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Universidad Catolica del Maule
Facultad de Ciencas Basicas
Departamento de Matematica
Pedagogıa en Matematica y Computacion Invierno, Agosto 2015
Asignatura: Analisis Real I
EXE1: Axioma del Supremo / Completitud
1. Demuestre que inf{ 1
3n+ 1
∣∣ n ∈ N}
= 0.
2. Demuestre que los numeros irracionales son densos en R, es decir entre dos numeros reales existe un numero
irracional.
3. Para cada uno de los siguientes subconjuntos de R determine si es acotado, si es acotado superiormente, si
es acotado inferiormente, existencia de ınfimo y supremo, existencia de mınimo y maximo.
a) {x ∈ R | [x+ 1] < 3} con [x] la parte entera de x.
b){x ∈ R
∣∣ x+4
x< 4}
c) {x ∈ Z | x2 < 11}
d) {x ∈ Q | x2 < 7}
e) {x ∈ R | |x2 − 3x| < 4}
f){
(−1)n +1
n+ 1
∣∣ n ∈ N}
4. Sean A y B dos subconjuntos no vacios de R que verifican las propiedades:
a) A ∪B = R
b) Todo elemento de A es menor que todo elemento de B
Demuestre que existe un unico numero real ε que es simultaneamente cota superior de A y cota inferior de
B.
5. Como ejemplo encuentre dos subconjuntos A y B que verifiquen las propiedades del problema anterior.
Para estos dos subconjuntos encuentre el numero real ε y verifique que cumple con las conclusiones que
indica el problema anterior.
6. Para cada n ∈ N se define sn =n+ 2
n+ 1. Para cada uno de los numeros reales ε que se indican mas adelante,
determine el menor numero natural N , si es que existe, de modo que se tenga |sn− 1| < ε para todo n > N
con:
i) ε =1
3; ii) ε = 0, 001; iii) ε = 0, 000001
7. Para cada n ∈ N se define sn = 1 +1
2+
1
4+ · · ·+ 1
2n. Para cada uno de los numeros reales ε que se indican
mas adelante, determine el menor numero natural N , si es que existe, de modo que se tenga |sn − 2| < ε
para todo n > N con:
i) ε =1
8; ii) ε = 0, 001
Jorge Gonzalez-Lorca.
LATEX2ε.
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