analisis no lineal

CATEDRA DE ESTRUCTURAS IV FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.

1 − www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras4.htm

ANALISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS

INTRODUCCION:

Hasta ahora hemos analizado estructuras con un comportamiento lineal, es decir donde secumple que entre causas y efectos existe una relación lineal. Para el cumplimiento de estaspremisas debían verificarse que el material es elástico lineal (material hookeano) y losdesplazamientos de la estructura son pequeños. Cuando no se cumple algunas de estaspremisas el comportamiento de la estructura es NO LINEAL.

La no-linealidad se puede deber solamente a que el material no es lineal y estamos en elcaso de NO-LINEALIDAD FISICA.

Si en cambio la no-linealidad se debe a que los desplazamientos en la estructura no sonpequeños estamos en el caso de NO-LINEALIDAD GEOMETRICA.

Para analizar todos estos tema estableceremos dos hipótesis dentro de las cualesdesarrollaremos una teoría que nos permitirá abordar problema sumamente complejos.

Hipótesis:

1. Material elástico2. Los desplazamientos no son pequeños y no deben despreciarse en el análisis del

equilibrio.

Con respecto a esta última hipótesis cabe realizar algunas consideraciones respecto a lamagnitud de los desplazamientos. Estos pueden tomar distintos valores para los cuales sepuede hacer distintas aproximaciones que permiten arribar a soluciones matemáticassencillas sin perder por ello la precisión en los resultados.

Si se analiza el conjunto de deformaciones y desplazamientos se puede hacer lassiguientes consideraciones:

Caso 1. Las deformaciones específicas y los desplazamientos son pequeños.

Este es el caso del análisis de estructuras lineales donde losdesplazamientos son pequeños y el equilibrio se analiza sin tenerlos encuenta.

Caso 2. Las deformaciones específicas no son pequeñas y los desplazamientosson pequeños.

En este es el caso del análisis de estructuras en régimen anelástico (cálculoplástico), donde en ciertas zonas de la estructura se alcanza deformacionesmuy importantes que se traducen en la formación de articulacionesplásticas, a pesar de las cuales los desplazamientos de la estructura semantienen pequeños y el equilibrio puede seguir siendo analizando sintenerlos en cuenta. Esta es una no-linealidad física.

Caso 3. Las deformaciones específicas son pequeñas y los desplazamientos noson pequeños.

En este caso de un comportamiento no lineal de estructura debido a la no-linealidad geométrica.



Caso 4. Las deformaciones específicas y los desplazamientos no son pequeños.

En este caso corresponde a un comportamiento no-lineal geométrico yfísico.

En lo sigue nos limitaremos al análisis de los puntos 3 y 4, ya que el 1 y 2, ya fuerontratados en el análisis de las estructuras en régimen lineal y en cálculo plástico.

El análisis de la no-linealidad geométrica se la suele subdividir de acuerdo a la forma decuantificar el valor del radio de curvatura χχχχ. 1) χχχχ = 1/r = y''/ (1+y'2)3/2

2) χχχχ = 1/r = y'' = dθθθθ / dx = d2y /dx2

El primer caso utiliza la expresión exacta de la curvatura y se denominada teoría de barrasde grandes deformaciones.

Nosotros utilizaremos la segunda expresión de la curvatura, que a pesar de seraproximada, la teoría desarrollada con ella arriba a resultados muy aceptables a través deformulaciones matemáticas muy sencillas. Al final analizaremos un caso muy sencillo conla primera expresión de la curvatura y podremos comparar los resultados con la teoríadesarrollada con la expresión aproximada de la curvatura.

Para empezar analizaremos un simple caso, a modo de ejemplo, de una barra sometida auna carga transversal q constante y una fuerza axil P en sus extremos.

Si en el estudio del equilibrio tenemos en cuenta los desplazamientos de la barra, el valordel momento flector a una distancia x vale:

M(x) = P y + R x + q x2/2 = P y + Mt

Siendo Mt el momento flector de las cargas transversales, o sean aquellas generadas por Ry q.

