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Análise da influência do uso de TMDs na resposta sísmica
de edifícios altos
Maria Leonor Andrade e Sousa Braula Reis
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Orientador: Professor Luís Manuel Coelho Guerreiro
Júri
Presidente: Professor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro
Orientador: Professor Luís Manuel Coelho Guerreiro
Vogal: Professor Carlos Alberto Ferreira de Sousa Oliveira
Outubro de 2015
II
III
RESUMO
As estruturas altas são um desafio no âmbito da engenharia pela sua elevada vulnerabilidade às acções
horizontais. A resposta destas estruturas a uma acção dinâmica horizontal como a acção sísmica
depende largamente das suas características dinâmicas. A protecção sísmica vem conferir às
estruturas um comportamento dinâmico mais adequado, como é o caso do TMD (do inglês Tuned Mass
Damper). Este dispositivo actua ao gerar uma reacção de sentido contrário ao movimento da estrutura
induzido por uma acção dinâmica. Neste estudo foram testados os fundamentos teóricos do
funcionamento do TMD formulados no passado através de análises paramétricas numéricas sobre duas
estruturas: um oscilador de um grau de liberdade e uma estrutura real de um edifício alto, a Torre Hito
Cultural, um edifício com 30 pisos, em construção no Perú. Em cada um desses estudos foram
realizados conjuntos de testes que avaliaram cada um dos parâmetros que mais condicionam a eficácia
do TMD no controlo da resposta sísmica da estrutura, nomeadamente a massa, frequência,
amortecimento e localização do TMD e o amortecimento da estrutura base. Foram sempre comparadas
a resposta de cada estrutura antes e depois da colocação do TMD. Com estes dados foi concluído que
o TMD é um dispositivo pouco eficaz no controlo da resposta sísmica de edifícios altos, nomeadamente
em edifícios com características de flexibilidade altas.
PALAVRAS-CHAVE
Sistemas de Protecção Sísmica, Tuned Mass Damper, Edifícios Altos, Acção Sísmica
IV
V
ABSTRACT
Tall buildings are often a challenging type of structures in the engineering field due to their high
vulnerability to horizontal loads. The response of this type of structures to dynamic horizontal loads like
seismics loads depends greatly on its dynamic behaviour. Through the incorporation of seismic
protection, like Tuned Mass Dampers, structures can attain a better dynamic response. This device
counteracts the strucutre’s motion by creating a reaction on it in the opposite direction throughout the
time of exposition to the dynamic load. In this study, the theoretical basis of the TMD’s operation are
tested through numerical analyses on two structures: a single-degree-of-freedom oscillator and a real
high rise building under construction in Peru, with 30 floors. For each strucutre, a set of tests were
performed, each one to evaluate one of the parameters that affects the most the effectiveness of the
TMD on the control of the strucutre’s seismic behaviour, namely the mass, the frequency, the damping
and location of the TMD, and the damping of the base structure. The different responses of the structure
before and after the installation of the device were compared. With the obtained results, it was concluded
that TMDs are not very effective in controlling the seismic behaviour of tall buildings.
KEYWORDS
Seismic Protective Systems, Tuned Mass Damper, Tall Buildings, Seismic Load
VI
VII
ÍNDICE DO TEXTO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 1
1.1 Enquadramento ....................................................................................................................... 1
1.2 Objectivos da dissertação ....................................................................................................... 1
1.3 Metodologia do trabalho .......................................................................................................... 1
1.4 Estrutura da dissertação .......................................................................................................... 2
2 SISMOS EM EDIFÍCIOS ALTOS ..................................................................................................... 5
2.1 Acção sísmica.......................................................................................................................... 5
2.2 Registo histórico de eventos sísmicos .................................................................................... 5
2.3 Edifícios altos - introdução ...................................................................................................... 7
2.4 Edifícios altos – resposta à acção sísmica .............................................................................. 8
3 PROTECÇÃO SÍSMICA ATRAVÉS DO USO DE TUNED MASS DAMPERS .............................. 11
3.1 Dimensionamento anti-sísmico de estruturas: estratégias ................................................... 11
3.2 Sistemas de Protecção Sísmica ............................................................................................ 12
3.3 TMD – fundamento teórico .................................................................................................... 14
3.4 Adaptações do modelo teórico .............................................................................................. 21
Acção sísmica .................................................................................................................... 21
Graus de liberdade ............................................................................................................ 22
3.5 Processo de dimensionamento ............................................................................................. 22
3.6 TMDs e edifícios altos ........................................................................................................... 23
Estudos realizados ............................................................................................................ 23
Aplicações existentes ........................................................................................................ 24
4 ESTUDO PRELIMINAR ................................................................................................................. 27
4.1 Introdução .............................................................................................................................. 27
4.2 Modelo base .......................................................................................................................... 27
4.3 Aplicação do TMD ................................................................................................................. 28
4.4 Acções impostas ................................................................................................................... 29
4.5 Resultados ............................................................................................................................. 30
4.6 Conclusões ............................................................................................................................ 40
VIII
5 CASO DE ESTUDO ....................................................................................................................... 41
5.1 Introdução .............................................................................................................................. 41
5.2 Estrutura base ....................................................................................................................... 41
Estrutura real e modelo computacional ............................................................................. 41
Comportamento dinâmico da estrutura livre ..................................................................... 43
5.3 Dimensionamento e modelação do TMD .............................................................................. 50
Estudo paramétrico 1 - factor 𝝁 ......................................................................................... 51
Estudo paramétrico 2 – localização do TMD ou múltiplos TMDs ...................................... 58
Estudo paramétrico 3 – amortecimento do TMD ............................................................... 62
Análise comparativa .......................................................................................................... 64
Estudo sobre acção sinusoidal .......................................................................................... 65
6 CONCLUSÕES E FUTUROS DESENVOLVIMENTOS ................................................................. 67
7 REFERÊNCIAS .............................................................................................................................. 69
8 ANEXOS ........................................................................................................................................ 71
8.1 ANEXO 1 – ACELEROGRAMAS UTILIZADOS .................................................................... 71
8.2 ANEXO 2 – VARIAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS COM AS SOLUÇÕES 𝝁 = 𝟒% E 𝝁 = 𝟓%
74
IX
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1 – Mortes causadas por desastres naturais no período 1950 – 2015: nº total de mortes
(esq.) e nº médio de mortes por ocorrência (dir.) (EM-DAT, 2015) ................................................. 6
Figura 2.2 - Representação esquemática dos três primeiros modos de vibração de um edifício
corrente ............................................................................................................................................ 8
Figura 2.3 - Representação esquemática do período natural de edifícios de diferentes alturas
(Hutchinson et al. 2001) ................................................................................................................. 10
Figura 3.1 - Esquema representativo de um TMD sobre uma estrutura (Makita Corporation, 2015) ... 13
Figura 3.2 - Modelo teórico do funcionamento de um TMD sem amortecimento sobre uma estrutura
também sem amortecimento .......................................................................................................... 14
Figura 3.3 – Variação do coeficiente de amplificação dinâmica da estrutura base com 𝝎𝟏, para as
situações sem TMD e com TMD (𝝃𝟐 = 𝝃𝟏 = 𝟎, 𝒒 = 𝟏, 𝝁 = 𝟎. 𝟎𝟓 e 𝝁 = 𝟎. 𝟐) ................................ 16
Figura 3.4 - Modelo teórico do funcionamento de um TMD com amortecimento sobre uma estrutura
sem amortecimento ........................................................................................................................ 17
Figura 3.5 - Variação do coeficiente de amplificação dinâmica da estrutura base com 𝝎𝟏 num sistema
com TMD tomando q=1, 𝝁=0.2 e fazendo variar o amortecimento do TMD (𝝃𝟐 = 𝟎. 𝟏, 𝝃𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟓 e
𝝃𝟐 = 𝟎. 𝟐) ........................................................................................................................................ 17
Figura 3.6 - Variação do coeficiente de amplificação dinâmica da estrutura base com 𝝎𝟏 num sistema
com TMD tomando 𝝁=0.25, 𝝃𝟐=0.219 e fazendo variar o parâmetro q (𝒒 = 𝟎. 𝟕, 𝒒ó𝒑𝒕=0.8 e 𝒒 =
𝟎. 𝟗) ................................................................................................................................................. 19
Figura 3.7 - Modelo teórico do funcionamento de um TMD com amortecimento sobre uma estrutura
sem amortecimento ........................................................................................................................ 20
Figura 3.8 – Curvas de amplificação dinâmica em função de 𝒒 e de 𝝃𝟐, adaptado de (Bachmann and
Weber, 1995) .................................................................................................................................. 20
Figura 3.9 - Curvas do parâmetro q óptimo em função do parâmetro μ, para diferentes coeficientes de
amortecimento da estrutura principal (𝝃𝟏 = 𝟎%, 𝝃𝟏 = 𝟏%, 𝝃𝟏 = 𝟐% e 𝝃𝟏 = 𝟓%), adaptado de
(Bachmann and Weber, 1995) ....................................................................................................... 21
Figura 3.10 – TMD instalado no edíficio John Hancock Tower (LeMessurier, 2015) ........................... 24
X
Figura 3.11 – Edifício Taipei 101 (dir.), localização do TMD (centro) e pormenor do TMD (dir.).
Adaptado de (Wikipedia, 2015; Hernández, 2015) ........................................................................ 25
Figura 4.1 - Deformadas dos modos de vibração de uma estrutura com dois graus de liberdade ...... 28
Figura 4.2 - Comparação das frequências de vibração para vários factores μ .................................... 32
Figura 4.3 - Variação dos deslocamentos do oscilador para diferentes factores μ, para uma acção
sinusoidal (esq.) e para uma acção sísmica (dir.) ......................................................................... 33
Figura 4.4 - Variação dos deslocamentos do oscilador para diferentes factores 𝝃𝟐, para uma acção
sinusoidal (esq.) e para uma acção sísmica (dir.) ......................................................................... 35
Figura 4.5 - Comparação das frequências de vibração para vários factores 𝒒 .................................... 37
Figura 4.6 - Variação dos deslocamentos do oscilador para diferentes factores q, para uma acção
sinusoidal (esq.) e para uma acção sísmica (dir.) ......................................................................... 38
Figura 5.1 – Projecto do edifício Torre Hito Cultural (COSAPI, 2015) .................................................. 42
Figura 5.2 – Modelo estrutural 3D (esq.); Planta corrente (baixo); Planta aumentada dos pisos 1 a 7
(cima à esq.); Planta reduzida dos pisos 1 e 2 (cima à dir.) .......................................................... 42
Figura 5.3 - Deformadas dos 3 primeiros modos de vibração .............................................................. 43
Figura 5.4 – Identificação dos alinhamentos sujeitos a análise ............................................................ 44
Figura 5.5 - Evolução dos deslocamentos absolutos da estrutura livre em altura nas duas direcções e
nos 4 alinhamentos, para acção sísmica em X (esq.) e em Y (dir.) .............................................. 45
Figura 5.6 – Deformada do último piso para a acção sísmica segundo X (esq.) e segundo Y (dir.) .... 46
Figura 5.7 - Evolução dos deslocamentos relativos da estrutura livre em altura nos 4 alinhamentos, na
direcção da acção sísmica (X à esquerda e Y à direita) ................................................................ 47
Figura 5.8 - Evolução do esforço transverso em altura para a acção sísmica segundo X (esq.) e
segundo Y (dir.) .............................................................................................................................. 49
Figura 5.9 – Imagem da modelação de um TMD no topo do edifício ................................................... 51
Figura 5.10 – Evolução dos deslocamentos em altura para os 4 testes do estudo paramétrico 1 ...... 53
Figura 5.11 – Variação dos deslocamentos absolutos em altura para os vários testes do estudo
paramétrico 1 ................................................................................................................................. 54
Figura 5.12 – Comparação da variação de deslocamentos absolutos para os 4 testes do estudo
paramétrico 1 ................................................................................................................................. 55
Figura 5.13 - Variação do esforço transverso em altura para os 4 testes do estudo paramétrico 1 ... 56
XI
Figura 5.14 - Comparação da variação de esforços transversos para os 4 testes do estudo
paramétrico 1 ................................................................................................................................. 57
FIgura 5.15 - Variação dos deslocamentos absolutos em altura para os vários testes do estudo
paramétrico 2 ................................................................................................................................. 59
Figura 5.16 - Comparação da variação de deslocamentos absolutos para os vários testes do estudo
paramétrico 2 ................................................................................................................................. 60
FIgura 5.17 - Variação do esforço transverso em altura para os vários testes do estudo paramétrico 2
........................................................................................................................................................ 61
FIgura 5.18 - Comparação da variação de esforços trasnversos para os vários testes do estudo
paramétrico 2 ................................................................................................................................. 61
Figura 5.19 – Variação dos deslocamentos absolutos em altura para os vários testes do estudo
paramétrico 2 ................................................................................................................................. 63
XII
XIII
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 2.1 - Registo dos sismos mais mortíferos desde 1990 (USGS, 2015). ...................................... 7
Tabela 3.1 – Definição dos parâmetros de estudo do funcionamento de um TMD sem amortecimento
........................................................................................................................................................ 15
Tabela 4.1 - Propriedades do oscilador de 1 grau de liberdade utilizado no estudo preliminar ........... 28
Tabela 4.2 – Resultados base para a escolha do sismo representativo .............................................. 30
Tabela 4.3 – Teste efectuados para estudar a influência do factor 𝝁 ................................................... 31
Tabela 4.4 – Resultados dos testes efectuados para estudar a influência do factor 𝝁 ........................ 33
Tabela 4.5 - Testes efectuados para estudar a influência do amortecimento do TMD ........................ 34
Tabela 4.6 – Resultados dos testes efectuados para estudar a influência do amortecimento do TMD35
Tabela 4.7 - Testes efectuados para estudar a influência do parâmetro 𝒒 .......................................... 36
Tabela 4.8 – Resultados dos testes efectuados para estudar a influência do parâmetro 𝒒 ................. 37
Tabela 4.9 - Testes efectuados para estudar a influência do amortecimento do oscilador .................. 39
Tabela 4.10 - Resultados dos testes efectuados para estudar a influência do amortecimento do
oscilador ......................................................................................................................................... 39
Tabela 5.1 – Resultados da análise modal da estrutura livre ............................................................... 43
Tabela 5.2 - Testes efectuados no estudo paramétrico 1 ..................................................................... 51
Tabela 5.3 - Análise das alterações aos primeiros modos de translação em X e Y geradas pela
introdução de um TMD com diferentes factores 𝝁 ......................................................................... 52
Tabela 5.4 – Esforço transverso e deslocamento relativo máximos para cada factor 𝝁 ...................... 57
Tabela 5.5 - Esforço transverso e deslocamento relativo máximos para cada factor de amortecimento
do TMD ........................................................................................................................................... 63
Tabela 5.6 – Análise comparativa geral ................................................................................................ 64
Tabela 5.7 – Variação dos deslocamentos da estrutura para uma acção sinusoidal ........................... 66
XIV
XV
ÍNDICE DE ABREVIATURAS
TMD Amortecedor de Massa Sintonizada (Tuned Mass Damper)
EC8 Eurocódigo 8
ÍNDICE DE VARIÁVEIS
T1 Período de vibração do edifício mais baixo
T2 Período de vibração do edifício mais alto
𝜉 Coeficiente de amortecimento
𝐸𝐶 Energia cinética
𝐸𝐷 Energia dissipada
𝐸𝑆 Energia de deformação
𝐸𝐼 Energia imposta
𝛽 Coeficiente de amplificação de deslocamentos
𝑘1 Rigidez do oscilador
𝑘2 Rigidez do TMD
𝐹0 Amplitude da acção harmónica
𝜔 Frequência angular da acção harmónica
𝑡 Tempo
𝑀1 Massa da estrutura base
𝑀2 Massa do TMD
𝜔1 Frequência angular da estrutura base
𝜔2 Frequência angular do TMD
�̅�1 Relação entre a frequência da acção e da estrutura base
�̅�2 Relação entre a frequência da acção e do TMD
𝜇 Relação entre a massa do TMD e a massa da estrutura base
𝑞 Relação entre a frequência do TMD e a frequência da estrutura base
𝑐2 Constante de proporcionalidade do TMD
𝑞ó𝑝𝑡 Relação óptima entre as frequências do TMD e da estrutura base
𝜉2ó𝑝𝑡 Amortecimento óptimo do TMD
𝑓1 Frequência de vibração do oscilador
f2 Frequência de vibração do TMD
ℎ1 Altura do oscilador
𝐸1 Módulo de elasticidade do oscilador
𝑓𝑐 Tensão de rotura do betão à compressão
𝑙𝑋 Dimensão em X do edifício
𝑙𝑦 Dimensão em Y do edifício
XVI
𝛹2 Coeficiente da combinação quase permanente de cargas
Ux Factor de partcicipação de massa no movimento de translação em X
Uy Factor de partcicipação de massa no movimento de translação em Y
Rz Factor de partcicipação de massa no movimento de rotação em torno de Z
𝑑𝑟 Deslocamento relativo entre pisos
ℎ Altura entre pisos
𝐹 Força
𝑑 Deslocamento
V Esforço transverso
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 Enquadramento
A evolução da construção em altura e a concepção de estruturas cada vez mais esbeltas tem levado a
soluções cujo dimensionamento é muito condicionado pelas acções horizontais, nomeadamente a
acção sísmica. São exigidos critérios de resistência e de conforto em serviço que limitam a resposta
aceitável dos edifícios em zonas de elevado risco sísmico. De forma a responder a este desafio, têm
sido desenvolvidas, nos últimos anos, tecnologias de protecção sísmica, que pretendem conferir à
estrutura um melhor comportamento dinâmico. O TMD (do inglês Tuned Mass Damper) é um exemplo
de um dispositivo de protecção sísmica passivo. Materaliza-se por meio de uma massa acoplada à
estrutura através de molas e amortecedores e actua ao gerar forças de inércia de sentido contrário ao
movimento da estrutura induzido por uma acção dinâmica. Apesar de se ter inventado em 1909 a
primeira versão de um TMD (Den Hartog, 1940), o supressor de vibrações, que diferencia do primeiro
por não ter amortecimento, existe ainda um uso limitado deste dispositivo no projecto sísmico de
estruturas, sendo corrente o seu dimensionamento para controlar a acção dinâmica do vento,
nomeadamente de edifícios altos. Esta dissertação surgiu portanto da necessidade de se concluir sobre
a aplicabilidade do TMD no controlo da resposta sísmica, de carácter tão aleatório, de edifícios altos
em zonas de risco sísmico elevado.
1.2 Objectivos da dissertação
Nesta dissertação pretende-se realizar uma análise que demonstre a maior ou menor eficácia que o
uso de TMDs pode ter no controlo da resposta sísmica de edifícios altos. Pretende-se também efectuar
um estudo dos princípios em que o comportamento deste dispositivo se baseia, e comprová-los através
de uma análise numérica sobre um oscilador de um grau de liberdade. É também um objectivo desta
dissertação dar indicações no que diz respeito ao pré-dimensionamento de dispositivos deste tipo para
edifícios altos. Está fora do âmbito deste trabalho uma tomada de decisão sobre a aplicação deste
dispostivo ao caso de estudo real, pois essa decisão tem de ser tomada com base em comparações
com outro tipo de dispositivos e na avaliação do melhor desempenho de cada opção disponível num
conjunto de factores que vai muito para além do factor que aqui é abordado: o desempenho na redução
da resposta dinâmica da estrutura.
1.3 Metodologia do trabalho
Esta dissertação desenvolveu-se em três etapas:
1 Estudo dos fundamentos teóricos do TMD
2 Análise numérica de dois casos de estudo e estruturação da investigação
3 Análise dos resultados obtidos
2
Na primeira etapa foi realizada uma pesquisa bibliográfica sobre a protecção sísmica de estruturas, em
especial sobre o TMD. Estudaram-se as principais características do TMD e os fundamentos que regem
o seu comportamento e os estudos de aplicabilidade deste dispostivo que foram já efectuados, em
especial sobre estruturas altas. A informação analisada foi proveniente de duas principais fontes: as
publicações académicas e as bases de dados online.
Para se validarem os conceitos estudados na etapa de pesquisa bibliográfica, efectuou-se uma análise
numérica simples com base num oscilador de um grau de liberdade, sob o qual se modelou um TMD.
Foram realizados diversos testes cujo objectivo era compreender e garantir o correcto comportamento
dos TMD no modelo computacional. Para isto, fez-se uma comparação dos parâmetros expectáveis
com os resultados obtidos. Depois de validado o modelo computacional do TMD, passou a utilizar-se
como estrutura base um modelo de um edifício alto. Foi feita uma estruturação inicial para a
investigação dos resultados com base num planeamento dos testes a realizar, com base nas
conclusões retiradas do estudo sobre um oscilador de um grau de liberdade. No entanto, à medida que
os resultados desses testes surgiram, a estruturação inicial da investigação foi sendo direccionada e
adaptada.
Na última etapa foi feita uma análise exaustiva dos resultados obtidos através dos testes realizados no
modelo computacional sobre a estrutura de um edifício alto. Analisaram-se os resultados dos dois casos
de estudo, primeiro de forma independente, e comparando os dois para que se pudessem retirar
conclusões significativas.
O TMD e as estruturas alvo de estudo foram modelados recorrendo ao programa de modelação
estrutural SAP2000 (CSI, 2010). Na análise dos resultados utilizaram-se folhas de cálculo e gráficos.
1.4 Estrutura da dissertação
A dissertação está organizada em 2 partes principais. Na primeira parte realiza-se a fundamentação
teórica para na segunda parte se apresentarem os resultados práticos obtidos.
Esta primeira parte integra os capítulos 2 e 3, onde se faz referência da importância de um adequado
dimensionamento de estruturas à acção sísmica e se introduzem os tipos de protecção sísmica
existentes, com especial foco no comportamento do TMD.
No capítulo 2 começa por se apresentar a acção sísmica, em que consiste, que consequências pode
ter nas sociedades, e que desafios traz à engenharia civil. Faz-se um breve resumo dos maiores
desastres ocorridos devido a acções deste tipo, e dá-se especial atenção à importância que a qualidade
na construção tem na minimização das consequências da ocorrência de eventos sísmicos. Estudam-
se as principais características dinâmicas dos edifícios altos, nomeadamente a resposta dos mesmos
à acção sísmica e a especial sensibilidade que apresentam por serem edifícios mais flexíveis.
