análisis de la estabilidad de un convertidor buck
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RESEARCH ARTICLE
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas
Juliaacuten Pelaacuteez1 Andreacutes Toboacuten1 Jorge Herrera2
1Departamento de Electroacutenica y Telecomunicaciones Facultad de Ingenieriacuteas Instituto Tecnoloacutegico Metropolitano Medelliacuten Antioquiacutea Colombia
2Departamento de Ingenieriacutea Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea Universidad de Bogotaacute Jorge Tadeo Lozano Bogotaacute D C Colombia
Editora Pataquiva-Mateus A Y
Citation Pelaacuteez J Toboacuten A y Herrera J (2014) Anaacutelisis de la estabili-dad de un convertidor buck multicelular de dos celdas Revista Mu-tis 4(2)
Received October 20 2014 accepted December 5 2014 Published on line December 31 2014
Copyright copy2014 Pelaacuteez J Toboacuten A y Herrera J This is an open-access ar-ticle which permits unrestricted use distributions and reproduction in any medium provided the original author and source are credited
Competing Interests The authors have no conflict of interest
Resumen En este trabajo se presenta un convertidor multicelular con dos ceacutelulas bajo un modo de modulacioacuten (PWM) de control de voltaje por ancho de pulso El convertidor buck multicelular obtenido puede ser utilizado como un cir-cuito electroacutenico de potencia para aplicaciones de alta tensioacuten donde los dispositivos semiconductores tienen la capacidad de cambiar solo a niveles de bajo voltaje El anaacutelisis de estabilidad se ha hecho para un control pura-mente proporcional y maacutes tarde se ha extendido para un control Proporcional-Integral (PI) Los resultados de la simulacioacuten demuestran la validez del anaacutelisis
Palabras clave convertidores multicelulares convertidores DC-DC electroacutenica de potencia control de conmu-tacioacuten
MUTIS Journal of the Faculty of Sciences and Engineering Jorge Tadeo Lozano University is licensed under the Creative Commons 40 Attribution - Noncommercial - No Derivative Works
Vol 4 (2) pp 26-34 julio-diciembre 2014
Analysis of the stability of a buck converter multicellular two cells
Abstract In this paper a multicellular buck converter with two cells under a Pulse-width modulation (PWM) voltage control mode is presented The obtained multicellular buck converter can be used as a power electronic cir-cuit for high voltage applications where the semicon-ductor devices having the capability to switch only at
low voltage levels The stability analysis has been made for a purely proportional control and later has been ex-tended for a Proportional-Integral (PI) control The sim-ulation results show the validity of the analysis
Keywords multicellular converters DC-DC convert-ers power electronic switching control
IntroduccioacutenUna de las areas de investigacioacuten en la industria de componentes para electroacutenica de potencia consiste en encontrar dispositivos semiconductores capaces de conducir altas corrientes en estado ON y a la vez so-portar altos voltajes en estado OFF todo esto a altas frecuencias Tales dispositivos son costosos y su utiliza-cioacuten encarece el circuito Los convertidores multicelu-lares son circuitos de electroacutenica de potencia que han sido desarrollados para superar este inconveniente que presentan los dispositivos semiconductores haciendo posible su utilizacioacuten en aplicaciones de alto voltaje Tambieacuten se han mostrado como muy buenos candida-tos para ser miniaturizados debido a la cancelacioacuten ar-moacutenica y presentan bajos niveles de rizado comparado
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Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
con una topologiacutea elemental equivalente por lo que el estreacutes en los conmutadores es reducido debido a esto generan poca radiacioacuten electromagneacutetica
Los convertidores multicelulares estaacuten siendo inves-tigados por diferentes grupos de investigacioacuten debi-do a sus diferentes aplicaciones En Meynard y otros (2001) se exponen algunas aplicaciones industriales como son la interface entre las liacuteneas de distribu-cioacuten de energiacutea en una estacioacuten de trenes y una loco-motora eleacutectrica la regulacioacuten del voltaje medio en un control de velocidad de un motor la restauracioacuten dinaacutemica de voltaje y el filtrado de armoacutenicos En Yousefzadeh Alarcoacuten amp Maksimovic (2005) se ex-pone coacutemo es posible utilizarlos como amplificado-res de potencia en dispositivos de radio frecuencia En Abdelali El Aroudi (2008) se estudia el compor-tamiento dinaacutemico de un convertidor buck de dos celdas que utiliza un modelo discreto En Hamma Meynard amp Viarouge (1995) se plantea una alter-nativa para modelar los convertidores multicelula-res basada en el anaacutelisis de armoacutenicos del sistema Apoyado en este modelo el sistema alcanza el es-tado estacionario cuando los armoacutenicos desapare-cen y esto sucede exactamente cuando las sentildeales de control del sistema estaacuten desfasadas p
2r y sus ci-clos de trabajo son iguales Sin embargo se demues-tra que disminuyendo el desfase entre las sentildeales de control los condensadores flotantes pueden ser maacutes pequentildeos En Meynard Fadel amp Aouda (1995) un convertidor multicelular buck se modela por medio del anaacutelisis de armoacutenicos y a partir de este anaacutelisis se encuentran algunas ecuaciones de disentildeo para el valor de los elementos de almacenamiento Adicio-nalmente presentan la variacioacuten de la eficiencia con respecto al desfase entre las sentildeales de control y el valor promedio del rizado
En Wilkinson Mouton amp Meynard (2003) se propo-nen tres posibles estrategias de control la primera es un control proporcional de un modelo linealiza-do de un convertidor multicelular el segundo es un control con un integrador puro y una ganancia ajus-table y finalmente un control digital basado en un filtro discreto de Kalman con compensador Los ob-jetivos de control son regular el voltaje de los con-densadores flotantes y el voltaje de salida deseado Siguiendo esta misma liacutenea en Meynard T A Fa-del Gateau Maussion amp Bensaid (2001) se obtie-ne un modelo discreto para un convertidor buck con
control por modo de voltaje PWM en este traba-jo utilizan como compensador un filtro pasa-bajo y se hace un anaacutelisis de la estabilidad de este sistema basado sobre este modelo para el efecto de la va-riacioacuten de los paraacutemetros sobre la dinaacutemica del sis-tema En Bensaid amp Fadel (2002) un convertidor de tres celdas es modelado en tiempo discreto usando como compensador un filtro de Kalman sin embar-go los voltajes de los condensadores flotantes son estimados con ayuda de un observador de estados discreto teniendo como uacutenica variable medida la corriente de carga En Wilkinson Mouton amp Mey-nard (2004) se analiza la estabilidad de los conver-tidores multicelulares para el caso general de n cel-das desde el dominio de la frecuencia En Gateau Maussion amp Meynard (1997) se encuentra el mo-delo armoacutenico de un convertidor multicelular con el propoacutesito de aplicarle de manera general cualquier teacutecnica de modulacioacuten
En este trabajo el objetivo es el anaacutelisis dinaacutemico de un convertidor buck de dos celdas y de su estabilidad Se estableceraacuten las condiciones para que el sistema sea estable Se realiza un estudio de estabilidad seguacuten el modelo linealizado del convertidor obteniendo asiacute algunas restricciones en los valores de sus paraacutemetros para las cuales el sistema es estable
El artiacuteculo estaacute organizado de la siguiente manera La seccioacuten 2 presenta la descripcioacuten del sistema En la seccioacuten 3 se presenta el modelo promediado En la seccioacuten 4 se presenta anaacutelisis de estabilidad con la matriz jacobiana del sistema El anaacutelisis de estabilidad se presenta en la seccioacuten 5 Los ejemplos de simula-cioacuten se presentan en la seccioacuten 6 Finalmente la sec-cioacuten 7 contiene las conclusiones principales
Descripcioacuten del sistemaLos convertidores multicelulares son estructuras ba-sadas en los convertidores DC-DC baacutesicos En la fi-gura 1 se puede observar un convertidor buck de dos celdas y su similitud a un convertidor buck sim-ple con la uacutenica diferencia importante de la presen-cia de un condensador flotante entre las dos celdas de conmutacioacuten En un convertidor multicelular de p celdas una celda de conmutacioacuten es un bloque compuesto por un dispositivo de conmutacioacuten Si y un diodo Di donde i p1 2 f= en este caso es un convertidor de dos celdas por lo que p 2=
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas28
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
Figura 1 Convertidor buck de dos celdas
a Control proporcional
b Control proporcional integral
Figura 2 Lazos de control considerados
Los objetivos de control en el convertidor buck mul-ticelular son regular un voltaje en su salida a un va-lor deseado inferior al voltaje de su entrada y lograr que el voltaje en los condensadores flotantes se dis-tribuya de manera uniformemente entre estos Para este caso el voltaje del condensador flotante seriacutea la mitad del voltaje de entrada En este trabajo se pro-pone un controlador PWM el cual posee dos lazos de control uno en el cual se compensa la sentildeal del error entre la salida de voltaje del convertidor y un valor deseado y en el otro lazo de control se compensa con una ganancia el error entre el voltaje del conden-sador flotante y
pVi asiacute las ecuaciones de control se-
riacutean
s k V x k V x2o refin
1 3 1 2= - + -Q SV X
s k V x kV
x2o refin
2 3 2 2= - + -Q SV X(1)
Finalmente las sentildeales s1 y s2 son comparadas con una sentildeal rampa y su salida es una modulacioacuten de an-cho de impulso (u1 y u2) De manera graacutefica se puede observar el diagrama de bloques del controlador en la figura 2 Para este trabajo se asume que el siste-ma trabaja siempre en modo de conduccioacuten continua (CCM por sus siglas en ingleacutes)
Modelo promediado
Modelo en bucle abierto
Los convertidores multicelulares son sistemas de es-tructura variable en este caso para un convertidor buck de dos celdas son posibles cuatro configuraciones cada una puede representarse como un sistema lineal e invariable en el tiempo (LTI por sus siglas en ingleacutes) de la forma x A x Bk k= +o donde k p1 2 2f= y su vector de estados es x
T
i v vL c 0= $ Sin embargo el orden de la secuencia de conmutacioacuten del convertidor entre cada una de las posibles configuraciones es dependiente del ciclo uacutetil y es llamado modo de operacioacuten En el caso de un convertidor de dos celdas son posibles tres mo-dos de operacioacuten con un corrimiento de fase de p
2z
r= entre sus dos sentildeales de control Dependiendo del ciclo de trabajo y el desfase tres modos son diferentes
bull Modo M1 la secuencia de conmutacioacuten es C C C C C1 2 3 2 1 este modo de operacioacuten se da para ciclos de trabajos d 0 5gt
bull Modo M2 la secuencia de conmutacioacuten es C C C C C1 4 3 4 1 este modo de operacioacuten se da para ciclos de trabajos d d0 5 0 5lt lt
bull Modo M3 la secuencia de conmutacioacuten es C C C1 3 1 este modo de operacioacuten se da para ci-clos de trabajos d 0 5=
Para encontrar el modelo conmutado del convertidor se hallan las ecuaciones para las fuentes controladas del circuito equivalente (2) representado en la figura 3
Fig 3 Circuito equivalente
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i i us L 11 =
i i us L 22 =
v V v uD in c 11 =- -Q Vv v uD c 22 =-
(2)
Finalmente con ayuda del circuito equivalente se halla el modelo conmutado del convertidor descrito por el sistema de ecuaciones (3)
x Cu u
C
Lu u
L
C R
xLv
u
0
1
0
0
1
0
1
00
f
o o
in
1 2
2 1
1=-
--
-
+oQ
QV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSS
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWW
V
X
WWWWWWWWW(3)
Para encontrar el modelo promediado el vector de estados x es reemplazado por su valor promediado x y las sentildeales de control u1 y u2 son reemplaza-das por los ciclos uacutetiles d1 y d2 y reemplazando en el anterior sistema de ecuaciones obtenemos el modelo promediado representado por el sistema de ecuacio-nes (4)
x Cu u
C
Lu u
L
C R
xLv
u
0
1
0
0
1
0
1
00
f
o o
in
1 2
2 1
1=-
--
-
+oQ
QV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSS
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWW
V
X
WWWWWWWWW(4)
Anaacutelisis de estabilidad con la matriz jaco-biana del sistema
Caso de control proporcional
Es necesaria una estrategia para controlar el voltaje de salida en el convertidor multicelular y mantener balanceado el voltaje del condensador intermedio En el caso de utilizar un control proporcional en el lazo de control del voltaje de salida no se puede alcan-zar un error de estado estacionario igual a cero Sin embargo el anaacutelisis de estabilidad es muy claro ya que es relativamente faacutecil encontrar los autovalores del sistema linealizado de manera analiacutetica De esta manera se puede notar para que conjunto de paraacute-metros el sistema linealizado tiene sus autovalores al lado izquierdo del plano s si el lazo de control estaacute
dado por las ecuaciones (1) y ( )G s k0= el punto de equilibrio para el sistema del convertidor en lazo ce-rrado se da cuando las variaciones de su vector de estado son cero asiacute el punto de equilibrio del sistema estaacute dado por (5)
x Rx
xV
K Vk V V
2 1
in
in
in ref1
32
0
0x3= = = +(5)
