Universidad Autónoma de Coahuila Facultad de Ingeniería

Departamento de Postgrado e Investigación

Maestría en Construcción Urbana

Métodos Numéricos Aplicados a la

Ingeniería Civil Luis E. Castro-Solís, Compilador

© D.R. Luis E. Castro-Solís, Saltillo, Coahuila, MÉXICO. Diciembre de 2003

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Civil Copyright © D.R. Luis E. Castro Solís, Compilador Facultad de Ingeniería Universidad Autónoma de Coahuila Saltillo, Coahuila, MÉXICO, 2003-12-16

Los autores son responsables por la elección y presentación de los hechos contenidos en los artículos firmados y las opiniones expresadas en estos, las cuales no necesariamente son las mismas que las de la Facultad de Ingeniería. Los textos publicados pueden ser reproducidos y traducidos libres de cargos, siempre y cuando se mencione el autor y la fuente. El compendio completo no puede reproducirse como un todo sin la autorización de la Facultad de Ingeniería.

Prefacio Hoy por hoy, el estudio de tópicos fundamentales de Análisis Numérico es indispensable para el ingeniero moderno que se precie de serlo; conjuga así una variedad de métodos indispensables para la aproximación de soluciones de ingeniería a problemas crecientemente complejos, en donde no están disponibles soluciones analíticas, o a veces es imposible o indeseable obtenerlas, ya sea por la multidimensionalidad inherente al problema, por su variabilidad en el dominio de tiempo y/o del espacio o por el esfuerzo computacional requerido para obtener alguna solución. El uso de métodos numéricos, se ve en gran medida facilitado por la disponibilidad de plataformas computacionales automáticas, como lo es el producto MS-Excel®. En este volumen, se han compilado casos de estudio referentes a la aplicación del análisis numérico a la ingeniería civil; los autores de los diferentes casos son, en su mayoría, graduados en ingeniería civil o en arquitectura, estudiantes de la Maestría en Construcción Urbana que se imparte en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de Coahuila. Los casos aquí presentados, ilustran la potencia y utilidad de algunos métodos numéricos estudiados en el curso de Computación I (Análisis Numérico Avanzado) para resolver efectiva y eficientemente ciertos problemas de ingeniería civil. También es el presente, un breve catálogo de las habilidades técnicas adquiridas por los autores en el campo del análisis numérico y la evidencia objetiva de su capacidad para integrar y comunicar dichos conocimientos al resto de la comunidad universitaria. A la vez, se espera que este producto final sirva como motivación al lector interesado, para emprender el estudio de los métodos numéricos. Es para mi muy agradable el tener la oportunidad de presentar a ustedes el presente volumen, fruto del esfuerzo y dedicación de mis estudiantes. Estoy seguro que su lectura servirá para los propósitos que han sido expresados y de gran interés y utilidad para el ingeniero lector.

Luis E. Castro-Solís Profesor de la Facultad de Ingeniería de la

Universidad Autónoma de Coahuila

Contenido Análisis de Superficie de Respuesta Luis E. Castro Solís Obtención de Volúmenes en Corte y Terraplén Jesús Guillermo Cuellar Álvarez Análisis de una Estructura para Puente Peatonal Jesús Dávila Flores Determinación del Ángulo de Fricción Interna Mínimo de un Suelo Cohesivo-Friccionante Leonardo Galindo Aréchiga Calculo de Peralte y Área de Zapatas Cuadradas José Manuel Loera Velázquez Análisis Estructural de un Marco Margarita Mendoza Miranda Cálculo de la Estabilidad de un Muro de Contención Rosa Irma Ortiz Reyes Análisis de una Armadura de Techo Juan Martín Peña Lara Cálculo de Dimensiones de Pilotes en Bloque Mónica Alejandra Pérez Torres Análisis de Marcos Ortogonales Mitzy Delil Silva Máynez Análisis de Armaduras Isela Yaneth Vásquez Hernández

Resumen ANÁLISIS DE SUPERFICIE DE RESPUESTA Luis E. Castro-Solís Se presenta una metodología básica basada en Excel® para estimar los parámetros de una superficie de respuesta (optimización de mezclas); dicha metodología se compara razonablemente bien con metodologías previamente validadas, demostrandose la bondad de la plataforma computacional Excel® para la realización de la tarea. OBTENCIÓN DE VOLÚMENES EN CORTE Y TERRAPLÉN Jesús Guillermo Cuéllar Álvarez Con el presente proyecto, se pretende obtener, de una manera numérica, los volúmenes tanto en corte y en terraplén; a partir de un levantamiento topográfico recabado en campo, (planimetría y altimetría). Con lo anterior se podrá definir, a juicio propio, la elevación de la sub rasante para el proyecto, la cual se ajustará hacia arriba o hacia abajo, dependiendo ya sea de: puntos obligados, disponibilidad de bancos de material, costos en los acarreos, dureza del terreno natural para corte, cambios de pendientes, etc. Al final resultaran los volúmenes correspondientes a cada una de las secciones analizadas, así como un perfil topográfico, el cual nos pueda ayudar a decidir hacia donde realizar los movimientos de tierras, y si los materiales de corte puedan ser utilizados para terraplenar. ANÁLISIS DE UNA ESTRUCTURA PARA PUENTE PEATONAL Jesús Dávila Flores Con el presente trabajo de análisis de una armadura de puente tipo Pratt estáticamente determinada se pretende demostrar que es posible resolver con el uso de los métodos numéricos un problema importante de la ingeniería civil y en específico de la estructural que es determinar las interacciones complejas causa-efecto que ocurren en los miembros de una estructura para determinar las fuerzas y reacciones resultantes de la aplicación de las cargas a las que esta sometida una estructura, con resultados similares a los obtenidos por métodos analíticos, pero simplificando el análisis de las mismas y pudiendo desarrollar programas de uso amigable y sencillo, aplicado en el diseño de un puente peatonal de la Colonia Vista Hermosa. DETERMINACIÓN DEL ANGULO DE FRICCIÓN INTERNA MÍNIMO DE UN SUELO COHESIVO-FRICCIONANTE, PARA PROYECTOS TIPO Leonardo Galindo Aréchiga El presente proyecto, nos mostrará una de las múltiples aplicaciones del Análisis Numérico, en la Mecánica de Suelos; para lo cual, se hará uso de la principal teoría para determinar la capacidad de carga de un suelo con cohesión y fricción, en combinación con dos importantes técnicas abiertas del Análisis Numérico propias para encontrar raíces en ecuaciones; de lo anterior y con la ayuda de Microsoft Excel®, se efectuó un programa que determina el ángulo de fricción interna mínimo que debe tener el suelo para garantizar la factibilidad de un proyecto tipo, para fines prácticos se plantean tres ejemplos de la Ingeniería de Cimentaciones.

CALCULO DEL PERALTE Y AREA DE UNA ZAPATA CUADRADA José Manuel Loera Velázquez Este calculo comprende el diseño adecuado de una zapata cuadrada de concreto reforzado cargada axialmente. Por otro lado se obtuvo la capacidad de carga del terreno, la profundidad de desplante así como el peso especifico del terreno, esto proporcionado por un laboratorio de mecánica de suelos. Se propuso la resistencia del concreto y se opto por utilizar varilla corrugada. Partiendo de los datos proporcionados se realizaron los siguientes cálculos: la revisión por capacidad de carga del terreno y la revisión de los cortentes por flexion y penetración realizando los ajustes en las dimensiones de la zapata. ANALISIS DE UN MARCO ESTRUCTURAL RIGIDO Márgarita Isable Mendoza Miranda El presente trabajo de Análisis Numérico muestra por medio de un programa sencillo en una hoja de Excel la solución de un MARCO ESTRUCTURAL RIGIDO con desplazamiento lateral, en el cual podemos determinar los momentos finales, necesarios para la selección de los perfiles adecuados y óptimos para el diseño. El método de análisis por rigidez(anteriormente conocido como método de deflexión y pendiente) es el que se usa más comúnmente para el análisis estructural indeterminado, usando la computadora digital. Este método se adapta particularmente al uso de la computadora, ya que la matriz es siempre poco densa y simétrica. Se puede aprovechar la simetría para reducir el esfuerzo de inversión, de modo que se puedan obtener económicamente rápidas soluciones de problemas de muy grandes dimensiones.

CALCULO DE LA ESTABILIDAD DE UN MURO DE CONTENCIÓN Rosa Irma Ortiz Reyes El presente análisis tiene como finalidad el evaluar un muro de contención de tipo “T”, a través de un programa como demostración para obtener las dimensiones adecuadas al encontrar la altura optima, el cual tendrá como relleno diversos tipos de materiales como relleno, siguiendo el procedimiento convencional se obtuvieron ecuaciones para la estabilidad las cuales están en función de la profundidad y fueron nombrándose los términos que se consideraron constantes para hacerlas más simplificadas.

Para la solución a estas ecuaciones se obtuvo por el Método Numérico de Newton-Raphson y así conocer las dimensiones restantes.

ANÁLISIS DE UNA ARMADURA DE TECHO Juan Martín Peña Lara El Análisis efectuado en este proyecto de una Armadura de Techo, como parte de una Estructura de un Edificio Industrial, y desarrollado por métodos numéricos, fue necesario hacer diversos arreglos por medio del ordenador para lograr este objetivo, lo cual incluye efectuar el método de nudos, y encontrar el resultado de los valores de las ecuaciones resultantes de cada uno, así como la determinación y aplicación del método de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, calculando la inversa de una matriz con los valores resultantes de las ecuaciones, además de multiplicar la inversa obtenida por los vectores de cada ecuación, dando finalmente el resultado de cada miembro de la armadura, en donde cada elemento difiere de la convección de signos, de los cuales dará escalares con signo positivo

para miembros en Tensión y escalares con signo negativo para los miembros en Compresión. La capacidad de análisis y de síntesis se ve positivamente influida por unos sólidos conocimientos de álgebra lineal, que ayudarán a los profesionales que afronten estos retos de cálculos estructurales, a desarrollar y simplificar muchos de los problemas que se les presenten. CALCULO DE DIMENSIONES DE PILOTES EN BLOQUE. Mónica Alejandra Pérez Torres El proyecto se trata de resolver un problema de cálculo de capacidad de carga de un grupo de pilotes que trabajan por bloque, de los cuales no se conocen las dimensiones, que es lo que se busca conocer. La manera tradicional de estos cálculos es hacerlo por tanteos hasta encontrar la solución ya que no se puede despejar directamente, por lo que se utilizará un método de análisis numérico al que se le da un valor inicial con fines de cálculos para obtener la solución de manera rápida y exacta. ANALISIS DE MARCOS ORTOGONALES (SOLUCION CON GAUSS-SEIDEL) Mitzy Delil Silva Máynez Este trabajo tiene como finalidad utilizar el método de Gauss – Seidel para la solución de sistemas de ecuaciones, en el que es generado al analizar un marco ortogonal con diferentes cargas y dimensiones, además de verificar si en este método no se ocupa demasiado tiempo en comparación del método de la matriz inversa que puede ser utilizado en Excel. ANALISIS DE ARMADURAS Isela Yaneth Vasquez Hernández En este proyecto se analizaron algunas de las Armaduras más comunes en la construcción de puentes, tales como: PRATT, PARKER, HOWE, WARREN, etc.. El método que se utilizo para resolver esta problemática fue el de Matriz Inversa, en el cual se aplica la carga real, con el objetivo de conocer sus limites. El propósito de este análisis es conocer las reacciones y fuerzas internas de cada tipo de armadura para compararlas entre sí, y determinar cual es la Armadura mas adecuada a utilizar en la construcción de este puente.

Análisis de Superficie de Respuesta

Luis E. Castro-Solís Departamento de Postgrado e Investigación

Facultad de Ingeniería Universidad Autónoma de Coahuila

Resumen Se presenta una metodología básica basada en Excel® para estimar los parámetros de una superficie de respuesta (optimización de mezclas); dicha metodología se compara razonablemente bien con metodologías previamente validadas, demostrandose la bondad de la plataforma computacional Excel® para la realización de la tarea. Introducción Una meta común en muchos tipos de experimentación es caracterizar la relación entre la respuesta y un conjunto de factores de interés para el investigador. Este objetivo se cumple construyendo un modelo que describe la respuesta sobre los rangos aplicables de los factores de interés. En muchas aplicaciones, el modelo ajustado se refiere como superficie de respuesta ya que la respuesta puede ser graficada como una curva en una dimensión (un factor de interés) o una superficie en dos dimensiones (dos factores de interés). La superficie de respuesta puede ser explorada para determinar características importantes tales como las condiciones de operación óptimas, por ejemplo, los niveles de los factores que producen la mínima (o la máxima, según aplique) respuesta estimada, o bien, compromisos relevantes cuando existen múltiples respuestas. El objetivo de este ensayo es presentar una estrategia de diseño para desarrollar y analizar funciones de respuesta. Se utilizará la plataforma MS-Excel® + Solver para elaborar la estimación de parámetros por el criterio de Mínimos Cuadrados y la optimización de la superficie mediante el método de Newton-Raphson; los cálculos se efectuaron con un procesador Intel® Pentium IV a 2.61GHz y 500 MB de memoria RAM. Marco referencial Ciertos tipos de problemas científicos involucran expresar una variable de respuesta como una función empírica de uno o más factores cuantitativos. Esto se logra utilizando una función respuesta para modelar la relación

(1) y = f(x1, x2, …, xk)

donde y es la respuesta y (x1, x2, …, xk) son los niveles cuantitativos de los factores de interés. El conocimiento de la forma funcional de f, a veces hallado ajustando modelos a los datos obtenidos de experimentos diseñados, permite tanto resumir los resultados del experimento como predecir la respuesta para valores de los factores cuantitativos. La función f define la superficie de respuesta. Es posible entonces determinar los niveles de los factores para los cuales la variable de respuesta es óptima. Por ejemplo, el autor del presente ensayo ha utilizado la metodología de superficie de respuesta para evaluar las proporciones de una mezcla de silicatos solubles (SS) e insolubles (SNS) y suelo contaminado con metales pesados (lodo húmedo, LH) para minimizar la fuga hacia el medio ambiente del contaminante (Castro, 2000). En dicho caso, se utilizó una función de 2º orden de la forma (2) M = aSNS + bSS + cLH + dSNS.SS + eSNS.LH + fSS.LH

En donde: SNS= % de silicato insoluble en la mezcla SS = % de silicato soluble en la mezcla LH = 100 – SNS – SS = % de lodo húmedo M = Concentración aparente de metal en el suelo tratado (mg/kg) a, b, c, d, e ,f = Parámetros del modelo (desconocidos) Se condujo un experimento diseñado para la optimización de la mezcla (Tabla 1) y se procedió a realizar la estimación de parámetros y la optimización de la superficie de respuesta correspondiente, mediante la metodología descrita en la siguiente sección.

Métodos Superficie de respuesta Como se ha mencionado se propuso una función M descrita en Castro (2000) que incorpora efectos de 2º orden, para correlacionar la disponibilidad ambiental del metal (mg de metal/kg de suelo) con las proporciones (%) de la mezcla de lodo húmedo contaminado (LH) y silicatos solubles (SS) e insolubles (SNS) (3) LHSS f LHSNS e SSSNS d LH c SS b SNS a ⋅+⋅+⋅+++=M Estimación de parámetros Para la función (3) descrita arriba, es posible escribir el criterio de mínimos cuadrados (4), en donde los valores de los parámetros del modelo (a, b, …, f) son tales que minimizan el error cuadrático total R, es decir, la diferencia elevada al cuadrado, entre los valores medidos Mi y los valores predichos por el modelo (3) de acuerdo a los valores de las variables controladas SNSi, SSi y LHi (4)

( )[ ]2

1iiiiiiiii LHSS f LHSNS e SSSNS d LH c SS b SNS amin ∑

=

⋅+⋅+⋅+++−=n

iiMR

Proporciones de la mezcla Respuesta LH (%) SNS (%) SS (%) M (mg/kg) 75.00 22.00 3.00 3.00 74.25 22.00 3.75 2.69 73.50 22.00 4.50 3.40 72.75 22.00 5.25 3.78 72.00 22.00 6.00 4.17 70.75 26.25 3.00 2.83 70.00 26.25 3.75 2.86 69.25 26.25 4.50 3.25 68.50 26.25 5.25 4.01 66.50 30.50 3.00 3.01 65.75 30.50 3.75 3.42 65.00 30.50 4.50 3.85 62.25 34.75 3.00 3.21 61.50 34.75 3.75 3.66 58.00 39.00 3.00 3.45

Tabla 1. Concentración aparente de metal (M) en un sistema suelo/silicatos (Castro, 2000)

Para efectuar la estimación de parámetros se utilizó la función Solver de Excel® (ver Apéndice), Para lo cual se preparó la tabla 2 (formato de cálculo), en la cual la columna M (respuesta calculada) se computa mediante la expresión (3) en función de los parámetros (a,b,…,f) desconocidos (inicialmente valores propuestos arbitrariamente)

El Solver minimiza automáticamente el valor del error cuadrático total, cambiando los valores de los parámetros (a,b,…,f) propuestos (Véase Apéndice), utilizando para ello (a elección del usuario) el método de Newton o de Gradiente Conjugado (Chapra, 2000). Graficación Conocidos los parámetros del modelo (3), es posible tabular los valores de M en cierto dominio de SS y SNS (ya que son proporciones (%) de una mezcla, la tercera variable, LH queda definida con la expresión (5) LH = 100 – SS – SNS Y graficar utilizando la función de graficación de superficies o de iso-curvas de Excel. Optimización Conocidos los parámetros (a,b,…,f) de (3), la optimización de la función M consiste en determinar los valores de las variables controladas (SNS, SS, LH) tales que se minimiza M, ya que en el caso particular presentado, es relevante minimizar la disponibilidad ambiental del metal contenido en la mezcla.

Parámetros

a b c d E f

¿? ¿? ¿? ¿? ¿? ¿?

Proporciones de la mezcla Respuesta medida

Respuesta calculada

Error cuadrático

LHi (%) SNSi (%) SSi (%) Mi (mg/kg) M ERR CUAD

xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx

: : : : : :

: : : : : :

xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx xx.xx Error cuadrático total (suma) = xx.xx

Tabla 2.- Formato de cálculo para estimación de parámetros mediante ajuste de mínimos cuadrados no lineales

Se utilizó el Solver, minimizando la celda M, cambiando los valores de las variables SS y SNS, la tercera variable, LH se calcula con (5), como ya ha sido mencionado. Resultados Estimación de parámetros

A B C D E F0.1389 15.2721 0.0954 -0.1327 -0.0034 -0.1721

Respuesta medida

Respuesta calculada

Error cuadrático

LH(%) SNS (%) SS(%) M (mg/kg) Mt (mg/kg) ERR CUAD75.00 22.00 3.00 3.00 2.88 0.0174.25 22.00 3.75 2.69 2.94 0.0673.50 22.00 4.50 3.40 3.18 0.0572.75 22.00 5.25 3.78 3.63 0.0272.00 22.00 6.00 4.17 4.26 0.0170.75 26.25 3.00 2.83 2.85 0.0070.00 26.25 3.75 2.86 3.05 0.0369.25 26.25 4.50 3.25 3.43 0.0368.50 26.25 5.25 4.01 4.01 0.0066.50 30.50 3.00 3.01 2.95 0.0065.75 30.50 3.75 3.42 3.28 0.0265.00 30.50 4.50 3.85 3.80 0.0062.25 34.75 3.00 3.21 3.17 0.0061.50 34.75 3.75 3.66 3.64 0.0058.00 39.00 3.00 3.45 3.52 0.00

Error cuadrático total = 0.25

M = A SNS + B SS + C LH + D SNS SS + E SNS LH + F SS LH

Proporciones de la mezcla

Parámetros

Modelo

Tabla 3. Estimación de parámetros del modelo (3)

Graficación de superficie de respuesta

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.6 4.266 4.005 3.772 3.566 3.388 3.237 3.113 3.018 2.950 2.909 2.896 2.910 2.9520.8 4.079 3.836 3.619 3.431 3.269 3.136 3.030 2.951 2.900 2.876 2.880 2.912 2.9711.0 3.907 3.680 3.481 3.309 3.165 3.049 2.960 2.898 2.864 2.858 2.879 2.927 3.0031.2 3.748 3.538 3.356 3.202 3.075 2.975 2.903 2.859 2.842 2.853 2.891 2.957 3.0501.4 3.602 3.410 3.245 3.108 2.998 2.916 2.861 2.833 2.834 2.862 2.917 3.000 3.1101.6 3.471 3.296 3.148 3.028 2.935 2.870 2.832 2.822 2.839 2.884 2.957 3.056 3.1841.8 3.353 3.195 3.064 2.961 2.886 2.837 2.817 2.824 2.858 2.920 3.010 3.127 3.2722.0 3.249 3.108 2.995 2.909 2.850 2.819 2.816 2.840 2.891 2.971 3.077 3.211 3.3732.2 3.159 3.035 2.939 2.870 2.828 2.815 2.828 2.869 2.938 3.034 3.158 3.310 3.4882.4 3.082 2.976 2.896 2.845 2.820 2.824 2.854 2.913 2.999 3.112 3.253 3.421 3.6172.6 3.020 2.930 2.868 2.833 2.826 2.847 2.895 2.970 3.073 3.203 3.362 3.547 3.7602.8 2.971 2.898 2.853 2.836 2.846 2.883 2.948 3.041 3.161 3.309 3.484 3.686 3.9173.0 2.936 2.880 2.852 2.852 2.879 2.934 3.016 3.126 3.263 3.428 3.620 3.840 4.087

SNS (%)

SS

(%)

M (mg/kg)

Tabla 4. Tabulación de M

1

4

7

10

13C1 C

4 C7 C

10 C13

2.0002.2002.4002.6002.8003.0003.2003.4003.6003.8004.0004.2004.400

Figura 1. Superficie de Respuesta

Optimización

Punto óptimo (Min M) SNS (%) = 30.93

SS (%) = 2.05 LH (%) = 67.02

M (mg/kg) = 2.814 Tabla 5. Optimización de superficie de respuesta

La fuga de metal se minimiza utilizando una mezcla de 31% de silicato no soluble, 2% de silicato soluble y 67% de lodo húmedo (suelo contaminado); presentaría valores del órden de 2.8 mg/kg. Discusión El autor del presente ensayo, ha calculado (Castro, 2000) los parámetros del modelo (3) utilizando software estadístico profesional para estimación de parámetros (SAS Institute®), dichos parámetros presentan un valor r2 = 0.911; los parámetros calculados con Excel+Solver se comparan razonablemente bien con los parámetros calculados utilizando software ad-hoc como el mencionado (Tabla 6), con la ventaja de que Excel es una plataforma comúnmente disponible, no así otras plataformas dedicadas.

Comparación de parámetros A B C D E F

(a) 0.1389 15.2721 0.0954 -0.1327 -0.0034 -0.1721 (b) 0.1394 15.1751 0.0953 -0.1317 -0.0034 -0.1709

Tabla 6. Parámetros calculados con (a)Excel®+Solver vs (b)SAS Institute® Así mismo los resultados de la optimización de superficie de respuesta obtenidos previamente (Castro, 2000) con software dedicado versus los obtenidos con Excel+Solver, también se asemejan mucho (Tabla 7); el análisis de la superficie de respuesta predice una fuga mínima de metal del orden de 2.81 mg/kg; estudios realizados con espectrofotmetría de plasma

inductivamente acoplado sobre muestras de suelo procesado con la mezcla óptima (Castro, 2000) señalaron una fuga del orden de 3.41 mg/kg con desviación estándar de 0.73 mg/kg, corroborando la capacidad de diseño basado en la metodología de superficie de respuesta (optimización de mezclas)

Punto óptimo (Min M) (a) (b)

SNS (%) = 30.9 31.0 SS (%) = 2.1 2.0 LH (%) = 67.0 67.0

M (mg/kg) = 2.81 2.81 Tabla 7. Comparación de resultados

De optimización entre (a) Excel®+Solver y (b)SAS Institute®

Conclusiones Se ha presentado a lo largo de este trabajo, una metodología básica para diseñar y analizar superficies de respuesta, para el caso específico de optimización de mezclas. Dicha metodología fue validada en otras partes (Castro, 2000) demostrándose suficientemente su capacidad. En el transcurso de este ensayo, se ha demostrado la excelente capacidad de la plataforma Excel®+Solver para diseñar y analizar superficies de respuesta; en el caso ejemplificado, los resultados proporcionados por Excel® son semejantes en magnitud y precisión a los obtenidos en otras partes (Castro, 2000) utilizando software estadístico profesional tal como el SAS Institute®, con la ventaja de que Excel® es una plataforma computacional comúnmente disponible y de fácil empleo, no así el software ad-hoc mencionado.

Literatura citada Castro S. Luis E. (2000) Diseño de sistemas de estabilización/solidificación base silicatos para remediar suelos contaminados con metales pesados, Tesis de Maestría en Ciencias, 116 pp, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Diciembre, 2000. Chapra, S.C. y Canale, R.P. (2000) Métodos Numéricos para Ingenieros, Cap. 14, p. 378, 3ª Edición, McGraw-Hill, México, Octubre, 2000.