3
O capítulo 3 inicia-se com uma referência à importância da protecção sísmica das estruturas, e foca-
se no estudo do comportamento de um TMD sobre uma estrutura de um grau de liberdade. São
analisados os diversos parâmetros que condicionam esse comportamento e dadas directrizes para um
dimensionamento adequado.
A segunda parte desta dissertação integra os capítulos 4 e 5 e é uma parte mais prática, onde são
apresentados os resultados práticos do trabalho de dissertação feito com base em modelos
computacionais.
No capítulo 4 a estrutura abordada é um oscilador com apenas um grau de liberdade. São realizados
diversos estudos paramétricos e apresentadas as conclusões retiradas de cada um sobre a influência
de quatro parâmetros na eficácia do TMD, para uma acção harmónica e para uma acção sísmica.
O capítulo 5 é o capítulo onde se empregam os conceitos aprendidos nos capítulos 3 e 4 para aplicar
o TMD a uma estrutura real. Este capítulo está também organizado em estudos paramétricos onde se
pretende estudar a influência de três factores ligados ao dimensionamento do TMD na eficácia do
mesmo, com base numa acção sísmica. São apresentados os resultados obtidos em cada um dos
estudos paramétricos e feita uma análise dos mesmos.
Para terminar, o capítulo 6 ocupa-se das conclusões perspectivando-se futuras linhas de
desenvolvimento do tema.
4
5
2 SISMOS EM EDIFÍCIOS ALTOS
2.1 Acção sísmica
De acordo com a teoria do ressalto elástico formulada por H. F. Reid em 1910 as placas tectónicas
estão constantemente impedidas de se movimentarem umas em relação às outras pelo atrito entre
elas, acumulando energia potencial (Lopes, 2008). Quando a energia acumulada nessa zona supera a
resistência do plano da falha, gera-se um impulso súbito e as placas ressaltam elasticamente libertando
energia sob a forma de calor e de ondas elásticas. Ocorre então o fenómeno natural a que chamamos
sismo (Lopes, 2008).
A energia libertada pelo sismo propaga-se desde a zona epicentral através do meio sob a forma de
ondas de dois tipos: ondas superficiais e ondas volumétricas, consoante o seu movimento seja à
superfície ou no interior do material terrestre. A velocidade da onda sísmica depende da elasticidade e
densidade do meio na qual se propaga. A amplitude da onda sísmica não é constante - cada amplitude
de oscilação é uma fracção, quase igual à unidade, da amplitude anterior. A atenuação da amplitude
tem duas origens: atenuação geométrica, em que a amplitude diminui, pela conservação de energia,
com o inverso da distância percorrida, e atenuação inelástica, devido à dissipação de energia por efeito
do atrito interno das rochas (Lopes, 2008). Para além disso, resultados experimentais evidenciam que
as ondas de alta frequência perdem energia (sofrendo atenuação da sua amplitude) em menos tempo
ou percorrendo uma menor distância do que ondas com frequências mais baixas (Sharma, 1997).
A intensidade de um sismo sentida num local depende essencialmente de três factores: da magnitude
do sismo, da distância do local ao hipocentro e do tipo de solo no qual se propaga. Segundo (Taranath,
2005), solos mais duros transmitem melhor ondas com períodos baixos, enquanto solos menos
consolidados tendem a transmitir melhor ondas com períodos maiores. Quando um edifício vibra, o seu
movimento pode ser gravemente amplificado se o seu período fundamental coincidir com o período das
vibrações transmitidas pelo solo. Como exemplo, refere-se o sismo de 1985 no México. Apesar do
epicentro se ter localizado a várias centenas de quilómetros da capital, as destruições nesta cidade
foram muito maiores que em cidades costeiras mais próximas do epicentro. A Cidade do México está
em grande parte edificada sobre os aluviões de um antigo lago, cujo período fundamental de vibração
se aproxima do período de muitos edifícios sobre ele construídos. Caso os sedimentos contenham um
alto teor em água, pode ocorrer a liquefacção do solo, fenómeno que também causa a amplificação
das ondas sísmicas.
2.2 Registo histórico de eventos sísmicos
O sismo tem sido, ao longo da história da Humanidade, um dos desastres naturais com maiores
consequências. Por um lado, as consequências directas sobre a população e construções são
evidentes. Basta analisar eventos sísmicos passados para concluir sobre o número de mortos, feridos
e desalojados e sobre o número de colapsos ou danos graves nas construções que um fenómeno
6
natural com a duração de segundos pode causar. Por outro lado, as consequências indirectas, de
carácter sócio-económico, são também de grande importância. Após um grande sismo existe
dificuldade em retomar a vida quotidiana, em repor stocks e em repor a economia. Este período varia
consoante a capacidade financeira e mentalidade da sociedade afectada. Há ainda outro tipo de
consequências não quantificáveis: a perda de património, a diminuição do turismo, o impacto no
desenvolvimento social ou mesmo o efeito psicológico negativo causado nas populações (Lopes,
2008). É um fenómeno natural que pode moldar a História de uma população.
Na Figura 2.1 pode ser observado o número total de mortes causadas por alguns dos principais
desastres naturais no perído de 1950 a 2015, bem como o número médio de mortes por ocorrência de
desastre natural no mesmo período. A informação está organizada por continentes.
Nos últimos 65 anos, a cheia foi o desastre natural responsável pelo maior número de mortes. Das
2 379 122 mortes, 96% ocorreram no continente asiático. Por outro lado, pode concluir-se pela Figura
2.1 que o sismo é o desastre natural com maiores consequências por ocorrência (uma média de 3 696
pessoas por cada sismo ocorrido). No período estudado morreram, em média, 18 533 pessoas por ano
devido à ocorrência de sismo1.
Grande parte das mortes causadas por sismo referidas anteriormente vêm de casos particulares de
sismos de intensidade muito elevada que tiveram consequências catastróficas.
Na Tabela 2.1 apresentam-se os sismos que, desde 1990, causaram mais mortes. É apresentada
informação sobre a data e localização do epicentro, bem como o número de mortes e a magnitude de
momento do sismo.
1 O número de mortes por sismo referido daqui em diante inclui aquelas causadas indirectamente por fenómenos
provocados pela ocorrência de um sismo. A título de exemplo, as 230 000 mortes que ocorreram devido ao tsunami do Oceano Índico em 2004 estão também incluídas, pois a origem do tsunami foi a de um sismo de escala 9.1 com duração aproximada de 8.3 minutos e epicentro na costa oeste da Sumatra, na Indonésia.
0.E+00 1.E+06 2.E+06
Sismos
Ondas de calor
Cheias
Incêndios
Desliz. de terras
Vulcanismo
Ventos
África América Ásia
Europa Oceania
0 1000 2000 3000
Sismos
Ondas de calor
Cheias
Incêndios
Desliz. de terras
Vulcanismo
Ventos
África América Ásia
Europa Oceania
Figura 2.1 – Mortes causadas por desastres naturais no período 1950 – 2015: nº total de mortes (esq.) e nº médio de mortes por ocorrência (dir.) (EM-DAT, 2015)
7
Tabela 2.1 - Registo dos sismos mais mortíferos desde 1990 (USGS, 2015).
Data Localização Mw Número de mortes
2010 Port-au-Prince, Haiti 7.0 316 000
2004 Sumatra, Indonésia 9.1 227 898
2008 Sichuan, China 7.9 87 587
2005 Caxemira, Paquistão 7.6 80 361
1990 Gilan, Irão 7.4 50 000
2003 Bam, Irão 6.6 31 000
2011 Sendai, Japão 9.0 20 896
Pode concluir-se pela análise da Tabela 2.1 o que já antes se tinha mencionado: a intensidade de um
sismo não depende apenas da sua magnitude. A distância ao hipocentro, o tipo de solo, a geração ou
não de um tsunami e a qualidade da construção das infraestruturas do local afectado são exemplos de
factores que condicionam muito o nível de danos causados.
Em relação à qualidade da construção, é interessante comparar dois sismos ocorridos em 2010, com
apenas 6 semanas de diferença, um no Haiti e outro no Chile. O primeiro consta da Tabela 2.1 e é o
sismo mais mortífero desde o início do século XX, com uma magnitude de momento de 7.0. O segundo,
libertando uma energia 500 vezes superior2, provocou apenas 525 mortes. Enquanto as normas
chilenas de construção são muito exigentes quanto à resistência ao sismo, no Haiti o controlo da
qualidade da construção não tem a importância que deveria ter. Os materiais usados não são
adequados, a localização das construções é pouco regulada e os Arquitectos, Engenheiros e
Construtores envolvidos em grande parte das obras têm, em geral, qualificação inferior à que deveriam.
A construção deficiente do Haiti causou o colapso de milhares de estruturas, sendo uma das principais
causas do elevado número de mortes e deixando quase 2.3 milhões de pessoas sem casa (Nations,
2010).
2.3 Edifícios altos3 - introdução
A construção em altura tem fascinado o Homem desde o início das civilizações. Em tempos antigos, as
obras construídas serviam de homenagens ou monumentos. Deste então que a motivação por trás da
construção em altura se tem modificado, bem como os processos construtivos que facilitam a mesma.
A maioria dos edifícios altos contemporâneos são construídos com o objectivo de combater pressões
demográficas e económicas, representando e acompanhando o progresso industrial das grandes
cidades (Taranath, 2005). Dado que os efeitos das acções horizontais aumentam com a massa e área
de exposição do edifício, tendem também a aumentar com a altura do mesmo. Segundo um estudo
publicado do CTBUH Journal de 2008 (CTBUH, 2008), a média das alturas dos 100 edifícios mais altos
no Mundo aumentou de cerca de 150 metros em 1930 para 350 metros em 2010. A evolução da
construção em altura e a concepção de estruturas cada vez mais esbeltas tem levado a soluções cujo
dimensionamento é muito condicionado pelas acções horizontais (Carneiro e Martins, 2008).
As principais acções horizontais aplicadas a um edifício são o vento e a acção sísmica.
2 A energia de um sismo relaciona-se com a sua magnitude de momento pela expressão 𝐸 = 10[1.5𝑀𝑤+4.8] . 3 No presente documento, o termo edifício alto designa um edifício com mais de 20 pisos acima da superfície.
8
1º modo (fundamental) 2º modo 3º modo
Ao contrário do vento, uma carga externa proporcional à superfície exposta de uma estrutura, as ondas
sísmicas fazem vibrar as fundações de uma estrutura, que desenvolve forças internas de inércia,
proporcionais à sua massa e à aceleração que lhe é imposta. A energia cinética associada ao
movimento da estrutura é constantemente transformada em energia potencial de deformação, até que
toda a energia é dissipada (Lopes, 2008).
2.4 Edifícios altos – resposta à acção sísmica
Segundo (Taranath, 2005), a magnitude das forças inerciais provocadas num edifício por um
movimento sísmico é condicionada não só pela aceleração do solo e natureza da fundação, como
também pela massa e características dinâmicas da estrutura. A aceleração do solo, natureza da
fundação e massa do edifício são parâmetros relativamente simples de analisar e quantificar. As
características dinâmicas da estrutura são influenciadas por um conjunto de parâmetros mais difíceis
de avaliar, como por exemplo a rigidez ou o amortecimento estrutural. No entanto, para a garantia do
bom comportamento de uma estrutura face a dado evento sísmico, este aspecto tem extrema
importância e é, muitas vezes, o mais controlado por quem elabora um projecto.
O comportamento dinâmico de uma estrutura pode ser analisado se forem conhecidos os seus modos
de vibração, que são função da massa, rigidez e amortecimento da estrutura (Taranath, 2005). Estes
modos podem ser simulados por sistemas com apenas 1 grau de liberdade com um período ou
frequência de vibração próprios.
A Figura 2.2 representa esquematicamente a configuração da deformada dos três primeiros modos de
vibração de uma estrutura corrente. Os pontos de inflexão crescem em número e a deformada torna-
se mais complexa à medida que o modo aumenta. É intuitivo que a configuração do 1º modo de
vibração é aquela que, das três, oferece menor resistência à deformação e portanto maiores
deslocamentos para a mesma acção. Por esta razão, os primeiros modos de vibração são os que mais
influenciam a resposta dinâmica de uma estrutura sujeita a um sismo (Bento, 2008).
Figura 2.2 - Representação esquemática dos três primeiros modos de vibração de um edifício corrente
O factor de participação de massa de cada modo de vibração é uma medida da percentagem de massa
oscilante da estrutura que contribui para a vibração desse modo. Geralmente, quanto maior é o factor
de participação de massa associado a determinado modo de vibração, maior é a influência desse modo
de vibração para a resposta dinâmica de uma estrutura. Segundo (Biggs, 1964), o primeiro modo de
9
vibração contribui em cerca de 80% para a resposta dinâmica total da estrutura, e o segundo e terceiro
modos em 15%. A norma europeia Eurocódigo 8 (EC8 – norma portuguesa NP EN1998) enuncia dois
critérios que permitem seleccionar os modos de vibração que contribuem significativamente para o
comportamento de uma estrutura: (1) a soma das massas modais efectivas para os modos
considerados representa, pelo menos, 90 % da massa total da estrutura, (2) todos os modos com
massas modais efectivas superiores a 5 % da massa total são considerados.
Edifícios altos tendem a ser mais flexíveis do que os edifícios baixos, tendo um período fundamental
de vibração superior. Taranath (Taranath, 2005) afirma que o período fundamental de um edifício alto
pode variar entre 0.05 e 0.30 vezes o número de pisos, dependendo do sistema estrutural e materiais
escolhidos. Alguns autores defendem que considerar um período fundamental de 0.1 vezes o número
de pisos de um edifício é uma boa estimativa. Porém, segundo (Rizk, 2010), esta estimativa, por
apresentar resultados algo afastados dos verificados experimentalmente, apenas deve ser utilizada
para uma validação da concepção efectuada. A fase de dimensionamento, que exige resultados mais
rigorosos, deve ser suportada por uma análise dinâmica da estrutura concebida.
A relação entre a frequência própria de um edifício e a frequência da acção exterior é também um factor
de grande influência no comportamento dinâmico do mesmo. Como foi referido anteriormente, uma
acção sísmica é composta por um conjunto de ondas sísmicas regulares sobrespostas, com diferentes
amplitudes e frequências. O movimento sísmico não é então regular, com apenas uma frequência de
vibração, mas é caracterizado pelo conteúdo de frequências das ondas que o compõem. Se a gama
de frequências das ondas que compõem é análoga à frequência fundamental do edifício, este pode
entrar em ressonância e ser gravemente afectado ou mesmo destruído. Como se referiu anteriormente,
uma onda com frequência alta tende a perder a sua energia percorrendo distâncias pequenas. Deste
modo, uma onda que seja emitida a grande distância de um edifício apenas o alcançará com energia
considerável se tiver uma frequência baixa. Por esta razão, os edifícios mais afectados por sismos cujo
epicentro se localiza a grandes distâncias são os edifícios altos, cuja frequência de vibração é mais
baixa. Os edifícios baixos são mais sensíveis ao movimento sísmico quando se localizam a pequenas
distâncias do seu epicentro.
A Figura 2.3 representa esquematicamente o período natural de dois edifícios de diferentes alturas –
T1 é o período do edíficio mais baixo e T2 do mais alto - e uma onda sísmica com amplitude e frequência
variáveis. Se a onda for emitida afastada dos edíficios, irá provavelmente afectar o edifício mais alto
quando se aproximar dos dois, com uma amplitude já mais baixa que a inicial. Se for emitida próxima
dos edifícios, é mais provável que apenas afecte o edifício baixo, podendo também excitar os modos
de vibração superiores do edifício mais alto, com maiores frequências de vibração.
10
A capacidade de dissipação de energia, ou amortecimento, é também um factor de grande importância
no comportamento dinâmico de uma estrutura. Como já foi referido, uma estrutura deixa de vibrar
quando toda a sua energia é dissipada, pelo que se uma estrutura for dotada de grande capacidade de
dissipação, irá estar sujeita uma vibração de menor amplitude durante um menor período de tempo.
Isto pode ser um factor condicionante na minimização das consequências da acção sísmica sobre as
estruturas. O amortecimento inerente a uma estrutura pode ter várias origens, entre as quais se
destacam:
O amortecimento viscoso interno, associado à viscosidade dos materiais constituites – quanto
mais imperfeito for o material maior será o seu nível de amortecimento. O aço é um material
naturalmente homogéneo, pelo que apresenta um coeficiente de amortecimento relativo baixo
(ξ = 0.02) O mecanismo de abertura de fendas confere ao betão um amortecimento superior.
Por esta razão, o coeficiente de amortecimento relativo utilizado para o betão armado é
usualmente ξ = 0.05. Este amortecimento é proporcional à velocidade e aumenta com a
frequência própria da estrutura (Lopes, 2008; Taranath, 2005);
O amortecimento de Coloumb que ocorre nas ligações entre elementos estruturais, que é
constante e independente da velocidade ou deslocamento (Taranath, 2005);
A amortecimento por histerese que acontece quando a carga aplicada é cíclica, isto é, com
inversão do sentido de carga, como é o caso do sismo, e quando ocorre simultaneamente a
plastificação do material. A energia dissipada transforma-se em calor. A capacidade de
dissipação de energia por histerese depende da ductilidade da estrutura em causa – quanto
maior for o deslocamento máximo num ciclo de carga, maior será a energia dissipada nesse
ciclo (Lopes, 2008);
Existem ainda equipamentos que se aplicam à estrutura com o objectivo de aumentar o amortecimento
da mesma em relação à acção sísmica. São chamados dissipadores de energia e fazem parte do
conjunto de sistemas que permitem melhorar o comportamento sísmico de uma estrutura – os Sistemas
de Protecção Sísmica.
Figura 2.3 - Representação esquemática do período natural de edifícios de diferentes alturas (Hutchinson et al. 2001)
11
3 PROTECÇÃO SÍSMICA ATRAVÉS DO USO DE TUNED MASS
DAMPERS
3.1 Dimensionamento anti-sísmico de estruturas: estratégias
É um facto conhecido que o comportamento de uma estrutura sujeita a uma acção sísmica depende,
entre outros, da intensidade da acção sísmica e da qualidade da construção afectada. A intensidade
da acção sísmica é um parâmetro difícil de quantificar com segurança, dependendo da relação entre
vários factores locais já antes mencionados. Por essa razão, a solução ideal seria calcular com
exactidão o grau de sismicidade a que certo local está exposto. A falta de informação que possa servir
de base a esta estimativa exacta da sismicidade de um certo local leva a que a preocupação recaia
sobre a estrutura a construir (Linde, 1993). A preocupação em conferir às estruturas um comportamento
com alguma resistência a eventos sísmicos iniciou-se há séculos atrás – podemos tomar o exemplo da
reconstrução de Lisboa após o sismo de 1755, onde se incorporaram técnicas construtivas inovadoras
no campo da construção anti-sísmica, como a gaiola pombalina, que veio conferir capacidade de
dissipação de energia às estruturas (Ramos & Lourenço, 2000). A evolução histórica das normas
sísmicas no Mundo tem-se centrado principalmente na definição de segurança ao sismo, tentando
tornar este conceito mais conciso, específico e baseado no desempenho. Ao longo dos anos, porém, o
princípio de superioridade dos esforços resistentes em relação aos actuantes manteve-se central no
projecto de estruturas. Foram as diferentes interpretações dadas aos conceitos de capacidade
resistente e de acção actuante que levaram à evolução das normas sísmicas ao longo do tempo
(Dhakal, 2011).
A ocorrência incessante de eventos sismícos tem fomentado cada vez mais a procura de uma solução
integrada que confira à estrutura uma capacidade resistente superior à necessária para prevenir o
colapso desta durante um grande sismo mas evitando grandes custos adicionais quando comparada
com uma solução resistente a um sismo de maior probabilidade de ocorrência. Esta filosofia de
dimensionamento anti-sísmico utilizada nas actuais normais sísmicas assenta em dois principais
critérios: Estados Limites de Serviço e Estados Limites Últimos, que diferem nas exigências a nível das
consequências aceitáveis após a ocorrência de um evento sísmico de dada intensidade (Linde & Weng,
1994). Pressupõe a existência de capacidade de deformação plástica da estrutura suficiente para
acomodar os movimentos e a energia libertada por um sismo sem perder capacidade resistente, ou
seja, suficiente resistência e ductilidade.
Esta filosofia é a mais amplamente utilizada e está presente na maior parte das normas sísmicas
existentes. Segundo (Jangid, 2015), apesar desta filosofia dar prioridade à protecção da vida humana
por assentar num pressuposto de resistência e capacidade de deformação, leva geralmente a níveis
de aceleração que induzem danos graves em elementos não estruturais, muitas vezes com custos de
reparação superiores aos da própria estrutura. A análise de viabilidade económica de um projecto que
incorpore técnicas de melhoria do comportamento sísmico deve também incluir todos os custos
12
associados à possível reparação de elementos estruturais e não-estruturais, bem como os benefícios
da operacionalidade pós-sismo (DIS, 2007).
Segundo (Oviedo & Duque, 2006), o equilíbrio energético de uma estrutura submetida a um evento
sísmico é dado pela equação (2.5)
onde 𝐸𝐶 é a energia cinética da estrutura, 𝐸𝐷 a energia dissipada pela estrutura, 𝐸𝑆 a energia de
deformação (elástica e plástica) e histerese do sistema e 𝐸𝐼 a energia imposta pela acção sísmica.
As várias técnicas de melhoria do desempenho sísmico das estruturas actuam ao reduzir a energia
cinética da estrutura, por forma a reduzir os deslocamentos, velocidade ou acelerações a que esta fica
sujeita. Para que o equilíbrio energético se mantenha, uma das parcelas 𝐸𝐷 ou 𝐸𝑆 (ou ambas), tem de
compensar a redução da parcela de energia cinética. A abordagem convencional abordada nos
parágrafos anteriores actua ao aumentar a ductilidade, ou seja, a energia dissipada por deformação
plástica. Restam as hipóteses de reduzir a energia induzida pelo sismo 𝐸𝐼 ou a de aumentar a
capacidade de dissipação da estrutura. Qualquer destas hipóteses pode ser alcançada através de uma
abordagem alternativa que se tem desenvolvido bastante nas últimas décadas.
