análisis de la fisuración y comportamiento postfisura en...

Mecánica de los Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería del Terreno Escuela Técnica Superior de Ingenieros

ANÁLISIS DE LA FISURACIÓN Y COMPORTAMIENTO POSTFISURA EN HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO MEDIANTE LA TEORÍA MODIFICADA DEL CAMPO DE COMPRESIONES

José Luis Valencia Liñán

Tutor: D. Fernando Medina Encina

Dr Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

E.T.S.I. Universidad de Sevilla

Julio de 2013

Gracias,

a mis padres por apoyarme,

a Antonio por animarme,

a Fernando por ENSEÑARME,

a Vanesa por ayudarme (y Jose y Mª Ángeles),

y a mis hijos por entenderme.

Y a todos, por estar cuando ha hecho falta…

NOTACIONES DE REFERENCIAS La notación entre paréntesis indica referencias bibliográficas. p. ej. (3.2) es la segunda referencia bibliográfica del capítulo 3.

ÍNDICE

ÍNDICE

7

OBJETO DEL PROYECTO ...................................................................... 11

PRESENTACIÓN ....................................................................................................... 13

1.- INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN PRETENSADO ......................................................................................... 15

1.1.- INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 17

1.1.1.- ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL HORMIGÓN PRETENSADO ............. 20

1.2.- TIPOS DE PRETENSADO .............................................................................. 22

1.3.- MATERIALES PARA PROYECTOS ......................... ...................................... 22

1.3.1.- HORMIGÓN PARA PRETENSADO ............................................................... 23

1.3.2.- ACERO DE ARMADURAS PASIVAS ............................................................. 34

1.3.3.- ACERO EMPLEADO EN ARMADURAS ACTIVAS ........................................ 35

1.4.- SISTEMAS DE REALIZACIÓN DEL PRETENSADO ............ ......................... 37

1.4.1.- SISTEMAS DE PRETESADO ........................................................................ 37

1.4.2.- SISTEMAS DE POSTESADO ........................................................................ 39

1.5.- SISTEMAS DE ANCLAJE EN LAS ARMADURAS ACTIVAS ...... .................. 39

1.6.- PÉRDIDAS PARCIALES DE PRETENSADO .................. ............................... 40

1.6.1.- PÉRDIDAS INSTANTÁNEAS DE PRETENSADO ......................................... 40

1.6.2.- PÉRDIDAS DIFERIDAS DE PRETENSADO .................................................. 43

1.6.3.- CONSIDERACIONES PARA ELEMENTOS PRETESADOS .......................... 46

1.7.- BIBLIOGRAFÍA ...................................... ......................................................... 47

2.- ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DEL HORMIGÓN PRETENSADO ......................................................................................... 49

2.1.- CÁLCULO EN PREFISURACIÓN Y CÁLCULO EN ROTURA ...... ................. 51

2.2.- ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGA AXIAL ................. .............................. 51

2.2.3.- RESPUESTA DE UN ELEMENTO ................................................................. 52

2.2.4.- PRETENSADO DE UN ELEMENTO SOMETIDO A TRACCIÓN SIMPLE...... 52

2.2.5.- INFLUENCIA DEL PRETENSADO EN LA RESPUESTA ............................... 53

2.3.- ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN ..................... ................................... 54

2.3.3.- RESPUESTA DEL ELEMENTO ..................................................................... 55

2.3.4.- PRETENSADO DE UN ELEMENTO SOMETIDO A FLEXIÓN ....................... 55

2.4.- ELEMENTOS SOMETIDOS A CORTANTE .................... ................................ 61

2.4.1.- MODELOS DE CÁLCULO DE LA RESISTENCIA A CORTANTE .................. 64

2.4.1.1. MODELOS PARA VIGAS SIN ARMADURA DE CORTANTE ........................ 64

2.4.1.2. MODELO DE LAS BIELAS DE COMPRESIÓN A 45º .................................... 69

2.4.1.3. MODELO DE LAS BIELAS DE COMPRESIÓN CON INCLINACIÓN VARIABLE ....................................................................................................................... 72

2.4.1.4. TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES ................................................ 73

2.4.1.5. TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES MODIFICADA ......................... 75

2.4.1.6. MODELO DEL CAMPO DE TENSIONES DISPERSAS ................................. 82

ÍNDICE

8

2.4.1.7. TEORÍA UNIFICADA DEL CAMPO DE COMPRESIONES ............................ 85

2.5.- ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN ..................... .................................. 86

2.5.1.- COMPORTAMIENTO A TORSIÓN ANTES DE LA FISURACIÓN.................. 86

2.5.2.- COMPORTAMIENTO A TORSIÓN TRAS LA FISURACIÓN .......................... 87

2.5.3.- TORSOR Y CORTANTE COMBINADOS ....................................................... 90

2.5.4.- MODELO DE LA CELOSÍA DE ÁNGULO VARIABLE PARA TORSIÓN, FLEXIÓN Y CORTANTE COMBINADOS .......................................................................... 90

2.6.- BIBLIOGRAFÍA ...................................... ......................................................... 91

3.- APLICACIONES DEL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN PRETENSADO .................................................................... 93

3.1.- CÁLCULO DE RESISTENCIA DE ELEMENTO SOMETIDO A CARGA AXIAL SIMPLE ...................................................................................................................... 95

3.2.- CÁLCULO DE UNA PASARELA DE HORMIGÓN PRETENSADO .... ........... 97

4.- IMPLEMENTACIÓN DE LA TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES MODIFICADA ........................................................... 103

4.1.- INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 105

4.2.- MEMBRANE 2000 ..................................... .................................................... 105

4.2.1.- DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DEL SOFTWARE UTILIZADO ........................ 105

4.2.2.- ANÁLISIS DE ELEMENTOS TIPO MEMBRANA .......................................... 119

4.2.2.1. ANÁLISIS DE UNA PLACA DE HORMIGÓN ARMADO ............................... 119

4.2.2.1.1. CARACTERÍSTICAS DE LOS MATERIALES .............................................. 120

4.2.2.1.2. ELEMENTOS OBJETO DE ESTUDIO ......................................................... 121

4.2.2.1.3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO .................................................................. 123

4.2.2.1.4. ESTUDIO CON ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE LAS ARMADURAS NULO124

4.2.2.1.5. ESTUDIO CON ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE LAS ARMADURAS DE 15º .... ..................................................................................................................... 136






4.2.2.1.11. RESUMEN Y CONCLUSIONES .................................................................. 193

4.2.2.2. ANÁLISIS DE UNA PLACA DE HORMIGÓN PRETENSADO ...................... 201

4.2.2.2.1. ECUACIONES DE EQUILIBRIO .................................................................. 201

4.2.2.2.2. IMPLEMENTACIÓN DEL PRETENSADO .................................................... 202

4.2.2.2.3. ELEMENTOS OBJETO DE ESTUDIO ......................................................... 204

4.2.2.2.4. ESTUDIO DE ELEMENTOS PRETENSADOS CON ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE LAS ARMADURAS DE 0º .................................................................. 205

ÍNDICE

9

4.2.2.2.5. ESTUDIO DE ELEMENTOS PRETENSADOS CON ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE LAS ARMADURAS DE 15º ................................................................ 211






4.2.2.2.11. RESUMEN Y CONCLUSIONES .................................................................. 265

4.3.- RESPONSE 2000 .......................................................................................... 269

4.3.1.- DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DEL SOFTWARE UTILIZADO ........................ 269

4.3.2.- ANÁLISIS DE VIGAS ................................................................................... 276

4.3.2.1. ANÁLISIS DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRETENSADO AL 25 % DE SU CAPACIDAD ................................................................................................................... 278

4.3.2.1.1. RESPUESTA A NIVEL SECCIONAL ........................................................... 278

4.3.2.1.2. RESPUESTA A NIVEL ESTRUCTURAL CONSIDERANDO LA COMBINACIÓN DE ESFUERZOS FLECTOR Y CORTANTE ......................................... 284

4.3.2.2. ANÁLISIS DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRETENSADO AL 50 % DE SU CAPACIDAD ................................................................................................................... 287

4.3.2.3. ANÁLISIS DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRETENSADO A 15 MPa ......... 288



4.3.2.4. ANÁLISIS DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRETENSADO A 12 MPa ......... 295



4.3.2.5. ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS SEGÚN EL GRADO DE PRETENSADO................................................................................................................ 302

4.3.2.5.1. RESULTADOS PARA SECCIONES SOMETIDAS ÚNICAMENTE A FLEXIÓN . ..................................................................................................................... 303

4.3.2.5.2. RESULTADOS PARA SECCIONES SOMETIDAS A FLEXIÓN Y CORTANTE COMBINADOS. ............................................................................................................... 303

4.3.2.5.3. RESULTADOS A NIVEL ESTRUCTURAL. .................................................. 305

4.4.- BIBLIOGRAFÍA ...................................... ....................................................... 306

5.- CONCLUSIONES .......................................................................... 307

OBJETO DEL PROYECTO

PRESENTACIÓN

13

PRESENTACIÓN Este proyecto se realiza como trabajo final de la carrera de Ingeniería Industrial. Ha sido realizado en el Departamento de Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería del Terreno y tutelado por D. Fernando Medina Encina. El contenido del proyecto profundiza en el estudio del hormigón pretensado, como continuación de las asignaturas Estructuras de Hormigón Armado y Tipología y Proyectos de Estructuras. Está estructurado en capítulos según el tema tratado. En el primero , se realiza un breve estudio del hormigón pretensado , desde su aparición y evolución hasta los tipos de pérdidas que se producen en este tipo de hormigón. En el segundo capítulo , se lleva a cabo un completo estudio del comportamiento teórico del hormigón pretensado , en elementos sometidos a distintas cargas: axial, flexión, cortante, torsión y combinaciones de ellas. Se revisan las teorías más recientes. En el tercer capítulo se realizan aplicaciones prácticas a partir del estudio del comportamiento realizado en los capítulos anteriores, calculando tipologías concretas con distintas solicitaciones. En el cuarto capítulo , se han realizado simulaciones de diferentes elementos y secciones de vigas, en diferentes estados tensionales, estudiando fundamentalmente su comportamiento en fisuración y la influencia en esta de la disposición de las armaduras en el marco de la Teoría del Campo de Compresiones Modificada. Se introducen las aplicaciones a utilizar, implementadas por Evan C. Bentz (Response-2000, Membrane-2000,), para su Tesis “Sectional Analysis of Reinforced Concrete Members” (Universidad de Toronto, 2000). Finalmente, en el último capítulo se recopilan las conclusiones más relevantes obtenidas durante el desarrollo del presente trabajo.

1.- INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN PRETENSADO

INTRODUCCIÓN

17

1.1.- INTRODUCCIÓN Uno de los principales fines que se persiguen al diseñar cualquier elemento es la atemporalidad del mismo, especialmente en el caso de la edificación, ya sea civil, o industrial. Al parecer, ya a los antiguos faraones egipcios les inquietaba la trascendencia del tiempo, por lo que quisieron ser enterrados en edificios que perdurasen. El posterior estudio para optimizar los recursos disponibles llevó al análisis de las estructuras para conseguir un equilibrio con el entorno, con la perdurabilidad y con la seguridad. Se estudiaron los materiales, las composiciones estructurales, las resistencias,… Se analizaron materiales hasta conseguir que su obtención fuese rentable (hierro) o hasta que se fue capaz de conseguir crear una piedra artificial: El hormigón.

Sin embargo, a pesar de los numerosos avances en el conocimiento del hormigón, tanto a nivel de cualidades estructurales como de resistencia, que se han llevado a cabo a lo largo de los siglos XX y XXI, el uso del hormigón para construir estructuras no es un descubrimiento reciente. Ya los antiguos Etruscos, en el s. VII a.c., utilizaban morteros de cal y puzolanas. El conocimiento de la técnica de estos conglomerantes fue heredado por los romanos, que mejoraron la técnica hasta el punto de ser capaces de construir edificios tan singulares como el Panteón de Agripa. Aunque las

resistencia alcanzada no era escasa, no fue hasta el s. XVII cuando se empezaron a mezclar caliza y arcilla, con lo que apareció el cemento Portland que es el más utilizado en la actualidad y el que presenta las mejores cualidades resistentes. Las estructuras de hormigón constituyen elementos fundamentales de las obras de construcción en las que se integran, debido a su especial incidencia en la funcionalidad de las mismas. En consecuencia, tales estructuras han de proyectarse y ejecutarse de manera que, sin olvidar los conceptos de economicidad, se cumplan los requisitos esenciales que les afectan directamente y en particular los relativos a resistencia mecánica y estabilidad (1.1). El hormigón es un material que presenta una buena resistencia a la compresión, pero que ofrece muy escasa resistencia a la tracción (aproximadamente un 10 % de la resistencia a compresión). Por este motivo, el hormigón en masa resulta inadecuado para elementos estructurales sometidos principalmente a tracción y flexión, o para resistir solicitaciones

Panteón de Agripa. Fuente: commons.wikimedia.org

Puente en los Alpes. Fuente: www.construcloud.com

INTRODUCCIÓN

18

que generen algún tipo de tracción. Cuando el hormigón en masa se refuerza dotándolo de barras de acero en aquellas zonas en las que se prevean esfuerzos de tracción, el material resultante, hormigón armado , está en condiciones de resistir las distintas solicitaciones que se presentan en la construcción. Las barras de acero se embuten dentro del elemento de hormigón, existiendo adherencia entre ambos materiales, que es lo que permite la efectividad del hormigón armado. Así, las deformaciones del hormigón que circunda las barras de acero son iguales que las deformaciones del acero. Pero las ventajas de la unión de hormigón y acero no se limitan sólo a la capacidad de resistir tracciones que el acero aporta al hormigón. Entre otras mejoras podemos citar:

o El recubrimiento que el hormigón proporciona al acero lo protege contra la corrosión , al resultar de la hidratación de sus componentes un producto básico.

o La sección conjunta hormigón-acero funciona mejor frente al pandeo que los elementos de acero, que serían de una esbeltez peligrosa frente a solicitaciones de compresión.

o El hormigón soporta y protege al acero frente a las altas temperaturas en caso de incendio.

El hormigón pretensado es un tipo de hormigón armado en el cual algunas de las armaduras de refuerzo han sido tensadas contra el hormigón, de manera controlada, antes de entrar el elemento en uso. Como resultado de esta operación de tesado se genera un sistema autoequilibrado de tensiones internas (tracciones en las armaduras y compresiones en el hormigón) que mejora la respuesta del elemento de hormigón ante las solicitaciones externas (1.2). A las armaduras pretensadas (armaduras activas ) se les llama tendones . Estos tendones son de acero de alta resistencia, que podrán estar constituidos por alambres, cordones o barras.

(MPa)

ε

σ

6

4

2

0.001 0.002 0.003 0.00400 00 0.0040.0030.0020.001

2

6

σ

ε

(MPa) (MPa)

ε

6

2

0.001 0.002 0.003 0.0040 0

σ

viga de hormigón en masa viga de hormigón armado viga de hormigón pretensado

4 4

Figura 1 Comparación de resistencias a tracción (1.2).

Se puede ver en la figura (una comparación de resistencias a tracción suponiendo que se ha utilizado hormigón con una resistencia a la compresión de 35 MPa) que el hormigón en masa se fisura y rompe con muy pequeña deformación y tensión (aproximadamente 2 MPa). En cambio, si existe un armado, las fisuras son “cosidas” por las barras de acero, que absorben las tracciones. Si este “cosido” se realiza con armadura pasiva, por ejemplo con un 1.5 % de acero con una resistencia de 400 MPa, se observa en la figura como mejora el comportamiento a tracción, ya que, después de formadas las fisuras en el hormigón, el acero contribuye a la resistencia del elemento hasta su colapso. La idea fundamental del hormigón armado, pretensado o no, es la de colocar armaduras de acero en aquellos lugares de la estructura donde se prevea que puedan existir tensiones de tracción. Estas tensiones de tracción agrietan el hormigón, quedando “cosido” por las armaduras. Mediante el tensado inicial de las armaduras, se precomprime el hormigón que las rodea, otorgándole la capacidad de recibir mayores cargas antes de su fisuración (1.2).

INTRODUCCIÓN

19

En la siguiente figura se puede comparar la diferencia de comportamiento a flexión de dos vigas de hormigón armado, una de las cuales ha sido pretensada:

Condiciones en el centro de la vigaN

o pr

eten

sado

Pre

tens

ado

Deformación Tensión Resultante

Sin cargas externas

Justo antes de la fisuración

Justo antes del fallo

Sin cargas externas


Justo antes del fallo

h d

0.0035

d x/4

x

400 MPa

h/6

h/6

0.0001 2 MPa

0.01


10 MPa

1200 MPa

0.0035

0.0001M=PL /8

2

M=0; N=0

1800 MPa

x

d x/40.0001

1240 MPa

0.0035

2M=PL /8

Figura 2 Comparación de comportamientos (1.2).

Al comparar el comportamiento de la viga armada con el de la viga pretensada, se puede ver que en el elemento sin pretensar no existen tensiones ni deformaciones previas a la aplicación de cargas. Esta viga simplemente armada, se fisura bajo cargas relativamente pequeñas. Una vez que las fisuras se han formado, las tensiones de tracción aumentan sustancialmente y seguirán aumentando a medida que lo hacen las cargas externas aplicadas. En el estado final, la carga externa será soportada por elevadas tensiones de tracción en la armadura y de compresión en el hormigón. Analizando la viga pretensada, se puede ver que las operaciones de tesado previas a la carga del elemento dan lugar a un sistema autoequilibrado de tensiones. Este sistema consiste en tensiones muy elevadas de tracción en las armaduras de pretensado, de resultante P, y una distribución de tensiones de compresión en el hormigón también de resultante P. Al ser ambas resultantes de igual valor y de sentido contrario, y coincidir su baricentro, el pretensado no produce cargas axiales ni momentos. Debido a las altas tensiones de compresión existentes en el hormigón antes de la aplicación de las cargas externas, el elemento puede resistir cargas relativamente elevadas antes de que la viga

INTRODUCCIÓN

20

alcance su tensión de fisuración. De manera similar a como ocurre en el caso sin pretensar, en el estado final la carga externa es soportada por elevadas tensiones de tracción en las armaduras y altas tensiones de compresión en el hormigón. Las armaduras no pretensadas se deforman únicamente cuando el hormigón que las rodea se encuentra deformado. Así, solo se traccionan después de que el hormigón se fisure. Al ser la fisuración uno de los aspectos a controlar en el hormigón, por diversos motivos (corrosión de las armaduras, obtención de recipientes estancos,...), las tensiones en el acero quedan limitadas a valores muy pequeños, con lo que su capacidad resistente está infrautilizada. Las deformaciones en las armaduras pretensadas son mucho más elevadas que en el hormigón circundante, por lo que estas armaduras pueden tener altas tensiones de tracción incluso antes de que el hormigón se haya fisurado. Por estos motivos, se dice que las armaduras no pretensadas actúan de manera pasiva ante las deformaciones que le impone el hormigón. Sin embargo, mediante el pretensado

se pueden controlar de manera activa las tensiones en las armaduras y las deformaciones en la estructura (1.2).

Mediante el empleo del pretensado, se ha extendido la utilización del hormigón a cotas inalcanzables para el hormigón armado, alcanzándose luces de cientos de metros frente a las decenas de metros que proporcionaba el hormigón armado, con lo que se compite con otros materiales como acero y madera.

1.1.1.- ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL HORMIGÓN PRETENSADO La idea intuitiva del pretensado es inmediata, y el hombre ha recurrido desde siempre a su desarrollo. Como ejemplo, cabe citar la rueda de carro, donde la precompresión producida por la llanta metálica evita que los radios tengan que soportar tensiones de tracción. Otro ejemplo son los barriles de madera, donde los aros metálicos crean compresiones circunferenciales que hacen estanco el barril, quedando estos aros traccionados. Otros ejemplos serían la sella gallega, la sierra de carpintero, la rueda de bicicleta o el transporte de objetos aplicando una compresión (1.3). El origen del hormigón pretensado se remonta a 1886 (1872 según Edward Nawy), cuando P. H. Jackson, un ingeniero de California (EE.UU.), patentó un sistema que empleaba una barra de acero de atado para construir arcos y vigas a partir de bloques de hormigón individuales. En 1888, C. H. Doehring (Alemania) obtuvo una patente para el pretensado de losas con cables metálicos antes de su puesta en carga (1.5). En 1896, el ingeniero austriaco Mandl presenta la idea del pretensado como contrapunto a las tensiones producidas por las cargas externas. Estos primeros intentos de pretensado no resultaron del todo exitosos debido a las pérdidas de carga que con el tiempo experimentaban las armaduras activas. En 1907, el alemán M. Koenen profundizó en el tema de las pérdidas de pretensado por acortamiento elástico del hormigón (1.6). J. Lund (Noruega) intentó, a principio del siglo XX, resolver el problema de la pérdida de carga, pero sin éxito (1.4). En 1908, C. R. Steiner (EE.UU.) identifica el efecto de la retracción y la fluencia del hormigón como causa de las pérdidas de pretensado (1.5). Después de ser precomprimido, el hormigón continúa acortándose debido a la fluencia y retracción del

Stolmabrua, Noruega. Vano de 301 m. Fuente: commons.wikimedia.org

INTRODUCCIÓN

21

hormigón, lo que provoca un acortamiento total cercano al 1 por mil. Utilizando acero normal no es posible conseguir un estiramiento durante la operación de tesado superior al 1.5 por mil, con lo que aproximadamente dos terceras partes del pretensado se pierden debido a los efectos de retracción y fluencia del hormigón (1.2). Así, desarrolló la idea de sucesivos post-tensados de las armaduras activas como método para compensar las pérdidas que se producen con el tiempo debido al acortamiento de la longitud del elemento por retracción o fluencia. (1.5). En 1921 W. H. Hewett (EE.UU.) desarrolló las bases del pretensado circular. Este, tensó refuerzos horizontales en forma de aro alrededor de los muros de depósitos de hormigón, de manera que funcionasen a modo de cinturones que previniesen la fisuración debida a la presión interna realizada por el líquido, con lo que se conseguía una reducción de las fugas del líquido almacenado. Desde este momento, los avances en el pretensado de depósitos y tuberías se suceden rápidamente en los Estados Unidos, donde son construidos miles de tanques de almacenamiento de líquidos y gases y donde millares de kilómetros de tuberías pretensadas son instaladas a lo largo de las dos siguientes décadas. (1.4) Tras un largo período de tiempo de pequeños avances, marcado por las limitaciones impuestas por las pérdidas de carga, R. E. Dill (EE.UU.), en 1925, comienza a usar barras de acero de alta resistencia, recubiertas para evitar la adherencia al hormigón, que se tensaban después de que el hormigón hubiera endurecido y se anclaban mediante tuercas (1.5). El acero de alta resistencia, puede ser traccionado aproximadamente un 7 por mil, con lo que seis séptimos del pretensado permanecen (1.2). Este método no tuvo demasiado éxito, esencialmente debido a razones económicas (1.5). El desarrollo de las aplicaciones lineales del pretensado tiene lugar fundamentalmente en Europa. El ingeniero francés Eugene Freyssinet, propuso entre los años 1926-1928 sistemas para evitar las pérdidas de carga en las armaduras de alta resistencia. Además, propuso la utilización de hormigones de alta resistencia, posibles gracias a las nuevas técnicas de vibrado que el mismo contribuyó a desarrollar (1.6). En 1939, presenta el actualmente conocido y aceptado sistema Freyssinet de cuña para el anclaje de tendones formados por doce cables y los gatos de doble acción capaces de tensar y fijar estos cables (1.5). En este mismo año, se construye el primer puente de hormigón pretensado en Alemania, por el ingeniero alemán Dischinger, que previamente había patentado un sistema de hormigón pretensado que utilizaba tendones externos no adherentes por la posibilidad de sucesivos postensados (1.6). El sistema Freyssinet consistía en un postesado de los cables de acero una vez el hormigón se había endurecido. Aunque estudió también sistemas para cargar el acero antes de que el hormigón hubiera fraguado, fue un ingeniero alemán, E. Hoyer, quién desarrolló el pretesado de manera práctica en 1938 (1.2). Como consecuencia de la Segunda Guerra Mundial, surge la necesidad de reconstruir de manera acelerada los principales puentes destruidos. G. Magnel (Bélgica) e Y. Guyon (Francia) desarrollaron y aplicaron el concepto de pretensado en la construcción de numerosos puentes en Europa Central y Occidental. El sistema Magnel se basaba también en el uso de cuñas para el anclaje de las armaduras activas. Este sistema se diferenciaba del original de Freyssinet en su forma plana que acomodaba dos cables al mismo tiempo (1.4). P. W. Abeles (Inglaterra) introduce y desarrolla el concepto de pretensado parcial entre 1930-1960. F. Leonhardt (Alemania), V. Mikhailov (Rusia) y T. Y. Lin (EE.UU.) contribuyeron en gran medida a la evolución de la ciencia y la técnica del hormigón pretensado. El método de equilibrio de fuerzas propuesto por Lin merece una mención

INTRODUCCIÓN

22

especial por la simplificación que supuso en el proceso de diseño, especialmente de estructuras continuas (1.4). Todos estos avances conseguidos a lo largo del siglo veinte han hecho que el uso del pretensado se haya extendido a lo largo del mundo. Hoy en día el hormigón pretensado es utilizado en edificios, estructuras subterráneas, torres de televisión, estaciones de potencia, vasijas de reactores nucleares y numerosos tipos de puentes (1.4). El éxito y la gran variedad de las estructuras realizadas en hormigón pretensado se debe en gran medida a los avances que a lo largo del tiempo se vienen produciendo en la tecnología de los materiales, en especial en el acero empleado para la fabricación de las armaduras activas, así como los conocimientos que se tienen para la estimación de las pérdidas de pretensado, tanto instantáneas como diferidas (1.3).

1.2.- TIPOS DE PRETENSADO Existen varias clasificaciones posibles. Según la Instrucción de Hormigón Estructural, EHE, la primera clasificación viene dada por la situación del tendón pretensado respecto de la sección transversal (artículo 20 ). Así, se tendrá:

o Situación interior : el tendón se encuentra alojado dentro del hormigón. o Situación exterior : el tendón se encuentra alojado dentro del canto de la

sección transversal, pero fuera del hormigón de la misma. De acuerdo con la técnica utilizada para realizar el hormigón pretensado, se distinguen:

o Hormigón pretensado con armaduras pretesas : El hormigonado se efectúa después de haber tesado y anclado provisionalmente las armaduras. Cuando el hormigón ha alcanzado suficiente resistencia, se liberan las armaduras de sus anclajes provisionales, y por adherencia se transfiere la carga al hormigón.

o Hormigón pretensado con armaduras postesas : El hormigonado se realiza antes del tesado, alojando las armaduras activas en conductos o vainas. Cuando el hormigón ha alcanzado suficiente resistencia, se procede al tesado y anclaje de las armaduras.

Según la adherencia del tendón al hormigón, el pretensado puede ser:

o Adherente : Es el caso del pretensado con armadura pretesa, o con armadura postesa si después del tesado se inyecta un material que proporcione una adecuada adherencia entre la armadura y el hormigón.

o No adherente : Se tendrá en el caso de que se utilice hormigón pretensado con armadura postesa si el material inyectado para proteger la armadura no proporciona adherencia entre la armadura y el hormigón.

1.3.- MATERIALES PARA PROYECTOS Las características resistentes del Hormigón Armado no se pueden establecer exclusivamente a partir del estudio de las de sus componentes principales, hormigón y acero. Este hecho se debe a que, por efecto de la unión que aparece entre las armaduras y el hormigón circundante, la mezcla final presenta características no atribuibles específicamente a ninguno de los que lo constituyen, sino al comportamiento conjunto de ambos. Esta unión se produce, principalmente, mediante tres fenómenos: la adherencia que aparece como resultado de las reacciones químicas y las tensiones desarrolladas durante el proceso de curado del hormigón, la fricción entre las armaduras y la masa de hormigón circundante y la interacción mecánica por efecto de las corrugas existentes en

INTRODUCCIÓN

23

las armaduras. El primer mecanismo de resistencia se agota relativamente pronto (y tiene importancia solo en el caso de armaduras lisas), recayendo la función de transmisión de esfuerzos principalmente sobre los dos últimos. Debido a estos mecanismos de transmisión de tensiones, el comportamiento resistente del hormigón no se puede analizar exclusivamente a partir de las propiedades de los componentes constituyentes. Por efecto de la trabazón que aparece entre el hormigón y las armaduras se desarrollan una serie de fenómenos que mejoran la capacidad resistente del material final. Si bien en los cálculos en rotura (Estados Límite Últimos) es posible ignorar sus efectos, si se quiere efectuar un estudio que abarque toda la vida útil de la estructura es fundamental conocer su importancia y características. Además, las diferencias que presenta el comportamiento del hormigón cuando se encuentra solicitado por estados bidimensionales de tensión frente al que muestra en ensayos uniaxiales exigen la formulación de ecuaciones constitutivas especıficas. De manera semejante a como sucede con el hormigón, las armaduras de acero que se encuentran embebidas en la masa de hormigón tienen un comportamiento diferente del que poseen de forma aislada.

1.3.1.- HORMIGÓN PARA PRETENSADO Los principales componentes del hormigón son cemento, agua y áridos. En función de distintos factores, se obtendrán diferentes propiedades para el hormigón. Las propiedades mecánicas pueden ser clasificadas en dos grupos: aquellas que manifiesta el material al poco tiempo de vida o propiedades instantáneas , y las que varían a lo largo de la vida del material o propiedades diferidas . Entre las primeras se encuentran la resistencia a compresión y tracción así como la rigidez, medida a través del módulo de elasticidad. Las propiedades diferidas pueden clasificarse en cuanto a retracción y fluencia. A continuación se detallan cada una de estas propiedades: o Resistencia a la compresión uniaxial.

Depende principalmente de la dosificación, de la granulometría y del tiempo y calidad del curado. Actualmente se pueden conseguir hormigones con resistencias a compresión superiores a 130 MPa, si bien los hormigones comerciales empleados en la construcción de estructuras poseen valores entre 25 y 50 MPa y los empleados en estructuras pretensadas valores en torno a los 40 MPa. A partir de 50 MPa, se les conoce por hormigones de alta resistencia (1.7). La actual Instrucción de Hormigón Estructural, EHE, define en su artículo 39 la resistencia característica de proyecto, fck, como el valor que se debe adoptar en el proyecto para la resistencia a compresión del hormigón, como base de los cálculos. En dicha instrucción se indica, además, la metodología a seguir para calcular la resistencia característica real a partir de los ensayos de compresión normalizados a 28 días, en el artículo 31 . Se proporcionan también expresiones para, a partir de la resistencia a 28 días, poder calcular la resistencia a j días de edad, caso de no tener resultados experimentales:

cmcccm fttf ⋅= )()( β

donde fcm es la resistencia media a compresión a 28 días (fcm=fck+8 si las condiciones de ejecución son buenas), βcc es un coeficiente en función de la edad del hormigón:

INTRODUCCIÓN

24

−=21

281exp

tsccβ

t es la edad del hormigón en días, s es un coeficiente según tipo de cemento.

o Resistencia a compresión-tracción combinadas y a co mpresión biaxial. El comportamiento del hormigón sometido a cargas bidimensionales dista mucho de asemejar al que presenta en los ensayos uniaxiales. Este fenómeno es especialmente destacable cuando el elemento se halla solicitado por tensiones combinadas de compresión-tracción. En este caso, aparece el efecto del ablandamiento del hormigón : debido a las deformaciones de tracción perpendiculares a la dirección principal de compresión, la resistencia máxima a compresión del hormigón se reduce a un valor fcmax, tal y como se puede apreciar en la figura 3. Esta reducción de la resistencia máxima a compresión es proporcional a la deformación principal de tracción coactuante. La no consideración de este fenómeno tiene como resultado una sobrestimación de la capacidad resistente del hormigón, especialmente peligrosa en piezas en las que, debido a su escaso espesor o a contener elevadas cuantías de acero, el agotamiento se produce por compresión.

1.4

2 4 6 8 10 12 14 16

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

-εc1/εc2

fcm

ax/f

ck

Figura 3 Comprobación experimental del fenómeno de ablandamiento del hormigón (1.8).

La EHE proporciona distintas expresiones para el cálculo de la capacidad resistente del hormigón sometido a compresión y flexión combinadas (artículo 40.3.2 ): o Cuando existen fisuras paralelas a las bielas y armadura transversal

suficientemente anclada: fcd1=0.70 fcd

o Cuando las bielas transmiten compresiones a través de fisuras de abertura

controlada por armadura transversal suficientemente anclada (caso de vigas sometidas a cortante):

fcd1=0.60 fcd para fck ≤ 60 N/mm2 fcd1=(0.90-fck/200) fcd para fck > 60 N/mm2

INTRODUCCIÓN

25

o Cuando las bielas comprimidas transfieren compresiones a través de fisuras de gran abertura (caso de elementos sometidos a tracción o de alas traccionadas de secciones en T):

fcd1=0.40 fcd Por el contrario, cuando el hormigón está bicomprimido, aparece el fenómeno de confinamiento . Así, el hormigón es capaz de soportar tensiones mayores que las obtenidas en los ensayos de compresión uniaxial. En la EHE se modela este efecto para el caso del acero confinado, según el artículo 40.3.4 , aumentando la capacidad resistente multiplicándola por:

(1+1.5αωw)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2σc2/|fck|

σc1/|fck|

Figura 4 Envolvente para el efecto de confinamiento (1.9).

Una de las expresiones más usadas es la de Vecchio (1.9) que modela la curva obtenida experimentalmente por Kupfer (1.10). Así, la resistencia a compresión en cada dirección se obtiene multiplicando la resistencia uniaxial a compresión por un coeficiente K:

Kc1=1+0.92(-σc2/fck)-0.76(-σc2/fck)2

Kc2=1+0.92(-σc1/fck)-0.76(-σc1/fck)2

Siendo fck la tensión máxima a compresión uniaxial, y σc1 y σc2 las tensiones de compresión actuantes en el hormigón.

o Resistencia a la tracción. Por efecto de la adherencia del conglomerante con los áridos, el hormigón presenta cierta resistencia a tracción fct incluso en ausencia de armaduras. En efecto, al solicitar un elemento de hormigón a un ensayo de tracción se advierte que inicialmente el hormigón se comporta de forma lineal con un valor del módulo de elasticidad semejante al que presenta en compresión. Al incrementar la carga, para un determinado valor aparece un fenómeno de microfisuración en la pasta de mortero, tras lo cual las fisuras experimentan un rápido crecimiento en cantidad y tamaño hasta que se produce la rotura (de forma frágil). Esta resistencia a la tracción del hormigón es relativamente baja, estando su valor normalmente comprendido entre un 10% y un 20% de la resistencia a compresión. Los ensayos de tracción directa no son fáciles de realizar por los problemas derivados de la sujeción de las probetas en las máquinas. No obstante, existen métodos para la medida indirecta de la capacidad a tracción, como el ensayo Brasileño, a partir del cual puede obtenerse la resistencia a tracción:

cict ff ⋅= 9.0

Donde fct es la resistencia a tracción, fci es la resistencia a rotura por tracción indirecta (ensayo brasileño).

INTRODUCCIÓN

26

La resistencia a flexotracción puede obtenerse a partir de la resistencia a tracción:

7.0

7.0

,

100·5.1

100·5.11

·

+=

h

h

ff ctflct ; donde

fct,fl es la resistencia a flexotracción. h es el canto del elemento en mm. La EHE proporciona, en su apartado 39.1 , expresiones para obtener el valor de la resistencia característica a la tracción (bajo esfuerzo axil), fct,k, a partir de la de compresión, caso de no disponer de resultados de ensayos:

mctkct ff ,, 70.0 ⋅=

3 2

, 30.0 ckmct ff ⋅= para fck≤50 N/mm2

2, 58.0 ckmct ff ⋅= para fck≤50 N/mm2

Y, para la resistencia media a flexotracción , proporciona una aproximación:

( )[ ]mctmctflmct ffhf ,,,, ;1000

6.1max −=

Donde tanto fct,k como fct,m, fck y fct,m,fl están expresadas en MPa. Para edades distintas de 28 días:

mctccmct fttf ,, )()( ⋅= αβ

donde fct,m es la resistencia media a tracción a 28 días βcc es un coeficiente en función de la edad del hormigón (ver apartado anterior), t es la edad del hormigón en días, s es un coeficiente según tipo de cemento, α es un coeficiente función de la edad del hormigón y su resistencia característica a los 28 días:

α=1 si t< 28 días, α =2/3 si t≥28 días y fck≤50 N/mm2 a los 28 días α =1/2 si t≥28 días y fck>50 N/mm2 a los 28 días.

Normalmente se ignora en el análisis de estructuras de hormigón armado el incremento en la seguridad aportado por la resistencia a tracción del hormigón , debido, principalmente, a la alta dispersión que presenta en los ensayos y a la dificultad de asegurar un valor mínimo para esta en la fabricación. Sin embargo, en la actualidad, la mejora en los procesos de fabricación del hormigón, la mayor atención concedida a los fenómenos de fraguado por la influencia que tiene en el comportamiento final del hormigón, y el empleo de materiales (áridos, conglomerantes y aditivos) de mayor calidad provoca que el valor final de la resistencia a tracción sea con frecuencia superior a la que se considera como valor mínimo aceptable . Además, la utilización, de forma cada vez más frecuente, de hormigones de alta resistencia, en los que la resistencia a tracción del producto final es semejante a la que presentan los áridos (la rotura ya no se produce en la masa de mortero, sino que la superficie de fractura atraviesa los áridos), aumenta la necesidad de considerarla al simular el comportamiento resistente del hormigón.

INTRODUCCIÓN

27

La importancia de este hecho se incrementa cuando el objetivo es estudiar el comportamiento de estructuras de hormigón armado durante la fase de servicio . Una vez producida la fisura, todavía existen tensiones residuales de tracción transmitidas directamente a través de las fisuras, que son las tensiones de tracción que continúan transmitiendo los pequeños puentes de hormigón formados entre las superficies de las fisuras. Este fenómeno se conoce como “tensión softening ”, y se modela como una línea con pendiente negativa desde el punto de máxima resistencia a tracción, fct. Incluso tras producirse la fisuración, el hormigón constituyente del hormigón armado es capaz de seguir resistiendo tracciones por efecto de la adherencia con las armaduras. Este fenómeno recibe el nombre de “tension stiffening ” y tiene gran importancia en el cálculo en servicio de estructuras de hormigón armado. Al fisurarse el hormigón se produce una transferencia de tensiones a las armaduras debido a la trabazón que existe entre ambos materiales. Sin embargo, el hormigón existente entre fisuras , que continua en su estado original, es capaz de resistir ciertas tracciones. Por efecto de la fisuración del hormigón, las tensiones en las armaduras y en el hormigón dejan de tener una distribución uniforme, adquiriendo la que se muestra en la figura 5. Aunque todavía es necesaria una extensa experimentación para analizar las diversas variables que afectan a la resistencia debida al “tension stiffening”, parece que se encuentra influenciada de algún modo por la máxima tensión susceptible de ser transmitida por el hormigón a las armaduras, por la separación entre fisuras, por el ángulo que forman las armaduras con la dirección de fisuración, por el diámetro de las armaduras y su cuantía, así como por la máxima tensión que puede ser resistida por estas.

HORMIGÓN

NN

FISURAS

ACERO

σc

σs

Figura 5 Tensiones tras la fisuración en el hormigón y en las armaduras.

INTRODUCCIÓN

28

(MPa)

ε

σ

6

4

2

0.001 0.002 0.003 0.00400

Relación tensión deformación

0

de tracción para el hormigón

0 0.0040.0030.0020.001 ε

Relación tensión deformaciónde tracción para acero y

acero rodeado de hormigón

Figura 6 Efecto del fenómeno de tension stiffening sobre la resistencia (1.2).

Inicialmente, el incremento en la resistencia a tracción de los elementos debida al fenómeno de tension stiffening se consideraba variando el comportamiento de las armaduras (figura 7b) respecto al que presenta el acero de forma independiente. De esta manera, su diagrama bilineal se modificaba para considerar el aumento de la capacidad resistente. Este incremento, dependiendo del modelo utilizado, podía ser escalonado o parabólico. Cuando la tensión en el acero se aproxima a la de plastificación, el diagrama se confunde con el considerado para las armaduras aisladas.

ε00 ε

(MPa)σs

εcu

(MPa)σs

εct

σct

acero

acero+

tension sttifeninghormigón

no fisurado

hormigón fisurado

tension stiffening

Figura 7 Diferentes procedimientos para considerar el tension stiffening y el

tensión softening.

Sin embargo, los últimos modelos desarrollados se inclinan por considerar el tension stiffening modificando la relación que presenta el hormigón a tracción tras la fisuración (figura 7a). Intuitivamente, parece más adecuado el primer procedimiento, ya que el tension stiffening está íntimamente relacionado con la presencia de las armaduras, y de esta manera se considera de forma intrínseca la dirección de armado en el comportamiento constitutivo final del hormigón. Sin embargo, la comparación entre modelos experimentales y simulaciones numéricas ha demostrado que los resultados obtenidos a través de los dos planteamientos son muy semejantes (1.11). La preferencia por el segundo procedimiento se debe al menor coste computacional necesario para resolver numéricamente las ecuaciones planteadas. Otro de los factores que influye en el comportamiento que presentan las estructuras de hormigón durante la fase de servicio está relacionado con el espesor de hormigón alrededor de las armaduras que se supone afectado por el fenómeno de tension stiffening. Respecto a este dato, los valores que se aconsejan varían de un modelo a otro, aunque se considera que, en general, es proporcional al diámetro de las armaduras (1.12).

INTRODUCCIÓN

29

o Resistencias de Cálculo.

En el artículo 39 , se define también la resistencia de cálculo del hormigón (en compresión fcd y en tracción fct,d) como el valor de la resistencia característica correspondiente multiplicado por un factor αcc, función del cansancio del hormigón sometido a cargas de larga duración y dividido entre un coeficiente parcial de seguridad γc, que adopta los valores indicados en el artículo 15 .

o Relación tensión deformación para el hormigón. Módu lo de elasticidad. El diagrama característico tensión-deformación del hormigón depende de numerosas variables: edad del hormigón, duración de la carga, forma y tipo de la sección, naturaleza de la solicitación, tipo de árido, estado de humedad, etc. (1.5). La relación tensión-deformación del hormigón sometido a compresión uniaxial (σc-εc) es no lineal, y según Popovics, Thorenfeldt, Tomaszewick, Jensen y Collins sigue la ley:

nk

c

c

c

c

c

c

n

n

f

′+−

′⋅

=

εε

εε

σ

1

(1.2)

donde fc es la tensión de pico a compresión uniaxial ε’c es la deformación correspondiente a dicha tensión. Puede obtenerse como

1'

−=

n

n

E

f

c

c

cε

cc

c

EE

En

′−= . Puede aproximarse como n=0.8+fc/17

Ec es el módulo de elasticidad tangente del hormigón para εc=0. Se calcula mediante la expresión:

cc fE 4730= si fc≤41 MPa

69003320 += cc fE si fc>41 MPa

c

c

c

fE

ε ′=′

k=1 si 1<′c

c

εε

; k>1 si 1>′c

c

εε

, factor que modela la caída de tensión después de

alcanzar el pico. Puede aproximarse como k=0.67+fc/62. La figura 8 muestra una curva típica de tensión-deformación obtenida mediante ensayo uniaxial a compresión de probetas cilíndricas:

INTRODUCCIÓN

30

(MPa)

ε

σ

0.4f

c0.7f

c

fc

Figura 8 Relación típica entre la tensión y la deformación de compresión para el hormigón.

El primer tramo de esta curva, hasta llegar aproximadamente al 40% de la resistencia a compresión última, es esencialmente lineal. Desde el final de este tramo hasta que se alcanza un valor próximo al 70% de la resistencia última, se observa una progresiva pérdida de la rigidez que se traduce en una curva de pendiente decreciente. El tramo final se corresponde con las cargas últimas para las cuales comienzan a aparecer fisuras en el sentido de la carga de compresión, produciéndose el fallo poco después de este momento. Para definir la ley de comportamiento se necesita conocer cuatro constantes, lo que no siempre es posible. Por esa razón, esta ley de comportamiento se aproxima (para resistencias menores de 40 MPa) mediante una parábola:

2

2

′−

′⋅=

c

c

c

c

c

c

f εε

εεσ

y para σc<0.4·fc, se puede considerar lineal: σc = Ecm·εc

En el gráfico se representan distintas expresiones para la relación tensión deformación de compresión del hormigón:

nk

c

c

c

cck

ck

n

nf

′+−

′⋅⋅

=

εε

εε

σ1

1

′−

′⋅=

′−−=

2

5 211c

c

c

cck

n

c

cckck ff

εε

εε

εεσ

( )( )21

2

7 −+−=

k

kfckck η

ηησ

Característica-ehe08

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004

ec-sc1 ec-sc5 con fck ec-sc7 ec-sc7 con fck

INTRODUCCIÓN

31

Si se tiene en cuenta el ablandamiento en el hormigón al determinar la resistencia a compresión, según Collins, la expresión sería:

2

max

2

′−

′⋅=

c

c

c

c

c

c

f εε

εεσ

donde:

( ) 11708.0

1max ≤⋅+

=Tc

c

f

f

ε

O, si ε’c es distinta de 0.002:

1

'34.08.0

1max ≤

+

=

c

Tc

c

f

f

εε

Siendo fc la tensión máxima de compresión del hormigón en el ensayo uniaxial y εt la deformación debida a la tracción perpendicular a la tensión de compresión.

(MPa)

ε

σ

fc

fcmax

ε1

fc

fcmax

2relación tensión deformación

de compresiónmáxima resistencia a compresión según la deformación de tracción

4 6 8 10 12 14 εx103

representación 3D de la relacióntensión-deformación de compresión

εT

ε1

εC

σ

Figura 9 Relación típica entre la tensión y la deformación de compresión y

tracción combinadas del hormigón.

Dado que el diagrama tensión-deformación es curvilíneo, pueden definirse varios módulos de elasticidad (módulos de deformación longitudinal). Así, para puntos situados por debajo del 40% de la resistencia media a compresión a los 28 días, se define el módulo secante , Ecm, como la pendiente de la recta que une dicho punto con el origen (artículo 39.6 de la EHE). Para cargas instantáneas o rápidamente variables, la pendiente en el origen recibe el nombre de módulo de elasticidad inicial , Ec.

INTRODUCCIÓN

32

La norma española ofrece expresiones para el cálculo de estos módulos a partir de la resistencia media del hormigón, fcm. Estas expresiones son:

cmEccmcm EEfE ⋅=⋅⋅= βα 38500

175.1400

30.1 ≤−= ckE

fβ

donde α es un coeficiente que es función del tipo de árido y fcm es la resistencia media a compresión del hormigón, que debe expresarse en MPa para obtener los valores de Ecm y Ec en MPa. La resistencia media a compresión puede obtenerse a partir de la resistencia característica como fcm=fck+8, en MPa, siempre que no se tengan resultados experimentales. Es posible evaluar el módulo secante a una edad diferente a los 28 días:

cm

cm

cm

cm Ef

tftE

3.0

)()(

=

Collins (1.2), proporciona las siguientes expresiones para el cálculo del módulo secante:

ccm fE ⋅= 4730 si fc≤41 MPa

69003320 +⋅= ccm fE si fc>41 MPa

Según la EHE, para el cálculo de secciones sometidas a solicitaciones normales, como diagramas de cálculo tensión-deformación del hormigón pueden utilizarse el diagrama parábola rectángulo o el diagrama rectangular (artículo 39.5 ). Con respecto al comportamiento a tracción , la relación σ-ε es casi lineal antes del fallo, que, como se ha visto, ocurre a niveles muy bajos de tensión en relación a los alcanzados en compresión. La EHE no proporciona ningún modelo que refleje el efecto de tension stiffening . Según los resultados de los ensayos realizados por Vecchio y Collins en 1982, este efecto de modela con las siguientes expresiones:

Si εt≤εct � σt=Ec·εt

Si εt> εct � t

ct

t

f

εαα

σ5001

21

+=

Donde α1 y α2 son factores que dependen del tipo de barra y del tipo de carga.

INTRODUCCIÓN

33

ε00

(MPa)σs(MPa)σs

εct

σct

hormigón no

fisurado

hormigón fisurado

tension stiffening

Figura 10 Relación típica entre la tensión y la deformación de tracción.

Estudios posteriores de Bentz, han servido para desarrollar una nueva expresión para el comportamiento del hormigón armado traccionado en función del área de hormigón que afecta al refuerzo (7,5 diámetros en torno a la barra):

t

ctt

M

f

εαασ6.31

21

+= con

∑=

b

c

d

AM

π

Bentz observó, para distintas expresiones que trataban de modelar el efecto de tension stiffening, que se producían bastantes diferencias entre unos y otros modelos, y dedujo que esta diferencia se debía al efecto de adherencia hormigón–acero . Así, propuso definir la rigidez del hormigón fisurado como una función de la adherencia de las armaduras. En los puntos con barras de acero de bajo diámetro y muy próximas entre sí, la adherencia será mayor que en puntos con barras de gran tamaño más separadas. Por tanto, propuso como parámetro para medir la adherencia el que resulta al dividir la sección del elemento entre la suma de perímetros de los refuerzos adheridos a dicha área (M). Así, valores altos de M serán representativos de elementos con características pobres de adherencia, que presentarán menor rigidez a tracción. Para elementos solicitados biaxialmente, al ser las características de adherencia distintas para cada dirección, Bentz recomienda tomar el valor más bajo.

o Retracción. En el hormigón se dan dos tipos de retracción: retracción autógena y retracción por secado . La retracción autógena ocurre cuando, por no haber suficiente agua para el proceso de hidratación, se consume el agua libre de los poros capilares, produciéndose un consumo interno de agua (autosecado). Este tipo de retracción es más importante cuanto más alta es la resistencia. Por otro lado, la retracción por secado ocurre cuando la estructura ha adquirido su forma final y se ha producido una fracción importante del proceso de hidratación química, teniendo lugar una disminución del volumen del elemento de hormigón debido a la perdida de humedad por evaporación. La deformación por retracción es, por tanto, una propiedad que depende del tiempo. Así, la velocidad de deformación por esta causa es alta en los momentos iniciales de la construcción de la estructura y disminuye hasta hacerse despreciable. Existen diversos factores que influyen en la deformación causada por la retracción, siendo los más importantes la relación agua cemento, la forma y tamaño del elemento y las condiciones medioambientales. En el apartado 39.7 de la EHE se

INTRODUCCIÓN

34

dan fórmulas que permiten la estimación de la deformación por retracción del hormigón para un tiempo transcurrido.

o Fluencia. La fluencia del hormigón se define como el aumento de la deformación que experimenta el material estando sometido a un sistema de cargas constante. Como ocurría con la retracción, la fluencia está asociada a la perdida de humedad. La fluencia sí es dependiente del nivel de carga soportado por el hormigón a diferencia de la retracción. A medida que transcurre el tiempo, la velocidad con la que aumenta la deformación debida a la fluencia disminuye asintóticamente. En la instrucción de hormigón , apartado 39.8 , existen expresiones para el cálculo de la deformación debida a la fluencia del hormigón.

1.3.2.- ACERO DE ARMADURAS PASIVAS Las armaduras de acero para la construcción con hormigón consisten principalmente en barras corrugadas y mallas electrosoldadas. Las propiedades más importantes para estas armaduras son: el módulo de Young (Es), el límite elástico (fy) y la resistencia última (fu). El diagrama tensión-deformación característico es el que se adopta como base de los cálculos. A falta de resultados experimentales, la norma EHE, en su artículo 38 , proporciona un diagrama valido si se adoptan los valores tipificados del límite elástico dados en su artículo 32 .

(MPa)

ε

σ

fyk

-fyk

εmax

fmax

Figura 11 Diagrama tensión deformación característico para las armaduras pasivas.

El diagrama tensión-deformación de cálculo del acero para armaduras pasivas se deduce del diagrama característico por afinidad oblicua. En él se puede considerar a partir de fyd una segunda rama con pendiente positiva o bien una segunda rama horizontal. En la figura 12 se representa el diagrama tensión deformación de cálculo para las armaduras pasivas recogido de la EHE.

INTRODUCCIÓN

35

0.01

-fyk

fyk

σ

ε

(MPa)

fyd

-fyd

εu

Figura 12 Diagrama tensión deformación de cálculo para las armaduras pasivas.

En el diagrama de cálculo se limita la deformación en tracción al 10 por 1000 y la deformación en compresión a εu, según lo indicado en el artículo 42.1.3 de la EHE. El módulo de Young para el acero de las armaduras pasivas tiene un valor de 200000 MPa. En la norma EHE se recogen varios tipos de aceros para las barras corrugadas. Estos, junto con sus principales propiedades, son:

Tipo de acero fyk (MPa) fuk (MPa) B 400S 400 440 B 500S 500 550

B 400SD 400 480 B 500SD 500 575

Sin embargo, como se señalaba en el apartado anterior, tras producirse la fisuración del hormigón las tensiones de tracción en las armaduras dejan de poseer una distribución uniforme. Como resultado del tension stiffening , aunque se puede considerar un valor medio cuando se estudia el elemento macroscópicamente, las tensiones presentan unos valores mayores en las proximidades de las fisuras. Este hecho provoca que la rotura de los elementos que se agotan por tracción se produzca cuando las tensiones (medias) en las armaduras alcanzan valores inferiores a los que presenta el acero del que están fabricadas. El fenómeno se considera modificando las ecuaciones constitutivas de las armaduras y disminuyendo la tensión de plastificación de forma que no se produzca una peligrosa sobrestimación de la capacidad resistente. Así, como resistencia de cálculo del acero se utiliza el valor fyd=fyk/γs, siendo γs un coeficiente de seguridad definido en el artículo 15 de la EHE.

1.3.3.- ACERO EMPLEADO EN ARMADURAS ACTIVAS Debido a las pérdidas de pretensado ocasionadas por la fluencia y la retracción del hormigón, la solicitación efectiva de pretensado se obtiene mediante aceros de alta resistencia , cuya resistencia mecánica es del orden de cuatro veces la de los aceros

INTRODUCCIÓN

36

de las armaduras pasivas. Dichos aceros son capaces de contrarrestar el efecto negativo que tienen las pérdidas de pretensado, consiguiendo que permanezca en la pieza un nivel de tensiones adecuado para equilibrar la fuerza de pretensado. Valores normales de las pérdidas de pretensado están en torno a los 200-400 MPa. De los valores indicados para las pérdidas se deduce que el empleo de aceros normales, con límites elásticos entre 400 y 500 MPa, daría lugar a pequeños valores de pretensado. El pretensado inicial debe ser, por tanto, elevado, del orden de 1200-1500 MPa (1.2). Las características fundamentales que se utilizan para definir los aceros de las armaduras activas son: la carga unitaria máxima a tracción (fpmax), el límite elástico (fp), el alargamiento bajo carga máxima (εmax) y el módulo de elasticidad (Ep). El artículo 34 de la EHE proporciona estos valores para los distintos tipos de armaduras activas, quedando el valor de la carga unitaria máxima a tracción comprendida entre 980 y 2060 MPa. Las armaduras activas pueden presentarse en forma de alambres, cordones formados por alambres enrollados o barras. Las definiciones de cada uno de estos elementos, según el artículo 34 de la EHE, son:

o Alambre : Producto de sección maciza que normalmente se suministra en rollo.

o Barra : Producto de sección maciza que se suministra solamente en forma de elementos rectilíneos.

o Cordón : Conjunto formado por 2, 3 o 7 alambres arrollados helicoidalmente, con el mismo paso y el mismo sentido de torsión, sobre un eje ideal común.

