analsis real 1 pmc

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Universidad Cat´ olica del Maule Facultad de Ciencas B´ asicas Departamento de Matem´ atica Pedagog´ ıa en Matem´ atica y Computaci´ on Invierno, Agosto 2015 Asignatura: An´ alisis Real I EXE1: Axioma del Supremo / Completitud 1. Demuestre que inf n 1 3n +1 n N o =0. 2. Demuestre que los n´ umeros irracionales son densos en R, es decir entre dos n´ umeros reales existe un n´ umero irracional. 3. Para cada uno de los siguientes subconjuntos de R determine si es acotado, si es acotado superiormente, si es acotado inferiormente, existencia de ´ ınfimo y supremo, existencia de m´ ınimo y m´ aximo. a) {x R | [x + 1] < 3} con [x] la parte entera de x. b) n x R x + 4 x < 4 o c) {x Z | x 2 < 11} d) {x Q | x 2 < 7} e) {x R ||x 2 - 3x| < 4} f) n (-1) n + 1 n +1 n N o 4. Sean A y B dos subconjuntos no vacios de R que verifican las propiedades: a) A B = R b) Todo elemento de A es menor que todo elemento de B Demuestre que existe un ´ unico n´ umero real que es simult´ aneamente cota superior de A y cota inferior de B. 5. Como ejemplo encuentre dos subconjuntos A y B que verifiquen las propiedades del problema anterior. Para estos dos subconjuntos encuentre el n´ umero real y verifique que cumple con las conclusiones que indica el problema anterior. 6. Para cada n N se define s n = n +2 n +1 . Para cada uno de los n´ umeros reales ε que se indican m´ as adelante, determine el menor n´ umero natural N , si es que existe, de modo que se tenga |s n - 1| para todo n>N con: i) ε = 1 3 ; ii) ε =0, 001; iii) ε =0, 000001 7. Para cada n N se define s n =1+ 1 2 + 1 4 + ··· + 1 2 n . Para cada uno de los n´ umeros reales ε que se indican as adelante, determine el menor n´ umero natural N , si es que existe, de modo que se tenga |s n - 2| para todo n>N con: i) ε = 1 8 ; ii) ε =0, 001 Jorge Gonzalez-Lorca. L A T E X2ε . 1

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Page 1: Analsis Real 1 PMC

Universidad Catolica del Maule

Facultad de Ciencas Basicas

Departamento de Matematica

Pedagogıa en Matematica y Computacion Invierno, Agosto 2015

Asignatura: Analisis Real I

EXE1: Axioma del Supremo / Completitud

1. Demuestre que inf{ 1

3n+ 1

∣∣ n ∈ N}

= 0.

2. Demuestre que los numeros irracionales son densos en R, es decir entre dos numeros reales existe un numero

irracional.

3. Para cada uno de los siguientes subconjuntos de R determine si es acotado, si es acotado superiormente, si

es acotado inferiormente, existencia de ınfimo y supremo, existencia de mınimo y maximo.

a) {x ∈ R | [x+ 1] < 3} con [x] la parte entera de x.

b){x ∈ R

∣∣ x+4

x< 4}

c) {x ∈ Z | x2 < 11}

d) {x ∈ Q | x2 < 7}

e) {x ∈ R | |x2 − 3x| < 4}

f){

(−1)n +1

n+ 1

∣∣ n ∈ N}

4. Sean A y B dos subconjuntos no vacios de R que verifican las propiedades:

a) A ∪B = R

b) Todo elemento de A es menor que todo elemento de B

Demuestre que existe un unico numero real ε que es simultaneamente cota superior de A y cota inferior de

B.

5. Como ejemplo encuentre dos subconjuntos A y B que verifiquen las propiedades del problema anterior.

Para estos dos subconjuntos encuentre el numero real ε y verifique que cumple con las conclusiones que

indica el problema anterior.

6. Para cada n ∈ N se define sn =n+ 2

n+ 1. Para cada uno de los numeros reales ε que se indican mas adelante,

determine el menor numero natural N , si es que existe, de modo que se tenga |sn− 1| < ε para todo n > N

con:

i) ε =1

3; ii) ε = 0, 001; iii) ε = 0, 000001

7. Para cada n ∈ N se define sn = 1 +1

2+

1

4+ · · ·+ 1

2n. Para cada uno de los numeros reales ε que se indican

mas adelante, determine el menor numero natural N , si es que existe, de modo que se tenga |sn − 2| < ε

para todo n > N con:

i) ε =1

8; ii) ε = 0, 001

Jorge Gonzalez-Lorca.

LATEX2ε.

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