Apéndice Introducción al Solver Fig. A1.- Accesando el Solver. Menú Herramientas > Solver

Fig. A2.- Ventana de datos del Solver.

Fig A3.- Opciones de Solver

Obtención de Volúmenes en Corte y Terraplén

Jesús Guillermo Cuéllar Álvarez Resumen Con el presente proyecto, se pretende obtener, de

una manera numérica, los volúmenes tanto en corte y en

terraplén; a partir de un levantamiento topográfico

recabado en campo, (planimetría y altimetría).

Con lo anterior se podrá definir, a juicio propio, la elevación de la subrasante para el proyecto, la cual se ajustará hacia arriba o hacia abajo, dependiendo ya sea de: puntos obligados, disponibilidad de bancos de material, costos en los acarreos, dureza del terreno natural para corte, cambios de pendientes, etc.

Al final resultaran los volúmenes correspondientes

a cada una de las secciones analizadas, así como un

perfil topográfico, el cual nos pueda ayudar a decidir

hacia donde realizar los movimientos de tierras, y si

los materiales de corte puedan ser utilizados para

terraplenar.

I.- Introducción Se presenta un desarrollo a base de métodos

numéricos para la obtención de volúmenes de corte y

terraplén, esto a partir de recibir datos de una

cuadricula espaciada a cada 10.00 mts, la cual puede

ser cambiada según las condiciones del terreno.

En lo personal la obtención de dichos volúmenes,

se han logrado a base de simples hojas de calculo, pero

en las cuales es difícil establecer los puntos en los

cuales se presenta un cambio de corte a terraplén y/o

viceversa; otro método es el de dibujar los perfiles

topográficos colocando la rasante esperada, para

después obtener las áreas correspondientes, lo cual

puede ser algo tardado y en caso de cambiar el nivel de

rasante se tendrán que repetir una serie de actividades

hasta llegar a un nivel que sea suficientemente

aceptable y cumpla con algunas condiciones pre

establecidas.

El método aprendido durante la carrera de

ingeniero civil, consiste en dibujar cada una de las

secciones sobre papel milimétrico, para después contar

los cuadros y obtener el área.

Nota importante: los resultados finales que se

obtengan, no incluyen ningún tipo de coeficientes de

abundamiento y/o compactación; los cuales son

necesarios tomar en cuenta para la realización, de

costos de ejecución, dichos coeficientes pueden

considerarse de entre un 25% a 35 %; y con mayor

seguridad obtenerlo del respectivo estudio de mecánica

de suelos.

Al final se tendrá disponible la siguiente

información:

• Volúmenes de corte y terraplén

• Secciones topográficas y definición de rasante de

proyecto

• Ubicación de posibles áreas para utilizarse como

banco de materiales

• Se podrá estimar los avances en los trabajos,

alimentando el nivel de rasante – temporal –

Para resolver lo propuesto, se utilizarán:

a.-) Ajuste de un polinomio de 3er grado, para

simular el terreno natural.

b.-) Obtener una ecuación lineal, para indicar la

rasante de proyecto, a partir de dos puntos, al

inicio y al final de la sección.

c.-) Encontrar los puntos de intersección de las dos

ecuaciones anteriores.

d.-) Integrar las ecuaciones obtenidas, aplicando

como limites las raíces encontradas.

e.-) Según las graficas definir, si es corte o

terraplén.

f.-) Recopilar las áreas netas en una tabla para

obtener los volúmenes de trabajo.

Como resultado final se espera, poder resolver la

mayoría de las condiciones, posibles de la topografía

en la región.

II.- Marco Teórico

Se mencionaran algunas definiciones de uso común, durante el desarrollo del proyecto:

Área de Corte: Es aquella superficie de terreno

natural, cuya elevación se encuentra por encima de la

cota de rasante; por lo que se usaran equipos mecánicos

para retirar el volumen excedente.

Área de Terraplén: Es aquella superficie de terreno

natural, que requiere de ser compensada (rellenada) con

un material de aporte, que cumpla con ciertas

características para su correcta compactación; es decir

son los puntos que se encuentran por debajo del nivel

de la rasante.

Banco de Nivel: Es un punto fijo, respecto del cual se

realiza el levantamiento topográfico, y de donde se van

realizando los avances para definir cuando se ha

llegado a la elevación final.

Cota o Elevación: Es un numero asignado, ya sea al terreno natural, y/o a la rasante, para definir su

altura respecto de un punto fijo, llamado Banco de nivel. Matriz: Es un conjunto de números, ordenados que nos representan el modelo matemático, que queremos resolver, cumpliendo con las igualdades que se han asignado, así como que serán cuadradas es decir, el mismo numero de ecuaciones y el mismo numero de incógnitas.

Rasante: Es un nivel o elevación al cual se deberá de

llegar en cada una de los diferentes puntos de la

plataforma, vialidad, etc.

III.- Métodos

A continuación se enlistas los métodos a utilizar para la solución de cada uno de los puntos a tratar.

a.-) Ajuste de un polinomio de 3er grado: Se

resolverá con la regresión de polinomios, usando una

extensión del método de mínimos cuadrados. De cual

se obtendrá una matriz cuadrada de n x m, dichos

números dependerán del grado que se quiera el

polinomio, se pretende usar uno de tercer grado. La

solución de la matriz se hará con la ayuda de Excel.

b.-) Obtener una ecuación lineal: Utilizando dos

ecuaciones de la recta, ya sea en el punto inicial y

en el final de cada sección, para así formar una

matriz de 2 x 2, la cual se resuelve con la ayuda

del Excel; invirtiendo la matriz y luego

multiplicándola por la matriz de resultados.

c.-) Encontrar los puntos de intersección de las

ecuaciones del polinomio (simulación del terreno

natural) y la recta de la sub rasante (frontera

entre corte y terraplén): Esto se resuelve

utilizando el método de Newton – Raphson, para dos

ecuaciones.

d.-) Integración de áreas, una vez definidos los

puntos de intersección de la curva y la recta, lo

que nos representa el cambio de corte a terraplén o

viceversa. Se proceda a ir integrando cada una de

las ecuaciones establecidas, directamente por

formula. A las áreas obtenidas, se restaran los

valores de un “Rectángulo” por plano de gráfica;

debido a que las ecuaciones están referenciadas

desde un nivel de 0.00.

e.-) Según las graficas definir, si es corte o

terraplén. Si el área de la curva es mayor que el de

la recta se considera como Corte, en caso contrario

será tomado como Terraplén.

f.-) Recopilar las áreas netas en una tabla, en la

cual se promediaran entre dos estaciones

subsecuentes y se multiplicarán por la separación

entre ellas; para obtener los volúmenes de trabajo.

IV.- Resultados:

Ver hojas de calculo anexas (PRODUCTOS FINALES>CUELLAR ALVAREZ>CURVA 3ER.XLS)

V.- Discusión Se observo que para ciertas condiciones topográficas, las cuales tienden a ser cóncavas o convexas, con no mas de 2 cambios drásticos en el perfil, el método funciona de manera aceptable, ya que se aproximo con un polinomio de 3er grado, para mayor exactitud, misma que es similar a una aproximación de 2do grado, pero el cual enfrentaría mayores problemas con dos cambios de curvatura; y que el hacerlo de 3er grado no representa mayor esfuerzo computacional. Al generar el polinomio de 3er grado y al compararlo con la ecuación dada directamente por Excel, para ajuste de polinomio del mismo grado, presenta cierta variación entre los coeficientes; por lo que se graficó la ecuación dada por el programa la cual en su primer coeficiente es mayor a la cota inicial, y siendo que el resto de los coeficientes se harán cero presenta un nivel por encima del real, y así para los demás puntos se obtienen valores diferentes a los alimentados como terreno natural. Además se al cambiar alguna condición dicha ecuación no se puede poner en relación directa con el resto de los cálculos, lo que sería una tarea tediosa de estar actualizando, cada vez que la ecuación registre algún cambio. Por lo tanto se eligió el poner la ecuación generada por el proceso de regresión de polinomio de 3er grado. Al presentarse un terreno con mas de 3 cambios de curvatura la ecuación generada, ya no se apega lo suficientemente aceptable al contorno total del terreno, aunque si pasa por la mayoría de los puntos, pero deja mayores áreas dentro o fuera de lo que se considera como corte o terraplén; lo anterior se hizo utilizando las aproximaciones dadas por el Excel, y se anexa un ejemplo de un terreno muy variable, donde se puede observar lo antes dicho. Excepciones de los resultados:

• No se han considerado los coeficientes de desperdicio, abundamiento ni de compactación correspondientes.

• No se incluyen los volúmenes correspondientes a los taludes necesarios según las alturas de cortes o terraplenes, y las condiciones de los materiales presentes en campo.

• No se consideran los posibles cambios de nivel, debidos a: desmontes, despalmes, consolidación de superficie etc.

• El nivel de rasante no incluye: posibles capas de materiales mejorados como bases, losas de concreto, pavimento asfáltico o cualquier otro tipo de material como acabado final.

VI.- Conclusiones Se tiene un resultado aceptable para ciertas condiciones normales de terreno. Y en caso de presentarse grandes variaciones, habrá que buscar algún otro tipo de técnica o el realizar la simulación por tramos del perfil topográfico especifico. VII.- Referencias citadas: Métodos Numéricos para Ingenieros Steven C. Chapra / Raymond P. Canale Editorial Mc Graw Hill Apuntes de Clase, de Computación Maestro: M.C. Luis Castro Solís Maestría en Construcción Urbana Facultad de Ingeniería, UA de C.

Análisis de una Estructura para Puente Peatonal Jesús Dávila Flores

Resumen Con el presente trabajo de análisis de una armadura de

puente tipo Pratt estáticamente determinada se pretende

demostrar que es posible resolver con el uso de los

métodos numéricos un problema importante de la

ingeniería civil y en específico de la estructural que

es determinar las interacciones complejas causa-efecto

que ocurren en los miembros de una estructura para

determinar las fuerzas y reacciones resultantes de la

aplicación de las cargas a las que esta sometida una

estructura, con resultados similares a los obtenidos

por métodos analíticos, pero simplificando el análisis

de las mismas y pudiendo desarrollar programas de uso

amigable y sencillo, aplicado en el diseño de un puente

peatonal de la Colonia Vista Hermosa.

1. Introducción

Análisis de una estructura para puente peatonal a

través de un método numérico para comprobar su utilidad

en la ingeniería y programar en una hoja de cálculo de

Excel en forma amigable este análisis estructural con

la facilidad de cambiar las cargas aplicadas en cada

nodo para obtener las fuerzas que ocurren en las barras

de una estructura tipo armadura Pratt.

Descomposición de la estructura en ecuaciones

algebraicas lineales simultaneas y representarlas en

forma matricial para obtener la solución aprovechando

la utilidad de la matriz inversa; se puede encontrar la

solución por medio de la descomposición LU, pero

utilizaremos el paquete de software de Excel.

Los resultados encontrados son satisfactorios y

resolverían la estructura de manera adecuada.

Se concluye que los métodos numéricos son de gran

utilidad en la ingeniería y no solo logramos determinar

los resultados, además los elementos individuales de la

matriz inversa tienen utilidad directa en aclarar las

interacciones estimulo respuesta de la estructura, ya

que cada elemento representa el cambio de una de las

variables desconocidas a un cambio unitario de uno de

los estímulos externos.

2. Marco Teórico

Puente, estructura que proporciona una vía de paso

sobre el agua, una carretera o un valle. Los puentes

suelen sustentar un camino, una carretera o una vía

férrea, pero también pueden transportar tuberías y

líneas de distribución de energía. Los que soportan un

canal o conductos de agua se llaman acueductos. Los

puentes construidos sobre terreno seco o en un valle y

formados por un conjunto de tramos cortos se suelen

llamar viaductos; se llaman pasos elevados los puentes

que cruzan las autopistas y las vías de tren. Un

puente bajo, pavimentado, sobre aguas pantanosas o en

una bahía y formado por muchos tramos cortos se suele

llamar carretera elevada.

La armadura es una viga compuesta

par elementos relativamente

cortos y esbeltos conectados por

sus extremos. La carga fija del

peso del pavimento y la carga

móvil que atraviesa el puente se

transmiten por medio de las

viguetas transversales del

tablero directamente a las

conexiones de los elementos de la

armadura. En las diversas

configuraciones triangulares

creadas por el ingeniero diseñador, cada elemento queda

o en tensión o en compresión, según el patrón de

cargos, pero nunca están sometidos a cargos que tiendan

a flexionarlos. Este sistema permite realizar a un

costo razonable y con un gasto mínimo de material

estructuras de metal que salvan desde treinta hasta más

de cien metros, distancias que resultan económicamente

imposibles para estructuras que funcionen a base de flexión, como las vigas simples de la sección anterior.

Existen múltiples maneras de colocar efectivamente los

elementos de las armaduras, y estas se clasifican según esas configuraciones.

Para 1570 el arquitecto-ingeniero

italiano Andrea Palladio publicó un

tratado en el cual mencionaba la

armadura en madera como estructura

utilizada en puentes. El uso de la

armadura en madera se popularizó

para 1820, cuando el arquitecto

estadounidense Ithiel Town patentizó la armadura de

celosía, y los puentes cubiertos a base de ese sistema

proliferaron por toda la parte oriental de su país.

Para el 1840 se comenzó a usar la armadura de hierro.

Los elementos de las primeras armaduras metálicas se

unían por medio de pasadores, pero pronto estos dieron

paso a las conexiones a base de placas y roblones. A

cada placa se fijaban todos los elementos de una junta.

Hacia fines del siglo 19, el hierro fue siendo sustituido por acero.

En Estados Unidos la armadura metálica se popularizó en

forma de varios sistemas patentizados a base de sus

configuraciones. La mayoría de los puentes de cierta

envergadura hechos entre los años 1850 y 1925 en

Estados Unidos eran de armadura metálica. Esa misma situación existió en Puerto Rico entre 1872 y 1910.

La armadura funciona de forma análoga a la viga. La

hilera superior de elementos, llamado cordón superior,

queda en compresión, al igual que el ala superior de la

viga. Los elementos que forman el cordón inferior, como

el ala inferior de la viga, quedan en tensión. Los

elementos verticales y diagonales que van de uno a otro

cordón quedan en tensión o en compresión según la

configuración y según cambia la posición de la carga

móvil. Los elementos sujetos sólo a tensión bajo

cualquier patrón de cargo posible son esbeltos. Los

demás elementos son más masivos; pueden ser piezas que

dejen el centro hueco y que a su vez estén formadas por

pequeños elementos triangulares. En las armazones poligonales o parabólicas el cordón superior es de

forma poligonal con su punto de

mayor peralto en el centro; en las rectangulares este cordón es

horizontal. El cordón inferior es generalmente horizontal.

La armadura de tablero superior

queda totalmente debajo del

tablero, el cual se apoya sobre las placas de los cordones superiores. La armadura de tablero superior

sostiene al tablero por medio de las placas o pasadores

de sus cordones inferiores. Todos los puentes de

armadura que quedan en pie en la isla son de esta

clase.

Según la clasificación del estudio detallada en el apéndice, estamos llamando armadura a un puente de

tablero inferior cuyas vigas armadas están unidas por

encima del nivel del tablero por elementos de arriostramiento, y armazón lateral a un puente que no

tiene arriostramiento uniendo a sus cordones superiores.

De las muchas patentes que surgieron en los 1840 y

1850, dos tipos básicos se impusieron hacia fines del

siglo. Las armaduras y armazones laterales que tenemos hoy son todas variaciones de alguno de estos dos.

La armadura de "N’s" fue patentizada por los

estadounidenses hermanos Pratt en 1844. Esta

configuración se distingue por tener sus diagonales

siempre bajando en dirección al centro del tramo, de

forma que sólo están sujetas a tensión. Puede variar

según su silueta

sea rectangular o

poligonal. Las

armaduras

poligonales de

"N's" de tramos del

orden de los cien

metros pueden tener

diagonales

adicionales que no

alcancen de cordón a cordón, denominadas subdiagonales. En 1847 se

patentizó la armadura conocida por "doble N's", en la

cual los postes verticales quedan más cercanos unos a

otros y las diagonales los atraviesan por sus puntos medios hasta terminar en el próximo panel.

La armadura de "W's" fue patentizada en 1848 por dos

ingenieros británicos. Esta configuración tiene sus

diagonales en direcciones alternadas y generalmente

combinadas con elementos verticales o postes. Una

variación de ésta tiene dos sistemas de diagonales en

direcciones opuestas, la armadura de "X's", también

conocida como "sistema Eiffel". La armadura "de

celosía" tiene tres sistemas de diagonales tipo "W"

superpuestos.

(http://www.dtop.gov.pr/act/puentes/Ptemet2.htm)

Hipótesis de Diseño

Para diseñar los miembros y conexiones de una armadura,

es necesario primero determinar la fuerza desarrollada

en cada miembro cuando la armadura es sometida a una

carga dada. Respecto a esto, se harán dos importantes hipótesis para idealizar la armadura.

1. Los miembros están unidos entre sí por medio de

pasadores lisos. En los casos en que se usan

conexiones de nudo atornilladas o soldadas, esta

hipótesis es por lo general satisfactoria,

siempre que los ejes de los miembros conectados

concurren en un punto, como en el caso del punto

A en la figura 3-1. Sin embargo, debe observarse

que las conexiones reales dan alguna rigidez al

nudo y esto introduce flexión en los miembros

conectados cuando la armadura se carga. El

esfuerzo de flexión desarrollado en los miembros

se llama esfuerzo secundario, mientras que el

esfuerzo en los miembros de la armadura

idealizada, con nudos articulados, se llama

esfuerzo primario. Rara vez se efectúa un

análisis que tome en cuenta los esfuerzos

secundarios aunque en algunos tipos de geometrías

de armaduras esos esfuerzos pueden ser

considerables.*

2. Todas las cargas se aplican en los nudos. En la

mayoría de los casos, como en puentes y armaduras

de techos, esta hipótesis es cierta.

Frecuentemente se desprecia en el análisis el

peso de los miembros ya que la fuerza soportada

por éstos es grande en comparación con su peso.

Si el peso va a incluirse en el análisis, es

generalmente satisfactorio aplicarlos como una

fuerza vertical con la mitad de su magnitud aplicada en cada extremo del miembro.

Debido a estas dos hipótesis, cada miembro de armadura

se comporta como un miembro de fuerza axial por lo que

las fuerzas que actúan en los extremos del miembro

deben estar dirigidas a lo largo de eje de éste. Si la

fuerza tiende a estirar el miembro, se trata de una

fuerza de tensión (T), figura 3-6a; si la fuerza tienda

a acortar el miembro, se trata de una fuerza de

compresión (C), figura 3-6b. En el diseño real de una

armadura es importante establecer si la fuerza es de

tensión o de compresión. Los miembros sometidos a

compresión deben fabricarse más robustos que los

miembros sometidos a tensión, debido al pandeo o

inestabilidad repentina que puede ocurrir en los miembros comprimidos.

Antes de comenzar el análisis de fuerzas de una

armadura, es importante clasificar la armadura como

simple, compuesta o compleja, y luego poder especificar su determinación y estabilidad.

Armadura simple

Para impedir su colapso, la estructuración de una

armadura debe ser rígida. Es claro que la armazón ABCD

de cuatro barras en la figura 3-7 se desplomará a menos

que se le agregue una barra diagonal como

la AC. La estructuración más simple rígida o estable es

un triángulo. En consecuencia, una armadura simple se

construye a partir de un elemento básico triangular,

como el ABC de la figura 3-8 al que se le agregan dos

miembros (AD y BD) para formar un elemento adicional.

Se ve entonces que al agregar un elemento adicional de

A

C

D

B

Figura 3-7

dos miembros a la armadura, el número de nudos se

incrementa en uno.

En la figura 3-9 se muestra un ejemplo de una armadura

simple en la que el elemento básico “estable”

triangular es ABC, y desde donde el resto de los nudos,

D, E y F se establecen en secuencia alfabética. Sin

embargo, para este método de construcción, es

importante darse cuenta de que las armaduras simples no

tienen que consistir enteramente en triángulos.

Armaduras compuestas

Una armadura compuesta se forma conectando dos o más

armaduras simples entre sí. Con frecuencia se usa este

tipo de armadura para soportar cagas que actúan sobre

un claro grande, ya que es más barato construir una

A

C

D

B

F

A C

B

Figura 3-8

D

Figura 3-9

E

armadura compuesta algo más ligera que una sola

armadura simple más pesada.

Hay tres maneras de conectar las armaduras simples para formar una armadura compuesta.

Tipo 1: Las armaduras pueden conectarse mediante un

nudo común y una barra. Un ejemplo se da en la figura

3-11a, donde la armadura sombreada ABC está conectada a la armadura sombreada CDE de esta manera.

Tipo 2: Las armaduras pueden unirse por medio de tres

barras como en el caso de la armadura sombreada ABC,

conectada a la armadura mayor DEF, figura 3-11b.

E

A C

Figura 3-11b

C

Figura 3-11 a

A B

D E

D

B

F

Tipo 3: Las armaduras pueden unirse donde las barras de

una armadura simple grande, llamada armadura principal,

se sustituyen por armaduras simples, llamadas armaduras

secundarias. Un ejemplo se muestra en la figura 3-11c,

donde los miembros punteados de la armadura principal

ABCD se han reemplazado por las armaduras sombreadas

secundarias. Si esta armadura tuviese cargas de techo,

el uso de las armaduras secundarias podría resultar más

económico ya que los miembros punteados estarían

sometidos a una flexión excesiva, mientras que las armaduras secundarias transferirían mejor la carga.

Armadura compleja

Una armadura compleja es aquella que no puede ser

clasificada como simple o compuesta. La armadura en la figura 3-12 es un ejemplo de tales armaduras.

C

Armadura Compuesta c A

B

D

E

F D

Determinación

En cualquier problema de análisis de armaduras, debe

ser claro que el número total de incógnitas incluye las

fuerzas en b número de barras de la armadura y el

número total de r reacciones externas en los soportes.

Dado que todos los miembros de la armadura son

elementos rectos sometidos a una fuerza axial,

localizados en un mismo plano, el sistema de fuerza que

actúa en cada nudo es coplanar y concurrente. En

consecuencia, el equilibrio rotacional o por momentos

se satisface automáticamente en el nudo (o pasador) y

es sólo necesario que se satisfaga ?Fx = 0 y ?y = 0 para

garantizar el equilibrio traslacional o de las fuerzas.

Por tanto, sólo dos ecuaciones de equilibrio pueden

escribirse para cada uno y si hay j nudos, el número

total de ecuaciones disponibles para la solución será

2j. Por simple comparación del número total de

incógnitas (b+r) con el número total de ecuaciones de

equilibrio disponibles, es posible especificar la

determinación de una armadura simple, compuesta o

compleja, los métodos mas utilizados son el de los

nudos y el de las secciones.

Para nuestro caso, calcularemos una armadura tipo Pratt

para un puente peatonal para salvar un arroyo de 18

C A

B

metros de longitud ubicado en la Colonia Vista Hermosa

en la ciudad de Saltillo, Coahuila, mediante métodos numéricos que en capitulo siguiente describiremos.

(Análisis Estructural R.C. Hibbeler tercera edición)

3. Métodos

El propósito de este trabajo es demostrar con una

pequeña aplicación de ingeniería la utilidad de los

métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales aplicados a estas ramas.

Estas técnicas numéricas sistemáticas tienen

significado práctico, ya que los ingenieros se

enfrentan con mucha frecuencia a problemas que

involucran sistemas de ecuaciones que son demasiado

grandes para resolverse a mano.

Las aplicaciones de estos métodos se pueden usar en la

ingeniería química y petrolera en un balance de masa

para modelar un sistema de reactores; también es

aplicable en ingeniería eléctrica para calcular

corrientes y voltajes en varios puntos de un circuito

de resistores, bajo las leyes de Kirchhoff; es así

mismo aplicable a la ingeniería mecánica y aeroespacial

en la determinación de la configuración del estado

uniforme de un sistema masa resorte para resolver

problemas en la mecánica, en la ingeniería sanitaria y

así podríamos seguir enumerando las aplicaciones de los

métodos numéricos, que tiene aplicación en casi todas

las áreas.

De los métodos involucrados para resolver sistemas de

ecuaciones algebraicas lineales simultáneas el método

de descomposición LU es el metido preferido de

eliminación porque permite el cálculo de la matriz

inversa debido a su eficiencia y flexibilidad pero

afectada por errores de redondeo y con un esfuerzo

moderado de programación.

Para nuestro caso de aplicación de métodos numéricos

utilizaremos la resolución de ecuaciones algebraicas lineales de la forma general:

a11x1+ a12x2+ ………+ a1nxn = b1

a21x1+ a22x2+ ………+ a2nxn = b2

.