Una vez que se tiene el sistema este se debe linea-lizar alrededor del punto de equilibrio esto se logra obteniendo la matriz jacobiana del modelo del con-vertidor (6)
( )
Jf x
C
LV k k
k V RCk k k V V
Lk V
C R
0
0
1
0 5
1
0
1
0
1o
in
in f
in ref
in
o
2 1
0
0 1 2
0
=
-+
-+-
- +
-
QQQVV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWW
(6)
Finalmente los autovalores son la solucioacuten de Jf x I 0I- =Q V y sus expresiones vienen dadas
por (7) Se puede observar que los autovalores ten-draacuten parte real negativa cuando k V
1gtin
0 - k V1gt
in0 - en 1 2I y
para 3I es necesario que k kk y 0gt gt1 2 0 Sin embar-go para simplificar en el sistema en general se tiene que k k ky 0gt2 1 0=-
LRCL L LR C k V
RC k Vk k k V V
24 1
1
in
f in
in ref
1 20
2 20 0
30
0 1 2
m
m
=- - +
Q
VV
V(7)
Caso de control PI
El control proporcional integral es utilizado para alcan-zar un error de estado estacionario igual a cero Cabe anotar en este punto que el controlador proporcional integral aumenta el orden del sistema ya que el nue-vo estado es la integral del error Ahora las ecuacio-nes de control siguiendo el orden de las ecuaciones (1) y si se considera que k k2 1=- y ( ) ( )G s k S1 1
00x
= +( ) ( )G s k S1 10
0x= +
en este caso es necesario representar ( )G s en el es-pacio de estados ecuacioacuten (8) para poder acoplarla en el sistema de ecuaciones del modelo del converti-dor multicelular Adicionalmente las sentildeales de con-trol para el controlador PI estaacuten definidas por (9) y el sistema de ecuaciones del convertidor con control PI estaacute dado por (10)
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas30
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
x t e t V xref4 0 3= = -Q Q QV V V
(y t k e tk
x t0 00
04x= +Q QV V
(8)
( )s k V xk
x kV
x2refin
1 0 30
04 1 2x= - + + -S X
s k V xk
x kV
x2refin
2 0 30
04 1 2x= - + - -Q SV X
(9)
x Cd d
C
Ld d
L
C R
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
f
1 2
0
2 1
0
=-
--
-
-
VVR
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(10)
Para encontrar el punto de equilibrio del sistema es necesario asumir que el sistema estaacute en estado esta-cionario de esta forma los puntos de equilibrio del sistema estaacuten determinados por la ecuacioacuten (11)
x RV V x V x V
V2
ref inref
in
ref1 3 4x 2= = = = (11)
Ahora se procede a linealizar el sistema con ayuda de la matriz jacobiana evaluada en el punto de equilibrio (12)
( )Jf x
C
C Rk V
Lk V
RC
Lk V0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
f
ref
in in
0
1
0
0
0
0
x
= -
- +
-
-
R
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(12)
Para el anaacutelisis de estabilidad del sistema linealizado se busca la solucioacuten de Jf x I 0m- =Q V pero como es un polinomio de alto orden que viene determinado por (13) no es posible observar de manera analiacutetica los autovalores Por este motivo no es posible definir para queacute valores de k 0 1 el sistema es estable Por lo tanto es necesario aplicar el criterio de Ruth-Hurwitz que viene dado por la ecuacioacuten (14) Con este proce-dimiento se llega a la conclusion que el sistema es es-table para k
V RCgt
in0
0 0
0
xx
-Q V kV RC
gtin
00 0
0
xx
-Q V y k 0gt1 si todos los demaacutes paraacutemetros son positivos
k V RC LRC L R k V RV k2 1 0ref f in in1 0 03
02
0 0 0I I I Ix x x+ + + + + =Q Q QV V V
RCk V2
f
ref1
1I =-
(13)
LRC L R R k V RV k1 0in in0 03
02
02
0 0 0I I I Ix x x x+ + + + + =Q VLRC
LR V k RV C k
RV k
R k VRV k1
in in
in
in
in
3
2
1
0
0 0
0
0 0 0 0 0
0
0 0
0
I
I
I
I
x
x
x x
x
+ -
+
Q
Q
V
V(14)
Analisis de estabilidad seguacuten el segundo meacutetodo de LyapunovEn la teoriacutea de estabilidad de Lyapunov un sistema f xQ V es estable si existe una funcioacuten ( )V x t defini-da positiva y es continuamente diferenciable y su derivada es definida negativa ( )V x to si una funcioacuten cumple con los anteriores puntos es llamada fun-cioacuten de Lyapunov Ahora si ( )V x t x PxT= y P es una matriz simeacutetrica y definida positiva entonces
( )V x t x Px x Px x PxT T T= + +o o o o pero si P es invaria-ble en el tiempo ( )V x t x Px x PxT T= +o o o y x A=o entonces ( ) ( )V x t x A P P xT T= +o por lo tanto
( )Q A P PAT=- + Este meacutetodo se utiliza para de-mostrar la estabilidad del convertidor multicelular
x Ax
C
C Rk V
Lk V
C R
Lk V
x
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
f
ref
in
o
in
0
1
0
0
0
x
= = -
- +
-
-
o
R
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(15)
Entonces si proponemos una matriz simeacutetrica y defi-nida positiva P
P
pppp
pppp
pppp
pppp
11
12
13
14
12
22
23
24
13
23
33
34
14
24
34
44
=
R
T
SSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWW
(16)
Y una matriz Q definida positiva
Q
1000
0100
0010
0001
=
R
T
SSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWW
(17)
Si ( )Q A P PAT=- + entonces despejamos pij
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pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
p p C p k VL
p k VC R
0 21
21
41
in ref
f12 13 0 14
0
022
1
x= =- =- =
p p0 023 24= =
pL k V C Rk V
C L C R R C R k V C R L21 2
in in
in33
0 0 0 0 0
0 020 0 0 0 0 0 0
x xx x x x
=+ -+ + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pL k V C Rk V
C C R k V C R k V L R k V L R L V21
in in
in in in in34
0 0 0 0 0
0 020 0
202 2
02
02
0
x xx
=-+ -
+ + + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pk V R L k V C Rk V
R L C R k V R Lk V C R Lk V R Lk V21 2
in in in
in in in in44
02
0 0 0 0 0 0
03 2
02 3
03 3
03 2
0 020
30 0
3 202 2
x x xx x x x
=+ -
+ + - +QQ QV V
V
(18)
Y la matriz P es definida positiva si las menores principales son todas positivas
pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
pp
pp k k V V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V C81
in ref in in
in in in in f11
12
12
22 0 1 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
ppp
ppp
ppp
k V C Rk V k k V V L11 1
in in in ref
11
12
13
12
22
23
13
23
33
0 0 0 0 020 1x x
=+ -Q V
C C L R C R Lk V2f in0 03 3 2
02
03
0x x+Q QVk V L R L R C L R Cin0 0
2 203 4 2
0 03 2 2
0x x x+ + +
C R k V L C R k Vin in02 3
0 02 2
02 3
0 02x x+ +
C R k V C R k V L3 in in02 3
03 3
02
02 3
02 2
02 2x x+ +
C R k V L L R k V C2 2in in0303 3
02
03 2 2
0 0x x+ +
L R k V L RC k V k V L R2in in in03 3 2
0 02 3
0 0 02 2 2
02x x x+ + +
R L k V C R L k V R L k Vin in in3 3
0 02
03 2
0 02 3 2
02 2
02x x x+ + +
k V L C C R k V L3in in0 02 2 2
0 0 02 2
02 2x x+ +
L R k V C R L k V Cin in03 2 2
02 2
0 02 2
02 2
0x x+ +
C R k V C R k V L3 3in in02 3
02 2
02
0 02 2
03 3x x+ +
(19)
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas32
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
C R k V C R Lk V4in in02 3
04 4
02
02
03
02 2x x+ +
C R k V Lin03 3
03 3- V
pppp
pppp
pppp
pppp
Rk k V V L k V C Rk V31 1
in ref in in
11
12
13
14
12
22
23
24
13
23
33
34
14
24
34
44
1 0 0 0 0 0 0 02x x x
=+ -Q V
C C C R Lk V C R k V4 6f in in0 03
02 3
02 2
02 4
02 2
04x x+Q QV
C R k V L C R k V L6 2in in0402 2
04
02 4
02 2
04 2x x+ +
C R k V C R k V L4 2in in02 4
0 04
02 3
03 3
03x x+ +
C R k V C R k V2in in02 4
04 4
02
02 4
03 3
02x x+ +
C R k V L C R k V L6 4in in040 0
402 4
0 04 2x x+ +
C R k V L C R k V2 in in0302 2
03 2
02 2
04 4
02x x+ +
C R k V L C R k V L2 2in in0403 3
02
0203 3
02x x+ +
k V L R k V L R2in in02 2 2
04 2
0204 2x x+ +
R L k V C R Lk V2in in4 2
02 2
04
03
02 3
0x x+ +
R L k V R L k V C2 2in in4 2
0 04 4 3
0 040x x+ +
C R C R L C R L2 202 4
04
04
04
02 4
04 2x x x+ + +
C R k V L C R k V2 in in0402 2
02
02 4
02 2
02x x+ +
L R C k V L Rk V2 2in in03 3 3
020 0
3 30x x+ +
L R k V R k V C2 2in in03 3 3
020203 3
02x x+ +
R L C R L C k V L2 in4 3
040 0
4 4 402
02 2 2
02x x x+ + +
L R k V L R R L2 in204 2
02 2 2 2
02 4 2
04x x x+ + +
R L k V R L k V Cin in4 2
02 2
02 4 2
02 2
02
02x x+ +
R k V C C R k V2in in20202 2
02
0 03 3
03 3x x+ -
C R k V R Lk V C2 2in in02
03 3
04 4 2
02
02 2
0x x- -
k V C R C R k Vin in04 4
04 4
02 4
04 4
04x+ +
(19)
L R C k V C R k V4in in02 2 2
0202 2
02 4
03 3
04x x+ +
C R k V L C R k V L2 2in in030 0
3 20
403 3
04x x+ +
Pelaacuteez et al 2014 33
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
Se puede observar que las menores principa-les son todas mayores que cero para k 0gt1 y ( )k V C Rk V 0gtin in0 0 0 0 0x x+ - y k 0gt0 por lo tanto k
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q V lo cual se da para RC gt0 0x
Simulaciones numeacutericasLas simulaciones se realizaron en PSIM reg utilizan-do un convertidor buck multicelular de dos cel-das con los siguientes valores en sus componen-tes C F3 5f n= C F1o n= L mH6 25= R 75X= V V36in = y V V27ref =
Caso de control proporcional
Para la etapa de control proporcional se simuloacute con los siguientes paraacutemetros el PWM se implementoacute a una frecuencia de 10 kHz la ganancia proporcional
k 0 38450 = las ganancias del lazo de control para el condensador flotante k k k 0 022 1 1=- = La simula-cioacuten se presenta en la figura 4 donde se puede ob-servar que el voltaje de salida se estabilizoacute en aproxi-madamente V V250 = razoacuten por la cual se propone antildeadir maacutes adelante el control integral para eliminar el error de estado estacionario
Figura 4 Simulacioacuten control proporcional
Caso de control proporcional integral
El control PI se simuloacute con los siguientes paraacutemetros la ganancia k 0 021 = la ganancia integral k 0 38450 =
el tiempo integral 8 34 10 4x= - seg cumpliendo con la restriccioacuten RC gt0 0x En la figura 5 se presenta la simulacioacuten donde efectivamente se observa coacutemo a lo largo de la simulacioacuten el error de estado estacio-nario tiende a cero
Figura 5 Simulacioacuten control proporcional integral
En la figura 6 se observan los valores de ko y 0x para los cuales el sistema linealizado es estable con los pa-raacutemetros utilizados en la simulacioacuten anterior
Figura 6 Restriccioacuten ko Vs o
ConclusionesEn este trabajo se presentoacute una manera sistemaacutetica de obtener el modelo promediado de un convertidor buck de dos celdas Igual que en el caso de un buck de una ceacutelula este modelo se puede obtener circui-talmente o bien promediando las ecuaciones en el es-pacio de estado A partir del modelo se estudioacute la es-tabilidad de sistema linealizado bajo dos estrategias de control y se encontroacute de manera analiacutetica las res-tricciones para los valores de las ganancias para las cuales el sistema linealizado permanece estable Para ello se utilizaron dos planteamientos diferentes dan-do lugar a resultados similares
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas34
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
Cabe anotar que la estabilidad estudiada en esta in-vestigacioacuten es la estabilidad del punto de equilibrio del sistema promediado El promedio elimina toda in-formacioacuten de conmutacioacuten la cual puede ser respon-sable de otros tipos de inestabilidades no predichas mediante un modelo promediado Como liacutenea futura de investigacioacuten se propone encontrar las restriccio-nes para la estabilidad del sistema conmutado utili-zando un modelo en tiempo discreto
AgradecimientosEl presente documente ha sido soportado por el pro-yecto de investigacioacuten de miacutenima cuantiacutea con coacutedigo P14105 financiado por el Instituto Tecnoloacutegico Metro-politano de la ciudad de Medelliacuten Colombia
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Pelaacuteez et al 2014 27
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
con una topologiacutea elemental equivalente por lo que el estreacutes en los conmutadores es reducido debido a esto generan poca radiacioacuten electromagneacutetica
Los convertidores multicelulares estaacuten siendo inves-tigados por diferentes grupos de investigacioacuten debi-do a sus diferentes aplicaciones En Meynard y otros (2001) se exponen algunas aplicaciones industriales como son la interface entre las liacuteneas de distribu-cioacuten de energiacutea en una estacioacuten de trenes y una loco-motora eleacutectrica la regulacioacuten del voltaje medio en un control de velocidad de un motor la restauracioacuten dinaacutemica de voltaje y el filtrado de armoacutenicos En Yousefzadeh Alarcoacuten amp Maksimovic (2005) se ex-pone coacutemo es posible utilizarlos como amplificado-res de potencia en dispositivos de radio frecuencia En Abdelali El Aroudi (2008) se estudia el compor-tamiento dinaacutemico de un convertidor buck de dos celdas que utiliza un modelo discreto En Hamma Meynard amp Viarouge (1995) se plantea una alter-nativa para modelar los convertidores multicelula-res basada en el anaacutelisis de armoacutenicos del sistema Apoyado en este modelo el sistema alcanza el es-tado estacionario cuando los armoacutenicos desapare-cen y esto sucede exactamente cuando las sentildeales de control del sistema estaacuten desfasadas p
2r y sus ci-clos de trabajo son iguales Sin embargo se demues-tra que disminuyendo el desfase entre las sentildeales de control los condensadores flotantes pueden ser maacutes pequentildeos En Meynard Fadel amp Aouda (1995) un convertidor multicelular buck se modela por medio del anaacutelisis de armoacutenicos y a partir de este anaacutelisis se encuentran algunas ecuaciones de disentildeo para el valor de los elementos de almacenamiento Adicio-nalmente presentan la variacioacuten de la eficiencia con respecto al desfase entre las sentildeales de control y el valor promedio del rizado
