1

INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS JEFATURA DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS BÁSICAS

TALLER 2 CÁLCULO DIFERENCIAL

EJE TEMÁTICO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD1 OBJETIVO Comprender y aplicar el concepto de límite, sus operaciones y propiedades para dar solución a situaciones en distintos contextos.

1. Aplicando las propiedades, evalúe el límite indicado, si existe

A. lim

𝑥→3(2𝑥 + 8)

B. lim𝑥→2

(3𝑥2 − 5𝑥 + 2)

C. lim𝑥→−1

√2

D. lim𝑥→3

𝑥52

E. lim𝑥→−2

𝑥2+8𝑥−3

𝑥−5

F. lim𝑥→−2

√𝑥53

G. lim𝑥→0

𝑥+2

3𝑥+4

H. lim𝑥→√5

(2√5 + 𝑥)

I. lim𝑥→3

(3𝑥 − 5)4

J. lim𝑥→−1

(𝑥2 + 1)(1 − 2𝑥)2

K. lim𝑥→0

(4 +1

3𝑒𝑥)

L. lim𝑥→𝜋

(𝑐𝑜𝑠3𝜋 − 𝑡𝑎𝑛𝜋

4)

M. lim𝑥→1

(4 − log5 𝑥)

N. lim𝑥→1

𝑙𝑛𝑥

𝑥

2. Si lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) =−3

2 lim

𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = −1 y lim ℎ(𝑥) =

𝑥→𝑎

1

5 determine el valor de:

A. lim

𝑥→𝑎−4𝑓(𝑥)

B. lim𝑥→𝑎

[1

3ℎ(𝑥) − 𝑓(𝑥)]

1 Ejercicios seleccionados por Sergio Alarcón Vasco y María Cristina González Mazuelo,

profesores de la Facultad de Artes y Humanidades del ITM.

C. lim𝑥→𝑎

[𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)]

D. lim𝑥→𝑎

[𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)]

2

E. lim𝑥→𝑎

[2ℎ(𝑥)𝑔(𝑥)]

F. lim𝑥→𝑎

[1

3ℎ(𝑥) − 𝑓(𝑥)]

G. lim𝑥→𝑎

[𝑓(𝑥)]2

H. lim𝑥→𝑎

−3

2√ℎ(𝑥)

3. Evalúe los siguientes límites:

A. lim𝑥→0

𝑥4−3𝑥2

𝑥2

B. lim𝑥→3

𝑥−3

𝑥2−7𝑥+12

C. lim𝑥→1

𝑥3−1

𝑥−1

D. lim𝑥→0

𝑥4−3𝑥2

𝑥2

E. lim𝑥→4

𝑥−4

𝑥2−𝑥−12

F. lim𝑥→1

𝑥2−1

𝑥2−3𝑥+2

G. lim𝑥→2

𝑥−2

𝑥3−8

H. lim𝑥→4

√𝑥−2

𝑥−4

I. lim𝑥→2

𝑥2−2𝑥

𝑥2−4

J. lim𝑡→6

𝑡−6

√2𝑡−3−3

K. lim𝑝→−5

2𝑝2+9𝑝−5

𝑝2−3𝑝−40

L. lim𝑥→0

(𝑥−1)2−1

𝑥

M. limℎ→0

(ℎ−5)2−25

ℎ

N. lim𝑡→0

√2−𝑡−√2

𝑡

O. lim𝑥→1

[1

𝑥−1−

2

𝑥2−1]