Esta abordagem alternativa difere da filosofia de dimensionamento anterior por reduzir a necessidade
de capacidade de deformação de uma estrutura sujeita a um sismo, tentando garantir um adequado
comportamento da estrutura durante e após a ocorrência de um sismo. Através da alteração das
características dinâmicas da estrutura, esta abordagem actua fundamentalmente na alteração da
resposta dinâmica de uma estrutura a um evento sísmico. Esta alteração é conseguida com a
introdução de dispositivos auxiliares com funções diversas, os Sistemas de Protecção Sísmica, que
podem actuar reduzindo a energia imposta à estrutura pelo sismo (reduzir a parcela 𝐸𝐼), ou aumentando
a capacidade de dissipação de energia da estrutura (aumentando a parcela 𝐸𝐷).
3.2 Sistemas de Protecção Sísmica
Nas últimas décadas a engenharia sísmica tem sido alvo de grande desenvolvimento, não só pela
crescente exigência de desempenho das estruturas face à acção sísmica e pela revelação da falta de
segurança ao sismo de estruturas construídas ao abrigo de regulamentação anterior, como também
pelo investimento em tecnologias inovadoras que melhoram o comportamento sísmico da estrutura
sem recorrer à sua capacidade de deformação – os Sistemas de Protecção Sísmica. Estas tecnologias
vêm criar uma abordagem alternativa ao tradicional dimensionamento baseado na exploração do
comportamento dúctil de uma estrutura, e são especialmente importantes em estruturas onde esse tipo
de dimensionamento, que admite algum nível de danos estruturais, não é desejável – hospitais, pontes,
centros de emergência ou controlo e todo o tipo de edifícios de maior importância patrimonial
(Guerreiro, 2008).
𝐸𝐶 + 𝐸𝐷 + 𝐸𝑆 = 𝐸𝐼 (3.1)
13
Os sistemas de Protecção Sísmica podem dividir-se em três tipos: activos, passivos ou semi-activos.
Os sistemas de protecção activa funcionam impondo à estrutura forças de modo a anular o efeito do
sismo. Necessitam de uma fonte de energia e utilizam dispositivos controlados por computador para
monitorizar o movimento da estrutura ao longo do tempo. São mais complexos e de custo mais elevado
que os outros tipos de protecção sísmica, mas apresentam um melhor controlo da resposta da estrutura
ao torná-lo mais independente das condições do solo e das características do sismo (Oviedo & Duque,
2006). Os contraventamentos activos, os amortecedores de massa sintonizada activos e o controlo
adaptativo são exemplos deste tipo de protecção sísmica (Guerreiro, 2011). Os sistemas de protecção
semi-activa são sistemas de protecção passiva cujas características podem ser alteradas ao longo da
duração do sismo, optimizando o comportamento da estrutura. Funcionam geralmente com baterias,
consumindo menos energia que os sistemas activos (Guerreiro & Oliveira, 2004). São exemplos de
sistemas de protecção semi-activa os TMD’s semi-activos, os sistemas de rigidez variável e os sistemas
com amortecimento variável (Guerreiro, 2011). Os sistemas de protecção passiva, ao contrário dos
outros dois grupos, não necessitam de fonte de energia, sendo activados pelo próprio movimento da
estrutura. São projectados para alterarem as características dinâmicas da estrutura ou para dissipar
grande parte da energia induzida pelo sismo. Pela sua simplicidade e comprovada eficácia são o grupo
de uso mais difundido, destacando-se o isolamento de base, os dissipadores (histeréticos, viscosos e
visco-elásticos) e o Amortecedor de Massas Sintonizadas, ou TMD (do inglês Tuned Mass Damper)
(Lopes, 2008).
Existem ainda os Sistemas de controlo híbrido, que combinam características de sistemas passivos
com activos. Em relação aos sistemas de controlo activo, reduzem as necessidades energéticas e os
custos e aumentam a segurança. Os amortecedores de atrito variável, os dissipadores de viscosidade
variável e os apoios de isolamento semi-activo são exemplos de sistemas de protecção híbrida, que
ainda se encontra em grande desenvolvimento.
O sistema de protecção sísmica estudado no
desenvolvimento desta dissertação corresponde a um
sistema de controlo passivo, o TMD, constituído por
elementos que respondem de forma inercial à acção
sísmica. Não necessita de uma fonte energética para
funcionar, manifestando a sua eficiência ao diminuir a
resposta estrutural.
A Figura 3.1 representa esquematicamente um TMD
acoplado a um edifício, com um pormenor sobre o seu
funcionamento quando o edifício é solicitado por uma
acção horizontal.
Figura 3.1 - Esquema representativo de um TMD sobre uma estrutura (Makita Corporation, 2015)
14
3.3 TMD – fundamento teórico
O TMD é um sistema constituído por uma massa ligada à estrutura através de uma mola (ou outro meio
elástico flexível) e de amortecedor dispostos em paralelo. Surgiram da verificação analítica e
experimental da transferência de energia de um sistema principal excitado externamente a outro
sistema secundário não excitado acoplado ao primeiro. A acção de controlo é exercida pela reacção
da mola e do amortecedor (variáveis no tempo) sobre a estrutura principal em sentido contrário ao
movimento provocado pela acção externa que se quer anular (Moutinho, 1998).
Um TMD isolado apenas serve para controlar um modo de vibração da estrutura principal. Na maioria
das vezes isto serve para reduzir significativamente a amplitude das vibrações sentidas. Como já foi
referido anteriormente, segundo (Biggs, 1964), o primeiro modo de vibração contribui em cerca de 80%
para a resposta dinâmica total da estrutura. Quando a intenção é controlar simultaneamente o
contributo de modos superiores, torna-se necessária a introdução de mais que um TMD (Bachmann &
Weber, 1995)
Na Figura 3.2 está representado um modelo teórico do funcionamento de um supressor de vibrações
(Vibration Absorber) sobre uma estrutura principal sem amortecimento e com apenas um grau de
liberdade. Um supressor de vibrações, inventado por Frahm em 1909 (Den Hartog, 1940), é em tudo
idêntico ao TMD, apenas com a diferença de não ter amortecimento. Segundo (Den Hartog, 1940), se
o supressor de vibrações for sintonizado de modo a que a sua frequência seja igual à frequência da
excitação aplicada ao sistema principal, estará sujeito a uma vibração que cria na mola (𝑘2) uma força
que é, em todos os instantes, igual e contrária à vibração imposta ao sistema principal (Den Hartog,
1940). Desta forma, a força resultante no sistema principal anular-se-á, anulando também a vibração
do mesmo.
Sobre este sistema mais simples irá ser analisada a influência da variação da massa do TMD no
comportamento da estrutura principal, nomeadamente na amplitude dos deslofcamentos que esta
Figura 3.2 - Modelo teórico do funcionamento de um TMD sem amortecimento sobre uma estrutura também sem amortecimento
15
apresenta. Para isto, irá ser analisada a variação do coeficiente de amplificação dinâmica4 𝛽 para uma
acção dinâmica sinusoidal com amplitude 𝐹0 e frequência 𝜔 actuando sobre a estrutura principal
𝐹(𝑡) = 𝐹0 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔 ∙ 𝑡) (3.2)
Na Tabela 3.1 apresentam-se os parâmetros que irão ser utilizados neste estudo inicial.
Tabela 3.1 – Definição dos parâmetros de estudo do funcionamento de um TMD sem amortecimento
Parâmetros Estrutura Base TMD
Massa 𝑀1 𝑀2
Rigidez da ligação 𝑘1 𝑘2
Frequência angular de vibração
𝜔1 = √𝑘1
𝑀1
𝜔2 = √𝑘2
𝑀2
Relação entre a frequência de excitação e a frequência própria de cada elemento
�̅�1 =𝜔
𝜔1
�̅�2 =𝜔
𝜔2
Relação entre as massas dos elementos
𝜇 =𝑀2
𝑀1
Relação entre as frequências próprias dos elementos
𝑞 =𝜔2
𝜔1
Segundo (Kelly, 1993), o coeficiente de amplificação dinâmica de um sistema sem amortecimento com
apenas um grau de liberdade excitado pela acção harmónica da equação (3.2) é dado por
𝛽 =
1
√[1 − �̅�12]2
(3.3)
Num sistema de dois graus de liberdade sem amortecimento como o representado na Figura 3.2
excitado pela acção sinusoidal da equação (3.2), o coeficiente de amplificação dinâmica do corpo
principal é dado por (Den Hartog, 1940)
Num sistema de um grau de liberdade sem amortecimento, quando a frequência de excitação iguala a
frequência própria do sistema dá-se um fenómeno de ressonância, em que as amplitudes dos
deslocamentos são significativamente aumentadas. O coeficiente de amplificação dinâmica tende para
infinito nessas frequências, chamadas frequências de ressonância (Den Hartog, 1940). O TMD vem
conferir ao sistema original um segundo grau de liberdade, e mais uma frequência de vibração. Uma
das novas frequências será ligeiramente inferior à anterior, quando o TMD e a estrutura vibram em
fase, e a segunda será ligeiramente superior, quando o TMD e a estrutura vibram em oposição de fase,
4 O coeficiente de amplificação dinâmica é uma medida da amplificação da resposta, em termos de deslocamentos, de um sistema com um grau de liberdade solicitado por uma acção dinâmica harmónica com determinada amplitude, quando comparados com os provocados por uma acção estática com força igual à amplitude da acção dinâmica.
𝛽 =
1 − �̅�22
�̅�12 ∙ �̅�2
2 − �̅�22 − (1 + 𝜇) ∙ �̅�1
2 + 1 (3.4)
16
o que resulta na dissipação de energia. Pela análise da expressão (3.4) é possível concluir que no
sistema com dois graus de liberdade é possível anular por completo os deslocamentos na estrutura
inicial desde a frequência do TMD seja igual à frequência de excitação (�̅�2 = 1).
Na Figura 3.3 podem ver-se as curvas do coeficiente de amplificação dinâmico do sistema original em
função da relação entre a frequência de excitação e a frequência própria do sistema original. As três
curvas correspondem a uma situação sem TMD e duas situações com TMD em que se fez variar a sua
massa. Neste exemplo foi tomado um factor 𝑞 = 1, ou seja, uma frequência do TMD igual à do sistema
original.
Figura 3.3 – Variação do coeficiente de amplificação dinâmica da estrutura base com �̅�1, para as situações sem
TMD e com TMD (𝜉2 = 𝜉1 = 0, 𝑞 = 1, 𝜇 = 0.05 e 𝜇 = 0.2)
Pode observar-se que um aumento da massa do TMD provoca um afastamento entre as duas novas
frequências de vibração do sistema. O ideal seria então dotar o TMD de massa suficiente para que as
novas frequências de vibração ficassem fora da gama de frequências mais comum na acção sísmica,
de modo a evitar situações de ressonância. No entanto, esta solução não é viável por várias razões.
Por um lado, a verificação dos Estados Limites de Serviço limita os valores aceitáveis de deformação
das lajes que apoiam o TMD, limitando a sua flecha máxima, pelo que um aumento excessivo da sua
massa pode impedir que essa verificação seja cumprida. Por outro lado, se a massa do TMD aumenta,
para que a sua frequência se mantenha, é necessário aumentar também a rigidez da ligação do TMD
à estrutura base. Um aumento demasiado grande da massa do TMD pode implicar que a ligação fique
rígida, o que anularia o efeito do TMD, tornando-o apenas uma massa concentrada ligada à estrutura
principal, não produzindo o efeito de dissipador de energia (Antunes, 2006).
Para analisar a influência dos restantes parâmetros do TMD – o coeficiente de amortecimento e a
rigidez da mola – no movimento sísmico da estrutura principal, serão usados dois sistemas idênticos
ao anterior mas o primeiro com amortecimento na ligação da estrutura principal ao TMD e o segundo
também com amortecimento na estrutura principal. O primeiro destes sistemas encontra-se
representado na Figura 3.4.
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
𝛽
ω1
Sem TMD μ = 0.05 μ = 0.2
17
Figura 3.4 - Modelo teórico do funcionamento de um TMD com amortecimento sobre uma estrutura sem amortecimento
Segundo (Den Hartog, 1940), num sistema como o representado na Figura 3.4 excitado pela acção
sinusoidal da equação (3.2), o coeficiente de amplificação dinâmica da estrutura principal é dado por
onde ξ2 =𝑐2
2√𝑘2∙𝑀2 é o coeficiente de amortecimento do TMD, sendo 𝑐2 a constante de proporcionalidade
do amortecedor, com unidades de massa por unidade de tempo.
A Figura 3.5 representa a variação do coeficiente de amplitude dinâmica com a relação entre a
frequência de excitação e a frequência própria do sistema original num sistema com 𝑞 = 1 e μ =
0.2, para várias situações de amortecimento do TMD.
Figura 3.5 - Variação do coeficiente de amplificação dinâmica da estrutura base com �̅�1 num sistema com TMD
tomando q=1, 𝜇=0.2 e fazendo variar o amortecimento do TMD (𝜉2 = 0.1, 𝜉2 = 0.15 e 𝜉2 = 0.2)
Pela análise da Figura 3.5 pode verificar-se que:
Para um amortecimento nulo no TMD (𝜉2 = 0), a amplitude da resposta dinâmica é igual à
representada na Figura 3.3 para a situação em que 𝜇 = 0.2, com frequências de ressonância
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
β
ω1
ξ2=0 ξ2=0.1 ξ2=0.15 ξ2=∞
𝛽 = √(2 ∙ 𝜉2 ∙ �̅�1 ∙ 𝑞)2 + (�̅�1
2 − 𝑞2)2
{𝜔̅̅̅̅14 − �̅�1
2 ∙ [1 + (1 + 𝜇) ∙ 𝑞2] + 𝑞2}2 + (2 ∙ 𝜉2 ∙ �̅�1 ∙ 𝑞)2 ∙ [1 − �̅�12 ∙ (1 + 𝜇)]2
(3.5)
18
de 0.8 ∙ 𝜔1 e 1.25 ∙ 𝜔1. Quando o amortecimento do TMD tende para infinito (𝜉2 = ∞), as duas
massas vibram em conjunto e temos um sistema de um só grau de liberdade com massa 6/5 ∙
𝑀1 e frequência de ressonância de 0.91 ∙ 𝜔1 (para o caso específico abordado na Figura 3.5
em que μ = 0.2) (Den Hartog, 1940); a explicação física para isto é dada por (Den Hartog, 1940)
- o trabalho realizado por uma força de amortecimento é igual ao produto dessa força5 pelo
deslocamento associado ao amortecimento. No caso da Figura 3.4, esse deslocamento é dado
pelo deslocamento relativo entre as duas massas, igual à variação de comprimento do
amortecedor. Quando o coeficiente de amortecimento é nulo, a força no amortecedor é nula e,
por isso, o trabalho realizado por ela também o é. Quando o amortecimento tende para infinito,
as duas massas ficam ligadas de tal modo que não existe deslocamento relativo entre elas – o
trabalho realizado pelo amortecedor é também nulo nesta situação. Nestas duas situações, a
amplitude de ressonância tende para infinito. Existe uma situação de amortecimento entre 𝜉2 =
0 e 𝜉2 = ∞ em que o produto entre a força do amortecedor e o deslocamento relativo entre as
massas se torna máximo, sendo a amplitude de ressonância a mínima;
Um amortecimento intermédio introduz no sistema dois máximos de amplitude
correspondentes às frequências de ressonância e um mínimo entre eles, não sendo possível
anular completamente as oscilações da estrutura principal, mas reduzindo significativamente
as frequências de ressonância;
Estes picos localizam-se tanto mais próximos das frequências de ressonância do sistema
anterior sem amortecimento quanto menor for o coeficiente de amortecimento do TMD;
Um maior coeficiente de amortecimento do TMD conduz a menores amplitudes nos pontos de
máximo e maior amplitude no ponto mínimo, ou seja, um menor desnível entre os pontos de
maior e menor amplitude;
Todas as curvas associadas a diferentes coeficientes de amortecimento se intersectam em
dois pontos fixos.
Foi explicado anteriormente que existe uma situação de amortecimento entre 𝜉2 = 0 e 𝜉2 = ∞, para
uma dada combinação de 𝑞 e 𝜇, em que o trabalho realizado pelo amortecedor é máximo e a amplitude
de ressonância mínima. Segundo (Den Hartog, 1940), se todas as curvas de amplificação dinâmica
passam por dois pontos fixos, independemente do amortecimento do TMD, então a maior atenuação
da resposta dinâmica do sistema principal corresponde a uma solução cuja curva de amplificação
dinâmica passa no ponto de maior ordenada com uma tangente horizontal. Basta que se conhecam as
localizações dos dois pontos, para certa combinação de 𝑞 e 𝜇, para ser calculado o “amortecimento
óptimo”, que gera a melhor (menor) “amplitude de ressonância”.
É preciso ter em atenção que um TMD apenas é eficaz até um certo valor de amortecimento conferido
ao movimento relativo entre o TMD e o sistema principal. Valores de amortecimento superiores a certo
limite tendem a suprimir o grau de liberdade adicional que o TMD introduz na estrutura sob a qual actua,
tornando-o apenas uma massa agarrada à estrutura. Um problema do mesmo tipo foi já abordado
5 A força desenvolvida num amortecedor é dada por 𝐹 = 𝑐 ∙ 𝑣, sendo 𝑐 o coeficiente de amortecimento e 𝑣 a
velocidade relativa das suas extremidades.
19
anteriormente, quando uma massa demasiado grande do TMD obrigada a uma ligação rígida à
estrutura principal, anulando igualmente o seu efeito.
Den Hartog (Den Hartog, 1940) defende que é possível tornar a função de amplitude ainda mais
optimizada. Alterando o parâmetro 𝑞 (razão entre as frequências próprias do sistema principal e do
TMD), é possível primeiro nivelar os dois pontos e segundo fazer com que a curva de amplitude
dinâmica passe horizontalmente sobre um deles.
A combinação de parâmetros 𝜉2 e 𝑞 é dada pelas equações (3.6) e (3.7)
A Figura 3.6 mostra a variação do coeficiente de amplificação dinâmica com o parâmetro 𝑞 para um
caso onde foi tomado um valor de 𝜇 = 0.25 e calculados os respectivos parâmetros óptimos, 𝜉2ó𝑝𝑡 =
0.219 e 𝑞ó𝑝𝑡 = 0.8.
Figura 3.6 - Variação do coeficiente de amplificação dinâmica da estrutura base com �̅�1 num sistema com TMD
tomando 𝜇=0.25, 𝜉2=0.219 e fazendo variar o parâmetro q (𝑞 = 0.7, 𝑞ó𝑝𝑡=0.8 e 𝑞 = 0.9)
Pode ver-se que para um parâmetro 𝑞ó𝑝𝑡 = 0.8 os dois picos de amplitude máxima estão nivelados, o
que não acontece quando se faz variar o parâmetro 𝑞. Para um valor optimizado desse parâmetro, a
amplitude máxima aumenta e a mínima diminui, relativamente a outros valores. Para um valor de 𝑞
abaixo do óptimo, a amplitude máxima dá-se na 2ª frequência de ressonância e para um valor de 𝑞
acima do óptimo a 1ª frequência de ressonância é a mais amplificada.
A definição do parâmetro 𝑞 =𝜔2
𝜔1 vai condicionar a rigidez do meio elástico que liga o TMD à estrutura,
através da expressão 𝑘2 = 𝜔22 ∙ 𝑀2.
A Figura 3.7 mostra um modelo teórico do funcionamento de um TMD com amortecimento sobre uma
estrutura principal com apenas um grau de liberdade também amortecida.
0
1
2
3
4
5
6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
𝛽
ω1
q = 0.7 q = 0.8 q = 0.9
𝑞ó𝑝𝑡 =1
1 + 𝜇 (3.6)
𝜉2ó𝑝𝑡 = √3𝜇
8(1 + 𝜇)3 (3.7)
20
Figura 3.7 - Modelo teórico do funcionamento de um TMD com amortecimento sobre uma estrutura sem amortecimento
Os parâmetros óptimos do TMD que constam das equações (3.6) e (3.7) foram derivados para a
situação em que apenas o TMD tem amortecimento. Para analisar a aplicabilidade destas equações
no cálculo dos parâmetros óptimos do TMD numa estrutura também com amortecimento, Bachmann e
Weber (1995) estudaram a amplificação dinâmica de um sistema principal com ξ1 = 0.01 sob o qual se
inseria um TMD com 𝑀1 = 1/100 ∙ 𝑀2 (𝜇 = 0.01), para várias combinações de 𝑞 e ξ2. Foi concluído que
a escolha de uma correcta frequência de vibração do TMD (em relação à frequência do sistema
principal) tem uma importância significativamente maior na redução da resposta que a escolha do
amortecimento do TMD. Na Figura 3.8 encontra-se representado o valor mínimo de amplificação
dinâmica para essas condições, bem como várias curvas de amplificação dinâmica em função desses
dois parâmetros.
Figura 3.8 – Curvas de amplificação dinâmica em função de 𝑞 e de 𝜉2, adaptado de (Bachmann and Weber,
1995)
Nestas condições, a menor amplificação dinâmica da resposta é de 𝛽 = 11.6, para os parâmetros 𝑞 =
0.99 e ξ2 = 0.06. Para obter uma amplificação dinâmica de 𝛽 = 15, os mesmos parâmetros podem
variar entre 𝑞 = 0.96 − 1.02 (uma variação de ±3%) e ξ2 = 0.03 − 0.11 (entre −50% e +83% do valor
óptimo). Pode concluir-se com facilidade que a redução da resposta dinâmica do sistema principal é
relativamente independente do amortecimento do TMD e muito mais sensível à frequência conferida
ao mesmo.
21
Os mesmos autores estudaram então a influência da percentagem de amortecimento da estrutura
principal na frequência óptima do TMD, em função da relação entre as duas massas. Os resultados
obtidos apresentam-se na Figura 3.9.