En Wilkinson Mouton amp Meynard (2003) se propo-nen tres posibles estrategias de control la primera es un control proporcional de un modelo linealiza-do de un convertidor multicelular el segundo es un control con un integrador puro y una ganancia ajus-table y finalmente un control digital basado en un filtro discreto de Kalman con compensador Los ob-jetivos de control son regular el voltaje de los con-densadores flotantes y el voltaje de salida deseado Siguiendo esta misma liacutenea en Meynard T A Fa-del Gateau Maussion amp Bensaid (2001) se obtie-ne un modelo discreto para un convertidor buck con
control por modo de voltaje PWM en este traba-jo utilizan como compensador un filtro pasa-bajo y se hace un anaacutelisis de la estabilidad de este sistema basado sobre este modelo para el efecto de la va-riacioacuten de los paraacutemetros sobre la dinaacutemica del sis-tema En Bensaid amp Fadel (2002) un convertidor de tres celdas es modelado en tiempo discreto usando como compensador un filtro de Kalman sin embar-go los voltajes de los condensadores flotantes son estimados con ayuda de un observador de estados discreto teniendo como uacutenica variable medida la corriente de carga En Wilkinson Mouton amp Mey-nard (2004) se analiza la estabilidad de los conver-tidores multicelulares para el caso general de n cel-das desde el dominio de la frecuencia En Gateau Maussion amp Meynard (1997) se encuentra el mo-delo armoacutenico de un convertidor multicelular con el propoacutesito de aplicarle de manera general cualquier teacutecnica de modulacioacuten
En este trabajo el objetivo es el anaacutelisis dinaacutemico de un convertidor buck de dos celdas y de su estabilidad Se estableceraacuten las condiciones para que el sistema sea estable Se realiza un estudio de estabilidad seguacuten el modelo linealizado del convertidor obteniendo asiacute algunas restricciones en los valores de sus paraacutemetros para las cuales el sistema es estable
El artiacuteculo estaacute organizado de la siguiente manera La seccioacuten 2 presenta la descripcioacuten del sistema En la seccioacuten 3 se presenta el modelo promediado En la seccioacuten 4 se presenta anaacutelisis de estabilidad con la matriz jacobiana del sistema El anaacutelisis de estabilidad se presenta en la seccioacuten 5 Los ejemplos de simula-cioacuten se presentan en la seccioacuten 6 Finalmente la sec-cioacuten 7 contiene las conclusiones principales
Descripcioacuten del sistemaLos convertidores multicelulares son estructuras ba-sadas en los convertidores DC-DC baacutesicos En la fi-gura 1 se puede observar un convertidor buck de dos celdas y su similitud a un convertidor buck sim-ple con la uacutenica diferencia importante de la presen-cia de un condensador flotante entre las dos celdas de conmutacioacuten En un convertidor multicelular de p celdas una celda de conmutacioacuten es un bloque compuesto por un dispositivo de conmutacioacuten Si y un diodo Di donde i p1 2 f= en este caso es un convertidor de dos celdas por lo que p 2=
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas28
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
Figura 1 Convertidor buck de dos celdas
a Control proporcional
b Control proporcional integral
Figura 2 Lazos de control considerados
Los objetivos de control en el convertidor buck mul-ticelular son regular un voltaje en su salida a un va-lor deseado inferior al voltaje de su entrada y lograr que el voltaje en los condensadores flotantes se dis-tribuya de manera uniformemente entre estos Para este caso el voltaje del condensador flotante seriacutea la mitad del voltaje de entrada En este trabajo se pro-pone un controlador PWM el cual posee dos lazos de control uno en el cual se compensa la sentildeal del error entre la salida de voltaje del convertidor y un valor deseado y en el otro lazo de control se compensa con una ganancia el error entre el voltaje del conden-sador flotante y
pVi asiacute las ecuaciones de control se-
riacutean
s k V x k V x2o refin
1 3 1 2= - + -Q SV X
s k V x kV
x2o refin
2 3 2 2= - + -Q SV X(1)
Finalmente las sentildeales s1 y s2 son comparadas con una sentildeal rampa y su salida es una modulacioacuten de an-cho de impulso (u1 y u2) De manera graacutefica se puede observar el diagrama de bloques del controlador en la figura 2 Para este trabajo se asume que el siste-ma trabaja siempre en modo de conduccioacuten continua (CCM por sus siglas en ingleacutes)
Modelo promediado
Modelo en bucle abierto
Los convertidores multicelulares son sistemas de es-tructura variable en este caso para un convertidor buck de dos celdas son posibles cuatro configuraciones cada una puede representarse como un sistema lineal e invariable en el tiempo (LTI por sus siglas en ingleacutes) de la forma x A x Bk k= +o donde k p1 2 2f= y su vector de estados es x
T
i v vL c 0= $ Sin embargo el orden de la secuencia de conmutacioacuten del convertidor entre cada una de las posibles configuraciones es dependiente del ciclo uacutetil y es llamado modo de operacioacuten En el caso de un convertidor de dos celdas son posibles tres mo-dos de operacioacuten con un corrimiento de fase de p
2z
r= entre sus dos sentildeales de control Dependiendo del ciclo de trabajo y el desfase tres modos son diferentes
bull Modo M1 la secuencia de conmutacioacuten es C C C C C1 2 3 2 1 este modo de operacioacuten se da para ciclos de trabajos d 0 5gt
bull Modo M2 la secuencia de conmutacioacuten es C C C C C1 4 3 4 1 este modo de operacioacuten se da para ciclos de trabajos d d0 5 0 5lt lt
bull Modo M3 la secuencia de conmutacioacuten es C C C1 3 1 este modo de operacioacuten se da para ci-clos de trabajos d 0 5=
Para encontrar el modelo conmutado del convertidor se hallan las ecuaciones para las fuentes controladas del circuito equivalente (2) representado en la figura 3
Fig 3 Circuito equivalente
Pelaacuteez et al 2014 29
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
i i us L 11 =
i i us L 22 =
v V v uD in c 11 =- -Q Vv v uD c 22 =-
(2)
Finalmente con ayuda del circuito equivalente se halla el modelo conmutado del convertidor descrito por el sistema de ecuaciones (3)
x Cu u
C
Lu u
L
C R
xLv
u
0
1
0
0
1
0
1
00
f
o o
in
1 2
2 1
1=-
--
-
+oQ
QV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSS
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWW
V
X
WWWWWWWWW(3)
Para encontrar el modelo promediado el vector de estados x es reemplazado por su valor promediado x y las sentildeales de control u1 y u2 son reemplaza-das por los ciclos uacutetiles d1 y d2 y reemplazando en el anterior sistema de ecuaciones obtenemos el modelo promediado representado por el sistema de ecuacio-nes (4)
x Cu u
C
Lu u
L
C R
xLv
u
0
1
0
0
1
0
1
00
f
o o
in
1 2
2 1
1=-
--
-
+oQ
QV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSS
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWW
V
X
WWWWWWWWW(4)
Anaacutelisis de estabilidad con la matriz jaco-biana del sistema
Caso de control proporcional
Es necesaria una estrategia para controlar el voltaje de salida en el convertidor multicelular y mantener balanceado el voltaje del condensador intermedio En el caso de utilizar un control proporcional en el lazo de control del voltaje de salida no se puede alcan-zar un error de estado estacionario igual a cero Sin embargo el anaacutelisis de estabilidad es muy claro ya que es relativamente faacutecil encontrar los autovalores del sistema linealizado de manera analiacutetica De esta manera se puede notar para que conjunto de paraacute-metros el sistema linealizado tiene sus autovalores al lado izquierdo del plano s si el lazo de control estaacute
dado por las ecuaciones (1) y ( )G s k0= el punto de equilibrio para el sistema del convertidor en lazo ce-rrado se da cuando las variaciones de su vector de estado son cero asiacute el punto de equilibrio del sistema estaacute dado por (5)
x Rx
xV
K Vk V V
2 1
in
in
in ref1
32
0
0x3= = = +(5)
Una vez que se tiene el sistema este se debe linea-lizar alrededor del punto de equilibrio esto se logra obteniendo la matriz jacobiana del modelo del con-vertidor (6)
( )
Jf x
C
LV k k
k V RCk k k V V
Lk V
C R
0
0
1
0 5
1
0
1
0
1o
in
in f
in ref
in
o
2 1
0
0 1 2
0
=
-+
-+-
- +
-
QQQVV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWW
(6)
Finalmente los autovalores son la solucioacuten de Jf x I 0I- =Q V y sus expresiones vienen dadas
por (7) Se puede observar que los autovalores ten-draacuten parte real negativa cuando k V
1gtin
0 - k V1gt
in0 - en 1 2I y
para 3I es necesario que k kk y 0gt gt1 2 0 Sin embar-go para simplificar en el sistema en general se tiene que k k ky 0gt2 1 0=-
LRCL L LR C k V
RC k Vk k k V V
24 1
1
in
f in
in ref
1 20
2 20 0
30
0 1 2
m
m
=- - +
Q
VV
V(7)
Caso de control PI
El control proporcional integral es utilizado para alcan-zar un error de estado estacionario igual a cero Cabe anotar en este punto que el controlador proporcional integral aumenta el orden del sistema ya que el nue-vo estado es la integral del error Ahora las ecuacio-nes de control siguiendo el orden de las ecuaciones (1) y si se considera que k k2 1=- y ( ) ( )G s k S1 1
00x
= +( ) ( )G s k S1 10
0x= +
en este caso es necesario representar ( )G s en el es-pacio de estados ecuacioacuten (8) para poder acoplarla en el sistema de ecuaciones del modelo del converti-dor multicelular Adicionalmente las sentildeales de con-trol para el controlador PI estaacuten definidas por (9) y el sistema de ecuaciones del convertidor con control PI estaacute dado por (10)
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas30
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
x t e t V xref4 0 3= = -Q Q QV V V
(y t k e tk
x t0 00
04x= +Q QV V
(8)
( )s k V xk
x kV
x2refin
1 0 30
04 1 2x= - + + -S X
s k V xk
x kV
x2refin
2 0 30
04 1 2x= - + - -Q SV X
(9)
x Cd d
C
Ld d
L
C R
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
f
1 2
0
2 1
0
=-
--
-
-
VVR
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(10)
Para encontrar el punto de equilibrio del sistema es necesario asumir que el sistema estaacute en estado esta-cionario de esta forma los puntos de equilibrio del sistema estaacuten determinados por la ecuacioacuten (11)
x RV V x V x V
V2
ref inref
in
ref1 3 4x 2= = = = (11)
Ahora se procede a linealizar el sistema con ayuda de la matriz jacobiana evaluada en el punto de equilibrio (12)
( )Jf x
C
C Rk V
Lk V
RC
Lk V0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
f
ref
in in
0
1
0
0
0
0
x
= -
- +
-
-
R
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(12)
Para el anaacutelisis de estabilidad del sistema linealizado se busca la solucioacuten de Jf x I 0m- =Q V pero como es un polinomio de alto orden que viene determinado por (13) no es posible observar de manera analiacutetica los autovalores Por este motivo no es posible definir para queacute valores de k 0 1 el sistema es estable Por lo tanto es necesario aplicar el criterio de Ruth-Hurwitz que viene dado por la ecuacioacuten (14) Con este proce-dimiento se llega a la conclusion que el sistema es es-table para k
V RCgt
in0
0 0
0
xx
-Q V kV RC
gtin
00 0
0
xx
-Q V y k 0gt1 si todos los demaacutes paraacutemetros son positivos
k V RC LRC L R k V RV k2 1 0ref f in in1 0 03
02
0 0 0I I I Ix x x+ + + + + =Q Q QV V V
RCk V2
f
ref1
1I =-
(13)
LRC L R R k V RV k1 0in in0 03
02
02
0 0 0I I I Ix x x x+ + + + + =Q VLRC
LR V k RV C k
RV k
R k VRV k1
in in
in
in
in
3
2
1
0
0 0
0
0 0 0 0 0
0
0 0
0
I
I
I
I
x
x
x x
x
+ -
+
Q
Q
V
V(14)
Analisis de estabilidad seguacuten el segundo meacutetodo de LyapunovEn la teoriacutea de estabilidad de Lyapunov un sistema f xQ V es estable si existe una funcioacuten ( )V x t defini-da positiva y es continuamente diferenciable y su derivada es definida negativa ( )V x to si una funcioacuten cumple con los anteriores puntos es llamada fun-cioacuten de Lyapunov Ahora si ( )V x t x PxT= y P es una matriz simeacutetrica y definida positiva entonces
( )V x t x Px x Px x PxT T T= + +o o o o pero si P es invaria-ble en el tiempo ( )V x t x Px x PxT T= +o o o y x A=o entonces ( ) ( )V x t x A P P xT T= +o por lo tanto
( )Q A P PAT=- + Este meacutetodo se utiliza para de-mostrar la estabilidad del convertidor multicelular
x Ax
C
C Rk V
Lk V
C R
Lk V
x
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
f
ref
in
o
in
0
1
0
0
0
x
= = -
- +
-
-
o
R
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(15)
Entonces si proponemos una matriz simeacutetrica y defi-nida positiva P
P
pppp
pppp
pppp
pppp
11
12
13
14
12
22
23
24
13
23
33
34
14
24
34
44
=
R
T
SSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWW
(16)
Y una matriz Q definida positiva
Q
1000
0100
0010
0001
=
R
T
SSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWW
(17)
Si ( )Q A P PAT=- + entonces despejamos pij
Pelaacuteez et al 2014 31
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
p p C p k VL
p k VC R
0 21
21
41
in ref
f12 13 0 14
0
022
1
x= =- =- =
p p0 023 24= =
pL k V C Rk V
C L C R R C R k V C R L21 2
in in
in33
0 0 0 0 0
0 020 0 0 0 0 0 0
x xx x x x
=+ -+ + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pL k V C Rk V
C C R k V C R k V L R k V L R L V21
in in
in in in in34
0 0 0 0 0
0 020 0
202 2
02
02
0
x xx
=-+ -
+ + + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pk V R L k V C Rk V
R L C R k V R Lk V C R Lk V R Lk V21 2
in in in
in in in in44
02
0 0 0 0 0 0
03 2
02 3
03 3
03 2
0 020
30 0
3 202 2
x x xx x x x
=+ -
+ + - +QQ QV V
V
(18)
Y la matriz P es definida positiva si las menores principales son todas positivas
pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
pp
pp k k V V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V C81
in ref in in
in in in in f11
12
12
22 0 1 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
ppp
ppp
ppp
k V C Rk V k k V V L11 1
in in in ref
11
12
13
12
22
23
13