En cualquier caso, la fuerza de tesado ha de proporcionar sobre las armaduras activas una tensión que según el artículo 20 de la EHE no será mayor, en cualquier punto, que el menor de los dos valores siguientes:

0.70·fpmaxk; 0.85·fpk donde: fpmaxk es la carga unitaria máxima característica fpk es el límite elástico característico De forma temporal, esta tensión podrá aumentarse hasta el menor de los valores siguientes

0.80·fpmaxk; 0.90·fpk siempre que al anclar las armaduras en el hormigón se produzca una reducción conveniente de la tensión para que se cumpla la limitación anterior. Para el caso de armaduras pretesas o postesas en las que tanto el acero como el aplicador del pretensado o, en su caso, el prefabricador, presenten un nivel de garantía adicional (art. 81 EHE ), todos los coeficientes multiplicadores se pueden incrementar en 5 centésimas. Según la EHE (art. 38 ), como diagrama tensión deformación característico puede adoptarse el que establezca el fabricante hasta la deformación εp=0.010 como mínimo. Si no se dispone de este diagrama, se puede utilizar el formado por un primer tramo recto de pendiente Ep y un segundo tramo curvo, a partir de 0.7·fpk, definido por:

5

7.0823.0

−+=

pk

p

p

p

pfE

σσε para σp≥0.7·fpk

INTRODUCCIÓN

37

En la siguiente figura se representa el diagrama tensión deformación característico junto al de cálculo para las armaduras activas recogido de la EHE. En él se modifica el diagrama característico, ya que la resistencia de cálculo del acero se ve afectada por el coeficiente de seguridad γs tomado de la tabla 15.3. Además, se simplifica de manera que a partir de fpd se puede tomar σp=fpd.

(MPa)

ε

σ

0.002

fpk

0.7fpk

fpd

Figura 13 Diagrama tensión deformación característico y de cálculo para las armaduras activas.

El módulo de Young para el acero de las armaduras activas tiene un valor de 200000 MPa, excepto si se presenta en forma de cordones, que se utilizará el valor experimental, o, si no se conociera, se adoptaría Ep=190000 MPa (1.7). o Relajación del acero para las armaduras activas.

La relajación de las tensiones se produce en las armaduras activas cuando los alambres o cordones están sujetos esencialmente a deformación constante. Este fenómeno es totalmente similar a la fluencia que tiene lugar en el hormigón, con una diferencia: cuando se produce la fluencia, el cambio se produce en las deformaciones, mientras que la relajación del acero provoca una disminución de las tensiones. En el apartado 38.9 de la EHE se facilitan expresiones para el cálculo de la relajación que se produce en un acero de alta resistencia. Existen procedimientos para la producción de aceros llamados de baja relajación. Estos métodos consisten en producir una elongación permanente en el acero. Para ello se solicita el acero hasta una tensión del 70% de su resistencia última manteniéndose el mismo a temperaturas que oscilan entre los 20 y los 100º C.

1.4.- SISTEMAS DE REALIZACIÓN DEL PRETENSADO Como se ha visto en el apartado 1.2 , las técnicas de pretensado pueden ser clasificadas en dos categorías dependiendo del momento en que se introduzcan las fuerzas de pretensado. De este modo, se tienen sistemas de armaduras pretesas y sistemas de armaduras postesas.

1.4.1.- SISTEMAS DE PRETESADO Consiste en la aplicación del siguiente proceso (figura 14): La primera fase de las operaciones de pretesado es el tesado de las armaduras activas entre los estribos del banco de pretesado. Una vez alcanzada la fuerza necesaria en los tendones, el

INTRODUCCIÓN

38

hormigón es vertido en los encofrados colocados en el banco de pretesado. Cuando ha transcurrido el tiempo necesario para que el hormigón haya alcanzado una resistencia adecuada, los tendones son liberados de los estribos y el elemento queda pretensado.

Figura 14 Fases del proceso de pretesado (1.2).

En esta técnica de pretensado, resulta de vital importancia la colocación de la armadura activa en la posición que resulte más adecuada para resistir las solicitaciones para las que haya sido diseñada la pieza. De este modo, se emplean gatos hidráulicos y soportes que consiguen el perfil deseado de la armadura activa antes o durante el proceso de tesado de la misma. El anclaje de las armaduras activas ha de realizarse con especial cuidado, evitando, en lo posible, dañar el hormigón colindante a la zona de anclaje. Los tendones, además, deberán ir liberándose de manera que las tensiones sobre la pieza permanezcan lo más simétricamente posible. Debe procurarse que el corte de las armaduras se produzca cerca del elemento, de modo que la cantidad de energía transferida dinámicamente por adherencia cuando se realiza el corte sea mínima (1.2). También a tener en cuenta que, transcurrido el tiempo necesario para que el hormigón adquiera la resistencia adecuada que permita la liberación de las armaduras, estas se anclan por adherencia. Cuando los tendones son liberados, se producen unos desplazamientos locales entre el acero y el hormigón. En los extremos de las piezas, la armadura activa, por estar libre donde el alambre se ha cortado, está sometida a una tensión nula en su extremo, tensión que aumenta progresivamente a medida que se interna en la masa de la pieza. Admitiendo como primera aproximación que los esfuerzos de adherencia se desarrollan uniformemente como si de un rozamiento se tratara, la tensión en la armadura crecerá linealmente con la distancia al extremo de la pieza hasta alcanzar el valor de la tensión inicialmente aplicada. Los deslizamientos entre el hormigón y la armadura localizados en el extremo de la pieza, hacen que la tensión en el acero, por ser menor en esos segmentos extremos, solo ejerza un débil pretensado sobre el hormigón en las secciones finales, circunstancia, o más bien defecto, que habrá que considerar por sus desfavorables consecuencias en la capacidad resistente de estas secciones de apoyo. En la industria de elementos de hormigón pretesado, un parámetro fundamental para la mejora del ritmo de producción es el tiempo que tarda el hormigón en alcanzar la resistencia necesaria para la liberación de las armaduras activas. Son usuales diversas técnicas que reducen dicho tiempo, como el empleo de hormigones que alcanzan rápidamente valores aceptables de resistencia, o el calentamiento del hormigón (1.2). Los elementos fabricados mediante la técnica del pretesado son fundamentalmente elementos lineales, como vigas, soportes, traviesas para vías ferroviarias, conducciones hidráulicas, etc., así como elementos bidimensionales como placas para recubrimiento o para forjados (1.2).

INTRODUCCIÓN

39

1.4.2.- SISTEMAS DE POSTESADO Un elemento estructural se dice que es postesado cuando los tendones son tesados y anclados una vez transcurrido el tiempo necesario para que el hormigón haya adquirido la resistencia necesaria para resistir la fuerza de pretensado. Las piezas postensadas contienen unos conductos llamados vainas (35.3 EHE) que evitan que los tendones queden adheridos en el periodo de fraguado del hormigón. Las vainas permanecen en la estructura a lo largo de la vida de la misma. Una vez que se ha producido el tensado de los tendones, se procede a rellenar el espacio interior de la vaina no ocupado por las armaduras con una lechada inyectada a presión de manera que se proporciona adherencia entre el tendón y la vaina, protegiendo, además, a las armaduras frente a la corrosión. Este tipo de armadura activa así colocada recibe el nombre de tendones adherentes. Existe otra técnica de postensado que consiste en el empleo de tendones que están impregnados de alguna grasa o sustancia bituminosa que evita la adherencia de la armadura al hormigón. Estos tendones no necesitan el relleno con la lechada y reciben el nombre de no adherentes. A diferencia de la técnica que emplea armaduras pretesas, el hormigón postensado puede ser realizado in situ. Por este motivo, se utiliza en la construcción de obras que, debido a su tamaño o su forma, no pueden ser transportadas desde la industria de prefabricado al emplazamiento final de la estructura. Otra diferencia importante con respecto a la técnica de pretesado es la necesidad de un sistema de anclaje para las armaduras, ya que en el momento en que se produce la liberación del tendón de los sistemas de tensado (gatos hidráulicos) no existe adherencia alguna entre la armadura y la vaina que la rodea. Los sistemas de anclaje serán los encargados de transmitir el estado tensional de pretensado al elemento de hormigón.

1.5.- SISTEMAS DE ANCLAJE EN LAS ARMADURAS ACTIVAS Uno de los elementos fundamentales del hormigón pretensado es el elemento de anclaje de la armadura en el hormigón. La armadura suele ser difícil de sujetar, por el alto límite elástico del acero empleado. El anclaje será el encargado de transferir al hormigón las fuerzas de pretensado y de preservar el estado tensional de las armaduras activas durante la vida útil de la pieza. Por eso, los anclajes deben ser capaces de retener eficazmente los tendones, resistir su carga unitaria de rotura y transmitir al hormigón una carga al menos igual a la máxima que el correspondiente tendón pueda proporcionar. Para ello, la norma EHE, en su artículo 35 , proporciona unas condiciones que deben cumplir los elementos de anclaje. Existen diversos sistemas de anclaje. Cada uno de ellos ha sido desarrollado en un intento de mejorar alguno de los problemas asociados al diseño de los anclajes. Una primera clasificación podría establecerse en función de si el anclaje se encuentra o no en un extremo empleado en la operación de tesado. Así, se tiene:

o Anclajes activos : Los que se sitúan en los extremos de las armaduras por los que se efectúa el tesado de los tendones de acero.

o Anclajes pasivos : Los que se sitúan en los extremos de las armaduras por los que no se realizan las operaciones de tesado.

Los anclajes pasivos suelen ser más sencillos que los activos, ya que en ellos no es necesario aplicar ningún mecanismo. Los activos, deben tener la forma adecuada para poder aplicar sin dificultad el gato de tesado. Deberán poderse fijar de modo eficaz al encofrado, de manera que no se descoloquen durante el hormigonado y vibrado de la

INTRODUCCIÓN

40

pieza. Los tipos de anclaje activo más utilizados son los anclajes de cuña, los anclajes mediante cabezas recalcadas y los anclajes mediante rosca.

1.6.- PÉRDIDAS PARCIALES DE PRETENSADO La fuerza inicial de pretensado aplicada a un elemento estructural sufre una progresiva disminución en un periodo relativamente largo. Esta disminución de la fuerza se conoce como perdida de pretensado. Las pérdidas pueden clasificarse en dos grupos:

o Pérdidas instantáneas de pretensado : Son aquellas que se producen durante el proceso de construcción del elemento. De este tipo son las pérdidas debidas al acortamiento elástico del hormigón, las pérdidas por fricción y las pérdidas por asiento o penetración de cuñas de anclaje.

o Pérdidas diferidas : Son las que se producen a lo largo de la vida de la estructura a causa de la fluencia y la retracción del hormigón, así como por la relajación del acero de las armaduras activas.

La determinación exacta de las pérdidas y, en especial, de las diferidas, es un proceso complicado debido a la cantidad de factores que influyen en ellas. En el artículo 20 de la EHE, existen apartados específicos que proporcionan expresiones para evaluar las pérdidas de pretensado por las distintas causas.

1.6.1.- PÉRDIDAS INSTANTÁNEAS DE PRETENSADO

o Pérdidas por fricción (∆Pf). Son las pérdidas de pretensado que se producen en los elementos postesados debidas al contacto entre las armaduras activas y las vainas o el hormigón que las rodea. El valor de estas depende de la variación angular del trazado del tendón (rozamiento en curva) así como de la distancia desde el punto en que se estén evaluando las pérdidas y el punto de anclaje de la armadura. En la figura 15 se puede ver el significado de los distintos parámetros utilizados para la estimación de las pérdidas de pretensado debidas a la fricción, según la siguiente expresión, proporcionada por la EHE:

( )[ ]kx

f ePP +−−⋅=∆ µα10

donde µµµµ es el coeficiente de rozamiento en curva y k el coeficiente de rozamiento residual. La norma EHE proporciona distintos valores para estos parámetros en función de la disposición de las armaduras, de su estado superficial, del tipo de acero y del diámetro interior del conducto. Cuando el valor absoluto del exponente de e es inferior a 0.30, la fórmula puede utilizarse en forma lineal:

( )kxPPf +⋅=∆ µα0

x

Po

P(x)=Po-∆Pf

α1

α2

L1 L2

α3

Figura 15 Pérdidas de pretensado debidas a la fricción.

o Pérdidas por asiento o penetración de cuñas de anclaje (∆Pc).

INTRODUCCIÓN

41

La retención de los alambres o cordones que integran un cordón puede realizarse de diferentes maneras. Cuando el sistema empleado es el de retención mediante cuñas, es inevitable un pequeño retroceso de los alambres en el momento en que, alcanzada la presión requerida en el gato hidráulico, este se despresuriza, el émbolo retrocede, la tracción disminuye y las cuñas se enclavan aprisionando los alambres. Este asiento de las cuñas varía dependiendo del tipo de retención, y del diámetro del alambre o del cordón aprisionado. Como término medio se estima en 3 mm la magnitud del asiento, suponiendo, claro está, que las cuñas se enclavan perfectamente y que el alambre no desliza respecto a las cuñas que lo sujetan. Los suministradores de los distintos sistemas de anclaje facilitan la información relativa a este asiento medio. En el caso de los sistemas de anclaje por cabezas recalcadas, el asiento que en estas se produce se encuentra casi siempre por debajo del milímetro. La norma EHE proporciona una expresión para el cálculo de este tipo de pérdidas, en el caso de tendones rectos postesos de corta longitud :

ppc AEL

aP ⋅⋅=∆

donde a representa la penetración de la cuña, L la longitud total del tendón recto, Ep el módulo de deformación longitudinal de la armadura activa y Ap la sección de la armadura activa. Las pérdidas de pretensado por penetración de cuñas cobran más importancia cuanto menor es la longitud de los tendones empleados. Analicemos esta característica, admitiendo la linealización de las pérdidas por fricción como válida y suponiendo el caso de un tendón rectilíneo; las pérdidas por rozamiento serían proporcionales a la distancia entre el anclaje activo y la sección que se estuviera considerando:

xkPPf ⋅⋅=∆ 0

En el momento en el que el gato tracciona al tendón con una fuerza P0, la fuerza de pretensado en la sección considerada sería:

( )xkPPPP fx ⋅−⋅=∆−= 1001

Cuando el gato se descarga y se retira, el alambre retrocede el asiento a debido a la penetración de la cuña de anclaje. Como consecuencia de este destensado, la fuerza de pretensado en el alambre, justo detrás de la cuña (x=0), disminuye desde P0 hasta Pa mediante el gato. En este proceso de penetración de la cuña de anclaje no todo el tendón se ha distendido. En su retroceso y debido al rozamiento, ahora en sentido inverso, la fuerza en el alambre a una distancia x es:

( )xkPP ax ⋅+⋅= 12

En la figura 16 se ha representado la variación de la fuerza de pretensado a lo largo de un tendón. La recta ABC representa el estado del tendón cuando se produce el tensado, mientras que la DB sería la representativa del estado del tendón una vez liberado el gato.

INTRODUCCIÓN

42

P

x

P0

Pa

A

B

CD

∆Pf

∆Pc

L

Figura 16 Efecto de penetración de cuñas en la fuerza de pretensado.

La suma de las pérdidas de pretensado debidas a la fricción y a la penetración de cuñas de anclaje se calcula como:

( ) ( )[ ] LxxkPxkPPP ac <⋅+⋅−⋅−⋅−=∆ ;1100

donde L puede calcularse de la igualdad Px1 = Px2. En el caso de que el valor resultante de L fuese mayor que la longitud del tendón, significaría que, a causa del asiento de la cuña de anclaje, la tensión habría descendido notablemente. Para elementos donde no se pueda admitir la linealidad, la carga de pretensado para una sección a una distancia x del anclaje sería:

P(x)=min(P0e-(µα+kx);Pa(2-e-(µα+kx))

En el caso de elementos pretesados se producen unos efectos análogos, pero, al no haber rozamiento, se pueden calcular de manera análoga a como se hace para elementos de corta longitud.

o Acortamiento elástico del hormigón (∆Pae). Cuando el pretensado es aplicado al elemento estructural, se produce un acortamiento elástico del hormigón que conlleva a su vez una disminución de la longitud de las armaduras activas ancladas en la pieza. La pérdida de tensión en el acero que provoca el acortamiento es igual al producto de las tensiones en el hormigón a la altura de la fibra en la que se encuentran las armaduras activas por la relación entre los módulos de elasticidad del acero y del hormigón. Para el caso de un elemento pretesado , la tensión en el hormigón que debe ser usada para las pérdidas de pretensado debidas al acortamiento elástico del hormigón, es la resultante de sumar las tensiones iniciales de pretensado y las debidas, en esa fibra, al peso propio de la viga. En la figura 17 se representa el acortamiento elástico de una pieza pretensada.

INTRODUCCIÓN

43

L

∆ae

P i P i

Figura 17 Acortamiento elástico del hormigón en piezas pretensadas.

La pérdida debida al acortamiento elástico del hormigón en piezas pretensadas puede obtenerse como:

cpp

c

p

ae AE

EP σ⋅⋅=∆

Donde σcp es la tensión existente en el hormigón a la altura de la fibra en la que se encuentran las armaduras activas, una vez transferido el pretensado del tendón al hormigón, y al peso propio de la pieza. En elementos postensados con varios tendones, las pérdidas de pretensado pueden reducirse teóricamente hasta anularlas, tensando las armaduras simultáneamente. El tensado simultáneo de las armaduras no siempre es posible de realizar, por lo que en ocasiones se lleva a cabo la puesta en carga de los tendones de forma secuencial. En este caso, cada tendón tensado sufre un acortamiento por cada una de las armaduras pretensadas tras su anclaje. Para este caso, la norma EHE ofrece en su apartado 20.2.2.1.3 una expresión para evaluar las pérdidas por acortamiento elástico del hormigón cuando los tendones se tensan sucesivamente en una sola operación y bajo el supuesto que todos los tendones experimenten el mismo acortamiento. Diversos autores estiman las perdidas por acortamiento elástico como un 50% del valor obtenido para elementos pretesados. En la práctica suelen realizarse varios tensados secuenciales de los tendones hasta comprobar que las tensiones en cada uno de ellos son las adecuadas.

Además de las pérdidas instantáneas por rozamiento, penetración de cuñas, o deformación instantánea del hormigón, deben tenerse en cuenta, en casos especiales, pérdidas originadas por otras causas tales como: o deformaciones de los moldes, en el caso de piezas prefabricadas; o diferencia de temperatura entre las armaduras tesas y la estructura pretensada,

como consecuencia del tratamiento del hormigón; o deformaciones instantáneas en las juntas de las estructuras prefabricadas

construidas por dovelas. Los valores de estas pérdidas deben determinarse experimentalmente.

1.6.2.- PÉRDIDAS DIFERIDAS DE PRETENSADO La norma EHE, en su apartado 20.2.2.2 , proporciona una expresión para obtener la totalidad de las pérdidas diferidas para elementos postensados . Si se estudian de manera independiente:

INTRODUCCIÓN

44

o Fluencia del hormigón (∆Pfc).

La evaluación de las pérdidas de tensión en las armaduras activas a causa de la fluencia del hormigón se realiza actualmente como un valor medio a lo largo de todo el tendón. Algunos autores creen, sin embargo, que esta estimación debería hacerse en aquellas secciones del elemento que por su situación o por su solicitación precisan mayores esfuerzos de pretensado. Como se vio en la descripción de los materiales, la fluencia del hormigón es un fenómeno dependiente del tiempo, y no comienza a ocurrir hasta que las armaduras activas no se encuentran fijadas. Por esto, en elementos anclados por adherencia, las deformaciones a lo largo del tendón no son iguales al valor promedio, y, por tanto, tampoco lo son los valores de pérdida de tensión debido a la fluencia. En el caso de elementos postensados con tendones no adherentes , la deformación por fluencia si es la indicada por el valor promedio, ya que la armadura puede deslizarse en el interior de la vaina. En este caso, el valor de la pérdida de pretensado debida a la fluencia del hormigón calculado en el centro de gravedad de la armadura activa, puede ser usado para el cálculo de la pérdida en cualquier punto del tendón. El valor de la pérdida por fluencia puede calcularse de manera simplificada como:

( ) p

c

p

cpfc AE

EtP ⋅⋅⋅=∆ σϕ

donde ϕ(t) es el coeficiente de fluencia. Su evaluación tiene en cuenta la edad del hormigón a partir de la introducción del pretensado; σcp es la tensión media del hormigón descontadas las pérdidas instantáneas al nivel del baricentro de la armadura activa en las distintas secciones, producida por el pretensado junto con la totalidad de las cargas permanentes actuantes sobre la pieza. En el apartado 39.8 de la EHE, se especifica cómo obtener este coeficiente.

o Pérdidas por retracción del hormigón (∆Psh). Las pérdidas de pretensado debidas a la retracción del hormigón dependen, como en el caso de la fluencia, de numerosos factores. Entre estos se encuentran la dosificación del hormigón, la granulometría de los agregados, el tipo de cemento, el tiempo de fraguado, el tiempo transcurrido entre el fraguado exterior del elemento y la aplicación del pretensado, la forma y el tamaño del elemento y las condiciones ambientales. La retracción es, al igual que la fluencia, un fenómeno dependiente del tiempo. De manera aproximada, el 80% de la retracción tiene lugar durante el primer año de vida de la estructura. La pérdida de pretensado que un elemento estructural experimenta debido a la retracción del hormigón puede calcularse como:

ppcssh AEP ⋅⋅=∆ ε

La deformación εcs representa el acortamiento unitario por retracción que sufre la pieza a partir del instante en que la armadura activa se pretensa. No corresponde así a la retracción total, sino a una fracción de ella. La excepción son las piezas pretesadas, ya que las armaduras si sufren el fenómeno completo de la retracción. La Norma , en su artículo 39 , apartado 39.7 , ofrece una completa formulación para el cálculo de εcs a partir de las variables de las que depende como son: la humedad relativa, el espesor medio calculado con la relación área perímetro de la pieza, así

INTRODUCCIÓN

45

como el intervalo de tiempo transcurrido entre la puesta en carga de las armaduras y el momento de evaluación de las pérdidas.

o Pérdidas por relajación del acero de las armaduras activas (∆Pr). Son las pérdidas debidas a la relajación que sufre el acero que constituye las armaduras activas por estar sometidas a un estado tensional (pretensado) a lo largo de un período de tiempo. La disminución en la fuerza de pretensado por esta causa puede calcularse como:

( )[ ] ( )

∆+∆⋅−⋅⋅=∆+∆⋅−⋅=∆

xi

shfc

xishfcxirP

PPPPPPP 313 ρρ

donde ρ es la pérdida o relajación pura, referida a la tensión inicialmente aplicada a las armaduras y Pxi es la fuerza inicial de pretensado en una sección descontando las pérdidas instantáneas. El valor del coeficiente ρ depende del tiempo transcurrido, pudiendo utilizarse la siguiente expresión para su evaluación:

tKK loglog 21 ⋅+=ρ

donde 1

22

1

211 log;log2log

ρρ

ρρρ =⋅−= KK

siendo ρ1 la pérdida por relajación pura del acero a las 120 horas y ρ2 la pérdida por relajación al cabo de las 1000 horas. En la fórmula para el cálculo de ρ, el tiempo t debe expresarse en horas. Un valor considerado conservador para el tiempo t es de 1000000 horas (114 años). Las pérdidas por relajación pura a las 120 horas y a las 1000 horas, deben entenderse como los respectivos valores de unas pérdidas relativas de tensión registradas a la temperatura T del ambiente previsto para la estructura y para la relación:

puf

0σα =

que vaya a usarse en el proyecto. Con σ0 tensión inicial de pretensado y fpu resistencia última de las armaduras de pretensado. Los valores de ρ1 y ρ2 para tensiones iniciales de 0.6, 0.7 y 0.8 de fpu a la temperatura de 20ºC serán facilitadas por los fabricantes de las armaduras. Para el caso en que la tensión inicial de proyecto no se correspondiese con ninguno de los valores de α facilitados por el fabricante, la norma admite la interpolación lineal, suponiendo un valor de ρ=0 para el caso de α=0.5 (para la interpolación lineal de ρ1 y ρ2, caso de que fuese necesario, también se considerarían valores nulos con α=0.5). En la Norma EHE, se simplifica el cálculo con la aproximación:

( )2.03 =

∆+∆⋅

xi

shfc

P

PP

En la Instrucción de Hormigón Estructural , las pérdidas diferidas de pretensado son englobadas en una única expresión, que considera cada una de las causas de estas pérdidas.

INTRODUCCIÓN

46

1.6.3.- CONSIDERACIONES PARA ELEMENTOS PRETESADOS Para este tipo de elementos, además de las pérdidas especificadas en apartados anteriores, hay que tener en cuenta: o Pérdidas desde el momento de tesar hasta transferir la fuerza de tesado al

hormigón. � Penetración de cuñas en los estribos del banco de pretensado. � Relajación previa al hormigonado: Desde el momento que se tensan los

tendones, estos comienzan con el proceso de relajación, con lo que al transferir la tensión, esta no coincide con la inicial.

� Relajación adicional de la armadura por el proceso de calefacción: el apartado 20.2.3 de la EHE proporciona una expresión para estimarlas al calcular las pérdidas diferidas de pretensado.

� Pérdidas por dilatación térmica de la armadura por el proceso de calefacción: También el apartado 20.2.3 proporciona una expresión para evaluarlas.

� Retracción anterior a la transferencia: el hormigón comienza el proceso de retracción independientemente de cuando se produzca la transferencia de la carga de pretensado al elemento.

o A la hora de calcular las pérdidas diferidas, es posible tener en cuenta el proceso de curado por calefacción en la fluencia del hormigón, modificando la edad de carga del hormigón por una ficticia (ver apartado 20.2.3 de la EHE).

INTRODUCCIÓN

47

1.7.- BIBLIOGRAFÍA (1.1) Instrucción EHE para el proyecto y la ejecución de obras de hormigón estructural.

Ministerio de Fomento. Madrid, 1998. (1.2) Collins, Michael P.; Mitchel, Denis. Prestressed Concrete Structures. Prentice hall, 1997. (1.3) Calavera, José. Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón. INTEMAC, 1999. (1.4) Nawy, Edward G. Prestressed Concrete. A Fundamental Aproach. 4ª ed. Prentice Hall,

2003. (1.5) Lin, T. Y.; Burns, Ned H. Design of Prestressed Concrete Structures. 3ª ed. John wiley &

sons, 1981. (1.6) Krishna Raju, N. Prestressed Concrete. 4ª ed. McGraw-Hill, 2007. (1.7) Instrucción De Hormigón Estructural. EHE 08. Ministerio de Fomento. Madrid, 2011.

(1.8) Vecchio, F.J. Disturbed Stress Field Model for Reinforced Concrete: Formulation. 2000.

(1.9) Vecchio, F.J. Finite Element Modeling of Concrete Expansion and Confinement. J. Struct.

Engrg., ASCE, 1992.

(1.10) Kupfer, H.; Hilsdorf, H.K.; Rusch, H. Behaviour of Concrete under Biaxial Stresses. ACI Structural Journal, 1969.

(1.11) Gilbert, R.I.; Warner, R.F. Tension Stiffening in Reinforced Concrete Slabs. Journal of Structural Division, 1978.

(1.12) Código modelo CEB-FIP para Hormigón Estructural. Colegio de Ingenieros de Caminos. Madrid, 1990.

2.- ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DEL HORMIGÓN PRETENS ADO

ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO

51

2.1.- CÁLCULO EN PREFISURACIÓN Y CÁLCULO EN ROTURA Como se ha visto, la resistencia a tracción del hormigón no es nula. Su valor puede ser despreciable comparado con la resistencia de las armaduras, tanto activas como pasivas; sin embargo, es posible tener en cuenta la contribución del hormigón a resistir cargas a tracción, hasta el momento en que se produce la fisuración de este. Se dirá entonces que se está haciendo un cálculo en prefisuración. En el momento en que aparecen las fisuras, se produce un complejo reajuste de tensiones entre el hormigón y las armaduras, que varía conforme la fisuración aumenta hasta llegar a la rotura. Como simplificación, se establece que el hormigón fisurado no contribuye a resistir el esfuerzo de tracción, con lo que este será soportado por las armaduras. En ese momento, el cálculo se realizará en rotura. Sin embargo, se sabe que este no es el comportamiento real del elemento, ya que el hormigón que permanece entre las grietas si contribuye a soportar la carga de tracción, efecto que se conoce como “tension stiffening”, que también puede ser modelizado.

2.2.- ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGA AXIAL El empleo más frecuente de las piezas en tracción simple en las estructuras es como tirantes en edificios colgados o en puentes. En este caso, las formas de agotamiento más frecuentes son el estado límite de servicio por fisuración excesiva y la fragmentación total de la pieza (2.3). En el caso de compresión simple, la forma habitual de agotamiento es una fisuración paralela al eje de la pieza, de muy pequeño ancho de fisura. Esta fisuración indica el agotamiento del hormigón por compresión. Otra forma posible de agotamiento es el agotamiento por pandeo. Puede parecer que pretensar una pieza comprimida es contraproducente, ya que el pretensado reduce la capacidad resistente de la pieza. Sin embargo, en ciertas ocasiones interesa pretensar este tipo de piezas, ya que resultará útil frente a flexiones accidentales, como puede ocurrir en el caso de pilotes prefabricados (2.3). Se va a realizar el estudio de una sección transversal simétrica de área Ac, que puede contener armadura pretensada (Ap) y no pretensada (As), sometida a un esfuerzo axil N. Debido a esta solicitación, el elemento sufre un alargamiento ∆L, y una deformación εc=∆L/L.

εc = εsAc

Ap

As

∆LL

N N

Figura 18 Elemento sometido a carga axial, sección transversal y deformación del hormigón.

2.2.1.- ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD El hormigón y la armadura no pretensada tienen la misma deformación inicial, por lo que εs = εc a lo largo de toda la vida del elemento. Debido a la fuerza de pretensado, la deformación inicial de los tendones (∆εp) no es la misma que la del hormigón; pero una vez puesto en servicio el elemento, ambos sufren las mismas deformaciones. Así, εp = εc + ∆εp. El término ∆εp depende del tipo de pretensado (2.2):


52

Armaduras pretesas∆εp=εp-εc=εpcama

εp=εpcama

∆εp=εp-εc=εpi-εci

Armaduras postesas

εp=εpiεc=εci

Figura 19 Cálculo de la deformación inicial de la armadura activa.

Por tanto, las ecuaciones de compatibilidad serán:

εs = εc εp = εc + ∆εp

2.2.2.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO Considerando tensiones uniformes en el hormigón, las tensiones en las armaduras activas y pasivas también lo son. Planteando equilibrio en la sección transversal:

�AAA ppsscc =⋅±⋅+⋅ σσσ

El signo + ó – depende de que la solicitación externa sea de tracción o de compresión, respectivamente. En el caso de la tracción, hay que tener en cuenta que a partir de la fisuración del hormigón (εc=0.002), el equilibrio solo incluirá los términos de las armaduras.

2.2.3.- RESPUESTA DE UN ELEMENTO La respuesta de un elemento de sección conocida ante una solicitación axial se puede predecir utilizando las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad, y la relación tensión-deformación del hormigón y de los aceros. Para obtener la relación N-εc, el procedimiento consiste en elegir un valor de εc y calcular εs y εp con las ecuaciones de compatibilidad. Con las leyes de comportamiento de los distintos materiales se obtienen σc, σs y σp, y sustituyendo en la ecuación de equilibrio se obtiene N. (2.2)

2.2.4.- PRETENSADO DE UN ELEMENTO SOMETIDO A TRACCI ÓN SIMPLE Sea un tirante de hormigón sin armadura pasiva, de longitud L y de sección Ac, sometido a una solicitación externa de tracción N, que incluye el peso del elemento. Para mejorar su comportamiento, se somete a la carga de pretensado P, mediante un tendón de acero de alta resistencia. Este tendón se colocará en el baricentro de la sección, para que toda esta quede sometida a una tensión uniforme σp.


53

NN

LAp

Ac

PP

εcP εcN

εpP−ε

cP∆ε

pP

∆εpP

εpN

σP

σe

σf

Figura 20 Elemento sometido a tracción simple.

Se tendrá entonces:

σe=N/Ac; σp=P/Ac σf= σe+σp= -N/Ac+P/Ac

donde σe es la tensión debida a la solicitación exterior N, σp es la debida a la carga de pretensado P y σf es la tensión final, suma de las dos anteriores. En cualquier instante, se debe cumplir que las compresiones no superen la tensión admisible (que depende del tipo de hormigón utilizado), y que no haya tracciones, ya que la pieza no tiene armadura activa:

σp≤σcadm; σf= σe+σp≥0 Para que no haya tracciones:

-N/Ac+P/Ac≥0; 1/Ac(-N+P)≥0; P≥N La carga de pretensado debe ser mayor que la solicitación externa. Para que no se supere la tensión admisible:

P/Ac≤σcadm; Ac≥P/σcadm Además, la tensión en el tendón de acero no debe superar el valor admisible para ese acero:

P/Ap≤σpadm; Ap≥P/σpadm

2.2.5.- INFLUENCIA DEL PRETENSADO EN LA RESPUESTA Si se estudia la respuesta de dos elementos de hormigón de iguales dimensiones, uno con armaduras activas y el otro sin ellas, sometidos a carga axial, se obtienen las siguientes relaciones entre N y εc:


54

0 0.0020.001 ε

N (KN)

hormigón armado

-0.001-0.002 c

elemento deelemento dehormigón pretensado

Figura 21 Influencia del pretensado en la respuesta de un elemento sometido a carga axial.

En la figura 21, se puede observar que el pretensado: o No influye en la resistencia a tracción. o Aumenta la carga a la que se produce la fisuración del hormigón sometido a

tracción. o Desplaza la curva N-εc del origen, en sentido vertical. o Es perjudicial para el comportamiento a compresión (disminuye la resistencia a

compresión y aumenta las deformaciones).

2.3.- ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN Los elementos estructurales de hormigón pretensado más utilizados, vigas y losas, no trabajan exclusivamente bajo cargas axiales, sino que la solicitación más importante suele ser de flexión. Así, se va a estudiar la respuesta de un elemento sometido a solicitaciones de este tipo Se considera un elemento de sección transversal simétrica que puede contener armadura pretensada (Ap) y no pretensada (As), de área Ac, sometido a un flector M y a un axil N.

NL

As

Ap

Ac εcc

εct

εst φ

MN M

Figura 22 Elemento sometido a flexión y axil.

2.3.1.- ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Las tensiones y deformaciones en la sección no son uniformes. Sin embargo, según la hipótesis de St. Venant, se pueden considerar así. Además, según la hipótesis de Navier, las secciones planas permanecen planas, con lo que la ley de deformación será lineal, por lo que queda definida con sólo dos variables. De nuevo, como en el caso de carga axial, hay que tener en cuenta que, debido a la fuerza de pretensado, la deformación inicial de los tendones no es la misma que la del hormigón que los rodea. Utilizando como variables la deformación en el eje de la sección εcen y la curvatura φ, se tendrá:


55

εc = εcen - φ · y

εs = εc = εcen - φ · y εp = εcen - φ · y + ∆εp = εc + ∆εp

2.3.2.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO Planteando equilibrio de fuerzas y momentos sobre la sección:

�dAdAdApsc A

ppA

ssA

cc =++ ∫∫∫ σσσ

MydAydAydApsc A

ppA

ssA

cc −=++ ∫∫∫ σσσ

2.3.3.- RESPUESTA DEL ELEMENTO Conociendo las deformaciones en las fibras superior e inferior, las deformaciones son conocidas en toda la sección, y mediante las leyes de comportamiento del hormigón y los aceros se conoce la distribución de tensiones. Sin más que aplicar las ecuaciones de equilibrio se calculan el flector y el axil que provocan esas deformaciones. La principal dificultad estriba en la integración de las tensiones del hormigón, al ser una ley no lineal. Para simplificar dicha integración, existen dos procedimientos (2.2): o Discretizar la sección en elementos rectangulares, para los cuales la deformación

se considera constante. o Utilizar una distribución de tensiones uniforme equivalente a la real. En cualquier caso, con los avances computacionales, ya es posible obtener la respuesta del elemento sin necesidad de simplificaciones. Como ya se ha dicho, el hormigón es un material poco resistente a la tracción, por lo que es frecuente que en los elementos de hormigón pretensado sometidos a flexión, aparezcan grietas en las fibras traccionadas de la sección. El fallo por flexión ocurrirá típicamente en una sección fisurada, en la que el hormigón no soporta tensión. Por este motivo, aunque el hormigón entre grietas si contribuye a soportar la tracción, es práctica habitual despreciar las tensiones de tracción en el hormigón. (2.2) Para elementos sometidos a flexión pura se suele calcular la relación momento-curvatura y cuando el elemento está sometido a flexión y axil combinados, se calcula la región factible M-N. (2.2)

2.3.4.- PRETENSADO DE UN ELEMENTO SOMETIDO A FLEXIÓ N Sea un elemento de hormigón sin armadura pasiva, de longitud L y de sección Ac, sometido a momento flector externo M. Para mejorar su comportamiento, se somete a la carga de pretensado P, mediante un tendón de acero de alta resistencia. Para saber dónde colocar este tendón, se estudian las tensiones en el elemento.


56

PL

Ap

Ac

εcM

εtM

φ

MP M

εcP εcP εcM

σsP

σiP

σsE

σiE

σsF=σsP+σsE

σiF=σiE-σiP

Figura 23 Elemento sometido a flexión con tendón en el baricentro.

En la figura 23 se puede ver que si el tendón se coloca en el baricentro, la tensión de compresión producida por este en el hormigón aumenta las solicitaciones de compresión producidas por la propia flexión externa. Lo ideal, es conseguir producir mediante el pretensado una distribución de tensiones que sea mínima en la parte que va a estar sometida a compresión por el momento flector M. Así se tendrá:

P

L

Ap

AcMP

M

σsP

σiP

σsE

σiE

σsF=σsP+σsE

σiF=σiE-σiP

eP

M

MP=P·e

VS

VI

Figura 24 Elemento sometido a flexión con tendón a una distancia e del baricentro.

Para que el elemento soporte las solicitaciones, se tiene que cumplir en todo momento que no aparezcan tensiones de tracción en el hormigón y que las compresiones en este no superen los valores admisibles. Se tendrán las siguientes tensiones (tomando las compresiones positivas y las tracciones negativas): El momento exterior M produce en la cara superior y en la cara inferior respectivamente:

s

e

sW

M=σ

i

e

iW

M−=σ

La fuerza de pretensado P y el momento debido a la excentricidad e producen:

sc

p

sW

eP

A

P ·−=σ

ic

p

iW

eP

A

P ·+=σ


57

La excentricidad produce tracciones en la cara superior y compresiones en la cara inferior. La distribución ideal de tensiones por la carga de pretensado es triangular, ya que de esta manera, el pretensado no aumenta las tensiones de compresión que produce el momento externo. Además, el pretensado no puede producir tensiones de tracción en el hormigón Para que ocurra esto:

0· ≥−=sc

p

sW

eP

A

Pσ ; 01 ≥

−

c

sc

A

W

e

A

P

Como csc

s

s

sAV

I

A

W

V

IW

·=⇒= ;

Y además 2iA

I = , se tendrá:

scs

s

c VA

I

V

ie

V

i

e

A

P

·01

2

2=≤⇒≥

−

El valor máximo de e será scs VA

I

V

ie

·

2

max ==

Para que el pretensado no produzca tensiones de tracción en la cara superior, e no puede superar ese valor. Para que el pretensado no produzca tensiones de compresión superiores a las admisibles en el hormigón:

cadm

ic

p

iW

eP

A

P σσ ≤+= ·; cadm

c

ic

A

W

e

A

P σ≤

+1 ; cadmi

c i

Ve

A

P σ≤

+2

·1

Despejando P, tendremos el máximo valor de esta:

+≤

2

·1

·

i

Ve

AP

i

ccadmσ

Se puede ver que si e aumenta, la P máxima disminuye. Por tanto el valor máximo que puede alcanzar la carga de pretensado será mínimo cuando la excentricidad alcance el valor máximo:

( )

+

=

s

i

ccadm

V

V

AP

1

·minmax

σ


58

En el estado final , se tendrán las siguientes tensiones:

ssc

e

s

p

s

f

sW

M

W

eP

A

P +−=+= ·σσσ

iic

e

i

p

i

f

iW

M

W

eP

A

P −+=+= ·σσσ

En este estado, tampoco se pueden producir tensiones de tracción en el hormigón. Por tanto:

0· ≥−+=+=

iic

e

i

p

i

f

iW

M

W

eP

A

Pσσσ ;

+=+≤2

·1

·

i

eV

A

P

W

eP

A

P

W

M i

cici

Despejando P, se llega a:

+≥

2

·1

·

i

eV

A

W

MP

i

c

i

Con lo que se obtiene el mínimo valor de P necesario para evitar que se produzcan tracciones.

+=

2

min·

1

·

i

eV

A

W

MP

i

c

i

En este estado final, las tensiones de compresión en el hormigón tampoco pueden superar a las tensiones admisibles:

cadm

ssc

e

s

p

s

f

sW

M

W

eP

A

P σσσσ ≤+−=+= ·;

s

s

cs

c

sc

cadmW

M

i

Ve

A

P

W

M

A

W

e

A

P +

−=+

−≥2

·11σ ;

Despejando P:

−

−≤

2

·1

·

i

Ve

A

W

MP

s

c

s

cadmσ

Y el nuevo valor máximo de P, en este caso para que no se superen las tensiones admisibles en el hormigón es:

−

−=

2

max·

1

·

i

Ve

A

W

MP

s

c

s

cadmσ


59

Se han obtenido cuatro restricciones, a partir de los estados tensionales:

scs

p

sVA

I

V

ie

·0

2

=≤⇒≥σ

+≤⇒≤

2

·1

·

i

Ve

AP

i

ccadm

cadm

p

i

σσσ

+≥⇒≥+=

2

·1

·0

i

eV

A

W

MP

i

c

i

e

i

p

i

f

i σσσ

−

−≤⇒≤+=

2

·1

·

i

Ve

A

W

MP

s

c

s

cadmcadm

e

s

p

s

f

s σσσσσ

Si se representan las cuatro restricciones en un diagrama P-e (la carga de pretensado frente a la excentricidad), suponiendo conocidos el resto de los datos (datos de la sección, tensión admisible del hormigón y momento externo M), se obtiene la región factible P-e:

P-e

0

20000000

40000000

60000000

80000000

100000000

120000000

140000000

160000000

180000000

0 5 10 15 20 25 30 35

e (cm)

P (

N)

Pmax1 Pmin Pmax2 emax

La región delimitada por las tres curvas y la vertical correspondiente a la excentricidad máxima es la región admisible para los valores de la carga de pretensado y de la excentricidad. Si se despeja en las tres últimas expresiones Ac/P, se tienen las expresiones de tres rectas:


60

11·

1

·2

2

≥−⇒

+≤

icadm

c

i

ccadm

V

i

eP

A

i

Ve

AP

σ

σ

11·

1

·2

2

≤−⇒

+≥

i

i

c

i

c

i

V

i

e

W

M

P

A

i

eV

A

W

MP

11·

1

·2

2

≥+

−

⇒

−

−≤

s

s

cadm

c

s

c

s

cadm

V

i

e

V

M

P

A

i

Ve

A

W

MP

σ

σ

Estas tres rectas y el valor máximo de la excentricidad nos limitan la región admisible. Así, si se representan estas cuatro restricciones en un diagrama A/P-e, suponiendo conocidos el resto de los datos (datos de la sección, tensión admisible del hormigón y momento externo M), se obtiene la región factible A/P-e:

A/P-e

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 5 10 15 20 25 30 35

e (cm)

A/P

(m

m2/

N)

A/pmin1 A/pmax A/pmin2 emax

Así, la región admisible está limitada por cuatro líneas rectas, siendo la cuarta la correspondiente a la excentricidad máxima. Se puede estudiar cómo afectan distintas configuraciones del tendón en un elemento simplemente apoyado:


61

Figura 25 Momentos flectores a lo largo de vigas pretensadas simplemente apoyadas.

Figura 26 Esfuerzos en la sección central y en los extremos de vigas simplemente apoyadas.

2.4.- ELEMENTOS SOMETIDOS A CORTANTE Hasta ahora, el estudio se ha centrado en tensiones y deformaciones longitudinales, pero, en realidad, los elementos que soportan flexión, suelen estar también sometidos a tensiones tangenciales , que resultan en fisuras diagonales y pueden provocar el fallo prematuro del elemento si no se disponen las armaduras necesarias. Estas fisuras se producen cuando la tensión principal de tracción alcanza la tensión de resistencia a la tracción del hormigón, y son perpendiculares a la dirección de dicha tensión principal (2.2). Al diseñar elementos de hormigón armado, en primer lugar se dimensiona para resistir la flexión, de modo que la rotura sea dúctil, por las ventajas que este hecho presenta: grandes deformaciones previas al colapso, mayor aprovechamiento del acero,… Sin embargo, las roturas por cortante suelen ser más frágiles, por lo que interesa asegurar que la resistencia a cortante iguale o supere la resistencia a flexión. Sin embargo, no hay un criterio único en Normativas ni fórmulas de cálculo para determinar el comportamiento de un elemento de hormigón estructural ante combinaciones de esfuerzos con cortante. Un elemento típico de hormigón pretensado sometido a c ortante se muestra en la siguiente figura:

EN EL CENTRO DEL VANO

MOMENTOS FLECTORES


62

L

Ap

Ac

AsV-Vp σPτ

Figura 27 Elemento sometido a cortante (2.2).

Al estar el tendón inclinado, la fuerza de pretensado tiene una componente vertical (Vp) y una horizontal. La componente horizontal es la responsable de las tensiones normales. Aislando un elemento diferencial:

σP

τσII

σI

θ

Tensiones principalesτ

σP

σII σI

Círculo de Mohr

2θ

Figura 28 Tensiones de cortante en un elemento diferencial. Círculo de Mohr (2.2).

Antes de que se produzca fisuración , la tensión principal de tracción puede obtenerse a partir del círculo de Mohr :

2

2

22

++= pp

I

στ

σσ , siendo

( )A

VV

Ib

QVV p

med

y

yp −=

−= ττ ;

Donde I es el momento de inercia de la sección transversal, Qy el primer momento alrededor de la fibra neutra del área comprendida entre el extremo de la sección y el punto en el que se quiere calcular τ y by el ancho del elemento en el punto en cuestión. La fisura se formará cuando σI = σcr = resistencia a tracción del hormigón. A partir del círculo de Mohr, también se puede calcular la inclinación de la fisura , y se comprueba que si la compresión debida al pretensado, σp, aumenta, dicha inclinación disminuye, y además la tensión tangencial necesaria para provocar la grieta aumenta.

==

pp

aσ

τθσ

τθ 2tan2;

22tan pcrcr

pp

crcr σσσσσ

στ −=

−

−= 2

22

22; (σp<0)

Además de estas grietas que se forman en el alma de la sección en piezas no fisuradas previamente, existen también fisuras diagonales que se pueden formar como prolongación de fisuras de flexión ya existentes en el elemento.


63

Figura 29 Elemento sin fisuras previas de flexión.

Figura 30 Elemento con fisuras previas de flexión.

El cálculo de la resistencia a cortante de un elemento de hormigón que tiene fisuras de flexión ha sido objeto de estudio durante años. Algunos estudios consideran que la tensión tangencial alcanza su valor máximo en el eje de la sección y que permanece constante hasta el extremo traccionado del hormigón (Mörsch , 1902), y otros que toda la tensión es soportada por la zona comprimida (Zwoyer y Siess, Bressler y Pister, Guralnick, y Walter , en los años 50). En el año 2000, McGregor & Bartlett llegaron a la conclusión de que la fisuración por flexión provoca que la fisuración diagonal tenga lugar para una tensión principal de apenas un tercio de la tensión que predeciría un modelo elástico de hormigón (2.2). Puesto que ninguno de los modelos arroja resultados concluyentes, la mayoría de las Normas utilizan fórmulas empíricas para la estimación de esta resistencia. Antes de la fisuración del hormigón, las tensiones tangenciales provocadas por el cortante las soporta el hormigón mediante una tensión principal de compresión y otra, perpendicular a la anterior de tracción, como se puede ver en la figura:

Figura 31 Isostáticas de tracción y compresión en una viga sometida a cortante (2.2).

Cuando el hormigón se fisura completamente, éste ya no soporta tensiones de tracción. Para evitar el fallo frágil del elemento se deben disponer armaduras transversales o estribos que soportan las tracciones y permiten que la viga siga en uso. Inicialmente se recomendaba que las direcciones de armado debían ser lo más próximas posibles a las de las tensiones principales, suponiendo que se pueden considerar coincidentes para una desviación menor de 15º. Sin embargo, esta metodología resulta de complicada aplicación en estructuras cuyas solicitaciones y por tanto direcciones principales, pueden cambiar a lo largo de la vida útil.


64

El estudio del comportamiento del hormigón armado, debido a la drástica variación de las propiedades que se produce una vez se fisura el hormigón (necesaria para el aprovechamiento de la capacidad resistente de las armaduras), se estudia de dos maneras, según la naturaleza de las hipótesis simplificativas: • Estudio independiente del hormigón armado inalterado entre las fisuras (modelos

discretos ), que permite el análisis de los mecanismos resistentes de las fisuras. Estos modelos permiten el estudio, de manera relativamente sencilla, de fenómenos asociados a la fractura, como el rozamiento entre bordes de fisuras, la resistencia a flexión de las armaduras (efecto dovela). Son modelos muy complejos, debido al alto grado de detalle que poseen.

• Modelos distribuidos : que asimilan el hormigón armado a un material macroscópicamente homogéneo, que supone las fisuras distribuidas homogéneamente dentro del elemento. Su principal ventaja es que se modelan de manera relativamente sencilla en programas de elementos finitos; su inconveniente es la menor capacidad de simulación del comportamiento del hormigón fisurado, debido a las simplificaciones introducidas.

2.4.1.- MODELOS DE CÁLCULO DE LA RESISTENCIA A CORT ANTE Se han desarrollado diversos métodos de análisis de los elementos sometidos a cortante, de los que se desarrollarán los más extendidos.

2.4.1.1. MODELOS PARA VIGAS SIN ARMADURA DE CORTANT E Los mecanismos para transferir cortante en una viga sin armadura de cortante son los siguientes: tensiones tangenciales en el hormigón no fisurado , cortante-fricción entre las caras de fisura , efecto dovela introducido por la armadura longitudinal , efecto arco , y tensiones residuales de tracción transmitidas directamente a través de las fisuras. Se debe destacar que aún no está clara la importancia relativa que tiene cada uno de estos factores en la resistencia total de la pieza a cortante, y que dicha importancia relativa será función de la tipología de viga analizada. A continuación se explica detalladamente cada uno de estos mecanismos contribuyentes. Las tensiones tangenciales en el hormigón no fisurado son las que se producen en la cabeza de compresión, donde el hormigón no está fisurado. No constituyen un mecanismo muy importante para vigas esbeltas sin esfuerzo axil de compresión dado que la zona comprimida es relativamente pequeña. Por otro lado, después de que se produzca una significativa plastificación de la armadura longitudinal en los puntos de momento máximo, gran parte del cortante es resistido a través de este mecanismo. El cortante-fricción entre caras de fisura está basado en el engranamiento que proporcionan los áridos, los cuales, al sobresalir de la fisura, colaboran a la resistencia de la pieza. Sin embargo, en hormigones de alta resistencia, el árido se parte junto con el conglomerante y sigue existiendo cierta capacidad de transmisión de cortante a través de la fisura, por lo que el termino fricción parece más apropiado que el de engranamiento. Los cuatro parámetros básicos que controlan el cortante-fricción son las tensiones normal y tangencial en la fisura, el ancho de fisura y el deslizamiento de la misma. El efecto dovela introducido por la armadura longitudi nal o efecto pasador no será muy importante en elementos sin armadura de cortante, ya que el cortante


65

máximo en una dovela está limitado por la resistencia a tracción del hormigón. No obstante, este efecto puede ser significativo en elementos con grandes cantidades de armadura longitudinal, especialmente si ésta se distribuye en capas. El efecto arco aparece cuando el flujo de cortante no puede ser transmitido, bien debido a que el acero longitudinal no presenta adherencia o a que este flujo está impedido por la presencia de una fisura inclinada que se extiende de la carga al apoyo. Vendrá determinado por la relación entre la luz de cortante y el canto efectivo de la pieza (a/d), siendo este efecto más marcado cuanto menor sea la relación citada. Las tensiones residuales de tracción transmitidas directamente a través de las fisuras hacen referencia a las tensiones de tracción que continúan transmitiendo los pequeños puentes de hormigón formados entre las superficies de las fisuras, y que contribuyen también a resistir el cortante exterior aplicado. La aplicación de modelos de mecánica de fractura se basa en la premisa de que las tracciones residuales son el principal mecanismo resistente frente al esfuerzo cortante.

C1

VCZ

Va

Vay

Vax

Vd

T2

T1

C'1V'CZ

Vd

T2

Vax

Vay

Va

Figura 32 Fuerzas de transferencia de cortante en una viga sin armadura de cortante. (2.8).

En la figura 32 se adjunta el esquema de fuerzas que transfieren el cortante en una viga sin estribos propuesto por MacGregor . Los mecanismos de transferencia de cortante que se desarrollan son los siguientes: Vcz es el cortante soportado por la zona sin fisurar, Vay es la componente vertical del cortante resistida a través del mecanismo de cortante-fricción entre caras de fisura (Va), y Vd es el cortante resistido por el efecto pasador que introduce la armadura longitudinal. Inmediatamente después del inicio de la fisuración inclinada, la aportación resistente de Va y de Vd puede alcanzar un valor entre el 40 y el 60% del valor total del cortante aplicado. A medida que se va abriendo la fisura, la contribución de Va va disminuyendo mientras se incrementa la fracción de cortante resistida por Vcz y Vd. El efecto dovela Vd conducirá, a la larga, a que aparezca una fisura a lo largo de la armadura longitudinal provocada por la presión que ésta ejerce. Al producirse esta fisura, desaparecerá la contribución Vd y el mecanismo resistente pasará a ser el que aporta Vcz. No obstante, no es este el único mecanismo de rotura a cortante posible a desarrollar para vigas sin armadura de cortante. Los momentos y cortantes necesarios para que se produzca la fisuración inclinada y la rotura dependen principalmente de la relación a/d . En la figura 33 se puede observar la influencia de este cociente en la fisuración inclinada y en los distintos tipos de rotura.


66

1 6.5 a/dMom

ento

en

el p

unto

de

aplic

ació

n de

la c

arga

Cor

tant

e

2.5

profundidad

Mc

muy corto esbeltocorto

muy esbelto

fallo

grietasdiagonales

grietas diagonalesy fallo

capacidad aflexión

1 6.5 a/d2.5

fallopor

cortante

capacidad aflexión

grietas diagonales y fallogrietasdiagonales

Figura 33 Efecto de la relación a/d. (2.8).