La ecuación diferencial de la elástica cuya expresión es:

E.J y" = - M (x)

L

q

q

P

Q

y

x

P

P

E, J

P

M(x)

R



Reemplazamos el valor M(x)

E J y" = - P.y - Mt y" + P/EJ y = - Mt /EJ

y" + k2 . y = - Mt/EJ k = √√√√ P/EJ Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea con coeficientesconstantes, cuya solución es:

y = y1 + y2

siendo:

y1: Solución de la ecuación homogénea, es decir de la ecuación diferencial igualada a cero

y1" + k2 . y1 = 0

La solución de esta ecuación diferencial es del tipo

y1 = C1.sen(kx) + C2.cos(kx)

Esta solución tiene la particularidad de ser independiente de las cargas transversales ydepende únicamente de las propiedades de la barra y del esfuerzo axil P. Este aspecto essumamente importante para temas que trataremos mas adelante. A través de lascondiciones de borde podemos obtener el valor de las constantes C1 y C2. y2: Solución particular de la ecuación diferencial que depende del término independiente,

es decir en este caso de la función Mt/EJ.

y2= f(Mt/EJ)

Esta expresión muestra que la solución es independiente de la carga axil P y dependensolo de las cargas transversales. La solución y2 es una función lineal de las cargas, no asíy1 que es del tipo no lineal. O sea la respuesta y es del tipo lineal con respecto a las cargastransversales y no lineal con respecto a P.

Como conclusión que podemos decir que si tenemos varias cargas transversales, lassolución de y1 es única e independiente de las mismas, a esta habrá que sumarle lassoluciones particulares que dependen de cada carga transversal.

y = y1 + y2a + y2b + y2c + .......

Continuemos analizando el caso de una viga simplemente apoyada y verificaremos loanteriormente enunciado.

La ecuación diferencial que gobierna el equilibrio, como vimos anteriormente

y" + k . y = - Mt/EJ

la solución de esta ecuación diferencial es:

y = y1 + y2

y1 = C1.sen(kx) + C2.cos(kx)

y2 = q/(2EJ) (2/k2 + Lx – x2)



Las condiciones de borde son las siguientes:

x = 0 y = 0 M = 0x = L y = 0 M = 0

reemplazando estas condiciones en la anterior ecuación obtenemos la solución final

y = q/(EJ k4) . [ -(1-cos(kL) . sen(kx)/(sen)kL) + 1-cos(kx) + k2 /2 . (Lx - x2)]

y a su vez si aplicamos la ecuación M = y" EJ podemos obtener la función momentoflector.

M = q/k2 [(1-cos(kL) . sen(kx)/sen(kL) + cos(kx) – 1]

en la parte central de la viga, cuando x = L/2 el descenso vertical y el momento flectormáximo valen:

y máx. = q/(EJ k4) . [-(1-cos(kL) . sen(kL/2)/(sen)kL) + 1-cos(kL/2) + k2 L2/8]

M máx. = q/k2. (1 - cos(kL/2)) / (cos(kL/2)

Con estos valores podemos realizar gráficos entre las causas q y P, y obtener la respuestade la estructura analizada. Primero dejaremos fijo P y haremos variar q y obtenemos lossiguientes gráficos:

En estos gráficos podemos observar que existe una relación lineal entre causa (q) y efecto(u y M) para distintos valores fijos de P. Esta es una conclusión sumamente importanteporque significa que si el esfuerzo axil se mantiene constate podremos utilizar el Principiode Superposición y todos el andamiaje matemático desarrollado para las estructuraslineales, como ser los métodos de resolución de estructuras indeterminadas (método de lasfuerzas y método de las deformaciones). Esta conclusión permite desarrollar métodos parala resolución de estructuras donde sea necesario este tipo de análisis, aun en los casos enque no se cumple que el esfuerzo axil se mantenga constante.

Si ahora mantenemos constante q y variamos P, tenemos los siguientes gráficos.

