Analisis Real II

Renato Benazic

December 6, 2009

Prefacio

Renato Benazic

Introduccion

Contenido

1 Diferenciabilidad de funciones de Rm en Rn 11.1 Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 El Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Funciones de clase Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 El Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Principio de diferenciabilidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Sucesiones y Series de Funciones 212.1 Sucesion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Convergencia Uniforme y Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Series de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 La Curva de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 La Funcion de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Funciones Definidas Implcitamente 343.1 Difeomorfismos Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 El Teorema de la Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Inmersiones y Sumersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 El Teorema del Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Introduccion a la Teora de Superficies en Rn 504.1 Definicion de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Cambios de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 El Espacio Tangente a una Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4 Superficies Definidas Implcitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Integrales Multiples 66

3

5.1 La Definicion de Integral sobre m-bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 Propiedades Basicas de la Integral sobre m-Bloques Compactos . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Conjuntos de Medida Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4 Caracterizacion de las Funciones Riemann Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5 Integracion Iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.6 Integrales sobre Conjuntos J-medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.7 Particiones de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.8 Integrales sobre conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.9 Cambio de Variables en la Integral Multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6 Formas Diferenciables en Rm 1096.1 Preliminares Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2 Formas Alternadas y Producto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Algebras de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4 Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.5 Pull-back de Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.6 La Diferencial Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7 Integrales de Superficie 1347.1 La integral de una k-forma diferencial sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.2 Superficies con frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3 El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Captulo 1

Diferenciabilidad de funciones de Rmen Rn

1.1 Funciones Diferenciables

Definicion 1.1.1 Sea U Rm un abierto, f : U Rn, a U y denotemos Ua = {h Rm; a+ h U}.1. Decimos que f es diferenciable en a si y solo si existe T L(Rm,Rn) tal que

f(a+ h) = f(a) + T (h) + ra(h), h Ua

en donde limh0

ra(h)h = 0.

2. Decimos que f es diferenciable en U si y solo si f es diferenciable en a, a U .

Observaciones:

1. Si f es diferenciable en a entonces la transformacion lineal es unica (ejercicio) y sera denotada porf (a).

2. Si f : U Rm Rn es diferenciable en a U entonces f (a) L(Rm,Rn).

3. La funcion ra : Ua Rn es llamada resto y por el hecho de satisfacer la propiedad limh0

ra(h)h = 0,

se acostumbra a decir que ra es un resto de orden 1. Es necesario enfatizar que este resto dependedel punto a (y de la funcion f).

4. Intuitivamente, una funcion f : U Rm Rn es diferenciable en el punto a U si y solo si enuna vecindad de a puede ser aproximada por una transformacion lineal (su derivada).

1

Analisis Real II 2

Ejemplo 1.1.1 Sea f : Rm Rn la funcion constante f(x) = c, x Rm. Dado cualquier a Rm secumple

f(a+ h) = f(a) = f(a) + (h) + 0(h), h RmSe sigue que f es diferenciable en Rm y f (a) = , a Rm.

Ejemplo 1.1.2 Sea T L(Rm,Rn), dado cualquier a Rm se cumpleT (a+ h) = T (a) + T (h) = T (a) + T (h) + 0(h), h Rm

Se sigue que T es diferenciable en Rm y T (a) = T , a Rm.

Ejemplo 1.1.3 Sea : Rm Rn Rp una transformacion bilineal, dado cualquier a = (a1, a2) Rm Rn, para h = (h1, h2) Rm Rn tenemos

(a+ h) = (a1 + h1, a2 + h2) = (a1, a2) + (a1, h2) + (h1, a2) + (h1, h2) (1.1)

Sea T : Rm Rn Rp definida porT (h1, h2) = (a1, h2) + (h1, a2)

Un facil calculo muestra que T es una transformacion lineal. Por otro lado, como es bilineal, existe unC > 0 tal que

(x, y) Cx y, x Rm y Rnluego

(h1, h2)(h1, h2) C

h1 h2(h1, h2) C(h1, h2)

Se sigue que

limh0

(h1, h2)(h1, h2) = 0

De (1.1) se sigue es diferenciable en RmRn y para cualquier (a1, a2) RmRn la derivada (a1, a2) L(Rm Rn,Rp) es dada por

(a1, a2)(h1, h2) = (a1, h2) + (h1, a2)

Ejemplo 1.1.4 Sea : Rm Rm R dada por (x, y) = x, y. Claramente es bilineal, luego por elejemplo anterior es diferenciable en Rm Rm y la transformacion lineal (a1, a2) L(Rm Rm,R)es dada por

(a1, a2)(h1, h2) = a1, h2+ h1, a2

Analisis Real II 3

Ejemplo 1.1.5 Podemos generalizar el Ejemplo 1.1.3. En efecto, sea : Rm1 Rm2 Rmk Rn una transformacion k-lineal. Queda como ejercicio para el lector probar que es diferenciable enRm1 Rm2 Rmk y para cualquier a = (a1, a2, . . . , ak) Rm1 Rm2 Rmk , la derivada

(a) L(Rm1 Rm2 Rmk ,Rn)es dada por

(a1, a2, . . . , ak)(h1, h2, . . . , hk) =ki=1

(a1, . . . , ai1, hi, ai+1, . . . , ak)

Ejemplo 1.1.6 Como aplicacion del Ejemplo 1.1.5, vamos a analizar la funcion determinante. Primera-mente recordemos que

Rnn Rn Rn Rn n veces

Rn2

va el isomorfismo:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

=

A1A2...An

(A1, A2, . . . , An)donde Ai = (ai1, ai2, . . . , ain) Rn. De esta manera la funcion determinante

det : Rn Rn R(A1, . . . , An) 7 det(A1, . . . , An)

es una aplicacion n-lineal. Por el Ejemplo 1.1.5, la funcion det es diferenciable en Rn Rn y ademaspara A = (A1, . . . , An) Rnn, la derivada det(A) L(Rnn;R) es dada por

det(A1, . . . , An)(H1, . . . , Hn) =ni=1

det(A1, . . . , Ai1,Hi, Ai+1, . . . , An)

Proposicion 1.1.1 Sea U Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U Rn y a U . Son equivalentes1. f es diferenciable en a.

2. f1, . . . , fn son diferenciables en a.

En caso afirmativo se tienef (a) = (f 1(a), . . . , f n(a))

Demostracion. () Por hipotesis se tiene quef(a+ h) = f(a) + f (a)(h) + ra(h), h Ua

Analisis Real II 4

en donde limh0

ra(h)h = 0. Haciendo f

(a) = (T1, . . . , Tn) y ra = (r1,a, . . . , rn,a), donde Ti (Rm) yri,a : Ua R, tenemos

fi(a+ h) = fi(a) + Ti(h) + ri,a(h)

= fi(a) + ui, h+ ri,a(h), h Uaen donde lim

h0ri,a(h)h = 0 y ui R

m es el vector que representa al funcional lineal Ti, es decir Ti(x) =

ui, x, x Rm.Concluimos que fi es diferenciable en a y Ti = f i(a).

() Ejercicio. Corolario. Si f : U Rm Rn es diferenciable en a U entonces f es continua en a.Definicion 1.1.2 Sea U Rm un abierto, f : U Rn, a U y v Rm. La derivada direccional de fen a en la direccion de v, denotada por

fv

(a), es definida como

fv

(a) = limt0

f(a+ tv) f(a)t

cuando tal lmite existe.

Observaciones:

1.fv

(a) Rn.2. Cuando n = 1, tenemos la definicion de derivada direccional que estudiamos en el curso anterior.

3. Podemos interpretar geometricamentefv

(a) de la manera siguiente: Sea > 0 suficientemente

pequeno tal que t I(0) a+ tv U . Consideremos el camino rectilneov : I(0) U

t 7 v(t) = a+ tvluego

f v : I(0) Rnt 7 (f v)(t)

es un camino en Rn. Observe quef(a+ tv) f(a)

t=

(f v)(t) (f v)(0)t

Conclumos que existe la derivada direccionalfv

(a) si y solo si f v es diferenciable en 0 y encaso afirmativo

fv

(a) = limt0

f(a+ tv) f(a)t

= limt0

(f v)(t) (f v)(0)t

= (f v)(0)

Analisis Real II 5

Concluimos tambien quefv

(a) es el vector tangente en el punto f(a) del camino f v.4. Sea f : U Rm Rn una funcion que admite todas sus derivadas direccionales en el punto a U .

Podemos definir la funcion

Tf,a : Rm Rnv 7 Tf,a(v) = fv (a)

Proposicion 1.1.2 Sea U Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U Rn a U y v Rm. Son equivalentes

1. Existefv

(a).

2. Existenf1v

(a), . . . ,fnv

(a).

En caso afirmativo se tienefv

(a) =(f1v

(a), . . . ,fnv

(a))

Demostracion. Para t R {0} tal que tv Ua, tenemosf(a+ tv) f(a)

t=(f1(a+ tv) f1(a)

t, . . . ,

fn(a+ tv) fn(a)t

)luego existe

fv

(a) si y solo si existe el limt0

f(a+ tv) f(a)t

si y solo si existen limt0

fi(a+ tv) fi(a)t

,

1 i n si y solo si existen fiv

(a), 1 i n.Ademas

fv

(a) = limt0

f(a+ tv) f(a)t

=(f1v

(a), . . . ,fnv

(a))

Notacion: Cuando v = ei, escribiremosfxi

(a) en vez defei

(a). Por la proposicion anterior

fxi

(a) =(f1xi

(a), . . . ,fnxi

(a)), 1 i m

Observaciones:

1. Sea U Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U Rn diferenciable en a U . Dado v Rm, tomamost R tal que tv Ua. Por la diferenciabilidad tenemos

f(a+ tv) = f(a) + f (a)(tv) + ra(tv)

luegof(a+ tv) f(a)

t= f (a)(v) + ra(tv)

t

Analisis Real II 6

se sigue que

limt0

f(a+ tv) f(a)t

= f (a)(v)

luego, hemos probado que si f es diferenciable en a entonces existen todas las derivadas direccionalesfv

(a) y f (a)(v) = fv

(a), v Rm .2. Si f es diferenciable en a entonces podemos considerar la funcion

f (a) : Rm Rnv 7 f (a)(v) = f

v(a)

3. Vamos a hallar la matriz asociada a la transformacion lineal f (a) en las bases canonicas de Rm yRn. Si f = (f1, . . . , fn) es diferenciable en a, entonces para 1 i m tenemos

f (a)(ei) =fxi

(a) =(f1xi

(a),f2xi

(a), . . . ,fnxi

(a))

=f1xi

(a)e1 +f2xi

(a)e2 + . . .+fnxi

(a)en

Luego, la matriz asociada a f (a) en las bases canonicas es dada por

f1x1

(a)f1x2

(a) . . .f1xm

(a)

f2x1

(a)f2x2

(a) . . .f2xm

(a)

......

...fnx1

(a)fnx2

(a) . . .fnxm

(a)

=

f1(a)f2(a)

...fn(a)

= [ fx1 (a), fx2 (a), , fxm (a)] Rnm

Esta matriz es llamada Matriz Jacobiana de f en a y se denota por Jf(a) o(f1, . . . , fn)(x1, . . . , xm)

(a).

4. Si f : U R es diferenciable en a U entonces Jf(a) = f(a).5. Si f : I R Rn es diferenciable en a I entonces Jf(a) Rn1 R1n, mas aun

Jf(a) =

f 1(a)f 2(a)...

f n(a)

(f 1(a), f 2(a), . . . , f n(a)) Rn6. Si f : I R R es diferenciable en a I entonces Jf(a) R11 R, mas aun

Jf(a) = f (a) R

Analisis Real II 7

Ejemplo 1.1.7 Vamos a hallar las derivadas parciales de la funcion determinante. Denotemos porEij Rnn a la matriz cuya entrada ij es 1 y todas las otras entradas son ceros, es decir

Eij =

...ej...

( , . . . ,

i1 veces, ej , , . . . , ).

Por ejemplo E24 R44 sera

E24 =

0 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

(, e4, , )Es claro que {Eij} es una base de Rnn, llamada base canonica. Para A Rnn tenemos detxij

(A) = det(A)(Eij) = det(A1, . . . , An)(, . . . , , ej , , . . . , )

= det(,A2, . . . , An) + + det(A1, . . . , Ai1, ej , Ai+1, . . . , An) + + det(A1 . . . , An1, )= det(A1, . . . , Ai1, ej , Ai+1, . . . , An) = (1)i1 det(ej , A1, . . . , Ai1, Ai+1, . . . , An)= (1)i+jA[i,j]

donde A[i,j] es el determinante de la matriz obtenida de A suprimiendo la i-esima fila y la j-esima columna.

Como caso particular, si A =

x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33

R33 entonces detx23

(A) = (1)2+3A[2,3] = det(

x11 x12x31 x32

)= x12x31 x11x32

1.2 La Regla de la Cadena

Teorema 1.2.1 (Regla de la Cadena) Sean U Rm, V Rn abiertos, f : U V diferenciable ena U y g : V Rp diferenciable en f(a) V . Entonces g f : U Rp es diferenciable en a y

(g f)(a) = g(f(a))f (a)Demostracion. Sea g = (g1, . . . , gp), por la Proposicion 1.1.1 las funciones gk : V R son diferenciablesen f(a), (k = 1, . . . , p), luego (ver Analisis I) las funciones gk f : U R son diferenciables en a,

Analisis Real II 8

(k = 1, . . . , p), nuevamente por la Proposicion 1.1.1 se sigue que g f = (g1 f, . . . , gp f) es diferenciableen a.