23
33
0 0 0 0 020 1x x
=+ -Q V
C C L R C R Lk V2f in0 03 3 2
02
03
0x x+Q QVk V L R L R C L R Cin0 0
2 203 4 2
0 03 2 2
0x x x+ + +
C R k V L C R k Vin in02 3
0 02 2
02 3
0 02x x+ +
C R k V C R k V L3 in in02 3
03 3
02
02 3
02 2
02 2x x+ +
C R k V L L R k V C2 2in in0303 3
02
03 2 2
0 0x x+ +
L R k V L RC k V k V L R2in in in03 3 2
0 02 3
0 0 02 2 2
02x x x+ + +
R L k V C R L k V R L k Vin in in3 3
0 02
03 2
0 02 3 2
02 2
02x x x+ + +
k V L C C R k V L3in in0 02 2 2
0 0 02 2
02 2x x+ +
L R k V C R L k V Cin in03 2 2
02 2
0 02 2
02 2
0x x+ +
C R k V C R k V L3 3in in02 3
02 2
02
0 02 2
03 3x x+ +
(19)
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas32
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
C R k V C R Lk V4in in02 3
04 4
02
02
03
02 2x x+ +
C R k V Lin03 3
03 3- V
pppp
pppp
pppp
pppp
Rk k V V L k V C Rk V31 1
in ref in in
11
12
13
14
12
22
23
24
13
23
33
34
14
24
34
44
1 0 0 0 0 0 0 02x x x
=+ -Q V
C C C R Lk V C R k V4 6f in in0 03
02 3
02 2
02 4
02 2
04x x+Q QV
C R k V L C R k V L6 2in in0402 2
04
02 4
02 2
04 2x x+ +
C R k V C R k V L4 2in in02 4
0 04
02 3
03 3
03x x+ +
C R k V C R k V2in in02 4
04 4
02
02 4
03 3
02x x+ +
C R k V L C R k V L6 4in in040 0
402 4
0 04 2x x+ +
C R k V L C R k V2 in in0302 2
03 2
02 2
04 4
02x x+ +
C R k V L C R k V L2 2in in0403 3
02
0203 3
02x x+ +
k V L R k V L R2in in02 2 2
04 2
0204 2x x+ +
R L k V C R Lk V2in in4 2
02 2
04
03
02 3
0x x+ +
R L k V R L k V C2 2in in4 2
0 04 4 3
0 040x x+ +
C R C R L C R L2 202 4
04
04
04
02 4
04 2x x x+ + +
C R k V L C R k V2 in in0402 2
02
02 4
02 2
02x x+ +
L R C k V L Rk V2 2in in03 3 3
020 0
3 30x x+ +
L R k V R k V C2 2in in03 3 3
020203 3
02x x+ +
R L C R L C k V L2 in4 3
040 0
4 4 402
02 2 2
02x x x+ + +
L R k V L R R L2 in204 2
02 2 2 2
02 4 2
04x x x+ + +
R L k V R L k V Cin in4 2
02 2
02 4 2
02 2
02
02x x+ +
R k V C C R k V2in in20202 2
02
0 03 3
03 3x x+ -
C R k V R Lk V C2 2in in02
03 3
04 4 2
02
02 2
0x x- -
k V C R C R k Vin in04 4
04 4
02 4
04 4
04x+ +
(19)
L R C k V C R k V4in in02 2 2
0202 2
02 4
03 3
04x x+ +
C R k V L C R k V L2 2in in030 0
3 20
403 3
04x x+ +
Pelaacuteez et al 2014 33
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
Se puede observar que las menores principa-les son todas mayores que cero para k 0gt1 y ( )k V C Rk V 0gtin in0 0 0 0 0x x+ - y k 0gt0 por lo tanto k
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q V lo cual se da para RC gt0 0x
Simulaciones numeacutericasLas simulaciones se realizaron en PSIM reg utilizan-do un convertidor buck multicelular de dos cel-das con los siguientes valores en sus componen-tes C F3 5f n= C F1o n= L mH6 25= R 75X= V V36in = y V V27ref =
Caso de control proporcional
Para la etapa de control proporcional se simuloacute con los siguientes paraacutemetros el PWM se implementoacute a una frecuencia de 10 kHz la ganancia proporcional
k 0 38450 = las ganancias del lazo de control para el condensador flotante k k k 0 022 1 1=- = La simula-cioacuten se presenta en la figura 4 donde se puede ob-servar que el voltaje de salida se estabilizoacute en aproxi-madamente V V250 = razoacuten por la cual se propone antildeadir maacutes adelante el control integral para eliminar el error de estado estacionario
Figura 4 Simulacioacuten control proporcional
Caso de control proporcional integral
El control PI se simuloacute con los siguientes paraacutemetros la ganancia k 0 021 = la ganancia integral k 0 38450 =
el tiempo integral 8 34 10 4x= - seg cumpliendo con la restriccioacuten RC gt0 0x En la figura 5 se presenta la simulacioacuten donde efectivamente se observa coacutemo a lo largo de la simulacioacuten el error de estado estacio-nario tiende a cero
Figura 5 Simulacioacuten control proporcional integral
En la figura 6 se observan los valores de ko y 0x para los cuales el sistema linealizado es estable con los pa-raacutemetros utilizados en la simulacioacuten anterior
Figura 6 Restriccioacuten ko Vs o
ConclusionesEn este trabajo se presentoacute una manera sistemaacutetica de obtener el modelo promediado de un convertidor buck de dos celdas Igual que en el caso de un buck de una ceacutelula este modelo se puede obtener circui-talmente o bien promediando las ecuaciones en el es-pacio de estado A partir del modelo se estudioacute la es-tabilidad de sistema linealizado bajo dos estrategias de control y se encontroacute de manera analiacutetica las res-tricciones para los valores de las ganancias para las cuales el sistema linealizado permanece estable Para ello se utilizaron dos planteamientos diferentes dan-do lugar a resultados similares
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas34
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
Cabe anotar que la estabilidad estudiada en esta in-vestigacioacuten es la estabilidad del punto de equilibrio del sistema promediado El promedio elimina toda in-formacioacuten de conmutacioacuten la cual puede ser respon-sable de otros tipos de inestabilidades no predichas mediante un modelo promediado Como liacutenea futura de investigacioacuten se propone encontrar las restriccio-nes para la estabilidad del sistema conmutado utili-zando un modelo en tiempo discreto
AgradecimientosEl presente documente ha sido soportado por el pro-yecto de investigacioacuten de miacutenima cuantiacutea con coacutedigo P14105 financiado por el Instituto Tecnoloacutegico Metro-politano de la ciudad de Medelliacuten Colombia
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Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas28
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
Figura 1 Convertidor buck de dos celdas
a Control proporcional
b Control proporcional integral
Figura 2 Lazos de control considerados
Los objetivos de control en el convertidor buck mul-ticelular son regular un voltaje en su salida a un va-lor deseado inferior al voltaje de su entrada y lograr que el voltaje en los condensadores flotantes se dis-tribuya de manera uniformemente entre estos Para este caso el voltaje del condensador flotante seriacutea la mitad del voltaje de entrada En este trabajo se pro-pone un controlador PWM el cual posee dos lazos de control uno en el cual se compensa la sentildeal del error entre la salida de voltaje del convertidor y un valor deseado y en el otro lazo de control se compensa con una ganancia el error entre el voltaje del conden-sador flotante y
pVi asiacute las ecuaciones de control se-
riacutean
s k V x k V x2o refin
1 3 1 2= - + -Q SV X
s k V x kV
x2o refin
2 3 2 2= - + -Q SV X(1)
Finalmente las sentildeales s1 y s2 son comparadas con una sentildeal rampa y su salida es una modulacioacuten de an-cho de impulso (u1 y u2) De manera graacutefica se puede observar el diagrama de bloques del controlador en la figura 2 Para este trabajo se asume que el siste-ma trabaja siempre en modo de conduccioacuten continua (CCM por sus siglas en ingleacutes)
Modelo promediado
Modelo en bucle abierto
Los convertidores multicelulares son sistemas de es-tructura variable en este caso para un convertidor buck de dos celdas son posibles cuatro configuraciones cada una puede representarse como un sistema lineal e invariable en el tiempo (LTI por sus siglas en ingleacutes) de la forma x A x Bk k= +o donde k p1 2 2f= y su vector de estados es x
T
i v vL c 0= $ Sin embargo el orden de la secuencia de conmutacioacuten del convertidor entre cada una de las posibles configuraciones es dependiente del ciclo uacutetil y es llamado modo de operacioacuten En el caso de un convertidor de dos celdas son posibles tres mo-dos de operacioacuten con un corrimiento de fase de p
2z
r= entre sus dos sentildeales de control Dependiendo del ciclo de trabajo y el desfase tres modos son diferentes
bull Modo M1 la secuencia de conmutacioacuten es C C C C C1 2 3 2 1 este modo de operacioacuten se da para ciclos de trabajos d 0 5gt
bull Modo M2 la secuencia de conmutacioacuten es C C C C C1 4 3 4 1 este modo de operacioacuten se da para ciclos de trabajos d d0 5 0 5lt lt
bull Modo M3 la secuencia de conmutacioacuten es C C C1 3 1 este modo de operacioacuten se da para ci-clos de trabajos d 0 5=
Para encontrar el modelo conmutado del convertidor se hallan las ecuaciones para las fuentes controladas del circuito equivalente (2) representado en la figura 3
Fig 3 Circuito equivalente
Pelaacuteez et al 2014 29
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
i i us L 11 =
i i us L 22 =
v V v uD in c 11 =- -Q Vv v uD c 22 =-
(2)
Finalmente con ayuda del circuito equivalente se halla el modelo conmutado del convertidor descrito por el sistema de ecuaciones (3)
x Cu u
C
Lu u
L
C R
xLv
u
0
1
0
0
1
0
1
00
f
o o
in
1 2
2 1
1=-
--
-
+oQ
QV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSS
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWW
V
X
WWWWWWWWW(3)
Para encontrar el modelo promediado el vector de estados x es reemplazado por su valor promediado x y las sentildeales de control u1 y u2 son reemplaza-das por los ciclos uacutetiles d1 y d2 y reemplazando en el anterior sistema de ecuaciones obtenemos el modelo promediado representado por el sistema de ecuacio-nes (4)
x Cu u
C
Lu u
L
C R
xLv
u
0
1
0
0
1
0
1
00
f
o o
in
1 2
2 1
1=-
--
-
+oQ
QV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSS
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWW
V
X
WWWWWWWWW(4)
Anaacutelisis de estabilidad con la matriz jaco-biana del sistema
Caso de control proporcional
Es necesaria una estrategia para controlar el voltaje de salida en el convertidor multicelular y mantener balanceado el voltaje del condensador intermedio En el caso de utilizar un control proporcional en el lazo de control del voltaje de salida no se puede alcan-zar un error de estado estacionario igual a cero Sin embargo el anaacutelisis de estabilidad es muy claro ya que es relativamente faacutecil encontrar los autovalores del sistema linealizado de manera analiacutetica De esta manera se puede notar para que conjunto de paraacute-metros el sistema linealizado tiene sus autovalores al lado izquierdo del plano s si el lazo de control estaacute
dado por las ecuaciones (1) y ( )G s k0= el punto de equilibrio para el sistema del convertidor en lazo ce-rrado se da cuando las variaciones de su vector de estado son cero asiacute el punto de equilibrio del sistema estaacute dado por (5)
x Rx
xV
K Vk V V
2 1
in
in
in ref1
32
0
0x3= = = +(5)
Una vez que se tiene el sistema este se debe linea-lizar alrededor del punto de equilibrio esto se logra obteniendo la matriz jacobiana del modelo del con-vertidor (6)
( )
Jf x
C
LV k k
k V RCk k k V V
Lk V
C R
0
0
1
0 5
1
0
1
0
1o
in
in f
in ref
in
o
2 1
0
0 1 2
0
=
-+
-+-
- +
-
QQQVV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWW
(6)
Finalmente los autovalores son la solucioacuten de Jf x I 0I- =Q V y sus expresiones vienen dadas
por (7) Se puede observar que los autovalores ten-draacuten parte real negativa cuando k V
1gtin
0 - k V1gt
in0 - en 1 2I y
para 3I es necesario que k kk y 0gt gt1 2 0 Sin embar-go para simplificar en el sistema en general se tiene que k k ky 0gt2 1 0=-
LRCL L LR C k V
RC k Vk k k V V
24 1
1
in
f in
in ref
1 20
2 20 0
30
0 1 2
m
m
=- - +
Q
VV
V(7)
Caso de control PI
El control proporcional integral es utilizado para alcan-zar un error de estado estacionario igual a cero Cabe anotar en este punto que el controlador proporcional integral aumenta el orden del sistema ya que el nue-vo estado es la integral del error Ahora las ecuacio-nes de control siguiendo el orden de las ecuaciones (1) y si se considera que k k2 1=- y ( ) ( )G s k S1 1
00x
= +( ) ( )G s k S1 10
0x= +
en este caso es necesario representar ( )G s en el es-pacio de estados ecuacioacuten (8) para poder acoplarla en el sistema de ecuaciones del modelo del converti-dor multicelular Adicionalmente las sentildeales de con-trol para el controlador PI estaacuten definidas por (9) y el sistema de ecuaciones del convertidor con control PI estaacute dado por (10)
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas30
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
x t e t V xref4 0 3= = -Q Q QV V V
(y t k e tk
x t0 00
04x= +Q QV V
(8)
( )s k V xk
x kV
x2refin
1 0 30
04 1 2x= - + + -S X
s k V xk
x kV
x2refin
2 0 30
04 1 2x= - + - -Q SV X
(9)
x Cd d
C
Ld d
L
C R
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
f
1 2
0
2 1
0
=-
--
-
-
VVR
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(10)
Para encontrar el punto de equilibrio del sistema es necesario asumir que el sistema estaacute en estado esta-cionario de esta forma los puntos de equilibrio del sistema estaacuten determinados por la ecuacioacuten (11)
x RV V x V x V
V2
ref inref
in
ref1 3 4x 2= = = = (11)
Ahora se procede a linealizar el sistema con ayuda de la matriz jacobiana evaluada en el punto de equilibrio (12)
( )Jf x
C
C Rk V
Lk V
RC
Lk V0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
f
ref
in in
0
1
0
0
0
0
x
= -
- +
-
-
R
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(12)
Para el anaacutelisis de estabilidad del sistema linealizado se busca la solucioacuten de Jf x I 0m- =Q V pero como es un polinomio de alto orden que viene determinado por (13) no es posible observar de manera analiacutetica los autovalores Por este motivo no es posible definir para queacute valores de k 0 1 el sistema es estable Por lo tanto es necesario aplicar el criterio de Ruth-Hurwitz que viene dado por la ecuacioacuten (14) Con este proce-dimiento se llega a la conclusion que el sistema es es-table para k
V RCgt
in0
0 0
0
xx
-Q V kV RC
gtin
00 0
0
xx
-Q V y k 0gt1 si todos los demaacutes paraacutemetros son positivos