0

100

200

300

400

500

600

0.0E+00 1.0E+00 2.0E+00 3.0E+00 4.0E+00 5.0E+00 6.0E+00 7.0E+00

v (cm)

P (

t)

q (t/m) = 1 q (t/m) = 5 q (t/m) = 10

0

100

200

300

400

500

600

0 1000 2000 3000 4000

M (tm)

P (

t)

q (t/m) = 1 q (t/m) = 5 q (t/m) = 10

0

2

4

6

8

10

12

0.0E+00 2.0E-01 4.0E-01 6.0E-01 8.0E-01 1.0E+00

v (m)

q (

t/m

)

P (t)=0 P (t)=285 P (t)=400

0

2

4

6

8

10

12

0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 500.00

M (tm)

P (

t)

P (t) = 0 P (t) = 285 P (t) = 400



En estos en cambio no existe linealidad entre causa P y los efectos u y M para distintosvalores de q constantes. La relación es no-lineal, muy acentuada e incluso indeterminadapara valores de q = 0 cuyos valores tienen una gran significación como veremos masadelante.

A continuación estudiaremos una forma de aplicar el método de las deformaciones quenos permitirá resolver estructuras que por sus características es necesario este tipo deanálisis.

Para este fin primero analizaremos la barra aislada, o sea estudiaremos la matriz rigidez,de la misma manera que lo hicimos en la teoría lineal.

Matriz rigidez de barra de segundo orden

Para simplificar sobre la barra no actúa otras cargas que los esfuerzos en sus extremos ypara este análisis seguiremos el mismo camino utilizado anteriormente, es deciranalizaremos el equilibrio de la barra en su estado deformado.

Mt = M1 - Qx

y" + k2 y = - (M1 - Q x) / E J

k2 = P / E J

Por razones de equilibrio se cumple

Q = (M1 + M2 + P vr ) / l

y" + k2 y = - (M1 (l - x) / l - M2 x / l – P vr x / l)

La solución es:y = y1 + y2

y = C1 sen(kx) + C2 cos(kx) - (M1 (l-x) -M2 x)/(k EJ l) + vr x/l

A través de las condiciones de borde se pueden determinar el valor de todas las constantesC1, C2, M1 y M2

E, JL

P

u1

v1

v2

u2

v r

P

Q

P

x u

v

Q

M1P

M2



Condiciones de borde:x = 0 y = v1 y'= θθθθ1

x = l y = v2 y'= θθθθ2

Los valores de las constantes dan :

M1 = ( A θθθθ1 + B θθθθ2 - ( A + B ) (v2-v1) /L ) E J / L

M2 = ( B θθθθ1 + A θθθθ2 - ( A + B ) (v2-v1) /L ) E J / L

Para el esfuerzo de corte podemos tener las siguientes expresiones:

Q = ( M1 + M2 + P vr ) / l

Q = (( A + B ).( θθθθ1 + θθθθ2 ) - ( 2 ( A + B ) - D ) vr/l) E J / l

Los coeficientes A B D se denominan coeficientes de Pandeo o de Estabilidad y lasexpresiones que las definen sus valores son: A = (εεεεsen(e) - εεεε cos(εεεε)) / ( 2 (1-cos(εεεε) - εεεε sen(εεεε)))

B = (εεεε (εεεε - sen(εεεε)) / (2 (εεεε - cos(εεεε) – εεεε) C = (εεεε sen(εεεε)) / ( sen(εεεε) - εεεε cos(εεεε))

εεεε = L √√√√ (P/E J)

Todas estas fórmulas corresponden para un esfuerzo de compresión, en el caso de queeste sea de tracción

εεεε = L √√√√(P/EJ) i siendo i = √√√√(-1) (εεεε i)2 = - εεεε2

cos(iεεεε) = Ch (εεεε)

sen (iεεεε) = i Sh(εεεε)

tg(iεεεε) = i Th(εεεε)

Para este caso los coeficientes de estabilidad valen:

A = (εεεε (Sh(εεεε) - εεεε Ch(εεεε)) /(2(Ch(εεεε) - 1) - εεεε sh(εεεε)))

B = (εεεε (εεεε - Sh(εεεε))) / (2(Ch(εεεε) - 1) - εεεε sh(εεεε)))

C = (εεεε Sh(εεεε)) / (εεεε Ch(e) - Sh(εεεε))

εεεε = √√√√ (P/EJ)

El valor de estos coeficientes se pueden observar en el gráfico adjunto. En el podemosrealizar las siguientes observaciones :

a) Para volares de εεεε = 0, los coeficientes de estabilidad coinciden los valores utilizadosen la teoría lineal

A = 4 B = 2 C = 3 D = 12



b) Los coeficientes de estabilidad se anulan para determinados valores de εεεε, los cualestienen una significación muy importante como veremos más adelante.

