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Análisis en el dominio de la Frecuencia Sistemas de Control Automático Draft 1.0 061115

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Diagramas de Bode, Nyquist y Nichols

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  • Anlisis en el dominio de la

    Frecuencia

    Sistemas de Control Automtico

    Draft 1.0 061115

  • Anlisis en el dominio de la frecuencia

    Cuando a un sistema se le somete a una excitacin de tipo senoidal en la

    entrada y se observa la seal de salida en el rgimen permanente, las

    relaciones que se establecen entre estas dos seales son conocidas como

    la respuesta en frecuencia de ese equipo

  • Ventajas de la respuesta en frecuencias

    1. La descripcin del mtodo muestra lo asequible en el terreno experimental.

    2. Con esta teora es posible cuantificar la estabilidad de una

    estructura de realimentacin negativa.

    3. Los reguladores de control calculados a partir de criterios en

    la respuesta en frecuencia suelen tener un comportamiento

    robusto.

  • Grficas de Respuesta en frecuencia

    Bode

    Nyquist

    Nychols, etc

  • Diagramas de Bode

    La respuesta en frecuencia transcurre en el

    dominio complejo. Presentacin visual de la

    respuesta en dos curvas: mdulo y

    argumento.

    Diagrama de amplitud: la ganancia en

    decibelios y la frecuencia, en abscisas, estar

    en dcadas.

    En cuanto al argumento se refleja en el

    diagrama de fase, donde el eje de abscisa es

    igual que en el mdulo, es decir, en dcadas y

    el eje de ordenadas se deposita el argumento

    en escala natural.

  • Diagrama de Bode

    1. La funcin de transferencia debe estar escrita en la

    forma:

    La ventaja de la representacin logartmica reside

    en que los productos se convierten en suma y las

    divisiones en resta.

  • Diagrama de Bode Trminos sencillos

    Los trminos o factores bsicos de los sistemas LTI son:

    1.Ganancia esttica o trmino invariante en frecuencias.

    2.Polos y ceros en el origen,

    3.Polos y ceros de primer orden,

    4.Polos y ceros de segundo orden,

  • Factores Bsicos

    Ganancia K>1 Integrales

  • Factores Bsicos

    Derivativo

  • Factores de Primer Orden

    En el denominador (polos) En el numerador (ceros)

  • Factores de segundo orden

  • Polos de un sistema de segundo orden

    La respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden

    estar parametrizada, para un valor de frecuencia natural dada,

    en funcin de .

  • Polos de segundo orden

    Para valores de menores a 0.7 aparece un pico de resonancia, cuya amplitud se puede demostrar que vale:

  • Sistemas de Fase no-mnima

    Sistemas de fase no mnima tienen ceros en el semiplano derecho.

    En los sistemas de fase mnima existe una relacin biunvoca entre la curva

    de magnitud y fase. Esta caracterstica no ocurre si el sistema es de fase no

    mnima.

    El desfase final para sistemas de fase mnima cuando la frecuencia tiende a

    infinito es :

    donde n el grado del denominador de la FDT y m el grado del numerador.

    En cambio, esto no sucede en sistemas de fase no mnima

    En cualquier tipo de sistema, de fase mnima o no, la pendiente de la curva

    del mdulo en Bode es -20(n-m)[dB/dec] para el espectro de alta

    frecuencia. Por tanto, es posible determinar experimentalmente, con el

    diagrama de Bode, si el sistema es de fase mnima o no.

  • Sistemas con Retardo

    La magnitud del retardo es la unidad para todo valor de la

    frecuencia. En cuanto a la fase es lineal con la frecuencia.

  • Diagrama Polar o de Nyquist

    La repuesta en frecuencia de los sistemas se representan a

    modo de fasor en el diagrama polar.

    Una forma fcil de obtener este diagrama es apoyarse

    previamente en la construccin del diagrama de Bode.

    Escala natural. Utilidad: estabilidad relativa

    Trminos invariantes en frecuencia

  • Polos y Ceros en el origen

    Polos en el Origen Ceros en el origen

  • Polos y Ceros de Primer Orden

    Polos de Primer Orden Ceros de Primer Orden

  • Polos y Ceros de Segundo orden

    Polos de Segundo Orden

  • Polos y Ceros de Segundo orden

    Ceros de Segundo Orden

  • Sistemas con retardo

  • Determinacin de errores en estado estable

    Error de Posicin Error de velocidad

    Error de posicin:

  • Determinacin de errores

    Error de aceleracin Ancho de Banda

  • Estabilidad

    Una de las especificaciones ms importantes en un sistema de control es la

    estabilidad de ste.

