analisis_estructural_vigas

7/24/2019 ANALISIS_ESTRUCTURAL_VIGAS

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL VIGAS (ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO) A TRAVÉSDEL METODO DE INTERPOLACION DE NEWTON

Johanna Jiseth Bojacá Silva, Óscar Mauricio Sierra Facultad Tecnológica, Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colo!ia"

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Abstract El documento presenta el análisisestructural de vigas y la solución de lasmismas a través del método de interpolaciónde Newton. El diseño y estudio de una vigade soporte se debe regir por las leyes fsicas yestáticas! sin dejar de lado las condiciones deseguridad y pensando en el potencial riesgo"ue representa para las personas "uedependan de este sistema. Este análisis "ue se

presenta solo es una forma de muchas por lascuales se podra efectuar el cálculo! diseño yfabricación de una viga! con la e#pectativade ser e#acta y concisa a la hora de aplicar! ya"ue se abarca el tema de varias teorasmatemáticas y fsicas! aplicadas en losmétodos numéricos.

I INTRODUCCI!N

El análisis y diseño de vigas! es decir! deelementos estructurales "ue soportan lascargas aplicadas en varios puntos a lo largo

del elemento !es una parte compleja de lafsica la cual re"uiere una gran cantidad detiempo y esfuer$o al reali$ar los cálculos ygenerar as una conclusión final y unaentrega de datos confiable. %as vigas soncom&nmente elementos prismáticos largos yrectos! de acero y aluminio "ue juegan un papel importante tanto en ingenieraestructural como en ingeniera mecánica! lasvigas de madera se emplean en construcciónresidencial. En la mayor parte de los casos lascargas son perpendiculares al eje de la viga!

tales cargas transversales solo causan fle#ióny corte en la viga. 'uando las cargas no seencuentran en ángulo recto con la vigatambién se producen cargas a#iales en ella.

II MARCO TE!RICO

E"#$#%t&s '# a%"ss '# *+as V+aelementos estructurales rgidos "ue soportan

las cargas aplicadas en uno o varios puntos alo largo del elemento. (ver )*+! ),+ )-+

Car+a fuer$a o esfuer$o "ue tiene lacualidad de deformar a través de la presiónaplicada en un punto definido. (ver )*+! ),+)-+

F"#,-% deformación reali$ada en el sentido

perpendicular al eje longitudinal de la viga.(ver )*+! ),+ )-+

M&$#%t& efecto fsico generado al aplicar una fuer$a en una distancia determinada.(ver )*+! ),+ )-+

P.%t& '# s&/&rt#/ punto en el cual descansael peso de la viga parcialmente permitiendoun apoyo contra los esfuer$os (ver )*+! ),+)-+

C"as0cac-% '# "as *+as%as vigas se clasifican de acuerdo con lamanera en "ue se encuentran apoyadas! los puntos de apoyo son a"uellos elementos "uese utili$an para sostener la totalidad de lascargas contenidas en la viga y estándistribuidos a lo largo de ella! estos puntos pueden ser! empotramiento! punto fijo o patnmóvil. (ver )*+! ),+ )-+

V+a #% #$/&tra$#%t& es una viga con un punto de apoyo y "ue consiste en incrustar

una parte considerable de la viga en una pared o estructura "ue servirá de soporte aesta y sus cargas este tipo de viga sedenomina viga empotrada. Esta generareacciones en los dos ejes #! y. (0er )-+

V+a s$/"#$#%t# a/&1a'a es una viga "ue puede combinar dos tipos de apoyo delmismo tipo o combinados! sencillamente la

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viga está apoyada en los e#tremos por los puntos de apoyo distribuyendo as losdiferentes tipos de cargas en ella. .0er )-+

M2t&'&s '# a%"ss '# 0"#,-% #% .%a *+a

Ec.ac-% '0#r#%ca" '# "a #"stca

1ara entender mejor este tema se debe tomar como base la ecuación diferencial de laelástica! en la cual se relaciona la curvaturade la superficie neutra con el momentoflector en una viga sometida a fle#ión pura

2*3Ecuación diferencial de la elástica 2fórmula*3donde 2p3es el radio de curvatura! 2E3es elmódulo de elasticidad del material en el cualestá construida la viga! 243 es el momento deinercia de la sección transversal de la viga y252633 es el momento flector en el "ue estásometida la misma. En este caso! el &ltimotérmino se ha designado como dependiente dela longitud medida desde un e#tremo de laviga. (ver )*+! )7+

M2t&'& '# '&b"# %t#+rac-%Es el más general para determinar defle#iones! se puede usar para resolver casicual"uier combinación de cargas ycondiciones y apoyo en vigas estáticamentedeterminadas e indeterminadas! su usore"uiere la capacidad de escribir lasecuaciones de los diagramas de fuer$acortante y momento flector para posteriormente obtener la ecuación de la pendiente y defle#ión de una viga. El métodode doble integración produce ecuaciones parala pendiente la defle#ión en toda la viga por medio del cálculo integral8ecordando la ecuación diferencial de laelástica

2*3

El producto 2E.43 se conoce como la rigide$

de la fle#ión y en caso "ue vare a lo largo dela viga! como es el caso de una viga desección transversal variable debe e#presar enfunción de 6 antes de integrar la ecuacióndiferencial sin embargo para una viga prismática "ue es el caso considerado larigide$ a la fle#ión es constante1odemos multiplicar ambos términos por laecuación del módulo de rigide$ e integrararespecto a 6 y se plantea/

2,3

9onde '* es una constante de integración"ue depende de las condiciones de frontera!como la variación de las defle#iones es muy pe"ueña es satisfactoria la apro#imación. (ver )7+

