TERMODINÁMICA APLICADAANÁLISIS ENERGÉTICO DE VOLÚMENES DE CONTROL

Ing. Alex W. Pilco Nuñez

Introducción

Ilustración de la superficie de control de un volumen de control

Superficie de control

Tubería

Volumen de control (VC)

Esquema general de un volumen de control con una entrada y una salida

Volumende control

VC

Entrada de masa

Salidade masa

Q

W

Principio de conservación de la masa para un volumen de control

Principio de conservación de la masaSimbólicamente la ecuación de conservación de la masa obalance másico se escribe de la forma

∑∑••

−=s

se

evc mm

dtdm

salidadeestadosentradadeestadoe

másicoflujom

:::

•

Volumen de control que ilustra el principio de conservación de la masa dado por la ecuación anterior

dtdmcontrolde

Volumen

vc

•

1m

•

4m•

2m

•

3m

Hipótesis importantes para definir modelos

Un sistema se dice que está en régimen estacionario si las propiedades del sistema son constantes con el tiempo en cualquier posición dentro de y sobre las fronteras del sistema.

El flujo se denomina flujo unidimensional si las propiedades en la frontera permeable son uniformes en la sección transversal

. . . ContinuaciónSi y V son constantes con el tiempo y si el flujo transversal a unasuperficie de control se supone que es unidimensional y normal a lasuperficie de control, se tiene

ρ

υρρ AvvAVm ===

••

kgmespecíficovolumensmvelocidadv

máreaAmkgdensidad

smovolumétricflujoV

skgmásicoflujom

/,:/,:

,:/,:

/,:

/,:

3

2

3

3

υ

ρ

•

•

Aplicaciones típicas de la ecuación de conservación de la masa

∑∑••

−=s

se

evc mm

dtdm

Caso I: Aplicación de la hipótesis de régimen estacionario.Si un sistema funciona en régimen estacionario, entoncesla masa dentro del sistema es constante

∑∑

∑∑••

••

=

−=

ss

ee

ss

ee

mm

mm0

. . . Continuación

Caso II: Aplicación de la hipótesis de flujo unidimensional.Cuando los flujos son unidimensionales, entonces la densidad(o volumen específico) y la velocidad son uniformes en cadasección transversal

∑∑

∑∑∑∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=−=••

s se e

vc

ss

ee

ss

ee

vc

vAvAdt

dm

vAvAmmdt

dm

ρρ

ρρ )()(

. . . Continuación

Caso III: Aplicación de las hipótesis de régimen estacionario yflujo unidimensional. Bajo estas dos hipótesis

∑∑∑∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

s se ess

ee

vAvAvAvAρρ

ρρ )()(

Nota: Esta forma de la ecuación de conservación de la masasuele denominarse ecuación de continuidad de flujo o simplemente ecuación de continuidad para flujo en régimenestacionario.

Ejemplo: En una manguera de goma de 1.50 cm de diámetro entran 10 L/min de agua líquida a 20°C y 1.5 bar. Calcúlese (a) la velocidad de entrada del fluido en m/s, y (b) el flujo másico en kg/min.Solución:

Datos. Ver figura.Incógnitas. (a) la velocidad de entrada en m/s, y (b) en kg/min. Modelo. Flujo unidimensional.Metodología. La velocidad se calcula mediante el flujo volumétrico y el área. El flujo másico se calcula a partir del flujo volumétrico y del volumen específico en el estado dado.Análisis.

. . . Continuación

min/105.1

20

LbarC°

cm50.1

líquidaAgua

(a) Cálculo de la velocidad

( )

smv

scms

xLcmx

cmL

cm

LAVv

/942.0

/2.9460min1

110

77.1min/10

5.14

min/10 33

22

=

====•

π

. . . Continuación

(b) Cálculo del flujo másico. Puesto que la presión real es 1.5 bar, es agua es un líquido ligeramente comprimido. El volumen específico del fluido puede aproximarse mediante el valor del líquido saturado a la temperatura dada. En la Tabla A.12 del libro de Wark se encuentra que vale 1.002x10-3

m3/kg.

min/98.9101

/10002.1min/10

3

3

33 kgL

mxkgmx

LVm === −

••

υ

Comentario. Si el fluido se considera incompresible, la velocidad y el flujo volumétrico permanecen constantes mientras lo sea el área. Nota: Los valores comunes de velocidades en aplicaciones de flujo de líquidos por conductos están comprendidos entre 0.2 y 3 m/s (1 y 10 ft/s).

