Análisis Matemático I - Ciencias

Repaso de temas de primer parcial

2011

Límites.

Calcular los siguientes límites:

limx!+1

2x10 � 110x11 + 7

limx!0

2x+ tg x

x+ x2

limx!0

sen (ax)

sen (bx), con a 6= 0 y b 6= 0 lim

x!0

x2 (1 + sen2 x)

(x+ sen x)2

limx!+1

x sen

�

1

x

�

limx!+1

�

x+ 7

x

�3x

limx!�1

px2 + 1

xlim

x!+1x tg

�

1

x

�

limx!+1

px2 + x

xlimx!0

px ln x

limx!0

ln (1 + 2x)

xlim

x!+1

x� cosxx

limx!+1

�

x+ 5

x

�x

limx!�1

3x+p9x2 � x

limx!1

sen (x2 � 1)x� 1 lim

x!+1

�

x+ 3

x+ 4

�x=2

limx!�1

x2 � x� 2x+ 1

limx!0

ln (e+ x3)� 1x

limx!+1

x+ sen3 x

5x+ 6

1

2012

Clase 1.

1

Análisis Matemático I - Ciencias

Repaso de temas de primer parcial

2011

Funciones continuas.

1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

(a) f (x) = x sen (x2)

(b) f (x) =

(

x2 si x < 1px si x � 1

(c) g (x) =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

x+ x2

x2 � 1 si x2 6= 1

0 si x = 1

0 si x = �1

(d) g (u) =u3 � uu+ 1

(e) f (x) =

(

sen x si x < �=4

cosx si x � �=4

2. Considerar la funciónf (x) =

x

jxj .

Hallar su dominio y encontrar una expresión equivalente para esta función utilizando lade�nición del valor absoluto. Estudiar la continuidad de f (x) en todo su dominio.

3. Dada la función

g (x) =

(

1 si x � 0�1 si x < 0

.

Hallar su dominio y estudiar la continuidad de g (x). Establecer la relación que existe entreesta función y la función del ejercicio 2.

4. Hallar los valores de a para que las siguientes funciones resulten continuas.

(a) f (u) =

(

au2 + 5 si x > 1

2u� 1 si x � 1

(b) g (x) =

(

jxj si x > �1x3 + 3a si x � �1

(c) f (x) =

(

ax2 + 1 si x > 0

xex + 1 si x � 0

12

5. Considerar la función f (x) cuya grá�ca es la siguiente.

43210-1-2-3-4

4

3

2

1

0

-1

x

y

x

y

Decir si las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas justi�cando las respuestas.

(a) f (x) es continua en todo su dominio.

(b) limx!1+

f (x) = limx!1�

f (x).

(c) f (x) es discontinua en x = 0.

(d) f (x) es una función lineal.

(e) limx!2+

f (x) = 4.

(f) limx!�1+

f (x) = limx!�1�

f (x).

(g) f (x) es continua para x = �2.(h) lim

x!�1+f (x) = 1.

(i) En el intervalo (0; 2) la función f (x) tiene inversa.

(j) f (x) es discontinua en x = 2.

6. Demostrar que existe algún número x tal que

(a) sen x = x� 1(b) ln x = �x2 + 4

7. Suponer que f y g son funciones continuas en [a; b], sabiendo que f (a) < g (a) y que f (b) >g (b) demostrar que f (x) = g (x) para algún x 2 [a; b].

8. ¿Puede a�rmarse que el polinomio p (x) = 4x3 � 6x2 + 3x � 2 tiene una raíz entre 1 y 2?¿Por qué?

23

Análisis Matemático I - Ciencias

Repaso de temas de primer parcial

2011

Derivabilidad.