Para vigas con relaciones a/d menores que 1,0 se desarrollan fisuras inclinadas que unen la carga con el soporte. Estas fisuras destruyen el flujo de cortante horizontal desde el acero longitudinal hasta la zona de compresiones y el comportamiento de estas vigas cambia de un estado tipo viga a un estado tipo arco. Para el caso de relaciones a/d entre 1,0 y 2,5 se generan fisuras diagonales. El fallo final de este tipo de vigas se producirá por aplastamiento del hormigón, o por un fallo a lo largo de la armadura longitudinal (efecto dovela). Para vigas con valores de a/d mayores que 2,5 las fisuras inclinadas impiden el equilibrio, de modo que la viga falla para la carga de formación de la fisura inclinada. Si la relación a/d es muy grande , la viga fallará por flexión antes de que se puedan formar las fisuras diagonales. A partir del estudio de estos mecanismos, se fueron desarrollando diferentes modelos para el estudio de la resistencia a cortante. Así, antes de la fisuración , la tensión máxima de corte en el alma se puede calcular asumiendo la teoría tradicional para piezas homogéneas, elásticas y no fisuradas:

y

y

Ib

VQ=τ ; pcrcr

pp

crcr σσσσσ

στ −=

−

−= 2

22

22

Donde I es el momento de inercia de la sección transversal, Q el primer momento alrededor de la fibra neutra del área comprendida entre el extremo de la sección y el punto en el que se quiere calcular τ y b el ancho del elemento en el punto en cuestión. Según el código ACI, el valor del cortante que produce la primera fisura diagonal se puede aproximar como:

( ) ppccr VbdfV +−= σ3.0'29.0

En 1902, Mörsch obtuvo la distribución de tensiones tangenciales para una viga de hormigón armado con fisuras de flexión . Predijo que la tensión tangencial alcanzaría su valor máximo en la fibra neutra, donde la deformación longitudinal es nula y permanecería constante hasta la armadura longitudinal de flexión. El valor del esfuerzo cortante máximo sería, siendo bw el ancho del alma y z el brazo mecánico de flexión:

zb

V

w

=τ


67

∆

τ=V/(bwz)

x

C C+∆C

T T+∆T T T+∆Tτz

∆x

∆T=∆M/z

bw

d

Figura 34 Distribución de tensiones tangenciales en una viga con fisuras de

flexión según Mörsch y el código ACI (2.2).

Mörsch reconoció que su fórmula era una simplificación, ya que parte de la fuerza transversal podía ser resistida mediante la inclinación de la compresión principal de forma que las costillas de hormigón entre las fisuras longitudinales flectarían produciendo fuerzas de dovela en el acero longitudinal. Al tratarse de una aproximación, el código ACI de 1963 lo simplificó:

db

V

w

=τ

Siendo d la distancia de la fibra más comprimida al centro de gravedad de los refuerzos longitudinales de tracción. A partir de distintas investigaciones, el código ACI propuso como tensión tangencial máxima por flexión-cortante para hormigón armado:

cwccr fM

dVf '29.017'16.0 ≤+= ρτ

En 1964, Kani propuso una aproximación más realista considerando el problema de la flexión de los “dientes” de hormigón entre las fisuras de flexión. El hormigón entre dos fisuras adyacentes se consideraba análogamente a un diente de un peine. Se asumía que los dientes de cortante eran voladizos empotrados en la zona de compresión de la viga y cargados por el cortante horizontal procedente de la armadura longitudinal. Cuando este esfuerzo alcanzaba un valor suficiente para arrancar el diente, se formaban las fisuras diagonales. Esta teoría fue el principio de teorías más racionales: Fenwick y Paulay (1968), Taylor (1974), Hamadi y Regan (1980), Reineck (1991), entre otros. Kani planteó el problema del efecto tamaño en 1967, cuando demostró que al aumentar el canto de una viga, disminuía la tensión tangencial de rotura. Al incrementar el canto, el ancho de fisura tiende a aumentar, lo que lleva a una reducción del engranamiento entre áridos, dando lugar a una fisuración diagonal


68

más temprana. Collins y Kuchma (1999) demostraron que el efecto tamaño desaparece en vigas sin armadura a cortante cuando estas contienen suficiente armadura horizontal distribuida en el alma. El código ACI sugiere que el cortante necesario para producir fisuras de flexión-cortante en elementos pretensados puede obtenerse sumando 0.05√(f’c)bd al cortante que existe en el momento en que se forma la primera grieta de flexión:

bdfMM

VV ccrcr '05.0+=

A la hora de desarrollar ecuaciones para el diseño de elementos de hormigón, los métodos empíricos han sido muy importantes. La siguiente ecuación:

6

ccf

bd

V== τ

representa el límite inferior de tensiones medias tangenciales en rotura, y fue la base de la resistencia a cortante de la instrucción EH-91, siendo un razonable límite inferior para vigas de pequeño canto sin esfuerzo axil y con un mínimo de 1% de armadura longitudinal. Una fórmula empírica más sofisticada se encuentra en el código modelo CEB-FIP (1990), basada en la formulación de Zsutty (1968, 1971), que añade un término adicional para tener en cuenta el efecto tamaño. Esta ecuación lleva implícito un coeficiente de seguridad del material del hormigón, que desaparece sin más que sustituir el valor 0.12 por 0.15:

( ) 31

31

1003200

112.0 cks

s

c fa

d

dbd

V ρτ

+==

El término d/as es de difícil evaluación, ya que as es la luz cortante, definida como la distancia del punto de apoyo al punto de aplicación de la carga puntual. Para superar esta dificultad y considerar la influencia de los esfuerzos axiles, la instrucción EHE-98 adoptó la ecuación:

( ) cdcksc f

dbd

V'15.0100

200112.0 3

1 σρτ −

+== (2.1)

Donde σ’cd=Nd/Ac, siendo Nd el esfuerzo axil mayorado (tracción positiva) y Ac el área de la sección de hormigón. La EHE-2008 apenas modifica esta expresión, pero la convierte en:

( ) cdcks

c

c fdbd

V'15.0100

2001

18.031 σρ

γτ +

+== (2.6)

Para tener en cuenta el coeficiente de minoración de resistencia del hormigón, y expresar Nd como compresión positiva. En cualquier caso, elementos sin armadura a cortante sujetos a esfuerzos axiles grandes de compresión y cortante pueden fallar de manera muy frágil en el


69

momento de aparición de la primera fisura diagonal (Gupta y Collins, 1993), por lo que debería utilizarse un planteamiento conservador para estos elementos. Se han propuesto modelos de mecánica de fractura que incluyen la tensión de tracción pico en la proximidad de la punta de la fisura frente a la tensión de tracción reducida en la zona de la fisura. Este planteamiento ofrece una posible explicación del efecto tamaño. Modelos de este tipo son el modelo de la fisura ficticia (“fictious crack model,”, Hilldeborg et al. 1976) y el modelo de figuración en bandas (“crack band model”, Bazant y Oh, 1983). La teoría modificada del campo de compresiones (MCFT, Vecchio y Collins , 1986) es un modelo general para la obtención de la respuesta de elementos de dos dimensiones de hormigón armado fisurado sometidos a cortante. Se formula en términos de tensiones medias y es necesaria una comprobación para asegurar que las cargas resistidas por las tensiones medias pueden ser transmitidas a nivel local a través de la fisura. Para elementos sin armadura de cortante, las tensiones locales en las fisuras siempre controlan la capacidad del elemento y las tensiones medias sólo se utilizan para estimar la inclinación de la fisura diagonal.

2.4.1.2. MODELO DE LAS BIELAS DE COMPRESIÓN A 45º Este método fue desarrollado por Ritter (1899) y Mörsch (1902), de manera independiente, a principios del siglo XX. Consiste en suponer que una viga sometida a tensiones tangenciales provocadas por un esfuerzo cortante, se comporta como una celosía como la de la figura:

Figura 35 Modelo original de las bielas de compresión a 45º (2.2).

Las diagonales comprimidas representan el hormigón entre fisuras y los elementos verticales los estribos traccionados. Ambos componentes están unidos en sus extremos inferiores por la armadura longitudinal de tracción y en sus extremos superiores por la cabeza comprimida del hormigón. Mörsch revisó el modelo posteriormente y concluyó que más que las bielas discretas de hormigón, lo que existe es un campo continuo de tensiones de compresión diagonales:

Figura 36 Modelo revisado de las bielas de compresión a 45º (2.2).


70

Tras la fisuración se desprecian las tensiones de tracción en el hormigón y se considera que la tensión principal de compresión sigue formando 45º con el eje del elemento; además, se supone que el campo de tensiones en las bielas comprimidas es uniforme.

z

b

Av

s

σII

Nv/2

Nv/2

VM

s

s/√2σIIσvAv

z/√2

Figura 37 Equilibrio. Modelo de las bielas de compresión a 45º (2.2).

En la figura, Nv es la sobretensión que aparece en la armadura longitudinal por el cortante.

2.4.1.2.1. ECUACIONES DE EQUILIBRIO A partir de la figura 37, haciendo equilibrio de fuerzas: Equilibrio de fuerzas verticales:

zb

Vsen

zbV IIII

·

·245·

2· =⇒= σσ

Equilibrio de fuerzas horizontales:

Vz

b� IIv == 45·cos2

·σ

Equilibrio en los estribos:

z

V

s

Asen

sbA vv

IIvv =⇒= σσσ ·45·

2··

Por tanto, la tensión tangencial máxima (τ=V/bz), se alcanzará cuando se alcance el valor de agotamiento del hormigón, se agote el acero longitudinal o el de los estribos:

=bs

fA

bz

fAf yvysc ;;2

maxτ

El caso θ=45º es el más desfavorable, y, si bien Mörsch reconoce que la hipótesis es conservativa, la adopta ante la incapacidad de poder determinar la inclinación real de las fisuras matemáticamente.


71

De las ecuaciones de equilibrio se deducen las distintas formas de colapsar de una viga a cortante :

o Rotura por agotamiento de hormigón : Si el valor de la tensión principal de compresión del hormigón alcanza el valor de la resistencia a compresión del mismo, se produce el aplastamiento del alma. Esto puede ocurrir en vigas con almas muy delgadas. Para predecir la resistencia a cortante mediante el uso de celosías es necesario utilizar una resistencia característica “efectiva” del hormigón, que, no olvidemos, está sometido a compresión combinada con tracción. Se recomienda el valor 0.6 fck.

o Rotura por plastificación de la armadura traccionada : la componente longitudinal de las tensiones diagonales debe ser contrarrestada por una fuerza de tracción en la armadura longitudinal.

o Rotura por plastificación de los cercos : Se produce cuando el valor de σv alcanza fy. Sin embargo, los cercos no contribuyen a soportar el esfuerzo cortante si no son atravesados por ninguna fisura inclinada, por lo que, para que los cercos contribuyan, la separación entre estos debe ser menor que el canto útil de la viga y deben estar correctamente anclados.

Entre 1904 y 1922 varios investigadores americanos probaron, basándose en la evidencia experimental, que los resultados obtenidos mediante el método de Ritter y Mörsch eran bastante conservadores. Como se observa en la siguiente figura, según este modelo una viga sin estribos no resiste ninguna tensión a cortante, mientras que los resultados experimentales demuestran que no es así. El hormigón resiste hasta que la tensión principal de tracción alcanza el valor de la resistencia a tracción, y a partir de ese momento se fisura diagonalmente.

V

σv

Resulta

dos exp

erimentales

Mod

elo d

e las

biel

as d

e co

mpr

esion

a 45

º

Figura 38 Comparación entre resultados experimentales y el modelo de Ritter y Mösch (2.2).

Así, de 1921 a 1951 el método se fue modificando de manera experimental, utilizando métodos cada vez menos conservadores, hasta que se produjo la rotura frágil de los almacenes Wilkins Air Force Depot, en Ohio en 1957, lo que produjo que se cuestionaran los métodos tradicionales.


72

2.4.1.3. MODELO DE LAS BIELAS DE COMPRESIÓN CON INC LINACIÓN VARIABLE El modelo de las bielas de compresión a 45º es demasiado conservativo por dos motivos: desprecia las tensiones de tracción en el hormigón tras la fisuración, y supone que θ=45º. El modelo de las bielas de compresión con inclinación variable se centra en el segundo motivo: la inclinación de las fisuras, ante la evidencia experimental de que normalmente el ángulo de inclinación de las fisuras en elementos de hormigón es menor que 45º.

2.4.1.3.1. ECUACIONES DE EQUILIBRIO Las ecuaciones de equilibrio con un ángulo θ de fisura quedan:

z

b

Av

s

z·cosθ

σII

Nv/2

Nv/2

VM

s

s·senθσIIσvAv

θ

Figura 39 Equilibrio. Modelo de las bielas de compresión con ángulo de fisura variable (2.2).

Equilibrio de fuerzas verticales:

θθσθθσ

·cos

1··

·cos···senzb

VzbsenV IIII =⇒=

Equilibrio de fuerzas horizontales:

θθθσ gVzb� IIv ·cot·cos···cos ==

Equilibrio en los estribos:

θσθθσσ ·tan·

·····z

V

s

AsensbsenA vv

IIvv =⇒=

Para este modelo, el máximo valor de la tensión tangencial será:

=bs

gfA

bz

fAsenf

yvys

c

θθθθτ

cot;

tan;cosmax

Hay tres ecuaciones de equilibrio y cuatro incógnitas: σII, Nv, σv, θ. Este hecho llevo a Mörsch a pensar que el problema no tenía solución matemática. Existen varias propuestas para cerrar el problema:

o Ritter y Mörsch tomaron θ=45º.


73

o Kupfer propuso determinar θ usando principios de energía mínima, según los cuales los elementos más rígidos deben soportar más carga. Como normalmente la armadura longitudinal es más rígida que los estribos, θ será menor que 45º.

o Nielsen y Braestrup extendieron el modelo al dominio plástico,

suponiendo un mecanismo de rotura, en 1975.

2.4.1.4. TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES Al estudiar el problema de la transmisión de esfuerzos cortantes en al alma de vigas metálicas tras producirse la abolladura, Wagner (Metal Beams with Very Thin Webs. Zeitschrift fur Flugtechnik und Motorluftschiffahr, 1929), supuso que, incapaz de resistir compresiones, los esfuerzos son transmitidos por bielas de tracción. La determinación de la inclinación de estas bielas se realiza suponiéndolas paralelas a las deformaciones principales de tracción. Este planteamiento se determinó Teoría del Campo de Tracciones (Tension Field Theory). Collins y Vecchio , estudiaron de forma equivalente el problema de transmisión de cortante en el hormigón en 1978 (Collins, M.P. and Vecchio, F. Stress-Strain Characteristics of Reinforced Concrete in Pure Shear. Technical report, Int. Assoc. for Bridge and Structural Engineering, Zurich (Switzerland), 1981), basándose en dos hipótesis:

o Tras la fisuración el hormigón no resiste tracción y el cortante es soportado por un campo de compresiones diagonales.

o El ángulo de inclinación de las fisuras, θ, coincide con el ángulo de

inclinación de las deformaciones principales de compresión. En este modelo se idealiza el hormigón fisurado como un material en el que las direcciones principales de tensión y de deformación coinciden en todo momento, adaptando su inclinación a la situación de carga correspondiente. Esta hipótesis simplificativa está justificada y comprobada experimentalmente, de modo que ambas direcciones principales son paralelas con un margen de error de ± 10%. Así, a partir del círculo de Mohr de deformaciones podemos hallar la inclinación de las grietas:

εx

γxt/2

εt

2θ

εIεII

εtεII

εI

εx

ε

γ/2

θ

θ

Figura 40 Teoría del campo de compresiones. Círculo de Mohr (2.2).


74

Del círculo de Mohr, se pueden obtener las relaciones:

IIt

xt

εεθ

γ

−= 2tan ;

2

tanxt

IIx

γ

εεθ −=

Con lo que se llega a:

IIt

IIx

εεεεθ

−−

=2tan

εx es la deformación longitudinal, positiva cuando es de tracción. εt es la deformación transversal, positiva cuando es de tracción. εII es la deformación principal de compresión, por tanto negativa. Del círculo de Mohr se puede obtener también la deformación principal de tracción y la deformación tangencial:

εI=εx+εt-εII γxt=2·(εx-εII)·cotgθ

Así pues se tiene un sistema de cinco ecuaciones y cinco incógnitas: tensión en las armaduras longitudinales (σs), tensión en los tendones pretensados (σp), tensión en los estribos (σv), tensión de compresión en el hormigón (σII) y la inclinación de las fisuras (θ). Para calcularlas, las cinco ecuaciones disponibles son las tres obtenidas en el apartado anterior por equilibrio, dos ecuaciones de compatibilidad y las leyes de comportamiento de cada material:

=⇒=

=+

==+=

=⇒=

θσ

θθσσ

θσσθθθσ

σσθθ

σθθσ

·tan·

·····

·cot···cot·cos···cos

···cos

1··

·cos···

z

V

s

AsensbsenA

gVAAgVzb�

AA�senzb

VzbsenV

equilibrio

vv

IIvv

ppss

IIv

ppssv

IIII

∆+=−−

=

pxp

IIt

IIx

idadcompatibil

εεεεεεεθ2tan

=⇒<

−=

≤=≤=≤=

IIcIIcII

c

II

c

II

c

II

ysxss

ypppp

yvtsv

Esif

E

E

E

entocomportami

εσσσεε

εεσ

σεσσεσσεσ

·'·6.0;''

·2

·

·

·

2

max

Una de las novedades que introduce esta teoría es que el hormigón fisurado no se comporta como el hormigón sometido a compresión uniaxial, sino que su comportamiento es, más bien, como el del hormigón sometido a compresión-tracción combinadas, por lo que se utiliza la expresión que incluye el ablandamiento del hormigón bajo este tipo de solicitaciones, con

Ic

c

f

f

ε1708.0

1max

+=


75

donde fc es la tensión máxima de compresión del hormigón en el ensayo uniaxial. La teoría del campo de compresiones ignora la contribución del hormigón para soportar las tracciones, por lo que sobrestima las deformaciones y proporciona valores conservativos de la resistencia del elemento. Para tener en cuenta la contribución del hormigón surge la teoría del campo de compresiones modificada.

2.4.1.5. TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES MODIFICAD A En la teoría del campo de compresiones modificada la tensión de tracción en el hormigón entre grietas no es nula, y va desde un valor nulo en la fisura hasta un valor máximo en el punto medio entre dos grietas:

σI

σII σII σII

σI

antes de la fisuraciónσII=σI θ=45°

teoría del campo de compresiones, σI=0

teoría del campo de compresiones

modificada, σI≠0

Figura 41 Campo de tensiones en una viga sometida a cortante (2.2).

La distribución de tensiones sería:

z

b

Av

s

z·cosθ

σII

Nv/2

Nv/2

s

s·senθσII

σvAv

θσI

σI

σII

2θ

σP

τ

σI

σ

τ

distribución de tensionesde tracción en el hormigón

Figura 42 Teoría del campo de compresiones modificada. Equilibrio y círculo de

Mohr en la sección de momento externo nulo (2.2).

Planteando las ecuaciones de equilibrio en valores medios de las t ensiones :

Del círculo de Mohr se obtiene: σII = (tan θ + cotg θ)·τ - σI, con zb

V

·=τ


76

Haciendo equilibrio en los estribos : sbsenA IIIvv ·)··cos·(· 22 θσθσσ −=

Sustituyendo σII queda: θσθσ ·cot··

·cot·· zs

AzbV vv

I

+=

La estructura de la ecuación anterior muestra que parte del cortante es resistido por el hormigón y parte por las armaduras: V = Vc + Vs. Si el elemento no está sometido a carga axial, la ecuación de equilibrio longitudinal sería:

( ) zbAA� IIIppssv ···sin·cos 22 θσθσσσ −=+=

y sustituyendo σII queda:

zbVAA Ippss ···cot σθσσ −=+

donde el subíndice s hace referencia a las armaduras longitudinales no pretensadas y el subíndice p a las pretensadas. De nuevo, la relación tensión–deformación para el hormigón tiene en cuenta el fenómeno del ablandamiento , al someter al hormigón a compresión y tracción combinadas. La modificación fundamental que se introduce es la resistencia a la tracción que aporta el hormigón, por efecto de “tensión stiffening ”, que queda modelado utilizando la siguiente expresión:

Si εI≤εcr � σI=Ec·εI

Si εI> εcr � ( ) 2

1

21

5001 I

crI

εσαασ

+=

Donde εcr y σcr son la deformación y la resistencia en el momento de la fisuración y α1 y α2 son factores que dependen del tipo de refuerzo y del tipo de carga. El principal problema de esta teoría es que plantea unas tensiones medias para las diagonales de hormigón, pero, tal y como se puede ver en la figura anterior, la distribución de tensiones de tracción en el hormigón no es uniforme, sino que disminuye desde un valor máximo entre fisuras hasta cero en la superficie de la grieta. En las fisuras, las tensiones de tracción en la armadura serán mayores que la media, mientras que en la zona entre fisuras serán menores que la media. Para el hormigón sucede lo contrario, ya que sus tensiones de tracción serán nulas en las fisuras, y mayores que la media en la zona entre fisuras. Estas variaciones locales son importantes porque la capacidad última de un elemento sometido a un estado de tensiones biaxial puede estar gobernada por la habilidad del acero de transmitir tracción a través de las fisuras. De hecho, la Teoría del Campo de Compresiones presentaba mejores resultados a la hora de predecir la resistencia de un elemento, al considerar nula la resistencia a tracción del hormigón, que es lo que sucede en la grieta. Por lo tanto, además de establecer las ecuaciones generales de equilibrio expresadas en términos de tensiones medias, también se deben establecer unas ecuaciones de equilibrio a nivel de fisuras . Así, puede ocurrir que la fractura esté gobernada por las tensiones locales en la fisura. Esto supone limitar las tensiones medias en el hormigón a un valor máximo determinado por la tensión de la armadura en la fisura y la capacidad de la superficie de la fisura para transmitir tensiones tangenciales. Para valores bajos de carga, los incrementos de cortante son absorbidos por incrementos de tracción en los estribos, en la localización de las fisuras. Pero cuando la tensión en los estribos alcanza el valor del límite elástico del acero, el aumento de cortante tiene que absorberse por tensiones tangenciales locales en la superficie de las fisuras , τci:


77

detalle de la fisura

21

1

tensiones medias

2

Avσv

σI

Avσvy

τci

tensiones locales en la fisura

Figura 43 Transmisión de cargas a través de la fisura (2.2).

A partir de los resultados obtenidos experimentalmente por Walraven, es posible simplificar la expresión original de Vecchio y Collins para la tensión tangencial admisible en la superficie de la fisura:

16

·243.0

'·18.0

++

=

a

w

c

ci

στ

τci depende, según esta expresión, del ancho de la fisura, w, y del tamaño máximo del árido, a. El ancho de la fisura se estimará como el producto de la deformación principal de tracción, εI, y el espacio medio entre fisuras, smθ.

θε mI sw ·= con

mvmx

m

ss

s θθθ cossin

1

+=

donde: smx es el espacio medio entre fisuras si el elemento estuviera sometido a tracción longitudinal. smv es el espacio medio entre fisuras si el elemento estuviera sometido a tracción transversal.

smθ

θ

smx

smv

Figura 44 Espacio medio entre fisuras (2.2).


78

Para calcular smx y smv se utilizan las expresiones del código CEB-FTP:

x

bxIxmx

dk

scs

ρ··25.0

10·2 +

+=

v

bvIvmv

dk

scs

ρ··25.0

10·2 +

+=

donde:

sb

Avv

·=ρ es la cuantía geométrica de armadura transversal.

c

ps

xA

AA +=ρ es la cuantía geométrica de armadura longitudinal.

kI = 0.4 para barras corrugadas y kI = 0.8 para barras lisas y cables. cx y cv son los recubrimientos interiores de las armaduras longitudinales y transversales. dbx y dbv son los diámetros de las barras horizontales y verticales. Una vez determinada la capacidad de transmitir cortante de la fisura, se plantea el equilibrio en los estribos entre los estados tensio nales de las secciones 1 y 2 de la figura 43:

( )vvyv

ciIcivyvIvvbs

Azb

s

zA

zb

s

zA σσθτστ

θσθ

θσ

θσ −+=⇒+=+ ·

··tan··

·tan··cos

sin

··

·tan··

Del equilibrio de fuerzas horizontales en la fisura se obtiene otra limitación para la magnitud de la tracción en el hormigón, que deberá ser inferior al valor correspondiente a la plastificación de la armadura longitudinal en la fisura, de modo que deberá verificarse que:

( ) θσσ 2cotbzbs

AffbzfAfA vvvyIIsxsys

−−++=

A partir del equilibrio en los estribos y suponiendo que la armadura transversal ha plastificado completamente, se deduce la expresión límite de σI:

16

243.0

18.0

++

≤

a

w

tgfcI

θσ

Si se representan estas limitaciones de la resistencia a tracción, la relación tensión-deformación de tracción resultante queda:


79

ε00

(MPa)σs

εct

σct

hormigón no

fisuradotensorrigidez

plastificación

Figura 45 Comportamiento del hormigón a tracción: tension stiffening y

limitaciones por plastificación (2.2).

La segunda rama descendente es la que representa la limitación de la resistencia a tracción por plastificación del acero en la fisura. La inclusión de esta hipótesis convierte el modelo en una mezcla entre distribuido y discreto. Cladera , en su trabajo Shear design of reinforced high-strength concrete, de 2002, presenta una simplificación del método para facilitar la implementación en programas de elementos finitos. Como se ha explicado en el apartado anterior, el principal problema de esta teoría es que plantea unas tensiones medias para las diagonales de hormigón, pero puede ocurrir que la fractura esté gobernada por las tensiones locales e n la fisura , por lo que habrá que realizar comprobaciones en la fisura . Esto supone limitar las tensiones medias en el hormigón a un va lor máximo determinado por la tensión de la armadura en la fisura y la cap acidad de la superficie de la fisura para transmitir tensiones tangenciales . Además, se ha criticado el tratamiento excesivamente simplificado con que se estudia el comportamiento del acero. También se han planteado dudas acerca del efecto del rozamiento entre bordes de fisura en la ecuación constitutiva del hormigón: si el ángulo de fisura es perpendicular a la dirección principal de tracción, como es posible la existencia de tensiones tangenciales en el borde de la fisura. La respuesta de los autores de la teoría es que la dirección principal de tracción en la fisura no coincide con la media. En resumen:

( )

( )

−=−=+=

+=

=+=

zbVzbAA�

zs

AzbV

zb

Vtg

equilibrio

IIIIppssv

vvI

II

···cot···sin·cos

·cot··

·cot··

·;cot

22 σθθσθσσσ

θσθσ

ττθθσ

∆+=−−

=

pxp

IIt

IIx

idadcompatibil

εεεεεεεθ2tan


80

( )

+=⇒>

=⇒≤+

=

−=

=⇒<≤=≤=≤=

21

21

max

2

max

5001

1708.0

1;

''·2

·'·6.0

·

·

·

I

crIcrI

IcIcrI

Ic

c

c

II

c

II

c

II

IIcIIcII

ysxss

ypppp

yvtsv

si

Esi

f

f

f

Esi

E

E

E

entocomportami

εσαασεε

εσεεεε

εεεσ

εσσσσεσσεσσεσ

( )( )

−−++=

−+=

θσσ

σσθτσ

2cot

··

·tan

bzbs

AffbzfAfA

bs

A

nesrestricciov

vvyIIsxsys

vvyv

ciI

2.4.1.5.1. SIMPLIFICACIONES DE DISEÑO EN LA TMCC En 2006, Bentz, Vecchio y Collins publicaron en el ACI Structural Journal, un artículo en el que, aplicando una serie de simplificaciones, redefinían las ecuaciones básicas de la teoría, para utilizarlas de modo más práctico en el diseño de secciones sometidas a cortante combinado con axil y flector. El cortante se repartía entre la armadura transversal y el hormigón. La contribución del hormigón debida al campo principal de tracciones era:

Vc=σIbzcotgθ Que puede ser expresada como:

bzfV cc β=

Así,

( )Ic

ctIc

f

ff

εθααβθσβ

5001

cot;cot 21

+==

Como, según ACI 318, fct=0.33√(fc), al sustituir queda:

Iεθααβ

5001

cot33.021

+=

La limitación a la tensión principal de tracción por la plastificación del acero:

16

243.0

18.0

++

≤

a

w

tgfcI

θσ

como θεθβσ mIcI swtgf == ;


81

16

243.0

18.0

++

≤

a

smI θεβ

Por tanto al aumentar εI, disminuye β y por tanto la aportación del hormigón a resistir cortante. Para elementos sin armadura transversal, smθ=sx/senθ:

θεβ

ε

sen

sxI686.03.0

18.0

+≤

sxε=35sx/(a+16)

Igualando las dos expresiones obtenidas para β y despejando tgθ:

( )I

Ix

sen

s

εθ

ε

θ

ε

5001

258.1568.0

tan+

+=

Para elementos sin armadura transversal se cumple σII=σIcot2θ. En estos elementos, el campo de compresiones es relativamente pequeño y se puede tomar σII=EcεII. Si se toma Ec=4950√(fc), σII=4950√(fc)εII Del círculo de Mohr de deformaciones se obtuvo:

εI=εx+εt-εII=εx+(εx+εII)cotg2θ

( ) ( )c

IIx

c

IIxI

fE 4950

cotcot1

cotcot1

22

22 θσθεθσθεε ++=++=

( ) ( )I

xI εθθεε500115000

cotcot1

42

+++=

Representando las dos expresiones que relacionan θ y εI para distintos valores de sxε y εx, se obtienen, en las intersecciones de ambas curvas, distintos valores de β. Así, los valores de β dependen tanto de la deformación longitudinal εx (relacionada con un factor de efecto deformacional) como del parámetro de espaciamiento sxε (relacionado con un factor de efecto tamaño):

+

+=

εεβ

xx s1000

1300

15001

4.0

Para el ángulo de inclinación de las bielas de compresión se propone la siguiente expresión:

θ=(29º+7000εx)(0.88+sxε/2500)≤75º


82

Este valor de θ es el que proporciona la máxima contribución a cortante del hormigón.

2.4.1.6. MODELO DEL CAMPO DE TENSIONES DISPERSAS Este método es una modificación de la Teoría del Campo de Compresiones Modificada , en el que se revisan algunas de las hipótesis contenidas en aquel con el fin de resolver adecuadamente las discordancias que aparecen al contrastar los resultados con ensayos experimentales. Concretamente, las hipótesis que se modifican son:

o Las fisuras en el hormigón permanecen colineales con las direcciones principales de tracción (promediadas).

o Las direcciones principales de deformación coinciden con las direcciones principales de tensión en el hormigón (en valores promediados).

En este modelo, al igual que ocurría en la teoría modificada del campo de compresiones, se analiza el equilibrio en dos niveles : términos promediados (o distribuidos) a lo largo de toda la superficie del elemento y valores puntuales en las fisuras . Las deformaciones se calculan mediante el estudio de dos estados superpuestos : por un lado las deformaciones del hormigón (de forma idéntica a como se estudiaba en el MCFT) y por otro lado se considera otro estado en el que se permiten deslizamientos entre los bordes de las fisuras . Esta forma de plantear las deformaciones de un elemento presenta la ventaja añadida de que es posible utilizar ecuaciones constitutivas que relacionan las tensiones de engranamiento entre los bordes de las fisuras con los deslizamientos que aparecen. En un artículo publicado en el Journal of Structural Engineering (2.9), se muestra una comparación de los resultados obtenidos mediante el DSFM y el MCFT y una serie de ensayos experimentales, justificando la validez de las modificaciones realizadas. Finalmente, en otro artículo (2.10), se indica la forma de implementar el procedimiento expuesto en el DSFM en programas de elementos finitos y los resultados obtenidos en la simulación de estructuras ensayadas. Sin embargo, debido a las propias características del modelo, su extensión a los casos de armaduras no ortogonales o direcciones múltiples de armado no resulta sencilla.

2.4.1.6.1. ECUACIONES CONSTITUTIVAS CONSIDERADAS PA RA LOS MATERIALES Comportamiento a tracción del hormigón:

En el comportamiento a tracción que presenta el hormigón armado una vez se ha producido la fisuración intervienen dos fenómenos diferentes. Aunque la mayoría de los modelos propuestos para simular el comportamiento del hormigón a tracción consideran que, tras alcanzarse la resistencia máxima, la rotura se alcanza de forma frágil, sin embargo, como se ha señalado anteriormente, el agotamiento requiere una fase previa en la que se produce la propagación de las microfisuras existentes en la masa de mortero (excepto para los hormigones de alta resistencia, cuyo comportamiento es diferente al ser la resistencia de tracción del mortero semejante a la de los áridos). En realidad, este fenómeno se refleja en la existencia de una rama descendente en la ecuación constitutiva del hormigón tras alcanzarse la máxima resistencia a tracción (tension softening ). Paralelamente y, como se ha descrito anteriormente, debido al comportamiento conjunto de hormigón y de las armaduras de


83

acero, el hormigón armado es capaz de resistir tracciones incluso una vez producida la fisuración completa de la masa de mortero. El DSFM considera ambos fenómenos de forma independiente, tal y como se observa en la figura 46. De esta manera, para una deformación εc, la resistencia a tracción considerada para el conjunto HA se supone que es la mayor de las dos, calculadas según las ecuaciones que se indican.

σct=max(σact; σbct) El DSFM propone la siguiente expresión para tener en cuenta la resistencia que presenta el hormigón en masa como resultado de que la propagación de las fisuras no se produce de forma inmediata (2.11):

−−

−=ctts

ctcctact f

εεεεσ 1'

Donde la deformación final εts se calcula a partir del parámetro de energía de fractura Gf, y la longitud característica del hormigón Lr, según la siguiente expresión:

rct

f

tsLf

G

⋅=

'2ε

El parámetro Gf en el modelo tiene un valor constante e igual a 75 N/m. La resistencia a tracción del hormigón se obtiene a partir de la máxima resistencia a compresión en el ensayo uniaxial mediante la fórmula:

f’ct=0.65(f’c)0.33

En la transmisión de tensiones debidas al fenómeno de tension stiffening , se considera, para el conjunto hormigón-acero, la relación sugerida por Bentz (2.12):

ct

ctbct

C

f

εσ

+=1

'

Bentz, además, demuestra que el efecto de tension stiffening depende, entre otros factores, de la cuantía de la armadura ρ, del diámetro db de esta y de la dirección θn respecto a la tensión principal de compresión. A partir de estos valores, el valor de Ct se obtiene a través de la expresión:

Ct=2.2m donde:

∑=

=�

i bi

nii

dm 1

cos41 ρ

Siendo N el número de familias de armaduras distintas.


84

ε00

(MPa)σs

εct

σct

tension softeninig

tensorrigidez

Figura 46 Comportamiento del hormigón a tracción (DSFM)

Comportamiento a compresión del hormigón

A partir de un conjunto de 150 ensayos experimentales llevados a cabo en la Universidad de Toronto, Vecchio (2.13), propone la siguiente fórmula para considerar la influencia del estado de deformaciones en el hormigón sobre la tensión máxima de compresión cuando este se encuentra sometido a estados de tracción-compresión.

11

1' ≤

+=

sdCCβ

donde la mejor correlación con los datos experimentales se consigue utilizando la siguiente expresión para Cd:

8.0

0

1 28.035.0

−−=

εε

dC

Sin embargo, con el fin de facilitar la implementación en programas de elementos finitos, se puede utilizar, de forma aproximada, la ecuación simplificada:

−= 37.027.0

0

1

εε

dC

El factor Cs tiene por objetivo cuantificar la influencia de un posible deslizamiento entre los bordes de las fisuras (que provoca un valor mayor que el real en las deformaciones aparentes obtenidas). Si el deslizamiento no es tenido en cuenta de forma explıcita Cs adopta el valor unidad. Experimentalmente se ha comprobado que los factores que afectan a la tensión máxima y a la correspondiente deformación, cuando el hormigón se halla sometido a estados de deformación de tracción-compresión, son aproximadamente iguales, por lo que el factor β’, se puede usar para definir ambos.

fcmax= β’f’c


85

ε’cmax= β’ε’c Según las anteriores consideraciones, la expresión que relaciona las tensiones y las deformaciones para el hormigón es la siguiente:

nk

c

c

c

cc

c

n

nf

′+−

′⋅⋅

=

max

max

max

1ε

ε

εε

σ si εc≤εcu

σc=0 si εc>εcu

donde:

n=0.80-fcmax/17 k=0.67-fcmax/62

En el caso en el que las dos deformaciones sean negativas (de compresión), el factor β’ considerado adopta el valor unidad, ya que en este modelo no se tiene en cuenta el efecto del confinamiento . Además, se considera que la tensión de compresión en el hormigón desciende abruptamente a cero cuando el ancho de fisura (calculado a través del valor de la deformación εc1) supera los 5 mm. Diferenciando la ecuación anterior es posible deducir la expresión del módulo de rigidez tangente:

( )

′+−

−

′+−

′⋅

=nk

c

c

nk

c

c

c

c

ct

n

nknnf

E

max

maxmax

max

1

11

εε

εε

ε si εc≤εcu

Ect=0 si εc>εcu

Comportamiento del acero

Se suponen las mismas ecuaciones constitutivas que las utilizadas para el MCFT.

2.4.1.7. TEORÍA UNIFICADA DEL CAMPO DE COMPRESIONES Algunos autores (2.14), proponen que los modelos de acero y de tension stiffening de hormigón deben de estar relacionados sin ninguna formulación adicional. Siempre que el acero no plastifique en la grieta (i.e. σs≤fy) el módulo de deformación del acero será Es. Cuando, en una grieta, el acero alcance su límite elástico, el módulo de deformación medio del acero se verá alterado. Si se establece el equilibrio entre la sección de la grieta (cuando se ha producido plastificación en el acero) y una sección que represente el estado medio de tensiones, se verificará que:

Asfy=Asσs,med+Ac,efσct,med


86

de donde se puede deducir el valor medio de la tensión en la armadura:

I

ct

s

efc

ymeds

f

A

Af

εαασ50011

21,

, ++−= si εctm≥εmax,I

σs,med=Esεctm si εctm< εmax,I El valor de εmax,l corresponde a la deformación de la primera plastificación en la grieta:

I

ctefcsIssys

fAEAEA

εααεε50011

21,max, ++

+=

2.5.- ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN En la mayoría de los elementos de hormigón pretensado los efectos de la torsión son despreciables frente a los de flexión y cortante. No obstante existen algunos casos, tales como vigas cargadas excéntricamente y puentes curvos cuyo diseño viene determinado principalmente por los efectos de torsión. Todo el tratamiento desarrollado a continuación se basa en la teoría del campo de compresiones.

2.5.1.- COMPORTAMIENTO A TORSIÓN ANTES DE LA FISURA CIÓN A partir del hecho de que un torsor aplicado provoca altas tensiones tangenciales en el perímetro exterior de la sección y muy bajas en el interior, existe una aproximación para estudiar los efectos de la torsión, que consiste en sustituir la sección real por una

sección hueca de las mismas dimensiones exteriores y espesor c

cc

p

At ·

4

3= , donde Ac

es el área real de hormigón y pc es el perímetro exterior de dicha sección.

Ac tc

Figura 47 Sección hueca equivalente a torsión.

Este modelo supone que un torsor aplicado T causa una tensión tangencial constante en la sección hueca de espesor tc que vale:

2

·

c

c

A

pT=τ

Al igual que el cortante, las fisuras provocadas por un torsor son también diagonales y se forman cuando la tensión principal de tracción en el hormigón alcanza la resistencia


87

a tracción del hormigón, σI = σcr. Asumiendo que ccr '·33.0 σσ = (MPa), el torsor de

fisuración será:

c

pc

c

c

ccr

p

AT

'·33.01·'·33.0·

2

σσ

σ += (MPa)

El torsor de fisuración del hormigón pretensado es igual al del hormigón armado

afectado por el coeficiente c

pc

'·33.01

σσ

+ . Por tanto, el pretensado aumenta el valor

del torsor de fisuración, con lo que se retarda la aparición de grietas de torsión.

2.5.2.- COMPORTAMIENTO A TORSIÓN TRAS LA FISURACIÓN

s

Ao

q

Al

At

θT

Figura 48 Elemento fisurado a torsión. Equilibrio.

Tras la fisuración, el flujo de tensiones tangenciales debido al torsor es:

0·2 A

Tq =

Donde A0 es el área encerrada por la línea media de la sección hueca de espesor tc. Es

una buena aproximación considerar cAA ·3

20 = .

Si se desprecian las tensiones de tracción en el hormigón, el equilibrio longitudinal proporciona:

0

0

·2

·cot···

A

pTAA� ppllv

θσσ =+= (1)

El equilibrio en los estribos:

θσ ·tan·· sqA tt =

Donde At es el área de cada tramo de estribo.


88

Sustituyendo el valor de q, se llega a:

θσ·tan

·2

·

0A

T

s

A tt = (2)

No toda la sección del hormigón es efectiva para resistir la torsión, ya que existen zonas susceptibles de exfoliación, como las esquinas. Se considera la sección resistente a torsión como la encerrada por la línea media de los estribos.

esquina exfoliadaesquina sin exfoliar

Figura 49 Exfoliación de las esquinas a torsión.

Debido a la curvatura de la deformada, las tensiones tangenciales alcanzan el máximo en la superficie decreciendo hasta hacerse de tracción a una distancia td. Así, queda una sección equivalente de espesor td y perímetro exterior la línea media de los estribos.

A0hh

bh

a0/2

Figura 50 Sección efectiva de una viga a torsión.

Al igual que en flexión, se puede sustituir la distribución de tensiones real a través del espesor por una distribución uniforme de valor αI·σ’c, con αI=0.85, actuando en un espesor a0=βI·td.


89

tdφd

α1σ'c

a0=

β1td

Figura 51 Distribución de tensiones equivalentes a torsión.

Así, si A0h es el área delimitada por la línea media de los estribos y ph su perímetro, el área A0 será:

hh pa

AA ·2

000 −=

y el perímetro p0=ph-4·a0. Si se representan las tensiones existentes en un elemento de hormigón entre grietas:

φ

1

q

q/tanφ

α1σ'caocosφ

Figura 52 Equilibrio de un elemento diferencial a torsión.

Del equilibrio de fuerzas verticales:

θθσα ·sin·cos·'· 01 aq c=

Sumando las expresiones (1) y (2) del equilibrio longitudinal y transversal de tensiones,

y teniendo en cuenta que 0·2 A

Tq = , resulta:

01

0

·'····

as

A

p

AAc

ttppll σασσσ=+

+

de donde se obtiene a0.

( )

+−−= θθ

σαcottan

·'·

·11·

2

1

0

ohc

h

h

oh

A

pT

p

Aa


90

El término ( )θθτ cottan··2

+=oh

hn

A

pT se conoce como la tensión tangencial nominal por

torsión. La tensión principal de compresión debida a la torsión será:

( )θθσ cottan··2

+=oh

hII

A

pT

2.5.3.- TORSOR Y CORTANTE COMBINADOS Considerando la sección rectangular de la figura 53, el flujo de tensión tangencial q cuando esta se encuentra sometida tanto a torsión como a cortante, será la suma del flujo debido a la torsión, qT, y el debido a cortante, qV. Tal y como se observa en la siguiente figura, el flujo total no será el mismo en las cuatro paredes:

+ -V

qv qv

+qT qT

T

+qT

qT

qT=T/2A0qv=V/2h

+ =

q=qV+qT

qt

+ql

T

qb

++

qr

+

+ -V

Figura 53 Flujo de tensión tangencial por la acción de torsor y cortante.

La teoría del campo de compresiones modificada es conservativa y adopta como valor de q el correspondiente al de la pared donde se superponen. Así, la tensión nominal será:

db

VV

A

pT p

oh

hn

·

·2

−+=τ

Para secciones llenas, esta expresión sobrestima la tensión tangencial, resultando más conveniente usar:

22

2 ·

·

−+

=

db

VV

A

pT p

oh

hnτ

2.5.4.- MODELO DE LA CELOSÍA DE ÁNGULO VARIABLE PAR A TORSIÓN, FLEXIÓN Y CORTANTE COMBINADOS

Este modelo es válido para estudiar el comportamiento de elementos de hormigón pretensado de sección rectangular sometidos a la acción combinada del torsor, del cortante y del flector.


91

viga real de hormigón pretensado modelo de la celosía de ángulo variable

Figura 54 Modelo de la celosía de ángulo variable a torsión.

La viga real de hormigón pretensado es idealizada como cuatro elementos paralelos, situados en las esquinas de la sección, que incluyen las armaduras pretensadas longitudinales, las no pretensadas y una parte del hormigón. Los cordones están unidos por paredes delgadas, que modelan las armaduras transversales y el hormigón fisurado diagonalmente por efecto de las tensiones tangenciales. Las tensiones normales provocadas por los esfuerzos axil y flector son absorbidas por los cordones longitudinales, mientras que las tensiones tangenciales debidas a cortante y torsor son absorbidas por las paredes. El flujo de tensiones tangenciales no es el mismo en una pared que en otra, por lo que el ángulo de las fisuras será distinto en cada una de ellas.

2.6.- BIBLIOGRAFÍA (2.1) Instrucción EHE para el proyecto y la ejecución de obras de hormigón estructural.

Ministerio de Fomento. Madrid, 1998. (2.2) Collins, Michael P; Mitchel, Denis. Prestressed Concrete Structures. Prentice hall, 1997. (2.3) Calavera, José. Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón. INTEMAC, 1999. (2.4) Nawy, Edward G. Prestressed Concrete. A Fundamental Aproach. 4ª ed. Prentice Hall,

2003. (2.5) Lin, T. Y.; Burns, Ned H. Design of Prestressed Concrete Structures. 3ª ed. John wiley &

sons, 1981.

(2.6) Instrucción De Hormigón Estructural. EHE 08. Ministerio de Fomento. Madrid, 2011.

(2.7) Joint ACI-ASCE Commitee 445. Recent Approaches to Shear Design of Structural Concrete. American Concrete Institute, 2000.

(2.8) MacGregor J. M.; Bartlett, F.M. Reinforced Concrete: Mechanics and Design. Prentice Hall, 2000.

(2.9) Vecchio, F.J.; Lai, D.; Shim, W.; and Ng, J. Disturbed Stress Field Model for Reinforced Concrete: Validation. Journal of Structural Engineering, 2001.

(2.10) Vecchio, F.J. Disturbed Stress Field Model for Reinforced Concrete: Implementation. Journal of Structural Engineering, 2001.


92

(2.11) Vecchio, F.J. Disturbed Stress Field Model for Reinforced Concrete: Formulation. Journal of Structural Engineering, 2001.

(2.12) Bentz, E.C. Sectional analysis of reinforced concrete structures. Thesis, Dept. of Civil Engineering, University of Toronto, 1999.

(2.13) Vecchio, F.J. Compression Response of Cracked Reinforced Concrete. Journal of Structural Engineering, 1993.

(2.14) Hernández-Montes, E.; Gil-Martín, L. M. Hormigón Armado y Pretensado. Grupo de investigación TEP-190 Ingeniería e Infraestructuras. Granada, 2007.

3.- APLICACIONES DEL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE HOR MIGÓN PRETENSADO

APLICACIONES

95

En este capítulo se tratan dos aplicaciones del análisis estructural del Hormigón Pretensado. En primer lugar, un cálculo de resultados para elemento sometido a carga axial y, en segundo lugar, una aplicación de cálculo de una pasarela de Hormigón Pretensado. El objeto de estas aplicaciones es poner de manifiesto la metodología de análisis y las etapas correspondientes al proceso de cálculo de estas estructuras. En el caso de la aplicación correspondiente al aanálisis y dimensionamiento de una pasarela de Hormigón Pretensado, se utilizan los datos geométricos y las propiedades mecánicas para su posterior análisis del comportamiento en fisura y postfisuración mediante la Teoría Modificada del Campo de Compresiones.

3.1.- CÁLCULO DE RESISTENCIA DE ELEMENTO SOMETIDO A CARGA AXIAL SIMPLE En este apartado se implementa una hoja de cálculo mediante el programa Microsoft Excel para obtener la resistencia a carga axial simple (tracción y compresión) de un elemento de hormigón armado o pretensado que puede o no poseer armadura pasiva . La hoja implementada se denomina “calculo Nu axil simple.xls”. Se aplicarán las ecuaciones obtenidas en los apartados de estudio del comportamiento del hormigón pretensado.

Ac

Ap

AsL

N N

b

h

Figura 55 Elemento sometido a carga axial.

Los datos de partida del hormigón son la sección (b y h), la resistencia característica y el coeficiente de minoración de resistencia. Con estos datos se obtiene el diagrama de cálculo tensión deformación del hormigón . Para el acero de las armaduras es necesario conocer su área, su resistencia característica y el coeficiente de minoración, así como el módulo de Young. La hoja calcula el diagrama de cálculo tensión deformación del acero pasivo . Los datos de partida de los tendones son parecidos a los de la armadura pasiva: su área, su resistencia característica, su límite elástico característico y el módulo de Young. Así, se genera el diagrama de cálculo tensión deformación de los tend ones . También son datos de partida el pretensado inicial a que se someten los tendones y las pérdidas de carga . Con estos datos, la hoja de cálculo obtiene el estado de equilibrio interno , realizando varias iteraciones hasta comprobar que la suma de fuerzas es nula. Una vez realizado este paso intermedio, se procede a calcular la carga de diseño necesaria a tracción para que se produzca fisuración del hormigón y la carga máxima de diseño que puede soportar el elemento a tracción , así como la máxima carga de diseño a compresión que puede soportar este elemento.

APLICACIONES

96

DATOS DE LA SECCIÓN TENDONES

h (mm) 400 Ac (mm2) 155989,5507 As (mm2) 2513,274123 Ap (mm2) 1497,175141 nº tendones 10 Y

b (mm) 400 fck (MPa) 20 fyk (MPa) 400 Fpmaxk (kN) 2650 Api (mm2) 149,7175141 1770

ds (mm) Ec (MPa) 25811,00626 Es (MPa) 200000 Fpk (kN) 2385 Fpmaxki (kN) 265 S7

dp (mm) γc 1,6 γs 1,15 Ep (MPa) 190000 Fpki (kN) 238,5

DATOS DEL PRETENSADO datos

resultados intermedios

tipo de pretensado postesado

resultados finales

Carga de pretensado (% Fpmaxk) 75 iteraciones Pérdidas por rozamiento y penetración de cuñas (% tensión inical) 2

OBTENCIÓN ESTADO INICIAL SIN CARGAS EXTERNAS

CÁLCULOS TENDÓN CÁLCULOS HORMIGÓN CÁLCULOS ACERO

Fuerza inicial de pretensado (kN) 1987,5

OK

Tensión si transmitiera toda la carga (MPa) -12,48641329 Tensión si transmitiera toda la carga (MPa) -774,985101 Tensión inicial de pretensado (MPa) 1327,5 Deformación si transmitiera toda la carga -0,000483763 Deformación si transmitiera toda la carga -0,003874926 Tensión máxima temporal de pretensado EHE (MPa) 1416

Tensión máxima de pretensado EHE (MPa) 1239 NOTA: FUERZA>0 ==> TRACCIÓN

Tensión antes del anclaje (MPa) 1300,95

Tensión después del anclaje (fabricante) (MPa) 1300,95 ERROR: SUPERA LOS LIMITES

DADOS POR LA EHE

Tensión final (MPa) -8,749427791 Tensión final (MPa) -231,9407518 Deformación del tendón (fabricante) 0,006847105 Deformación del hormigón -0,001159704 Deformación del acero -0,001159704

Fuerza en el tendón (fabricante) (kN) 1947,75 Fuerza en el hormigón (kN) -1364,81931 Fuerza en el acero (kN) -582,9306895

Tensión después del anclaje (EHE) (MPa) 1248,8943 ERROR: SUPERA LOS LIMITES

DADOS POR LA EHE

Tensión final (MPa) -8,454753514 Tensión final (MPa) -219,2201371 Deformación del tendón (EHE) 0,006847105 Deformación del hormigón -0,001096101 Deformación del acero -0,001096101

Fuerza en el tendón (EHE) (kN) 1869,8135 Fuerza en el hormigón (kN) -1318,853202 Fuerza en el acero (kN) -550,9602977

ITERACIONES PARA EL CÁLCULO DEL ESTADO INICIAL DESPUES DE LA RETRACCION DEL HORMIGON (acortamiento elástico) (curva tend fab)

εp ∆εc=∆εs=∆εp εpf σpf (MPa) Fpf (kN) εcf σcf (MPa) Fcf (kN) εsf σsf (MPa) Fsf (kN) ΣF 0,006847105 -0,000483763 0,006847105 1300,95 1947,75 -0,000483763 -4,518349696 -704,8153391 -0,000483763 -96,7526269 -243,1658735 999,7687874

0,006847105 -0,0005 0,006847105 1300,95 1947,75 -0,0005 -4,6484375 -725,1076772 -0,0005 -100 -251,3274123 971,3149105 0,006847105 -0,001159704 0,006847105 1300,95 1947,75 -0,001159704 -8,749427791 -1364,81931 -0,001159704 -231,9407518 -582,9306895 8,06406E-08

CÁLCULO Nud TRACCIÓN SIMPLE (curva tend fab) CÁLCULO Nud COMPRESIÓN SIMPLE calculo εctd (fisuración)

CURVA DE CÁLCULO DEL HORMIGÓN (PARAB-RECT)

FISURACIÓN HORMIGÓN HORMIGÓN FISURADO CRACKING HORMIGÓN 9,31883E-05 y (σ) a x^2 b x (ε)

HORMIGÓN SIN ARMADURA ACTIVA

0,003906812 0 2656250 0 10625 0 fctd (MPa) 0,967058268 - -

-10,625 2656250 0,000004 10625 -0,002

εctd=εs 9,31883E-05 εs 0,003152895 0,01 εcd=εs -0,002

-4,518349696 2656250 2,34027E-07 10625 -0,000483763

σctd 0,967058268 −

σctd -10,625

-4,6484375 2656250 0,00000025 10625 -0,0005

Fctd (kN) 150,8509848 - Fctd (kN) -1657,388977 -8,749427791 2656250 1,34491E-06 10625 -0,001159704 σs 18,63765237 σs 347,826087 347,826087 σs -347,826087

0,967058268 -2656250 8,68405E-09 10625 9,31883E-05

Fs (kN) 46,8415294 Fs (kN) 874,1823036 874,1823036 Fs (kN) -874,1823036

εp 0,006940294 εp 0,01

εp 0,004847105 CURVA DE CÁLCULO DEL ACERO ACTIVO (FABRICANTE)

σp 1318,65577 σp 1539,130435 σp 920,95

Fp (kN) 1974,258638 Fp (kN) 2304,347826

Fp (kN) 1378,823446

fpmaxd (MPa) 1539,130435 εp 0,01 Ep' 56807,43243

Nud (kN) 2171,951153 Nud (kN) 3178,53013 874,1823036 Nud (kN) -1152,747834

fpd (MPa) 1385,217391 εp 0,007290618

ITERACIONES PARA EL CÁLCULO DEL ESTADO INICIAL DESPUES DE LA RETRACCION DEL HORMIGON (acortamiento elástico) (curva tend EHE)

εp ∆εc=∆εs=∆εp εpf σpf (MPa) Fpf (kN) εcf σcf (MPa) Fcf (kN) εsf σsf (MPa) Fsf (kN) ΣF

0,006847105 -0,000483763 0,006847105 1248,8943 1869,8135 -0,000483763 -4,518349696 -704,8153391 -0,000483763 -96,7526269 -243,1658735 921,8322874 0,006847105 -0,0005 0,006847105 1181,5254 1768,950458 -0,0005 -4,6484375 -725,1076772 -0,0005 -100 -251,3274123 792,5153681

0,006847105 -0,001096101 0,006847105 1248,8943 1869,8135 -0,001096101 -8,454753514 -1318,853202 -0,001096101 -219,2201371 -550,9602977 4,80122E-08

CÁLCULO Nud TRACCIÓN SIMPLE (curva tend EHE) CÁLCULO Nud COMPRESIÓN SIMPLE CURVA DE CÁLCULO DEL ACERO ACTIVO (EHE)

FISURACIÓN HORMIGÓN HORMIGÓN FISURADO CRACKING HORMIGÓN fpmaxd (MPa) 1539,130435 εp 0,017765554 fpd (MPa) 1385,217391 εp 0,009290508

fctd (MPa) 0,967058268 -

- σp (MPa) 1177,434783 εp 0,006259522

εctd=εs 9,31883E-05 εs 0,01

εcd=εs -0,002

0,7fpd (MPa) 969,6521739 εp 0,005103432

σctd 0,967058268 − σctd -10,625

σp (MPa) 1083,547826 εp 0,005705976

Fctd (kN) 150,8509848 - Fctd (kN) -1657,388977 σp (MPa) 1197,443478 εp 0,006401302 σs 18,63765237 σs 347,826087 HORMIGÓN SIN

ARMADURA PASIVA σs -347,826087 σp (MPa) 1311,33913 εp 0,007653325

Fs (kN) 46,8415294 Fs (kN) 874,1823036 Fs (kN) -874,1823036 σp (MPa) 1425,234783 εp 0,01066822

εp 0,006940294 εp 0,016847105 0,017765554 εp 0,004847105

σp (MPa) 1539,130435 εp 0,017765554

σp 1257,777 σp 1528,57757 1539,130435 σp 920,95 σp (MPa) 1248,8943 εp 0,006847105

Fp (kN) 1883,112458 Fp (kN) 2288,548339 2304,347826 Fp (kN) 1378,823446

σp (MPa) 1181,5254 εp 0,00628745

Nud (kN) 2080,804972 Nud (kN) 3162,730643 2304,347826 Nud (kN) -1152,747834 σp (MPa) 1248,8943 εp 0,006847105

si morado, iterar en J71 si morado, iterar en J72

si morado, iterar en J73 σp (MPa) 1257,777 εp 0,006940294

σp (MPa) 1528,57757 εp 0,016847105

σp (MPa) 637,6 εp 0,003355789

calculo εctd (fisuración)

CURVA DE CÁLCULO DEL HORMIGÓN (PARAB-RECT)

9,31883E-05 y (σ) a x^2 b x (ε)

0,003906812 0 2656250 0 10625 0

-10,625 2656250 0,000004 10625 -0,002

-4,518349696 2656250 2,34027E-07 10625 -0,000483763

-4,6484375 2656250 0,00000025 10625 -0,0005

-8,454753514 2656250 1,20144E-06 10625 -0,001096101

0,967058268 -2656250 8,68405E-09 10625 9,31883E-05

-8,454753514 2656250 1,20144E-06 10625 -0,001096101

APLICACIONES

97

3.2.- CÁLCULO DE UNA PASARELA DE HORMIGÓN PRETENSAD O En este apartado se va a realizar el diseño y cálculo de una pasarela de hormigón pretensado sin armadura pasiva y con armadura activa postesa , simplemente apoyada en sus dos extremos y sin realizar el estudio a cortante del elemento. Se trata de una pasarela de 25 m de longitud formada por elementos prefabricados en T de 1.25 m de ancho total, como se ve en la figura, sometida a peso propio y a una sobrecarga de uso de 5 kN/m2. Para su diseño se utiliza hormigón HA-35 y para los tendones acero de resistencia característica fpmaxk=1860 MPa y limite de plastificación fpk=1800 MPa.

