analisis matem atico i, 2014ejercicio 3. factorizar las siguientes expresiones e indicar cu ales son...
TRANSCRIPT
ANALISIS MATEMATICO I, 2014
TRABAJO PRACTICO 0
Estos son ejercicios introductorios para realizar en el hogar. Los mismos se pueden con-sultar la primer semana de clases.
Ejercicio 1. Realizar, sin utilizar calculadora, las siguientes operaciones en Q.
1.
(8
7− 2
5
)· 5
2
2.
(1 − 3
2
)·(23− 3
4
)2(13− 1)/(25− 2)
3.
(1
3+
1
2
)·(
1
6+
2
3
)−1
4.
[(5 − 2) · 5
4·(
3
4
)−1
− 2
]· 5
4·(
16
9
)1/2
−(
1
4
)−1/2
·
[3
7·(
4
28
)−1
− 1
]
5.
32·[3 −
(13
)−2]
−3 + (−1)−5
−1
+(−2) · 1
4
25−(53
)−1 :
[(56
)−2 − (−5)−2
1 − 25
]
Ejercicio 2. Resolver las siguientes ecuaciones
1. x + 5 = 14 − 1
2x
2.2x
x + 1=
2x− 1
x
3. 2x2 + 4x + 1 = 0
4. x4 − 3x2 + 2 = 0
5.
(7
2x + 5
)4 − 9x = 3
(x− 1
3
)− 5
6. (x + 2)2 − x2 + 5 = 0
7.2x + 1
3− 2
9=
x
2
1
Ejercicio 3. Factorizar las siguientes expresiones e indicar cuales son sus raıces reales.
1. 4x2 − 25
2. x2 + x +1
4
3. 2x2 + 5x− 12
4. 9x2 − 6x + 1
5. x3 − 3x2 − 4x + 12
6. x4 + 27x
7. x5 − 2x4 + 4x− 8
Ejercicio 4. Simplificar las siguientes expresiones indicando el conjunto de validez de lasoperaciones
1.x2 + 3x + 2
x2 − x− 2
2.2x2 − x− 1
x2 − 9· x + 3
2x + 1
3.x2
x2 − 4− x− 1
x + 2
4.9 + 6x + x2
9 − x2
5.x + 1
7 − x:x2 − 1
x2 − 49
6.(x− 1)(x + 1)2 − (x2 − x)(x + 1)
2x2 − 2
Ejercicio 5. Reescribir las siguientes expresiones completando cuadrados
1. x2 + x + 1
2. 2x2 − 12x + 11
3. x2 − 3x + 8
4. −1
5x2 +
1
5x− 1
20
2
ANALISIS MATEMATICO I (2014)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 1
Ejercicio 1. Encontrar los valores de x que verifiquen las siguientes desigualdades(analizar previamente para que valores de x tienen sentido las expresiones dadas).
1. 3x− 1 < x+ 2
2. x2 < 8
3. |2x+ 1| ≤ 7
4. | − x+ 2| ≥ 3
5. 12x−1
< 4
6. 3x+1x+1
≥ 1
Ejercicio 2. Demostrar que para todo a, b ∈ IR,
ab ≤ a2 + b2
2.
¿Puede interpretar este resultado geometricamente para a y b positivos?
Ejercicio 3. Encontrar una expresion para las siguientes funciones indicando el dominiode las mismas.
1. El perımetro p de un cuadrado como funcion de la longitud l del lado.
2. El costo p de l lamparas si cada una cuesta 4 pesos. ¿Que diferencia hay entre estafuncion y la del inciso anterior?
3. El area de un triangulo equilatero como la funcion de la longitud x de un lado. Lomismo para el perımetro.
4. La longitud de un lado de un cuadrado como funcion de la longitud d de la diagonal.
Ejercicio 4. Un auto transita por una carretera recta. A las 10 de la manana paso porel pueblo A. Con el objeto de describir la posicion del auto a cada instante despues delas 10 horas, adoptamos las siguientes convenciones:
• Llamamos t al tiempo en minutos transcurridos desde las 10hs.
• Para cada valor de t (a partir de t = 0) el auto esta a determinada distancia medidaen kilometros desde A; llamemos d(t) a esa distancia.
1
1. Que horas representan t = 0, t = 30 y t = 70?
2. ¿Cuanto vale d(0)?
3. Como expresarıa Ud., de acuerdo a las convenciones que adoptamos, los siguienteshechos:
• A las 10:30 hs. el auto llego al pueblo B, situado a 63 km. desde A.
• Despues de detenerse en B por 15 minutos, el auto regreso por la misma ruta,pasando por A a las 11:20 hs.
4. Teniendo en cuenta los datos anteriores, ¿cual de las siguientes graficas consideraUd. que es descriptiva de la situacion presentada? Explique brevemente por que.
0
10
20
30
40
50
60
y
10 20 30 40 50 60 70 80
x
,
0
10
20
30
40
50
60
y
10 20 30 40 50 60 70 80
x
0
10
20
30
40
50
60
y
10 20 30 40 50 60 70 80
x
,
0
10
20
30
40
50
60
y
20 40 60 80
x
Ejercicio 5. No toda curva del plano es el grafico de una funcion. En vista de ladefinicion de funcion y de su grafico, indique cuales de los siguientes dibujos correspondena la grafica de alguna funcion:
2
–2
–1
1
2
y
–1 1 2 3
x
,
–2
–1
0
1
2
y
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
,
–1
–0.5
0.5
1
1.5
2
y
–1 –0.5 0.5 1 1.5 2
x
,
–2
–1
0
1
2
3
4
5
y
–1 –0.5 0.5 1 1.5 2
x
,
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–4 –2 2 4 6
x
,
5
10
15
20
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
Ejercicio 6. Determinar, justificando, si y es una funcion de x para cada uno de lossiguientes casos:
1. x2 + y2 = 9
2. y2 = x2 − 1
3. x2 + y = 3
4. x2y − x2 + 4y = 0
Ejercicio 7. Use las graficas dadas de f y g para evaluar cada expresion, o bien, expliqueporque no esta definida.
1. f(g(2))
2. g(f(0))
3. (f ◦ g)(0)
4. (g ◦ f)(6)
5. (g ◦ g)(−2)
6. (f ◦ f)(4)
3
Ejercicio 8. Sean f(x) = 1xy g(x) =
√x. Sabiendo que el dominio de f es IR− {0} y el
dominio de g es [0,+∞), hallar la expresion de las siguientes funciones y sus dominios:
1. (g ◦ f)(x)
2. f(g(x))
3. g(g(x))
4. (f ◦ f)(x).
Ejercicio 9. Si la funcion h(x) tiene la grafica de la figura, dibuje la grafica de lassiguientes funciones:
1. h(x+ 4)
2. h(x) + 4
3. 2h(x)
4. −13h(x− 1)
Definicion: Diremos que una funcion f : A ⊂ IR → IR es lineal si es de la formaf(x) = mx+ b donde m y b ∈ IR, m 6= 0.
Ejercicio 11. Hacer una representacion grafica de las siguientes funciones lineales:
1. f(x) = x
2. f(x) = −12x+ 4
3. f(x) = 3x+ 1.
Definicion: Sea f(x) una funcion definida en un intervalo [x1, x2]. La variacion total def(x) entre x1 y x2 se define como la diferencia f(x2) − f(x1) y describe cuanto cambiof(x) entre x1 y x2. La variacion promedio de f(x) entre x1 y x2 se define como el cocientef(x2)−f(x1)
x2−x1
y representa la tasa o razon de cambio promedio a la que cambio f(x) entre x1
y x2.
4
Ejercicio 12.
1. ¿Como se interpreta geometricamente la variacion promedio de f(x) entre x1 y x2?
2. ¿Como es la razon de cambio de una funcion lineal?
3. Si la razon de cambio promedio de una funcion f es constante e igual al numero m,¿como es f? (Sugerencia: considerar los casos m = 0 y m 6= 0.)
4. Si bien el grafico de toda funcion lineal es una recta, no toda recta es el grafico deuna funcion lineal (justifique esta observacion).
5. Halle una ecuacion de la recta r, su pendiente y su ordenada al origen, sabiendoque:
(a) Pasa por los puntos (2, 1), (3, 4).
(b) Pasa por los puntos (−1,√3), (−1, 5).
(c) Pasa por el punto (1, 0) y tiene pendiente −2.
(d) Pasa por el punto (4,−3) y tiene pendiente√7.