1. Hallar la derivada de las siguientes funciones.

(a) f (x) = sen�cosx

x

�

(b) f (x) = (x+ cos5 x)6

(c) g (y) = esen y cos (y4)

(d) g (u) = ln (cospu)

(e) f (y) = sen (sen (sen (sen y)))

(f) h (x) = 3

p

ln (x5 + 3x)

(g) g (u) = 3pcosu

2. Sea g una función derivable, hallar f 0 en términos de g y de g0.

(a) f (x) = g (x+ g (x))

(b) f (x) = g (x:g (a))

(c) f (x) = g (x) (x� a)

3. Hallar f 0 (0) si

f (x) =

8

<

:

g (x) sen

�

1

x

�

si x 6= 0

0 si x = 0

donde g (0) = g0 (0) = 0.

4. Sea d (x) = f (x)� f 0 (a) (x� a)� f (a) donde f es derivable en x = a. Hallar d0 (a).

5. Para cada una de las siguientes funciones hallar el máximo y el mínimo en el intervaloindicado.

(a) f (x) = 3x4 � 8x3 + 6x2, x 2�

�1

2; 12

�

(b) f (x) =x

x2 + 1, x 2 [0; 5]

(c) f (x) =

�

x2 si x < 12x� 1 si x � 1 , x 2 [�1; 3]

1

Clase 2.

4

6. Hallar una función f y un valor a tal que limh!0

(2 + h)6 � 64h

= f 0 (a).

7. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones.

(a) f (x) =

�

3x3 � 2x si x < 12px� 1 si x � 1

(b) g (x) =

(

sen x si x < �=4

cosx si x � �=4

8. Encontrar los valores de a y b para que f (x) sea derivable en x = 1, siendo

f (x) =

�

x2 si x < 1ax+ b si x � 1 .

9. Sea a > 0, demostrar que2 + a

1 + aes el valor máximo de

f (x) =1

1 + jxj +1

1 + jx� aj .

10. La siguiente es la grá�ca de la derivada de una función f . Hallar todos los valores de lavariable independiente donde f alcanza sus valores máximos y mínimos locales. Justi�car larespuesta.

6543210-1-2-3-4

3

2

1

0

-1

-2

-3

x

y

x

y

11. Suponer que f 0 (x) > g0 (x) para todo x, y que f (a) = g (a). Demostrar que f (x) > g (x)para todo x > a y f (x) < g (x) para todo x < a.

12. Aplicar el Teorema del Valor Medio a las siguientes funciones en los intervalos dados y hallarun valor de c que veri�que el resultado,

(a) f (x) = x2 � 2x, x 2 [0; 2](b) f (x) = ex � x, x 2 [0; 2]

25

13. Explicar por qué no es válido el Teorema del Valor Medio en los siguientes casos,

(a) f (x) =1

x,x 2 [�1; 2]

(b) f (x) = x1=3, x 2 [�1; 1]

14. El límite de velocidad en una cierta autopista es de 130 km/h. En un punto A de la misma,un policía determina con un radar la velocidad de un cierto vehículo y media hora después,un segundo policía en un lugar B a 80 km de A repite el control. Ambos veri�can que elconductor no excedió el límite de velocidad ni en A ni en B, pero el segundo o�cial (quehabía aprobado un curso de Análisis Matemático en la universidad) lo detuvo y labró unacta de infracción por haber superado la velocidad máxima. ¿Puede explicar la conducta deeste policía?

36

Análisis Matemático I - Ciencias

Repaso de temas de primer parcial

2011

Estudio de funciones.

1. Gra�car las siguientes funciones explicitando en cada caso (si es posible):

� Dominio. Intersecciones con los ejes coordenados.� Puntos de discontinuidad de la función.� Puntos críticos. Regiones de crecimiento y de decrecimiento.� Máximos y mínimos, locales y absolutos.� Comportamiento de la función cuando x! +1 y cuando x! �1.� Valores de x en los cuales la función tiende a +1 o a �1.� Puntos de in�exión. Regiones de convexidad.

