antologia la construccion de las nociones logico-matematicas del niño

Universidad Pedaggica Veracruzana

La construccin de las nocioneslgico-matemticas del nio

Direccin Acadmica

SEVSECRETARA DE EDUCACINDE VERACRUZ

GOBIERNO DEL ESTADO DE VERACRUZ







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SECRETARA DE EDUCACIN

UNIVERSIDAD PEDAGGICA VERACRUZANA

DRGOBERNADOR DEL ESTADO DE VERACRUZ

LIC. ADOLFO MOTA HERNNDEZSECRETARIO DE EDUCACIN

MTRA. DENISSE USCANGA MNDEZSUBSECRETARIO DE EDUCACIN MEDIA SUPERIOR Y SUPERIOR

MTRO. FRANCISCO ALFONSO AVILSRECTOR

MTRA. CITLALLI SOLEDAD POZOS CUEVASDIRECTORA ACADMICA

C.P. MARTHA ALICIA TIBURCIO MANZANO DIRECTORA ADMINISTRATIVA

DR. FABIO FUENTES NAVARRO DIRECTOR DE CENTROS REGIONALES DE ESTUDIO

DRA. PIEDAD BEATRIZ PEREDO CARMONAJEFA DE LA OFICINA DE MAESTRAS, DIPLOMADOS Y ESPECIALIDADES

MTRA. AMALIA VALLINA MALAGNCOORDINADORA DE LA MAESTRA EN DESARROLLO INFANTIL

. JAVIER DUARTE DE OCHOA


UNIVERSIDAD PEDAGGICA VERACRUZANA

UPV

La construccin de las nociones lgico

matemticas

Seleccin de lecturas

Ma. De los Angeles Zepeda Loeza

NDICE

Pag.

Prefacio

Lectura 1. Por qu la enseanza de la matemtica es problema difcil? 7

Lectura 2. Matemticas y sociedad. 21

Lectura 3. Clave 1: La enseanza de las matemticas slo tiene sentido asociada a los currculos que propone y promueve.

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Lectura 4. Principios educativos de las perspectivas experiencial, reflexiva y situada

42

Lectura 5. Estndares curriculares, la funcin de los aprendizajes esperados y campos de formacin.

67

Lectura 6. Campo de formacin de pensamiento matemtico. 70

Lectura 7. Cmo ensear contenidos y estrategias de pensamiento. 72

Lectura 8. El enfoque del rea matemtica 86

Lectura 9. Qu significa resolver un problema? 100

Lectura 10. El docente y las inteligencias mltiples 118

Lectura 11. Neurociencias y Enseanza de la matemtica. 125

Lectura 12. El numero y la serie numrica 137

Lectura 13. La medida y sus magnitudes 148

La construccin de las nociones lgico-matemticas del nio

Prefacio

La presente antologa contiene una seleccin de textos que te permitirn en el desarrollo de este

mdulo, reconocer las implicaciones que para la enseanza de las matemticas debes considerar

para lograr cambios en la prctica diaria, que respondan a las necesidades del nuevo modelo

educativo que permea en la educacin bsica.

Las ideas educativas en relacin a las matemticas, que nos hemos ido formando a lo

largo de nuestra actividad educativa, constituyen nuestra concepcin de aprendizaje y de

enseanza; misma que en el aula escolar representa nuestra teora en uso; en la mayora de las

ocasiones este es el nico referente con el que contamos para decidir el qu, cundo y cmo

ensear. Las estrategias didcticas son producto de nuestra propia teora implcita de cmo se

aprenden la matemticas, y en casos menos favorables si la experiencia que se tiene no es del todo

significativa, su enseanza representa grandes desafos tanto para el docente como para el alumno.

Brousseau (1998), nos dice que saber matemticas no es solamente saber definiciones

y teoremas para reconocer la ocasin de utilizarlos y aplicarlos, es ocuparse de problemas que, en

un sentido amplio, incluye encontrar buenas preguntas que lleven al discente a buscar distintas

soluciones, esto es generar aprendizajes significativos. Es por ello que la seleccin de las lecturas

est encaminada a conocer en un sentido amplio cmo se ha dado la enseanza de las matemticas

a travs de los tiempos, que situaciones se han generado en las mismas, con el propsito de saber

que caminos se tienen que sortear al trabajar con los alumnos.

Adems se considera relevante analizar, cul es el enfoque que permea en el currculo

para el aprendizaje de los alumnos en este campo formativo, para ello ser necesario que se

analicen los textos: Aprendizaje y enseanza de las matemticas escolares, casos y perspectivas.

De la serie Teora y prctica curricular de la educacin bsica. SEP, 2011.

Y el texto Ensear matemtica: Nmeros, formas, cantidades y juegos de Irma Saiz

Ediciones novedades educativas, la educacin en los primeros aos. Que sern para ti una

herramienta en el diseo de situaciones de aprendizaje.

Ma. De los Angeles Zepeda Loeza

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1. POR QU LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA ES TAREA DIFCIL?

L a matemtica es una actividad vieja y polivalente y a lo largo de los siglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para la elaboracin de vaticinios entre los sacerdotes de los pueblos mesopotmicos y entre los pitagricos considerada como un medio de aproximacin a una vida ms profundamente humana y como camino de acercamiento a la divinidad. Utilizada como un importante elemento disciplinador del pensamiento en el Medievo, a partir del Renacimiento ha sido la ms verstil e idnea herramienta para la exploracin del universo. Ha constituido una magnfica gua del pensamiento filosfico entre los pensadores del racionalismo y filsofos contemporneos y un instrumento de creacin de belleza artstica, un campo de ejercicio ldico, entre los matemticos de todos los tiempos Por otra parte, la matemtica misma es una ciencia intensamente dinmica y cambiante: de manera rpida y hasta turbulenta en sus propios contenidos y aun en su propia concepcin profunda, aunque de modo ms lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la actividad matemtica no puede ser una realidad de abordaje sencillo. El otro miembro del binomio educacin-matemtica tampoco es algo simple. La educacin ha de hacer, necesariamente, referencia a lo ms profundo de la persona, una persona an por conformar, a la sociedad en evolucin en la que esta persona se ha de integrar, a la cultura en que esta sociedad se desarrolla, a los medios concretos personales y materiales de los que en el momento se puede o se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta educacin se le quieran asignar y que pueden ser extraordinariamente variadas. La complejidad de la matemtica y de la educacin sugiere que los tericos de la educacin matemtica, y no menos los agentes de ella, deban permanecer constantemente atentos y abiertos a los cambios profundos que en muchos aspectos la dinmica rpidamente mutante de la situacin global venga exigiendo. La educacin, como todo sistema complejo, presenta una fuerte resistencia al cambio, lo cual no necesariamente es malo, pues una razonable persistencia ante las variaciones es la caracterstica de los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se conjuga con una

POR QU LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA ES TAREA DIFCIL?

Miguel de Guzmn

Lectura 1

Tomado de MIGUEL de Guzmn, Enseanza de las ciencias y la matemtica, Revista Iberoamericana de Educacin, No.43 (2007), pp. 21-39.

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capacidad de adaptacin ante la mutabilidad de las circunstancias ambientales. En la educacin matemtica a nivel internacional apenas se habran producido cambios de consideracin desde principios de siglo hasta los aos sesenta. A comienzos de siglo haba tenido lugar un movimiento de renovacin en educacin matemtica, gracias al inters inicialmente despertado por la prestigiosa figura del gran matemtico alemn Felix Klein, con sus proyectos de renovacin de la Enseanza Media y con sus famosas lecciones sobre Matemtica elemental desde un punto de vista superior (1908), que ejercieron gran influencia en nuestro pas a partir de 1927, por el inters de Rey Pastor, quien las tradujo al castellano y public en su Biblioteca Matemtica. En la dcada de 1960 surgi un fuerte movimiento de innovacin y se puede afirmar con razn, que el empuje de renovacin de dicho movimiento, a pesar de todos los desperfectos que ha trado consigo en el panorama educativo internacional, ha tenido con todo la gran virtud de llamar la atencin sobre la necesidad de alerta constante sobre la evolucin del sistema educativo en matemticas a todos los niveles. Los cambios introducidos en los aos sesenta han provocado mareas y contramareas a lo largo de la etapa intermedia. Hoy da, podemos afirmar con toda justificacin que seguimos estando en una etapa de profundos cambios.

2. SITUACIN ACTUAL DE CAMBIO EN LA DIDCTICA DE LA MATEMTICA Los ltimos treinta aos han sido escenario de cambios muy profundos en la enseanza de la matemtica y por los esfuerzos que la comunidad internacional de expertos en didctica contina realizando por encontrar moldes adecuados, est claro que vivimos an una situacin de experimentacin y cambio. El movimiento de renovacin hacia la matemtica moderna de los aos sesenta y setenta trajo consigo una honda transformacin de la enseanza, tanto en su talante profundo como en los contenidos nuevos con l introducidos. Entre las principales caractersticas de dicho movimiento y sus efectos pueden mencionarse los siguientes:

Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas reas, especialmente en

lgebra.

Se pretendi profundizar en el rigor lgico, en la comprensin, contraponiendo

sta a los aspectos operativos y manipulativos.

Esto ltimo condujo de forma natural al nfasis en la fundamentacin a travs de

las nociones iniciales de la teora de conjuntos y en el cultivo del lgebra, donde el rigor es fcilmente alcanzable.

La geometra elemental y la intuicin espacial sufrieron un gran detrimento. La

geometra es, en efecto, mucho ms difcil de fundamentar rigurosamente.

Con respecto a las actividades fomentadas, la consecuencia natural fue el

vaciamiento de problemas interesantes, en los que la geometra elemental tanto abunda, y su sustitucin por ejercicios muy cercanos a la mera tautologa y reconocimiento de nombres, que es, en buena parte, lo que el lgebra puede ofrecer a este nivel elemental.

