análisis y síntesis de un mecanismo

Examen No. 5

Instrucciones. Modele y simule utilizando el método gráfico, álgebra compleja, método analítico y método matricial apoyándose en el software Mathematica® 8.0, lo siguiente:

a) Grados de libertad.

b) Análisis de posición: q = 0 a 360. c) Análisis de velocidad: n = 10 rad/s.

Se entregará impreso el desarrollo de la solución, incluyendo:

Redacción del problema incluyendo el dibujo del mecanismo (dimensiones, etc. ).

El impreso deberá contener el desarrollo detallado (Tipo tutorial) de la solución como: fórmulas, gráficas, resultados numéricos, programas, etc. (Memoria Técnica). Basarse formato de reporte.

Se entregará en un CD el desarrollo de la solución además del código en Mathematica® 8.0. y Matlab® 2011 (archivo: *.docx. el archivo *.nb y el archivo *.mdl y *.m).

I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

A continuación, se presenta el desarrollo y la memoria técnica del análisis de posición y de velocidad del

mecanismo mostrado en la figura 1, se presenta a detalle el desarrollo del análisis de posición y velocidad

utilizando los métodos: gráfico, analítico, matricial y de álgebra compleja para la parte cinemática (posición y

velocidad). Se comparan y se interpretan los resultados obtenidos de los cuatro métodos entre sí, con el fin

de validar los resultados. Nos apoyamos en el software de cálculo simbólico formal de Mathematica® 8 y de

Matlab® 2010a y Working Model® 2D 2004.

Datos:

AB [mm]

BC [mm]

AD [mm]

DE [mm]

EF [mm]

CD [mm]

La

[mm] q [deg]

n [rpm]

200 500 460 160 500 280 50 60 150

II. GRADOS DE LIBERTAD

La movilidad de un mecanismo se puede definir como el número de entradas independientes que tiene un

sistema para conocer la posición de todos los puntos de todos sus eslabones, referidos a un sistema inercial

de coordenadas. En este caso X-Y.

El número de grados de libertad se puede determinar mediante el criterio de Kutzbach-Grübler:

𝑚 = 3(𝑛 − 1) − 2𝐽1 − 𝐽2 (1.1)

donde:

𝐽2: Es el número de pares cinemáticos superiores. En este caso particular.

𝐽2 = 0

𝐽1 :Denota el número de pares cinemáticos inferiores, marcados con números romanos (I,II,..,VII)

𝐽1 = 7

𝑛: Es el número de eslabones que tiene el mecanismo, marcados con numeros arabigos (1,2,..,6)

𝑛 = 6

Sustituyendo en la ecuación (1.1)

𝑚 = 3(6 − 1) − 2(7) − 0 = 𝟏 𝑮𝑫𝑳

Estos significa que basta una sola entrada a la manivela para conocer la posición de cualquier punto de

cualquier eslabón del mecanismo con respecto al sistema de coordenas XY.

Es necesario haber obtenido el modelo cinemático del mecanismo que relaciona las coordenadas de posición

de los eslabones con la variable de entrada, en este caso “q”.

III. ANALISIS DE POSICION

Introducción. -Se presenta el análisis de posición de un mecanismo plano de cuatro barras, un mecanismo

de biela manivela corredera Este método constituye el fundamento del análisis de posición de mecanismos

planos por los métodos conocidos como método gráfico, método analítico, método matricial y método de

álgebra compleja.

III.1 Método Gráfico

Introducción.- El método gráfico se basa en la medición directa de magnitudes y ángulos del mecanismo

dada la posición en el instante, con ayuda de herramientas geométricas.

Se pueden determinar algunas incógnitas basándonos en la configuración geométrica del mecanismo en el

instante presentado.

Este método tiene un cierto margen de error, debido a sus argumentos geométricos, por lo cual en nuestro

caso se realizó con la ayuda de Geogebra®.

En el análisis gráfico se mide manualmente la componente “x” del vector rF desde el origen del sistema de

coordenadas. De la misma manera se miden los ángulos θ1, θ2, y θ3. Midiendo de la figura, se obtiene:

𝜃2 = 8.31° 𝜃3 = 61.23° 𝜃4 = 10.4° 𝑟𝐹𝑥 = 874.78 𝑚𝑚

III.2 Método Analítico

Introducción.- Para este método es importante recordar el concepto de vector, debido a que

representaremos a los eslabones físicos a través de vectores de posición. Usaremos la representación de

Euler 1843, en los sistemas de coordenadas polares y coordenadas cartesianas:

𝑅 = 𝑟 𝑒𝑖𝜃 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)

Donde: r denota la magnitud y eiθ su dirección. Nota: En la figura el eje: y=iy.

Para facilitar la obtención de las longitudes y ángulos incógnita del mecanismo utilizando el método analítico,

se utiliza el desacoplo cinemática, que consiste en separar en dos lazos el mecanismo a analizar, para

plantear las ecuaciones vectoriales de lazo, respectivamente.

Primero se analizará el lazo I, el cual se muestra en la figura.

rp1 = rB + rCB (3.1)

rp1 = rD − rDC (3.2)

Dónde, en términos de números complejos:

rB = AB eiq rCB = BC e

iθ2 rD = AD ei0 rDC = CD e

iθ3

En este caso el único ángulo conocido es q = 60°, por lo que es necesario encontrar el valor del ángulo θ2,

θ3 y el vector de posición rp1. Sustituyendo la ecuación 3.1 en 3.2 tenemos:

rB + rCB = rD − rDC

AB eiq + BC eiθ2 − AD ei0 + CD eiθ3 = {0,0} (3.3)

Utilizando la representación de Euler, se obtienen los siguientes términos:

eiq = cosq + i senq (3.4 )

eiθ2 = cos θ2 + i sen θ2 (3.5)


Sustituyendo las ecuaciones (3.4), (3.5) y (3.6) en (3.3), se obtiene la ecuación de lazo, en coordenadas

cartesianas, esto es; para el lazo I.

AB cos(q) + iAB sen(q) + BC cos(θ2) + iBC sen(θ2) − AD cos(0) − iADsen(0) + CD cos(θ3) + iCD sen(θ3) = 0

Separando en componentes reales e imaginarias:

0 = AB cos(q) + BC cos(θ2) − AD + CD cos(θ3)

0 = AB sen(q) + BC sen(θ2) + CD sen(θ3)

Ahora analizaremos el lazo II, el cual se muestra en la figura.

rp2 = rD + rED (3.7)

rp2 = rF − rEF (3.8)


rD = AD ei0 rED = DE e

iθ3 rEF = EF eiθ4

En necesario encontrar la componente asociada al eje x del vector rF este vector lo expresaremos de la

siguiente forma:

rF = {rFx, rFy} = {𝑥,−𝐿𝑎}

Es necesario encontrar el valor del ángulo θ4 y el vector de posición rp2. Sustituyendo la ecuación 3.7 en 3.8

tenemos:

rD + rED = rF − rEF

AD ei0 + DE eiθ3 − {rFx, rFy} + EF eiθ4 = {0,0} (3.9)


ei0 = cos 0 + i sen0 (3.10)

eiθ3 = cos θ3 + i sen θ3 (3.11)

eiθ4 = cos θ4 + i sen θ4 (3.12)


cartesianas, esto es; para el lazo II.

AD cos(0) + iAD sen(0) + DE cos(θ3) + iDE sen(θ3) − {x, −La}+CDcos(θ4) + iCD sen(θ4) = 0


x = AD + DEcos(θ3) + CD cos(θ4)

0 = DE sen(θ3) + La + CD sen(θ3)

Se formó un sistema de ecuaciones no lineales en términos de sus incógnitas: θ2, 𝜃3, 𝜃4 y rFx para encontrar

la solución se hace uso del programa Wolfram Mathematica®1 8.0, y se plantean los valores iniciales:

{ θ2,0.1}, { θ3,0.1}, { θ4,0.1} y {rFx ,0.9}; para iniciar el algoritmo de Newton-Raphson, de ser necesario se

puede consultar tutorial de Mathematica® 8.0.

Obtuvimos los siguientes resultados:

𝜃2 = 8.30668°𝜃3 = 61.2319°𝜃4 = 10.3991°

𝑟𝐹𝑥 = 874.785 𝑚𝑚

III.3 Método Matricial

Introducción.- En este método se definen las ecuaciones de lazo de cada uno de los vectores de posición,

ya teniéndolas definidas, estas mismas se asocian a una matriz para resolver el sistema.

Se tiene la ecuación de lazo I y II.

rB + rCB − rD + rDC = {0,0}

rD + rED − rF + rEF = {0,0}

Desarrollaremos en los vectores en términos de sus componentes:

rB = AB (cosq, sen q) rCB = BC (cos θ2, sen θ2) rD = AD (1,0) rDC = CD (cosθ3, sen θ3) rD = AD (1,0) rED = DE (cos θ3, sen θ3) rF = {x,−La} rFE = EF (cos θ4, sen θ4)

Separamos los vectores en sus componentes de x y y para construir nuestra ecuaciones a evaluar.

1 ® Marca Registrada versión Trial.

Para lazo I.

𝑥: f1 = AB cos(q) + BC cos(θ2) − AD + CD cos(θ3)

𝑦: f2 = AB sen(q) + BC sen(θ2) + CD sen(θ3)

Para lazo II

𝑥: f3 = AD + DE cos(θ3) − {x} + EF cos(θ4)

𝑦: f4 = DE sen(θ3) − {−La} + EF cos(θ4)

Asociamos las ecuaciones a una matriz.

(

𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝑞) 𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠(𝜃2)𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑞) 𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛(𝜃2)

00

00

𝐶𝐷 cos (𝜃3) 0𝐶𝐷 𝑠𝑒𝑛(𝜃3) 0𝐷𝐸 𝑐𝑜𝑠(𝜃3)𝐷𝐸 𝑠𝑒𝑛(𝜃3)

𝐸𝐹 𝑐𝑜𝑠(𝜃4)𝐸𝐹 𝑠𝑒𝑛(𝜃4)

) =

𝐴𝐷0{𝑥}{−𝐿𝑎}

Mathematica® 8.0 nos muestra los siguientes resultados al sistema de ecuaciones de 4X4 por medio del

siguiente código.