.

an1x1+ an2x2+ ………+ annxn = bn

expresadas en notación matricial [A]{X}={B} donde [A]

es la matriz cuadrada de coeficientes,{B} es el vector

columna de constantes y {X} es el vector columna de las

incógnitas de donde{X}=[A]-1{B} para resolver las

incógnitas siendo [A]-1 la inversa de la matriz [A](y

que mas adelante explicaremos como se llega a esta

solución), para el análisis de una estructura para

puente peatonal tipo armadura Pratt resolviendo con

Excel para invertir la matriz y la multiplicación de funciones, mismo que desarrollaremos a continuación:

Un problema importante en la ingeniería estructural es

determinar las fuerzas y reacciones asociadas con una

estructura estáticamente determinada, como la de la

figura mostrada que es la del análisis motivo de este

trabajo:

F4 F8 F12 F16 F20 F24 F28 F32 F36 F40 F44 F48

F3 F7 F11 F15 F19 F23 F27 F31 F35 F39 F43 F47

# NUDO F2 F5 F9 F13 F17 F21 F25 F29 F33 F37 F41 F45 F49 1.50 mts

#BARRA F1 F6 F10 F14 F18 F22 F26 F30 F34 F38 F42 F46

1.50 mts

13 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

25

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Las fuerzas F representan la tensión o compresión de

los elementos de la estructura, las reacciones externas

R1 y R2 son fuerzas que caracterizan como interactúa la

estructura con la superficie de soporte; el nodo 1

puede transmitir fuerzas horizontales y verticales a la

superficie, mientras el rodillo del nodo 25 solo

transmite fuerzas verticales; el efecto de las cargas

externas que en este caso están aplicadas en los nodos

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 y 25 que es a donde se

transmite la carga de los largueros del piso.

El tipo de estructura se puede describir como un

sistema de dos ecuaciones algebraicas lineales (para

cada nodo), como se muestra el diagrama de cuerpo libre

del nodo 3, los cuales se elaboraron para cada nodo de

la estructura con una carga de 427 Kg. hacia abajo en

los nodos inferiores y la mitad de esta carga en los

nodos de los apoyos 1 y 25

Así que para el nodo # 3 las ecuaciones serán;

SFx= -F1-F3 Cos 45°+ F6 +F3H; F3H= +F1 + F3 Cos45°-F6

SFy= +F3 Sen45°+ F5 – F3V; -360= -F3 Sen45°- F5

donde Fi,h es la fuerza externa que se aplica sobre el

nodo i positiva de izquierda a derecha y Fi,v es la

fuerza vertical externa que se aplica sobre el nodo i

positiva hacia arriba, así en este problema la fuerza

de 427 Kilogramos hacia abajo en el nodo 3 corresponde

a F3,v = -427 Kg. que en esta caso están aplicadas en

todos los nodos inferiores y todas las otras F i,v y Fi,h

son cero, se puede apreciar que las direcciones de las

fuerzas internas y las reacciones son desconocidas, las

aplicación apropiada de las leyes de Newton solo

requiere de suposiciones consistentes con respecto a la

dirección y las fuerzas se suponen saliendo del nudo o

sea en tensión, por lo tanto una solución negativa

representa que el elemento esta en compresión; así que

este problema se puede escribir como un sistema de 52 ecuaciones con 52 incógnitas que llamaremos ecuación A:

F6

F5 F3

F1

45°

- F3,h 427 Kg. F3,v

NODO 3

Como se formuló la matriz, este es un problema ideal

para demostrar la utilidad de la matriz inversa que

tiene un número importante de aplicaciones en la

práctica de la ingeniería, así que tenemos

En donde A es la matriz de coeficientes obtenidos de

las ecuaciones de cada nudo, X son las incógnitas

representadas por las F de cada nodo y sus reacciones y

B son los vectores representados por las fuerzas

externas horizontales y verticales que afectan la

estructura, si tenemos que la inversa de una matriz

multiplicada por la misma matriz nos da una matriz

identidad: entonces podemos decir:

así la ecuación se ha resuelto para [X]; a continuación

se muestra la matriz inversa [A]-1:

[A] {X}= [B]

[A] [A]-1 = [l]

[A]-1[A]{X} = [A]-1[B] [l] {X} = [A]-1[B]

{X} = [A]-1[B]

[A] {X} = [B]

que se multiplicara por el vector columna [B] que son

las constantes o fuerzas aplicadas para resolver las incógnitas:

0.00 fuerzas aplicadas en los nodos

-213.53

[A]-1* 0.00 =

.

.

(Métodos Numéricos para Ingenieros, S. Chapra; R.Canale)

4. Resultados

Analizando los resultados obtenidos en las barras con

unas operaciones de suma de fuerzas en Y, es fácil

obtener un resultado igual en las reacciones y la barra central debe ser cero, mismo resultado que arroja.

Resultados en cada barra y reacciones en los apoyos:

F4 F8 F12 F16 F20 F24 F28 F32 F36 F40 F44 F48

F3 F7 F11 F15 F19 F23 F27 F31 F35 F39 F43 F47

# NUDO F2 F5 F9 F13 F17 F21 F25 F29 F33 F37 F41 F45 F49 1.50 mts

#BARRA F1 F6 F10 F14 F18 F22 F26 F30 F34 F38 F42 F46

1.50 mts

13 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

25

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

R1 2,562.03 F10 4,270.00 R2 2,562.03 F11 2,113.86 F1 0.00 F12 -5,764.50 F2 -2,348.50 F13 -1,067.50 F3 3,321.78 F14 5,764.50 F4 -2,348.50 F15 1,509.90 F5 -1,921.50 F16 -6,832.00 F6 2,348.50 F17 -640.50 F7 2,717.82 F18 6,832.00 F8 -4,270.00 F19 905.94 F9 -1,494.50 F20 -7,472.50

F21 -213.50 F32 -7,472.50 F22 7,472.50 F33 -640.50 F23 301.98 F34 5,764.50 F24 -7,686.00 F35 1,509.90 F25 0.00 F36 -6,832.00 F26 7,472.50 F37 -1,067.50 F27 301.98 F38 4,270.00 F28 -7,686.00 F39 2,113.86 F29 -213.50 F40 -5,764.50 F30 6,832.00 F41 -1,494.50 F31 905.94 F42 2,348.50

F43 2,717.82 F44 -4,270.00 F45 -1,921.50 F46 0.00 F47 3,321.78 F48 -2,348.50 F49 -2,348.50

5. Discusión Compararemos los resultados obtenidos por un método

analítico y los obtenidos por método numérico:

BARRA METODO ANALITICO METODO NUMERICO R1 2,560.00 2,562.03 R2 2,560.00 2,562.03 F1 69.00 0.00 F2 -1,710.00 -2,348.50 F3 3,270.00 3,321.78 F4 -1,600.00 -2,348.50 F5 -1,870.00 -1,921.50 F6 2,310.00 2,348.50 F7 2,620.00 2,717.82 F8 -2,900.00 -4,270.00 F9 -1,480.00 -1,494.50 F10 3,600.00 4,270.00 F11 2,060.00 2,113.86 F12 -5,610.00 -5,764.50 F13 -1,060.00 -1,067.50 F14 5,450.00 5,764.50 F15 1,470.00 1,509.90 F16 -6,650.00 -6,832.00 F17 -1,060.00 -640.50 F18 6,220.00 6,832.00 F19 860.00 905.94 F20 -7260.00 -7,472.50 F21 -230.00 -213.50 F22 7,260.00 7,472.50 F23 290.00 301.98 F24 -7,470.00 -7,686.00 F25 20.00 0.00 F26 7,260.00 7,472.50 F27 290.00 301.98 F28 -7,470.00 -7,686.00 F29 -230.00 -213.50 F30 6,220.00 6,832.00 F31 860.00 905.94 F32 -7,260.00 -7,472.50 F33 -470.00 -640.50 F34 5,450.00 5,764.50

F35 1,470.00 1,509.90 F36 -6,650.00 -6,832.00 F37 1,060.00 -1,067.50 F38 3,590.00 4,270.00 F39 2,060.00 2,113.86 F40 -5,610.00 -5,764.50 F41 -1,480.00 -1,494.50 F42 2,310.00 2,348.50 F43 2,620.00 2,717.82 F44 -2,900.00 -4,270.00 F45 -1,870.00 -1,921.50 F46 69.00 0.00 F47 3,270.00 3,321.78 F48 -1,600.00 -2,348.50 F49 -1,710.00 -2,348.50

Como se aprecia no tenemos variación en la forma en que

las barras toman la carga o sea a tensión (+) o

compresión (-); en lo que respecta a los resultados no

se tiene variaciones significativas.

Las barra F25 debe tomar una carga de 0.00 Kg. y las F1 y F46 no deberían ser 0.00 Kg., así que estas son las

diferencias mas significativas obtenidas, cabe hacer

notar que los valores obtenidos en el método numérico

son un poco mayores.

Las cargas del método analítico fueron obtenidas por

medio de un software de diseño estructural profesional,

que posiblemente utilice factores para modificar las

cargas que actúan sobre la estructura.

6. Conclusiones Los resultados obtenidos por el método numérico son

satisfactorios y prueba que su aplicación en la

ingeniería se obtienen resultados particularmente

interesantes, además es posible estudiar y visualizar

de manera sencilla los efectos que causan las fuerzas

aplicadas en una estructura del tipo la que analizamos

en este trabajo; así por ejemplo si queremos analizar

el efecto que produce un viento de izquierda a derecha

idealizada como dos cargas puntuales sobre los nodos 25

y 26 de una magnitud tal, solo bastaría cambiar en los

vectores del lado derecho en el sentido de las “x” y

nos daríamos cuenta que el viento tiene efectos muy

notorios sobre la estructura.

Ademas los elementos individuales de la matriz inversa

tienen utilidad directa en aclarar las interacciones

estimulo respuesta de la estructura, ya que cada

elemento representa el cambio de una de las variables

desconocidas a un cambio unitario de uno de los

estímulos externos, esto significa que se pueden

identificar componentes que son muy sensibles a

estímulos externos y se podrían predecir fallas y se

pueden utilizar para determinar los componentes que son

innecesarios.

Debe hacer un mayor esfuerzo de programación,

incluyendo técnicas para mejorar las soluciones, y

obtener resultados con menos errores por redondeo,

truncamiento, etc.

7. Referencias citadas

(http://www.dtop.gov.pr/act/puentes/Ptemet2.htm)

Análisis Estructural R.C. Hibbeler tercera edición)

(Métodos Numéricos para Ingenieros, S. Chapra; R.Canale)

.

DETERMINACIÓN DEL ANGULO DE FRICCIÓN INTERNA MÍNIMO DE UN SUELO COHESIVO-FRICCIONANTE, PARA PROYECTOS TIPO

Leonardo Galindo Aréchiga 1

RESUMEN. El presente proyecto, nos mostrará una de las múltiples aplicaciones del Análisis Numérico, en la Mecánica de Suelos; para lo cual, se hará uso de la principal teoría para determinar la capacidad de carga de un suelo con cohesión y fricción, en combinación con dos importantes técnicas abiertas del Análisis Numérico propias para encontrar raíces en ecuaciones; de lo anterior y con la ayuda de Microsoft Excel®, se efectuó un programa que determina el ángulo de fricción interna mínimo que debe tener el suelo para garantizar la factibilidad de un proyecto tipo, para fines prácticos se plantean tres ejemplos de la Ingeniería de Cimentaciones. (1) Ingeniero Civil, Egresado de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Autónoma de Coahuila, a desempeñado cargos en diferentes empresas privadas en Residencia de Obras Civiles, Laboratorio de Mecánica de Suelos y Gerente de Construcción y Proyectos, actualmente es Director Técnico de la Empresa Mecánica de Suelos y Construcciones y funge como consultor de proyectos en el área de Mecánica de Suelos, Geotecnia y Pavimentos, para diversas Instituciones Privadas y Gubernamentales.

PREFACIO. Veinte años han pasado en mi, desde que escuche por primera vez hablar acerca de la Mecánica de Suelos, tiempo en el cual, me he convencido plenamente de la filosofía de esta noble ciencia que ejerzo profesionalmente desde hace pocos años, doy gracias a mi padre el haberme regalado mas de tres décadas de sus experiencias y conclusiones profesionales, las cuales para mi siempre serán un legado invaluable, que perderé solo cuando me acontezca, aquello que es inevitable. A través de mi corta trayectoria, en el mundo de la Mecánica de Suelos, he sido parte de innumerables proyectos, que sin importar su magnitud, cada uno de ellos me ha enseñado que el camino más viable para resolver problemas de ingeniería, es aquel en donde se emplea la mezcla que a riesgo de ser ignorado, denomino como “perfecta” y que se forma por el conocimiento teórico, el practico y ese sentido, que muchos llaman común; También durante mi paso por este noble oficio, he aprendido a sentirme un aprendiz que nunca terminará de aprender. Ahora, una vez más desde mi posición de aprendiz y gracias al impulso de Luis Everardo Castro Solís (2), mi apreciable asesor de Análisis Numérico Avanzado, he podido concebir una idea, que será parte del herramental básico, que en sentido estrictamente particular, contribuirá al desempeño de mi oficio, sin embargo, esperaría que este documento, fuera visto por futuras generaciones estudiantiles, y que en él, se encontrará una motivación para explorar muchas mas aplicaciones, que sin duda, contribuirán a engrandecer el universo de soluciones de los múltiples problemas de Ingeniería Civil (2)

Ingeniero Civil, Egresado de la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Autónoma de Coahuila, Maestro en Ciencias egresado del Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, ha desempeñado importantes cargos en diferentes empresas privadas, actualmente es Director Técnico de la Empresa Consultora CYPCA y funge como maestro de licenciatura en Ingeniería Civil y Maestrías en Gestión Integral del Agua y Construcción Urbana de la Universidad Autónoma de Coahuila.

I.- INTRODUCCIÓN. Uno de los problemas a los que se encuentra sujeto el Ingeniero Civil que gusta del conocimiento teórico y lo practica, sin duda alguna tendrá que ver con la determinación de soluciones analíticas en las que se involucran diversos tipos de ecuaciones; por otra parte es asombroso ver, que el trabajo de investigación de grandes científicos, ha sido concluido y expresado en simples ecuaciones matemáticas, como la ecuación que determina la capacidad portante de un suelo, desarrollada por el Dr. Karl Wong Terzaghi, la cual, se empleará en este proyecto con el criterio de falla general y se someterá a diversas técnicas de Análisis Numérico a fin de lograr determinar la magnitud del ángulo de fricción interna de un suelo de comportamiento cohesivo-friccionante, dicho ángulo, representa una de las variables principales que definen la capacidad de carga de un suelo de esta naturaleza. Ordinariamente, las conclusiones más relevantes de un estudio de Mecánica de Suelos son la capacidad de carga y la profundidad de desplante, parámetros que juegan un papel muy importante dentro de un proyecto, ya que a raíz de estos, se inicia todo un proceso de cálculo estructural y económico, que desemboca en la construcción de una obra; creo con temor a equivocarme, que pocos son ya, aquellos que piensan que la Mecánica de Suelos entra en acción cuando el maestro de obra excava sin encontrar lo “macizo”, criterio pobre, pero aplicado en obras relativamente pequeñas ó de poca altura, en donde se aprecia que el afán de lucro de algunos, es mayor que la ética profesional de otros; sin embargo, no todos los proyectos son calculados con un estudio previo del suelo, lo que nos enfrenta a proyectos tipo, que nos exigen para su desarrollo una capacidad de carga mínima del suelo, y es precisamente en este contexto, donde radica una de las posibles aplicaciones del Análisis Numérico a la Mecánica de Suelos.

II.- MARCO TEÓRICO. En primera instancia es preciso conocer la respectiva diferencia entre un suelo cohesivo y un friccionante, términos clásicos, pero suficientes para su asimilación en este proyecto; El término cohesivo es usado tradicionalmente en la Mecánica de Suelos con referencia a aquellos suelos que sin presión normal apreciable, muestran características de resistencia a los esfuerzos cortantes, mientras que en una muestra de suelo granular, aun no existiendo presiones exteriores, su estructura esta sujeta a presiones intergranulares, principalmente a causa de efectos capilares, estas presiones hacen posible la generación de un mecanismo de fricción entre las partículas sólidas del material. Como se citó, de lo anterior se puede establecer la diferencia entre los suelos cohesivos y los friccionantes aunque la génesis de ambos, esta determinada por el efecto friccionante (Ref 1) Para fines prácticos se ha clasificado como un suelo de naturaleza cohesiva principalmente a las arcillas, mientras que los limos, arenas y gravas se consideran de naturaleza friccionante. Existen diversas teorías para determinar la capacidad de carga de un suelo, pero la mas empleada para fines prácticos es la publicada a partir de 1943 por el Dr. Karl Wong Terzaghi misma que proviene básicamente de la teoría de Prandt-Reissner, y que Terzaghi modificó hasta hacerla aplicable a los problemas prácticos de la Mecánica de Suelos; el procedimiento seguido para efectuar tal modificación fue despreciar el esfuerzo cortante del suelo que se sitúa por arriba de la profundidad de desplante del cimiento(Df), ya que este material solo influye según esta teoría, como una sobrecarga actuante en dicho nivel de desplante; las principales hipótesis hechas por Terzaghi en relación a su teoría, además de la ya mencionada en relación a la sobrecarga lateral, se refieren a las líneas de falla cuya forma es propia de una espiral logarítmica y a través de la superficie de ésta, la resistencia al esfuerzo cortante se moviliza(Ref 2). Los trabajos de Terzaghi, lo llevaron a expresar su teoría por medio de un modelo matemático, que determina

[ ]( )

[ ]φγφ

γφ

φφπ

tan)1(221

245cos2

)1(cotq2

tan2

3

c ++

+°

+−=

−

qq NBe

DfNc

la presión máxima que puede transmitir un cimiento hacia un suelo, la cual se expresa a continuación:

qc = c Nc + γDf Nq + ½ B γ Nγ ( 1 ) donde:

qc = capacidad de carga última. c = valor de la cohesión.

Nc, Nq, Nγ = factores de capacidad de carga. Df = profundidad de desplante del cimiento. B = ancho del cimiento de longitud infinita. γ = Peso volumétrico natural del suelo.

Los denominados factores de capacidad de carga, dependen del ángulo de fricción interna del suelo “φ ”(que en la practica para suelos cohesivo-friccionantes suele variar entre 5º y 36º), y se relacionan directamente con las propiedades del suelo, Nc con la cohesión, Nq con la sobrecarga existente en el nivel de desplante y Nγ con el peso del suelo que suprayace a la cimentación, matemáticamente su magnitud se obtiene de las siguientes expresiones(Refs 2 y 3) Sustituyendo los factores de capacidad de carga, en la formula N° 1, entonces la ecuación de Terzaghi quedaría como sigue:

( 2 ) Hasta este punto, se cuenta con los conceptos básicos empleados en este trabajo en lo referente a Mecánica de Suelos; si en este momento se nos pidiera determinar el valor del ángulo de fricción interna “φ”, de un suelo al cual se le conoce su capacidad de carga, su

( )

+°

=

−

245cos2

N2

tan2

3

q φ

φφπ

eφγ tan)1(2N += qN( )1cot −= qc NN φ

cohesión, su peso volumétrico y además se cuenta con datos de proyecto suficientes para saber cual es la profundidad de desplante y ancho de su cimentación, seguramente nos veríamos implicados en un serio problema analítico para determinar tal magnitud, sin olvidar que tendríamos que invertir, con un poco de suerte, varias horas de nuestro tiempo, sin embargo, mediante la ayuda del Análisis Numérico en acción con plataformas comerciales de computo, el problema se solucionará rápidamente. Nuestro problema será resuelto con la ayuda de los dos métodos numéricos iterativos, que se indican a continuación (Ref 4): a) Método de Newton Rapshon, expresado en la siguiente fórmula:

( 3 )

en la que:

xi+1 = valor nuevo

xi = valor inicial f(xi) = valor de la función evaluada en el valor

inicial

f’(xi) = derivada de la función evaluada en el valor inicial

b) Método de la secante perturbada, expresado como se indica: ( 4 )

)(')(

1i

iii xf

xfxx −=+

)()()(

1iii

iii xfxxf

xfxx

−+−=+ δ

δ

donde:

xi+1 = valor nuevo

xi = valor inicial δ = pequeña perturbación fraccionaria

F(xi) = valor de la función evaluada en el valor inicial

f(xi+δxi) = valor de la función que involucra una perturbación fraccionaria en el valor inicial.

Superficialmente, con lo anteriormente expuesto se tendrán las bases suficientes para lograr comprender el propósito de este proyecto, sin embargo, se exhorta y abre paso a todos aquellos profesionales inquietos, que deseen profundizar en lo que aquí es citado.

III.- METODOLOGÍA. Para investigar el modelo matemático de Terzaghi en acción directa con los métodos numéricos ya expuestos, se hace necesario emplear una plataforma de computo, que agilice los cálculos que pretendemos realizar, existen varias opciones para elegir tal plataforma, sin embargo es recomendable utilizar aquella que para nuestras posibilidades resulte ser la más fácil de comprender, para este proyecto se utilizará la hoja de cálculo de Microsoft Excel® ; Antes de entrar de lleno a la programación, es recomendable efectuar un cálculo convencional que nos ayude a posteriormente calibrar los resultados de nuestro sistema. Para el implemento del método de Newton-Rapshon, en nuestro problema, se hace necesario acondicionar la formula de Terzaghi(1), lo que nos lleva a seguir los siguientes pasos:

• La capacidad de carga que nos solicite el proyecto tipo es la admisible (qa) y la expresada en el modelo matemático de la teoría de Terzaghi(1) es la máxima (qc), con lo que para poder intercambiar este último término surge la necesidad de emplear

un factor de seguridad en el primer término del modelo, que para esta teoría es de valor tres.

• Posteriormente habrá que igualar la ecuación con

cero, despejando el término anteriormente intercambiado “qa”.

Una vez lista nuestra ecuación, habrá que evaluarla en función del valor inicial propuesto y por último obtener su primera derivada para luego evaluarla en función de dicho valor inicial; quizás la acción de derivar la ecuación, sea motivo para descartar el empleo de la técnica de Newton-Rapshon y buscar aplicar el uso de algún otro método numérico; el desertar a causa de tal problemática, nos negaría la oportunidad de observar el comportamiento de la ecuación citada, ante tal proceso numérico; por lo que, a continuación se muestra la posible derivada de la fórmula de Terzaghi, desarrollada para su posterior captura en la hoja de cálculo y obtención de resultados. La derivada entonces, resulta:

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )...

tan

sec12/45cos2

tan

3 2

22

tan23

2/45cos2

2/452/45cos2tan2

3sec2/45cos2

22

tan2

3tan

2

3

22

+

−+°

−

=

−

+

+°−+°−

−

−+°

−

−

φ

φφ

φ

φ

φφπ

φ

φφφφπφφφφπφφπ

e

cddy

senee

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )...

2/45cos2

2/452/45cos2tan23

sec2/45cos2

...22

22tan

2

3

+

+°

+°−+°−

−

−+°

+

−

φ

φφφφπφφ

γ

φφπ

sene

Df

( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( )

( )( ) φφ

φγ

φφπ

φ

φφφφπφφφφφπ

222

tan2

3

2/45cos2

2/452/45cos2tan23

sec2/45cos2tan2

sec2sec22/45cos22

1... 22

222tan

2

3

++°

++

−

+°

+−+−

−

−+°

− e

Bsene

Por otra parte, se hará uso del método numérico conocido como “Secante Perturbada”, el cual no implica realizar ninguna derivación, como la anteriormente observada; con este procedimiento también se efectuará el mismo acondicionamiento de la teoría de Terzaghi que se hizo para el empleo del método de Newton-Rapshon; con ésta ecuación en estado estable, se procederá a evaluarla en función del valor inicial propuesto y en función del valor inicial mas el de la perturbación fraccionaria; el valor de “δ” que será determinado mediante un análisis de prueba y error, hasta detectar el óptimo para nuestro sistema. El resultado esperado en ambos métodos, será el ángulo de fricción interna mínimo del suelo cohesivo- friccionante, y bastará con efectuar un calculo inverso para determinar el error absoluto del cálculo numérico. Para calibrar nuestro sistema será necesario conocer algunos datos iniciales, mismos que a continuación se podrán tomar de los siguientes problemas prácticos:

1) En la ciudad de Torreón, Coahuila; se pretende instalar una industria cementera, el proyecto contempla construir en primera instancia una torre de enfriamiento para su proceso de fabricación, se tiene un conocimiento geotécnico previo de que en esta ciudad, existen depósitos de material de origen aluvial de decenas de metros de espesor, por lo que, la empresa inversionista considera factible adoptar un proyecto tipo, que desarrolló en otra ciudad, en un suelo de características similares; de lo anterior se desea que se efectué un estudio de Mecánica de Suelos, con el propósito de garantizar una capacidad de carga de 140 ton/m2, cabe destacar que la cimentación que contempla el proyecto tipo esta diseñada mediante pilotes de concreto armado colados en el lugar y de 1.20 m de diámetro, desplantados a una profundidad de 10 metros; se desea una respuesta pronta de parte de la empresa especialista en Mecánica de Suelos que garantice la factibilidad

del proyecto, para proceder a efectuar la compra del predio.