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En la dcada de 1970 se empez a percibir que muchos de los cambios introducidos no haban resultado muy acertados. Como acabamos de sealar, con la sustitucin de la geometra por el lgebra la matemtica elemental se vaci rpidamente de contenidos y de problemas interesantes. La patente carencia de intuicin espacial fue otra de las desastrosas consecuencias del alejamiento de la geometra de nuestros programas, defecto que hoy se puede percibir muy claramente en las personas que realizaron su formacin en aquellos aos. Se puede decir que los inconvenientes surgidos con la introduccin de la llamada matemtica moderna superaron con mucho las cuestionables ventajas que se haban pensado conseguir, como el rigor en la fundamentacin, la comprensin de las estructuras matemticas, la modernidad y el acercamiento a la matemtica contempornea. Los aos setenta y ochenta han presentado una discusin, en muchos casos vehemente y apasionada, sobre los valores y contravalores de las tendencias presentes, y luego una bsqueda intensa de formas ms adecuadas de afrontar los nuevos retos de la enseanza matemtica por parte de la comunidad matemtica internacional. A continuacin quisiera dirigir mi atencin sucesivamente sobre los aspectos ms interesantes, a mi parecer, de esta bsqueda y de algunas respuestas parciales que van surgiendo en el panorama educativo de la matemtica.

3. TENDENCIAS GENERALES ACTUALES 3.1 UNA CONSIDERACIN DE FONDO. QU ES LA ACTIVIDAD MATEMTICA?

La filosofa prevalente sobre lo que la actividad matemtica representa tiene un fuerte influjo, ms efectivo a veces de lo que aparenta, sobre las actitudes profundas respecto de la enseanza matemtica. La reforma hacia la matemtica moderna tuvo lugar en pleno auge de la corriente formalista (Bourbaki) en matemticas. No es aventurado pensar a priori en una relacin causa-efecto y, de hecho, alguna de las personas especialmente influyentes en el movimiento didctico, como Dieudonn, fueron importantes miembros del grupo Bourbaki. En los ltimos quince aos, especialmente a partir de la publicacin de la tesis doctoral de I. Lakatos (1976) Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery, se han producido cambios bastante profundos en el campo de las ideas acerca de lo que verdaderamente es el quehacer matemtico. La actividad cientfica, en general, es una exploracin de ciertas estructuras de la realidad, entendida sta en sentido amplio, como realidad fsica o mental. La actividad matemtica se enfrenta con un cierto tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares de tratamiento, que incluyen:

Una simbolizacin adecuada, que permite presentar eficazmente, desde el punto

de vista operativo, las entidades que maneja.

Una manipulacin racional rigurosa, que compele al asenso de aquellos que se

adhieren a las convenciones iniciales de partida.

Un dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primero racional, del modelo

mental que se construye, y luego, si se pretende, de la realidad exterior modelada.

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La antigua definicin de la matemtica como ciencia del nmero y de la extensin, no es incompatible en absoluto con la aqu propuesta, sino que corresponde a un estadio de la matemtica en que el enfrentamiento con la realidad se haba plasmado en dos aspectos fundamentales, la complejidad proveniente de la multiplicidad (lo que da origen al nmero, a la aritmtica) y la complejidad que procede del espacio (lo que da lugar a la geometra, estudio de la extensin). Ms adelante, el mismo espritu matemtico se habra de enfrentar con:

La complejidad del smbolo (lgebra).

La complejidad del cambio y de la causalidad determinstica (clculo).

La complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad mltiple

incontrolable (probabilidad, estadstica).

Complejidad de la estructura formal del pensamiento (lgica matemtica).

La filosofa de la matemtica actual ha dejado de preocuparse tan insistentemente como en la primera mitad del siglo sobre los problemas de fundamentacin de la matemtica, especialmente tras los resultados de Gdel a comienzos de los aos treinta, para enfocar su atencin en el carcter cuasi-emprico de la actividad matemtica (I. Lakatos), as como en los aspectos relativos a la historicidad e inmersin de la matemtica en la cultura de la sociedad en la que se origina (R. L. Wilder), considerando la matemtica como un subsistema cultural con caractersticas, en gran parte, comunes a otros sistemas semejantes. Tales cambios en lo hondo del entender y del sentir mismo de los matemticos sobre su propio quehacer vienen provocando, de forma ms o menos consciente, fluctuaciones importantes en las consideraciones sobre lo que la enseanza matemtica debe ser.

3.2 LA EDUCACIN MATEMTICA COMO PROCESO DE INCULTURACIN La educacin matemtica se debe concebir como un proceso de inmersin en las formas propias de proceder del ambiente matemtico, a la manera en que el aprendiz de artista va siendo imbuido, como por smosis, en la forma peculiar de ver las cosas caractersticas de la escuela en la que se entronca. Como vamos a ver enseguida, esta idea tiene profundas repercusiones en la manera de enfocar la enseanza y aprendizaje de la matemtica.

3.3 CONTINUO APOYO EN LA INTUICIN DIRECTA DE LO CONCRETO. APOYO PERMANENTE EN LO REAL

En los aos ochenta hubo un reconocimiento general de que se haba exagerado considerablemente en las tendencias hacia la matemtica moderna en lo que respecta al nfasis en la estructura abstracta de la matemtica. Es necesario cuidar y cultivar la intuicin en general, la manipulacin operativa del espacio y de los mismos smbolos. Es preciso no abandonar la comprensin e inteligencia de lo que se hace, por supuesto, pero no debemos permitir que este esfuerzo por entender deje pasar a segundo plano los contenidos intuitivos de nuestra mente en su acercamiento a los objetos matemticos. Si la matemtica es una ciencia que participa mucho ms de lo que hasta ahora se pensaba del carcter de emprica, sobre todo en su invencin que es mucho ms interesante que su construccin formal, es necesario que la inmersin en ella se realice teniendo en cuenta mucho ms intensamente la experiencia y la manipulacin de los objetos de los que surge. La formalizacin rigurosa de las experiencias iniciales corresponde a un estadio

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posterior. A cada fase de desarrollo mental, como a cada etapa histrica o a cada nivel cientfico, le corresponde su propio rigor. Para entender esta interaccin fecunda entre la realidad y la matemtica es necesario acudir, por una parte, a la propia historia de esta ltima que nos devela ese proceso de emergencia de nuestra matemtica en el tiempo, y por otra parte, a las aplicaciones de la matemtica, que nos hacen patentes la fecundidad y potencia de esta ciencia. Con ello se hace obvio cmo la matemtica ha procedido de forma muy semejante a las otras ciencias, por aproximaciones sucesivas, por experimentos, por tentativas, unas veces fructuosas, otras estriles, hasta que va alcanzando una forma ms madura, aunque siempre perfectible. Nuestra enseanza ideal debera tratar de reflejar este carcter profundamente humano de la matemtica, ganando con ello en asequibilidad, dinamismo, inters y atractivo.

3.4 LOS PROCESOS DEL PENSAMIENTO MATEMTICO. EL CENTRO DE LA EDUCACIN MATEMTICA

Una de las tendencias generales ms difundida hoy consiste ms en el hincapi en la transmisin de los procesos de pensamiento propios de la matemtica que en la mera transferencia de contenidos. La matemtica es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el mtodo claramente predomina sobre el contenido. Por ello, se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la psicologa cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de resolucin de problemas. Por otra parte, existe la conciencia, cada vez ms acusada, de la rapidez con la que, por razones muy diversas, se va haciendo necesario traspasar la prioridad de la enseanza de unos contenidos a otros. En la situacin de transformacin vertiginosa de la civilizacin en la que nos encontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo ms valioso que podemos proporcionar a nuestros jvenes. En nuestro mundo cientfico e intelectual tan rpidamente mutante vale mucho ms hacer acopio de procesos de pensamiento tiles que de contenidos que rpidamente se convierten en lo que Whitehead llam ideas inertes, ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinmicas, capaces de abordar los problemas del presente. En esta direccin se encauzan los intensos esfuerzos por transmitir estrategias heursticas adecuadas para la resolucin de problemas en general, por estimular la resolucin autnoma de verdaderos problemas, antes que la mera transmisin de recetas adecuadas en cada materia.

3.5 LOS IMPACTOS DE LA NUEVA TECNOLOGA

La aparicin de herramientas tan poderosas como la calculadora y el ordenador est comenzando a influir fuertemente en los intentos por orientar adecuadamente nuestra educacin matemtica primaria y secundaria, de forma que se aprovechen al mximo tales instrumentos. Est claro que, por diversas circunstancias tales como coste, inercia, novedad, falta de preparacin de profesores, hostilidad de algunos..., an no se han logrado encontrar moldes plenamente satisfactorios. ste es uno de los retos importantes del momento presente. Ya desde ahora se puede presentir que nuestra forma de enseanza y sus mismos contenidos tienen que experimentar drsticas reformas. El acento habr que ponerlo, tambin por esta razn, en la comprensin de los procesos

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matemticos ms bien que en la ejecucin de ciertas rutinas, que en nuestra situacin actual ocupan todava gran parte de la energa de los alumnos, con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que en ello emplean. Lo verdaderamente importante vendr a ser su preparacin para el dilogo inteligente con las herramientas que ya existen, denlas que algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente.

3.6 CONCIENCIA DE LA IMPORTANCIA DE LA MOTIVACIN

Una preocupacin general que se observa en el ambiente conduce a la bsqueda de la motivacin del alumno desde un punto de vista ms amplio, que no se limite al posible inters intrnseco de la matemtica y de sus aplicaciones. Se trata de hacer patentes los impactos mutuos que la evolucin de la cultura, la historia, los desarrollos de la sociedad, por una parte, y la matemtica, por otra, se han proporcionado. Cada vez va siendo ms evidente la enorme importancia que los elementos afectivos que involucran a toda la persona pueden tener tambin en la vida de la mente en su ocupacin con la matemtica. Es claro que una gran parte de los fracasos matemticos de muchos de nuestros estudiantes tienen su origen en un posicionamiento inicial afectivo totalmente destructivo de sus propias potencialidades en este campo, que es provocado, en muchos casos, por la inadecuada introduccin por parte de sus maestros. Por eso se intenta tambin, a travs de diversos medios, que los estudiantes perciban el sentimiento esttico, el placer ldico que la matemtica es capaz de proporcionar, a fin de involucrarlos en ella de un modo ms hondamente personal y humano. En nuestro ambiente contemporneo, con una fuerte tendencia hacia la deshumanizacin de la ciencia, a la despersonalizacin producida por nuestra cultura computarizada, es cada vez ms necesario un saber humanizado en que el hombre y la mquina ocupen cada uno el lugar que le corresponde. La educacin matemtica adecuada puede contribuir eficazmente en esta importante tarea.

