análisis vectorial

22-03-2016

1

“Electromagnetismo”

Dr. Ing. Ariel Leiva López

1er Semestre, 2016.

Valparaíso, Chile

Grupo de Telecomunicaciones

Escuela de Ingeniería Eléctrica

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Valparaíso, Chile

Ingeniería Civil Electrónica e Ingeniería Civil Eléctrica

Escuela de Ingeniería Eléctrica - PUCV

1

2

Agradecimientos

“Electromagnetismo” por Dr. Ing. Ariel Leiva L., 1er Semestre, 2016. Valparaíso, Chile

Dr. Francisco Pizarro T.por facilitar archivos .ppt de los distintos módulos.

Raimundo Villarroel V.Por facilitar apuntes de clases.

22-03-2016

2

3

Vectores

Producto punto

Producto Cruz

Campos vectoriales

Integrales de línea

Integrales de superficie

Análisis Vectorial


Gradiente

Divergencia

Rotacional

4

Análisis Vectorial


Origen

Extremo

𝐴

Tipos de representación:

• Coordenadas cartesianas.

• Coordenadas esféricas.

• Coordenadas cilíndricas.

Vectores:

22-03-2016

3

5

Análisis Vectorial


Vectores: Coordenadas cartesianas.

6

Análisis Vectorial


𝐴

𝑥𝑦

𝑧 𝐴 = 𝐴𝑥𝑖𝑥 + 𝐴𝑦𝑖𝑦 + 𝐴𝑧𝑖𝑧

Vector unitario

𝑖𝑥 =𝐴𝑥

𝐴𝑥

𝑖𝑦 =𝐴𝑦

𝐴𝑦

𝑖𝑧 =𝐴𝑧

𝐴𝑧

𝐴 = 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦

2 + 𝐴𝑧2


22-03-2016

4

7

Análisis Vectorial


𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑖𝑦 + (𝐴𝑧+𝐵𝑧)𝑖𝑧Suma de vectores

𝐴 = 𝐴𝑥𝑖𝑥 + 𝐴𝑦𝑖𝑦 + 𝐴𝑧𝑖𝑧

𝐵 = 𝐵𝑥𝑖𝑥 + 𝐵𝑦𝑖𝑦 + 𝐵𝑧𝑖𝑧Vectores: Coordenadas cartesianas.

8

Análisis Vectorial


Vector de posición:

𝑖𝑥

𝑖𝑦

Determine en función de los otros 2 vectores.


22-03-2016

5

9

Análisis Vectorial


𝐴 = 𝐴𝑥𝑖𝑥 + 𝐴𝑦𝑖𝑦 + 𝐴𝑧𝑖𝑧 𝐴 = 𝐴𝑟𝑖𝑟 + 𝐴𝜃𝑖𝜃 + 𝐴𝜙𝑖𝜙

𝜃

𝜙

𝜃𝜃

𝑟 cos𝜙

𝜙

𝑟 sin 𝜃 sin𝜙

Vectores: Cambio de sistemas de coordenadas.

10

Análisis Vectorial


Tarea sugerida:

¿Cómo represento los vectores unitarios en

coordenadas esféricas?

¿Cómo transformo un punto de sistemas de

coordenadas a otro?Cartesiano a cilíndrico y esférico

Cilíndrico a rectangular

Esférico a rectangular

Vectores: Cambio de sistemas de coordenadas.

22-03-2016

6

11

Vectores

Producto punto

Producto Cruz

Campos vectoriales



Análisis Vectorial


Gradiente

Divergencia

Rotacional

12

Análisis Vectorial


Operaciones vectoriales: Producto punto.

• Llamado también producto escalar: 𝐴 ⋅ B

• Si conocemos los componentes 𝑥, 𝑦, 𝑧 de los vectores (DEMUESTRE)

• Si conocemos el ángulo entre los dos vectores

– Da un resultado escalar

– Es conmutativa y distributiva

– ¿Qué pasa si los vectores son perpendiculares?

– ¿Qué pasa si multiplico el vector por un componente unitario?

𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧

𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 𝜃

𝜃

Proyección de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵: 𝐴 cos𝜃

Proyección multiplicada por 𝐵: 𝐴 𝐵 cos𝜃

22-03-2016

7

13

Análisis Vectorial


Ejercicios simples:

𝐴 ⋅ 𝑖𝑥 =

𝐴 ⋅ 𝑖𝑦 =

𝐴 ⋅ 𝑖𝑧 =

𝑖𝑥 ⋅ 𝑖𝑧 =

𝑖𝑥 ⋅ 𝐴 =

14

Vectores

Producto punto

Producto Cruz

Campos vectoriales



Análisis Vectorial


Gradiente

Divergencia

Rotacional

22-03-2016

8

15

Análisis Vectorial


• Llamado también producto vectorial: 𝐴 × B– Entrega un vector C de magnitud 𝐶 = 𝐴 𝐵 sin𝜃

– Dirección perpendicular a 𝐴 y 𝐵

– Geométricamente: magnitud de C es el área formada por los vectores 𝐴 y 𝐵

– Tiene sentido de avance como un tornillo girado por la mano derecha (rotando 𝐴 en 𝐵)

• No es conmutativa

Operaciones vectoriales: Producto cruz.

𝐴 × 𝐵 = 𝑖𝑥 𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦 + 𝑖𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧 + 𝑖𝑧(𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥)

𝐵

𝐴

𝜃Área |C|

𝐶 = 𝐴 × B

𝐴 × 𝐵 =

𝑖𝑥 𝑖𝑦 𝑖𝑧𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

16

Análisis Vectorial


Ejercicios simples:

𝐴 × 𝑖𝑥=

𝐴 × 𝑖𝑦 =

𝐴 × 𝑖𝑧 =

𝑖𝑥 × 𝑖𝑧 =

𝑖𝑥 × 𝐴 =

𝐴 = 2𝑖𝑧

𝑖𝑦 × 𝑖𝑥 =

22-03-2016

9

17

Análisis Vectorial


Ejercicios simples (propuesto en clases):

18

Vectores

Producto punto

Producto Cruz

Campos vectoriales



Análisis Vectorial


Gradiente

Divergencia

Rotacional

22-03-2016

10

19

Análisis Vectorial


Campos escalares:

En 3D o 2D puede representarse como o , resp.𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐴(𝑥, 𝑦)(coordenadas cartesianas)

20

Análisis Vectorial


Campos vectoriales:

En 3D o 2D puede representarse como o , resp. 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐴(𝑥, 𝑦)(coordenadas cartesianas)

22-03-2016

11

21

Vectores

Producto punto

Producto Cruz

Campos vectoriales



Análisis Vectorial


Gradiente

Divergencia

Rotacional

22

Análisis Vectorial


Integrales de línea:

• Dos puntos: 𝑝 y 𝑝’ separados por una distancia muy pequeña (infinitesimal)

𝑑 𝑙

– Diferencial de longitud vectorial:

𝑑 𝑙 = 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑𝑦 𝑦 + 𝑑𝑧 𝑧

𝑝

𝑝′𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑥

𝑦

𝑧

𝑑 𝑙

22-03-2016

12

23

Análisis Vectorial



– Supongamos:

• Movimiento a lo largo de una trayectoria curva del punto 𝑃1 a 𝑃2

en un campo de fuerza radial 𝐹

• La fuerza 𝐹 actúa sobre un objeto en la dirección radial 𝑟

• Se realiza un producto punto en cada desplazamiento

infinitesimal:

𝐹 ∙ 𝑑𝑙

24

Análisis Vectorial



𝑃1

𝑃2

𝑃

𝐹

𝐹

𝐹𝜃

Trayectoria del elemento

⊥ respecto a 𝐹

Trayectoria del elemento

∥ respecto a 𝐹

𝑟𝑑𝐿

𝑟1

𝑟2

𝐹 cos 𝜃 𝑑𝐿 = 𝐹𝐿𝑑𝐿

Componente 𝐹 en dirección

trayectoria

cos 𝜃 𝑑𝐿 = 𝑑𝑟

𝐹 ⋅ 𝑑𝐿 cos 𝜃 𝑑𝐿 = 𝐹𝐿𝑑𝐿 = 𝐹𝑑𝑟

Longitud diferencial del vector

𝜃

𝑑𝐿

𝐹

𝐹𝐿

𝜃 𝑑𝑟

𝑑𝐿

22-03-2016

13

25

Análisis Vectorial



– Producto 𝐹 y 𝑑𝑟: diferencial de trabajo 𝑑𝑊 producida por la fuerza 𝐹requerida para mover un objeto una distancia cos 𝜃𝑑L = 𝑑𝑟

– Descomponiendo trayectoria : segmentos paralelos y perpendiculares

• Paralelos: hay trabajo

• Perpendiculares: ningún trabajo

𝑑𝑊 = 𝐹 ⋅ 𝑑𝐿 = 𝐹 cos 𝜃 𝑑𝐿

𝑊 = 𝑃1

𝑃2

𝐹 ⋅ 𝑑𝐿

Integral de línea

𝑊 = 𝑟1

𝑟2

𝐹 cos 𝜃 𝑑𝐿 = 𝑟1

𝑟2

𝐹𝑑𝑟

26

Análisis Vectorial



• Ejemplos campo lineal y radial (grupos 4-5 personas)