(a) f (x) =x2 + 1px

(b) f (x) = x+ sen x, con x 2 [��; �]

(c) g(x) =2x2 � 8x+ 6x2 � 1 (d) f (x) = jxjx

(e) g (x) =x3 + 1

x+ 1(f) h (x) =

(

ln jxj si x � 2ln 2p2

px si x > 2

(g) f (x) = ln (x2 + 3x) (h) f (x) = 3lnjxj

(i) g(x) = e�x + x (j) g(x) = x3=2 + ln x

(k) f (x) = arcsen (px) (l) f (x) = arctg

�

1

x

�

2. ¿Cuál de las siguientes grá�cas corresponde a la derivada de la función f (x) = jxj? ¿Porqué?

1

Clase 3.

7

3. La siguiente es la grá�ca de la derivada de una función f .

6543210-1-2-3-4

3

2

1

0

-1

-2

-3

x

y

x

y

Determinar si las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas justi�cando las respuestas.

(a) La función f es creciente en (�2; 0)(b) La función f es decreciente en (2; 4)

(c) En x = 0 la función f alcanza un valor máximo local

(d) En x = 3 la función f alcanza un valor mínimo local

(e) La función f es cóncava hacia abajo en (�4;�2)(f) f 00 existe para todos los valores x del dominio de f

(g) f 00 no existe para el valor x = �2(h) En x = �2 la función f tiene un punto de in�exión(i) La función f es cóncava hacia arriba en (0; 2)

Por último, completar el estudio realizado en la práctica anterior y sabiendo que f (0) = 0esbozar la grá�ca de la función f .

4. Establecer cuál de las siguientes grá�cas corresponde a las funciones f (x) =x2 + 1

x+ 1y g (x) =

x2 � 1x+ 1

.

3210-1-2-3

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y

28

Análisis Matemático I - Ciencias

Repaso de temas de primer parcial

2011

Problemas.

1. Para cada una de las siguientes funciones hallar la ecuación de la recta tangente a la grá�capara el valor indicado.

(a) f (x) = x3 +px para x = 1

(b) f (x) =x

x+ 1para x = 0

(c) f (x) = ln (5x� x4 + 1) para x = 0

(d) f (x) = cos (x2) para x =p

�=2

2. Gra�car f (x) = 3x2 y g (x) = 2x3+1. Mostrar que el punto (1; 3) es común a ambas grá�casy que las rectas tangentes a cada grá�ca por ese punto coinciden.

3. Determinar el valor de la constante c para que la recta de ecuación y = x sea tangente a lagrá�ca de la función f (x) = x2 + c. Gra�car.

4. La siguiente es la grá�ca de la posición de un móvil en función del tiempo. A partir de elladar un grá�co aproximado de la velocidad de p(t).

876543210

4

2

0

-2

-4

t

p(t)

t

p(t)

5. Si una �echa es disparada hacia arriba en la luna con una velocidad de 58 m=s, su altura (enmetros) después de t segundos está dada por H (t) = 58t� 0:83t2.

(a) Hallar la velocidad de la �echa después de 1 segundo.

(b) Hallar la velocidad de la �echa para t = a.

(c) ¿En qué instante la �echa toca la luna?

(d) ¿Con qué velocidad llega a la super�cie de la luna?

1

Clase 4.

9

6. El costo de producir x unidades de cierto producto es C (x) = 5000 + 10x+ 0:05x2.

(a) Hallar la razón de cambio promedio de C con respecto a x cuando el nivel de produccióncambia:

� de x = 100 a x = 105

� de x = 100 a x = 101

(b) Hallar la razón de cambio instantánea de C con respecto a x para x = 100. El valorhallado es llamado costo marginal.

7. Encontrar los puntos de la curva y = 1=x2 más próximos al origen de coordenadas.

8. Mostrar que para construir una lata cilíndrica (con tapa) de volumen �jo con la menorcantidad de material posible, la altura de la lata debe ser igual a su diámetro.