Si el valor de estos coeficientes solo dependen del valor de P y por lo tanto sonindependientes de los desplazamientos que los generan. O sea que los esfuerzos que seoriginan en los extremos de las baras son funciones lineales de los desplazamientos simantiene constante el esfuerzo axil P. La linealidad cambia para cada valor distinto de P.Si incorporamos el valor de P a las constantes geométricas y elásticas de la barraspodríamos decir que la relación entre causa y efecto es lineal. Este proceder nos unapoderosa arma para resolver problemas no lineales mediante los métodos lineales que hansido sumamente desarrollados.

Finalmente la matriz rigidez de barra de segundo orden es la siguiente

px1 EF/L 0 0 -EF/L 0 0 u1

py1 0 (2(A+B)-D)EJ/L3 (A+B)EJ/L2 0 -(2(A+B)-D)EJ/L3 (A+B)EJ/L2v1

m1 = 0 (A+B)EJ/L2 A EJ/L3 0 -(A+B)EJ/L2 B EJ/L3x θ1

px2 -EF/L 0 0 EF/L 0 0 u2

py2 0 -(2(A+B)-D)EJ/L3 -(A+B)EJ/L2 0 (2(A+B)-D)EJ/L3 -(A+B)EJ/L2v2

m2 0 (A+B)EJ/L2 B EJ/L3 0 -(A+B)EJ/L2 A EJ/L3θ2

RESOLUCION DE ESTRUCTURAL NO LINEALES

Resolver una estructura es encontrar la relación causas - efectos, ya sea esta lineal o no-lineal. Mientras que en primer caso la relación es lineal y por lo tanto conocida, en elsegundo no lo es. Los procedimientos desarrollados hasta el presente se basan en lasconclusiones anteriormente enunciadas, según las cuales son aplicables todos losprocedimientos lineales siempre y cuando el esfuerzo axil se mantenga constante. Estoimplica conocer el valor de dicho esfuerzo.

Para poder resolver esta incongruencia se aplica los métodos iterativos, que implicaadoptar un valor de la variable que se desconoce y se modifica a medida que se plantea laexigencia que dicha variable debe cumplir, por ejemplo en las ecuaciones de equilibrio. A

(6.0)

(5.5)

(5.0)(4.5)

(4.0)(3.5)

(3.0)(2.5)

(2.0)

(1.5)

(1.0)(0.5)

0.0

0.5

1.0

1.52.0

2.5

3.0

3.54.0

4.5

5.0

5.56.0

6.5

7.0

-20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16L*R

AIZ

(P/E

J)

A B C 2(A+B)-D



su vez se establece cual es el error máximo que se admite en el valor de determinadasvariables, por ejemplo los desplazamientos.

El método de la tangente y el método de Newton - Raphson que describiremoscontinuación, presuponen conocido el valor del esfuerzo axil, a partir del cual podemosconocer la rigidez de segundo orden de cada barra (k") y de la estructura (K"). Estaúltima es válida para el valor del esfuerzo axil que hemos adoptado, simbólica podemosescribir:

P = K”(P) U

Esto indica que la matriz K”, es una función de las cargas.

Los métodos siguen procedimientos similares, se supone que el esfuerzo axil es conocido,por ejemplo nulo, a partir del cual la matriz K” es constante e independiente de las cargas.Con estas premisas podemos aplicar los métodos lineales y obtener los desplazamientosnodales U y todos los esfuerzos internos. En este paso descubriremos que el esfuerzo axiladoptado no coincide con el adoptado.

