Problemas Resueltos sobreLímites y Continuidad

Calculators

Repaso de Problemas típicos3 2

3 2

1lim3 5 2x

x x xx x x→∞

+ + ++ + +

2

2

3 2lim2x

x xx→

− +−

21

( )( )→

2

0

senlim

senx

xx x

3 2 2lim 1 1x

x x→∞

+ − − 2 2lim 1 1x

x x x x→∞

+ + − − −4

→ + + − − +2 20

2lim2 1 3 1x

xx x x x

( )→0

sen 3lim

6x

xx

5 6

( )( )→0

sen senlimx

xx

7 8

9 10( )

( ) ( )→

+

+ + − − +2 20

2senlim

2sen 1 sen 1x

x x

x x x x

( )π

→ +

t g x

2

lim ex

Calculators

Repaso de Problemas( )=¿Dónde es t g continua?y x11

( )φφ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠2

1¿Dónde es continua f sen ?112

( ) ( ) −= ≠

−=

2

¿Qué ha de valer f 0 para que la función f , 0, 1

sea continua en 0?

x xx xx

x13

( ) ( )

( )

− − −= = − = =

+ −

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0 0

0

Determinar las discontinuidades evitables de las siguientes funcionesen los puntos indicados:

2 8 1a) f , 2, b) g , 12 1

1c) h sen , 0

x x xx x x xx x

t t tt

( ) = ∞Demostrar que la ecuación sen e tiene solutiones.xx

14

15

Calculators

Métodos para el cálculo de Límites

1 Casos de indenterminación: ∞∞

∞ − ∞ ∞ ∞∞

0 000 , , , ,0 , ,1 .

0

Si la función, de la que se está calculando el límite, estádefinida por una expresión algebraica que toma un valor finitoen el punto límite, ese valor es el límite buscado.

3

Si la función, de la que se está calculando el límite, no se puede evaluar en el punto límite (p.e. porque aparece unaindeterminación (1)), entonces re-escribir la función en forma que se pueda calcular el límite.

4

Aritmética del :∞2

( )∞= = ∞ ∞ × = −∞

∞0, , númber o negativ o .

número positivo a

Calculators

Simplificaciones y MétodosFactorizar ó simplificar:1 ( ) ( ) 2 2.a b a b a b+ − = −

Eliminar factores comunes en functiones racionales:2

( ) ( )2

1

1 111 2.

1 1 x

x xxx

x x →

− +−= = + ⎯⎯⎯⎯→

− −Si aparece una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por la expresión conjugada:

3

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 21 2

1 21 2 3

01 2 1 2 x

x x x xx x

x xx x

x x x x →∞

+ − + + + −+ − − =

+ + −+ − −

= = ⎯⎯⎯⎯→+ + − + + +

Usar el hecho:4( )

→=

0

senlim 1.x

x

x

Calculators

Continuidad de FuncionesSi las funciones son contínuas (p.e. definidas por expresioneselementales de polinomios, funciones racionales, trigonométricas, exponenciales o sus inversas) el límite se calcula sustituyendo el punto al que tiende la variable independiente.

1

Si la función f es continua en el punto x = a entonces:2

Si f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces hay un punto centre a y b tal que f(c) = 0.

4

( ) ( )limf f .x a

x a→

=

Ejemplos de funciones no continuas en x = 0:3

( ) ( ) ( )⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1f ,g sen ,h .

xx x x

x x x

Se utiliza parademostrar queuna ecuacióntiene solución.

Teorema del Valor Medio para Functiones Continuas

Calculators

Límites: factorizar y simplificar:2

2

3 2lim2x

x xx→

− +−

Problema 1

( )( )− −− += = −

− −

2 1 23 2Re-escribir 1.2 2

x xx x xx x

Solución

( )→ →

− += − =

−

2

2 2

3 2Por tanto lim lim 1 1.2x x

x x xx

Calculators

Límites elementales3 2

3 2

1lim3 5 2x

x x xx x x→∞

+ + ++ + +

Problema 2

Solución3 2 2 3

3 2

2 3

1 1 111 1.3 5 23 5 2 1x

x x x x x xx x x

x x x

→∞

+ + ++ + += ⎯⎯⎯→

+ + + + + +

Lo haremos más directo: sin más que considerar los términosde mayor grado, o más aún, igualando al cociente de los coeficientes principales.