2) En el Km 0+880 de la carretera a los pinos, ubicada al sur de la ciudad de Ramos Arizpe, Coahuila; se tiene un puente de un carril por sentido, mismo que se pretende ampliar a dos carriles mediante un nuevo puente de sección abovedada, la compañía que conserva la patente para este tipo de puentes exige una capacidad de carga del terreno de apoyo de 30 ton/m2, y comunica que la cimentación de la nueva estructura se efectuará mediante zapatas corridas de concreto armado de 2.20 m de ancho desplantadas a 2.0 m de profundidad con respecto al nivel actual de la parte baja del cauce; durante la visita técnica organizada por la dependencia de gobierno, se pudo observar la naturaleza del suelo; y se solicita a la brevedad un informe de Mecánica de Suelos preliminar que garantice la factibilidad del proyecto, para licitar la construcción de la obra.

3) Una Institución federal que promueve el desarrollo

de la educación técnica, tiene programada la construcción de una escuela de tres niveles en la ciudad de Saltillo, Coahuila; este tipo de dependencias cuentan con varios proyectos tipo y de acuerdo a la geometría del predio, pretenden adoptar uno de ellos, por lo que, solicitan a la empresa especialista en Mecánica de Suelos, que se garantice una capacidad de carga de 15 ton/m2, considerando que las zapatas tendrán 1.50 m de ancho, y se desplantarán a 0.80 m de profundidad, la excavación de las zapatas ha iniciado y se nos pide un informe preliminar para iniciar la construcción de la obra.

Mediante la ayuda del análisis numérico se determinará el ángulo de fricción interna mínimo necesario del suelo que para estos tres casos en particular resultó de naturaleza cohesivo-friccionante. Los valores de la cohesión están basados en la experiencia, ya que la empresa especialista a efectuado algunos estudios en predios aledaños a las zonas de proyecto y se

considerarán de 2.5 ton/m2(consistencia media), 0.25 ton/m2(consistencia blanda) y 5.0 ton/m2(consistencia firme), respectivamente para cada uno de los casos; análogamente se consideró un peso volumétrico en estado natural del suelo de 1.6 ton/m3, 0.8 ton/m3(por la presencia del nivel freático) y 1.7 ton/m3. IV.- RESULTADOS. Mediante la programación en Excel y con la ayuda de macros, se realizó un programa semiautomático de uso amigable denominado “fi 1.0”, a continuación se muestra de manera tabulada el resultado del programa(ángulo de fricción interna mínimo esperado en campo) para cada uno de los dos métodos numéricos empleados, de acuerdo al valor inicial introducido al mismo, esto a fin de determinar su comportamiento general ante esta circunstancia; también se evaluó la ecuación Nº 1, con el valor obtenido de “φ” por cada método y se calculó el error absoluto con respecto a la magnitud de la capacidad de carga obtenida, contra la necesaria. Problema Nº 1. Método de Newton-Rapshon:

Valor inicial Valor obtenido φ = 5º φ = 20.0218255º φ = 10º φ = 20.0222242º φ = 15ª φ = 20.0228973º φ = 20º φ = 20.0237802º φ = 25º φ = 20.0248130º φ = 30º φ = 20.0259348º φ = 35º φ = 20.0270862º

Cálculo del error absoluto porcentual (Newton-Rapshon, 5000 iteraciones): Valor inicial

de φ qa(ton/m2) (proyecto)

qa(ton/m2) (numérica)

Error %

5º 140.00 139.9718606 0.020099571 10º 140.00 139.9775862 0.016009857 15º 140.00 139.9872529 0.009105071 20º 140.00 139.9999339 0.000047214 25º 140.00 140.0147694 0.010549571 30º 140.00 140.0308853 0.022060929 35º 140.00 140.0474286 0.033877571

Método de la Secante Perturbada:

Valor inicial Valor obtenido φ = 5º φ = 20.0237848º φ = 10º φ = 20.0237848º φ = 15ª φ = 20.0237848º φ = 20º φ = 20.0237848º φ = 25º φ = 20.0237848º φ = 30º φ = 20.0237848º φ = 35º φ = 20.0237848º

Cálculo del error absoluto porcentual (Secante perturbada, 50 iteraciones): Valor inicial

de φ qa(ton/m2) (proyecto)

qa(ton/m2) (numérica)

Error %

5º a 35º 140.00 139.9999999 0.000000071 Problema Nº 2. Método de Newton-Rapshon:

Valor inicial Valor obtenido φ = 5º φ = 24.0261347º φ = 10º φ = 24.0261631º φ = 15ª φ = 24.0262140º φ = 20º φ = 24.0262863º φ = 25º φ = 24.0263780º φ = 30º φ = 24.0264860º φ = 35º φ = 24.0266053º

Cálculo del error absoluto porcentual (Newton-Rapshon, 5000 iteraciones): Valor inicial

de φ qa(ton/m2) (proyecto)

qa(ton/m2) (numérica)

Error %

5º 30.00 29.99920029 0.002665700 10º 30.00 29.99930165 0.002327833 15º 30.00 29.99948330 0.001722333 20º 30.00 29.99974134 0.000862200 25º 30.00 30.00006861 0.000228700 30º 30.00 30.00045407 0.001513567 35º 30.00 30.00087986 0.002932867

Método de la Secante Perturbada:

Valor inicial Valor obtenido φ = 5º φ = 24.0263588º φ = 10º φ = 24.0263588º φ = 15ª φ = 24.0263588º φ = 20º φ = 24.0263588º φ = 25º φ = 24.0263588º φ = 30º φ = 24.0263588º φ = 35º φ = 24.0263588º

Cálculo del error absoluto porcentual (Secante perturbada, 50 iteraciones): Valor inicial

de φ qa(ton/m2) (proyecto)

qa(ton/m2) (numérica)

Error %

5º a 35º 30.00 30.00000009 0.000000300 Problema Nº 3. Método de Newton-Rapshon:

Valor inicial Valor obtenido φ = 5º φ = 4.9503640º φ = 10º φ = 4.9503640º φ = 15ª φ = 4.9503640º φ = 20º φ = 4.9503640º φ = 25º φ = 4.9503640º φ = 30º φ = 4.9503640º φ = 35º φ = 4.9503640º

Cálculo del error absoluto porcentual (Newton-Rapshon, 5000 iteraciones: Valor inicial

de φ qa(ton/m2) (proyecto)

qa(ton/m2) (numérica)

Error %

5º a 35º 15.00 15.00000005 0.000000311 Método de la Secante Perturbada:

Valor inicial Valor obtenido φ = 5º φ = 4.9530696º φ = 10º φ = 5.0816650º φ = 15ª φ = 5.1181368º φ = 20º φ = 5.1330965º φ = 25º φ = 5.1399009º φ = 30º φ = 5.1425163º φ = 35º φ = 5.1420062º

Cálculo del error absoluto porcentual (Secante perturbada, 50 iteraciones): Valor inicial

de φ qa(ton/m2) (proyecto)

qa(ton/m2) (numérica)

Error %

5º 15.00 15.00272091 0.018139400 10º 15.00 15.13273759 0.884917267 15º 15.00 15.16986205 1.132413667 20º 15.00 15.18512154 1.234143600 25º 15.00 15.19206849 1.280456600 30º 15.00 15.19473971 1.298264733 35º 15.00 15.19421868 1.294791200

VI.- DISCUSIÓN. Como se pudo observar en los resultados de este informe, al aplicar los métodos numéricos de Newton-Rapshon y de la Secante Perturbada, se obtuvo un valor del ángulo de fricción interna mínimo del suelo esperado en campo, para cada uno de los problemas ejemplificados, valor que fue muy satisfactorio en ambos casos. El error absoluto porcentual máximo calculado para Newton-Rapshon fue muy bajo en los tres problemas efectuados, sin embargo éste método converge lentamente a la raíz, por lo que, fue necesario efectuar 5000 iteraciones para lograr una precisión del 99.99%; para el Método de la Secante Perturbada se efectuaron 50 iteraciones y se lograron obtener valores en los dos primeros problemas con una precisión del 99.99% y para el tercer problema se tienen resultados aceptables con una precisión que oscila entre el 98.70 y el 99.98%, resultados que dependen principalmente de la introducción en el programa de un buen valor inicial, también, sería factible efectuar algunas iteraciones mas, para obtener una precisión estable en los tres casos; En la práctica el valor del ángulo de fricción interna se estima como un valor entero y algunos laboratorios lo reportan con un máximo de dos decimales, por lo que, una precisión mínima del 95% resulta adecuada. De lo anterior, se puede decir que la principal diferencia entre la utilización de un método numérico u otro, para dar solución a este proyecto, fue sin duda el esfuerzo computacional que como se observó para Newton-Rapshon fue 100 veces mayor que el efectuado con la Secante Perturbada. En algunos problemas particulares, sobre todo si se introduce un valor inicial menor a 5º o mayor a 34º(poco frecuentes en la práctica), puede presentarse error computacional en los cálculos electrónicos. Debe recordarse que el valor del ángulo de fricción interna mínimo calculado, es el que debe buscarse en campo mediante exploración propia del suelo en el

lugar en donde se desplantará la estructura en proyecto, para lo cual se podrán emplear nomogramas basados en la compacidad del suelo, correlaciones basadas en la prueba de penetración estándar o valores obtenidos en un laboratorio de Mecánica de Suelos mediante la ayuda de pruebas en cámara triaxial, a fin de garantizar la factibilidad del mismo. En caso de que el valor obtenido en campo sea menor(“φ” real) al calculado entonces se deberán considerar otras alternativas que sin duda modificarán al proyecto tipo. Los problemas prácticos planteados denotan cierta urgencia del cliente por contar con resultados preliminares, lo que nos implicará el planear una exploración propia que dependerá del tipo de estructura a cimentar, de cada sondeo ejecutado se tomarán muestras y se procesarán en su totalidad en el laboratorio para posteriormente efectuar tal informe preliminar, este proceso se llevará un tiempo considerable lo cual no es conveniente para el cliente, sin embargo, los resultados aquí obtenidos aunados a la experiencia geotécnica que se tiene de la ciudad, nos invitan a cambiar el procedimiento ortodoxo, por ejemplo, si se nos pidiera un Estudio de Mecánica de Suelos a base de 15 sondeos, para construir un proyecto tipo de un fraccionamiento, y además nos solicitan urgentemente un informe preliminar, podríamos proceder, a efectuar en un inicio cinco sondeos dispuestos en forma de tresbolillo, tomar muestras y revisar su granulometría, si hay coincidencia estratigráfica, se efectuará una prueba propia para calcular el valor de “φ” real, y si éste es mayor al calculado mediante el análisis numérico, entonces en menos de doce horas contaremos con el informe solicitado. Quizás suene muy difícil que todos los argumentos se cumplan para poder aplicar este proyecto a la realidad, sin embargo, fue posible hacerlo, un poco antes de su publicación.

MÉTODO DE NEWTON RAPSHON 5000 ITERACIONES

0.0000

0.0050

0.0100

0.0150

0.0200

0.0250

0.0300

0.0350

0.0400

5º 10º 15º 20º 25º 30º 35º

VALOR INICIAL DEL ÁNGULO DE FRICCIÓN INTERNA

ERRO

R AB

SOLU

TO

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

PROBLEMA 3

MÉTODO DE LA SECANTE PERTURBADA 50 ITERACIONES

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

1.4000

5º 10º 15º 20º 25º 30º 35º

VALOR INICIAL DEL ÁNGULO DE FRICCIÓN INTERNA

ERRO

R AB

SOLU

TO

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

PROBLEMA 3

VII.- CONCLUSIONES. En base al trabajo anteriormente desarrollado se puede concluir lo siguiente: Los resultados obtenidos numéricamente mediante los métodos de Newton-Rapshon y Secante Perturbada para determinar el ángulo de fricción interna mínimo de un suelo cohesivo-friccionante, se pueden considerar satisfactorios, ya que los errores absolutos son aceptables y como se puede observar, en las siguientes graficas el error se minimiza al introducir un valor inicial de “φ”, cercano al real. Gráfica a) Gráfica b)

0

20

40

60

80

100

120

1 10 100 1000 10000

NÚMERO DE ITERACIONES

PRES

ICIÓ

N AB

SOLU

TA %

NEWTON-RAPSHONSECANTE PERTURBADA

En la gráfica “c”, se podrá observar el esfuerzo computacional que requiere cada uno de los métodos iterativos empleados, para lograr una precisión del 99.99%, tomando como referencia el problema Nº 2, con un valor de “φ” inicial de 5º, que resulta ser el mas crítico, análogamente, en la grafica “d”, se hace una representación similar del esfuerzo computacional que se requiere para la precisión indicada y tomando como referencia el mismo problema pero introduciendo un valor inicial cercano a la raíz buscada, en este caso será de 24º. Gráfica C)

99.88

99.90

99.92

99.94

99.96

99.98

100.00

100.02

1 10 100 1000 10000

NÚMERO DE ITERACIONES

PRES

ICIÓ

N AB

SOLU

TA %

NEWTON-RAPSHON

SECANTE PERTURBADA

Grafica d) El presente trabajo debe ser tomado como una aplicación, cuyo propósito es el definir la magnitud del valor del ángulo de fricción interna mínimo de un suelo de naturaleza cohesivo - friccionante, que debe tener para garantizar la capacidad de carga que exige un proyecto tipo; Habrá que considerar que los valores de la cohesión y peso volumétrico del material en estado natural, son propuestos por el proyectista en base a su conocimiento geotécnico y experiencia profesional, mismos que deben posteriormente replantearse con datos obtenidos en laboratorio. Después de evaluar en gabinete el ángulo de fricción interna mínimo de un suelo, habrá que comprobar en campo la homogeneidad estratigráfica del terreno,

posteriormente dependiendo del tipo de exploración programada, se realizarán los trabajos de campo y laboratorio propios para lograr obtener un valor representativo real del ángulo de fricción interna y parámetros restantes, si son menores a los estimados o calculados, entonces habrá que modificar algunos aspectos del proyecto tipo como:

• Modificar las dimensiones de las zapatas. • Incrementar la profundidad de desplante. • Emplear materiales más ligeros en la construcción,

para disminuir la exigencia en cuanto a capacidad de carga.

• Cimentar la estructura en una losa de cimentación, para disminuir la presión de contacto en el suelo.

• En caso de edificios considerar la posibilidad de emplear una cimentación compensada.

En caso de que el valor representativo del ángulo de fricción interna real del suelo sea mayor al calculado, entonces se podrá garantizar tentativamente la viabilidad del proyecto, y definitivamente hasta concluir los estudios basados en valores reales. VIII.-REFERENCIAS CITADAS. Nº 1.- Mecánica de Suelos, Autores: Eulalio Juárez Badillo y Alfonso Rico Rodríguez, tomo 1, Pág. 319, México 1969. Nº 2.- La Ingeniería de Suelos en las Vías Terrestres, Carreteras, Ferrocarriles y Aeropistas, Autores: Alfonso Rico Rodríguez y Hermilo del Castillo, Volumen 2, Pág. 23, ED. Limusa, México 1998. Nº 3.- Ingeniería de Cimentaciones, Fundamentos e Introducción al Análisis Geotécnico, 2da edición, Autor: Manuel Delgado Vargas, Pág. 203, ED. Alfaomega, Colombia 2000. Nº 4.- Métodos Numéricos para Ingenieros, tercera edición, Autores: Steven C. Chapra y Raymond P. Canale, Cáp. 6, ED. Mc Graw Hill, México 1999.

CALCULO DEL PERALTE Y AREA DE UNA ZAPATA CUADRADA

José Manuel Loera Velázquez

Resumen

Este cálculo comprende el diseño adecuado de una zapata cuadrada de concreto reforzado cargada axialmente. Por otro lado se obtuvo la capacidad de carga del terreno, la profundidad de desplante así como el peso especifico del terreno, esto proporcionado por un laboratorio de mecánica de suelos. Se propuso la resistencia del concreto y se opto por utilizar varilla corrugada. Partiendo de los datos proporcionados se realizaron los siguientes cálculos: la revisión por capacidad de carga del terreno y la revisión de los cortantes por flexión y penetración realizando los ajustes en las dimensiones de la zapata. I. Introducción Este proyecto esta enfocado a dar solución al problema que representa determinar las dimensiones de una zapata, para este proyecto analizaremos las condiciones de carga del terreno par determinar el área de la base, además de hacer la revisión del cortante tanto por penetración como por flexión para determinar el peralte de la zapata. La solución de este problema nos proporcionara las dimensiones adecuadas para la zapata la cual podrá soportar dichas acciones. El método que se utilizara para dar solución a este problema será el Método de Newton – Raphson. Por lo tanto en la solución de este tipo de problemas se aprecia la aplicación que tienen los métodos numéricos ya que un procedimiento analítico seria mucho mas complicado.

Antecedentes de las cimentaciones Se entiende por cimentación a la estructura o parte de la misma destinada a soportar el peso de la construcción que gravitara sobre ella y a transmitir sobre el terreno en que se encuentra desplantada las cargas correspondientes en una forma estable y segura para garantizar que la aplicación de las cargas unitarias serán compatibles con las propiedades mecánicas del terreno. Los tipos de cimentaciones se dividen en: Superficiales y Profundas, dentro de las superficiales a su vez se dividen en: aisladas ,corridas ,losas de cimentación ,mixtas de las cuales la zapata cuadrada es una cimentación aislada por lo general las zapatas para columnas individuales son cuadradas ,la zapata puede tener un pedestal el cual le proporciona una transferencia de carga mas favorable y en muchos casos se requiere con el fin de suministrar la longitud de desarrollo necesaria para los bastones. La justificación de este proyecto Hoy en día es necesario realizar los cálculos en el menor tiempo posible y con una exactitud mas amplia esto involucra hacer uso de técnicas o métodos que nos faciliten dichas operaciones. Los métodos numéricos son una alternativa para dar dichas soluciones ,es por ello que se opto por realizar este análisis.

II. Marco Teórico

NOTACIÓN A = Área neta de la sección de la zapata Ac = Área critica F´c = Resistencia del concreto a la compresión FY = Resistencia a la tensión del acero d = Peralte de la zapata r = Recubrimiento Prof = Profundidad de desplante H = Espesor de la zapata B = Lado de la Zapata δc = Peso Especifico del concreto δt = Peso Especifico del terreno c = Lado del pedestal Pu viva = Carga viva Pu mta = Carga muerta qef = Capacidad de carga efectiva del terreno qa = capacidad de carga del terreno qn = Capacidad de carga neta del terreno Φ = Factor de reducción de resistencia Vud = fuerza cortante Vc = Resistencia al cortante proporcionada por el concreto

Capitulo 15 Reglamento de las construcciones de concreto reforzado ( ACI 318-83 ) 15.1 OBJETIVOS 15.1.1 Los requisitos Prescritos en el capitulo 15 deben aplicarse al diseño de zapatas aisladas y cuando sean aplicables a zapatas combinadas 15.2 CARGAS Y REACCIONES 15.2.1 Las zapatas deben dimensionarse para resistir las cargas factorizadas y las reacciones incluidas ,de acuerdo con los requisitos apropiados de diseño de este reglamento. 15.5 CORTANTE EN ZAPATAS 15.5.1 La resistencia al cortante de las zapatas debe

cumplir con lo estipulado en la sección 11.11

15.7 PERALTE MINIMO DE LAS ZAPATAS El peralte de las zapatas arriba del refuerzo inferior no debe ser menor de 15 cm para zapatas apoyadas sobre el terreno. CALCULOS qef = qa –( δc*H + δt*(Prof-H)) A = (Pu viva + Pu mta) / qef A = B2 A1/2 = B qn = (1.7 Pu viva + 1.4 Pu mta) / B2 Condición de capacidad de carga qn > qef

Revisión del peralte por cortante Revisión del cortante por flexión Φvc = Φ ( 0.53F´c1/2 Bd) Vud = qn * ((B-C)/2)-d * B Φvc > Vud Si se cumple esta condición O.K Revisión del cortante por penetración Rige el menor Φvc = Φ (1.1 F´c1/2 bod) o Φvc = Φ (0.27*(2+(4/Bc)) F´c1/2 bod) Bo = Perímetro del área Critica Bc = Relación del lado largo y lado corto del pedestal Vud/2 = qn * Ac Ac = B2 – (c+d)2 Φvc > Vud/2 Si se cumple esta condición O.K Cumpliendo con las condiciones de capacidad de carga y cortantes las dimensiones de la zapata son adecuadas para soportar las acciones que se le están aplicando.

III METODOS

DATOS F´c = 200 Kg/cm2 = 2,000,000 Kg/cm2 r = 5 cm = 0.05 mts Prof = 2.00 mts δc = 2400 Kg/m3 δt = 1800 Kg/m3 c = 0.40 m Pu viva = 30,000 Kg Pu mta = 40,000 Kg qa = 1.9 Kg/cm2 = 19,000 Kg/cm2 Φ = 0.85 qef = qa –( δc*H + δt*(Prof-H)) qef = 15,370 –600d A = (Pu viva + Pu mta) / qef A = 70,000/(15,370 –600d) A = B2 A1/2 = B qn = (1.7 Pu viva + 1.4 Pu mta) / B2 Condición de capacidad de carga qn > qef Revisión del cortante por flexion Φvc = Φ ( 0.53F´c1/2 Bd) Φvc = 637.103*2.15*d

Vud = qn * ((B-C)/2)-d * B Vud = 53500*(B*-c-2d)/B B = 2.15 C = 0.40 m Φvc > Vud f(d) = 51274.190d – 43546.51 = 0 Ec. C.F Revisión del cortante por penetración Rige el menor Φvc = Φ (1.1 F´c1/2 bod) o Φvc = Φ (0.27*(2+(4/Bc)) F´c1/2 bod) Φvc = 2115.66d + 5289.159d2 Rige o Φvc = 3115.795d + 7789.488d2 Bo = Perímetro del área Critica = 1.6 + 4d Bc = Relación del lado largo y lado corto del pedestal = 1 Vud/2 = qn * Ac Vud/2 = 103278.261 – 18608.70d – 23260.87d2 Φvc > Vud/2 29078.9449d2 + 251331.3d-103278.261 =0 Ec. C.P

IV RESULTADOS

ZAPATA CUADRADA

Revisión del Cortante Por Flexión Xi fx f´x xi+1 0.15 -20473.1245 153822.57 0.283095712

0.283095712 0 153822.57 0.283095712

Revisión del Cortante Por Penetración Xi fx f´x xi+1 0.15 -64924.2897 260054.9835 0.399656011

0.399656011 1812.436074 274574.4502 0.39305512 0.39305512 1.267020946 274190.5563 0.393050499

0.393050499 6.20945E-07 274190.2876 0.393050499 0.393050499 0 274190.2876 0.393050499

EL peralte de la Zapata será de 40 cm El área de la zapata será de 4.6 m2 El pedestal será cuadrado de 40 x 40 cm V DISCUSIÓN

Los resultados obtenidos no son los únicos, se puede proponer otra área de la zapata y un pedestal diferente este análisis se hizo así para un diseño de una zapata en particular que requería fuera de esa área ya que el proyecto no permitía una zapata con mas área.

V CONCLUSIONES En este análisis se trato de ilustrar la aplicación de los métodos numéricos en la ingeniería civil. En este caso, en el calculo de cimentaciones. V REFERENCIAS CITADAS DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO CONFORME AL REGLAMENTO DEL ACI 318-83 PAG.40 INSTITUTO MEXICANO DEL CEMENTO Y DEL CONCRETO, AC REGLAMENTO DE LAS CONSTRUCCIONES DE CONCRETO REFORZADO ACI318-83 CAPITULO 15 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS AUTOR: STEVEN C. CHAPRA ED. MC.GRAW HILL

ANALISIS DE UN MARCO ESTRUCTURAL RIGIDO Margarita Isabel Mendoza Miranda

1. Resumen

El presente trabajo de Análisis Numérico muestra por

medio de un programa sencillo en una hoja de Excel la

solución de un MARCO ESTRUCTURAL RIGIDO con

desplazamiento lateral, en el cual podemos determinar

los momentos finales, necesarios para la selección de

los perfiles adecuados y óptimos para el diseño.

El método de análisis por rigidez(anteriormente

conocido como método de deflexión y pendiente) es el

que se usa más comúnmente para el análisis estructural

indeterminado, usando la computadora digital. Este

método se adapta particularmente al uso de la

computadora, ya que la matriz es siempre poco densa y

simétrica. Se puede aprovechar la simetría para reducir

el esfuerzo de inversión, de modo que se puedan obtener

económicamente rápidas soluciones de problemas de muy grandes dimensiones.

2. Introducción

El trabajo muestra la aplicación de los métodos

numéricos dentro de la ingeniería Civil, para lo cual

hemos realizado un programa de excel, que nos pueda

determinarlos momentos finales, que se requieren para

el diseño de un marco de dos niveles con desplazamiento

lateral.

El método de Deflexión Pendiente, es el adecuado para

la solución de este tipo de estructuras y es también el

que utilizaremos para la solución de nuestro problema,

mas sin embargo para la solución de nuestras ecuaciones

nos auxiliamos del análisis numérico, para obtener con

mayor precisión y rapidez el resultado de nuestra

matriz, producto del numero de incógnitas, que se nos

presentan, debido a la indeterminación de nuestra

estructura, una estructura es indeterminada cuando su

numero de incógnitas superan a su numero de ecuaciones,

y es en estos casos en donde se requiere de un método

numérico para la solución rápida y precisa de nuestra

ecuaciones.