Por otro lado, para v Rm tenemos:(g f)(a)(v) = ((g1 f)(a), . . . , (gn f)(a)) (v) = (g1(f(a))f (a)(v), . . . , gn(f(a))f (a)(v))

= (g1(f(a)), . . . , gn(f(a))) (f (a)(v)) = (g(f(a)) f (a)) (v)Se deduce que (g f)(a) = g(f(a))f (a).

La version matricial de la Regla de la Cadena viene dada en el siguiente resultado.

Corolario 1. Sean U Rm, V Rn abiertos, f : U V diferenciable en a U y g : V Rpdiferenciable en f(a) V . Entonces

J(g f)(a) = Jg(f(a)) Jf(a)

Observaciones.

1. Haciendo f = (f1, . . . , fn) y g = (g1, . . . , gp) se tiene que g f = (g1 f, . . . , gp f), luego(g1 f, . . . , gp f)

(x1, . . . , xm)(a) =

(g1, . . . , gp)(y1, . . . , yn)

(f(a)) (f1, . . . , fn)(x1, . . . , xm)

(a)

Se sigue que

(gk f)xi

(a) =nj=1

gkyj

(f(a))fjxi

(a) 1 i m, 1 k np.

2. Sean U Rm, V Rn abiertos, f : U V diferenciable en U y g = (g1, . . . , gp) : V Rpdiferenciable en V , con f(U) V entonces

(gk f)xi

=nj=1

(gkyj

f)fjxi

1 i m, 1 k p.

Corolario 2. Sean U Rm abierto, f, g : U Rn diferenciables en a U y r R. Se cumplen1. f + g : U Rn es diferenciable en a y (f + g)(a) = f (a) + g(a).2. f g : U Rn es diferenciable en a y (f g)(a) = f (a) g(a).3. rf : U Rn es diferenciable en a y (rf)(a) = rf (a).4. Si n = 3 entonces f + g : U R3 es diferenciable en a y (f g)(a) = f (a) g(a) + f(a) g(a).

Corolario 3. Sean U Rm abierto, f, g : U Rn diferenciables en a U y : Rn Rn Rp bilineal.Entonces la funcion

(f, g) : U Rpx 7 (f, g)(x) = (f(x), g(x))

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es diferenciable en a y

((f, g)) (a)(v) = (f (a)(v), g(a)) + (f(a), g(a)(v))

Demostracion. Observe que (f, g) = (f, g) la cual es diferenciable en a. Ademas((f, g)) (a)(v) = ( (f, g)) (a)(v) = (f(a), g(a))(f (a)(v), g(a)(v))

= (f (a)(v), g(a)) + (f(a), g(a)(v)) Corolario 4. Sean U Rm abierto y f : U Rn diferenciable en a U . Suponga que existef1 : V Rm donde V Rn es abierto y f1 es diferenciable en f(a). Entonces f (a) L(Rm,Rn) esun isomorfismo cuyo inverso es (f1)(f(a)) L(Rn,Rm). En particular n = m.Demostracion. f f1 = idV y f1 f = idU , por la regla de la cadena:

(f f1)(f(a)) = I = f (a) (f1)(f(a)) = IAnalogamente (f1)(f(a)) f (a) = I

1.3 El Teorema de Schwarz

Definicion 1.3.1 Sea U Rm un abierto, f : U Rn y a U . Decimos que f es dos veces diferenciableen a si y solo si

1. f es diferenciable en U .

2. Las derivadas parcialesfx1

, . . . ,fxm

: U Rn son diferenciables en a.

Proposicion 1.3.1 Sea U Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U Rn y a U . Son equivalentes1. f es dos veces diferenciable en a

2. Las funciones coordenadas f1, . . . , fn : U R son dos veces diferenciables en a.Demostracion. Ejercicio. Observacion: Sea f = (f1, . . . , fn) : U Rm Rn dos veces diferenciable en a U entonces, pordefinicion, f es diferenciable en U , luego podemos considerar la funcion derivada f : U L(Rm,Rn) Rnm que a cada x U le asocia f (x) L(Rm;Rn) Rnm. Usando la identificacion canonica entreRnm y Rnm, tenemos

f (x) =

f1x1

(x) . . .f1xm

(x)

f2x1

(x) . . .f2xm

(x)

......

fnx1

(x) . . .fnxm

(x)

=(f1x1

(x), . . . ,f1xm

(x), . . . ,fnx1

(x), . . . ,fnxm

(x))

Analisis Real II 10

Por la definicion de funcion dos veces diferenciable se sigue que las funciones coordenadas de f sondiferenciables en a, luego f es diferenciable en a.

Notacion:2fvw

(a) =v

(fw

)(a), v, w Rm.

Teorema 1.3.2 (Teorema de Schwartz) Sea U Rm abierto, y f : U Rn funcion dos vecesdiferenciable en a U . Entonces

2fxixj

(a) =2f

xjxi(a), 1 i, j m

Demostracion. Sea f = (f1, . . . , fn) entonces fk : U R son dos veces diferenciables en a U , 1 k n, luego:

2fxjxi

(a) =xj

fxi

(a) =(

xj

f1xi

(a), . . . ,xj

fnxi

(a))=(

2f1xjxi

(a), . . . ,2fnxjxi

(a))

=(

2f1xixj

(a), . . . ,2fnxixj

(a))=

xi

(f1xj

(a), . . . ,fnxj

(a))=

xi

fxj

(a)

=2f

xixj(a)

Corolario. Sean U Rm abierto y f : U Rn dos veces diferenciable en a U . Entonces2fvw

(a) =2fwv

(a), v, w Rm

Teorema 1.3.3 Sea U Rm abierto y f : U Rn funcion dos veces diferenciable en a U . Entoncesf,a : Rm Rm Rn

(v, w) 7 f,a(v, w) = 2f

wv(a)

es una transformacion bilineal simetrica.

Demostracion. La simetra es consecuencia del corolario anterior. Vamos a probar la bilinealidad:

f,a(v, c1w1 + c2w2) =

(c1w1 + c2w2)

(fv

)(a) =

(fv

)(a)(c1w1 + c2w2)

= c1

(fv

)(a)(w1) + c2

(fv

)(a)(w2) = c1

2fw1v

(a) + c22f

w2v(a)

= c1f,a(v, w1) + c2f,a(v, w2)

Usando la simetra se prueba la linealidad con respecto a la primera variable. A continuacion vamos a averiguar que tipo de objeto es la segunda derivada f (a) = (f )(a) de una

funcion dos veces diferenciable en a.

Analisis Real II 11

Sea U Rm abierto y f : U Rn una funcion dos veces diferenciable en a U , por la observacionanterior sabemos que f : U L(Rm,Rn) es diferenciable en a, luego

f (a) = (f )(a) L (Rm,L(Rm,Rn))Pero del algebra lineal, se sabe que existe un isomorfismo entreL (Rm,L(Rm,Rn)) y

L2(Rm,Rn) = { : Rm Rm Rn : es bilineal}que asocia a cada transformacion lineal T : Rm L(Rm,Rn) la transformacion bilineal BT : RmRm Rn definida por BT (v, w) = T (w)(v). (Ejercicio!). Vamos a determinar la transformacion bilinealasociada a f (a). Si f = (f1, . . . , fn) entonces por la definicion de funcion dos veces diferenciable en a yla Proposicion 1.1.1 tenemos que f = (f 1, . . . , f n) : U L(Rm,Rn) es diferenciable en a. Dado w Rmtenemos

f (a)(w) = (f )(a)(w) = f

w(a) =

(f 1w

(a), . . . ,f nw

(a))

(1.2)

Por otro lado, como fi (1 i n) es dos veces diferenciable en a entonces f i : U (Rm) esdiferenciable en a y desde que f i puede ser identificado con el vector gradiente

(fix1

, . . . ,fixn

), por

Schwarz obtenemos

f iw

(a) =w

(fix1

(a), . . . ,fixm

(a))=(

x1

(fiw

)(a), . . . ,

xm

(fiw

)(a))=(fiw

)(a) (1.3)

De (1.2) y (1.3)

f (a)(w) =((

f1w

)(a), . . . ,

(fnw

)(a)

)=(fw

)(a)

y por tanto

f (a)(w)(v) =(fw

)(a)(v) =

2fvw

(a) = f,a(v, w)

De esta manera f,a es la transformacion bilineal asociada a f (a), es decir podemos considerar f (a)como

f (a) : Rm Rm Rn(v, w) 7 f (a)(v, w) =

2fvw

(a)

1.4 Funciones de clase Ck

Definicion 1.4.1 Sea U Rm un abierto y f : U Rn

1. Decimos que f es de clase C1 en U si y solo si se cumple

(a) Existen las derivadas parcialesfx1

(x), . . . ,fxm

(x), x U .

Analisis Real II 12

(b) Las funcionesfx1

, . . . ,fx1

: U Rn son continuas en U .

2. Decimos que f es de clase Ck en U (k 2) si y solo si se cumple

(a) Existen las derivadas parcialesfx1

(x), . . . ,fxm

(x), x U .

(b) Las funcionesfx1

, . . . ,fx1

: U Rn son de clase Ck1 en U .

3. Decimos que f es de clase C en U si y solo si f es de clase Ck en U , k N.

Notaciones:

1. Ck(U ;Rn) = {f : U Rn; f es de clase Ck en U} (k 1).2. C0(U ;Rn) = C(U ;Rn) = {f : U Rn; f es continua en U}.3. C(U ;Rn) = {f : U Rn; f es de clase C en U}.

Observaciones:

1. C(U ;Rn) =k=1

Ck(U ;Rn).

2. C(U ;Rn) Ck(U ;Rn) Ck1(U ;Rn) C1(U ;Rn) C(U ;Rn).3. f Ck(U ;Rn) si y solo si f

xi Ck1(U ;Rn), 1 i m.

4. Cuando n = 1 denotamos Ck(U) en vez de Ck(U ;R).

Proposicion 1.4.1 Sea U Rm abierto y f = (f1, . . . , fn) : U Rn. Son equivalentes1. f Ck(U ;Rn).2. f1, . . . , fn Ck(U).

Demostracion. Ejercicio. Corolario. Sean U Rm abierto, f, g Ck(U ;Rn) y c R entonces f + g, cf Ck(U ;Rn). Ademas, sidefinimos : U Rn Rn R2n como (x) = (f(x), g(x)), x U entonces Ck(U ;R2n).Demostracion. Ejercicio.

Proposicion 1.4.2 Sean U Rm, V Rn abiertos y f : U Rn, g : V Rp con f(U) V . Sif Ck(U ;Rn) y g Ck(V ;Rp) entonces g f Ck(U ;Rp).

Analisis Real II 13

Demostracion. Si f = (f1, . . . , fn) y g = (g1, . . . , gp) entonces g f = (g1 f, . . . , gp f). De la hipotesisy la Proposicion 1.4.1 se sigue que fj Ck(U), 1 j n y gl Ck(V ), 1 l p. Sabemos que

(gl f)xi

=nj=1

(glyj

f)fjxi

luego(gl f)xi

Ck1, 1 i n. Se sigue que gl f Ck(U), 1 l p, es decir g f Ck(U ;Rp),lo que finaliza la prueba.

Es claro que las funciones constantes son de clase C en Rm, a continuacion, daremos otros ejemplosde funciones de clase C.

Ejemplo 1.4.1 Si T L(Rm,Rn) entonces T C(Rm,Rn). En efecto, fijando v Rm, por el Ejemplo1.1.2 tenemos

Tv

(x) = T (x)(v) = T (v) = T (x)donde (x) = v es la funcion constante. Luego

Tv

= T y de aqu se sigue el resultado.

Ejemplo 1.4.2 Si : Rm Rn Rp es bilineal entonces C(Rm Rn;Rp). En efecto, fijandov = (v1, v2) Rm Rn, para cualquier x = (x1, x2) Rm Rn, por el Ejemplo 1.1.3 tenemos

v

(x) = (x)(v) = (v1, x2) + (x1, v2)

Si definimos 1, 2 : Rm Rn Rm Rn por 1(x) = (v1, pi2(x)) y 2(x) = (pi1(x), v2), entonces por elejemplo anterior y el corolario a la Proposicion 1.4.1 se tiene que 1 y 2 son funciones de clase C. Dela igualdad anterior tenemos que

v

= 1 + 2De aqu se sigue que C(Rm Rn;Rp).

A continuacion probaremos que la funcion que a toda matriz inversible le asigna su inversa, es unafuncion de clase C.

En primer lugar recordemos que con las operaciones usuales de suma de funciones y producto deun escalar por una transformacion lineal, el conjunto L(Rm;Rn) se torna un R-espacio vectorial. SeaT L(Rm;Rn) entonces K > 0 tal que T (x) Kx, x Rm.