→∞

+ + += =

+ + +

3 2

3 2

1 1lim 13 5 2 1x

x x xx x x

Problema 2

Calculators

Límites: expresión conjugada2 2lim 1 1

xx x

→∞+ − −Problema 3

Solución Re-escribimos

( )( )2 2 2 2

2 2

2 2

1 1 1 11 1

1 1

x x x xx x

x x

+ − − + + −+ − − =

+ + −

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 21 1 1 1 1 1

x x x x

x x x x x x

+ − − + − −= = =

+ + − + + − + + −

→∞ →∞+ − − = =

+ + −2 2

2 2

2Por tanto lim 1 1 lim 0.1 1x x

x xx x

Calculators

Límites2 2lim 1 1

xx x x x

→∞+ + − − −Problema 4

Solución Re-escribimos

( ) ( )2 2

2 2 2 2

1 1 2 21 1 1 1

x x x x xx x x x x x x x

+ + − − − += =

+ + + − − + + + − −

( )2 2

2 22 2

2 2

1 1

1 1 1 11 1

x x x x

x x x xx x x xx x x x

+ + − − − =

+ + + − −+ + − − −

+ + + − −

Ahora nosquedamos con los términos de mayor grado en x.

→∞⎯⎯⎯→ =+2 2

2 2 12x

xx x

Calculators

LímitesProblema 5

→ + + − − +2 20

2lim2 1 3 1x

xx x x x

Solución

( )( ) ( )

( )+ + + − + + + + − += =

++ + − − +

2 2 2 2

2 2 22 2

2 2 1 3 1 2 2 1 3 1

42 1 3 1

x x x x x x x x x x

x xx x x x

( )( )( )

=+ + − − +

+ + + − +

+ + − − + + + + − +

2 2

2 2

2 2 2 2

22 1 3 1

2 2 1 3 1

2 1 3 1 2 1 3 1

xx x x x

x x x x x

x x x x x x x x

( ) ( )→

+ + + − + + +⎯⎯⎯→ =

+

2 2

0

2 2 1 3 1 2 1 11

4 4x

x x x x

x

Re-escribimos

Menor grado en x.

Calculators

Límites( )

→0

sen 3lim

6x

xx

Problema 6

Solución

( ) ( )=

sen 3 sen 31Re-escribimos 6 2 3

x xx x

( )α

αα→

=0

senUsamos que lim 1.

( ) ( )→ →

= =0 0

sen 3 sen 3 1Como lim 1, se concluye que lim .3 6 2x x

x xx x

Calculators

Límites( )( )

→0

sen senlimx

xx

Problema 7

Solución Re-escribimos:

( )

( )( )( )

( )

α

αα

α→

→

=

=

=

0

0

sencomo lim 1. En lo anterior, se aplicó

primero al sustituir sen .

sen senPor tanto lim 1.

senx

x

xx

( )( ) ( )( )( )

( )→= ⎯⎯⎯→0

sen sen sen sen sen1

sen x

x x xx x x

Calculators

Límites( )( )→

2

0

senlim

senx

xx xProblema 8

Solución Re-escribimos:

( )( )

( )( ) →= ⎯⎯⎯→

2 2

02

sen sen1

sen sen x

x x xx x x x

Calculators

LímitesProblema 9 ( )

( ) ( )→

+

+ + − − +2 20

2senlim

2sen 1 sen 1x

x x

x x x xSolución

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

+=

+ + − − +

+ + + + − +

+ + − − + + + + − +

2 2

2 2

2 2 2 2

2sen

2sen 1 sen 1

2sen 2sen 1 sen 1

2sen 1 sen 1 2sen 1 sen 1

x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

Re-escribimos

( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

+ + + + − +=

+ + − − +

+ + + + − +=

− + +

2 2

2 2

2 2

2 2

2sen 2sen 1 sen 1

2sen 1 sen 1

2sen 2sen 1 sen 1

sen 2sen

x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

Calculators

LímitesProblema 9

( )( ) ( )→

+

+ + − − +2 20

2senlim

2sen 1 sen 1x

x x

x x x xSolución(cont.)