Existen dos formas para resolver ecuaciones algebraicas

lineales con Excel,

ü Por medio de la Herramienta Solver

ü Usando la inversión de matrices y multiplicación

de funciones.

En nuestro programa utilizaremos la segunda opción, por

ser la mas sencilla de utilizar y practica.

El Programa de excel nos ayuda a determinar nuestras

matrices de una manera rápida, debido a que sus

herramientas nos permiten obtener con facilidad la

solución de nuestras incógnitas aplicando la matriz

inversa, para llegar a la solución de nuestras

ecuaciones. Una vez resueltas nuestras incógnitas,

sustituimos los valores dentro de las ecuaciones que

resultaron de nuestro análisis para así llegar a la

solución final que son nuestros momentos finales, los

cuales son útiles para la obtención de las áreas de

nuestros perfiles o elementos requeridos para el diseño

final de los marcos.

El propósito de nuestro proyecto es la aplicación de un

método numérico, mas sin embargo cabe mencionar que

dentro de nuestra área es de gran utilidad conocer los

métodos pero también saberlos aplicar en nuestra vida

profesional con el objetivo de minimizar tiempos y

obtener resultados a la brevedad posible para la

solución de nuestros problemas de ingeniería.

3. Marco Teórico

El método de análisis depende de la complejidad de la

estructura y de que esta sea estáticamente determinada

o indeterminada. Al efectuar el análisis, se puede

considerar la estructura como bi o tridimensional. Las

estructuras simples son por lo general determinadas;

esto es, son suficientes las tres ecuaciones de la

estática (∑Fh, ∑Fv, ∑M=0) para obtener las fuerzas

internas de los miembros. En las estructuras simples,

se supone que los extremos de los miembros no

transfieren la resistencia a momento a los miembros

adyacentes. Las fuerzas internas de los miembros en las

estructuras determinadas se obtienen fácilmente

mediante el cálculo manual y con considerable

eficiencia usando calculadoras de bolsillo.

Las estructuras rígidas son por lo general

indeterminadas, puesto que los extremos de los miembros

transfieren fuerzas cortantes y momentos a los miembros

adyacentes. Las estructuras indeterminadas requieren la

compatibilidad de deformación para suplementar las

ecuaciones de la estática para determinar las fuerzas

internas de los miembros. Se usan las computadoras

digitales para obtener soluciones para todas las

estructuras indeterminadas, con excepción de las más

sencillas. Para las vigas continuas y algunas

estructuras simples de marco rígido se obtiene

soluciones que se pueden hallar en los manuales(o

deducirse con facilidad usando métodos de la

resistencia de materiales). Se presentan algunas

soluciones para vigas, en la parte IV del SD,en el

manual de la AISC, y en la mayoría de los manuales de

ingeniería.

Una parte fundamental del diseño estructural es

establecer si la estructura ha de ser rígida o simple.

Un marco rígido proporciona por lo general menores

momentos de diseño, pero casi nunca resulta en un

diseño más económico. Esto se debe a:

1. Consideraciones prácticas de control de calidad y

diseño de conexiones rígidas contra simples.

2. La tendencia a utilizar vigas del mismo peralte a

través de varios claros, aunque algunos de éstos

ean más cortos o soporten menos carga.

El uso de un tamaño constante de columna a través de

cuando menos dos pisos y a menudo de tres o más, para

reducir los empalmes. Como la columna es la que resiste

la mayor carga, resulta sobrediseñada en el piso

superior(o en los piso superiores).

Marcos de Portal

Los marcos de portal se usan con frecuencia sobre la

entrada de puentes y como elemento principal en

edificios diseñados para transferir fuerzas

horizontales aplicadas en sus nudos superiores a la

cimentación. En puentes, esas fuerzas son causadas por

viento, sismo y tránsito desbalanceado sobre la

cubierta. Los portales pueden estar soportados por

pasadores, empotrados o empotrados parcialmente.

Soportados por pasadores

Un portal típico soportado por pasadores consiste en

columnas verticales articuladas de igual longitud y

tamaño con un trabe horizontal rígidamente conectada a

las columnas(Fig. 1) Como se tienen 4 incógnitas en los

soportes y solo 3 ecuaciones de equilibrio disponibles

para la solución, esta estructura es estáticamente

indeterminada de primer grado. En consecuencia, solo

debe hacerse una hipótesis para reducir el marco a uno

que sea estáticamente determinado.

Figura 1 Figura 2

La deflexión elástica del portal se muestra en la

figura 2. Este diagrama indica que un punto de

inflexión, esto es, donde el momento cambia de positivo

a negativo, se localiza aproximadamente en el punto

medio de la trabe. Como el momento en la trabe es cero

en este punto, podemos suponer que existe ahí una

articulación y entonces procedemos a determinar las

reacciones en los soportes por medio de la estática. Si

se hace así, se encuentra que las reacciones

horizontales en la base de cada columna son iguales y

las otras reacciones son las indicadas en la figura 3.

Los diagramas de momento para este marco se indican en

la figura 4.

Figura 3

Figura 4

Empotrados

Los portales con dos soportes empotrados, figura 5, son

estáticamente indeterminados y de tercer grado ya que

tienen un total de seis incógnitas en los soportes. Si

los miembros verticales tienen igual longitud y área

transversal, el marco sufrirá deflexión, como se

muestra en la figura 6. Para este caso supondremos que

los puntos de inflexión se presentan en los puntos

medios de los tres miembros, por lo que insertaremos

articulaciones en esos puntos. Las reacciones y

diagramas de momentos para cada miembro pueden

determinarse desmembrando la estructura en las

articulaciones y aplicando las ecuaciones de equilibrio

a cada una de las cuatro partes.

Los resultados se muestran en la figura 7. Nótese que,

como en el caso del portal conectado por pasadores, las

reacciones horizontales en la base de cada columna son

iguales. El diagrama de momentos para este marco se

muestra en la figura 8.

Figura 5

Figura 6

Empotramiento parcial

Como es a la vez difícil y costoso construir un

empotramiento perfecto para un marco de portal, es

conservador y algo realista suponer que ocurre una

ligera rotación en los soportes, (figura 9). En

consecuencia, los puntos de inflexión sobre las

columnas se encuentran entre las posiciones

correspondientes al caso de un portal soportado por

pasadores en su base, figura 1 y al caso de un portal

empotrado, figura 5; en el primer caso, los puntos de

Figura 7

Figura 8

inflexión coinciden con la base y en el segundo, se

encuentran a la mitad de la altura de las columnas.

Muchos ingenieros definen arbitrariamente la posición

de los puntos de inflexión en h/3, figura 10, y colocan

entonces articulaciones en esos puntos y también en el

centro de la trabe.

MARCOS SOMETIDOS A CARGAS VERTICALES

Figura 9 Figura 10

PARA VIGA EMPOTRADA

Puntos de inflexión a 0.21L de los extremos de la viga.

PARA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

No hay puntos de inflexión en la viga.

PARA VIGA PARCIALMENTE EMPOTRADA

Puntos de inflexión a 0.10L de los extremos de la viga.

PARA VIGA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y ARTICULADA EN EL

OTRO

Punto de inflexión a 0.25L del extremo empotrado de la

viga.

Momento equivalente a WL2/8 en el extremo empotrado de

la viga.

PARA VIGA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y SEMIEMPOTRADA EN EL OTRO

0.10L

Puntos de inflexión a 0.21L del extremo empotrado de la

viga

y a 0.10L del extremo semiempotrado de la viga.

INFLUENCIA DE LAS RIGIDECES DE LAS BARRAS EN LOS

MOMENTOS FINALES

MARCOS CONTRAVENTEADOS

El sistema de contraventeo de una estructura de varios

niveles deberá ser adecuado para:

• Evitar el pandeo de las estructuras bajo cargas

verticales.

• Conservar la estabilidad lateral de la estructura

incluyendo los efectos P-D bajo cargas verticales y horizontales de diseño.

Si el edificio tiene muros de cortante ligados a los

marcos por medio de losas de concreto u otros sistemas

de piso de rigidez suficiente, los muros se

considerarán como parte del sistema vertical del

contraventeo.

Al analizar el pandeo y la estabilidad lateral de la

estructura puede considerarse a las columnas, vigas y

diagonales de los marcos contraventeados como una

armadura vertical en voladizo (en uniones articuladas)

y deben considerarse sus deformaciones axiales.

Las fuerzas axiales de todos los miembros de los marcos

contra venteados producidos por las fuerzas verticales

y horizontales de diseño (Pi) deben cumplir:

P < 0.85 Py

Donde:

Py = At Fy

Las vigas incluidas en el sistema vertical de

contravéntelos se deben diseñar a flexo compresión

considerando las fuerzas axiales debido a cargas

laterales.

MARCOS SIN CONTRAVENTEO:

Las resistencias de marcos que pertenecen a edificios

sin contraventeos ni muros de cortante deben

determinarse con un ángulo que incluye el efecto de los

desplazamientos laterales y de las deformaciones

axiales de columnas.

Dichos marcos deben ser estables bajo la combinación de

cargas laterales y verticales. Las fuerzas axiales en

columnas deberán limitarse a 0.75 Py, Donde: Py = At Fy

CLASIFICACION DE LAS SECCIONES:

Las secciones estructurales metálicas se clasifican en

cuatro tipos de acuerdo a las relaciones ancho/espesor

máximo de los elementos que las componen:

• SECCION TIPO 1(Secciones para diseño plástico):

Son aquellas que pueden alcanzar el momento

plástico y conservarlo durante la rotación

necesaria para que ocurra la redistribución de esfuerzos (momentos) en la estructura.

Mp = Fy Z Z = C S Z = módulo plástico C > 1

• SECCION TIPO 2 (Para diseño plástico sin rotación,

secciones compactas): Son aquellas que pueden

alcanzar el momento plástico, pero no tienen capacidad bajo momento constante Mp.

My = Fy S S = I/C

• SECCIONES TIPO 3 (para diseño a la fluencia o elástica, secciones

semicompactas): Son aquellas que pueden alcanzar el momento elástico

My (iniciación del flujo plástico).

• SECCIONES TIPO 4 (Secciones esbeltas): Son

aquellas que tienen como límite de resistencia el

pandeo local de alguno de sus elementos (por

esfuerzos de compresión).

4. Métodos

Estas técnicas numéricas sistemáticas tienen

significado práctico, ya que los ingenieros se

enfrentan con mucha frecuencia a problemas que

involucran sistemas de ecuaciones que son demasiado grandes para resolverse a mano.

De los métodos involucrados para resolver sistemas de

ecuaciones algebraicas lineales simultáneas el método

de descomposición LU es el metodo preferido de

eliminación porque permite el cálculo de la matriz

inversa debido a su eficiencia y flexibilidad pero

afectada por errores de redondeo y con un esfuerzo

moderado de programación.

Otro método apropiado para la solución de matrices es

el método de Gauss Jordán el cual se describe a continuación:

MATRIZ INVERSA

Una de las aplicaciones del método de Gauss-Jordan, es

el cálculo de matrices inversas. Recordamos primero la

definición de matriz inversa.

Definición. Sea A una matriz de nxn . La matriz

inversa de A es una matriz B de nxn tal que:

Se escribe 1−= AB para denotar la matriz inversa.

Cuando la matriz inversa existe, es única, pro no

siempre existe la matriz inversa.

Un resultado de algebra lineal prueba que la matriz

inversa 1−A existe si y solo si el determinante

de A es distinto de cero.

El método de Gauss-Jordan procede como sigue:

Es decir, en una matriz comenzamos por escribir la

matriz A, y a su derecha agregamos la matriz identidad

nI del mismo orden que la matriz A; enseguida aplicamos

el método de Gauss-Jordan para hacer los ceros y unos y

obtener del lado izquierdo la matriz identidad nI . Del

lado derecho lo que obtendremos será la matriz inversa de A.

Ejemplo 1. Usar el método de Gauss-Jordan para

calcular la matriz inversa de la siguiente matriz:

Solución. En una matriz, colocamos la matriz A y a su

derecha agregamos la matriz identidad 2I :

El primer elemento pivote 411 =a está bien colocado y

procedemos a hacer ceros debajo de este elemento. Para

ello, multiplicamos el renglón 1 por 41− y lo sumamos

al renglón 2. Esto nos da:

Nuestro segundo elemento pivote es 25.022 =a . Para

hacer ceros arriba de este elemento, multiplicamos el

renglón 2 por 25.011− y lo sumamos al renglón 1. Esto nos

da:

Finalmente, hacemos los 1’s en la diagonal principal.

Para ello, multiplicamos el renglón 1 por 41 y el

renglón 2 por 25.01. Esto nos da la matriz final:

Por lo tanto, concluimos que la matriz inversa de A es:

Usando Excel para la Solución de Matrices

La Hoja de calculo para resolver este problema se

despliega en la figura mostrada, la matriz A y las

constantes del lado derecho B se introducen en las

celdas de la hoja de calculo. Después un conjunto de

celdas de dimensiones propias son resaltadas ya sea

precisando y arrastrando con el raton o por medio de

teclas direccionales mientras se precisa la tecla shift. Como se muestra en la figura.

Ahora se introduce una formula que involucra la función de la matriz inversa.

= Minversa (A1.........N)

Observe que el segmento es el rango fijado por los

elementos de {A}. La tecla de ctrl. Y shift se

mantienen presionadas mientras se oprime la tecla

Enter. La inversa resultante de {A} se calcula con

excel y se deplega en la figura de la parte inferior.

Un procedimiento similar se usa al multiplicar la

inversa por el vector del lado derecho.

=Mult.{A7.............N}

119 31.5 28 0 -28 031.5 119 0 28 -28 0

28 0 215 31.5 -28 -480 28 31.5 215 -28 -96

84 84 84 0 -112 00 0 144 144 0 -192

TETA ATETA BTETA CTETA DRIR2

4000-40002250

-6750-10500-5250

=

En donde el primer rango es la primera matriz que habrá

de multiplicarse [A-1] y el segundo rango es la segunda

matriz a multiplicarse {B}, De nuevo al usar la

combinación Control-Shift-Enter, la solución X será

calculada por Excel y desplegada con la solución

mostrada arriba en donde se obtiene la solución a

nuestras incógnitas de una manera facil, y precisa.

5. Resultados

= minverse (B)

TETA A TETA B TETA C TETA D R1 R2119 31.5 28 0 -28 0 400031.5 119 0 28 -28 0 -4000

28 0 215 31.5 -28 -48 22500 28 31.5 215 -28 -96 -6750

84 84 84 0 -112 0 -105000 0 144 144 0 -192 -5250

0.010425162 -0.001248796 -0.00053928 0.000227549 -0.00221616 2.1046E-05 TETA A 67.10565924-0.001635899 0.010674117 0.000686065 -0.002068447 -0.00191396 0.000862708 TETA B -18.1670427-0.000641274 0.001471963 0.006520853 -8.30149E-05 -0.00181713 -0.00158871 TETA C 34.199906020.001335254 -7.28517E-05 0.002691644 0.007091974 -0.0027615 -0.0042189 TETA D 14.962813730.006110992 0.008172963 0.005000726 -0.001442935 -0.01338901 -0.00052871 RI 156.1038920.000520485 0.001049334 0.006909372 0.005256719 -0.00343398 -0.00956404 R2 64.21578981

SOLUCIONMATRIZ INVERSA

= MMult. (B)

Los resultados obtenidos de nuestro diseño se muestran

a continuación, enumerando cada paso para demostrar el

desarrollo de nuestro programa con la finalidad de

obtener como resultado los momentos finales que son en nuestro caso la solución a nuestro problema.

TIPO VALOR LONGITUD LONG. A LONG B

CARGA CONCENTRADA 1 P 4000 8

CARGA SITUADA A UNA 2 P 6000 8 6 2DISTANCIA X

VIGA 1 A-B B-A

1 -4000 40002 -2250 6750

TIPO DE VIGA K K(84)

KA-B = KB-A 2 0.375 31.5KA-C= KC-A 0.333333 28KB-D = KD-B 0.333333 28KC-D = KD-C 1 0.375 31.5KC-E= KE-C 0.571429 48KD-F = KF-D 0.571429 48

DELTA / LONGITUD

RA-C= RC-A 0.333333333 3 = RIRB-D = RD-B 0.333333333 3 = RIRC-E= RE-C 0.285714286 3.5 = R2KD-F = KF-D 0.285714286 3.5 = R2

3.- GIROS POR DESPLAZAMIENTO LATERAL

2.- RIGIDECES RELATIVAS

DESARROLLO DEL PROGRMA

CONDICIONES DE CARGA

NODO

ESTILO

1.- MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO EN VIGAS

MEij kij TETA A TETA B TETA C TETA D R1 R2

MA-B -4000 31.5 63 31.5 0 0 0 0MB-A 4000 31.5 31.5 63 0 0 0 0MA-C 0 28 56 0 28 0 -28 0MC-A 0 28 28 0 56 0 -28 0MB-D 0 28 0 56 0 28 -28 0MD-B 0 28 0 28 0 56 -28 0MC-D -2250 31.5 0 0 63 31.5 0 0MD-C 6750 31.5 0 0 31.5 63 0 0MC-E 0 48 0 0 96 0 0 -48ME-C 0 48 0 0 48 0 0 -48MD-F 0 48 0 0 0 96 0 -48MF-D 0 48 0 0 0 48 0 -48

ECUACION 1 ECUACION 2NODO A NODO B

MA-B + MA-C MB-A + MB-D

TETA A 119 31.5 28 0TETA B 31.5 119 0 28TETA C 28 0 215 31.5TETA D 0 28 31.5 215RI -28 -28 -28 -28R2 0 0 -48 -48ME -4000 4000 -2250 6750

VC MA-C + MC-A / 3 VC + VD + FH1 =0VD MD-B + MB-D/ 3 VE + VF + FH1+FH2 = 0VE ME-C + MC-E / 3VF MF-D + MD-F / 3FH1 2000FH2 1500

NODO DMD-B + MD-C + MD-FMC-A + MC-D + MC-E

NODO C

6.- CONDICIONES DE CORTANTE

ECUACION 4ECUACION 3

4.- PLANTEAMIENTO DE LOS MOMENTOS FINALES

Mij= MEij+kij(2tei+tej-Rij)

5.- CONDICIONES DE NODO

VC VDMA-C + MC-A MD-B + MB-D

TETA A 84 0 0 0TETA B 0 84 0 0TETA C 84 0 144 0TETA D 0 84 0 144RI -56 -56 0 0R2 0 0 -96 -96ME 0 0 0

TETA ATETA BTETA CTETA DRIR2FH1

TETA A TETA B TETA C TETA D R1 R2119 31.5 28 0 -28 0 400031.5 119 0 28 -28 0 -400028 0 215 31.5 -28 -48 22500 28 31.5 215 -28 -96 -6750

84 84 84 0 -112 0 -105000 0 144 144 0 -192 -5250

0.010425162 -0.0012488 -0.00054 0.000228 -0.00222 2.1E-05 TETA A 67.10566-0.0016359 0.010674117 0.000686 -0.00207 -0.00191 0.000863 TETA B -18.167-0.00064127 0.001471963 0.006521 -8.3E-05 -0.00182 -0.00159 TETA C 34.199910.001335254 -7.2852E-05 0.002692 0.007092 -0.00276 -0.00422 TETA D 14.962810.006110992 0.008172963 0.005001 -0.00144 -0.01339 -0.00053 RI 156.10390.000520485 0.001049334 0.006909 0.005257 -0.00343 -0.00956 R2 64.21579

ECUACION 6ECUACION 5VE + VF = -FH2

0

VC + VD =- FH1-FH2

84

5250

84840

-112

0144144

SOLUCIONMATRIZ INVERSA

7.- MATRIZ DE ECUACIONES

010500

0-192

ME-C + MC-E MF-D + MD-F VE VF

1.- ESCRIBE EN EL CUADRO EL VALOR DE LA CARGA ADEMAS DE LA LONGITUD DE LA VIGA

P= 4000

VIGA TIPO 1CARGA AL CENTRO

L=

P= 6000

VIGA TIPO 2CARGA A UNA DISTANCIA X

2

L=

Escribe en el Cuadro el tipo de carga

2 6000

2000I VALOR DEL MOMENTO DE INERCIA

1 TIPO DE VIGA1 4000

1 1 KG UNIDAD DE CARGA

MTS UNIDAD DE MEDIDA1500

3.5 2 2

8

3

PROGRAMA DE CALCULO PARA MARCOS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL

3

3

TIPO DE VIGA

TIPO DE CARGA EN VIGAS

8

6

A B

C D

E F

TIPO DE VIGA

KA-B = KB-A 31.5 TETA A 67.105659KA-C= KC-A 28 TETA B -18.16704KB-D = KD-B 28 TETA C 34.199906KC-D = KD-C 31.5 TETA D 14.962814KC-E= KE-C 48 RI 156.10389KD-F = KF-D 48 R2 64.21579

MA-B -344.6053MB-A 4969.3046MA-C -3314.706MC-A -576.7558MB-D -4969.305MD-B -4460.627MC-D 375.92271MD-C 8769.9543MC-E 200.83307ME-C -1440.762MD-F -1645.928MF-D -2364.143

C-D

6750-2250

1.- MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO EN NODOSB-AA-B

MOMENTOS FINALES

SOLUCIONRIGIDECES RELATIVAS

4000-40001

2

D-C

6. Discusión

Compararemos los resultados obtenidos en el software de

STAAD PRO:

Notamos que existe una variación en el método, mas sin

embargo se aproxima a la solucion, concluimos que esta

variación se debe al numero de decimales que se toman

al momento de realizar el análisis,los cuales se siguen

presentando conforme se realiza en desarrllo del

análisis. por consiguiente, determinamos que el método

es bueno.

MA-B -344.6053 MA-B -340.69MB-A 4969.3046 MB-A 4938.26MA-C -3314.706 MA-C -3516.86MC-A -576.7558 MC-A -556.27MB-D -4969.305 MB-D -4825.30MD-B -4460.627 MD-B -4568.23MC-D 375.92271 MC-D 385.36MD-C 8769.9543 MD-C 8896.65MC-E 200.83307 MC-E 225.96ME-C -1440.762 ME-C -1562.36MD-F -1645.928 MD-F -1764.36MF-D -2364.143 MF-D -2251.15

METODO NUMERICO METODO ANALITICOMOMENTOS FINALES MOMENTOS FINALES

7. Conclusiones

La aplicación del análisis numérico dentro de la rama

de la ingeniería civil es de gran importancia su

conocimiento y uso nos pueden llevar a realizar cálculos y diseños en forma rápida y sencilla.

Es importante saber que los métodos numéricos son de

gran utilidad en cualquier campo de la ingeniería ya

que no solo logramos determinar los resultados, además

los elementos individuales de la matriz inversa tienen

utilidad directa en aclarar las interacciones estimulo

respuesta de la estructura, ya que cada elemento

representa el cambio de una de las variables

desconocidas a un cambio unitario de uno de los

estímulos externos.

CALCULO DE LA ESTABILIDAD DE UN MURO DE CONTENCIÓN

Rosa Irma Ortiz Reyes

RESUMEN

El presente análisis tiene como finalidad el evaluar

un muro de contención de tipo “T”, a través de un programa como demostración para obtener las dimensiones adecuadas al encontrar la altura optima, el cual tendrá como relleno diversos tipos de materiales como relleno, siguiendo el procedimiento convencional se obtuvieron ecuaciones para la estabilidad las cuales están en función de la profundidad y fueron nombrándose los términos que se consideraron constantes para hacerlas más simplificadas.

Para la solución a estas ecuaciones se obtuvo por el

Método Numérico de Newton-Raphson y así conocer las dimensiones restantes.

I. INTRODUCCION

Este trabajo pretende explicar de una forma practica la aplicación de los métodos numéricos en la ingeniería civil. Este análisis nos proporcionara las dimensiones del muro como es la altura total la base del muro, la corona, la base inferior de la pantalla, la altura de la pantalla, la medidas del talón y punta del mismo.

El método que se utilizara para dar solución a este problema será el Método de Newton – Raphson. Por lo tanto en la solución de este tipo de problemas se aprecia la aplicación que tienen los métodos numéricos ya que un procedimiento analítico seria mucho mas complicado.

Antecedentes Los muros de obras destinadas a la contención de

tierras en general. En particular pueden contener granos, agua etc. Como resulta evidente en los muros que se encuentran al intemperie, la lluvia se filtra a través de la tierra y entonces el muro pasa a sostener los efectos de empuje dados por la tierra y por el agua por lo que habrá de tener en cuenta un factor en cuanto a su calculo. La utilización de los muros es muy frecuente en todo tipo de obra así se da el caso en una fosa de automóviles en un taller de reparación de vehículos implica la construcción de muros de contención de las tierras aledañas. Estos muros soportan la sobre carga estática y dinámica que el paso de los automóviles producen sobre el empuje propio de las tierras.

Otro caso frecuente de construcción de muros de contención se lleva acabo en los aparcamientos subterráneos en donde el estudio de un muro de concreto armado es lo más usual.

