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Anlisis en el dominio de la
Frecuencia
Sistemas de Control Automtico
Draft 1.0 061115
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Anlisis en el dominio de la frecuencia
Cuando a un sistema se le somete a una excitacin de tipo senoidal en la
entrada y se observa la seal de salida en el rgimen permanente, las
relaciones que se establecen entre estas dos seales son conocidas como
la respuesta en frecuencia de ese equipo
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Ventajas de la respuesta en frecuencias
1. La descripcin del mtodo muestra lo asequible en el terreno experimental.
2. Con esta teora es posible cuantificar la estabilidad de una
estructura de realimentacin negativa.
3. Los reguladores de control calculados a partir de criterios en
la respuesta en frecuencia suelen tener un comportamiento
robusto.
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Grficas de Respuesta en frecuencia
Bode
Nyquist
Nychols, etc
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Diagramas de Bode
La respuesta en frecuencia transcurre en el
dominio complejo. Presentacin visual de la
respuesta en dos curvas: mdulo y
argumento.
Diagrama de amplitud: la ganancia en
decibelios y la frecuencia, en abscisas, estar
en dcadas.
En cuanto al argumento se refleja en el
diagrama de fase, donde el eje de abscisa es
igual que en el mdulo, es decir, en dcadas y
el eje de ordenadas se deposita el argumento
en escala natural.
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Diagrama de Bode
1. La funcin de transferencia debe estar escrita en la
forma:
La ventaja de la representacin logartmica reside
en que los productos se convierten en suma y las
divisiones en resta.
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Diagrama de Bode Trminos sencillos
Los trminos o factores bsicos de los sistemas LTI son:
1.Ganancia esttica o trmino invariante en frecuencias.
2.Polos y ceros en el origen,
3.Polos y ceros de primer orden,
4.Polos y ceros de segundo orden,
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Factores Bsicos
Ganancia K>1 Integrales
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Factores Bsicos
Derivativo
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Factores de Primer Orden
En el denominador (polos) En el numerador (ceros)
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Factores de segundo orden
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Polos de un sistema de segundo orden
La respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden
estar parametrizada, para un valor de frecuencia natural dada,
en funcin de .
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Polos de segundo orden
Para valores de menores a 0.7 aparece un pico de resonancia, cuya amplitud se puede demostrar que vale:
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Sistemas de Fase no-mnima
Sistemas de fase no mnima tienen ceros en el semiplano derecho.
En los sistemas de fase mnima existe una relacin biunvoca entre la curva
de magnitud y fase. Esta caracterstica no ocurre si el sistema es de fase no
mnima.
El desfase final para sistemas de fase mnima cuando la frecuencia tiende a
infinito es :
donde n el grado del denominador de la FDT y m el grado del numerador.
En cambio, esto no sucede en sistemas de fase no mnima
En cualquier tipo de sistema, de fase mnima o no, la pendiente de la curva
del mdulo en Bode es -20(n-m)[dB/dec] para el espectro de alta
frecuencia. Por tanto, es posible determinar experimentalmente, con el
diagrama de Bode, si el sistema es de fase mnima o no.
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Sistemas con Retardo
La magnitud del retardo es la unidad para todo valor de la
frecuencia. En cuanto a la fase es lineal con la frecuencia.
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Diagrama Polar o de Nyquist
La repuesta en frecuencia de los sistemas se representan a
modo de fasor en el diagrama polar.
Una forma fcil de obtener este diagrama es apoyarse
previamente en la construccin del diagrama de Bode.
Escala natural. Utilidad: estabilidad relativa
Trminos invariantes en frecuencia
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Polos y Ceros en el origen
Polos en el Origen Ceros en el origen
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Polos y Ceros de Primer Orden
Polos de Primer Orden Ceros de Primer Orden
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Polos y Ceros de Segundo orden
Polos de Segundo Orden
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Polos y Ceros de Segundo orden
Ceros de Segundo Orden
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Sistemas con retardo
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Determinacin de errores en estado estable
Error de Posicin Error de velocidad
Error de posicin:
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Determinacin de errores
Error de aceleracin Ancho de Banda
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Estabilidad
Una de las especificaciones ms importantes en un sistema de control es la
estabilidad de ste.