2-3

9e modo "ue con la e#presión anterior se puede determinar "ue la inclinación de larecta tangente a la curva de la elástica paracual"uier longitud 6 de la viga

I%t#r/&"ac&% '# N#3t&%

:e basa en la obtención de un polinomio a partir de un conjunto de puntos dado!apro#imándose lo mas posible a la curva

buscada.%a ecuación general para la obtención de lafunción por este método es/

273

http://1.bp.blogspot.com/-9__53WKeVw4/Te7jkDyI1rI/AAAAAAAAABk/a7TqxHeohLQ/s1600/Imagen1.png



9onde las (bi se obtienen mediante laaplicación de una serie de funciones incluidasen una tabla de diferencias. (ver );+! )<+

III DESARROLLO DEL MÉTODO

Ca"c."& '# .%a *+a c&% 0.#r4a 'strb.'a/&r #" $#t&'& '# E5D5O 1 '&b"# %t#+rac&%6*#r 789:7;9:7<9=

Fig 1.Calculo de una viga con fuerza

distribuida

'alculo de las ecuaciones5etodo de e"uilibrio 5=>.d donde ?

8j=ABBB Cg>

Dhora se suman los esfuer$os cortantes

8i=ABBBCg>

'álculo por segmentos de esfuer$o cortante ymomentos

1ara intervalo B 6 7 2primer segmento3

F2#3 =

02#3 =

02#3 =

02#3 =

:e suma la magnitud de la reacción delsegmento

2;3

1rimera integración ecuación aplicable paracual"uier distancia 6 en el intervalo B 6 7

0= esfuer$o cortante

:egunda integración

52#3=

52#3=

2<3

Ecuación de momentos aplicable paracual"uier distancia 6 en el intervaloB 6 7

V(x)=



Evaluada en 7

:egundo segmento

F2#3=

02#3=

2G3

Ecuación para esfuer$o cortante

52#3

2<3

Ecuación para momento en el segmento ,

0 273=ABBB

5 273=B

Da+ra$a '# c&rta%t#

Fig. 2. Diagrama de cortante

Ecuación de la curva

2H3Irea bajo la curva

2H3

Da+ra$a '# $&$#%t&

Fig. 3. Diagrama de momento

IV APLICANDO METODO DEINTERPOLACION DE NEWTON5 6*#r

7;9: 7<9=

1ara 02#3=

para 2B! ,! 7! <! H3

Jenemos los siguientes datos

JDK%D *9DJL: 1D8D 4NJE81L%D'4MN

02#3=



Bm ,m 7m <m Hm ABBB

N,,;BN BN

,,;BNABBBN

8eali$ando la interpolación de Newton

tenemos

JDK%D ,9DJL: 9E %D 4NJE81L%D'4MN

> F, F(>?@)>

F(>?@)(>?

)

F(>?@)(>?)(>?

B)

F(>?@)5(>?)

ABBB ,,;B --G;8 B **,; ,,;B

; ,,;B **,; B -G; ABBB --G; ;<,.; A-.G; ;H.;A-

1or lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es

>2#3 ABBB--G;2#B3 ?,,;B2#B3 2#,3-G;2#B3 2#,3 2#73 ?;H.;A-2#B3 2#,3 2#73 2#<3

Este polinomio nos sirve para conocer elvalor esfuer$o cortante cuando se nos dan lasdistancias y el valor de una o más reacciones

V CONCLUSIONES

Dl utili$ar un método numérico como lainterpolación de Newton para este tipo decasos! se facilita y se reduce el proceso deencontrar el valor los diferentes puntos y setiene la seguridad de "ue hay menos erroresde cálculo

.%a metodologa empleada permitiódeterminar las variaciones de los primeros

métodos utili$ados para encontrar lasecuaciones de las vigas estudiadas!cumpliendo con el análisis delcomportamiento dinámico

No se encontraron diferencias entre losresultados de las E.9.L y el método de dobleintegración con el método numérico deinterpolación de Newton

%os métodos numéricos son una herramientafundamental en los procesos de cálculo y planteamiento de ecuaciones de las diferentesáreas de la ingeniera

Ecuaciones y graficas del documento

• Ecuación *(ver )*+! )7+• Ecuación , (ver )7+• Ecuación - (ver )7+• Ecuación 7(ver );+! )<+• Ecuación ;! <! G y H (ver )7+!)<+• >ig *.'alculo de una viga con fuer$a

distribuida. >uente propia• >ig. ,. 9iagrama de cortante. >uente

propia• >ig. -. 9iagrama de momento.

>uente propia

ILIOGRAFHA

)*+ 8esistencia de materiales primera parte!

teora elemental y problemas JimoshenOo vol.*

),+ 5ecanica 9e 5ateriales 2-rd Ed by>erdinand Keer! Pohnston Q 9ewolf3

)-+ 5ecanica vectorial para ingenieros!estática! >erdinand 1 Keer! E 8ussellPohnston! octava edicion

)7+ Ecuaciones diferenciales con aplicacionesde modelado! 9ennis R. Sill #o$ola Mar$ount Universit$, se%ta edición

);+ 5ecanica para ingenieros! dinámica! P.%5eriam! %.R Craige! tercera edicion

)<+ 5étodos Numéricos/ 8esumen y ejemplosJema ,/ Dpro#imación e interpolación>rancisco 1alacios



Escuela 1olitécnica :uperior de 4ngeniera de5anresaTniversidad 1olitécnica de 'ataluña>ebrero ,BBH! 0ersión *.7

)G+ métodos numéricos para ingeniera! ing.

8icardo seminario 0ás"ue$!http/UUdisi.unal.edu.coUVlctorressU5etNumU%i5etNu,.pdf

http://disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/LiMetNu2.pdf




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