Figura 3.9 - Curvas do parâmetro q óptimo em função do parâmetro μ, para diferentes coeficientes de
amortecimento da estrutura principal (𝜉1 = 0%, 𝜉1 = 1%, 𝜉1 = 2% e 𝜉1 = 5%), adaptado de (Bachmann and Weber, 1995)
A curva de ξ1 = 0% corresponde à definição de 𝑞ó𝑝𝑡 de Den Hartog, dada pela equação (2.3). Para um
amortecimento estrutural não nulo, a frequência óptima do TMD torna-se ligeiramente inferior, tanto
mais quanto maior foi o rácio entre as massas do TMD e da estrutura principal. Bachmann e Weber
(1995) afirmam que, para estruturas com baixo amortecimento, os parâmetros óptimos do TMD
deduzidos por Den Hartog para um sistema sem amortecimento estrutural são suficientemente
próximos dos exactos para uma aplicação prática.
3.4 Adaptações do modelo teórico
Acção sísmica
No subcapítulo 3.3, para simular o efeito de um TMD sobre uma estrutura de um grau de liberdade, foi
utilizada uma acção sinusoidal sobre a estrutura principal. Na realidade, um sismo não é uma acção
caracterizada por uma função harmónica, mas sim um conjunto de ondas periódicas que podem ser
decompostas pela análise de Fourier em várias funções sinusoidais. Deste modo, é habitualmente
utilizado um espectro de amplitude para caracterizar uma acção sísmica a actuar em determinado local.
Através do espectro, pode determinar-se se essa acção sísmica é mais rica em baixas ou altas
frequências, e consequentemente se a estrutura em questão tem maior ou menor probabilidade de
vibrar em ressonância (Lopes, 2008).
Como se viu anteriormente, um TMD sobre uma estrutura com amortecimento deve ser dimensionado
para uma frequência de vibração semelhante à frequência de vibração quer se quer anular na estrutura.
Deste modo, o facto de a estrutura ser excitada por uma acção sísmica em que é impossível determinar
previamente uma frequência de vibração, não afecta a definição dos parâmetros do TMD. A diferença
22
reside apenas no facto de a estrutura ter múltiplas frequências de vibração, sendo que o TMD apenas
é sintonizado para anular uma.
Graus de liberdade
As demonstrações efectuadas no subcapítulo 3.3 baseiam-se numa estrutura com apenas um grau de
liberdade à qual se adiciona uma outra massa, o TMD, formando um sistema de dois graus de liberdade.
No entanto, as estruturas reais não possuem apenas um grau de liberdade e um modo de vibração.
Pelo contrário, a maioria das estruturas tem inúmeros graus de liberdade e, consequentemente,
inúmeros modos de vibração que irão influenciar a resposta dinâmica da estrutura. De todos os modos
de vibração, é possível escolher e analisar aqueles que mais influenciam essa resposta, para melhor
se decidir sobre as propriedades do TMD a colocar.
Geralmente um TMD é sintonizado para anular as vibrações do primeiro modo de vibração, dado que
é este o que tem maior participação na resposta dinâmica da estrutura. Se o objectivo for controlar mais
do que um modo de vibração, torna-se necessário recorrer a mais que um TMD, visto que cada TMD
possui apenas um grau de liberdade que é sintonizado com um movimento que se pretende anular na
estrutura principal (Bachmann & Weber, 1995). Cada modo de vibração pode ser adaptado a um
sistema de um grau de liberdade com massa, rigidez e amortecimento
3.5 Processo de dimensionamento
Tendo em conta as considerações descritas anteriormente, é proposta uma sequência de etapas para
o dimensionamento de um TMD.
1. Efectuar uma análise modal da estrutura.
Desta análise podem identificar-se os modos de vibração mais desfavoráveis à resposta dinâmica da
estrutura. É importante efectuar um registo das frequências próprias e factor de participação de massa
de cada modo, para melhor decidir sobre quais os modos a anular, da configuração de cada modo,
para se avaliar quais os pontos sujeitos a maiores deslocamentos, e da rigidez e amortecimento modal
de cada modo.
2. Escolher a massa do TMD.
A massa do TMD é escolhida como uma percentagem da massa oscilante do modo de vibração que
se pretende amortecer. Segundo (Bachmann & Weber, 1995), quanto maior for a massa do TMD em
relação à massa estrutural, maior é a atenuação da resposta da estrutura. No entanto, um excessivo
aumento de massa não é aconselhável. Segundo os autores, a massa do TMD deve ter até 2% da
massa oscilante do modo de vibração que se pretende anular.
23
3. Determinar a frequência e amortecimento do TMD.
A frequência do TMD pode ser determinada pela expressão (3.6), que nos dá a frequência óptima do
TMD sobre um sistema sem amortecimento, quando o amortecimento estrutural é quase nulo, ou pela
consulta da Figura 3.9, quando o valor de amortecimento estrutural é mais elevado. É de extrema
importância que a frequência do modo de vibração que se pretende atenuar seja correctamente
determinada, de forma a que o TMD consiga contrariar efectivamente o movimento associado a esse
modo, vibrando em exacta oposição de fase com a estrutura. O amortecimento do TMD, como
comprovado na análise da Figura 3.8, é um parâmetro com menor influência na resposta da estrutura.
Deste modo, pode ser usada a expressão do amortecimento óptimo do TMD sobre uma estrutura sem
amortecimento. Segundo (Antunes, 2006), deve ainda ser efectuado um ajuste iterativo destes dois
parâmetros com base num gráfico em que se faz variar o coeficiente de amplificação dinâmica βcom
o parâmetro �̅�1, para os parâmetros de massa e amortecimento do TMD determinados anteriormente.
4. Calcular a rigidez da ligação do TMD à estrutura.
Determinado o parâmetro 𝑞, é possível deduzir a frequência do TMD e a rigidez da ligação do TMD à
estrutura, usando as expressões da Tabela 3.1.
3.6 TMDs e edifícios altos
Estudos realizados
Depois da invenção do supressor de vibrações em 1909 por Frahm (Den Hartog, 1940), Ormondroyd e
Den Hartog (Ormondroyd & Den Hartog, 1928) estudaram o uso de amortecimento no supressor,
concluindo que este melhorava o funcionamento do supressor de vibrações, ao reduzir a sua
sensibilidade à mudança de frequência de acção externa aplicada e, assim, aumentar a redução de
vibração numa situação de ressonância ou perto de ressonância. Den Hartog (Den Hartog, 1940)
acabou por concluir as expressões (3.6) e (3.7) descritas acima que definem os parâmetros óptimos do
TMD aplicado a um oscilador de um grau de liberdade. Depois disto, foram realizados estudos onde se
considerou amortecimento tanto no supressor como no sistema principal. Destes destacam-se os
trabalhos de (Bishop and Welbourn, 1952; Falcon et al., 1967; Ioi and Ikeda, 1978) (Majcher & Wójcicki,
2014).
Um dos estudos mais antigos da influência do uso de um TMD sobre edifícios altos foi o documento
publicado por McNamara em 1977 (McNamara, 1997). No entanto, neste estudo, os edifícios altos eram
simplificadamente representados por osciladores de um grau de liberdade, e a acção imposta foi a
acção do vento. Vários autores têm estudado, desde então, a aplicabilidade de TMDs no controlo da
resposta dinâmica de estruturas altas. Ahmed publicou, em 2012 (Farghaly, 2012), os resultados de
um estudo numérico efectuado da influência do TMD no controlo de uma estrutura simétrica de 20 pisos
24
sob a acção do sismo El Centro. Concluiu-se que o TMD era eficaz no controlo da resposta da estrutura,
sendo benéfica uma distribuição, tanto em altura como em planta, da massa utilizada. Tuan e Shang
realizaram um estudo sobre a aplicabilidade do TMD à estrutura do edifício Taipei 101, sob a acção do
vento e de um conjunto de sismos afastados (Tuan & Shang, 2014). Neste estudo foi possível concluir
que este dispositivo é mais benéfico no controlo da resposta de estruturas altas à acção do vento do
que à acção sísmica.
Aplicações existentes
Os avanços da contrução em altura têm frequentemente sido acompanhados por acréscimos de
flexibilidade que tornam estruturas altas cada vez mais vulneráveis a acções horizontais (Kareem et al.
1999). Apesar da acção do vento ser, em geral, a acção mais condicionante para o dimensionamento
de edifícios altos sob o efeito de acções horizontais, a acção sísmica pode gerar forças de corte basais
superiores às da acção do vento (Tuan & Shang, 2014). Enquanto o critério de resistência última, que
exige um adequado encaminhamento de cargas, não traz um acréscimo de dificuldade, o critério de
bom comportamento em serviço torna-se um desafio no projecto de edifícios altos sujeitos a vibrações
induzidas por acções horizontais.
O amortecimento inerente a uma estrutura é, em geral, insuficiente para garantir um comportamento
dinâmico adequado aos requisitos de resistência e conforto de uma estrutura alta (Tuan & Shang,
2014). Um edifício alto sem uma adequada quantidade de amortecimento sujeito a uma acção
horizontal intensa pode sofrer danos graves em elementos não-estruturais e ficar sujeito a acelerações
que causam níveis altos de desconforto perceptíveis aos ocupantes do edifício. O uso de um TMD
permite adicionar amortecimento a uma estrutura de maneira mais previsível, adaptável e fiável,
melhorando o seu comportamento dinâmico. No ano de 1999, o TMD era o dispositivo de
amortecimento secundário mais utilizado no Mundo (Kareem et al., 1999).
Um dos primeiros edifícios a incorporar um foi o John Hancock Tower em Boston, com uma altura de
244 metros, construído em 1977. Incopora dois TMDs de 300 toneladas cada instalados nos dois
extremos do 58º piso. A Figura 3.10 mostra um dos TMDs instalados.
Figura 3.10 – TMD instalado no edíficio John Hancock Tower (LeMessurier, 2015)
25
Cada TMD é constituído por uma caixa de aço cheia de chumbo colocada sobre uma placa de aço
lubrificada, de modo a que a massa consiga deslizar com facilidade. Esta caixa está ligada à estrutura
metálica do edifício através de molas e amortecedores horizontais. Foram colocadas duas caixas, uma
em cada extremo do piso 58, de modo a controlar o movimento de torção do edifício (Campbell, 2015).
Ao existir um movimento de torção, pontos opostos em planta deslocam-se com direcções também
opostas, sendo necessários dois TMDs com movimentos também opostos para controlar de forma
eficaz o movimento dos dois extremos, e assim o movimento de torção do edifício.
O Citigroup Center em Nova Iorque, com 278 metros de altura, construído em 1978 é outro edifício que
conta com um TMD de 410 toneladas instalado no 63º piso.
Um exemplo mais recente de aplicação de TMD é o edifício Taipei 101, concluído em 2004 na ilha de
Taiwan, com 449 metros de altura, um dos edifícios mais altos do Mundo. Este edifício conta com o
maior TMD do mundo, uma esfera de aço com 6 metros de diâmetro e 660 toneladas, que se suspende
desde o 91º piso até ao 87º piso, onde é apoiada por um conjunto de molas e amortecedores que
controlam o seu movimento. Este dispositivo está sintonizado para controlar simultaneamente dois
modos de vibração. Como o edifício é simétrico, os dois primeiros modos de vibração são idênticos,
um em X e outro em Y. Por esta razão, o TMD pode ser simplificadamente representado por duas molas
horizontais ortogonais, ligadas à mesma massa. Segundo (Tuan & Shang, 2014), devido à
ortogonalidade dos dois modos de vibração, a interacção entre a estrutura e o TMD pode assumir-se
independente em X e em Y, como se de dois TMDs se tratassem. A Figura 3.11 mostra o edifício Taipei
101 com a localização do TMD e um pormenor do mesmo.
Figura 3.11 – Edifício Taipei 101 (dir.), localização do TMD (centro) e pormenor do TMD (dir.). Adaptado de (Wikipedia, 2015; Hernández, 2015)
26
27
4 ESTUDO PRELIMINAR
4.1 Introdução
No subcapítulo 3.3 foi descrita uma formulação teórica que serve de fundamento ao comportamento de
um TMD e da estrutura à qual o TMD se aplica. Para melhor se compreender o efeito deste dispositivo
sobre uma estrutura, o fundamento teórico apresentado é complementado por uma análise numérica
efectuada com base no programa de modelação estrutural SAP2000. Nesta análise numérica
preliminar, em que apenas se pretendia estudar de forma simplificada a influência dos diversos
parâmetros do TMD sobre o comportamento da estrutura sujeita a acções dinâmicas, utilizou-se uma
estrutura base com apenas um grau de liberdade, sobre a qual se modelou um TMD. As conclusões
tiradas desta análise numérica servem simultaneamente de demonstração da aplicabilidade do
fundamento teórico apresentado anteriormente e de base para o estudo do caso real da aplicação de
um TMD no controlo da reposta sísmica de um edifício alto.
4.2 Modelo base
Para um estudo preliminar simples, considerou-se uma estrutura base com apenas um grau de
liberdade. Como explicado anteriormente, o TMD é sintonizado para anular a resposta de um modo de
vibração de uma estrutura, e cada modo de vibração pode ser simulado por um sistema com um grau
de liberdade com as características dinâmicas do correspondente modo (massa, frequência e
amortecimento). Sobre esta estrutura com um grau de liberdade foi acoplada uma estrutura
semelhante, também com apenas um grau de liberdade, cujas características dinâmicas foram
ajustadas com base numa análise do comportamento dinâmico da estrutura principal e por forma a
minimizar ou mesmo anular a resposta dinâmica desta.
A estrutura base, um oscilador6 de um grau de liberdade, foi modelada no programa SAP2000 como
um elemento do tipo frame sem peso próprio orientado segundo a direcção Z (encastrado num dos
extremos e livre no outro) e por uma massa concentrada, orientada segundo a direcção X, localizada
no extremo livre desse elemento. Num oscilador de um grau de liberdade, a frequência de vibração é
dada por
onde 𝑘 é a rigidez à flexão do oscilador, dada por 𝑘 =3𝐸𝐼
𝐿3 . A Tabela 4.1 mostra as propriedades do
oscilador de um grau de liberdade utilizado neste estudo.
6 No presente capítulo, o termo oscilador é utilizado não só para mencionar uma estrutura com apenas um grau de liberdade, como também para designar, nas etapas seguintes, esse mesmo elemento (que deixa de ser um oscilador com um grau de liberdade) sob o qual é modelado o TMD.
𝑓 =1
2𝜋√
𝑘
𝑀 (4.1)
28
Tabela 4.1 - Propriedades do oscilador de 1 grau de liberdade utilizado no estudo preliminar
Geometria da secção 𝟎. 𝟓 × 𝟎. 𝟓 𝒎
Altura, 𝐡𝟏 5 𝑚
Módulo de Elasticidade, 𝐄𝟏 40 𝑀𝑃𝑎
Massa, 𝐌𝟏 126.65 𝑡𝑜𝑛
Rigidez, 𝐤 = 𝐤𝐱 = 𝐤𝐲 5000 𝐾𝑁/𝑚
Frequência, 𝒇𝟏 1 𝐻𝑧
4.3 Aplicação do TMD
Sobre o oscilador modelou-se um TMD, constituído igualmente por um elemento frame sem peso
próprio orientado segundo a direcção Z, ligado por continuidade ao extremo livre do oscilador e com
uma massa concentrada no outro extremo, estando este livre.
Como explicado anteriormente, o TMD vem conferir ao oscilador um segundo grau de liberdade e um
segundo modo de vibração. As deformadas dos dois modos de vibração desta estrutura com dois graus
de liberdade encontram-se representadas qualitativamente na Figura 4.1.
Figura 4.1 - Deformadas dos modos de vibração de uma estrutura com dois graus de liberdade
O 1º modo, de frequência de vibração mais baixa, é aquele em que as duas massas vibram em fase,
enquanto no 2º modo de vibração, de frequência mais alta, as duas massas vibram em oposição de
fase. Estes dois modos de vibração combinam-se de modo que a transferência de energia do oscilador
para o TMD se maximize, minimizando a resposta do oscilador. A resposta da estrutura será então
equivalente a uma combinação da deformada do 1º modo representada (qualitativamente) na Figura
4.1 com a da deformada do 2º modo representada (qualitativamente) na mesma figura, de modo a que
o oscilador apresente a menor deformação possível.
29
4.4 Acções impostas
Ao contrário da abordagem tradicional da análise sísmica com base numa acção definida por um
espectro de resposta, no estudo efectuado foram utilizadas acções no domínio do tempo. Apesar do
comportamento do TMD ser linear, o movimento deste é (na maioria das vezes) controlado por
amortecedores, cujo comportamento é não linear, só podendo ser correctamente simulados se o seu
comportamento ao longo do tempo for conhecido.
Os conjuntos de acelerações fictícias gerados, os acelerogramas, são coerentes com o espectro de
resposta elástico da zona de Lisboa para um sismo tipo 2 (próximo), um solo tipo B e um coeficiente
de amortecimento de 5% (CEN, 2004). A avaliação da resposta sísmica, através de análises não
lineares no domínio do tempo, pode ser determinada através da média dos resultados obtidos se forem
utilizados pelo menos sete acelerogramas distintos (Lopes, 2008). No estudo em questão, foram
utilizados 10 acelerogramas distintos.
Cada acelerograma é definido individualmente nas duas direcções horizontais, como um caso de
análise de representação temporal (Time History), possibilitando a realização de uma análise dinâmica
não-linear. O tempo de integração dos acelerogramas escolhidos é de 40 segundos, com 4000 pontos
em intervalos de 0.01 segundos. Os acelerogramas utilizados encontram-se representados no ANEXO
1 – ACELEROGRAMAS UTILIZADOS.
Para uma análise mais expedita do efeito da acção sísmica sobre a estrutura, foi criada uma
combinação de acções (load combination) que reproduz o efeito médio dos 10 sismos. Esta
combinação é uma soma dos valores absolutos dos máximos da resposta da estrutura a cada sismo,
cada um dividido por 10, de forma a que o resultado seja uma média dos resultados máximos absolutos
que os 10 sismos induzem na estrutura. Esta combinação foi validada ao se fazer um cálculo da média
dos resultados máximos em valor absoluto dos deslocamentos no topo do oscilador e ao se comparar
esse resultado com um resultado único dado pela combinação de acções. O erro foi nulo, revelando
assim a aptidão e vantagem da combinação de acções para esta análise.
Nas situações em que era necessário avaliar determinados parâmetros no domínio do tempo, analisou-
se apenas o sismo mais representativo. Apesar dos resultados poderem diferir de sismo para sismo,
no âmbito deste trabalho não se pretende uma análise exaustiva da resposta de uma estrutura no
tempo mas sim uma avaliação dos efeitos máximos dessa resposta para um conjunto de acções
sísmicas, pelo que se considerou pertinente apenas serem apresentadas informações no domínio do
tempo para esse sismo. O sismo escolhido foi aquele que se apresentou mais perto da média, com
base em deslocamentos e esforço transverso provocados no oscilador e no TMD. A informação que
serve de base a essa escolha encontra-se resumida na Tabela 4.2.
Por ser o sismo que causa esforços e deslocamentos no oscilador e no TMD mais próximos da média
dos 10 sismos, o sismo 5 é considerado o sismo representativo.
30
Tabela 4.2 – Resultados base para a escolha do sismo representativo
Variação em relação à média
Sismo Trasnverso
(kN) Deslocamento
(m) Transverso
(kN) Deslocamento
(m) O
scilad
or
1 764.0 0.153 35% 35%
2 590.1 0.117 4% 4%
3 648.5 0.131 14% 16%
4 631.6 0.125 11% 10%
5 566.6 0.112 0% -1%
6 453.0 0.090 -20% -21%
7 414.5 0.083 -27% -26%
8 528.8 0.106 -7% -7%
9 299.8 0.060 -47% -47%
10 776.2 0.155 37% 37%
TM
D
1 77.9 1.573 43% 43%
2 60.2 1.189 10% 8%
3 62.0 1.320 14% 20%
4 58.2 1.120 7% 2%
5 57.7 1.183 6% 8%
6 41.3 0.805 -24% -27%
7 49.7 0.969 -9% -12%
8 49.3 1.013 -10% -8%
9 26.4 0.531 -52% -52%
10 63.7 1.281 17% 17%
Média oscilador 567.3 0.113
Média TMD 54.6 1.098
Para além da acção dada pela combinação dos 10 acelerogramas, analisou-se também a resposta da
estrutura a uma acção sinusoidal. O fundamento teórico descrito no subcapítulo 3.3 tem por base uma
acção harmónica, sendo por isso importante submeter numericamente a estrutura a uma acção desse
tipo de forma a poder validar o descrito. As acções sinusoidais, relativamente aos acelerogramas,
apresentam a vantagem de ter uma frequência constante que pode ser relacionada com a frequência
de vibração do oscilador com o objectivo de melhor se evidenciar o efeito da ressonância das estruturas
no comportamento do TMD.
4.5 Resultados
O estudo efectuado aqui apresentado está dividido em quatro partes, cada uma incidindo sobre a
influência de um dos quatro parâmetros que mais influenciam o comportamento do TMD – a massa,
frequência de vibração e amortecimento do TMD e o amortecimento do oscilador. Em cada parte são
efectuados testes em que se faz variar o parâmetro em estudo, e comparados e analisados os
resultados obtidos. Como referido anteriormente, são sempre efecutadas duas análises com acções
diferentes, uma acção sinusoidal e uma acção sísmica, e comparados os resultados obtidos com cada
31
uma. As propriedades do oscilador constam da Tabela 4.1, com amortecimento nulo (no oscilador) em
todos os testes à excepção daqueles em que se testa a influência desse parâmetro (parte 4).
Como medida de avaliação do efeito do TMD estudou-se a variação do deslocamento do topo do
oscilador, para cada situação. Os esforços do oscilador não foram avaliados por não se considerarem
relevantes para um estudo preliminar cujo objectivo é apenas de mostrar a eficiência do TMD no
controlo da resposta sísmica da estrutura.
Percentagem de massa do TMD, 𝜇
Nesta parte do estudo efectuaram-se 8 testes para a acção sinusoidal e 9 testes para a acção sísmica
onde se fez variar apenas a massa do TMD de modo a que o factor 𝜇 =𝑀2
𝑀1 tomasse diferentes valores.