Si x 6= 0 entonces T (x)x K, luego el conjunto{T (x)x : x R

m {0}} R

es acotado superiormente, luego existe su supremo, el cual sera denotado por T, es decirT = sup

{T (x)x : x R

m {0}}

Observaciones:

Analisis Real II 14

1.T (x)x T, x R

m {0}. Se sigue que T (x) T x, x Rm.

2. T = sup{T (x) : x Sm1}.Teorema 1.4.3 Se cumplen las siguientes propiedades:

1. T 0, T L(Rm;Rn).2. T = 0 = T = 0.3. rT = |r| T, T L(Rm;Rn), r R.4. T1 + T2 T1 + T2, T1, T2 L(Rm;Rn).5. T1 T2 T1 T2, T1 L(Rn;Rp), T2 L(Rm;Rn).6. Tn Tn, T L(Rm) = L(Rm;Rm), n N.

Demostracion. Probaremos solamente (4) las demas quedaran como ejercicio para el lector. SeanT1, T2 L(Rm;Rn) y x Sm1

(T1 + T2)(x) T1(x)+ T2(x) T1+ T2

Observacion. (L(Rm;Rn), ) es un R-espacio normado isomorfo a Rnm.Por otro lado A GL(Rm) Rmm si y solo si det(A) 6= 0 si y solo si A det1(R{0}). Como det

es una funcion continua, concluimos que GL(Rm) Rmm Rm2 es abierto. Denotemos U = GL(Rm).Definimos f : U Rm2 por f(X) = X1. Afirmo que f es diferenciable en U . En efecto, sea A U ,

vamos a buscar un candidato para f (A) y rA(H). Procediendo informalmente para H UA, seobserva que

f(A+H) f(A) = (A+H)1 A1 = [A(I +A1H)]1 A1 = (I +A1H)1A1 A1=

((I +A1H)1 I)A1 = ((I A1H + ) I)A1

= A1HA1 + Claramente TA : Rm

2 Rm2 , definida por TA(H) = A1HA1 es una transformacion lineal, la cualsera el candidato a f (A), luego el candidato a resto sera rA : UA Rm2 definido por

rA(H) = f(A+H) f(A) TA(H)Operando

rA(H) = (A+H)1 A1 +A1HA1 = (A+H)1 [I (A+H)A1 + (A+H)A1HA1]= (A+H)1

[I I HA1 +HA1 +HA1HA1] = (A+H)1(HA1)2

luego

rA(H) = (A+H)1(HA1)2 (A+H)1 HA12 (A+H)1 H2 A12

Analisis Real II 15

Para H 6= 0 se sigue querA(H)H (A+H)

1 H A12 (1.4)

Lema 1.4.1 Si A GL(Rm) entonces existe C > 0 tal que si H L(Rm) es tal que H C, entoncesA+H GL(Rm) y (A+H)1 1

C.

Demostracion. Sea C =1

2A1 . Dado x Rm se tiene

x = A1Ax A1 AxSe sigue que Ax 2Cx, x Rm. Si H L(Rm) es tal que H C entonces

(A+H)x = Ax+Hx Ax Hx 2Cx Cx = CxClaramente esto implica que A+H es inyectiva y por tanto A+H GL(Rm). Ademas

x = (A+H)(A+H)1x C(A+H)1x

de donde (A+H)1x 1Cx, luego (A+H)1 1

C.

Del lema anterior y de (1.4): Dado > 0 tomemos < min{C,

CA12

}. Si H UA es tal que

H < , del lema anterior y de (1.4) tenemosrA(H)H (A+H)

1 H A12 < 1C CA12 A

12 =

es decir limH0

rA(H)H = 0. Desde que A U fue arbitrario, concluimos que f es diferenciable en U y

f (A)(H) = A1HA1, H L(Rm).En particular f es continua en U .

Para probar que f es de clase C, fijemos V L(Rm). Para cualquier X GL(Rm), se tienefV

(X) = f (X)(V ) = X1V X1

Por otro lado, sea : L(Rm)L(Rm) L(Rm) dada por (X,Y ) = XV Y . Es claro que es bilineal ypor tanto, de clase C. Si consideramos : U U U definida por (X) = (f(X), f(X)), del corolarioa la Proposicion 1.4.1 tenemos que es continua. Observe que

( )(X) = ((X)) = (f(X), f(X)) = X1V X1 = fV

(X) X U

Analisis Real II 16

luegofV

=

se sigue quefV

es continua, V Rmm y por tanto f es de clase C1. Se tiene ahora que es declase C1 y por tanto

fV

lo cual implica f de clase C2. Procediendo por induccion se tiene el resultadodeseado. Resumimos nuestros resultados en el siguiente:

Teorema 1.4.4 La funcion f : GL(Rn) GL(Rn) definida por f(X) = X1 es de clase C.

1.5 El Teorema de Taylor

Definicion 1.5.1 Sean U Rm un abierto y f : U Rn. Decimos que f es p veces diferenciable ena U (p 3) si solo si las funciones

fx1

,fx2

, , fxm

: U Rn

son p 1 veces diferenciables en a.Proposicion 1.5.1 Sea U Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U Rn y a U . Son equivalentes

1. f es p veces diferenciable en a

2. f1, . . . , fn : U R son p veces diferenciables en a.Demostracion. Ejercicio. Observacion: Si f Cp(U ;Rn) entonces f es p-veces diferenciable en a, a U . Es cierto el recproco?Dejamos la respuesta para el lector.

Sea f C2(U ;Rn), dado x U se tiene que f (x) L2(Rm,Rn), luego podemos definirf : U L2(Rm;Rn)

x 7 f (x)Las derivadas de orden superior son definidas de manera analoga. Sea U Rm abierto y f : U Rn

funcion p veces diferenciable en a U . Definimos

f (p)(a) :

p veces Rm Rm Rn(v1, . . . , vp) 7 f (p)(a)(v1, . . . , vp) =

pfvp v1 (a)

Analisis Real II 17

No es difcil probar que f (p)(a) es una transformacion p-lineal y simetrica. Si denotamos

Lp(Rm;Rn) = :

p veces Rm Rm Rn : es p-lineal

tenemos que f (p)(a) Lp(Rm;Rn). Si f Cp(U ;Rn) entonces f (p)(x) Lp(Rm;Rn), luego podemosdefinir

f (p) : U Lp(Rm;Rn)x 7 f (p)(x)

Notacion: f (p)(a)(v, v, , v) = f (p)(a)vp.Teorema 1.5.2 (Formula de Taylor Infinitesimal) Sea U Rm abierto, y f : U Rn funcion pveces diferenciable en a U . Entonces

f(a+ h) = f(a) + f (a)h+ 12!f (a)h2 + + 1

p!f (p)(a)hp + ra(h), h Ua

donde limh0

ra(h)hp = 0.

Demostracion. Sea f = (f1, . . . , fn) entonces fk : U R son p veces diferenciables en a U . Luegopara h Ua, se cumple:

fk(a+ h) = fk(a) + f k(a)h+12!f k (a)h2 + + 1p!f

(p)k (a)h

p + rka(h)

donde limh0

rka(h)hp = 0, 1 k n. Luego

f(a+ h) = f(a) + (f 1(a)h, . . . , f n(a)h) +12!(f 1 (a)h2, . . . , f n (a)h2) + +

+1p!(f (p)1 (a)h

p, . . . , f (p)n (a)hp) + ra(h)

donde ra(h) = (r1a(h), . . . , rna (h). Se sigue que

f(a+ h) = f(a) + f (a)h+ 12!f (a)h2 + + 1

p!f (p)(a)hp + ra(h), h Ua

donde limh0

ra(h)hp = 0.

Teorema 1.5.3 (Formula de Taylor con Resto de Lagrange) Sea U Rm abierto, a U , h Rm tal que [a, a+ h] U . Si f Cp(U ;Rn) es (p+ 1) veces diferenciable en ]a, a+ h[ conf (p+1)(x)wp+1 Mwp+1, x ]a, a+ h[ w Rm

Analisis Real II 18

Entonces

f(a+ h) = f(a) + f (a)h+ 12!f (a)h2 + + 1

p!f (p)(a)hp + ra(h), h Ua

donde ra(h) M(p+ 1)!hp+1.

Demostracion. Ejercicio!

Teorema 1.5.4 (Formula de Taylor con Resto Integral) Sea U Rm abierto, a U , h Rm talque [a, a+ h] U . Si f Cp+1(U ;Rn) entonces

f(a+ h) = f(a) + f (a)h+ 12!f (a)h2 + + 1

p!f (p)(a)hp +

1p!

10(1 t)pf (p+1)(a+ th)hp+1dt

Demostracion. Ejercicio!

1.6 Principio de diferenciabilidad uniforme

Teorema 1.6.1 (Desigualdad del Valor Medio) Sea U Rm abierto, f : U Rn diferenciable enU , a U , h Rm tal que [a, a+ h] U . Si M = sup{f (x); x ]a, a+ h[ } entonces

f(a+ h) f(a) MhDemostracion. Si

: [0, 1] Ut 7 (t) = a+ th

entoncesf : [0, 1] Rn

t 7 (f )(t) = f(a+ th)es un camino continuo en [0, 1] y diferenciable en ]0, 1[ , ademas para t ]0, 1[ , tenemos

(f )(t) = f ((t))(t) = f (a+ th)h f (a+ th) h MhLuego, por el T.V.M. para caminos:

f(a+ h) f(a) = (f )(1) (f )(0) Mh

Corolario 1. Sean U Rm abierto y convexo. Si f : U Rn es diferenciable en U y M =sup {f (x); x U} entonces f es Lipschitz y

f(x1) f(x2) Mx1 x2, x1, x2 U

Corolario 2. Sean U Rm abierto y conexo. Si f : U Rn es diferenciable en U y f (x) = 0, x U ,entonces f es constante.

Analisis Real II 19

Demostracion. Sea a U y consideremos A = {x U : f(x) = f(a)}, B = {x U : f(x) 6= f(a)}.Observe que A B = U y A B = . Como f es continua, B es abierto. Vamos a probar que A esabierto. Sea x A, > 0 tal que B(x) U . Afirmo que B(x) A, en efecto:Si y B(x) entonces [x, y] B(x) U , luego por la desigualdad del valor medio

f(x) f(y) 0x yse sigue que f(y) = f(x) = f(a), es decir y A lo que prueba la afirmacion. Luego A, B es una escisionde U , se sigue que B = , luego A = U . Corolario 3. Sean U Rm abierto, f : U Rn diferenciable en U , a U , h Rm tal que [a, a+h] Uy T L(Rm;Rn). Si f (x) T M , x ]a, a+ h[ entonces

f(a+ h) f(a) T (h) Mh

Demostracion. Considerog : U Rm

x 7 g(x) = f(x) T (x)Claramente g es diferenciable en U y g(x) = f (x) T M , x ]a, a+ h[ , por la desigualdad delvalor medio g(a+ h) g(a) Mh, es decir

f(a+ h) f(a) T (h) = f(a+ h) T (a+ h) f(a) T (a) Mh

Lema 1.6.1 Sea X Rm, f : X Rn continua y K X compacto. Entonces > 0, > 0 tal quesi x X, y K y x y < entonces f(x) f(y) < .

Demostracion. Supongamos que 0 > 0 tal que > 0, x X y y K tales que x y < y f(x) f(y) 0 (Hip. Aux.)

Podemos construir (xk) X, (yk) K tales que xkyk < 1k y f(xk)f(yk) 0, k N. ComoK es compacto, (yjk) (yk) tal que limk yjk = y y y K, luego limk f(yjk) = f(y). Considerando(xjk) (xk), tenemos

xjk y xjk yjk+ yjk y 1jk + yjk y, k N

Se sigue que limkxjk = y, luego limk f(xjk) = f(y). As: 0 f(xjk) f(yjk), k N, luego

0 limk f(xjk) f(yjk) = 0, lo cual es una contradiccion.

Teorema 1.6.2 (Diferenciabilidad Uniforme) Sean U Rm abierto, K U compacto y f C1(U ;Rn). Se cumple que > 0, = () > 0 tal que si x K, h Rm con h Ux y h < entonces

f(x+ h) f(x) f (x)(h) < h

Analisis Real II 20

Demostracion. Por una propiedad probada en el curso anterior, 1 tal que si x K, y Rm yx y < 1 entonces

[x, y] U (1.5)Ahora bien, como f C1(U ;Rn) entonces f : U L(Rm;Rn) es continua y como K es compacto,

por el Lema 1.6.1, > 0, 2 > 0 tal que si y U , x K y x y < 2, se tienef (y) f (x) <

2(1.6)

Sea = min{1, 2}, para x K, h Rm con h Ux y h < , se cumple x + h x = h < ,luego por (1.5) tenemos que [x, x + h] U . Por otro lado, si y ]x, x + h[ entonces t ]0, 1[ tal quey = x + th, luego y x = th < h < , luego por (1.6) f (y) f (x) <

2, y ]x, x + h[ y por

el Corolario 3f(x+ h) f(x) f (x)(h) < h.

Observacion: Dado x U (fijo), sabemos quef(x+ h) = f(x) + f (x)h+ rx(h), h Ux

donde limh0

rx(h)h = 0. El Teorema de la diferenciabilidad uniforme nos dice que limh0

rx(h)h = 0, x K.