Justificación Es necesario realizar hoy en día el calculo de

cualquier estructura en el menor tiempo y con mayor exactitud. Es por eso que se hizo este análisis en beneficio de los ingenieros calculistas ya que proporciona las dimensiones de un muro de contención el cual es estable. El análisis de estabilidad es la primera parte del calculo de un muro de contención.

II MARCO TEORICO

Empuje Activo

Se empleo la fórmula de Rankine (1)

Ea = [(γcH2)/2]*[(1-Senφ) / (1+Senφ )] Σ MHorizontales Haciendo suma de momento en el punto tenemos:

Σ MH = Ea*(h/3)

Σ FVerticales y Σ MVerticales Realizando ΣFV y ΣMV haciendo un llenado de la siguiente tabla

Fig. Fuerza (Kg)

F = γ*Área Brazo (m)

Momento (Kg-m) M = F*Brazo

ΣFV ΣMH Factores de Seguridad Al Volteo:

F.S.V. = ΣMV / ΣMH >= 2 condición

Al Deslizamiento:

F.S.D. = (ΣFV / ΣFH)* µ >= 1.5 condición

Para obtener que el F.S.V. y F.S.D. sea mayor que 2 condicionándolo de la siguiente manera: Haciendo la ecuación igual a 2.2 el cual tiene como excedente un 10 %.

III METODOS

De acuerdo al procedimiento del siguiente ejemplo es el procedimiento que se siguió para efectuar el programa (Anexo B), haciendo un nombramiento a los términos que son constantes en la formula:

Ejemplo de un muro de contención que tiene los siguientes datos y las siguientes condiciones presentadas en el dibujo siguiente:

γt = 1800 Kg/m3 γc = 2400 Kg/m3 φ = 35 ° bp = 40 cm = 0.40 m c = 25 cm = 0.25 m

Cálculos: 1. - Empuje Activo

Se empleo la fórmula de Rankine (1)

Ea = [(γcH2)/2]*[(1-Senφ) / (1+Senφ )] = 243.89 H2 2. - Σ MHorizontales Haciendo suma de momento en el punto “Α“, tenemos:

Σ MH = Ea*(h/3) = 243.89 H2 * (H / 3)= 81.30 H3 3. - Σ FVerticales y Σ MVerticales

De acuerdo dibujo anterior se obtiene los siguientes datos:

Fig.

Fuerza (Kg) F = γ*Área

Brazo (m)

Momento (Kg-m) M = F*Brazo

1 550 H (H/10)+ 0.125 55 H2 68.75 H 2 165 H (H/10)+ 0.30 16.5 H2 + 49.5H 3 140 H2 0.35 H 49 H3 4 123.75 H2 (H/10)+ 0.35 12.375 H2 + 43.3125 H 5 990 H2 – 660 H 0.4H + 0.20 396 H3 – 66 H2 – 132 H

Σ 1130 H2 – 1498.75 H 445H3 –17.875H2 +29.563H 4. – Factores de Seguridad

4.1 - Al Volteo:

F.S.V. = ΣMV / ΣMH >= 2 condición

F.S.V. = (445H3 – 17.875 H2 + 29.563 H)/ 81.30 H3 F.S.V. = 5.4736 + 0.3636H-2 – 0.2199 H-1

Para obtener que el F.S.V. sea mayor que 2

condicionándolo de la siguiente manera: Haciendo la ecuación igual a 2.2 el cual tiene como excedente un 10 %.

Por lo que tenemos:

5.4736 + 0.3636H-2 – 0.2199 H-1 = 2.2

5.4736 + 0.3636H-2 – 0.2199 H-1 - 2.2 = 0 Simplificando nos queda de la siguiente manera:

F.S.V. = 0.3636H-2 – 0.2199 H-1 + 3.3736 = 0 ec. 1 4.2 - Al Deslizamiento:

F.S.D. = (ΣFV / ΣFH)* µ >= 1.5 condición

F.S.D. = [(1130 H2 + 29.563H)*(0.50)] / 243.89 H 2 F.S.D. = 2.31662 + 3.073 H-1

Para obtener que el F.S.D. sea mayor que 1.5

condicionándolo de la siguiente manera: Haciendo la ecuación igual a 1.65 el cual tiene como excedente un 10 %.

Por lo que tenemos:

2.31662 + 3.073 H-1 = 1.65

2.31662 + 3.073 H-1 - 1.65 = 0

Simplificando nos queda de la siguiente manera:

F.S.D. = 3.073 H-1 + 0.74162 = 0 ec. 2

De acuerdo al Procedimiento se obtuvieron las siguientes ecuaciones en función de la altura. Ea = a H2 A = ( γt/2 * ((1-Sen φ)/(1-Sen φ)) ΣMh = χH3 χ= a/3 ΣFv = b H3 + d H2 b = [(143/120)*γc*C ] - [(11/12)*γT*C ]

d = [(7/120)*γc ] + [(11/20)*γT ] ΣMh = e H3 + f H2 + g H e = [(49/2400)*γc ] + [(11/50)*γT ]

f = [(143/1200)*γc*c ] - [(11/120)*γT*c ] g = [(979/1200)*γc*c2 ] - [(187/480)*γT*c2 ] =

F.S.V. = ΣMV / ΣMH >= 2

Por lo que obtuvimos ec. 1 F.S.V. = j/H2 + k/H + l

j = g / χ

k = f / χ l = ( e / χ )

F.S.D. = (ΣFV / ΣFH)* µ >= 1.5

F.S.D. = m/ H + n

m= ( b * µ ) / a

n =( ( d * µ ) / a )

IV RESULTADOS Del análisis realizado se obtuvieron los siguientes

resultados: Altura del Muro = 2.68 m Base del Muro = 1.876 m Altura de la Pantalla = 2.46 m Ancho de la Corona = 25 cm Ancho inferior de la Pantalla = 40 cm Talón = 0.268 cm Punta = 1.208 m V DISCUSIÓN

El empleo del Método de Newton-Raphson nos

proporciona la solución a las ecuaciones obtenidas y con la ayuda de la hoja de calculo podemos realizar programas para facilitarnos en tiempo de ejecución el procedimiento para la obtención del dato optimo a la variable en cuestión en este caso la altura del Muro de Contención.

VI CONCLUSIONES

Una de las conclusiones es que en este análisis se realizo un programa para poder valorar y saber hasta que punto uno puede variar la altura más adecuada de acuerdo al ancho de la corona que nosotros propongamos y que requiramos del proyecto. Este calculo solamente

se enfoca al Muro de contención de tipo “T” y con relleno sobre el lado inclinado que se encuentre en estado seco.

El alcance del análisis es hasta la evaluación de los Factores de Estabilidad los cuales son por volteo y por deslizamiento, con respecto a los efectos que causa el terreno que va soportar.

El principal objetivo fue demostrar que se puede aplicar los Métodos Numérico en este tipo de proyectos.

Al encontrar la altura que cumpla las propiedades obtenidas a través de las pruebas de laboratorio de mecánica de suelos y el ancho de la corona propuesto se obtienen las dimensiones restantes del muro de contención.

VII REFERENCIAS CITADAS METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS AUTOR: STEVEN C. CHAPRA ED. MC.GRAW HILL PAG.156 MECANICA DE SUELOS Y CIMENTACIONES AUTOR: CARLOS CRESPO VILLALAZ PAG. 487 MUROS DE CONTENCIÓN AUTOR: J. BARROS

Anexo A

TIERRAS γ Tn/M3 Φ TERRENOS NATURALES Grava y arena compactada 2.0 30° Grava y arena suelta 1.7 30° Arcilla 2.1 20° Terraplén seco 1.4 37° Terraplén húmedo 1.6 45° Terraplén arena seca 1.6 32° Terraplén arena húmeda 1.8 40° Terraplén arcilla seca 1.6 42° Terraplén arcilla húmeda 2.0 22° Terraplén gravilla seca 1.85 37° Tierra vegetal 1.7 25° Pedraplén 1.8 40°

Anexo B

PRESENTACIÓN DEL FORMATO DEL PROGRAMA

ANÁLISIS DE UNA ARMADURA DE TECHO, COMO PARTE DE UNA ESTRUCTURA DE UN EDIFICIO INDUSTRIAL

Juan Martín Peña Lara RESUMEN El Análisis efectuado en este proyecto de una Armadura de Techo, como parte de una Estructura de un Edificio Industrial, y desarrollado por métodos numéricos, fue necesario hacer diversos arreglos por medio del ordenador para lograr este objetivo, lo cual incluye efectuar el método de nudos, y encontrar el resultado de los valores de las ecuaciones resultantes de cada uno, así como la determinación y aplicación del método de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, calculando la inversa de una matriz con los valores resultantes de las ecuaciones, además de multiplicar la inversa obtenida por los vectores de cada ecuación, dando finalmente el resultado de cada miembro de la armadura, en donde cada elemento difiere de la convección de signos, de los cuales dará escalares con signo positivo para miembros en Tensión y escalares con signo negativo para los miembros en Compresión. La capacidad de análisis y de síntesis se ve positivamente influida por unos sólidos conocimientos de álgebra lineal, que ayudarán a los profesionales que afronten estos retos de cálculos estructurales, a desarrollar y simplificar muchos de los problemas que se les presenten. I.- INTRODUCCION El alcance del Análisis de una Armadura de Techo, como parte de una Estructura de un Edificio Industrial, mediante los métodos de nudos y de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, tiene como objetivo fundamental el de conocer los valores que representa cada miembro de la armadura, para posteriormente efectuar el diseño y la dimensión de acuerdo a los esfuerzos normales directos resultantes de estos y la determinación de las fuerzas cortantes. Los métodos de solución corresponden al método de nudos y la determinación de la aplicación del método de

ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, usando la matriz inversa y la multiplicación de matrices. La capacidad de análisis y de síntesis se ve positivamente influida por unos sólidos conocimientos de álgebra lineal, el método de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, usando la matriz inversa y multiplicación, de los espacios vectoriales, aplicaciones lineales, matrices y determinantes, que ayudan a los profesionales de la ingeniería a entender y a simplificar muchos de los problemas que se les presenten, siendo uno de los principales resultados en la elaboración de este proyecto.

El análisis de armaduras, las cuales están diseñadas para soportar cargas y por lo general son estructuras estacionarias que están totalmente restringidas, y sus elementos que la componen son rectos y están conectados en nudos localizados en los extremos de cada elemento. Donde los elementos de una armadura son elementos sometidos a la acción de dos fuerzas, esto es, elementos sobre los cuales actúan dos fuerzas iguales y opuestas que están dirigidas a lo largo del elemento. La armadura es uno de los tipos principales de estructuras en la Ingeniería. Ésta proporciona una solución tanto práctica como económica para muchas situaciones ingenieriles, en especial para el diseño de puentes y edificios.

La armadura analizada en este proyecto se refiere a una armadura compuesta, la cual se forma conectando dos o mas armaduras simples entre si, usándose este tipo de armaduras para soportar cargas que actúan sobre claros grandes, resultando mas económica de construir y mas ligera que una armadura simple, siendo esta ultima mas pesada. II.- MARCO TEORICO Los procedimientos para llevar a cabo el análisis de la armadura de este proyecto la cual es estáticamente determinada y simétrica, se inicia mediante el método de los nudos. Los conceptos de determinación y estabilidad de una armadura, así como la forma de analizar las diferentes formas de armaduras planas, se dividen en tres tipos siendo, las simples, compuestas y

complejas, en este proyecto nos referimos a una armadura compuesta. Difiriendo a una armadura como una estructura compuesta de miembros esbeltos unidos entre sí en sus puntos extremos. Los miembros que suelen utilizarse en la construcción son los puntales de madera, las barras metálicas, los ángulos y los canales. Las conexiones en los nudos se hacen, por lo general, atornillando o soldando los extremos de los miembros a una placa común, llamada placa de nudo. Pasando un gran perno o pasador a través de cada uno de los miembros. Las armaduras planas se localizan en un plano y se usan a menudo para soportar techos y puentes. Observándose en la figura a continuación una Armadura de Techo, como parte de una Estructura de un Edificio Industrial.

La armadura de techo suele usarse como parte de la estructura de un edificio industrial, donde la carga del techo se trasmite a la armadura a través de los nudos por medio de largueros. La armadura de techo junto con sus columnas de soporte se llama marco. Ordinariamente, las armaduras de techo están soportadas por columnas de madera, hacer o concreto reforzado por muros de mampostería. Para mantener rígido y, por tanto, capaz de resistir fuerzas horizontales de viento, se usan a veces puntales de rodilla en las columnas de soporte. Cuando el claro es grande, suele usarse un rodillo o una mecedora para soportar uno de sus extremos. Este tipo de soporte permite cierta

libertad de expansión o contracción por temperatura o aplicación de cargas. El espacio entre marcos adyacentes se llama crujía. Las crujías miden aproximadamente 15 ft (4.5 m) para claros de casi 60 ft (18 m)y aproximadamente 20 ft (6 m) para claros de 100 ft (30m). Las crujías se unen entre si usando un arriostramiento diagonal para mantener la rigidez de la estructura del edificio. Las formas de las armaduras usadas para soportar techos se seleccionan con base en el claro, pendiente y tipo de material de la cubierta. En la figura 3-3 se muestran algunos de los tipos más comunes. En particular la armadura de tijera, figura 3-3a, puede usarse para claros pequeños que requieren altura libre superior. Las armaduras Howe y Pratt, figuras 3-3b y 3-3c se usan para techos de claro moderado, de entre 60 ft (18 m) y 100 ft (30 m) .Si se requieren claros mayores para soportar el techo, pueden usarse la armadura de abanico o la armadura Fink, figuras 3-3d y 3-3e.Estas armaduras pueden construirse con la cuerda inferior combada, como se muestra en la figura 3-3f. Cuando se piensa colocar un techo plano o casi plano, suele usarse la armadura Warren, figura 3-3g. Las armaduras Howe y Pratt pueden también modificarse para recibir techos planos. Las armaduras de diente de sierra, figura 3-3h, se usan cuando la separación entre columnas no es objetable y es importante una iluminación uniforme. Una fábrica textil sería un ejemplo. La armadura de cuerda de arco, figura 3-3i, se selecciona a veces para garajes y hangares pequeños; la armadura en arco, figura 3-3j, aunque relativamente cara, puede usarse para grandes alturas libres y claros largos como casas de campo, gimnasios, etcétera.

HIPÓTESIS DE DISEÑO Para diseñar los miembros y conexión de una armadura, es necesario primero determinar la fuerza desarrollada en cada miembro cuando la armadura es sometida a una carga dada. Respecto a esto, se harán dos importantes hipótesis para idealizar la armadura. 1. Los miembros están unidos entre sí por medio de pasadores lisos. En los casos en que se usan conexiones de nudo atornilladas o soldadas, esta hipótesis es por lo general satisfactoria, siempre que los ejes de los miembros conectados concurren en un punto, como en el caso del punto A en la figura 3-1. Sin embargo, debe observarse que las conexiones reales dan alguna rigidez al nudo y esto introduce flexión en los miembros conectados cuando la armadura se carga. El esfuerzo de flexión desarrollado en los miembros se llama esfuerzo secundario, mientras que el esfuerzo en los miembros de la armadura idealizada, con nudos articulados, se llama esfuerzo primario. Rara vez se efectúa un análisis que tome en cuenta los esfuerzos secundarios aunque en algunos tipos de geometrías de armaduras esos esfuerzos pueden ser considerables. 2. Todas las cargas se aplican en los nudos. En la mayoría de los casos, como en puentes y armaduras de

techos, esta hipótesis es cierta. Frecuentemente se desprecia en el análisis el peso de los miembros ya que la fuerza soportada por éstos es grande en comparación con su peso. Si el peso va a incluirse en el análisis, es generalmente satisfactorio aplicarlo como una fuerza vertical con la mitad de su magnitud aplicada en cada extremo del miembro. Debido a estas dos hipótesis, cada miembro de armadura se comporta como un miembro de fuerza axial por lo que las fuerzas que actúan en los extremos del miembro deben estar dirigidas a lo largo del eje de éste. Si la fuerza tiende a estirar el miembro, se trata de una fuerza de tensión (T), figura 3-6a; si la fuerza tiende a acortar el miembro, se trata de una fuerza de compresión (C), figura 3-6b. En el diseño real de una armadura es importante establecer si la fuerza es de tensión o de compresión. Los miembros sometidos a compresión deben fabricarse más robustos que los miembros sometidos a tensión, debido al pandeo o inestabilidad repentina que puede ocurrir en los miembros comprimidos.

ARMADURAS COMPUESTAS Una armadura compuesta se forma conectando dos o más armaduras simples entre sí. Con frecuencia se usa este tipo de armadura para soportar cargas que actúan sobre un claro grande, ya que es más barato construir una armadura compuesta algo más ligera que una sola armadura simple más pesada. Una de las maneras de conectar dos armaduras simples resulta formar una armadura compuesta. Las armaduras pueden conectarse mediante un nudo común y una barra. Un ejemplo se da en la figura 3-11a, donde la armadura sombreada ABC está conectada a la armadura sombreada CDE de esta manera.

ARMADURA COMPUESTA (a) Fig. 3.11

Determinación en cualquier problema de análisis de armaduras, debe ser claro que el numero total de incógnitas incluye las fuerzas en b numero de barras de la armadura y el numero total de r reacciones externas en los soportes. Dado que todos los miembros de la armadura son elementos rectos sometidos a una fuerza axial, localizados en un mismo plano, el sistema de fuerza que actúa en cada nudo es coplanar y concurrente. En consecuencia, el equilibrio rotacional o por momentos se satisface automáticamente en el nudo(o pasador) y es solo necesario que se satisfaga sumatoria Fx=0 y sumatoria Fy=0 para garantizar el

equilibrio traslacional o de las fuerzas. Por tanto, solo dos ecuaciones de equilibrio pueden escribirse para cada nudo y si hay j nudos, él numero total de ecuaciones disponibles para la solución será 2j. Por simple comparación del numero total de incógnitas (b+r) con él numero total de ecuaciones de equilibrio disponibles, es posible especificar la determinación de una armadura simple, compuesta o compleja. Tenemos b+r = 3j estáticamente determinada b+r mayor que 2j estáticamente indeterminada EL METODO DE LOS NUDOS Si una armadura está en equilibrio, entonces cada uno de sus nudos debe también estar en equilibrio. Por tanto, el método de los nudos consiste en satisfacer las condiciones de equilibrio sumatoria Fx=O y sumatoria Fy=O para las fuerzas ejercidas sobre el pasador en cada nudo de la armadura. Cuando se usa el método de los nudos, es necesario dibujar el diagrama de cuerpo libre del nudo antes de aplicar las ecuaciones de equilibrio. Respecto a esto, recuerde que la línea de acción de cada fuerza de miembro, actuando sobre el nudo, se especifica en función de la geometría de la armadura, ya que la fuerza en un miembro pasa a lo largo del eje de éste. Como ejemplo, considere el nudo B de la armadura en la figura 3-19a. Del diagrama de cuerpo libre, figura 3-19b, las únicas incógnitas son las magnitudes de las fuerzas en los miembros BA y BC. Como se muestra, FBA está. "Jalando" al pasador; lo que indica que el miembro BA está en tensión, mientras que Fbc está "empujando" al pasador; y en consecuencia el miembro BC está en compresión. Esos efectos se evidencian cuando se usa el método de las secciones y se aísla el nudo con pequeños segmentos de los miembros conectados al pasador; figura 3-19c. Observe que el empujar o jalar estos pequeños segmentos indica que el efecto sobre el miembro corresponde a una compresión o a una tensión. En todos los casos, el análisis de los nudos debe comenzar en un nudo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando más dos fuerzas desconocidas, como en la figura 3-19b. De esta manera, la aplicación de sumatoria de Fx=O y sumatoria de Fy=O da dos ecuaciones algebraicas de las que pueden despejarse las dos

incógnitas. Al aplicar estas ecuaciones, el sentido correcto de una fuerza desconocida de miembro puede determinarse usando uno de dos posibles métodos. l. Siempre suponga que las fuerzas desconocidas de un miembro actúan sobre el diagrama de cuerpo libre en tensión, esto es, "jalando" al pasador. Si se hace así, entonces la solución numérica de las ecuaciones de equilibrio dará escalares positivos para los miembros en tensión y escalares negativos para los miembros en compresión. Una vez encontrada una fuerza desconocida de un miembro, use su magnitud y sentido correctos (T o C) en los diagramas de cuerpo libre de los nudos subsecuentes. 2. El sentido correcto de una fuerza desconocida de un miembro puede en muchos casos determinarse "por inspección". Por ejemplo, FBC en la figura 3-19b debe empujar al pasador (compresión) ya que su componente horizontal, FBC sen 45°, debe equilibrar la fuerza de 500 N (sumatoria Fx=O). De la misma manera, FBA es una fuerza de tensión ya que equilibra la componente vertical, FBC cos 45° (sumatoria de Fy=O). En casos más complicados, el sentido de una fuerza desconocida de un miembro puede suponerse; luego, una vez aplicadas las ecuaciones de equilibrio, el sentido supuesto puede verificarse con ayuda de los resultados numéricos. Una respuesta positiva indica que el sentido es correcto, mientras que una respuesta negativa indica que el sentido mostrado en el diagrama de cuerpo libre debe invertirse. Este es el método que se usará en el ejemplo que sigue y en el de proyecto.

A continuación se observa una armadura usada para soportar el techo de un edificio metálico.

una Armadura de Techo, como parte de una Estructura de un Edificio Industrial,

El procedimiento siguiente proporciona un método para analizar una armadura mediante el método de los nudos. Determine primero las reacciones en los soportes considerando el equilibrio de la armadura entera. Luego dibuje el diagrama de cuerpo libre de un nudo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando más dos fuerzas incógnitas. (Si este nudo está en uno de los soportes, será necesario conocer las reacciones externas en el soporte.) Use uno de los dos métodos descritos antes para establecer el sentido de una fuerza desconocida. Los ejes x y y deben orientarse de manera que las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre puedan descomponerse fácilmente en sus componentes x y y; luego aplique las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas sumatoria de Fx=O y sumatoria de Fy=0. Debe notarse también que si uno de los ejes está orientado a lo largo de una de las fuerzas desconocidas, la otra fuerza desconocida puede determinarse sumando fuerzas a lo largo del otro eje. Despeje las dos fuerzas desconocidas y verifique sus sentidos correctos. Continúe analizando cada uno de los otros nudos, eligiendo nuevamente uno que tenga cuando más dos incógnitas y por lo menos una fuerza conocida. Dése cuenta que una vez encontrada una fuerza en un miembro por el análisis del nudo en uno de sus extremos, el resultado puede usarse para analizar las fuerzas que actúan en el nudo en el otro extremo. Debe observarse desde luego una estricta adherencia al principio de la acción y de la reacción. Recuerde que un miembro en compresión "empuja" el nudo y que un miembro en tensión "jala" el nudo. Una vez que se ha terminado el análisis de las fuerzas en la armadura, el tamaño de los miembros y sus conexiones pueden determinarse con base en un código apropiado de diseño. ECUACIONES TEORÍA FUNDAMENTAL

En este caso el proyecto se lleva a cabo por medio de la obtención de las ecuaciones por el método de nudos, y una vez contando con las ecuaciones algebraicas lineales se obtuvieron, por medio de técnicas numéricas

sistemáticas las cuales tienen un significado practico, ya que nosotros los ingenieros enfrentamos con mucha frecuencia problemas que involucran sistemas de ecuaciones demasiado grandes para resolverse a mano, lo cual se facilita con los algoritmos numéricos en estas aplicaciones siendo de particular conveniencia para implementarse en computadoras personales. En este proyecto se analiza, uno de los problemas importantes en la ingeniería estructural es determinar las fuerzas y las reacciones asociadas con una estructura estáticamente determinada, las fuerzas se identifican en cada miembro de la armadura y se especifica si se encuentra en tensión o a la compresión. Las reacciones externas (H, V1 y V2) son fuerzas que caracterizan como interactúa la estructura con la superficie de soporte. Lo cual el apoyo en el nodo V1 puede transmitir las fuerzas, horizontal y vertical a la superficie, mientras que V2 el cual se especifica como rodillo, trasmite solo fuerzas verticales. Así mismo la estructura se le produce un efecto por medio de tres cargas externas, que en total suman 10 Kn, las cuales se distribuyen a lo largo de los elementos que conforman la estructura, y esta fuerza total se distribuye a los dos apoyos de la armadura (V1 y V2), cuyas ambas reacciones suman los 10 Kn que le son aplicadas a la armadura.