9. De entre todos los triángulos cuya diagonal mide 2, hallar las dimensiones del de perímetromáximo.

10. Hallar las dimensiones de un rectángulo de 64 cm2 de super�cie, para el que la distanciadesde el punto medio de un lado hasta un vértice del lado opuesto sea mínima.

11. Si a y b son los lados de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 1, hallar el valor máximode 2a+ b.

12. Encontrar la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo de área máxima, sabiendoque su hipotenusa mide h.

13. Hallar dos números cuya suma sea 120 y el producto de uno de ellos por el cuadrado del otrosea máximo.

14. Hallar, si existe, la ecuación de la recta (o las rectas) tangente (o tangentes) a la grá�ca dela función f (x) = x3 que pasa (o pasan) por el punto de coordenadas (1; 0).

210

ANALISIS MATEMATICO I (2012)

Repaso de Taylor y funciones implıcitas.

1. Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 alrededor de x = 0 de las siguientes funciones:

f1(x) = ln(1 + x), f2(x) = sen(x), f3(x) = cos(ax), a ∈ R, f4(x) = e−x3

Ademas, dar una expresion para el error en cada caso.

2. Utilizando polinomios de Taylor, calcular con un error menor que 10−4 los siguientesvalores: sen(1), cos(0,5), ln(4/5) y

√e.

3. Justificando cada paso, hallar los lımites:

a) lımx→0

x − sen(x)

x3

b) lımx→0

ln(1 + x) − x

x2

c) lımx→0

e−x2

− cos(√

2x)

x4

d) lımx→0

x(ex + 1) − 2(ex − 1)

x3

e) lımx→0

x − tg(x)

x − sen(x)

f ) lımx→∞

x3(e1/x − 1 −1

x−

1

2x)

g) lımx→0

ln(1 + x)

e2x − 1

h) lımx→0

sen(x)

arctg(x)

i) lımx→0

1

x−

1

ex − 1

4. Hallar la ecuacion de la recta tangente y la recta normal en el punto pedido:

a) 2xy + πsen(y) = 2π, P = (1, π/2).

b) (x2 + y2)3 = 8x2y2, P = (1,−1).

5. Hallar el valor de y′′ en el punto pedido:

a) sen(y) = xy, P = (2/π, π/2)

b) ey2

= (x + 2)(x + 1/2), P = (0, 0)

6. Hallar una expresion para y′′, sabiendo que y = 1 + xey.

1

Clase 5.

11

Análisis Matemático I - Ciencias

Repaso de temas de primer parcial

2011

Repaso general.

1. Calcular los siguientes límites:

a) l��mx!+1

px+ 1

x ln x

b) l��mx!+1

cosx

2x

c) l��mx!1

px� 1x2 � 1

d) l��mx!+1

4x � 2xx

e) l��mx!+1

ln x arctan x

3x4

f ) l��mx!0+

x ln x sen

�

1

x

�

g) l��mx!0

1� cosx1�

p1� x2

2. Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones. Estudiar la continuidady, en el caso que sean discontinuas, clasi�car las discontinuidades.

a) f (x) =x� 1

x2 + x� 6

b) f (x) =x� 3

(x� 1) (x2 � 4x+ 3)

c) f (x) =2x+ 1

x2 � 3x+ 4

d) f (x) =6x2 + x� 22x2 + 3x� 2

3. Si l��mx!0

f (x)

x= 1, ¿cuánto vale l��m

x!0

f (x2)

x?

4. Dar un ejemplo de una función f (x) tal que l��mx!0

f (x) no exista y que f (0) esté de�nida.

5. Sean f y g dos funciones continuas en R que cumplen las siguientes condiciones:

112

f (1) = 4=3

l��mx!1

6f (x) + g (x) = 3

¿Cuál es el valor g (1)? Justi�car la respuesta.