Figura 5. Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones no lineal, utilizando el comando FindRoot.(PARA LAZO 1 Y LAZO 2 SIMULTANEAMENTE)

𝜃2 = 8.30668°𝜃3 = 61.2319°𝜃4 = 10.3991°

𝑟𝐹𝑥 = 874.785 𝑚𝑚

III.4 Método Algebra compleja

Introducción.- Este método es muy interesante debido a que utiliza una transformación lineal, ortogonal de

determinante positivo. En otras palabras esta transformación representa una rotación. Es decir, cualquier

vector que sea transformado sufre una rotación conservándose la norma del vector (magnitud). La notación

de la transformación es la siguiente: ρ(p,∙): V → V, donde el punto “∙” significa todo el espacio vectorial V, y la

letra p = (p1, p2) ∈ V es un parámetro de rotación que contiene la información de la cantidad de rotación y el

eje de giro con el que va a rotar el vector. El significado físico de los componentes del parámetro p son los

siguientes: p1 = cosθ y p2 = senθ.

La transformación está definida como: ρ(p,∙) =1

‖p‖2: {p ∗ r}, p ∈ V,, está fijo y donde r es el vector a rotar y

tiene componentes r = (r1, r2) ∈ V, por otro lado la norma ‖p‖2 = 1 se vuelve unitaria para obtener los

parámetros de Euler. La operación binaria ∗:ℛ2 x ℛ2 → ℛ2, se define como:

(x1, x2) ∗ (y1, y2) = (x1y1 − x2y2, x2y1 + x1y2)

Siendo (x1, x2), (y1, y2) ∈ V,

Para utilizar este método se plantea la siguiente metodología, en base a la siguiente ecuación cinemática de

posición de un mecanismo dado:

rp = l1 ∙ e′1⊕ l2 ∙ e′′1

rp = l1 ∙ ρ(p, e1) ⊕ l2 ∙ ρ(q, e1)

1) Definir el problema: Cinemática Directa: Dados como datos l1, l2, p y q se debe hallar rp, que satisface a la ecuación anterior,

se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal a resolver. Cinemática Inversa: Dados como datos l1, l2, rp. Se debe hallar los parámetros p y q, se obtendrá un

sistema no lineal simultáneo de ecuaciones a resolver. Síntesis: dados como datos: p y q y rp encontrar: l1, l2, se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal.

2) Definir las bases para cada eslabón, encontrar la representación de cada base respecto a la base

inercial y construir los vectores de posición. 3) Plantear la relación de la posición para resolver el problema: ecuación de lazo.

Una ventaja al utilizar este método es que el sistema de ecuaciones que se obtiene está en términos de parámetros y no de funciones trigonométricas que son sensibles a las perturbaciones numéricas. Otra ventaja consiste en que los valores iniciales que se utilizan en el método de Newton-Raphson para resolver el sistema de ecuaciones (comando: FindRoot[]), están dentro del rango: -1 a 1. Lo anterior, permite controlar el conjunto de soluciones a obtener, debido a que existen dos conjuntos de soluciones posibles. Se trabajará con la cinemática inversa, es decir, el vector de posición y las longitudes de los eslabones y

encontrar lo parámetros p y q.

En este punto, se define la base global (inercial) alineada paralelamente al sistema de coordenadas xy, luego

se define una base local para cada eslabón del mecanismo. Es importante hacer coincidir paralelamente el

vector e1i , i = 1…n(primas) de cada base con cada eslabón del mecanismo.

Número de bases locales: n=4.

Base Inercial:

e = {e1, e2}

e1 = {1,0}

e2 = {0,1}

Bases móviles:

P = {P1, P2}

Q = {Q1,Q2} R = {R1, R2} S = {S1, S2}

e1′ = ρ(P, e1) = (P1, P2) e1

′′ = ρ(Q, e1) = (Q1, Q2) e1′′′ = ρ(R, e1) = (R1, R2) e1

′′′′ = ρ(S, e1) = (S1, S2)

Datos:

AB [mm]

BC [mm]

AD [mm]

DE [mm]

EF [mm]

CD [mm]

La

[mm] q [deg]

200 500 460 160 500 280 50 60

Entonces:

rB̅̅̅ = AB e1′ = AB P1, AB P2 rCB̅̅ ̅̅ = BC e1

′′ = BC Q1, BC Q2 rD̅̅ ̅ = AD e1 = AD P1, AB P2 rDC̅̅ ̅̅̅ = e1

′′′ = CD R1, CD R2 rED̅̅ ̅̅̅ = DE e1′′′ = DE R1, DE R2 rFE̅̅ ̅̅ = EF e1

′′′′ = EF S1, EF S2 rF̅ = {x,−La}

Se define la ecuación de lazo I y se representa en un sistema de ecuaciones.

𝑟𝑝1̅̅ ̅̅ = 𝑟�̅� + 𝑟𝐶𝐵̅̅ ̅̅

𝑟𝑝1̅̅ ̅̅ = 𝑟𝐷̅̅̅ − 𝑟𝐷𝐶̅̅ ̅̅

𝑟𝐷̅̅̅ + 𝑟𝐷𝐶̅̅ ̅̅ − 𝑟𝐷̅̅̅ + 𝑟𝐷𝐶̅̅ ̅̅ = {0,0}

Se define la ecuación de lazo II y se representa en un sistema de ecuaciones.

𝑟𝑝2̅̅ ̅̅ = 𝑟𝐷̅̅̅ + 𝑟𝐷𝐸̅̅ ̅̅

𝑟𝑝2̅̅ ̅̅ = 𝑟𝐹𝐸̅̅ ̅̅ − 𝑟�̅�

𝑟𝐷̅̅̅ + 𝑟𝐷𝐸̅̅ ̅̅ − 𝑟𝐹𝐸̅̅ ̅̅ + 𝑟�̅� = {0.0}

Separando en componentes la ecuación para definir las ecuaciones a resolver para lazo I.

f1 = AB P1 + BC Q1 − AD + CD R1 (3.13)

f2 = AB P2 + BC Q2 + CD R2 (3.14)

Las ecuaciones auxiliares que faltan son:

f3 = Q12 + Q2

2 = 1 (3.15)

f4 = R12 + R2

2 = 1 (3.16)

Donde P1 y P2 son conocidas, ya que q = 60º:

P1 = cos q = 0.5

P2 = senq = 0.8660

Por lo tanto, las variables a determinar son: Q1, Q2 , R1, R2 y x.

Para lazo II.

f5 = AD + DE R1 − EF S1 + {x} (3.17)

f6 = DE R2 − EF S2 + {−La} (3.18)

Las ecuaciones auxiliares que faltan son:

f7 = S12 + S2

2 = 1 (3.19)

Por lo tanto, las variables a determinar son: S1y S2.

Entonces el sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial con 7 ecuaciones y 7 incógnitas, es el

siguiente:

f1 = AB P1 + BC Q1 − AD + CD R1 == 0

f2 = AB P2 + BC Q2 + CD R2 == 0

f3 = Q12 + Q2

2 = 1

f4 = R12 + R2

2 = 1

f5 = AD + DE R1 − EF S1 + {x} == 0

f6 = DE R2 − EF S2 + {−La} == 0

f7 = S12 + S2

2 = 1

Los valores iniciales que se proponen para iniciar el algoritmo de solución de Newthon-Raphson son: {Q1, 0.1}, {Q2, 0.6}, {R1, 0.2}, {R2, 0.4}, {S1, 0.3}, {S2, 0.4}, {x,0.7}, que en este caso se utilizan minúsculas para representarlos en el programa, (ver figura 9).

Resultados obtenidos:

𝜃2 = 8.30668° 𝜃3 = 61.2319° 𝜃4 = 10.3991° 𝑟𝐹𝑥 = 874.785 𝑚𝑚

IV. ANALISIS DE VELOCIDAD

Introducción.- Hasta ahora se ha realizado el estudio del movimiento de los mecanismos, esto es, el cálculo

de las diferentes posiciones que ocupan los eslabones en el espacio, en función del valor de una variable

(que se ha denominado variable de entrada ó primaria), así como de la trayectoria que describen los puntos

del mecanismo ó puntos asociados a sus eslabones.

Figura 8. Código en Mathematica® 8.0 para resolver un sistema de ecuaciones

polinomial 3X3 utilizando el método de Newton-Raphson implementado en el

comando FindRoot[]. Para ambos lazos.

Este tema se centrará en la forma en que se recorren estas trayectorias en función del tiempo; es decir, se

realizará el estudio de una de las características del movimiento de los puntos de los eslabones: en definitiva,

se analizarán las velocidades de estos puntos. Para ello, será necesario conocer como varía con el tiempo la

variable primaria de mecanismo: se deberá conocer la velocidad de entrada del eslabón motor del

mecanismo.

IV.1 Método Gráfico

Introducción.- Los métodos gráficos de cálculo de velocidades están basados en las relaciones geométricas

existentes entre las magnitudes mecánicas.

Ecuaciones de Velocidad

Se tiene que

ωAB = 10 rad

s⁄

Y

VB = AB ωAB = 2𝑚

𝑠

Nota: Las magnitudes de las velocidades están a una escala de 1:10

Cálculos:

θ2p = vCB ∗10

BC θ3p = vC ∗

10

CD θ4p = vFE ∗

10

EF

vFx = vF ∗ 10

Nota: Se multiplicaron las magnitudes por el escalar 10 debido al ajuste de la escala.