– Campo lineal: Un campo de fuerza 𝐹 se encuentra en la dirección 𝑥 y se

incrementa linealmente con la distancia 𝑥. Así 𝐹 = 𝑥x. Encuentre el trabajo

realizado por la fuerza 𝐹 al mover un objeto desde un punto 𝑥 = 1 a un

punto 𝑥 = 2

– Solución:

𝐹 ⋅ dL = 𝑥𝑑𝑥 𝑊 = 𝐹 ⋅ dL = 1

2

𝑥𝑑𝑥 =3

2(𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠)

22-03-2016

14

27

Análisis Vectorial



27

– Campo radial: Una fuerza radial 𝐹 disminuye con la distancia como

se muestra en la ecuación 𝐹 = 𝑟𝑟−2 . Esta disminución varía de

manera inversa al cuadrado de una distancia radial y es la misma

que la del campo eléctrico 𝐸 alrededor de un punto de carga 𝑞.

Encuentre el trabajo realizado en el movimiento de un punto

𝑟 = 2 a un punto 𝑟 = 2 2 por una trayectoria directa (radial) y una

siguiendo las siguientes coordenadas rectangulares:

𝑥, 𝑦 = 1,1 → 𝑥, 𝑦 = 2,1 → 𝑥, 𝑦 = 2,2

28

Análisis Vectorial



1

1

2

2

y

x

1,1 2,1

2,2

𝑟 = 2

𝑟 = 2 2

𝐹 ⋅ dL = 𝑟−2𝑑r

𝑊 = 𝐹 ⋅ dL = 2

2 2

𝑟−2𝑑r =1

2 2(𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠)

Solución 1

22-03-2016

15

29

Análisis Vectorial



– Ejercicio propuesto

30

Vectores

Producto punto

Producto Cruz

Campos vectoriales



Análisis Vectorial


Gradiente

Divergencia

Rotacional

22-03-2016

16

31

Análisis Vectorial


Integrales de superficie:

– Diferencial de superficie:

• Escalar:𝑑𝑆𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑧 ; 𝑑𝑆𝑦 = 𝑑𝑥𝑑𝑧 ; 𝑑𝑆𝑧 = 𝑑𝑥𝑑𝑦

• Vectorial: 𝑑 𝑆𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥 ; 𝑑 𝑆𝑦 = 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑦; 𝑑 𝑆𝑧 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑆𝑧

𝑑 𝑆𝑧

32

Análisis Vectorial


Integrales de superficie:• Supongamos:

– Fluye agua a una razón uniforme de 𝐵 (𝑙 𝑚𝑖𝑛−1 𝑚−2) a través de una espira cuadrada de área 𝐴.

• Flujo de agua a través de la espira depende de tres cosas:

– 𝐵 (razón y dirección del flujo)

– Área 𝐴 de la espira

– Ángulo de la espira respecto a 𝐵

• Si área es vector (magnitud 𝐴 , dirección ⊥ a su superficie): flujo 𝜓 del agua se puede expresar

como producto escalar

32

𝜓 = 𝐵𝐴 cos 𝜃 = 𝐵 ∙ 𝐴 𝑙/𝑚𝑖𝑛 𝐴 = 𝑛𝐴

Vector unitario perpendicular a la espira de superficie𝜃

𝑛

𝐴

Flujo uniforme

𝐵

𝜓 = 𝐵 ⋅ 𝑛𝐴

22-03-2016

17

33

Análisis Vectorial



• Supongamos:

– Fluye agua a una razón uniforme de 𝐵 (𝑙 𝑚𝑖𝑛−1 𝑚−2) a través de una espira cuadrada de área 𝐴.

