cdxexQyePdxPdx
+∫=∫ ∫
Ecuación Diferencial Exacta
Ecuaciones Diferenciales Exactas.
Si 0=+ NdyMdx es exacta entonces hay una función ),( yxU tal que:
dUNdyMdx =+
Ahora de Cálculo Elemental tenemos:
dyyUdx
xUdU
∂∂
+∂∂
=
Entonces
MxU
=∂∂ N
yU
=∂∂
Diferenciando las ecuaciones de arriba tenemos:
yM
yxU
∂∂
=∂∂
∂2
xN
xyU
∂∂
=∂∂
∂2
Condiciones de Exactitud
Ahora para que sea “Exacta” se de cumplir lo siguiente:
xN
yM
∂∂
=∂∂
Ecuación Diferencial de BernoulliEcuación de Bernoulli:
A una ecuación de la forma
( ) ( )xQyxyPdxdy n=+ ó bien ( ) ( )xQxPy
dxdyy nn =+ +−− 1
Se reduce a la forma
( ) ( )xQxyPdxdy
=+
A saber: ( ) ( ){ } ( ) ( )xQnxPnvdxdv
−=−+ 11 mediante la transformación
vy n =+− 1 dxdvndx
dyy n
−=−
11
Ecuación de Bernoulli
Resolver:
5xyydxdy
=− ó bien xydxdyy =− −− 45
La transformación: ,4 vy =− dxdv
dxdyy
415 −=− reduce a la ecuación en:
xvdxdv
=−−41 ó xv
dxdv 44 −=+
Un factor integrante es: xdxee 44
=∫
Entonces: dxxeve xx ∫−= 44 4 = Cexe xx ++− 44
41
Cexeey xxx ++−=− 4444
41 ó xCex
y4
4 411 −++−=
Factores Integrantes
Ecuaciones Diferenciales Inexactas:
Para las ecuaciones que no son exactas, nosotros podemos hacerlas Exactas mediante un
Factor Integrante µ
Considerando en el caso en que 0=+NdyMdx no es separable ó exacta, luego a este
multiplicamos por el factor integrante µ (desconocido por el momento).
Luego tenemos: 0=+ NdyMdx µµ ahora ya es exacta, entonces se debe de cumplir:
( )xN
yM
∂∂
=∂
∂ µµ )(
Ahora podrá haber 2 casos los cuales son los siguientes:
Factores Integrantes
Si µ es función solo de x, luego:
xN
xN
yM
∂∂
+∂∂
=∂∂ µµµ
Esto arreglado llega a ser:
∂∂
−∂∂
=∂∂
xN
yM
Nxµµ x
xN
yM
N∂
∂∂
−∂∂
=∂
→1
µµ
Si el factor
∂∂
−∂∂
xN
yM
N1 es función solo de x entonces la llamaremos ( )xf
Ahora tenemos entonces:
( ) xxf ∂=∂µµ de ahí tenemos ( )dxxf∫∫ =
∂µµ
Factores Integrantes
( )dxxfLn ∫=)(µ
Finalmente nuestro Factor de Integración es:
( )∫=dxxf
eµ
Factores Integrantes
Si µ es función solo de y, luego:
( )xN
yM
∂∂
=∂
∂ µµ )(
yM
yM
xN
∂∂
+∂∂
=∂∂ µµµ
yM
yM
xN
∂∂
=
∂∂
−∂∂ µ
µ
De ahí tenemos finalmente:
dyyM
xN
M
∂∂
−∂∂
=∂ 1µµ
Si el factor
∂∂
−∂∂
yM
xN
M1 es función solo de y entonces la llamaremos ( )yg
Factores Integrantes
Ahora tenemos entonces:
( ) yyg ∂=∂µµ de ahí tenemos ( )dyyg∫∫ =
∂µµ
( )dyygLn ∫=)(µ
Finalmente nuestro Factor de Integración es:
( )∫=dyyg
eµ
09/03/2005 1
Problemas de Matemáticas
Universidad Autónoma San Luis Potosí (UASLP)
Maestría en Ingeniería de Minerales
09/03/2005 2
Temas
1. Vectores.2. Matrices3. Derivadas4. Máximos y Mínimos5. Derivadas Parciales, Gradiente de una Función6. Máximos y Mínimos7. Integrales8. Ecuaciones Diferenciales (Exactas, Inexactas,Factores
de Integración, Separación de variables, lineales, no lineales, de Bernoulli, de Riccati…..)