4. CAMBIOS EN LOS PRINCIPIOS METODOLGICOS ACONSEJABLES

A la vista de estas tendencias generales apuntadas en la seccin anterior se pueden sealar unos cuantos principios metodolgicos que podran guiar apropiadamente nuestra enseanza.

4.1 HACIA LA ADQUISICIN DE LOS PROCESOS TPICOS DEL PENSAMIENTO MATEMTICO. LA INCULTURACIN A TRAVS DEL APRENDIZAJE ACTIVO

Cmo debera tener lugar el proceso de aprendizaje matemtico a cualquier nivel? De una forma semejante a la que el hombre ha seguido en su creacin de las ideas matemticas, de modo parecido al que el matemtico activo utiliza al enfrentarse con el problema de matematizacin de la parcela de la realidad de la que se ocupa. Se trata, en primer lugar, de ponernos en contacto con la realidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemticos que queremos explorar con nuestros alumnos, para lo cual deberamos conocer a fondo el contexto histrico que enmarca estos conceptos adecuadamente. Por qu razones la comunidad matemtica se ocup con ahnco en un cierto momento de este tema y lo hizo el verdadero centro de su exploracin tal vez por un perodo de siglos? Es extraordinariamente til tratar de mirar la situacin con la que ellos se enfrentaron con la

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mirada perpleja con que la contemplaron inicialmente. La visin del tema que se nos brinda en muchos de nuestros libros de texto se parece en demasiadas ocasiones a una novela policaca que aparece ya destripada desde el principio por haber comenzado contando el final. Contada de otra forma ms razonable podra ser verdaderamente apasionante. Normalmente la historia nos proporciona una magnfica gua para enmarcar los diferentes temas, los problemas de los que han surgido los conceptos importantes de la materia, y nos da luces para entender la razn que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con inters. Si conocemos la evolucin de las ideas de las que pretendemos ocuparnos, sabremos perfectamente el lugar que ocupan en las distintas consecuencias, aplicaciones interesantes que de ellas han podido surgir, la situacin reciente de las teoras que de ellas han derivado... En otras ocasiones el acercamiento inicial se puede hacer a travs del intento directo de una modelizacin de la realidad en la que el profesor sabe que han de aparecer las estructuras matemticas en cuestin. Para ello se puede acudir a las otras ciencias que hacen uso de las matemticas, a circunstancias de la realidad cotidiana, o bien a la presentacin de juegos tratables matemticamente, de los que en ms de una ocasin a lo largo de la historia han surgido ideas matemticas de gran profundidad, como veremos ms adelante. Puestos con nuestros estudiantes delante de las situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestacin de las ideas con las que queremos ocuparnos, deberemos tratar de estimular su bsqueda autnoma, su propio descubrimiento paulatino de estructuras matemticas sencillas, de problemas interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de modo natural. Est claro que no podemos esperar que nuestros alumnos descubran en un par de semanas lo que la humanidad elabor tal vez a lo largo de varios siglos de trabajo intenso de mentes muy brillantes. Pero es cierto que la bsqueda con gua, sin aniquilar el placer de descubrir, es un objetivo alcanzable en la enseanza y aprendizaje de las matemticas, as como la deteccin de tcnicas concretas, de estrategias tiles de pensamiento en el campo en cuestin y de su transmisin a los estudiantes. La teora, as concebida, resulta llena de sentido, plenamente motivada y mucho ms fcilmente asimilable. Su aplicacin a la resolucin de los problemas, que en un principio aparecan como objetivos inalcanzables, puede llegar a ser una verdadera fuente de satisfaccin y placer intelectual, de asombro ante el poder del pensamiento matemtico eficaz y de una fuerte atraccin hacia la matemtica.

4.2 SOBRE EL PAPEL DE LA HISTORIA EN EL PROCESO DE FORMACIN DEL MATEMTICO

A mi parecer, un cierto conocimiento de la historia de la matemtica debera formar parte indispensable del bagaje de conocimientos del matemtico en general, y del profesor de cualquier nivel, primario, secundario o terciario, en particular. Y, en el caso de este ltimo, no slo con la intencin de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseanza, sino primariamente porque la historia le puede proporcionar una visin verdaderamente humana de la ciencia y de la matemtica, de lo cual suele estar tambin el matemtico muy necesitado. La visin histrica transforma meros hechos y destrezas sin alma en porciones de conocimiento buscadas ansiosamente en muchas ocasiones con genuina pasin, por hombres de carne y hueso que se alegraron inmensamente cuando dieron con ellas por primera vez. Cuntos

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de esos teoremas, que en nuestros das de estudiantes se nos han aparecido como verdades que salen de la oscuridad y se dirigen hacia la nada, han cambiado de aspecto para nosotros al adquirir un perfecto sentido dentro de la teora, despus de haberla estudiado ms a fondo, incluido su contexto histrico y biogrfico? La perspectiva histrica nos acerca a la matemtica como ciencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y en ocasiones falible, pero capaz tambin de corregir sus errores. Nos aproxima a las interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarlas a lo largo de muchos siglos, por motivaciones muy distintas. Desde el punto de vista del conocimiento ms profundo de la propia matemtica la historia nos proporciona un cuadro en el que los elementos aparecen en su verdadera perspectiva, lo que redunda en un gran enriquecimiento tanto para el matemtico tcnico como para el pedagogo. Si cada porcin de conocimiento matemtico de nuestros libros de texto llevara escrito el nmero de un siglo al que se le pudiera asignar con alguna aproximacin, veramos saltar locamente los nmeros, a veces dentro de la misma pgina o del mismo prrafo. Conjuntos, nmeros naturales, sistemas de numeracin, nmeros racionales, reales, complejos..., decenas de siglos de distancia hacia atrs, hacia adelante, otra vez hacia atrs, vertiginosamente. No se trata de que tengamos que hacer conscientes a nuestros alumnos de tal circunstancia. El orden lgico no es necesariamente el orden histrico, ni tampoco el didctico coincide con ninguno de los dos. Pero el profesor debera saber cmo han ocurrido las cosas, para:

Comprender mejor las dificultades del hombre genrico, de la humanidad, en la

elaboracin de las ideas matemticas, y a travs de ello las de sus propios alumnos.

Entender mejor la ilacin de las ideas, de los motivos y variaciones de la sinfona

matemtica.

Utilizar este saber como una sana gua para su propia pedagoga.

El conocimiento de la historia proporciona una visin dinmica de la evolucin de la matemtica. Se puede barruntar la motivacin de las ideas y desarrollos en el inicio y es ah donde se pueden buscar las ideas originales en toda su sencillez y originalidad, todava con su sentido de aventura, que muchas veces se hace desaparecer en los textos secundarios. Como dice muy acertadamente O. Toeplitz:

Con respecto a todos los temas bsicos del clculo infinitesimal [...] teorema del valor medio, serie de Taylor [...], nunca se suscita la cuestin por qu as precisamente?, o cmo se lleg a ello? Y sin embargo, todas estas cuestiones han tenido que ser en algn tiempo objetivos de una intensa bsqueda, respuestas a preguntas candentes [...]. Si volviramos a los orgenes de estas ideas, perderan esa apariencia de muerte y de hechos disecados y volveran a tomar una vida fresca y pujante.

Tal visin dinmica nos capacitara para muchas tareas interesantes en nuestro trabajo educativo:

Posibilidad de extrapolacin hacia el futuro.

Inmersin creativa en las dificultades del pasado.

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Comprobacin de lo tortuoso de los caminos de la invencin, con la percepcin de

la ambigedad, oscuridad y confusin iniciales, a media luz, esculpiendo torsos inconclusos, etc.

Por otra parte, el conocimiento de la historia de la matemtica y de la biografa de sus creadores ms importantes nos hace plenamente conscientes del carcter profundamente histrico, es decir, dependiente del momento y de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios..., as como de los mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, la filosofa, la matemtica, la tecnologa, las diversas ciencias han ejercido unas sobre otras. Aspecto este ltimo del que los mismos matemticos enfrascados en su quehacer tcnico no suelen ser muy conscientes, por la forma misma en que la matemtica suele ser presentada, como si fuera inmune a los avatares de la historia. Desgraciadamente, tanto para el estudiante que desea sumergirse en la investigacin matemtica como para el que quiere dedicarse a sus aplicaciones o a la enseanza, la historia de la matemtica suele estar totalmente ausente de la formacin universitaria. A mi parecer, sera extraordinariamente conveniente que las diversas materias que enseamos se beneficiaran de la visin histrica, como he dicho arriba, y que a todos nuestros estudiantes se les proporcionara siquiera un breve panorama global del desarrollo histrico de la ciencia que les va a ocupar toda su vida. Mientras llega una situacin razonable yo me atrevera a aconsejar:

La lectura atenta de algunos de los numerosos y excelentes tratados de historia

que van apareciendo en castellano (Boyer, Kline, Colette, Grattan-Guinness, etc.).

Acudir, para los temas del inters particular de cada uno, a las fuentes originales,

especialmente de los clsicos.

Leer las biografas de los grandes matemticos, al menos en la forma sucinta en

que aparecen en el Dictionary of Scientific Biography.