Figura 56 Pasarela de hormigón pretensado.

El coeficiente de mayoración de cargas será γf=1.5 y los de minoración de las resistencias serán γc=1.5 para el hormigón y γs=1.15 para el acero. Para el cálculo de la pasarela se ha implementado una hoja de cálculo, llamada “dimensionamiento biarticulada.xls”. Los datos de partida son la longitud de la pasarela, las dimensiones de la sección de hormigón, su resistencia característica, el coeficiente de minoración de resistencia, la densidad del hormigón, la resistencia característica del acero empleado en los tendones, el coeficiente de minoración de resistencia y el módulo de Young del acero. Además es necesario definir las solicitaciones (peso propio y sobrecarga), así como el coeficiente de mayoración de cargas. También hay que definir el tipo de pretensado utilizado (pretesado o postesado). La hoja de cálculo obtiene las variables geométricas necesarias (área, momento de inercia respecto al centro de gravedad, posición del centro de gravedad y distancia a la fibra superior, Vs e inferior, Vi) así como las resistencias y las acciones de cálculo.

APLICACIONES

98

Con esos datos, se obtienen los esfuerzos a lo largo de la longitud de la viga, en varios puntos. También se obtiene el valor máximo de la excentricidad del tendón , a partir de las expresiones obtenidas en el apartado 2.3.4:

scs VA

I

V

ie

·

2

max ==

Figura 57 Esfuerzos actuantes en la pasarela de hormigón pretensado.

Para los distintos puntos en los que se han calculado los esfuerzos se obtiene la región admisible P-e o A/P-e . A partir de estas regiones admisibles se elige el valor de la carga de pretensado P y de la excentricidad e y su variación a lo largo de la longitud de la viga, de manera que se encuentren siempre dentro de los límites admisibles, y que sean lo más favorables posible. Para obtener los valores de P y de e hay que saber que se cumplen las relaciones:

( ) lL

el

L

ele max2

2

max 44+−=

que indica que la variación de e a lo largo de la longitud de la viga se expresa en forma de parábola de segundo orden .

Ph=Pt·cos φ siendo Ph la componente horizontal de la tensión del tendón (Pt) y φ el ángulo que el tendón forma con la horizontal, que varía a lo largo de la viga. Se cumple que:

tan φ = e’(l)

APLICACIONES

99

l

e

emax

L

L/2

PtP(l)

φ(l)

e(l)

l

Figura 58 Relación entre e, φ, P y Pt.

0,00

5,00

10,0

0

15,0

0

20,0

0

25,0

0

0,00

8,57

17,15

25,72

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

A/P

L

e

A/Pmin1

2,50

5,00

7,50

10,0

0

12,5

0

15,0

0

17,5

0

20,0

0

22,5

0

0,00

8,57

17,15

25,72

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

0,3500

A/P

L

e

A/Pmin2

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00

0,00

8,57

17,15

22,86

0,0000

0,0200

0,0400

0,0600

0,0800

0,1000

0,1200

A/P

L

e

A/PMAX

Figura 59 Limitaciones a la relación A/P a lo largo de la longitud del elemento.

En los gráficos se pueden ver las distintas limitaciones para la relación A/P, con las que se obtiene la región admisible A/P. El valor de P obtenido, a partir del punto más desfavorable, es P=6267,73 kN.

APLICACIONES

100

Excentricidad y fibra neutra teóricas sin pérdidas

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00

x (m)

h, e, fn (cm)

borde superior borde inferior e-x emin emax fnpret-x fntot-x

Figura 60 Variación de la excentricidad y fibra neutra a lo largo de la longitud.

Para obtener el valor real de la carga de pretensado Pt es necesario calcular las pérdidas de carga y añadírselas a la carga obtenida anteriormente. Para ello se utilizan las expresiones obtenidas en los apartados 1.6.1 y 1.6.2. Así se obtiene la carga de pretensado necesaria para el elemento: P0=6405,38 kN. Una vez calculadas las pérdidas se obtiene la sección de acero necesaria para el tendón, de manera que se cumplan las restricciones impuestas por la EHE para limitar la tensión a la que se someten los tendones. Se elige una combinación de cables para pretensado que proporcione un valor superior a la sección mínima necesaria, Ap=48,14 cm 2. La hoja de cálculo proporciona el valor que optimiza la cantidad de acero (el acero mínimo necesario), que en este caso serían 166 cordones Y1860S3 de 7,5 mm de diámetro. Sin embargo, parece una cantidad excesiva de cordones de pequeño diámetro, por lo que se eligen 35 cordones Y1860S7 de 15,2 mm de diámetro, que se cargarán a una tensión media de 1272,61 MPa, para introducir, después de eliminadas las pérdidas, una carga media de pretensado de 8,5 MPa (24,2 % de f ck). A continuación se realiza una comprobación de que, con la sección elegida para los tendones y la carga elegida, el elemento sigue permaneciendo en la región admisible, y se recalculan los esfuerzos para comprobar la influencia del pretensado.

APLICACIONES

101

APLICACIONES

102

4.- IMPLEMENTACIÓN DE LA TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRE SIONES MODIFICADA

IMPLEMENTACIÓN DE LA TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES MODIFICADA

105

4.1.- INTRODUCCIÓN Se va a estudiar la implementación de la teoría del campo de compresiones modificada mediante distintos programas de análisis no lineal de secciones de hormigón. Estos programas analizan el comportamiento de elementos de hormigón armado y pretensado a partir de esta teoría. Los programas son los siguientes:

o Membrane 2000: para análisis de elementos tipo membrana de hormigón en masa, armado o pretensado , sometidos a fuerzas coplanares .

o Triax 2000: análisis tridimensional de bloques de hormigón en masa, armado o pretensado sometidos a cualquier combinación tridimensional de acciones, excluidos momentos .

o Shell 2000: analiza elementos laminares de hormigón en masa, armado o pretensado sometidos a cualquier combinación tridimensional de acciones .

o Response 2000: para calcular la resistencia y ductilidad de una sección transversal de hormigón sometida a cortante, momentos y carga axial .

Estas aplicaciones se diseñaron con los siguientes objetivos:

o Conseguir una verificación rápida de los datos de entrada en el caso de que se produjeran errores.

o Rápida interpretación de los resultados mediante gráficos. o Proporcionar técnicas de análisis estables. o Permitir al usuario interpretar el comportamiento real del hormigón a partir de

los resultados. Todos los programas tienen un entorno parecido, y su diseño busca ser lo más intuitivo posible. Presentan un manual que explica lo que pueden conseguir los programas y cómo hacerlo. El manual se encuentra divido en cuatro secciones:

o SECCIÓN I: Proporciona una explicación rápida para construir archivos de entrada sencillos para cada programa, así como una explicación para poder interpretar los resultados.

o SECCIÓN II: Descripción más detallada sobre cómo introducir datos en cada programa.

o SECCIÓN III: Define las opciones de carga. o SECCIÓN IV: Explica los distintos tipos de análisis y cómo interpretar cada

pantalla de resultados del programa. o SECCIÓN V: Proporciona una descripción de algunas de las opciones más

avanzadas para personalizar el programa.

4.2.- MEMBRANE 2000

4.2.1.- DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DEL SOFTWARE UTILIZA DO

4.2.1.1. INTRODUCCIÓN Membrane 2000 es el más simple de los programas. Permite el análisis de elementos tipo lámina de hormigón en masa, armado o pretensado , sometidos a fuerzas coplanares (fuerzas axiales en las direcciones de los ejes X e Y y cortante coplanario). Las armaduras pueden tener las direcciones ortogonales X e Y y estar distribuidas en un número arbitrario de capas. Elementos del tipo membrana se encuentran en muros estructurales, alma de vigas, torres de refrigeración,... Con


106

este elemento se probó el desarrollo de la teoría del campo de compresiones modificada. Para probar el programa, se utilizó un elemento, el Vecchio´s PV20, sometido a cortante puro. Membrane 2000 permite realizar tres tipos distintos de análisis: o El análisis más simple consiste en un análisis de un estado de deformaciones:

se calculan las tensiones que producen un estado de deformaciones dado (εx, εy, γxy).

o El segundo tipo de análisis obtiene el estado de tensiones correspondiente a un estado de cargas dado (Nx, Ny, Vxy).

o El tercer tipo de análisis, de respuesta completa (total response), es el más común. Obtiene la evolución total carga-deformación del elemento. El análisis, basado en la teoría del campo de compresiones modificada, se realiza pinchando en el botón “MCFT” de la barra de herramientas.

Al realizar el análisis, se muestra una pantalla con nueve gráficos:

Figura 61 Pantalla de resultados de la aplicación Membrane 2000.

Cada gráfico representa una variable de la solución para el tipo de elemento analizado, en este caso el PV20. Para este elemento, se incluyen también algunos datos obtenidos experimentalmente para poder comprobar los resultados del programa. A la izquierda de la pantalla hay un gráfico de control que sirve para controlar el estado de carga representado en el resto de las figuras. Mediante una cruz se señala el estado que se representa, que por defecto es el estado de rotura. Pinchando con el ratón en el gráfico de control o con las teclas “Av Pág”, “Re Pág” se puede cambiar el estado de cargas. Otra figura muestra la anchura de grieta, por defecto en mm. Una línea roja representa la plastificación del acero con el nivel de carga representado. Sobre el gráfico de control, hay una caja de selección que permite elegir entre tres grupos de gráficos a mostrar en pantalla. Por defecto se muestran los nueve gráficos correspondientes a la página “General”. Otra página muestra los círculos de Mohr y una lista de los estados de tensiones y deformaciones del elemento.


107

Para examinar más de cerca los datos de un gráfico se puede pinchar en el mismo con el botón de la derecha y seleccionar “View data”. Esto permite ver y copiar los datos a otra aplicación como una hoja de cálculo para poder trabajar con los mismos. Los programas objeto de estudio pueden trabajar con distintas unidades: SI, unidades US o kg/cm2. Por defecto, el programa trabaja en el SI. Un análisis normalmente dura menos de una décima de segundo. Así, rápidamente se puede comprobar el efecto de una modificación de los refuerzos o de cualquier dato de entrada.

4.2.1.2. COMO REALIZAR ARCHIVOS DE ENTRADA Los cuatro programas son muy parecidos: por ejemplo, la página de definición de materiales es idéntica en todos ellos. Response 2000 sólo permite introducir un tipo de sección para cada análisis, mientras que el resto de los programas permiten trabajar con más de un tipo, eligiéndolos de un catálogo de elementos.

4.2.1.2.1. ASISTENTE DE DEFINICIÓN RÁPIDA Cada uno de los programas presenta un asistente para ayudar en la creación de nuevas secciones, al que se accede mediante el menú “Define/Quick Define”. A veces es necesario realizar cambios en las secciones obtenidas de esta manera, ya que en este asistente no se definen todos los datos de entrada. El asistente en el programa Membrane 2000 es el mismo que en el Shell 2000, ya que ambos programas analizan elementos tipo lámina. Lo primero que pide el asistente es el nombre que se le dará a la sección para poder identificarla en el catálogo. También se pide el espesor del elemento y la resistencia del hormigón. Por defecto, el tamaño de árido es de 19 mm , y la relación tensión-deformación utilizada para el hormigón es la definida por Popovics/Thorenfeldt/Collins . Los refuerzos en cada dirección se definen mediante un porcentaje de la sección de hormigón, el límite elástico y el tipo de barra. Por defecto, se cargan dos capas a una distancia de los bordes de 40 mm .

4.2.1.2.2. DEFINICIÓN DE LA INFORMACIÓN GENERAL Debajo de la opción “Quick Define” del menú “Define” se encuentra “Edit General”. Seleccionándolo se puede introducir información general del proyecto, como el autor , la organización que lo realiza, la fecha ... En esta pantalla se puede modificar el espaciado entre grietas para cada dirección. Se recomienda que se deje en automático, para que el programa lo calcule, ya que así nos evitamos tener que calcularlo, y además se modela mejor el comportamiento que con una separación constante. La ecuación utilizada por el programa para calcular el espaciado entre grietas a una profundidad z se basa en las sugerencias CEB del libro de Collins, M.P. y Mitchell, D., “Prestressed Concrete Structures”. Así, se utiliza la siguiente ecuación: Espacio entre grietas=2·c+0.1·db/ρ donde c es la distancia al refuerzo más cercano, db es el diámetro de la barra más cercana, ρ es el porcentaje de acero a una profundidad z ± 7.5 db


108

Para elementos sin refuerzo, el espacio entre grietas será cinco veces la profundidad de la sección.

4.2.1.2.3. DEFINICIÓN DE LOS MATERIALES En todos los programas se distinguen tres categorías a la hora de definir las propiedades de los materiales: hormigón , armaduras no pretensas y armaduras pretensas . En cada categoría se puede utilizar más de un tipo de material, por si el elemento contiene distintos hormigones o distintos tipos de refuerzos. Todos los materiales se definen de la misma manera. El menú “Define/Material properties” da acceso a una ventana con varias pestañas. La primera pestaña es la pestaña general. Si un material se puede definir con las características por defecto del programa, se describe con un solo número. Si se pincha en el botón “Detailed fc”, se tiene acceso a las propiedades del hormigón, de manera que se pueden utilizar distintos modelos para describir el hormigón. Si se altera alguno de estos valores, o si se utiliza más de un tipo, entonces no se muestra un número para describir el material en la ficha general, sino que aparece “Detailed”. Si se sustituye “Detailed” por un número, la lista existente se pierde después de una advertencia.

4.2.1.2.3.1. DEFINICIÓN DETALLADA DEL HORMIGÓN Response 2000 permite definir cinco tipos de hormigón, mientras el resto de los programas solo permiten un tipo de hormigón . Las distintas variables se definen en la siguiente tabla: Property Propiedad Símbolo Valor por defecto Cylinder Strength

Resistencia a compresión f’c 40 MPa

Tension Strength

Resistencia a tracción ft 0.45·(f’c)0.4 MPa

Peak Strain Deformación de máxima tensión de tracción ε0

Aggregate Size

Máximo tamaño de árido maxagg

19 mm (3/4 pulgada) linealmente reducido a 0 mm entre 60-80 MPa

Tension stiff factor

Factor de tens. stiffening tsfactor 1.0

Base curve

Forma de la curva tensión-deformación del hormigón: Lineal: Lineal desde cero hasta (e0,f’c), después cero Parabólica: parábola que pasa por (0,0), (e0,f’c) y (2·e0,0) Popovics/Thorenfeldt/Collins: ecuación definida por los autores en el libro “Prestressed Concrete Structures” Segmental: curva definida por el usuario Elasto -plástica: Lineal desde cero hasta (e0,f’c), después constante de valor f’c hasta 2·e0


109

Compression softening

Modela la disminución de la resistencia a la compresión del hormigón con el aumento de la deformación transversal por tracción. Se ofrecen muchos modelos; para hormigón normal se recomienda el modelo Vecchio-Collins 1986. para hormigón de alta resistencia (>90 MPa), se recomienda el modelo de Porasz-Collins Ninguna: no se aplica ninguna disminución de resistencia. Este modelo no describe bien el comportamiento del hormigón Vecchio -Collins 1982: ecuación propuesta por Vecchio en el libro “Response of Reinforced Concrete to In-Plane Shear and Normal Stresses”. Este modelo resulta adecuado para hormigón normal y de baja resistencia Vecchio -Collins 1986: ecuación propuesta por Vecchio en el libro “The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear”. Es una simplificación de la ecuación anterior. Es el modelo recomendado por el autor de los programas Vecchio -Collins 92 -A: ecuación propuesta por Vecchio-Collins en el libro “Compression Response of Cracked Reinforced Concrete”. Modelo parecido al de 1982 Vecchio -Collins 92 -B: ecuación propuesta por Vecchio-Collins en el libro “Compression Response of Cracked Reinforced Concrete”. Modelo parecido al de 1986 Mehlhorn et al: ecuación propuesta por Mehlhorn y alumnos en el libro “Material Model for Cracked Reinforced Concrete”. Este modelo no funciona bien para grandes deformaciones Maekawa et al: ecuación propuesta por Maekawa y alumnos en el libro “Nonlinear Behaviour of Cracked Reinforced Concrete. Palate Elements under Uniaxial Compression” Noguchi et al: ecuación propuesta por Noguchi y alumnos en el libro “A Study of Compressive Deterioration of Cracked Concrete” Belarbi -Hsu proportional: relación utilizada para el modelo RA-STM (“Constitutive Laws of Reinforced Concrete in Biaxial Tension-Compresion”). Si se selecciona esta opción junto con el tens. stiffening de Tamai, el programa trabaja en el modo RA-STM CAN CSA S474: Parecido al modelo de Vecchio-Collins 1986 pero no es función de εo Collins 1978: ecuación de la teoría del campo de compresiones Kaufmann -Marti 1998: ecuación propuesta por Kaufmann y Marti en el libro “Strength and Deformations of Structural Concrete Subjected to In-Plane and Normal Forces”. Es el modelo adecuado para analizar algunos elementos japoneses, canadienses y estadounidenses Porasz -Collins 1988: ecuación propuesta por Porasz y Collins en el libro “An Investigation of the Stress-Strain Characteristics of High Strength Concrete in Shear”. Es el modelo recomendado para hormigones de alta resistencia


110

Hsu-Zang 1998: Modelo de RA-STM 98 y FA-STM 98 (ver libro “Constitutive Laws of Reinforced Concrete Membrane Elements with High Strength Concrete”). Modelo no recomendado ya que el hormigón se agrieta demasiado pronto Hsu 1993: Otro modelo del RA-STM, del libro “Unified Theory of Reinforced Concrete”

Tension stiffening

Modela la resistencia a la tracción después del agrietamiento en el hormigón armado y pretensado. Se recomienda el modelo Bentz 1999. Ningu no : no considera ninguna resistencia después del agrietamiento Vecchio -Collins 1982: ecuación propuesta por Vecchio en el libro “Response of Reinforced Concrete to In-Plane Shear and Normal Stresses” Collins -Mitchell 1987: ecuación propuesta en el libro “Prestressed Concrete Basics”. Es el modelo recomendado si no se usa el Bentz 1999 Izumo et al: ecuación propuesta por Izumo y alumnos en el libro “An analytical Model for RC Panels Subjected to In-Plane Stresses” Tamai et al: ecuación usada por Tamai y por el modelo Hsu en el libro “Average Stress-Strain Relationship in Post Yield Range of Steel Bar in Concrete” Elasto -Plastic: tensión de rotura para cualquier deformación después de la rotura Bentz 1999: modelización de la tensión basada en la deformación y la distancia a los refuerzos. Se basa en lo expresado en el libro “Sectional Analysis of Reinforced Concrete”

La resistencia a tracción y la deformación de rotura pueden estimarse directamente a partir de la resistencia a compresión y actualizarse automáticamente al modificar esta o, si se introduce un valor manual, desactivar el modo automático.

4.2.1.2.3.2. DEFINICIÓN DETALLADA DE LAS ARMADURAS PASIVAS El acero pasivo se define de forma similar al hormigón. La opción “predefined type” permite seleccionar entre los tipos más comunes de acero, que son los mostrados en la siguiente tabla:

Tipo de acero E fy εsh εu fu ASTM A615 40 ksi 200000 276 20.0 120.0 483 ASTM A615 60 ksi 200000 414 15.0 80.0 621 ASTM A706 60 ksi 200000 414 15.0 120.0 552

CSA G30.12 300 MPa 200000 300 20.0 110.0 450 CSA G30.12 400 MPa 200000 400 15.0 80.0 600

CSA G30 400 Weld 200000 400 15.0 130.0 550 1030 Mpa Dywidag 200000 800 10.0 40.0 1030 1080 Mpa Dywidag 200000 820 10.0 40.0 1080

donde


111

Property Propiedad Símbolo Valor por defecto

Elastic Modulus Rigidez antes de plastificar

E 200000 MPa

Yield Strength Límite de proporcionalidad

fy 400 Mpa

e-strain harden Endurecimiento por plastificación εsh 7 mm/m

Rupture strain Deformación última εu 10 % Ultimate Strength Tensión máxima fu 1.5·fy

La curva es lineal hasta el inicio de la plastificación, luego tiene un tramo horizontal y posteriormente cuadrática después del endurecimiento por plastificación. La pendiente vale cero en el punto de máxima tensión, que es también el de máxima deformación.

4.2.1.2.3.3. DEFINICIÓN DETALLADA DE LAS ARMADURAS ACTIVAS El acero utilizado en los tendones se define con la curva de Ramberg-Osgood , explicada en el libro “Prestressed Concrete Structures”. Generalmente se elegirá uno de los dos tipos predefinidos. Si hay información sobre las propiedades tensión-deformación del acero, se puede introducir un acero personalizado para los tendones. Para ello hay que calcular los parámetros A, B y C que definen el material:

Tipo de acero A B C E

(MPa) fu

(MPa) εu (mm/m)

1860 MPa baja relajación 0.025 118.0 10.0 200000 1860 43

1860 MPa stress-relieved 0.030 121.0 6.0 200000 1860 43

Donde

Property Propiedad Símbolo Valor por defecto

Ramberg-Osgood A

Parámetro A del modelo A 0.025

Ramberg-Osgood B

Parámetro B del modelo B 118.0

Ramberg-Osgood C

Parámetro C del modelo C 10.0

Elastic Modulus rigidez antes de plastificar

E 200000 MPa

Rupture strain Deformación última εu 43 mm/m Ultimate Strength Tensión máxima fu 1860 MPa

4.2.1.2.4. SECCIÓN TRANSVERSAL DEL ELEMENTO La opción del menú “Define/Concrete cross section” define la sección de hormigón que se utilizará en el análisis. Response 2000 utiliza un elemento tipo viga o pilar. Shell 2000 y Membrane 2000 definen el elemento a partir del espesor del elemento (en ambos casos es del tipo membrana). Triax 2000 no precisa ninguna dimensión.


112

4.2.1.2.5. ARMADURAS LONGITUDINALES El acero en el programa se define tanto por capas individuales de barras como por grupos de capas. Los grupos de capas pueden ser circulares, aunque en el caso de Membrane 2000 solo se pueden utilizar grupos de capas planos. En la ventana de diálogo se definen las capas, existiendo la posibilidad de añadir nuevas capas, modificar las existentes o eliminarlas. Es una ventana parecida a la de definición de materiales.

4.2.1.2.5.1. CAPAS INDIVIDUALES Se definen con los siguientes datos: separación entre barras, tipos de barras, distancia del baricentro de la capa al borde inferior del elemento y pretensado (predeformación). La siguiente tabla muestra los tipos de barras incluidos en el programa:


113

CSA Reinforcing Bars. CSA Prestressing Strands.

Bar Nominal Cross Strand Nominal Cross Designation Diameter Sectional Designation Diameter Sectional (mm) Area (mm2) (mm) Area (mm2) 10M 11,3 100 S9 9,53 55 15M 16 200 S11 11,13 74 20M 19,5 300 S13 12,7 99 25M 25,2 500 S13FAT 13,9 107,7 30M 29,9 700 S13S 13,9 107,7 35M 35,7 1000 S15 15,24 140 45M 43,7 1500 55M 56,4 2500 CSA Reinforcing Alternate Titles. US Prestressing Strands (270 ksi). Bar Nominal Cross Strand Nominal Cross Designation Diameter Sectional Designation Diameter Sectional (mm) Area (mm2) (mm) Area (mm2) 10 11,3 100 S.25 0,25 0,036 15 16 200 S.375 0,375 0,085 20 19,5 300 S.5 0,5 0,153 25 25,2 500 S.5FAT 0,55 0,167 30 29,9 700 S.5S 0,55 0,167 35 35,7 1000 S.6 0,6 0,215 45 43,7 1500 55 56,4 2500

Standard US bars. Deformed Prestressing Bars (Dywidag). Bar Nominal Cross Bar Nominal Cross Designation Diameter Sectional Designation Diameter Sectional (in) Area (in2) (mm) Area (mm2) #2 0,248 0,05 PB15 15 177 #3 0,375 0,11 PB26 26,5 551 #4 0,5 0,2 PB32 32 804 #5 0,625 0,31 PB36 36 1018 #6 0,75 0,44 #7 0,875 0,6 #8 1 0,79 #9 1,128 1 #10 1,27 1,27 #11 1,41 1,56 #14 1,693 2,25 #18 2,257 4


114

US Proposed Metric Titles. Bars nominal by diameter.

Bar Nominal Cross Bar Nominal Cross Designation Diameter Sectional Designation Diameter Sectional (mm) Area (mm2) (mm) Area (mm2) M10 9,5 71 1 mm 1 0,785 M13 12,7 129 2 mm 2 3,142 M16 15,9 200 3 mm 3 7,069 M19 19,1 284 4 mm 4 12,57 M22 22,2 387 5 mm 5 19,63 M25 25,4 510 6 mm 6 28,27 M29 28,7 645 7 mm 7 38,48 M32 32,3 819 8 mm 8 50,27 M36 35,8 1006 9 mm 9 63,62 M43 43,0 1452 10 mm 10 78,54 M57 57,3 2581 11 mm 11 95,03 12 mm 12 113,1

Japanese Bars. 13 mm 13 132,7 Bar Nominal Cross 14 mm 14 153,9 Designation Diameter Sectional 15 mm 15 176,7 (cm) Area (cm2) 16 mm 16 201,1 JD6 0,640 0,32 17 mm 17 227 JD8 0,800 0,5 18 mm 18 254,5 JD10 0,950 0,71 19 mm 19 283,5 JD13 1,270 1,27 20 mm 20 314,2 JD16 1,590 1,99 21 mm 21 346,4 JD19 1,910 2,87 22 mm 22 380,1 JD22 2,230 3,87 23 mm 23 415,5 JD25 2,550 5,07 24 mm 24 452,4 JD29 2,860 6,42 25 mm 25 490,9 JD32 3,180 7,94 26 mm 26 530,9 JD35 3,500 9,57 27 mm 27 572,6 JD38 3,820 11,4 28 mm 28 615,8 JD41 4,140 13,4 29 mm 29 660,5 30 mm 30 706,9 31 mm 31 754,8 32 mm 32 804,2 33 mm 33 855,3 34 mm 34 907,9 35 mm 35 962,1 36 mm 36 1018

4.2.1.2.5.2. GRUPOS DE CAPAS DISTRIBUIDAS Los grupos de capas permiten, por repetición, una definición rápida de las armaduras . La lista de grupos presenta un botón adicional respecto a la de capas individuales, que permite que el grupo sea dividido en capas individuales: “explode”.

4.2.1.2.5.3. CAPAS DE TENDONES Membrane 2000 permite pretensar acero desde la ventana normal de definición del refuerzo, introduciendo una predeformación .


115

4.2.1.2.6. ARMADURAS TRANSVERSALES Los refuerzos transversales se definen de forma parecida a los longitudinales: porcentaje, tipo de barra, tipo de material y geometría. La geometría se define mediante la distancia desde el borde superior e inferior de los refuerzos a los bordes del elemento. De cualquier manera, los refuerzos transversales no afectan en el estudio realizado por el programa, al utilizar únicamente cargas en el plano del hormigón.

4.2.1.2.7. CATÁLOGO DE ELEMENTOS El programa permite utilizar más de una sección , mediante la opción del menú “Catalog”.

4.2.1.3. CARGAS Y OPCIONES DE ANÁLISIS Esta sección define las opciones del menú “Loads” del programa.

4.2.1.3.1. CARGAS Las cargas consisten en tensiones axiales en las direcciones X e Y y tensiones tangenciales coplanarias . Las tensiones axiales positivas indican tracción , las negativas compresión . Las tensiones tangenciales deben ser positivas . Se puede definir la combinación de cargas a utilizar en el análisis “One load”, el nivel de tensión con que se empieza el análisis, así como los ratios de incremento de carga a partir del nivel inicial. Nótese que es importante resaltar que es la relación, no la magnitud a incrementar.

4.2.1.3.2. DEFORMACION POR EFECTO TÉRMICO Y RETRACCIÓN

Membrane 2000 permite simular la retracción del hormigón, mediante el menú “Loads/Termal and Shrinkage Strains”. Además, se pueden aplicar deformaciones térmicas en la armadura, como un pretensado . También se pueden introducir deformaciones negativas para indicar contracciones del hormigón.

4.2.1.3.3. RESULTADOS EXPERIMENTALES Como el elemento utilizado por defecto con el programa, el PV20, es el utilizado para probar el funcionamiento de la teoría del campo de compresiones modificada, se han incluido unos resultados experimentales. También se pueden introducir nuevos resultados experimentales . A la hora de realizar el análisis, el programa comprueba si para el elemento se han introducido estos resultados y si es así se incluyen los datos experimentales al representar la solución calculada.

4.2.1.4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN

4.2.1.4.1. INFORMACIÓN GENERAL Todos los programas operan de forma similar. Los resultados se actualizan dinámicamente al cambiar el nivel de carga. Así es posible obtener rápidamente


116

los resultados y encontrar posibles errores. De este modo, no solo aumenta la confianza en los resultados, sino que es posible que el usuario comprenda mucho mejor el comportamiento del hormigón. La presentación de los resultados también permite al usuario analizar cualquier resultado extraño o inesperado. Esto contrasta con algunos programas del mercado, que eliminan al ingeniero del proceso de cálculo, con lo que se dificulta la comprensión del funcionamiento del programa. Las distintas pantallas de presentación de datos están disponibles en el menú “View”, así como en la barra de herramientas. La presentación por defecto es una pantalla con nueve gráficos . También se pueden mostrar estos mismos gráficos de manera independiente . Los dibujos independientes carga-deformación tienen una característica adicional: se puede pegar en ellos otros gráficos. El programa está configurado de manera que existe un gráfico de control en la esquina inferior izquierda de la pantalla de presentación de datos. Esta se usa para indicar de qué punto del análisis se están mostrando los resultados. Este punto se puede modificar pinchando en el gráfico, con lo que se desplaza la cruz que lo señala. También se puede modificar con las teclas “Av Pág” y “Re Pág”. El botón “Max/Auto Range” ajusta automáticamente los gráficos para recordar la escala máxima en el curso de los análisis y poder comparar.

4.2.1.4.2. TIPOS DE ANÁLISIS Todos los programas tienen en común tres tipos de análisis. El primero es el análisis “Full Response” (respuesta completa). Consiste en un análisis inicial de carga simple con los valores indicados al introducir las cargas. Luego incrementará las cargas en la relación indicada en la misma ventana. El segundo tipo de análisis es el análisis “Single Load Level” (nivel de carga aislada). Se resolverá el análisis únicamente con las cargas iniciales. El tercer tipo de análisis es el de “Strain State” (estado de deformaciones). Este proporciona las tensiones y esfuerzos que corresponden a unas deformaciones dadas. Además, se incluyen otras opciones para realizar el análisis. Así, se tiene el análisis por la Teoría del Campo de Compresiones Modificada (MCFT) de 1987, el análisis según Rotating Angle-Softened Truss Model (RA-STM) de 1993, 1995 y 1998 y por el Fixed Angle-Softened Truss Model (FA-STM) de 1996, 1997 y 1998.

4.2.1.4.3. RESULTADOS DE LOS ANÁLISIS

4.2.1.4.3.1. LOS NUEVE GRÁFICOS GENERALES Shear- γγγγxy: tensiones tangenciales coplanarias (MPa, psi, kg/cm2) frente a deformaciones tangenciales (x10-3). Es el diagrama que resume el comportamiento del elemento, ya que este programa usa las tensiones tangenciales en todos los análisis. Shear-f sx: tensiones tangenciales coplanarias (MPa, psi, kg/cm2) frente a tensión media en el acero en la dirección del eje X (MPa, psi, kg/cm2). La tensión media en acero no puede ser mayor que el límite elástico, a no ser que se produzca endurecimiento por deformación.


117

Shear- εεεεx: tensiones tangenciales coplanarias (MPa, psi, kg/cm2) frente a deformaciones en la dirección del eje X (x10-3). Mientras el acero en esta dirección no plastifique, el diagrama es proporcional al anterior. Diagrama de agrietamiento : muestra los grupos de grietas y se especifica la profundidad de las mismas (mm, in, cm). El tamaño del gráfico es cinco veces el espesor del elemento, con el acero y las grietas dibujados a escala. Al ir modificando el punto de análisis se puede ver como se modifica el ángulo de orientación de las grietas, como especifica la TCCM. Shear-f sy: tensiones tangenciales coplanarias (MPa, psi, kg/cm2) frente a tensión media en el acero en la dirección del eje Y (MPa, psi, kg/cm2). Shear- εεεεy: tensiones tangenciales coplanarias (MPa, psi, kg/cm2) frente a deformaciones en la dirección del eje Y (x10-3). f2-εεεε2: tensión principal de compresión (MPa, psi, kg/cm2) frente a deformación principal de compresión (x10-3). Muestra la relación tensión-deformación en compresión. En este gráfico aparece una línea roja que representa la máxima tensión admisible y u na línea azul que muestra la tensión aplicada. Cuando estas línea s se cortan, el hormigón se rompe por compresión. La tensión admisible va disminuyendo a lo largo del análisis debido al ablandamiento del hormigón sometido a compresión-tracción combinadas, implícita en la teoría del campo de compresiones modificada. Shear on crack- εεεε1: tensión tangencial en la grieta (Mpa, psi, kg/cm2) frente a deformación principal de tracción. Para satisfacer el equilibrio en la grieta, a veces es necesario que exista tensión tangencial en la superficie de la grieta, según la teoría del campo de compresiones modificada. La línea roja muestra la máxima tensión tangencial admisible en la grieta , en función del tamaño de árido y de la profundidad de la grieta. f1-εεεε1: tensión principal de tracción (MPa, psi, kg/cm2) frente a deformación principal de tracción (x10-3). La tensión principal de tracción es la que distingue la teoría del campo de compresiones modificada de la teoría del campo de compresiones. El hormigón agrietado no presentará tensiones de tracción en las grietas, pero existirán tensiones de tracción significativas entre las grietas que tenderán a aumentar la resistencia del elemento. La comprobación de la grieta de la teoría del campo de compresiones modificada puede reducir el valor de las tensiones de tracción , debido a las condiciones de equilibrio, por debajo de los valore s sugeridos por las ecuaciones de comportamiento .

4.2.1.4.3.2. LOS NUEVE GRÁFICOS DE CÍRCULOS DE MOHR Se dibujan a escala los círculos de Mohr. Al contrario que los demás gráficos del manual, se muestran los puntos de intersección de los círculos con los ejes, en lugar de la localización del punto final. Estos gráficos se actualizan con los niveles de carga.


118

Círculo de Mohr de deformaciones (medias) : El círculo muestra el estado de deformaciones medias del elemento. Círculo de Mohr de tensiones (medias) : este muestra las tensiones medias usadas para calcular el comportamiento del elemento. Nótese que, en la teoría del campo de compresiones modificada, aunque el comportamiento se calcula y comprueba en la grieta, solo el comportamiento medio afecta al estado final de tensiones-deformaciones del elemento. Nótese, además, que el ángulo (2θ) es el mismo para el círculo de tensiones medias que para el círculo de deformaciones medias, como asume la teoría. Círculo de Mohr de tensiones (en la grieta) : el círculo de Mohr de tensiones en la grieta se incluye para mostrar explícitamente las hipótesis sobre lo que ocurre en la grieta. Nótese que el ángulo (dos veces el ángulo principal de tensiones en la grieta) no es el mismo que en el caso de la tensión media. Esto se debe a la diferencia entre las tensiones en el acero y las tensiones principales en el hormigón medias y en la grieta. Debido a esta diferencia en el ángulo de tensiones, es posible tener tensiones tangenciales en la grieta incluso aunque se asuma que la grieta tiene el mismo ángulo que las tensiones y deformaciones principales. Shear- θ θ θ θ: tensión tangencial (MPa, psi, kg/cm2) frente al ángulo principal de tensión/deformación (grados). Se puede apreciar la rotación del ángulo durante el análisis. Node-Data : estado de tensión y deformación del elemento para una fase de carga dada (se muestran las unidades). Pinchando con el botón de la derecha del ratón es posible copiar estos datos al portapapeles para usarlos en otras aplicaciones. Shear- εεεε2, Shear-εεεε1: similares a los gráficos generales pero con la tensión tangencial como eje vertical.

4.2.1.4.3.3. LOS NUEVE GRÁFICOS DE REFUERZOS Y GRIETAS Esta última ventana de nueve gráficos muestra detalles importantes de la teoría del campo de compresiones modificada sobre las tensiones del acero medias y en la grieta. Lo más importante de esta ventana son los gráficos de tensiones en la fisura. En estos se puede comprobar una de las hipótesis de la teoría: no es necesario que exista tensión tangencial en la grieta hasta que el acero de la grieta plastifica en la dirección más débil. Dicho de otra manera, la tensión tangencial en la grieta se minimiza según la teoría del campo de compresiones modificada, ya que se asume que el mecanismo de refuerzo es más rígido. A medida que la carga aumenta por encima del punto de plastificación del eje débil, como las tensiones en el acero en la grieta están limitadas por el valor de plastificación y las tensiones medias pueden seguir aumentando hasta ese valor, debe aparecer cortante en la grieta para soportar ese incremento de tensión. Al aumentar la tensión tangencial en la fisura, la pendiente de la tensión en el acero de la fisura en la dirección perpendicular (la más


119

fuerte) se modifica, ya que la tensión tangencial en la grieta transfiere la solicitación de la dirección débil a la dirección más fuerte. Una vez las dos familias de armados han plastificado, la tensión principal de tracción debe disminuir para cumplir con las condiciones de equilibrio en la fisura (comprobación de la fisura de la TCCM).

4.2.2.- ANÁLISIS DE ELEMENTOS TIPO MEMBRANA Se analiza el comportamiento de una placa sometida a tracción, según la Teoría del Campo de Compresiones Modificada. Se va a estudiar el efecto de la variación del grado de pretensado y de la posición del armado en la fisuración a tracción, la plastificación de las armaduras y, en definitiva, el comportamiento de la pieza sometida a tracción. La secuencia de análisis que se ha seguido ha consistido en constatar el comportamiento de una pieza al someterla a esfuerzos de tracción. En primer lugar, se analiza una placa de hormigón armado sometida a tracción. Se van girando las armaduras y se va observando cómo influye este giro en su comportamiento. A partir de aquí, se va pretensando la pieza y se mide la influencia del grado de pretensado en su comportamiento según la Teoría Modificada del Campo de Compresiones.

4.2.2.1. ANÁLISIS DE UNA PLACA DE HORMIGÓN ARMADO

A continuación se implementa en Membrane-2000 un elemento tipo placa de un metro cuadrado y 100 mm de espesor. Esta placa se va a analizar con diferentes armados : 1. FMJLV1c : Un mallazo formado por una capa de redondos del 10 en la

dirección del eje x, espaciados 10 cm, con un recubrimiento inferior de 15 mm y otra capa de redondos del 10, espaciados 10 cm.

2. FMJLVx : Dos capas de redondos del 10 en la dirección del eje x, espaciados 10 cm, con un recubrimiento inferior y superior de 15 mm (separación entre capas: 50 mm).

3. FMJLVxy/2 : Un mallazo formado por dos capas de redondos del 10 en la dirección del eje x, espaciados 10 cm, con un recubrimiento inferior y superior de 15 mm y dos capas de redondos del 10 en la dirección del eje y, espaciados 20 cm (separación entre mallas: 30 mm).

4. FMJLVxy : Un mallazo formado por dos capas de redondos del 10 en ambas direcciones, espaciados 10 cm, con un recubrimiento inferior y superior de 15 mm (separación entre mallas: 30 mm).

Además, estos armados van a estudiarse en diferentes disposiciones , comenzando paralelos a los ejes x e y e inclinándose progresivamente, de 15 en 15 grados, hasta girar 90 grados. Como no es posible girar las armaduras, esta variación de la posición se ha implementado modificando la distribución de cargas externas, según la siguiente tabla:

σId σIId α α (rad) 2α σxd σyd τxyd 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 15 0,261799388 0,523598776 0,933012702 0,066987298 0,25 1 0 30 0,523598776 1,047197551 0,75 0,25 0,433012702 1 0 45 0,785398163 1,570796327 0,5 0,5 0,5 1 0 60 1,047197551 2,094395102 0,25 0,75 0,433012702 1 0 75 1,308996939 2,617993878 0,066987298 0,933012702 0,25 1 0 90 1,570796327 3,141592654 0 1 6,12574E-17


120

Figura 62 Tabla con la distribución de tensiones para simular el giro del armado.

Los parámetros que se analizarán durante la aplicación de la carga son los siguientes: • Tensión aplicada (σdI, σdx, σdy, τdxy). • Ángulo, ancho y separación de fisuras (θ, w, smθ). Se analizarán principalmente tres instantes de la aplicación de cargas: • Aparición de la primera fisura en el hormigón. • Instante en que comienza la plastificación de la armadura en las grietas. • Valores máximos a lo largo del historial de carga.

4.2.2.1.1. CARACTERÍSTICAS DE LOS MATERIALES Los materiales empleados son: hormigón, con una resistencia característica de 40 Mpa y acero B-400S para las armaduras. Sus respectivos diagramas tensión-deformación son: COMPORTAMIENTO A COMPRESIÓN

HORMIGÓN ACERO

Concrete

εc' = 2.10 mm/m

fc' = 40.0 MPa

a = 19 mmft = 1.97 MPa (auto)

Rebar

εs = 10.0 mm/m

fu = 400 MPa

fy= 400

Figura 63 Relación tensión deformación de compresión para el hormigón y el acero.

Resistencia a compresión: f’c=40 MPa Límite elástico: fy = 400 MPa Resistencia a tracción: Módulo de elasticidad: Es=200000 Mpa fct=0,45(f'c)^0,4=1,97 MPa Carga de rotura: fu=400 MPa Relación tensión-deformación: Popovics/Thorenfeldt/Collins:

nk

c

c

c

c

c

c

n

n

f

′+−

′⋅

=

εε

εε

σ

1

52,278976900'3320 =+= cc fE

n=0,8+fc/17=3,153

=−

=1

'n

n

E

f

c

c

cε 2,1x10-3


121

COMPORTAMIENTO A TRACCIÓN DEL HORMIGÓN Comportamiento lineal con módulo elástico Ec hasta su resistencia a tracción (σct=1,97 MPa) correspondiente a una elongación εct=σct/Ec; εct=1,97/27897,52=7.05x10-5 εct=0,0705 mm/m. Desde este punto, tensión stiffening hasta alcanzar la limitación impuesta por la plastificación del acero en la fisura.

4.2.2.1.2. ELEMENTOS OBJETO DE ESTUDIO Los elementos sometidos a análisis son los siguientes:

f1-εεεε1

1.9

1.9


122

FMJLV1c: Área de hormigón: Ac=105 mm2. Refuerzo pasivo: Barras φ10@100 en ambas direcciones. Área de acero: Asi=π(φ/2)2=78,5 mm2. Número de capas: nc=1 en cada dirección. As=ncAsih/sφ=785 mm2. Tensión de plastificación del acero sin contribución de hormigón: fyAs/Ac=3.14 MPa Espacio entre grietas: sx=316 mm; sy=299 mm.

FMJLVx: Área de hormigón: Ac=105 mm2. Refuerzo pasivo: Barras φ10@100. Área de acero: Asi=π(φ/2)2=78,5 mm2. Número de capas: nc=2. As=ncAsih/sφ=1571 mm2. Tensión de plastificación del acero sin contribución de hormigón: fyAs/Ac=6,28 MPa. Espacio entre grietas: sx=180 mm; sy=1000 mm.

FMJLV1xy/2: Área de hormigón: Ac=105 mm2. Refuerzo pasivo: Barras φ10@100 en la dirección del eje x y Barras φ10@200 en la dirección del eje y. Área de acero: Asi=π(φ/2)2=78,5 mm2. Número de capas: nc=2 en cada dirección. Asx=ncAsih/sφ=1571 mm2. Asy=ncAsih/sφ=785 mm2. Tensión de plastificación del acero sin contribución de hormigón: Eje x: fyAsx/Ac=6,28 MPa. Eje y : fyAsx/Ac=3,14 MPa. Espacio entre grietas: sx=180 mm; sy=336 mm.

FMJLVxy: Área de hormigón: Ac=105 mm2. Refuerzo pasivo: Barras φ10@100 en ambas direcciones. Área de acero: Asi=π(φ/2)2=78,5 mm2. Número de capas: nc=1 en cada dirección. As=ncAsih/sφ=1571 mm2. Tensión de plastificación del acero sin contribución de hormigón: fyAs/Ac=6,28 MPa. Espacio entre grietas: sx=180 mm; sy=180 mm.


123

4.2.2.1.3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO Las ecuaciones de equilibrio se pueden obtener de la siguiente figura:

z·cosθσII

θ

σI

σsxAsx

σxd

τxyd

σyd

σyd

σIIσI

σxd

τxyd

σyd

σsyAsy

b·senθ

σxd

Figura 64 Equilibrio en el elemento objeto de estudio.

Equilibrio horizontal : σxd=σsxρsx+σIsen2θ-σIIcos2θ Equilibrio vertical : τxyd=-(σI+σII)senθcosθ

Equilibrio en los estribos : σyd=σsyρsy+σIcos2θ-σIIsen2θ Donde σxd, σyd y τxyd, dependen del ángulo de giro de los armados, como puede verse en la tabla anterior. De la siguiente figura, se obtiene, a partir de la equivalencia entre la tensión en la fisura y la zona entre fisuras:

z/cosθ

σI

σsxAsx

σxd

τxyd

σyd

σsyAsy

τxyd σxd

z/se

nθ

σI

σsxAsx

σxd

τxyd

σyd

σsyAsy

Figura 65 Equivalencia entre la zona fisurada y la zona entre fisuras.

Equivalencia horizontal : Antes de la plastificación: σsxρsx+σI=σsxcrρsx

Después de la plastificación: σsxρsx+σI=fsxyρsx-τcrcotgθ Equivalencia vertical :

Antes de la plastificación: σsyρsy+σI=σsycrρsy Después de la plastificación: σsyρsy+σI=fsyyρsy+τcrtgθ

También se pueden obtener a partir de esta figura las ecuaciones de equilibrio : Equilibrio horizontal :

Antes de la plastificación: σxd-τxydcotgθ=σsxρsx+σI=σsxcrρsx Después de la plastificación: σxd-τxydcotgθ=σsxρsx+σI=fsxyρsx-τcrcotgθ


124

Equilibrio vertical : Antes de la plastificación: σyd-τxydtgθ=σsyρsy+σI=σsycrρsy

Después de la plastificación: σyd-τxydtgθ=σsyρsy+σI=fsyyρsy+τcrtgθ Estas ecuaciones sirven para valores de θθθθ distintos de 0 y 90º , ya que esos puntos se escapan del dominio de las ecuaciones, por valer alguna de sus razones trigonométricas 0 o infinito. Para estos valores de θ se tendrá: θθθθ=0º: Equivalencia horizontal :

Antes de la plastificación: σsxρsx=σsxcrρsx Como se ve, la armadura en esta dirección, si plastifica, lo hace tanto en la fisura como entre las fisuras. Por tanto:

Después de la plastificación: fsxyρsx=fsxyρsx Equivalencia vertical :

Antes de la plastificación: σsyρsy+σI=σsycrρsy Después de la plastificación: σsyρsy+σI=fsyyρsy

Una vez ha plastificado el acero en la fisura en la dirección y, el elemento se agota y no puede absorber aumentos de carga externa.

θθθθ=90º: Equivalencia horizontal :

Antes de la plastificación: σsxρsx+σI=σsxcrρsx Después de la plastificación: σsxρsx+σI=fsxyρsx

Una vez ha plastificado el acero en la fisura en la dirección x, el elemento se agota y no puede absorber aumentos de carga externa.

Equivalencia vertical :

Antes de la plastificación: σsyρsy=σsycrρsy Como se ve, la armadura en esta dirección, si plastifica, lo hace tanto en la fisura como entre las fisuras. Por tanto:

Después de la plastificación: fsyyρsy=fsyyρsy

4.2.2.1.4. ESTUDIO CON ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE LAS ARMADURAS NULO

La aplicación de cargas realizada consiste en un esfuerzo axil de tracción puro creciente, desde un valor nulo hasta la rotura de la pieza. El ratio de variación de cargas de tracción introducido en la aplicación es dNx=1 MPa. Las ecuaciones que rigen el comportamiento de este elemento serán:

Equilibrio horizontal: σxd=σsxρsx+σIsen2θ-σIIcos2θ Equilibrio vertical: 0=(σI+σII)senθcosθ

Equilibrio en los estribos: 0=σsyρsy+σIcos2θ-σIIsen2θ Equivalencia horizontal:

Antes de la plastificación: σsxρsx+σI=σsxcrρsx Después de la plastificación: σsxρsx+σI=fsxyρsx-τcrcotgθ

Equivalencia vertical:



125

Según las ecuaciones de equivalencia zona fisurada-sin fisurar, debe aparecer una tensión en la armadura en la dirección y para compensar a σI, aunque esta tensión sea paralela a la dirección x. Esta incongruencia se resolvería utilizando las ecuaciones propuestas en el apartado anterior para 0 º.


126

4.2.2.1.4.1. FMJLV1c-0 INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

La primera fisura aparece cuando la tensión de tracción en el hormigón supera el valor σσσσct=1,97 MPa, que corresponde a una deformación de 0,0705 mm/m . Así, la tensión aplicada será: σd=σxd=1,97+Es7,05x10-5As/Ac=1,97+200000x7,05x10-5x785/100000= =1,97+14,1x785/100000=2,08 MPa. Y la tensión en el acero será σs=14,1 MPa. Al alcanzar ese valor nos encontramos:

f1-εεεε1

1.9

1.9ex: 0.07 mm/mey: 0.00 mm/mγxy: 0.00 mm/me1: 0.07 mm/me2: 0.00 mm/m

θ: 90.0 deg.

fcx: 1.97 MPafcy: 0.00 MPavxy: 0.00 MPaf1: 1.97 MPaf2: 0.0 MPa

f2max: -40.0 MPafsx: 14.1 MPa fsxcr: 0.0 MPafsy: 0.0 MPa fsycr: 0.0 MPasm-θ: 0 mm w: 0.00 mmvci: 0.00 MPa vcimax: 0.00 MPa

1X2Y

Circle of Stress (average)

0.00 1.97

0.98

-0.981X2Y

Circle of Stress (crack)

0.01 Al superar el valor anterior:

Crack Diagram

0.02

ex: 0.07 mm/mey: 0.00 mm/mγxy: 0.00 mm/me1: 0.07 mm/me2: 0.00 mm/m

θ: 90.0 deg.


f2max: -40.0 MPafsx: 14.1 MPa fsxcr: 209.2 MPafsy: 0.0 MPa fsycr: 195.1 MPa

sm-θ: 316 mm w: 0.02 mmvci: 0.00 MPa vcimax: 3.61 MPa

1X2Y


0.00 1.53

0.77

-0.77

1X2Y


-1.53

0.77

-0.77


127

La tensión en el hormigón se relaja , no así la del acero, y la tensión aplicada disminuye hasta: σxd=1,53+14,1As/Ac=1,53+14,1x785/100000=1,64 MPa. En la grieta, esta tensión la absorbe el acero: 209,2As/Ac=1,64 MPa. De las ecuaciones de equivalencia , se obtiene la tensión que aparece en el acero en la dirección y: σsycr=σI/ρy=1,53x100000/785=194,9 MPa. Podemos ver cómo, en el momento de aparición de la fisura, aparece una tensión de compresión sobre la superficie de hormig ón de la fisura . Esta tensión principal de compresión puede verse en la distribución de los círculos de Möhr en las fisuras, simétricos a los de tensiones medias, mostrando unicamente tensiones de compresión. Esta tensión de compresión aparece como respuesta a la tensión de tracción de la armadura en la dirección del eje y en la fisura :

σIIcr+σsycrρy=-1,53+194,9x785/100000=0 MPa. A pesar de ser matemáticamente correcto según la formulación inicial de la teoría, no parece que, sin considerar esta teoría el efecto Poisson , estas tensiones en la armadura según el eje y en la fisura y en el hormigón del borde de la fisura tengan mucho sentido físico. Incluso considerando el efecto Poisson , en la zona entre fisuras el hormigón tendería a disminuir su tamaño en la dirección del eje y mientras el acero en esta dirección se lo impediría, con lo que en el hormigón aparecerían tensiones de tracción en esa dirección mientras en el acero lo harían de compresión . Esto es debido, como ya se ha dicho, a que la aplicación no considera las indeterminaciones en las ecuaciones obtenidas de la equivalencia zona fisurada-zona no fisurada.

INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN Esta se produce al alcanzar el acero en las fisuras el límite elástico , lo que ocurre para una tensión aplicada σxd=400x785/100000=3,14 MPa:

f1-εεεε1

1.9

1.9


θ: 90.0 deg.




1X2Y


0.86

0.43

-0.43

1X2Y


-0.86

0.43

-0.43

En la zona entre grietas: σxd=0,86+290,5As/Ac=0,86+290,5x785/100000=3,14 MPa.


128

Se puede apreciar que la plastificación ocurre para una deformación media menor de 2 mm/m (1,45 mm/m) ; sólo se alcanza esta deformación en la fisura. De la equivalencia entre zona no fisurada y fisura se obtiene el valor de σsycr=σI/ρy=0,86x100000/785=109,6 MPa, que conlleva la aparición de la tensión de compresión en el hormigón del borde de la fisura (σIIcr=-0,86).

VALORES MÁXIMOS Los valores máximos para las tensiones en el hormigón , se alcanzan en el momento de aparición de la primera fisura . En el acero , se alcanzan en el momento de la plastificación . Respecto a las deformaciones, el programa detiene el análisis al producirse la plastificación en el acero (1,91 mm/m) ya que, al no poder aparecer cortante en la fisura, no es posible que el elemento pueda absorber incrementos de carga. Sin embargo, sería posible, bajo la misma carga, continuar deformando el acero hasta la rotura (10 mm/m).

VALORES MÁXIMOS

variable valor instante σd (MPa) 3,14 Plastificación ε1/εx (mm/m) 10 Agotamiento acero ε2/εy (mm/m) 0 - σ1/σcx (MPa) 1,97 Primera fisura σ2/σcy (MPa) 0 - σsx (MPa) 400 Plastificación total σsy (MPa) 0 - θ (º) 90 - w (mm) 3,16 Agotamiento acero smθ (mm) 316 - σsxcr (MPa) 400 Plastificación σsycr (MPa) 400 Plastificación

Para que el valor de σsycr sea de 400 MPa, el valor de σI debe ser de 3,14 MPa, lo cual no puede ocurrir ya que fct=1,97 MPa. De hecho, en el momento de producirse la plastificación en la dirección del eje y en la fisura , la distribución en el elemento es:


θ: 90.0 deg.




1X2Y


-3.14 0.00

1.57

-1.57

Como puede verse, σI=0,66 MPa, con lo que la ecuación:

σsyρsy+σI=fsyyρsy+τcrtgθ Solo se cumple si τcrtgθ presenta el valor: τcrtgθ=σI-fsyyρsy=0,66-400x785/100000=-2,48 MPa. Podemos ver que el valor de τcr=vci=0 MPa, pero en la ecuación aparece multiplicado por tgθ=tg90=∞, con lo que esta indeterminación se resuelve aplicando a este producto el valor -2,48 MPa, aunque no presente ningún sentido físico.


129

4.2.2.1.4.2. FMJLVx-0 INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

Para este elemento, la tensión aplicada será: σxd=1,97+Es7,05x10-5As/Ac=1,97+200000x7,05x10-5x1571/100000= =1,97+14,1x1571/100000=2,19 MPa. Al alcanzar ese valor encontramos:

f1-εεεε1

1.9


θ: 90.0 deg.



1X2Y


1.97

0.98

-0.981X2Y


0.00 Y al superarlo:

Crack Diagram

0.01


θ: 90.0 deg.




1X2Y


0.00 1.64

0.82

-0.82

1

X

2

YCircle of Stress (crack)

0.00 0.00

0.00

0.00

El comportamiento es análogo al elemento anterior, salvo la modificación producida por aumentar la cantidad de armado, lo que hace que aumente la carga necesaria para agrietar el hormigón y que la relajación en el momento de la fisura llegue a:


130

1,64+14,1As/Ac=1,64+14,1x1571/100000=1,86 MPa. En la grieta: 118,4As/Ac=1,86 MPa. Para este elemento, no se pueden transferir las tensiones principales medias de tracción al acero de la fisura en la dire cción del eje y, por lo que no aparecen tensiones de compresión en el ho rmigón del borde de la fisura.

INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN Esta se produce al alcanzar el acero en las fisuras el límite elástico, lo que ocurre para una tensión de 6,28 MPa.

f1-εεεε1

1.9

1.9


θ: 90.0 deg.




1X2Y


0.99

0.50

-0.50

1

X

2


0.00 0.00

0.00

0.00

En la zona entre grietas: 0,99+336,8As/Ac=0,99+336,8x1571/100000=6,28 MPa. De nuevo, la plastificación ocurre para una deformación media menor de 2 mm/m (1.68 mm/m); sólo se alcanza esta deformación en la fisura.

Se puede ver que en este elemento no aparecen tensiones de compresión en la fisura , con lo que se confirma que la aparición de estas tensiones se produce para compensar la tensión que el modelo matemático introduce en el acero en la dirección y.


131

VALORES MÁXIMOS Los valores máximos para las tensiones en el hormigón , se alcanzan en el momento de aparición de la primera fisura . En el acero , se alcanzan en el momento de la plastificación . Respecto a las deformaciones, las máximas se alcanzan en el momento de agotamiento del acero por tracción, aunque el análisis se detiene al alcanzar 1,91 mm/m, ya que el elemento no puede absorber incrementos de carga al haber plastificado la armadura.

VALORES MÁXIMOS

variable valor instante σd (MPa) 6,28 Plastificación ε1/εx (mm/m) 10 Agotamiento acero ε2/εy (mm/m) 0 - σ1/σcx (MPa) 1,97 Primera fisura σ2/σcy (MPa) 0 - σsx (MPa) 400 Plastificación total σsy (MPa) 0 - θ (º) 90 - w (mm) 1,80 Agotamiento hormigón smθ (mm) 180 - σsxcr (MPa) 400 Plastificación σsycr (MPa) 0 -


132

4.2.2.1.4.3. FMJLVxy/2-0 INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

De nuevo, la tensión necesaria para alcanzar una deformación de 0,0705 mm/m en la dirección del eje x es: σxd=1,97+Es7,05x10-5As/Ac=1,97+200000x7,05x10-5x1571/100000= =1,97+14,1x1571/100000=2,19 MPa. Al alcanzar ese valor nos encontramos:

f1-εεεε1

1.9

1.9


θ: 90.0 deg.



1X2Y


1.97

0.98

-0.98 1X2Y


0.00 Al superarlo:

Crack Diagram

0.01


θ: 90.0 deg.




1X2Y


0.00 1.64

0.82

-0.82

1X2Y


-1.64

0.82

-0.82

La tensión en el hormigón se relaja , no así la del acero, y la tensión aplicada disminuye hasta:


133

1,64+14,1As/Ac=1,64+14,1x1571/100000=1,86 MPa, como en el elemento anterior. En la grieta , esta tensión la absorbe el acero: 118,4As/Ac=1,86 MPa. De nuevo, aparece tensión en la armadura “y” en la grieta : fsycr=208,6 MPa, debido a la transferencia de la tensión principal de tracción (σsycr=σI/ρy=1,64x100000/785=208,9 MPa) y distribución simétrica de los círculos de Möhr en las fisuras respecto a los de tensiones medias, mostrando tensiones de compresión en la superficie de las gri etas :

σIIcr=-σsycrρy=-1,64 MPa.

INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN Esta ocurre para una tensión de 6,28 MPa:

f1-εεεε1

1.9

1.9


θ: 90.0 deg.




1X2Y


0.99

0.50

-0.50

1X2Y


-0.99

0.50

-0.50

En la zona entre grietas: 0,99+336,8As/Ac=0,99+336,8x1571/100000=6,28 MPa. Plastificación a deformación media menor de 2 mm/m. De la equivalencia zona entre fisuras-fisura: σsycr=σI/ρy=0,99x100000/785=126,1 MPa σIIcr=-σsycrρy=-0,99 MPa.


134

VALORES MÁXIMOS Idénticos al caso del elemento FMJLVx, con la salvedad de fsycr, que alcanza el valor de plastificación, 400 MPa, en el momento de la plastificación de las armaduras en la grieta.

VALORES MÁXIMOS

variable valor instante σd (MPa) 6,28 Plastificación ε1/εx (mm/m) 10 Agotamiento acero ε2/εy (mm/m) 0 - σ1/σcx (MPa) 1,97 Primera fisura σ2/σcy (MPa) 0 - σsx (MPa) 400 Plastificación total σsy (MPa) 0 - θ (º) 90 - w (mm) 1,80 Agotamiento hormigón smθ (mm) 180 - σsxcr (MPa) 400 Plastificación σsycr (MPa) 400 Plastificación


135

4.2.2.1.4.4. FMJLVxy-0 INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

El comportamiento es el mismo que para el elemento anterior, excepto la tensión que aparece en la armadura “y” en la fisura una vez producida esta, que es de 104,3 MPa, la mitad que para el elemento anterior al ser la proporción de armado en esa dirección el doble:


θ: 90.0 deg.




La tensión aplicada disminuye hasta: 1,64+14,1As/Ac=1,64+14,1x1571/100000=1,86 MPa, como en el elemento anterior. En la grieta, esta tensión la absorbe el acero: 118,4As/Ac=1,86 MPa. De la equivalencia entre zona no fisurada y fisura se obtiene el valor de σsycr=σI/ρy=1,64x100000/1571=104,4 MPa, que conlleva la aparición de una tensión de compresión en el hormigón del borde de la fisura (σIIcr=-1,64).

INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN La única variación respecto al elemento anterior es la tensión en la armadura “y” en la fisura:


θ: 90.0 deg.




En este caso el valor alcanzado es: σsycr=σI/ρy=0,99x100000/1571=63,0 MPa, la mitad que para el elemento anterior, al ser la proporción de armado el doble que para ese caso.


136

VALORES MÁXIMOS Los mismos que para el elemento anterior.

VALORES MÁXIMOS

variable valor instante σd (MPa) 6,28 Plastificación ε1/εx (mm/m) 10 Agotamiento acero ε2/εy (mm/m) 0 - σ1/σcx (MPa) 1,97 Primera fisura σ2/σcy (MPa) 0 - σsx (MPa) 400 Plastificación total σsy (MPa) 0 - θ (º) 90 - w (mm) 1,80 Agotamiento hormigón smθ (mm) 180 - σsxcr (MPa) 400 Plastificación σsycr (MPa) 400 Plastificación

4.2.2.1.5. ESTUDIO CON ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE LAS ARMADURAS DE 15º

Al no poder inclinar las armaduras, se realiza una combinación de cargas para conseguir un efecto equivalente, desde un valor nulo hasta la rotura de la pieza. El ratio de variación es dNx= 0,933012702 MPa, dNy= 0,066987298 MPa, dVxy=0,25 MPa, como se vio en la tabla del apartado 4.2.2.1. Las ecuaciones que rigen el comportamiento de este elemento serán:

Equilibrio horizontal: σxd=σsxρsx+σIsen2θ-σIIcos2θ Equilibrio vertical: τxyd=-(σI+σII)senθcosθ

Equilibrio en los estribos: σyd=σsyρsy+σIcos2θ-σIIsen2θ Equivalencia horizontal:


Equivalencia vertical: Antes de la plastificación: σsyρsy+σI=σsycrρsy

Después de la plastificación: σsyρsy+σI=fsyyρsy+τcrtgθ


137

4.2.2.1.5.1. FMJLV1c-15


138

Se ha representado el instante de máxima carga , que coincide con el momento en el que se inicia la plastificación en la segunda familia de armados en la fisura . Se puede ver como el elemento va a fallar por plastificación de los dos armados en la fisura. En ningún momento se alcanza en el hormigón ni la máxima resistencia a compresión ni a cortante en la fisura. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

Hay que alcanzar una tensión principal de tracción en el hormigón σI=σct=1,97 MPa. Al alcanzar ese valor se tendrá:

f1-εεεε1

16.2


θ: 74.2 deg.



1

X

2

Y


-0.01 1.93

0.97

-0.97

1

X

2

Y

Circle of Strain (average)

-0.01 0.07

0.03

-0.03

Con una tensión aplicada: σxd=1,89; σyd=0,14; τxyd=0,51�σId=1,89 MPa. Comprobación: Siendo θ=180-74,2=105,8º: σxd=σsxρsx+σIsen2θ-σIIcos2θ=12,8x785/100000+1,93sen2105,8=1,89 MPa. τxyd=-(σI+σII)senθcosθ=-1,93sen105,8cos105,8=0,51 MPa. σyd=σsyρsy+σIcos2θ-σIIsen2θ=785/100000+1,93cos2105,8=0,15 MPa. Al superarlo:

Crack Diagram

0.02


θ: 73.9 deg.





139

1

X

2

Y


-0.01 1.52

0.77

-0.77

1

X

2

Y


-1.53

0.77

-0.77

También bajo esta hipótesis de carga, la tensión en el hormigón se relaja , no así la del acero, y la tensión aplicada disminuye hasta: σxd=1,51; σyd=0,11; τxyd=0,41�σId=1,62 MPa. Comprobación: Siendo θ=180-73,9=106,1º: σxd=σsxρsx+σIsen2θ-σIIcos2θ=13,8x785/100000+1,52sen2106,1=1,51 MPa. En la fisura, toda la carga la absorbe la armadura: σxd=σsxcrρsx+τxyd/tgθ=207,6x785/100000+0,41/tg106,1=1,51 MPa. τxyd=-(σI+σII)senθcosθ=-1,52sen106,1cos106,1=0,41 MPa. σyd=σsyρsy+σIcos2θ-σIIsen2θ=1,1x785/100000+1,52cos2106,1=0,11 MPa. Equivalencia horizontal: Antes de la plastificación: σsxρsx+σI=σsxcrρsx 13,8x785/100000+1,52=1,63 MPa. 207,6x785/100000=1,63 MPa. Equivalencia vertical: Antes de la plastificación: σsyρsy+σI=σsycrρsy 1,1x785/100000+1,52=1,53 MPa. 194,9x785/100000=1,53 MPa.

INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN Esta se produce al alcanzar el acero orientado según el eje x el límite elástico en las fisuras:

Crack Diagram

0.47

ex: 1.56 mm/mey: 0.48 mm/mγxy: 1.81 mm/me1: 2.08 mm/me2: -0.04 mm/m

θ: 60.4 deg.

fcx: 0.35 MPafcy: -0.55 MPavxy: 0.75 MPaf1: 0.77 MPaf2: -1.0 MPa


sm-θ: 227 mm w: 0.47 mmvci: -0.15 MPa vcimax: 1.83 MPa

Shear on Crack- εεεε1

16.2

1.8

Shear-s mth

252.2

0.8

σxd=2,80; σyd=0,20; τxyd=0,75�σId=3,00 MPa.


140

Se puede ver como aparece cortante en la fisura (vci=-0.16 MPa) tras la plastificación en la fisura de una de las familias de refuerzos. Comprobación: Equivalencia horizontal: Después de la plastificación: σsxρsx+σI=fsxyρsx-τcrcotgθ 312,1x785/100000+0,77=3,22 MPa. 400x785/100000-(0,15)cotg(180-60,4)= 3,22 MPa. Equivalencia vertical: Después de la plastificación: σsyρsy+σI=σsycrρsy+τcrtgθ 95,4x785/100000+0,77=1,52 MPa. 227,2x785/100000+0,15tg(180-60,4)=1,52 MPa.

VALORES MÁXIMOS Los valores máximos para las tensiones en el acero, se alcanzan en el momento de la plastificación en los dos ejes. Respecto a las deformaciones, las máximas se alcanzan en el momento de agotamiento del acero por tracción. VALORES MÁXIMOS

variable valor instante σd (MPa) 3,40

Plastificación segunda familia armado σdx (MPa) 3,17 σdy (MPa) 0,23 τdxy (MPa) 0,85 ε1 (mm/m) 11,49 Agotamiento acero eje x tracción ε2 (mm/m) -0,13 Agotamiento acero eje x tracción εx (mm/m) 10 Agotamiento acero eje x tracción εy (mm/m) 1,37 Agotamiento acero eje x tracción γxy (mm/m) 7,79 Agotamiento acero eje x tracción σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -2,2 Agotamiento acero eje x tracción σcx (MPa) 1,84 Primera fisura σcy (MPa) -1,94 Agotamiento acero eje x tracción τxy (MPa) 0,85 Plastificación segunda familia armado σsx (MPa) 400 Plastificación completa armadura x σsy (MPa) 273,9 Agotamiento acero eje x tracción θ (º) 59,1 Plastificación segunda familia armado w (mm) 2,77 Agotamiento acero eje x tracción smθ (mm) 252,2 Primera fisura σsxcr (MPa) 400 Plastificación armadura x σsycr (MPa) 400 Plastificación armadura y τci (MPa) -0,89 Plastificación segunda familia armado τcimax (MPa) 3,64 Primera fisura


141

4.2.2.1.5.2. FMJLVx-15


142

Se ha representado el instante de máxima carga , que coincide con el momento en que se agota el elemento por alcanzar la máxima tensión tangencial admisible en la fisura , en el momento de plastificación de la armadura en la fisura. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

σI=σct=1,97 MPa. Al alcanzar ese valor se tendrá:

f1-εεεε1

6.0


θ: 73.5 deg.



Al superarlo:

Crack Diagram

0.01


θ: 73.1 deg.




1

X

2

Y


-0.02 1.63

0.82

-0.82

1

X

2

Y


-0.59 0.42

0.50

-0.50

INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN

El representado anteriormente.

VALORES MÁXIMOS Los valores máximos para las tensiones en el hormigón, se alcanzan en el momento de aparición de la primera fisura. En el acero, se alcanzan en el momento del agotamiento. Respecto a las deformaciones, las máximas se alcanzan en el momento de agotamiento. Se puede observar en la evolución del elemento que el fallo se va a producir por agotamiento del cortante en la fisura:


143


6.0

2.3

La línea azul representa la evolución del cortante en la grieta y la roja el valor máximo admisible. Cuando ambas líneas se tocan, se produce el fallo del elemento. VALORES MÁXIMOS


Agotamiento cortante grieta σdx (MPa) 3,16 σdy (MPa) 0,22 τdxy (MPa) 0,84 ε1 (mm/m) 5,9

Agotamiento total ε2 (mm/m) -0,05 εx (mm/m) 1,13 Agotamiento cortante grieta εy (mm/m) 5,19 Agotamiento total γxy (mm/m) 4,12 Agotamiento total σ1 (MPa) 1,95 Primera fisura σ2 (MPa) -1,0 Agotamiento total σcx (MPa) 1,79 Primera fisura σcy (MPa) 0,22

Agotamiento cortante grieta τxy (MPa) 0,84 σsx (MPa) 226,7 σsy (MPa) - θ (º) 21

Agotamiento total w (mm) 2,04 smθ (mm) 343 σsxcr (MPa) 400 Agotamiento cortante grieta σsycr (MPa) - τci (MPa) 1,16 Agotamiento cortante grieta τcimax (MPa) 3,68 Primera fisura


144

4.2.2.1.5.3. FMJLVxy/2-15


145

Esta representación corresponde al momento de máxima carga aplicada , que se produce al plastificar por completo la armadura en la direcció n x . Vemos que el fallo para este elemento se produce por agotamiento del acero a tracción, tanto para el eje x como el y. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

12.1


θ: 73.6 deg.



Al aparecer la fisura:

1

X

2

Y


-1.66

0.83

-0.83


θ: 73.2 deg.




INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN EN EL EJE X

f1-εεεε1

12.1

1.9ex: 1.80 mm/mey: 0.94 mm/mγxy: 2.80 mm/me1: 2.83 mm/me2: -0.09 mm/m

θ: 53.5 deg.

fcx: -0.21 MPafcy: -1.10 MPavxy: 1.45 MPaf1: 0.87 MPaf2: -2.2 MPa

f2max: -31.8 MPafsx: 359.9 MPa fsxcr: 400.0 MPafsy: 188.9 MPa fsycr: 353.7 MPasm-θ: 161 mm w: 0.45 mmvci: -0.32 MPa vcimax: 1.86 MPa

INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN EN EL EJE Y

Shear-Angle

73.6


θ: 52.8 deg.



Este instante coincide con el de máxima inclinación de las fisuras .


146

Comprobación de la equivalencia fisura-entre fisuras: Después de la plastificación: σsyρsy+σI=fsyyρsy+τcrtgθ 213,4x785/100000+0,69=2,37 MPa. 400x785/100000+0,59tg(180-52,8)=2,38 MPa.

VALORES MÁXIMOS VALORES MÁXIMOS


Plastificación segunda armadura (y) fisura

σdx (MPa) 5,60 σdy (MPa) 0,40 τdxy (MPa) 1,50 ε1 (mm/m) 12,07

Agotamiento total ε2 (mm/m) -0,21 εx (mm/m) 9,38 εy (mm/m) 2,48 γxy (mm/m) 10,16 σ1 (MPa) 1,95 Primera fisura σ2 (MPa) -3,6 Agotamiento total σcx (MPa) 1,79 Primera fisura σcy (MPa) -2,78 Agotamiento total τxy (MPa) 1,50 Plastificación completa acero eje x σsx (MPa) 400 Plastificación completa acero eje x σsy (MPa) 400 Plastificación completa acero eje y θ (º) 52,4 Plastificación completa acero eje x w (mm) 1,92 Agotamiento total smθ (mm) 162,1 Primera fisura σsxcr (MPa) 400 Plastificación acero x en fisura σsycr (MPa) 400 Plastificación acero y en fisura τci (MPa) 0,61 Plastificación completa acero eje x τcimax (MPa) 3,69 Primera fisura


147

4.2.2.1.5.4. FMJLVxy-15

1

X

2

Y


-0.14 4.30

2.22

-2.22

1

X

2

Y


-3.16 0.77

1.96

-1.96

1

X

2

Y


-6.11 0.33

3.22

-3.22

Crack Diagram

0.57

Shear-Angle

73.6


θ: 61.6 deg.



Shear-εεεε2

-0.3

1.6Shear on Crack- εεεε1

16.6

2.8Shear-εεεε1

16.6

1.6

Shear-εεεεx

14.7

1.6Shear-f sx

400.0

1.6Shear-f sxcrack

400.0

1.6

Shear-εεεεy

1.5

1.6Shear-f sy

302.6

1.6Shear-f sycrack

400.0

1.6

Shear-Crack width

2.35

1.6Shear-s mth

144.7


16.6

2.8


148

Se representa el instante de máxima carga (σId= 6,60 MPa), que ocurre al plastificar la segunda armadura (eje y) en las grietas. El elemento se agota por plastificación completa del acero en la dirección del eje x. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

16.6


θ: 73.6 deg.



Superado este instante:

1

X

2

Y


-1.66

0.83

-0.83


θ: 73.2 deg.






16.6


θ: 58.5 deg.





16.6


θ: 62.5 deg.




149

Se puede observar que la familia de refuerzos en la dirección del eje x plastifica completamente antes de iniciarse la plastificación en el sentido del eje y. El punto de plastificación completa del eje x se encuentra en el gráfico en el instante donde la pendiente de vci se vuelve prácticamente horizontal.



Plastificación segunda armadura (y) fisura


Agotamiento acero eje x tracción ε2 (mm/m) -0,26 εx (mm/m) 10 εy (mm/m) 1,34 γxy (mm/m) 8,1 σ1 (MPa) 1,95 Primera fisura σ2 (MPa) -4,4 Agotamiento acero eje x tracción σcx (MPa) 1,79 Primera fisura σcy (MPa) -3,76 Agotamiento acero eje x tracción τxy (MPa) 1,64 Inicio plastificación eje y en fisura σsx (MPa) 400 Plastificación σsy (MPa) 267,8 Agotamiento acero eje x tracción θ (º) 58,2 Plastificación completa eje x w (mm) 1,61 Agotamiento acero eje x tracción smθ (mm) 145 Aparición primera fisura σsxcr (MPa) 400 Plastificación σsycr (MPa) 400 Plastificación τci (MPa) -1,42 Inicio plastificación eje y en fisura τcimax (MPa) 3,70 Primera fisura


El ratio de variación es dNx=0,75 MPa, dNy=0,25 MPa, dVxy=0,433012702 MPa. Las ecuaciones que rigen el comportamiento de este elemento serán:

Equilibrio horizontal: σxd=σsxρsx+σIsen2θ-σIIcos2θ Equilibrio vertical: τxyd=-(σI+σII)senθcosθ

Equilibrio en los estribos: σyd=σsyρsy+σIcos2θ-σIIsen2θ Equivalencia horizontal:


Equivalencia vertical: Antes de la plastificación: σsyρsy+σI=σsycrρsy

Después de la plastificación: σsyρsy+σI=fsyyρsy+τcrtgθ


150

4.2.2.1.6.1. FMJLV1c-30

1

X

2

YCircle of Strain (average)

-0.10 3.35

1.72

-1.72

1

X

2

YCircle of Stress (average)

-2.36 0.49

1.42

-1.42

1

X

2

Y


-3.14 0.09

1.61

-1.61

Crack Diagram

0.73

Shear-Angle

60.3


θ: 50.6 deg.



Shear-εεεε2

-0.2


12.7

1.0Shear-εεεε1

12.7

1.4

Shear-εεεεx

9.5

1.4Shear-f sx

400.0

1.4Shear-f sxcrack

400.0

1.4

Shear-εεεεy

3.0

1.4Shear-f sy

400.0

1.4Shear-f sycrack

400.0

1.4

Shear-Crack width

2.88

1.4Shear-s mth

227.0


12.7

1.0


151

Se representa el instante en el que se alcanza la máxima carga que coincide con el inicio de la plastificación en el eje y (en la fisura). El elemento fallará por agotamiento del acero en ambas direcciones. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

Ocurre al alcanzar una tensión principal de tracción en el hormigón σI=σct=1,97 MPa:

f1-εεεε1

12.7

1.9


θ: 59.3 deg.



Al iniciarse la fisura:

1

X

2

Y


-1.57 0.00

0.78

-0.78


θ: 59.1 deg.




Se puede ver como se relajan las tensiones en el hormigón y aparecen las tensiones en el acero en la fisura: σxd=1,19; σyd=0,40; τxyd=0,69�σId=1,59 MPa. Comprobación: Siendo θ=180-59,1=120,9º: σxd=σsxρsx+σIsen2θ-σIIcos2θ=11x785/100000+1,52sen2120,9=1,20 MPa. En la fisura, toda la carga la absorbe la armadura: σxd=σsxcrρsx+τxyd/tgθ=204,7x785/100000+0,69/tg120,9=1,19 MPa. τxyd=-(σI+σII)senθcosθ=-1,52sen120,9cos120,9=0,67 MPa. σyd=σsyρsy+σIcos2θ-σIIsen2θ=3,7x785/100000+1,52cos2120,9=0,43 MPa. Equivalencia horizontal: Antes de la plastificación: σsxρsx+σI=σsxcrρsx 11x785/100000+1,52=1,61 MPa. 204,7x785/100000=1,61 MPa. Equivalencia vertical: Antes de la plastificación: σsyρsy+σI=σsycrρsy 3,7x785/100000+1,52=1,55 MPa. 197,4x785/100000=1,55 MPa.



152


12.7


θ: 51.1 deg.




Crack Diagram

0.73


θ: 50.6 deg.



VALORES MÁXIMOS

VALORES MÁXIMOS


Plastificación armadura (y) fisura σdx (MPa) 2,42 σdy (MPa) 0,80 τdxy (MPa) 1,40 ε1 (mm/m) 12,7

Agotamiento total del acero por tracción

ε2 (mm/m) -0,19 εx (mm/m) 9,5 εy (mm/m) 2,99 γxy (mm/m) 11,10 σ1 (MPa) 1,92 Primera fisura σ2 (MPa) -3,2 Agotamiento acero por tracción σcx (MPa) 1,41 Primera fisura σcy (MPa) -2,38 Agotamiento acero por tracción τxy (MPa) 1,40 Plastificación armadura (y) fisura σsx (MPa) 400 σsy (MPa) 400 θ (º) 50,6 Plastificación armadura (y) fisura w (mm) 2,88

Agotamiento acero por tracción smθ (mm) 227 σsxcr (MPa) 400 σsycr (MPa) 400 τci (MPa) -0,52 Plastificación armadura (y) fisura τcimax (MPa) 3,65 Primera fisura


153

4.2.2.1.6.2. FMJLVx-30

1

X

2

Y


-0.01 0.07

0.04

-0.04

1

X

2

Y


-0.04 1.93

0.99

-0.991X2Y


0.89 Crack Diagram Shear-Angle

58.0


θ: 58.0 deg.



Shear-εεεε2

-0.1


4.7

3.1Shear-εεεε1

4.7

0.9

Shear-εεεεx

0.6

0.9Shear-f sx

111.8

0.9Shear-f sxcrack

333.3

0.9

Shear-εεεεy

4.4

0.9Shear-f sy

0.9Shear-f sycrack

0.9

Shear-Crack width

1.89

0.9Shear-s mth

400.9


4.7

3.1


154

Se representa el instante anterior a la aparición de la primera fisura. Bajo estas condiciones, la pieza falla por agotamiento del cortante en la fisura, antes incluso de que plastifique el acero en las fisuras. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

Es el representado en los diagramas anteriores. Después de iniciarse la fisura:


4.7


θ: 57.5 deg.




Aparece tensión tangencial en la fisura antes de que plastifique la armadura. Esto es debido a que, según la equivalencia entre la fisura y la zona sin fisurar, la aparición de esta tensión tangencial es la única forma de absorber la tesión σI: Equivalencia vertical:


Al no exirtir armadura en la dirección y: σI=τcrtgθ=-1,04tg(180-57,5)=1,63 MPa.


De los diferentes diagramas se extrae la conclusión de que el acero no llega a plastificar, ni siquiera en las fisuras. Se produce antes el agotamiento por tensión tangencial en la fisura.


155



Primera fisura σdx (MPa) 1,53 σdy (MPa) 0,51 τdxy (MPa) 0,89 ε1 (mm/m) 4,7 Agotamiento completo ε2 (mm/m) -0,4 Inicio agotamiento cortante εx (mm/m) 0,56 Inicio agotamiento cortante εy (mm/m) 4,36 Agotamiento completo γxy (mm/m) 2,53 Agotamiento completo σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -0,9 Inicio agotamiento cortante σcx (MPa) 1,37

Primera fisura σcy (MPa) 0,51 τxy (MPa) 0,89 σsx (MPa) 111,8 Inicio agotamiento cortante σsy (MPa) - θ (º) 16

Agotamiento completo w (mm) 1,89 smθ (mm) 401 σsxcr (MPa) 333,3 Inicio agotamiento cortante σsycr (MPa) - τci (MPa) 1,54 Inicio agotamiento cortante τcimax (MPa) 3,67 Primera fisura


156

4.2.2.1.6.3. FMJLVxy/2-30

1

X

2


-0.17 3.68

1.92

-1.92

1

X

2


-3.77 0.60

2.18

-2.18

1

X

2


-4.39 0.02

2.21

-2.21

Crack Diagram

0.61

Shear-Angle

58.4


θ: 44.5 deg.



Shear-εεεε2

-0.3


17.8

1.0Shear-εεεε1

17.8

2.2

Shear-εεεεx

7.5

2.2Shear-f sx

400.0

2.2Shear-f sxcrack

400.0

2.2

Shear-εεεεy

10.0

2.2Shear-f sy

400.0

2.2Shear-f sycrack

400.0

2.2

Shear-Crack width

3.03

2.2Shear-s mth

169.8


17.8

1.0


157

De nuevo se representa el instante de máxima carga aplicada, que coincide con el momento de la plastificación en la segunda familia de armados (eje x en este caso). Se observa que, a lo largo de la vida del elemento, plastifican las dos familias de armados, tanto en las fisuras como entre ellas. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

17.8


θ: 58.3 deg.

fcx: 1.38 MPafcy: 0.48 MPavxy: 0.89 MPaf1: 1.93 MPaf2: -0.1 MPa


Al iniciarse la fisuración:

1

X

2

Y


-1.70

0.85

-0.85


θ: 58.0 deg.





Hay que hacer notar que, para este elemento, se produce la plastificación de la familia de refuerzos en la dirección del eje y en la fisura antes que de que plastifiquen los refuerzos paralelos al eje x, debido a que la cuantia de acero es la mitad en la dirección y:

Crack Diagram

0.56


θ: 44.9 deg.



f1-εεεε1

17.8

1.9


158



17.8


θ: 44.5 deg.



VALORES MÁXIMOS

VALORES MÁXIMOS


Inicio plastificación segundo armado (x)


Agotamiento total del acero y ε2 (mm/m) -0,29 εx (mm/m) 7,53 εy (mm/m) 10 γxy (mm/m) 17,95 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -4,4

Agotamiento total del acero y σcx (MPa) -2,49 σcy (MPa) -1,90 τxy (MPa) 2,17 σsx (MPa) 400 σsy (MPa) 400 θ (º) 41,1

Agotamiento total del acero y w (mm) 3,03 smθ (mm) 170 σsxcr (MPa) 400 σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 0,27 Inicio segunda plastificación (x) τcimax (MPa) 3,69 Primera fisura


159

4.2.2.1.6.4. FMJLVxy-30

1

X

2


-0.21 3.73

1.97

-1.97

1

X

2


-4.88 0.80

2.84

-2.84

1

X

2

Y


-6.25 0.16

3.20

-3.20

Crack Diagram

0.48

Shear-Angle

60.2


θ: 51.0 deg.



Shear-εεεε2

-0.4


13.2

2.0Shear-εεεε1

13.2

2.8

Shear-εεεεx

9.9

2.8Shear-f sx

400.0

2.8Shear-f sxcrack

400.0

2.8

Shear-εεεεy

3.0

2.8Shear-f sy

400.0

2.8Shear-f sycrack

400.0

2.8

Shear-Crack width

1.75

2.8Shear-s mth

132.1


13.2

2.0


160

Se puede ver como, con esta distribución de armados y de solicitaciones, se va a agotar completamente la capacidad del acero. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

13.2


θ: 58.7 deg.



Superado este valor:

1

X

2

Y


-1.72

0.86

-0.86


θ: 58.4 deg.





Crack Diagram

0.39


θ: 50.4 deg.





13.2


θ: 52.1 deg.



El acero del eje x plastifica en toda su longitud antes de que comience la plastificación del eje y.


161



Plastificación completa eje x σdx (MPa) 4,83 σdy (MPa) 1,60 τdxy (MPa) 2,78 ε1 (mm/m) 13,23

Agotamiento de la pieza ε2 (mm/m) -0,41 εx (mm/m) 9,86 εy (mm/m) 2,96 γxy (mm/m) 11,76 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -6,3

Plastificación completa armaduras hasta agotamiento pieza σcx (MPa) -1,56

σcy (MPa) -4,75 τxy (MPa) 2,78 Plastificación completa eje x σsx (MPa) 400 σsy (MPa) 400 θ (º) 50,4 Inicio plastificación fisura eje x w (mm) 1,75 Agotamiento de la pieza smθ (mm) 132 Agotamiento de la pieza σsxcr (MPa) 400 σsycr (MPa) 400 τci (MPa) -0,99 Plastificación completa eje x τcimax (MPa) 3,71 Primera fisura


El ratio de variación es dNx=0,5 MPa, dNy=0,5 MPa, dVxy=0,5 MPa.


162

4.2.2.1.7.1. FMJLV1c-45 Representando el instante de máxima tensión tangencial:

1

X

2


-0.20 19.52

9.86

-9.86

1

X

2


-3.14

1.57

-1.57

1

X

2


-3.14

1.57

-1.57

Crack Diagram

4.24

Shear-Angle

45.0


θ: 45.0 deg.



Shear-εεεε2

-0.2


20.2

1.0Shear-εεεε1

20.2

1.6

Shear-εεεεx

10.0

1.6Shear-f sx

400.0

1.6Shear-f sxcrack

400.0

1.6

Shear-εεεεy

10.0

1.6Shear-f sy

400.0

1.6Shear-f sycrack

400.0

1.6

Shear-Crack width

4.38

1.6Shear-s mth

217.4


20.2

1.0


163

Estudiando la evolución se puede ver que el elemento falla por agotamiento del acero, ya que no se alcanza la máxima tensión de compresión en las bielas ni el máximo cortante permitido en las fisuras. De hecho, en ningún momento aparece cortante en las fisuras, ya que la carga es la misma en las dos direcciones de armado, y no es necesario enviar carga de la dirección débil a la fuerte. Se puede comprobar que, para este elemento, el ángulo de fisura permanece constante e igual a 45º. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

20.2


θ: 45.0 deg.



Superado este valor, se produce la fisura:

1

X

2


-1.58

0.79

-0.79


θ: 45.0 deg.




INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN DE LAS ARMADURAS

Al ser la inclinación de las armaduras de 45º respecto a la solicitud aplicada, la carga se reparte entre las dos armaduras por igual. Por tanto, la plastificación se producirá de forma simultánea en ambas familias de armados:

f1-εεεε1

20.2


θ: 45.0 deg.




164



Desde el inicio de la plastificación en la fisura, hasta el final de la vida útil


Agotamiento del elemento ε2 (mm/m) -0,2 εx (mm/m) 9,98 εy (mm/m) 9,98 γxy (mm/m) 20,36 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -3,1

Desde el inicio de la plastificación total del acero, hasta el final de la vida útil

σcx (MPa) -1,57 σcy (MPa) -1,57 τxy (MPa) 1,57 σsx (MPa) 400 σsy (MPa) 400 θ (º) 45 Toda la vida del elemento w (mm) 4,38 Agotamiento del elemento smθ (mm) 217 Desde aparición de primera fisura

hasta el final de la vida del elemento σsxcr (MPa) 400 σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 0 Toda la vida del elemento τcimax (MPa) 3,66 Primera fisura


165

4.2.2.1.7.2. FMJLVx-45

1

X

2


-0.01 0.07

0.04

-0.04

1

X

2


-0.05 1.93

0.99

-0.991X2Y



43.6


θ: 43.6 deg.



Shear-εεεε2

-0.1


6.3

3.7Shear-εεεε1

6.3

1.0

Shear-εεεεx

0.3

1.0Shear-f sx

58.1

1.0Shear-f sxcrack

354.9

1.0

Shear-εεεεy

6.2

1.0Shear-f sy

1.0Shear-f sycrack

1.0

Shear-Crack width

3.53

1.0Shear-s mth

559.0


6.3

3.7


166

Se representa el momento de máxima tensión aplicada sobre el elemento, que corresponde con el momento de producirse la primera fisura. Como puede observarse, el elemento falla por alcanzarse la tensión tangencial máxima admisible en la fisura, antes incluso de que plastifique la armadura. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

Corresponde al instante antes representado. Una vez aparece la fisura:

1

X

2

Y


-2.93 1.03

1.98

-1.98


θ: 43.2 deg.




INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN DE LA ARMADURA

El elemento falla por cortante en la fisura antes de que comience la plastificación del acero.


6.3

3.7


θ: 28.3 deg.

fcx: -0.21 MPafcy: 0.68 MPavxy: 0.68 MPaf1: 1.05 MPaf2: -0.6 MPa



Se representa el momento del fallo del elemento. La tensión en el acero en las grietas es de 354,1 MPa.


167



Primera fisura σdx (MPa) 0,99 σdy (MPa) 0,99 τdxy (MPa) 0,99 ε1 (mm/m) 6,32 Agotamiento total de la pieza ε2 (mm/m) -0,02 La tensión tangencial alcanza el

máximo valor permitido εx (mm/m) 0,29 εy (mm/m) 6,19

Agotamiento total de la pieza γxy (mm/m) 1,81 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -0,6 Tensión tangencial máxima σcx (MPa) 0,89

Primera fisura σcy (MPa) 0,99 τxy (MPa) 0,99 σsx (MPa) 58,1 La tensión tangencial alcanza el

máximo valor permitido σsy (MPa) - θ (º) 8,3

Agotamiento total de la pieza w (mm) 3,53 smθ (mm) 559 σsxcr (MPa) 354,9 La tensión tangencial alcanza el

máximo valor permitido σsycr (MPa) - τci (MPa) 1,95 La tensión tangencial alcanza el

máximo valor permitido τcimax (MPa) 3,65 Primera fisura


168

4.2.2.1.7.3. FMJLVxy/2-45

1

X

2


-0.17 3.91

2.04

-2.04

1

X

2


-3.78 0.75

2.27

-2.27

1

X

2

Y


-5.22 0.18

2.70

-2.70

Crack Diagram

0.68

Shear-Angle

44.3


θ: 37.8 deg.



Shear-εεεε2

-0.3


12.4

2.0Shear-εεεε1

12.4

2.2

Shear-εεεεx

2.2

2.2Shear-f sx

400.0

2.2Shear-f sxcrack

400.0

2.2

Shear-εεεεy

9.8

2.2Shear-f sy

400.0

2.2Shear-f sycrack

400.0

2.2

Shear-Crack width

2.41

2.2Shear-s mth

194.8


12.4

2.0


169

Se representa el momento de máxima carga, que corresponde con el de plastificación completa del eje y. En la representación se puede ver como los refuerzos plastifican por completo (en la dirección y en primer lugar) y se termina agotando por tracción el acero de la dirección y. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

12.4


θ: 44.3 deg.



Después de fisurarse la pieza:

1

X

2


-1.72 0.00

0.86

-0.86


θ: 44.2 deg.






12.4


θ: 39.4 deg.





12.4


θ: 37.8 deg.



El acero según el eje y plastifica completamente antes de comenzar la plastificación del eje x.


170

VALORES MÁXIMOS

VALORES MÁXIMOS


Inicio plastificación fisura segundo armado (eje x)


Agotamiento total ε2 (mm/m) -0,32 εx (mm/m) 2,19 εy (mm/m) 9,85 γxy (mm/m) 10,12 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -5,3

Plastificación completa armaduras hasta agotamiento total σcx (MPa) -4,21

σcy (MPa) -1,04 τxy (MPa) 2,20 Inicio plastificación fisura eje x σsx (MPa) 400 σsy (MPa) 400 θ (º) 26,4 Plastificación completa armaduras w (mm) 2,41

Agotamiento total smθ (mm) 195 σsxcr (MPa) 400 σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 1,01 Plastificación completa primer armado

(eje y) τcimax (MPa) 3,69 Primera fisura


171

4.2.2.1.7.4. FMJLVxy-45

1

X

2


-0.66 26.58

13.62

-13.62

1

X

2


-6.30

3.15

-3.15

1

X

2


-6.30

3.15

-3.15

Crack Diagram

3.39

Shear-Angle

45.0


θ: 45.0 deg.



Shear-εεεε2

-0.7


26.6

1.0Shear-εεεε1

26.6

3.2

Shear-εεεεx

13.0

3.2Shear-f sx

400.0

3.2Shear-f sxcrack

400.0

3.2

Shear-εεεεy

13.0

3.2Shear-f sy

400.0

3.2Shear-f sycrack

400.0

3.2

Shear-Crack width

3.39

3.2Shear-s mth

127.5


26.6

1.0


172

Para este elemento, el fallo también ocurre por plastificación completa del acero, aunque ya se puede apreciar como la tensión principal de compresión se va aproximando al límite f’cmax. También se puede observar que la inclinación de fisura permanece constante durante toda la vida del elemento (45º) y que en eningún momento aparece tensión tangencial en la fisura. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

26.6

1.9


θ: 45.0 deg.



Después de fisurarse la pieza:

1

X

2


-1.75

0.87

-0.87


θ: 45.0 deg.




INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN

f1-εεεε1

26.6

1.9


θ: 45.0 deg.



Ocurre simultáneamente en ambos ejes.


173



Plastificación acero ambas armaduras, desde el inicio en fisura hasta el agotamiento de la pieza


Agotamiento total del elemento ε2 (mm/m) -0,51 εx (mm/m) 9,99 εy (mm/m) 9,99 γxy (mm/m) 21,01 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -0,51

Agotamiento total del elemento σcx (MPa) -3,15 σcy (MPa) -3,15 τxy (MPa) 3,15 σsx (MPa) 400 σsy (MPa) 400 θ (º) 45 Toda la vida del elemento w (mm) 2,61

Agotamiento total del elemento smθ (mm) 127 σsxcr (MPa) 400 σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 0 Toda la vida del elemento τcimax (MPa) 3,71 Primera fisura


174


El ratio de variación de cargas es dNx=0,25 MPa, dNy=0,75 MPa, dVxy=0,433012702 MPa. Las ecuaciones para este elemento bajo estas condiciones de carga serán:

Equilibrio horizontal : σxd=σsxρsx+σIsen2θ-σIIcos2θ Equilibrio vertical : τxyd=-(σI+σII)senθcosθ

Equilibrio en los estribos : σyd=σsyρsy+σIcos2θ-σIIsen2θ Equivalencia horizontal :


Equivalencia vertical : Antes de la plastificación: σsyρsy+σI=σsycrρsy

Después de la plastificación: σsyρsy+σI=fsyyρsy+τcrtgθ Equilibrio horizontal :

Antes de la plastificación: σxd-τxydcotgθ=σsxρsx+σI=σsxcrρsx Después de la plastificación: σxd-τxydcotgθ=σsxρsx+σI=fsxyρsx-τcrcotgθ


Después de la plastificación: σyd-τxydtgθ=σsyρsy+σI=fsyyρsy+τcrtgθ

4.2.2.1.8.1. FMJLV1c-60 Los resultados para este elemento tienen que ser simétricos respecto a los del elemento FMJLV1c-30: σsx30= σsy60; σcx30= σcy60; θ60=90-θ30; …:


175

1

X

2


-0.10 3.35

1.72

-1.72

1

X

2


-2.36 0.49

1.42

-1.42

1

X

2

Y


-3.14 0.09

1.61

-1.61

Crack Diagram

0.73

Shear-Angle

39.4


θ: 39.4 deg.



Shear-εεεε2

-0.2


12.7

1.0Shear-εεεε1

12.7

1.4

Shear-εεεεx

3.0

1.4Shear-f sx

400.0

1.4Shear-f sxcrack

400.0

1.4

Shear-εεεεy

9.5

1.4Shear-f sy

400.0

1.4Shear-f sycrack

400.0

1.4

Shear-Crack width

2.85

1.4Shear-s mth

223.7


12.7

1.0

Como vemos, se cumple lo indicado, luego los resultados de este elemento serán análogos a los del FMJLV1c-30. La única diferencia se produce en la separación media entre fisuras, al ser función de las distancias a los armados y no estar los dos armados a la misma distancia del borde del elemento, sino uno sobre el otro.


176

4.2.2.1.8.2. FMJLVx-60

1

X

2

Y


-0.01 0.07

0.04

-0.04

1

X

2

Y


-0.04 1.93

0.98

-0.981X2Y



29.4


θ: 29.4 deg.



Shear-εεεε2

-0.1


7.0

3.6Shear-εεεε1

7.0

0.8

Shear-εεεεx

0.1

0.8Shear-f sx

26.2

0.8Shear-f sxcrack

400.0

0.8

Shear-εεεεy

7.0

0.8Shear-f sy

0.8Shear-f sycrack

0.8

Shear-Crack width

4.67

0.8Shear-s mth

665.8


7.0

3.6


177

El instante representado es el de aparición de la primera fisura. Se puede observar que el elemento va a fallar por alcanzar la máxima tensión tangencial admisible en la fisura, después de plastificar el acero en la fisura. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

Ya representado. Una vez fisurado el hormigón:

1X

2Y


-5.97 1.18

3.57

-3.57


θ: 29.2 deg.




Vemos que, en cuanto aparece una fisura, el acero plastifica en la fisura :

Crack Diagram

0.02

Comprobación: σσσσxd=0,37 MPa; σσσσyd=1,12 MPa; ττττxyd=0,65 MPa; θθθθ=180-29.2=150,8º

Equilibrio horizontal : σxd=σsxρsx+σIsen2θ-σIIcos2θ σxd=0,37 MPa; 3,4x1571/100000+1,48sen2150,8=0,40 MPa

Equilibrio vertical : τxyd=-(σI+σII)senθcosθ τxyd=0,65 MPa; -1,48sen150,8cos150,8=0,63 MPa

Equilibrio en los estribos : σyd=σsyρsy+σIcos2θ-σIIsen2θ σyd=1,12 MPa; 1,48cos2150,8=1,13 MPa

Equivalencia horizontal : Antes de la plastificación: σsxρsx+σI=σsxcrρsx

Después de la plastificación: σsxρsx+σI=fsxyρsx-τcrcotgθ σsxρsx+σI=3,4x1571/100000+1,48=1,53 MPa

σsxyρsx-τcrcotgθ=400x1571/100000+2,65cotg150,8=1,54 MPa Equivalencia vertical:


σsyρsy+σI=1,48 MPa τcrtgθ=-2,65tg150,8=1,48 MPa

Equilibrio horizontal: Antes de la plastificación: σxd-τxydcotgθ=σsxρsx+σI=σsxcrρsx

Después de la plastificación: σxd-τxydcotgθ=σsxρsx+σI=fsxyρsx-τcrcotgθ σxd-τxydcotgθ=0,37-0.65cotg150,8=1,53 MPa


178

σsxρsx+σI=3,4x1571/100000+1,48=1,53 MPa fsxyρsx-τcrcotgθ=400x1571/100000+2,65cotg150,8=1,54 MPa

Equilibrio vertical: Antes de la plastificación: σyd-τxydtgθ=σsyρsy+σI=σsycrρsy

Después de la plastificación: σyd-τxydtgθ=σsyρsy+σI=fsyyρsy+τcrtgθ σyd-τxydtgθ=1,12-0,65tg150,8=1,48 MPa

σsyρsy+σI=1,48 fsyyρsy+τcrtgθ=-2,65tg150,8=1,48 MPa

VALORES MÁXIMOS

VALORES MÁXIMOS


Primera fisura y plastificación σdx (MPa) 0,48 σdy (MPa) 1,45 τdxy (MPa) 0,84 ε1 (mm/m) 7,02 Agotamiento total ε2 (mm/m) -0,01

Máxima tensión tangencial en fisura εx (mm/m) 0,13 εy (mm/m) 6,96

Agotamiento total γxy (mm/m) 1,28 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -0,3 Máxima tensión tangencial en fisura σcx (MPa) 0,43

Primera fisura σcy (MPa) 1,45 τxy (MPa) 0,84 σsx (MPa) 26,2 Máxima tensión tangencial en fisura σsy (MPa) - θ (º) 5,2

Agotamiento total w (mm) 4,67 smθ (mm) 666 σsxcr (MPa) 400 σsycr (MPa) - τci (MPa) 2,65

Primera fisura τcimax (MPa) 3,62


179

4.2.2.1.8.3. FMJLVxy/2-60

1

X

2

Y


-0.14 4.11

2.12

-2.12

1

X

2

Y


-3.06 0.78

1.92

-1.92

1

X

2

Y


-5.58 0.31

2.95

-2.95

Crack Diagram

0.76

Shear-Angle

33.7


θ: 30.6 deg.



Shear-εεεε2

-0.3


11.7

2.6Shear-εεεε1

11.7

1.7

Shear-εεεεx

1.4

1.7Shear-f sx

289.1

1.7Shear-f sxcrack

395.3

1.7

Shear-εεεεy

10.0

1.7Shear-f sy

400.0

1.7Shear-f sycrack

400.0

1.7

Shear-Crack width

2.41

1.7Shear-s mth

206.3


11.7

2.6


180

Vemos que, en este caso, el elemento se agota por alcanzar la tensión tangencial admisible en la fisura y por agotamiento del refuerzo en la dirección del eje y (débil) a tracción. Se puede observar que las fisuras se inclinan primero en una dirección pero, conforme se va agotando el elemento, se inclinan en la dirección contraria. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

11.7


θ: 30.4 deg.



Al superar este valor y fisurarse el elemento:

1

X

2

Y


-1.70

0.85

-0.85


θ: 30.5 deg.




INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN DEL ACERO EN LA DIRECCIÓN Y


11.7


θ: 33.5 deg.



El acero en la dirección x (fuerte) no llega a plastificar, ya que se agota antes por tensión tangencial en la fisura.


181



Tensión admisible en la fisura σdx (MPa) 0,97 σdy (MPa) 2,92 τdxy (MPa) 1,68 ε1 (mm/m) 11,70

Agotamiento total ε2 (mm/m) -0,25 εx (mm/m) 1,45 εy (mm/m) 10 γxy (mm/m) 8,35 σ1 (MPa) 1,91 Primera fisura σ2 (MPa) -4,3

Agotamiento total σcx (MPa) -3,64 σcy (MPa) 1,41 Primera fisura τxy (MPa) 1,68 Tensión admisible en la fisura σsx (MPa) 289,1 Agotamiento total σsy (MPa) 400 θ (º) 22,2

33,7 Agotamiento total Plastif. completa y

w (mm) 2,41 Agotamiento total smθ (mm) 206,3

σsxcr (MPa) 395,3 σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 1,31 Tensión admisible en la fisura τcimax (MPa) 3,68 Primera fisura


182

4.2.2.1.8.4. FMJLVxy-60 Los resultados para este elemento serán simétricos respecto a los del elemento FMJLVxy-30: σsx30= σsy60; σcx30= σcy60; θ60=90-θ30;…, a excepción de lo indicado para la separación media entre fisuras.

1

X

2


-0.21 3.73

1.97

-1.97

1

X

2


-4.88 0.80

2.84

-2.84

1

X

2

Y


-6.25 0.16

3.20

-3.20

Crack Diagram

0.48

Shear-Angle

39.6


θ: 39.0 deg.



Shear-εεεε2

-0.4


13.2

2.0Shear-εεεε1

13.2

2.8

Shear-εεεεx

3.0

2.8Shear-f sx

400.0

2.8Shear-f sxcrack

400.0

2.8

Shear-εεεεy

9.9

2.8Shear-f sy

400.0

2.8Shear-f sycrack

400.0

2.8

Shear-Crack width

1.75

2.8Shear-s mth

132.1


13.2

2.0


183


El ratio de variación es dNx=0,066987298 MPa, dNy=0,933012702 MPa, dVxy=0,25 MPa.

4.2.2.1.9.1. FMJLV1c-75 Elemento simétrico al FMJLV1c-15.

4.2.2.1.9.2. FMJLVx-75

1

X

2

Y


-0.01 0.07

0.03

-0.03

1

X

2

Y


-0.01 1.94

0.98

-0.981X2Y



15.0


θ: 14.9 deg.



Shear-εεεε2

-0.1


17.2

3.0Shear-εεεε1

17.2

0.5


184

Shear-εεεεx

0.1

0.5Shear-f sx

6.8

0.5Shear-f sxcrack

400.0

0.5

Shear-εεεεy

17.2

0.5Shear-f sy

0.5Shear-f sycrack

0.5

Shear-Crack width

15.20

0.5Shear-s mth

882.9


17.2

3.0

Se representa el instante de máxima carga unitaria, que corresponde con el instante justo anterior a la aparición de la primera fisura. Se ve que el elemento se agotará por alcanzar el máximo cortante admisible ya que la solicitación es casi paralela al eje y, que no presenta armadura de refuerzo. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

Es el representado anteriormente. Una vez fisurado el elemento:

Crack Diagram

0.03


θ: 14.6 deg.




En cuanto se fisura el elemento, plastifica el acero en la fisura .