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

+

+ + − − +

+ + + + − +=

− + +

2 2

2 2

2 2

2sen

2sen 1 sen 1

2sen 2sen 1 sen 1

sen 2sen

x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

(

Re-escribimos

) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

⎛ ⎞+ + + + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠=− + +

2 2sen1 2 2sen 1 sen 1

sen sensen 2 1

xx x x x

xx x

x xx x

→

×⎯⎯⎯→ =

+03 2 2.2 1x

Se ha usado que sen(x)/x se acerca a 1 cuando x → 0.

Dividimos por x.

Calculators

Límites Laterales( )

π→ +

t g x

2

lim ex

Problema 10

Solución

( ) ( )

( )

π

π

π π→ +

→ +

< < < = −∞

=2

t g

2

Para , t g 0 and lim t g .2

Por tanto lim e 0.

x

x

x

x x x

Calculators

Continuidad( )=¿Dónde es continua la función t g ?y xProblema 11

Solución

( ) ( )( ) ( )

( ) π π

= = ≠

= ≠ + ∈

sent g es continua siempre que cos 0.

cos

Por tanto t g es continua para , .2

xy x x

x

y x x n n

Calculators

Continuidad( )φ

φ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠2

1¿Dónde es continua la función f sen ?1Problema 12

( )φφ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠2

1La función f sen es continua en todos los puntos 1

donde toma valores finitos.

Solución

φφ φ

⎛ ⎞= ± ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2 2

1 1Si 1, no es finito, y sen no está definido.1 1

φφ φ

⎛ ⎞≠ ± ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2 2

1 1Si 1, es finito, y sen está definido y es finito.1 1

φφ⎛ ⎞

≠ ±⎜ ⎟−⎝ ⎠2

1Por tanto sen es continua para 1.1

Calculators

Continuidad( )

( ) −= ≠ =

−

2

Determinar f 0 para que la función

f , 0, sea continua en 0.1

x xx x xx

Problema 13

Solución

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )→ →

→ → →

= =

−−= = = =

− −

0

0

0 0

2

0 0 0

La condición de continuidad de una función f en un punto es:lim f f . Por tanto f 0 debe cumplir f 0 lim f .

1Es decir f 0 lim lim lim 0.

1 1

x x x

x x x

xx x x

x xx x xx x

Calculators

Continuidad( )

( )

0

0

Un número en el que una función f está indefinida or es infinito se llama una de la función f . La singularidad es

, si f se puede definir de tal msingulari

anera quedad

e l

via

t

ablfu ón

enci

x x

x= 0f se convierte en continua en .x x

Problema 14

( )

( )

( )

− −= = −

+−

= =−

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0

0

0

¿Qué funciones de las siguientes tienen singularidades evitables en los puntos indicados?

2 8a) f , 22

1b) g , 11

1c) h sen , 0

x xx xx

xx xx

t t tt

solución

Evitable

No evitable

No evitable

Calculators

ContinuidadProblema 15 ( ) =Demostrar que la ecuación sen e tiene

inifinitas soluciones.

xx

( )π π⎛ ⎞< < < + = − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

Nótese que 0 e 1 para 0, y que sen 1 , .2

nx x n n

( )

( )

π π

π π

< = +

> = +

Por tanto f 0 para si is un número impar negativo 2

y f 0 para si es un número par negativo.2

x x n n

x x n n

Solución ( ) ( ) ( )= ⇔ = − = sen e f sen e 0.x xx x x

Por el Teorema de valor medio, una función continua tomacualquier valor entre dos de sus valores. Basta demostrar que la función f cambia de signo infinitas veces.

( )π ππ π⎛ ⎞+ + + ∈ <⎜ ⎟⎝ ⎠

Por tanto en cada intervalo de la forma 2 , 2 1 , and 0, 2 2

hay una solución de la ecuación original. En consecuencia hay infinitas soluciones.

n n n n