4.3 SOBRE LA UTILIZACIN DE LA HISTORIA EN LA EDUCACIN MATEMTICA El valor del conocimiento histrico no consiste en tener una batera de historietas y ancdotas curiosas para entretener a nuestros alumnos a fin de hacer un alto en el camino. La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer comprender un concepto difcil del modo ms adecuado. Quien no tenga la ms mnima idea de las vueltas y revueltas que el pensamiento matemtico ha recorrido hasta dar, pongamos por caso, con la nocin rigurosamente formalizada del nmero complejo, se sentir tal vez justificado para introducir en su enseanza los nmeros complejos como el conjunto de los pares de nmeros reales entre los cuales se establecen las siguientes operaciones [...]. Quien sepa que ni Euler ni Gauss, con ser quienes eran, llegaron a dar ese rigor a los nmeros complejos y que a pesar de ello pudieron hacer cosas maravillosas relacionadas con ellos, se preguntar muy seriamente acerca de la conveniencia de tratar de introducir los complejos en la estructura cristalizada antinatural y difcil de tragar, que slo despus de varios siglos de trabajo llegaron a tener. Los diferentes mtodos del pensamiento matemtico, tales como la induccin, el pensamiento algebraico, la geometra analtica, el clculo infinitesimal, la topologa, la probabilidad..., han surgido en circunstancias histricas muy interesantes y muy peculiares, con

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frecuencia en la mente de pensadores muy singulares, cuyos mritos, no ya por justicia, sino por ejemplaridad, es muy til resaltar. La historia debera ser un potente auxiliar para objetivos tales como:

Hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en matemticas.

Enmarcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto

con su motivacin, precedentes

Sealar los problemas abiertos de cada poca, su evolucin, la situacin en la

que se encuentran actualmente

Apuntar las conexiones histricas de la matemtica con otras ciencias, en cuya

interaccin han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes.

4.4 LA HEURSTICA (PROBLEM SOLVING) EN LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA

La enseanza a travs de la resolucin de problemas es actualmente el mtodo ms invocado para poner en prctica el principio general de aprendizaje activo y de inculturacin mencionado en el punto 4.1. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir, en lo posible de una manera sistemtica, los procesos de pensamiento eficaces en la resolucin de verdaderos problemas. Tengo un verdadero problema cuando me encuentro en una situacin desde la que quiero llegar a otra, unas veces bien conocida otras un tanto confusamente perfilada, y no conozco el camino que me puede llevar de una a otra. Nuestros libros de texto estn, por lo general, repletos de meros ejercicios y carentes de verdaderos problemas. La apariencia exterior puede ser engaosa. Tambin en un ejercicio se expone una situacin y se pide que se llegue a otra: escribir el coeficiente de x7 en el desarrollo de (1+x)32. Pero si esta actividad, que fue un verdadero problema para los algebristas del siglo XVI, se encuentra, como suele suceder, al final de una seccin sobre el binomio de Newton, no constituye ya ningn reto notable. El alumno tiene los caminos bien marcados. Si no es capaz de resolver un problema semejante, ya sabe que lo que tiene que hacer es aprenderse la leccin primero. La enseanza por resolucin de problemas pone el nfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos matemticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces. Se trata de considerar como lo ms importante que el alumno:

Manipule los objetos matemticos.

Active su propia capacidad mental.

Ejercite su creatividad.

Reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo

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conscientemente.

Haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental,

de ser posible.

Adquiera confianza en s mismo.

Se divierta con su propia actividad mental.

Se prepare as para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida

cotidiana.

Se prepare para los nuevos retos de la tecnologa y de la ciencia.

Cules son las ventajas de este tipo de enseanza? Por qu esforzarse para conseguir tales objetivos? He aqu unas cuantas razones interesantes:

Porque es lo mejor que podemos proporcionar a nuestros jvenes: capacidad

autnoma para resolver sus propios problemas.

Porque el mundo evoluciona muy rpidamente: los procesos efectivos de

adaptacin a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se hacen obsoletos.

Porque el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio,

autorrealizador y creativo.

Porque muchos de los hbitos que as se consolidan tienen un valor universal, no

limitado al mundo de las matemticas.

Porque es aplicable a todas las edades.

En qu consiste la novedad? No se ha enseado siempre a resolver problemas en nuestras clases de matemticas? Posiblemente los buenos profesores de todos los tiempos han utilizado de forma espontnea los mtodos que ahora se propugnan. Pero lo que tradicionalmente ha venido haciendo una buena parte de nuestros profesores se puede resumir en las siguientes fases:

Exposicin de contenidos

Ejemplos

Ejercicios sencillos

Ejercicios ms complicados

Problema?

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La forma de presentacin de un tema matemtico basada en el espritu de la resolucin de problemas debera proceder ms o menos del siguiente modo: En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida con tino por el profesor, colocando al alumno en situacin de participar, sin aniquilar el placer de ir descubriendo por s mismo lo que los grandes matemticos han logrado con tanto esfuerzo. Las ventajas del procedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad, motivacin contra aburrimiento,

Propuesta de la situacin problema de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos...)

Manipulacin autnoma por los estudiantes

Familiarizacin con la situacin y sus dificultades

Elaboracin de estrategias posibles

Ensayos diversos por los estudiantes

Herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados)

Eleccin de estrategias

Abordaje y resolucin de los problemas

Recorrido crtico (reflexin sobre el proceso)

Afianzamiento formalizado (si conviene)

Generalizacin

Nuevos problemas

Posibles transferencias de resultados, de mtodos, de ideas...

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adquisicin de procesos vlidos contra rgidas rutinas inmotivadas que se pierden en el olvido. En mi opinin, el mtodo de enseanza por resolucin de problemas presenta algunas dificultades que no parecen an satisfactoriamente resueltas en la mente de algunos profesores y mucho menos en la forma prctica de llevarlo a cabo. Se trata de armonizar adecuadamente las dos componentes que lo integran, la componente heurstica, es decir la atencin a los procesos de pensamiento y los contenidos especficos del pensamiento matemtico. A mi parecer existe en la literatura actual una buena cantidad de obras excelentes cuya atencin primordial se centra en los aspectos heursticos, puestos en prctica sobre contextos diversos, unos ms puramente ldicos, otros con sabor ms matemtico. Algunas de estas obras cumplen a la perfeccin, en mi opinin, su cometido de transmitir el espritu propio de la actitud de resolucin de problemas y de confirmar en quien se adentra en ellas las actitudes adecuadas para la ocupacin con este tipo de actividad. Sin embargo, creo que an no han surgido intentos serios y sostenidos por producir obras que, efectivamente, apliquen el espritu de la resolucin de problemas a la transmisin de aquellos contenidos de la matemtica de los diversos niveles, que pensamos deben estar presentes en nuestra educacin. Lo que les suele suceder a aquellos profesores genuinamente convencidos de la bondad de los objetivos relativos a la transmisin de los procesos de pensamiento, es que viven una suerte de esquizofrenia, tal vez por falta de modelos adecuados, entre los dos polos alrededor de los que gira su enseanza: los contenidos y los procesos. Los viernes ponen el nfasis en los procesos de pensamiento, alrededor de situaciones que nada tienen que ver con los programas de su materia, y los dems das de la semana se dedican con sus alumnos a machacar bien los contenidos que hay que cubrir, sin acordarse para nada de lo que el viernes pasado practicaron. Sera muy necesario que surgieran modelos, aunque fueran parciales, que integraran en un todo armonioso ambos aspectos de nuestra educacin matemtica. De todos modos, probablemente, se puede afirmar que quien est plenamente imbuido en ese espritu de la resolucin de problemas se enfrentar de una manera mucho ms adecuada a la tarea de transmitir competentemente los contenidos de su programa. Por ello considero importante trazar, aunque sea someramente, las lneas de trabajo que se pueden seguir a fin de conseguir una eficaz preparacin en el tema.

4.5 SOBRE LA PREPARACIN NECESARIA PARA LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA A TRAVS DE LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS

La preparacin para este tipo de enseanza requiere una dedicacin personal, seria y profunda. No se trata meramente de saber unos cuantos trucos superficiales, sino de adquirir nuevas actitudes que calen y se vivan profundamente. A mi parecer, esta tarea se realiza ms efectivamente mediante la formacin de pequeos grupos de trabajo pues el trabajo en grupo en este tema, tiene una serie de ventajas importantes:

Proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento, al permitirnos percibir las

distintas formas de afrontar una misma situacin-problema.

Se permite aplicar el mtodo desde diferentes perspectivas, unas veces en el

papel de moderador del grupo, otras en el de observador de su dinmica.

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Proporciona apoyo y estmulo en una labor que de otra manera puede resultar

dura, por su complejidad y por la constancia que requiere.

Posibilita la contrastacin de los progresos que el mtodo es capaz de producir en

uno mismo y en otros.

Brinda la posibilidad de prepararse mejor para ayudar a nuestros estudiantes en

una labor semejante, con mayor conocimiento de los resortes que funcionan en diferentes circunstancias y personas.

Algunos de los aspectos que es preciso atender en la prctica inicial adecuada son los siguientes:

Exploracin de los diferentes bloqueos que actan en cada uno de nosotros, a fin

de conseguir una actitud sana y agradable frente a la tarea de resolucin de problemas.

Prctica de los diferentes mtodos y tcnicas concretas de desbloqueo.

Exploracin de las aptitudes y defectos propios ms caractersticos, con la

elaboracin de una especie de autorretrato heurstico.

Ejercicio de diferentes mtodos y alternativas.

Prctica sostenida de resolucin de problemas con la elaboracin de sus

protocolos y su anlisis en profundidad.

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C uando tenemos en cuenta el tipo de matemticas que queremos ensear y la forma de llevar a cabo esta enseanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta enseanza:

Que los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemticas

en la sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicacin y el modo en que las matemticas han contribuido a su desarrollo.

Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el mtodo matemtico, esto

es, la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemticas permite responder, las formas bsicas de razonamiento y del trabajo matemtico, as como su potencia y limitaciones.

