varianza de estimación

GEOSTADSTICA

CAPTULO 4

Varianza de Estimacin

Ing. Luis E. Vargas R.

2013

VARIANZA DE ESTIMACIN

CAPTULO 4

Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas

4.1 El error de estimacin y su distribucin

Todo proceso de estimacin implica un error de estimacin, por el simple hecho que la cantidad a estimar z, difiere en general de su estimador z*.

Si la ley de un bloque de mineralizacin (zv(xi)) se evala por la ley promedio de su sondaje central (z(xi)), se comete un error:

r(xi) = zv(xi) - z(xi)


En la figura adjunta, la V.R. z(x) as interpretada es una realizacin particular de la F.A. Z(x) , el error r(xi) aparece como una realizacin particular de una cierta F.A. R(xi ) = Zv(xi ) - Z(xi),en el punto xi.


Vi

xi

x

Ley del sondaje z(x)

Ley del boque zv(x)

2

95% probabilidad

a b

Si esta configuracin de estimacin se repite en cada uno de los bloques V(xi) que constituyen el yacimiento, si ste es de mineralizacin homognea, la F.A. Z(x) puede considerarse estacionaria as como la funcin R(x), por tanto dos errores particulares r(xi) y r(xi) podran considerarse como dos realizaciones diferentes de la misma F.A. R(x). Esta estacionariedad permite entonces:

i) Inferir el patrn de distribucin de R(x) sobre una zona de control V(xk), de la cual se dispone del histograma de los errores experimentales r(xk).


ii) Calcular la esperanza estacionaria mE = E(R(x)) y la varianza estacionaria 2=Var(R(x)) de este patrn de errores.


El error efectivo r(xi) = zv(xi) - z(xi), cometido en el bloque particular V(xi) si bien es desconocido, pero el conocimiento del patrn o ley estacionaria del error R(x) permitir precisar la calidad promedio de la estimacin realizada.

De esta manera se puede definir el intervalo [a , b] en la que se sita el 95% de los casos del error r(xi) cometido, (ver figura anterior).

Sea un volumen V definido por pequeos volmenes v ; donde i vara de 1 a n. Los vi pueden ser por ejemplo: testigos de un sondaje, canales de una galera, chips, etc.

Se conocen los valores zvi , deseamos estimar el valor de zv = z*:

4.2 Generalizacin de la estimacin de la ley


Sea V la unin de los vi n

V = U vi i =1


V

v

zv = 1/v z(x)dx = 1/v z(x)dx v i = 1

n

vi

zv = vi z(vi) v i = 1

n

Seleccionaremos para zv* (estimacin de zv), el valor:

zv* = zv = 1 vi z(vi) v i = 1

n

Esta estimacin no es nica, podemos definir otro tipo de estimacin, por ejemplo el Krigeaje.


zv* = i z(vi)

Donde los i son los coeficientes teniendo en cuenta

los volmenes y la posicin de los distintos vi .

Al estimar zv por zv* = zv cometemos el error:

e = zv* - zv

Para caracterizar e, diremos que el error es una realizacin de la variable aleatoria zv* - zv.

4.2.1. Error de estimacin


Como E(z(x)) = m


E(z(v) - z(v)) = E 1/v z(x)dx - 1/v z(x)dx v v

= 1/v E(z(x))dx - 1/v E(z(x))dx v v

E(z(v) - z(v)) = 1/v mdx - 1/v mdx v v

E(z(v) - z(v)) = 0

En tales condiciones, la estimacin de zv es sin sesgo.

La varianza de estimacin es por definicin:

4.2.2. Varianza de estimacin e intervalo de confianza


2E (v, V) = VAR(z(v) - z(V))

Si conocemos 2E (v, V) podemos determinar un intervalo de confianza (al 5% por ejemplo).

zv - 2E < zv < zv + 2E

Esto permite precisar la estimacin:


2E (v, V) = Var(z(v) - z(V)) = E(z(v)-z(V))2 [E(z(v) z(V))] 2

= 0

2E (v, V) = E(z(v) - z(V)) 2

Donde:

Observacin: Sabemos que,

(h) = 1/2E[z(x+h) - z(x)] 2 Luego, (h) es una varianza de estimacin.

En minera, las leyes o patrones de distribucin de errores son generalmente simtricos. Ellos presentan una moda ms pronunciada que el patrn normal con la misma esperanza matemtica y varianza , pero correlativamente manifiestan "picos" ms importantes que el patrn normal, ver figura adjunta.