185



Primera fisura σdx (MPa) 0,13 σdy (MPa) 1,81 τdxy (MPa) 1,49 ε1 (mm/m) 17,21 Agotamiento total ε2 (mm/m) 0 - εx (mm/m) 0,03 εy (mm/m) 17,21

Agotamiento total γxy (mm/m) 0,82 σ1 (MPa) 1,94 Primera fisura σ2 (MPa) 0 σcx (MPa) 0,12

Primera fisura σcy (MPa) 1,81 τxy (MPa) 0,49 σsx (MPa) 6,8 σsy (MPa) - θ (º) 1,4

Agotamiento total w (mm) 15,20 smθ (mm) 883 σsxcr (MPa) 400 σsycr (MPa) - τci (MPa) 1,52

Primera fisura τcimax (MPa) 3,53


186

4.2.2.1.9.3. FMJLVxy/2-75

1

X

2

Y


-0.06 2.47

1.27

-1.27

1

X

2

Y


-1.53 0.89

1.21

-1.21

1X

2Y


-5.82 0.56

3.19

-3.19

Crack Diagram

0.49

Shear-Angle

25.9


θ: 25.9 deg.



Shear-εεεε2

-0.2


11.0

3.6Shear-εεεε1

11.0

1.0

Shear-εεεεx

0.8

1.0Shear-f sx

168.5

1.0Shear-f sxcrack

376.9

1.0

Shear-εεεεy

10.0

1.0Shear-f sy

400.0

1.0Shear-f sycrack

400.0

1.0

Shear-Crack width

2.45

1.0Shear-s mth

228.4


11.0

3.6


187

Corresponde al momento en que el acero del elemento en la dirección del eje y plastifica por completo y se alcanza la máxima tensión tangencial admisible en la fisura. El elemento se agota por tracción en la dirección del eje y, sin que el eacero del eje x llegue a plastificar ni siquiera en las fisuras.

INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

11.0


θ: 15.7 deg.



Al fisurarse el elemento:

1

X

2

Y


-1.65

0.83

-0.83


θ: 15.9 deg.




PLASTIFICACIÓN EN LA DIRECCIÓN Y


11.0


θ: 24.9 deg.




188



Plastificación total armadura y tensión tangencial admisible fisura

σdx (MPa) 0,25 σdy (MPa) 3,55 τdxy (MPa) 0,95 ε1 (mm/m) 11


Agotamiento total σcx (MPa) -2,44 σcy (MPa) 1,79 Primera fisura τxy (MPa) 0,95 Plastificación total armadura y σsx (MPa) 168,5 Agotamiento total σsy (MPa) 400 θ (º) 25,9 Plastificación total armadura y w (mm) 2,45 Agotamiento total smθ (mm) 228 Primera fisura σsxcr (MPa) 376,9 Plastificación total armadura y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 1,80 Plastificación total armadura y τcimax (MPa) 3,65 Primera fisura

4.2.2.1.9.4. FMJLVxy-75 Resultados simétricos al elemento FMJLVxy-15, a excepción de la separación media entre fisuras.


189

4.2.2.1.10. ESTUDIO CON ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE LA S ARMADURAS DE 90º

El ratio de variación es dNx=0 MPa, dNy=1 MPa, dVxy=0 MPa. Para esta distribución de cargas se produce una divergencia numérica, ya que la aplicación proporciona la misma respuesta para los cuatro elementos, con una resistencia nula del elemento. Para evitar esta falta de convergencia numérica se aplica la carga como si el ángulo fuese de 0º y girando las armaduras, que para este ángulo si es posible.

4.2.2.1.10.1. FMJLV1c-90 Resultados simétricos a los del elemento FMJLV1c-0.

4.2.2.1.10.2. FMJLVx-90 Habrá que tener en cuenta que las deformaciones y tensiones referidas al eje x, en realidad, son las relativas al eje y, y que la inclinación de fisura será 90-θ. INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

0.1


θ: 90.0 deg.



En este elemento no puede existir tension stiffening, ya que no hay refuerzo en la dirección en que se aplica la solicitación externa. Una vez se fisure el elemento, ya la resistencia será nula (no se modela el fenómeno de “tensión softening ”).


190



Primera fisura σdx (MPa) 0 σdy (MPa) 1,97 τdxy (MPa) 0 ε1 (mm/m) 0,07

Primera fisura ε2 (mm/m) 0 εx (mm/m) 0 εy (mm/m) 0,07 γxy (mm/m) 0 σ1 (MPa) 1,97 Primera fisura σ2 (MPa) 0

σcx (MPa) 0 σcy (MPa) 1,97 Primera fisura τxy (MPa) 0 σsx (MPa) 0 σsy (MPa) - θ (º) 0 w (mm) 0,07 Primera fisura smθ (mm) 1000 Primera fisura σsxcr (MPa) 400 Primera fisura σsycr (MPa) - τci (MPa) 0 τcimax (MPa) 3,24 Primera fisura


191

4.2.2.1.10.3. FMJLVxy/2-90

INSTANTE DE APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

1.9

1.9


θ: 90.0 deg.



Al fisurarse el elemento:

1X2Y


-1.63

0.82

-0.82


θ: 90.0 deg.




PLASTIFICACIÓN EN LA DIRECCIÓN Y

Crack Diagram

0.48


θ: 90.0 deg.




Este instante coincide con el de máxima carga unitaria aplicada. Se puede ver que, de nuevo, aparece tensión en el armado perpendicular a la carga para compensar la tensión principal de tracción entre las zonas fisurada y sin fisurar. Sería más lógico replantear las ecuaciones ya que, bajo estas condiciones de carga, la tensión principal de tracción será perpendicular al armado que no trabaja, por lo que no aparecerán tensiones en él.


192



Inicio plastificación σdx (MPa) 0 σdy (MPa) 3,14 τdxy (MPa) 0 ε1 (mm/m) 10

Agotamiento total ε2 (mm/m) 0 εx (mm/m) 0 εy (mm/m) 10 γxy (mm/m) 0 σ1 (MPa) 1,97 Primera fisura σ2 (MPa) 0

σcx (MPa) 0 σcy (MPa) 1,97 Primera fisura τxy (MPa) 0 σsx (MPa) 0 σsy (MPa) 400 θ (º) 0 w (mm) 3,36 Primera fisura smθ (mm) 336 Primera fisura σsxcr (MPa) 400 Primera fisura σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 0 τcimax (MPa) 3,59 Primera fisura

4.2.2.1.10.4. FMJLVxy-90 Resultados simétricos a los del elemento FMJLVxy-0.


193

4.2.2.1.11. RESUMEN Y CONCLUSIONES


194


195

A la vista de los resultados obtenidos para la carga unitaria de plastificación para los elementos FMJLVx y FMJLVxy, se analizan elementos con distribución de armaduras intermedias para poder deducir una explicación del comportamiento de la plastificación. Igualmente, para estudiar la anchura máxima de fisura del elemento FMJLVx: FMJLVx Estudio con ángulo de inclinación de las armaduras de 50 º: Para una distribución de cargas σxd=0,53; σyd=0,77; τxyd=0,64�σId=1,30 MPa.


196

Crack Diagram

0.32


θ: 27.2 deg.




Estudio con ángulo de inclinación de las armaduras de 55 º: Para una distribución de cargas σxd=0,41; σyd=0,85; τxyd=0,51�σId=1,26 MPa.

Crack Diagram

0.24


θ: 26.2 deg.




Estudio con ángulo de inclinación de las armaduras de 65 º: Para una distribución de cargas σxd=0,19; σyd=0,87; τxyd=0,41�σId=1,06 MPa.

Crack Diagram

0.02


θ: 24.3 deg.




También se analizan las inclinaciones de 70, 80 y 85 º. FMJLVxy Estudio con ángulo de inclinación de las armaduras de 35 y 55 º: Para una distribución de cargas σxd=1,90; σyd=3,90; τxyd=2,72�σId=5,80 MPa.

Crack Diagram

0.42


θ: 41.5 deg.



Estudio con ángulo de inclinación de las armaduras de 40 y 50 º: Para una distribución de cargas σxd=2,60; σyd=3,70; τxyd=3,1�σId=6,30 MPa.


197

Crack Diagram

0.47


θ: 43.3 deg.



Así, se obtienen:

Se van a analizar los resultados obtenidos de los análisis de los distintos elementos. Se recuerda que estos análisis han consistido en agotar a tracción cuatro elementos con distinta cuantía de armado (ver página 112) para diferentes disposiciones de dichos armados: desde una orientación en la que el armado en la dirección x coincidía con la solicitación, dichos armados se han ido girando en intervalos de 15º (5º para algunos elementos e inclinaciones específicas) hasta que la solicitación coincidía con el eje y. A la vista de los resultados obtenidos, se pueden obtener las siguientes conclusiones :


198

1. Para la carga unitaria de primera fisura , hasta los 30-45º de inclinación de las armaduras hay dos grupos de comportamiento, en función de la cantidad de acero para el eje x.

Por un lado, el elemento FMJLV1c , que tiene la mitad de acero que los demás en la dirección del eje x, presenta una carga unitaria de primera fisura menor que el resto, que va disminuyendo conforme aumenta la inclinación de las armaduras, hasta los 45º, desde 2,08 hasta 1,98 MPa. A partir de ese instante, al ser un elemento isótropo, comienza a aumentar de manera simétrica hasta que, a 90º, presenta la misma carga de fisuración que a 0º. Para el resto de elementos, que presentan el mismo armado en la dirección del eje x, se ve que conforme se van girando los armados, la carga de fisuración disminuye desde un valor de aproximadamente 2,2 MPa para una inclinación de 0º hasta un valor de 2,05 MPa para 30º de inclinación. A partir de esa inclinación los comportamientos comienzan a desagruparse, dependiendo de la cantidad de acero presente en la dirección del eje y. El elemento FMJLVxy/2 , que tiene en la dirección del eje y la mitad de acero que en la del eje x, a partir de una inclinación de 60º presenta el mismo comportamiento que el elemento FMJLV1c, como cabía esperar, ya que los dos tienen la misma cantidad de acero en la dirección y. El elemento FMJLVxy , que es una placa isótropa, presenta un comportamiento equivalente al del elemento FMJLV1c, con la diferencia producida por ser la cantidad de armado el doble en las dos direcciones: a partir de una inclinación de 45º, la carga de fisuración aumenta al girar los armados hasta los 90º de manera simétrica a como había ido disminuyendo hasta los 45º. El elemento FMJLVx , que solo presenta refuerzos en la dirección del eje x, es el que, a partir de los 45º, presenta menor resistencia a la fisuración, como cabía esperar.

2. Respecto a la carga unitaria de plastificación , el comportamiento de los elementos FMJLVxy y FMJLV1c es equivalente, con la diferencia provocada por tener un elemento el doble de acero que el otro en las dos direcciones: para los dos elementos se aprecia una pequeña disminución del valor de la carga que produce la primera plastificación en las armaduras hasta que la inclinación de las armaduras alcanza los 35º aproximadamente (desde 6,2 hasta 5,8 aproximadamente para FMJLVxy y de 3,1 a 3 para FMJLV1c). A partir de ese instante, la carga de plastificación aumenta hasta el valor inicial. A partir de los 45º al ser placas isótropas, el comportamiento es simétrico. El elemento FMJLVxy/2 parte del mismo punto que el FMJLVxy, al ser idénticos para la dirección x, para, conforme se van girando los armados, terminar con el mismo comportamiento que el FMJLV1c, ya que son idénticos para la dirección y (inclinación de las armaduras de 90º). El elemento FMJLVx presenta un comportamiento diferenciado, ya que no presenta armado en la dirección y, por lo que su comportamiento rápidamente se separa del de los elementos similares en la dirección x (FMJLVxy y FMJLVxy/2), disminuyendo hasta alcanzar los 50º, a partir de cuyo instante el efecto dovela hace que la carga de plastificación aumente ligeramente, para volver a disminuir a partir de los 60º.

3. Sobre la máxima carga unitaria soportada , se puede observar de nuevo que los elementos FMJLV1c y FMJLVxy tienen un comportamiento similar, ya que dicha carga es máxima para 15 y 75º (elementos isótropos), aunque la variación entre el valor máximo y el mínimo es apenas perceptible (3,3 frente a 3,1 MPa para el elemento


199

FMJLV1c y 6,6 frente a 6,2 MPa para FMJLVxy). Esto implica que, para elementos isótropos sometidos a tracción, la dispos ición ideal de las armaduras es formando 15 y 75º respecto a la so licitación .

El elemento FMJLVxy/2 , de nuevo parte del mismo punto que el FMJLVxy para terminar con una resistencia idéntica a la del elemento FMJLV1c, como cabía esperar por su armado anisótropo. Por último, el elemento FMJLVx , que solo presenta armado en la dirección x, presenta para una disposición de la armadura paralela a la solicitación el mismo comportamiento que los elementos FMJLxy/2 y FMJLxy, pero para una inclinación de las armaduras de 15º respecto a la solicitación de tracción su resistencia ya es idéntica que la del elemento FMJLV1c y, apartir de 30º, su resistencia queda reducida a la resistencia de fisuración del hormigón a tracción.

4. Respecto a la inclinación de la primera fisura , se puede ver que es similar para todos los elementos, dependiendo de la inclinación de las armaduras respecto a la solicitación para todos los elementos por igual. La primera fisura siempre aparecerá prácticamente perpendicular a la solicitación.

5. Sobre la inclinación máxima de fisura , se puede apreciar que todos los elementos parten de una inclinación máxima de fisura de 90º para una solicitación axil paralela al eje x y terminan con fisuras paralelas al eje x para un axil paralelo al eje y. A partir de esos puntos, los elementos FMJLV1c y FMJLVxy presentan el mismo comportamiento y presentarán mayores inclinaciones que los otros dos elementos, siendo el elemento FMJLVx el elemento que presenta unas inclinaciones máximas de fisura más cercanas a la horizontal, por efecto de estar armado únicamente en la dirección del eje x. Se puede deducir de este diagrama de inclinación máxima de fisura que dicha inclinación está relacionada con la razón entre las cuantías de acero de los dos ejes . Mientras más lejos de uno se encuentre dicha razón, la inclinación máxima de fisura tenderán más hacia la horizontalidad, independientemente de la cuantía global de acero.

6. Sobre la anchura máxima de fisura , se puede apreciar que está limitada por la cuantía de acero, ya que a mayor cantidad de acero paralelo a la solicitación, menor es dicha anchura. Los tres elementos con idéntica cuantía en el eje x se comportan igual cuando la solicitación es paralela a dicho eje (inclinación de 0º), pero, conforme se van inclinando los armados respecto a la solicitación, en los elementos con menos cuantía en la dirección de la solicitación van apareciendo fisuras más anchas. Aparecen dos divergencias respecto a este comportamiento para el elemento FMJLVxy/2 a 30 y 45º, ya que a 30º se agota el acero en la dirección y antes que el acero en la dirección x, pero que se solucionan para 60, 75 y 90º. Como cabe esperar, las máximas anchuras de fisura se van produciendo conforme la solicitación se va acercando a la dirección sir armar del elemento FMJLVx, creciendo de manera lineal desde los 60 a los 80º, para luego aumentar bruscamente y volverse nula para una solicitación paralela al eje y que no presenta armado, ya que, al no existir tension stiffening, el elemento se agota al aparecer la primera fisura.

7. Del gráfico que representa la anchura de fisura bajo carga unitaria máxima , se extrae que esta es máxima para los elementos isótropos a


200

45º y que, para el elemento FMJLVx, la carga máxima se alcanza antes de que el elemento se fisure. Esta anchura depende también, como el caso anterior, de la cuantía de acero en la dirección de la solicitación.

8. El último de los gráficos representa el motivo del agotamiento de los elementos para las distintas orientaciones de las armaduras. Se observa que los elementos FMJLV1c y FMJLVxy fallan por los mismos motivos y que el fallo principal para el elemento FMJLVx, al no tener armadura en la dirección y, es el deslizamiento en las fisuras.


201

4.2.2.2. ANÁLISIS DE UNA PLACA DE HORMIGÓN PRETENSA DO

A continuación se implementa en Membrane-2000 el elemento FMJLVxy con un pretensado de 10, 20 y 30 MPa en la dirección del eje x, y se vuelve a realizar todo el barrido para las distintas combinaciones de carga y las distintas cargas de pretensado.

4.2.2.2.1. ECUACIONES DE EQUILIBRIO Las ecuaciones de equilibrio considerando el pretensado serán:

Equilibrio horizontal : σxd=σsxρsx+σpρp+σIsen2θ-σIIcos2θ Equilibrio vertical : τxyd=-(σI+σII)senθcosθ

Equilibrio en los estribos : σyd=σsyρsy+σIcos2θ-σIIsen2θ Las de equivalencia entre la tensión en la fisura y en la zona entre fisuras : Equivalencia horizontal:

Antes de la plastificación: σsxρsx+σpρp+σI=σsxcrρsx+σpcrρp Después de la plastificación: σsxρsx+σpρp+σI=fsxyρsx+σpcrρp-τcrcotgθ

Equivalencia vertical:


Ecuaciones de equilibrio en la fisura : Equilibrio horizontal :

Antes de la plastificación: σxd-τxydcotgθ=σsxρsx+σpρp+σI=σsxcrρsx+σpcrρp Después de la plastificación: σxd-τxydcotgθ=σsxρsx+σpρp+σI=fsxyρsx+σpcrρp-τcrcotgθ


Después de la plastificación: σyd-τxydtgθ=σsyρsy+σI=fsyyρsy+τcrtgθ Para inclinación de fisura de 0 y 90º: θθθθ=0º: Equivalencia horizontal :

Antes de la plastificación: σsxρsx+σpρp=σsxcrρsx+σpcrρp Como se ve, la armadura en esta dirección, si plastifica, lo hace tanto en la fisura como entre las fisuras. Por tanto:

Después de la plastificación: fsxyρsx+σpρp=fsxyρsx+σpcrρp Equivalencia vertical :

Antes de la plastificación: σsyρsy+σI=σsycrρsy Después de la plastificación: σsyρsy+σI=fsyyρsy

θθθθ=90º: Equivalencia horizontal :

Antes de la plastificación: σsxρsx+σpρp+σI=σsxcrρsx+σpcrρp Después de la plastificación: σsxρsx+σpρp+σI=fsxyρsx+σpcrρp

Equivalencia vertical :


202

Antes de la plastificación: σsyρsy=σsycrρsy Como se ve, la armadura en esta dirección, si plastifica, lo hace tanto en la fisura como entre las fisuras. Por tanto:

Después de la plastificación: fsyyρsy=fsyyρsy

4.2.2.2.2. IMPLEMENTACIÓN DEL PRETENSADO

Se utilizarán cordones Y1860S7, de 3/8’’, 0.5’’, 0.6’’ o 16 mm de diámetro.

4.2.2.2.2.1. 10 MPa P0/Ac=10 MPa; P0=10Ac=10x105 N. σp0≤min(0,8σpmaxk;0,9σpk)=min(0,8x1860;0,9(0,85-0,95)x1860)=(1488;1422,9)

σp0≤1422,9 MPa. P0/Ap=σp0; Ap≥P0/σp0=10x105/1422,9=702,79 mm2.

cordón Sección (mm2) Cantidad

Cantidad real

Separación (mm)

Ap (mm2)

σp (MPa)

Y1860S7 3/8’’

52 702,79/52=13,52 14 1000/14=71,43 728 1373,63

Y1860S7 ½’’

100 702,79/100=7,03 8 1000/8=125 800 1250

Y1860S7 0,6’’

140 5,02 6 166,67 840 1190,48

Y1860S7 16mm

150 4,69 5 200 750 1333,33

Se eligen 5 cordones Y1860S7 16mm , con lo que la deformación de pretensado será: ∆εp=σp0/Ep=P0/(ApEp)=10x105/(750x200000)=0,006667=6,667 mm/m . La aplicación tiene en cuenta el acortamiento elástico: σpfAp=σcfAc+σsfAs Ep(∆εp-εf)ρp=Ecεf+Esεfρs εf=Ep∆εpρp/(Ec+Esρs+Epρp) εf=200x6,667x750/100000/(27897+200000x(1571+750)/100000) εf=3,073x10-4=0,3073 mm/m. Así pues, la tensión después del acortamiento elástico será: σpf=Ep(∆εp-εf)=200(6,667-0,3073)=1271,9 MPa, que cumple los requisistos de la EHE: σpf≤min(0,7σpmaxk;0,85σpk)=min(0,7x1860;0,85(0,85-0,95)x1860) σpf≤min(1302;1343,85)

σpf≤1302 MPa.


σp0≤1422,9 MPa.


203

P0/Ap=σp0; Ap≥P0/σp0=20x105/1422,9=1405,58 mm2.

cordón Sección (mm2) Cantidad

Cantidad real

Separación (mm)

Ap (mm2)

σp (MPa)

Y1860S7 3/8’’

52 1405,58/52=27,03 28 1000/28=35,71 1456 1373,63

Y1860S7 ½’’

100 1405,58/100=14,06 15 1000/15=66,67 1500 1333,33

Y1860S7 0,6’’

140 10,04 11 90,91 1540 1298,70

Y1860S7 16mm

150 9,37 10 100 1500 1333,33

Se eligen 10 cordones Y1860S7 16mm , con lo que la deformación de pretensado será: ∆εp=σp0/Ep=P0/(ApEp)=20x105/(1500x200000)=0,06667=6,667 mm/m . La aplicación tiene en cuenta el acortamiento elástico: σpfAp=σcfAc+σsfAs Ep(∆εp-εf)ρp=Ecεf+Esεfρs εf=Ep∆εpρp/(Ec+Esρs+Epρp) εf=200x6,667x1500/100000/(27897+200000x(1571+1500)/100000) εf=5,876x10-4=0,5876 mm/m. Así pues, la tensión después del acortamiento elástico será: σpf=Ep(∆εp-εf)=200(6,667-0,5876)=1215,9 MPa, que cumple los requisitos de la EHE: σpf≤min(0,7σpmaxk;0,85σpk)=min(0,7x1860;0,85(0,85-0,95)x1860) σpf≤min(1302;1343,85)

σpf≤1302 MPa.


σp0≤1422,9 MPa. P0/Ap=σp0; Ap≥P0/σp0=30x105/1422,9=2108,37 mm2.

cordón Sección (mm2)

Cantidad Cantidad real

Separación (mm)

Ap (mm2)

σp (MPa)

Y1860S7 3/8’’ 52 2108,37/52=40,55 41 1000/41=24,39 2132 1407,13

Y1860S7 ½’’ 100 2108,37/100=21,08 22 1000/22=45,45 2200 1363,64

Y1860S7 0,6’’ 140 15,06 16 62,5 2240 1339,29

Y1860S7 16mm 150 14,06 15 66,67 2250 1333,33

Se eligen 22 cordones Y1860S7 1/2’’ , con lo que la deformación de pretensado será: ∆εp=σp0/Ep=P0/(ApEp)=30x105/(2200x200000)=0,006818=6,818 mm/m .


204

La aplicación tiene en cuenta el acortamiento elástico: σpfAp=σcfAc+σsfAs Ep(∆εp-εf)ρp=Ecεf+Esεfρs εf=Ep∆εpρp/(Ec+Esρs+Epρp) εf=200x6,818x2200/100000/(27897+200000x(1571+2200)/100000) εf=8,465x10-4=0,8465 mm/m. Así pues, la tensión después del acortamiento elástico será: σpf=Ep(∆εp-εf)=200(6,818-0,8465)=1194,3 MPa, que cumple los requisistos de la EHE: σpf≤min(0,7σpmaxk;0,85σpk)=min(0,7x1860;0,85(0,85-0,95)x1860) σpf≤min(1302;1343,85)

σpf≤1302 MPa.

4.2.2.2.3. ELEMENTOS OBJETO DE ESTUDIO Los elementos sometidos a análisis son los siguientes: FMJLVxyp10

FMJLVxyp20

FMJLVxyp20


205

4.2.2.2.4. ESTUDIO DE ELEMENTOS PRETENSADOS CON ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE LAS ARMADURAS DE 0º

4.2.2.2.4.1. FMJLVpxy10-0 La máxima carga externa que soporta el elemento es de 19,94 MPa, en el momento de agotamiento del acero pasivo a tracción en la dirección x:

Crack Diagram

1.51

f1-εεεε1

9.7

1.9

1X2Y


-0.65

0.33

-0.33


θ: 90.0 deg.




Se puede ver que la capacidad del elemento viene dada por el agotamiento del acero a tracción en la fisura, que se produce para un alargamiento de 10 mm/m, ya que el elemento se agota para una deformación media en la dirección del eje x de 9,7 mm/m La aplicación proporciona una tensión para el acero según el eje x de 831,1 MPa. Esta tensión es, en realidad, una media de las tensiones sobre el refuerzo activo y el pasivo: εx=ε=9,65 mm/m � fsx=fsxy=400 MPa. εp=∆εp+ε=6,667+9,65=16,317 mm/m �fpx=fpxy=1734 MPa. (fpxρpx+fsxρsx)/(ρpx+ρsx)=(1734x750+400x1571)/(750+1571)=831,06 MPa. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

9.7


θ: 90.0 deg.



Despues de aparecer la grieta:


206

1X2Y


-1.67 0.00

0.84

-0.84


θ: 90.0 deg.




PLASTIFICACIÓN DE LA ARMADURA La plastificación se produce a partir de una tensión media: (fpxρpx+fsxρsx)/(ρpx+ρsx)=(fpx(εpx)ρpx+Esεsxρsx)/(ρpx+ρsx)= =(1602x750+200x2x1571)/2321=788,41 MPa.

Crack Diagram

0.27


θ: 90.0 deg.




VALORES MÁXIMOS

VALORES MÁXIMOS

variable valor instante σd (MPa) 19,94 Agotamiento acero pasivo eje x

tracción σdx (MPa) 19,94 σdy (MPa) - τdxy (MPa) - ε1 (mm/m) 9,65 Agotamiento acero pasivo eje x ε2 (mm/m) 0 εx (mm/m) 9,65 Agotamiento acero pasivo eje x εy (mm/m) 0 γxy (mm/m) 0 σ1 (MPa) 1,90 Primera fisura σ2 (MPa) 0 σcx (MPa) 1,90 Primera fisura σcy (MPa) 0 τxy (MPa) 0 σsx (MPa) 831,1 σsy (MPa) 0 θ (º) 90 w (mm) 1,51 Agotamiento acero pasivo eje x smθ (mm) 156 σsxcr (MPa) 859,1 Agotamiento acero pasivo eje x σsycr (MPa) 106,3 Primera fisura τci (MPa) 0 τcimax (MPa) 3,70 Primera fisura


207

4.2.2.2.4.2. FMJLVpxy20-0 La máxima carga externa que soporta el elemento es de 32,99 MPa, en el momento de agotamiento del acero pasivo a tracción en la dirección x:


θ: 90.0 deg.


f2max: -40.0 MPafsx: 1051.6 MPa fsxcr: 1074.4 MPa

fsy: 0.0 MPa fsycr: 44.6 MPasm-θ: 146 mm w: 1.41 mmvci: 0.00 MPa vcimax: 0.90 MPa

f1-εεεε1

9.7

1.9

APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

9.7


θ: 90.0 deg.



Una vez se fisura el elemento:

Crack Diagram

0.01


θ: 90.0 deg.




PLASTIFICACIÓN DE LA ARMADURA

La plastificación se produce a partir de una tensión media: (fpxρpx+fsxρsx)/(ρpx+ρsx)=(fpx(εpx)ρpx+Esεsxρsx)/(ρpx+ρsx)= =(1602x1500+200x2x1571)/3071=987,11 MPa

Crack Diagram

0.25


θ: 90.0 deg.





208

VALORES MÁXIMOS

VALORES MÁXIMOS


Agotamiento acero pasivo eje x σdx (MPa) 32,99 σdy (MPa) - τdxy (MPa) - ε1 (mm/m) 9,65 Agotamiento acero pasivo eje x ε2 (mm/m) 0 εx (mm/m) 9,65 Agotamiento acero pasivo eje x εy (mm/m) 0 γxy (mm/m) 0 σ1 (MPa) 1,90 Primera fisura σ2 (MPa) 0 σcx (MPa) 1,90 Primera fisura σcy (MPa) 0 τxy (MPa) 0 σsx (MPa) 1051,6 Agotamiento acero pasivo eje x σsy (MPa) 0 θ (º) 90 w (mm) 1,41

Agotamiento acero pasivo eje x smθ (mm) 146 σsxcr (MPa) 1074,4 σsycr (MPa) 108,1 Primera fisura τci (MPa) 0 τcimax (MPa) 3,70 Primera fisura


209

4.2.2.2.4.3. FMJLVpxy30-0 La máxima carga externa que soporta el elemento es de 45,22 MPa:

Crack Diagram

1.31

f1-εεεε1

9.7

1.9


θ: 90.0 deg.




El agotamiento se produce por tracción del acero pasivo, cuya deformación máxima es de 10 mm/m, ya que se puede ver que la deformación media máxima que alcanza el elemento es de 9,7 mm/m. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

9.7


θ: 90.0 deg.



Después de fisurarse el elemento:

1X2Y


-1.73 0.00

0.86

-0.86


θ: 90.0 deg.




PLASTIFICACIÓN DE LA ARMADURA

La plastificación se produce a partir de una tensión media:


210

(fpxρpx+fsxρsx)/(ρpx+ρsx)=(fpx(εpx)ρpx+Esεsxρsx)/(ρpx+ρsx)= =(1614x2200+200x2x1571)/3771=1108,25 MPa.

Crack Diagram

0.24


θ: 90.0 deg.




VALORES MÁXIMOS

VALORES MÁXIMOS


Agotamiento total σdx (MPa) 45,22 σdy (MPa) - τdxy (MPa) - ε1 (mm/m) 9,65

Agotamiento total ε2 (mm/m) 0 εx (mm/m) 9,65 εy (mm/m) 0 γxy (mm/m) 0 σ1 (MPa) 1,90

Primera fisura σ2 (MPa) 0 σcx (MPa) 1,90 σcy (MPa) 0 τxy (MPa) 0 σsx (MPa) 1178 Agotamiento total σsy (MPa) 0 θ (º) 90 w (mm) 1,31

Agotamiento total smθ (mm) 136 σsxcr (MPa) 1199 σsycr (MPa) 110,1 Primera fisura τci (MPa) 0 τcimax (MPa) 3,71 Primera fisura


211


4.2.2.2.5.1. FMJLVpxy10-15

1

X

2


-0.68 15.44

8.06

-8.06

1

X

2


-8.54 0.55

4.55

-4.55

1

X

2


-8.88 0.02

4.45

-4.45

Crack Diagram

1.83

Shear-Angle

53.3


θ: 52.6 deg.



Shear-εεεε2

-0.7


16.6

1.1Shear-εεεε1

16.6

4.4

Shear-εεεεx

-0.3 12.0

4.4Shear-f sx

834.9

4.4Shear-f sxcrack

869.9

4.4

Shear-εεεεy

7.1

4.4Shear-f sy

400.0

4.4Shear-f sycrack

400.0

4.4

Shear-Crack width

2.36

4.4Shear-s mth

124.6


20.0

1.1


212

Se ha representado el momento de máxima carga unitaria aplicada. El elemento se agotará por agotarse la resistencia del acero pasivo a la tracción, después de plastificar en las dos direcciones. Al ser un elemento pretensado, se observa como se parte de una deformación según el eje x negativa, correspondiente al acortamiento elástico producido por la tensión introducida por los cordones. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

16.6

1.7ex: -0.07 mm/mey: 0.02 mm/mγxy: 0.15 mm/me1: 0.06 mm/me2: -0.11 mm/m

θ: 29.1 deg.



Después de fisurado el elemento:

Crack Diagram

0.01

ex: -0.06 mm/mey: 0.03 mm/mγxy: 0.16 mm/me1: 0.07 mm/me2: -0.11 mm/m

θ: 30.5 deg.




PLASTIFICACIÓN DE LA ARMADURA X (fsx=788,41 MPa)

Crack Diagram

0.41


θ: 47.5 deg.



PLASTIFICACIÓN DE LA ARMADURA Y


20.0


θ: 51.1 deg.




213

VALORES MÁXIMOS

VALORES MÁXIMOS


Agotamiento tracción acero pasivo eje x

σdx (MPa) 16,49 σdy (MPa) 1,09 τdxy (MPa) 4,38 ε1 (mm/m) 15,44 ε2 (mm/m) -0,68 εx (mm/m) 9,50 εy (mm/m) 5,25 γxy (mm/m) 15,54 σ1 (MPa) 1,67 Primera fisura σ2 (MPa) -8,5 Agotamiento acero pasivo eje x σcx (MPa) -8,52 Instante inicial (pretensado) σcy (MPa) -5,24 Agotamiento total τxy (MPa) 4,42 Agotamiento total σsx (MPa) 834,9 Agotamiento total σsy (MPa) 400 θ (º) 53,3 Plastificación completa eje y w (mm) 2,36 Agotamiento total smθ (mm) 125 Primera fisura σsxcr (MPa) 869,9 Agotamiento total σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 0,55 Plastificación completa eje y τcimax (MPa) 3,72 Primera fisura


214

4.2.2.2.5.2. FMJLVpxy20-15

1

X

2


-1.54 13.95

7.74

-7.74

1

X

2


-12.72 0.62

6.67

-6.67

1

X

2


-13.70 0.04

6.87

-6.87

Crack Diagram

1.62

Shear-Angle

42.4


θ: 39.0 deg.



Shear-εεεε2

-6.6


16.2

2.0Shear-εεεε1

16.2

6.5

Shear-εεεεx

-0.6 4.6

6.5Shear-f sx

1034.8

6.5Shear-f sxcrack

1085.8

6.5

Shear-εεεεy

8.0

6.5Shear-f sy

400.0

6.5Shear-f sycrack

400.0

6.5

Shear-Crack width

1.88

6.5Shear-s mth

133.3


16.2

2.0


215

Se puede apreciar que el elemento fallara por agotamiento del hormigón a compresión, después de plastificar el acero pasivo en las dos direcciones. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

16.2


θ: 20.5 deg.



Una vez fisurado el elemento:

Crack Diagram

0.01


θ: 19.4 deg.





Crack Diagram

0.41


θ: 41.4 deg.



PLASTIFICACIÓN DE LA ARMADURA X (fsx=987,11 MPa)

Crack Diagram

0.50


θ: 42.4 deg.




216



Agotamiento de las bielas de hormigón por compresión


Agotamiento total ε2 (mm/m) -6,3 εx (mm/m) 4,6 Agotamiento de las bielas de hormigón

por compresión εy (mm/m) 7,99 γxy (mm/m) 22,2 Agotamiento total σ1 (MPa) 1,95 Primera fisura σ2 (MPa) -12,7 Agotamiento de las bielas de hormigón

por compresión σcx (MPa) -16,31 Instante inicial (pretensado) σcy (MPa) -4,7 Plastificación completa armadura y τxy (MPa) 6,53 Agotamiento de las bielas de hormigón

por compresión σsx (MPa) 1034,8 σsy (MPa) 400 θ (º) 42,4 Plastificación acero pasivo x en fisura w (mm) 1,88 Agotamiento total smθ (mm) 133 Primera fisura σsxcr (MPa) 1085,8 Agotamiento de las bielas de hormigón

por compresión σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 0,98 Plastificación completa armadura y τcimax (MPa) 3,67 Primera fisura


217

4.2.2.2.5.3. FMJLVpxy30-15

1

X

2

Y


-1.59 9.69

5.64

-5.64

1

X

2

Y


-16.37 0.69

8.53

-8.53

1

X

2

Y


-18.08 0.06

9.07

-9.07

Crack Diagram

1.12

Shear-Angle

36.9


θ: 33.0 deg.



Shear-εεεε2

-7.0


12.5

2.7Shear-εεεε1

12.5

7.8

Shear-εεεεx

-0.9 1.8

7.8Shear-f sx

1075.6

7.8Shear-f sxcrack

1137.5

7.8

Shear-εεεεy

6.8

7.8Shear-f sy

400.0

7.8Shear-f sycrack

400.0

7.8

Shear-Crack width

1.42

7.8Shear-s mth

138.1


12.5

2.7


218

Se representa el instante de máxima carga unitaria aplicada. Se puede ver que el elemento se agotará por compresión en las bielas sin llegar a plastificar el acero pasivo en la dirección del eje x; si lo hace en la fisura, ya que la tensión media de plastificación es de 1108,25 MPa.


f1-εεεε1

12.5


θ: 15.0 deg.




1

X

2

Y


-15.12

7.56

-7.56


θ: 14.8 deg.




PLASTIFICACIÓN DE LA ARMADURA EJE Y

Crack Diagram

0.33


θ: 35.2 deg.



PLASTIFICACIÓN DE LA ARMADURA EJE X (fsx=1108,25 MPa)

Crack Diagram

0.77


θ: 34.0 deg.




219



Agotamiento bielas por compresión σdx (MPa) 29,25 σdy (MPa) 1,92 τdxy (MPa) 7,79 ε1 (mm/m) 12,46

Agotamiento total ε2 (mm/m) -6,99 εx (mm/m) 1,75

Agotamiento bielas por compresión εy (mm/m) 6,80 γxy (mm/m) 18,25 Agotamiento total σ1 (MPa) 1,95 Primera fisura σ2 (MPa) -23,41

Instante inicial (por pretensado) σcx (MPa) -23,41 σcy (MPa) -4,37

Agotamiento bielas por compresión τxy (MPa) 7,79 σsx (MPa) 1075,6 Agotamiento bielas por compresión σsy (MPa) 400 θ (º) 36,9 Plastificación total acero eje y w (mm) 1,42 Agotamiento bielas por compresión smθ (mm) 138 Primera fisura σsxcr (MPa) 1137,5 Agotamiento bielas por compresión σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 1,35 Plastificación total acero eje y τcimax (MPa) 3,65 Primera fisura


220


4.2.2.2.6.1. FMJLVpxy10-30

1

X

2

Y


-0.72 8.25

4.49

-4.49

1

X

2

Y


-11.81 0.65

6.23

-6.23

1

X

2

Y


-13.44 0.08

6.76

-6.76

Crack Diagram

1.01

Shear-Angle

38.4


θ: 32.9 deg.



Shear-εεεε2

-1.4


14.2

2.2Shear-εεεε1

14.2

5.7

Shear-εεεεx

-0.3 2.8

5.7Shear-f sx

805.1

5.7Shear-f sxcrack

871.8

5.7

Shear-εεεεy

10.0

5.7Shear-f sy

400.0

5.7Shear-f sycrack

400.0

5.7

Shear-Crack width

1.77

5.7Shear-smth

139.2


14.2

2.2


221

Se representa el instante de máxima carga unitaria aplicada. Se puede ver que el elemento se agotará por tracción del acero según el eje y, después de plastificar el acero pasivo del eje x (lo que ocurre a 788,41 MPa) y agotarse el acero activo en la fisura, lo que se produce para una tensión de 871,8 MPa.


f1-εεεε1

14.2


θ: 18.0 deg.




Crack Diagram

0.01


θ: 17.1 deg.




Aunque la aplicación marque que se plastifica el acero pasivo del eje x, esto no esta ocurriendo, ya que hay que tener en cuenta la contribución del acero activo. La plastifiación del acero pasivo ocurre al alcanzarse una tensión fsx=788,41 MPa.


Crack Diagram

0.35


θ: 37.1 deg.




222

PLASTIFICACIÓN DE LA ARMADURA EJE X (fsx=788,41 MPa)

Crack Diagram

0.58


θ: 36.5 deg.



VALORES MÁXIMOS

VALORES MÁXIMOS


Agotamiento acero activo σdx (MPa) 9,9 σdy (MPa) 3,26 τdxy (MPa) 5,68 ε1 (mm/m) 14,2

Agotamiento total ε2 (mm/m) -1,4 εx (mm/m) 2,8 εy (mm/m) 10 γxy (mm/m) 14 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -12,4

Agotamiento total σcx (MPa) -8,9 σcy (MPa) -3,28 Plastificación completa eje y τxy (MPa) 5,68 Agotamiento acero activo σsx (MPa) 805,1 Agotamiento total σsy (MPa) 400 θ (º) 38,4 Plastificación completa eje y w (mm) 1,77 Agotamiento total smθ (mm) 139 Primera fisura σsxcr (MPa) 871,8 Agotamiento total σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 1,10 Plastificación completa eje y τcimax (MPa) 3,67 Primera fisura


223

4.2.2.2.6.2. FMJLVpxy20-30

1

X

2

Y


-0.74 4.77

2.75

-2.75

1

X

2

Y


-14.75 0.86

7.81

-7.81

1

X

2

Y


-17.95 0.15

9.05

-9.05

Crack Diagram

0.59

Shear-Angle

32.2


θ: 28.0 deg.



Shear-εεεε2

-6.9


14.2

3.5Shear-εεεε1

14.2

6.5

Shear-εεεεx

-0.9 0.7

6.5Shear-f sx

778.4

6.5Shear-f sxcrack

869.3

6.5

Shear-εεεεy

8.7

6.5Shear-f sy

400.0

6.5Shear-f sycrack

400.0

6.5

Shear-Crack width

1.71

6.5Shear-s mth

149.2


14.2

3.5


224

Se puede ver que el elemento se agotará por compresión de las bielas de hormigón, sin plastificar el acero pasivo del eje x (lo que ocurre a 987,11 MPa).


f1-εεεε1

14.2


θ: 10.7 deg.




Crack Diagram

0.02


θ: 10.5 deg.





Crack Diagram

0.29


θ: 27.6 deg.




225



Máximo cortante admisible en fisura alcanzado


Agotamiento total ε2 (mm/m) -6,3 εx (mm/m) -0,9 εy (mm/m) 8,7 Agotamiento bielas compresión γxy (mm/m) 19 Agotamiento total σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -6,3 Agotamiento total σcx (MPa) -16,31 Instante inicial (pretensado) σcy (MPa) -2,72 Agotamiento bielas compresión τxy (MPa) 6,47 Máximo cortante admisible en fisura σsx (MPa) 778,4 σsy (MPa) 400 θ (º) 32,2

Agotamiento total w (mm) 1,71 smθ (mm) 149 Primera fisura σsxcr (MPa) 869,3 σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 1,73 Plastificación completa eje y τcimax (MPa) 3,63 Primera fisura


226

4.2.2.2.6.3. FMJLVpxy30-30

1

X

2

Y


-0.79 2.68

1.73

-1.73

1

X

2

Y


-18.62 0.94

9.78

-9.78

1

X

2

Y


-23.75 0.19

11.97

-11.97

Crack Diagram

0.33

Shear-Angle

30.4


θ: 23.6 deg.



Shear-εεεε2

-6.3


11.5

3.6Shear-εεεε1

11.5

7.2

Shear-εεεεx

-1.8

7.2Shear-f sx

755.4

7.2Shear-f sxcrack

898.0

7.2

Shear-εεεεy

7.3

7.2Shear-f sy

400.0

7.2Shear-f sycrack

400.0

7.2

Shear-Crack width

1.35

7.2Shear-s mth

153.9


11.5

3.6


227

Se ha representado el momento de máxima carga unitaria aplicada. La rotura del elemento se produce por agotamiento a compresión de las bielas de hormigón, antes de que se llegue a traccionar en la dirección del eje x. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

11.5

1.9


θ: 7.8 deg.



Después de fisurado el elemento:

Crack Diagram

0.02


θ: 7.9 deg.






11.5


θ: 21.5 deg.




228



Plastificación completa eje y σdx (MPa) 12,49 σdy (MPa) 4,10 τdxy (MPa) 7,16 ε1 (mm/m) 11,47

Agotamiento total ε2 (mm/m) -6,34 εx (mm/m) -1,78 Agotamiento total εy (mm/m) 7,30 Agotamiento bielas compresión γxy (mm/m) 15,54 Agotamiento total σ1 (MPa) 1,92 Primera fisura σ2 (MPa) -23,42

Instante inicial (por pretensado) σcx (MPa) -23,42 σcy (MPa) -2,50 Agotamiento bielas compresión τxy (MPa) 7,16 Plastificación completa eje y σsx (MPa) 755,4 σsy (MPa) 400 θ (º) 30,4

Agotamiento total w (mm) 1,35 smθ (mm) 154 Primera fisura σsxcr (MPa) 898 Plastificación completa eje y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 2,15 Plastificación completa eje y τcimax (MPa) 3,61 Primera fisura


229


4.2.2.2.7.1. FMJLVpxy10-45

1

X

2

Y


-0.50 4.74

2.62

-2.62

1

X

2

Y


-10.51 0.81

5.66

-5.66

1

X

2

Y


-13.64 0.18

6.91

-6.91

Crack Diagram

0.60

Shear-Angle

29.6


θ: 27.7 deg.



Shear-εεεε2

-1.0


12.1

3.3Shear-εεεε1

12.1

4.7

Shear-εεεεx

-0.3 1.1

4.7Shear-f sx

635.2

4.7Shear-f sxcrack

731.2

4.7

Shear-εεεεy

10.0

4.7Shear-f sy

400.0

4.7Shear-f sycrack

400.0

4.7

Shear-Crack width

1.59

4.7Shear-s mth

150.7


12.1

3.3


230

Se representa el instante de máxima carga unitaria aplicada. Se puede ver que el elemento se agotará por tracción del acero según el eje y, sin plastificar el acero pasivo del eje x (lo que ocurre a 788,41 MPa).


f1-εεεε1

12.1


θ: 11.2 deg.




Crack Diagram

0.02


θ: 10.7 deg.




De nuevo la aplicación marca que plastifica el acero pasivo del eje x, sin que ocurra. La plastifiación del acero pasivo ocurre al alcanzarse una tensión fsx=788,41 MPa.


Crack Diagram

0.29


θ: 28.1 deg.




231



Máximo cortante admisible en fisura σdx (MPa) 4,64 σdy (MPa) 4,65 τdxy (MPa) 4,66 ε1 (mm/m) 12,1

Agotamiento total ε2 (mm/m) -1 εx (mm/m) 1,1 εy (mm/m) 10 γxy (mm/m) 9,7 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -12,2

Agotamiento total σcx (MPa) -10,15 σcy (MPa) -1,39 Plastificación completa eje y τxy (MPa) 4,66 Máximo cortante admisible en fisura σsx (MPa) 635,2 Agotamiento total σsy (MPa) 400 θ (º) 29,6 Plastificación completa eje y w (mm) 1,59 Agotamiento total smθ (mm) 151 Primera fisura σsxcr (MPa) 731,2 Agotamiento total σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 1,63 Plastificación completa eje y τcimax (MPa) 3,65 Primera fisura


232

4.2.2.2.7.2. FMJLVpxy20-45

1

X

2

Y


-0.62 2.43

1.52

-1.52

1

X

2

Y


-15.10 0.81

7.96

-7.96

1

X

2

Y


-21.23 0.23

10.73

-10.73

Crack Diagram

0.32

Shear-Angle

20.4


θ: 20.4 deg.



Shear-εεεε2

-1.9


11.6

3.6Shear-εεεε1

11.6

5.2

Shear-εεεεx

-0.6

5.2Shear-f sx

621.7

5.2Shear-f sxcrack

816.9

5.2

Shear-εεεεy

10.0

5.2Shear-f sy

400.0

5.2Shear-f sycrack

400.0

5.2

Shear-Crack width

1.54

5.2Shear-s mth

159.4


11.6

3.6


233

El elemento se agotará por tracción del acero según el eje y, sin plastificar el acero pasivo del eje x (lo que ocurre a 987,11 MPa).


f1-εεεε1

11.6


θ: 6.5 deg.




Crack Diagram

0.02


θ: 6.4 deg.





Crack Diagram

0.26


θ: 18.4 deg.




234



Plastificación completa armadura eje y


Agotamiento total ε2 (mm/m) -1,9 εx (mm/m) -0,6 Estado inicial (primera fisura) εy (mm/m) 10

Agotamiento total γxy (mm/m) 8,6 σ1 (MPa) 1,92 Primera fisura σ2 (MPa) -15,8 σcx (MPa) -16,3 Instante inicial (pretensado) σcy (MPa) 1,71 Primera fisura τxy (MPa) 5,19 Plastificación completa eje y σsx (MPa) 621,7 σsy (MPa) 400 θ (º) 20,4 Plastificación completa eje y w (mm) 1,54 Agotamiento total smθ (mm) 159 Primera fisura σsxcr (MPa) 816,9 Plastificación completa eje y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 2,19 Plastificación completa eje y τcimax (MPa) 3,61 Primera fisura


235

4.2.2.2.7.3. FMJLVpxy30-45

1

X

2

Y


-0.84 2.05

1.45

-1.45

1

X

2

Y


-20.94 1.03

10.98

-10.98

1

X

2

Y


-29.87 0.16

15.02

-15.02

Crack Diagram

0.31

Shear-Angle

26.5


θ: 14.9 deg.



Shear-εεεε2

-6.5


13.0

3.6Shear-εεεε1

13.0

5.4

Shear-εεεεx

-2.6

5.4Shear-f sx

662.2

5.4Shear-f sxcrack

910.4

5.4

Shear-εεεεy

9.3

5.4Shear-f sy

400.0

5.4Shear-f sycrack

400.0

5.4

Shear-Crack width

1.86

5.4Shear-s mth

169.2


13.0

3.6


236

El elemento se agota por compresión de las bielas de hormigón, sin que llegue a plastificar el acero en la dirección del eje x, ni siquiera en las fisuras. Se puede apreciar la gran limitación que impone la plastificación del acero en la dirección y sobre la tensión principal de tracción. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

13.0


θ: 4.8 deg.



Tras fisurarse el elemento:

1X

2Y


-23.70

11.85

-11.85


θ: 4.8 deg.






13.0


θ: 13.6 deg.




237



Plastificación completa acero pasivo eje y

σdx (MPa) 5,48 σdy (MPa) 5,42 τdxy (MPa) 5,45 ε1 (mm/m) 13

Agotamiento total ε2 (mm/m) -6,3 εx (mm/m) -2,6 Estado inicial (pretensado) εy (mm/m) 9,32 γxy (mm/m) 15,5 Agotamiento total σ1 (MPa) 1,95 Primera fisura σ2 (MPa) -23,4 Estado inicial (pretensado) σcx (MPa) -23,4 σcy (MPa) 1,78 Primera fisura τxy (MPa) 5,45

Plastificación completa eje y σsx (MPa) 662,2 σsy (MPa) 400 θ (º) 26,5

Agotamiento total w (mm) 1,86 smθ (mm) 169 Primera fisura σsxcr (MPa) 910,4 Plastificación completa eje y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 2,21 Plastificación completa eje y τcimax (MPa) 3,58 Primera fisura


238


4.2.2.2.8.1. FMJLVpxy10-60

1

X

2

Y


-0.37 2.49

1.43

-1.43

1

X

2

Y


-9.24 0.82

5.03

-5.03

1

X

2

Y


-15.18 0.31

7.74

-7.74

Crack Diagram

0.33

Shear-Angle

20.9


θ: 20.9 deg.



Shear-εεεε2

-0.8


11.1

3.6Shear-εεεε1

11.1

3.4

Shear-εεεεx

-0.3 0.4

3.4Shear-f sx

495.3

3.4Shear-f sxcrack

703.9

3.4

Shear-εεεεy

10.0

3.4Shear-f sy

400.0

3.4Shear-f sycrack

400.0

3.4

Shear-Crack width

1.54

3.4Shear-s mth

160.7


11.1

3.6


239

El instante representado corresponde con el momento en que el cortante en la fisura alcanza el máximo valor admisible. Se puede ver que el elemento se agota por tracción del acero pasivo en la dirección del eje y, sin que llegue a plastificar el acero en la dirección del eje x, ni siquiera en las fisuras. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

11.1


θ: 6.6 deg.




Crack Diagram

0.02


θ: 6.4 deg.





Crack Diagram

0.27


θ: 19.3 deg.




240






Agotamiento total σcx (MPa) -9,68 σcy (MPa) 1,78 Primera fisura τxy (MPa) 3,35 Plastificación completa acero eje y σsx (MPa) 495,3 Agotamiento total σsy (MPa) 400 θ (º) 20,9 Plastificación completa acero eje y w (mm) 1,54 Agotamiento total smθ (mm) 161 Primera fisura σsxcr (MPa) 703,9 Plastificación completa acero eje y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 2,15 Plastificación completa acero eje y τcimax (MPa) 3,64 Primera fisura


241

4.2.2.2.8.2. FMJLVpxy20-60

1

X

2

Y


-0.62 2.04

1.33

-1.33

1

X

2

Y


-15.66 0.77

8.21

-8.21

1X

2Y


-26.28 0.19

13.24

-13.24

Crack Diagram

0.30

Shear-Angle

13.3


θ: 12.5 deg.



Shear-εεεε2

-1.3


10.7

3.6Shear-εεεε1

10.7

3.5

Shear-εεεεx

-0.7

3.5Shear-f sx

551.0

3.5Shear-f sxcrack

906.9

3.5

Shear-εεεεy

10.0

3.5Shear-f sy

400.0

3.5Shear-f sycrack

400.0

3.5

Shear-Crack width

1.53

3.5Shear-s mth

167.0


10.7

3.6


242

El instante representado corresponde con el momento en que el cortante en la fisura alcanza el máximo valor admisible. Se puede ver que el elemento se agota por tracción del acero pasivo en la dirección del eje y, sin que llegue a plastificar el acero en la dirección del eje x, ni siquiera en las fisuras. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

10.7


θ: 3.9 deg.



Se puede observar la gran limiación que impone la plastificación del acero sobre la tensión principal de tracción. Tras fisurarse el elemento:

Crack Diagram

0.02


θ: 3.8 deg.





Crack Diagram

0.26


θ: 11.6 deg.




243





Agotamiento total ε2 (mm/m) -1,3 εx (mm/m) -0,7 εy (mm/m) 10 γxy (mm/m) 5,4 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -16,3 Estado inicial (pretensado) σcx (MPa) -16,3 σcy (MPa) 1,85 Primera fisura τxy (MPa) 3,48

Plastificación completa acero eje y σsx (MPa) 551 σsy (MPa) 400 θ (º) 13,3

Agotamiento total w (mm) 1,53 smθ (mm) 167 Primera fisura σsxcr (MPa) 906,9 Plastificación completa acero eje y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 2,26 Plastificación completa acero eje y τcimax (MPa) 3,60 Primera fisura


244

4.2.2.2.8.3. FMJLVpxy30-60

1X

2Y


-0.89 1.95

1.42

-1.42

1X

2Y


-22.20 0.72

11.46

-11.46

1X

2Y


-36.74 0.13

18.44

-18.44

Crack Diagram

0.31

Shear-Angle

12.2


θ: 8.9 deg.



Shear-εεεε2

-2.3


10.6

3.6Shear-εεεε1

10.6

3.5

Shear-εεεεx

-1.7

3.5Shear-f sx

632.8

3.5Shear-f sxcrack

1020.4

3.5

Shear-εεεεy

10.0

3.5Shear-f sy

400.0

3.5Shear-f sycrack

400.0

3.5

Shear-Crack width

1.66

3.5Shear-s mth

173.5


10.6

3.6


245

El elemento se agota por compresión de las bielas de hormigón y por tracción de la armadura según el eje y, sin que llegue a plastificar el acero en la dirección del eje x, ni siquiera en las fisuras, ya que el hormigón no va a llegar a traccionarse en esa dirección. De nuevo, la tensión principal de tracción se encuentra fuertemente limitada por la plastificación del acero en la dirección y. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

10.6

1.9


θ: 2.8 deg.



Superado este nivel de carga:

Crack Diagram

0.03


θ: 2.8 deg.




INICIO DE LA PLASTIFICACIÓN DEL ACERO Y


10.6


θ: 8.3 deg.