1.1. Cmo surgen las matemticas? Algunas notas histricas La perspectiva histrica muestra claramente que las matemticas son un conjunto de conocimientos en evolucin continua y que en dicha evolucin desempea a menudo un papel de primer orden la necesidad de resolver determinados problemas prcticos (o internos a las propias matemticas) y su interrelacin con otros conocimientos. Ejemplo: Los orgenes de la estadstica son muy antiguos, ya que se han encontrado pruebas de recogida de datos sobre poblacin, bienes y produccin en las civilizaciones chinas(aproximadamente 1000 aos a. C.), sumeria y egipcia. Incluso en la Biblia, en el libro de Nmeros aparecen referencias al recuento de los israelitas en edad de servicio militar. No olvidemos que precisamente fue un censo, segn el Evangelio, lo que motiv el viaje de Jos y Mara a Beln. Los censos propiamente dichos eran ya una institucin en el siglo IV a.C. en el imperio romano. Sin embargo, slo muy recientemente la estadstica ha adquirido la categora de ciencia. En el siglo XVII surge la aritmtica poltica, desde la escuela alemana de Conring. Posteriormente su discpulo Achenwall orienta su trabajo a la recogida y anlisis de datos numricos, con fines especficos y en base a los cuales se hacen estimaciones y conjeturas, es decir se observan ya los elementos bsicos del mtodo estadstico.

MATEMTICAS Y SOCIEDAD

Juan D. Godino, Carmen Batanero,

Vicen Font

Lectura 2

Tomado de GODINO Juan D., Batanero Carmen, Font Vicen (2003). Matemticas y su Didctica para Maestros, Manual para Estudiante. Fundamentos de la enseanza y el aprendizaje de las matemticas para maestros. pp. 17-20. http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

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La estadstica no es una excepcin y, al igual que ella, otras ramas de las matemticas se han desarrollado como respuesta a problemas de ndole diversa:

Muchos aspectos de la geometra responden en sus orgenes histricos, a la

necesidad de resolver problemas de agricultura y de arquitectura.

Los diferentes sistemas de numeracin evolucionan paralelamente a la necesidad

de buscar notaciones que permitan agilizar los clculos aritmticos.

La teora de la probabilidad se desarrolla para resolver algunos de los problemas

que plantean los juegos de azar.

Las matemticas constituyen el armazn sobre el que se construyen los modelos cientficos, toman parte en el proceso de modelizacin de la realidad, y en muchas ocasiones han servido como medio de validacin de estos modelos. Por ejemplo, han sido clculos matemticos los que permitieron, mucho antes de que pudiesen ser observados, el descubrimiento de la existencia de los ltimos planetas de nuestro sistema solar. Sin embargo, la evolucin de las matemticas no slo se ha producido por acumulacin de conocimientos o de campos de aplicacin. Los propios conceptos matemticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo, amplindolo, precisndolo o revisndolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario, siendo relegados a segundo plano. Ejemplos:

El clculo de probabilidades se ha transformado notablemente, una vez que se

incorporaron conceptos de la teora de conjuntos en la axiomtica propuesta por Kolmogorov. Este nuevo enfoque permiti aplicar el anlisis matemtico a la probabilidad, con el consiguiente avance de la teora y sus aplicaciones en el ltimo siglo.

El clculo manual de logaritmos y funciones circulares (senos, cosenos, etc.) fue

objeto de enseanza durante muchos aos y los escolares dedicaron muchas horas al aprendizaje de algoritmos relacionados con su uso. Hoy las calculadoras y ordenadores producen directamente los valores de estas funciones y el clculo manual ha desaparecido. El mismo proceso parece seguir actualmente el clculo de races cuadradas.

1.2. Papel de las matemticas en la ciencia y tecnologa Las aplicaciones matemticas tienen una fuerte presencia en nuestro entorno. Si queremos que el alumno valore su papel, es importante que los ejemplos y situaciones que mostramos en la clase hagan ver, de la forma ms completa posible, el amplio campo de fenmenos que las matemticas permiten organizar.

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1.2.1. Nuestro mundo biolgico Dentro del campo biolgico, puede hacerse notar al alumno que muchas de las caractersticas heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo, color de pelo, peso al nacer, etc. Algunos rasgos como la estatura, nmero de pulsaciones por minuto, recuento de hemates, etc., dependen incluso del momento en que son medidas. La probabilidad permite describir estas caractersticas. En medicina se realizan estudios epidemiolgicos de tipo estadstico. Es necesario cuantificar el estado de un paciente (temperatura, pulsaciones, etc.) y seguir su evolucin, mediante tablas y grficos, comparndola con los valores promedios en un sujeto sano. El modo en que se determina el recuento de glbulos rojos a partir de una muestra de sangre es un ejemplo de situaciones basadas en el razonamiento proporcional, as como en la idea de muestreo. Cuando se hacen predicciones sobre la evolucin de la poblacin mundial o sobre la posibilidad de extincin de las ballenas, se estn usado modelos matemticos de crecimiento de poblaciones, de igual forma que cuando se hacen estimaciones de la propagacin de una cierta enfermedad o de la esperanza de vida de un individuo. Las formas de la naturaleza nos ofrecen ejemplos de muchos conceptos geomtricos, abstrados con frecuencia de la observacin de los mismos. El crecimiento de los alumnos permite plantear actividades de medida y ayudar a los alumnos a diferenciar progresivamente las diferentes magnitudes y a estimar cantidades de las mismas: peso, longitud, etc.

1.2.2. El mundo fsico Adems del contexto biolgico del propio individuo, nos hallamos inmersos en un medio fsico. Una necesidad de primer orden es la medida de magnitudes como la temperatura, la velocidad, etc. Por otra pare, las construcciones que nos rodean (edificios, carreteras, plazas, puentes) proporcionan la oportunidad de analizar formas geomtricas; su desarrollo ha precisado de clculos geomtricos y estadsticos, uso de funciones y actividades de medicin y estimacin (longitudes, superficies, volmenes, tiempos de transporte, de construccin, costes, etc.) Qu mejor fuente de ejemplos sobre fenmenos aleatorios que los meteorolgicos?. La duracin, intensidad, extensin de las lluvias, tormentas o granizos; las temperaturas mximas y mnimas, la intensidad y direccin del viento son variables aleatorias. Tambin lo son las posibles consecuencias de estos fenmenos: el volumen de agua en un pantano, la magnitud de daos de una riada o granizo son ejemplos en los que se presenta la ocasin del estudio de la estadstica y probabilidad.

2.2.3. El mundo social El hombre no vive aislado: vivimos en sociedad; la familia, la escuela, el trabajo, el ocio estn llenos de situaciones matemticas. Podemos cuantificar el nmero de hijos de la familia, la edad de los padres al contraer matrimonio, el tipo de trabajo, las creencias o aficiones de los miembros varan de una familia a otra, todo ello puede dar lugar a estudios numricos o estadsticos. Para desplazarnos de casa a la escuela, o para ir de vacaciones, dependemos del

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transporte pblico. Podemos estimar el tiempo o la distancia o el nmero de viajeros que usarn el autobs. En nuestros ratos de ocio practicamos juegos de azar tales como quinielas o loteras. Acudimos a encuentros deportivos cuyos resultados son inciertos y en los que tendremos que hacer cola para conseguir las entradas. Cuando hacemos una pliza de seguros no sabemos si la cobraremos o por el contrario perderemos el dinero pagado; cuando compramos acciones en bolsa estamos expuestos a la variacin en las cotizaciones. La estadstica y probabilidad se revela como herramienta esencial en estos contextos.

1.2.4. El mundo poltico El Gobierno, tanto a nivel local como nacional o de organismos internacionales, necesita tomar mltiples decisiones y para ello necesita informacin. Por este motivo la administracin precisa de la elaboracin de censos y encuestas diversas. Desde los resultados electorales hasta los censos de poblacin hay muchas estadsticas cuyos resultados afectan las decisiones de gobierno. Los ndices de precios al consumo, las tasas de poblacin activa, emigracininmigracin, estadsticas demogrficas, produccin de los distintos bienes, comercio, etc., de las que diariamente escuchamos sus valores en las noticias, proporcionan ejemplo de razones y proporciones.

1.2.5 El mundo econmico La contabilidad nacional y de las empresas, el control y previsin de procesos de produccin de bienes y servicios de todo tipo no seran posibles sin el empleo de mtodos y modelos matemticos. En la compleja economa en la que vivimos son indispensables unos conocimientos mnimos de matemticas financieras. Abrir una cuenta corriente, suscribir un plan de pensiones, obtener un prstamo hipotecario, etc. son ejemplos de operaciones que necesitan este tipo de matemticas.

1.3. Matemticas en la vida cotidiana. Cultura matemtica

Uno de los fines de la educacin es formar ciudadanos cultos, pero el concepto de cultura es cambiante y se ampla cada vez ms en la sociedad moderna. Cada vez ms se reconoce el papel cultural de las matemticas y la educacin matemtica tambin tiene como fin proporcionar esta cultura. El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en matemticos aficionados, tampoco se trata de capacitarlos en clculos complejos, puesto que los ordenadores hoy da resuelven este problema. Lo que se pretende es proporcionar una cultura con varios componentes interrelacionados:

a) Capacidad para interpretar y evaluar crticamente la informacin matemtica y los argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicacin, o en su trabajo profesional.

b) Capacidad para discutir o comunicar informacin matemtica, cuando sea relevante, y competencia para resolver los problemas matemticos que encuentre en la vida diaria o en el trabajo profesional.

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7 Preguntas sobre el desarrollo de la competencia matemtica y 7 ideas clave para responderlas.