Un problema relacionado con el equilibrio de un cuerpo rígido es esencial que se consideren todas las fuerzas que actúan sobre éste; además, es igualmente importante excluir cualquier fuerza que no esté aplicada directamente sobre dicho cuerpo. Omitir o agregar una fuerza extraña podría destruir las condiciones de equilibrio. Por lo tanto, el primer paso en la soluci6n del problema debe ser el de dibujar un diagrama de cuerpo libre del cuerpo rígido que se esté considerando. Los diagramas de cuerpo libre ya fueron utilizados en muchas ocasiones en el capítulo 2. Sin embargo, en vista de su importancia para la solución de problemas de equilibrio, aquí se resumen los diversos pasos que se deben seguir al momento de dibujar un diagrama de cuerpo libre. III.- MÉTODOS Los métodos numéricos desarrollados para el análisis de esta estructura metálica, son por medio de la obtención

de las ecuaciones por el método de nudos y el de las ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, los cuales se describe a continuación. EL METODO DE LOS NUDOS Si una armadura está en equilibrio, entonces cada uno de sus nudos debe también estar en equilibrio. Por tanto, el método de los nudos consiste en satisfacer las condiciones de equilibrio sumatoria Fx=O y sumatoria Fy=O para las fuerzas ejercidas sobre el pasador en cada nudo de la armadura. Cuando se usa el método de los nudos, es necesario dibujar el diagrama de cuerpo libre del nudo antes de aplicar las ecuaciones de equilibrio. Respecto a esto, recuerde que la línea de acción de cada fuerza de miembro, actuando sobre el nudo, se especifica en función de la geometría de la armadura, ya que la fuerza en un miembro pasa a lo largo del eje de éste. Como ejemplo, considere el nudo B de la armadura en la figura 3-19a. Del diagrama de cuerpo libre, figura 3-19b, las únicas incógnitas son las magnitudes de las fuerzas en los miembros BA y BC. Como se muestra, FBA está. "Jalando" al pasador; lo que indica que el miembro BA está en tensión, mientras que Fbc está "empujando" al pasador; y en consecuencia el miembro BC está en compresión. Esos efectos se evidencian cuando se usa el método de las secciones y se aísla el nudo con pequeños segmentos de los miembros conectados al pasador; figura 3-19c. Observe que el empujar o jalar estos pequeños segmentos indica que el efecto sobre el miembro corresponde a una compresión o a una tensión. En todos los casos, el análisis de los nudos debe comenzar en un nudo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando más dos fuerzas desconocidas, como en la figura 3-19b. De esta manera, la aplicación de sumatoria de Fx=O y sumatoria de Fy=O da dos ecuaciones algebraicas de las que pueden despejarse las dos incógnitas. Al aplicar estas ecuaciones, el sentido correcto de una fuerza desconocida de miembro puede determinarse usando uno de dos posibles métodos. l. Siempre suponga que las fuerzas desconocidas de un miembro actúan sobre el diagrama de cuerpo libre en tensión, esto es, "jalando" al pasador. Si se hace así,

entonces la solución numérica de las ecuaciones de equilibrio dará escalares positivos para los miembros en tensión y escalares negativos para los miembros en compresión. Una vez encontrada una fuerza desconocida de un miembro, use su magnitud y sentido correctos (T o C) en los diagramas de cuerpo libre de los nudos subsecuentes. 2. El sentido correcto de una fuerza desconocida de un miembro puede en muchos casos determinarse "por inspección". Por ejemplo, FBC en la figura 3-19b debe empujar al pasador (compresión) ya que su componente horizontal, FBC sen 45°, debe equilibrar la fuerza de 500 N (sumatoria Fx=O). De la misma manera, FBA es una fuerza de tensión ya que equilibra la componente vertical, FBC cos 45° (sumatoria de Fy=O). En casos más complicados, el sentido de una fuerza desconocida de un miembro puede suponerse; luego, una vez aplicadas las ecuaciones de equilibrio, el sentido supuesto puede verificarse con ayuda de los resultados numéricos. Una respuesta positiva indica que el sentido es correcto, mientras que una respuesta negativa indica que el sentido mostrado en el diagrama de cuerpo libre debe invertirse. Este es el método que se usará en el ejemplo que sigue y en el de proyecto. MÉTODO DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES SIMULTÁNEAS. Este método queda claro que las matrices proporcionan una notación concisa para representar ecuaciones lineales simultáneas y puede expresarse la ecuación como:

[A]{X} = {B} Donde [A] es la matriz cuadrada n x n de coeficientes

a11 a12 ..... a1n

a21 a22 ..... a2n

A = ...

an1 an2 ..... ann

{B}T es el vector columna n por 1 de constantes.

{B}T = [b1 b2 ... bn ] Y X es el vector columna n por 1 de las incógnitas.

{X}T = [x1 x2 ... xn ] De acuerdo con esta definición, la multiplicación de dos matrices se puede realizar solo si la primera matriz tiene tantas columnas como en número de renglones en la segunda matriz. Así, si [A] es una matriz n x m , [B] podría ser una matriz m x l. Para este caso, la matriz resultante [C] tendría la dimensión n x l. Sin embargo, si [B] fuera una matriz l por m, la multiplicación podría no ser ejecutada. Una manera formal para obtener la solución usando álgebra matricial es multiplicando cada lado de la ecuación por la inversa de [A] para obtener.

[A] -1 [A] {X}= [A] -1 {B} Como [A]-1 [A] es igual a la matriz identidad, la ecuación se convierte en

{X} = [A]-1 {B} Por lo tanto, la ecuación se ha resuelto para x. Por lo cual se observa como la inversa desempeña un papel en el álgebra de matrices que es similar a la división. Así mismo existen otros procedimientos que son empleados en algoritmos numéricos. Expresar las ecuaciones en esta forma es de utilidad, ya que algunas de las técnicas para resolver sistemas lineales se realizan con operaciones idénticas sobre un renglón de coeficientes y las constantes

a11 a12 a13 b1

A = a21 a22 a23 b2

a11 a22 a33 b3

.

correspondientes del lado derecho. Es posible realizar el manejo una vez sobre un renglón individual de la matriz aumentada en lugar de hacerlo de manera separada sobre la matriz coeficiente y el vector del lado derecho Que al contar con las ecuaciones algebraicas lineales se obtuvieron, por medio de técnicas numéricas sistemáticas las cuales tienen un significado practico, ya que nosotros los ingenieros enfrentamos con mucha frecuencia problemas que involucran sistemas de ecuaciones demasiado grandes para resolverse a mano, lo cual se facilita con los algoritmos numéricos en estas aplicaciones siendo de particular conveniencia para implementarse en computadoras personales. Uno de los problemas importantes en la ingeniería estructural es determinar las fuerzas y las reacciones asociadas con una estructura estáticamente determinada, las fuerzas se identifican en cada miembro de la armadura y se especifica si se encuentra en tensión o a la compresión. Las reacciones externas (H, V1 y V2) son fuerzas que caracterizan como interactúa la estructura con la superficie de soporte. Lo cual el apoyo en el nodo V1 puede transmitir las fuerzas, horizontal y vertical a la superficie, mientras que V2 el cual se especifica como rodillo, trasmite solo fuerzas verticales. Así mismo la estructura se le produce un efecto por medio de tres cargas externas, que en total suman 10 Kn, las cuales se distribuyen a lo largo de los elementos que conforman la estructura, y esta fuerza total se distribuye a los dos apoyos de la armadura (V1 y V2), cuyas ambas reacciones suman los 10 Kn que le son aplicadas a la armadura. IV.- RESULTADOS Los resultados obtenidos en el análisis de la armadura de techo, como parte de una estructura de un edificio industrial son los siguientes:

De acuerdo a lo señalado en los métodos de nudos y de ecuaciones algebraicas lineales estos métodos numéricos son confiables siendo procedimientos útiles para conocer las fuerzas de los miembros y reacciones, aplicadas a este tipo de estructuras complejas. Resultado de ecuaciones lineales que proveen un enfoque poderoso para ganar cierta comprensión del comportamiento de estas estructuras. Para cualquiera estructura se tienen en cuenta para el diseño, las cargas de viento, nieve, sísmicas u otras que por la situación geográfica de la edificación obligatoriamente prescriba la normativa de la zona, igualmente debemos contemplar las sobrecargas de uso que prescriban las normas, para lo cual se requiere que las cargas o los datos necesarios para su determinación

Fag = Fga

Fab =ba

Fgf = Ffg

Fgb = Fbg

Fbf = Ffb

Ffe = Fef

Ffc = Fcf

Fbc = Fcb

Fec = Fce

Fed = Fde

Fdc = Fcd

H1 V1 V2

-8.00 6.93 -6.50 -2.60 2.60 -6.50 2.60 4.33 -2.60 -8.00 6.93 0.00 4.00 4.00C T C C T C T T C C T Ax Ay Dy

Nota: Las letra C, corresponde a que el miembro esta en compresión y la letra T en tensión.

2Kn

3 3 Kn Fgf = Ffg Kn

Ffe = Fef

Fbf = Ffb Ffc = Fcf

60 ° 60 ° Fed = Fde

Fag = Fga Fgb = Fbg Fec = Fce

30 ° 60 ° 60 ° 60 ° 60 ° 30 °

H1 Fab =ba Fbc = Fcb Fdc = Fcd

3.00 mts.

V1 V2

Elementos de la Armadura y Cargas que Soporta

3.00 mts. 3.00 mts.

A

B C

D

E

F

G

tales como situación geográfica, altitud topográfica, etc. La combinación de cargas se realiza de acuerdo a la normativa de aplicación en cada obra. Las acciones consideradas son, en todos los casos: • Peso propio de la estructura primaria (pilares y vigas) y de la secundaria (correas). • Peso de los materiales de cerramiento. Cuando es de aplicación: • La sobrecarga de nieve. • La sobrecarga de viento. • Otras sobrecargas climáticas, tales como agua de lluvia, arena, etc. • Las acciones sísmicas. • Las sobrecargas de uso. • Las cargas debidas a almacenamiento de materiales, vehículos, etc. • Las cargas de instalaciones, falsos techos, pavimentos, etc. • Las acciones ocasionadas por puentes grúas, polipastos y similares. • Otras cargas tales como impactos, acciones térmicas, etc. Actualmente en el ámbito de la construcción de estas estructuras, el dimensionado de la estructura se realiza utilizando programas de cálculo por ordenador. Una vez introducidas las geometrías de la estructura y las acciones a tener en cuenta el programa considera las hipótesis y combinaciones más desfavorables en cada caso para la obtención de los esfuerzos que en general. Todos ellos servirán para el estudio y comprobación de las compresiones y tensiones de sus elementos. Una vez que se han efectuado los cálculos y diseños correspondientes se procede al dibujo completo de la estructura para realizar los planos necesarios tanto para la fabricación como el montaje de la estructura. A continuación se observa la armadura con los resultados de fuerzas y reacciones de sus elementos.

En la figura siguiente se observa como se comportan cada fuerza axial de los miembros de la armadura,

2 Kn

3 3 Kn -6.50 -6.50 Kn

-2.60 2.60-8.00 60 ° 2.60 60 ° -8.00

-2.6030 ° 60 ° 60 ° 60 ° 60 ° 30 °

6.93 4.33 6.93

3.00 mts.4.00 4.00Reacción A Reacción B

Fuerzas y Reacciones Resultantes de los Elementos de la Armadura

0.00

3.00 mts. 3.00 mts.

A B CD

E

F

G

2 Kn

Compresión3 3

Kn Kn

Compresión 60 ° Tensión 60 °

Compresión30 ° 60 ° 60 ° 60 ° 60 ° 30 °

##Tensión Tensión

3.00 mts. 3.00 mts. 3.00 mts.

Compresión

TensiónCompresión

Compresión

Tensión

A

B C

D

E

F

G

V.- DISCUSIÓN El uso de los métodos de nudos y de las ecuaciones lineales algebraicas, es uno capaz de desarrollar el análisis de la armadura de techo, desarrollando dichos programas por medio del excell en un ordenador bien estructurado y en el cual arroja resultados confiables en forma eficiente. Cabe destacar con amplitud, que la formulación de ecuaciones que expresa las características esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos, así como la capacidad de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geométricas complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería y a menudo imposibles de resolver analíticamente, da como resultado que los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. La solución y análisis de la estructura se formulo en relación del problema con las leyes fundamentales, siendo su solución por dos métodos que se realizaron en el ordenador, y su interpretación así como la facilidad de calcular dicho problemas, permitiendo pensar y desarrollar la intuición, lo cual permite estudiar la sensibilidad y el comportamiento del desarrollo del sistema efectuado. VI.- CONCLUSIONES Este proyecto beneficia al estudiantado de Ingeniería Civil de esta Universidad y a profesionales en la materia que se interesen en armaduras, ya que facilita la comprobación de resultados de armaduras simétricas con respecto a las fuerzas de todos sus elementos que lo componen, así como de sus reacciones de apoyo. Una vez contando con estos datos complejos se inicia el diseño de una nave o cubierta a base de armaduras de acero.

VII.- REFERENCIAS CITADAS

Libros

Ø Métodos Numéricos para Ingenieros 3ª Edición

Steven C. Chapra, Raymond P. Canale. Ø Análisis Estructural 3a Edición

R. C. Hibbeler.

Ø Resistencia de Materiales Aplicada 3ª Edicion

Robert L. Mott

Consultas por Internet

Ø http://www.aceriusa.com/NewFiles/frame/frame.

VIII. APENDICES

Ø Archivo de dos Hojas de cálculo en programa Excell.

1a .- Calculo Final Análisis de la Estructura por los Métodos :-

Ø De Nudos Ø De Ecuaciones Algebraicas Lineales Simultáneas

2ª.-Armadura con Resultados (Croquis de la Armadura)

Ø Elementos de la Armadura y Cargas que Soporta. Ø Fuerzas y Reacciones Resultantes de los Elementos de la Armadura. Ø Comportamiento de los Elementos de la Armadura.

CALCULO DE DIMENSIONES DE PILOTES EN BLOQUE. Mónica Alejandra Pérez Torres

RESUMEN El proyecto se trata de resolver un problema de cálculo de capacidad de carga de un grupo de pilotes que trabajan por bloque, de los cuales no se conocen las dimensiones, que es lo que se busca conocer. La manera tradicional de estos cálculos es hacerlo por tanteos hasta encontrar la solución ya que no se puede despejar directamente, por lo que se utilizará un método de análisis numérico al que se le da un valor inicial con fines de cálculos para obtener la solución de manera rápida y exacta. I. INTRODUCCIÓN El problema en estudio es de Mecánica de Suelos, el ancho y la longitud de los pilotes en dirección normal, adecuados para el espaciamiento entre pilotes para obtener una mayor resistencia a la falla de bloque y una mayor capacidad de carga de los mismos. El método de solución que se utilizara para resolver dicho problema es el de Newton Rapshon, este se describirá más adelante. Usando el método propuesto se quiere llegar al resultado de una forma rápida y sin tener que usar tanteos. Por conclusión es mejor usar este método que las formas tradicionales de calcular el problema dado.

II. MARCO TEORICO

Para calcular las dimensiones que deben tener un grupo de pilotes hincados en arcilla, sin apoyo importante en la punta. Para espaciamientos menores que 3 diámetros se produjo la falla de bloque y la capacidad de carga del grupo puede estimarse por la fórmula (Ref.1): QG = 2L(A + B)f + 1.3 CU NC A.B Donde: QG, es la capacidad de carga del grupo de pilotes. L, es la penetración del pilote en el terreno consistente. A, es el ancho del grupo de pilotes. B, es la longitud del grupo de pilotes en dirección normal al plano del papel. CU, es la resistencia al esfuerzo cortante de la arcilla no drenada. NC, es el factor de capacidad de carga para un cimiento rectangular. F, es el valor de adherencia que se puede considerar que actúa en las paredes del boque que falla. En tales condiciones, el primer término del segundo miembro de la ecuación representa la capacidad del grupo por fricción, el segundo término del segundo miembro es la capacidad de carga por punta.

III. METODOS

Para resolver este problema se utilizo el Método de Newton Rapshon (Ref.2) el cual consiste en extrapolar una tangente a la función de xi; f’(xi), hasta el eje x para obtener una estimación de la raíz en xi+1. El cual se representa con la siguiente ecuación:

f(xi)

Xi+1 = xi – f´(xi) en donde: xi; es el valor inicial. Xi+1; es el valor que resulta de las iteraciones. f(xi); es el valor de la ecuación por resolverse. f´(xi); es la derivada de la ecuación.

IV. RESULTADOS

Con este método la solución convergió inmediatamente, ya que el resultado se dio a la primera iteración, como se presenta a continuación (fig 1); QG = 2L (A+B)f + 1.3 Cu Nc AB

QG = 3848.56 ton L = 25.5 m f = 4.0 Cu = 5.0 ton/m2 L/B = 2 Nc = 1.12 B = 12.75

f(A) = 2L (A+B)f + 1.3 Cu Nc AB - QG = 0 f'(A) = 2Lf + 1.3 Cu Nc B A f(A) f'(A) Ai+1 Ai+1 ε % 1 -950.74 296.8200 -3.2031 4.20308605 0.00000% 4.203086045 0.00 296.8200 0.0000 4.20308605 Fig-1. cálculo de las dimensiones de los pilotes en bloque.

V. DISCUSIÓN Normalmente este problema se resuelve ya sea por tanteos o eliminando una parte de la ecuación, lo cual crea una inexactitud. Y utilizando el método planteado se genera el resultado de forma inmediata y con exactitud.

VI. CONCLUSIONES Por lo tanto, se llego a la conclusión que la manera más rápida y exacta para resolver este problema es por medio del método utilizado.

VII. REFERENCIAS CITADAS

1. Alfonso Rico y Hermilo del Castillo, La Ingeniería de Suelos en las Vías Terrestres, Vol. 2, Editorial Limusa.

2. Steven C. Chapra y Raymundo P. Canale,

Métodos Numéricos para ingenieros, 3ª edición, Editorial Mc Graw Hill

VIII. APÉNDICE Apéndice 1

Cimentación Nc Nγ Cuadrada 1.25 0.85 Rectangular (L/B=2)

1.12 0.90

Rectangular (L/B=5)

1.05 0.95

Circular 1.20 0.70

ANALISIS DE MARCOS ORTOGONALES (SOLUCION CON GAUSS-

SEIDEL) Mitzy Delil Silva Máynez

RESUMEN

Este trabajo tiene como finalidad utilizar el método de Gauss – Seidel para la solución de sistemas de ecuaciones, en el que es generado al analizar un marco ortogonal con diferentes cargas y dimensiones, además de verificar si en este método no se ocupa demasiado tiempo en comparación del método de la matriz inversa que puede ser utilizado en Excel. I.- INTRODUCCIÓN El proyecto se que se presenta a continuación es el análisis de un marco ortogonal, obteniendo todos los factores para poder realizar un diseño, esto es despejar todas las incógnitas que pudieran detener el diseño, esto se pretende resolver por medio del método de Gauss – Seidel para sistemas de ecuaciones. Por medio de este método se pretende encontrar todas las incógnitas generadas en las ecuaciones de momento para de esta manera poder obtenerlos y así facilitar el diseño del marco ortogonal. Se espera que los resultados puedan ser obtenidos por medio de este método ya que no se recomienda para sistemas grandes de ecuaciones, pero esto no quiere decir que no pueda ser utilizado, tal vez sea mas tardado que otros métodos, pero lo importante es llegar a la solución. Después de obtener los valores de las incógnitas serán sustituidos en las ecuaciones de momentos finales para terminar con eso el análisis del marco ortogonal.

II.- MARCO TEORICO El problema a resolver es el diseño de un marco ortogonal, al cual se le aplican fuerzas de la manera mostrada en la fig. 1, estas provocan que el marco tenga un desplazamiento lateral, lo que nosotros buscamos son los momentos generados en los elementos y las reacciones en los apoyos. Las columnas del marco tienen dimensión de 30 x 50 cms y un momento de inercia igual a 312,500 cms4 (I) y las vigas una dimensión de 30 x 60 cms y un momento de inercia de 540,000 cms4 (1.728 I), conociendo esto podemos encontrar las ecuaciones por el método de distribución de momentos para marcos con desplazamiento lateral.

A B C

D

G

J K

H

E

L

I

F

10 0 0 k g

10 0 0 k g

10 0 0 k g

2000 kg /m

2500 kg/m

3000 kg /m

2000 kg/m

2500 kg/m

3000 kg /m

3.8

3.8

4

6 6

2500 kg/m

GH

G

HG

H

3 0 0 0 kg/m

EF

E

FE

F

3 0 0 0 k g / m

D E

D

E D

E

2 5 0 0 kg/m

HI

H

IH

I

III.- METODOS A UTILIZAR Lo primero a hacer es encontrar los momentos de empotramiento del marco que se obtienen como se muestra en las figuras 2 a 7. Fig. 2 MDE = MED = 9000 KG/M Fig. 3 MEF = MFE = 9000 KG/M Fig. 4 MGH = MHG = 7500 KG/M Fig. 5

2 0 0 0 k g/ m

JK

J

KJ

K

2 0 0 0 kg/m

KL

K

LK

L

MHI = MIH = 7500 KG/M Fig. 6 MJK = MKJ = 6000 KG/M Fig. 7 MKL = MLK = 6000 KG/M El siguiente paso a realizar es la obtención de k para cada nudo lo cual queda así: KAD – KDA = 0.25 KHK – KKH = 0.2631 KBE – KEB = 0.25 KIL – KLI = 0.2631 KCF – KFC = 0.25 KDE – KED = 0.288 KDG – KGD = 0.2631 KEF – KFE = 0.288 KEJ – KJE = 0.2631 KGH – KHG = 0.288 KEH – KHE = 0.2631 KHI – KIH = 0.288 KFI – KIF = 0.2631 KJK – KKJ = 0.288 KGJ – KJG = 0.2631 KKL – MLK = 0.288 Se hace una gráfica del supuesto comportamiento del marco Fig. 8 para obtener los giros que puede tener:

∆3 ∆3 ∆3

∆2 ∆2 ∆2

∆1 ∆1 ∆1

A B C

D

G

J K

H

E

L

I

F

1000 kg

1000 kg

1000 kg

2000 kg/m

2500 kg/m

3000 kg/m

2000 kg/m

2500 kg/m

3000 kg/m

3.8

3.8

4

6 6

Analizando esto obtenemos que R = ∆/L RAD = RDA = RBE = REB = RCF = RFC = R3 RDG = RGD = REH = RHE = RFI = RIF = R2 RGJ = RJG = RHK = RKH = RIL = RLI = R1 Con estos datos podemos obtener los momentos finales que se verán mas adelante. Como siguiente paso analizamos los nudos para empezar a obtener las ecuaciones que resolveremos posteriormente con el método de Gauss – Seidel. Condiciones de nudo A θA = 0 Condiciones de nudo B θB = 0 Condiciones de nudo C θC = 0

Condiciones de nudo D MDA + MDE = 0 0.25 θA + 0.5 θD – 0.25 R3 0.576 θD + 0.288 θE - 9000 0.25θA + 1.076θD + 0.288θE – 0.25R3 = 9000 Condiciones nudo E MEB + MED + MEF + MEH = 0 0.25 θB + 0.5 θE - 0.25 R3 + 0.576 θE + 0.288 θD - 9000 + 0.576 θE + 0.288 θF – 9000 + 0.5262 θE + 0.3631 θH – 0.2631 R2 0.25θB + 2.1782θE + 0.288θD + 0.288θF + 0.3631θH -0.25R3 - .2631 R2 – 18000 = 0 Condiciones de nudo F MFC + MFE + MFI = 0 0.25 θC + 0.5 θF – 0.25 R3 0.288 θE + 0.576 θF + 9000 + 0.576 θF + 0.2631 θI – 0.2631 R2 0.25θC + 0.288θE + 1.652θF + 0.2631θI – 0.25R3 - 0.2631R2 +9000 Condiciones de nudo G MGD + MGH + MGJ = 0 0.2631 θD + 0.5262 θG – 0.2631 R2

+ 0.576 θG - 7500 + 0.5262 θG + 0.2631 θJ – 0.2631 R1 0.2631θD + 1.6284θG + .2631θJ – 0.2631R1 – 0.2631R2 - 7500 Condiciones de nudo H MHE + MHG + MHI + MHK = 0 0.2631 θE + 0.5262 θH – 0.2631 R2

0.288 θG + 0.576 θH + 7500 + 0.576 θH + 0.288 θI - 7500 0.2631θE + 0.288θG + 1.6782θH + 0.288θI – 0.2631R2 Condiciones de nudo I MIF + MIH + MIL = 0 0.2631 θF + 0.5262 θI – 0.2631 R2 0.288 θH + 0.576 θI + 7500 0.5262 θI + 0.2631 θL – 0.2631 R1 0.2631θF + 0.288θH + 1.6284θI + 0.2631θL – 0.2631R1 – 0.2631 R2 + 7500 Condiciones de nudo J MJG + MJK = 0 0.2631 θG + 0.5262 θJ – 0.2631 R1 + 0.576 θJ + 0.288 θK – 6000 0.2631θG + 1.1022θJ + 0.288θK – 0.2631 R1 – 6000 Condiciones de nudo k MKH + MKJ + MKL = 0 0.2631 θH + 0.5262 θK – 0.2631 R1 0.288 θJ + 0.576 θK + 6000 0.576 θK + 0.288 θL – 6000 0.2631θH + 0.288θJ + 1.6782θK + 0.288θL – 0.2631 R1 Condiciones de nudo L 0.2631 θJ + 0.5262 θL – 0.2631 R1 0.288 θK + 0.576 θL + 6000 0.2631θJ + 0.288θK + 1.1022θL – 0.2631R1 + 6000 ECUACIONES DERIVADAS DE LAS CONDICIONES DE NUDO ECUACIÓN 1 0.25θA + 1.076θD + 0.288θE – 0.25R3 = 9000 ECUACION 2

0.25θB + 2.1782θE + 0.288θD + 0.288θF + 0.3631θH -0.25R3 - .2631 R2 = 18000 ECUACION 3 0.25θC + 0.288θE + 1.652θF + 0.2631θI – 0.25R3 - 0.2631R2 = -9000 ECUACION 4 0.2631θD + 1.6284θG + .2631θJ – 0.2631R1 – 0.2631R2 = 7500 ECUACION 5 0.2631θE + 0.288θG + 1.6782θH + 0.288θI – 0.2631R2 = 0 ECUACION 6 0.2631θF + 0.288θH + 1.6284θI + 0.2631θL – 0.2631R1 – 0.2631 R2 = -7500 ECUACION 7 0.2631θG + 1.1022θJ + 0.288θK – 0.2631 R1 = 6000 ECUACION 8 0.2631θH + 0.288θJ + 1.6782θK + 0.288θL – 0.2631 R1 = 0 ECUACION 9 0.2631θJ + 0.288θK + 1.1022θL – 0.2631R1 = -6000

Después de analizar las condiciones de nudo obtenemos 9 ecuaciones con 12 incógnitas (θD, θE, θF, θG, θH, θI, θJ, θK, θL, R1, R2 Y R3), de aquí pasamos a las condiciones de cortante para completar las 12 ecuaciones.