• Flujo de agua a través de la espira depende de tres cosas:

– 𝐵 (razón y dirección del flujo)

– Área 𝐴 de la espira

– Ángulo de la espira respecto a 𝐵

• Si el flujo no es uniforme (𝐵 función de la posición):

– Calcular flujo incremental 𝑑𝜓 en una superficie 𝑑𝑆

– Si se suman las contribuciones de todos los puntos

𝑑𝜓 = 𝐵 ⋅ 𝑛𝑑𝑠 = 𝐵 ⋅ 𝑑 𝑠

𝜓 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐴

𝐵 ⋅ 𝑛𝑑𝑠 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐴

𝐵 ⋅ 𝑑 𝑠

Integral de superficie

𝜃 𝑛

𝐴

Flujo no uniforme

𝐵

𝑑𝜓 = 𝐵 ⋅ 𝑛𝑑𝑠

𝑑𝑆

34

Análisis Vectorial



– El agua fluyendo en dirección 𝑥 tiene una velocidad de flujo dada como

función 𝐵𝑥 = 3 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑛−1 𝑚−2. Encuentre el flujo total de agua a través

del área rectangular con coordenadas en las esquinas

(0,0,0), (0,3,0), (0,0,2), (0,3,2) m

Superficie𝑑𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑧

Superficie total (3 × 2)𝑚2

𝑑𝑧

𝑑𝑦 𝑦

𝑥

𝑧

(0,0,0) (0,3,0)

(0,0,2) (0,3,2)

Salida 𝐵 de flujo

22-03-2016

18

35

Análisis Vectorial



– El agua fluyendo en dirección 𝑥 tiene una velocidad de flujo dada como

función 𝐵𝑥 = 3𝑦𝑧 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑛−1 𝑚−2. Encuentre el flujo total de agua a través

del área rectangular con coordenadas en las esquinas

(0,0,0), (0,3,0), (0,0,2), (0,3,2) m



𝑑𝑧

𝑑𝑦 𝑦

𝑥

𝑧

(0,0,0) (0,3,0)

(0,0,2) (0,3,2)


36

Análisis Vectorial





𝑑𝑧

𝑑𝑦 𝑦

𝑥

𝑧

(0,0,0) (0,3,0)

(0,0,2) (0,3,2)


– Solución: La velocidad de flujo 𝐵𝑥 =3𝑦𝑧 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑛−1 𝑚−2 indica que la

velocidad del flujo es cero en el origen y

tiene un máximo en 0,3,2 .

– Integrando respecto a 𝑦 (𝑧 constante), se

obtiene el flujo a través de la banda de

área igual a 3 m (en la dirección 𝑦) por un

ancho 𝑑𝑧. Luego se integra con respecto

a 𝑧 y se suma el flujo a través de todas

las bandas 𝑑𝑧 desde 𝑧 = 0 hasta 𝑧 = 2

𝜓 = 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒

𝐵 ⋅ 𝑑 𝑠 = 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒

𝐵𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝜓 = 3

𝑧=0

𝑧=2

𝑦=0

𝑦=3

𝑦𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 = 27 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑛−1

22-03-2016

19

37

Vectores

Producto punto

Producto Cruz

Campos vectoriales



Análisis Vectorial


Gradiente

Divergencia

Rotacional

38

Análisis Vectorial


Gradiente:

• Conocer el comportamiento de un campo escalar

– Ejemplo: función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) alrededor de un punto 𝑝

Podemos describir 𝑑𝑓 de la siguiente forma:

𝑝

𝑝′𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑥

𝑦

𝑧

𝑑 𝑙

𝑑𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝑓

𝜕𝑧𝑑𝑧

Cambio que experimenta la función 𝑓alrededor de 𝑝 (a un punto cercano 𝑝’)

𝑑𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥 𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦 𝑦 +

𝜕𝑓

𝜕𝑧 𝑧 ⋅ 𝑑 𝑙

𝛻𝑓 : gradiente de f

Operador nabla

22-03-2016

20

39

Análisis Vectorial


Gradiente:

• Punto 𝑝 con distintos 𝑝’ a la misma distancia 𝑑 𝑙

– Al ir cambiando la posición de 𝑝’: sólo cambia el sentido de 𝑑 𝑙

– El valor de 𝑑𝑓 sólo cambiará debido a los cambios del valor

del cos(𝜃)

• 𝜃 = 90º: 𝑑𝑓 es cero

– La función 𝑓 no tiene cambio de valor en torno al punto 𝑝 en

la dirección del vector

• 𝜃 = 0º: 𝑑𝑓 máximo

– Tiene el mismo sentido que el vector gradiente. La función f

tiene el máximo cambio en torno al punto 𝑝

– 𝜃 = 180º: sentido mayor cambio descendente

• Sentido del vector gradiente de una función escalar en un

punto p cualquiera es aquel sentido en el que la función

escalar tiene un mayor cambio ascendente en torno a 𝑝’

𝜃𝑑 𝑙

𝑝

𝑝1′

𝑝2′

𝑝3′

𝑝4′

𝛻𝑓

40

Análisis Vectorial


Gradiente:• Si 𝜃 = 90º : cambio es nulo.