En efecto, sea V = {(x, h) K Rm; h Ux}. Definimos r : V Rn porr(x, h) = rx(h) = f(x+ h) f(x) f (x)(h).

Si f C1(U ;Rn), por el teorema de diferenciabilidad uniforme, dado > 0 existe > 0 tal que (x, h) Vy h < entonces r(x, h) < h, es decir

limh0

r(x, h)h = 0.

1.7 Ejercicios

1. Si U Rm es abierto, pruebe que Ua = {h Rm : a+ h U} es abierto.2. Si f : U Rm Rn es diferenciable en a U , pruebe que existe una unica transformacion lineal

T L(Rm,Rn) tal quef(a+ h) = f(a) + T (h) + ra(h), h Ua

en donde limh0

ra(h)h = 0.

3.

Captulo 2

Sucesiones y Series de Funciones

2.1 Sucesion de Funciones

Sea X Rm, denotaremos por F(X;Rn) al conjunto de todas las funciones definidas en X y con valoresen Rn. Con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de un numero real por una funcion,el conjunto F(X;Rn) se torna un R-espacio vectorial.Definicion 2.1.1 Una sucesion de funciones en F(X;Rn) es una funcion f : N F(X;Rn) tal que acada numero natural k le asocia una funcion f(k) = fk F(X;Rn), llamado el k-esimo termino de lasucesion.

Notacion. En sucesivo el smbolo (fk) F(X;Rn) significara que (fk) es una sucesion de funcionesen F(X;Rn)

Sea (fk) F(X;Rn), para cada x X se tiene que fk(x) Rn, para todo k N, luego (fk(x)) esuna sucesion en Rn. Si la sucesion (fk(x)) Rn es convergente para cada x X entonces existe unvector (que depende de x X) al que denotaremos f(x) Rn tal que lim

k fk(x) = f(x). De esta manerapodemos definir la funcion

f : X Rnx 7 f(x) = lim

k fk(x)

es decir f F(X;Rn).Definicion 2.1.2 Sea (fk) F(X;Rn) y f F(X;Rn). Decimos que la sucesion de funciones (fk)converge puntualmente a f , lo que escribimos fk f si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. (fk(x)) Rn es convergente, para todo x X.2. lim

k fk(x) = f(x), para todo x X.

21

Analisis Real II 22

Ejemplo 2.1.1 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesion (fk) F(X;R) definida porfk : X R

x 7 fk(x) = xkObserve que

limk fk(x) = limkx

k ={

0, si 0 x < 11, si x = 1

Si definimosf : [0, 1] R

x 7 f(x) ={

0, si 0 x < 11, si x = 1

tenemos que limk fk(x) = f(x), para todo x X, es decir fk f .

Ejemplo 2.1.2 Sea (fk) F(R;R) definida porfk : R R

x 7 fk(x) = x2k

1 + x2k

Observe que

limk fk(x) = limk

x2k

1 + x2k=

0, si |x| < 112 , si |x| = 11, si |x| > 1Si definimos

f : R Rx 7 f(x) =

0, si |x| < 112 , si |x| = 11, si |x| > 1tenemos que lim

k fk(x) = f(x), para todo x R, es decir fk f .

Analisis Real II 23

Si bien es cierto que la nocion de lmite puntual de una sucesion de funciones es bastante natural,ella tiene un grave defecto, por lo general la funcion lmite no hereda las propiedades de la sucesion.En efecto, en el ejemplo anterior todas las funciones fk eran continuas sin embargo la funcion lmite fno lo es. Concluimos que el lmite puntual de una sucesion de funciones continuas no necesariamente escontinuo.

Definicion 2.1.3 Sean X Rm, (fk) F(X;Rn) y f F(X;Rn). Decimos que la sucesion defunciones (fk) converge uniformemente a f en X, lo que escribimos fk f unif. en X si y solo si paratodo > 0, existe un k0 N tal que si k k0 entonces fk(x) f(x) < , x X.

Observaciones.

1. En el concepto de convergencia uniforme exigimos que el k0 N solo dependa del mientras queen la convergencia puntual el k0 depende del y del vector x.

2. Convergencia uniforme implica convergencia puntual. Es decir fk f unif. en X fk f , oequivalentemente fk 6 f fk 6 f unif. en X.

El siguiente es un criterio muy util para la convergencia uniforme de una sucesion de funciones.

Teorema 2.1.1 (Criterio de Cauchy) Sea (fk) F(X;Rn). Las siguientes afirmaciones son equiva-lentes:

1. (fk) es uniformemente convergente en X.

2. (fk) es una sucesion de Cauchy, es decir para todo > 0 existe un k0 N tal que j, k k0 entoncesfj(x) fk(x) < , x X.

Demostracion. (1. 2.) Dado > 0, por hipotesis debe existir un k0 N tal que si k k0 entoncesfk(x) f(x)| < 2 para cualquier x X.Si tomamos j, k k0, para cualquier x X tenemos

fk(x) fj(x) fk(x) f(x)+ fj(x) f(x) < Luego (fk) F(X;Rn) es una sucesion de Cauchy.(2. 1.) Fijemos x X, dado > 0 existe un k0 N tal que si j, k k0 entonces fj(x) fk(x) < .Se sigue que (fk(x)) Rn es una sucesion de Cauchy en Rn, luego ella es convergente, es decir, existe unvector f(x) Rn tal que lim

k fk(x) = f(x). Definimos

f : X Rnx 7 f(x) = lim

k fk(x)

Afirmo que fk f unif. en X. En efecto: dado > 0, existe un k0 N tal que si j, k k0 entoncespara cualquier x X se tiene que fj(x) fk(x) < 2 . Fijando el subndice k y tomando lmite cuandoj tiende al infinito tenemos f(x) fk(x) < , x X. Esto prueba la afirmacion y el teorema.

Note el lector que en el criterio de Cauchy no necesitamos del lmite f para determinar la convergenciauniforme de la sucesion (fk).

Analisis Real II 24

Teorema 2.1.2 (Continuidad del Lmite Uniforme) Sea (fk) F(X;Rn) tal que fk es continuaen x0 X, k N. Si fk f unif. en X entonces f es continua en x0.Demostracion. Sea > 0, por hipotesis existe un k0 N tal que si k k0 entonces

fk(x) f(x) < 3 , x X. (2.1)Por otro lado, desde que fk0 es continua en x0, tenemos que existe un > 0 tal que si x X y xx0 < entonces

fk0(x) fk0(x0) < 3 (2.2)Luego, para x X con x x0 < , de (2.1) y (2.2) tenemos

f(x) f(x0) f(x) fk0(x)+ fk0(x) fk0(x0)+ fk0(x0) f(x0) < Esto prueba que f es continua en x0. Corolario. Si (fk) C(X;Rn) y fk f unif. en X entonces f C(X;Rn).Observacion. Aunque la convergencia uniforme es suficiente para asegurar que el lmite de una sucesionde funciones continuas es continua, no es una condicion necesaria.

Ejemplo 2.1.3 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesion (fk) F(X;R) definida porf1 : X R

x 7 f1(x) = 1y si k 2 tenemos

fk : X R

x 7 fk(x) =

kx, si 0 x 1k

2 kx, si 1k< x 2

k

0, si2k< x 1

Observe que si 0 < x 1 entonces limk fk(x) = 0 (puesto que f(x) = 0 para k >

2x ) y limk fk(0) = 0,

Luego limk fk(x) = (x), x [0, 1], es decir fk .

Pero fk no converge uniformemente a en [0, 1], puesto quefk (1k) (1k) = 1Sin embargo el lmite puntual es continuo.

Analisis Real II 25

2.2 Convergencia Uniforme y Diferenciabilidad

Sea U Rm un abierto y (fk) C1(U ;Rn). Supongamos que fk f unif. en U . De manera naturalsurge la pregunta f C1(U ;Rn)? y en caso afirmativo f k f unif. en U?Ejemplo 2.2.1 Sea

fk : R Rx 7 fk(x) = sen kx

k

Claramente (fk) C1(R). Por otro lado, observe que

limk fk(x) = limk

sen kxk

= 0 = (x), x R

es decir fk .Ademas, dado > 0, k0 N tal que si k k0 entonces 1

k< , luego

|fk(x) (x)| = sen kxk

1k < , k k0, x Res decir fk unif. en R. Observe que C1(R), pero f k(x) =

k cos kx y de aqu f k no converge

uniformemente a en R.

Teorema 2.2.1 Sea U Rm abierto, convexo y acotado y sea (fk) C1(U ;Rn). Suponga que1. x0 U tal que (fk(x0)) Rn es convergente.2. (f k) C(U ;L(Rm;Rn)) es uniformemente en U .

Entonces f C1(U ;Rn) tal que fk f unif. en U y f k f unif. en U

Demostracion. Como U es acotado y x0 U entonces r > 0 tal que U Br[x0]. Por hipotesis(f k) C(U ;L(Rm;Rn)) es uniformemente convergente en U , luego es sucesion de Cauchy, por lo tanto,dado > 0, k1 N tal que si j, k k1 entonces

f j(x) f k(x) < 2r , x U. (2.3)Para j, k k1 consideremos la funcion fj fk : U Rn la cual es diferenciable en U que por hipotesises abierto y convexo, luego por (2.3) y por el Corolario 1 de la desigualdad del valor medio:

(fj fk)(x) (fj fk)(y) < 2rx y, x, y U, j, k k1 (2.4)Por la hipotesis 1.) debe existir un k2 N tal que si j, k k2 entonces

fj(x0) fk(x0) < 2 (2.5)

Analisis Real II 26

Tomando k0 = max{k1, k2}, de (2.4) y (2.5), para j, k k0 y x U , tenemosfj(x) fk(x) (fj fk)(x) (fj fk)(x0)+ (fj fk)(x0) 2rx x0+

2

Hemos probado que k0 N tal que si j, k k0 entonces fj(x) fk(x) < , x U . Es decir (fk)es sucesion de Cauchy, luego f F(U : Rn) tal que fk f unif. en U .

Por otro lado, de la hipotesis 2. g C(U ;L(Rm;Rn)) tal que f k g unif. en U . Vamos a probarque f es diferenciable en U y f = g. Dado a U , debemos probar que

f(a+ h) = f(a) + g(a)(h) + ra(h), h Uacon lim

h0ra(h)h = 0.

Sea ra(h) = f(a+ h) f(a) g(a)(h) entoncesra(h) = f(a+ h) f(a) g(a)(h)

f(a+ h) f(a) fk0(a+ h) + fk0(a)+fk0(a+ h) fk0(a) f k0(a)(h)+ f k0(a)(h) g(a)(h) (2.6)

Por hipotesis, fk0 es diferenciable en a, luego

fk0(a+ h) = fk0(a) + fk0(a)(h) + a(h), h Ua

con limh0

a(h)h = 0. De esta manera, dado > 0, > 0 tal que si 0 < h < entonces

fk0(a+ h) fk0(a) f k0(a)(h)h 0 tal que si 0 < h < entoncesra(h)h

f(a+ h) f(a) fk0(a+ h) + fk0(a)h +

+fk0(a+ h) fk0(a) f k0(a)(h)

h + fk0(a) g(a) <

De esta manera f es diferenciable en a y f (a) = g(a). Como el a fue arbitrario, concluimos que f esdiferenciable en U y f = g.

Analisis Real II 27

2.3 Series de Funciones

A continuacion definiremos el concepto de serie de funciones. Sea X Rm y (fk) F(X;Rn), definimoslas funciones s1 = f1, s2 = f1+f2, . . . , sk = f1+f2+ +fk. Como F(X;Rn) es un R-espacio vectorial,tenemos que (sk) F(X;Rn) la cual es llamada sucesion de sumas parciales asociada a (fk). Para hacernotar que (sk) depende de la sucesion original (fk), escribiremos

j,1

fk en vez de (sk).j,1

fk es llamado

serie de funciones.

Desde que una serie de funciones es un caso particular de sucesion de funciones, podemos aplicarlelos conceptos de lmite puntual y lmite uniforme.

Definicion 2.3.1 Sean (fk) F(X;Rn) y consideremosj,1

fk.

1. Decimos quej,1

fk converge puntualmente si y solo si su sucesion de sumas parciales sk =kj=1

fk

es una sucesion puntualmente convergente.

2. Decimos quej,1

fk converge uniformemente en X si y solo si su sucesion de sumas parciales sk =

kj=1

fk es una sucesion uniformemente convergente en X.

Notacion. El lmite S sera denotado por el smboloj=1

fj .

El siguiente es un criterio sumamente util para la convergencia uniforme de una serie de funciones.

Teorema 2.3.1 (M-test de Weierstrass) Sean X Rm, (Mk) R+ y (fk) F(X;Rn) tales que1. fk(x) Mk, x X, k 0.2. La serie de numeros reales

j,1

Mj es convergente.

Entonces la serie de funcionesj,1

fj converge uniformemente en X.