6. Explicar por qué la función es discontinua en el punto indicado,

a) f (x) =x2 � 4x� 2 en x = 2

b) f (x) =

�

x2 si x < 23x� 1 si x � 2 en x = 2

7. Determinar si f (x) =

�

3x+ 1 si x � 0x+ jxj si x < 0

es continua.

8. Averiguar si f (x) =

8

<

:

x2 � 2x+ 1x� 1 si x 6= 12 si x = 1

es continua en x = 1.

a) Si no resultó continua en x = 1, ¿puede rede�nirse f (1) para que resulte continua?

b) En caso de que pueda rede�nirse f (1) para que resulte continua, rede�nir lafunción y estudiar su derivabilidad en todo el dominio.

9. Suponiendo que y = h (x) es una función tal que h0 (x) = sen2 (sen (x+ 1)) y queh (0) = 3:

a) Calculard (h�1)

dypara y = 3.

b) Hallar la recta tangente a la grá�ca de h�1 en y = 3.

10. Sea f (x) = x3, ¿cuál de las siguientes ecuaciones determina la ecuación de la rectatangente a la grá�ca de f (x) en x = 1?

a) y = 3x2

b) y � 1 = 3x2 (x� 1)c) y � 1 = 3 (x� 1)d) y = 3x� 1

11. Determine y0 en los siguientes casos:

a) y =cos (x+ 1)

cosx

b) y = sen

�

x2 + 2

x+ 2

�

213

c) y = (5x� 8)p7x+ 2

d) y = tan�

(2x+ 3)3�

12. Sea f (x) = ax3 + bx2 + cx+ d.

a) Encontrar los coe�cientes a; b; c y d teniendo en cuenta que,

1) f cambia la convexidad en x = �1=4;2) la recta y = �x es tangente a la grá�ca en x = 0;3) la recta y = 5x+ 1 es paralela a la recta tangente a la grá�ca en x = �1.

b) Gra�car la función encontrada.

13. Decir si la a�rmación es V (veradera), explicando por qué, o F (falsa), dando un ejemplomuestre su falsedad:

a) Si l��mx!c

f (x) = L, entonces f (x) es continua en x = c.

b) Si f (x) = g (x) para todo x 6= c y f (c) 6= g (c), entonces algunas de las dosfunciones no es continua en x = c.

c) Una función racional puede ser discontinua para in�nitos valores de la variable.

d) Toda función racional tiene, al menos, una asíntota vertical.

e) Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales.

f ) Si p (x) es un polinomio, entoncesp (x)

x� 2 tiene una asíntota vertical en x = 2.

14. Determinar cuáles de las siguientes grá�cas se corresponden con las siguientes fun-ciones:

(a)

3210-1-2-3

4

2

0

x

y

x

y (d) h (u) = 3� eu

(b)

3210-1-2-3

2

0

-2

-4

x

y

x

y (e) g (y) = �3�y

(c)210-1-2

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

x

y

x

y (f) f (x) = 2jxj

314

15. Determinar si la siguiente función es derivable en x = 3

f (x) =

(

x2 + 2 si x � 36x� 7 si x > 3

.

16. La siguiente es la grá�ca de cierta función g (x).

Decir si las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas justi�cando las respuestasdadas en cada caso.

a) g (x) es lineal

b) g (0) = 1

c) g (0) = �1d) g (0) no está de�nida

e) g (x) es discontinua en x = 0

f ) g (x) es la derivada de la función jxj

17. Decidir si una de las siguientes grá�cas puede representar la grá�ca de la derivada dela otra y explicar todos los motivos que sustentan su decisión.