1. Cul es la razn que justifica la presencia de las matemticas en el currculo? Idea clave 1: La enseanza de las matemticas slo tiene sentido asociada a los currculos que propone y promueve. 2. Desde qu perspectiva deben definirse las finalidades que deben ser logradas por la enseanza de las matemticas? Idea clave 2: los usos sociales de las matemticas son los que deben definir los de su enseanza y no la epistemologa de esta ciencia. 3. Por qu debe centrarse la enseanza de las matemticas en el desarrollo de la competencia matemtica? Qu debemos entender por competencia matemtica? Idea clave 3: El objetivo de la enseanza de las matemticas escolares es el desarrollo de la competencia matemtica. 4. Por qu hay que ir ms all de la instruccin en matemticas, hacia una educacin matemtica? Idea clave 4: La educacin matemtica se basa en la comunicacin y debe ir ms all de la mera instruccin transmisiva. 5. Cul es la clave en el cambio metodolgico que hay que realizar para pasar de la situacin actual a otra en la que la finalidad sea el logro de la competencia matemtica? Idea clave 5: las tareas a realizar son la clave para el desarrollo de los aprendizajes. 6. Qu palanca de las que disponemos es la ms eficaz para inducir con rapidez cambios en los currculos de matemticas? Idea clave 6: la evaluacin de las competencias determinar el currculo de matemticas. 7. Qu papel juegan los docentes y su formacin en los cambios que deben llevarse a cabo? En qu direccin debera ir la formacin de los docentes de matemticas? Idea clave 7: la competencia profesional de los docentes de matemticas es el factor importante para la mejora de su enseanza.

CLAVE 1 La enseanza de las matemticas slo tiene

sentido asociada a los currculos que propone y mueve

Jess M.a Goi Zabala

Lectura 3 Tomado de GOI Zabala Jess Ma. (2008). 32 2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemtica, Edit. GRA, pp.14-40.

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La enseanza de las matemticas se concreta en el currculo escolar La enseanza de las matemticas se concreta en el currculo escolar y ste no es otra cosa que la seleccin histrica de los aprendizajes que se consideran socialmente relevantes en un determinado momento como consecuencia del consenso entre los intereses sociales que pugnan por influir en l. Es una afirmacin que recoge lo esencial de lo que se quiere decir en esta primera idea clave que, aunque sea la primera, es la que mejor recoge la tesis fundamental de este texto. La enseanza de las matemticas slo tiene sentido social si se justifican los aprendizajes que promueve, y debe ser analizada y valorada desde el sentido social de dichos aprendizajes. Enseanza y aprendizaje se funden, as, en el currculo. Por lo tanto, hablar de la enseanza de las matemticas implica situarse en el contexto del currculo escolar. Utilizar el trmino escolar en este texto para referirme a cualquier institucin educativa de cualquier nivelo etapa. Desde este punto de vista estn escolar la enseanza primaria como la universitaria. No podemos hacer abstraccin de esta realidad social para pasar a hablar en general de la enseanza de las matemticas, como si sta fuera un ente de razn no corpreo y como si esa enseanza no estuviera unida, constreida y condicionada por la institucin escolar en cuyo seno se desarrolla; como si los fines de una y otra se pudieran entender de manera separada. La enseanza de las matemticas se da en la escuela y es esta institucin social la encargada de organizar, promover, evaluar y concretar ese aprendizaje. Es realmente una imagen muy tpica y ha sido mil veces usada, pero comparar la situacin que queremos describir a una moneda puede resultar interesante y clarificador. Una moneda tiene dos caras, pues bien, enseanza y aprendizaje son las dos caras del currculo, que es la moneda, y nunca mejor dicho porque el valor social de las matemticas, su importancia en el sistema educativo, se deriva del hecho de ser una propuesta de currculo altamente valorada y muy influyente en la seleccin social que hace la escuela. Es decir, muy valiosa econmicamente. Adems, qu sentido tiene hablar de valor econmico de algo fuera del sistema monetario que regula esos valores. La escuela es la institucin social que regula los aprendizajes y especialmente el de las matemticas, y lo hace por medio del currculo. He comenzado este texto con una afirmacin que puede parecer evidente, pero no lo es. Llevamos muchos aos, ya demasiados, en los que la preocupacin de los expertos en educacin matemtica no ha sido la reforma del currculo escolar de matemticas, tampoco ha sido la de los docentes, por supuesto. A pesar de que la Administracin s que ha mareado al personal varias veces con esta cuestin, lo ha hecho maquillando una y otra vez una propuesta obsoleta que se ha mostrado ineficaz como palanca para producir los cambios que, paradjicamente, todo el mundo reclama. La atencin se ha centrado en otros mbitos y la mejor prueba de ello es que el currculo escolar de matemticas apenas se ha modificado y, lo que es peor, no existen alternativas que hagan plausible su reforma en breve plazo. Lo ms lejos a lo que hemos llegado es a considerar como modelo para el debate, que no para la prctica, una propuesta norteamericana de

Las dos caras de una moneda

El hombre de la naturaleza lo es todo para s; l es la unidad numrica, el entero absoluto, que no tiene relacin ms que consigo mismo o con sus semejantes. El hombre civilizado es

una unidad fraccionaria que determina el denominador y cuyo valor expresa su relacin con el entero que es el cuerpo social. (Rousseau, Emilio o de la educacin)

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currculo que tiene las cuatro letras ms citadas en los documentos que sobre currculo de matemticas se han escrito en Espaa: NCTM (National Council of Teachers of Mathematics). Ni siquiera un tsunami meditico de la intensidad y el impacto del informe PISA ha conseguido que, por ahora, se cuestione un currculo que se resiste a toda alternativa contra viento y marea. Este texto quiere construir un discurso sobre la necesidad de un replanteamiento del currculo escolar desde una perspectiva social, y de ah que haya comenzado con esta idea.

El currculo escolar de matemticas como propuesta social. Un breve recorrido histrico

Como indica S. Kemmis en el prlogo al libro de Carr (1995), la interpretacin de las cuestiones educativas conviene enfocarlas desde una visin triple que combine los aspectos histricos, sociales y polticos. Esla nica manera de escapar del positivismo dogmtico y su ahistoricismo. Por esta razn creo necesario hacer una breve aproximacin histrica a los cambios que se han producido en los currculos que han guiado la enseanza de las matemticas. La enseanza de las matemticas ha ido evolucionando histricamente, en cada tiempo y lugar ha tomado una forma diferente que se corresponda, en todos los casos, a las finalidades que socialmente se iban estableciendo para dicha enseanza. Dicho de otra manera, las matemticas que se han enseado y se ensean en el medio escolar no han sido ni son las matemticas que en un determinado momento forman el corpus de esa ciencia, es decir las matemticas de los matemticos profesionales del momento, sino que son la parte que se considera que debe ser conocida debido a la relevancia que tienen socialmente los aprendizajes asociados a las matemticas. La ruptura entre las matemticas y la matemticas que se ensean se produce histricamente en la cultura griega. En el resto de culturas antiguas protoeuropeas (asirios, persas, egipcios ...) no exista una gran diferencia entre las matemticas que se conocan y las que se enseaban, porque el colectivo que las haca y el que las enseaba era el mismo: la casta de funcionarios-sacerdotes, y porque adems la enseanza era endmica, es decir, se diriga a perpetuar la posicin social y los privilegios de estas castas, de manera que era sistemticamente negada al resto de la poblacin. Las matemticas eran, en las culturas antiguas anteriores a la cultura griega, un conocimiento prctico sin fundamentacin terica y se enseaba as, tal cual. No exista la conciencia de que lo que se enseaba perteneca al corpus de un saber establecido o por establecer, se enseaba como la transmisin de un conocimiento prctico para resolver los problemas de la vida social. Todava hoy en da utilizamos el trmino babilnica para calificar una manera intuitiva, pragmtica y utilitarista del conocimiento matemtico.

Las matemticas que se han enseado y se ensean en el

medio escolar son la parte del corpus de esta ciencia

que se considera que debe ser conocida por la relevancia que los

aprendizajes asociados a ella tienen socialmente.

Idea Clave 1

Las matemticas en las culturas anteriores a la

griega eran un conocimiento prctico que se enseaba

para resolver problemas de la vida social.

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En la Grecia del periodo clsico esta unidad se rompe definitivamente, por una parte, las matemticas se constituyen en una ciencia terica (Pitgoras) cultivada por los filsofos y, por otra, aparece la educacin popular en la polis, en la que se extiende y democratiza el saber prctico que antes era propiedad de las castas sacerdotales. Mientras los filsofos griegos hacen de las matemticas una ciencia que culminar en la sntesis deductiva de Euclides, los ciudadanos de las polis griegas aprenden clculo aritmtico en las escuelas. A partir de este momento las matemticas de los matemticos y las matemticas escolares estarn separadas e irn manteniendo una relacin de dependencia o independencia mutuas segn los diferentes avatares sociales. El colapso del antiguo mundo grecorromano y la supremaca ideolgica del cristianismo en la Edad Media frenan el desarrollo del conocimiento matemtico y lo desvan de la educacin en la cultura europea. Los reductos de cultura que son los conventos no destacan, precisamente, por haber cultivado en exceso un saber, el matemtico, que se asociaba a una cultura terrenal y pagana, cultura que se consideraba precisamente el polo opuesto de lo que se deba promover como ideal educativo. Si a este hecho aadimos la desaparicin de la escuela popular, podemos afirmar que el desarrollo del conocimiento matemtico se detiene y su enseanza institucionalizada se estanca o retrocede. Como es bien sabido, ser la eclosin del Islam en los pueblos rabes (siglo VIII) y su expansin hacia Occidente lo que pondr a stos en contacto con los restos de la cultura helnica y permitir, adems de la extensin del conocimiento matemtico a nuevos campos, la recuperacin en Occidente de gran parte del saber matemtico griego de la poca clsica. Habr que esperar al despertar de las culturas europeas que se asocia al Renacimiento para que esta situacin cambie radicalmente. Las matemticas recuperan su puesto en la cultura europea y rpidamente vuelven a tener un lugar privilegiado en ella. En este momento histrico se produce un hecho capital para el futuro de las matemticas y de su enseanza: la unin entre el desarrollo de la nueva ciencia experimental y las matemticas. A este respecto se puede citar el ya conocido texto de Galileo (1564-1642), en su obra II Saggiatore. Este texto sita las matemticas en la base de la nueva filosofa, ha sido mil veces citado, pero es muy significativo para comprender por qu las matemticas van a ocupar una relevancia social que hasta entonces no tenan: La Filosofa est escrita en este vasto libro que siempre est abierto ante nuestros ojos: me refiero al universo; pero no puede ser ledo hasta que hayamos aprendido el lenguaje y nos hayamos familiarizado con las letras en que est escrito. Est escrito en lenguaje matemtico, y las letras son tringulos, crculos y otras figuras geomtricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola palabra. (Galileo, 1623). El desarrollo de la nueva filosofa (ciencia experimental) se produce paralelamente al xito que tiene para mejorar los procesos productivos. Sirve de base al desarrollo de una nueva tecnologa que

La extensin del conocimiento matemtico a nuevos campos y la recuperacin en Occidente de gran parte del saber matemtico griego de la poca clsica llegan con la eclosin del Islam en los pueblos rabes y su expansin hacia Occidente.