P. lim𝑥→0

𝑥

√𝑥+3−√3

Q. lim𝑥→0

1−√1+𝑥

𝑥

R. lim𝑥→2

1

𝑥 −

1

2

𝑥−2

S. limℎ→0

(3+ℎ)−1−3−1

ℎ

T. lim𝑡→0

1

𝑡√1+𝑡−

1

𝑡

U. lim𝑥→0

√3+𝑥−√3

𝑥

V. lim𝑥→0

1

4+𝑥 −

1

4

𝑥

W. lim𝑥→0

1−𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥

X. lim𝑥→𝜋

1+𝑐𝑜𝑠2𝑥

1+𝑐𝑜𝑠𝑥

Y. lim𝑥→0

𝑒2𝑥−1

𝑒𝑥−1

Z. lim𝑥→0

1+2𝑒𝑥

1+8𝑒3𝑥

AA. lim𝑢→−2

𝑢2−𝑢𝑥+2𝑢−2𝑥

𝑢2−𝑢−6

BB.lim𝑥→𝜋

2𝑥2−6𝑥𝜋+4𝜋2

𝑥2−𝜋2

4. Determine los siguientes límites trigonométricos.

A. lim𝑥→𝜋

4⁄𝑠𝑒𝑐3𝑥

B. lim𝑥→−2𝜋

3⁄𝑡𝑎𝑛4𝑥

C. lim𝑥→𝜋

𝑠𝑒𝑛2𝑥−1

𝑠𝑒𝑛 𝑥−1

D. lim𝑥→𝜋

4⁄

𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥

1−𝑡𝑎𝑛 𝑥

E. lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 (5𝑥)

𝑥

F. lim𝑥→0

1−𝑐𝑜𝑠( 𝑥

3)

𝑥

G. lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 3𝑥

𝑠𝑒𝑛 2𝑥

H. lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛2 𝑥

𝑥2

3

I. lim𝑦→0

1−𝑐𝑜𝑠 2𝑦

𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑦

J. lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 (𝑥+1)

𝑥2−1

K. lim𝑥→0

3

𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥

L. lim𝑥→0

𝑡𝑎𝑛 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥2

M. lim𝑥→0

√𝑠𝑒𝑛 2𝑥

𝑥

N. limℎ→0

𝑐𝑜𝑠 (𝑥+ℎ)−𝑐𝑜𝑠 ℎ

ℎ

O. lim𝑥→0

1−√𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑥2

P. lim𝑥→0

𝑥−𝑠𝑒𝑛 2𝑥

𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥

Q. lim𝑥→0

1−𝑐𝑜𝑠 𝑥

3𝑥2+2𝑥

R. lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 4𝑥

𝑐𝑜𝑠 3𝑥−1

S. lim𝑥→𝜋

𝑐𝑜𝑡 𝑥

T. lim𝑥→𝜋

4⁄

𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥

5. Determine los siguientes límites trigonométricos, usando una sustitución idónea en cada

caso.

A. lim𝑥→𝜋

𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥−𝜋

B. lim𝑥→𝜋

2⁄

𝑐𝑜𝑠 𝑥𝜋

2−𝑥

C. lim𝑥→−2

𝑡𝑎𝑛 𝜋𝑥

𝑥+2

D. lim𝑥→𝜋

2⁄

2𝑥−𝜋

𝑐𝑜𝑠 𝑥

E. lim𝑥→𝜋

3⁄

1−2 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝜋−3𝑥

F. lim𝑥→𝜋

4⁄

𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑥−𝜋

4

G. lim𝑥→𝜋

𝑥−𝜋

tan 2𝑥

H. lim𝑥→1

𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑥⁄ )

𝑥−1

I. lim𝑥→2

𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑥⁄ )

𝑥−2

6. Dadas las siguientes gráficas de funciones, determine los límites laterales en el punto

indicado y analice la existencia del límite.

A. B.

2en x

y

2 x

9

6

5en x

x5

y

4

4

C.

D.

E.

F.

G. H.

6xen

6

3

y

x

2

x

3en x

3

2

y

5

y

2en x

2x

1en x

1

y

x

1

2en x

x2

y y

x x

y

3en x

5

I.

J.

7. Dadas las siguientes funciones, evalúe la existencia del límite en el punto indicado

A.

33

32 2

xsix

xsixxxg en 3x

B.

12

11

1

2 xsixx

xsixxh en 1x

C.

22

21

xsi

xsixxf en 𝑥 = 2 y 𝑥 = 0

D.

342

312

xsix

xsixxg en 𝑥 = 3 y 𝑥 = −2

E. ℎ(𝑥) = {𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑎(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑎

𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎

F.

0cos

0

xsix

xsiexf

x

en 𝑥 = 0

G. 𝑔(𝑥) = {𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑖 𝑥 <

𝜋

4

𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥𝜋

4

𝑒𝑛 𝑥 =𝜋

4

x

y

4en x

1

4

2

0en x

x

y

0x

6

H. ℎ(𝑥) = {𝑙𝑛(𝑥2 − 3) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −2

1

𝑥2−3 𝑠𝑖 𝑥 < −2

𝑒𝑛 𝑥 = −2

8. Dada las siguientes funciones, determine el valor de 𝐴 para que el límite exista en el punto indicado.

A.