k V RC LRC L R k V RV k2 1 0ref f in in1 0 03
02
0 0 0I I I Ix x x+ + + + + =Q Q QV V V
RCk V2
f
ref1
1I =-
(13)
LRC L R R k V RV k1 0in in0 03
02
02
0 0 0I I I Ix x x x+ + + + + =Q VLRC
LR V k RV C k
RV k
R k VRV k1
in in
in
in
in
3
2
1
0
0 0
0
0 0 0 0 0
0
0 0
0
I
I
I
I
x
x
x x
x
+ -
+
Q
Q
V
V(14)
Analisis de estabilidad seguacuten el segundo meacutetodo de LyapunovEn la teoriacutea de estabilidad de Lyapunov un sistema f xQ V es estable si existe una funcioacuten ( )V x t defini-da positiva y es continuamente diferenciable y su derivada es definida negativa ( )V x to si una funcioacuten cumple con los anteriores puntos es llamada fun-cioacuten de Lyapunov Ahora si ( )V x t x PxT= y P es una matriz simeacutetrica y definida positiva entonces
( )V x t x Px x Px x PxT T T= + +o o o o pero si P es invaria-ble en el tiempo ( )V x t x Px x PxT T= +o o o y x A=o entonces ( ) ( )V x t x A P P xT T= +o por lo tanto
( )Q A P PAT=- + Este meacutetodo se utiliza para de-mostrar la estabilidad del convertidor multicelular
x Ax
C
C Rk V
Lk V
C R
Lk V
x
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
f
ref
in
o
in
0
1
0
0
0
x
= = -
- +
-
-
o
R
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(15)
Entonces si proponemos una matriz simeacutetrica y defi-nida positiva P
P
pppp
pppp
pppp
pppp
11
12
13
14
12
22
23
24
13
23
33
34
14
24
34
44
=
R
T
SSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWW
(16)
Y una matriz Q definida positiva
Q
1000
0100
0010
0001
=
R
T
SSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWW
(17)
Si ( )Q A P PAT=- + entonces despejamos pij
Pelaacuteez et al 2014 31
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
p p C p k VL
p k VC R
0 21
21
41
in ref
f12 13 0 14
0
022
1
x= =- =- =
p p0 023 24= =
pL k V C Rk V
C L C R R C R k V C R L21 2
in in
in33
0 0 0 0 0
0 020 0 0 0 0 0 0
x xx x x x
=+ -+ + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pL k V C Rk V
C C R k V C R k V L R k V L R L V21
in in
in in in in34
0 0 0 0 0
0 020 0
202 2
02
02
0
x xx
=-+ -
+ + + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pk V R L k V C Rk V
R L C R k V R Lk V C R Lk V R Lk V21 2
in in in
in in in in44
02
0 0 0 0 0 0
03 2
02 3
03 3
03 2
0 020
30 0
3 202 2
x x xx x x x
=+ -
+ + - +QQ QV V
V
(18)
Y la matriz P es definida positiva si las menores principales son todas positivas
pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
pp
pp k k V V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V C81
in ref in in
in in in in f11
12
12
22 0 1 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
ppp
ppp
ppp
k V C Rk V k k V V L11 1
in in in ref
11
12
13
12
22
23
13
23
33
0 0 0 0 020 1x x
=+ -Q V
C C L R C R Lk V2f in0 03 3 2
02
03
0x x+Q QVk V L R L R C L R Cin0 0
2 203 4 2
0 03 2 2
0x x x+ + +
C R k V L C R k Vin in02 3
0 02 2
02 3
0 02x x+ +
C R k V C R k V L3 in in02 3
03 3
02
02 3
02 2
02 2x x+ +
C R k V L L R k V C2 2in in0303 3
02
03 2 2
0 0x x+ +
L R k V L RC k V k V L R2in in in03 3 2
0 02 3
0 0 02 2 2
02x x x+ + +
R L k V C R L k V R L k Vin in in3 3
0 02
03 2
0 02 3 2
02 2
02x x x+ + +
k V L C C R k V L3in in0 02 2 2
0 0 02 2
02 2x x+ +
L R k V C R L k V Cin in03 2 2
02 2
0 02 2
02 2
0x x+ +
C R k V C R k V L3 3in in02 3
02 2
02
0 02 2
03 3x x+ +
(19)
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas32
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
C R k V C R Lk V4in in02 3
04 4
02
02
03
02 2x x+ +
C R k V Lin03 3
03 3- V
pppp
pppp
pppp
pppp
Rk k V V L k V C Rk V31 1
in ref in in
11
12
13
14
12
22
23
24
13
23
33
34
14
24
34
44
1 0 0 0 0 0 0 02x x x
=+ -Q V
C C C R Lk V C R k V4 6f in in0 03
02 3
02 2
02 4
02 2
04x x+Q QV
C R k V L C R k V L6 2in in0402 2
04
02 4
02 2
04 2x x+ +
C R k V C R k V L4 2in in02 4
0 04
02 3
03 3
03x x+ +
C R k V C R k V2in in02 4
04 4
02
02 4
03 3
02x x+ +
C R k V L C R k V L6 4in in040 0
402 4
0 04 2x x+ +
C R k V L C R k V2 in in0302 2
03 2
02 2
04 4
02x x+ +
C R k V L C R k V L2 2in in0403 3
02
0203 3
02x x+ +
k V L R k V L R2in in02 2 2
04 2
0204 2x x+ +
R L k V C R Lk V2in in4 2
02 2
04
03
02 3
0x x+ +
R L k V R L k V C2 2in in4 2
0 04 4 3
0 040x x+ +
C R C R L C R L2 202 4
04
04
04
02 4
04 2x x x+ + +
C R k V L C R k V2 in in0402 2
02
02 4
02 2
02x x+ +
L R C k V L Rk V2 2in in03 3 3
020 0
3 30x x+ +
L R k V R k V C2 2in in03 3 3
020203 3
02x x+ +
R L C R L C k V L2 in4 3
040 0
4 4 402
02 2 2
02x x x+ + +
L R k V L R R L2 in204 2
02 2 2 2
02 4 2
04x x x+ + +
R L k V R L k V Cin in4 2
02 2
02 4 2
02 2
02
02x x+ +
R k V C C R k V2in in20202 2
02
0 03 3
03 3x x+ -
C R k V R Lk V C2 2in in02
03 3
04 4 2
02
02 2
0x x- -
k V C R C R k Vin in04 4
04 4
02 4
04 4
04x+ +
(19)
L R C k V C R k V4in in02 2 2
0202 2
02 4
03 3
04x x+ +
C R k V L C R k V L2 2in in030 0
3 20
403 3
04x x+ +
Pelaacuteez et al 2014 33
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
Se puede observar que las menores principa-les son todas mayores que cero para k 0gt1 y ( )k V C Rk V 0gtin in0 0 0 0 0x x+ - y k 0gt0 por lo tanto k
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q V lo cual se da para RC gt0 0x
Simulaciones numeacutericasLas simulaciones se realizaron en PSIM reg utilizan-do un convertidor buck multicelular de dos cel-das con los siguientes valores en sus componen-tes C F3 5f n= C F1o n= L mH6 25= R 75X= V V36in = y V V27ref =
Caso de control proporcional
Para la etapa de control proporcional se simuloacute con los siguientes paraacutemetros el PWM se implementoacute a una frecuencia de 10 kHz la ganancia proporcional
k 0 38450 = las ganancias del lazo de control para el condensador flotante k k k 0 022 1 1=- = La simula-cioacuten se presenta en la figura 4 donde se puede ob-servar que el voltaje de salida se estabilizoacute en aproxi-madamente V V250 = razoacuten por la cual se propone antildeadir maacutes adelante el control integral para eliminar el error de estado estacionario
Figura 4 Simulacioacuten control proporcional
Caso de control proporcional integral
El control PI se simuloacute con los siguientes paraacutemetros la ganancia k 0 021 = la ganancia integral k 0 38450 =
el tiempo integral 8 34 10 4x= - seg cumpliendo con la restriccioacuten RC gt0 0x En la figura 5 se presenta la simulacioacuten donde efectivamente se observa coacutemo a lo largo de la simulacioacuten el error de estado estacio-nario tiende a cero
Figura 5 Simulacioacuten control proporcional integral
En la figura 6 se observan los valores de ko y 0x para los cuales el sistema linealizado es estable con los pa-raacutemetros utilizados en la simulacioacuten anterior
Figura 6 Restriccioacuten ko Vs o
ConclusionesEn este trabajo se presentoacute una manera sistemaacutetica de obtener el modelo promediado de un convertidor buck de dos celdas Igual que en el caso de un buck de una ceacutelula este modelo se puede obtener circui-talmente o bien promediando las ecuaciones en el es-pacio de estado A partir del modelo se estudioacute la es-tabilidad de sistema linealizado bajo dos estrategias de control y se encontroacute de manera analiacutetica las res-tricciones para los valores de las ganancias para las cuales el sistema linealizado permanece estable Para ello se utilizaron dos planteamientos diferentes dan-do lugar a resultados similares
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas34
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
Cabe anotar que la estabilidad estudiada en esta in-vestigacioacuten es la estabilidad del punto de equilibrio del sistema promediado El promedio elimina toda in-formacioacuten de conmutacioacuten la cual puede ser respon-sable de otros tipos de inestabilidades no predichas mediante un modelo promediado Como liacutenea futura de investigacioacuten se propone encontrar las restriccio-nes para la estabilidad del sistema conmutado utili-zando un modelo en tiempo discreto
AgradecimientosEl presente documente ha sido soportado por el pro-yecto de investigacioacuten de miacutenima cuantiacutea con coacutedigo P14105 financiado por el Instituto Tecnoloacutegico Metro-politano de la ciudad de Medelliacuten Colombia
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Pelaacuteez et al 2014 29
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
i i us L 11 =
i i us L 22 =
v V v uD in c 11 =- -Q Vv v uD c 22 =-
(2)
Finalmente con ayuda del circuito equivalente se halla el modelo conmutado del convertidor descrito por el sistema de ecuaciones (3)
x Cu u
C
Lu u
L
C R
xLv
u
0
1
0
0
1
0
1
00
f
o o
in
1 2
2 1
1=-
--
-
+oQ
QV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSS
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWW
V
X
WWWWWWWWW(3)
Para encontrar el modelo promediado el vector de estados x es reemplazado por su valor promediado x y las sentildeales de control u1 y u2 son reemplaza-das por los ciclos uacutetiles d1 y d2 y reemplazando en el anterior sistema de ecuaciones obtenemos el modelo promediado representado por el sistema de ecuacio-nes (4)
x Cu u
C
Lu u
L
C R
xLv
u
0
1
0
0
1
0
1
00
f
o o
in
1 2
2 1
1=-
--
-
+oQ
QV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSS
R
T
SSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWW
V
X
WWWWWWWWW(4)
Anaacutelisis de estabilidad con la matriz jaco-biana del sistema
Caso de control proporcional
Es necesaria una estrategia para controlar el voltaje de salida en el convertidor multicelular y mantener balanceado el voltaje del condensador intermedio En el caso de utilizar un control proporcional en el lazo de control del voltaje de salida no se puede alcan-zar un error de estado estacionario igual a cero Sin embargo el anaacutelisis de estabilidad es muy claro ya que es relativamente faacutecil encontrar los autovalores del sistema linealizado de manera analiacutetica De esta manera se puede notar para que conjunto de paraacute-metros el sistema linealizado tiene sus autovalores al lado izquierdo del plano s si el lazo de control estaacute
dado por las ecuaciones (1) y ( )G s k0= el punto de equilibrio para el sistema del convertidor en lazo ce-rrado se da cuando las variaciones de su vector de estado son cero asiacute el punto de equilibrio del sistema estaacute dado por (5)
x Rx
xV
K Vk V V
2 1
in
in
in ref1
32
0
0x3= = = +(5)
Una vez que se tiene el sistema este se debe linea-lizar alrededor del punto de equilibrio esto se logra obteniendo la matriz jacobiana del modelo del con-vertidor (6)
( )
Jf x
C
LV k k
k V RCk k k V V
Lk V
C R
0
0
1
0 5
1
0
1
0
1o
in
in f
in ref
in
o
2 1
0
0 1 2
0
=
-+
-+-
- +
-
QQQVV
VR
T
SSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWW
(6)
Finalmente los autovalores son la solucioacuten de Jf x I 0I- =Q V y sus expresiones vienen dadas
por (7) Se puede observar que los autovalores ten-draacuten parte real negativa cuando k V
1gtin
0 - k V1gt
in0 - en 1 2I y
para 3I es necesario que k kk y 0gt gt1 2 0 Sin embar-go para simplificar en el sistema en general se tiene que k k ky 0gt2 1 0=-
LRCL L LR C k V
RC k Vk k k V V
24 1
1
in
f in
in ref
1 20
2 20 0
30
0 1 2
m
m
=- - +
Q
VV
V(7)
Caso de control PI
El control proporcional integral es utilizado para alcan-zar un error de estado estacionario igual a cero Cabe anotar en este punto que el controlador proporcional integral aumenta el orden del sistema ya que el nue-vo estado es la integral del error Ahora las ecuacio-nes de control siguiendo el orden de las ecuaciones (1) y si se considera que k k2 1=- y ( ) ( )G s k S1 1
00x
= +( ) ( )G s k S1 10
0x= +
en este caso es necesario representar ( )G s en el es-pacio de estados ecuacioacuten (8) para poder acoplarla en el sistema de ecuaciones del modelo del converti-dor multicelular Adicionalmente las sentildeales de con-trol para el controlador PI estaacuten definidas por (9) y el sistema de ecuaciones del convertidor con control PI estaacute dado por (10)
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas30
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
x t e t V xref4 0 3= = -Q Q QV V V
(y t k e tk
x t0 00
04x= +Q QV V
(8)
( )s k V xk
x kV
x2refin
1 0 30
04 1 2x= - + + -S X
s k V xk
x kV
x2refin
2 0 30
04 1 2x= - + - -Q SV X
(9)
x Cd d
C
Ld d
L
C R
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
f
1 2
0
2 1
0
=-
--
-
-
VVR
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(10)
Para encontrar el punto de equilibrio del sistema es necesario asumir que el sistema estaacute en estado esta-cionario de esta forma los puntos de equilibrio del sistema estaacuten determinados por la ecuacioacuten (11)
x RV V x V x V
V2
ref inref
in
ref1 3 4x 2= = = = (11)
Ahora se procede a linealizar el sistema con ayuda de la matriz jacobiana evaluada en el punto de equilibrio (12)
( )Jf x
C
C Rk V
Lk V
RC
Lk V0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
f
ref
in in
0
1
0
0
0
0
x
= -
- +
-
-
R
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(12)
Para el anaacutelisis de estabilidad del sistema linealizado se busca la solucioacuten de Jf x I 0m- =Q V pero como es un polinomio de alto orden que viene determinado por (13) no es posible observar de manera analiacutetica los autovalores Por este motivo no es posible definir para queacute valores de k 0 1 el sistema es estable Por lo tanto es necesario aplicar el criterio de Ruth-Hurwitz que viene dado por la ecuacioacuten (14) Con este proce-dimiento se llega a la conclusion que el sistema es es-table para k
V RCgt
in0
0 0
0
xx
-Q V kV RC
gtin
00 0
0
xx
-Q V y k 0gt1 si todos los demaacutes paraacutemetros son positivos
k V RC LRC L R k V RV k2 1 0ref f in in1 0 03
02
0 0 0I I I Ix x x+ + + + + =Q Q QV V V
RCk V2
f
ref1
1I =-
(13)
LRC L R R k V RV k1 0in in0 03
02
02
0 0 0I I I Ix x x x+ + + + + =Q VLRC