1. Se adopta un valor del esfuerzo axil nulo.2. Se determinan los coeficientes de estabilidad para cada barra Ai, Bi, ..3. Se plantea las ecuaciones de equilibrio P = K" U4. Se resuelve el sistema de ecuaciones, determinando el valor de U = K”-1 P5. Se calcula todos los esfuerzos, incluyendo el valor de los esfuerzos axiles N.6. Si la diferencia entre los desplazamientos U de dos iteraciones sucesivas es menor que

un determinado valor, el proceso se detiene, en caso contrario se continua en el pasosiguiente.

7. Se adopta el valor del esfuerzo axil el determinado en el paso 5.8. Se vuelve al paso 2, donde tenemos un valor de Pi mejorado.

El diagrama de flujo correspondiente sería:

Pi = 0

Ai, Bi,...

P = K” U

U = K”-1 P

Un - U(n-1) > error STOP

Nn

Pi (n+1) = N n



El hecho de comparar los desplazamientos y no los esfuerzos axiles se debe a que lasincógnitas del problema son los desplazamientos, a través de los cuales se determinan losdemás esfuerzos.

En forma gráfica podemos interpretar este proceso de la siguiente manera:

1. En el gráfico tenemos una función desconocida y deseamos encontrar el punto decorrespondencia entre la carga P y U.

2. A través de un procedimiento lineal donde asumimos para Pi valores nulo, resolver unprimer valor ds U1.

3. Con estos desplazamientos podemos determinar los correspondientes esfuerzos axilesN y a partir de los mismos los coeficientes de estabilidad y la matriz K”.

4. Realizados el producto matricial P = K”U determinamos un punto de la funcióndesconocida.

5. Con este punto determinado podemos seguir según el procedimiento elegido.El método de la secante modifica las rigideces originales y determina un nuevo valormejorado y así sucesivamente hasta que la diferencia entre dos procesos iterativos seamenor que un determinado error.

El método de Newton - Raphson, a partir del desplazamiento hallado utiliza la tangentepara encontrar un incremento de desplazamiento.

METODO DE LA SECANTE

P

UU1 2U 3U nU



METODO DE NEWTON - RAPHSON

METODO TANGENTE INICIAL

ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO - PANDEO

Estudiaremos un conjunto de estructuras que tienen la particularidad de tener un sistemade ecuaciones de equilibrio del tipo:

K”U=0

Estas ecuaciones lineales se denominan homogéneas y la estructura que poseen estesistema son aquellas que cumplen con los siguientes requisitos:

1. Las barras son indeformables axílmente2. Si la estructura es del tipo de nudos no desplazables, las cargas deben ser fuerzas

actuando en los nudos no desplazables.3. Si la estructura es del tipo de nudos desplazables, las cargas deben ser fuerzas

actuando en los nudos de manera de equilibrarse barra a barra.

Desde el punto de vista matemático este sistema de ecuaciones tiene dos tipos desoluciones:

1. Si el determinante de la matriz de rigidez K” (DK”) es distinto de cero la únicasolución posible es la trivial o sea

P

U1U U32 U n

U

U1U2 nU

P

U



U = 0Por ejemplo un sistema de dos incógnitas

K11 U1 + K12 U2 = 0K21 U1 + K22 U2 = 0

En forma gráfica cada ecuación representa una recta que pasan por el origen y lasolución del sistema de ecuaciones es U1 y U2.

U1

U2

En esta particular estructura donde los desplazamientos nodales U son nulos, los esfuerzosde flexión y corte necesariamente son nulos quedando, por razones de equilibrio, solo elesfuerzo axil distinto de cero.

N ≠≠≠≠0 Q = 0 M = 0La estructura solo está sometida a un conjunto de esfuerzos axiles, que podrán ser decompresión o tracción. Si además las cargas exteriores crecen en forma proporcional, alser la solución siempre aquella que anula los desplazamientos, los esfuerzos axilestambién crecen en forma proporcional.Esta estructura y su estado de carga se denominan “Sistemas perfectos”, por requerir enla ubicación de las cargas una precisión que incluso supera las posibilidades reales.

2. Si el determinante de la matriz de rigidez de segundo orden K” es igual a ceroexisten infinitas soluciones distintas de cero.