3210-1-2

3

2

1

0

-1

x

y

x

y

18. Determinar la razón de cambio promedio de f (x) entre los valores indicados:

a) f (x) = e5x entre x = �2=3 y x = 1

b) f(x) = x3 + 2x entre x = 2 y x = 5

415

c) f(x) =

�

x2 + 3 si x � 03ex si x > 0

entre x = �1 y x = 3

19. Construir la ecuación de la recta tangente a la grá�ca de f (x) = ln (x2 + 1) que esparalela a la recta y = x+ 5.

20. La siguiente es la grá�ca de la derivada una función f .

6543210

1

0

-1

-2

x

y

x

y

Indicar cuál de las siguientes a�rmaciones son veraderas o falsas, justi�cando la res-puesta.

a) f tiene un extremo local en x = 3

b) f tiene un punto crítico en x = 3

c) f tiene un punto de in�exión en x = 3

21. La siguiente es la grá�ca de la derivada una función f que es continua en el intervalo[0; 2]. Sabiendo que f (0) = 0 proponer una grá�ca para f . Justi�car.

22. Usar el Teorema del Valor Intermedio para veri�car que f (x) = x3 � 4x + 2 tiene uncero en el intervalo [�1; 0].

23. ¿Es verdad que en el intervalo [�1; 1] hay un solo punto donde la recta tangente ay = x2 es paralela a la recta secante trazada entre los valores x = �1 y x = 1?Interpretar grá�camente la respuesta.

24. ¿La función f (x) = x3 � 4x2 + x+ 3 atraviesa el eje x en el intervalo [1; 2]?

516

25. La función f (x) = �x2 + bx + c toma un valor máximo de 12 en x = �2. Hallar lasconstantes b y c.

26. Encontrar los valores máximo y mínimo de g (x) =

(

x si 0 � x � 13� x si 1 < x � 3

en [0; 3].

¿Contradice ésto el Teorema del Máximo y el Mínimo?

27. Considerando las siguientes funciones:

f (x) =x2 � 1x� 1 ; g (x) =

1

x� 1 ; h (x) =x� 1jx� 1j ; k (x) = jx� 1j ,

completar la tabla con V (verdadero) o F (falso), justi�cando en cada caso la respuestadada.

f (x) g (x) h (x) k (x)La función está de�nida en x = 1La función es continua en x = 1Existe el l��m

x!1de la función

Existen los l��mx!1+

y l��mx!1�

de la función

La función tiene una discontinuidad evitable en x = 1

28. Encontrar las asíntotas horizontales y verticales de las funciones dadas,

a) f (x) =3

x+ 1

b) g (x) =2x

x� 3

c) g (t) =2tpt2 + 5

29. Encontrar los extremos de la función dada en el intervalo indicado,

a) f (x) = sin x , x 2 [��=4; �=2]

b) g (x) =1

3x3 +

1

2x2 � 2 , x 2 [�3; 2]

30. Determinar los puntos de in�exión y las concavidades de f (x) = 3x4 � 10x3 � 12x2 +12x� 7.

31. Encontrar el rectángulo de área máxima con dos vértices en el eje x y los otros dossobre la parábola y = 18� 2x2, en el semiplano superior.

32. Demostrar que entre todos los rectángulos de igual perímetro, el de mayor área es elcuadrado.

33. Gra�car las siguientes funciones,

617

a) f(x) = 4 sin x� 3 cosx para x 2 [0; 2�]

b) f(t) = cos t� sin t2para x 2 [0; 2�]

c) f(t) =psin t para x 2 [0; �]

d) f(x) = 2x+ cos2 x para x 2 [0; �]

e) f(x) =1

x+ ln x

f ) g(u) =u2 � 4u3

g) f (x) =2x3 � 8x2

h) h(x) = x2=3(1� x)

i) k(�) = �p� � 2

j ) f(x) = 3x2 � 1

x2

k) h(t) = (t2 � 4t)1=3

l) g(u) = u4 + 4u

34. La grá�ca describe la velocidad de un móvil en función del tiempo, gra�car la funciónposición de dicho móvil, sabiendo que p (0) = 0.

6543210-1-2

10

8

6

4

2

0

-2

t

p(t)

t

p(t)

718