Un sistema se dice que es asintticamente estable si la respuesta a
cualquier condicin inicial decae asintticamente a cero en estado estable.
Si la respuesta no decae pero es finita y acotada entre ciertos valores,
entonces se dice que el sistema es marginalmente estable.
Se dice que un sistema es BIBO estable, si en condiciones iniciales nulas,
ante una entrada acotada, la respuesta tambin est acotada.
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Estabilidad
Hay dos tipos de estabilidad:
Absoluta : el sistema es estable o no?
Relativa : Cuantifica el nivel de estabilidad del sistema
Aqu analizaremos la estabilidad relativa de sistemas SISO
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Criterio de Nyquist
El criterio de Nyquist indica el nmero de polos de la cadena
cerrada en el dominio complejo positivo de una estructura de
realimentacin negativa.
Los polos de F(s) coincidirn con los polos de lazo abierto. Los ceros de
F(s), sin determinar, sern las races del polinomio caracterstico o
tambin denominados los polos del lazo cerrado.
Estos ltimos son los que definen la estabilidad del sistema
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Criterio de Nyquist
Tmese una curva cerrada (s) sobre el dominio complejo, con la nica condicin de que la curva, en su recorrido, no
pase por ningn polo de F(s), i.e. polos de G(s)H(s), y que
abarque a todo el dominio complejo positivo.
El principio del argumento establece que el nmero de ceros
de F(s), polos del sistema realimentado, contenidos dentro de
la curva cerrada (s) vendr dado por:
Z es el nmero de ceros de F(s) en el dominio complejo
positivo
N es el nmero de vueltas que recorre la imagen de la curva
P es el nmero de polos de F(s) encerrados por la curva (s) .
Para que el sistema
sea estable Z debe ser
cero.
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Criterio de Nyquist
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Criterio de Nyquist
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Criterio de Nyquist
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Ejemplo:
P es el nmero de polos de F(s)
encerrados por la curva (s) : 0
-1 -0.5 0 0.5-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
N: nmero de
vueltas al punto -
1+0j. En este caso
0
Conclusin: El sistema es estable!!
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Estabilidad para sistemas de Fase mnima
Para sistemas de fase mnima, la condicin de estabilidad se
traduce en que el diagrama polar de G(s)H(s) no encierre al
punto 1+j0
Slo bastar con seguir la curva polar y observar si el punto
1+j0 queda al lado izquierdo o no.
Estable Inestable
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Estabilidad Relativa
La forma de cuantificar la estabilidad est en las medidas de
distancia o de separacin entre la curva de Nyquist y el punto
1+j0. Se emplean dos medidas:
Margen de Fase:
Frecuencia de retardo adicional para llevar al sistema a la
inestabilidad.
Cuantifica la separacin en grados entre el desfase de la cadena
abierta y los 180, cuando el mdulo de G(s)H(s) es la unidad
La frecuencia del margen de fase es frecuencia de cruce por 0dB.
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Estabilidad Relativa
Margen de Ganancia:
Ganancia adicional para llevar al sistema a la inestabilidad.
mide la distancia entre el modulo de la cadena abierta y el
punto 1+j0, cuando el desfase es de 180
El recproco de la magnitud cuando el ngulo es -180.
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Margen de Fase y Ganancia
El sistema realimentado
ser estable cuando el
margen de fase sea mayor
a cero grados y el
margen de ganancia sea
mayor a uno.
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Margen de Fase y de Ganancia (Bode)
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Ejemplos:
Determinar los errores del sistema.
Determinar la estabilidad del sistema y
los mrgenes de estabilidad relativa.