DK”=0

En este caso en el ejemplo anterior de las dos incógnitas, las dos recta coinciden, dado quela nulidad del determinante indica que existe una combinación lineal entre las ecuaciones.

U1

U2

Si en este sistema damos un valor arbitrario a U1 podemos obtenemos U2, y en general encualquier sistema como este si damos un valor a una incógnita obtenemos las restantesresolviendo un sistema de ecuaciones de un grado menor.



K11 K12....... K1n U1

K21 K22....... K2n U2

. . x = 0 . . Kn1 Kn2....... Knn Un

K11 U1 + K*12 U*2 = 0K21 U1 + K*22 U*2 = 0

U1 = 1 U*2 = K*-122 K21 U1

El vector U*2 representa el conjunto de desplazamientos U2, ........ Un, que dependen delvalor adoptados para U1. Esta dependencia establecida entre una incógnita y el resto, sedenomina “modo” y cuando el valor de U1 se adopta unitario “modo normalizado”.

Desde el punto de vista físico tenemos una estructura que esta gobernada por un sistemaque tiene más de una solución equilibrada, una la trivial y las infinitas que se puedenobtener dando valores a uno de sus desplazamientos y el resto de los mismos se obtienena través de la dependencia que establece el sistema, que no es otra cosa que laconfiguración del modo normalizado afectado por distintos coeficientes. Esta nuevasituación establece que la estructura en su configuración primitiva sin desplazamientos(solución trivial) puede ser desplazada a configuraciones próximas (modo) sin que sealtere el equilibrio y permanecer en la misma indefinidamente, esta situación de equilibriola hemos definido como “Estado de equilibrio indiferente”, y la carga que lo produce“Carga Critica de Pandeo”. El modo normalizado se denomina modo de pandeo.

Este forma de definir la Carga Critica de Pandeo (Pcr), nos permite establecer un métodopara su determinación y que consiste precisamente en determinar el valor de la carga queanula el determinante de la matriz rigidez de segundo orden de la estructura (DK”).

La forma operativa para la determinación de Pcr , sería la siguiente:

1. Adoptar un valor para las cargas.

Punto de bifurcación de equilibrio

U

P



2. Determinar el valor de los esfuerzos axiles.3. Determinar los coeficientes de estabilidad.4. Plantear la matriz K”.5. Evaluar el valor DK”.6. Si el mismo es nulo la carga que lo produjo es Pcr.7. Si no se cumple (6), incrementar las cargas en forma proporcional.8. Volver a (2).

Esta forma de determinar Pcr, se denomina Pandeo linealizado, atendiendo a que losesfuerzos, en este tipo estructuras y cargas, crecen linealmente.

DK”

P

Pcr



Material No-lineal

Analizaremos el caso en que el material deja de ser lineal y tenemos uno de tipo no lineal,cuya relación σσσσ - εεεε es del tipo:

En estas estructuras donde se cumple K”U=0, las barras solo están sometidas a esfuerzosaxiles de valor constante en toda su extensión. El valor de estos esfuerzos determinará silas barras se encuentran en la zona elástica o anelástica del material. Por otra parte laecuación diferencial de la elástica y” = M/EJ, a partir de la cual se determinaron loscoeficientes de estabilidad, establece una relación entre los esfuerzos y losdesplazamientos a través de propiedades mecánicas EJ, y estas deben representar lasituación en que se encuentra la barra, o sea que se debe utilizar el valor del modulo deelasticidad tangente ET que le corresponde a su nivel de tensión σσσσ a que esta sometida.Para tener en cuenta esto último debemos utilizar el ET cuando determinamos loscoeficientes de estabilidad. En la determinación de Pcr, se deberá incluir un nuevo paso alos ya enumerado anteriormente.

1. Adoptar un valor para las cargas.2. Determinar el valor de los esfuerzos axiles.3. Determinar el valor de σσσσ4. Determinar el valor del ET en función de σσσσ.5. Determinar los coeficientes de estabilidad.6. Plantear la matriz K”.7. Evaluar el valor DK”.8. Si el mismo es nulo la carga que lo produjo es Pcr.9. Si no se cumple (7), incrementar las cargas en forma proporcional.10. Volver a (2).