LR V k RV C k
RV k
R k VRV k1
in in
in
in
in
3
2
1
0
0 0
0
0 0 0 0 0
0
0 0
0
I
I
I
I
x
x
x x
x
+ -
+
Q
Q
V
V(14)
Analisis de estabilidad seguacuten el segundo meacutetodo de LyapunovEn la teoriacutea de estabilidad de Lyapunov un sistema f xQ V es estable si existe una funcioacuten ( )V x t defini-da positiva y es continuamente diferenciable y su derivada es definida negativa ( )V x to si una funcioacuten cumple con los anteriores puntos es llamada fun-cioacuten de Lyapunov Ahora si ( )V x t x PxT= y P es una matriz simeacutetrica y definida positiva entonces
( )V x t x Px x Px x PxT T T= + +o o o o pero si P es invaria-ble en el tiempo ( )V x t x Px x PxT T= +o o o y x A=o entonces ( ) ( )V x t x A P P xT T= +o por lo tanto
( )Q A P PAT=- + Este meacutetodo se utiliza para de-mostrar la estabilidad del convertidor multicelular
x Ax
C
C Rk V
Lk V
C R
Lk V
x
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
f
ref
in
o
in
0
1
0
0
0
x
= = -
- +
-
-
o
R
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(15)
Entonces si proponemos una matriz simeacutetrica y defi-nida positiva P
P
pppp
pppp
pppp
pppp
11
12
13
14
12
22
23
24
13
23
33
34
14
24
34
44
=
R
T
SSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWW
(16)
Y una matriz Q definida positiva
Q
1000
0100
0010
0001
=
R
T
SSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWW
(17)
Si ( )Q A P PAT=- + entonces despejamos pij
Pelaacuteez et al 2014 31
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
p p C p k VL
p k VC R
0 21
21
41
in ref
f12 13 0 14
0
022
1
x= =- =- =
p p0 023 24= =
pL k V C Rk V
C L C R R C R k V C R L21 2
in in
in33
0 0 0 0 0
0 020 0 0 0 0 0 0
x xx x x x
=+ -+ + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pL k V C Rk V
C C R k V C R k V L R k V L R L V21
in in
in in in in34
0 0 0 0 0
0 020 0
202 2
02
02
0
x xx
=-+ -
+ + + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pk V R L k V C Rk V
R L C R k V R Lk V C R Lk V R Lk V21 2
in in in
in in in in44
02
0 0 0 0 0 0
03 2
02 3
03 3
03 2
0 020
30 0
3 202 2
x x xx x x x
=+ -
+ + - +QQ QV V
V
(18)
Y la matriz P es definida positiva si las menores principales son todas positivas
pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
pp
pp k k V V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V C81
in ref in in
in in in in f11
12
12
22 0 1 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
ppp
ppp
ppp
k V C Rk V k k V V L11 1
in in in ref
11
12
13
12
22
23
13
23
33
0 0 0 0 020 1x x
=+ -Q V
C C L R C R Lk V2f in0 03 3 2
02
03
0x x+Q QVk V L R L R C L R Cin0 0
2 203 4 2
0 03 2 2
0x x x+ + +
C R k V L C R k Vin in02 3
0 02 2
02 3
0 02x x+ +
C R k V C R k V L3 in in02 3
03 3
02
02 3
02 2
02 2x x+ +
C R k V L L R k V C2 2in in0303 3
02
03 2 2
0 0x x+ +
L R k V L RC k V k V L R2in in in03 3 2
0 02 3
0 0 02 2 2
02x x x+ + +
R L k V C R L k V R L k Vin in in3 3
0 02
03 2
0 02 3 2
02 2
02x x x+ + +
k V L C C R k V L3in in0 02 2 2
0 0 02 2
02 2x x+ +
L R k V C R L k V Cin in03 2 2
02 2
0 02 2
02 2
0x x+ +
C R k V C R k V L3 3in in02 3
02 2
02
0 02 2
03 3x x+ +
(19)
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas32
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
C R k V C R Lk V4in in02 3
04 4
02
02
03
02 2x x+ +
C R k V Lin03 3
03 3- V
pppp
pppp
pppp
pppp
Rk k V V L k V C Rk V31 1
in ref in in
11
12
13
14
12
22
23
24
13
23
33
34
14
24
34
44
1 0 0 0 0 0 0 02x x x
=+ -Q V
C C C R Lk V C R k V4 6f in in0 03
02 3
02 2
02 4
02 2
04x x+Q QV
C R k V L C R k V L6 2in in0402 2
04
02 4
02 2
04 2x x+ +
C R k V C R k V L4 2in in02 4
0 04
02 3
03 3
03x x+ +
C R k V C R k V2in in02 4
04 4
02
02 4
03 3
02x x+ +
C R k V L C R k V L6 4in in040 0
402 4
0 04 2x x+ +
C R k V L C R k V2 in in0302 2
03 2
02 2
04 4
02x x+ +
C R k V L C R k V L2 2in in0403 3
02
0203 3
02x x+ +
k V L R k V L R2in in02 2 2
04 2
0204 2x x+ +
R L k V C R Lk V2in in4 2
02 2
04
03
02 3
0x x+ +
R L k V R L k V C2 2in in4 2
0 04 4 3
0 040x x+ +
C R C R L C R L2 202 4
04
04
04
02 4
04 2x x x+ + +
C R k V L C R k V2 in in0402 2
02
02 4
02 2
02x x+ +
L R C k V L Rk V2 2in in03 3 3
020 0
3 30x x+ +
L R k V R k V C2 2in in03 3 3
020203 3
02x x+ +
R L C R L C k V L2 in4 3
040 0
4 4 402
02 2 2
02x x x+ + +
L R k V L R R L2 in204 2
02 2 2 2
02 4 2
04x x x+ + +
R L k V R L k V Cin in4 2
02 2
02 4 2
02 2
02
02x x+ +
R k V C C R k V2in in20202 2
02
0 03 3
03 3x x+ -
C R k V R Lk V C2 2in in02
03 3
04 4 2
02
02 2
0x x- -
k V C R C R k Vin in04 4
04 4
02 4
04 4
04x+ +
(19)
L R C k V C R k V4in in02 2 2
0202 2
02 4
03 3
04x x+ +
C R k V L C R k V L2 2in in030 0
3 20
403 3
04x x+ +
Pelaacuteez et al 2014 33
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
Se puede observar que las menores principa-les son todas mayores que cero para k 0gt1 y ( )k V C Rk V 0gtin in0 0 0 0 0x x+ - y k 0gt0 por lo tanto k
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q V lo cual se da para RC gt0 0x
Simulaciones numeacutericasLas simulaciones se realizaron en PSIM reg utilizan-do un convertidor buck multicelular de dos cel-das con los siguientes valores en sus componen-tes C F3 5f n= C F1o n= L mH6 25= R 75X= V V36in = y V V27ref =
Caso de control proporcional
Para la etapa de control proporcional se simuloacute con los siguientes paraacutemetros el PWM se implementoacute a una frecuencia de 10 kHz la ganancia proporcional
k 0 38450 = las ganancias del lazo de control para el condensador flotante k k k 0 022 1 1=- = La simula-cioacuten se presenta en la figura 4 donde se puede ob-servar que el voltaje de salida se estabilizoacute en aproxi-madamente V V250 = razoacuten por la cual se propone antildeadir maacutes adelante el control integral para eliminar el error de estado estacionario
Figura 4 Simulacioacuten control proporcional
Caso de control proporcional integral
El control PI se simuloacute con los siguientes paraacutemetros la ganancia k 0 021 = la ganancia integral k 0 38450 =
el tiempo integral 8 34 10 4x= - seg cumpliendo con la restriccioacuten RC gt0 0x En la figura 5 se presenta la simulacioacuten donde efectivamente se observa coacutemo a lo largo de la simulacioacuten el error de estado estacio-nario tiende a cero
Figura 5 Simulacioacuten control proporcional integral
En la figura 6 se observan los valores de ko y 0x para los cuales el sistema linealizado es estable con los pa-raacutemetros utilizados en la simulacioacuten anterior
Figura 6 Restriccioacuten ko Vs o
ConclusionesEn este trabajo se presentoacute una manera sistemaacutetica de obtener el modelo promediado de un convertidor buck de dos celdas Igual que en el caso de un buck de una ceacutelula este modelo se puede obtener circui-talmente o bien promediando las ecuaciones en el es-pacio de estado A partir del modelo se estudioacute la es-tabilidad de sistema linealizado bajo dos estrategias de control y se encontroacute de manera analiacutetica las res-tricciones para los valores de las ganancias para las cuales el sistema linealizado permanece estable Para ello se utilizaron dos planteamientos diferentes dan-do lugar a resultados similares
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas34
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
Cabe anotar que la estabilidad estudiada en esta in-vestigacioacuten es la estabilidad del punto de equilibrio del sistema promediado El promedio elimina toda in-formacioacuten de conmutacioacuten la cual puede ser respon-sable de otros tipos de inestabilidades no predichas mediante un modelo promediado Como liacutenea futura de investigacioacuten se propone encontrar las restriccio-nes para la estabilidad del sistema conmutado utili-zando un modelo en tiempo discreto
AgradecimientosEl presente documente ha sido soportado por el pro-yecto de investigacioacuten de miacutenima cuantiacutea con coacutedigo P14105 financiado por el Instituto Tecnoloacutegico Metro-politano de la ciudad de Medelliacuten Colombia
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Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas30
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
x t e t V xref4 0 3= = -Q Q QV V V
(y t k e tk
x t0 00
04x= +Q QV V
(8)
( )s k V xk
x kV
x2refin
1 0 30
04 1 2x= - + + -S X
s k V xk
x kV
x2refin
2 0 30
04 1 2x= - + - -Q SV X
(9)
x Cd d
C
Ld d
L
C R
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
f
1 2
0
2 1
0
=-
--
-
-
VVR
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(10)
Para encontrar el punto de equilibrio del sistema es necesario asumir que el sistema estaacute en estado esta-cionario de esta forma los puntos de equilibrio del sistema estaacuten determinados por la ecuacioacuten (11)
x RV V x V x V
V2
ref inref
in
ref1 3 4x 2= = = = (11)
Ahora se procede a linealizar el sistema con ayuda de la matriz jacobiana evaluada en el punto de equilibrio (12)
( )Jf x
C
C Rk V
Lk V
RC
Lk V0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
f
ref
in in
0
1
0
0
0
0
x
= -
- +
-
-
R
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(12)
Para el anaacutelisis de estabilidad del sistema linealizado se busca la solucioacuten de Jf x I 0m- =Q V pero como es un polinomio de alto orden que viene determinado por (13) no es posible observar de manera analiacutetica los autovalores Por este motivo no es posible definir para queacute valores de k 0 1 el sistema es estable Por lo tanto es necesario aplicar el criterio de Ruth-Hurwitz que viene dado por la ecuacioacuten (14) Con este proce-dimiento se llega a la conclusion que el sistema es es-table para k
V RCgt
in0
0 0
0
xx
-Q V kV RC
gtin
00 0
0
xx
-Q V y k 0gt1 si todos los demaacutes paraacutemetros son positivos
k V RC LRC L R k V RV k2 1 0ref f in in1 0 03
02
0 0 0I I I Ix x x+ + + + + =Q Q QV V V
RCk V2
f
ref1
1I =-
(13)
LRC L R R k V RV k1 0in in0 03
02
02
0 0 0I I I Ix x x x+ + + + + =Q VLRC
LR V k RV C k
RV k
R k VRV k1
in in
in
in
in
3
2
1
0
0 0
0
0 0 0 0 0
0
0 0
0
I
I
I
I
x
x
x x
x
+ -
+
Q
Q
V
V(14)
Analisis de estabilidad seguacuten el segundo meacutetodo de LyapunovEn la teoriacutea de estabilidad de Lyapunov un sistema f xQ V es estable si existe una funcioacuten ( )V x t defini-da positiva y es continuamente diferenciable y su derivada es definida negativa ( )V x to si una funcioacuten cumple con los anteriores puntos es llamada fun-cioacuten de Lyapunov Ahora si ( )V x t x PxT= y P es una matriz simeacutetrica y definida positiva entonces
( )V x t x Px x Px x PxT T T= + +o o o o pero si P es invaria-ble en el tiempo ( )V x t x Px x PxT T= +o o o y x A=o entonces ( ) ( )V x t x A P P xT T= +o por lo tanto
( )Q A P PAT=- + Este meacutetodo se utiliza para de-mostrar la estabilidad del convertidor multicelular
x Ax
C
C Rk V
Lk V
C R
Lk V
x
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
f
ref
in
o
in
0
1
0
0
0
x
= = -
- +
-
-
o
R
T
SSSSSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWWWWW
(15)
Entonces si proponemos una matriz simeacutetrica y defi-nida positiva P
P
pppp
pppp
pppp
pppp
11
12
13
14
12
22
23
24
13
23
33
34
14
24
34
44
=
R
T
SSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWW
(16)
Y una matriz Q definida positiva
Q
1000
0100
0010
0001
=
R
T
SSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWW
(17)
Si ( )Q A P PAT=- + entonces despejamos pij
Pelaacuteez et al 2014 31
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
p p C p k VL
p k VC R
0 21
21
41
in ref
f12 13 0 14
0
022
1
x= =- =- =
p p0 023 24= =
pL k V C Rk V
C L C R R C R k V C R L21 2
in in
in33
0 0 0 0 0
0 020 0 0 0 0 0 0
x xx x x x
=+ -+ + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pL k V C Rk V
C C R k V C R k V L R k V L R L V21
in in
in in in in34
0 0 0 0 0
0 020 0
202 2
02
02
0
x xx
=-+ -
+ + + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pk V R L k V C Rk V
R L C R k V R Lk V C R Lk V R Lk V21 2
in in in
in in in in44
02
0 0 0 0 0 0
03 2
02 3
03 3
03 2
0 020
30 0
3 202 2
x x xx x x x
=+ -
+ + - +QQ QV V
V
(18)
Y la matriz P es definida positiva si las menores principales son todas positivas
pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
pp
pp k k V V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V C81
in ref in in
in in in in f11
12
12
22 0 1 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
ppp
ppp
ppp
k V C Rk V k k V V L11 1
in in in ref
11
12
13
12
22
23
13
23
33
0 0 0 0 020 1x x
=+ -Q V
C C L R C R Lk V2f in0 03 3 2
02
03
0x x+Q QVk V L R L R C L R Cin0 0
2 203 4 2
0 03 2 2
0x x x+ + +
C R k V L C R k Vin in02 3
0 02 2
02 3
0 02x x+ +
C R k V C R k V L3 in in02 3
03 3
02
02 3
02 2
02 2x x+ +
C R k V L L R k V C2 2in in0303 3
02
03 2 2
0 0x x+ +
L R k V L RC k V k V L R2in in in03 3 2
0 02 3
0 0 02 2 2
02x x x+ + +
R L k V C R L k V R L k Vin in in3 3
0 02
03 2
0 02 3 2
02 2
02x x x+ + +
k V L C C R k V L3in in0 02 2 2
0 0 02 2
02 2x x+ +
L R k V C R L k V Cin in03 2 2
02 2
0 02 2
02 2
0x x+ +
C R k V C R k V L3 3in in02 3
02 2
02
0 02 2
03 3x x+ +
(19)
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas32
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
C R k V C R Lk V4in in02 3
04 4
02
02
03
02 2x x+ +
C R k V Lin03 3
03 3- V
pppp
pppp
pppp
pppp
Rk k V V L k V C Rk V31 1
in ref in in
11
12
13
14
12
22
23
24
13
23
33
34
14
24
34
44
1 0 0 0 0 0 0 02x x x
=+ -Q V
C C C R Lk V C R k V4 6f in in0 03
02 3
02 2
02 4
02 2
04x x+Q QV
C R k V L C R k V L6 2in in0402 2
04
02 4
02 2
04 2x x+ +
C R k V C R k V L4 2in in02 4
0 04
02 3
03 3
03x x+ +
C R k V C R k V2in in02 4
04 4
02
02 4
03 3
02x x+ +
C R k V L C R k V L6 4in in040 0
402 4
0 04 2x x+ +
C R k V L C R k V2 in in0302 2
03 2
02 2
04 4
02x x+ +
C R k V L C R k V L2 2in in0403 3
02
0203 3
02x x+ +
k V L R k V L R2in in02 2 2
04 2