Foi utilizada uma acção sinusoidal com frequência igual à frequência própria do oscilador, 𝑓 = 1 𝐻𝑧. A
Tabela 4.3 apresenta uma descrição dos parâmetros utilizados nos testes 1 a 17.
Tabela 4.3 – Teste efectuados para estudar a influência do factor 𝜇
Acção sinusoidal, 𝒇 = 𝟏 𝑯𝒛
Teste 𝜇 (%) Massa
TMD (ton)
Rigidez TMD
(kN/m)
Frequência TMD (Hz)
Factor de amortecimento
TMD (%)
Factor de amortecimento oscilador (%)
1 - 0 - - - 0
2 0.5% 0.63325 25 1 0 0
3 1% 1.2665 50 1 0 0
4 5% 6.3325 250 1 0 0
5 10% 12.665 500 1 0 0
6 20% 25.33 1000 1 0 0
7 50% 63.325 2500 1 0 0
8 60% 75.99 3000 1 0 0
Acção sísmica
Teste 𝜇 (%) Massa
TMD (ton)
Rigidez TMD
(kN/m)
Frequência TMD (Hz)
Factor de amortecimento
TMD (%)
Factor de amortecimento oscilador (%)
9 - 0 - - - 0
10 0.5% 0.63325 25 1 0 0
11 1% 1.2665 50 1 0 0
12 5% 6.3325 250 1 0 0
13 10% 12.665 500 1 0 0
14 20% 25.33 1000 1 0 0
15 30% 37.995 1500 1 0 0
16 40% 50.66 2000 1 0 0
17 50% 63.325 2500 1 0 0
32
O primeiro teste para cada acção (testes 1 e 9) efectuou-se sobre uma estrutura apenas constituída
por um oscilador, sem TMD, para que se pudesse calcular a redução da resposta do oscilador para as
várias percentagens de massa do TMD.
Realizou-se um estudo comparativo das novas frequências da estrutura com cada percentagem de
massa dos testes 10 a 17, com o intuito de confirmar o referido na análise da Figura 3.3: o afastamento
entre as duas novas frequências aumenta com o aumento da relação entre massa do TMD e a massa
do oscilador. A Figura 4.2 mostra as duas frequências criadas nos 7 testes mencionados, em função
da percentagem de massa do TMD utilizada em cada teste.
Figura 4.2 - Comparação das frequências de vibração para vários factores μ
É possível confirmar que um aumento da massa do TMD provoca um afastamento das duas novas
frequências. Para além disso, pode ver-se que quanto mais pequena for a percentagem de massa do
TMD, mais afastamento provoca um aumento dessa massa. Para grandes percentagens de massa, as
frequências pouco variam com a variação da massa do TMD. Por último, é possível verificar que, para
baixos valores de massa do TMD, as novas frequências não são simétricas em relação à original,
estando a frequência mais baixa (associada ao movimento em que as duas massas vibram em fase)
mais afastada da frequência original do que a frequência mais alta (associada ao movimento em que
as duas massas vibram em oposição de fase).
Na Tabela 4.4 encontram-se os resultados dos testes 1 a 17, em termos de deslocamentos do oscilador
e de variação dos deslocamentos para cada percentagem de massa dada ao TMD. Esta variação é
considerada positiva se consistir num aumento dos deslocamentos em relação à situação original (sem
TMD), ou negativa se consistir numa redução desses deslocamentos. As percentagens de redução do
deslocamento no topo do oscilador para cada percentagem de massa e para cada acção encontram-
se graficamente representadas na Figura 4.3.
0.64
0.67
0.75
0.81
0.86
0.93 1.07
1.15
1.22
1.33
1.48
1.54
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
𝜇(%
)
Frequência (Hz)
33
Figura 4.3 - Variação dos deslocamentos do oscilador para diferentes factores μ, para uma acção sinusoidal (esq.) e para uma acção sísmica (dir.)
Tabela 4.4 – Resultados dos testes efectuados para estudar a influência do factor 𝜇
Os deslocamentos obtidos para a acção sinusoidal apresentam um máximo de redução no teste 7, ou
seja, para μ = 50%. Todos os testes apresentam uma redução de mais de 90% do deslocamento do
topo do oscilador, o que se pode justificar pelo facto da acção sinusoidal ter uma frequência igual à do
oscilador, o que causa uma situação de ressonância quando este está ainda sem o TMD (teste 1). A
introdução do TMD leva a uma alteração da frequência da estrutura, que já não vibra em perfeita
ressonância. A redução causada pelo TMD é, então, por um lado devida à alteração da frequência
própria da estrutura para fora da zona de ressonância, e por outro devida à própria actuação do TMD
sobre o oscilador. Pode ver-se que, do teste 2 ao teste 7, a redução dos deslocamentos do oscilador
aumenta com o aumento da massa do TMD. A nova frequência própria da estrutura estará tanto mais
afastada da frequência do oscilador quanto maior for a nova massa introduzida (como já se tinha
verificado através da Figura 3.3). Deste modo, faz sentido que a redução dos deslocamentos do
oscilador seja tanto mais evidente quanto maior for a massa do TMD. É interessante também notar que
a taxa de redução do deslocamento do oscilador não é contante, mas vai diminuindo à medida que a
massa do TMD aumenta, o que significa que, à medida que a estrutura se afasta de uma situação de
ressonância, uma variação na nova frequência própria da estrutura tem menor influência no
comportamento do oscilador. Acresce o facto de um aumento da massa do TMD significar um aumento
da rigidez do meio que o liga ao oscilador. Para uma massa do TMD superior a certo valor, as condições
de ligação do TMD à estrutura podem tornar-se demasiado rígidas, suprimindo o grau de liberdade do
mesmo. Este facto pode comprovar-se ao se verificar que a redução resultante do teste 8 é inferior à
do teste 7, contrariando a tendência de aumento da redução dos testes anteriores.
Teste 1 2 3 4 5 6 7 8
Deslocamento (m)
3.157 0.275 0.197 0.108 0.084 0.072 0.052 0.062
Variação (%) - -91.3% -93.8% -96.6% -97.3% -97.7% -98.4% -98.0%
Teste 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Deslocamento (m)
0.139 0.126 0.113 0.119 0.135 0.136 0.141 0.138 0.141
Variação (%) - -9.5% -18.3% -14.0% -2.5% -1.7% 2.0% -0.3% 1.4%
10
11
12
13
14
15
16
17
-20%
-15%
-10%
-5%
0%
5%
0.0% 10.0% 20.0% 30.0% 40.0% 50.0%
Va
ria
çã
o (
%)
μ (%)
Acção Sísmica
2
3
45
67 8
-100%
-98%
-96%
-94%
-92%
-90%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
Va
ria
çã
o (
%)
μ (%)
Acção Sinusoidal
34
Para a acção sísmica, a tendência descrita anteriormente não se confirma. Verifica-se, pela análise da
Figura 4.3 (à direita), que a redução dos deslocamentos não é proporcional à variação da massa do
TMD, apresentando um comportamento aparentemente independente à mesma. O facto de a acção
sísmica ser uma acção não periódica leva a que existam várias frequências que, sendo análogas à
frequência da estrutura, podem causar uma situação próxima da ressonância. Num caso em que uma
das novas frequências criadas por determinada massa colocada no TMD seja próxima de uma
frequência mais excitada da acção sísmica, dá-se uma situação de ressonância da estrutura, o que é
prejudicial à actuação do TMD. Neste sentido, apenas é razoável relacionar a redução da resposta com
a variação da massa do TMD para acções periódicas, ou, pelo menos, com um conteúdo em
frequências conhecido.
Factor de amortecimento do TMD, 𝜉2
Nesta 2ª parte do estudo foram efectuados 6 novos testes para cada uma das acções, onde apenas se
fez variar o factor de amortecimento do TMD, 𝜉2, mantendo todos os outros parâmetros constantes.
Considerou-se um factor 𝜇 = 5% e calculou-se o respectivo amortecimento óptimo 𝜉2ó𝑝𝑡. Consideraram-
se adicionalmente valores de amortecimento superiores e inferiores ao amortecimento óptimo.
Tabela 4.5 - Testes efectuados para estudar a influência do amortecimento do TMD
Acção sinusoidal, 𝒇 = 𝟏 𝑯𝒛
Teste 𝜇 (%) Massa TMD (ton)
Rigidez TMD
(kN/m)
Frequência TMD (Hz)
Factor de amortecimento
TMD (%)
Factor de amortecimento oscilador (%)
4 5% 6.3325 250 1 0 0
18 5% 6.3325 250 1 3.18% 0
19 5% 6.3325 250 1 6.36% 0
20 5% 6.3325 250 1 𝜉2ó𝑝𝑡= 12.73% 0
21 5% 6.3325 250 1 25.45% 0
22 5% 6.3325 250 1 38.18% 0
23 5% 6.3325 250 1 50.91% 0
Acção sísmica
Teste 𝜇 (%) Massa TMD (ton)
Rigidez TMD
(kN/m)
Frequência TMD (Hz)
Factor de amortecimento
TMD (%)
Factor de amortecimento oscilador (%)
12 5% 6.3325 250 1 0 0
24 5% 6.3325 250 1 3.18% 0
25 5% 6.3325 250 1 6.36% 0
26 5% 6.3325 250 1 𝜉2ó𝑝𝑡= 12.73% 0
27 5% 6.3325 250 1 25.45% 0
28 5% 6.3325 250 1 38.18% 0
29 5% 6.3325 250 1 50.91% 0
35
Como testes base para se calcular a variação da resposta devido à introdução de amortecimento do
TMD foram considerados os testes 4 e 12. A Tabela 4.5 descreve os testes a efectuar.
Na Tabela 4.6 encontram-se os resultados dos testes 18 a 29, em termos de deslocamentos do
oscilador e de variação desses deslocamentos em relação a uma situação original (testes 4 e 12) para
cada factor de amortecimento do TMD. A variação percentual do deslocamento no topo do oscilador
para cada factor de amortecimento do TMD e para cada acção encontram-se graficamente
representadas na Figura 4.4.
Tabela 4.6 – Resultados dos testes efectuados para estudar a influência do amortecimento do TMD
Para a acção sinusoidal, como a frequência de excitação é de 1 Hz, podemos ver na Figura 3.5 que,
quando �̅�1 = 1, um aumento do amortecimento agrava o coeficiente de amplificação dinâmica, o que
implica que os deslocamentos no topo do oscilador se agravem também. Acresce ainda o facto de um
amortecimento alto no TMD suprimir em parte o grau de liberdade do mesmo, reduzindo a sua eficácia.
No entanto, para valores baixos do amortecimento do TMD, a sua acção pode ser melhorada por haver
um melhor controlo do movimento do TMD.
Para uma acção sísmica, há uma melhoria da resposta do oscilador até certo nível de amortecimento,
pode ser por estarmos numa zona semelhante à assinalada no gráfico. A partir desse nível, a
rigidificação do amortecedor leva a uma redução da eficácia do TMD no controlo da resposta do
oscilador.
Teste 4 18 19 20 21 22 23
Deslocamento (m)
0.108 0.096 0.101 0.114 0.159 0.219 0.272
Variação (%) - -11.2% -6.1% 5.5% 47.2% 102.9% 151.5%
Teste 12 24 25 26 27 28 29
Deslocamento (m)
0.119 0.062 0.051 0.046 0.048 0.054 0.059
Variação (%) - -48.3% -57.2% -61.7% -59.9% -54.7% 50.2%
Figura 4.4 - Variação dos deslocamentos do oscilador para diferentes factores 𝜉2, para uma acção sinusoidal (esq.) e para uma acção sísmica (dir.)
24
25
26
27
28
29
-63%
-61%
-59%
-57%
-55%
-53%
-51%
-49%
-47%
-45%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
Va
ria
çã
o (
%)
𝜉2 (%)
Acção Sísmica
1819
20
21
22
23
-20%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
140%
160%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
Va
ria
çã
o (
%)
𝜉2 (%)
Acção Sinusoidal
36
Frequência do TMD
Nesta parte do estudo são efectuados 7 testes novos iguais para cada uma das acções, onde se faz
variar o factor 𝑞 =𝜔2
𝜔1=
𝑓2
𝑓1, mantendo todos os parâmetros constantes. Dado que a frequência de se
considera um oscilador com propriedades iguais para todos os testes efectuados, uma variação do
factor 𝑞 é traduzida por uma variação da frequência do TMD (𝑓2). São novamente utilizados os testes
4 e 12 para representar a situação em que 𝑞 = 1. Os testes efectuados encontram-se na Tabela 4.7.
Tabela 4.7 - Testes efectuados para estudar a influência do parâmetro 𝑞
Acção sinusoidal, 𝒇 = 𝟏 𝑯𝒛
Teste 𝜇 (%) Massa TMD (ton)
Rigidez TMD
(kN/m)
Frequência TMD (Hz)
Factor de amortecimento
TMD (%)
Factor de amortecimento oscilador (%)
30 5% 6.3325 122.50 0.7 0 0
31 5% 6.3325 160.00 0.8 0 0
32 5% 6.3325 202.50 0.9 0 0
33 5% 6.3325 226.75 𝑞ó𝑝𝑡 = 0.952 0 0
4 5% 6.3325 250.00 1 0 0
34 5% 6.3325 275.62 1.05 0 0
35 5% 6.3325 302.50 1.1 0 0
36 5% 6.3325 360.00 1.2 0 0
Acção sísmica
Teste 𝜇 (%) Massa TMD (ton)
Rigidez TMD
(kN/m)
Frequência TMD (Hz)
Factor de amortecimento
TMD (%)
Factor de amortecimento oscilador (%)
37 5% 6.3325 122.50 0.7 0 0
38 5% 6.3325 160.00 0.8 0 0
39 5% 6.3325 202.50 0.9 0 0
40 5% 6.3325 226.75 𝑞ó𝑝𝑡 = 0.952 0 0
12 5% 6.3325 250.00 1 0 0
41 5% 6.3325 275.62 1.05 0 0
42 5% 6.3325 302.50 1.1 0 0
43 5% 6.3325 360.00 1.2 0 0
Como a variação da frequência do TMD faz variar as duas frequências de vibração da estrutura,
apresenta-se na Figura 4.5 uma comparação das novas frequências da estrutura dos testes 30 a 43, 4
e 12. São também considerados os casos em que 𝑞 = 0.5 e 𝑞 = 1.5, para melhor se compreender a
tendência de evolução das duas frequências de cada sistema.
37
Figura 4.5 - Comparação das frequências de vibração para vários factores 𝑞
Pode ver-se que a 1ª frequência do sistema, quando o oscilador e o TMD vibram em fase, tende para
um valor ligeiramente inferior a 1 ao se aumentar a frequência do TMD. Pode atribuir-se esta tendência
a uma supressão do grau de liberdade do TMD devido ao grande aumento da rigidez do TMD. Numa
situação limite em que 𝑞 = ∞, o sistema passa a ter apenas um grau de liberdade com a massa total
do TMD e do oscilador. Para uma situação em que um TMD com 𝜇 = 5% se fixa rigidamente ao
oscilador com 126.65 𝑡𝑜𝑛, a frequência de vibração passa a ser de 0.976 𝐻𝑧, valor bastante próximo do
0.94 𝐻𝑧 correspondente à 1ª frequência no sistema com 𝑞 = 1.5.
A 2ª frequência do sistema, quando o oscilador e o TMD vibram em oposição de fase, tende para 1 ao
se diminuir a frequência do TMD. Numa situação limite em que 𝑞 = 0, pode considerar-se que a rigidez
do TMD é nula, e com isso também a sua ligação ao oscilador o é, não tendo o TMD interferência
alguma no comportamento do oscilador, que continua com uma frequência de vibração de 1 𝐻𝑧.
Os deslocamentos (em cm) no topo do oscilador para os testes 30 a 43 apresentam-se na Tabela 4.8.
Para melhor se visualizar a variação dos mesmos com o factor 𝑞, apresentam-se graficamente, para
as duas acções, os resultados obtidos (Figura 4.6).
Tabela 4.8 – Resultados dos testes efectuados para estudar a influência do parâmetro 𝑞
1.59
1.31
1.231.19
1.151.12
1.10
1.06
1.04
1.010.49
0.67
0.75
0.820.840.860.880.89
0.91
0.94
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
q
Frequência (Hz)
Teste 30 31 32 33 4 34 35 36
Deslocamento (cm) 57.3 31.2 15.4 10.5 10.8 14.0 17.4 23.8
Teste 37 38 39 40 12 41 42 43
Deslocamento (cm) 12.5 13.2 12.7 12.8 11.9 12.5 14.8 11.6
38
Figura 4.6 - Variação dos deslocamentos do oscilador para diferentes factores q, para uma acção sinusoidal (esq.) e para uma acção sísmica (dir.)
Para uma acção sinusoidal com frequência igual à do oscilador pode verificar-se que os deslocamentos
no oscilador são mais baixos para frequências do TMD próximas dessa frequência, apresentando um
mínimo para uma relação entre frequências 𝑞ó𝑝𝑡 = 0.952. Verifica-se também que, para valores de
frequência do TMD inferiores a esse valor, os deslocamentos aumentam a uma taxa superior à dos
deslocamentos para frequências superiores. Os factores 𝑞 = 0.7 e 𝑞 = 1.2, igualmente distanciados do
factor 𝑞 = 0.952, levam a deslocamentos bastante diferentes, sendo o corresponde à frequência mais
alta (23.8 𝑐𝑚) menos de metade do correspondente à frequência mais baixa (57.3 𝑐𝑚).
Para uma acção sísmica, a Figura 4.6 mostra, de maneira semelhante à variação dos deslocamentos
com o factor 𝜇 (Tabela 4.3 à direita), um comportamento aparentemente independente do factor 𝑞. A
curva de deslocamentos em função da frequência do TMD não parece seguir uma tendência, sendo
constituída sucessivamente por picos máximos e mínimos de deslocamentos no topo do oscilador. Tal
como no caso em que se faz variar a massa do TMD, ao se fazer variar a sua frequência, as frequências
de ressonância da estrutura alteram-se, como mostra a Figura 4.5. Este facto, aliado ao facto da acção
sísmica ter um conteúdo de frequências desconhecido, pode ser a justificação para a aparente
aleatoriedade dos resultados obtidos. Não se pode concluir se um aumento ou uma diminuição da
frequência do TMD em relação à frequência do oscilador têm um efeito benéfico, pois a aproximação
entre uma das novas frequências da estrutura e uma frequência mais excitada da acção sísmica
imposta leva a que uma possível tendência seja deturpada, conduzindo a resultados que não parecem
ter qualquer interpretação lógica. Deste modo, é importante concluir que a sintonização do TMD não
pode depender das características da acção no caso de um sismo, dada a sua aleatoriedade, devendo
este ser sintonizado para as características da estrutura.
Factor de amortecimento do oscilador, 𝜉1
Nesta última parte do estudo foram efectuados 4 testes novos iguais para cada uma das acções. Em
dois deles considerou-se amortecimento no oscilador sem TMD e nos outros dois considerou-se
amortecimento no oscilador com TMD, para que se possa comparar a influência do TMD no
37
38
39
40
12
41
42
4311
11.5
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
0.65 0.75 0.85 0.95 1.05 1.15 1.25
Deslo
cam
ento
(cm
)
𝑞
Acção Sísmica
30
31
3233 4
3435
36
0
10
20
30
40
50
60
0.65 0.75 0.85 0.95 1.05 1.15 1.25
Deslo
cam
ento
(cm
)
q
Acção Sinusoidal
39
comportamento do oscilador em função do seu amortecimento. Os testes efectuados encontram-se
descritos na Tabela 4.9.
Tabela 4.9 - Testes efectuados para estudar a influência do amortecimento do oscilador
Acção sinusoidal, 𝒇 = 𝟏 𝑯𝒛
Teste 𝜇 (%) Massa TMD (ton)
Rigidez TMD
(kN/m)
Frequência TMD (Hz)
Factor de amortecimento
TMD (%)
Factor de amortecimento oscilador (%)
44 - 0 - - - 2.0%
45 - 0 - - - 3.5%
46 - 0 - - - 5.0%
47 5% 6.3325 250 1 0 2.0%
48 5% 6.3325 250 1 0 3.5%
49 5% 6.3325 250 1 0 5.0%
Acção sísmica
Teste 𝜇 (%) Massa TMD (ton)
Rigidez TMD
(kN/m)
Frequência TMD (Hz)
Factor de amortecimento
TMD (%)
Factor de amortecimento oscilador (%)
50 - 0 - - - 2.0%
51 - 0 - - - 3.5%
52 - 0 - - - 5.0%
53 5% 6.3325 250 1 0 2.0%
54 5% 6.3325 250 1 0 3.5%
55 5% 6.3325 250 1 0 5.0%
Na Tabela 4.10 encontram-se os os deslocamentos obtidos para os testes 44 a 55. Apresenta-se
também, para cada acção, a redução do deslocamento no topo do oscilador de uma situação com TMD
em relação a uma situação sem TMD (teste 46 em relação ao 44, por exemplo).
Tabela 4.10 - Resultados dos testes efectuados para estudar a influência do amortecimento do oscilador
Conclui-se que, tanto para uma acção sinusoidal como para uma acção sísmica, a intervenção do TMD
é mais evidente para menores valores de amortecimento do oscilador. A conclusão pode ser estendida
ao caso em que não existe qualquer amortecimento no oscilador, efectuado na análise da influência do
parâmetro 𝜇 (testes 4 e 12, cujos resultados se encontram na Tabela 4.4). Neste caso, a redução devido
à introdução do TMD é de 96.6% para uma acção sinusoidal e 14.0% para uma acção sísmica, valores
bastante superiores aos 61.4% e 2.76% obtidos para um factor de amortecimento de apenas 𝜉1 = 2%.
Teste 44 45 46 47 48 49
Deslocamento (cm) 0.179 0.151 0.133 0.069 0.066 0.063
Variação (%) - - - -61.4% -56.6% -52.4%
Teste 50 51 52 53 54 55
Deslocamento (cm) 0.074 0.062 0.057 0.072 0.061 0.056
Variação (%) - - - -2.76% -2.65% -1.59%
40
4.6 Conclusões
Em resumo do que foi analisado neste estudo preliminar, apresentam-se aqui as principais conclusões
retiradas.