Idea Clave 1

En la Grecia del periodo clsico se empieza a diferenciar entre las matemticas de los matemticos y las matemticas escolares.

Durante el Renacimiento las matemticas recuperan su puesto en la cultura europea y se produce un hecho capital: la unin entre el desarrollo de la nueva ciencia experimental y las matemticas que son consideradas la base de la nueva filosofa.

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permitir la aparicin del maquinismo y del capitalismo de carcter industrial. Las matemticas, que en pocas anteriores no tenan un inters especial para el desarrollo econmico de la sociedad y se asociaban ms a la filosofa, empiezan a verse, precisamente, como la base de ese desarrollo por la relacin que guardan con las ciencias experimentales -segn Galileo son su lenguaje- y por las aplicaciones que la nueva ciencia experimental ofrece para el desarrollo de las mquinas y efectos de todo tipo. Efectos que se relacionan con las esferas de poder como son la militar, la produccin de bienes, el desarrollo de nuevos medios de transporte, etc. La relacin entre la ciencia experimental y las matemticas se establece en esa poca, aunque hoy, por falta de visin histrica, se considere algo que pertenece a la manera de ser de ambas. Hay que sealar que esta relacin no exista en el mundo clsico y que es, sin lugar a dudas, una de las caractersticas del pensamiento moderno. sta es una cuestin muy importante para comprender la estructura del actual currculo de matemticas, porque la asociacin que hoy en da se hace, sin que sea cuestionada crtica mente, de que el aprendizaje de las matemtica es socialmente importante porque es la base del desarrollo cientfico y tecnolgico es una idea que nace en los siglos XV y XVI, en el contexto social de la Europa precapitalista. Es decir, es una idea moderna, donde las haya, porque nace como uno de los vectores fuerza que sustenta el nuevo modelo social que se comienza a gestar en estos aos. Aos en los que se data, precisamente, los inicios de la era moderna. El movimiento ilustrado de los siglos XVII y XVIII comprender perfectamente esta relacin y la teorizar aportando otra nueva idea: para que la nueva sociedad que los ilustrados disean y anuncian, sociedad que estar basada en la razn y la ciencia, transforme el viejo mundo, es necesario que las masas populares accedan a la educacin y que sta, dejando de lado el adoctrinamiento religioso, les proporcione conocimientos bsicos de ciencia y de matemticas. Las palabras de Jovellanos (1744-1811) al respecto son muy elocuentes: 2o Instruyendo a los labradores El segundo medio de acercar las ciencias al inters consiste en la instruccin de los labradores. Sera cosa ridcula quererlos sujetar a su estudio, pero no o ser proporcionar/os a la percepcin de sus resultados, y he aqu nuestro deseo. La empresa es grande por su objeto, pero sencilla y fcil por sus medios. No se trata sino de disminuir la ignorancia de los labradores, por mejor decir, de multiplicar y perfeccionar los rganos de su comprensin. La Sociedad no desea para ellos sino el conocimiento de las primeras letras, esto es que sepan leer. escribir v contar. iQu espacio tan inmenso no abre este sublime pero sencillo conocimiento a las percepciones del hombre! Una instruccin, pues, tan necesaria a todo individuo para perfeccionar las facultades de su razn v de su alma. tan provechosa a todo padre de familia para conducir los negocios de la vida civil y domstica y tan importante a

Idea Clave 1

El desarrollo de la (ciencia experimental)

relaciona las matemticas con las esferas de poder (la

militar, la produccin de bienes, el desarrollo de

nuevos medios de transporte, etc.

La ilustracin aporta otra nueva idea: para que la ,

basada en la , transforme el viejo mundo es necesario que las masas populares

accedan ala educacin y a conocimientos bsicos de ciencia y de matemticas,

dejando de lado el adoctrinamiento religioso.

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todo gobierno para mejorar el espritu y el corazn de sus individuos, es la que desea la Sociedad y la que bastar para habilitar al labrador, as como a las dems clases laboriosas, no slo para percibir ms fcilmente las sublimes verdades de la religin y la moral sino tambin las sencillas y palpables de la fsica, que conducen a la perfeccin de sus artes. Bastar que los resultados, los descubrimientos de las ciencias ms complicadas se desnuden del aparato y jerga cientfica y se reduzcan a claras y simplicsimas proporciones, para que el hombre ms rudo las comprenda cuando los medios de su percepcin se hayan perfeccionado. (Jovellanos, 1984-1994). (El subrayado no est en el texto original.)

El texto es transparente. Pocas veces un autor habla de manera tan clara y precisa sobre las intenciones que le mueven a la accin comunicativa de escribir. El sentido de lo que dice es difano: el conocimiento cientfico y la alfabetizacin

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Art. 366. En todos los pueblos de la Monarqua se establecern escuelas de primeras letras, en las que se ensear a los nios a leer, escribir y contar, y el catecismo de la religin catlica, que comprender tambin una breve exposicin de las obligaciones civiles. A nadie se le oculta que cuando en este texto se dice contar se hace referencia a los rudimentos de la aritmtica. Obsrvese que junto con la alfabetizacin y la enseanza de la religin este artculo de la constitucin de Cdiz de 1812 sita las matemticas en la base del currculo escolar, lugar que ya no abandonar hasta nuestros das. La historia posterior es bien conocida, las cuatro reglas, es decir los algoritmos de la suma, resta, multiplicacin y divisin, se convertirn en el eje de la enseanza de las matemticas en la escuela elemental. No debe olvidarse que la prueba de ingreso en la enseanza secundaria, anteriormente a la implantacin de la LGE (Ley General de Educacin, 1970), consista, precisamente, en aplicar el algoritmo de la divisin. sa, y no otra, era la prueba que superamos los escolares que en los aos sesenta accedamos al bachillerato, que conviene recordar que se comenzaba con diez aos. Una cosa son las ideas, otra su plasmacin en leyes positivas y otra, bien distinta, su capacidad para ir transformado la sociedad que pretenden regular. Normalmente, pasa bastante tiempo desde que se enuncia una idea hasta que sta es recogida en los ordenamientos legales y otro perodo, no siempre menor, hasta que esas normas logran modificar la realidad social. Las ideas de los ilustrados tardaron tiempo, ms de un siglo, en convertirse en normas legales y stas han tardado mucho tiempo en poder aplicarse en su integridad. Puede decirse que el deseo de 1812 de alfabetizar, con su componente de enseanza de las matemticas ms elementales, a toda la poblacin slo se hizo realidad, en Espaa, en los aos setenta del siglo xx, y no debe olvidarse que es precisamente en esos aos, en los que se produce la industrializacin masiva, cuando surge la Ley General de Educacin, ley que viene a romper una inercia educativa de casi 120 aos (Ley Moyano, 1857). La LGE y los aos setenta del siglo xx son claves para comprender cmo unas ideas enunciadas en los siglos XVIII y XIX llegan a su pleno desarrollo en la sociedad espaola, en una forma, todo hay que decirlo, que no se parece demasiado a lo que soaron los ilustrados visionarios y los revolucionarios que lucharon contra el antiguo rgimen para instaurar una nueva sociedad basada en la razn y la ciencia. Sin embargo, durante todos esos aos, casi siglo y medio, fue consolidndose una manera de organizar la enseanza de las matemticas, una versin del currculo, que con razn podemos llamar la versin moderna del currculo de matemticas, que se adaptaba perfectamente a la estructura social que la sostena. Puede reducirse al siguiente esquema:

Enseanza primaria: rudimentos de aritmtica, medida y

geometra (sobre todo mtrica). sta es la matemtica que se enseaba a todos.

La Ley General de Educacin y los aos setenta del siglo XX son claves para

comprender como unas ideas enunciadas en los

siglos XVIII y XIX llegan a su pleno desarrollo en la sociedad espaola, aun que en una forma que no se

parece demasiado a la original.

Idea Clave 1

Las ideas de los ilustrados tardaron ms de un siglo en

convertirse en normas legales y stas han tardado

mucho tiempo en poder aplicarse en su integridad.

La suma, resta, multiplicacin y divisin se convertirn en el eje de la

enseanza de las matemticas en la escuela

elemental.

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Enseanza secundaria: extensin del clculo aritmtico a

nuevos tipos de nmeros (reales), lgebra y ms geometra mtrica y rudimentos de estadstica y probabilidad. sta es la matemtica que se enseaba y se ensea a los que aspiraban y aspiran a ir a la universidad o a integrarse en estudios profesionales de grado medio o alto.

El currculo se reduca a los contenidos y el aprendizaje era no

comprensivo, preponderando la aplicacin mecnica de las reglas de clculo.

Durante todos estos aos ha existido la creencia de que

currculo era igual al temario y que saber equivala a saber ensear. Por lo tanto, bastaba con dominar los contenidos que venan en el temario para poder ser docente.

