Anlisis en el dominio de la

Frecuencia

Sistemas de Control Automtico

Draft 1.0 061115

Anlisis en el dominio de la frecuencia

Cuando a un sistema se le somete a una excitacin de tipo senoidal en la

entrada y se observa la seal de salida en el rgimen permanente, las

relaciones que se establecen entre estas dos seales son conocidas como

la respuesta en frecuencia de ese equipo

Ventajas de la respuesta en frecuencias

1. La descripcin del mtodo muestra lo asequible en el terreno experimental.

2. Con esta teora es posible cuantificar la estabilidad de una

estructura de realimentacin negativa.

3. Los reguladores de control calculados a partir de criterios en

la respuesta en frecuencia suelen tener un comportamiento

robusto.

Grficas de Respuesta en frecuencia

Bode

Nyquist

Nychols, etc

Diagramas de Bode

La respuesta en frecuencia transcurre en el

dominio complejo. Presentacin visual de la

respuesta en dos curvas: mdulo y

argumento.

Diagrama de amplitud: la ganancia en

decibelios y la frecuencia, en abscisas, estar

en dcadas.

En cuanto al argumento se refleja en el

diagrama de fase, donde el eje de abscisa es

igual que en el mdulo, es decir, en dcadas y

el eje de ordenadas se deposita el argumento

en escala natural.

Diagrama de Bode

1. La funcin de transferencia debe estar escrita en la

forma:

La ventaja de la representacin logartmica reside

en que los productos se convierten en suma y las

divisiones en resta.

Diagrama de Bode Trminos sencillos

Los trminos o factores bsicos de los sistemas LTI son:

1.Ganancia esttica o trmino invariante en frecuencias.

2.Polos y ceros en el origen,

3.Polos y ceros de primer orden,

4.Polos y ceros de segundo orden,

Factores Bsicos

Ganancia K>1 Integrales

Factores Bsicos

Derivativo

Factores de Primer Orden

En el denominador (polos) En el numerador (ceros)

Factores de segundo orden

Polos de un sistema de segundo orden

La respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden

estar parametrizada, para un valor de frecuencia natural dada,

en funcin de .

Polos de segundo orden

Para valores de menores a 0.7 aparece un pico de resonancia, cuya amplitud se puede demostrar que vale:

Sistemas de Fase no-mnima

Sistemas de fase no mnima tienen ceros en el semiplano derecho.

En los sistemas de fase mnima existe una relacin biunvoca entre la curva

de magnitud y fase. Esta caracterstica no ocurre si el sistema es de fase no

mnima.

El desfase final para sistemas de fase mnima cuando la frecuencia tiende a

infinito es :

donde n el grado del denominador de la FDT y m el grado del numerador.

En cambio, esto no sucede en sistemas de fase no mnima

En cualquier tipo de sistema, de fase mnima o no, la pendiente de la curva

del mdulo en Bode es -20(n-m)[dB/dec] para el espectro de alta

frecuencia. Por tanto, es posible determinar experimentalmente, con el

diagrama de Bode, si el sistema es de fase mnima o no.

Sistemas con Retardo

La magnitud del retardo es la unidad para todo valor de la

frecuencia. En cuanto a la fase es lineal con la frecuencia.

Diagrama Polar o de Nyquist

La repuesta en frecuencia de los sistemas se representan a

modo de fasor en el diagrama polar.

Una forma fcil de obtener este diagrama es apoyarse

previamente en la construccin del diagrama de Bode.

Escala natural. Utilidad: estabilidad relativa

Trminos invariantes en frecuencia

Polos y Ceros en el origen

Polos en el Origen Ceros en el origen

Polos y Ceros de Primer Orden

Polos de Primer Orden Ceros de Primer Orden

Polos y Ceros de Segundo orden

Polos de Segundo Orden

Polos y Ceros de Segundo orden

Ceros de Segundo Orden

Sistemas con retardo

Determinacin de errores en estado estable

Error de Posicin Error de velocidad

Error de posicin:

Determinacin de errores

Error de aceleracin Ancho de Banda

Estabilidad

Una de las especificaciones ms importantes en un sistema de control es la

estabilidad de ste.

Un sistema se dice que es asintticamente estable si la respuesta a

cualquier condicin inicial decae asintticamente a cero en estado estable.

Si la respuesta no decae pero es finita y acotada entre ciertos valores,

entonces se dice que el sistema es marginalmente estable.

Se dice que un sistema es BIBO estable, si en condiciones iniciales nulas,

ante una entrada acotada, la respuesta tambin est acotada.

Estabilidad

Hay dos tipos de estabilidad:

Absoluta : el sistema es estable o no?

Relativa : Cuantifica el nivel de estabilidad del sistema

Aqu analizaremos la estabilidad relativa de sistemas SISO

Criterio de Nyquist

El criterio de Nyquist indica el nmero de polos de la cadena

cerrada en el dominio complejo positivo de una estructura de

realimentacin negativa.

Los polos de F(s) coincidirn con los polos de lazo abierto. Los ceros de

F(s), sin determinar, sern las races del polinomio caracterstico o

tambin denominados los polos del lazo cerrado.

Estos ltimos son los que definen la estabilidad del sistema

Criterio de Nyquist

Tmese una curva cerrada (s) sobre el dominio complejo, con la nica condicin de que la curva, en su recorrido, no

pase por ningn polo de F(s), i.e. polos de G(s)H(s), y que

abarque a todo el dominio complejo positivo.

El principio del argumento establece que el nmero de ceros

de F(s), polos del sistema realimentado, contenidos dentro de

la curva cerrada (s) vendr dado por:

Z es el nmero de ceros de F(s) en el dominio complejo

positivo

N es el nmero de vueltas que recorre la imagen de la curva

P es el nmero de polos de F(s) encerrados por la curva (s) .

Para que el sistema

sea estable Z debe ser

cero.

Criterio de Nyquist

Criterio de Nyquist

Criterio de Nyquist

Ejemplo:

P es el nmero de polos de F(s)

encerrados por la curva (s) : 0

-1 -0.5 0 0.5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

N: nmero de

vueltas al punto -

1+0j. En este caso

0

Conclusin: El sistema es estable!!

Estabilidad para sistemas de Fase mnima

Para sistemas de fase mnima, la condicin de estabilidad se

traduce en que el diagrama polar de G(s)H(s) no encierre al

punto 1+j0

Slo bastar con seguir la curva polar y observar si el punto

1+j0 queda al lado izquierdo o no.

Estable Inestable

Estabilidad Relativa

La forma de cuantificar la estabilidad est en las medidas de

distancia o de separacin entre la curva de Nyquist y el punto

1+j0. Se emplean dos medidas:

Margen de Fase:

Frecuencia de retardo adicional para llevar al sistema a la

inestabilidad.

Cuantifica la separacin en grados entre el desfase de la cadena

abierta y los 180, cuando el mdulo de G(s)H(s) es la unidad

La frecuencia del margen de fase es frecuencia de cruce por 0dB.

Estabilidad Relativa

Margen de Ganancia:

Ganancia adicional para llevar al sistema a la inestabilidad.

mide la distancia entre el modulo de la cadena abierta y el

punto 1+j0, cuando el desfase es de 180

El recproco de la magnitud cuando el ngulo es -180.

Margen de Fase y Ganancia

El sistema realimentado

ser estable cuando el

margen de fase sea mayor

a cero grados y el

margen de ganancia sea

mayor a uno.

Margen de Fase y de Ganancia (Bode)

Ejemplos:

Determinar los errores del sistema.

Determinar la estabilidad del sistema y

los mrgenes de estabilidad relativa.