Uma maior percentagem de massa nem sempre conduz a melhores resultados. A eficácia do TMD é
muito condicionada pela relação entre as novas frequências de vibração criadas pela introdução do
TMD no sistema e a frequência da acção. Numa acção harmónica, o seu efeito é tendencialmente
crescente com a massa utilizada, até um ponto em que a massa introduzida é “excessiva” e implica
uma rigidez demasiado alta na sua ligação ao oscilador. Numa acção sísmica, a eficácia do TMD
aparenta ser aleatória pois não são conhecidas as frequências mais excitadas no conjunto de
acelerogramas utilizados, sendo impossível estabelecer uma relação entre as frequências do sistema
com TMD e da acção para concluir sobre a existência de situações de ressonância que impedem a
acção do TMD no controlo da resposta do oscilador;
O amortecimento no TMD, para uma acção sinusoidal, é benéfico até certo valor, a partir do qual reduz
bastante a eficácia do mesmo, por impedir o movimento que é necessário para que este contrarie o
movimento do oscilador. Para uma acção sísmica, a eficácia do TMD é sempre aumentada em relação
a uma situação sem amortecimento, apresentando um máximo para o amortecimento óptimo do TMD;
A frequência do TMD é um parâmetro difícil de controlar (para uma acção sísmica) e cuja variação tem
implicações grandes na actuação do mesmo. Conclui-se que, para uma acção harmónica, o TMD deve
ter uma frequência semelhante à da acção e para uma acção sísmica (não harmónica) uma frequência
semelhante à do modo de vibração que se quer anular;
Um aumento do amortecimento estrutural (amortecimento do oscilador) reduz a eficácia do TMD.
Conclui-se que o TMD é um dispositivo com benefícios maiores, e por isso mais adequado, no controlo
da resposta de estruturas pouco amortecidas. Esta conclusão apenas serve para suportar uma decisão
em fase prévia sobre a aplicabilidade de um TMD a determinado edifício, e em nada condiciona o
dimensionamento do mesmo.
41
5 CASO DE ESTUDO
5.1 Introdução
O presente capítulo dedica-se ao estudo da aplicação de um TMD (ou grupo de TMDs) na protecção
sísmica de um edifício alto. Os aspectos centrais de análise são a percentagem de massa, o
amortecimento e a localização dos TMDs. Não é efectuado um estudo sobre o amortecimento estrutural
porque, para além de se ter já concluído que o TMD é um dispositivo mais eficaz sobre estruturas com
baixo amortecimento, a estrutura em análise tem um valor de amortecimento associado aos materiais
estruturais que não deve ser alterado. A frequência do TMD foi fixada para ser igual à dos modos de
vibração que se queriam anular. Apesar de não se ter conseguido concluir inequivocamente sobre o
efeito da variação da frequência do TMD no estudo preliminar, consegue ver-se na análise efectuada
nesse capítulo que tomar um factor 𝑞 = 1 é uma boa hipótese de dimensionamento. A localização dos
TMDs surge com a criação de um grupo de TMDs, e serve não só para estudar as consequências de
se usar mais do que um TMD, como também para averiguar qual a melhor distribuição desses
dispositivos em altura e em planta na estrutura. As conclusões retiradas da análise de cada teste vão
sendo consideradas no processo de testes efectuado posteriormente, pois só assim o estudo poderá
evoluir de maneira a procurar uma solução que garanta o melhor controlo da resposta dinâmica da
estrutura.
5.2 Estrutura base
Estrutura real e modelo computacional
Como exemplo de um edifício alto real foi considerado o modelo computacional da Torre Hito Cultural,
um edifício de escritórios em construção na cidade de Lima, Perú que servirá de sede do Banco de la
Nación. Foi possível ter acesso ao modelo computacional já efectuado no programa SAP2000 pela
empresa de projecto responsável pela obra, dispensando o trabalho da modelação rigorosa de um
edifício alto novo, que não está no âmbito deste trabalho. A modelação efectuada corresponde à
estrutura existente numa fase de projecto, podendo não corresponder à estrutura realmente construída.
A Figura 5.1 mostra duas vistas do projecto do edifício.
O edifício tem 29 pisos elevados com uma altura total de 127 metros, e 4 pisos enterrados. Os pisos
têm um pé-direito de 4m, com excepção dos 7 primeiros pisos, com um pé-direito de 5m. A planta tem
uma geometria rectangular com a menor dimensão segundo Y fixa (𝑙𝑦 = 27.95 𝑚) e maior dimensão
segundo X variável em altura (47.35 𝑚 ≤ 𝑙𝑥 ≤ 55.89 𝑚). A estrutura é de betão armado, porticada no
contorno com 16 pilares exteriores e paredes resistentes no interior. As lajes são vigadas. O betão
utilizado nas lajes, vigas e pilares varia de classe em altura, desde um FC600 (𝑓𝑐 = 58.8 𝑀𝑃𝑎) a um
FC280 (𝑓𝑐 = 27.5 𝑀𝑃𝑎). A planta é alterada nos pisos inferiores, sofrendo uma redução nos pisos 1 e
2, e um aumento no lado oposto nos pisos 1 a 7.
42
A estrutura livre tem um peso de 1 766 029 kN , para a combinação quase permanente de cargas (𝛹2 =
0.4).
Imagens do modelo 3D, da planta corrente e das duas variantes encontram-se representadas na Figura
5.2. Nas plantas, os elementos a azul representam paredes estruturais, a amarelo vigas e a salmão
lajes. Na representação 3D as vigas estão a amarelo e as lajes e paredes a salmão.
Figura 5.1 – Projecto do edifício Torre Hito Cultural (COSAPI, 2015)
Figura 5.2 – Modelo estrutural 3D (esq.); Planta corrente (baixo); Planta aumentada dos pisos 1 a 7 (cima à esq.); Planta reduzida dos pisos 1 e 2 (cima à dir.)
43
Comportamento dinâmico da estrutura livre
A análise modal foi realizada através de vectores Ritz. Os aspectos mais importantes desta análise
estão resumidos nos três primeiros modos de vibração na Tabela 5.1. A deformada da estrutura para
estes modos de vibração está representada na Figura 5.3.
Tabela 5.1 – Resultados da análise modal da estrutura livre
Modo Frequência
(Hz)
Factores de participação de massa
Ux (%) Uy (%) Rz (%) ΣUx (%) ΣUy (%) ΣRz (%)
1 0.134 0.14 54.10 0.11 0.14 54.10 0.11
2 0.176 0.04 0.19 46.89 0.18 54.29 47.00
3 0.177 57.02 0.14 0.00 57.20 54.43 47.00
Os primeiros modos de vibração têm uma grande influência no comportamento dinâmico de uma
estrutura. No caso de edifícios altos, por se tratarem de estruturas tendencialmente mais flexíveis, o
valor da frequência associada ao 1º modo de vibração é, em geral, baixo.
Neste caso, é obtido para a frequência própria um valor de 0.134 𝐻𝑧, associado a uma translação em
Y. O facto do primeiro modo estar associado a um movimento de translação em Y revela uma maior
flexibilidade nesta direcção. Apesar dos elementos verticais existentes terem uma maior rigidez global
segundo Y, o que poderia fazer com que este modo de vibração necessitasse de uma maior quantidade
de energia e tivesse maior frequência do que o modo segundo X, o facto da menor dimensão ser
segundo Y faz com que efeito de pórtico (binário criado pelos vários pilares do contorno) nesta direcção
seja menos evidente, conferindo uma maior rigidez segundo X, com uma dimensão no mínimo 70%
superior à dimensão Y. As componentes de torção e de translação segundo X são quase nulas neste
modo de vibração, revelando uma estrutura quase simétrica em Y, com um movimento de translação
pura.
Figura 5.3 - Deformadas dos 3 primeiros modos de vibração
44
O 2º modo de vibração é o primeiro modo de torção da estrutura, evidenciando um movimento de
rotação em torno de Z. Este modo requer uma maior quantidade de energia de deformação do que o
primeiro modo de translação segundo Y e menor que o primeiro modo de translação segundo X (3º
modo). Este facto pode ser relacionado com o afastamento das paredes resistentes relativamente ao
centro de rigidez da estrutura, que é maior segundo Y do que segundo X. Ao estarem as paredes
resistentes segundo X próximas do centro de rigidez de cada piso, pode existir uma maior facilidade de
rotação do que translação segundo X. Os movimentos de translação (em X e Y) são, neste modo, muito
pouco influentes, revelando uma grande proximidade entre o centro de rotação e o centro de rigidez.
O 3º modo é de translação em X, onde, mais uma vez, os outros dois movimentos têm muito pouca
participação, sendo a translação pura e a estrutura simétrica também em X.
A análise da resposta dinâmica do edifício foi feita através da avaliação dos deslocamentos absolutos
e esforços da estrutura, pois foi verificado que eram mais estas as características afectadas quando se
colocava um TMD na estrutura. Os esforços e deslocamentos foram avaliados em diversos pontos ou
elementos verticais localizados nos 4 alinhamentos de canto, por serem os alinhamento que melhor
representam o comportamento dinâmico global da estrutura. Os 4 alinhamentos encontram-se
identificados, no modelo 3D e em planta, na Figura 5.4.
Figura 5.4 – Identificação dos alinhamentos sujeitos a análise
Em relação a estes alinhamentos, é importante referir, para interpretação dos resultados futuros, que
todos apresentam alguma variação de geometria em altura: os alinhamentos 2 e 3 não apoiam a laje
dos pisos 1 e 2, que sofre um recuo até ao nível do núcleo nestes pisos; os alinhamentos 3 e 4, nos
pisos 1 a 7, servem de apoio a uma zona aumentada de laje. Por estarem em contacto com mais ou
menos massa transmitida pelo contacto com laje, é expectável que estes alinhamentos sofram um
aumento ou redução de esforços quando sujeitos a uma acção traduzida numa aceleração.
45
A acção imposta à estrutura para se estudar a eficácia do TMD no controlo da resposta sísmica foi a
acção sísmica descrita no estudo preliminar - uma combinação de 10 acelerogramas artificias gerados
de acordo com o EC8.
A Figura 5.5 apresenta, para as duas direcções da acção sísmica, a evolução dos deslocamentos da
estrutura livre nas duas direcções, para cada alinhamento (a traço contínuo na direcção X e
interrompido em Y).
Figura 5.5 - Evolução dos deslocamentos absolutos da estrutura livre em altura nas duas direcções e nos 4 alinhamentos, para acção sísmica em X (esq.) e em Y (dir.)
Pode ver-se na Figura 5.5 que, para cada acção sísmica parecem existir apenas 4 curvas de
deformadas, em vez de 8. Na realidade estão representadas 8 curvas em cada gráfico. Seja qual for a
direcção da acção sísmica, os alinhamentos 3 e 1 apresentam deslocamentos absolutos em Y muito
semelhantes, bem como os alinhamentos 4 e 2. Para os deslocamentos em X, independentemente da
direcção da acção sísmica, isto acontece para os alinhamentos 3 e 2 e para os alinhamentos 4 e 1. Ao
olhar para a Figura 5.4 é possível confirmar que este comportamento é justificável, na medida que os
deslocamentos em X têm de ser praticamente iguais para pontos que pertencem à mesma fachada
segundo X, e os deslocamentos em Y têm de ser praticamente iguais para pontos que pertencem à
mesma fachada segundo Y.
Os deslocamentos absolutos em Y para a acção sísmica segundo X são pequenos, representando, em
média (para todos os alinhamentos), apenas 17% dos deslocamentos em X para a acção nessa
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Altura
(m
)
Deslocamento (m)
Acção sísmica em X
Alinhamento 1, em X Alinhamento 1, em Y
Alinhamento 2, em X Alinhamento 2, em Y
Alinhamento 3, em X Alinhamento 3, em Y
Alinhamento 4, em X Alinhamento 4, em Y
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Acção sísmica em Y
46
direcção; também os deslocamentos em X para a acção sísmica segundo Y são pequenos,
representando, em média (para todos os alinhamentos), apenas 13% dos deslocamentos na direcção
da acção (Y).
O maior deslocamento absoluto da estrutura livre para o conjunto dos 10 acelerogramas é de 21.84 𝑐𝑚,
que ocorre no topo do edifício segundo a direcção Y para a acção nessa direcção. Em X, o maior
deslocamento ocorre também no topo do edifício e tem um valor de 19.30 𝑐𝑚. Era de esperar que,
sendo o edifício mais flexível em Y, o maior deslocamento absoluto ocorresse nesta direcção.
Para qualquer direcção da acção os alinhamentos apresentam uma diferença máxima nas deformadas
segundo essa direcção de 2.2 𝑐𝑚. Esta constatação é coerente com a análise modal efectuada, onde
se viu que os 1º e 3º modos eram de translação quase pura, com uma muito baixa participação do
movimento de torção em cada um deles. É também normal que esta maior desigualdade entre os
alinhamentos se dê na direcção Y visto que o modo de vibração de translação nesta direcção apresenta
uma componenente de torção ligeiramente superior à componente de torção do modo de translação
em X, e que, para além disto, a dimensão em X do edifício é muito superior à dimensão em Y, pelo que
o comportamento dos alinhamentos 1 e 3 quando ocorre um sismo em Y que induza uma pequena
rotação do edifício terá uma maior tendência a afastar-se do comportamento dos alinhamentos 2 e 4.
A Figura 5.6 apresenta a deformada do último piso (piso 30) para cada acção sísmica. Pode confirmar-
se que a componente de deformação perpendicular à acção sísmica é desprezável relativamente à
componente de deformação paralela à acção sísmica – a deformação é de translacção quase pura. Por
esta razão, e por se ter chegado à mesma conclusão relativamente aos esforços da estrutura, de aqui
em diante apenas se apresentam os resultados relativos à direcção da acção sísmica imposta.
Figura 5.6 – Deformada do último piso para a acção sísmica segundo X (esq.) e segundo Y (dir.)
Para que se possa estudar a influência do uso de TMDs no controlo de danos não estruturais, avaliou-
se também a evolução dos deslocamentos relativos em altura na estrutura livre. A Figura 5.7 representa
esses deslocamentos (em mm) para a acção sísmica nas duas direcções.
47
Figura 5.7 - Evolução dos deslocamentos relativos da estrutura livre em altura nos 4 alinhamentos, na direcção da acção sísmica (X à esquerda e Y à direita)
É interessante notar que, tal como os deslocamentos absolutos, os deslocamentos relativos se
sobrepõem entre alinhamentos, apenas ficando visíveis os alinhamentos 3 e 4 em X, e em Y no topo
da estrutura. Na direcção Y, até ao piso 11 (altura de 51m) são visíveis os 4 alinhamentos.
Na direcção X, os deslocamentos relativos dos 4 alinhamentos são bastante semelhantes, apresentado
valores altos junto à base do edifício, até ao piso 7 (altura de 35m), e novamente no topo, a partir do
piso 22 (altura de 95m). Ao analisar o andamento dos deslocamentos relativos em altura, é difícil
associar a deformada da estrutura global à deformada típica de um pórtico, em que os deslocamentos
relativos se concentram na base, ou de uma parede resistente, em que os deslocamentos relativos
aumentam com a altura. De facto, pode apenas associar-se a variação dos deslocamentos relativos à
variação da geometria da estrutura. Até ao piso 7, a rigidez dos pilares é menor que nos outros pisos,
devido ao maior pé-direito destes pisos relativamente a todos os outros, pelo que se justifica que neste
pisos o deslocamento relativo seja maior. A partir do piso 22, os pilares sofrem uma redução na sua
rigidez por alteração do tipo de betão utilizado para um de menor resistência, e os deslocamentos
relativos voltam a aumentar. Nos últimos 3 pisos sofrem uma redução.
Em Y, os alinhamentos apresentam um comportamento menos uniforme entre eles, à semelhança do
que se observou na Figura 5.5. Enquanto os alinhamentos 3 e 1 têm um andamento mais uniforme, os
alinhamentos 4 e 2 apresentam grandes diferenças em deslocamentos relativos. Uma possível
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Altura
(m
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Deslocamentos relativos em X
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Deslocamentos (mm)
Deslocamentos relativos em Y
Alinhamento 1 Alinhamento 2 Alinhamento 3 Alinhamento 4
48
justificação para estas diferenças reside na assimetria em relação a Y dos elementos verticais, em
particular da localização das paredes resistentes em relação aos pilares de canto. Uma maior
proximidade (segundo X) dos pilares dos alinhamentos 3 e 1 às paredes resistentes segundo Y pode
levar a uma maior homogeneização dos deslocamentos relativos e a menores deslocamentos na base
do edifício. Um maior afastamento entre os pilares dos alinhamentos 4 e 2 e os elementos verticais
mais próximos (segundo X) pode tornar o seu comportamento menos uniforme e mais susceptível às
variações de geometria que ocorrem em altura, como descrito na análise da direcção X.
Na direcção X, o maior deslocamento relativo é de 9.24 𝑚𝑚 no piso 27 (altura de 115m), causando uma
rotação entre pisos de 𝑑𝑟
ℎ=
9.24
4000= 0.0023 𝑟𝑎𝑑, valor aceitável de acordo com o EC8. Na direcção Y, o
maior deslocamento relativo é de 14.33 𝑚𝑚 no piso 29 (altura de 123m), com uma rotação entre pisos
de 𝑑𝑟
ℎ=
14.33
4000= 0.0036 𝑟𝑎𝑑, valor também abaixo de qualquer limite imposto pelo EC8.
Os esforços na estrutura não devem ser apenas representados pelos esforços nos pilares de canto,
dado que existe uma grande quantidade de paredes resistentes de grande importância na absorção de
esforços causados por acções horizontais. No entanto, considera-se que a distribuição de esforços
pelos diversos elementos verticais (em planta) antes e depois da instalação do TMD se mantém
praticamente igual. Desta forma, toma-se a variação dos esforços nos elementos verticais dos
alinhamentos assinalados como representativa da variação de esforços em todos os elementos
verticais. Sendo a acção sísmica uma acção horizontal, avaliaram-se apenas os esforços que são
afectados por esse tipo de acção: esforço transverso e momento flector.
A Figura 5.8 mostra o esforço transverso registado nos vários alinhamentos, ao longo da altura do
edifício, para a acção sísmica nas duas direcções.
Pode ver-se, através da análise da Figura 5.8 que o esforço transverso segue um andamento típico de
um pórtico inserido uma estrutura mista pórtico-parede. Devido à grande incompatibilidade entre as
deformações no topo da parede e do pórtico (actuando como elementos independentes), em sistemas
mistos cuja laje tem um comportamento de diafragma horizontal, o pórtico tem de resistir a esforços
superiores aos induzidos pela acção sísmica, devido ao aumento induzido pelo controlo, nos pisos
superiores, da deformação em consola da parede resistente. Esta diferença entre a deformada do
pórtico e da parede faz com que os esforços adicionais nos pilares pertencentes a pórticos aumentem
em altura, com um agravamento desta diferença nas deformadas (Taranath, 2009).
No entanto, o efeito da acção sísmica é de criar maiores esforços junto à base da estrutura, onde a
acumulação de massas é maior, e onde os elementos verticais têm maior rigidez. Neste caso, os pilares
também vêm os seus esforços aumentados junto à base, embora existam bastantes paredes
resistentes, pois têm uma secção que lhes confere uma rigidez considerável relativamente à rigidez
das paredes. Na Figura 5.8 vê-se a sobreposição destes dois efeitos, com uma diminuição de esforços
até determinada altura, a partir da qual estes passam a aumentar.
49
Figura 5.8 - Evolução do esforço transverso em altura para a acção sísmica segundo X (esq.) e segundo Y (dir.)
Para além disto, é possível verificar que existem particularidades nos dois diagramas. No piso 1, o
esforço nos alinhamentos 1 e 4 são bastante superiores aos dos elementos 2 e 3. De facto, apesar dos
pilares 2 e 3 neste piso terem uma secção aumentada (de 1m para 1.3m de lado), têm um
deformabilidade bastante superior à dos pilares dos alinhamentos 1 e 4, por terem um pé-direito 3
vezes superior.
Ao nível do piso 7 (altura de 35m) existe uma diminuição do número de elementos verticais, que se
traduz num aumento dos esforços nos elementos que se mantêm.
Pode também confirmar-se a estreita relação entre o esforço de transverso e a deformação entre pisos
dos vários alinhamentos. A deformada dos pórticos é uma deformada por corte, pelo que o
deslocamento relativo entre pisos está intimamente ligado à força de corte desenvolvida entre esses
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Altura
(m
)
Transverso (kN)
Transverso X
Alinhamento 1 Alinhamento 2 Alinhamento 3 Alinhamento 4
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0 50 100 150 200 250 300
Transverso Y
50
pisos. Uma análise comparativa da Figura 5.7 e da Figura 5.8 permite concluir que o andamento das
duas grandezas em altura é muito semelhante para cada alinhamento.
Em Y é possível identificar uma grande semelhança entre os esforços dos alinhamentos 1 e 3 e dos
alinhamentos 2 e 4.
5.3 Dimensionamento e modelação do TMD
O TMD foi modelado como um elemento frame com 5 metros de comprimento segundo a direcção Z,
com toda a sua massa concentrada no extremo superior livre. Ao ser modelado sobre uma estrutura
existente, as condições de ligação não correspondiam a um encastramento perfeito, pelo que foi
necessário proceder-se a uma calibração das características do TMD. Foram aplicadas duas forças
horizontais no extremo livre do TMD, uma na direcção X e outra na direcção Y, e calculado o
deslocamento (𝑑) induzido nesse ponto. Calculou-se de seguida a rigidez efectiva (𝑘) do elemento
frame, com base na relação 𝐹 = 𝑘 ∙ 𝑑, e ajustou-se a inércia da barra de modo a que essa rigidez
igualasse a rigidez teórica de uma consola com encastramento perfeito. A secção do elemento frame
do TMD foi modificada ao longo dos testes, sendo ajustada de forma a originar a frequência desejada,
para cada percentagem de massa testada.
O TMD foi dimensionado de forma a ter uma frequência de vibração igual à do modo que pretendia
anular, para cada direcção. Assim, para cada valor de massa do TMD, foi deduzida a geometria de
uma secção rectangular que conferisse ao elemento frame a rigidez necessária em cada direcção para
que o TMD tivesse uma frequência de 0.134 𝐻𝑧 segundo Y e de 0.177 𝐻𝑧 segundo X.