Demostracion. Denotemos sk =kj=1

fj y k =kj=1

Mj . Por hipotesis, la sucesion de numeros reales

positivos (k) es convergente, luego es de Cauchy, de esta manera, dado un > 0 existe un k0 N talque si j, k k0 entonces |j k| < . Por otro lado (para k i)

si(x) sk(x) = ij=1 fj(x)

kj=i

fj(x)

= kj=i+1 fj(x)

kj=i+1 fj(x) k

j=i+1

Mj = |k j |

Analisis Real II 28

procediendo de manera analoga para k i se tiene quesi(x) sk(x) |j k|, i, k N, x X

De esta manera, si tomamos i, k k0, tenemos si(x) sk(x) |j k| < , x X. El Criterio deCauchy nos permite concluir que (sk) es uniformemente convergente en X.

El siguiente resultado es consecuencia directa del Teorema 2.1.2.

Teorema 2.3.2 Sea (fk) C(X;Rn). Sij,1

fj converge uniformemente en X entoncesj=1

fj C(X;Rn).

Demostracion. sk =kj=1

fj C(X;Rn), k 1, luego (sk) C(X;Rn). Por hipotesis sk j=1

fj

unif. en X, luegoj=1

fj C(X;Rn).

Ejemplo 2.3.1 Sea (fk) F(I1(0);R) definida porfk : I1(0) R

x 7 fk(x) = xk

k2

y consideremosj,1

fj Observe que

|fj(x)| =xjj2 = |x|jj2 1j2 , x I1(0), j N

Como la serie de numeros realesj,1

1j2

es convergente, por el M - test de Weierstrass,j,1

xj

j2es uni-

formemente convergente en I1(0) y la funcion

S : I1(0) Rx 7 S(x) =

j=1

xj

j2

es continua en I1(0).

Finalmente, enunciemos para series el Teorema 2.2.1.

Teorema 2.3.3 Sea U Rm abierto, convexo y acotado y sea (fk) C1(U ;Rn). Suponga que1. x0 U tal que

j,1

fj(x0) es convergente.

Analisis Real II 29

2.j,1

f j es uniformemente convergente en U .

Entonces S C1(U ;Rn) tal quej,1

fj S unif. en U yj,1

f j S unif. en U

Demostracion. Ejercicio!

2.4 La Curva de Peano

Usaremos los resultados de la seccion anterior para construir una curva continua que tenga interior novaco.

Sea : [0, 2] R

t 7 (t) =

0, si 0 t 13, o

53 t 2

3t 1, si 13 t 2

3

1, si23 t 4

3

3t+ 5, si 43 t 5

3Extendemos periodicamente a todos los reales haciendo (t+ 2) = (t).

Observe que C(R) y es periodica de periodo 2. Dado k N, definimos (fk), (gk) F(R;R) como

fk(t) =(32k2t)

2ky gk(t) =

(32k1t)2k

, t R.

Analisis Real II 30

Es claro que (fk), (gk) C(R). Observe que

|fk(t)| =(32k2t)2k 12k , t R, k N

Ademas la sucesion de numeros reales positivos(12k

)es tal que

j,1

12j

es convergente. Por el M-test

de Weierstrassj,1

fj es uniformemente convergente en R, mas aun, por el Teorema 2.3.2,j,1

fj C(R).

Analogamente se prueba quej,1

gj C(R). Definimos las funciones

1 : R Rt 7 1(t) =

j=1

(32j2t)2j

2 : R Rt 7 2(t) =

j=1

(32j1t)2j

y sea : R R2

t 7 (t) = (1(t), 2(t))Se sigue que C(R;R2). Vamos a probar que ([0, 1]) = [0, 1] [0, 1]. En primer lugar

0 1(t) =j=1

(32j2t)2j

j=1

12j

= 1, t [0, 1]

Analogamente 0 2(t) 1, t [0, 1]. De esta manera (t) [0, 1] [0, 1], es decir ([0, 1]) [0, 1] [0, 1].

Sea (a, b) [0, 1] [0, 1], vamos a probar que t0 [0, 1] tal que (t0) = (a, b). Expresando a y b enel sistema binario, tenemos

a =j=1

aj2j, b =

j=1

bj2j

en donde aj , bj {0, 1}, j N. Definot0 = 2

j=1

cj3j

donde c2j1 = aj y c2j = bj , j N. Observe que

0 t0 = 2j=1

cj3j 2

j=1

13j

= 1

es decir t0 [0, 1]. Afirmo que (t0) = (a, b). En efecto, observe en primer lugar que es suficiente probar(3jt0

)= cj+1, j = 0, 1, 2, . . . (2.10)

Analisis Real II 31

Puesto que si (2.10) se cumple, tenemos:

1(t0) =j=1

(32j2t0)2j

=j=1

c2j12j

=j=1

aj2j

= a

2(t0) =j=1

(32j1t0)2j

=j=1

c2j2j

=j=1

bj2j

= b

lo cual prueba la afirmacion. Probemos entonces (2.10): Dado k = 0, 1, 2, . . . (fijo, arbitrario), tenemos:

3kt0 = 2j=1

cj3jk = 2

kj=1

3kjcj + 2

j=k+1

cj3jk

= numero par + dk

donde dk = 2j=1

cj+k3j

desde que tiene perodo 2, tenemos (3kt0) = (dk).

Si ck+1 = 0 entonces 0 dk = 2j=2

cj+k3j

2j=2

13j

=13, luego (dk) = 0, es decir (3kt0) = ck+1.

Si ck+1 = 1 entonces23 dk = 2

j=1

cj+k3j

2j=1

13j

= 1, luego (dk) = 1, es decir (3kt0) = ck+1.

2.5 La Funcion de Weierstrass

En 1872, Weiertrass dio un ejemplo de una funcion continua en todo R que no es diferenciable en ningunpunto de su dominio.

Consideremos la sucesion de funciones (fn) C(R) definida porfn(x) = bn cos(anpix), x R

en donde a es un entero impar mayor que 1 y 0 < b < 1. Por el M -test de Weierstrass concluimos quen,1

fn converge uniformemente en R. Definimos W : R R como W (x) =n=1

bn cos(anpix). Se sigue

que W C(R). W es llamada funcion de Weierstrass. Vamos a demostrar que W no es diferenciable enningun punto de su dominio. En efecto, procediendo por contradiccion, supongamos que existe x0 Rtal que W es diferenciable en x0 (Hipotesis Auxiliar), luego existe lim

xx0W (x)W (x0)

x x0 y por tanto si(xm) R {x0} es tal que lim

mxm = x0 entonces debe existir limmW (xm)W (x0)

xm x0 .Existe un unico k0 Z tal que 12 < x0 k0

12, denotemos x1 = x0 k0. Existe un unico k1 Z

tal que 12< ax0 k1 12 , denotemos x

2 = ax0 k1. Prosiguiendo por induccion, existe un unico

km Z tal que 12 < amx0 km 12 , denotemos x

m+1 = a

mx0 km.

Analisis Real II 32

De esta manera hemos construido dos sucesiones (km) Z y (xm) R tales que 12 < xm 12 ,

m N. A continuacion definimos la sucesion (xm) R por xm = km 1am , m N. Observe que

xm x0 = km 1am x0 =km 1 amx0

am= 1 + x

m+1

am, m N

Como 12< xm 12 entonces

12< 1 + xm 32 . De aqu se desprende que xm x0 < 0, m N y

limmxm = x0.

Para m N fijo tenemosW (xm)W (x0)

xm x0 =n=0

bncos(anxmpi) cos(anx0pi)

xm x0

=m1n=0

bncos(anxmpi) cos(anx0pi)

xm x0 +

n=m

bncos(anxmpi) cos(anx0pi)

xm x0

=m1n=0

(ab)ncos(anxmpi) cos(anx0pi)

an(xm x0) +n=0

bm+ncos(am+nxmpi) cos(am+nx0pi)

xm x0= A+B (2.11)

Por trigonometra elemental, sabemos que cos( + ) cos( ) = 2sensen. Haciendo =an(xm + x0

2

)pi y = an

(xm x0

2

)pi (con n 0 fijo), tenemos

cos(anxmpi) cos(anx0pi) = 2sen(an(xm + x0

2

)pi) sen

(an(xm x0

2

)pi)

Luegocos(anxmpi) cos(anx0pi)

an(xm x0) = pisen(an(xm + x0

2

)pi)sen

(an(xmx0

2

)pi)

an(xmx0

2

)pi

Como limx0

senxx

= 1, debe existir un m0 N tal que si m m0 entonces sen (an (xmx02 )pi)an (xmx02 )pi < 32

luego

|A| 32

m1n=0

(ab)npi =3pi2(ab)m 1ab 1 1 +9pi4, es decir

piab 1 0 tal que Br[a] Xy

f(a) a (1 Lip(f))rentonces f admite un unico punto fijo en Br[a].

Demostracion. Es suficiente probar que f(Br[a]) Br[a]. Sea y f(Br[a]) entonces x Br[a] talque f(x) = y, se cumple

y a = f(x) a f(x) f(a)+ f(a) a Lip(f)x a+ (1 Lip(f))r = res decir y Br[a]. Teorema 3.2.3 (Perturbacion de la Identidad) Sea U Rm abierto y : U Rm una contraccion.Entonces la funcion

f : U Rmx 7 f(x) = x+ (x)

es un homeomorfismo de U sobre f(U) Rm, en particular f(U) es un abierto. Ademas, si U = Rmentonces f(U) = Rm.

Demostracion. Claramente f : U Rm es continua. Dados x1, x2 U , tenemosf(x1) f(x2) = x1 + (x1) x2 (x2) x1 x2 (x1) (x2)

x1 x2 Lip()x1 x2Es decir

f(x1) f(x2) (1 Lip())x1 x2, x1, x2 U (3.1)Si f(x1) = f(x2) entonces 0 = f(x1) f(x2) (1 Lip())x1 x2 0, luego x1 = x2. De estamanera f es inyectiva, luego f : U f(U) es una biyeccion. Vamos a probar que f1 : f(U) U es

Analisis Real II 37

continua. Sean y1, y2 f(U) entonces existen x1, x2 U tales que f(x1) = y1 y f(x2) = y2, de (3.1)tenemos

f1(y1) f1(y2) 11 Lip()f(x1) f(x2) =1

1 Lip()y1 y2

Se sigue que f1 es Lipschitz en f(U) y Lip(f1) 11 Lip() , en particular f

1 es continua. De estamanera hemos probado que f es un homeomorfismo de U sobre f(U).

Probemos ahora que si U = Rm entonces f(U) = Rm. Sea a Rm, para cualquier r > 0 se tiene queBr[a] U .Afirmacion: B(1Lip())r(f(a)) f(Br[a]). En efecto, sea y B(1Lip())r(f(a)) para probar quex Br[a] tal que f(x) = y, consideremos la funcion

y : Rm Rmx 7 y(x) = y (x)

Para x1, x2 Rm, se cumpley(x1) y(x2) = y (x1) y + (x2) = (x1) (x2) Lip()x1 x2

Se sigue que y es una contraccion y Lip(y) Lip(), luegoy(a) a = y (a) a = y f(a) < (1 Lip())r (1 Lip(y))r

Por la Proposicion 3.2.2, existe un unico x Br[a] tal que y(x) = x, es decir y = x+(x) = f(x), luegoy f(Br[a]) lo cual prueba la afirmacion. As

B(1Lip())r(f(a)) f(Rm), r > 0

Haciendo rk =k

1 Lip() (k N) tenemos Bk(f(a)) f(Rm), k N. Se sigue que

Rm =kN

Bk(f(a)) f(Rm)

lo que finaliza la demostracion. Corolario. (Perturbacion de un Isomorfismo) Sea U Rm abierto, T GL(Rm), : U RmLipschitz tal que Lip() < T11. Entonces la funcion

f : U Rmx 7 f(x) = T (x) + (x)

es un homeomorfismo de U sobre f(U) Rm donde f(U) es un abierto. Ademas, si U = Rm entoncesf(U) = Rm.Demostracion. Considero

: U Rmx 7 (x) = (T1 )(x)

Analisis Real II 38

Para x1, x2 U se tiene(x1) (x2) T1 (x1) (x2) T1 Lip() x1 x2

De esta manera es Lipschitz y Lip() T1Lip() < 1, es decir es una contraccion. Luego, porel Teorema 3.2.3, la funcion

g : U Rmx 7 g(x) = x+ (x)

es un homeomorfismo de U sobre g(U) y si U = Rm entonces g(U) = Rm.Como T GL(Rm) entonces T g : U Rm es un homeomorfismo de U sobre el abierto (T g)(U)

y si U = Rm entonces (T g)(U) = Rm. Pero(T g)(x) = T (x+ (x)) = T (x) + T ((x)) = T (x) + (x) = f(x)

Luego T g = f . Teorema 3.2.4 (Diferenciabilidad del Homeomorfismo Inverso) Sean U, V Rm abiertos y f :U V un homeomorfismo de U sobre V . Si f es diferenciable en a U y f (a) GL(Rm) entoncesf1 : V U es diferenciable en b = f(a) y (f1)(f(a)) = [f (a)]1.

Demostracion. Como f es diferenciable en a, se cumple

f(a+ h) = f(a) + f (a)(h) + ra(h), h Ua (3.2)

donde limh0

ra(h)h = 0.