09/03/2005 3
Vectores1) Busque los componentes del vector v con los puntos iniciales ),,(: 111 zyxP y los puntos
finales ( )222 ,,: zyxQ , Represéntelo Gráficamente, y además encuentre su magnitud.
a) )0,2,4(:),0,0,1(: QP
b) )2,0,1(:),1,0,4(: QP −
c) )4,2,1(:),1,2,3(: −− QP
d) )0,0,3(:),1,1,1(: QP −−−
e) )5,7,1(:),5,7,1(: −− QP 2) En cada caso se dan los componentes 321 ,, vvv de un vector v y un punto inicial particular
P. Hállese el punto terminal correspondiente y la longitud de v.
a) 0,1,1 − )0,1,2(:P
b) 1,2,6 )1,2,6(: −−−P
c) 2,1,3 )2,1,3(:P
d) 0,0,0 )2,1,1(: −−P
e) 6,4,2 − )6,2,4(: −P
09/03/2005 4
Vectores3) Sean kjia 32 +−= kjib −+= , kc 4= Encuentre:
a) abba ++ ,
b) cba 423 +−
c) baba ++ ,
4) En cada caso encuentre la Resultante:
kjip −+= 3 , kiq 25 −= , kju 3+−=
5) Determine la fuerza p tal que p, kjq 43 −= y jiu −= queden en equilibrio.
6) Sea kjia 32 ++= , kib 4−= y kjic 23 +−= Encuentre.
a) abba .,..
b) cba ++
c) ( ) cbcacba ..,. ++
09/03/2005 5
Vectores
7) ¿Son Ortogonales las diagonales de un Cubo, si no fuesen cual seria el Ángulo?
8) Sean los vectores los siguientes:
kjia ++= jib +−= y kic += 3
Encuentre el Coseno del Angulo entre los vectores siguientes:
a) a, b
b) a + b, c
9) Encuentre el Área del Paralelogramo que tiene como 2 de sus lados adyacentes a los
vectores dados:
a) i, i+ j
b) i + 2j-k, j + k
09/03/2005 6
Matrices
Matrices:
1) Sean las matrices:
−=
4032
A
−=
1225
B
−=
403210
C , Encontrar
a) A-B
b) AT
c) (CT)T
d) A+AT , A-AT
e) (A+B)T , AT+BT
f) Representar A-B como la suma de una Matriz Simétrica y una Antisimetrica.
09/03/2005 7
Matrices2) Sean
=
600240531
K ,
−−=
034011002
M y
−=8320
76N
Hallar:
a) (3N)T , 3NT
b) K-M , M-K
c) Representar la matriz K como la suma de una Matriz Simétrica y una Antisimétrica.
d) KM
e) NK
3) Represente las Transformaciones en una Matriz.
3753 =++ zyx
5863 =++− zyx
18425 =++ zyx
09/03/2005 8
Matrices
4) Si A da los precios (en centavos/libra) de 2 artículos en tres tiendas y x da las
cantidades (lb) que alguien desea comprar, ¿Que puede ver esta persona en y =Ax?
Papas Cebollas
=
1489151112
ATiendaIIITiendaIITiendaI
=
1030
x CebollasPapas
09/03/2005 9
Matrices (Determinantes)Determinantes:
1) Calcular cada uno de los siguientes Determinantes:
a) 201441
112− b)
aa
a
102201
2) Si el Determinante 1111203 =zyx
Calcular el determinante de cada matriz.
a)
111105.1222 zyx
b)
−−−
111314
111 zyx
3) ¿Cuanto sale el valor de cada una de estas Determinante?
a) 222
111
cbacba b)
22
22
22
babccabcacabcaabcb
++
+
09/03/2005 10
Matrices (Determinantes)
4) Resolver aplicando la Regla de Cramer y la Eliminación de Gauss.