0204 2x x+ +
R L k V C R Lk V2in in4 2
02 2
04
03
02 3
0x x+ +
R L k V R L k V C2 2in in4 2
0 04 4 3
0 040x x+ +
C R C R L C R L2 202 4
04
04
04
02 4
04 2x x x+ + +
C R k V L C R k V2 in in0402 2
02
02 4
02 2
02x x+ +
L R C k V L Rk V2 2in in03 3 3
020 0
3 30x x+ +
L R k V R k V C2 2in in03 3 3
020203 3
02x x+ +
R L C R L C k V L2 in4 3
040 0
4 4 402
02 2 2
02x x x+ + +
L R k V L R R L2 in204 2
02 2 2 2
02 4 2
04x x x+ + +
R L k V R L k V Cin in4 2
02 2
02 4 2
02 2
02
02x x+ +
R k V C C R k V2in in20202 2
02
0 03 3
03 3x x+ -
C R k V R Lk V C2 2in in02
03 3
04 4 2
02
02 2
0x x- -
k V C R C R k Vin in04 4
04 4
02 4
04 4
04x+ +
(19)
L R C k V C R k V4in in02 2 2
0202 2
02 4
03 3
04x x+ +
C R k V L C R k V L2 2in in030 0
3 20
403 3
04x x+ +
Pelaacuteez et al 2014 33
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
Se puede observar que las menores principa-les son todas mayores que cero para k 0gt1 y ( )k V C Rk V 0gtin in0 0 0 0 0x x+ - y k 0gt0 por lo tanto k
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q V lo cual se da para RC gt0 0x
Simulaciones numeacutericasLas simulaciones se realizaron en PSIM reg utilizan-do un convertidor buck multicelular de dos cel-das con los siguientes valores en sus componen-tes C F3 5f n= C F1o n= L mH6 25= R 75X= V V36in = y V V27ref =
Caso de control proporcional
Para la etapa de control proporcional se simuloacute con los siguientes paraacutemetros el PWM se implementoacute a una frecuencia de 10 kHz la ganancia proporcional
k 0 38450 = las ganancias del lazo de control para el condensador flotante k k k 0 022 1 1=- = La simula-cioacuten se presenta en la figura 4 donde se puede ob-servar que el voltaje de salida se estabilizoacute en aproxi-madamente V V250 = razoacuten por la cual se propone antildeadir maacutes adelante el control integral para eliminar el error de estado estacionario
Figura 4 Simulacioacuten control proporcional
Caso de control proporcional integral
El control PI se simuloacute con los siguientes paraacutemetros la ganancia k 0 021 = la ganancia integral k 0 38450 =
el tiempo integral 8 34 10 4x= - seg cumpliendo con la restriccioacuten RC gt0 0x En la figura 5 se presenta la simulacioacuten donde efectivamente se observa coacutemo a lo largo de la simulacioacuten el error de estado estacio-nario tiende a cero
Figura 5 Simulacioacuten control proporcional integral
En la figura 6 se observan los valores de ko y 0x para los cuales el sistema linealizado es estable con los pa-raacutemetros utilizados en la simulacioacuten anterior
Figura 6 Restriccioacuten ko Vs o
ConclusionesEn este trabajo se presentoacute una manera sistemaacutetica de obtener el modelo promediado de un convertidor buck de dos celdas Igual que en el caso de un buck de una ceacutelula este modelo se puede obtener circui-talmente o bien promediando las ecuaciones en el es-pacio de estado A partir del modelo se estudioacute la es-tabilidad de sistema linealizado bajo dos estrategias de control y se encontroacute de manera analiacutetica las res-tricciones para los valores de las ganancias para las cuales el sistema linealizado permanece estable Para ello se utilizaron dos planteamientos diferentes dan-do lugar a resultados similares
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas34
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
Cabe anotar que la estabilidad estudiada en esta in-vestigacioacuten es la estabilidad del punto de equilibrio del sistema promediado El promedio elimina toda in-formacioacuten de conmutacioacuten la cual puede ser respon-sable de otros tipos de inestabilidades no predichas mediante un modelo promediado Como liacutenea futura de investigacioacuten se propone encontrar las restriccio-nes para la estabilidad del sistema conmutado utili-zando un modelo en tiempo discreto
AgradecimientosEl presente documente ha sido soportado por el pro-yecto de investigacioacuten de miacutenima cuantiacutea con coacutedigo P14105 financiado por el Instituto Tecnoloacutegico Metro-politano de la ciudad de Medelliacuten Colombia
ReferenciasAbdelali El Aroudi B G (March de 2008) Modelling
and Design Rules of a Two-Cell Buck Converter Un-der a Digital PWM Controller IEEE Transactions on Power Electronics 23(2) 859-870
Bensaid R amp Fadel M (2002) Flying Capacitor Volt-ages Estimation In Three-Cell Converters Using A Discrete-Time Kalman Filter At One Third Switch-ing Period Toulouse Cedex France Laboratoire dlsquoElectrotechnique et dlsquoElectronique Industrielle
Gateau G Maussion P amp Meynard T (1997) Fuzzy Phase Control of Series Multicell Converters Tou-louse Francia Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Poly-technique de ToulouseCentre National de la Re-cherche Scientifique
Hamma F Meynard T amp Viarouge T (1995) Mod-eling of Multilevel Converters Toulouse Cedex 31071 France Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Poly-technique
Meynard T A Fadel M Gateau G Maussion P amp Bensaid R (2001) Multicells Converters Ac-tive Control and Observation of Flying Capacitor Voltages Toulouse Francia Laboratoire drsquoElectro-technique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Polytechnique de ToulouseCentre Na-tional de la Recherche Scientifique
Meynard T A Foch H Thomas P Courault J Jakob R amp Nahrstaedt M (2001) Multicell Converters Basic Concepts and Industry Ber-liacuten Germany Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Polytechnique de ToulouseCentre National de la Recherche Scientifique 31071 Toulouse Ce-dex 7 France ALSTOM Power Conversion GmbH D-12277
Meynard T Fadel M amp Aouda N (1995) Charac-teristics and Design of Multilevel Choppersrdquo Lab-oratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Uni-versid Laval Canadaacute Industrielle URA CNRS TOU-LOUSE Cedex-France et LEEPC
Wilkinson R H Mouton H d amp Meynard T A (2003) Natural Balance of Multicell Converters Toulouse Francia Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Polytechnique de ToulouseCentre National de la Recherche Scientifique
Wilkinson R H Mouton H d amp Meynard T A (2004) Stability Anaacutelisis of Multicell Converter University of Stellenbosch Matieland South Afri-ca Toulouse Francia Laboratoire drsquoElectrotech-nique et drsquoElectronique Industrielle Institut Na-tional Polytechnique de ToulouseCentre National de la Recherche Scientifique
Yousefzadeh V Alarcoacuten E amp Maksimovic D (2005) Three-Level Buck Converter for Envelope Track-ing in RF Power Amplifiers APECrsquo05- IEEE Applied Power Electronics Conference 2005 Austin Texas
Pelaacuteez et al 2014 31
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
=+ -
+ + + +QQ V
V
p p C p k VL
p k VC R
0 21
21
41
in ref
f12 13 0 14
0
022
1
x= =- =- =
p p0 023 24= =
pL k V C Rk V
C L C R R C R k V C R L21 2
in in
in33
0 0 0 0 0
0 020 0 0 0 0 0 0
x xx x x x
=+ -+ + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pL k V C Rk V
C C R k V C R k V L R k V L R L V21
in in
in in in in34
0 0 0 0 0
0 020 0
202 2
02
02
0
x xx
=-+ -
+ + + +QQ V
V
L k V C R VC R k V C R k V L LC k V21
in in
in in in
0 0 0 0 0
0 0 02 2
0 0 0 0 0
x xx x
++ -+ +Q
Q VV
pk V R L k V C Rk V
R L C R k V R Lk V C R Lk V R Lk V21 2
in in in
in in in in44
02
0 0 0 0 0 0
03 2
02 3
03 3
03 2
0 020
30 0
3 202 2
x x xx x x x
=+ -
+ + - +QQ QV V
V
(18)
Y la matriz P es definida positiva si las menores principales son todas positivas
pRk V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V21
in in in
in in in in11
0 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
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V
pp
pp k k V V k V C Rk V
C R k V C R k V L R k V L R Lk V C81
in ref in in
in in in in f11
12
12
22 0 1 0 0 0 0 0
020 0
202 2
02
02
0 0
x xx x
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V
ppp
ppp
ppp
k V C Rk V k k V V L11 1
in in in ref
11
12
13
12
22
23
13
23
33
0 0 0 0 020 1x x
=+ -Q V
C C L R C R Lk V2f in0 03 3 2
02
03
0x x+Q QVk V L R L R C L R Cin0 0
2 203 4 2
0 03 2 2
0x x x+ + +
C R k V L C R k Vin in02 3
0 02 2
02 3
0 02x x+ +
C R k V C R k V L3 in in02 3
03 3
02
02 3
02 2
02 2x x+ +
C R k V L L R k V C2 2in in0303 3
02
03 2 2
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L R k V L RC k V k V L R2in in in03 3 2
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0 0 02 2 2
02x x x+ + +
R L k V C R L k V R L k Vin in in3 3
0 02
03 2
0 02 3 2
02 2
02x x x+ + +
k V L C C R k V L3in in0 02 2 2
0 0 02 2
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L R k V C R L k V Cin in03 2 2
02 2
0 02 2
02 2
0x x+ +
C R k V C R k V L3 3in in02 3
02 2
02
0 02 2
03 3x x+ +
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Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas32
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
C R k V C R Lk V4in in02 3
04 4
02
02
03
02 2x x+ +
C R k V Lin03 3
03 3- V
pppp
pppp
pppp
pppp
Rk k V V L k V C Rk V31 1
in ref in in
11
12
13
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12
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23
24
13
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33
34
14
24
34
44
1 0 0 0 0 0 0 02x x x
=+ -Q V
C C C R Lk V C R k V4 6f in in0 03
02 3
02 2
02 4
02 2
04x x+Q QV
C R k V L C R k V L6 2in in0402 2
04
02 4
02 2
04 2x x+ +
C R k V C R k V L4 2in in02 4
0 04
02 3
03 3
03x x+ +
C R k V C R k V2in in02 4
04 4
02
02 4
03 3
02x x+ +
C R k V L C R k V L6 4in in040 0
402 4
0 04 2x x+ +
C R k V L C R k V2 in in0302 2
03 2
02 2
04 4
02x x+ +
C R k V L C R k V L2 2in in0403 3
02
0203 3
02x x+ +
k V L R k V L R2in in02 2 2
04 2
0204 2x x+ +
R L k V C R Lk V2in in4 2
02 2
04
03
02 3
0x x+ +
R L k V R L k V C2 2in in4 2
0 04 4 3
0 040x x+ +
C R C R L C R L2 202 4
04
04
04
02 4
04 2x x x+ + +
C R k V L C R k V2 in in0402 2
02
02 4
02 2
02x x+ +
L R C k V L Rk V2 2in in03 3 3
020 0
3 30x x+ +
L R k V R k V C2 2in in03 3 3
020203 3
02x x+ +
R L C R L C k V L2 in4 3
040 0
4 4 402
02 2 2
02x x x+ + +
L R k V L R R L2 in204 2
02 2 2 2
02 4 2
04x x x+ + +
R L k V R L k V Cin in4 2
02 2
02 4 2
02 2
02
02x x+ +
R k V C C R k V2in in20202 2
02
0 03 3
03 3x x+ -
C R k V R Lk V C2 2in in02
03 3
04 4 2
02
02 2
0x x- -
k V C R C R k Vin in04 4
04 4
02 4
04 4
04x+ +
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L R C k V C R k V4in in02 2 2
0202 2
02 4
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C R k V L C R k V L2 2in in030 0
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04x x+ +
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Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
Se puede observar que las menores principa-les son todas mayores que cero para k 0gt1 y ( )k V C Rk V 0gtin in0 0 0 0 0x x+ - y k 0gt0 por lo tanto k
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q V lo cual se da para RC gt0 0x
Simulaciones numeacutericasLas simulaciones se realizaron en PSIM reg utilizan-do un convertidor buck multicelular de dos cel-das con los siguientes valores en sus componen-tes C F3 5f n= C F1o n= L mH6 25= R 75X= V V36in = y V V27ref =
Caso de control proporcional
Para la etapa de control proporcional se simuloacute con los siguientes paraacutemetros el PWM se implementoacute a una frecuencia de 10 kHz la ganancia proporcional
k 0 38450 = las ganancias del lazo de control para el condensador flotante k k k 0 022 1 1=- = La simula-cioacuten se presenta en la figura 4 donde se puede ob-servar que el voltaje de salida se estabilizoacute en aproxi-madamente V V250 = razoacuten por la cual se propone antildeadir maacutes adelante el control integral para eliminar el error de estado estacionario
Figura 4 Simulacioacuten control proporcional
Caso de control proporcional integral
El control PI se simuloacute con los siguientes paraacutemetros la ganancia k 0 021 = la ganancia integral k 0 38450 =
el tiempo integral 8 34 10 4x= - seg cumpliendo con la restriccioacuten RC gt0 0x En la figura 5 se presenta la simulacioacuten donde efectivamente se observa coacutemo a lo largo de la simulacioacuten el error de estado estacio-nario tiende a cero
Figura 5 Simulacioacuten control proporcional integral
En la figura 6 se observan los valores de ko y 0x para los cuales el sistema linealizado es estable con los pa-raacutemetros utilizados en la simulacioacuten anterior
Figura 6 Restriccioacuten ko Vs o
ConclusionesEn este trabajo se presentoacute una manera sistemaacutetica de obtener el modelo promediado de un convertidor buck de dos celdas Igual que en el caso de un buck de una ceacutelula este modelo se puede obtener circui-talmente o bien promediando las ecuaciones en el es-pacio de estado A partir del modelo se estudioacute la es-tabilidad de sistema linealizado bajo dos estrategias de control y se encontroacute de manera analiacutetica las res-tricciones para los valores de las ganancias para las cuales el sistema linealizado permanece estable Para ello se utilizaron dos planteamientos diferentes dan-do lugar a resultados similares
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas34
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
Cabe anotar que la estabilidad estudiada en esta in-vestigacioacuten es la estabilidad del punto de equilibrio del sistema promediado El promedio elimina toda in-formacioacuten de conmutacioacuten la cual puede ser respon-sable de otros tipos de inestabilidades no predichas mediante un modelo promediado Como liacutenea futura de investigacioacuten se propone encontrar las restriccio-nes para la estabilidad del sistema conmutado utili-zando un modelo en tiempo discreto