113

1

14

2

2

xsixx

xsiAx

xf 1xen

B.

320

3

xsi

xsiexg

Ax

3xen

9. Dada:

2

201

021

212

3

2

2

xsix

xsix

xsix

xsix

xf

Determinar:

A. lim𝑥→−2−

𝑓(𝑥)

B. lim𝑥→−2+

𝑓(𝑥)

C. lim𝑥→2−

𝑓(𝑥)

D. lim𝑥→2+

𝑓(𝑥)

E. ¿Existe xfLimx 0

? Justifique su respuesta.

10. Determine los límites infinitos que se presentan a continuación:

A. lim𝑥→−3

𝑥+2

𝑥+3

B. lim𝑥→4

𝑥

𝑥−4

C. lim𝑥→5

1

(𝑥−5)3

D. lim𝑥→−3

2𝑥2

9−𝑥2

E. lim𝑥→4

𝑥−2

𝑥2−6𝑥+8

F. lim𝑥→0

𝑥2−9

𝑥2−3𝑥

G. lim𝑢→2

−𝑢+2

(𝑢−2)2

H. lim𝑦→0

𝑦2−3

𝑦3+𝑦2

I. lim𝑥→4

𝑥2

𝑥2−16

J. lim𝑥→1

𝑥2+𝑥+1

𝑥3−1

K. lim𝑥→0

(1 +1

𝑥)

L. lim𝑠→3

(1

𝑠−3+

4

𝑠2−9)

M. lim𝑥→0

2−4𝑥2

8𝑥2 N. lim𝑥→6+

√𝑥2−36

𝑥−6

7

O. lim𝑤→−1

2𝑤

1−𝑤2 P. lim𝑦→3−

√9−𝑦2

𝑦−3

Q. lim𝑥→0

√3+𝑥2

𝑥2

R. lim𝑥→1

𝑥−1

√2𝑥−𝑥2−1

S. lim𝑥→3+

𝑙𝑛(𝑥2 − 9)

T. lim𝑥→0

𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑒𝑥−1

U. lim𝑥→0

𝑐𝑜𝑠2 𝑥 + 1

𝑐𝑜𝑠 𝑥−1

V. lim𝑥→

𝜋

4

𝑡𝑎𝑛 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥−√2

2

11. Calcule los siguientes límites al infinito:

A. lim𝑥→∞

6𝑥+3

2𝑥

B. lim𝑥→∞

√𝑥2 + 1

C. lim𝑥→−∞

𝑥3−5𝑥

2𝑥3−𝑥2+4

D. lim𝑦→−∞

2𝑦2+4

6𝑦4−5𝑦3+𝑦2

E. lim𝑢→∞

4𝑢2−10𝑢+6

(2𝑢−3)(2𝑢−2)

F. lim𝑡→∞

2𝑡3−1

5𝑡+3

G. lim𝑛→∞

𝑛(3𝑛+1)

𝑛2+5𝑛+6

H. lim𝑥→∞

𝑥+2

√9𝑥2+1

I. lim𝑦→−∞

√𝑦2+4

𝑦+4

J. limℎ→−∞

√25ℎ2+3

2−10ℎ

K. lim𝑥→−∞

2𝑥 −1

𝑥2

L. lim𝑢→∞

2𝑢2

𝑢−1−

3𝑢

𝑢+1

M. lim𝑥→∞

(2𝑥3+3𝑥2+1

4𝑥3+5𝑥2−2)

2

N. lim𝑥→−∞

(𝑥4 + 𝑥5)

O. lim𝑦→−∞

𝑦 + √𝑦2 + 3

P. lim𝑥→∞

√3𝑥2 + 𝑥 − 2𝑥

Q. lim𝑣→−∞

4𝑣 + √16𝑣2 + 2𝑣

R. limℎ→∞

√ℎ2 − ℎ − √ℎ2 + 9

S. lim𝑥→∞

√𝑥2 + 𝑎𝑥 − √𝑥2 + 𝑏𝑥

T. lim𝑥→∞

𝑒−𝑥2

U. lim𝑢→∞

𝑒3𝑢−𝑒−3𝑢

𝑒3𝑢+𝑒−3𝑢

12. Si 𝑓(𝑥) está representado por la siguiente gráfica:

56

2

x

1

3

y

3 2

8

Determine

A. lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥)

B. lim𝑥→−6−

𝑓(𝑥)

C. lim𝑥→−6+

𝑓(𝑥)

D. lim𝑥→−3−

𝑓(𝑥)

E. lim𝑥→−3+

𝑓(𝑥)

F. lim𝑥→5−

𝑓(𝑥)

G. lim𝑥→5+

𝑓(𝑥)

H. lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

I. ¿Existe el lim𝑥→1

𝑓(𝑥) ? Justifique su respuesta.