a) 923 =− yx b) 723 =−+− zyx
36 −=+− yx 333 −=+ zx
122 −=++ zyx
09/03/2005 11
DerivadasDerivadas Suma, Productos, Cocientes, Potencias:
a) Derivar las siguientes funciones:
6105 245 +−+= xxxy xxy 22 +=
( )651 xy −= 22)1( 2 +−−= xxxy
4
3
3
121
+−
=xxy
b) Derivar lo indicado en los problemas:
523 24 −+−= xxxy , 111y
232 xy −= , 11y
1−
=x
xy , 11y
09/03/2005 12
Derivadas
Hallar 1y en las siguientes Ecuaciones:
0222 =+− yxyyx
322 =+− yxyx 33 xyyx +
Derivadas de Funciones Trigonométricas, Logarítmicas, Exponenciales y Función
Inversas.
xseny 23= xtagy 54=
xy31sec9= )23(2 −= xseny
)32(3 −= xseny xtagxseny 221
=
senxxxsenxxy 2cos22 −+=
09/03/2005 13
Derivadasa) Demostrar lo siguiente:
0411 =+ yy de donde )32(3 += xseny
0111111 =+++ yyyy de donde xsenxy cos2+=
b) Si ktBAsenktx cos+= siendo A, B, k constantes, demostrar que: xkdtxd 22
2
−=
c) Hallar la derivada de las siguientes funciones:
)54ln( −= xy 23ln xy −= 32 )1ln( −+= xxy
)ln(sec tagxxy += xey 5= xseney 3=
xarcseney = xey x cos−= axax
axax
eeeey −
−
+−
=
09/03/2005 14
Derivadas
d) Si )2cos2(2 xxseney x += − , demostrar que 084 111 =++ yyy
e) Si xexy 2= , demostrar que ( ) xexxy 662111 ++=
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Máximos y MínimosMáximos y Mínimos
Hallar los máximos y mínimos de las siguientes funciones:
xxy 2502 +=
( )2212 xxy −=
Hallar el Máximo y el Mínimo Aplicando el criterio de la Primera Derivada:
( ) 322 −+= xxxf
( ) 223 xxxf −+=
( ) 842 23 +−+= xxxxf
Hallar el Máximo y el Mínimo Aplicando el criterio de la Segunda Derivada:
xxy 2502 +=
( )2212 xxy −=
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Integrales
Integrales:
Resolver las siguientes Integrales:
dxxx∫ − 26 xdxx 3csc3cot 24∫ xdxe x∫ +− 22
dxeex
x
∫ +−
31
2
2
∫
+−
− 1212 xdx
xdx dx
xxx∫
+−
221 ∫ +3x
dx dyyy 341∫ +
( )∫+ 3
1bxadx
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IntegralesProblemas de Integrales:
1) Resolver:
∫ senxdxx. xdx∫ 3sec ∫ xdxxcos ∫ xdxln
dxxsenx∫ 2. dtet t42∫ xdxe x 3cos2∫ ( ) drerr r∫ ++ 12
θθθ dsene∫ senbxdxeax∫
2) Hallar el volumen del Sólido generado al hacer girar, sobre el eje y, la región del
primer cuadrante acotada por los ejes coordenados, la curva xey = y la recta
2ln=x .
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Integrales3) Resolver las Integrales Siguientes:
∫ + 29 ydy ∫ + 24 x
dx
∫ − 29 xdx ∫ − 925
52xdx
dwww
∫−
2
29 ∫ +122 xxdx
∫ + 22 4 xxdx
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Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales:
1) Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones Diferenciales como Ordinarias ó
Parciales; indique el orden de cada ecuación; y determine en cada caso si la
ecuación en Lineal o no lineal.
a) senxydxdy
dxyd
dxyd
=+−+ 354 2
2
3
3
b) 02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yu
xu
c) 0535
2
2
4
4
=+
+ y
dxyd
dxyd
d) 02
2
2
2
22
4
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
∂ uyu
xu
yxu
e) txdtxd
dtxd
dtxd
=+
+ 3
3
4
4
6
6
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Ecuaciones Diferenciales
2) Demuestre que cada una de las funciones definidas en la columna I es una solución de la
ecuación diferencial correspondiente de la columna II, en cada intervalo a< x <b del eje x.