De esta manera y para este caso particular de problemas (KU=0) podemos tener en cuentael comportamiento anelástico del material en el análisis de la estabilidad.

Este comportamiento provoca una disminución general de la capacidad de la estructurapara soportar cargas y por lo tanto una descenso de la carga crítica de Pandeo.

P

σσσσ

Material Lineal

Material No-Lineal

εεεε



Estructuras Reales1. Material linealLas estructuras reales tienen un sistema de ecuaciones de equilibrio del tipo:

K” U = P

Estas estructuras se las denominan “Sistemas imperfectos”, a diferencia de las anteriores.En estas estructuras a medida que crecen los esfuerzos axiles se modifica la rigidezgeneral de la misma, ablandándose las barras sometidas a compresión y endureciéndoselas a tracción. A los efectos de fijar ideas continuemos estudiando el sistema con dosdesplazamientos.

K11 U1 + K12 U2 = P1

K21 U1 + K22 U2 = P2

Este sistema de dos rectas que se cortan en un lugar y permiten determinar los valoresU1 U2 solución del sistema de ecuaciones.En los sistemas lineales donde las cargas que crecen proporcionales, las soluciones sealinean sobre una recta que pasa por el origen.

Aquí las rigideces kij son independientes de las cargas y por lo tanto las rectas querepresentan el equilibrio nodal de una dirección, se trasladan en forma paralela de acuerdocon los términos independientes provenientes de las cargas.

P1''

P1=0

P2=0

P1'

P2''P2'

U2

U1

P2=0

P1=0

P1'

P2'

U1

U2

P1'''

P2''

P1'' P2'''



En los sistemas no-lineales la recta donde se interceptan las soluciones se transforman encurva y las rigideces kij que dependen de las cargas P cambian y se trasladan modificandosus pendientes.Si la estructura y las cargas tienen la posibilidad de alcanzar el estado equilibrioindiferente, las dos rectas deben coincidir y el sistema se hace indeterminado, en elsiguiente gráfico podemos sintetizar los distintos comportamientos.

La indeterminación se manifiesta en la tendencia hacia la asíntota K”U=0. Esta asíntota corresponde a la determinada con los esfuerzos axiles finales. Esto último se debe que enestas estructuras los esfuerzos axiles no crecen en forma uniforme

En general los Software para resolver estos problemas, adoptan los esfuerzos axilesiniciales que corresponden con la solución lineal, esta aproximación es perfectamenteaceptable.

P

U

K"U=0

K"U=P

KU=P

Punto bifurcación delequilibrio

Na,Nb,...

Comportamiento No-Lineal

Comportamiento Lineal

P



2. Material No-lineal

En estructuras donde aparecen todas las solicitaciones internas el campo anelástico semanifiesta originándose articulaciones plásticas, provocando una disminución de larigidez general de la estructura que disminuye la capacidad resistente de la estructura yconsecuentemente un descenso de la carga crítica de pandeo.En el siguiente gráfico podemos mostrar todos los comportamientos

El análisis de estructura con este tipo de comportamiento es sumamente complejo y engeneral existe en la actualidad software que tienen en cuenta todas las variables queintervienen, no obstante existe también una formulación empírica “Formula Rankinegeneralizada”, que permite valorar la carga de colapso teniendo en cuenta las variablesanalizadas.

1/Pr =1/Pcr +1/Pp

Pr: Carga de colapsoPcr: Carga Crítica de Pandeo de una estructura construida con material linealPp: Carga Plástica sin tener en cuenta la no-linealidad geométrica.

Finalmente podemos definir la Carga Crítica de Pandeo de la siguiente manera:

El Pandeo es un fenómeno que causa la falla de una estructura y que vaacompañada por grandes desplazamientos y un comportamiento no lineal.

KU=P (Analisis lineal)

Pcr

K"U=0 (Material no-lineal)

K"U=0 (Material lineal)

Pcr

P

U

P3

P1

K"U=P (Material no-lineal)

K"U=P (Material lineal)

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