Resultados:

θ2p = −.1078 rad

s⁄ θ3p = 7.025 rad

s⁄ θ4p = 1.1 rad

s⁄ vFx = 886 mm

s⁄

IV.2 Método Analítico

Introducción.- Para este método es importante recordar el concepto de vector, debido a que representaremos a los

eslabones físicos a través de vectores de posición. Usaremos la representación de Euler 1843, en los sistemas de

coordenadas polares y coordenadas cartesianas:

𝑉 = 𝑟 𝜔 𝑒𝑖𝜃 = 𝑟 𝜔 (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)

Donde: r denota la magnitud, eiθ su dirección y ω velocidad angular. Nota: En la figura el eje: y=iy.

Para facilitar la obtención de las longitudes y ángulos incógnita del mecanismo utilizando el método analítico,

se utiliza el desacoplo cinemática, que consiste en separar en dos lazos el mecanismo a analizar, para

plantear las ecuaciones vectoriales de lazo, respectivamente.


vp1 = vB + vCB (4.1)

vp1 = vD − vDC (4.2)


vB = iqp AB eiq vCB = iθ2p BC e

iθ2 vD = 0 vDC = iθ3p CD eiθ3

En este caso vD es igual a cero debido a que solo se está derivando una constate, la única velocidad angular

conocida es qp = 10 rad

s, por lo que es necesario encontrar el valor de la velocidad angular θ2p, θ3p y el

vector de velocidad vp1. Sustituyendo la ecuación 4.1 en 4.2 tenemos:

vB + vCB = vD − vDC

iqp AB eiq + iθ2p BC eiθ2 + iθ3p CD e

iθ3 = {0.0} (4.3)


eiq = cosq + i senq (4.4 )





−qp AB sen(q) + iqp AB cos(q) − θ2p BC sen(θ2) + iθ2p BC cos(θ2) − θ3p CD sen(θ3) + iθ3p CD cos(θ3) = (0,0)


0 = −qp AB sen(q) − θ2p BC sen(θ2) − θ3p CD sen(θ3)

0 = qp AB cos(q) + θ2p BC cos(θ2)+θ3p CD cos(θ3)


vp2 = vD + vED (4.7)

vp2 = vF − vFE (4.8)


vF = {vFx, 0} vFE = iθ4p EF eiθ4 vD = 0 vED = iθ3p DE e

iθ3

En este caso vF en y es igual a cero debido a que no varía su posición en y solo en x, es necesario encontrar

el valor de la velocidad angular θ3p, θ4p y el vector de velocidad vp2. Sustituyendo la ecuación 4.7 en 4.8

tenemos:

vD + vED = vF − vFE

iθ3p DE eiθ3 − {vFx, 0} + iθ4p EF e

iθ4 = {0,0} (4.9)


eiθ3 = cos θ3 + i sen θ3 (4.10)

eiθ4 = cos θ4 + i sen θ4 (4.11)

Sustituyendo las ecuaciones (4.10) y (4.11) en (4.9), se obtiene la ecuación de lazo, en coordenadas


−θ3p DE sen(θ3) + iθ3p DE cos(θ3) − vFx − θ4p EF sen(θ4) + iθ4p EF cos(θ4) = (0,0)


0 = −θ3p DE sen(θ3) − vFx − θ4p EF sen(θ4)

0 = iθ3p DE cos(θ3) + iθ4p EF cos (θ4)

Se formó un sistema de ecuaciones no lineales en términos de sus incógnitas: θ2q, θ3q, θ4q y vFx para

encontrar la solución se hace uso del programa Wolfram Mathematica®2 8.0, y se plantean los valores

iniciales: { θ2q,200}, { θ3q,100}, { θ4q,200} y {vFx ,0.9}; para iniciar el algoritmo de Newton-Raphson, de ser

necesario se puede consultar tutorial de Mathematica® 8.0.


θ2p = −.107784 rad

s⁄ θ3p = 7.02517 rad

s⁄ θ4p = 1.09998 rad

s⁄ vFx = 886.019 mm

s⁄


IV.3 Método Matricial

Introduccion.- Derivando las ecuaciones de la posición en ambos lazos con respecto al tiempo se tienen las

siguientes ecuaciones.

Definimos las ecuaciones a derivar con respecto a un vector de incognitas.

A continuación hacemos la derivada con respecto al vector de variables θ2, θ3, θ4 y rFx y esas derivadas se

asocian al Jacobiano y obtenemos su inversa.

Asociamos el Jacobiano al coeficiente de velocidad llamado “ks”

A continuación obtenemos los valores de los angulos en el análisis de posición y estos mismos los

sustituimos dentro de nuestros coeficientes de velocidad para obtener nuestra velocidades angulares asi

como la velocidad de vFx

Resultados:

θ2p = −.107784 rad

s⁄ θ3p = 7.02517 rad

s⁄ θ4p = 1.09998 rad

s⁄ vFx = 886.019 mm

s⁄

IV.4 Método Algebra Complejo












(x1, x2) ∗ (y1, y2) = (x1y1 − x2y2, x2y1 + x1y2)

Siendo (x1, x2), (y1, y2) ∈ V,



rp = l1 ∙ e′1⊕ l2 ∙ e′′1

rp = l1 ∙ ρ(p, e1) ⊕ l2 ∙ ρ(q, e1)

4) Definir el problema:

Cinemática Directa: Dados como datos l1, l2, p y q se debe hallar rp, que satisface a la ecuación anterior,




inercial y construir los vectores de posición. 6) Plantear la relación de la posición para resolver el problema: ecuación de lazo.

Una ventaja al utilizar este método es que el sistema de ecuaciones que se obtiene está en términos de parámetros y no de funciones trigonométricas que son sensibles a las perturbaciones numéricas. Otra ventaja consiste en que los valores iniciales que se utilizan en el método de Newton-Raphson para resolver el sistema de ecuaciones (comando: FindRoot[]), están dentro del rango: -1 a 1. Lo anterior, permite controlar el conjunto de soluciones a obtener, debido a que existen dos conjuntos de soluciones posibles. Se trabajará con la cinemática inversa, es decir, el vector de posición y las longitudes de los eslabones y






Base Inercial:

e = {e1, e2}

e1 = {1,0}

e2 = {0,1}

Bases móviles:

P = {P1, P2}

Q = {Q1, Q2} R = {R1, R2} S = {S1, S2}

e1′ = ρ(P, e1) = (P1, P2) e1

′′ = ρ(Q, e1) = (Q1, Q2) e1′′′ = ρ(R, e1) = (R1, R2) e1

′′′′ = ρ(S, e1) = (S1, S2)

Datos:

AB [mm]

BC [mm]

AD [mm]

DE [mm]

EF [mm]

CD [mm]

La

[mm] q [deg]

200 500 460 160 500 280 50 60

Entonces:




′′′′ = EF S1, EF S2 rF̅ = {x,−La}

Las velocidades angulares están representadas vectorialmente por los números duales:

𝜔1 = {0, 𝑞𝑝} 𝜔2 = {0, 𝜃2𝑝} 𝜔3 = {0, 𝜃3𝑝} 𝜔4 = {0, 𝜃4𝑝}


𝑣𝑝1̅̅ ̅̅̅ = 𝑣𝐵̅̅ ̅ + 𝑣𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ̅

𝑣𝑝1̅̅ ̅̅̅ = −𝑣𝐷𝐶̅̅ ̅̅ ̅

𝑣𝐵̅̅ ̅ + 𝑣𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑟𝐷𝐶̅̅ ̅̅ = {0,0}


𝑣𝑝2̅̅ ̅̅̅ = 𝑣𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ̅

𝑣𝑝2̅̅ ̅̅̅ = 𝑣𝐹𝐸̅̅ ̅̅ ̅ − 𝑣𝐹̅̅ ̅

𝑣𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ̅ − 𝑣𝐹𝐸̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑣𝐹̅̅ ̅ = {0,0}

Definimos las velocidades

𝑣𝐵̅̅ ̅ = 𝜌 (𝜔1, 𝑟�̅�) = {0, 𝑞𝑝} ∗{ AB P1, AB P2} 𝑣𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ̅ = 𝜌 (𝜔2, 𝑟𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ) = {0, 𝜃2𝑝} ∗{ BC Q1, BC Q2}

𝑣𝐷𝐶̅̅ ̅̅ ̅ = 𝜌 (𝜔3, 𝑟𝐷𝐶̅̅ ̅̅ ) = {0, 𝜃3𝑝} ∗{ CD R1, CD R2} 𝑣𝐹𝐸̅̅ ̅̅ ̅ = 𝜌 (𝜔4, 𝑟�̅�) = {0, 𝜃4𝑝} ∗{ EF S1, EF S2}

𝑣𝐹̅̅ ̅ ={ 0, vFx}

Formamos las ecuaciones a evaluar e introducimos el código a Mathematica® , introduciendo como valores

iniciales: { θ2q,200}, { θ3q,200}, { θ4q,300} y {vFx ,100}; para iniciar el algoritmo de Newton-Raphson, de ser


Resultados:

θ2p = −.107784 rad

s⁄ θ3p = 7.02517 rad

s⁄ θ4p = 1.09998 rad

s⁄ vFx = 886.019 mm

s⁄

V. COMPARACION DE RESULTADOS

V.1 Posición

Tabla 1. Despliegue de resultados numéricos y comparación de los métodos aplicados.