AgradecimientosEl presente documente ha sido soportado por el pro-yecto de investigacioacuten de miacutenima cuantiacutea con coacutedigo P14105 financiado por el Instituto Tecnoloacutegico Metro-politano de la ciudad de Medelliacuten Colombia
ReferenciasAbdelali El Aroudi B G (March de 2008) Modelling
and Design Rules of a Two-Cell Buck Converter Un-der a Digital PWM Controller IEEE Transactions on Power Electronics 23(2) 859-870
Bensaid R amp Fadel M (2002) Flying Capacitor Volt-ages Estimation In Three-Cell Converters Using A Discrete-Time Kalman Filter At One Third Switch-ing Period Toulouse Cedex France Laboratoire dlsquoElectrotechnique et dlsquoElectronique Industrielle
Gateau G Maussion P amp Meynard T (1997) Fuzzy Phase Control of Series Multicell Converters Tou-louse Francia Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Poly-technique de ToulouseCentre National de la Re-cherche Scientifique
Hamma F Meynard T amp Viarouge T (1995) Mod-eling of Multilevel Converters Toulouse Cedex 31071 France Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Poly-technique
Meynard T A Fadel M Gateau G Maussion P amp Bensaid R (2001) Multicells Converters Ac-tive Control and Observation of Flying Capacitor Voltages Toulouse Francia Laboratoire drsquoElectro-technique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Polytechnique de ToulouseCentre Na-tional de la Recherche Scientifique
Meynard T A Foch H Thomas P Courault J Jakob R amp Nahrstaedt M (2001) Multicell Converters Basic Concepts and Industry Ber-liacuten Germany Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Polytechnique de ToulouseCentre National de la Recherche Scientifique 31071 Toulouse Ce-dex 7 France ALSTOM Power Conversion GmbH D-12277
Meynard T Fadel M amp Aouda N (1995) Charac-teristics and Design of Multilevel Choppersrdquo Lab-oratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Uni-versid Laval Canadaacute Industrielle URA CNRS TOU-LOUSE Cedex-France et LEEPC
Wilkinson R H Mouton H d amp Meynard T A (2003) Natural Balance of Multicell Converters Toulouse Francia Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Polytechnique de ToulouseCentre National de la Recherche Scientifique
Wilkinson R H Mouton H d amp Meynard T A (2004) Stability Anaacutelisis of Multicell Converter University of Stellenbosch Matieland South Afri-ca Toulouse Francia Laboratoire drsquoElectrotech-nique et drsquoElectronique Industrielle Institut Na-tional Polytechnique de ToulouseCentre National de la Recherche Scientifique
Yousefzadeh V Alarcoacuten E amp Maksimovic D (2005) Three-Level Buck Converter for Envelope Track-ing in RF Power Amplifiers APECrsquo05- IEEE Applied Power Electronics Conference 2005 Austin Texas
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas32
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
C R k V C R Lk V4in in02 3
04 4
02
02
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02 2x x+ +
C R k V Lin03 3
03 3- V
pppp
pppp
pppp
pppp
Rk k V V L k V C Rk V31 1
in ref in in
11
12
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14
12
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24
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33
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14
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1 0 0 0 0 0 0 02x x x
=+ -Q V
C C C R Lk V C R k V4 6f in in0 03
02 3
02 2
02 4
02 2
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C R k V L C R k V L6 2in in0402 2
04
02 4
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C R k V C R k V L4 2in in02 4
0 04
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C R k V C R k V2in in02 4
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C R k V L C R k V L6 4in in040 0
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C R k V L C R k V2 in in0302 2
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C R k V L C R k V L2 2in in0403 3
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R L k V C R Lk V2in in4 2
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R L k V R L k V C2 2in in4 2
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C R k V L C R k V2 in in0402 2
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k V C R C R k Vin in04 4
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L R C k V C R k V4in in02 2 2
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C R k V L C R k V L2 2in in030 0
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Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
Se puede observar que las menores principa-les son todas mayores que cero para k 0gt1 y ( )k V C Rk V 0gtin in0 0 0 0 0x x+ - y k 0gt0 por lo tanto k
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q V lo cual se da para RC gt0 0x
Simulaciones numeacutericasLas simulaciones se realizaron en PSIM reg utilizan-do un convertidor buck multicelular de dos cel-das con los siguientes valores en sus componen-tes C F3 5f n= C F1o n= L mH6 25= R 75X= V V36in = y V V27ref =
Caso de control proporcional
Para la etapa de control proporcional se simuloacute con los siguientes paraacutemetros el PWM se implementoacute a una frecuencia de 10 kHz la ganancia proporcional
k 0 38450 = las ganancias del lazo de control para el condensador flotante k k k 0 022 1 1=- = La simula-cioacuten se presenta en la figura 4 donde se puede ob-servar que el voltaje de salida se estabilizoacute en aproxi-madamente V V250 = razoacuten por la cual se propone antildeadir maacutes adelante el control integral para eliminar el error de estado estacionario
Figura 4 Simulacioacuten control proporcional
Caso de control proporcional integral
El control PI se simuloacute con los siguientes paraacutemetros la ganancia k 0 021 = la ganancia integral k 0 38450 =
el tiempo integral 8 34 10 4x= - seg cumpliendo con la restriccioacuten RC gt0 0x En la figura 5 se presenta la simulacioacuten donde efectivamente se observa coacutemo a lo largo de la simulacioacuten el error de estado estacio-nario tiende a cero
Figura 5 Simulacioacuten control proporcional integral
En la figura 6 se observan los valores de ko y 0x para los cuales el sistema linealizado es estable con los pa-raacutemetros utilizados en la simulacioacuten anterior
Figura 6 Restriccioacuten ko Vs o
ConclusionesEn este trabajo se presentoacute una manera sistemaacutetica de obtener el modelo promediado de un convertidor buck de dos celdas Igual que en el caso de un buck de una ceacutelula este modelo se puede obtener circui-talmente o bien promediando las ecuaciones en el es-pacio de estado A partir del modelo se estudioacute la es-tabilidad de sistema linealizado bajo dos estrategias de control y se encontroacute de manera analiacutetica las res-tricciones para los valores de las ganancias para las cuales el sistema linealizado permanece estable Para ello se utilizaron dos planteamientos diferentes dan-do lugar a resultados similares
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas34
Revista Digital de la Facultad de Ciencias Naturales e Ingenieriacutea de la UJTL
Cabe anotar que la estabilidad estudiada en esta in-vestigacioacuten es la estabilidad del punto de equilibrio del sistema promediado El promedio elimina toda in-formacioacuten de conmutacioacuten la cual puede ser respon-sable de otros tipos de inestabilidades no predichas mediante un modelo promediado Como liacutenea futura de investigacioacuten se propone encontrar las restriccio-nes para la estabilidad del sistema conmutado utili-zando un modelo en tiempo discreto
AgradecimientosEl presente documente ha sido soportado por el pro-yecto de investigacioacuten de miacutenima cuantiacutea con coacutedigo P14105 financiado por el Instituto Tecnoloacutegico Metro-politano de la ciudad de Medelliacuten Colombia
ReferenciasAbdelali El Aroudi B G (March de 2008) Modelling
and Design Rules of a Two-Cell Buck Converter Un-der a Digital PWM Controller IEEE Transactions on Power Electronics 23(2) 859-870
Bensaid R amp Fadel M (2002) Flying Capacitor Volt-ages Estimation In Three-Cell Converters Using A Discrete-Time Kalman Filter At One Third Switch-ing Period Toulouse Cedex France Laboratoire dlsquoElectrotechnique et dlsquoElectronique Industrielle
Gateau G Maussion P amp Meynard T (1997) Fuzzy Phase Control of Series Multicell Converters Tou-louse Francia Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Poly-technique de ToulouseCentre National de la Re-cherche Scientifique
Hamma F Meynard T amp Viarouge T (1995) Mod-eling of Multilevel Converters Toulouse Cedex 31071 France Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Poly-technique
Meynard T A Fadel M Gateau G Maussion P amp Bensaid R (2001) Multicells Converters Ac-tive Control and Observation of Flying Capacitor Voltages Toulouse Francia Laboratoire drsquoElectro-technique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Polytechnique de ToulouseCentre Na-tional de la Recherche Scientifique
Meynard T A Foch H Thomas P Courault J Jakob R amp Nahrstaedt M (2001) Multicell Converters Basic Concepts and Industry Ber-liacuten Germany Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Polytechnique de ToulouseCentre National de la Recherche Scientifique 31071 Toulouse Ce-dex 7 France ALSTOM Power Conversion GmbH D-12277
Meynard T Fadel M amp Aouda N (1995) Charac-teristics and Design of Multilevel Choppersrdquo Lab-oratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Uni-versid Laval Canadaacute Industrielle URA CNRS TOU-LOUSE Cedex-France et LEEPC
Wilkinson R H Mouton H d amp Meynard T A (2003) Natural Balance of Multicell Converters Toulouse Francia Laboratoire drsquoElectrotechnique et drsquoElectronique Industrielle Institut National Polytechnique de ToulouseCentre National de la Recherche Scientifique
Wilkinson R H Mouton H d amp Meynard T A (2004) Stability Anaacutelisis of Multicell Converter University of Stellenbosch Matieland South Afri-ca Toulouse Francia Laboratoire drsquoElectrotech-nique et drsquoElectronique Industrielle Institut Na-tional Polytechnique de ToulouseCentre National de la Recherche Scientifique
Yousefzadeh V Alarcoacuten E amp Maksimovic D (2005) Three-Level Buck Converter for Envelope Track-ing in RF Power Amplifiers APECrsquo05- IEEE Applied Power Electronics Conference 2005 Austin Texas
Pelaacuteez et al 2014 33
Vol 4 Ndeg 2 pp 26-34 julio-diciembre 2014
Se puede observar que las menores principa-les son todas mayores que cero para k 0gt1 y ( )k V C Rk V 0gtin in0 0 0 0 0x x+ - y k 0gt0 por lo tanto k
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q Vk
V RC0gt gt
in0
0 0
0
xx-Q V lo cual se da para RC gt0 0x
Simulaciones numeacutericasLas simulaciones se realizaron en PSIM reg utilizan-do un convertidor buck multicelular de dos cel-das con los siguientes valores en sus componen-tes C F3 5f n= C F1o n= L mH6 25= R 75X= V V36in = y V V27ref =
Caso de control proporcional
Para la etapa de control proporcional se simuloacute con los siguientes paraacutemetros el PWM se implementoacute a una frecuencia de 10 kHz la ganancia proporcional
k 0 38450 = las ganancias del lazo de control para el condensador flotante k k k 0 022 1 1=- = La simula-cioacuten se presenta en la figura 4 donde se puede ob-servar que el voltaje de salida se estabilizoacute en aproxi-madamente V V250 = razoacuten por la cual se propone antildeadir maacutes adelante el control integral para eliminar el error de estado estacionario
Figura 4 Simulacioacuten control proporcional
Caso de control proporcional integral
El control PI se simuloacute con los siguientes paraacutemetros la ganancia k 0 021 = la ganancia integral k 0 38450 =
el tiempo integral 8 34 10 4x= - seg cumpliendo con la restriccioacuten RC gt0 0x En la figura 5 se presenta la simulacioacuten donde efectivamente se observa coacutemo a lo largo de la simulacioacuten el error de estado estacio-nario tiende a cero
Figura 5 Simulacioacuten control proporcional integral
En la figura 6 se observan los valores de ko y 0x para los cuales el sistema linealizado es estable con los pa-raacutemetros utilizados en la simulacioacuten anterior
Figura 6 Restriccioacuten ko Vs o
ConclusionesEn este trabajo se presentoacute una manera sistemaacutetica de obtener el modelo promediado de un convertidor buck de dos celdas Igual que en el caso de un buck de una ceacutelula este modelo se puede obtener circui-talmente o bien promediando las ecuaciones en el es-pacio de estado A partir del modelo se estudioacute la es-tabilidad de sistema linealizado bajo dos estrategias de control y se encontroacute de manera analiacutetica las res-tricciones para los valores de las ganancias para las cuales el sistema linealizado permanece estable Para ello se utilizaron dos planteamientos diferentes dan-do lugar a resultados similares
Anaacutelisis de la estabilidad de un convertidor buck multicelular de dos celdas34
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Cabe anotar que la estabilidad estudiada en esta in-vestigacioacuten es la estabilidad del punto de equilibrio del sistema promediado El promedio elimina toda in-formacioacuten de conmutacioacuten la cual puede ser respon-sable de otros tipos de inestabilidades no predichas mediante un modelo promediado Como liacutenea futura de investigacioacuten se propone encontrar las restriccio-nes para la estabilidad del sistema conmutado utili-zando un modelo en tiempo discreto
AgradecimientosEl presente documente ha sido soportado por el pro-yecto de investigacioacuten de miacutenima cuantiacutea con coacutedigo P14105 financiado por el Instituto Tecnoloacutegico Metro-politano de la ciudad de Medelliacuten Colombia
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