¿Qué hechos físicos podrían limitar el intervalo de velocidades en un equipo comercial?

Ejemplo: En un conducto convergente entra en régimen estacionario refrigerante 134a a 8 bar y 50 °C a través de un conducto de 1.50 cm de diámetro interno a una velocidad de 4.53 m/s. Sale del dispositivo a través de un conducto de 0.35 cm2 de área a 6 bar y 60 °C. Determínese (a) el flujo másico en kg/min, y (b) la velocidad de salida en m/s.Solución:

Datos. Ver figura.Incógnitas. (a) flujo másico, en kg/min, y (b) velocidad de salida, en m/s. Modelo. Régimen estacionario y flujo unidimensional.Metodología. Aplicar la ecuación de conservación de la masa.Análisis.

. . . Continuación

cmDsmv

CTbarP

50.1/53.4

508

1

1

1

1

==

°==

aR134

2

1

smACT

barP

/53.4606

2

2

2

=°=

=

. . . Continuación

Para este sistema la ecuación de conservación de la masa ••

−= 21 mmdt

dm vc

Régimen estacionario (no se acumula masa dentro del volumen de control y los flujos másicos son independientes del tiempo.

Flujo unidimensional y la superficie de control es normal a la dirección del flujo a través de la frontera.

0/ =dtdm vc

υ/Avm =•

••

=== 22

22

1

111 mvAvAm

υυFinalmente, la ecuación queda

. . . Continuación

(a) Cálculo del flujo másico.A partir de la Tabla A.18 del libro de Wark, se encuentra quea 8 bar y 50 °C el volumen específico es 0.02846 m3/kg

24222

11 1077.177.1

4)5.1(

4mxcmcmDA −====

ππ

min/69.1/0282.0/02846.0

)/53.4()1077.1(3

24

1

111 kgskg

kgmsmmxvAm ====

−•

υ

•••

== mmm 21

. . . Continuación

(b) Cálculo de la velocidad de salida.A partir de la Tabla A.18 del libro de Wark, se encuentra quea 6 bar y 60 °C el volumen específico es 0.04134 m3/kg

smmcmx

cmkgmskg

Am

v /3.331

1035.0

)/04134.0()/0282.0(2

24

2

3

2

222 ===

•

υ

Comentario. En corrientes de gases en procesos comerciales es bastante común encontrar velocidades entre 4 y 40 m/s (10 y 100 ft/s).

Principio de conservación de la energía para un volumen de control

Principio de conservación de la energía

Simbólicamente la ecuación de conservación de la energíase escribe de la forma

sseevcvcvc ememWQ

dtdE ••••

−++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

controldevolumendelmasalaconsaleque

energíadetotalFlujo

controldevolumenelenmasalaconentraque

energíadetotalFlujo

trabajoycalorcomofronteralaatraviesaque

energíadenetoFlujo

controldevolumendeldentrotiempoalrespecto

energíaladeVariación

. . . ContinuaciónSi la ecuación anterior se limita a sustancias simples compresibles, entonces

gzvue ++=2

2

Utilizando esta relación se llega a

s

s

e

evcvcvc gzvumgzvumWQ

dtdE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

••••

22

22

Esta es la ecuación general en forma de variación temporal para un volumen de control con una entrada y una salida yflujo unidimensional.

Interacciones trabajo para un volumen de control

ejeW

elecW

PdVW

masadeEntrada

masadeSalida

permeableeimpermeablvc WWW•••

+=

Ilustración del trabajo de flujo en una superficie de control

PA m v

controldeSuperficie

Cuando la masa entra o sale del VC se necesita un trabajo que empuje el fluido hacia dentro o hacia fueradel sistema. Este término de trabajo en la frontera permeable se denomina trabajo de flujo.

El trabajo de flujo por unidad de tiempo , la potencia de flujo, en elVC, en cualquier frontera abierta a la transferencia de masa es

flujoW•

)( υPmPAvWW permeableflujo

•••

===

. . . Continuación

sseeeimpermeabl

permeableeimpermeablvc

PmPmW

WWW

)()( υυ•••

•••

−+=

==

Para deducir las expresiones anteriores se ha supuesto flujounidimensional.