Sea k Vb y considero h = f1(b+ k) f1(b) Rm, se sigue que a+ h U luego de (3.2)b+ k = b+ f (a)[f1(b+ k) f1(b)] + ra(f1(b+ k) f1(b))

Como f (a) GL(Rm) tenemos[f (a)]1 (k) = f1(b+ k) f1(b) + [f (a)]1 (ra(f1(b+ k) f1(b)))

es decir

f1(b+ k) = f1(b) + [f (a)]1 (k) + b(k), k Vb (3.3)

donde b(k) = ([f (a)]1 ra

)(f1(b + k) f1(b)). Debemos probar que lim

k0b(k)k = 0. Ahora

bien, como f (a) GL(Rm) sabemos que C > 0 tal que f (a)(x) Cx, x Rm. Desde quelimh0

ra(h)h = 0, debe existir un > 0 tal que h Ua y 0 < h < implica

ra(h)h 0 tal que Br(b) f(B(a)). Si y Br(b)entonces x B(a) tal que y = f(x), luego

f1(y) f1(b) = x a 2Cf(x) f(a) = 2

Cy b

Se sigue quef1(y) f1(b)

y b 2C, y Br(b) {b}

Sea k Vb con 0 < k < r entonces b+ k Br(b) {b}, luegof1(b+ k) f1(b)

k 2C.

Se sigue que

limk0

ra(f1(b+ k) f1(b))k = limk0

[ra(f1(b+ k) f1(b))f1(b+ k) f1(b)

][f1(b+ k) f1(b)

k]= 0

luego

limk0 [f

(a)]1(ra(f1(b+ k) f1(b))

k)= 0

es decir limk0

k(b)k = 0. De (3.3) concluimos que f

1 es diferenciable en b = f(a) y (f1)(f(a)) =

[f (a)]1. Corolario. Sean U, V Rm abiertos y f : U V un homeomorfismo de U sobre V . Si f es diferenciableen U y f (x) GL(Rm), x U entonces f1 : V U es diferenciable en V y (f1)(f(x)) = [f (x)]1, x U . En particular f es un difeomorfismo.Definicion 3.2.1 Sean U, V Rm dos abiertos. Decimos que f : U V es un difeomorfismo de claseCk entre U y V si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. f es una biyeccion.

2. f es de clase Ck en U .

3. f1 : V U es de clase Ck en V .

Notacion: Dados U, V Rm abiertos y k Z+, denotamosHom (U ;V ) = {f : U V ; f es un homeomorfismo entre U y V }Diff k(U ;V ) = {f : U V ; f es un difeomorfismo de clase Ck entre U y V }

Observacion. Sabemos que 1 y 2 no implica 3. El siguiente resultado nos da una condicion adicionalque anadida a 1 y 2 va a implicar 3.

Analisis Real II 40

Proposicion 3.2.5 Sean U, V Rm abiertos y f : U V una biyeccion de clase Ck (k 1). Sif1 : V U es diferenciable en V entonces f Diff k(U ;V ).

Demostracion. Recordemos que la funcion

inv : GL(Rm) GL(Rm)T 7 inv(T ) = T1

es de clase C. Sea y V (fijo, arbitrario), sabemos que(f1)(y) =

[f (f1(y))

]1= (inv f f1)(y), y V

De esta manera (f1) = invf f1. La demostracion se sigue por induccion sobre k: Si f C1(U ;Rm)entonces (f1) C(U ;L(Rm)) luego f1 C1(U ;L(Rm)), y as sucesivamente. Teorema 3.2.6 (Teorema de la Funcion Inversa) Sea U Rm abierto y f Ck(U ;Rm) (k 1)tal que f (a) GL(Rm) (donde a U). Entonces existen abiertos Wa U y W a Rm con a Wa yf(a) W a tales que f

Wa

Diff k(Wa;W a).

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 y f(a) = 0 (caso contrario,consideramos traslaciones). Por hipotesis T = f (0) GL(Rm), como GL(Rm) es abierto entonces r > 0 tal que Br(T ) GL(Rm). Por otro lado f : U L(Rm) Rm2 es continua. Dado 0 < 0 tal que si x < entonces f (x)T < , es decir f (x) Br(T ) GL(Rm).

De esta manera, hemos probado que

x B(0) f (x) GL(Rm) y f (x) T < T11 (3.4)Como f es diferenciable en 0, para h U tenemos

f(h) = T (h) + ra(h) donde limh0

ra(h)h = 0

Observe quera(h1) ra(h2) = f(h1) f(h2) T (h1 h2)

Por el Corolario 3 de la desigualdad del valor medio

ra(h1) ra(h2) h1 h2, h1, h2 B(0)Luego r0 es Lipschitz en B(0), con Lip(r0) < T11. De esta manera, por el Teorema de laperturbacion de un isomorfismo, concluimos que f es un homeomorfismo de B(0) sobre f(B(0)).

Denotando W0 = B(0), W 0 = f(B(0)), claramente W0 U y W 0 son abiertos y fWa

: Wa W aes un homeomorfismo de W0 sobre W 0. Sea y W 0 entonces x W0 tal que f(x) = y. Como x W0 = B(0), de (3.4), f (x) GL(Rm), luego por el Teorema de la diferenciabilidad del homeomorfismoinverso, f1 : W 0 W0 es diferenciable en f(x) = y, y W 0 de esta manera f1 es diferenciable enW 0. Luego, por la Proposicion 3.2.5, f

Wa

Diff k(Wa;W a). Observacion: Si en el Teorema de la funcion inversa reemplazamos la hipotesis de ser f Ck(U ;Rm)(k 1) por f diferenciable en U , entonces el resultado no es necesariamente cierto.

Analisis Real II 41

3.3 Inmersiones y Sumersiones

Definicion 3.3.1 Sea U Rm un abierto y f : U Rn una funcion diferenciable en U . Decimos que fes una inmersion de U en Rn si y solo si f (x) L(Rm;Rn) es inyectiva, x U .

Observacion. Si f : U Rm Rn es una inmersion de U en Rn entonces m n.Ejemplo 3.3.1 Sea m n y consideremos

f : Rm Rnx 7 f(x) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0)

Como f es lineal se tiene que f (x) = f , x Rm. De esta manera f (x) L(Rm;Rn) es inyectiva, x Rm. As f es una inmersion la cual es llamada inmersion canonica de Rm en Rn. Ejemplo 3.3.2 Es facil reconocer si un camino diferenciable es una inmersion. En efecto, sea I Run intervalo y : I Rn un camino diferenciable. Luego es una inmersion de I en Rn si y solo si(t) L(R;Rn) es inyectiva t I si y solo si (t) 6= 0, t I. Ejemplo 3.3.3 Sea el camino

: R R2t 7 (t) = (t2, t3)

Como (t) = (2t, 3t2) se sigue que (0) = (0, 0). Concluimos que no es una inmersion de R en R2.

Ejemplo 3.3.4 Sea el camino

: R R2t 7 (t) = (t3 4t, t2 4)

Como (t) = (3t2 4, 2t), se tiene (t) 6= (0, 0), t R, luego es una inmersion de R en R2.

Observaciones.

1. Una funcion inyectiva no necesariamente es una inmersion (ver Ejemplo 3.3.3).

2. Una inmersion no necesariamente es una funcion inyectiva (ver Ejemplo 3.3.4).

El Teorema siguiente nos muestra que toda inmersion suficientemente suave, se comporta localmentecomo la inclusion canonica y por lo tanto es localmente inyectiva.

Teorema 3.3.1 (Forma Local de las Inmersiones) Sea U Rm un abierto, f Ck(U ;Rn) (k 1y n m) y a U . Si f (a) L(Rm;Rn) es inyectiva entonces existen abiertos Wa U , Za Rnm yW a Rn con a Wa, 0 Za y f(a) W a y existe ha Diff k(W a,Wa Za) tales que ha(f(a)) = (a, 0)y

(ha f)(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0), (x1, . . . , xm) Wa.

Analisis Real II 42

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 Rm y f(a) = 0 Rn (casocontrario, consideramos traslaciones). Sea E = Im [f (0)], como f (0) L(Rm;Rn) es inyectiva entoncesdimRE = m. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que E es generado por las primeras m filasde la matriz f (0), es decir si f = (f1, f2, . . . , fn) entonces

(f1, . . . , fm)(x1, . . . , xm)

(0) GL(Rm).Mas aun, por un cambio lineal de coordenadas podemos suponer que

(f1, . . . , fm)(x1, . . . , xm)

(0) = I

Observe que la igualdad anterior implica que

f(x) = (x1, . . . , xm, fm+1(x1, . . . , xm), . . . , fn(x1, . . . , xm))

Consideremos el mapeo

: U Rnm Rn(x, x) 7 (x, x) = (x, xm+1 + fm+1(x), . . . , xn + fn(x))

en donde x = (x1, , xm) y x = (xm+1, , xn). Claramente Ck(U Rnm;Rn), (0) = 0 Rn yJ(0) =

(x1, , xm, xm+1 + fm+1, . . . , xn + fn)(x1, . . . , xn)

(0)

=

(x1, , xm)(x1, . . . , xm)

(0)(x1, , xm)(xm+1, . . . , xn)

(0)

(xm+1+ fm+1, . . . , xn+fn)(x1, . . . , xm)

(0)(xm+1+fm+1, . . . , xn + fn)

(xm+1, . . . , xn)(0)

=

[I B I

] GL(Rn)

Luego, por el Teorema de la funcion inversa, existen abiertos Va U , Za Rnm y W a Rn cona = 0 Va, 0 Z0 y f(a) = 0 W a tales que

V0Z0 Diff k(Va Za,W a). Ahora bien, sea

= (fm+1, . . . , fn) : U Rnm, note que f(x) = (x, (x)). Se sigue que es continua, luegoWa = Va 1(Za) es un abierto. Denotando ha =

(WaZa

)1, tenemos

(x, x) = (x, x + (x)) = (y, y), (x, x) Wa ZaLuego

ha(y, y) = (x, x) = (y, y (y)), (y, y) W aDe esta manera, para cualquier x Wa se tiene

(ha f)(x) = ha(f(x)) = ha(x, (x)) = (x, (x) (x)) = (x, 0)Esto prueba el teorema. Corolario. Sea U Rm un abierto y f Ck(U ;Rn) (k 1 y n m) una inmersion de U en Rnentonces f es localmente inyectiva.

Analisis Real II 43

Definicion 3.3.2 Sea U Rm un abierto y f : U Rn una funcion diferenciable en U . Decimos que fes una sumersion de U en Rn si y solo si f (x) L(Rm;Rn) es sobreyectiva, x U .

Observacion. Si f : U Rm Rn es una sumersion de U en Rn entonces m n.Ejemplo 3.3.5 Sea m n y consideremos la proyeccion

pi : Rm Rnx 7 pi(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn)

Como pi es lineal se tiene que pi(x) = pi, x Rm. De esta manera pi(x) L(Rm;Rn) es sobreyectiva, x Rm. As pi es una sumersion de Rm en Rn . Ejemplo 3.3.6 Es facil reconocer si una funcion diferenciable a valores reales es una sumersion de sudominio en R. En efecto, sea U Rm un abierto f : U Rn una funcion diferenciable. Luego f esuna sumersion de U en Rn si y solo si f (x) L(Rm;R) = (Rm) es sobreyectiva x U si y solo sif (x) f(x) 6= 0, x U . Ejemplo 3.3.7 Sea : I R una funcion diferenciable sobre el intervalo I R y consideremos

f : I R R(x, y) 7 f(x, y) = y (x)

Es claro que f es diferenciable en U = I R R2 y como f(x, y) = ((x), 1), concluimos que f esuna sumersion de U en R.

Ejemplo 3.3.8 Seaf : R3 R

(x, y, z) 7 f(x, y, z) = x2 + y2 + z2Es claro que f es diferenciable en R3 y f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z), luego f(0, 0, 0) = (0, 0, 0). Concluimosque f no es una sumersion de R3 en R.

El Teorema siguiente nos muestra que toda sumersion suficientemente suave, se comporta localmentecomo una proyeccion.

Teorema 3.3.2 (Forma Local de las Sumersiones) Sea U Rm un abierto, f Ck(U ;Rn) (k 1y n m) y a = (a, a) U , donde a = (a1, . . . , an) y a = (an+1, . . . , am). Si f (a) L(Rm;Rn) essobreyectiva entonces existen abiertos Wa U , Va Rn y Za Rmn con a Wa, f(a) Va y a Zay existe ha Diff k(Va Za,Wa) tales que ha(f(a), a) = a y

(f ha)(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , yn), (y1, . . . , yn) Va Za.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 Rm y f(a) = 0 Rn(caso contrario, consideramos traslaciones). Por hipotesis f (0) L(Rm;Rn) es sobreyectiva, luego

Analisis Real II 44

Im(f (0)) = f (0)(Rm) tiene dimension n, podemos suponer (salvo un cambio lineal de coordenadas) quef (0)(e1), . . . , f (0)(en) generan Im(f (0)). Si denotamos f = (f1, . . . , fn) entonces

A =(f1, . . . , fn)(x1, . . . , xn)

(0) GL(Rn).

