analisis varianza
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Estudio del efecto de un factor con mltiples niveles
y de la combinacin de varios factores
Anlisis Univariante de la varianza
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EjemploEstamos estudiando los procesos memorsticos subyacentes a la emisin de un diagnstico mdico. Disponemos de un grupo de estudiantes de medicina que reciben una serie de compensaciones acadmicas por su colaboracin. Una vez asignados al azar a cada uno de los 4 grupos experimentales, se les pide que una vezvista la serie de casos que se les presentar, emitan un juicio sobre la probabilidad que el alimento concreto sea la causa de un malestar gstrico: Existen por tanto 4 situaciones (comida-malestar, comida-no malestar, otra comida-malestar y otra comida-no malestar.
25P(E/NC)= 0.25 P(E/C)=0.50C20P(E/NC)= 0.25 P(E/C)=0.25C1 (azar)
75P(E/NC)= 0.25 P(E/C)= 1.C450P(E/NC)= 0.25 P(E/C)= 0.75C3
Juicio esperadoFase de Exposicin (50 casos)Grupo
-
10101010N =
GRUPO
C4C3C2Azar
95%
IC R
ESU
L
30
20
10
0
-1,3
1,0
3,3
5,7
8,0
10,3
12,7
15,0
17,3
19,7
22,0
24,3
26,7
29,0
31,3
1086420
Desv. tp. = 6,08
Media = 14,5
N = 40,00
HiptesisNula
Hiptesis AlternativaRESUL
32,530,0
27,525,0
22,520,0
17,515,0
12,5
GRUPO: 0 Azar3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
0,0
Desv. tp. = 7,20 Media = 19,0
N = 10,00
RESUL
20,017,5
15,012,5
10,07,5
5,02,5
0,0-2,5
GRUPO: 2 C33,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
0,0
Desv. tp. = 5,79 Media = 11,3
N = 10,00
RESUL
16,014,012,010,08,06,04,0
GRUPO: 1 C23,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
0,0
Desv. tp. = 3,47 Media = 11,4
N = 10,00
RESUL
22,020,018,016,014,012,010,0
GRUPO: 3 C43,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
0,0
Desv. tp. = 3,94 Media = 16,2
N = 10,00
-
Grupo 1Grupo 2
Total Grupo 3
PROBLEMA DE LA IGUALDAD DE VARIANZAS
Los grupos necesitan tener varianzas iguales para poder distinguir entre la situacin representada por la hiptesis nula (mostrada aqu), donde las diferencias con respecto a la media global, que es nica, son debidas al azar (mucha varianza). Y la situacin representada a continuacin, donde al contrario, las diferencias se explican por la existencia de diversas medias pero con una varianza parecida.
-
1
23
Total Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 ...
PROBLEMA DE LA IGUALDAD DE VARIANZAS
-
PARTICIN DE LA VARIACIN TOTAL
Informe
RESUL
18,9549 10 7,1972811,4000 10 3,4705111,3000 10 5,7936716,2000 10 3,9384114,4637 40 6,08090
GRUPOAzarC2C3C4Total
Media N Desv. tp.
GRUPO
RES
UL
40
30
20
10
0
-10 C1 C2 C3 C4
DESVIACIN TOTAL =Efecto Grupo +Desv. No Explicada
-
)()()( jijTjTij yyyyyy +=
))((2)()()( 222 jijTjjijTjTij yyyyyyyyyy ++=
Desviacin total = desviacin explicada + desviacin no explicada
Para poder sumar las desviaciones, necesitamos elevar al cuadrado, as las desviaciones positivas y las negativas no se anulan:
PARTICIN DE LA VARIACIN TOTAL
-
Luego hacemos el sumatorio del conjunto de N = c x n sujetos:
= == == == =
++=c
j
n
ijijTj
c
j
n
ijij
c
j
n
iTj
c
j
n
iTij yyyyyyyyyy
1 11 1
2
1 1
2
1 1
2 ))((2)()()(
Siendo el tercer trmino 0, finalmente obtenemos:
cNSC
cSC
NSC
yyyynyy
residualGruposTotal
c
j
n
ijij
c
jTj
c
j
n
iTij
+
=
+= = === =
11
)()()(1 1
2
1
2
1 1
2
-
ANOVA DE UN FACTOR
GrupoTotalsidual SCSCSC =Re
Fuente de variacin
Sumas de cuadrados Gradosde
libertad
VarianciasCM
F
Entregrupos
Total
=
=
c
jTjGrupo yynSC
1
2)(
= =
=
c
j
n
iTijTotal yySC
1 1
2)(
Grup
Grup
GLSC
sidual
sidual
GLSC
Re
Re
Total
Total
GLSC
1c
cN
1N
sidual
Grupo
CMCM
Re
Residual
-
Anlisis Varianza del Ejemplo
Prueba de homogeneidad de varianzas
RESUL
2,744 3 36 ,057
Estadsticode Levene gl1 gl2 Sig.