Incógnita Método Gráfico Método Analítico

Método Matricial

Método de Algebra

𝛉𝟐 8.31° 8.30668° 8.30668° 8.30668°

𝛉𝟑 61.23° 61.2319° 61.2319° 61.2319° 𝛉𝟒 10.4° 10.3991° 10.3991° 10.3991°

𝒓𝑭𝒙 874.78 mm 874.785 mm 874.785 mm 874.785 mm

V.2 Velocidad


Incógnita Método Gráfico Método Analítico

Método Matricial

Método de Algebra

𝛉𝟐𝐩 −.1078 rad s⁄ −.107784 rad s⁄ −.107784 rad s⁄ −.107784 rad s⁄

𝛉𝟑𝐩 7.025 rad s⁄ 7.02517 rad s⁄ 7.02517 rad s⁄ 7.02517 rad s⁄

𝛉𝟒𝐩 1.1 rad s⁄ 1.09998 rad s⁄ 1.09998 rad s⁄ 1.09998 rad s⁄

𝒗𝑭𝒙 886 mm s⁄ 886.019 mm s⁄ 886.019 mm s⁄ 886.019 mm s⁄

VI. CONCLUSION

Los métodos de análisis más confiables resultan ser el matricial, el analítico y el de algebra compleja ya que al observar

la tabla de resultados de posición y velocidad son mucho más similares los resultados de estos métodos a comparación

del método grafico, sin embargo cabe recalcar que el método grafico es muy importante, ya que nos da un panorama

general para empezar a atacar el problema en la parte de posición y para la parte de velocidad es el método que nos

deja visualizar los polígonos de velocidad para así obtener las ecuaciones de lazo y descomponerlas por componentes

para algunos métodos, es interesante también el método de algebra compleja ya que matemáticamente se resuelve

mucho más sencillo a comparación de otros métodos y la metodología en la resolución también es interesante pues está

basado en parámetros de Euler, los cuales nos dan mayor precisión en los resultados.

VII. ANALISIS DE ACELERACION

Introducción. -Se presenta el análisis de aceleración de un mecanismo plano de cuatro barras, un

mecanismo de biela manivela corredera Este método constituye el fundamento del análisis de aceleración de

mecanismos planos por los métodos conocidos como método gráfico, método analítico, método matricial y

método de álgebra compleja.

En el análisis de aceleración el objetivo es encontrar las aceleraciones normales y tangenciales de los

eslabones de nuestro mecanismo.

La aceleración es un cambio de velocidad con respecto al tiempo.

Cuando un cuerpo rígido no varía su longitud (norma) con respecto al tiempo, presenta un aceleración con

dos componentes:

• Normal: Mide el cambio de la dirección del vector velocidad.

• Tangencial: Mide el cambio de magnitud del vector velocidad.

A = An + At

Todo eslabón en movimiento cuenta con una aceleración normal, sin embargo no todos presentan una

aceleración tangencial.

VII.1 Método Gráfico

Introducción.- Los métodos gráficos de cálculo de aceleraciones están basados en las relaciones

geométricas existentes entre las magnitudes mecánicas.

La ecuación del polígono 1 de aceleración queda de la siguiente manera:

ACB + AB + ADC = 0

Conocemos:

AB = AtB + AnB

Debido a que el eslabón rB posee una velocidad angular qp constante, la aceleración angular qpp es 0.

AB = AnB = 20000 mm/s2

AnCB = 6.05 mm/s2

AnDC = 13837.852 mm/s2



Midiendo los resultados dados por Geogebra® obtendremos:

AtCB = 7746 mm/s2 AtDC = 5104 mm/s2 θ2pp = 15.492 rad

s2⁄ θ3pp = 18.23

rads2⁄

Nota: Se muestran las aceleraciones en [m/s2].

La ecuación del polígono 2 de aceleración queda de la siguiente manera:

AED + AFE – AF = 0

Conocemos:

AED = AtED + AnED

AnED = 7907.344 mm/s2

AtED = 2916.8 mm/s2

AnFE = 605 mm/s2



Midiendo los resultados dados por Geogebra® obtendremos:

AtFE = 5499 mm/s2 AF = 6755 mm/s2 θ4pp = −11 rad

s2⁄

Nota: Se muestran las aceleraciones en [m/s2].

VII.2 Método Analítico

Introducción.- Para este método es importante recordar el concepto de vector, debido a que

representaremos a los eslabones físicos a través de vectores de posición. Usaremos la representación de

Euler 1843, en los sistemas de coordenadas polares y coordenadas cartesianas:

𝐴 = −𝑟 𝜔2 𝑒𝑖𝜃 + 𝑟 𝑖𝛼 𝑒𝑖𝜃 = −𝑟 𝜔2 (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) + 𝑟 𝑖𝛼 (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃)

Donde: r denota la magnitud, eiθ su dirección, ω velocidad angular y α aceleración angular.

Nota: En la figura el eje: y=iy.

Para facilitar la obtención de las aceleraciones angulares incógnita del mecanismo utilizando el método

analítico, se utiliza el desacoplo cinemática, que consiste en separar en dos lazos el mecanismo a analizar,

para plantear las ecuaciones vectoriales de lazo, respectivamente.


Ap1 = AB + ACB

Ap1 = AD − ADC


AB = −qp2 AB eiq ACB = −θ2p

2 BC eiθ2 + iθ2pp BC eiθ2 ADC = −θ3p

2 CD eiθ3 + iθ3pp CD eiθ3

En este caso AD es igual a cero debido a que solo se está derivando una constate, la únicas aceleraciones

conocidas son AnB, AnCB y AnDC, por lo que es necesario encontrar AtCB y AtDC y sus respectivas

aceleraciones angulares.

Sustituyendo en:

AB + ACB = −ADC

−qp2 AB eiq − θ2p2 BC eiθ2 + iθ2pp BC e

iθ2 − θ3p2 CD eiθ3 + iθ3pp CD e

iθ3 = {0.0}


eiq = cosq + i senq

eiθ2 = cos θ2 + i sen θ2


Sustituyendo las ecuaciones:

−qp2 AB(cos q + i sen q) − θ2p2 BC (cos θ2 + i sen θ2) + iθ2pp BC (cosθ2 + i senθ2) − θ3p

2 CD (cosθ3 + i senθ3)

+ iθ3pp CD (cos θ3 + i sen θ3) = {0.0}


−qp2 AB(cos q) − θ2p2 BC (cos θ2) − θ2pp BC (sen θ2) − θ3p

2 CD (cos θ3) − θ3pp CD (senθ3) = 0

−qp2 AB(sen q) − θ2p2 BC (sen θ2) + θ2pp BC (cos θ2) − θ3p

2 CD (sen θ3) + θ3pp CD (cosθ3) = 0


Ap2 = AD + AED

Ap2 = AF − AFE


AED = −θ3p2 DE eiθ3 + iθ3pp DE e

iθ3 AFE = −θ4p2 EF eiθ4 + iθ2pp EF e

iθ4 AF = {Ax, 0}

En este caso AD es igual a cero debido a que solo se está derivando una constate, la únicas aceleraciones

conocidas son AnED, AtED y AnFE, por lo que es necesario encontrar AtFE y AFx y sus respectivas aceleraciones

angulares.

Sustituyendo en:

AED + AFE = AF

−θ3p2 DE eiθ3 + iθ3pp DE e

iθ3 − θ4p2 EF eiθ4 + iθ2pp EF e

iθ4 − AFx = {0.0}




Sustituyendo las ecuaciones:

−θ3p2 DE (cosθ3 + i senθ3) + iθ3pp DE (cosθ3 + i senθ3) − θ4p

2 EF (cos θ4 + i senθ4) + iθ2pp EF (cos θ4+ i senθ4) − AFx = {0.0}


−θ3p2 DE (cosθ3) − θ3pp DE (sen θ3) − θ4p

2 EF (cos θ4) − θ2pp EF (sen θ4) − AFx = 0

−θ3p2 DE (sen θ3) + θ3pp DE (cos θ3) − θ4p

2 EF (senθ4)iθ2pp EF (cos θ4) = 0

Se formó un sistema de ecuaciones no lineales en términos de sus incógnitas: θ2pp, θ3pp, θ4pp y AFx para

encontrar la solución se hace uso del programa Wolfram Mathematica®3 8.0, y se plantean los valores

iniciales: { θ2pp,200}, { θ3pp,100}, { θ4pp,200} y {AFx ,0.9}; para iniciar el algoritmo de Newton-Raphson, de

ser necesario se puede consultar tutorial de Mathematica® 8.0.



θ2pp = 15.4917 rad

s2⁄ θ3pp = 18.2295

rads2⁄

θ4pp = −10.9986 rad

s2⁄ AFx = 6754.63

mms2⁄

VII.3 Método Matricial

VII.3.1 Caso I

Para este método se derivan las ecuaciones de velocidad antes obtenidas para el lazo I y lazo II

Ecuaciones de velocidad:

Lazo I

f1p = −ABqpSin[𝑞] − BCθ2pSin[θ2] − CDθ3pSin[θ3]

f2p = ABqpCos[𝑞] + BCθ2pCos[θ2] − CDθ3pCos[θ3]

Lazo 2

f3p = −Vx − DEθ3pSin[θ3] − FEθ4pSin[θ4]

f4p = −DEθ3pCos[θ3] + FEθ4pCos[θ4]

Se derivan nuevamente respecto al tiempo para obtener las ecuaciones de aceleración:

Lazo I

f1pp = −AB(qp2Cos[𝑞] + qppSin[𝑞]) − BC(θ2p2Cos[θ2] + θ2ppSin[θ2]) − CD(θ3p2Cos[θ3] + θ3ppSin[θ3])

f2pp = ABqppCos[𝑞] + BCθ2ppCos[θ2] − CDθ3ppCos[θ3] − ABqp2Sin[𝑞] − BCθ2p2Sin[θ2] + CDθ3p2Sin[θ3]

Lazo 2

f3pp = −DE(θ3p2Cos[θ3] + θ3ppSin[θ3]) − FE(θ4p2Cos[θ4] + θ4ppSin[θ4])

f4pp = −DEθ3ppCos[θ3] + FEθ4ppCos[θ4] + DEθ3p2Sin[θ3] − FEθ4p2Sin[θ4]

Una vez obtenidas las ecuaciones de aceleración se representan en forma matricial:

(f1ppf2pp

) = (𝐴𝐵𝑞𝑝2 𝐴𝐵𝑞𝑝𝑝) (−𝐶𝑜𝑠[𝑞]

−𝑆𝑖𝑛[𝑞]) + (𝐵𝐶θ2p2 BCθ2pp) (

−𝐶𝑜𝑠[θ2]

−𝑆𝑖𝑛[θ2]) + (𝐶𝐷θ3p2 𝐶𝐷θ2pp) (


−𝑆𝑖𝑛[θ3])

+ (𝐴𝐵𝑞𝑝2 𝐴𝐵𝑞𝑝𝑝) (𝐶𝑜𝑠[𝑞]

−𝑆𝑖𝑛[𝑞]) + (𝐵𝐶θ2p2 BCθ2pp) (

𝐶𝑜𝑠[θ2]


+ (𝐶𝐷θ3p2 𝐶𝐷θ2pp) (−𝐶𝑜𝑠[θ3]

𝑆𝑖𝑛[θ3]) = (

00)

(𝑓3𝑝𝑝𝑓4𝑝𝑝

) = (𝐷𝐸θ3p2 𝐷𝐸θ3pp) (−𝐶𝑜𝑠[θ3]

−𝑆𝑖𝑛[θ3]) + (𝐹𝐸θ4p2 𝐹𝐸θ4pp) (



+ (𝐷𝐸θ3p2 𝐷𝐸θ3pp) (−𝐶𝑜𝑠[θ3]

𝑆𝑖𝑛[θ3]) + (𝐹𝐸θ4p2 𝐹𝐸θ4pp) (

𝐶𝑜𝑠[θ4]

−𝑆𝑖𝑛[θ4]) = (

00)

Teniendo como incógnitas:

AFx, θ2pp, θ3pp y θ4pp.