Denotemos 1 = f1, . . . , n = fn y considero n+1 = pin+1, . . . , m = pim Ck(U) (dondepij(x1, . . . , xm) = xj). Si = (1, . . . , m) : U Rm, es claro que Ck(U ;Rm), (0) = 0 y

(1, . . . , m)(x1, . . . , xm)

(0) =

(f1, . . . , fn)(x1, . . . , xn)

(0)(f1, . . . , fn)

(xn+1, . . . , xm)(0)

(pin+1, . . . , pim)(x1, . . . , xn)

(0)(pin+1, . . . , pim)(xn+1, . . . , xm)

(0)

=[A B I

] GL(Rm)

es decir (0) GL(Rm). Por el Teorema de la Funcion Inversa existen abiertos Wa U y W a =VaZa RnRmn con 0 Wa, f(0) Va, 0 Za tales que Wa :Wa VaZa es un difeomorfismode clase Ck. Denotemos ha =

(Wa

)1: Va Za Wa. Observe que

(x) = (f1(x), . . . , fn(x), xn+1, . . . , xm) = (y1, . . . , yn, yn+1, . . . , ym)

luego para cualquier (y1, . . . , ym) Va Za tenemos(f ha)(y1, . . . , ym) = f(x) = (f1(x), , fn(x)) = (y1, . . . , yn)

Observacion: Si en la demostracion del Teorema de la Forma Local de las Sumersiones suponemos quelos n ultimos vectores f (0)(emn+1), . . . , f (0)(em) generan Im f (0), (esto es equivalente a decir que

(f1, . . . , fn)(xmn+1, . . . , xm)

(0) GL(Rn)),

entonces f se comporta localmente como la proyeccion sobre las ultimas n coordenadas. Mas especfi-camente, existen abiertos Wa U , Va Rn y Za Rmn con a Wa, f(a) Va y a Za (dondea = (a, a) Rmn Rn) y existe ha Diff k(Za Va,Wa) tales que

(f ha)(y, y) = y, (y, y) Za Va.Ademas, el lector puede probar sin dificultad que ha es del tipo

ha(y, y) = (y, h2(y, y)), (y, y) Za Va.

Teorema 3.3.3 (Teorema de la Funcion Implcita) Sea U Rm un abierto, a = (a, a) U cona Rmn, a Rn. Si f = (f1, . . . , fn) Ck(U ;Rn) (k 1 y n m) es tal que

(f1, . . . , fn)(xmn+1, . . . , xm)

(a) GL(Rn).

Analisis Real II 45

Entonces existen abiertos Wa U y Za Rmn con a Wa y a Za tal que y Za, existe un unicoy = y(x) Rn con la propiedad (y, y) Wa y f(y, y) = c = f(a). Ademas la funcion

ga : Za Rny 7 ga(y) = y

es de clase Ck en Za y para cualquier y Za se tiene

ga(y) = [

(f1, . . . , fn)(xmn+1, . . . , xm)

(y, ga(y))]1 (f1, . . . , fn)

(x1, . . . , xmn)(y, ga(y))

Demostracion. Por la observacion anterior, existen abiertos Wa U , Va Rn y Za Rmn cona Wa, c = f(a) Va y a Za y existe un difeomorfismo de clase Ck

ha : Za Va Wa(y, y) 7 (y, h2(y, y))

tales que(f ha)(y, y) = y, (y, y) Za Va.

Sea y Za, defino y = y(y) = h2(y, c), se sigue que (y, y) = (y, h2(y, c)) = ha(y, c) Wa y enconsecuencia f(y, y) = f ha(y, c) = c, y Za. Para demostrar que este y es unico, sea y Rn talque (y, y) Wa y f(y, y) = c. Como ha Diff k(Za Va,Wa) difeomorfismo, existe (z, z) Za Vatal que

(z, h2(z, z)) = ha(z, z) = (y, y)Se sigue que z = y, ademas

z = f ha(z, z) = f(y, y) = c,luego y = h2(z, z) = h2(y, c) = y, esto prueba la unicidad de y. Defino

ga : Za Rny 7 ga(y) = y = h2(y, c)

Claramente ga es de clase Ck en Za, ademas como para cualquier y Za se cumple f(y, ga(y)) = c,definiendo la funcion : Za Wa como (y) = (y, ga(y)), tenemos

f ((y))(y) = 0 (3.5)

Pero si denotamos ga = (g1, . . . , gn) se tiene

(y) = (y1, . . . , ymn, g1, . . . , gn)(y1, . . . , ymn)

(y) =

(y1, . . . , ymn)(y1, . . . , ymn)

(y)

(g1, . . . , gn)(y1, . . . , ymn)

(y)

=[

Iga(y)

](3.6)

f ((y)) = (f1, . . . , fn)(x1, . . . , xm)

((y)) =[

(f1, . . . , fn)(x1, . . . , xmn)

((y)), (f1, . . . , fn)(xmn+1, . . . , xm)

((y))]

(3.7)

Analisis Real II 46

Reemplazando (3.6) y (3.7) en (3.5) tenemos

(f1, . . . , fn)(x1, . . . , xm)

((y)) + (f1, . . . , fn)(xmn+1, . . . , xm)

((y)) ga(y) = 0

lo cual implica

ga(y) = [

(f1, . . . , fn)(xmn+1, . . . , xm)

((y))]1 (f1, . . . , fn)

(x1, . . . , xmn)((y))

Observacion. En el caso que n = 1, tenemos el Teorema de la funcion implcita estudiado en Analisis I.

3.4 El Teorema del Rango

Recordemos que el rango de una transformacion lineal T L(Rm,Rn) es definido como la dimension deIm (T ), o equivalentemente, como el numero maximo de vectores filas o vectores columnas linealmenteindependientes de cualquier matriz asociada a T .

Definicion 3.4.1 Sea U Rm un abierto y f : U Rn una funcion diferenciable en U . El rango de fen a U , denotado rang a(f) es el rango de f (a) L(Rm;Rn).

Observacion: Si U Rm un abierto y f : U Rn entonces rang a(f) min{m,n}, a U .Ejemplo 3.4.1 Sea

f : R2 R4(x, y) 7 f(x, y) = (x2 + y, x2 y3, x y, x2 + y2)

Se tiene que

Jf(x, y) =

2x 12x 3y21 12x 2y

R42Concluimos que rang (x,y)(f) = 2, (x, y) R2. Ejemplo 3.4.2 Sea f : Rm Rn definida por

f(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)

donde k min{m,n}. Se sigue que rang x(f) = k, x Rm. Esta funcion f es llamada proyeccioncanonica de rango k.

Ejemplo 3.4.3 Sea = (1, . . . , n) : I R Rn diferenciable en el intervalo I. Si (t) = 0 entonces tiene rango 0 en t, pero si (t) 6= 0 entonces tiene rango 1 en t.

Analisis Real II 47

Ejemplo 3.4.4 Sea f : U R diferenciable en el abierto U Rm I. Si f (x) = 0 entonces f tienerango 0 en x, pero si f (x) 6= 0 entonces f tiene rango 1 en x. Ejemplo 3.4.5 Sea f : U Rm Rn. Si f es una inmersion entonces rang x(f) = m = min{m,n}, x U , pero si f es una sumersion entonces rang x(f) = n = min{m,n}, x U . Es por esta razonque las inmersiones y sumersiones son llamadas funciones de rango maximo

El siguiente resultado establece que si f : U Rn tiene rango constante k en el abierto U Rm,entonces en cada punto de su dominio se comporta localmente (por un cambio de coordenadas) como laproyeccion canonica de rango k.

Teorema 3.4.1 (El Teorema del Rango) Sea U Rm un abierto y f Cp(U ;Rn) (p 1) tal querang x(f) = k, x U . Entonces para todo a U existen abiertos Ua U , Ub Rn, V Rk, W Rmk y Z Rnk con a Ua y b = f(a) Ub, 0 V , 0 W , 0 Z y existen Ga Diff p(Ua, V W ) yGb Diff p(Ub, V Z) tales que Ga(a) = 0 Rm, Gb(b) = 0 Rn y Gb f G1a : V W V Z esdada por (

Gb f G1a)(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , yk, 0, . . . , 0)

Demostracion. Sin perdida de generalidad podemos, podemos suponer a = 0 Rm, b = 0 Rn,ademas por un cambio de coordenadas lineal, podemos suponer tambien que

rang[(f1, . . . , fk)(x1, . . . , xk)

(a)]= k,

en donde f = (f1, . . . , fn).Definimos 1 = f1, . . . , k = fk y escogemos k+1 = pik+1, . . . , m = pim. Si = (1, . . . , n) : U Rnentonces Cp(U ;Rm), (a) = 0 y

J(a) =(1, . . . , m)(x1, . . . , xm)

(a) =

(f1, . . . , fk)(x1, . . . , xk)

(a)(f1, . . . , fk)

(xk+1, . . . , xm)(a)

(pik+1, . . . , pim)(x1, . . . , xk)

(a)(pik+1, . . . , pim)(xk+1, . . . , xm)

(a)

=[A B I

]

luego (a) GL(Rm). Por el Teorema de la Funcion Inversa, existen abiertos U a U y V a Rm cona U a y 0 V a tales que

U a

Diff p(U a, V a), denotemos Ga = U a. Denotando (y1, . . . , ym) las

coordenadas de V a Rm tenemos Ga(x) = y, es decir(f1(x), . . . , fk(x), xk+1, . . . , xm) = (y1, . . . , ym)

luego

f G1a (y) = f(x) = (f1(x), . . . , fk(x), fk+1(x), . . . , fn(x))= (y1, . . . , yk, fk+1(G1a (y)), . . . , fn(G1a (y))= (y1, . . . , yk, hk+1(y), . . . , hn(y)) (3.8)

Analisis Real II 48

en donde hj = fj G1a , k + 1 j n. Observe que hj Cp(V a). Afirmo que las hj solo dependen delas variables y1, . . . , yk. En efecto, en primer lugar por la Regla de la Cadena(

f G1a)(y) = f (G1a (y)) (G1a )(y), y V a

Como (G1a )(y) GL(Rm) entoncesrang y

(f G1a

)= rang y

(f G1a

)= k, y V a

Por otro lado

J(f G1a )(y) = (y1, . . . , yk, hk+1, . . . , hn)(y1, . . . , ym) (y) =

(y1, . . . , yk)(y1, . . . , yk)

(y)(y1, . . . , yk)

(yk+1, . . . , ym)(y)

(hk+1, . . . , hn)(y1, . . . , yk)

(y)(hk+1, . . . , hn)(yk+1, . . . , ym)

(y)

=

I B

(hk+1, . . . , hn)(yk+1, . . . , yn)

(y)

Como rang y

(f G1a

)= k entonces

(hk+1, . . . , hn)(yk+1, . . . , ym)

(y) = , y V ay esto implica que hk+1, . . . , hn solo dependen de las variables y1, . . . , yk lo cual prueba la afirmacion.

Luego de (3.8) tenemos que f G1a : V a Rn es definida por(f G1a

)(y) = (y1, . . . , yk, hk+1(y1, . . . , yk), . . . , hn(y1, . . . , yk)) (3.9)

Por otro lado, sean W a Rk, W a Rmk abiertos con 0 W a, 0 W a tales que W a W a V a.Definimos b :W a Rnk Rn por

b(u) = (u1, . . . , uk, uk+1 + hk+1(u1, . . . , uk), . . . , un + hn(u1, . . . , uk)) (3.10)

Claramente b(0) = 0 = b y

Jb(b)=(u1, . . . , uk, uk+1 + hk+1, . . . , un + hn)

(u1, . . . , un)(0)

=

I (uk+1 + hk+1, . . . , un + hn)(u1, . . . , uk)

(uk+1 + hk+1, . . . , un + hn)(uk+1, . . . , un)

= I B I

GL(Rn)Luego, por el Teorema de la Funcion Inversa, existen abiertos V W a, Z Rnk y Ub Rn con0 V , 0 Z y b Ub tales que bVZ Diff p(V Z,Ub). Sea W W a abierto con 0 W tal que

Analisis Real II 49

V W (f G1a )1(Ub). Denotando Ua = G1a (V W ) y Gb =(bVZ

)1: Ub V Z de (3.9) y

(3.10) tenemos

G1b (y1, . . . , yk, 0, . . . , 0) = b(y1, . . . , yk, 0, . . . , 0) = (y1, . . . , yk, hk+1(y1, . . . , yk), . . . , hn(y1, . . . , yk))=

(f G1a

)(y)

luego(Gb f G1a

)(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , yk, 0, . . . , 0).

Corolario. Sea U Rm un abierto y f C1(U ;Rn) tal que el rango de f es constante en U . Entonces1. f es localmente inyectiva si y solo si f es una inmersion.

2. f es abierta si y solo si f es una sumersion.