J. ¿Existe el lim𝑥→2

𝑓(𝑥) ? Justifique su respuesta.

K. ¿Existe el lim𝑥→5

𝑓(𝑥) ? Justifique su respuesta.

13. Sea 𝑔(𝑥) representada por:

A. ¿𝑥 = – 5 pertenece al dominio de 𝑔(𝑥)? Justifique su respuesta.

B. Determine lim𝑥→−5−

𝑔(𝑥) y lim𝑥→−5+

𝑔(𝑥)

C. ¿Existe el lim𝑥→5

𝑔(𝑥)?

D. ¿Puede afirmarse que la recta 𝑥 = – 5 es una asíntota vertical para el gráfico de la

función 𝑔(𝑥)? Justifique su respuesta.

x5

y

9

14. Sea ℎ(𝑥) representado por:

A. ¿𝑥 = 1 está en el dominio ℎ(𝑥)? Justifique su respuesta.

B. Determine lim𝑥→1−

ℎ(𝑥) y lim𝑥→1+

ℎ(𝑥)

C. ¿Existe el lim𝑥→1

ℎ(𝑥)?

D. ¿Puede afirmarse que en 𝑥 = 1 hay una asíntota vertical? Justifique su respuesta.

E. Determine lim𝑥→−∞

ℎ(𝑥) y lim𝑥→∞

ℎ(𝑥).

F. ¿Puede afirmarse que la recta 𝑦 = – 3 es una asíntota horizontal? Justifique su

respuesta.

15. Dadas las siguientes funciones, determine la posición de las asíntotas verticales y

horizontales, si las tiene:

A. 𝑓(𝑥) =𝑥−2

𝑥−4

B. 𝑔(𝑥) =−𝑥3+2𝑥+1

𝑥−3

C. ℎ(𝑥) =𝑥2−25

𝑥2−5𝑥

D. 𝑓(𝑥) =𝑥

(𝑥−1)2

E. 𝑔(𝑥) =1−3𝑥3

3𝑥3−6𝑥2+32

F. 𝑘(𝑥) =3𝑥+1

3𝑥2−5𝑥−2

G. ℎ(𝑥) =2𝑥2+3𝑥+1

3𝑥2−5𝑥+2

H. 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥2 + 𝑥3 − 3𝑥4

I. 𝑔(𝑥) =3𝑥2

𝑥2+2𝑥−15

J. ℎ(𝑥) =𝑥2−2𝑥+3

2𝑥2+5𝑥+3

K. 𝑘(𝑥) =1+2𝑥3

𝑥+1

L. 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥2)3

16. Proponga una gráfica para 𝑓(𝑥), tal que se cumplan las siguientes condiciones:

xfLimx

, 12

xfLimx

,

1

3

x

y

2

10

30

xfLimx

,

xfLimx 0

,

0

xfLimx

17. Proponga la expresión analítica de una función f(x) que cumpla las siguientes

condiciones.

xfLimx 5

y

xfLimx 5

18. Dadas las siguientes gráficas de funciones, analice la continuidad en el punto indicado.

4en x

5

x

y

4

1en x

x

2

1

y

4

x

y

6

5

5en x

2

x2

02en xyx

0

1

3

x

y

1eny3en xx

1

2

3

2

x

y

0en x

a. b.

c. d.

f.e.

11

19. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado.

A. 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 – 6𝑥 + 1 𝑒𝑛 𝑥 = – 2

B. 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 |3 − 𝑥| 𝑒𝑛 𝑥 = 3

C. 2

)(x

Tanxf en x y 4x

D. 63

12)(

x

xxf en 1x y 2x

𝑥 = 1 𝑠𝑖 𝑥 2

E. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑛 𝑥 = 2

2 𝑠𝑖 𝑥 > 2

𝑥2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 3

F. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑛 𝑥 = 3

2𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 > 3

G. )(xf4

2

x

x 𝑒𝑛 4x 𝑦 9x

1 + 𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥 0

H. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑛 𝑥 = 0

𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0

20. En cada una de las siguientes funciones determine el valor que debe tomar 𝑎 para que

sean continuas en el punto indicado.