En el balance energético, para cada parte de la superficie de control en la que entre o salga masa debe existir una expresión de este tipo.

El término de la ecuación de la energía para un VC conuna entrada y una salida puede escribirse como

vcW•

La ecuación de la energía para un volumen de control

s

s

e

evcvcvc gzvumgzvumWQ

dtdE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

••••

22

22

s

s

e

eeimpermeablvcvc gzvPumgzvPumWQ

dtdE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++=

••••

22

22

υυ

s

s

e

eeimpermeablvcvc gzvhmgzvhmWQ

dtdE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

••••

22

22

La ecuación que representa el principio general de conservación de la energía para un volumen de control con múltiples entradas y salidas y flujo unidimensional

∑∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

••••

s s

se e

evc gzvhmgzvhmWQ

dtdE

22

22

Ecuaciones de la energía para un volumen de controlen régimen estacionarioEl punto de partida para la aplicación de las ecuaciones de la masa y de la energía será el uso de las ecuaciones

∑∑••

−=s

se

evc mm

dtdm

∑∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

••••

s s

se e

evc gzvhmgzvhmWQ

dtdE

22

22

Estas ecuaciones son válidas sólo para sistemas con flujo unidimensional.

. . . ContinuaciónMuchos sistemas de flujo prácticos funcionan en régimen estacionario. Utilizando como base la definición de régimen estacionario, la masa total y la energía total de un volumen de control en régimen estacionario permanecen constante con el tiempo. Esto requiere que

0/0/ == dtdEdtdm vcvc

Como resultado, las ecuaciones anteriores se reducen en régimen estacionario a las siguientes expresiones

∑∑••

−=s

se

e mm0

∑∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

••••

s s

se e

e gzvhmgzvhmWQ22

022

Volumen de control con una entrada y una salida y transferencias de calor y trabajo

Existen numerosas aplicaciones del principio de conservación de la energía en régimen estacionario en las que sólo hay una entrada (posición 1) y una salida (posición 2)

VC•

Q

•

W)1(

)2(

controldeSuperficie

. . . ContinuaciónEn estas condiciones, las ecuaciones anteriores se reducen a

210••

−= mm

2

2

2

1

2

122

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

••••

gzvhmgzvhmWQ

En condiciones estacionarias con una entrada y una salida, la ecuación de conservación de la masa establece que

•••

== mmm 21

Puesto que los flujos másicos son iguales, a veces suele ser conveniente simplifcar la ecuación de conservación de la energía y reagrupar para obtener

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−+−=+

•••

)(2

)( 12

21

22

12 zzgvvhhmWQ

Ecuación de la energía por unidad de masa, en volumenes de control con una entrada y una salida y transferencias de calor y trabajoPor definición

wmWqmQ••••

≡≡

)(2

)( 12

21

22

12 zzgvvhhwq −+−

+−=+

donde 1 y 2 representa de nuevo los estados de entrada y salida.

Además de la hipótesis de régimen estacionario, existen otros dos modelos que pueden aplicarse al balance energético:• Adiabaticidad• Despreciar las variaciones de energía cinética y energía potencial.

2

2vec =Energía cinética traslacional

En muchas aplicaciones de ingeniería, los valores de los términos energéticos valen por lo menos 2 kJ/kg y más frecuentemente para una corriente de gases están en el intervalo de 20 a 200 kJ/kg.

Tabla. Comparación de valores de , para un valor constante de v∆ce∆

15 75 60 1.015 150 135 2.115 250 235 3.650 75 25 2.550 175 125 7.550 250 200 11.3

smv /,2smv /,∆ kgkJec /,∆smv /,1

Energía potencial gravitatoria zgep =

Para una variación de energía potencial de 1 kJ/kg, la variación de altura necesaria es

mN

smkgxkJ

mNxsm

kgkJge

z p 1021

/.11

.1000/8.9

/1 2

2 ==∆

=∆

Puesto que las corrientes de gases en muchos procesos industriales raramente experimentan cambios de altura de esta magnitud, la energía potencial gravitatoria suele ser despreciable. Sin embargo, hay que tener cuidado a la hora de despreciar este término cuando se bombean líquidos variando moderadamente su altura. Aunque puede ser pequeña, en la circulación de líquidos los demás términos energéticos pueden ser igualmente pequeños.

pe∆

Aplicaciones de ingeniería en las que aparecen volúmenes de control en régimen estacionario

ToberaUn dispositivo que incrementa la velocidad (y, por tanto, la energía cinética) de un fluido a expensas de una caída de presión en la dirección de la corriente se denomina tobera.Habitualmente se utilizan toberas como accesorio de las mangueras de jardín o de incendios.