Definicion: Dadas las rectas cuyas ecuaciones explıcitas son l(x) = mx + b y l′(x) =m′x+ b′ se tiene que
l es paralela a l′ si y solo si m = m′
l es perpendicular a l′ si y solo si m = − 1
m′
Definicion: Dados dos puntos del plano
P = (x1, y1), Q = (x2, y2),
el punto medio del segmento que los une es el que punto que lo divide en dos segmentosde igual longitud, y sus coordenadas son
M =(
x1 + x2
2,y1 + y2
2
)
.
Ejercicio 13. Encontrar y graficar las funciones lineales que satisfacen las siguientescondiciones:
1. f(−1) = 0 y f(1) = 2.
2. Su grafica pasa por el origen y su razon de cambio es igual a 3.
3. Corta al eje y 2 unidades hacia arriba y al eje x 3 unidades a la izquierda.
4. Pasa por el punto (2, 1) y es paralela a la recta de ecuacion 3x− 4y = 0
5. Pasa por el punto medio del segmento que une los puntos (2, 1) y (0, 3) y es per-pendicular a 4x− 5y = 0
5
Ejercicio 14. Un escritor esta por firmar un contrato que establece que ganara 400.000pesos mas 100 pesos por libro vendido. Graficar la funcion ganancia y establecer cual esla razon de cambio. Observar que todos los puntos de la grafica de la funcion estan enuna recta.
Una nueva editorial le ofrece al escritor un contrato de 300.000 pesos pero le pagara120 pesos por cada libro vendido. ¿Que decision tomara el escritor? ¿Le conviene cambiarde editorial?
1. Analizar el problema haciendo una grafica.
2. Plantear la desigualdad que dara respuesta al problema.
Definicion: Dados dos puntos del plano P0 = (x0, y0) y P1 = (x1, y1), la distancia entreP0 y P1 es la longitud del segmento de recta que los une y esta dada por
d(P0, P1) =√
(x0 − x1)2 + (y0 − y1)2
Ejercicio 15. Dado el triangulo determinado por los puntos (−1, 2), (4, 0), (1,−5):
1. graficar,
2. calcular su perımetro y su superficie,
3. calcular las ecuaciones de las rectas que contienen sus lados y sus alturas.
Ejercicio 16. Graficar las siguientes funciones e indicar el dominio e imagen de lasmismas:
1. f(x) =
{
2x+ 3 si x > 2−x− 2 si x ≤ 2
2. f(x) =
{
1 si x ≤ 0−2x+ 1 si x > 0
3. f(x) =
x si x ≤ 00 si 0 < x ≤ 1
x− 1 si x > 1
4. f(x) =
{
−x+ 2 si −3 < x ≤ 2x− 2 si 2 < x ≤ 5
6
ANALISIS MATEMATICO I (2014)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 2
Valor absoluto
Ejercicio 1. Resolver y representar graficamente en la recta numerica los conjuntos denumeros reales que cumplen cada una de las siguientes condiciones.
1. {x ∈ IR : |x| = 2 o |x+ 1| = −3}
2. 2|5− x
2| = 6
3. |4x| = |4x+ 1|
4. |x2 + 1| = |x2 − 1|
5. {x ∈ IR : |x| > 3 o |x| ≤ 2}
6. −3|43x− 1| ≤ 1
7. |2− 6x|+ |3x− 1| > 4
8.|2x+ 3|
|4− x|≤ 1
9. |1 + x| ≥ 1 + |x|
Ejercicio 2. Para cada ıtem graficar en el mismo sistema de ejes cartesianos cada unode los siguientes conjuntos de funciones a valores reales.
1. f(x) = |x|, g(x) = |x+ 3|, h(x) = |x− 3|, u(x) = |x|+ 3, v(x) = |x| − 3
2. f(x) = −|x|, g(x) = −|x+ 1|, h(x) = −|x− 1|, u(x) = −|x|+ 1, v(x) = −|x| − 1
Ejercicio 3. Reescribir las siguientes funciones como funciones a trozos utilizando ladefinicion de valor absoluto y, a continuacion graficarlas:
1. f(x) = |3x− 1|+ 2
2. g(x) = −|x− 1|+ x
3. h(x) = |3x− 5|+ |2x+ 1|
4. k(x) = | |x+ 1| − |2x− 3| |
Ejercicio 4.
1. Graficar una funcion f : IR → IR que cumpla simultaneamente las siguientes condi-ciones:
(a) f(x) < 0 si x ∈ (−∞,−1) ∪ (4, 6)
(b) f(x) > 0 si x ∈ (−1, 4) ∪ (6,∞)
1
(c) f(x) = 0 si x = −1, x = 4 y x = 6.
2. A partir del grafico de f realizado en el inciso anterior, graficar |f(x)|.
Ejercicio 5. Si la funcion g(x) tiene la grafica de la figura, dibuje la grafica de la funcion|g(x)|.
Ejercicio 6. Demostrar lo siguiente:
1. |a+ b+ c| ≤ |a|+ |b|+ |c|, para todo a, b, c en IR.
2. Si |a− a0| < α/2 y |b− b0| < α/2 entonces
(a) |(a+ b)− (a0 + b0)| < α
(b) |(a− b)− (a0 − b0)| < α.
Definicion: Consideremos un objeto que se mueve sobre una lınea recta y que la posicionx del objeto con respecto a un punto de origen se puede relacionar con el tiempo t me-diante una funcion f , es decir, x = f(t). A esta funcion f la llamamos funcion posicion.Si f es de la forma f(t) = ct + b, con c y b numeros reales, se habla de movimientouniforme con velocidad c.
Observacion: Sean a y b numeros reales. Podemos interpretar
|a− b| =√
(a− b)2
como la distancia entre a y b.
Ejercicio 7. Un automovil parte de un lugar y se desplaza por una ruta con movimientouniforme (imaginemos que en ese trayecto la ruta es una lınea recta) a una velocidadconstante de 45 km/h. Media hora mas tarde parte desde el mismo lugar otro automovilque transita por la misma ruta con movimiento uniforme, pero a una velocidad de 60km/h. Dos horas despues de la partida del segundo automovil ambos vehıculos llegan asus respectivos destinos. Expresar la distancia que los separa en funcion del tiempo queha estado viajando el segundo vehıculo.
2
Funciones cuadraticas
Ejercicio 8. Hallar las ecuaciones de las parabolas que verifican:
1. pasa por los puntos (0,3), (1,4) y (-2,13).
2. su vertice esta en el punto (1, 1) y corta al eje x en 3.
3. pasa por el origen y en x = 2 alcanza su valor mınimo que es −5.
4. pasa por el origen y en x = 2 alcanza su valor mınimo.
Ejercicio 9. Graficar y senalar raıces, vertice y eje de simetrıa de las siguientes parabolas
1. y = −x2 + 2x− 1
2. y = 2x2 − 4x− 3
3. y = −1/2 x2 − 3x+ 7/2
4. y = x2 − 3x+ 2
Ejercicio 10. Determinar para que valores de x se satisface cada una de las siguientesdesigualdades y representar graficamente el conjunto solucion
1. (x− 1)(x+ 4) > 0
2. −2x2 + 2x < 0
3. 3(x− 2)(x+ 1) < 0
4.2
x+ 1−
1
x− 2< 0
5. x4 + x > 0
6. x
x2−2x
> 2
7.x2
x2 + 4x+ 5> 1
8.x2
x− 1< 8.
(Sugerencia para el ejercicio 7: probar primero que x2 + 4x+ 5 > 0 para todo x).
Ejercicio 11. Analizar el efecto del cambio de los coeficientes en el grafico de la funcionf(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0
1. a cambia mientras b y c permanecen fijas
2. b cambia (a y c fijas )
3. c cambia (a y b fijas )
Ejercicio 12. Determinar el o los valores de k tales que
1. y = x2 + 7x+ k tiene una sola interseccion con el eje x,
2. y = x2 − 2kx+ k2 − 3k + 2 pasa por el origen.
3
Ejercicio 13. Graficar en el mismo sistema de ejes cartesianos las siguientes funciones avalores reales: f(x) = 2x2 − 10x+ 8, g(x) = |2x2 − 10x+ 8|
Ejercicio 14. Problemas
1. Se sabe que cierto gallinero rectangular tiene un perımetro de 30 m. Expresar lasuperficie del gallinero en funcion de su ancho. Si se sabe que el ancho es de 6 maveriguar la superficie del gallinero. ¿Cual es el ancho si se sabe que la superficie esde 44 m2? ¿Puede ser el ancho de 18 m?