O material utilizado no TMD foi criado apenas para esse propósito, com características de elasticidade
simbólicas, dado que na realidade a ligação da massa à estrutura é feita por intermédio de cabos que
a suspendem, e molas e amortecedores que podem apoiá-la vertical ou horizontalmente, contribuindo
também para controlar os deslocamentos relativos entre a massa e a estrutura.
A Figura 5.9 mostra um TMD modelado no topo da estrutura. É importante referir nem todos os testes
utilizam um TMD como o representado na mesma figura, podendo variar a localização ou mesmo o
número de TMDs.
51
Estudo paramétrico 1 - factor 𝝁
Este subcapítulo apresenta o estudo da influência da massa do TMD no controlo da resposta sísmica
da estrutura abordada. Foram efectuados 4 testes em que se usaram diferentes percentagens de
massa para o TMD (modelado no centro do último piso, como representado na Figura 5.9). Esta
percentagem de massa é aplicada sobre a massa oscilante do edifício, e não sobre a massa total do
mesmo. De facto, se o objectivo do TMD é anular a resposta de determinado modo de vibração, a
percentagem de massa que lhe atribuímos deve ser relacionada apenas com a massa que oscila nesse
modo. Essa massa oscilante é diferente de modo para modo, dada pelo factor de participação de
massas de cada modo em relação à massa total do edifício. Deste modo, foi necessário calcular, para
cada factor 𝜇, que massa teria idealmente o TMD em cada direcção. Dado que o TMD é constituído
fisicamente por apenas uma massa que pode vibrar nas duas direcções, não pode ser atribuído no
modelo um valor de massa diferente nas duas direcções. Foi então atribuído o valor intermédio entre o
valor ideal em X e o valor ideal em Y. Os testes efectuados encontram-se descritos na Tabela 5.2.
Tabela 5.2 - Testes efectuados no estudo paramétrico 1
𝝁 Massa (ton)
0.5% 500.29
1% 1000.59
1.5% 1500.88
2% 2001.17
A rigidez do TMD foi sempre alterada de forma a que a frequência de vibração em cada direcção
igualasse a frequência do modo de vibração da estrutura nessa direcção. A escolha do factor 𝜇 foi um
processo onde se avaliaram os resultados dos testes efectuados para decidir qual o próximo factor 𝜇 a
utilizar. Ao se chegar a 𝜇 = 2% e constatar o valor elevado de massa ao qual este correspondia, optou-
se por não atribuir um factor superior a este. Como explicado anteriormente, elevados valores de massa
levam a soluções pouco viáveis ao não se conseguir materializar o TMD no espaço disponível ou não
ser possível respeitar os requisitos de deformação em serviço dos elementos de suporte.
Figura 5.9 – Imagem da modelação de um TMD no topo do edifício
52
Para se verificar se o modelo efectuado estava a funcionar correctamente, foram primeiramente
avaliadas as várias frequências de vibração criadas pela introdução do TMD, para os modos de
translação que a introdução do TMD pretendia controlar. A Tabela 5.3 representa o resultado dessa
avaliação. Para cada factor 𝜇 são apresentadas as duas novas frequências de vibração dos modos de
translação em X e Y, bem como o factor de participação de massas (em baixo do valor de frequência).
Tabela 5.3 - Análise das alterações aos primeiros modos de translação em X e Y geradas pela introdução de um
TMD com diferentes factores 𝜇
𝝁 Translação em X Translação em Y
0% 0.134 Hz 0.177 Hz
54.1% 57.0%
0.5% 0.126 Hz 0.142 Hz 0.168 Hz 0.187 Hz
28.9% 25.3% 29.5% 27.7%
1% 0.123 Hz 0.146 Hz 0.164 Hz 0.191 Hz
29.7% 24.5% 30.1% 27.2%
1.5% 0.121 Hz 0.149 Hz 0.161 Hz 0.194 Hz
30.7% 23.5% 30.8% 26.4%
2% 0.117 Hz 0.149 Hz 0.157 Hz 0.194 Hz
28.8% 25.1% 27.9% 29.0%
É possível ver que, para cada direcção de actuação do TMD, existe uma divisão do modo de vibração
original em dois novos modos, um com uma frequência superior e outro com uma frequência inferior à
original. De acordo com o verificado na Figura 3.3, constata-se que um aumento na percentagem de
massa do TMD traduz-se num afastamento das duas frequências de vibração dos modos de translação
em X e Y. É possível verificar também que para qualquer factor 𝜇, a soma das participações de massa
dos dois novos modos é aproximadamente igual à participação de massa do modo original na estrutura
sem TMD. Em todos os testes, os movimentos dominantes no 1º e 2º modos são os de translação em
Y, no 3º e 5º modos são de translação em X e no 4º modo de torção.
A Figura 5.10 apresenta os resultados dos testes efectuados em termos de deslocamentos absolutos
da estrutura. Por já se ter confirmado que as deformadas dos 4 alinhamentos apresentam diferenças
desprezáveis (a diferença máxima entre as deformadas dos alinhamentos em cada piso é de 2.2 𝑐𝑚),
nesta figura apenas constam os deslocamentos do alinhamento 1, para cada direcção da acção
sísmica.
53
A Figura 5.10 mostra um muito pequeno desvio da deformada da estrutura para qualquer valor de
massa do TMD utilizado, resultado que não era o esperado. Apesar da curva correspondente a 𝜇 =
0.5% se destacar visivelmente das restantes, as restantes apresentam diferenças quase
imperceptíveis, principalmente nos pisos superiores. Para melhor se avaliar a eficácia dos vários
valores de massa do TMD testados, a Figura 5.11 representa a redução (em percentagem) dos
deslocamentos em altura para cada factor 𝜇.
Em geral, os deslocamentos diminuem com o aumento da massa do TMD – ao ter maior massa, irá
criar maiores forças de inércia sobre a estrutura, teoricamente melhorando o seu comportamento. No
entanto, nem em todos os pisos a melhor solução corresponde ao uso da maior percentagem de massa.
Nos pisos superiores, vê-se que o factor 𝜇 = 1.5% (ou mesmo o factor 𝜇 = 1% em X) conduz a uma
redução de deslocamentos ligeiramente superior à redução provocada pelo factor 𝜇 = 2%.
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130
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
Altura
(m
)
Deslocamento (m)
Deslocamentos X
Sem TMD μ = 2%
μ = 1.5% μ = 1%
μ = 0.5%
0
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40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
Altura
(m
)
Deslocamento (m)
Deslocamentos Y
Sem TMD μ = 2%
μ = 1.5% μ = 1%
μ = 0.5%
110
115
120
125
0.14 0.16 0.18 0.20110
115
120
125
0.16 0.18 0.20 0.22
Figura 5.10 – Evolução dos deslocamentos em altura para os 4 testes do estudo paramétrico 1
54
Figura 5.11 – Variação dos deslocamentos absolutos em altura para os vários testes do estudo paramétrico 1
Fizeram-se adicionalmente dois testes onde se atribuíram factores 𝜇 = 4% e 𝜇 = 5% ao TMD, apenas
com o objectivo de confirmar se a melhor solução no topo correspondia sempre ao factor 𝜇 = 1.5%.
Verificou-se que os dois novos testes conduziam a maiores reduções no topo que o teste 𝜇 = 1.5%,
tanto em X como em Y, embora o aumento de eficácia associado ao aumento da massa do TMD seja
mais evidente nos pisos intermédios, e não tanto nos pisos superiores. A figura onde se incluem as
duas curvas com 𝜇 = 4% e 𝜇 = 5% pode ser consultada no Anexo 2.
Na Figura 5.12 pode ver-se uma comparação da variação deslocamentos para cada factor 𝜇 utilizado,
para cada direcção da acção sísmica e para os alinhamentos 1 e 2 que, como se viu na Figura 5.5, são
representativos das deformadas dos 4 alinhamentos tanto em X como em Y. Cada gráfico apresenta
informação sobre a variação de deslocamentos avaliada em 3 conjuntos de pisos, que se consideraram
importantes de avaliar: os 5 pisos superiores (altura de 111m e 127m), os 5 pisos intermédios (altura
de 59m a 75m) e a média de todos os pisos, identificados, respectivamente, por topo, meio e média.
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-20.0% -15.0% -10.0% -5.0% 0.0%A
ltura
(m
)Variação
Variação deslocamentos Y
μ = 2% μ = 1.5%
μ = 1% μ = 0.5%
0
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100
110
120
130
-12.5% -10.0% -7.5% -5.0% -2.5% 0.0%
Altru
a (
m)
Variação
Variação deslocamentos em X
μ = 2% μ = 1.5%
μ = 1% μ = 0.5%
55
-10%
-9%
-8%
-7%
-6%
-5%
-4%
-3%
0.5 1 1.5 2
Variação
𝜇 (%)
Deslocamentos X
Topo, alinhamento 1 Meio, alinhamento 1 Média, alinhamento 1
Topo, alinhamento 2 Meio, alinhamento 2 Média, alinhamento 2
Figura 5.12 – Comparação da variação de deslocamentos absolutos para os 4 testes do estudo paramétrico 1
-17%
-15%
-13%
-11%
-9%
-7%
-5%
-3%
0.5 1 1.5 2
Deslocamentos Y
É possível confirmar que o topo do edfício é, relativamente ao meio, menos beneficiado com o aumento
de massa do TMD. Em Y, o declive da recta correspondente ao topo reduz-se muito depois do ponto
𝜇 = 1%, chegando a ser negativo para o alinhamento 1. Em X, a maior redução no topo para o
alinhamento 2 dá-se mesmo para o factor 𝜇 = 1%. Enquanto a redução média dos deslocamentos em
todos os pisos aumenta (de maneira muito semelhante para o alinhamento 1 e 2) quase de forma
constante com o aumento da massa do TMD, na zona do meio do edifício essa redução aumenta com
o aumento da massa do TMD, e no topo diminui. Na direcção Y, apesar do topo ser a zona menos
afectada pelo aumento do factor 𝜇, na zona do meio do edifício o aumento da redução dos
deslocamentos vai-se tornando menos evidente com o aumento desse factor (diminui o declive da
recta).
É interessante também notar um comportamento dos dois alinhamentos bastante mais desigual em Y
do que em X. Como já se tinha confirmado na Figura 5.5, é na direcção Y que os alinhamentos têm
deformadas mais diferentes.
Em X, a solução que leva a uma redução mais homogénea dos deslocamentos em altura é a solução
com maior percentagem de massa. Em Y, pelo contrário, é a solução com menor percentagem de
massa.
A redução de deslocamentos é sempre maior na direcção Y do que na direcção X. Este facto pode ser
justificado com a maior flexibilidade que o edifício tem na direcção Y. Ao ser a direcção de translação
do 1º modo de vibração, irá ter uma importância maior que qualquer movimento no comportamento
dinâmico da estrutura, estando o TMD mais solicitado pelo movimento em Y.
A redução máxima de deslocamentos representada dá-se a meia altura, na direcção Y, e é de 16.0%
para um factor 𝜇 = 2%. A redução máxima dos deslocamentos num piso é de 17.4%.
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-16% -14% -12% -10% -8% -6% -4% -2% 0%
Variação transverso Y
Figura 5.13 - Variação do esforço transverso em altura para os 4 testes do estudo paramétrico 1
Por se confirmar que num gráfico que representasse os esforços em altura para cada solução se
tornava difícil visualizar as diferentes curvas (como a Figura 5.10 para os deslocamentos), optou-se
apenas por apresentar um gráfico com a variação dos mesmos, em percentagem, mais fácil de analisar
e identificar as diferenças correspondentes a cada solução testada.
Mais uma vez, é a direcção Y a que sofre maior redução, com a solução 𝜇 = 2% a destacar-se bastante
das restantes nos pisos mais elevados, nesta direcção. Em X, não só a redução é, em geral, menor
que em Y, como também o efeito do aumento da massa do TMD não é tão evidente. Em quase toda a
altura, este é o factor que conduz a melhores resultados, tanto em X como em Y.
A Figura 5.14 representa, à semelhança da Figura 5.12, uma comparação da variação de esforços
transversos associada a cada solução de TMD para os alinhamentos 1 e 2, nas zonas superior (média
dos 5 pisos superiores) e intermédia (média dos 5 pisos intermédios) do edifício, e na média de todos
os pisos do edifício.
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-16% -14% -12% -10% -8% -6% -4% -2% 0%
Altura
(m
)
Variação
Variação transverso X
μ = 0.5% μ = 1% μ = 1.5% μ = 2%
57
Na generalidade, as curvas representadas mostram que um aumento da massa do TMD se traduz
numa maior redução dos esforços da estrutura. É importante notar que o TMD, apesar de funcionar ao
reduzir a resposta sísmica do edifício, é mais uma massa acoplada ao mesmo, tendo o efeito duplo de
aumento dos esforços da estrutura por aumento da massa da mesma, principalmente nos pisos mais
próximos do TMD, e de redução dos esforços por redução da aceleração do edifício. Ao analisar a
variação de esforços para cada solução, é possível ver que em nenhum piso os esforços sofrem um
aumento, ou seja, o efeito da redução da resposta geral do edifício é predominante relativamente ao
efeito negativo do acréscimo de massa.
As excepções à tendência de aumento da redução de esforços com o aumento de massa do TMD
ocorrem para o esforço transverso em X, no meio do edifício e no topo no alinhamento 2, e para o
esforço transverso em Y, no meio do edifício no alinhamento 1 para solução com maior percentagem
de massa. Apesar disso, as curvas a verde, representantes da redução média de todos os pisos, são
sempre decrescentes. O declive destas torna-se quase sempre menor com o aumento da massa do
TMD.
Para efeitos de aplicabilidade prática, é também importante conhecer a ordem de grandeza dos
esforços locais introduzidos pelo TMD nos elementos ao qual está acoplado, e dos deslocamentos
relativos a que esta massa está sujeita durante a actuação de um sismo. A Tabela 5.4 apresenta essa
informação para as 4 soluções testadas.
Tabela 5.4 – Esforço transverso e deslocamento relativo máximos para cada factor 𝜇
𝝁 0.5% 1% 1.5% 2%
Direcção X Y X Y X Y X Y
V (kN) 462.1 293.7 797.0 514.1 1076.5 684.0 1289.7 809.5
d (m) 0.573 1.147 0.531 0.919 0.475 0.701 0.473 0.700
-9%
-8%
-7%
-6%
-5%
-4%
-3%
-2%
-1%
0%
1%
0.5 1 1.5 2
Variação
𝜇 (%)
Transverso X
Topo, alinhamento 1 Meio, alinhamento 1 Média, alinhamento 1
Topo, alinhamento 2 Meio, alinhamento 2 Média, alinhamento 2
-12%
-11%
-10%
-9%
-8%
-7%
-6%
-5%
-4%
-3%
-2%
0.5 1 1.5 2
Transverso Y
Figura 5.14 - Comparação da variação de esforços transversos para os 4 testes do estudo paramétrico 1
58
No modelo computacional, porque o TMD estava modelado como um elemento frame, foi avaliado o
esforço transverso máximo (médio dos 10 sismos considerados) na base desse elemento. Numa
situação real, esta força é a força transmitida às molas e amortecedores que fazem a ligação entre a
massa do TMD e a estrutura. O deslocamento relativo da massa foi calculado para todos os instantes
de actuação do sismo, sendo depois escolhido o máximo. O sismo utilizado foi o representativo, o sismo
5.
Como seria de esperar, um aumento da massa do TMD leva a um aumento das forças de ligação à
estrutura. Pelo contrário, os deslocamentos relativos da massa diminuem com o aumento da mesma,
pelo aumento da sua inércia. Em relação às duas direcções de movimento, o TMD apresenta maiores
deslocamentos na direcção Y, a direcção do 1º modo de vibração, na qual a estrutura apresenta
também maiores deslocamentos. Para além disto, na direcção Y a barra do TMD tem menor inércia,
pelo que irá absorver menores esforços e apresentar maiores deslocamentos que na direcção X. O
maior deslocamento ocorre para a solução com menor massa, 𝜇 = 0.5%, e é superior a 1 metro.
Como conclusão deste primeiro subcapítulo, é possível afirmar que um aumento da massa do TMD se
traduz, na maioria dos casos, numa melhoria da resposta do edifício, ao aumentar a redução dos
deslocamentos e esforços. Neste caso de estudo, por se tratar de um edifício extremamente pesado,
optou-se por não aumentar mais a percentagem de massa do TMD, por se achar impraticável num
caso real.
Estudo paramétrico 2 – localização do TMD ou múltiplos
TMDs
Este subcapítulo apresenta o resultado do estudo sobre a influência da localização do TMD, em planta
e altura, e da utilização de múltiplos TMDs no controlo da resposta sísmica do edifício. Foram
efectuados 4 testes novos, e foi utilizado o teste anterior com 𝜇 = 2% para comparação, por ter sido o
que conduziu a melhores resultados. Nestes novos testes, a massa total utilizada manteve-se
constante, de modo a que o único parâmetro variável fosse a localização de um ou de múltiplos TMDs.
Os testes serão identificados com os números:
1. 1 TMD com 𝜇 = 2% localizado no topo do edifício, o mesmo utilizado no estudo paramétrico
2. 1 TMD com 𝜇 = 2% mas localizado no piso intermédio do edifício, numa altura de 67m;
3. 4 TMDs, cada um com 𝜇 = 0.5%, distribuídos em planta, no último piso do edifício;
4. 8 TMDs, cada um com 𝜇 = 0.25%, também distribuídos em planta também do último piso do
edifício.
5. 2 TMDs com 𝜇 = 1% distribuídos em altura, um no topo e outro no meio do edifício (também
à altura de 67m)
Mais uma vez, a massa aplicada foi a mesma nas duas direcções, e a frequência do TMD igualada à
frequência de vibração dos 1º e 3º modos, de translação em Y e X, respectivamente.
59
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-20.0% -15.0% -10.0% -5.0% 0.0%
Variação deslocamentos em Y
FIgura 5.15 - Variação dos deslocamentos absolutos em altura para os vários testes do estudo paramétrico 2
A FIgura 5.15 representa a redução dos deslocamentos induzida por cada teste descrito anteriormente,
bem como a do teste 𝜇 = 2% no topo.
Pode ver-se que todos os testes apresentam uma redução em altura muito semelhante à do teste com
2% no topo. Em Y, a maior redução dá-se no meio do edifício, enquanto em X se dá nos pisos
superiores. Vê-se que duas das soluções se destacam com reduções menores que as outras: a solução
com um TMD com 𝜇 = 2% no meio (teste 2 da listagem anterior) e a solução com 2 TMDs com 𝜇 = 1%
distribuídos em altura (teste 3 da listagem anterior). A solução em que o TMD é colocado apenas no
meio do edifício (em altura), distingue-se sempre das outras: em X, a maior diferença dá-se nos pisos
superiores, enquanto em Y se dá nos pisos intermédios. Ao contrário do esperado, esta solução não
traz vantagem nenhuma na redução dos deslocamentos dos pisos intermédios. A solução em que os
dois TMDs são distribuídos em altura controla melhor os deslocamentos no topo e no meio nas duas
direcções, relativamente à solução com o TMD colocado apenas no meio.
A Figura 5.16 apresenta uma comparação da redução de deslocamentos em X e Y para um dos 5
testes deste estudo paramétrico, nos alinhamentos 1 e 2, nas zonas do topo do edifício, meio e média
de todos os pisos.
É possível confirmar que as duas soluções que conduzem a piores resultados são as soluções 2 e 5,
em que o TMD adopta uma localização diferente do topo. Pode então concluir-se que a situação que
leva a um melhor controlo da deformação da estrutura pelo TMD é aquela em que este se localiza o
mais perto possível (em altura) do ponto de maior deformação da estrutura.
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-12.0% -9.0% -6.0% -3.0% 0.0%
Altura
(m
)
Variação
Variação deslocamentos em X
2% TOPO 2% MEIO 1x4x0.5% 1x8x0.25% 2x1x1%
60
Na direcção X, a solução com melhores resultados é a 4, com 4 TMDs distribuídos em planta, sendo
que as soluções 1, 3 e 5 apresentam resultados muito parecidos nesta direcção. A distribuição em
planta é importante para o controlo do modo de torção da estrutura, correspondente ao 2º modo.
Na direcção Y, com excepção das soluções 2 e 5, todas apresentam resultados semelhantes, não
sendo possível decidir qual a melhor solução no conjunto de todos os pisos e alinhamentos. O controlo
da torção nesta direcção não é tão importante.
Mais uma vez, a direcção Y é aquela em que o TMD controla melhor os deslocamentos. A maior
redução dá-se ao nível do piso 12 (altura de 55m) e é de 18.6%, uma ligeira melhoria relativamente
aos 17.4% obtidos na solução com 𝜇 = 2% no topo do estudo paramétrico 1.
A FIgura 5.17 representa a variação do esforço transverso em altura para as várias localizações do
TMD.
Mais uma vez, o andamento em altura dos esforços é muito parecido em cada direcção, e também
semelhante ao das soluções do estudo paramétrico 1. Tal como para os deslocamentos, este estudo
não apresenta vantagens significativas na redução dos esforços relativamente ao estudo anterior. Em
relação aos esforços é visível que a solução com o TMD no meio é a que conduz a piores resultados.
-18%
-16%
-14%
-12%
-10%
-8%
-6%
-4%
-2%
0%
1 2 3 4 5
Variação
Teste
Variação deslocamentos em X
Topo, alinhamento 1 Meio, alinhamento 1 Média, alinhamento 1
Topo, alinhamento 2 Meio, alinhamento 2 Média, alinhamento 2
-18%
-16%
-14%
-12%
-10%
-8%
-6%
-4%
-2%
0%
1 2 3 4 5
Variação deslocamentos em Y
Figura 5.16 - Comparação da variação de deslocamentos absolutos para os vários testes do estudo paramétrico 2
61
FIgura 5.17 - Variação do esforço transverso em altura para os vários testes do estudo paramétrico 2
Ao analisar todas as figuras comparativas das várias soluções (5.12, 5.14, 5.16 e 5.18) é possível ver
que a redução na direcção Y é sempre mais homogénea que a redução da direcção X, ao longo da
altura do edifício. Neste caso, a direcção X apresenta grandes variações, havendo mesmo soluções
que apenas são vantajosas em certas zonas ou alinhamentos.