246





Agotamiento total ε2 (mm/m) -2,3 εx (mm/m) -1,7 Instante inicial (pretensado) εy (mm/m) 10

Agotamiento total γxy (mm/m) 5,3 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -23,4

Instante inicial (pretensado) σcx (MPa) -23,4 σcy (MPa) 1,97 Primera fisrua τxy (MPa) 3,52 Plastificación completa acero eje y σsx (MPa) 632,8 σsy (MPa) 400 θ (º) 12,2

Agotamiento total w (mm) 1,66 smθ (mm) 174 Primera fisura σsxcr (MPa) 1020,4 Plastificación completa acero eje y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 2,21 Plastificación completa acero eje y τcimax (MPa) 3,58 Primera fisura


247


4.2.2.2.9.1. FMJLVpxy10-75

1

X

2

Y


-0.34 2.17

1.26

-1.26

1

X

2

Y


-8.68 0.42

4.55

-4.55

1X

2Y


-19.93 0.23

10.08

-10.08

Crack Diagram

0.33

Shear-Angle

11.1


θ: 11.0 deg.



Shear-εεεε2

-0.6


10.4

3.6Shear-εεεε1

10.4

1.7

Shear-εεεεx

-0.3

1.7Shear-f sx

389.6

1.7Shear-f sxcrack

871.8

1.7

Shear-εεεεy

10.0

1.7Shear-f sy

400.0

1.7Shear-f sycrack

400.0

1.7

Shear-Crack width

1.57

1.7Shear-s mth

170.2


10.4

3.6


248

El elemento se agota por tracción de la armadura según el eje y con plastificación del acero tanto pasivo como activo en la dirección del eje x únicamente en las fisuras, donde llega a agotarse por completo, a pesar de que el elemento no llega a traccionarse en esa dirección. De nuevo, la tensión principal de tracción se encuentra fuertemente limitada por la plastificación del acero en la dirección y. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

10.4

1.9


θ: 3.1 deg.




Crack Diagram

0.02


θ: 3.0 deg.





Crack Diagram

0.27


θ: 9.9 deg.



Aunque la aplicación marca que el acero pasivo en la dirección del eje x está plastificacndo, esto no ocurre hasta que se alcance una tensión de 788,41 MPa.


249




σdx (MPa) 0,44 σdy (MPa) 6,37 τdxy (MPa) 1,71 ε1 (mm/m) 10,4 Agotamiento total ε2 (mm/m) -0,6 Agotamiento total εx (mm/m) -0,3 Instante inicial (pretensado) εy (mm/m) 10

Agotamiento total γxy (mm/m) 4 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -8,9

Agotamiento total σcx (MPa) -8,62 σcy (MPa) 1,90 Primera fisura τxy (MPa) 1,71 Plastificación completa acero eje y σsx (MPa) 389,6 Agotamiento total σsy (MPa) 400 θ (º) 11,1 Plastificación completa acero eje y w (mm) 1,57 Agotamiento total smθ (mm) 170 Primera fisura σsxcr (MPa) 871,8 Inicio plastificación eje y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 2,15 Plastificación completa acero eje y τcimax (MPa) 3,62 Primera fisura


250

4.2.2.2.9.2. FMJLVpxy20-75

1X

2Y


-0.65 2.45

1.55

-1.55

1X

2Y


-15.86 0.20

8.03

-8.03

1X2 Y


-33.78 0.11

16.94

-16.94

Crack Diagram

0.39

Shear-Angle

6.9


θ: 6.1 deg.



Shear-εεεε2

-1.1


10.2

3.6Shear-εεεε1

10.2

1.7

Shear-εεεεx

-0.9

1.7Shear-f sx

534.5

1.7Shear-f sxcrack

1113.2

1.7

Shear-εεεεy

10.0

1.7Shear-f sy

400.0

1.7Shear-f sycrack

400.0

1.7

Shear-Crack width

1.61

1.7Shear-s mth

173.7


10.2

3.6


251

El elemento se agota por tracción de la armadura según el eje y con plastificación del acero tanto pasivo como activo en la dirección del eje x únicamente en las fisuras, donde llega a agotarse por completo, a pesar de que el elemento no llega a traccionarse en esa dirección. Nuevamente se aprecia una gran limitación de la principal de tracción debido a la plastificación del acero en la dirección y. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

10.2

1.9


θ: 1.8 deg.




Crack Diagram

0.03


θ: 1.8 deg.





Crack Diagram

0.27


θ: 5.6 deg.



Nuevamente la aplicación marca que el acero pasivo en la dirección del eje x está plastificacndo, aunque esto no ocurre hasta que se alcance una tensión de 987,11 MPa.


252



Máximo cortante en la fisura σdx (MPa) 0,49 σdy (MPa) 6,31 τdxy (MPa) 1,7 ε1 (mm/m) 10,2

Agotamiento total ε2 (mm/m) -1,1 εx (mm/m) -0,9 Instante inicial (pretensado) εy (mm/m) 10

Agotamiento total γxy (mm/m) 2,7 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -16,3 Instante inicial (pretensado) σcx (MPa) -16,3 Instante inicial (pretensado) σcy (MPa) 1,91 Primera fisura τxy (MPa) 1,7 Máximo cortante en la fisura σsx (MPa) 534,5 Inflexión εII σsy (MPa) 400 θ (º) 6,9

Agotamiento total w (mm) 1,61 smθ (mm) 174 Primera fisura σsxcr (MPa) 1113,2 Inicio plastificación eje y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 1,90 Plastificación completa eje y τcimax (MPa) 3,59 Primera fisura


253

4.2.2.2.9.3. FMJLVpxy30-75

1X

2Y


-0.93 2.15

1.54

-1.54

1X

2Y


-22.65 0.13

11.39

-11.39

1X2 Y


-46.77 0.07

23.42

-23.42

Crack Diagram

0.37

Shear-Angle

5.9


θ: 4.3 deg.



Shear-εεεε2

-1.9


10.2

3.6Shear-εεεε1

10.2

1.7

Shear-εεεεx

-1.8

1.7Shear-f sx

623.6

1.7Shear-f sxcrack

1251.8

1.7

Shear-εεεεy

10.0

1.7Shear-f sy

400.0

1.7Shear-f sycrack

400.0

1.7

Shear-Crack width

1.70

1.7Shear-s mth

177.0


10.2

3.6


254

El elemento se agota por compresión de las bielas de hormigón y agotamiento del acero x en la fisura a tracción tanto pasivo como activo, a pesar de que el elemento no se tracciona en la dirección del eje x. Se puede apreciar la gran limitación que impone la plastificación del acero sobre la tensión principal de tracción. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

10.2

1.9


θ: 1.3 deg.




Crack Diagram

0.03


θ: 1.3 deg.




PLASTIFICACIÓN DE LA ARMADURA EJES X e Y (fpx=1251,8 MPa)

Crack Diagram

0.30


θ: 4.1 deg.




255





Agotamiento total ε2 (mm/m) -1,9 εx (mm/m) -1,8 εy (mm/m) 10 γxy (mm/m) 2,4 σ1 (MPa) 1,93 Primera fisura σ2 (MPa) -23,42

Instante inicial (pretensado) σcx (MPa) -23,42 σcy (MPa) 1,92 Primera fisura τxy (MPa) 1,69 Plastificación completa acero eje y σsx (MPa) 623,6 Inflexión εII σsy (MPa) 400 θ (º) 5,9

Agotamiento total w (mm) 1,70 smθ (mm) 177 Primera fisura σsxcr (MPa) 1251,8 Inicio plastificación eje y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 1,84 Plastificación completa acero eje y τcimax (MPa) 3,57 Primera fisura


256


De nuevo la aplicación falla al simular esta distribución de cargas, por lo que se aplica la carga como si el ángulo de giro de las armaduras fuese de 0 º y se giran las armaduras. Habrá que tener en cuenta a la hora de recopilar datos que el eje x y el y están intercambiados.

4.2.2.2.10.1. FMJLVpxy10-90

1X2Y


-0.32 1.91

1.12

-1.12

1X2Y


-8.43 0.28

4.36

-4.36

1X2Y


-20.21 0.00

10.11

-10.11

Crack Diagram

0.34

Shear-Angle

90.0

0.1ex: 1.91 mm/mey: -0.32 mm/mγxy: 0.00 mm/me1: 1.91 mm/me2: -0.32 mm/m

θ: 90.0 deg.



Shear-εεεε2

-0.3


1.9

1.0Shear-εεεε1

1.9

0.1

El elemento se agota por tracción del acero y, aunque la aplicación no llega a la máxima deformación de tracción del acero pasivo, se detiene al alcanzar una deformación según el eje y de 1,91 mm/m. Igual que ocurría para elementos sin pretensado, aparece una tensión en la armadura normal a la carga aplicada, como consecuencia de considerar la inclinación de la fisura distinta a 90º, lo que produce que haya que compensar


257

a la tensión principal de tracción con una tensión en la armadura de los estribos (la y en la simulación). APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

1.9

1.9

ex: 0.07 mm/mey: -0.31 mm/mγxy: 0.00 mm/me1: 0.07 mm/me2: -0.31 mm/m

θ: 90.0 deg.




Crack Diagram

0.01


θ: 90.0 deg.




Crack Diagram

0.31


θ: 90.0 deg.




258



Plastificación acero pasivo eje y en fisura

σdx (MPa) - σdy (MPa) 6,28 τdxy (MPa) - ε1 (mm/m) 1,91

Agotamiento total ε2 (mm/m) -0,32 εx (mm/m) -0,32 εy (mm/m) 1,91 γxy (mm/m) 0 σ1 (MPa) 1,9 Primera fisura σ2 (MPa) -8,5 Constante σcx (MPa) -8,53 σcy (MPa) 1,9 τxy (MPa) - σsx (MPa) 367,5

Agotamiento total σsy (MPa) 381,9 θ (º) 90 Constante w (mm) 0,34 Agotamiento total smθ (mm) 180 Constante σsxcr (MPa) 871,8 Inicio plastificación eje y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) 0 τcimax (MPa) 3,68


259

4.2.2.2.10.2. FMJLVpxy20-90

1X2Y


-0.62 1.74

1.18

-1.18

1X2Y


-16.14 0.83

8.48

-8.48

1X2Y


-34.16 0.00

17.08

-17.08

Crack Diagram

0.31

Shear-Angle

90.0

0.1ex: 1.74 mm/mey: -0.62 mm/mγxy: 0.00 mm/me1: 1.74 mm/me2: -0.62 mm/m

θ: 90.0 deg.



Shear-εεεε2

-0.6


1.7

1.0Shear-εεεε1

1.7

0.1

El elemento se agota por tracción del acero y, aunque la aplicación no llega a la máxima deformación de tracción del acero pasivo, se detiene al alcanzar una deformación según el eje y de 1,74 mm/m. Como en el elemento anterior, aparece una tensión en la armadura normal a la carga aplicada. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

1.7

1.9


θ: 90.0 deg.




260


Crack Diagram

0.01


θ: 90.0 deg.




Crack Diagram

0.31


θ: 90.0 deg.




261




σdx (MPa) - σdy (MPa) 6,28 τdxy (MPa) - ε1 (mm/m) 1,7

Agotamiento total ε2 (mm/m) -0,6 εx (mm/m) -0,6 εy (mm/m) 1,7 γxy (mm/m) - σ1 (MPa) 1,9 Primera fisura σ2 (MPa) -16,3

Constante σcx (MPa) -16,3 σcy (MPa) 1,90 Primera fisura τxy (MPa) - σsx (MPa) 531,3 Constante σsy (MPa) 347,2 Constante θ (º) 90 Constante w (mm) 0,31 Agotamiento total smθ (mm) 180 Constante σsxcr (MPa) 1113,2 Inicio plastificación eje y σsycr (MPa) 400 τci (MPa) - τcimax (MPa) 3,68 Primera fisura


262

4.2.2.2.10.3. FMJLVpxy30-90

1X2Y


-0.89 1.58

1.24

-1.24

1X2Y


-23.18 1.20

12.19

-12.19

1X2Y


-24.39

12.19

-12.19

Crack Diagram

0.28

Shear-Angle

90.0

0.1ex: 1.58 mm/mey: -0.89 mm/mγxy: -0.02 mm/me1: 1.58 mm/me2: -0.89 mm/m

θ: 89.7 deg.



Shear-εεεε2

-0.9


1.6

1.0Shear-εεεε1

1.6

0.1

Shear-εεεεx

1.6

0.1Shear-f sx

315.6

0.1Shear-f sxcrack

392.3

0.1

Shear-εεεεy

-0.9

0.1Shear-f sy

621.0

0.1Shear-f sycrack

666.9

0.1

Shear-Crack width

0.28

0.1Shear-s mth

180.3


1.6

1.0


263

El elemento se agota por tracción del acero y, aunque la aplicación no llega a la máxima deformación de tracción del acero pasivo, se detiene al alcanzar una deformación según el eje y de 1,58 mm/m. APARICIÓN DE LA PRIMERA FISURA

f1-εεεε1

1.6

1.9


θ: 90.0 deg.




Crack Diagram

0.01


θ: 90.0 deg.




Crack Diagram

0.28

ex: 1.58 mm/mey: -0.89 mm/mγxy: -0.02 mm/me1: 1.58 mm/me2: -0.89 mm/m

θ: 89.7 deg.



Este instante coincide con el momento en que la aplicación detiene la simulación.


264





Agotamiento total ε2 (mm/m) -0,9 εx (mm/m) -0,9 εy (mm/m) 1,6 γxy (mm/m) - σ1 (MPa) 1,90 Primera fisura σ2 (MPa) -23,4 Constante σcx (MPa) -23,4 σcy (MPa) 1,90 Primera fisura τxy (MPa) - σsx (MPa) 621 Constante σsy (MPa) 315,6 Agotamiento total θ (º) 90 Constante w (mm) 0,28 Agotamiento total smθ (mm) 180 Constante σsxcr (MPa) 666,9 Primera fisura σsycr (MPa) 400 τci (MPa) - τcimax (MPa) 3,68 Primera fisura


265

4.2.2.2.11. RESUMEN Y CONCLUSIONES


266


267

Se van a analizar los resultados obtenidos de los análisis de los distintos elementos. Se recuerda que estos análisis han consistido en agotar a tracción cuatro placas isótropas con idéntica cuantía de armado pasivo bajo distinto nivel de pretensado (10, 20 y 30 MPa en la dirección del eje x, ver página 194) para diferentes disposiciones de dichos armados. A la vista de los resultados obtenidos, se pueden obtener las siguientes conclusiones :

1. Para la carga unitaria de primera fisura , su puede comprobar como el nivel de pretensado modifica este valor y como, por tanto, es posible controlar la fisuración de un elemento introduciendo un pretensado. Este comportamiento ya se predijo al estudiar los elementos sometidos a cortante (página 55). Se observa como dicha carga, para una solicitación paralela al eje x, aumenta en la misma cuantía que el pretensado introducido. El efecto del pretensado va desapareciendo conforme la solicitación se va inclinando respecto al eje x, de manera que, a partir de una inclinación relativa de 60º, el efecto del pretensado se desvanece y,


268

cuando son perpendiculares, el pretensado no tienen ningún efecto sobre la carga de fisuración.

2. Respecto a la carga unitaria de plastificación , su comportamiento es equivalente al de la carga de fisuración, al igual que ocurre con la máxima carga unitaria soportada . Hay que hacer notar que, el incremento en la carga necesaria para plastificar o agotar los elementos, no coincide con el pretensado introducido, ya que también habrá que agotar las armaduras utilizadas para introducir el pretensado en los distintos elementos.

3. Respecto a la inclinación de la primera fisura , se puede ver como el pretensado disminuye la inclinación de las fisuras , tanto más cuanto mayor es el nivel de pretensado aplicado sobre el elemento, como se dedujo en el estudio sobre cortante (página 55).

4. Sobre la inclinación máxima de fisura , se puede apreciar que el

comportamiento es similar al de la inclinación de la primera fisura, siendo menos marcada la diferencia, ya que las diferencias entre las fisuras más inclinadas y las menos inclinadas son de 30º aproximadamente.

5. Sobre la anchura máxima de fisura , se puede comprobar como el nivel

de pretensado limita dicha anchura máxima, si bien parece haber elementos divergentes. Sin embargo, esto no es así, ya que no se está estudiando la anchura para el mismo nivel de carga, sino su valor máximo, que puede ser menor si el elemento se agota bajo menor carga. Esto puede comprobarse con el siguiente gráfico.

6. Del gráfico que representa la anchura de fisura bajo carga unitaria

máxima , se extrae que el pretensado regula la anchura de carga hasta un nivel de inclinación solicitación-refuerzos. Para el elemento pretensado a 10 MPa, la anchura de fisura deja de depender de la inclinación de las armaduras para una inclinación de las armaduras de 30º. Esta aumenta hasta 45º para el elemento FMJLVxyp20 y hasta 60 cuando el pretensado introducido es de 30 MPa.

7. El último de los gráficos representa el motivo del agotamiento de los elementos para

las distintas orientaciones de las armaduras. Se observa conforme aumenta el grado de pretensado y la inclinación relativa solicitación-armaduras está en torno a los 45º, el agotamiento se produce por deslizamiento en las fisuras y aplastamiento del hormigón, mientras que el elemento sin pretensar agota el acero pasivo a tracción, como ocurre con el elemento a bajo nivel de pretensado a partir de una inclinación de 45º, que agota dicho acero simultáneamente con deslizamiento en las fisuras.


269

4.3.- RESPONSE 2000

4.3.1.- DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DEL SOFTWARE UTILIZA DO

4.3.1.1. INTRODUCCIÓN Response-2000 sirve para analizar vigas y columnas sometidas a combinaciones arbitrarias de esfuerzos axial, flect or y cortante . También incluye una aplicación para estudiar el comportamiento a nivel seccional de dichos elementos. Las hipótesis incluidas en el programa son que las secciones planas permanecen planas y que no hay ningún esfuerzo transversal horizontal . Para las secciones de una viga o columna a una distancia razonable de un soporte o punto de carga, estas hipótesis se cumplen sin problema. Estos son los puntos críticos de las vigas para fallos frágiles por cortante. El elemento a analizar se puede definir fácilmente mediante el cuadro de diálogo "Definición | Quick Define". La primera página del cuadro de diálogo pide un título y las propiedades del material . La segunda página del asistente define la sección transversal de hormigón . Se puede elegir de una lista que varía desde secciones simples, como rectángulos y círculos hasta formas más complejas como columnas huecas o secciones normalizadas. La tercera página permite la selección de la armadura longitudinal de la sección . La mitad superior define las barras totales en la losa para la sección transversal y la parte inferior define el acero no pretensado en la parte inferior de la sección transversal. La última página permite la selección de los estribos y los tendones . Automáticamente, el programa calcula las características geométricas de la sección bruta y transformada: área, inercia, posición del centro de gravedad y momentos estáticos.

4.3.1.1.1. Análisis sin cizallamiento El tipo de análisis predeterminado es un análisis de flexión simple, sin carga axial . Se inicia seleccionando "Solve | Sectional Response". Se muestran gráficos de control junto con otros nueve gráficos, uno de los cuales es una representación de la sección y el resto representan una variable (anchura de fisura, tensión, deformación,…) trazada sobre la profundidad de la sección para la etapa de carga indicada por el gráfico de control. Se muestra también la carga aplicada en la barra inferior de la ventana del programa. Otro gráfico, el diagrama de grieta muestra una estimación del patrón de agrietamiento y de agotamiento ya que se vuelve de tono rojizo cuando se produce aplastamiento del hormigón y de tono morado cuando el fallo se produce por deslizamiento en la fisura.

4.3.1.1.2. Análisis con cizallamiento Se puede realizar un análisis más complejo incluyendo los efectos del cortante. Para ello, se introducen las cargas en el menú "Loads | Loads". Se pueden introducir tanto cargas iniciales como incrementos a partir de ese nivel de carga. Una vez finalizado el análisis se muestran los resultados para el momento de rotura (nueve gráficos). En la parte superior izquierda se dibuja la sección


270

transversal , con tonos más oscuros en las regiones sometidas a compresión. En los distintos gráficos se muestra la variación de la deformación transversal a lo largo de la altura de la sección, el diagrama de grieta muestra el ángulo y la anchura de las grietas y en otros gráficos se muestran las distribuciónes del esfuerzo y deformación tangencial sobre la sección, así como los valores del esfuerzo principal de compresión junto a los límites admisibles en función de la deformación principal de tracción.

4.3.1.1.3. Análisis Estructural Response-2000 puede calcular el comportamiento de un elemento a nivel estructural a partir de una sección dada . Para ello se usa el menú "Solve | Member Response": este análisis proporciona un diagrama completo de interacción Momento-Cortante y carga-flecha y el diagrama de grieta para la mitad de la longitud del elemento. La aplicación analiza distintas combinaciones de esfuerzos flector-cortan te y calcula el instante de agotamiento para cada combinación objeto de estudio, realizando posteriormente una interpolación entre los valores calculados. Así, al realizar este análisis, según la combinación estudiada, se van actualizando los análisis seccionales, pasando desde flector simple positivo a cortante puro y terminando en flector simple negativo. Los gráficos de control muestran los distintos puntos estudiados, correspondientes a distintas combinaciones de carga, que pueden analizarse sin más que haciendo clic en ellos. Cuando el análisis se ha completado, la pantalla cambia a la vista resumen . En ella se muestra un patrón de fisuración de la mitad de la longitud del elemento para su instante de agotamiento. Se puede apreciar la placa soporte en la parte inferior izquierda y, en el lado derecho, el centro de la luz de la viga. Se muestran los anchos de fisura estimados para cada sección. Se muestran también dos gráficos de control : el superior es el de interacción M-V , con la envolvente de carga aplicada en el instante de agotamiento marcada en color rojo, frente al azul que indica la envolvente de agotamiento. El punto en que se tocan las dos curvas marca la combinación M-V que agota al elemento objeto de estudio. El diagrama de control inferior muestra la relación carga axial-flecha prevista para la viga.

4.3.1.2. COMO REALIZAR ARCHIVOS DE ENTRADA

4.3.1.2.1. ASISTENTE DE DEFINICIÓN RÁPIDA El asistente de Response-2000 es algo más complejo que el de membrane, pero define el elemento de manera rápida y sencilla. En un primer paso hay que introducir un título y las propiedades de los materiales . La segunda página del asistente define la sección transversal de hormigón. Se puede elegir de una lista que varía desde secciones simples, como rectángulos y círculos hasta formas más complejas como columnas huecas, secciones normalizadas, o realizar el diseño personalizado de la sección del elemento. La tercera página permite la selección de la armadura longitudinal pasiva de la sección. La mitad superior define las barras totales en la losa para la sección transversal y la parte inferior define el acero no pretensado en la parte inferior de la sección transversal. La última página permite la selección de los estribos y los tendones , que se colocarán automáticamente con una separación de 50 mm.


271

Todos estos datos pueden modificarse posteriormente desde los menus “Edit General”, “Materials Definition”, “Concrete Cross Section”, “Transverse Reinforcement”, “Longitudinal Reinforcement” o “Tendons”. Además, desde el menú “Edit General ” puede modificarse la separación entre fisuras , que, por defecto, se calcula a partir de las sugerencias del código CEB-FIP (al igual que en membrane), con la ecuación: Espacio entre grietas=2·c+0.1·db/ρ Para elementos sin refuerzos, se elige una separación igual a cinco veces la altura de la sección. Desde el menú “Materials Definition ” pueden modelarse los materiales (hormigón, acero pasivo y acero activo) de manera más exhaustiva que únicamente por su resistencia, al igual que se hacía en Membrane-2000. El menú “Concrete Cross Section ” permite modificar la sección transversal del elemento, eligiendo entre algunas prediseñadas o, incluso, permitiendo diseñar una sección con una forma deseada, sin más que definir el elemento introduciendo el espesor a distintas alturas y especificacndo el tipo de hormigón de cada parte. El menú “Longitudinal Reinforcement ” es el mismo que para la aplicación Membrane-2000, que permite introducir capas individuales de refuerzos o grupos de capas lineales o circulares, especificando el número de barras, el tipo de refuerzo elegido (ver apartado 4.2.1.2.5.1), la distancia al borde y el tipo de acero para cada una de las capas. Desde del menú “Transverse Reinforcement ” se introducen los estribos a partir de su separación, tipo de refuerzo, geometría (distancia a los bordes superior e inferior), tipo de estribo (cerrado, abierto, circular, sencillo en garfio o en T) y tipo de acero. Por último, el menú “Tendons ” permite definir capas de tendones de manera similar a como se introducen los refuerzos longitudinales, sin más que definir la deformación de pretensado y la pendiente del tendón en tanto potr ciento.

4.3.1.3. CARGAS Y OPCIONES DE ANÁLISIS

4.3.1.3.1. CARGAS Las cargas consisten en carga axial , momento flector y cortante . Las cargas axiales positivas indican tracción , las negativas compresión . El momento positivo indica compresión en la parte superior de la sección. El cortante debe ser positivos . Como en el caso de Membrane, se puede definir la combinación de cargas a utilizar en el análisis “One load”, el nivel de tensión con que se empieza el análisis, así como los ratios de incremento de carga a partir del nivel inicial.

4.3.1.3.2. EFECTOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO La aplicación incluye una rutina que implementa los métodos sugeridos por el código AASHTO LRFD-94, “Bridge Design Specifications and Commentary” para tratar la retracción y fluencia del hormigón y la relajación del acero de


272

pretensado . Esta rutina no modela el aumento de la resistencia a compresión del hormigón con el tiempo.

4.3.1.3.3. DEFORMACIÓN POR EFECTO TÉRMICO Y RETRACCIÓN

Para su aplicación a estructuras como grandes vigas cajón, en las que existe un importante gradiente térmico a lo largo de la altura del eleme nto , Response permite su implementación a la hora de modelarlo, independientemente de los efectos dependientes del tiempo. Para ello, se introducen distintos valores de deformación a distintas alturas de la sección del elemento, y la aplicación interpola de manera parabólica entre dichos puntos. Además, se pueden introducir deformaciones distintas para los refuerzos, de manera similar a como se introducen los pretensados.

4.3.1.3.4. DISCONTINUIDAD EN LAS DEFORMACIONES Este menú permite modelar el efecto del comportamiento de materiales heterogéneos (constituidos por hormigones diferentes, como una capa de compresión sobre un elemento longitudinal). En general, permite modelar diferencias respecto a la hipótesis de que secciones planas permanecen planas. Estas diferencias se modelan de manera parecida a como se modela la retracción.

4.3.1.3.5. PROPIEDADES ESTRUCTURALES DEL ELEMENTO El programa permite realizar análisis estructurales, que proporcionan relaciones carga-flecha para vigas simples. Dichas vigas deben ser prismáticas, con la carga aplicada en el extremo derecho y un soporte situado en el extremo izquierdo. Se proporciona la longitud sometida a cortante, la longitud en el vano central sin cortante (para vigas con dos cargas puntuales), el tipo de carga (carga puntual, carga uniformemente distribuida) y el momento en el extremo izquierdo como porcentaje del existente en el extremo derecho. El soporte del extremo izquierdo puede estar en la parte inferior de la viga o puede elegirse también una viga colgante de su parte superior. También puede ser un empotramiento.

4.3.1.4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN

4.3.1.4.1. INFORMACIÓN GENERAL Como en el caso de Membrane, los resultados se actualizan dinámicamente al cambiar el nivel de carga, facilitando encontrar posibles errores y mostrando explicitamente el comportamiento del hormigón.

4.3.1.4.2. TIPOS DE ANÁLISIS Los tipos de análisis que se pueden realizar con Response 2000, además de los que se realizaban en Membrane (full-response, single load level y strain state), son los siguientes:

• Respuesta total de la sección (Full Sectional Response): calcula la relación momento curvatura de la sección. Es posible obtener un


273

resultado más exacto aumentando el número de puntos de interpolación, utilizando el comando “More Detail” (mayor detalle).

• Respuesta estructural (Member Response): calcula la relación carga-flecha para vigas simples.

• Carga aislada (One Load): calcula deformaciones para M, N y V dados. • 2 deformaciones (2 Strain): calcula el estado de tensiones para un par de

deformaciones longitudinales dadas. • 1 deformación (1 Strain): calcula el estado de tensiones y deformaciones

correspondiente a una deformación dada para una determinada altura de la sección.

• Interacción M-N: Calcula la envolvente para carga axial combinada con flexión.

• Interacción M-V: Calcula la envolvente para flexión combinada con cartante.

• Interacción N-V: Calcula la envolvente para carga axial combinada con cartante.

4.3.1.4.3. RESULTADOS DE LOS ANÁLISIS

4.3.1.4.3.1. LOS NUEVE GRÁFICOS GENERALES Response proporciona gráficos que representan variables a lo largo de la sección del elemento. Presenta dos gráficos de control , dependiendo del tipo de análisis efectuado: flector-deformación longitudinal y flector curvatura para un análisis a flexión simple y cortante-deformación tangencial y momento-curvatura para análisis que incluyan cortante. Así es posible deducir si el fallo se produce por flexión o por cortante. Los otros gráficos que la apliación proporciona son: Sección transversal : se dibuja en tonos más oscuros en las zonas donde el hormigón no se ha fisurado. Los refuerzos longitudinales y transversales se colorean en rojo si están plastificando por tracción y en verde si es por compresión . Deformación longitudinal (deformación-altura): se representa como una línea, de acuerdo a la hipótesis de Navier . Si se desea, se muestra también la curvatura del elemento. Deformación transversal (deformación-altura): esta deformación no tiene por que estar distribuida linealmente, ya que depende de las condiciones de tensión-defrormación en cada punto de la altura de la sección del elemento. Está condicionada por la hipótesis de que la tensión total vertical para cualquier altura de la sección debe ser cero. Diagrama de fisuración : muestra el patrón de fisuración así como la anchura de las fisuras (en mm, cm o pulgadas). Tanto el patrón de fisuración como la anchura calculadas son estimaciones, y no deben usarse de manera aislada para controlar el estado de un elemento estructural. Para elementos donde alguna zona del hormigón está sufriendo aplastamiento , dicha zona aparece coloreada en tono rojizo y para elementos donde el fallo se esté produciendo por deslizamientos en la fisura , las zonas en las que esto ocurra se colorean en tonos morados . Deformación tangencial : muestra la distribución de la deformación tangencial en la sección. Si la sección comienza a descargarse, aparece una envolvente que marca el máximo valor de la deformación.


274

Tensión tangencial : se calcula mediante un proceso que tienen en cuenta la rigidez longitudinal (tension stiffening ) del hormigón fisurado. Así, se obtiene un perfil de tensiones cortantes para cada nivel de carga, que se muestra con una línea de color verde . La tensión tangencial calculada a partir de la deformación tangencial se marca con una línea azul . Tensión principal de compresión : se muestra una línea roja que marca la máxima tensión de compresión admisible , valor que se reduce a medida que aumenta la tensión de tracción. En azul se marca la tensión aplicada en el hormigón según la altura a la que nos encontremos en la sección. Debido a que el cortante produce que las tensiones principales se inclinen, es posible tener tensión principal de compresión en toda la sección. Donde se toquen las dos líneas, se producirá aplastamiento del hormigón y la sección fallará. Cortante en la fisura : el hormigón fisurado puede necesitar cortante en la fisura para mantener la tensión principal de tracción en el hormigón. Se muestra en rojo el máximo cortante admisible y en azul el cortante aplicado . Tensión principal de tracción : en rojo se muestra el valor a partir del cual se produce la fisuración del hormigón y en azul la tensión aplicada a la sección.

4.3.1.4.3.2. LOS NUEVE GRÁFICOS DE FISURACIÓN Los nueve gráficos que se muestran son: Sección transversal. Deformación longitudinal. Tensión principal de tracción. Diagrama de fisuración. Anchura de fisuras : se muestra la anchura de las fisuras a lo largo de la altura de la sección. Ángulo medio : de las fisuras. Separación longitudinal de las fisuras : se calcula según la ecuación smθ=2xdist+0.1db/ρ. Separación transversal de las fisuras. Separación diagonal de las fisuras : se calcula a partir del ángulo y de las estimaciones de las separaciones longitudinal y transversal, según la TMCC.

4.3.1.4.3.3. LOS NUEVE GRÁFICOS DE REFUERZOS Se muestran gráficos relacionados con el estado de los refuerzos en las direcciones longitudinal y transversal. Sección transversal.


275

Deformación longitudinal. Deformación transversal. Tensión en los refuerzos longitudinales. Tensión en los refuerzos longitudinales en las fisu ras : este valor incluye los efectos del cortante en la fisura y de la tensión principal de tracción. Adherencia media longitudinal : esta adherencia es el valor que el refuerzo debe ser capaz de resistir para soportar el cortante aplicado. La aplicación no incluye limitaciones para este valor. Tensión en los refuerzos transversales : muestra las tensiones medias en los refuerzos transversales a lo largo de la altura de la sección. Tensión en los refuerzos transversales en las fisur as: tensiones locales en las fisuras gobernadas por el equilibrio considerando el cortante en las fisuras y las tensiones principales de tracción. Adherencia media transversal : como la tensión se modifica a lo largo de la altura de la sección, se puede calcular la tensión de adherencia que necesitan resistir los refuerzos transversales. La aplicación calcula dicho valor, pero no influye en el resto de los parámetros del análisis.

4.3.1.4.3.4. LOS NUEVE GRÁFICOS SIN CORTANTE Para análisis sin cortante, Response 2000 muestra una página que incluye los siguientes gráficos nuevos respecto a los anteriores: Los gráficos de control son distintos que para el resto de los análisis (axil-deformación longitudinal y flector-curvatura ). Fuerzas internas : se muestran las fuerzas de compresión y de tracción y su localización en la sección transversal respecto al baricentro. En ausencia de esfuerzo axil externo, serán del mismo valor. Para calcular la fuerza de tracción se tiene en cuanta el aporte del hormigón traccionado y su localización. Este diagrama se puede modificar para mostrar la resultante de las tensiones en el acero y en el hormigón. Grafico N+M : muestra el flector y la fuerza axial externos.

4.3.1.4.3.5. GRÁFICOS CARGA DEFORMACIÓN Response 2000 puede calcular distintas envolventes de carga-deformación: envolvente M-V según AASHTO-99 LRFD o AASHTO-94, Flector-máxima anchura de fisura, etc. Resultan especialmente interesantes las envolventes según AASHTO ya que para ellas la aplicación calcula la resistencia de la sección según dicho código y según el análisis realizado por Response y los marca sobre el gráfico (el valor según AASHTO sobre la envolvente). Si la predicción según Response está fuera de la envolvente, quiere decir que el código AASHTO es conservador respecto a las predicciones de la aplicación. Si está dentro de la envolvente, entonces la predicción de response es más conservadora.


276

4.3.1.4.3.6. GRÁFICOS DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL Una de las propiedades de Response es que es capaz de conectar distintos análisis seccionales para obtener el análisis estructural de un elemento. Para realizar dicho análisis, hay que definir la sección, la longitud, el tipo de carga y el tipo de apoyo . El programa calcula el diagrama de interacción flector-cortante y la mayor envolvente de cargas que cabe dentro de dicho diagrama. El punto donde se toquen marca la combinación de cargas que agota al elemento . El primero de los gráficos que presenta es un diagrama de fisuración que muestra el grado de fisuración en la viga en el instante de agotamiento. Conforme nos movemos por los gráficos de control, el gráfico se va actualizando para otros niveles de carga. Su muestra tambien la variación de la curvatura a lo largo de la longitud de la viga en un gráfico que sirve para ver la relación entre la fisuración y la modificación de la curvatura esperada según los tipos decarga. Otro diagrama muestra la distribución de la deformación tangencial y sirve para apreciar como la fisuración modifica la linealidad esperada para dicha representación. Por último, se muestran la flecha y la relación carga distribuida-flecha.

4.3.2.- ANÁLISIS DE VIGAS Se analizará el comportamiento de una viga a flexión y cortante según la Teoría modificada del Campo de Compresiones, mediante la siguiente secuencia de análisis:

1. A partir de la pasarela estudiada en el apartado 3, se definen tres tipos de sección, cuya única diferencia es el grado de pretensado: la primera es la obtenida para el diseño de la pasarela, la segunda con una carga de pretensado de valor doble y la tercera con el triple.

2. A cada una de las secciones se le realizan los tres tipos de análisis de Response-2000: flexión sin esfuerzo cortante, combinación flector-cortante y estudio a nivel estructural.

Se muestra la sección rectangular objeto de estudio. Se recuerda que dicha sección se utilizaba para la construcción de una pasarela peatonal de 25 m de luz sometida a una sobrecarga de uso de 5 kN/m2:


277

Figura 66 Pasarela de hormigón pretensado.

All dimensions in millimetresClear cover to reinforcement = 360 mm

Inertia (mm4) x 106

Area (mm2) x 103

yt (mm)

yb (mm)

St (mm3) x 103

Sb (mm3) x 103

735.0

93234.9

444

756

210046.6

123306.7

767.0

95926.5

456

744

210431.2

128908.6

Gross Conc. Trans (n=7.54)Geometric Properties

Crack Spacing

Loading (N,M,V + dN,dM,dV)

2 x dist + 0.1 db /ρ

0.0 , 0.0 , 0.0 + 0.0 , 1.0 , 0.0

400

1250

1200

35 - S15∆εp = 6.71 mm/m

Concrete P-Steel

Figura 67 Características geométricas de la sección a analizar.

La aplicación no permite agrupar los cordones en tendones, ni distribuirlos de manera parabólica; únicamente permite seleccionar una pendiente para los cordones en la sección objeto de estudio. Así, estos se modelan como cordones rectos con excentricidad constante , por lo que introducirán, en los extremos de la viga, un esfuerzo flector mayor que el real. Además, al ser cordones horizontales, no existirá una componente vertical que compense el esfuerzo cortante. Así, si el fallo del elemento se produce por combinación de flector y cortante, habrá que remodelar la sección para hacerla más parecida a la real en dicha zona (modificar la excentricidad y la pendiente del cordón).

Las leyes de comportamiento que definen el comportamiento de los materiales son:


278

Concrete

εc' = 2.03 mm/m

fc' = 35.0 MPa

a = 19 mmft = 1.87 MPa (auto)

P-Steel

εp = 43.0 mm/m

fpu = 1860 MPa

Low Relax

Figura 68 Leyes de comportamiento de los materiales.

El hormigón se modela según las ecuaciones constitutivas de Popovics, Thorenfeldt y Collins y el acero activo según las ecuaciones de Ramberg-Osgood, con fpu=1860 MPa, fprop =1645 MPa, a diferencia de cómo se modelizó en la hoja de cálculo con la que se realizó el cálculo de la pasarela (fpmaxk=1860 MPa, fpk=1800 MPa, fpropd=1096 MPa). Este dato habrá que tenerlo en cuenta a la hora de introducir la carga de pretensado. Otro dato a tener en cuenta es que la aplicación no tiene en cuenta el peso propio del elemento a la hora de calcular el acortamiento elástico del hormigón, mientras que la hoja de cálculo si lo tiene en cuenta, siguiendo lo especificado en el artículo 20.2.2.1.3 de la EHE. Así, la carga de pretensado variará con respecto a la calculada.

La secuencia de análisis será:

1. Se somete la sección a flexión simple. Se identifica el instante de agotamiento. 2. Se somete la sección a combinación flector-cortante y se estudia el proceso de

fisuración. 3. Se realiza un análisis a nivel estructural de la pieza.

4.3.2.1. ANÁLISIS DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRETENSAD O AL 25 % DE SU CAPACIDAD

Este valor coincide con el obtenido en el apartado 3 (P0=6405,38 kN, 35 cordones Y1860S7 de 15,2 mm de diámetro, que se cargan a una tensión media de 1272,61 MPa, para introducir, después de eliminadas las pérdidas, un pretensado de 8,5 MPa (24,3 % de fck)). Como la aplicación calcula el equilibrio interno a partir del pretensado inicial sin tener en cuenta el peso propio del elemento y utiliza las ecuaciones de Ramberg-Osgood, hay que introducir una deformación inicial distinta a la obtenida en dicho apartado.

4.3.2.1.1. RESPUESTA A NIVEL SECCIONAL

Se va a tomar como referencia la sección central del vano. En dicha sección, según la hoja de cálculo utilizada en el apartado 3, la carga de pretensado introducida, una vez eliminadas las pérdidas tras el acortamiento elástico, es Pf=6267,7 kN, lo que supone una tensión media en los cordones de 1279,13 MPa y una deformación media de 6,750 mm/m. Como la aplicación modela el acero activo de manera distinta y calcula a posteriori el acortamiento elástico del hormigón sin considerar el peso propio del elemento, habrá que modificar dicha deformación hasta un valor de 6,806 mm/m para obtener la carga deseada sobre la sección en el instante en que el momento aplicado sobre el elemento coincide con el introducido por su peso propio. El estado de la sección central del vano antes de comenzar a cargar el elemento es el siguiente:


279

Cross Section

Longitudinal Strain

-0.88 0.01

top

bot

Concrete & Steel Forces

756

mm Nc: 6118 kN 285 mm Ns: 6118 kN 285 mm

Longitudinal Concrete Stress

-22.3 0.1

top

bot

Long. Reinforcement Stress

1262.8

top

bot

Figura 69 Estado de la sección central del vano previo a la aplicación de solicitaciones externas. Elemento pretensado al 25 % de su capacidad.

Al estar la sección pretensada, el hormigón se encuentra precomprimido y el acero activo esta traccionado. Los dos elementos se autoequilibran. Se puede ver que el pretensado no provoca que se alcance el valor de rotura del hormigón por compresión en la parte inferior y apenas introduce tensiones de tracción en la parte superior de la sección.

4.3.2.1.1.1. FLEXIÓN SIMPLE

Al aplicar una carga que provoca un estado de tensión (en este caso flexión simple), el elemento comienza a responder a la solicitación externa. Cuando se alcanza el momento equivalente a la solicitación producida por el peso propio del elemento (M=1406,84 kNm), se obtiene:

Cross Section

Longitudinal Strain

-0.45

top

bot


756

mm

Nc: 6267 kN

Ns: 6268 kN 286 mm


-11.8

top

bot


1282.3

top

bot

Figura 70 Estado de la sección central del vano sometido a peso propio. Elemento pretensado al 25 % de su capacidad.

Se puede observar que el instante en que el elemento se encuentra solicitado por su peso propio, la carga de pretensado introducida por los cordones de acero es de 6268 kN, que es lo que se obtuvo en la hoja de cálculo. En este instante no existe tracción alguna en la sección del elemento.


280

A partir de los gráficos que nos proporciona la aplicación para el instante de momento máximo se puede deducir:

Control : M-ex

-8.1 2.1

5306.4

Control : M-Phi

-0.2 16.5

5306.4

Figura 71 Diagramas Flector-deformación longitudinal y Flector-curvatura.

Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión simple. Resultados para el momento máximo.

En los gráficos de control de carga , en los cuales se representa la relación Flector-deformación longitudinal del baricentro y Flector-curvatura, se puede apreciar que el máximo flector soportado es M=5306,4 kNm para una deformación longitudinal εx=1,546 mm/m y una curvatura φ=9,286 rad/km. En la figura se encuentra marcado el instante objeto de análisis, que corresponde con el instante de máximo momento soportado por la sección.

Cross Section Longitudinal Strain

-2.57 8.54

top

bot

Shrinkage & Thermal Straintop

bot

Crack Diagram

5.88

1.68

0.47

0.66


1706.9

top

bot

Long. Reinf Stress at Crack

1709.2

top

bot


-35.0 1.8

top

bot

Internal Forces

756

mm

Nc: 8298 kN 353 mm

Ns: 8298 kN 286 mm

N+MM: 5306 kNm

N: 0 kN

Figura 72 Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Resultados

a flexión simple para el momento máximo. Elemento pretensado al 25% de su capacidad.

En esta segunda figura, se incluye una representación de la sección , donde se marca, en tono más claro, la zona fisurada y, en tono más oscuro, la zona sin fisurar. Se muestran también los cordones en color rojo , lo que señala que han alcanzado la plastificación (lo que ocurre para una tensión de 1645 MPa). Se muestra, junto a este gráfico, otro que marca las deformaciones longitudinales de la sección. En esta figura se incluye también un gráfico que muestra el equilibrio de fuerzas internas entre hormigón y acero así como


281

el diagrama de esfuerzos de la sección. Otros dos gráficos muestran los diagramas de tensiones para hormigón y acero, tanto en la fisura como en la zona entre fisuras. Uno de los gráficos más importantes es el que muestra las propiedades de la fisura (diagrama de fisuración ) donde se muestra tanto el ancho de fisura como la separación entre ellas. El tono rojizo en la parte superior de la fisura indica que el hormigón está sufriendo aplastamiento debido a las tensiones de compresión.

Principal Compressive Stress

-35.0

top

bot

Principal Tensile Stress

1.87

top

bot

Shear on Crack

3.07

top

bot

Figura 73 Tensiones principales y tensión tangencial en la fisura. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión simple. Resultados para

el momento máximo.

En esta tercera colección de gráficos se muestran las tensiones principales de compresión y tracción para el hormigón así como las tensiones tangenciales en la fisura . Se puede observar que el hormigón ha alcanzado la tensión máxima admisible de compresión cerca del borde superior de la sección, por lo que se está produciendo aplastamiento en dicha zona, como puede verse en el diagrama de fisuración, ya que la parte superior de la sección aparece en tono rojizo .

Crack Widths

6.76

top

bot

Long. Crack Spacing

1200.0

top

bot

Average Angle

90.0

top

bot

Figura 74 Abertura de fisura, separación entre fisuras e inclinación media de las fisuras. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión simple.

Resultados para el momento máximo.

Por último se muestran los gráficos explicativos de la fisuración , para obtener más información que la proporcionada por el diagrama de fisuración, ya que se puede estudiar la distribución de la amplitud de fisura o de la separación entre fisuras a lo largo de la sección, así como el ángulo medio de inclinación de las fisuras . Se puede observar que la anchura de fisura disminuye en la zona donde se encuentra la armadura activa, ya que

θε mI sw ·= y se puede comprobar que la separación media entre fisuras, smθ,

disminuye a la altura de los cordones (smθ=2xdist+0.1db/ρ). Se extrae, además, que, para el momento máximo, la abertura de fisura en la fibra inferior es de 6,76 mm, y que el ángulo medio de las fisuras, como corresponde a flexión simple, es de 90º para toda la sección. En el apartado 3, se obtuvieron los esfuerzos externos y se calculó que, para una sobrecarga de 5 kN/m2, el momento flector mayorado valía 2842,68 kNm. Se puede obtener el flector real (sin mayoración) que tiene un valor de 1895,12 kNm. Así, los coeficientes de seguridad , exclusivamente bajo la acción de la flexión, serán:


282

γt=5306,4/2842,68=1,87 con flector mayorado.

γt=5306,4/1895,12=2,80 con flector sin mayorar.

La aparición de la primera fisura ocurre para un valor del momento flector M=3180,0 kNm. Así pues, según los datos de cálculo del apartado 3, si el elemento estuviera sometido únicamente a flexión, no aparecerían fisuras en toda su longitud.

4.3.2.1.1.2. FLEXIÓN Y CORTANTE COMBINADOS

En este apartado se analiza el elemento sometido a flector y cortante combinados, con una relación M:V de 1 m (simula un punto cercano al apoyo del elemento ). Para encontrar este punto en el elemento:

V=qx-qL/2=M=qx2/2-Vx=qxL/2-qx2/2 qk=(18+5x1.25)x1,5=36,39 kN/m, L=25 m

qx2/2+qx(1+L/2)-qL/2=0

x=0,96 m; M=V=419,90

A esa distancia, la excentricidad del tendón es:

e(0,96)=-(4emax(0,96^2))/L^2+(4emax0,96)/L; emax=28,58 cm e=4,22 cm

Y la pendiente:

e'(0,96)=-8emax0,96/L^2+4emax/L e’=0,04=4%

La carga de pretensado a esa distancia del soporte es de:

Pf=6224 kN

Para conseguir esa carga de pretensado cuando sobre el elemento únicamente actúan la carga de pretensado y el peso propio, la deformación de pretensado de los refuerzos es de 6,715 mm/m. Así, sometido el elemento a peso propio , se tendrá en la sección:

Cross Section

Longitudinal Strain

-0.33

top

bot


756

mm

Nc: 6224 kNNs: 6224 kN


-8.8

top

bot


1271.5

top

bot

Figura 75 Estado de la sección situada a 0,96 m del apoyo. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a pretensado y a peso propio.


283

En el instante de máxima solicitación se tiene:

Control : V-Gxy

0.3

1552.6

Control : M-Phi

0.5

1550.7

Figura 76 Diagramas de control cortante-deformación tangencial y

flector-curvatura. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión y cortante.

Se puede ver la reducción del flector de agotamiento desde 5306,4 kNm en el caso anterior hasta 1550,7 kNm (reducción de un 71 %) debido a la combinación con el esfuerzo cortante. La relación entre la carga de agotamiento y la carga mayorada aplicada al elemento es:

γT=1550,7/419,9=3,69 con esfuerzos mayorados.

El estado de deformaciones para el elemento y el equilibrio de fuerzas internas son los siguientes: Cross Section Longitudinal Strain

-0.56 0.08

top

bot


-14.7 1.9

top

bot


756

mm

Nc: 6242 kN 210 mm Ns: 6242 kN

N+MM: 1551 kNm

N: -1 kN

Figura 77 Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión y cortante.

Puede verse que el momento flector solo tracciona una pequeña parte de la sección del elemento, siendo la tensión de tracción en la fibra inferior del elemento de 1,9 MPa. El elemento acaba de comenzar a fisurarse por efecto de la flexión. La máxima deformación longitudinal en la fibra inferior pasa de ser 8,54 mm/m con el elemento sometido a flexión simple a 0,08 mm/m bajo esta combinación de cargas. Las tensiones en las armaduras y las tensiones tangenciales serán:


284


1285.1

top

bot

Shear Stress

-0.03 4.12

top

bot

Figura 78 Tensiones en las armaduras y tensiones tangenciales. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión y cortante.

Se observa que los refuerzos no plastifican (lo que ocurre para una tensión de 1645 MPa). La dirección y los valores de las tensiones principale s se pueden ver en las siguientes figuras:

Principal Stress Direction Average Angle

90.0

top

bot


-35.0

top

bot


1.87

top

bot

Figura 79 Tensiones principales. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión y cortante.

Se puede ver que el elemento se agota al alcanzar la tensión princip al de tracción en el hormigón el valor f ct (1,87 MPa), ya que no existe armadura de cortante, lo que produce la rotura frágil por cortante del elemento. Esto ocurre en el alma del elemento. En la primera figura se puede ver la disposición de las bielas de compresión y en la segunda el ángulo medio de las tensiones principales y se deduce que las fisuras en el alma del elemento aparecerán con una inclinación de 28,9 º.

4.3.2.1.2. RESPUESTA A NIVEL ESTRUCTURAL CONSIDERANDO LA COMBINACIÓN DE ESFUERZOS FLECTOR Y CORTANTE

Se analiza una viga a partir de una sección para el vano central con un pretensado que introduce una carga sobre el elemento Pf=6234 kN, como se obtuvo en el apartado 3. El estudio se realiza aplicando una carga uniforme sobre la viga, de manera que el máximo cortante corresponda con el valor mínimo del momento flector. Los resultados que se obtienen son, para el instante de agotamiento:


285

Control : M-V

-1501.4 5314.8

1374.3

Control : P- ∆∆∆∆

-57.5 424.9

68.0

Figura 80 Diagramas de control flector-cortante de agotamiento, envolvente flector-cortante y relación carga aplicada-flecha. Elemento pretensado al 25% de

su capacidad. Instante de agotamiento.

En la primera figura se representa la interacción de esfuerzos flector-cortante de agotamiento (en azul) junto con la envolvente de esfuerzos correspondiente a la carga aplicada al elemento en el instante objeto de estudio (en rojo). El punto en que ambas curvas se tocan, marca la combinación de cargas que produce el agotamiento del elemento. Se puede ver que la viga se agota bajo un flector positivo de 5314,8 kNm o un flector negativo de -1501,4 kNm. También se produce el agotamiento bajo esfuerzo cortante puro, sin tener en cuenta la inclinación de los cordones, de 1374,3 kN. Por tanto, el cortante puro de agotamiento sería mayor, ya que el pretensado introduce un cortante en la sección opuesto al cortante externo. Las líneas se tocan en la zona de rotura por flexión simple positiva. Así pues, no es necesario añadir armadura de cortante al elemento ya que el fallo se producirá por flexión en la sección central de la pieza. Para reforzar el elemento habría que añadir armadura pasiva longitudinal en la zona inferior de la viga. La carga unitaria distribuida sobre el elemento es de 68,0 kN/m. Como el peso propio produce una carga uniforme de 18 kN/m, la sobrecarga unitaria será de 50,0 kN/m, es decir, 50,0/1,25=40,0 kN/m2. Recordemos que el elemento se diseñó para una sobrecarga de 5 kN/m2 (la carga de agotamiento es un 700 % mayor), con lo que el coeficiente de seguridad será de:

γt=40,0/5=8,0.

Member Crack Diagram

6.541.610.520.71

4.191.020.350.63

0.600.110.03

Figura 81 Diagrama de fisuración de la viga (mitad de la longitud). Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Instante de agotamiento.

En el diagrama de fisuración de puede ver claramente la posición de las fisuras, su anchura y su inclinación. Se puede ver que las que provocarán el fallo de la viga son de flexión, en la sección central.


286

Cur

vatu

re (

rad/

km)

Elongation-top -14.43 mm : Elong.-bot 33.03 mmLength along Member (mm)

Curvature Distribution

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

She

ar S

trai

n (m

m/m

)

Average = 0.32Length along Member (mm)

Shear Strain Distribution

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Figura 82 Distribución de la curvatura y de la deformación por cortante a lo largo de la longitud del elemento. Elemento pretensado al 25% de su capacidad.

Instante de agotamiento.

Se puede ver la modificación de la curvatura del elemento a partir de la aparición de fisuras sobre la longitud, así como la modificación que dichas fisuras introducen sobre la distribución de la deformación tangencial. La influencia del flector es tan grande, que el punto crítico a cortante aparece aproximadamente a 10 metros del punto donde el esfuerzo cortante es máximo.

Def

lect

ion

(mm

)

Length along Member (mm)

Deflection

-60.0

-120.0

-180.0

-240.0

-300.0

-360.0-360.0

-300.0

-240.0

-180.0

-120.0

-60.00.0

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Uni

form

Loa

ding

(kN

/m)

Maximum Deflection (mm)

Load-Max Deflection

0.0

10.0

20.0

30.040.0

50.0

60.0

0.0 70.0 140.0 210.0 280.0 350.0 420.0

Figura 83 Flecha y relación carga-flecha máxima. Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Instante de agotamiento.

Se puede ver que la flecha en el centro del vano será de 404,7 mm y que nos encontramos en el instante de máxima flecha. El alargamiento horizontal que proporciona el programa es de 3,12 mm. Así, el comportamiento final del elemento parece bastante dúctil, con una capacidad de carga más que aceptable respecto a la carga de diseño. Ya se ha visto que el elemento no necesita armadura de cortante y que, para aumentar la capacidad del mismo, habría que añadir armadura longitudinal pasiva en la parte inferior de la sección. Si se estudia el elemento para una sobrecarga de 24,26 kN/m, correspondiente al peso propio más una sobrecarga de 5 kN/m 2 sin mayorar ninguna de las dos, se obtienen los siguientes resultados:

Control : M-V

-1501.4 5314.8

1374.3


-57.5 424.9

68.0

Figura 84 Relación flector-cortante de agotamiento, envolvente flector-cortante y carga flecha. Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Sobrecarga de 5

kN/m2.