Son ideas ingenuas propias de estadios poco evolucionados de las ciencias de la educacin, pero establecidas durante aos y estables en las mentes de algunos docentes an hoy en da. Estas ideas se consolidan como parte de la cultura docente y se establecen como el marco a travs del cual ven las cosas os colectivos que acceden a la enseanza, sobre todo, a la secundaria. Fraguarn y causarn una visin ptrea e inmovilista de la enseanza, que se une a los propios intereses corporativos de los docentes para dar lugar a un muro rocoso, estable e instaurado. Se argumenta que las matemticas son importantes porque ensean a razonar, aunque la prctica real de su enseanza tenga poco que ver realmente con el desarrollo de esta capacidad. Asentado el valor de este principio y sin otra justificacin que la declaracin acrtica de su relevancia, se promueve y defiende como necesaria la enseanza de las matemticas; da igual que esa enseanza promueva aprendizajes de valor social o no lo haga, que est en el origen del efecto excluyente de las matemticas y que sea la responsable de que muchos estudiantes sean centrifugados por el sistema educativo, da igual, aqu lo importante es aprender a pensar. Esta idea, retrgrada donde las haya, porque nadie que yo sepa ha explicado con claridad qu es eso de pensar en genrico o abstracto, es defendida con prestancia por los mismos que reclaman para su trabajo un valor social que no se molestan en justificar, bien porque nunca han pensado en estas claves, o bien porque, en el fondo, lo desprecian. A lo mejor no lo saben, pero la Ley de Calidad del 2002 puso en negro sobre blanco la siguiente perla: el objetivo de la enseanza de las matemticas es el desarrollo de la abstraccin. Pues eso es precisamente lo que hay que combatir, la tendencia idealista de pensar que algo es valioso porque lo encarnamos nosotros, el colectivo de los que sabemos, apelando eso s a la ciencia, esta vez con maysculas, como ttem tribal objeto del tab que impide la crtica. Afirmar el valor de algo desde posturas corporativistas con independencia del valor social que tiene es el lastre que arrastramos en la educacin matemtica, lastre que hay que dejar atrs para avanzar hacia una visin ms social de la enseanza. Superar esta fase para comprender que el currculo tiene que ver con los aprendizajes socialmente relevantes es algo en camino y no logrado todava si, para emitir un juicio de valor, miramos al conjunto de los docentes que imparten clases de matemticas.

Se argumenta que las matemticas son importantes por que ensean a razonar, aun que la prctica real de su enseanza tenga poco que ver realmente con el desarrollo de esa capacidad.

Idea Clave 1

Afirmar el valor de algo con independencia del valor social que tiene desde posturas corporativistas es el lastre que debe superarse para comprender que el currculo tiene que ver con los aprendizajes socialmente relevantes.

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El equilibrio se pierde y no se recupera. Una poca de crisis estructural en la enseanza de las matemticas

El currculo existente era socialmente estable porque consegua que todas las personas dominaran los rudimentos matemticos necesarios tanto para la vida diaria como la profesional, en trabajos en los que el uso de las matemticas se reduca a sencillos clculos con nmeros y medidas. Por otra parte, la enseanza secundaria, a la que ya no acceda una parte importante del alumnado que haba comenzado la educacin primaria, serva para clasificar a los estudiantes para los posteriores estudios universitarios; los mejores estaban destinados a los estudios de ciencias e ingenieras, que son los que siempre han sido ms atractivos para las clases medias, y a los menos brillantes se les desviaba hacia otro tipo de estudios menos exigentes. Los grupos dirigentes de la sociedad, aquellos que tienen ms capacidad para influir en las decisiones polticas, estaban de acuerdo con esta manera de organizar la enseanza de las matemticas y pareca que, por fin, el equilibrio era perfecto. Nadie discuta el rol preponderante de las matemticas ni en el currculo ni en la seleccin social que se haca por medio del mismo. Sin embargo, como sucede la mayora de las veces, la estabilidad no dura mucho tiempo. El xito es efmero y la calma no es duradera en la condicin humana. Es precisamente en los aos de la segunda mitad del siglo XX cuando el modelo de produccin industrial, que era la base del desarrollo econmico de las sociedades europeas del XIX y principios del XX, entra en crisis debido al propio desarrollo tecnolgico y los cambios que ste introduce en el sistema productivo. A partir de esa poca comenzamos a hablar de la era postindustrial y de la economa postindustrial; un poco ms tarde se acuar el trmino posmodernismo para nombrar la crisis de la modernidad que estaba asociada al modelo de produccin industrial. La escuela elemental, que despus de casi dos siglos haba conseguido materializar el sueo moderno, de repente se encuentra con que ese sueo era una pesadilla de la que convena despertar. Es bastante lgico, visto as, que la escuela, que es una institucin moderna creada para el desarrollo de la sociedad moderna, tenga muchas dificultades para adaptarse a una situacin que altera las bases sobre las que se cre. Hasta tal punto que se puede llegar a poner en duda en qu medida la escuela moderna va a poder dejar de serio para ser otra cosa. Si hay que poner datos y fechas que nos sirvan de referencia, podemos citar por lo menos dos: el primer vuelo tripulado de un satlite ruso en 1961 y las revueltas en mayo del 1968 en Pars. Una de las consecuencias del paseo por el espacio de los primeros astronautas soviticos fue la aparicin de la primera de las propuestas alternativas a la enseanza de las cuatro reglas fundamentales en la escuela elemental. De manera brusca se tom conciencia del desfase existente entre las matemticas que se

Se tomo conciencia del desfase existente entre las

matemticas que se enseaban en la escuela y

las que, segn los parecan

necesarias para recuperar el retraso que supuestamente las sociedades occidentales

mantenan en cuestiones tecnolgicas y cientficas.

Idea Clave 1

Este currculo era socialmente estable por que

consegua que todas las personas dominaran los

rudimentos de matemticas necesarios tanto para la vida

diaria como profesional.

La enseanza secundaria a los

estudiantes para los posteriores estudios

universitarios; los estaban

destinados a los estudios de ciencias e ingenieras, y los

menos brillantes eran desviados hacia otro tipo de

estudios menos exigentes.

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enseaban en la escuela y las que, segn los expertos, en aquellos momentos parecan necesarias para recuperar el retraso que supuestamente mantenan las sociedades occidentales en cuestiones tecnolgicas y cientficas. Parece una broma que, precisamente, la primera propuesta de cambio en el currculo de matemticas que podemos calificar de posmoderna se denominara matemticas modernas. Paradojas de la vida y traiciones del lenguaje. Lo que se pretenda, con el fin de recuperar el retraso tecnolgico de las sociedades occidentales con relacin a la entonces denominada Unin Sovitica, eran, no lo olvidemos, los aos de la guerra fra, era alfabetizar a toda la poblacin en una manera lgico-estructural de entender las matemticas. Todos sabemos que ese intento fracas, pero signific, sin duda, el inicio de una situacin de desequilibrio que perdura en la actualidad. El equilibrio que exista entre las necesidades de la sociedad moderna y los aprendizajes matemticos que promova la enseanza de las matemticas en la escuela moderna se rompi en aquella poca y no se ha vuelto a recuperar. Desde entonces, vivimos en una situacin de crisis crnica que se caracteriza por el divorcio entre las propuestas sucesivas que los expertos hacen en nombre de las nuevas necesidades sociales, por un lado, y las prcticas escolares, por otro, que faltas de alternativas reales siguen el camino que conocen insistiendo una y otra vez, de manera pertinaz, en recorrerlo. Es como si existieran dos realidades, dos planos paralelos, dos universos sin conexin, uno de papel en el que todo es liviano, posible y donde el exceso es bendecido y la mesura aborrecida, y otro de ladrillo donde todo es pesado e imposible de alterar y donde el ms mnimo cambio es saludado con la advertencia de terribles calamidades. Si la propuesta de los aos setenta del siglo XX fracas por basarse en un anlisis ingenuo e incorrecto de las funciones sociales de la enseanza, por hacer demasiado caso a los matemticos en cuestiones de las que saban muy poco y por desconocer las nociones ms elementales de la psicologa del aprendizaje, su derrumbe supuso una vuelta a lo bsico (back to the basc) y tuvo como resultado el fortalecimiento y la inmunizacin de las posturas resistentes a los cambios. Los aos noventa trajeron la propuesta de resolucin de problemas como eje del currculo de matemticas. Esta propuesta tampoco ha sido capaz de convertir, con honrosas excepciones, el papel en ladrillo. Es decir, las propuestas sobre papel de los expertos pocas veces se han convertido en cambios en los ladrillos que son las acciones en las aulas de los centros. La realidad es que, despus de ms de quince aos, la prctica de la enseanza de las matemticas en el aula ha sufrido muy pocas variaciones, y la descripcin que hemos hecho de las matemticas anteriores a los aos setenta permanece escasamente alterada en la secundaria y el bachillerato. Estamos en el ao 2008 y hay que sealar que la enseanza actual de las matemticas en la mayora de las aulas de secundaria sigue basndose en un modelo de enseanza transmisor que se centra en los contenidos, poniendo especial nfasis, como siempre se

Ese intento sealaba el inicio de una situacin de desequilibrio, que perdura en la actualidad, entre las necesidades de la sociedad moderna y los aprendizajes matemticos en la escuela moderna.

Idea Clave 1

Los aos noventa trajeron la propuesta de resolucin de problemas como eje del currculo de las matemticas.

La realidad es que la prctica de la enseanza de las matemticas en el aula a sufrido escasas variaciones , siendo cada vez mayor la distancia entre sta y las necesidades sociales.

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ha hecho, en la aplicacin mecnica de los algoritmos de clculo. Pero si ya en los aos setenta del siglo XX exista un desfase entre los aprendizajes que promovan las matemticas y las necesidades sociales, la distancia entre esos dos polos no ha hecho otra cosa ms que aumentar. Hay que tener en cuenta que desde dichos aos hasta nuestros das los cambios tecnolgicos y sociales han sido muy grandes: el desarrollo de las tecnologas de la informacin, la globalizacin, los movimientos migratorios, la aparicin de nuevas formas de produccin social y un largo etc. Cambios de tal magnitud que han hecho evidente que la sociedad industrial del XIX y primera mitad del siglo XX pertenece al pasado de nuestro recorrido histrico y tiene poco que ver con la sociedad actual. Resumiendo, la enseanza de las matemticas, tal y como la conocemos, est organizada para responder a las necesidades de la sociedad moderna, pero

antologia la construccion de las nociones logico-matematicas del niño

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