Resolvimos el sistema de ecuaciones en Mathematica.

θ2pp = 15.4917 rad

s2⁄ θ3pp = 18.2295

rads2⁄

θ4pp = −10.9986 rad

s2⁄ AFx = 6754.63

mms2⁄

VII.3.2 Caso II

Lazo 1:

Este caso utiliza el modelo matemático siguiente:

[�̈�] = �̈�[𝑘𝑠] + �̇�2𝑑[𝑘𝑠]

𝑑𝑡

Es decir:

[�̈�] = �̈� [𝑘𝑟𝐵𝐴𝑘𝜃2

] + �̇�2 [𝐿𝑟𝐵𝐴𝐿𝜃2

]

Primero se obtiene el jacobiano de las ecuaciones de posición derivándolas con respecto a las variables a

encontrar:

𝐽 = (−BCSin[θ2] −CDSin[θ3]

BCCos[θ2] −CDCos[θ3])

Sustituyendo en la ecuación de velocidad: [𝑘𝑠] = [�̇�

𝑞] = [𝐽]−1 [

𝜕𝑓

𝜕𝑞]

𝐽−1 =

(

−

CDCos[θ3]

BCCDCos[θ3]Sin[θ2] + BCCDCos[θ2]Sin[θ3]

CDSin[θ3]

BCCDCos[θ3]Sin[θ2] + BCCDCos[θ2]Sin[θ3]

−BCCos[θ2]

BCCDCos[θ3]Sin[θ2] + BCCDCos[θ2]Sin[θ3]−

BCSin[θ2]

BCCDCos[θ3]Sin[θ2] + BCCDCos[θ2]Sin[θ3])

Ahora obtendremos los coeficientes de velocidad:

Kθ2 = −ABCsc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 + θ3]

BC

Kθ3 = −ABCsc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 − θ2]

CD

Para el análisis de aceleración se derivan los coeficientes de velocidad:

𝑑𝑘𝜃3𝑑𝑞

= Lθ2 =ABCsc[θ2 + θ3](−(1 + Kθ3)Cos[𝑞 + θ3] + (Kθ2 + Kθ3)Cot[θ2 + θ3]Sin[𝑞 + θ3])

BC


= Lθ3 =ABCsc[θ2 + θ3]((−1 + Kθ2)Cos[𝑞 − θ2] + (Kθ2 + Kθ3)Cot[θ2 + θ3]Sin[𝑞 − θ2])

CD

Para el lazo 2

Con el mismo modelo matemático:

[�̈�] = 𝜃3̈ [𝑘𝜃3𝑘𝑥] + 𝜃3̇

2[𝐿𝜃3𝐿𝑥]

Primero se obtiene el jacobiano de las ecuaciones de posición derivándolas con respecto a las variables a

encontrar:

𝐽 = (−FESin[θ4] −1FECos[θ4] 0

)

Sustituyendo en la ecuación de velocidad: [𝑘𝑠] = [�̇�

𝑞] = [𝐽]−1 [

𝜕𝑓

𝜕𝑞]

𝐽−1 = ( 0Sec[θ4]

FE−1 −Tan[θ4]

)

Ahora obtendremos los coeficientes de velocidad:

Kθ4 =DECos[θ3]Sec[θ4]

FE

Kx = −DESec[θ4]Sin[θ3 + θ4]

Para el análisis de aceleración se derivan los coeficientes de velocidad:


= Lθ4 =DESec[θ4](−Sin[θ3] + Kθ4Cos[θ3]Tan[θ4])

FE

𝑑𝑘𝐾𝑥𝑑𝑞

= Lx = −1

2DE(Cos[θ3] + 2Kθ4Cos[θ3] + Cos[θ3 + 2θ4])Sec[θ4]2

A continuación se muestra el código desarrollado en Mathematica ® 8.0 para resolver las ecuaciones del

método matricial.

VII.4 Método Algebra Compleja












(x1, x2) ∗ (y1, y2) = (x1y1 − x2y2, x2y1 + x1y2)

Siendo (x1, x2), (y1, y2) ∈ V,



rp = l1 ∙ e′1⊕ l2 ∙ e′′1

rp = l1 ∙ ρ(p, e1) ⊕ l2 ∙ ρ(q, e1)

1) Definir el problema: Cinemática Directa: Dados como datos l1, l2, p y q se debe hallar rp, que satisface a la ecuación anterior,




inercial y construir los vectores de posición.

3) Plantear la relación de la posición para resolver el problema: ecuación de lazo. Una ventaja al utilizar este método es que el sistema de ecuaciones que se obtiene está en términos de parámetros y no de funciones trigonométricas que son sensibles a las perturbaciones numéricas. Otra ventaja consiste en que los valores iniciales que se utilizan en el método de Newton-Raphson para resolver el sistema de ecuaciones (comando: FindRoot[]), están dentro del rango: -1 a 1. Lo anterior, permite controlar el conjunto de soluciones a obtener, debido a que existen dos conjuntos de soluciones posibles. Se trabajará con la cinemática inversa, es decir, el vector de posición y las longitudes de los eslabones y






Base Inercial:

e = {e1, e2}

e1 = {1,0}

e2 = {0,1}

Bases móviles:

P = {P1, P2}

Q = {Q1, Q2} R = {R1, R2} S = {S1, S2}

e1′ = ρ(P, e1) = (P1, P2) e1

′′ = ρ(Q, e1) = (Q1, Q2) e1′′′ = ρ(R, e1) = (R1, R2) e1

′′′′ = ρ(S, e1) = (S1, S2)

Datos:

AB [mm]

BC [mm]

AD [mm]

DE [mm]

EF [mm]

CD [mm]

La

[mm] q [deg]

200 500 460 160 500 280 50 60

Entonces:




′v = EF S1, EF S2 rF̅ = {x,−La}

Las aceleraciones están representadas vectorialmente por los números duales:

𝛼1 = {−𝑞𝑝2, 𝑞𝑝𝑝} 𝛼2 = {−𝜃2𝑝

2, 𝜃2𝑝𝑝} 𝛼3 = {−𝜃3𝑝2, 𝜃3𝑝𝑝} 𝛼4 = {−𝜃4𝑝

2, 𝜃4𝑝𝑝}


𝐴𝑝1̅̅ ̅̅ ̅ = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ̅

𝐴𝑝1̅̅ ̅̅ ̅ = −𝐴𝐷𝐶̅̅ ̅̅ ̅

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ̅ + 𝐴𝐷𝐶̅̅ ̅̅ ̅ = {0,0}


𝐴𝑝2̅̅ ̅̅ ̅ = 𝐴𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ̅

𝐴𝑝2̅̅ ̅̅ ̅ = −𝐴𝐹𝐸̅̅ ̅̅ ̅ + 𝐴𝐹̅̅̅̅

𝐴𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ̅ + 𝐴𝐹𝐸̅̅ ̅̅ ̅ − 𝐴𝐹̅̅̅̅ = {0,0}

Definimos las aceleraciones

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝜌 (𝛼1, 𝑟�̅�) = {−𝑞𝑝2, 𝑞𝑝𝑝} ∗{ AB P1, AB P2} 𝐴𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ̅ = 𝜌 (𝛼2, 𝑟𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ) = {−𝜃2𝑝

2, 𝜃2𝑝𝑝} ∗{ BC Q1, BC Q2}

𝐴𝐷𝐶̅̅ ̅̅ ̅ = 𝜌 (𝛼3, 𝑟𝐷𝐶̅̅ ̅̅ ) = {−𝜃3𝑝2, 𝜃3𝑝𝑝} ∗{ CD R1, CD R2} 𝐴𝐹𝐸̅̅ ̅̅ ̅ = 𝜌 (𝛼4, 𝑟�̅�) = {−𝜃4𝑝

2, 𝜃4𝑝𝑝} ∗{ EF S1, EF S2}

𝐴𝐹̅̅̅̅ ={AFx, 0} 𝐴𝐸𝐷̅̅ ̅̅ ̅ = 𝜌 (𝛼3, 𝑟𝐸𝐷̅̅ ̅̅ ) = {−𝜃3𝑝2, 𝜃3𝑝𝑝} ∗{ DE R1, DE R2}

Formamos las ecuaciones a evaluar e introducimos el código a Mathematica® , introduciendo como valores

iniciales: { θ2pp,20}, { θ3p,15}, { θ4p,-5} y {AFx ,6000}; para iniciar el algoritmo de Newton-Raphson, de ser



θ2pp = 15.4917 rad

s2⁄ θ3pp = 18.2295

rads2⁄

θ4pp = −10.9986 rad

s2⁄ AFx = 6754.63

mms2⁄

VIII. COMPARACION DE RESULTADOS

VIII.1 Aceleración


Incógnita Método Gráfico Método Analítico Método Matricial

Método de Algebra

𝛉𝟐𝒑𝒑 15.492 rads2⁄

15.4917 rads2⁄

15.4917 rads2⁄

15.4917 rads2⁄

𝛉𝟑𝒑𝒑 18.23 rads2⁄

18.2295 rads2⁄

18.2295 rads2⁄

18.2295 rads2⁄

𝛉𝟒𝒑𝒑 −11 rads2⁄

−10.9986 rads2⁄

−10.9986 rads2⁄

−10.9986 rads2⁄

𝑨𝑭𝒙 6755 mms2⁄

6754.63 mms2⁄

6754.63 mms2⁄

6754.63 mms2⁄

En la tabla se observan los resultados obtenidos con cada método, al hacer el análisis para aceleración se

puede notar como el método de álgebra compleja y matricial se vuelven más complicados, por lo cual se

requiere más tiempo para su análisis, por otro lado, el método gráfico conserva una estructura fácil y rápida

de entender pero con la desventaja de no ser un método de precisión y exactitud.