Volumen de control

Tobera para corriente subsónica

DifusorEs un dispositivo para aumentar la presión de una corriente a expensas de una disminución de velocidad.

Difusor para corriente subsónica

Volumen de control

El diseño y las condiciones de funcionamiento de las toberas y difusores

1. No hay trabajo en eje, puesto que ambos dispositivos son meramente conductos.

2. La variación de energía potencial es despreciable, ya que el fluido experimenta una variación de altura pequeña o nula.

3. En muchos casos el calor por unidad de masa puede ser pequeño comparado con la variación de energía cinética y entalpía. En algunos puede aislarse el conducto. Incluso sin aislante, la velocidad del fluido puede ser tan alta que no hay tiempo suficiente para que el calor transferido sea significativo. También el área de la superficie del conducto suele ser relativamente pequeña para una transferencia de calor efectiva. Así, en muchas aplicaciones, la hipótesis de proceso adiabático es una buena aproximación para toberas y difusores.

Ejemplo: En un difusor subsónico entra vapor de agua a una presión de 0.7 bar, una temperatura de 160 °C y una velocidad de 180 m/s. La entrada al difusor tiene 100 cm2. Durante su paso por el difusor la velocidad del fluido se reduce hasta 60 m/s, la presión aumenta hasta 1 bar y el calor transferido al ambiente es de 0.6 kJ/kg. Determínese (a) la temperatura final en °C, (b) el flujo másico en kg/s, y (c) el área de salida en cm2.Solución:

Datos. Ver figura.Incógnitas. (a) temperatura final °C (b) flujo másico, en kg/s, y (c) el área de salida en m2. Modelo. Régimen estacionario, flujo subsónico; no hay trabajo en eje y variación de energía potencial nula.Metodología. Utilizar el balance energético, másico y ecuación de continuidad.

Análisis

21

1

1

1

100

/180160

7.0

cmA

smvCT

barP

=

=°=

=

smvbarP

/601

2

2

==

)2(

)1(

aguadeVapor1

•

m 2

•

m

kgkJqs /6.0=

. . . Continuación

(a) Un balance energético

∑∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

••••

s s

se e

evc gzvhmgzvhmWQ

dtdE

22

22

De acuero a las hipótesis, para una entrada y una salida

•••

== mmm 21

2

2

2

1

2

122

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

••• vhmvhmQ

En la ecuación de conservación de masa

2

21

22

12vvhhq −

+−=

De tabla A.14 para vapor sobrecalentado a 0.7 bar y 160 °C,h1 =2798.2 kJ/kg. Al sustituir estos valores se obtiene

. . . Continuación

kgkJh

kgkJkgkJhkgkJ

/0.2812

/)1000(2

18060/)2.2798(/6.0

2

22

2

=

−+−=−

El conocimiento de P2 y h2 determina el valor de todas lasdemás propiedades, tales como la temperatura T2. De losdatos a 1 bar de la Tabla A.14, el valor calculado de h2mediante interpolación lineal corresponde a una temperaturade 168 °C.(b) El flujo másico se obtiene de la ecuación de continuidad. En la Tabla A.14 de vapor sobrecalentado el valor delvolumen específico a 0.7 bar y 160 °C es 2.841 m3/kg

skgkgm

smmxvAm /634.0/841.2

)/180()10100(3

24

1

111 ===

−•

υ

. . . Continuación

(c) El área de salida se calcula con la ecuación decontinuidad. En la Tabla A.14 de vapor sobrecalentado,interpolando se obtiene que el valor del volumen específico a1 bar y 168 °C es 2.022 m3/kg.

22

22

1112 214

841.2022.2

60180100 cmxxcm

vv

AA ===υυ

El área final puede hallarse también mediante la ecuación decontinuidad en la forma

222 / vmA υ•

=