2. Una flecha se lanza hacia arriba en direccion al horizonte y viaja trazando un arcoparabolico dado por la ecuacion y = ax2+x+c. Utilizar el hecho de que la flecha selanza a una altura vertical de 1,5 m y que vuelve a alcanzar la misma altura luegode recorrer una distancia horizontal de 60 m, para hallar a y c. ¿Cual es la maximaaltura alcanzada por la flecha? ¿En que intervalo sube la flecha? ¿En que intervalobaja?
3. Hallar los puntos de la grafica de la funcion y = 2x+1 que esten a dos unidades dedistancia del origen.
4. Se corta un alambre de 2.4 metros de longitud en cuatro partes para formar unrectangulo.
(a) ¿Puede encontrar una expresion para el area A del rectangulo? En caso afir-mativo representar la funcion.
(b) Utilizar la grafica para estimar el area maxima del rectangulo. ¿Cuales son lasdimensiones del rectangulo en ese caso?
5. Los gastos mensuales, en pesos, de una empresa por la fabricacion de x relojes vienendados por la funcion G(x) = 2000+25x, y los ingresos que se obtienen por las ventasson I(x) = 60x − 1
100x2, tambien en pesos. ¿Cuantos relojes deben fabricarse para
que el beneficio (ingresos-gastos) sea maximo?
Funciones Potenciales
Definicion: Una funcion f definida para todos los numeros reales se dice que es par sif(x) = f(−x) e impar si f(x) = −f(−x).
Por ejemplo, la funcion f(x) = x2 es una funcion par (grafica de la izquierda) ya que
f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x),
y la funcion f(x) = x3 es impar (grafica de la derecha) porque
f(−x) = (−x)3 = [(−1)x]3 = (−1)3x3 = −x3 = −f(x).
4
0
10
20
30
40
50
60
y
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
x
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
x
Ejercicio 15. Determinar analıticamente si las siguientes funciones son pares o imparesy cuando sea posible verificarlo graficamente: (a) f(x) = 2x2 + 1, (b) f(x) = 3x3, (c)f(x) = x4 − x2.
Ejercicio 16. Hay funciones que no son pares ni impares, verificar que f(x) = x7 − x2
es una de ellas.
Ejercicio 17. Mostrar que g(x) = f(x) + f(−x) es siempre una funcion par. ¿Como sepodrıa construir una funcion par a partir de otra funcion f dada?
Ejercicio 18. Problemas:
1. Expresar el area de la superficie y volumen de un cubo como una funcion de ladiagonal. ¿Que tipo de funcion resulta? ¿Que sucede con el area y el volumen delcubo si la diagonal crece indefinidamente?
2. En un estanque en calma, se deja caer una piedra produciendo ondas en forma decırculos concentricos. El radio de la onda externa viene dado por r(t) = 2t, donde tes el tiempo en segundos transcurridos desde que la piedra toca el agua. Expresarel area A(t) del cırculo en funcion del tiempo.
Funciones Polinomicas
Ejercicio 19. Analizar para que valores de x el polinomio de cuarto grado P (x) =2x4 − 26x2 + 72 es positivo.
Ejercicio 20. Estudiar como se modifica el grafico de f(x) = a(x+ b)3 + c cuando
• a cambia mientras b y c permanecen fijas.
• b cambia (a y c fijas a 6= 0 ).
• c cambia (a y b fijas a 6= 0 ).
Ejercicio 21. Problemas:
1. Con un cuadrado de carton de 1 metro de lado se desea construir una caja de basecuadrada (sin tapa) cortando cuadrados de las esquinas y doblando los lados haciaarriba. Expresar el volumen de la caja en funcion de la altura.
5
2. Un meteorologo hallo que la temperatura T (en oF ) en un perıodo de 24 horasdurante el invierno estaba dada por la funcion T (t) = 0, 05 t(t− 12)(t− 24), dondet representa el tiempo, t = 0 se corresponde con las 6 horas de cierto dıa y ademasrepresenta el inicio del perıodo. Indique la franja horaria en donde la temperaturaes mayor que 0oF . ¿Cuando esta por debajo de los 0oF ? Trazar una grafica de latemperatura T para 0 ≤ t ≤ 24.
3. Analizar si es cierto que entre todas las esferas cuyos radios pertenecen al intervalo[0, 5] hay una con 275 cm3 de volumen (recordemos que el volumen de una esfera deradio r es 4
3π r3).
Funciones Racionales
Ejercicio 22.
1. A partir de la grafica de f(x) = 1
x, usando traslaciones apropiadas, graficar las
siguientes funciones
(a) g(x) = 1
x−2
(b) h(x) = 1
x+2
2. Verificar que
(a) x
x+2= 1− 2
x+2
(b) −x+4
x−2= −1 + 2
x−2
3. A partir de lo realizado en los incisos previos graficar las siguientes funciones (usandotraslaciones, dilataciones y/o reflexiones) e indicar cual es el dominio de cada unade ellas.
(a) w(x) = x
x+2
(b) z(x) = −x+4
x−2
4. Determinar en base a las graficas realizadas en el inciso anterior, para que valoresde x se satisfacen las siguientes condiciones:
(a) w(x) = 0
(b) z(x) > 0
(c) w(x) < 1
(d) z(x) > −1
Ejercicio 23. Indicar el dominio y hacer un grafico aproximado de las siguientes funcionesracionales:
1. f(x) =3x
−x+ 4
6
2. f(x) =x+ 4
−2x− 4
3. f(x) =4
3x+ 9
Ejercicio 24. Dada f(x) =a
xn
, con n ∈ IN, ¿que puede decir de su grafico para los
distintos valores de a y de n?
Ejercicio 25. Problemas:
1. La regla de Young es una formula que se usa para modificar las dosis de medica-mentos de adultos, a fin de adaptarlas a ninos. Si d representa la dosis de un adultoen miligramos y t es la edad del nino en anos, entonces la dosis del nino puederepresentarse por medio de la siguiente funcion:
F (t) =t d
t+ 12.
(a) ¿El valor de t podrıa ser negativo?
(b) Trace la grafica de la funcion F (t), para t > 0 y d = 200 miligramos.
(c) Si la dosis del adulto es de 150 miligramos ¿cuanto sera la dosis de un nino de3 anos?
(d) Si un nino de 4 anos toma una dosis de medicamentos de 250 miligramos, ¿decuanto sera la dosis de ese mismo medicamento si la quiere tomar un adulto?
(e) ¿Que puede decir sobre el crecimiento (o decrecimiento) de F (t)? ¿Que ocurrecon la funcion F (t) cuando t toma valores muy grandes?
2. En un recipiente que contiene 1 kg de agua, se deja gotear alcohol a razon de 25g porsegundo. Expresar el porcentaje de alcohol en funcion del tiempo de goteo. ¿Cualsera el porcentaje de alcohol al cabo de 1 minuto de goteo? ¿Cuanto tiempo habraque esperar para que haya un 10% de alcohol en la mezcla?
Otras curvas
Algunas curvas que aparecen frecuentemente en distintos tipos de problemas no son elgrafico de una funcion, pero son representadas por distintas ecuaciones. Analizaremoslas llamadas conicas que, junto con la parabola se obtienen al seccionar un cono cirulardoble con un plano es distintas posiciones.
• Circunferencia
– Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano que equidistan de unpunto llamado centro de la circunferencia. Es decir, si consideramos un puntoC = (α, β) y una distancia (positiva) r que llamamos radio, la circunferenciade centro C y radio r es el conjunto
{P = (x, y) / d(P,C) = r}
7
– La ecuacion que la representa es
(x− α)2 + (y − β)2 = r2
y es claro que para determinar una circunferencia basta conocer su centro y suradio.
– Las posiciones relativas de una circunferencia y una recta pueden ser
∗ exterior: no existen puntos de interseccion
∗ tangente: existe un solo punto de interseccion
∗ secante: existen dos puntos de interseccion
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
y
–1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5x
• Elipse
– Una elipse puede verse como una circunferencia “deformada”, pero puedecaracterizarse considerando dos puntos fijos llamados focos, diciendo que es elconjunto de puntos del plano P (x, y) tales que la suma de las distancias de Pa los focos es constante.