I II
a) xx eexf 43 52)( −= 01272
2
=+− ydxdy
dxyd
b) 762)( 2 +++= xxexf x 22
2
423 xydxdy
dxyd
=+−
c) 211)(x
xf+
= 024)1( 2
22 =+++ y
dxdyx
dxydx
3) Demuestre que 125 2322 =− yxyx es una solución implícita de la ecuación diferencial
33 yxydxdyx =+
en el intervalo de 0<x<2.5.
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Ecuaciones Diferenciales4) En los siguientes ejercicios determinar si cada una de las ecuaciones dadas es ó no es
exacta, resolver luego aquellas que sean exactas.
a) ( ) ( ) 0223 =+++ dyyxdxyx
b) ( ) ( ) 023 32 =+−+ dyyxdxyx
c) ( ) ( ) 02tantansecsec2 =+++ dyyxdxxxxy
d) 03
2
2 =
++
+ dyy
yxdxx
yx
e) 01312 21
21
21
23
=
−+
+ dyyxdxx
y
5) Resolver los problemas de valor inicial de los ejercicios:
a) ( ) ( ) 0432 2 =++− dyyxdxxy ( ) 21 =y
b) ( ) ( ) 022 2 =++++ dyxyedxyeye xxx ( ) 60 =y
6) Determinar la constante A tal que la ecuación sea exacta y resolverla luego.
( ) ( ) 043 22 =+++ dyyAxdxxyx
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Ecuaciones Diferenciales7) Resolver las Ecuaciones D iferenciales
a) 263 xxy
dxdy
=+
b) ( ) 01 =−++ dxyxyxdy
c) ( ) ( ) 01coscos 2 =+−− dysenxdxxyx
d) ( ) 084 3 =−+ − xdxyydy
8) Resolver los problem as de valor inicial:
a) 422 xydxdyx =− ( ) 82 =y
b) ( )[ ] ( ) 0113 2=+++− dyedxeye xxx ( ) 40 =y
9) Considere la ecuación xkebydx
dya λ−=+
de donde a, b y k son constantes
positivas y λ es una constante no negativa.
a) Resolver la ecuación.
b) D em uestre que si 0=λ toda solución se aproxim a a bk cuando ∞→x , pero si 0>λ
toda solución se aproxim a a 0 cuando ∞→x .
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Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y Primer Grado, Bernoulli
a) 02 4 =++ xyxydxdy
b) ( ){ } 0ln13 =++− dxxxyyxdx
c) xydxdy 22 +=+
d) 23 =+ ρθρdd
e) xexydxdy 3233 −=+
f) xy
xy
dxdy 2
−=−
h) θθθ
costan =+ rddr
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Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Exactas:
Seleccionar entre las siguientes ecuaciones las que son exactas y resolverlas:
a) ( ) 02 2 =−− dyxdxyxy
b) ( ) xydydxyx 222 ++
c) ( ) ( ) 0543432 =+++++ dyyxdxyx
d) 022 =−− dyxadx
e) ( ) ( ) 031 =−−−++ dyxydxyx
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Problemas de Ecuaciones Diferenciales
Problemas de Ecuaciones Diferenciales:
1) Una cierta sustancia química se convierte en otra mediante una reacción química. La
rapidez con que la primera sustancia se convierte es proporcional a la cantidad de esta
sustancia presente en cualquier instante. 10% de la cantidad original de la primera sustancia
se ha transformado en 5 minutos.
a) Que porcentaje de la primera sustancia química se habrá convertido en 20 minutos.
b) En cuantos minutos se habrá convertido el 60% de la sustancia química.
2) Suponga que la población de una ciudad crece con una rapidez que es proporcional al
número de habitantes en cualquier tiempo. Si la población se duplica en 40 años. En cuanto
tiempo la población se triplicara.
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Problemas de Ecuaciones Diferenciales
3) Un tanque inicialmente contiene 100 galones de salmuera en el que se han disuelto 20
libras de sal. Comenzando en tiempo t=0, la salmuera que contiene 3 lb de sal disuelta por
galón entra al tanque en razón de 4 gal/min. La mezcla se conserva uniforme mediante
agitación, y estando bien agitada sale simultáneamente del tanque con la misma rapidez.
a) Que cantidad de sal habrá después de 10 minutos.
b) Cuando se tendrá en el tanque 160 lb. de sal.