Demostracion. 1) () Supongamos que f no es una inmersion (Hip. Aux.) entonces a U tal quef (a) L(Rm;Rn) no es inyectiva, luego rang a(f) = k < m, por hipotesis rang x(f) = k < m, x U .Por el Teorema del Rango existen abiertos Ua U , Ub Rn, V Rk, W Rmk y Z Rnk y existenGa Diff 1(Ua, V W ) y Gb Diff 1(Ub, V Z) tales que Gb f G1a : V W V Z es de la forma

Gb f G1a (x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)Por hipotesis, podemos suponer que f es inyectiva en Ua, luego Gb f G1a sera inyectiva en V W ,lo cual es una contradiccion.() Forma local de las inmersiones.2) () Supongamos que f no es una sumersion (Hip. Aux.) entonces a U tal que f (a) L(Rm;Rn)no es sobreyectiva, luego rang a(f) = k < n, por hipotesis rang x(f) = k < n, x U . Por elTeorema del Rango existen abiertos Ua U , Ub Rn, V Rk, W Rmk y Z Rnk y existenGa Diff 1(Ua, V W ) y Gb Diff 1(Ub, V Z) tales que Gb f G1a : V W V Z es de la forma

Gb f G1a (x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)Como f es abierta, Ga, Gb son difeomorfismos y V W es abierto entonces (Gb f G1a ) (V W ) =V {0}, lo cual es una contradiccion. () Sea W U abierto, dado a W , por hipotesis f (a) es sobreyectiva, luego por la Forma local delas sumersiones existen abiertos Wa W , Va Rn y Za Rmn con a Wa, f(a) Va y a Za yexiste ha Diff 1(Va Za,Wa) tal que f ha es una proyeccion y por tanto es una funcion abierta, as(f ha) (Va Za) es un conjunto abierto.

Por otro lado, observe queW =

aW

Wa =aW

ha(Va Za)

luego

f(W ) = f

( aW

ha(Va Za))=aW

(f ha)(Va Za)

Se sigue que f(W ) es abierto.

Captulo 4

Introduccion a la Teora deSuperficies en Rn

4.1 Definicion de Superficie

Definicion 4.1.1 Sea V Rn, una parametrizacion de clase Ck (k 1) y dimension m del conjuntoV es un par (V0, ), donde V0 Rm es un abierto y : V0 V es una funcion que satisface las doscondiciones siguientes:

1. Hom(V0, V ).2. es una inmersion de clase Ck.

Observaciones.

1. Si V Rn y (V0, ) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m de V entonces m n.2. Si V Rn y (V0, ) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m de V entonces todo punto

p V no obstante estar en Rn, necesita solo de m coordenadas para determinar su posicion, a saberp = (1(x1, . . . , xm), . . . , n(x1, . . . , xm))

Ejemplo 4.1.1 Sea U Rn un abierto, entonces (U, id) es una parametrizacion de clase C y dimensionn de U .

Ejemplo 4.1.2 Sean V = S1 {0}, V0 = ]0, 2pi[ y : V0 V

t 7 (t) = (cos t, sen t)Entonces (V0, ) es una parametrizacion de clase C y dimension 1 de V .

50

Analisis Real II 51

Ejemplo 4.1.3 Sean V = {(t3 t, t2) : t ] 1,+[}, V0 = ] 1,+[ y : V0 V

t 7 (t) = (t3 t, t2)Es claro que es biyectiva, ademas como (t) = (3t2 1, 2t) entonces (t) 6= (0, 0), t V0 luego esuna inmersion de clase C de V0 en V , sin embargo (V0, ) no es una parametrizacion de clase C de Vpuesto que no es un homeomorfismo entre V0 y V . En efecto, suponiendo por el absurdo que es un

homeomorfismo entonces 1 : V V0 es continua. Consideremos tn = 1n 1, se tiene que (tn) V0,(tn) =

((1n 1)3 ( 1

n 1), ( 1

n 1)2

)luego lim

n(tn) = (0, 1) y como 1 es continua se tiene

1 = limn tn = limn

1((tn)) = 1(0, 1) = 1

lo cual es una contradiccion.

Definicion 4.1.2 Una superficie de dimension m y clase Ck (k 1) en Rn es un subconjunto M Rntal que para todo punto p M , existe una vecindad abierta Up Rn de p tal que Up M admite unaparametrizacion (Vp, p) de clase Ck y dimension m.

Observaciones.

1. Up M es llamada vecindad parametrizada del punto p M .2. La funcion p : Vp Up M es un homeomorfismo entre Vp y Up M .3. Si M Rn es una superficie de dimension m, entonces denotaremos Mm.4. Sea Mm Rn una superficie, el numero nm es llamado codimension de M .5. Las superficies de dimension 1 en Rn son llamadas curvas. Las superficies de dimension n 1 enRn son llamadas hiperficies.

Ejemplo 4.1.4 (Superficies de dimension n en Rn) Todo abierto U Rn es una superficie dedimension n y de clase C en Rn. En efecto, es suficiente considerar (U, id) la cual es una parametrizacionde clase C y dimension n de U .

Ejemplo 4.1.5 (Superficies de dimension 0 en Rn) M0 Rn es una superficie de clase Ck si y solosi para todo p M existe Up Rn abierto tal que Up M admite una parametrizacion (Vp, p) de claseCk y dimension 0 si y solo si Vp = {0} y Up M = {p}. Concluimos que M0 Rn es una superficie declase Ck si y solo si M0 es un subconjunto discreto de Rn.

Ejemplo 4.1.6 (La esfera unitaria Sn1 Rn) Recordemos queSn1 = {x Rn : x = 1}.

Analisis Real II 52

Afirmo que Sn1 es una superficie de clase C y dimension n 1 de Rn. En efecto, sea i {1, 2, . . . , n},definimos los conjuntos

U+i = {y = (y1, . . . , yn) Rn : yi > 0}y

Ui = {y = (y1, . . . , yn) Rn : yi < 0}Observe que U+i y U

i son los semiespacios abiertos determinados por el hiperplano {yi = 0}. Claramente{U+i , Ui }1in es una coleccion de conjuntos abiertos que cubren Sn1. Vamos a parametrizar U+i Sn1

y Ui Sn1. Denotemos V0 = {x Rn1 : x < 1}. Note que V0 Rn1 es un conjunto abierto.Definimos las funciones

+i : V0 U+i Sn1x 7 +i (x) = (x1, . . . , xi1,

1 x2, xi, . . . , xn1)

yi : V0 Ui Sn1

x 7 +i (x) = (x1, . . . , xi1,1 x2, xi, . . . , xn1)

Es facil ver que (+i)1

: U+i Sn1 V0y 7 (+i )1 (y) = (y1, . . . , yi1, yi+1, . . . , yn)

y (i)1

: Ui Sn1 V0y 7 (i )1 (y) = (y1, . . . , yi1, yi+1, . . . , yn)

luego(V0, +i

)y(V0, i

)(1 i n) son parametrizaciones de clase C y dimension n1 de U+i Sn1

y Ui Sn1 respectivamente. Ejemplo 4.1.7 (Superficies Producto) Sean Mm11 Rn1 y Mm22 Rn2 dos superficies de clase Ck.Afirmo que M1 M2 Rn1+n2 es una superficie de clase Ck y dimension m1 + m2. En efecto, seap = (p1, p2) M1 M2 entonces existen abiertos U1 Rn1 y U2 Rn2 tales que p1 U1 M1 y p2 U2 M2. Sean (V1, 1) y (V2, 2) parametrizaciones de clase Ck y dimensiones m1 y m2 respectivamentede U1 M1 y U2 M2. Defino V = V1 V2 abierto de Rm1+m2 y

: V (U1 M1) (U2 M2)(x, y) 7 (x, y) = (1(x), 2(y))

Es facil ver que (V, ) es una parametrizacion de clase Ck y dimensionm1+m2 de (U1M1)(U2M2) =(U1 U2) (M1 M2).

De manera analoga se prueba que siMm11 Rn1 , . . . ,Mmss Rns son superficies de clase Ck entoncesM1 Ms Rn1++ns es una superficie de clase Ck y dimension m1 + +ms. Ejemplo 4.1.8 (Toros n-dimensionales) Sabemos que S1 R2 es una superficie (curva) de clase Cy dimension 1 entonces

Tn = S1 S1 n veces

R2n

es una superficie de clase C y dimension n en R2n llamado Toro n-dimensional.

Analisis Real II 53

Ejemplo 4.1.9 (Cilindros) Si U Rn es un abierto entoncesCn+1 = S1 U Rn+2

es una superficie (hiperficie) de clase C y dimension n+1 en Rn+2 llamada Cilindro n+1 dimensional.En particular C2 = S1 I (donde I R es un intervalo abierto) es un cilindro bidimensional en R3.

4.2 Cambios de Coordenadas

Sea Mm Rn una superficie de clase Ck y p M entonces por definicion de superficie, debe existirUp Rn vecindad abierta de p tal que Up M admite una parametrizacion (Vp, p) de clase Ck ydimension m. Supongamos que exista U p Rn otra vecindad abierta de p tal que U p M admita unaparametrizacion (V p , p) de clase Ck y dimension m. Es claro que (Up U p) M 6= y denotemosW = (Up U p) M . Se tiene que cualquier punto q W (en particular p) es representado por dosm-uplas de numeros reales

1p (q) = (x1(q), . . . , xm(q)) y (p)1(q) = (y1(q), . . . , ym(q))

Ambas coordenadas son compatibles via el homeomorfismo

(p)1 p : 1p (W ) Vp (p)1(W ) V pLas funciones (p)1 p son llamadas cambios de coordenadas. Observe que por definicion de superficie,los cambios de coordenadas son funciones continuas, resulta natural indagar sobre la diferenciabilidadde los cambios de coordenadas. En primer lugar se tiene que p : 1p (W ) Rm W Rn es, pordefinicion de superficie, una funcion de clase Ck sin embargo no sabemos responder sobra la diferenciabili-dad de (p)1 :W (p)1(W ) Rm puesto que W no es un subconjunto abierto de Rn!. Recordemosque si A Rn es un conjunto no necesariamente abierto, f : A Rm y a / int (A) entonces tenemosdificultades en definir f (a). Una manera de subsanar este fenomeno sera suponer que existe un abiertoU Rn con A U y que exista una funcion f : U Rm tal que f A = f (es decir f es una extensionde f). En estas condiciones podemos definir f (a) = f (a). Podemos hacer esto cuando W M?Teorema 4.2.1 Sea M Rn. Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

1. M es una superficie de clase Ck y dimension m.

2. Dado p M existen abiertos U p Rn, V p Rm y W p Rnm con p U p, 0 V p , 0 W p yexiste p Diff k(U p, V p W p) tal que p(p) = 0 y p(U p M) = V p {0}.

Demostracion. (1. 2.) Si Mm Rn es una superficie, dado p M , existe Up Rn abierto conp Up tal que UpM admite una parametrizacion (Vp, p) de clase Ck y dimension m. Podemos suponer(va una traslacion) que 0 Vp y p(0) = p.

Por la forma local de las inmersiones, existen abiertos V p Vp Rm, U p Up Rn y W p Rnmcon 0 V p , p U p y 0 W p y existe p Diff k(U p, V p W p) tal que

p p(x) = (x, 0) x V p

Analisis Real II 54

Observe que si z U p M entonces existe un x V p tal que p(x) = z, luegop(z) = p(p(x)) = (x, 0) V p {0}

es decir p(U p M) V p {0}.Por otro lado, si (x, 0) V p {0} entonces p(x) U p M , luego (x, 0) = p(p(x)) p(U p M),

es decir V p {0} p(U p M).(2. 1.) Dado p M , por hipotesis 1p Diff k(V p W p, U p), sean

i : V p V p W px 7 i(x) = (x, 0) y

pi : V p W p V p(x, y) 7 pi(x, y) = x

Claramente piV p{0} es la inversa de i, se sigue que i Diff

(V p , V p {0}). Defino p : V p U p Mcomo p = 1p i. Inmediatamente se desprende que (V p , p) es una parametrizacion de clase Ck ydimension m de U p M .

Observacion: Con la notacion del teorema anterior, se tiene que 1p = (pi p)U pM

, luego pi p :U p V p es una extension de 1p y como pi p es de clase Ck concluimos que 1p es de clase Ck enU p Mm . En particular los cambios de coordenadas son difeomorfismos de clase Ck.

El teorema anterior nos permite extender el concepto de diferenciabilidad a funciones que estandefinidas en superficies.

Definicion 4.2.1 Sea Mm Rr una superficie de clase Ck (k 1) y f :M Rs1. Decimos que f es diferenciable en el punto p M si y solo si existe una parametrizacion (Vp, p)

de clase Ck y dimension m, con p p(Vp) M tal que f p : Vp Rs es diferenciable en elpunto 1p (p) Vp.

2. Decimos que f es diferenciable en M si y solo si f es diferenciable en p, p M .

A continuacion, probaremos que la definicion anterior no depende de la parametrizacion elegida.

Teorema 4.2.2 Sea Mm Rr una superficie de clase Ck (k 1) y f : M Rs. Las dos afirmacionessiguientes son equivalentes:

1. f es diferenciable en p M .2. Para toda parametrizacion (Vp, p) de clase Ck y dimension m, con p p(Vp) M se tiene que

f p : Vp Rs es diferenciable en el punto 1p (p) Vp.

Demostracion. (1. 2.) Por hipotesis, existe parametrizacion (Vp, p) de clase Ck y dimension m, conp p(Vp) M tal que f p : Vp Rs es diferenciable en el punto 1p (p) Vp. Sea (Wp, p) otraparametrizacion de clase Ck y dimension m con p p(Wp). Debemos probar que f p : Wp Rs esdiferenciable en el punto 1p (p).

Analisis Real II 55

Observe que V = p(Vp) p(Wp) 6= es un abierto en M , luego 1p (V ) y 1p (V ) son abiertos deRm. Como 1p p : 1p (V ) 1p (V ) es un difeomorfismo de