IX. TRABAJO VIRTUAL

Para este análisis se utilizará el modelo matemático del trabajo virtual, el cual es:

𝛿𝜔 =∑𝐹𝑖𝑖

𝛿𝑟𝑖 +∑𝑀𝑗𝑗

𝛿𝐴𝑗

O también de la siguiente forma:

𝛿𝜔 = 𝐹𝑖𝛿𝑟𝑖 +𝑀𝑗𝛿𝐴𝑗

Donde:

𝛿𝜔: Se llama trabajo virtual.

𝛿𝑟𝑖: es el vector que apunta al punto de aplicación de la fuerza.

𝑖: es el número de eslabones.

𝐹𝑖: es una fuerza física.

𝛿𝐴𝑗: Desplazamiento angular virtual

𝑀𝑗: es un momento aplicado al eje de giro, medida por 𝛿𝐴𝑗.

Utilizando los coeficientes de velocidad:

𝛿Ф2𝛿𝑞

=𝑑Ф2𝑑𝑞

Por lo tanto:

𝛿Ф2 =𝑑Ф2𝑑𝑞𝛿𝑞 = 𝑘Ф2𝛿𝑞

De igual forma:

𝛿Ф3𝛿𝑞

=𝑑Ф3𝑑𝑞

Por lo tanto:

𝛿Ф3 =𝑑Ф3𝑑𝑞𝛿𝑞 = 𝑘Ф3𝛿𝑞

Para el análisis sin gravedad, es necesario definir los coeficientes de velocidad de cada uno de los angulos:

𝑘θ2 = −ABCsc[θ2 − θ3]Sin[𝑞 − θ3]

BC

𝑘θ2 =ABCsc[θ2 − θ3]Sin[𝑞 − θ2]

CD

𝑘θ2 = −DErABCos[θ3]Csc[θ2 − θ3]Sec[θ4]Sin[𝑞 − θ2]

ADCD

Al final sustituimos en la formula y despejamos F:

𝐹 = −𝑀

−ABSin[𝑞] + ABCsc[θ2 − θ3]Sin[θ2]Sin[𝑞 − θ3] −ADrABCsc[θ2 − θ3]Sin[𝑞 − θ2]Sin[θ3]

CD+DEEFrABCos[θ3]Csc[θ2 − θ3]Sin[𝑞 − θ2]Tan[θ4]

ADCD

Con ayuda del software mathematica introducimos los valores y obtendremos la fuerza necesaria para el

equilibrio estatico:

Y observamos su comportamiento gracias al programa de simulación Working Model.

Para el análisis con gravedad se utilizan los desplazamientos de los centros de gravedad de cada uno de los

eslabones y de los bloques, por lo tanto también se deben de establecer las coordenadas de estos centros de

masa

Obtenemos sus coeficientes de velocidad:

Eslabón AB:

Kx2 = −1

2ABSin[𝑞]

Ky2 =1

2ABCos[𝑞]

Eslabón BC:

Kx3 = −ABSin[𝑞] −1

2BCKθ2Sin[θ2]

Ky3 = ABCos[𝑞] +1

2BCKθ2Cos[θ2]

Eslabón CE:

Kx4 = −ABSin[𝑞] − BCKθ2Sin[θ2] −1

2(CD + DE)Kθ3Sin[θ3]

Ky4 = ABCos[𝑞] + BCKθ2Cos[θ2] −1

2(CD + DE)Kθ3Cos[θ3]

Eslabón EF:

Kx5 = −ABSin[𝑞] − BCKθ2Sin[θ2] − (CD + DE)Kθ3Sin[θ3] −1

2FEKθ4Sin[θ4]

Ky5 = ABCos[𝑞] + BCKθ2Cos[θ2] − (CD + DE)Kθ3Cos[θ3] +1

2FEKθ4Cos[θ4]

Corredera:

Kxc = −ABSin[𝑞] − BCKθ2Sin[θ2] − (CD + DE)Kθ3Sin[θ3] − FEKθ4Sin[θ4]

Kyc = ABCos[𝑞] +AB(CD + DE)Cos[θ3]Csc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 − θ2]

CD−ABDEqpCos[θ3]Csc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 − θ2]

CDW3− ABCos[θ2]Csc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 + θ3]

Despejando Fs de la ecuación de Trabajo virtual:

Fs =(−𝑀 +m2𝑔Ky2 +m5𝑔Ky4 +m4𝑔Ky3 +mb𝑔Kyc)

Kx

Sustituyendo estos coeficientes en la ecuación del trabajo virtual:

𝐹𝑠 = −1

DECos[θ4]Csc[θ3 + θ4](−𝑀 + 𝑔m4(ABCos[𝑞] +

AB(CD + DE)Cos[θ3]Csc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 − θ2]

2CD

− ABCos[θ2]Csc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 + θ3]) + 𝑔m5(ABCos[𝑞] −1

2DECos[θ3]

+AB(CD + DE)Cos[θ3]Csc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 − θ2]

CD− ABCos[θ2]Csc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 + θ3])

+ 𝑔mb(ABCos[𝑞] +AB(CD + DE)Cos[θ3]Csc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 − θ2]

CD

−ABDEqpCos[θ3]Csc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 − θ2]

CDW3− ABCos[θ2]Csc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 + θ3])

+ 𝑔m2(ABCos[𝑞] −1

2ABCos[θ2]Csc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 + θ3]))

Por último se sustituyen las masas, las longitudes de cada barra, el momento y los coeficientes de velocidad

que se obtuvieron del método matricial.

Fs = −5.310348318568284

Validamos con Working Model.

X. MODELO DINAMICO

Los datos del mecanismo son los siguientes:

Análisis de Posición

θ2=

θ3=

θ4=

Coeficientes cinemáticos de Velocidad

𝐾𝜃2 = −ABCsc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 + θ3]

BC

𝐾𝜃3 = −ABCsc[θ2 + θ3]Sin[𝑞 − θ2]

CD

𝐾𝜃4 = −DECos[θ3]Sec[θ4]

FE

𝐾𝑥 = −DESec[θ4]Sin[θ3 + θ4]

Coeficientes cinemáticos de Aceleración

Lθ2 =ABCsc[θ2 + θ3](−(1 + Kθ3)Cos[𝑞 + θ3] + (Kθ2 + Kθ3)Cot[θ2 + θ3]Sin[𝑞 + θ3])

BC

Lθ3 =ABCsc[θ2 + θ3]((−1 + Kθ2)Cos[𝑞 − θ2] + (Kθ2 + Kθ3)Cot[θ2 + θ3]Sin[𝑞 − θ2])

CD

Lθ4 =DESec[θ4](−Sin[θ3] + Kθ4Cos[θ3]Tan[θ4])

FE

Lx = −Cos[θ3](DE + DEKθ4Sec[θ4]2) + DESin[θ3]Tan[θ4]

Coeficientes de Velocidad y Aceleración de los centros de masa de cada eslabón

Kx2 = −1

2ABSin[𝑞]

Ky2 =1

2ABCos[𝑞]

Kx3 = −ABSin[𝑞] −1

2BCKθ2Sin[θ2]

Ky3 = ABCos[𝑞] +1

2BCKθ2Cos[θ2]

Kx4 = −ABSin[𝑞] − BCKθ2Sin[θ2] −1

2(CD + DE)Kθ3Sin[θ3]

Ky4 = ABCos[𝑞] + BCKθ2Cos[θ2] −1

2(CD + DE)Kθ3Cos[θ3]

Kx5 = −ABSin[𝑞] − BCKθ2Sin[θ2] − (CD + DE)Kθ3Sin[θ3] −1

2FEKθ4Sin[θ4]

Ky5 = ABCos[𝑞] + BCKθ2Cos[θ2] − (CD + DE)Kθ3Cos[θ3] +1

2FEKθ4Cos[θ4]

Kxc = −ABSin[𝑞] − BCKθ2Sin[θ2] − (CD + DE)Kθ3Sin[θ3] − FEKθ4Sin[θ4]

Kyc = ABCos[𝑞] + BCKθ2Cos[θ2] − (CD + DE)Kθ3Cos[θ3]

+ (1

CDABFEKθ4Cos[θ4]Csc[(θ2 + θ3)]Sin[(𝑞 − θ2)]) (qp W3⁄ )

Lx2 = −1

2ABCos[𝑞]

Ly2 = −1

2ABSin[𝑞]

Lx3 =1

2AB (−2Cos[𝑞]

+ Csc[θ2 + θ3]((1 + kθ3)Cos[𝑞 + θ3]Sin[θ2]

+ (kθ2Cos[θ2] − (kθ2 + kθ3)Cot[θ2 + θ3]Sin[θ2])Sin[𝑞 + θ3]))

Ly3 =1

2AB (−2Sin[𝑞]