Condiciones de cortante VA + VB + VC + 3000 = 0 VD + VE + VF + 2000 = 0 VG + VH + VI + 1000 = 0 Basados en estas condiciones analizamos de la siguiente manera: Para obtener VA: Σ MD=0

-MAD –MDA + VA (4) =0 MAD + MDA

VA = 4 Para obtener VB: Σ ME=0 -MEB –MBE + VB (4) =0

MEB + MBE VA = 4 Para obtener VC: Σ MF=0 -MCF –MFC + VC (4) =0

MCF + MFC VA = 4

Sustituyendo en la ecuación VA + VB + VC = -3000 obtenemos: Ecuación 10 0.75θA + 0.75θB + 0.75θC + 0.75θD + 0.75θE + 0.75θF – 1.5 R3 = -12000 Para obtener VD: Σ MG=0 -MGD –MDG + VD (3.80)+ 1000 (3.80) =0

MGD + MDG - 3800 VD = 3.80 Para obtener VE: Σ MH=0 -MEH –MHE + VE (3.80) =0

MHE + MEH VE = 3.80

Para obtener VF: Σ MI=0 -MIF –MFI + VF (3.80) =0

MIF + MFI VF = 3.80 Sustituyendo en la ecuación VD + VE + VF = - 2000 obtenemos: Ecuación 11 0.7893θD + 0.7893θE + 0.7893θF + 0.7893θG + 0.7893θH + 0.7893θI – 1.5786R2 = -3800 Para obtener VG: Σ MJ=0 -MJG –MJG + VG (3.80)+ 1000 (3.80) =0

MGD + MDG - 3800 VG = 3.80 Para obtener VH: Σ MK=0 -MHK –MKH + VH (3.80) =0

MHK + MKH VH = 3.80 Para obtener VI: Σ ML=0 -MIL –MLI + VI (3.80) =0

MIL + MLI VI = 3.80

Sustituyendo en la ecuación VG + VH + VI = -1000 obtenemos: Ecuación 12 0.7893θG + 0.7893θH + 0.7893θI + 0.7893θJ + 0.7893θK + 0.7893θL – 1.5786R1 = 0 Para resolver el sistema de ecuaciones por medio del método de GAUSS-SEIDEL se despeja la incógnita a encontrar en cada ecuación y de esta manera poder ir sustituyendo en las siguientes el valor encontrado para lograr que converjan hacia la solución real, esto se demuestra utilizando una ecuación para encontrar el porcentaje de error, esto es la incógnita anterior menos la incógnita actual, todo entre la incógnita anterior y por cien, entre menor sea, mas exacto es el resultado. ECUACIÓN 1 θD = -0.288θE + 0.25R3 + 9000

1.076 ECUACION 2 θE = -0.288θD-0.288θF-0.3631θH+0.25R3 +0.2631R2+18000

2.1782 ECUACION 3 θF = -0.288θE -0.2631θI +0.25R3 +0.2631R2 -9000

1.652

ECUACION 4 θG = -0.2631θD -0.2631θJ +0.2631R1 +0.2631R2 +7500

1.6284

ECUACION 5

θH = -0.2631θE -0.288θG -0.288θI +0.2631R2

1.6782

ECUACION 6 θI = -0.2631θF-0.288θH-0.2631θL+0.2631R1+0.2631R2-7500

1.6284

ECUACION 7 θJ = -0.2631θG -0.288θK + 0.2631R1 +6000

1.1022

ECUACION 8 θK= -0.2631θH -0.288θJ -0.288θL +0.2631R1

1.6782 ECUACION 9 θL = -0.2631θJ -0.288θK +0.2631R1 -6000

1.1022 Ecuación 10 R3 = 0.75θD +0.75θE +0.75θF +12000 1.5 Ecuación 11 R2= 0.7893θD+0.7893θE + 0.7893θF + 0.7893θG + 0.7893θH

+0.7893θI +3800 . 1.5786

Ecuación 12 R1=0.7893θG+0.7893θH+0.7893θI+0.7893θJ+0.7893θK+0.7893L

1.5786

Para resolver esto tomaremos como valor inicial para todas las incógnitas 0 de ahí obtenemos:

0 1 2 3 4 5 ERROR D 0 8364.312 9332.572 9286.692 9336.734 9356.019 -0.206551E 0 7157.781 10343.917 10736.398 10823.002 10878.517 -0.512932F 0 -6695.787 -3904.261 -2915.822 -2686.926 -2629.096 2.152270G 0 3254.329 2993.938 3887.322 4344.044 4526.999 -4.211619H 0 -1680.645 -642.041 -349.502 -311.477 -317.690 -1.994829I 0 -3226.672 -2174.487 -1449.036 -1089.164 -929.944 14.618577J 0 4666.835 4399.071 4206.865 4294.531 4371.441 -1.790880K 0 -537.404 138.089 354.995 468.343 519.959 -11.020969L 0 -6417.231 -7000.160 -6813.404 -6610.583 -6492.230 1.790364R3 0 12413.153 15886.114 16553.634 16736.405 16802.720 -0.396231R2 0 5993.855 10382.015 12005.222 12615.303 12849.599 -1.857233R1 0 -1970.394 -1142.795 -81.380 547.847 839.268 -53.193754

6 7 8 9 10 ERROR

D 9356.568 9354.167 9352.560 9351.789 9351.459 0.003521E 10907.745 10920.400 10925.366 10927.229 10927.911 -0.006245F -2612.199 -2607.126 -2605.685 -2605.319 -2605.242 0.002947G 4599.424 4627.392 4637.832 4641.622 4642.967 -0.028983H -325.294 -329.345 -331.154 -331.913 -332.217 -0.091695I -865.512 -840.670 -831.353 -827.938 -826.715 0.147759J 4410.229 4427.359 4434.443 4437.234 4438.293 -0.023871K 539.872 547.163 549.822 550.785 551.126 -0.062046L -6437.128 -6414.114 -6405.018 -6401.545 -6400.256 0.020147

R3 16826.057 16833.720 16836.121 16836.849 16837.064 -0.001277R2 12937.562 12969.605 12980.979 12984.931 12986.278 -0.010374R1 960.795 1008.893 1027.286 1034.122 1036.600 -0.239573 11 12 13 14 15 ERROR

D 9351.327 9351.275 9351.256 9351.249 9351.246 0.000027E 10928.157 10928.244 10928.274 10928.284 10928.287 -0.000031F -2605.233 -2605.235 -2605.238 -2605.239 -2605.240 -0.000027G 4643.435 4643.595 4643.649 4643.666 4643.672 -0.000122H -332.334 -332.378 -332.394 -332.400 -332.402 -0.000594I -826.286 -826.139 -826.089 -826.073 -826.067 0.000645J 4438.684 4438.824 4438.873 4438.891 4438.896 -0.000130K 551.245 551.285 551.299 551.303 551.304 -0.000254L -6399.788 -6399.623 -6399.566 -6399.546 -6399.539 0.000102

R3 16837.125 16837.142 16837.146 16837.147 16837.147 0.000000R2 12986.729 12986.877 12986.925 12986.940 12986.944 -0.000035R1 1037.477 1037.782 1037.886 1037.921 1037.932 -0.001096

16 17 18 19 20 ERROR D 9351.245 9351.245 9351.245 9351.245 9351.245 0.000000E 10928.288 10928.289 10928.289 10928.289 10928.289 0.000000F -2605.240 -2605.240 -2605.240 -2605.240 -2605.240 0.000000G 4643.674 4643.674 4643.675 4643.675 4643.675 0.000000H -332.403 -332.403 -332.403 -332.403 -332.403 -0.000002I -826.066 -826.065 -826.065 -826.065 -826.065 0.000002J 4438.898 4438.899 4438.899 4438.899 4438.899 0.000000K 551.305 551.305 551.305 551.305 551.305 -0.000001L -6399.537 -6399.537 -6399.536 -6399.536 -6399.536 0.000000

R3 16837.147 16837.147 16837.147 16837.147 16837.147 0.000000R2 12986.946 12986.946 12986.946 12986.946 12986.946 0.000000R1 1037.936 1037.937 1037.937 1037.937 1037.937 -0.000003 IV.- RESULTADOS

De la tabla anterior podemos obtener los valores finales de las incógnitas: θD = 9351.245 θE = 10928.289 θF = -2605.240 θG = 4643.675 θH = -332.403 θI = -826.065 θJ = 4438.899 θK = 551.305 θL = -6399.536 R3 = 16837.147 R2 = 12986.946 R1 = 1037.937

Los cuales se sustituyen el los momentos finales para obtener los momentos actuantes en el marco: MAD = 0.5 θA + 0.25 θD – 0.25 R3 = - 1871.4755 MDA = 0.25 θA + 0.5 θD – 0.25 R3 = 466.3357 MBE = 0.5 θB + 0.25 θE – 0.25 R3 = - 1477.2145 MEB = 0.25 θB + 0.5 θE – 0.25 R3 = 1254.8357 MCF = 0.5 θC + 0.25 θF – 0.25 R3 = - 4860.5967 MFC = 0.25 θC + 0.5 θF – 0.25 R3 = - 5511.9067

MDG = 0.5262 θD + 0.2631 θG – 0.2631 R2 = 2725.5105 MGD = 0.2631 θD + 0.5262 θG – 0.2631 R2 = 1486.9488 MEH = 0.5262 θE + 0.2631 θH – 0.2631 R2 = 2246.1449 MHE = 0.2631 θE + 0.5262 θH – 0.2631 R2 = - 716.5431 MFI = 0.5262 θF + 0.2631 θI – 0.2631 R2 = - 5005.0804 MIF = 0.2631 θF + 0.5262 θI – 0.2631 R2 = - 4536.9795 MGJ = 0.5262 θG + 0.2631 θJ – 0.2631 R1 = 3338.2948 MJG = 0.2631 θG + 0.5262 θJ – 0.2631 R1 = 3284.4183 MHK = 0.5262 θH + 0.2631 θK – 0.2631 R1 = - 302.9433 MKH = 0.2631 θH + 0.5262 θK – 0.2631 R1 = - 70.4397 MIL = 0.5262 θI + 0.2631 θL – 0.2631 R1 = - 2391.4745 MLI = 0.2631 θI + 0.5262 θL – 0.2631 R1 = - 3857.8547 MDE = 0.576 θD + 0.288 θE – 9000 = - 466.3356 MED = 0.288 θD + 0.576 θE + 9000 = 17987.8530 MEF = 0.576 θE + 0.288 θF – 9000 = - 3455.6146 MFE = 0.288 θE + 0.576 θF + 9000 = 10646.7289 MGH = 0.576 θG + 0.288 θH – 7500 = - 4920.9752 MHG = 0.288 θG + 0.576 θH + 7500 = 8645.9142 MHI = 0.576 θH + 0.288 θI – 7500 = - 7929.3708 MIH = 0.288 θH + 0.576 θI + 7500 = 6928.4544 MJK = 0.576 θJ + 0.288 θK – 6000 = - 3284.4183 MKJ = 0.288 θJ + 0.576 θK + 6000 = 7595.9545 MKL = 0.576 θK + 0.288 θL – 6000 = -7525.5146 MLK = 0.288 θK + 0.576 θL + 6000 = 2472.6431 Con esta información se puede continuar con la revisión de las deflexiones en las vigas y así determinar si el marco es seguro o no. v.- DISCUSIÓN A pesar de que el método utilizado para resolver las incógnitas en las ecuaciones (Gauss – Seidel) no se recomienda para sistemas de ecuaciones grandes porque a veces no converge hacia la solución real, en este caso pudimos ver que a pesar de tener 12 incógnitas no se tuvieron que hacer demasiadas iteraciones para llegar a un resultado con un margen de error mínimo. Tal vez si hubiera sido mejor utilizar el método de la matriz inversa solo para ahorrar tiempo, pero esto demuestra que los problemas de ingeniería pueden

ser atacados con varios métodos, ya es cuestión de la elección de la persona que los va a resolver. VI.- CONCLUSIONES Este articulo demuestra que se pueden utilizar varios métodos para la solución de todo tipo de problemas, no solo de ingeniería, ya que cada persona tiene criterios diferentes al razonarlos, por lo tanto el camino que escoja para llegar a la solución tal vez será el que le resulte más fácil o el que más haya practicado, lo importante es que encuentre la solución.

ANALISIS DE ARMADURAS

Isela Yaneth Vasquez Hernández

RESUMEN

En este proyecto se analizaron algunas de las Armaduras

más comunes en la construcción de puentes, tales como:

PRATT, PARKER, HOWE, WARREN, etc..

El método que se utilizo para resolver esta

problemática fue el de Matriz Inversa, en el cual se

aplica la carga real, con el objetivo de conocer sus

limites.

El propósito de este análisis es conocer las reacciones

y fuerzas internas de cada tipo de armadura para

compararlas entre sí, y determinar cual es la Armadura

mas adecuada a utilizar en la construcción de este

puente.

INTRODUCCIÓN

El principal objetivo de este proyecto es determinar

las reacciones y fuerzas relacionadas con una

estructura estáticamente determinada, mediante la

técnica de matriz inversa, con el fin de comprender el

comportamiento de los diferentes tipos de armaduras.

Dentro de este análisis se tienen algunas restricciones

tales como:

• La armadura tiene que ser estéticamente

determinada, en caso contrario, no aplica en esta

solución del problema.

• Para este tipo de solución se toman en cuenta las

cargas vivas y muertas de este puente, sin tomar

en cuenta la posibilidad de un sismo.

• Al obtener el análisis final, se obtiene que las

cargas son bajas, y en algunas armaduras los

elementos son muy esbeltos, y esto no se esta

analizando.

• No se toman en cuenta, los elementos de

arriostramiento del portal, lateral, y para

balanceo.

Los primeros resultados que se obtuvieron, se determino

que el tipo de Armadura mas bajo fue el de Warren, pero

tomando en cuenta que esta armadura es muy sencilla, y

en la Armadura Parker, el montante del centro queda mas

alto quedando demasiado esbelto, haciéndolo una

solución no muy viable, por otra parte, el tipo de

Armadura Pratt, en la cual no hay mucha diferencia con

la Parker, sería la solución mas optima, ya que sus

reacciones internas son de las mas bajas, y

estéticamente hablando es la Armadura mas indicada a

utilizar.

MARCO TEORICO

La armadura es una viga compuesta por elementos

relativamente cortos y esbeltos conectados por sus

extremos. La carga fija del peso del pavimento y la

carga móvil que atraviesa el puente se transmiten por

medio de las viguetas transversales del tablero

directamente a las conexiones de los elementos de la

armadura.

En las diversas configuraciones triangulares creadas,

cada elemento queda o en tensión o en compresión,

según el patrón de cargas, pero nunca están sometidos a

cargas que tiendan a flexionarlos. Este sistema permite

realizar a un costo razonable y con un gasto mínimo de

material estructuras de metal que salvan desde treinta

hasta más de cien metros, distancia que resultan

económicamente imposibles para estructuras que

funcionen a base de flexión, como las vigas simples.

El uso de la armadura se popularizó para 1820, en 1840

se comenzó a usar la armadura de hierro. Esto significó

una transformación radical en la construcción en

general, y en los puentes en particular; sus

posibilidades eran mucho mayores que las de los

materiales conocidos hasta entonces, y por ello se

produjo un desarrollo muy rápido de las estructuras

metálicas, que pronto superaron en dimensiones a todas

las construidas anteriormente. Hoy en dia sigue siendo

el material de las grandes obras, y en especial de los

grandes puentes. Los elementos de las primeras

armaduras metálicas se unían por medio de pasadores,

pero pronto estos dieron paso a las conexiones a base

de placas y roblones. A cada placa se fijaban todos los

elementos de una junta.

El rápido desarrollo a principio del siglo XIX de los puentes se debió básicamente a dos causas fundamentales: que fue su capacidad resistente era mucho mas alta, y el comportamiento resistente de las estructuras, lo que permitió, a la hora de proyectar un puente, dimensionar sus distinto elementos cuantificando su grado de seguridad, y con ello ajustar al máximo sus dimensiones. El hierro forjado es el material de los puentes de la

segunda mitad del siglo XIX, la época de los grandes

viaductos de ferrocarril en viga triangulada; de este

material son las vigas en celosía y los arcos de

Eiffel.

A finales del siglo XIX, cien años después de la

iniciación de los puentes metálicos, se empezó a

utilizar el acero para construir puentes.

La armadura funciona de forma análoga a la viga. La

hilera superior de elementos, llamado cordón superior,

queda en compresión, al igual que el ala superior de la

viga. Los elementos de forman el cordón inferior, como

el ala inferior de la viga, quedan en tensión. Los

elementos verticales y diagonales que van de uno a otro

cordón quedan en tensión o en compresión según la

configuración y según cambia la posición de la carga

móvil.

Los elementos sujetos sólo a tensión bajo cualquier

patrón de carga posible son esbeltos. Los demás

elementos son más masivos; pueden ser piezas que dejen

el centro hueco y que a su vez estén formadas por

pequeños elementos triangulares.

La armadura Pratt fue patentizada en 1844, se distingue

por tener sus diagonales siempre bajando en dirección

al centro del tramo, de forma que sólo están sujetas a

tensión. Puede variar según su silueta sea rectangular

o poligonal. Las armaduras poligonales de tramos del

orden de los cien metros pueden tener diagonales

adicionales que no alcancen de cordón a cordón,

denominadas subdiagonales.

El uso de las armaduras en la construcción de puentes

ha declinado en las últimas décadas, principalmente

debido al desarrollo de la construcción de grandes

tramos sostenidos por cables y al desarrollo de trabes

armadas soldadas y sistemas de concreto reforzado o

presforzado para tramos cortos, como los pasos

superiores de las carreteras.

Sin embargo, las armaduras son utilizadas ampliamente

en viguetas prefabricadas y en otros sistemas de techos

en los que se necesita salvar grandes claros sin

soportes interiores.

METODOS

Se obtuvieron los diagramas de cuerpo libre de cada

nudo de cada tipo de armadura estéticamente

determinadas, para obtener las ecuaciones de

reacciones horizontales y verticales, tomando en cuenta

las reacciones a tensión de cada de ellas y como el

sistema esta en reposo se iguala a cero.

A partir de estas ecuaciones se obtiene la matriz, y es

entonces cuando se empieza a utilizar el método de

matriz inversa, que no es mas que otra matriz del mismo

orden que la original.

Ya obteniendo el resultado de la matriz inversa, se

multiplica por las fuerzas horizontales y verticales

externas, de la Armadura, esto aplica para cada tipo de

Armadura, y el resultado que reflejan son las

reacciones y fuerzas internas que necesitamos para

poder así realizar la comparación de las distintas

Armaduras.

Los resultados positivos indican que los miembros están

a tensión y un resultado negativo significa, que están

a compresión.

El siguiente paso es la comparación de los resultados,

clasificándolos en elementos de la cuerda superior,

cuerda inferior, montantes, y diagonales, y dividiendo

el resultado de cada armadura entre el menor de ellos,

para obtener el rango en el que varia un elemento de

una armadura a otra.

Ya con la suma de todas las cuerdas inferiores y

superiores, montantes y diagonales, se hace un

indicador de las tendencias que requiere cada armadura,

y así elegir la mas optima.

Y por ultimo, ya con la lección del tipo de Armadura,

se realizara el diseño de cada miembro que compone el

puente.

RESULTADOS

Los resultados que se obtuvieron muestran la siguiente

tendencia:

13,3717,44 18,41

21,8424,54

32,79

38,84

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

WARREN

PARKE

RPR

ATT

HOWE K

BALT

IMORE

WARREN

SUB.

En donde observamos que la mas baja fue la de WARREN

con un 13.37, este tipo de armadura es una de las mas

utilizadas en puentes de acero de tramos cortos, pero

si lo analizamos por la parte estética es muy sencilla.

El tipo de Armadura PARKER, obtuvo un 17.44, este tipo

de armadura es para puentes de tramos largos, de cordón

superior curvo, pero debido a las cargas que tendrá el

puente, que no son altas, el montante del centro llega

a tener una altura de 4 metros, esto para cumplir un

Angulo de 30° mínimo, respecto al montante siguiente,

esto lo hace muy esbelto, que estéticamente no es

agradable a la vista, y no se esta tomando en cuenta

para este análisis.

Ahora observaremos la Armadura PRATT que tiene un

18.41, que no hay mucha diferencia con respecto a la

Armadura Parker, pero la Armadura PRATT es una de las

armaduras mas utilizadas en puentes de acero de tramos

cortos, además hablando estéticamente en comparación

con los dos tipos de armaduras antes mencionados, es la

mas optima.

La Armadura HOWE obtuvo un 21.84, en donde se nota una

diferencia considerable con respecto a las anteriores,

además este tipo de armadura solo se emplea, en puentes

de madera, sus miembros verticales, están construidos

con barras de acero, están en tensión, al igual que el

cordón inferior que e de madera.

Los últimos tres tipo de Armaduras K, BALTIMORE,

WARREN SUBDIVIDIDA, obtuvieron un 24.52, 37.79, 38.84

respectivamente, esto notablemente es un resultado muy

alto, además estas armaduras son utilizadas para claros

muy largos, que por lo mismo resultan demasiado

pesados, puesto que contienen mas elementos que los

anteriores, lo cual no los hace, a ninguno de los tres

métodos, una solución viable, además de que su costo

es muy elevado.

DISCUSIÓN

La armadura tiene que ser estáticamente determinada, en

caso contrario, no aplica en esta solución del

problema.

Para este tipo de solución se toman en cuenta las

cargas vivas y muertas de este puente, sin tomar en

cuenta la posibilidad de un sismo.

Al obtener el análisis final, se obtiene que las cargas

son bajas, y en algunas armaduras los miembros, son muy

largos, por lo que se requiere una área mínima, dando

un elemento muy esbelto, y para esto se requiere un

análisis adicional.

No se toman en cuenta, los elementos de arriostramiento

del portal, lateral, y para balanceo.

Los resultados que se obtuvieron, se determinan que el tipo de Armadura mas optimo a utilizar fue el de PRATT,

ya que sus fuerzas internas son de las mas bajas, y

estéticamente hablando es la Armadura mas indicada a

utilizar.

Con respecto a la Armadura HOWE esta es usada solo en

la construcción puentes de madera, con acero solo en

sus montantes, la Armadura PARKER, que aunque es muy

similar a la Armadura PRATT, esta es mas usada en

tramos largos y tiene la cuerda superior curva, por lo

que llega alcanzar una altura que no es apropiada para

este puente, y sus elementos llegan a ser muy esbeltos.

Con respecto a la Armadura WARREN este obtuvo él mas

bajo resultado, porque tiene menos elementos, cuerda

superior, inferior, y diagonales, esto hace que los

diagonales tomen todo el peso y se obtienen las fuerzas

internas muy altas, y por otro parte es una armadura

muy sencilla estéticamente hablando. Las Armadura K,

BALTIMORE, WARREN SUBDIVIDIDA, tienen un mayor numero

de elementos porque son para tramos largos y por lo

mismo peso muy alto y además no serían viables ninguna

de las tres, económicamente, puesto que cada elemento

requeriría una área muy baja que no es comercial, y se

tomaría un perfil que estaría muy sobrado.

CONCLUSIÓN

Como conclusión para este proyecto del puente se

determino que la Armadura tipo PRATT, es la mas optima

a utilizar debido a que es la más común en este tipo de

proyecto de tramos cortos, y debido a su comportamiento

de los elementos que la componen es la más viable a

utilizar, además de que no seria tan elevado su costo

comparándola con la Armadura tipo BALTIMORE o bien

WARREN SUBDIVIDIDA.

REFERENCIAS

Métodos Numéricos para ingenieros.

Steven C. Chapra

Raymond P. Canale

Análisis Estructural

Jeffrey P. Laible

Análisis Estructural

R.C. Hibbeler