    Un sistema se dice que es asintticamente estable si la respuesta a

    cualquier condicin inicial decae asintticamente a cero en estado estable.

    Si la respuesta no decae pero es finita y acotada entre ciertos valores,

    entonces se dice que el sistema es marginalmente estable.

    Se dice que un sistema es BIBO estable, si en condiciones iniciales nulas,

    ante una entrada acotada, la respuesta tambin est acotada.

  • Estabilidad

    Hay dos tipos de estabilidad:

    Absoluta : el sistema es estable o no?

    Relativa : Cuantifica el nivel de estabilidad del sistema

    Aqu analizaremos la estabilidad relativa de sistemas SISO

  • Criterio de Nyquist

    El criterio de Nyquist indica el nmero de polos de la cadena

    cerrada en el dominio complejo positivo de una estructura de

    realimentacin negativa.

    Los polos de F(s) coincidirn con los polos de lazo abierto. Los ceros de

    F(s), sin determinar, sern las races del polinomio caracterstico o

    tambin denominados los polos del lazo cerrado.

    Estos ltimos son los que definen la estabilidad del sistema

  • Criterio de Nyquist

    Tmese una curva cerrada (s) sobre el dominio complejo, con la nica condicin de que la curva, en su recorrido, no

    pase por ningn polo de F(s), i.e. polos de G(s)H(s), y que

    abarque a todo el dominio complejo positivo.

    El principio del argumento establece que el nmero de ceros

    de F(s), polos del sistema realimentado, contenidos dentro de

    la curva cerrada (s) vendr dado por:

    Z es el nmero de ceros de F(s) en el dominio complejo

    positivo

    N es el nmero de vueltas que recorre la imagen de la curva

    P es el nmero de polos de F(s) encerrados por la curva (s) .

    Para que el sistema

    sea estable Z debe ser

    cero.

  • Criterio de Nyquist

  • Criterio de Nyquist

  • Criterio de Nyquist

  • Ejemplo:

    P es el nmero de polos de F(s)

    encerrados por la curva (s) : 0

    -1 -0.5 0 0.5-0.4

    -0.3

    -0.2

    -0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    Nyquist Diagram

    Real Axis

    Imagin

    ary

    Axis

    N: nmero de

    vueltas al punto -

    1+0j. En este caso

    0

    Conclusin: El sistema es estable!!

  • Estabilidad para sistemas de Fase mnima

    Para sistemas de fase mnima, la condicin de estabilidad se

    traduce en que el diagrama polar de G(s)H(s) no encierre al

    punto 1+j0

    Slo bastar con seguir la curva polar y observar si el punto

    1+j0 queda al lado izquierdo o no.

    Estable Inestable

  • Estabilidad Relativa

    La forma de cuantificar la estabilidad est en las medidas de

    distancia o de separacin entre la curva de Nyquist y el punto

    1+j0. Se emplean dos medidas:

    Margen de Fase:

    Frecuencia de retardo adicional para llevar al sistema a la

    inestabilidad.

    Cuantifica la separacin en grados entre el desfase de la cadena

    abierta y los 180, cuando el mdulo de G(s)H(s) es la unidad

    La frecuencia del margen de fase es frecuencia de cruce por 0dB.

  • Estabilidad Relativa

    Margen de Ganancia:

    Ganancia adicional para llevar al sistema a la inestabilidad.

    mide la distancia entre el modulo de la cadena abierta y el

    punto 1+j0, cuando el desfase es de 180

    El recproco de la magnitud cuando el ngulo es -180.

  • Margen de Fase y Ganancia

    El sistema realimentado

    ser estable cuando el

    margen de fase sea mayor

    a cero grados y el

    margen de ganancia sea

    mayor a uno.

  • Margen de Fase y de Ganancia (Bode)

  • Ejemplos:

    Determinar los errores del sistema.

    Determinar la estabilidad del sistema y

    los mrgenes de estabilidad relativa.