+ Csc[θ2 + θ3](−(1 + kθ3)Cos[θ2]Cos[𝑞 + θ3]

+ ((kθ2 + kθ3)Cos[θ2]Cot[θ2 + θ3] + kθ2Sin[θ2])Sin[𝑞 + θ3]))

Lx4 =1

8CDAB(CD − DE)((−1 + 2kθ2 + 2kθ3)Cos[𝑞] − (1 + 2kθ3)Cos[𝑞 − 2θ2] + (1 − 2kθ2)Cos[𝑞 + 2θ3]

+ Cos[𝑞 − 2(θ2 + θ3)])Csc[θ2 + θ3]2

Ly4 =1

8CDAB(CD − DE)Csc[θ2 + θ3]2((−1 + 2kθ2 + 2kθ3)Sin[𝑞] + (1 + 2kθ3)Sin[𝑞 − 2θ2]

+ (−1 + 2kθ2)Sin[𝑞 + 2θ3] + Sin[𝑞 − 2(θ2 + θ3)])

Lx5 = −1

16CDABDECsc[θ2 + θ3]2Sec[θ4]2(2((−1 + 2kθ2 + 2kθ3 + kθ4)Cos[𝑞] − (1 + 2kθ3 + kθ4)Cos[𝑞 − 2θ2]

+ (1 − 2kθ2 + kθ4)Cos[𝑞 + 2θ3] − (−1 + kθ4)Cos[𝑞 − 2(θ2 + θ3)])

+ 2((−1 + 2kθ2 + 2kθ3)Cos[𝑞] − (1 + 2kθ3)Cos[𝑞 − 2θ2] + (1 − 2kθ2)Cos[𝑞 + 2θ3]

+ Cos[𝑞 − 2(θ2 + θ3)])Cos[2θ4]

+ ((−1 + 2kθ2 + 2kθ3)Sin[𝑞] + (1 + 2kθ3)Sin[𝑞 − 2θ2] + (−1 + 2kθ2)Sin[𝑞 + 2θ3]

+ Sin[𝑞 − 2(θ2 + θ3)])Sin[2θ4])

Ly5 =1

4CDqp2DE(−2CDθ3ppCos[θ3]

+ qp (2CDkθ3W3Sin[θ3]

− ABqpCsc[θ2 + θ3]2((−1 + 2kθ2 + 2kθ3)Sin[𝑞] + (1 + 2kθ3)Sin[𝑞 − 2θ2]

+ (−1 + 2kθ2)Sin[𝑞 + 2θ3] + Sin[𝑞 − 2(θ2 + θ3)])))

Lxc =1

4CDqp2DE(ABqp2((1 − 2kθ2 − 2kθ3)Cos[𝑞] + (1 + 2kθ3)Cos[𝑞 − 2θ2] + (−1 + 2kθ2)Cos[𝑞 + 2θ3]

− Cos[𝑞 − 2(θ2 + θ3)])Csc[θ2 + θ3]2 + 4CDkθ4qpW3Cos[θ3]Sec[θ4]2

+ 4CD(θ3ppCos[θ3] − kθ3qpW3Sin[θ3])Tan[θ4])

Lyc =1

4CDqp2DE(−4CDθ3ppCos[θ3]

+ qp (4CDkθ3W3Sin[θ3]

− ABqpCsc[θ2 + θ3]2((−1 + 2kθ2 + 2kθ3)Sin[𝑞] + (1 + 2kθ3)Sin[𝑞 − 2θ2]

+ (−1 + 2kθ2)Sin[𝑞 + 2θ3] + Sin[𝑞 − 2(θ2 + θ3)])))

Por lo tanto la Inercia generalizada se puede expresar como:

Ig = IcgAB + IcgBCKtheta22 + IcgCEKtheta32 + IcgEFKtheta42 + (KxAB2 + KyAB2)mAB + (KxBC2 + KyBC2)mBC+ (KxCE2 + KyCE2)(mCD +mDE) + (KxEF2 + KyEF2)mEF + KxF2mF

Y se define:

𝑑𝑉𝑑𝑞 = 𝑔KyABmAB + 𝑔KyBCmBC + 𝑔KyCE(mCD +mDE) + 𝑔KyEFmEF

dIg = IcgBCKtheta2Ltheta2 + IcgCEKtheta3Ltheta3 + IcgEFKtheta4Ltheta4 + (KxBCLxBC + KyBCLyBC)mBC+ (KxCELxCE + KyCELyCE)(mCD +mDE) + (KxEFLxEF + KyEFLyEF)mEF + KxFLxFmF

Q = FsKx1F +𝑀

Sustituyendo las expresiones en la ecuación fundamental de la dinámica :

�̈� = 1 𝐼𝐺⁄ {𝑄 − 𝑑𝐼𝐺�̇�

2 −𝑑𝑉

𝑑𝑞}

X.1 Comparación Working Model vs. Simulink

XI. MODELO DINAMICO (RESORTE-AMORTIGUADOR)

Los datos referidos al sistema de resorte amortiguador son los siguientes:

Ecuacion de la corredera:

𝑋 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝐸 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎3) + 𝐸𝐹 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎4)

Coeficiente de rigidez:

𝑘 = 15 𝑁𝑚

Amortiguador:

𝑏 = 8 𝑁𝑠/𝑚

Longitud natural del resorte:

𝑒𝑜 = .8 𝑚

Distancia de la tierra:

𝑥𝑜 = 1.674 𝑚

Energía potencial del resorte:

𝑑𝑣 = −𝑘 ∗ (𝑥𝑜 − 𝑋 − 𝑒𝑜)

Los introduciremos en el modelo dinámico:

𝑑𝑉𝑑𝑞 = 𝑔KyABmAB + 𝑔KyBCmBC + 𝑔KyCE(mCD +mDE) + 𝑔KyEFmEF + 𝑑𝑣

Q = FsKxF − b ∗ KxF2 ∗ qp + M

XI.1 Comparación Working Model vs. Simulink

XII. CONTROL

Calculo del error:

Es importante conocer la forma en que el error se presenta dentro de una mecanismo, pues así se

puede plantear una fórmula que nos ayude a implementar el control y solucionar la desviación

existente entre el punto de medida y el valor del set point.

En nuestro mecanismo, el cálculo del error viene dado por:

e = xd – x

e: Error

xd: Posición deseada

x: Posición actual

XII.1 Control PID

La parte proporcional consiste en el producto entre la señal del error y la constante proporcional, con el fin de

lograr que el error tienda a cero, pero en la mayoría de los casos, estos valores solo serán los óptimos para

cada porción del rango.

Existe también un valor límite en la constante proporcional a partir del cual, en algunos casos, el sistema

alcanza valores superiores de los deseados.

La formula de la parte proporcional está dada por:

P=KP*e

Donde:

“Kp” es la ganancia proporcional

“e” el error.

Lo que deseamos buscar es un torque que ejerza de manera suave( es decir una funciona continua sin

cambios abruptos) en la cual, cuando el tiempo tiende al infinito, el valor de error se acerque a 0.

Así pues, la parte proporcional afecta al torque aplicado al mecanismo.

Es decir:

M=P=Kp*e

La acción derivativa es mantener el error al mínimo corrigiéndolo proporcionalmente con la misma velocidad que se produce; de esta manera se evita que el error se incremente, se deriva con respecto al tiempo y se multiplica por una constante Kd.

La formula de la parte derivativa es:

D=Kd*ė

Donde:

“Kd” es la ganancia derivativa.

“ė” es la derivada del error con respecto del tiempo.

Y se sabe que:

ė = -ẋ

Así, sumando la parte derivativa y la parte proporcional, se tiene que el torque M viene dado por:

M=P+D=Kp*e+Kd *ė

Si se sustituyeron los valores de los errores se tiene que:

M=P+D=Kp*(xd - x)-Kd *(ẋ)

Como se menciono anteriormente, el modo de control Integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error en estado estacionario, provocado por el modo proporcional.

Como observamos en la parte de la ganancia derivativa, existe un área que se genera entre el valor deseado y el valor obtenido, el objetivo de la parte integradora consiste en calcular esa área mediante la integral y sumarla o restarla, según sea el caso. Prácticamente se podría decir que se elimina el offset.

La formula de la parte integrativa está dada por:

I=Ki*

Donde:

“Ki” es la ganancia integrativa.

“ė” el error.

Sumando la parte integrativa, a la parte proporcional y derivativa, el torque queda:

M=P+D+I=Kp*e+Kd *ė +Ki*

Si se sustituyen los valores de e y ė queda:

M=P+D=Kp*(xd - x)-Kd *(ẋ) +Ki *

XII.1.1 Posición Articular

Espacio articular: son coordenadas que definen la posición de cada articulación, y se expresan como ángulos

para el caso de articulaciones de rotación y como distancias o desplazamientos para el caso de articulaciones

prismáticas.

Se trata de controlar posición en cada articulación de forma que el efector final realice el movimiento deseado

en el espacio de trabajo, esto implica obtener las coordenadas articulares en función de las coordenadas en

el espacio de trabajo, haciendo un estudio cinemático inverso del manipulador. De esta forma, se realiza un

movimiento en el espacio de trabajo, pero las acciones de control se aplican en el espacio articular.

Para nuestro mecanismo definiremos una “q deseada” (qd) igual a 90°.

Definiendo los siguientes coeficientes de proporcionalidad (kp), parte derivativa (kd) y parte integrativa (ki).

𝑘𝑝 = 200

𝑘𝑑 = 90

𝑘𝑖 = 1

Se realizara la evaluación de estos coeficientes en Working Model, Simulink de Matlab y Simechanics de

Matlab, se hará su respectiva comparación.

Para realizar esta implementación se realizara el control en el motor, controlando el torque ejercido en el

mecanismo, quedando expresado de la siguiente forma:

𝑀 = 𝑘𝑝 ∗ 𝑒 + 𝑘𝑑 ∗ 𝑑𝑒 + 𝑘𝑖 ∗ 𝑖𝑒

Comparaciones:

Zoom:

XII.1.2 Velocidad Articular



prismáticas.