– Llamando 2a a esta constante y 2c a la distancia entre los focos, la ecuacionllamada canonica de la elipse centrada en el punto C = (α, β) esta dada por
(x− α)2
a2+
(y − β)2
b2= 1
donde a2 = b2 + c2 y el centro C es el punto medio del segmento determinadopor los focos.
8
– Los focos se encuentran en el semieje mayor (llamado eje focal) de longitud2a que es perpendicular al semieje menor de longitud 2b.
• Hiperbola
– Si bien los graficos de todas las funciones homograficas son curvas llamadashiperbolas cuyas asıntotas son verticales y horizontales, estas no son lasunicas.
– Una hiperbola es el lugar geometrico de los puntos del plano tales que el valorabsoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, esigual a la distancia entre los vertices, la cual es constante.
– Las ecuacionesx2
a2−
y2
b2= 1 (1)
y2
a2−
x2
b2= 1 (2)
corresponden a hiperbolas centradas en el origen. En el caso de la ecuacion(1), la hiperbola corta al eje x en los puntos (a, 0) y (−a, 0) y las ecuacionesde las asıntotas son
y =b
ax y y =
−b
ax.
En el caso de la ecuacion (2), la hiperbola corta al eje y en los puntos (0, a) y(0,−a) y las ecuaciones de las asıntotas son
y =a
bx y y =
−a
bx.
Observar que los resultados mencionados para la ecuacion (2) provienen deintercambiar los roles de x e y en los resultados correspondientes a la ecuacion(1).
9
– De manera analoga toda ecuacion de la forma
(x− α)2
a2−
(y − β)2
b2= 1 o
(y − β)2
a2−
(x− α)2
b2= 1
representa una hiperbola centrada en el punto C(α, β). En el caso de la primeraexpresion, se tiene que las ecuaciones de las asıntotas son
y − β =b
a(x− α) y y − β =
−b
a(x− α).
Intercambiando los roles de (x−α) e (y− β) se pueden obtener las ecuacionesanalogas de las asıntotas para la segunda expresion.
Ejercicio 26. Dar la ecuacion de la circunferencia que verifica las siguientes condicionesy graficar.
1. Centro C(−1, 2) y radio 1
2. Centro C(−2, 3) y tangente al eje x
3. Pasa por los puntos (0, 3), (0,−1) y (2, 1)
Ejercicio 27. Graficar las siguientes circunferencias
1. 2x2 − 4x+ 2y2 − 8y − 2 = 0
2. 4x2 + (2y + 2)2 = 1
Ejercicio 28. Dada la circunferencia de ecuacion x2 + y2 = 4, indicar para que valoresde k la recta de ecuacion y + x = k es
1. exterior
2. secante
3. tangente
Ejercicio 29. Graficar las siguientes elipses
1.x2
12+
y2
9= 1
2. x2 +y2
16= 1
3. 3(x− 1)2 + 5(y + 3)2 = 15
Ejercicio 30. Encontrar b para que la elipse de ecuacionx2
4+
y2
b= 1 sea tangente a la
recta y = 1.
Ejercicio 31. Graficar las siguientes hiperbolas
10
1.(x+ 2)2
9−
y2
4= 1 2. −x2 + 4y2 = 4
Ejercicio 32. Determina los puntos de interseccion de la hiperbola x2 − 2y2 = 1 concada una de las siguientes curvas (verificar los resultados graficamente):
1. x+ y − 1 = 0
2. x2 + 4y2 = 25
3. x2 + y2 = 10
4. y2 −x2
4= 1
Ejercicio 33. Probar que una parabola y una circunferencia no se pueden cortar enmas de cuatro puntos. Graficar ejemplos donde se puedan ver 0, 1, 2, 3 y 4 puntos deinterseccion. (Ayuda: recordar que un polinomio de grado 4 tiene a lo sumo cuatro raıcesreales.)
11
ANALISIS MATEMATICO I (2014)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 3
Lımites.
Ejercicio 1. Sea f(x) la funcion determinada por la siguiente grafica:
5
84
4
3
2
Calcular los siguientes lımites y, en caso de que no existan, indicar porque.
1. limx→2+
f(x)
2. limx→2−
f(x)
3. limx→4+
f(x)
4. limx→4−
f(x)
5. limx→8+
f(x)
6. limx→8−
f(x)
7. limx→2
f(x)
8. limx→4
f(x)
9. limx→8
f(x)
¿Que puede observar comparando el valor que toma la funcion f en x = 2 y x = 4 con elvalor del lımite en cada uno de esos puntos?
Ejercicio 2. Hallar, en caso de que existan, los siguientes lımites usando las propiedades basicasde los lımites de funciones. Justificar.
1. limx→1
3x3 − 2x2 + 4
2. limx→−3
2
x+ 2
3. limx→1+
|x− 1|x− 1
4. limx→1
|x− 1|x− 1
5. limx→2
x2 + 3x− 1
x4 + 6x2 + 5
6. limx→3−
x− 2
x− 3
7. limx→3
x− 2
x− 3
8. limx→2
x2 − 4
x− 2
9. limx→a
x3 − a3
x− a
10. limx→0
x3 + 3x2 + 4x
x2 + x
1
Ejercicio 3. Definir graficamente una funcion f : [1, 8] → R que cumpla las siguientes condi-ciones:
a) f(1) = f(3) = f(5) = f(8) = 1
b) limx→2+
f(x) = 1
c) limx→2−
f(x) = 3
d) limx→5
f(x) = 1
e) limx→3
f(x) no existe
f) limx→8−
f(x) = 1
Ejercicio 4. Graficar la funcion
f(x) =
x2 si x < 0−x si 0 ≤ x ≤ 34 si x > 3
y, a partir de la grafica realizada, calcular los siguientes lımites (si no existen indicar porque)
a) limx→0+
f(x)
b) limx→0−
f(x)
c) limx→3+
f(x)
d) limx→3−
f(x)
e) limx→1/2+
f(x)
f) limx→0
f(x)
g) limx→3
f(x)
h) limx→4
f(x)
Ejercicio 5. Analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar su res-puesta.
1. Aunque no exista limx→a
f(x) ni limx→a
g(x) puede existir limx→a
(f(x) + g(x)).
2. Si limx→a
f(x) y limx→a
(f(x) + g(x)) existen (es decir, son finitos), entonces limx→a
g(x) existe.
3. Si limx→a
f(x) existe (es decir, es finito), y limx→a
g(x) no existe, entonces limx→a
(f(x) + g(x))
existe.
4. Si limx→a
f(x) y limx→a
(f(x).g(x)) existen y son finitos, entonces limx→a
g(x) existe.
Ejercicio 6. A partir de la informacion suministrada en cada inciso hallar, justificando, lossiguientes lımites.
a) Si limx→4
f(x) = −1 y limx→4
g(x) = 5, hallar limx→4
[f(x)− 2
5g(x)].
b) Si limx→x0
f(x) = 5 y limx→x0
g(x) = −2, hallar limx→x0
f(x)− 2
f(x)− g(x).
c) Si limx→−2
f(x)
x2= 1, hallar lim
x→−2
f(x)
x.
d) Si limx→0
f(x)
x= 1, hallar lim
x→0
f (x2)
x.
2
Ejercicio 7. Para cada una de las siguientes funciones hallar limh→0
f(x+ h)− f(x)
h.
1. f(x) = 2− x 2. f(x) = x2 + 3
Definicion: La funcion parte entera, representada por [x], es el mayor numero entero menoro igual que x, es decir
[x] = z ∈ Z si se cumple z ≤ x < z + 1.
Su representacion grafica es una funcion escalonada como se indica en la figura.
Ejercicio 8. Dada f(x) = [x] (la parte entera de x), calcular limx→3+
f(x) y limx→3−
f(x). Considerar
ahora p ∈ Z y calcular limx→p+
f(x) y limx→p−
f(x). Observar que en x = 3 la funcion salta de un
valor finito a otro. ¿Sucede lo mismo en x = p? ¿Podrıa indicar una manera de medir ese salto?
Funciones continuas.
Ejercicio 9. Sea f(x) =
x2 − 1 si − 1 ≤ x < 03x si 0 < x < 12 si x = 1−3x+ 6 si 1 < x < 20 si 2 < x < 4
1. Graficar f(x) e indicar su dominio.
2. ¿f(−1) existe? En caso afirmativo in-dicar su valor.
3. ¿ limx→−1+
f(x) existe?.
4. ¿ limx→−1+
f(x) = f(−1)?
5. ¿Es f continua en x = −1? Justificar.
