República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

I.U.P “Santiago Mariño”

Extensión –Porlamar

Análisis Vectorial

Elaborado Por:

Manuel Brito C.I: 23.592.415

Profesor: Emilio Escalante

21-01-2017

1. Analizar el concepto de Vectores

Análisis vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.

Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

Ejempl o s:

a) Dados los vectores: a = 3i – 2j, b = - 4i + j. calcular: a) El vector suma y su módulo, b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX. c) El vector c = 2a - 3b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c.

Ejemplo 2:

Dados tres puntos no alineados del espacio, calcular el vector unitario perpendicular al plano formado por los puntos. Obtener también la ecuación el plano que contiene a los tres puntos.

Consideremos tres puntos a,b y c, de coordenadas respectivas:

a=(x1,x2,x3);b=(y1,y2,y3);c=(z1,z2,z3)

Tomando el punto a fijo, podemos considerar dos segmentos orientados:

ab→ac→==(y1−x1,y2−x2,y3−x3)(z1−x1,z2−x2,z3−x3)

Considerando estos dos segmentos como vectores podemos desarrollar su producto vectorial con lo que obtenemos un vector perpendicular al plano formado por dichos vectores.

Si dividimos la expresión obtenida por su módulo, obtenemos el valor del vector unitario en dicha dirección:

û=ab→∧ac→∣∣ab→∧ac→∣∣Para obtener la ecuación del plano, recordamos que todo vector del mismo se puede expresar como combinación lineal de dos vectores que no sean linealmente dependientes,

Vectores coplanarios es decir:

ap−→=λ⋅ab→+μ⋅ac→

Siendo p un punto genérico del plano y λ y μ dos parámetros escalares.

La ecuación del plano también se puede obtener teniendo en cuenta que el producto mixto de tres vectores coplanarios es nulo. De esa forma, desarrollando el determinante:

∣∣∣∣p1−x1y1−x1z1−x1p2−x2y2−x2z2−x2p3−x3y3−x3z3−x3∣∣∣∣Obtenemos la ecuación del plano considerado.

2. Suma, Resta, Multiplicación por Escalares de Vectores:

Suma de matrices: Proceso de combinar dos o más matrices en una matriz equivalente, representado por el símbolo +.

La suma de matrices sólo se puede efectuar entre matrices con la misma dimensión, es decir, las que tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas. La matriz resultante tiene las mismas dimensiones, cada uno de cuyos elementos es la suma aritmética de los elementos en las posiciones correspondientes en las matrices originales.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto:

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa: A + B = B + A

Resta de matrices: Suma-Resta de matrices. S=A+B Sumamos cada elemento de A con el que ocupa la misma posición en B. S=A-B Restamos cada elemento de A con el que ocupa la misma posición en B

Multiplicación de matrices: En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas determinadas reglas.

Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad

Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:

Propiedades de la multiplicación de matrices

Asociativa:

A • (B • C) = (A • B) •

Elemento neutro: A • I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa:

A • B ≠ B • A

Distributiva del producto respecto de la suma: A • (B + C) = A • B + A • C

3.Sistema de Coordenada Rectangulares: Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una función, en geometría analítica , o del movimiento o posición en física, caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien lo utilizó de manera formal por primera vez.

Si el sistema en sí es un sistema bidimensional, se denomina plano cartesiano. El punto de corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números enteros de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le asignan los números enteros de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de cuadrantes:

Primer cuadrante "I": Región superior derecha Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda

circunferencia.

Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha

El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano. En la gráfica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordenadas. El conjunto (2 , 3) se denomina "par ordenado" y del mismo modo se pueden ubicar otros puntos.

Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.

4. Que son Vectores Unitarios: Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean

los vectores i, j y k: Vectores unitarios para los ejes cartesianos: La orientación de estos tres ejes cartesianos puede cambiarse, siempre y cuando su orientación

relativa sea la misma.

Ejemplos:

a→=3⋅i→+ 4⋅j→a) Calcula 2⋅a→

b) Calcula el vector unitario de a→ , u→a

Solucion:

Para calcular el vector unitario del vector a, en primer lugar calcularemos el módulo del vector

∣∣a→∣∣ = ∣∣32+42−−−−−−√∣∣=∣∣25−−√∣∣ = 5

A continuación, teniendo en cuenta la definición de vector unitario

ua−→= (ax/a) ⋅ ux−→+(ay/a) ⋅ uy→

Sustituimos los valores que ya conocemos

ua−→= (3/5) ⋅ i→+(4/5) ⋅ j→5.Campo Vectorial: En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano.

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.

Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.

6. Que es el Producto Punto: En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una aplicación cuyo dominio es V 2 y su codominio es K, donde V es un espacio

vectorial y K el conjunto de los escalares respectivo

7. Que es Producto Vectorial Cruz: En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio

tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad

de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada

con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.