Se trata de controlar velocidad en cada articulación de forma que el efector final realice el movimiento

deseado en el espacio de trabajo, esto implica obtener las coordenadas articulares en función de las

coordenadas en el espacio de trabajo, haciendo un estudio cinemático inverso del manipulador. De esta

forma, se realiza un movimiento en el espacio de trabajo, pero las acciones de control se aplican en el

espacio articular.

Para nuestro mecanismo definiremos una “qp deseada” (qd) igual a 5 rad/s.


𝑘𝑝 = 2500

𝑘𝑑 = 130

𝑘𝑖 = 1

Se realizara la evaluación de estos coeficientes en Working Model, Simulink de Matlab y Simechan ics de





Comparaciones:

Zoom:

XII.1.3 Posición Cartesiano

Espacio de trabajo o espacio cartesiano: se trata de posiciones expresadas en coordenadas cartesianas, tipo

(x,y,z), con respecto a un origen de referencia situado en (0,0,0) que suele ser la base del manipulador.


en el espacio de trabajo, esto implica obtener las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas en


movimiento en el espacio de trabajo, pero las acciones de control se aplican en el espacio cartesiano. Para

este caso llegaremos a un posición deseada para la corredera.

Para nuestro mecanismo definiremos una “X deseada” (qd) igual a 1.


𝑘𝑝 = 350

𝑘𝑑 = 25

𝑘𝑖 = 1






Comparaciones:

Zoom:

XII.2 Control SMC

En la teoría de control, control en modo deslizante, o SMC, es un método de control no lineal que altera

la dinámica de un sistema no lineal mediante la aplicación de una señal de control discontinuo que

obliga al sistema a "deslizamiento" a lo largo de una sección transversal de comportamiento normal del

sistema. La ley de control de realimentación del estado no es una función continua del tiempo. En su

lugar, se puede cambiar de una estructura continua a otro basándose en la posición actual en el espacio

de estado. Por lo tanto, control en modo deslizante es un método de control de estructura variable. Las

estructuras múltiples de control están diseñadas de manera que las trayector ias siempre se mueven

hacia una región adyacente con una estructura de control diferente, y así la trayectoria final no existe

completamente dentro de la estructura de control. En su lugar, se deslizará a lo largo de los límites de

las estructuras de control. El movimiento del sistema de medida que se desliza a lo largo de estos

límites se denomina un modo deslizante y el lugar geométrico que consiste en los límites que se llama el

deslizamiento (hiper) superficie. En el contexto de la teoría de control moderna, cualquier sistema de

estructura variable, como un sistema en el SMC, puede considerarse como un caso especial de un

sistema híbrido dinámico como el sistema de dos flujos a través de un espacio de estado continuo, pero

también se mueve a través de diferentes modos de control discretos.

XII.2.1 Posición Articular



prismáticas.


en el espacio de trabajo, esto implica obtener las coordenadas articulares en función de las coordenadas en


movimiento en el espacio de trabajo, pero las acciones de control se aplican en el espacio articular.

Para nuestro mecanismo definiremos una “q deseada” (qd) igual a 90°.

En este caso utilizaremos la ecuación de control SMC:

𝑀 = 𝜆 ∗ 𝑡𝑎𝑛ℎ−1(𝛾 ∗ 𝑠)

Donde:

𝑠 = 𝑑𝑒 + 𝛼 ∗ 𝑒

e: error

de: derivada del error

Para nuestro control utilizaremos los siguientes datos:

𝜆 = 63

𝛾 = 1

𝛼 = 15



Comparaciones:

Zoom:

XII.2.2 Velocidad Articular



prismáticas.

Se trata de controlar velocidad en cada articulación de forma que el efector final realice el movimiento

deseado en el espacio de trabajo, esto implica obtener las coordenadas articulares en función de las

coordenadas en el espacio de trabajo, haciendo un estudio cinemático inverso del manipulador. De esta

forma, se realiza un movimiento en el espacio de trabajo, pero las acciones de control se aplican en el

espacio articular.

Para nuestro mecanismo definiremos una “qp deseada” (qd) igual a 5 rad/s.


𝑀 = 𝜆 ∗ 𝑡𝑎𝑛ℎ−1(𝛾 ∗ 𝑠)

Donde:

𝑠 = 𝑑𝑒 + 𝛼 ∗ 𝑒

e: error



𝜆 = 310

𝛾 = 1

𝛼 = 15



Comparaciones:

Zoom:

XII.2.3.1 Posición Cartesiano

Espacio de trabajo o espacio cartesiano: se trata de posiciones expresadas en coordenadas cartesianas, tipo

(x,y,z), con respecto a un origen de referencia situado en (0,0,0) que suele ser la base del manipulador.


en el espacio de trabajo, esto implica obtener las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas en


movimiento en el espacio de trabajo, pero las acciones de control se aplican en el espacio cartesiano. Para

este caso llegaremos a un posición deseada para la corredera.

Para nuestro mecanismo definiremos una “X deseada” (qd) igual a 1.


𝑀 = 𝜆 ∗ 𝑡𝑎𝑛ℎ−1(𝛾 ∗ 𝑠)

Donde:

𝑠 = 𝑑𝑒 + 𝛼 ∗ 𝑒

e: error



𝜆 = 150

𝛾 = 1

𝛼 = 12



Comparaciones:

Zoom:

XII.2.3.2 Posición Cartesiano Seguimiento de Trayectoria

La capacidad para desplazarse de forma autónoma le permite a un robot móvil desarrollar de manera

eficiente a un robot móvil desarrollar de manera eficiente diferentes tareas. Debido a esta autonomía es

deseable utilizar una red de comunicación entre el sistema de control y los sensores de un mecanismo.


𝑀 = 𝜆 ∗ 𝑡𝑎𝑛ℎ−1(𝛾 ∗ 𝑠)

Donde:

𝑠 = 𝑑𝑒 + 𝛼 ∗ 𝑒

e: error



𝜆 = 50

𝛾 = 15

𝛼 = 2



Comparaciones:

Zoom:

XIII. REACCIONES

Ecuaciones de cada uno de los eslabones del mecanismo.

XIII.1 Eslabón 2

∑𝐹(2)𝑥 = 𝐹12𝑥 + 𝐹32𝑥 = 𝑚2𝑎𝐶𝐺2𝑥

∑𝐹(2)𝑦 = 𝐹12𝑦 + 𝐹32𝑦 + 𝐺2 = 𝑚2𝑎𝐶𝐺2𝑦

∑𝑀(2) = 𝑟12𝑥𝐹12𝑦 − 𝑟12𝑦𝐹12𝑥 + 𝑟32𝑥𝐹32𝑦 − 𝑟32𝑦𝐹32𝑥 + 𝑇12 = 𝐼𝐶𝐺2�̈�

XIII.2 Eslabón 3

∑𝐹(3)𝑥 = 𝐹23𝑥 + 𝐹43𝑥 = 𝑚3𝑎𝐶𝐺3𝑥

∑𝐹(3)𝑦 = 𝐹23𝑦 + 𝐹43𝑦 + 𝐺3 = 𝑚3𝑎𝐶𝐺3𝑦

∑𝑀(3) = 𝑟23𝑥𝐹23𝑦 − 𝑟23𝑦𝐹23𝑥 + 𝑟43𝑥𝐹43𝑦 − 𝑟43𝑦𝐹43𝑥 = 𝐼𝐶𝐺3𝜃2̈

𝜃2̈ = �̈�𝐾𝜃2 + �̇�2𝐿𝜃2

XIII.3 Eslabón 4

∑𝐹(4)𝑥 = 𝐹34𝑥 + 𝐹54𝑥 + 𝐹14𝑥 = 𝑚4𝑎𝐶𝐺4𝑥

∑𝐹(4)𝑦 = 𝐹34𝑦 + 𝐹54𝑦 + 𝐹14𝑦 + 𝐺4 = 𝑚4𝑎𝐶𝐺4𝑦

∑𝑀(4) = 𝑟34𝑥𝐹34𝑦 − 𝑟34𝑦𝐹34𝑥 + 𝑟54𝑥𝐹54𝑦 − 𝑟54𝑦𝐹54𝑥 + 𝑟14𝑥𝐹14𝑦 − 𝑟14𝑦𝐹14𝑥 = 𝐼𝐶𝐺4𝜃3̈

𝜃3̈ = �̈�𝐾𝜃3 + �̇�2𝐿𝜃3

XIII.4 Eslabón 5

∑𝐹(5)𝑥 = 𝐹45𝑥 + 𝐹65𝑥 = 𝑚5𝑎𝐶𝐺5𝑥

∑𝐹(5)𝑦 = 𝐹45𝑦 + 𝐹65𝑦 + 𝐺5 = 𝑚5𝑎𝐶𝐺5𝑦

∑𝑀(5) = 𝑟45𝑥𝐹45𝑦 − 𝑟45𝑦𝐹45𝑥 + 𝑟65𝑥𝐹65𝑦 − 𝑟65𝑦𝐹65𝑥 = 𝐼𝐶𝐺5𝜃4̈

𝜃4̈ = �̈�𝐾𝜃4 + �̇�2𝐿𝜃4

XIII.5 Eslabón 6

∑𝐹(6)𝑥 = 𝐹56𝑥 + 𝐹𝑠 = 𝑚6𝑎𝐶𝐺6𝑥

∑𝐹(6)𝑦 = 𝐹56𝑦 + 𝐺6 = 𝑚6𝑎𝐶𝐺6𝑦

∑𝑀(6) = 𝑟56𝑥𝐹56𝑦 − 𝑟56𝑦𝐹56𝑥 − 𝑟𝐹𝑦𝐹𝑆𝑥 = 𝐼𝐶𝐺6𝜃4̈

XIII.6 Comparaciones

análisis y síntesis de un mecanismo

Documents