6. ¿f(1) existe? En caso afirmativo indicarsu valor.
7. ¿limx→1
f(x) existe?.
8. ¿limx→1
f(x) = f(1)?
9. ¿Es f continua en x = 1? Justificar.
10. ¿Esta f definida en x = 2?
11. ¿Es f continua en x = 2? Justificar.
12. ¿En que valores de x es continua f?
13. ¿Que valor deberıa asignarse a f(2) paraque resulte continua en x = 2?
14. ¿Que nuevo valor le asignarıa a f(1) pararemover la discontinuidad?
3
Ejercicio 10. Dadas las funciones
f(x) =x2 − x− 6
x− 3
g(x) =
x2 − x− 6
x− 3si x = 3
3 si x = 3h(x) =
x2 − x− 6
x− 3si x = 3
5 si x = 3
construir un grafico de cada una de ellas y analizar la continuidad de las mismas en x = 3.
Ejercicio 11. Graficar f(x) =(1 + x2)− 1
xx = 0. Hallar el lımite de esa funcion cuando x
tiende a 0. ¿Como debe definirse f(x) en x = 0 para que resulte continua ?
Ejercicio 12. Determinar, justificando, si las siguientes funciones son continuas en todo sudominio
f(x) =x− |x|
2f(x) =
{3x+ 1 si x ≥ 0x+ |x| si x < 0
Ejercicio 13. Graficar f(x) =x2 − 4
|x− 2|. Hallar los lımites laterales de f(x) cuando x tiende a
2. ¿Existe limx→2 f(x)? ¿Puede definirse f(2) para que f sea continua?
Ejercicio 14. Dadas dos funciones continuas, probar que la suma, la diferencia, el producto,el cociente y la composicion son funciones continuas.
Ejercicio 15. Trazar, para cada ıtem, la grafica de una funcion f(x) que:
1. sea continua en el intervalo [a, b].
2. sea continua en el intervalo [a, b] excepto en x = x0 con x0 ∈ (a, b).
3. sea discontinua en el intervalo [a, b] pero |f | sea continua en [a, b].
4. limx→x0
+f(x) = f(x0) y lim
x→x0−f(x) = f(x0).
5. esta definida en x = x0 y existe limx→x0
f(x) pero no coincide con f(x0).
6. no esta definida en x = x0 y existe limx→x0
f(x).
Definicion: La funcion signo, representada por sg(x), esta definida como
sg(x) :=
−1 si x < 00 si x = 01 si x > 0
4
Ejercicio 16. Dadas las funciones
f(x) = sg(x) g(x) = [x+ 1] h(x) = |sg(x)|
1. construir las graficas que las representan,
2. calcular los lımites laterales de cada funcion cuando x tiende a 0,
3. decidir para que funciones existe el lımite cuando x tiende a 0
4. en el caso en que el lımite anterior exista, ver si puede redefinirse la funcion en x = 0 demanera que resulte continua.
Ejercicio 17. Dada f(x) continua en [a,b], construir una funcion que sea continua en R y quecoincida con f en [a,b] (en realidad existe una infinidad de dichas funciones).
Ejercicio 18. Determinar el valor de c para el cual la funcion f es continua en R
f(x) =
{x+ 3 si x ≤ 2cx+ 6 si x > 2
Ejercicio 19. Hallar los valores de b y c para los cuales la funcion f resulta continua en R.
f(x) =
{x+ 1 si 1 < x < 3x2 + bx+ c si |x− 2| ≥ 1
Ejercicio 20. Si f tiene una discontinuidad evitable en a, demostrar que existe una funcion gcontinua en a y que coincide con f , salvo en a.
Propiedades de las funciones continuas.
Ejercicio 21. Supongamos que f y g son dos funciones continuas en el intervalo [a, b] y quef(a) < g(a) pero f(b) > g(b). Demostrar que f(x) = g(x) para algun x ∈ [a, b].
Ejercicio 22. Sea f una funcion continua definida en [0, 48] tal que f(0) = f(48). Mostrarque hay algun valor x ∈ [0, 48] para el cual f(x) = f(x+ 24).
Ejercicio 23. Un docente sube y baja una montana por el mismo camino en 48 hs (parte a las0 hs de un dıa y llega a las 24 hs del dıa siguiente. Mostrar que independiente de la velocidada la que vaya en cada momento y de los descansos que pueda haber hecho, hay un punto delcamino por el cual paso ambos dıas a la misma hora.
5
Ejercicio 24. Para cada uno de los siguientes polinomios, hallar un entero n tal que p(x) = 0para algun x entre n y n+ 1.
1. p(x) = x3 − x+ 3
2. p(x) = 4x2 − x+ 1
Ejercicio 25. Sea f una funcion continua definida en [0, 1] cuyos valores f(x) caen todos en[0, 1]. Demostrar que f(x) = x para algun numero x. (Sugerencia: Dibujar tal funcion)
Ejercicio 26. Considerar las funciones g(x) = x4 − x2 + 2 y h(x) = x2 + 1. Probar queh(x) ≤ g(x) para todo x. Suponiendo que cierta funcion f(x) verifica h(x) ≤ f(x) ≤ g(x).¿Para que valores de x = x0 puede especificar el valor de lim
x→x0
f(x)?
6
ANALISIS MATEMATICO I (2014)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 4
Derivada de una funcion en un punto. Funcion derivada. Regla de la cadena
Ejercicio 1. Sea, f(x) = x2 − 2 y x0 = 2
1. Para h = 1, 12, 13,−1, calcular la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
(x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)). Graficar la funcion y las cuatro rectas secantes en unmismo grafico.
2. Encontrar la expresion de la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos(x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)) para h = 0 (la expresion encontrada va a dependerde h).
3. Calcular la pendiente de la recta tangente al grafico de f en el punto (x0, f(x0)) usandolas pendientes de las rectas secantes encontradas en el punto anterior.
4. Hallar la ecuacion de la recta tangente al grafico de f en el punto (x0, f(x0)).
Ejercicio 2. Para cada una de las siguientes funciones hallar (usando la definicion de derivada)una ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion en el punto indicado. Graficar.
a) f(x) = 2x2 en (1,2). b) g(x) =1
xen (1,1).
Ejercicio 3. Para cada una de las siguientes funciones calcular, por definicion, su derivadaen los puntos indicados.
1. f(x) = k (constante), en un punto x0 ar-bitrario,
2. f(x) = x en un punto x0 arbitrario,
3. f(x) = x2 en un punto x0 arbitrario,
4. f(x) =1
xen un punto x0 = 0,
5. f(x) =√x en un punto x0 > 0,
6. f(x) =1√xen un punto x0 > 0.
Ejercicio 4. Dada f(x) = x3,
1. Mostrar que f(x) es estrictamente creciente.
2. Hallar la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en x = 0.
3. Hacer un grafico aproximado de la funcion. ¿Como interpreta graficamente el resultadoobtenido en 2.?
1
4. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto (1, 1). Observar queesa recta tangente tambien corta a la grafica de f en (−2,−8).
Ejercicio 5. Determinar en que punto de la curva y = 3x2 + 2x la recta tangente es paralelaa la recta L que une los puntos (1, 0) y (0, 1). Graficar la situacion.
Ejercicio 6. ¿Cuantas rectas tangentes a la grafica de y = x2 + 1 pasan por el punto (2, 1)?Hallar la ecuacion de cada una. Graficar.
Ejercicio 7. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la grafica de f(x) = − 1x
quepasan por el punto (1,0). Graficar la situacion. ¿Cuantas rectas tangentes a dicha grafica pasanpor el punto (0, 1)?
Ejercicio 8. Determinar, grafica y analıticamente, si existe la recta tangente a la grafica decada una de las siguientes funciones en (0,0).
1. f(x) = x+ |x|
2. g(x) = x.|x|3. h(x) =
{3x+ 1 si x > 00 si x ≤ 0.
Ejercicio 9. Determinar el valor de la constante c para que la recta de ecuacion y = x seatangente a la grafica de f(x) = x2 + c. Graficar.
Ejercicio 10. Las funciones f y g y sus derivadas con respecto a x tienen los siguientes valoresen x = 2 y x = 3.
x f(x) g(x) f ′(x) g′(x)2 8 2 1/3 -33 3 -4 2π 5
Calcular las derivadas de las siguientes funciones (utilizando la informacion de la tabla) en elvalor dado de x:
1. 9f(x)− g(x), x = 2
2. f(x).g(x), x = 3
3. f(x)/g(x), x = 2
4. f(x)g(x)+1
, x = 3
Ejercicio 11. Calcular las derivadas de las siguientes funciones (utilizando reglas de derivacion)e indicar los dominios de cada funcion y su derivada.