287


Figura 85 Diagrama de fisuración de la viga (mitad de la longitud). Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Sobrecarga de 5 kN/m2.

Principal Stress Direction

Figura 86 Direcciones de las tensiones principales (mitad de la longitud). Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Sobrecarga de 5 kN/m2.

Cur

vatu

re (

rad/

km)

Elongation-top -2.76 mm : Elong.-bot -6.21 mmLength along Member (mm)


-0.2

-0.4

-0.6-0.6

-0.4

-0.2

-0.00 2000 4000 6000 8000 10000 12000

She

ar S

trai

n (m

m/m

)



0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Figura 87 Distribución de la curvatura y de la deformación por cortante a lo largo de la longitud del elemento. Elemento pretensado al 25% de su capacidad.

Sobrecarga de 5 kN/m2.

Def

lect

ion

(mm

)


Deflection

0.0

2.0

4.0

6.0

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Uni

form

Loa

ding

(kN

/m)


Load-Max Deflection

0.0

10.0

20.0

30.040.0

50.0

60.0

0.0 70.0 140.0 210.0 280.0 350.0 420.0

Figura 88 Flecha y relación carga-flecha máxima. Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Sobrecarga de 5 kN/m2.

Se extrae de las distintas figuras que la flecha es aún negativa (-7,9 mm en el centro del vano) y que el elemento no llega a fisurarse , por lo que la distribución de deformaciones tangenciales a lo largo de la longitud del elemento es lineal. También puede verse la carga que aún puede absorber el elemento hasta su agotamiento.

4.3.2.2. ANÁLISIS DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRETENSAD O AL 50 % DE SU CAPACIDAD

La carga de pretensado será de Pf/Ac=35/2=17,5 MPa, es decir Pf=17,5Ac=17,5x735=12862,5 kN.


288

Utilizando la misma hoja de cálculo que para calcular la pasarela, se obtienen los siguientes valores: 71 cordones de acero Y1860S7 DE 15,2 mm de diámetro cargados a una tensión media de 1294,5 MPa para introducir una carga P0=13214,65 kN y tras las pérdidas, Pf=12862,5 kN que suponen sobre la sección de hormigón 17,5 MPa. Ya la hoja de cálculo advierte que, para estos datos, algunos valores de tensiones y deformaciones del hormigón no pueden modelarse mediante el diagrama parábola rectángulo, y que la forma parabólica del tendón no es adecuada ya que, para algunas secciones de la viga, los valores de la excentricidad y de la carga de pretensado se salen de la región admisible:

Así, en lugar de estudiar las condiciones de carga especificadas, se estudia el elemento sometido a la máxima carga de pretensado admisible, que, según la hoja de cálculo, es de 17,22 MPa (49,2 % de la resistencia a compresión del hormigón). Para no estar tan cerca del agotamiento, se redondea y se estudia el elemento sometido a una carga de pretensado de 15 MPa (42,9 % de su capacidad).

4.3.2.3. ANÁLISIS DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRETENSAD O A 15 MPa

La hoja de cálculo proporciona los siguientes datos para el pretensado: 61 cordones Y1860S7 de 15,2 mm de diámetro, que se cargan a una tensión media de 1327,1 MPa , para introducir, después de eliminadas las pérdidas, un pretensado de 15 MPa (42,9 % de fck). La deformación inicial de los cordones de pretensado será de 7,217 mm/m, para obtener una carga media de 11031,1 kN, en el instante que el momento aplicado sobre el elemento coincide con el introducido por su peso propio. Así, el primer dato que se puede deducir es que, para aumentar el nivel de pretensado de 8,5 a 15 MPa (76,5 %), es necesario aumentar la sección de acero de 49 cm2 (35 cordones Y1860S7 de 15,2 mm de diámetro) a 85,4 cm2 (61 cordones Y1860S7 de 15,2 mm de diámetro), esto es, un 74,3 % más de acero.


289


Tomando de referencia la sección central, la carga de pretensado la carga de pretensado, una vez eliminadas las pérdidas tras el acortamiento elástico, sobre esta es Pf=11089,8 kN, lo que supone una tensión media en los cordones de 1298,57 MPa y una deformación media de 6,865 mm/m. Como la aplicación modela el acero activo de manera distinta y calcula a posteriori el acortamiento elástico del hormigón sin considerar el peso propio del elemento, habrá que modificar dicha deformación hasta un valor de 7,380 mm/m para obtener la carga deseada sobre la sección en el instante en que el momento aplicado sobre el elemento coincide con el introducido por su peso propio. El estado con el elemento sometido únicamente a pretensado y peso propio es el siguiente:

Cross Section

Longitudinal Strain

-1.23

top

bot


756

mm

Nc: 11089 kNNs: 11090 kN 286 mm


-28.9

top

bot


1331.4

top

bot

Figura 89 Estado de la sección central del vano sometido a pretensado y peso propio. Elemento pretensado a 15 MPa.

Se puede comprobar que, bajo este grado de pretensado, tampoco aparecen tensiones de tracción en la sección y que las tensiones de compresión, aun siendo elevadas (28,9 MPa), no llegan a producir aplastamiento del hormigón. Sin embargo, no serían admisibles según la EHE:

fcd=fck/γc=35/1,5=23,33 MPa < 28,9 MPa f1cd=0,6fcd=0,6x35/1,5= 14 MPa < 28,9 MPa


Si se estudia la respuesta del elemento sometido a flexión simple, para el instante de momento máximo se obtiene:

Control : M-ex

-3.9

7719.9

Control : M-Phi

-0.8 6.4

7719.9

Figura 90 Diagramas Flector-deformación longitudinal y Flector-curvatura. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión simple.



290

En la figura se encuentra marcado el instante objeto de análisis. En estos gráficos de control de carga , se aprecia que el máximo flector soportado es M=7719,9 kNm para una deformación longitudinal εεεεx=-0,427 mm/m y una curvatura φφφφ=4,771 rad/km . Respecto al elemento anterior (M=5306,4 kNm, εx=1,546 mm/m, φ=9,286), se puede ver que el flector ha aumentado un 46 % y que la fisuración está más controlada ya que el elemento, a la altura de su baricentro, no llega a aumentar su longitud, como puede deducirse de que εx sea negativa.


-2.54 3.18

top

bot


bot

Crack Diagram

1.57

0.24

0.09


1643.2

top

bot


1658.9

top

bot


-34.7 1.8

top

bot

Internal Forces

756

mm

Nc: 13308 kN 287 mm

Ns: 13309 kN 293 mm

N+MM: 7720 kNm

N: 0 kN

Figura 91 Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Resultados a flexión simple para el momento máximo. Elemento pretensado a

15 MPa.

De la representación de la sección , se puede ver que los cordones no han alcanzado la plastificación . Únicamente en la fisura, las dos capas inferiores de cordones plastifican, ya que alcanzan una tensión de 1658,9 y 1645,2 MPa respectivamente, siendo la tensión en el resto de las capas inferior a dicho valor. Estudiando las deformaciones longitudinales de la sección, se observa que el alargamiento máximo, para la fibra inferior de la sección, ha sido de 3,18 mm/m, aproximadamente la tercera parte que para el elemento anterior (8,54 mm/m). Del diagrama de fuerzas internas , se extrae que el hormigón ha soportado una carga axial interna de 13308 kN frente a los 8298 kN que existían en el agotamiento bajo 8,5 MPa (caso anterior). En el diagrama de fisuración se puede ver que el hormigón está sufriendo aplastamiento debido a las tensiones de compresión (tono rojizo en la parte superior de la sección). Además, se aprecia una anchura de fisura mucho menor que para el elemento anterior (1,57 mm frente a 5,88 mm). Esto da lugar a una rotura menos predecible , ya que las fisuras no serán tan visibles en el instante de agotamiento del elemento.


291


-35.0

top

bot


1.87

top

bot

Shear on Crack

3.36

top

bot

Figura 92 Tensiones principales y tensión tangencial en la fisura. Elemento pretensado a 15 MPa. Resultados para el momento máximo.

En esta tercera colección de gráficos se aprecia como el hormigón ha alcanzado la tensión máxima admisible de compresión cerca del límite superior de la sección (aplastamiento ).

Crack Widths

1.89

top

bot

Long. Crack Spacing

1096.4

top

bot

Average Angle

90.0

top

bot

Figura 93 Abertura de fisura, separación entre fisuras e inclinación media de las fisuras. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión

simple. Resultados para el momento máximo.

Por último de los gráficos explicativos de la fisuración , se extrae que la abertura de fisura en la fibra inferior es de 1,89 mm, frente a los 6,76 mm para el elemento sometido a 8,5 MPa. Para este nivel de pretensado, los coeficientes de seguridad , exclusivamente bajo la acción de la flexión, serían:

γT=7719,9/2842,68=2,72 con flector mayorado. γt=7719,9/1895,12=4,07 con flector sin mayorar.

La aparición de la primera fisura ocurre para un valor del momento flector M=5614,3 kNm, con lo que, para una sobrecarga de uso de 5 kN/m2 (máximo flector mayorado de 2842,68 kNm), si el elemento estuviera sometido únicamente a flexión, no aparecerían fisuras en toda su longitud.

4.3.2.3.1.2. FLEXIÓN Y CORTANTE COMBINADOS De nuevo, el punto en que la relación M:V es de 1 m en el elemento:

x=0,96 m; M=V=419,90; e=4,22 cm; e’=0,04=4%

Y la carga de pretensado, tras eliminar las pérdidas, es de:

Pf=11017 kN

Para conseguir esa carga de pretensado cuando sobre el elemento únicamente actúan la carga de pretensado y el peso propio, la deformación de pretensado de los refuerzos es de 7,086 mm/m . En el instante de máxima solicitación se tiene:


292

Control : V-Gxy

0.3

2154.7

Control : M-Phi

-0.1 0.7

2152.2

Figura 94 Diagramas de control cortante-deformación tangencial y flector-curvatura. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión y

cortante.

Se puede ver la reducción del flector de agotamiento desde 7719,9 kNm para el elemento sometido únicamente a flexión hasta 2154,7 kNm (reducción de un 72 %) debido a la combinación con el esfuerzo cortante. La relación entre la carga de agotamiento y la carga mayorada aplicada al elemento es:


El estado de deformaciones para el elemento y el equilibrio de fuerzas internas son los siguientes:

Cross Section

Longitudinal Strain

-0.89

top

bot


-22.5

top

bot


756

mm

Nc: 11064 kNNs: 11064 kN

N+MM: 2152 kNm

N: 0 kN

Figura 95 Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión y cortante.

Puede verse que el momento flector no llega a traccionar al elemento. La máxima deformación longitudinal en la fibra inferior pasa de ser 3,18 mm/m con el elemento sometido a flexión simple a -0,08 mm/m (la fibra inferior está comprimida) bajo esta combinación de cargas. Las tensiones en las armaduras y las tensiones tangenciales serán:


293


1321.1

top

bot

Shear Stress

5.36

top

bot

Figura 96 Tensiones en las armaduras y tensiones tangenciales. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión y cortante.



21.2

top

bot


-35.0

top

bot


1.87

top

bot

Figura 97 Tensiones principales. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión y cortante.

Se puede ver que el elemento se agota al alcanzar la tensión princip al de tracción en el hormigón el valor f ct (1,87 MPa), ya que no existe armadura de cortante, lo que produce la rotura frágil por cortante del elemento. Esto ocurre en el alma del elemento, 137 mm por debajo del baricentro. En la primera figura se puede ver la disposición de las bielas de compresión y en la segunda el ángulo medio de las tensiones principales y se deduce que las fisuras en el alma del elemento aparecerán con una inclinación de 19,3 º.


Se analiza una viga a partir de una sección para el vano central con un pretensado que introduce una carga sobre el elemento Pf=11031 kN, valor que se obtiene con la hoja de cálculo utilizada en el apartado 3. La deformación de pretensado necesaria es de 7,337 mm/m . El estudio se realiza aplicando una carga uniforme sobre la viga, de manera que el máximo cortante corresponda con el valor mínimo del momento flector. Los resultados que se obtienen son, para el instante de agotamiento:


294

Control : M-V

-685.6 7707.4

1737.6


-122.4 199.3

98.7

Figura 98 Diagramas de control flector-cortante de agotamiento, envolvente flector-cortante y relación carga aplicada-flecha. Elemento pretensado a 15 MPa.


Del diagrama de interacción de esfuerzos flector-cortante se extrae que el elemento se agota bajo flexión simple positiva de 7707,4 kNm o flector negativo de -685,6 kNm. También se produce el agotamiento bajo esfuerzo cortante puro de 1737,6 kN (el real será mayor, ya que no se ha tenido en cuenta la componente vertical del pretensado, ya que se han modelado cordones rectos). Las líneas se tocan en la zona de rotura por flexión simple positiva. Así pues, no es necesario añadir armadura de cortante al elemento ya que el fallo se producirá por flexión en la sección central del elemento. Para reforzar el elemento habría que añadir armadura pasiva longitudinal en la zona inferior de la viga. La carga unitaria distribuida sobre el elemento es de 98,65 kN/m. Como el peso propio produce una carga uniforme de 18 kN/m, la sobrecarga unitaria será de 80,65 kN/m, es decir, 80,65/1,25=64,52 kN/m2. Recordemos que el elemento se diseñó para una sobrecarga de 5 kN/m2 (la carga de agotamiento es un 1190 % mayor), con lo que el coeficiente de seguridad será de:

γt=64,52/5=12,9.


1.610.230.10

0.880.110.04

0.11

Figura 99 Diagrama de fisuración de la viga (mitad de la longitud). Elemento pretensado a 15 MPa. Instante de agotamiento.


Cur

vatu

re (

rad/

km)



-0.7-1.4-1.4-0.70.00.71.42.12.83.54.2

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

She

ar S

trai

n (m

m/m

)



0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Figura 100 Distribución de la curvatura y de la deformación por cortante a lo largo de la longitud del elemento. Elemento pretensado a 15 MPa. Instante de

agotamiento.


295

Se puede ver la modificación de la curvatura del elemento a partir de la aparición de fisuras sobre la longitud, así como la modificación que dichas fisuras introducen sobre la distribución de la deformación tangencial. En este caso, el flector no ejerce tanta influencia sobre el cortante como con el elemento pretensado a 8,5 MPa.

Def

lect

ion

(mm

)


Deflection

-30.0

-60.0

-90.0

-120.0

-150.0

-180.0-180.0

-150.0

-120.0

-90.0

-60.0

-30.0

0.00 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Uni

form

Loa

ding

(kN

/m)


Load-Max Deflection

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

-30.0-60.0-90.0-120.0 0.0 30.0 60.0 90.0 120.0 150.0 180.0

Figura 101 Flecha y relación carga-flecha máxima. Elemento pretensado a 15 MPa. Instante de agotamiento.

Se puede ver que la flecha en el centro del vano será de 189,8 mm y que nos encontramos en el instante de máxima flecha. El alargamiento horizontal que proporciona el programa es de -7,11 mm (el elemento, a la altura de su baricentro, no ha comenzado a alargarse). Así, el comportamiento final del elemento ya no es tan dúctil como en el apartado anterior. Su capacidad de carga es bastante mayor (como se ha visto en el estudio a flexión simple, el flector de agotamiento es un 46 % mayor, y la carga distribuida aumenta de 68 kN/m hasta 98,65, un 45 %). Ya se ha visto que el elemento no necesita armadura de cortante y que, para aumentar la capacidad del mismo, habría que añadir armadura longitudinal pasiva en la parte inferior de la sección. Aunque su capacidad de carga aumente casi un 50 %, el hecho de que la flecha en el instante de agotamiento sea aproximadamente de 20 cm, para un vano de 25 m, hace que nos encontremos ante una rotura impredecible, ya que es difícil advertir esa flecha sobre dicha longitud.

4.3.2.4. ANÁLISIS DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRETENSAD O A 12 MPa

Se elige un valor intermedio entre los dos analizados para completar el estudio del elemento. Para dicho valor de pretensado, la hoja de cálculo proporciona los siguientes datos: 49 cordones Y1860S7 de 15,2 mm de diámetro, que se cargan a una tensión media de 1321,5 MPa , para introducir, después de eliminadas las pérdidas, un pretensado de 12 MPa (34,3 % de fck). La deformación inicial de los cordones de pretensado será de 6,794 mm/m, para obtener una carga media de 8823,6 kN, en el instante en que el momento aplicado sobre el elemento coincide con el introducido por su peso propio. Así, para aumentar el nivel de pretensado de 8,5 a 12 MPa (41,2 %), es necesario aumentar la sección de acero de 49 cm2 (35 cordones Y1860S7 de 15,2 mm de diámetro) a 68,6 cm2 (49 cordones Y1860S7 de 15,2 mm de diámetro), esto es, un 40 % más de acero.


Tomando de referencia la sección central, la carga de pretensado sobre esta es, una vez eliminadas las pérdidas tras el acortamiento elástico, Pf=8871 kN, lo que supone una tensión media en los cordones de 1286,70 MPa y una deformación media de 6,794 mm/m. Como la aplicación modela el acero activo de manera


296

distinta y calcula a posteriori el acortamiento elástico del hormigón sin considerar el peso propio del elemento, habrá que modificar dicha deformación hasta un valor de 7,119 mm/m antes del acortamiento elástico para obtener la carga deseada sobre la sección en el instante en que el momento aplicado sobre el elemento coincide con el introducido por su peso propio. El estado con el elemento sometido únicamente a pretensado y peso propio es el siguiente:

Cross Section

Longitudinal Strain

-0.84

top

bot


756

mm

Nc: 8871 kNNs: 8872 kN 286 mm


-21.4

top

bot


1307.2

top

bot

Figura 102 Estado de la sección central del vano sometido a pretensado y peso propio. Elemento pretensado a 12 MPa.

Se puede comprobar que, bajo este grado de pretensado, tampoco aparecen tensiones de tracción en la sección y que las tensiones de compresión en la fibra inferior (21,4 MPa), no llegan a producir aplastamiento del hormigón. Sin embargo, no serían admisibles según las limitaciones de la EHE sobre capacidad resistente de las bielas:

f1cd=0,6fcd=0,6x35/1,5= 14 MPa < 21,4 MPa


Si se estudia la respuesta del elemento sometido a flexión simple, para el instante de momento máximo se obtiene:

Control : M-ex

-5.4 0.4

6784.9

Control : M-Phi

-0.5 9.3

6784.9

Figura 103 Diagramas Flector-deformación longitudinal y Flector-curvatura. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión simple.


En la figura se encuentra marcado el instante objeto de análisis. En estos gráficos de control de carga , se aprecia que el máximo flector soportado es M=6784,9 kNm para una deformación longitudinal εεεεx=0,365 mm/m y una


297

curvatura φφφφ=6,993 rad/km . Respecto al elemento pretensado al 25 % de su capacidad (M=5306,4 kNm, εx=1,546 mm/m, φ=9,286), el flector ha aumentado un 28 % y que la fisuración es mucho menor ya que el elemento, a la altura de su baricentro, aumenta su longitud un 75 % menos.


-2.74 5.65

top

bot


bot

Crack Diagram

3.31

0.69

0.25

0.16


1688.0

top

bot


1693.0

top

bot


-35.0 1.8

top

bot


756

mm

Nc: 11285 kN 313 mm

Ns: 11285 kN 289 mm

N+MM: 6785 kNm

N: 0 kN

Figura 104 Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Resultados a flexión simple para el momento máximo. Elemento pretensado a

12 MPa.

De la representación de la sección , se puede ver que únicamente las tres capas inferiores de cordones (cuatro en la zona fisurada) han alcanzado la plastificación . Estudiando las deformaciones longitudinales de la sección, se observa que el alargamiento máximo, para la fibra inferior de la sección, ha sido de 5,65 mm/m , aproximadamente dos terceras partes que para el elemento pretensado a 8,5 MPa (8,54 mm/m). Del diagrama de fuerzas internas , se extrae que el hormigón ha soportado una carga axial interna de 11285 kN frente a los 8298 kN que existían en el agotamiento bajo 8,5 MPa (caso anterior). En el diagrama de fisuración se puede ver que el hormigón está sufriendo aplastamiento debido a las tensiones de compresión (tono rojizo en la parte superior de la sección). Además, se aprecia una anchura de fisura menor que para el elemento original (3,31 mm frente a 5,88 mm). Esto da lugar a una rotura menos predecible , ya que las fisuras no serán tan visibles en el instante de agotamiento del elemento.


-35.0

top

bot


1.87

top

bot

Shear on Crack

3.22

top

bot

Figura 105 Tensiones principales y tensión tangencial en la fisura. Elemento pretensado a 12 MPa. Resultados para el momento máximo.


298

En esta tercera colección de gráficos se aprecia como el hormigón ha alcanzado la tensión máxima admisible de compresión cerca del límite superior de la sección (aplastamiento ).

Crack Widths

3.89

top

bot

Long. Crack Spacing

1200.0

top

bot

Average Angle

90.0

top

bot

Figura 106 Abertura de fisura, separación entre fisuras e inclinación media de las fisuras. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión

simple. Resultados para el momento máximo.

Por último de los gráficos explicativos de la fisuración , se extrae que la abertura de fisura en la fibra inferior es de 3,89 mm, frente a los 6,76 mm para el elemento sometido a 8,5 MPa. Para este nivel de pretensado, los coeficientes de seguridad , exclusivamente bajo la acción de la flexión, serían:

γt=6784,9/2842,68=2,39 con flector mayorado. γt=6784,9/1895,12=3,58 con flector sin mayorar.

La aparición de la primera fisura ocurre para un valor del momento flector M=4489,2 kNm, con lo que, para una sobrecarga de uso de 5 kN/m2 (máximo flector mayorado de 2842,68 kNm), si el elemento estuviera sometido únicamente a flexión, no aparecerían fisuras en toda su longitud.

4.3.2.4.1.2. FLEXIÓN Y CORTANTE COMBINADOS

De nuevo, el punto en que la relación M:V es de 1 m en el elemento:

x=0,96 m; M=V=419,90; e=4,22 cm; e’=0,04=4%

Y la carga de pretensado, tras eliminar las pérdidas, es de:

Pf=8811 kN

Para conseguir esa carga de pretensado cuando sobre el elemento únicamente actúan la carga de pretensado y el peso propio, la deformación de pretensado de los refuerzos es de 6,932 mm/m . En el instante de máxima solicitación se tiene:


299

Control : V-Gxy

0.3

1906.8

Control : M-Phi

0.6

1906.8

Figura 107 Diagramas de control cortante-deformación tangencial y flector-curvatura. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión y

cortante.

Se puede ver la reducción del flector de agotamiento desde 6784,9 kNm para el elemento sometido únicamente a flexión hasta 1906,8 kNm (reducción de un 72 %) debido a la combinación con el esfuerzo cortante. La relación entre la carga de agotamiento y la carga mayorada aplicada al elemento es:


El estado de deformaciones para el elemento y el equilibrio de fuerzas internas son los siguientes:

Cross Section

Longitudinal Strain

-0.75 0.01

top

bot


-19.2 0.4

top

bot


756

mm

Nc: 8843 kN

Ns: 8843 kN

N+MM: 1907 kNm

N: 0 kN

Figura 108 Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión y cortante.

Puede verse que el momento flector solo tracciona al elemento ligeramente en las fibras inferiores, sin llegar a fisurarlo. La máxima deformación longitudinal en la fibra inferior pasa de ser 5,65 mm/m con el elemento sometido a flexión simple a 0,01 mm/m bajo esta combinación de cargas. Las tensiones en las armaduras y las tensiones tangenciales serán:


300


1307.9

top

bot

Shear Stress

4.82

top

bot

Figura 109 Tensiones en las armaduras y tensiones tangenciales. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión y cortante.



90.0

top

bot


-35.0

top

bot


1.87

top

bot

Figura 110 Tensiones principales. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión y cortante.

Se puede ver que el elemento se agota al alcanzar la tensión princip al de tracción en el hormigón el valor f ct (1,87 MPa), ya que no existe armadura de cortante, lo que produce la rotura frágil por cortante del elemento. Esto ocurre en el alma del elemento, 137 mm por debajo del baricentro. En la primera figura se puede ver la disposición de las bielas de compresión y en la segunda el ángulo medio de las tensiones principales y se deduce que las fisuras en el alma del elemento aparecerán con una inclinación de 21,5 ⁰.


Se analiza una viga a partir de una sección para el vano central con un pretensado que introduce una carga sobre el elemento Pf=8823,6 kN, valor que se obtiene con la hoja de cálculo utilizada en el apartado 3. La deformación de pretensado necesaria es de 7,078 mm/m . El estudio se realiza aplicando una carga uniforme sobre la viga, de manera que el máximo cortante corresponda con el valor mínimo del momento flector. Los resultados que se obtienen son, para el instante de agotamiento:


301

Control : M-V

-1301.4 6779.4

1628.4


-86.7 289.7

86.8

Figura 111 Diagramas de control flector-cortante de agotamiento, envolvente flector-cortante y relación carga aplicada-flecha. Elemento pretensado a 12 MPa.


Del diagrama de interacción de esfuerzos flector-cortante se extrae que el elemento se agota bajo flexión simple positiva de 6779,4,4 kNm o flector negativo de -1301,4 kNm. También se produce el agotamiento bajo esfuerzo cortante puro de 1628,4 kN (el real será mayor, ya que no se ha tenido en cuenta la componente vertical del pretensado, ya que se han modelado cordones rectos). Las líneas se tocan en la zona de rotura por flexión simple positiva. Así pues, no es necesario añadir armadura de cortante al elemento ya que el fallo se producirá por flexión en la sección central del elemento. Para reforzar el elemento habría que añadir armadura pasiva longitudinal en la zona inferior de la viga. La carga unitaria distribuida sobre el elemento es de 86,77 kN/m. Como el peso propio produce una carga uniforme de 18 kN/m, la sobrecarga unitaria será de 68,77 kN/m, es decir, 68,77/1,25=55,0 kN/m2. Recordemos que el elemento se diseñó para una sobrecarga de 5 kN/m2 (la carga de agotamiento es un 1000 % mayor), con lo que el coeficiente de seguridad será de:

γt=55,0/5=11.


3.270.590.240.14

2.330.410.170.09

0.540.07

Figura 112 Diagrama de fisuración de la viga (mitad de la longitud). Elemento pretensado a 12 MPa. Instante de agotamiento.


Cur

vatu

re (

rad/

km)



-1.0-1.00.01.02.03.04.05.06.0

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

She

ar S

trai

n (m

m/m

)



0.000.050.100.150.200.250.30

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Figura 113 Distribución de la curvatura y de la deformación por cortante a lo largo de la longitud del elemento. Elemento pretensado a 12 MPa. Instante de

agotamiento.


302

Se puede ver la modificación de la curvatura del elemento a partir de la aparición de fisuras sobre la longitud (a 8 m aproximadamente del extremo izquierdo), así como la modificación que dichas fisuras introducen sobre la distribución de la deformación tangencial. La influencia del flector sobre el cortante vuelve a ser bastante importante, ya que, de nuevo, encontramos que el punto crítico a cortante no coincide con el punto sobre el que el esfuerzo cortante es mayor (el apoyo), sino que este punto se encuentra aproximadamente a 7 m.

Def

lect

ion

(mm

)


Deflection

-40.0-80.0

-120.0-160.0

-200.0-240.0-240.0-200.0

-160.0-120.0

-80.0-40.0

0.00 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Uni

form

Loa

ding

(kN

/m)


Load-Max Deflection

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

-50.0 0.0 50.0 100.0 150.0 200.0 250.0

Figura 114 Flecha y relación carga-flecha máxima. Elemento pretensado a 12 MPa. Instante de agotamiento.

Se puede ver que la flecha en el centro del vano será de 275,9 mm y que nos encontramos en el instante de máxima flecha. El alargamiento horizontal que proporciona el programa es de -3,15 mm (el elemento, a la altura de su baricentro, no ha comenzado a alargarse). Así, el comportamiento final del elemento sigue sin ser tan dúctil como cabría desear. Su capacidad de carga es bastante elevada (como se ha visto en el estudio a flexión simple, el flector de agotamiento es un 28 % mayor, y la carga distribuida aumenta de 68 kN/m hasta 86,77, un 28 %). Ya se ha visto que el elemento no necesita armadura de cortante y que, para aumentar la capacidad del mismo, habría que añadir armadura longitudinal pasiva en la parte inferior de la sección. Un incremento en la capacidad de carga casi un 30 %, conlleva que la flecha en el instante de agotamiento pase a ser aproximadamente de 30 cm, en lugar de los 40 cm para 8,5 MPa, para un vano de 25 m.

4.3.2.5. ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS SEGÚN E L GRADO DE PRETENSADO

A continuación, se recopilan los resultados obtenidos para los elementos estudiados en los apartados anteriores, en los cuales se ha ido modificando el grado de pretensado y se ha ido estudiando el comportamiento seccional frente a distintas solicitaciones y combinaciones de estas junto al comportamiento estructural frente a combinaciones de flector y cortante. Se pretende analizar la influencia del grado de pretensado en el comportamiento de un elemento frente a la flexión y el cortante.


303

4.3.2.5.1. RESULTADOS PARA SECCIONES SOMETIDAS ÚNICAMENTE A FLEXIÓN

GRADO DE PRETENSADO 8,5 MPa 12 MPa 15 MPa

24% 34% 43%

ELEMENTO SOMETIDO

ÚNICAMENTE A FLEXIÓN

θ (deg) 90 90 90 M max (kNm) 5306,4 6784,9 7719,9 φ max (rad/km) 9,286 6,993 4,771 εx bar (mm/m) 1,546 0,365 -0,427 εx max (mm/m) 8,54 5,65 3,18 w patron fis (mm) 5,88 3,31 1,57 w max (mm) 6,76 3,89 1,89 M fis (kNm) 3180 4489,2 5614,3

Se puede deducir que el pretensado mejora la respuesta a flexión , ya que, conforme aumenta el grado de pretensado, aumenta también el máximo flector soportado, aunque dicha respuesta se vuelve más peligrosa, al ser más difícil detectar la proximidad del fallo de la sección, ya que la anchura máxima de las fisuras se hace cada vez más pequeña. La EHE, en su apartado 5.1.1.2 (Exigencia de aptitud al servicio), limita la anchura de fisura a 0,2 mm para hormigón pretensado. Se estudió, en el apartado 4.3.2.1.2, el comportamiento del elemento para una sobrecarga de uso de 5 kN/m2, que era la sobrecarga de diseño, y se comprobó que el elemento no llegaba a fisurarse, por lo que se cumpliría dicho requerimiento y, por tanto, se cumple para el resto de los elementos, ya que aumentar el grado de pretensado conlleva disminuir la deformación longitudinal y, por tanto, la fisuración.

4.3.2.5.2. RESULTADOS PARA SECCIONES SOMETIDAS A FLEXIÓN Y CORTANTE COMBINADOS.

Al estudiar los distintos elementos, se comprobó que, bajo combinación de flector y cortante, la rotura se volvía completamente frágil, ya que se producía por cortante, sin fisuración inicial por flexión, y ninguno de los elementos estudiados dispone de refuerzos transversales. Estos elementos se modelaron incluyendo un tendón con una pendiente del 4%, que es la que presentan los tendones diseñados en la sección que trabaja bajo dichas condiciones de carga. Esta inclinación introduce una componente que disminuye el cortante que actúa sobre la sección.

4.3.2.5.2.1. PERFIL DE TENSIONES TANGENCIALES.

8,5 MPa 12 MPa 15 MPa Shear Stress

-0.03 4.12

top

bot

Shear Stress

4.82

top

bot

Shear Stress

5.36

top

bot

Figura 115 Tensiones tangenciales. Comparación según el grado de pretensado.


304

Se aprecia como el grado de pretensado produce que aumente la tensión tangencial.

4.3.2.5.2.2. ÁNGULOS DE FISURACIÓN

8,5 MPa 12 MPa 15 MPa Principal Stress Direction Principal Stress Direction Principal Stress Direction

Average Angle

90.0

top

bot

Average Angle

90.0

top

bot

Average Angle

21.2

top

bot

Figura 116 Direcciones e inclinaciones de las tensiones principales. Comparación según el grado de pretensado.

Se puede ver como el grado de pretensado modifica la distribución de las bielas de compresión para el instante de fisuración (y agotamiento). Conforme aumenta el nivel de pretensado, las direcciones principales se vuelven más horizontales, disminuyendo el ángulo con que aparecerá la primera fisura. Para el primer elemento, se puede ver que, al ser el grado de pretensado no demasiado elevado, el flector influye en la disposición de las direcciones principales, ya que en el borde inferior del elemento forman 90º con la horizontal. La influencia para el segundo elemento es mucho menor, y, para el tercero, ha desaparecido.

4.3.2.5.2.3. TABLA RESUMEN


24% 34% 43%

ELEMENTO SOMETIDO A FLEXIÓN

Y CORTANTE

θ fis (deg) 28,9 21,5 19,3 V max (kN) 1552,6 1906,8 2154,7 M max (kNm) 1550,7 1906,8 2152,2 φ max (rad/km) 0,5 0,6 0,7 εx max (mm/m) 0,08 0,01 -0,08 w max (mm) 0 0 0

Se aprecia como el aumento de pretensado disminuye la inclinación de las primeras fisuras, desde 28,9º hasta 19,3º. También se desprende que el nivel de pretensado influye en la máxima carga resistida, que aumenta conforme aumenta el grado de pretensado.


305

4.3.2.5.3. RESULTADOS A NIVEL ESTRUCTURAL.

4.3.2.5.3.1. DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN DE ESFUERZOS FLECTOR-CORTANTE

8,5 MPa 12 MPa 15 MPa

Control : M-V

-1501.4 5314.8

1374.3Control : M-V

-1301.4 6779.4

1628.4Control : M-V

-685.6 7707.4

1737.6

Figura 117 Diagramas de interacción flector-cortante. Comparación según el grado de pretensado.

Se han representado los diagramas de interacción flector-cortante, de donde se extraen las distintas combinaciones de dichos esfuerzos que provocan el agotamiento del elemento (línea azul) y se incluye también una línea roja que representa la envolvente de cargas según el tipo de carga a que se someta el elemento. Para este análisis, se han sometido a cargas uniformemente distribuidas, lo que proporciona dicha envolvente para el instante de agotamiento (instante en que se tocan las dos líneas). Se aprecia que los tres elementos se agotan por flexión en la sección central del vano, por lo que, para ninguno de los tres, es necesaria armadura de refuerzo transversal. En caso de querer aumentar la resistencia habría que introducir armadura pasiva longitudinal en la zona inferior de la sección. Además, la sección a partir de la cual se ha realizado el análisis estructural es la sección correspondiente al centro del vano. Si el fallo se produjese por cortante, habría que estudiar con que combinación flector-cortante se produce dicho fallo y buscar la sección correspondiente e adicha combinación de cargas. Una vez identificada dicha sección, habría que volver a realizar el análisis, esta vez para una viga obtenida a partir de dicha sección, la cual presentará disntita distribución de tensiones para la sección (los cordones de pretensado se encuentran a diferente altura en la sección),así como mayor resistencia a cortante, ya que dichos cordones, al presentar pendiente, introducen una componene opuesta a la solicictación de cortatne.

4.3.2.5.3.2. DIAGRAMAS DE FISURACIÓN


6.541.610.520.71

4.191.020.350.63

0.600.110.03


3.270.590.240.14

2.330.410.170.09

0.540.07


306


1.610.230.10

0.880.110.04

0.11

Figura 118 Patrones de fisuración. Comparación según el grado de pretensado.

4.3.2.5.3.3. TABLA RESUMEN


24% 34% 43%

RESPUESTA ESTRUCTURAL BAJO FLEXIÓN Y CORTANTE

V agot (kN) 0 0 0 M agot (kNm) 5314,8 6779,4 7707,4 q agot (kN/m) 68,03 86,77 98,65 φ agot (rad/km) 9,806 6,544 4,583 flecha agot (mm) 404,7 275,9 189,8 w max (mm) 6,54 3,27 1,61

El hecho de aumentar el nivel de pretensado conlleva un aumento de la resistencia del elemento, unido a una rotura más frágil, por ser menor tanto la flecha como el ancho de fisura en el instante de agotamiento del elemento.

4.4.- BIBLIOGRAFÍA (4.1) Collins, Michael P; Mitchel, Denis. Prestressed Concrete Structures. Prentice hall, 1997.

(4.2) Instrucción De Hormigón Estructural. EHE 08. Ministerio de Fomento. Madrid, 2011.

(4.3) Bentz, Evan C. Sectional Analysis of Reinforced Concrete Members. Thesis, Departament

of Civil Engineering, University of Toronto, 2000.

(4.4) Bentz, Evan C.; Collins, Michael P. User Manual, Response-2000, Membrane-2000. Departament of Civil Engineering, University of Toronto, 2001.

(4.5) Código modelo CEB-FIP para Hormigón Estructural. Colegio de Ingenieros de Caminos. Madrid, 1990.

5.- CONCLUSIONES

309

La finalidad de este proyecto fin de carrera ha sido estudiar el comportamiento del hormigón pretensado tanto a nivel seccional como estructural bajo diferentes combinaciones de carga, con la finalidad de identificar como afecta la disposición relativa de las armaduras longitudinale s y transversales así como el grado de pretensado en el estado de fisuración del hormigón . El estado de fisuración de un elemento sometido a flexión y cortante combinados es un problema presente en la mayoría de los elementos estructurales, pero que no cuenta con un método de análisis definitivo como para el caso de solicitaciones axiales. Son varias las teorías que intentan explicar el comportamiento bajo dicha combinación de cargas y se encuentran en constante evolución. Tras analizar el estado del conocimiento del Hormigón Pretensado y de las teorías y modelos existentes para estudiar los estados de carga axial, flexión, cortante y torsión de elementos de hormigón, se ha diseñado y calculado una pasarela peatonal para poner de manifiesto la utilidad de las herramientas descritas. Se ha implementado una hoja de cálculo que permite calcular la resistencia de un elemento sometido a carga axial y otra que permite calcular todos los parámetros necesarios para dicha pasarela de hormigón pretensado. Dichas hojas servirán como herramientas para futuros lectores para el cálculo y comprensión del hormigón pretensado. Posteriormente, se ha realizado el análisis , a partir de la Teoría Modificada del Campo de Compresiones , de elementos de hormigón armado y pretensado con disti ntas cuantías y disposiciones relativas de las armaduras respecto a la carga axial a que se sometían . Realmente, como las aplicaciones utilizadas no permiten modificar la orientación de las armaduras, el proceso seguido ha consistido en modificar la orientación de la solicitación aplicada, incluyendo tensiones tangenciales si eran necesarias para conseguir un efecto equivalente al de girar el elemento. Se ha realizado un estudio comparativo de los resultados obtenidos para identificar la influencia de la disposición de los armados y del nivel de pretensado. Por último, se ha realizado un estudio , también a partir de la Teoría Modificada del Campo de Compresiones, de la influencia del nivel de pretensado sobre el comport amiento seccional y estructural de la pasarela diseñada para el proyecto sometida a distintas combinaciones de carga flexión-cortante. Para realizar los estudios mediante la Teoría Modificada del Campo de Compresiones, se han utilizado las aplicaciones informáticas diseñadas por Evan Bentz (Universidad de Toronto) Membrane-2000 y Response-2000 . Dichas aplicaciones son aplicaciones muy didácticas para comprender el comportamiento del hormigón, tanto armado como pretensado, ya que no se limitan a proporcionar resultados, sino que interactúan constantemente con el usuario, proporcionando una gran cantidad de información que se debe analizar para extraer los datos necesarios para el usuario. Como conclusiones técnicas , resaltar que mediante la aplicación Membrane-2000 se han analizado cuatro elementos tipo placa con diferentes cuantías de acero como refuerzo en la dirección x e y y diferentes orientaciones de dichas armadures respecto a una carga axial de tracción (para cada elemento se ha realizado un barrido, desde carga aplicada parelela al eje x hasta carga aplicada paralela al eje y, de 15 en 15º) primero sin pretensar y, posteriormente, uno de dichos elementos, con armaduras isótropas, se ha sometido a distintos niveles de pretensado y se han vuelto a hacer los barridos modificando la orientación relativa de las armaduras respecto a la solicitación externa. Del estudio de los elementos sin pretensar se han extraido las primeras conclusiones sobre la influencia de la orientación de los armados y de la cuantía de armadura en la carga unitaria de fisuración, de plastificación y de agotamiento y en la orientación y anchura de las fisuras en el instante de su aparición, sus valores máximos o bajo carga de agotamiento:

1. Se ha constatado la importancia de la cuantía de acero en una dirección similar a la de la solicitación externa frente a las cargas unitarias y la independencia de la inclinación

310

de las primeras fisuras respecto a la orientación de las armaduras , ya que siempre aparecen aproximadamente perpendiculares a la solicitación externa.

2. Se ha visto también que la inclinación máxima de la fisura es independiente de la cuantía de acero , pero que disminuye conforme el armado más fuerte se separa de la solicitación.

3. Otra conclusión ha sido que la anchura máxima de fisura depende de la cuantía geométrica y que se dispara conforme la solicitación se va aproximando a una dirección sin refuerzo.

Del estudio de los elementos pretensados se han extraido nuevas conclusiones relativas a la influencia del nivel de pretensado y de la orientac ión de los armados sobre dichos parámetros:

1. Se ha constatado la influencia del grado de pretensado y de la orientac ión de las armaduras sobre las cargas unitarias estudiadas , siendo estas mayores conforme aumenta el nivel de pretensado, aunque a partir de que la dirección de pretensado forma un ángulo con la solicitación de 60º, su influencia se desvanece.

2. También se ha visto la influencia del nivel de pretensado sobre la inclinación de las primeras fisuras y sobre la máxima inclinación de las fisuras y como a mayor nivel de pretensado, más tienden las fisuras a alinearse con la solicitación externa.

3. Por último, se ha estudiado la influencia del pretensado y de la orientación de las armaduras sobre la anchura de las fisuras , y se ha visto como el grado de pretensado limita dicha anchura.

Mediante la aplicación Response-2000 se ha realizado un análisis seccional y estructural de la pasarela diseñada para el Proyecto sometida a distitntos niveles de pretensado y bajo distintas combinaciones de carga flector-cortante. Se han analizado tres niveles de pretensado , al 24, 34 y 43% de la capacidad del elemento (8,5, 12 y 15 MPa para un HP-35) y tres tipos de análisis , análisis seccional bajo flexión simple, análisis seccional bajo flexión y cortante combinados y análisis estructural bajo flexión y cortante, con el elemento sometido a una carga unifirmemente distribuida a lo largo de toda su longitud. De dichos análisis se han extraido diversas conclusiones:

1. La influencia del nivel de pretensado sobre el flector resistido cuando el elemento se encuentra sometido a flexión simple , aumentando este en un 45% al pasar de un pretensado de 8,5 MPa a 15 MPa, y sobre la anchura de fisura , que disminuye en un 72%.

2. La influencia del cortante sobre la resistencia del elemento cuando se aplica combinado con un momento flector, ya que el máximo flector soportado disminuye, respecto a la flexión simple, en un 70% aproximadamente, independientemente del nivel de pretensado para una relación flector:cortante de 1 m. Además, el pretensado no consigue evitar que se produzca una rotura frágil por cortante de los elementos.

Como conclusión final , se proponen varias líneas de continuación del trabajo expuesto:

1. Realizar estudios de las condiciones de agotamiento de elementos estructurales a partir del software analizado y posteriormente comprobarlos mediante ensayos en el laboratorio que determinen la exactitud de la Teoría Modificada del Campo de Compresiones.

2. Comparar los resultados de la aplicación de la Teoría Modificada del Campo de Compresiones con otras teorías como la RA-STM, FA-STM, Modelo del Campo de Tensiones Dispersas, o Teoría Unificada del Campo de Compresiones o con otros métodos de diseño como el usado en España según la EHE.

3. Ampliar el estudio incluyendo efectos diferidos, como la retracción, la fluencia o los gradientes témicos.

311

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES Comparación de resistencias a tracción (1.2). .............................................................................. 18

Comparación de comportamientos (1.2). ...................................................................................... 19

Comprobación experimental del fenómeno de ablandamiento del hormigón (1.8). ....................... 24

Envolvente para el efecto de confinamiento (1.9).......................................................................... 25

Tensiones tras la fisuración en el hormigón y en las armaduras. .................................................. 27

Efecto del fenómeno de tension stiffening sobre la resistencia (1.2). ............................................ 28

Diferentes procedimientos para considerar el tension stiffening y el tensión softening. ................. 28

Relación típica entre la tensión y la deformación de compresión para el hormigón. ...................... 30

Relación típica entre la tensión y la deformación de compresión y tracción combinadas del hormigón. .............................................................................................................................. 31

Relación típica entre la tensión y la deformación de tracción. ....................................................... 33

Diagrama tensión deformación característico para las armaduras pasivas. .................................. 34

Diagrama tensión deformación de cálculo para las armaduras pasivas. ....................................... 35

Diagrama tensión deformación característico y de cálculo para las armaduras activas. ............... 37

Fases del proceso de pretesado (1.2). .......................................................................................... 38

Pérdidas de pretensado debidas a la fricción. ............................................................................... 40

Efecto de penetración de cuñas en la fuerza de pretensado. ........................................................ 42

Acortamiento elástico del hormigón en piezas pretensadas. ......................................................... 43

Elemento sometido a carga axial, sección transversal y deformación del hormigón. ..................... 51

Cálculo de la deformación inicial de la armadura activa. ............................................................... 52

Elemento sometido a tracción simple. ........................................................................................... 53

Influencia del pretensado en la respuesta de un elemento sometido a carga axial. ...................... 54

Elemento sometido a flexión y axil. ............................................................................................... 54

Elemento sometido a flexión con tendón en el baricentro. ............................................................ 56

Elemento sometido a flexión con tendón a una distancia e del baricentro. .................................... 56

Momentos flectores a lo largo de vigas pretensadas simplemente apoyadas. .............................. 61

Esfuerzos en la sección central y en los extremos de vigas simplemente apoyadas. .................... 61

Elemento sometido a cortante (2.2). ............................................................................................. 62

Tensiones de cortante en un elemento diferencial. Círculo de Mohr (2.2). .................................... 62

Elemento sin fisuras previas de flexión. ........................................................................................ 63

Elemento con fisuras previas de flexión. ....................................................................................... 63

Isostáticas de tracción y compresión en una viga sometida a cortante (2.2). ................................ 63

Fuerzas de transferencia de cortante en una viga sin armadura de cortante. (2.8). ...................... 65

Efecto de la relación a/d. (2.8). ..................................................................................................... 66

Distribución de tensiones tangenciales en una viga con fisuras de flexión según Mörsch y el código ACI (2.2). ............................................................................................................................... 67

Modelo original de las bielas de compresión a 45º (2.2). .............................................................. 69

Modelo revisado de las bielas de compresión a 45º (2.2). ............................................................ 69

Equilibrio. Modelo de las bielas de compresión a 45º (2.2). .......................................................... 70

Comparación entre resultados experimentales y el modelo de Ritter y Mösch (2.2). ..................... 71

Equilibrio. Modelo de las bielas de compresión con ángulo de fisura variable (2.2). ..................... 72

Teoría del campo de compresiones. Círculo de Mohr (2.2). .......................................................... 73

Campo de tensiones en una viga sometida a cortante (2.2). ......................................................... 75

Teoría del campo de compresiones modificada. Equilibrio y círculo de Mohr en la sección de momento externo nulo (2.2). ................................................................................................. 75

Transmisión de cargas a través de la fisura (2.2). ......................................................................... 77

Espacio medio entre fisuras (2.2). ................................................................................................. 77

Comportamiento del hormigón a tracción: tension stiffening y limitaciones por plastificación (2.2). .............................................................................................................................................. 79

Comportamiento del hormigón a tracción (DSFM) ........................................................................ 84

Sección hueca equivalente a torsión. ............................................................................................ 86

Elemento fisurado a torsión. Equilibrio. ......................................................................................... 87

Exfoliación de las esquinas a torsión. ........................................................................................... 88

Sección efectiva de una viga a torsión. ......................................................................................... 88

Distribución de tensiones equivalentes a torsión. .......................................................................... 89

312

Equilibrio de un elemento diferencial a torsión. ............................................................................. 89

Flujo de tensión tangencial por la acción de torsor y cortante. ...................................................... 90

Modelo de la celosía de ángulo variable a torsión. ........................................................................ 91

Elemento sometido a carga axial. ................................................................................................. 95

Pasarela de hormigón pretensado. ............................................................................................... 97

Esfuerzos actuantes en la pasarela de hormigón pretensado. ...................................................... 98

Relación entre e, φ, P y Pt. ............................................................................................................ 99

Limitaciones a la relación A/P a lo largo de la longitud del elemento............................................. 99

Variación de la excentricidad y fibra neutra a lo largo de la longitud. .......................................... 100

Pantalla de resultados de la aplicación Membrane 2000............................................................. 106

Tabla con la distribución de tensiones para simular el giro del armado. ...................................... 120

Relación tensión deformación de compresión para el hormigón y el acero. ................................ 120

Equilibrio en el elemento objeto de estudio. ................................................................................ 123

Equivalencia entre la zona fisurada y la zona entre fisuras. ........................................................ 123

Pasarela de hormigón pretensado. ............................................................................................. 277

Características geométricas de la sección a analizar. ................................................................. 277

Leyes de comportamiento de los materiales. .............................................................................. 278

Estado de la sección central del vano previo a la aplicación de solicitaciones externas. Elemento pretensado al 25 % de su capacidad. .................................................................................. 279

Estado de la sección central del vano sometido a peso propio. Elemento pretensado al 25 % de su capacidad. ........................................................................................................................... 279

Diagramas Flector-deformación longitudinal y Flector-curvatura. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión simple. Resultados para el momento máximo. ................. 280

Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Resultados a flexión simple para el momento máximo. Elemento pretensado al 25% de su capacidad. ..................................... 280

Tensiones principales y tensión tangencial en la fisura. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión simple. Resultados para el momento máximo. ...................... 281

Abertura de fisura, separación entre fisuras e inclinación media de las fisuras. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión simple. Resultados para el momento máximo. .............................................................................................................................. 281

Estado de la sección situada a 0,96 m del apoyo. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a pretensado y a peso propio. .............................................................................. 282

Diagramas de control cortante-deformación tangencial y flector-curvatura. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión y cortante. ........................................................... 283

Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión y cortante. ............................................................................. 283

Tensiones en las armaduras y tensiones tangenciales. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión y cortante. ............................................................................. 284

Tensiones principales. Elemento pretensado al 25% de su capacidad sometido a flexión y cortante. .............................................................................................................................. 284

Diagramas de control flector-cortante de agotamiento, envolvente flector-cortante y relación carga aplicada-flecha. Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Instante de agotamiento. . 285

Diagrama de fisuración de la viga (mitad de la longitud). Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Instante de agotamiento. ................................................................................... 285

Distribución de la curvatura y de la deformación por cortante a lo largo de la longitud del elemento. Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Instante de agotamiento. ........................... 286

Flecha y relación carga-flecha máxima. Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Instante de agotamiento. ....................................................................................................................... 286

Relación flector-cortante de agotamiento, envolvente flector-cortante y carga flecha. Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Sobrecarga de 5 kN/m2. ............................................ 286

Diagrama de fisuración de la viga (mitad de la longitud). Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Sobrecarga de 5 kN/m2. .................................................................................... 287

Direcciones de las tensiones principales (mitad de la longitud). Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Sobrecarga de 5 kN/m2. .................................................................................... 287

Distribución de la curvatura y de la deformación por cortante a lo largo de la longitud del elemento. Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Sobrecarga de 5 kN/m2. ............................ 287

313

Flecha y relación carga-flecha máxima. Elemento pretensado al 25% de su capacidad. Sobrecarga de 5 kN/m2. ......................................................................................................................... 287

Estado de la sección central del vano sometido a pretensado y peso propio. Elemento pretensado a 15 MPa. ............................................................................................................................ 289

Diagramas Flector-deformación longitudinal y Flector-curvatura. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión simple. Resultados para el momento máximo. ....................................... 289

Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Resultados a flexión simple para el momento máximo. Elemento pretensado a 15 MPa. ........................................................... 290

Tensiones principales y tensión tangencial en la fisura. Elemento pretensado a 15 MPa. Resultados para el momento máximo. ................................................................................ 291

Abertura de fisura, separación entre fisuras e inclinación media de las fisuras. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión simple. Resultados para el momento máximo. .... 291

Diagramas de control cortante-deformación tangencial y flector-curvatura. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión y cortante. ................................................................................. 292

Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión y cortante. .............................................................................................. 292

Tensiones en las armaduras y tensiones tangenciales. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión y cortante. ................................................................................................................ 293

Tensiones principales. Elemento pretensado a 15 MPa sometido a flexión y cortante. ............... 293

Diagramas de control flector-cortante de agotamiento, envolvente flector-cortante y relación carga aplicada-flecha. Elemento pretensado a 15 MPa. Instante de agotamiento. ........................ 294

Diagrama de fisuración de la viga (mitad de la longitud). Elemento pretensado a 15 MPa. Instante de agotamiento. .................................................................................................................. 294

Distribución de la curvatura y de la deformación por cortante a lo largo de la longitud del elemento. Elemento pretensado a 15 MPa. Instante de agotamiento. ................................................. 294

Flecha y relación carga-flecha máxima. Elemento pretensado a 15 MPa. Instante de agotamiento. ............................................................................................................................................ 295

Estado de la sección central del vano sometido a pretensado y peso propio. Elemento pretensado a 12 MPa. ............................................................................................................................ 296

Diagramas Flector-deformación longitudinal y Flector-curvatura. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión simple. Resultados para el momento máximo. ....................................... 296

Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Resultados a flexión simple para el momento máximo. Elemento pretensado a 12 MPa. ........................................................... 297

Tensiones principales y tensión tangencial en la fisura. Elemento pretensado a 12 MPa. Resultados para el momento máximo. ................................................................................ 297

Abertura de fisura, separación entre fisuras e inclinación media de las fisuras. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión simple. Resultados para el momento máximo. .... 298

Diagramas de control cortante-deformación tangencial y flector-curvatura. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión y cortante. ................................................................................. 299

Estado de deformaciones y equilibrio de fuerzas internas. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión y cortante. .............................................................................................. 299

Tensiones en las armaduras y tensiones tangenciales. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión y cortante. ................................................................................................................ 300

Tensiones principales. Elemento pretensado a 12 MPa sometido a flexión y cortante. ............... 300

Diagramas de control flector-cortante de agotamiento, envolvente flector-cortante y relación carga aplicada-flecha. Elemento pretensado a 12 MPa. Instante de agotamiento. ........................ 301

Diagrama de fisuración de la viga (mitad de la longitud). Elemento pretensado a 12 MPa. Instante de agotamiento. .................................................................................................................. 301

Distribución de la curvatura y de la deformación por cortante a lo largo de la longitud del elemento. Elemento pretensado a 12 MPa. Instante de agotamiento. ................................................. 301

Flecha y relación carga-flecha máxima. Elemento pretensado a 12 MPa. Instante de agotamiento. ............................................................................................................................................ 302

Tensiones tangenciales. Comparación según el grado de pretensado. ....................................... 303

Direcciones e inclinaciones de las tensiones principales. Comparación según el grado de pretensado. ......................................................................................................................... 304

Diagramas de interacción flector-cortante. Comparación según el grado de pretensado. ........... 305

Patrones de fisuración. Comparación según el grado de pretensado.......................................... 306

análisis de la fisuración y comportamiento postfisura en...

Documents