ANOVA
RESUL
425,807 3 141,936 5,028 ,0051016,308 36 28,2311442,115 39
Inter-gruposIntra-gruposTotal
Suma decuadrados gl
Mediacuadrtica F Sig.
Pruebas robustas de igualdad de las medias
RESUL
4,825 3 19,409 ,0115,028 3 27,353 ,007
WelchBrown-Forsythe
Estadsticoa gl1 gl2 Sig.
Distribuidos en F asintticamente.a.
Pasos
1
2a
2b
GRUPO
C4C3C2Azar
Med
ia d
e R
ES
UL
20
18
16
14
12
10
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Anlisis Varianza del EjemploPaso 3 Aceptamos la Hiptesis Alternativa, Cul es la conclusin?Quin es distinto de quin?Son distintos C2 C3 y C4 en promedio del grupo Azar?Es distinto C4 de C2 y C3 juntos?
TENEMOS 2 OPCIONES PARA CONTESTAR:
CONTRASTESMediante las opciones POLINOMICO y COEFICINETES se puede dividir las sumas de cuadrados inter-grupos en componentes de tendencia o especificar contrastes a priori.
POST-HOCLas pruebas de rango post hoc y las comparaciones mltiples por parejas permiten determinar qu medias difieren. Las pruebas de rango identifican subconjuntos homogneos de medias que no se diferencian entre s. Las comparaciones mltiples por parejas contrastan la diferencia entre cada pareja de medias y dan lugar a una matriz donde los asteriscos indican las medias de grupo significativamente diferentes a un nivel alfa de 0,05.
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Comparaciones mltiples
Variable dependiente: RESULScheff
7,55* 2,376 ,029 ,59 14,527,65* 2,376 ,026 ,69 14,622,75 2,376 ,720 -4,21 9,72
-7,55* 2,376 ,029 -14,52 -,59,10 2,376 1,000 -6,87 7,07
-4,80 2,376 ,270 -11,77 2,17-7,65* 2,376 ,026 -14,62 -,69
-,10 2,376 1,000 -7,07 6,87-4,90 2,376 ,254 -11,87 2,07-2,75 2,376 ,720 -9,72 4,214,80 2,376 ,270 -2,17 11,774,90 2,376 ,254 -2,07 11,87
(J) GRUPOC2C3C4AzarC3C4AzarC2C4AzarC2C3
(I) GRUPOAzar
C2
C3
C4
Diferencia demedias (I-J) Error tpico Sig. Lmite inferior
Lmitesuperior
Intervalo de confianza al95%
La diferencia entre las medias es significativa al nivel .05.*.
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Mediante comparaciones mltiples no podemos contestar este tipo de cuestiones:
Son distintos C2 C3 y C4 en promedio del grupo Azar?
Coeficientes de los contrastes
0 -,5 -,5 1Contraste1
Azar C2 C3 C4GRUPO
Pruebas para los contrastes
4,85 2,058 2,357 36 ,024
4,85 1,641 2,956 20,367 ,008
Contraste1
1
Asumiendo igualdadde varianzasNo asumiendoi ld d d i
RESUL
Valor delcontraste Error tpico t gl Sig. (bilateral)
Coeficientes de los contrastes
-1 ,33 ,33 ,33Contraste1
Azar C2 C3 C4GRUPO
Pruebas para los contrastes
-6,12a
1,935 -3,161 36 ,003
-6,12a 2,418 -2,530 11,385 ,027
Contraste1
1
Asumiendo igualdadde varianzasNo asumiendoi ld d d i
RESUL
Valor delcontraste Error tpico t gl Sig. (bilateral)
La suma de los coeficientes del contraste no es cero.a.
Es distinto C4 de C2 y C3 juntos?