1. 2x−√x− 3x2
2. x3 1
x+ 1
3.1
x√x
4.x4(x+ 1)
x− 1
5.
(t6 +
1
t
)(t5 + 1)
6.−5
u3 + 2u2
2
Ejercicio 12. Sea f : R → R tal que |f(x)| ≤ |x|. Probar que f es continua en x = 0. ¿Esderivable?
Ejercicio 13. Sea f(x) definida en un entorno del origen. Mostrar que si |f(x)| ≤ x2 entoncesf es derivable en 0. Calcular f ′(0). Interpretar graficamente.
Ejercicio 14. Sea f(x) = x g(x) con g continua en x = 0. Probar que f es derivable enx = 0. ¿Cuanto vale f ′(0)?
Ejercicio 15. Si f es una funcion par y derivable en x = 0, demostrar que f ′(0) = 0.
Definicion: Consideremos un objeto que se mueve a lo largo de una lınea recta, de acuerdocon una ecuacion del movimiento s = f(t), donde s es el desplazamiento (distancia directa) delobjeto respecto al origen, en el instante t. La funcion f que describe el movimiento se conocecomo funcion de posicion del objeto. En el intervalo de t = c hasta t = c+ h, el cambio enla posicion es f(c+ h)− f(c). La velocidad promedio en este intervalo de tiempo es
f(c+ h)− f(c)
h
que es lo mismo que la pendiente de la secante que pasa por (c, f(c)) y (c+ h, f(c+ h)).Se define la velocidad (o velocidad instantanea) v(c) en el instante t = c como el lımite de
estas velocidades promedio cuando h tiende a 0:
v(c) = limh→0
f(c+ h)− f(c)
h.
Esto significa que la velocidad en el instante t = c es igual a la pendiente de la recta tangenteen (c, f(c)).
A la relacion de cambio de la velocidad instantanea con respecto al tiempo se le llamaaceleracion a(t) del objeto. En estos terminos, la funcion aceleracion es la derivada de lafuncion velocidad y en consecuencia, es la segunda derivada de la funcion posicion:
a(t) = v′(t) = f ′′(t).
Ejercicio 16. Consideremos la siguiente situacion: desde una altura de 40 metros se dejacaer un objeto. Si t es el tiempo (en segundos) transcurrido desde que se lo suelta, la posiciondel objeto (medida en metros desde el suelo) esta dada por la funcion h(t) = 40− 5t2.
1. En el contexto descripto, entre que valores de t es valida la expresion h(t) = 40− 5t2.
2. Haga un grafico que represente la posicion del objeto en funcion del tiempo.
3. Estime en ese grafico la velocidad del objeto en t = 2.
4. Determine la velocidad del objeto a los t segundos. ¿Entre que valores es correcta laexpresion encontrada?
3
5. Grafique la velocidad en funcion del tiempo.
6. Calcule la razon de cambio instantanea de la funcion velocidad ¿Que representa?
Regla de la cadena y derivadas de orden superior
Ejercicio 17. Calcule las derivadas segunda, tercera y 50-esima de cada una de las siguientesfunciones:
1. f(x) = x3 + 3x2 − 2x 2. f(x) = (x2 + 1)3
Ejercicio 18. Utilizando la informacion de la tabla del Ejercicio 10, calcular la derivada delas siguientes funciones en el valor dado de x:
1. (f ◦ g)(x), x = 2
2. g(f(x)), x = 3
3. 1/(g(x))2, x = 2
4.√
f(x), x = 3
5.√
f 2(x) + g2(x), x = 3
6. f(x).g3(x), x = 2.
Ejercicio 19. En cada caso, hallar g ◦ f y f ◦ g, su dominio natural y calcular su derivada.
1. f(x) =1
xg(x) = x2 + 1
2. f(x) =x√
1− x3g(x) = x2
Ejercicio 20. Calcular las derivadas de las siguientes funciones (utilizando reglas de derivacion)e indicar los dominios de cada funcion y su derivada.
1. (x5/3 −√x)(x2 + 3
√x)
2.1
(x2 + 1)6
3.
√(x2 − 1)
x−1
4.1
2 + 1x+1
Ejercicio 21. Sea f(x) =x− |x|
2
1. Calcular las derivadas laterales de f en x = 0 y determinar si es derivable en todo sudominio.
2. Determinar si g(x) =(f(x)
)2
es derivable en x = 0. Graficar la funcion g.
4
Ejercicio 22. Utilizando la ecuacion del cırculo, realice un grafico de f(x) =√4− x2. Calcule
f ′(0) y f ′(√2) sin derivar, solo usando argumentos graficos. Luego verifique los resultados
hallados calculando la derivada.
Derivacion Implıcita.
Consideremos la siguiente situacion:Queremos determinar la ecuacion de la recta tangente a la curva x3 + y3 = 6xy en el punto(3, 3).
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
–3 –2 –1 1 2 3x
Hasta ahora sabemos encontrar rectas tangentes al grafico de una funcion. En este caso, si soloconsideramos el grafico de la curva “alrededor” del punto que nos interesa, podemos pensar queeste pedacito de la curva es el grafico de cierta funcion y(x). Entonces, para los x cercanos a3, tendremos
x3 + (y(x))3 = 6xy(x).
Si derivamos usando la regla de la cadena obtenemos la igualdad,
3x2 + 3y(x)2y′(x) = 6y(x) + 6xy′(x)
de donde podemos encontrar una expresion para y′ en funcion de x e y:
y′ =6y − 3x2
3y2 − 6xsi 3y2 − 6x = 0.
En el punto (3, 3), se tiene x = 3 y y = 3, de modo que
y′(3) =6.3− 3.(3)2
3.(3)2 − 6.3= −1
Por lo tanto, la ecuacion buscada es y = −x+ 6.
Ejercicio 23. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntosindicados.
1. 2y2 + (xy)53 = 2x2 + 17 en (0,
√17
2).
5
2.x2
16− y2
9= 1 en (−5,
9
4).
3. y2 = x3(2− x) en (1, 1).
4. 2(x2 + y2) = 2, 5(x2 − y2) en (3, 1).
Ejercicio 24. El siguiente grafico corresponde a la curva de ecuacion x2 + xy + y2 = 7.
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
1. Encuentre en el grafico todos los puntos sobre la curva para los cuales la tangente tienependiente 1.
2. Compruebe graficamente que esos puntos se encuentran sobre la recta y = −x.
3. Use derivacion implıcita para demostrar lo afirmado en el apartado anterior.
4. Encuentre las coordenadas de esos puntos.
Ejercicio 25. Una escalera de 3 metros de longitud descansa contra una pared vertical. Si elextremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 0.5m/s, ¿con que velocidadse desliza hacia abajo el extremo superior cuando esta a 1.8m del suelo?
Ejercicio 26. Hallar el valor de y′′ en el punto (−1, 1) de la curva x2y + 3y2 = 4.
Ejercicio 27. Sean f, g : R → R tales que f(g(x2 + x)) + 3g(x) = 3x3 + 2 para todo x ∈ R,y donde g cumple, ademas, que g(0) = 0 y g′(0) = 2.
1. Calcular f ′(0).
2. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 0.
6
ANALISIS MATEMATICO I (2014)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 5
Crecimiento y decrecimiento de funciones. Maximos y mınimos, locales y absolutos.
Ejercicio 1. Las siguientes son las graficas de las funciones
f : [−2, 2] → R h : R− {0} → R.
g : [0, 6] → R
Hallar, en caso de que existan, los valores maximos y mınimos absolutos y relativos (o locales)de las funciones f , g y h. Indicar, ademas, donde se alcanzan y localizarlos en cada una de lasgraficas.
Ejercicio 2. Sean g(x) = −3x2 − 4x y h(x) = x|x|. Graficar ambas funciones y determinar,para cada una: a) regiones de crecimiento y decrecimiento y b) maximos y mınimos locales y/oabsolutos.
Ejercicio 3. Determinar, justificando sin usar derivadas, si las siguientes afirmaciones son ver-daderas o falsas.
1. La funcion f(x) = x2
x2+4tiene un maximo absoluto en el intervalo [−10, 10].
2. g(x) = −x3 + 3 es creciente en todo su dominio.