Con relacin a la distribucin gaussiana el intervalo clsico [mE 2E] contiene aproximadamente el 95% de los errores observados, este intervalo, por tanto, es un buen estndar para caracterizar la calidad de una estimacin minera por geoestadstica.


El intervalo de confianza estndar [mE 2E], nos conduce bajo la hiptesis de no sesgo, al intervalo [z* 2E] para el valor real z a estimar.

Segn los valores de E y de su estimador z*, puede darse valores extremos aberrantes en este intervalo.

Por ejemplo sea z* = 0,5% Cu y E = 1 % Cu , obtenemos un extremo negativo z*-2 = -l,5% Cu para la ley verdadera z en cobre.

Observaciones:


Una solucin prctica consiste en definir la desviacin tpica relativa de estimacin:


E z*

, es decir la desviacin tpica con respecto a la ley media experimental.

N

z* = 1/N zi* de los N estimadores zi* disponibles. i = 1

Luego el intervalo de confianza al 95% del estimador zi* es:

zi zi* 2 zi* E z*


zi zi* 2 zi* E z*

Esta frmula no asegura la positividad del extremo

inferior. En el caso que > 0.5 correspondan a estima-

ciones con demasiado error es preferible abstenerse de calcular intervalos de confianza.

E z*

Ambas curvas presentan la misma media, pero modas distintas, el mayor valor de la moda la tiene la curva (patrn) experimental de los errores.


mE 2E

mE

Curva de la ley o patrn experimental de errores

Curva estndar gaussiana

4.3.1. Expresin Matemtica

4.3 Clculo de la varianza de estimacin


2E(v,V) = E(z(v) - z(V)) 2

= Var(z(v) - z(V)) = Var z(v) + Var z(V) 2Cov(z(v), z(V))

Donde: Cov(z(v), z(V)) =

vV 1 dx K(x-y)dx = K (v,V) v V


K (v,V) Es el valor promedio de la covarianza cuando "x" describe todo el volumen v e "y " el volumen V.

v

v

x

y Cov(z(v), z(V)) = K (v,V)

2E(v,V) = K (v,v) + K (V,V) 2 K (v,V)

2E(v,V) = 2(v,V) - (v,v) - (V,V)

2E(v,V) = 2(v,V) - (V,V) - (v,v)

En el caso particular en que los v sean puntos i. El valor

2E(v,V) se

denomina varianza de extensin.

4.4 Varianza de extensin


Conociendo los valores z(x1), ,z(xi), ...,z(xn) y estimando zv por z*v = (1/n) z(xi), y si v = {xi}, entonces:

i

V


(v,v)= n2 1 (xi-xj)

n n (V,V)=

V2 1 dx(x-y)dy

V V

(v,V)= nV 1 (xi-y)dy =

n V n

1 (xi-y)

n

Lo que vamos a tratar ms adelante es el error que se comete al extrapolar el valor de un sondaje, por ejemplo: en el centro del bloque al bloque en su conjunto. Hay varias maneras de realizar la extrapolacin: un punto flotando en una lnea a la lnea en su totalidad; un punto centrado en un bloque al bloque; un punto flotando en un bloque al bloque; cuatro sondajes en las esquinas del bloque, etc.

Un bloque de dimensiones de 100m x 150m va a ser evaluado, de acuerdo a los parmetros obtenidos por el variograma, de caractersticas:

a) Carcter istropo.

b) C0 = 0,15 ; C = 2,5.

c) a = 250m.

4.5 Ejemplo de determinacin de errores


Determinar los errores que se cometen considerando: 1) Punto flotante en el bloque: un punto ubicado en

cualquier posicin del bloque a evaluar: 2e = F(x,y); 2E = Co + C(

2e).

2) Punto en el centro de un bloque: sondaje ubicado en el centro del bloque: 2e = 2Q(x/2,y/2)-F(x,y) ; 2E = Co + C(

2e).

3) Cuatro puntos en los vrtices: sondajes ubicados en las esquinas del bloque:

2e = 2Q(x,y) - F(x,y) - 1/4 (x) + (y) + ((x2+y2))

2E = Co/4 + C(2

e). Geoestadstica - Ing. Luis E. Vargas

h = 100m ; l = 150m; a = 250m; Co = 0,15 ; C = 2,5

h/a = 100/250 = 0,4 l/a = 150/250 = 0,6

En el baco correspondiente:

2e = F(x,y) = 0,375; por lo tanto:

2E = Co + C(2

e)

= 0,15 + 2,5(0,375)

= 1,0875

Solucin 1:


varianza de estimación

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