𝑎𝑥 – 3 𝑠𝑖 𝑥 < – 2

A. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑛 𝑥 = 2

3 − 𝑥 + 2𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 2

1 – 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 4

B. 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑛 𝑥 = 4

𝑎𝑥2 + 2𝑥 – 3 𝑠𝑖 𝑥 4

12

4

2

x

x 𝑠𝑖 1x

C. ℎ(𝑥) = 𝑒𝑛 1x

𝑎𝑥−3

5+𝑎𝑥2 𝑠𝑖 1x

21. En cada una de las siguientes funciones determine los valores que deben tomar 𝑎 y 𝑏,

para que sean continuas en el punto indicado.

A. 𝑓(𝑥) = {−2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1

𝑎𝑥 − 𝑏 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 13 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

B. 𝑔(𝑥) = {𝑎𝑥 + 2𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0𝑥2 + 3𝑎 − 𝑏 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 2

3 𝑥 − 5 𝑠𝑖 𝑥 > 2

C. ℎ(𝑥) = {𝑎𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 3𝑏 𝑠𝑖 𝑥 = 3−2𝑥 + 9 𝑠𝑖 𝑥 > 3

D. 𝑓(𝑥) = {𝑚𝑥 − 𝑛 𝑠𝑖 𝑥 < 15 𝑠𝑖 𝑥 = 12𝑚𝑥 + 𝑛 𝑠𝑖 𝑥 > 1

22. Con base en el teorema que se presenta a continuación, encontrar el límite de las

funciones dadas. “Teorema (Límite de una función compuesta): Si lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐿 y 𝑓

es continua en 𝐿, entonces lim𝑥→𝑎

𝑓( 𝑔(𝑥)) = 𝑓 (lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝐿).”

A. lim𝑥→𝜋

6⁄𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 +

𝜋

3)

B. lim𝑥→𝜋2

𝑐𝑜𝑠√𝑥

C. lim𝑥→𝜋

2⁄𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)

D. lim𝑥→𝜋

2⁄(1 + 𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑜𝑠𝑥))

E. lim 𝑡→𝜋

𝑐𝑜𝑠 (𝑡2−𝜋2

𝑡−𝜋)

F. lim 𝑡→0

𝑡𝑎𝑛 (𝜋𝑡

𝑡2+3𝑡)

G. lim 𝑡→𝜋

√𝑡 − 𝜋 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡

H. lim 𝑡→1

(4𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑡)3

I. lim 𝑥→−3

𝑠𝑒𝑛−1 (𝑥+3

𝑥2+4𝑥+3)

J. lim 𝑥→𝜋

𝑒𝑐𝑜𝑠 3𝑥

13

23. Con base en el teorema que se presenta a continuación, analizar la continuidad de

las funciones dadas. “Teorema (Continuidad de una función compuesta): Si 𝑔 es

continua en 𝑎 y 𝑓 es continua en 𝑔(𝑎), entonces la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) =

𝑓(𝑔(𝑥)) es continua en 𝑎.”

A. ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)

B. 𝑣(𝑥) = ln (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)

C. ℎ(𝑥) = √𝑥2 + 2

D. 𝑣(𝑥) = ln (𝑡4 − 1)

24. Dadas las siguientes funciones, demuestre que f es continua en el intervalo indicado.

A. 216)( xxf 𝑒𝑛 4,4

B. 1

1)(

xxf 𝑒𝑛 3,2

𝑥2 – 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

C. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑛 [0,2]

4 + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 2

Bibliografía ALARCÓN, Sergio, GONZÁLEZ, Cristina y QUINTANA, Hernando, Cálculo Diferencial.

Límites y derivadas. Medellín, Colombia: ITM, 2008.

STEWART, James. Cálculo de una variable: Conceptos y contextos. Cuarta edición. México D.F.: Cengage Learning Editores, 2010.

THOMAS, George B. Cálculo de una variable. Decimosegunda edición. México: Addison-

Wesley, 2010. ZILL G., Dennis, WRIGHT, Warren S. Cálculo: Trascendentes tempranas. Cuarta edición.

México: Mc Graw-Hill, 2011.