3. La funcion f(x) = 1− |x| tiene un maximo relativo en x = 0.
1
4. h(x) = 1x+1
es decreciente en (−∞,−1).
5. La funcion g(x) =√x4 + 4x2 + 4 no tiene mınimo absoluto en el intervalo [−
√2, 7
3].
Ejercicio 4. Hallar las constantes b y c para que la funcion f(x) = x2 − bx + c tiene un valormınimo de 12 en x = −2.
Ejercicio 5. Se debe doblar un pedazo de alambre de 60 cm para formar un rectangulo. Encontrar,sin usar derivadas, las dimensiones del rectangulo de area maxima.
Ejercicio 6. Determinar, justificando, los maximos y mınimos absolutos de las siguientes fun-ciones en los intervalos indicados.
1. f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2, en [−1/2, 1/2]
2. f(x) =x
x− 2, en [3, 5]
3. f(x) = 4− |x− 4|, en [1, 6]
4. f(x) = 2x− 3|x|1/2, en [−1, 3]
En cada ıtem, ¿es posible afirmar que la funcion tiene al menos un maximo y un mınimoabsoluto sin hacer calculos? ¿Por que?
Ejercicio 7. Determinar, justificando, los maximos y mınimos absolutos de las siguientes fun-ciones en los intervalos indicados.
1. f(x) = x4 − x2 en [−1,∞)
2. f(x) =x3
1 + x2en (−∞,∞)
3. f(x) =
{
3 + x si 0 ≤ x ≤ 1,1
x−1si 1 < x ≤ 2,
en [0, 2].
En cada ıtem, sin realizar calculos, ¿es posible afirmar que la funcion tiene al menos un maximoy un mınimo absoluto?
Teorema del valor medio. Aplicacion de la derivada al analisis de funciones.
Ejercicio 8. Determinar, justificando, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
1. Si la grafica de una funcion tiene tres intersecciones con el eje x, debe haber al menos dospuntos en los que su tangente sea horizontal.
2. Si un polinomio tiene tres raıces reales, debe haber al menos dos puntos en su grafica en losque su tangente es horizontal.
Ejercicio 9. Dar la expresion de una funcion continua en algun intervalo cerrado [a, b] para la
cual ∄ c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = f(b)−f(a)b−a
. Graficar la situacion.
Ejercicio 10. Esbozar, para cada ıtem, la grafica de una funcion f(x) que satisfaga todas lascondiciones.
2
1. Dominio(f) = R, 0 /∈ Imagen(f), f es continua en su dominio excepto en x = 5, f tienederivada negativa para los x < −2 y derivada positiva para x > −2 y x 6= 5.
2. f alcanza el mınimo absoluto en dos puntos del dominio pero no tiene maximo absoluto, fes continua en IR, f tiene derivada negativa en (−∞;−2) y positiva en (−2; 0), f es par yno es derivable en x = 0.
Concavidad
Ejercicio 11. Sean f , g y h las funciones definidas en el ejercicio 1. Indicar, a partir de lasgraficas de las mismas, regiones donde la funcion sea convexa (concava hacia arriba) o concava(concava hacia abajo) y puntos de inflexion.
Ejercicio 12. Encontrar los puntos de inflexion, y determinar las regiones de convexidad yconcavidad de las siguientes funciones:
1. f(x) = (x2 − 4)2 2. f(x) = x3 − 6x2 + 12x 3. f(x) = x(x+ 1)12
Ejercicio 13. Dada la funcion
f(x) =
{
−x2 si x < 0,x3 si x ≥ 0.
Graficar. Mostrar que f ′′ no existe en x = 0. Analizar si en x = 0 hay un punto de inflexion.
Ejercicio 14. Sea f : (a, b) 7−→ IR una funcion dos veces derivable y sea x0 ∈ (a, b) tal quef ′(x0) = 0. Demostrar que
1. si f ′′(x0) < 0, x0 es un maximo local de f ;
2. si f ′′(x0) > 0, x0 es un mınimo local de f .
Si f ′′(x0) = 0, dar ejemplos que muestren que en x0 puede haber un maximo, un mınimo oun punto de inflexion. En tal caso habra que clasificar el punto x0 mediante el crecimiento odecrecimiento de la funcion o el signo de su derivada.
Ejercicio 15. Clasificar los extremos locales y absolutos de las funciones en el ejercicio 12utilizando el criterio de la segunda derivada cuando sea posible.
Funcion inversa.
Ejercicio 16. Considerar las siguientes funciones
• f(x) =√x
• g(x) = 1x
• h(x) = 4− x2
• k(x) = 2− |x|
3
1. Analizar si cada una de las funciones dadas admiten inversa en su dominio natural y, encaso afirmativo, dar su expresion e indicar su dominio.
2. Para aquellas que no tengan inversa, restringir su dominio de manera tal que la funcionresultante tenga inversa (notar que no hay una unica manera de restringir el dominio).
Ejercicio 17. Demostrar:
1. Toda funcion lineal no constante admite inversa. Ademas, la inversa es otra funcion lineal.
2. Toda funcion de la forma f(x) = ax+bcx+d
admite inversa si y solo si ad−bc 6= 0. Dar la expresionde dicha inversa indicando su dominio
Ejercicio 18. Definimos g(x) = x1n , n ∈ N como la inversa de f(x) = xn.
1. Encontrar dominio e imagen de g para los distintos valores de n
2. Graficar aproximadamente dichas funciones.
3. ¿Como podrıa definir xq para q ∈ Q? ¿Cuando esta funcion tiene inversa?
Ejercicio 19. Usando las reglas de derivacion :
1. ¿Que puede decir acerca de la derivada de la funcion inversa de una funcion derivable?Justifique su respuesta.
2. Calcule la funcion derivada de las siguientes funciones
(a) f(x) = x−n con n ∈ N
(b) f(x) = xq con q ∈ Q. (Observacion importante: ¿Son derivables en x=0? Por ejemplo,pensar en f(x) = x1/3)
Ejercicio 20. Sea f : (a, b) → IR una funcion derivable tal que f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b).
1. Mostrar que f es concava hacia arriba si y solo si f−1 es concava hacia abajo. Interpretargraficamente.
2. Si ademas f es derivable dos veces, dar otra pueba de (a) utilizando el criterio de la segundaderivada para la concavidad.
Optimizacion - Parte 1
Ejercicio 21. Una ventana normanda tiene forma de rectangulo con un semicırculo en su partesuperior (ver figura 1). Si el perımetro de la ventana es de 30 pies, encuentre las dimensiones dela ventana de modo que admita la mayor cantidad de luz posible.
4
Figura 1 Figura 2
Ejercicio 22. Se planea fabricar una caja rectangular sin tapa de una pieza de carton de 80 cmpor 1,5 mts cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. ¿Cuales son lasdimensiones de la caja de mayor volumen que se pueda hacer de este modo?
Ejercicio 23. Un trozo de alambre de 10 metros de longitud se corta en dos partes. Con unaparte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. ¿Puede cortarse elalambre de modo tal que el area total de las dos figuras sea maxima? ¿Y si se deseara que el areasea mınima?
Ejercicio 24. Determinar las dimensiones del triangulo de area maxima inscripto en la circunfe-rencia de radio 1 segun la figura 2.
5
ANALISIS MATEMATICO I (2014)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 6
Funciones trigonometricas
Ejercicio 1. Usar la identidad trigonometrica cos(x) = sen(
x+ π2
)
para:
1. analizar dominio, periodicidad, continuidad y derivabilidad de la funcion cos(x) y trazarsu grafica,
2. encontrar (grafica y analıticamente) los valores de x en donde la funcion cos(x) se anula,alcanza el maximo absoluto o el mınimo absoluto. Pista: Usar la periodicidad de lafuncion.
Ejercicio 2. Calcular las derivadas de las siguientes funciones, indicando en cada caso eldominio de la funcion y de su derivada:
1. cosec(x) =1
sen(x)2. sec(x) =
1
cos(x)3. cotan(x) =
1
tan(x)
Ejercicio 3. Hallar los lımites cuando x → 0 de:
1.sen(2x)
x2.
sen (x2)
x3.
sen(π − x)
x
4.x sen x
sen (x2)5.
1− cos(x)
x26.
tan(2x)
x
Ejercicio 4. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
1. f(x) = sec(x2 + 1) 2. f(x) =x+ cos(x)
cos(x)sen(x)3. f(x) = tan(sen
√x)
Ejercicio 5. Analizar la existencia local de funciones inversas de cos(x) y tan(x). Considerarlos dominios en los que estas existan y demostrar que son derivables. Hallar la derivada encada caso. Graficar las funciones inversas.