Na direcção Y, mais uma vez, a redução é superior à direcção X, sendo a solução 3 a mais vantajosa,
embora com diferenças pouco significativas em relação à solução 1 e 3.
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-16%-14%-12%-10% -8% -6% -4% -2% 0%
Altura
(m
)
Variação
Variação transverso em X
2% TOPO 2% MEIO 1x4x0.5% 1x8x0.25% 2x1x1%
-11%
-10%
-9%
-8%
-7%
-6%
-5%
-4%
-3%
-2%
-1%
0%
1%
1 2 3 4 5
Variação
Teste
Variação transverso em X
Topo, alinhamento 1 Meio, alinhamento 1 Média, alinhamento 1
Topo, alinhamento 2 Meio, alinhamento 2 Média, alinhamento 2
-13%
-12%
-11%
-10%
-9%
-8%
-7%
-6%
-5%
-4%
-3%
-2%
1 2 3 4 5
Variação transverso em Y
0
10
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40
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60
70
80
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110
120
130
-18%-16%-14%-12%-10%-8% -6% -4% -2% 0%
Variação transverso em Y
FIgura 5.18 - Comparação da variação de esforços trasnversos para os vários testes do estudo paramétrico 2
62
Para concluir este estudo paramétrico, é importante realçar que a localização do TMD é um parâmetro
que necessita de alguma atenção, dado que um TMD mal localizado tem uma redução menos eficaz
da que poderia ter. Esta localização deve ser preferencialmente o topo do edifício, e nunca apenas o
meio do edifício. Mais uma vez, os resultados obtidos são insatisfatórios, o que se pode justificar com
a aleatoriedade da acção imposta, a acção sísmica. Como se viu no estudo preliminar, o TMD é um
dispositivo com benefícios bastante superiores quando é sintonizado para a frequência da acção, e não
a frequência da estrutura. A natureza aleatória da acção sísmica pode provocar uma vibração no
edifício com frequências diferentes das duas para as quais o TMD é sintonizado, tornando-o pouco útil
no controlo da vibração.
Estudo paramétrico 3 – amortecimento do TMD
Neste último estudo paramétrico estuda-se o amortecimento do TMD. Num caso real, a massa do TMD
tem de estar amortecida para que haja um melhor controlo dos seus deslocamentos. Como casos de
análise, seleccionaram-se os que geraram melhores resultados na generalidade dos parâmetros
avaliados: um TMD no topo do edifício com 𝜇 = 2% e 4 TMDs também no topo do edifício com 𝜇 =
0.5%. A estes dois casos foram aplicados 3 factores de amortecimento: o amortecimento óptimo, um
amortecimento reduzido de 1%, e um amortecimentos mais elevado, de 12%. Pretende-se analisar o
efeito do amortecimento no controlo do movimento do TMD, e por isso no controlo da resposta da
estrutura.
A Figura 5.19 representa a variação dos deslocamentos absolutos em altura para cada uma das novas
6 soluções e para as duas melhores soluções anteriores, sem amortecimento.
A figura mostra que o amortecimento do TMD, ao controlar o seu movimento, pode melhorar a eficácia
do mesmo. As duas curvas sem amortecimento (𝜇 = 2% e 4 × 𝜇 = 0.5%) têm andamentos semelhantes
nas duas direcções, e são as que piores resultados apresentam.
Na direcção X, a principal diferença entre soluções dá-se no topo do edifício, onde as que têm o maior
coeficiente de amortecimento (tanto amortecimento óptimo e amortecimento de 12%) se destacam por
conduzirem aos melhores resultados.
Na direcção Y, a diferença é quase constante em toda a altura, sendo que, no topo, são as mesmas
soluções, com maior amortecimento, que levam à maior redução dos deslocamentos da estrutura.
O amortecimento do TMD restringe o seu movimento e, teoricamente, prejudica a sua eficácia. No
entanto, como se tinha já visto no estudo preliminar, para valores baixos de amortecimento, o
comportamento do mesmo pode ser melhorado por introdução de amortecimento.
63
Figura 5.19 – Variação dos deslocamentos absolutos em altura para os vários testes do estudo paramétrico 2
Por se constatar que os esforços neste estudo paramétrico não apresentavam nenhuma particularidade
interessante ao estudo do amortecimento do TMD, e que a diferença relativamente ao modelo sem
amortecimento se concentrava nos deslocamentos da estrutura, optou-se por não apresentar nenhum
gráfico de esforços. No entanto, é importante referir que estes continuam a sofrer redução com a
introdução de amortecimento.
A Tabela 5.5 apresenta os deslocamentos relativos do TMD e esforços que se desenvolvem na ligação
à estrutura.
Tabela 5.5 - Esforço transverso e deslocamento relativo máximos para cada factor de amortecimento do TMD
4x0.5%
𝝃𝟐 1% Óptimo 12%
Direcção X Y X Y X Y
V (kN) 271.6 242.0 201.1 164.2 152.0 135.0
d (m) 0.461 0.581 0.327 0.455 0.270 0.373
2%
1% Óptimo 12%
X Y X Y X Y
1083.0 967.8 919.1 743.7 801.9 514.0
0.457 0.589 0.373 0.513 0.326 0.352
Tal como esperado, os deslocamentos do TMD reduzem-se em comparação com o modelo sem
amortecimento, e são tanto menores quanto maior o coeficiente de amortecimento. Os esforços de
ligação do TMD à estrutura também se reduzem com o aumento do seu amortecimento.
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-20.0% -15.0% -10.0% -5.0% 0.0%
Altura
(m
)
Variação (%)
Variação deslocamentos X
μ = 2%, sem amortecimento μ = 2%, amortecimento 1%
μ = 2%, amortecimento óptimo μ = 2%, amortecimento 12%
4x0.5%, sem amortecimento 4x0.5%, amortecimento 1%
4x0.5%, amortecimento óptimo 4x0.5%, amortecimento 12%
0
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20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
-25.0% -20.0% -15.0% -10.0% -5.0% 0.0%
Variação deslocamentos Y
64
Conclui-se que o amortecimento do TMD é um parâmetro que, para além de ser essencial no controlo
do movimento do TMD, é também benéfico para a sua eficácia. A título de exemplo, no modelo 𝜇 = 2%
simples, com o TMD no topo, a maior redução de deslocamentos era de 17.4%, passando a ser de
19.7% com a introdução do amortecimento óptimo no modelo.
Análise comparativa
Na Tabela 5.6 apresentam-se os resultados globais deste estudo, organizados por estudo paramétrico,
direcção da acção sísmica e zona do edifício: média dos 5 pisos superiores (topo), média dos 5 pisos
intermédios (meio) e média dos pisos todos (média).
Os resultados gerais da análise da influência do uso de TMDs no controlo da resposta do edifício alto
abordado são insatisfatórios. Uma hipótese para justificar a reduzida eficácia do TMD é a natureza
aleatória da acção sísmica. Como se viu no estudo preliminar, os efeitos do TMD numa estrutura sujeita
a uma acção harmónica são mais facilmente previsíveis. Quando a acção é aleatória, esses efeitos
tornam-se também, de certa forma, aleatórios, pois dependem em grande parte da relação entre a
frequência da aceleração, que é desconhecida, e a frequência própria de vibração do edifício.
Tabela 5.6 – Análise comparativa geral
Deslocamentos Topo Topo Meio Meio Média Média
Teste X Y X Y X Y
Factor 𝝁
0.5% -6.2% -5.9% -3.6% -6.6% -8.3% -10.7%
1% -9.0% -8.7% -4.6% -9.5% -7.4% -10.1%
1.5% -8.6% -9.6% -6.2% -11.5% -6.4% -8.6%
2% -8.1% -9.7% -8.3% -12.3% -4.6% -5.7%
Localização
2% meio -5.7% -4.1% -8.5% -12.8% -4.2% -4.0%
2x1% -8.9% -9.2% -5.4% -10.4% -7.0% -9.4%
4x0.5% -8.0% -9.9% -3.0% -4.7% -8.3% -11.0%
8x0.25% -8.8% -9.8% -7.6% -12.8% -8.3% -11.0%
Amortecimento do TMD
TMD 2%, amort 1% -9.5% -10.4% -8.6% -13.1% -9.5% -11.9%
TMD 2%, amort opt -13.1% -11.9% -9.2% -14.1% -10.5% -12.2%
TMD 2%, amort 12% -12.9% -11.7% -8.8% -13.9% -10.4% -12.0%
4x0.5%, amort 1% -9.4% -10.7% -8.8% -13.6% -8.9% -11.6%
4x0.5%, amort opt -12.6% -12.0% -9.2% -14.2% -10.2% -12.4%
4x0.5%, amort 12% -13.6% -12.4% -9.2% -14.0% -10.7% -12.4%
Compararam-se os resultados obtidos com os de outro estudo sobre a influência de TMDs no controlo
da vibração de um edifício alto (Tuan & Shang, 2014). Neste estudo, foi comparada a eficácia do TMD
no controlo da vibração quando a estrutura estava sujeita à acção do vento com a eficácia quando essa
acção era uma acção sísmica. Como estrutura base foi utilizado o modelo computacional do edifício
Taipei 101, um edifício com 449 m de altura equipado com um TMD de 660 ton. Neste estudo,
65
obtiveram-se reduções dos deslocamentos no topo do edifício de 26% e 33% nas direcções X e Y,
respectivamente. Estes valores, apesar de superiores aos obtidos no presente estudo, não mostram
uma diferença significativa na eficácia do TMD no controlo de estruturas submetidas a uma acção
sísmica. Relativamente à acção do vento, os resultados do estudo mencionado foram superiores aos
resultados relativos à acção sísmica, de acordo com o concluido no presente estudo.
Estudo sobre acção sinusoidal
Para confirmar se parte da reduzida eficácia do TMD estava relacionada com a natureza aleatória da
acção sísmica, realizou-se um estudo da resposta da mesma estrutura com um TMD de 𝜇 = 2%,
impondo uma acção sinusoidal. Esta acção foi determinada de tal modo que o seu efeito em termos de
deslocamento máximo que provoca na estrutura fosse igual ao deslocamento máximo provocado pelo
conjunto dos 10 sismos considerados. Esse deslocamento foi obtido e apresentado anteriormente, e é
de 21.84 𝑐𝑚. Ao se realizar uma análise com uma acção sinusoidal de frequência igual à do 1º modo
de vibração da esturtura, obtém-se um deslocamento máximo que deve ser calibrado, pois não tem
significado real dado que a amplitude da acção não foi estudada. Deste modo, depois de obtido esse
deslocamento máximo (na ordem do metro), é possível calibrar a acção sinusoidal, diminuindo a sua
amplitude, de forma a que o deslocamento máximo tome o valor de 21.84𝑐𝑚. Para isso basta reduzir a
amplitude da acção na medida da relação entre o deslocamento máximo para o conjunto de sismos e
o deslocamento máximo para a acção sinusoidal em ressonância. Depois de efectuada essa calibração,
obtiveram-se os deslocamentos da estrutura sem TMD, e com um TMD no topo com 𝜇 = 2%.
A Tabela 5.7 apresenta a informação relativa à redução de deslocamentos devido ao TMD, para a
acção sinusoidal nas duas direcções. Em cada uma das direcções, foi utilizada uma acção sinusoidal
que igualava o deslocamento máximo da estrutura submetida à acção sísmica nessa direcção.
É possível ver que o TMD tem capacidade para controlar em 54.3% e 50% os deslocamentos da
estrutura na direcção Y e X, respectivamente. Revela uma extrema eficácia no controlo da resposta de
estruturas altas submetidas a acções harmónicas, não sendo tão eficaz quando a acção é de carácter
aleatório.
66
Tabela 5.7 – Variação dos deslocamentos da estrutura para uma acção sinusoidal
Alinhamento 1
Sem TMD Com TMD Variação Sem TMD Com TMD Variação
Z Direcção Y Direcção X
127 0.199 0.0908 -54.3% 0.178 0.0890 -50.0%
123 0.191 0.0875 -54.2% 0.173 0.0871 -49.7%
119 0.184 0.0841 -54.2% 0.168 0.0849 -49.4%
115 0.176 0.0806 -54.2% 0.162 0.0826 -49.0%
111 0.168 0.0771 -54.2% 0.156 0.0802 -48.7%
107 0.161 0.0736 -54.2% 0.150 0.0776 -48.4%
103 0.153 0.0700 -54.2% 0.144 0.0748 -48.1%
99 0.145 0.0665 -54.2% 0.138 0.0719 -47.8%
95 0.137 0.0629 -54.2% 0.131 0.0689 -47.5%
91 0.130 0.0594 -54.2% 0.125 0.0658 -47.2%
87 0.122 0.0559 -54.2% 0.118 0.0626 -47.0%
83 0.114 0.0524 -54.2% 0.111 0.0593 -46.7%
79 0.107 0.0490 -54.1% 0.104 0.0560 -46.4%
75 0.099 0.0456 -54.1% 0.098 0.0527 -46.1%
71 0.092 0.0423 -54.1% 0.091 0.0494 -45.9%
67 0.085 0.0390 -54.1% 0.085 0.0461 -45.6%
63 0.078 0.0358 -54.1% 0.079 0.0429 -45.4%
59 0.071 0.0326 -54.1% 0.072 0.0397 -45.1%
55 0.064 0.0296 -54.1% 0.066 0.0365 -44.9%
51 0.058 0.0266 -54.1% 0.060 0.0333 -44.6%
47 0.052 0.0238 -54.1% 0.054 0.0302 -44.4%
43 0.046 0.0211 -54.1% 0.048 0.0271 -44.1%
39 0.040 0.0185 -54.1% 0.043 0.0240 -43.9%
35 0.035 0.0160 -54.1% 0.037 0.0211 -43.6%
30 0.029 0.0131 -54.0% 0.031 0.0175 -43.3%
25 0.023 0.0105 -54.0% 0.025 0.0140 -43.0%
20 0.018 0.0081 -54.0% 0.019 0.0108 -42.6%
15 0.013 0.0060 -54.0% 0.014 0.0079 -42.3%
10 0.009 0.0041 -54.0% 0.009 0.0053 -41.9%
5 0.005 0.0024 -54.0% 0.005 0.0029 -41.4%
67
6 CONCLUSÕES E FUTUROS DESENVOLVIMENTOS
As estruturas altas são um desafio no âmbito da engenharia pela sua elevada vulnerabilidade às acções
horizontais. A resposta destas estruturas a uma acção dinâmica horizontal como a acção sísmica
depende largamente das suas características dinâmicas. O TMD é um tipo de protecção sísmica que
actua sobre a estrutura de forma a melhorar as suas características dinâmicas e assim a sua resposta
a qualquer acção dinâmica.
O TMD (do inglês Tuned Mass Damper) é um dispositivo constituído por uma massa que se adiciona à
estrutura original, ligada à mesma por meio de molas (ou outro meio elástico flexível) e amortecedores,
que surgiu da comprovação da transferência de energia de um sistema principal excitado externamente
a outro sistema secundário não excitado directamente e acoplado ao primeiro. O TMD actua ao exercer
uma reacção sobre a estrutura principal (através da mola e amortecedor) de sentido contrário ao
movimento provocado pela acção externa que se quer anular. O processo de dimensionamento de um
TMD começa pela análise dos modos de vibração da estrutura e escolha daquele (ou daqueles) que
se pretende anular, sendo depois escolhido, com base em critérios económicos, estéticos, funcionais
e de serviço, o valor de massa que se pretende utilizar. Depois disto é necessário calcular a rigidez dos
meios de ligação à estrutura de modo a que a frequência de vibração do TMD tome o valor pretendido
(geralmente, o valor da frequência do modo de vibração que se pretende controlar).
Nesta dissertação foram testados os fundamentos teóricos do TMD formulados no passado através de
estudos paramétricos numéricos em duas estruturas: um oscilador de um grau de liberdade e uma
estrutura real de um edifício alto.
Através do estudo sobre um oscilador de um grau de liberdade foi possível verificar que a influência de
cada parâmetro do TMD sobre o comportamento do oscilador tem maior evidencia quando este é
excitado por uma acção harmónica. Nestas condições, um aumento da massa do TMD apresenta
vantagens até certo ponto (quando a rigidez necessária para a frequência requerida do TMD torna a
ligação demasiado rígida), o amortecimento do TMD para valores relativamente baixos apresenta
também vantagens relativamente a uma situação sem amortecimento até certo ponto (onde a
rigidificação do TMD se torna prejudicial também), a frequência do TMD deve estar próxima da
frequência óptima dada pela expressão (3.6) e, por fim, o aumento do amortecimento no oscilador
apenas provoca uma redução da eficácia do TMD.
Quando a acção imposta é uma acção sísmica, as tendências descritas anteriormente já não são
visíveis. A eficácia do TMD é muito condicionada pela relação entre a frequência da excitação e as
frequências de vibração da estrutura de dois graus de liberdade constituída pelo oscilador e pelo TMD.
Sendo a acção sísmica uma acção de carácter aleatório consituída por diversas ondas cada uma com
determinadas frequências, existem múltiplas situações (e não uma, como acontecia na acção sinuoidal)
em que a estrutura pode entrar num comportamento perto da ressonância. Deste modo, o que se pode
concluir do estudo sobre um oscilador com uma acção sísmica é que os parâmetros relacionados com
68
a massa e rigidez da estrutura, aqueles que afectam a análise modal da mesma, devem ser escolhidos
com base num estudo numérico ou experimental em que se submete a estrutura a um conjunto
representativo de funções de carácter aleatório que simulem uma acção sísmica. Parâmetros como os
factores de amortecimento do TMD e do oscilador, têm uma influência previsível sobre a eficácia do
TMD no controlo da resposta do oscilador, sendo possível afimar que esta eficácia se maximiza na
situação em que o amortecimento do TMD é o amortecimento óptimo, dado pela equação (3.7), e o
amortecimento estrutural é o mais baixo possível (tendo em conta que, muitas vezes, este não é uma
característica controlável).
O estudo sobre um edifício alto real baseou-se em testes onde se fizeram variar três parâmetros do
TMD: a massa, a localização (ou o desacoplamento em múltiplos TMDs) e o amortecimento. Foi
possível verificar desde o início uma pequena influência do TMD no controlo da resposta do edifício. A
percentagem de massa revelou-se mais influente quanto maior era (tendo um máximo no caso de 𝜇 =
2%). A localização do TMD apresentou resultados insatisfatórios quando foi alterada para múltiplos
TMDs em altura. No entanto, quando estes foram distribuídos em planta, registaram-se melhorias tanto
a nível de redução de deslocamentos como de esforços na estrutura. Esta melhoria deve-se ao controlo
do modo de torção, que na estrutura livre é o 2º modo. Ao se desacoplar o TMD num grupo de TMDs
distribuídos em planta, cada um pode ter um movimento independente, contrariando o movimento de
rotação em torno de um eixo vertical ao controlar cada extremo do piso onde estão aplicados. O
amortecimento do TMD revelou também uma influência positiva na eficácia do mesmo. Contudo, a
conclusão a que se chega é que, para a estrutura em questão, o TMD não é um dispositivo de protecção
sísmica com resultados satisfatórios, quando comparado com outros dispositivos de dissipação de
energia.
A conclusão mais importante a retirar é a inaptidão do TMD no controlo de estruturas para uma acção
aleatória. Ao se comparar os resultados no controlo de uma estrutura submetida a uma acção
harmónica, em que o TMD é sintonizado para igualar a frequência da acção, com os resultados quando
essa acção é sísmica, constata-se que existe uma diferença muito grande na sua eficácia, sendo a
situação da acção sísmica a que piores resultados dá.
Por último, é importante referir que, no âmbito deste trabalho, não se tomaram em conta factores
externos como o custo, as condicionantes à localização, a estética e a conformidade com os critérios
de serviço exigidos, que, num contexto real, são de grande importância na decisão do tipo de dispositivo
de protecção sísmica a adoptar e no seu dimensionamento.
Para futuros estudos sobre o tema, sugere-se uma análise sobre outros edifícios altos com
propriedades dinâmicas diferentes, de modo a se poder alargar a conclusão retirada deste trabalho aos
edifícios altos em geral. Considera-se também pertinente a realização de uma análise integrada das
várias variáveis que influenciam a escolha de um tipo de protecção sísmica a aplicar num edifício alto,
como por exemplo o seu custo (de aquisição, construção e manutenção), a estética da solução e a
eficácia no controlo de deslocamentos, acelerações e esforços da estrutura.
69
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71
8 ANEXOS
8.1 ANEXO 1 – ACELEROGRAMAS UTILIZADOS
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Acele
ração (
m/s
2)
Tempo (s)
Acelerograma 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Acele
ração (
m/s
2)
Tempo (s)
Acelerograma 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Acele
ração (
m/s
2)
Tempo (s)
Acelerograma 3
72
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Acele
ração (
m/s
2)
Tempo (s)
Acelerograma 4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Acele
ração (
m/s
2)
Tempo (s)
Acelerograma 5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Acele
ração (
m/s
2)
Tempo (s)
Acelerograma 6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Acele
ração (
m/s
2)
Tempo (s)
Acelerograma 7
73
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Acele
ração (
m/s
2)
Tempo (s)
Acelerograma 8
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Acele
ração (
m/s
2)
Tempo (s)
Acelerograma 9
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Acele
ração (
m/s
2)
Tempo (s)
Acelerograma 10
74
8.2 ANEXO 2 – VARIAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS COM AS SOLUÇÕES 𝝁 = 𝟒% E 𝝁 = 𝟓%
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
-25.0% -20.0% -15.0% -10.0% -5.0% 0.0%
Altura
(m
)
Variação
Deslocamentos em Y
μ = 5% μ = 4% μ = 2%
μ = 1.5% μ = 1% μ = 0.5%
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
-20.0% -15.0% -10.0% -5.0% 0.0%
Altru
a (
m)
Variação
Deslocamentos em X
μ = 5% μ = 4% μ = 2%
μ = 1.5% μ = 1% μ = 0.5%