• 𝛻𝑓 se orienta a 90 º de las líneas a lo largo de las cuales el valor de 𝑓 no cambia

• Líneas “iso” o “equi” de 𝑓 𝑓1

𝑓2

𝑓3

𝑓4

𝛻𝑓

Averiguar las expresiones delgradiente para otro tipo desistemas de coordenadas

22-03-2016

21

41

Análisis Vectorial


Ejercicio (propuesto en clases):

La temperatura de una sala está dado por la siguiente expresión:

𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4 ∙ 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑧

Si una mosca situada en (1,1,2) quiere volar en la dirección que pueda calentarse de la

manera más rápida. ¿En qué dirección debe volar?

42

Vectores

Producto punto

Producto Cruz

Campos vectoriales



Análisis Vectorial


Gradiente

Divergencia

Rotacional

22-03-2016

22

43

Análisis Vectorial


Divergencia

• Flujo función vectorial

– 𝐴: función vectorial

– Flujo 𝛷 que produce la función 𝐴 al atravesar

una superficie abierta 𝑆

– Si la superficie es cerrada:

– 𝐴 ⋅ 𝑑 𝑆 : aporte al flujo Φ que el vector 𝐴produce al atravesar cada punto de la

superficie 𝑆.

• Puede ser positivo o negativo dependiendo del

valor del ángulo 𝜃 entre los vectores

• 0<θ<90º : aporte es positivo (se suma flujo).

Flujo está saliendo de la superficie 𝑆.

• 90º<θ<180º:l aporte es negativo (se resta flujo).

Flujo está entrando a la superficie 𝑆.

𝜙 = 𝑆

𝐴 ⋅ 𝑑 𝑆

𝜙 = 𝑆

𝐴 ⋅ 𝑑 𝑆

44

Análisis Vectorial


Divergencia

• Flujo función vectorial

– Bajo algunas condiciones es posible que, en una superficie cerrada, el flujo total

neto sea cero

– Si saliese más flujo del que entra: fuentes

– Saliese menos flujo del que entra: sumidero

• Divergente: flujo del campo desde un punto hacia otro

– 𝛻 ⋅ 𝐴 = 𝑖𝜕

𝜕𝑥+ 𝑗

𝜕

𝜕𝑦+ 𝑘

𝜕

𝜕𝑧⋅ 𝑖𝐴𝑥 + 𝑗𝐴𝑦 + 𝑘𝐴𝑧

– 𝛻 ⋅ 𝐴 =𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑧= lim∆𝑣→0

𝑆 𝐴∙𝑑 𝑠

∆𝑣

• Cambio de la componente x del vector 𝐴 sobre el eje x…

• Unidad escalar (magnitud pero no dirección)

22-03-2016

23

45

Análisis Vectorial


Ejercicio (propuesto en clases):

46

Vectores

Producto punto

Producto Cruz

Campos vectoriales



Análisis Vectorial


Gradiente

Divergencia

Rotacional

22-03-2016

24

47

Análisis Vectorial


Rotacional:

• Circulación: integral de línea cerrada de 𝐴 a lo largo de

un trayecto cerrado

• Rotacional (𝛻 ×): tendencia de un campo a circular

alrededor de un punto

– 𝛻 × 𝐴 =

𝑖 𝑗 𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

– 𝛻 × 𝐴 =𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑦−

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑧 𝑖 +

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑧−

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑥 𝑗 +

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑥−

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑦 𝑘

• Cada componente del rotacional de 𝐴 indica la tendencia del campo a

rotar en uno de los planos

• Dirección de rotación: eje donde la rotación es mayor

• Sentido de rotación: regla de la mano derecha

𝐶 = 𝐿

𝐴 ⋅ 𝑑 𝑙 = 𝑆

(∇ x 𝐴) ∙ 𝑑𝑠

𝛻 × 𝐴 = 𝑖𝜕

𝜕𝑥+ 𝑗

𝜕

𝜕𝑦+ 𝑘

𝜕

𝜕𝑧× 𝑖𝐴𝑥 + 𝑗𝐴𝑦 + 𝑘𝐴𝑧

48

Análisis Vectorial


Rotacional:

• Rotacional (𝛻 ×): tendencia de un campo a circular alrededor de un punto

– 𝛻 × 𝐴 =𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑦−

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑧 𝑖 +

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑧−

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑥 𝑗 +

𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑥−

𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑦 𝑘

• Cada componente del rotacional de 𝐴 indica la tendencia del campo a rotar en uno de

los planos

• Dirección de rotación: eje donde la rotación es mayor

• Sentido de rotación: regla de la mano derecha

análisis vectorial

Documents