Ejercicio 6. Demostrar que existe algun numero x tal que sen(x) = x− 1.
Ejercicio 7. Dadas las funciones f(x) = x sen
(
1
x
)
, g(x) = x2 sen
(
1
x
)
.
1
En caso de ser posible, definir estas funciones en x = 0 de manera que resulten continuas, yanalizar su derivabilidad. Si alguna de las funciones resultara derivable, analizar la continuidadde su derivada.
Ejercicio 8. Para cualquier angulo agudo de medida x, sea A(x) el area sombreada segun se
indica en la figura. Si el triangulo mas grande es isosceles, calcular limx→0
A(x)
x3
1
x
A(x)
Funciones exponenciales y logarıtmicas.
Ejercicio 9. Demostrar que si 0 < a < 1, ax es estrictamente decreciente. Puede definirse lafuncion exponencial si a < 0? Explicar la respuesta.
Ejercicio 10. Para todo a > 0 probar las siguientes propiedades:
1. loga(xy) = loga(x) + loga(y) 2. loga(xb) = b loga(x)
Ejercicio 11. Demostrar que
1. (loga(x))′ =
1
x ln(a)=
1
xloga(e) 2. (ax)′ = ax ln(a)
Ejercicio 12. Analizar crecimiento y decrecimiento de f(x) = loga(x) de acuerdo a losdistintos valores de a.
Ejercicio 13. A partir de la grafica de f(x) = ex obtener las graficas de
1. g(x) = e−x 2. h(x) = ex+1 3. l(x) = ex/2
Ejercicio 14. Calcular las derivadas de las siguientes funciones. Explicitar dominio de lafuncion y de su derivada:
1. f(x) = ln(x2 + 1) 2. f(x) =ex
x3. f(x) = x
√x
Sobre lımites en el infinito
Ejercicio 15. Calcular los siguientes lımites
1. limx→+∞
x21
x2. lim
x→+∞x1
x3. lim
x→+∞x
1
x2
2
4. Que se puede decir del limx→+∞
g(x)f(x) cuando limx→+∞
f(x) = 0 y limx→+∞
g(x) = +∞?
Ejercicio 16.
1. Hallar
(a) limx→+∞
3x4 + 4x3
x6 − 7x4 + 1(b) lim
x→+∞
14x5 − 12x2 + 4
2x4 − 13x+ 4(c) lim
x→+∞
2x3 + 3x2 − 2
3x3 − 12x+ 2
2. Dados dos polinomios p(x) y q(x) de grados m y n respectivamente, analizar el compor-
tamiento de la funcion racionalp(x)
q(x)cuando x → +∞ si m > n, m = n y m < n.
Ejercicio 17.
1. Calcular limx→+∞
sen 2x− cos x4
ln x
2. Demostrar que limx→+∞
f(x)g(x) = 0 si limx→+∞
f(x) = 0 y g(x) es una funcion acotada.
Ejercicio 18. Calcular:
1. limx→∞
x4 + 2x+ 8
2x3 + 3xex2. lim
x→∞
xx
e√x
3. limx→+∞
ln(1 +√x)
ex
4. limx→+∞
(
1 +4
x
)−x
5. limx→+∞
x( x
√a− 1), a > 0 6. lim
x→+∞
x3 + 2 ln(x)
2x +√x
7. limx→+∞
ln(1 + ex)− x 8. limx→+∞
(
1 +1
x3
)x
Ejercicio 19. Analizar si las siguientes funciones tienen asıntota vertical:
1. f(x) =x− 2
ex+1 − 12. g(x) =
x− 1
(x− 1)(x+ 2)x
Crecimiento Exponencial.
Ejercicio 20. Cierta sustancia quımica reacciona de manera que la razon de reaccion en cadainstante es igual a la cantidad de sustancia presente en ese instante. Despues de una hora,quedan 20 gramos de sustancia. ¿Cuanta sustancia habıa al principio?
Ejercicio 21. El carbono 14 va desintegrandose en forma proporcional a la cantidad desustancia presente en cada instante. La vida media del carbono 14 es de 5.668 anos. Es decirpara una determinada cantidad de carbono 14, quedara la mitad de la cantidad original despuesde 5.668 anos. ¿En que instante habra un tercio de carbono 14 de la cantidad original presente?
3
ANALISIS MATEMATICO I (2014)(Grupo Ciencias)
TRABAJO PRACTICO 7
Estudio y grafico de funciones.
Ejercicio 1. Probar las siguientes desigualdades:
1. sen(x) = x para todo x = 0. 2. tan(x) > x si 0 < x < π/2.
3. 2 ln(x) ≤ x2 − 1
xsi x ≥ 1. 4. x3 = 2e−
1x2 para todo x = 0
Ejercicio 2. Graficar las siguientes funciones explicitando en cada caso, si es posible:
• Dominio. Puntos de discontinuidad. Intersecciones con los ejes coordenados.
• Puntos crıticos. Maximos y mınimos, locales y absolutos.
• Regiones de crecimiento y de decrecimiento.
• Comportamiento de la funcion cuando x → +∞ y x → −∞.
• Existencia de asıntotas verticales.
• Regiones de convexidad. Puntos de inflexion.
1. f(x) = x4 − 22x3 + 108x2 2. f(x) =x2 − 2x
x− 2
3. f(x) = x2/3(x− 2) 4. f(x) = ln(x2 + 1)
5. f(x) = xe−x26. f(x) = sen2(x)
7. f(x) =x2
(x+ 1)12
8. f(x) = xe1x
9. f(x) =x
ln(x)10. f(x) =
(x
2− x
)2/3
− 1
11. f(x) = xln(x) 12. f(x) = x− e−1x2
1
Optimizacion (2da parte).
Ejercicio 3. Hallar sobre la recta y = x+2 el punto que se encuentra mas proximo al (1/2, 2).Demostrar que la recta que pasa por el punto hallado y el (1/2, 2) es perpendicular a y = x+2.
Ejercicio 4. Hallar la distancia entre la grafica de y =1√xy el origen.
Ejercicio 5. Hallar dos numeros positivos cuyo producto sea 16 y
(a) su suma sea mınima.
(b) la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro sea mınima.
Ejercicio 6. En la figura se presenta un semicırculo de radio 1,
1. Expresar el area sombreada en funcion delangulo θ.
2. ¿Para que valor/valores de θ se consigue som-brear la menor area posible?
3. ¿Para que valor/valores de θ se consigue som-brear la mayor area posible?
Ejercicio 7. De acuerdo a la figura de la derecha,
1. Expresar la longitud de los segmentos
AC y BC
en funcion de x.
2. Encontrar el valor x0 para el cual la suma delas longitudes de los segmentos anteriores esmınima.
3. Mostrar que para el valor x0 encontrado secumple
sen(α) = sen(β)
2
ANALISIS MATEMATICO I, 2014
Trabajo Practico - Repaso general: Primera parcial
Lımites y Continuidad
1. Calcular los siguientes lımites:
lımx→0
(x+ sen(1/x)) lımx→0
(
1
2
)1
x2
lımx→∞
(√
x2 + 1− |x|)
lımx→+∞
(
x+ 1
x+ 2
)2x
lımx→−∞
3√x− 5
√x
3√x+ 5
√x
lımx→+∞
2x5
3 − x1
3 ln(x) + 7
x8
5 + 3x+√x
lımx→0
tg(x)− sen(x)
sen2(x)lım
x→0+
ln(x)
cotg(x)lımx→π
2
sen(x− π2)
π − 2x
lımx→0
x2 sen( 1x)
senxlımx→1
exp(x− 1)− 1
1− xlımx→π
2
cos(x)
x− π2
2. Estudiar la continuidad de la siguiente funcion.
f(x) =
−x2 − 3x− 1 si x < −1|x| si − 1 ≤ x < 2x− 2 si x ≥ 2
3. Sea f : R → R dada por
f(x) =
x
1 + x, x ≥ 0
x
1− x, x < 0
Mostrar que f es continua en R. Graficar f .
Derivada
1. Determinar los valores de a y b para que la siguiente funcion sea derivable en todos losnumeros reales. Graficar f .
f(x) =
{
1
x si x < −1a+ bx2 si x ≥ −1
2. Para cada una de las funciones dadas a continuacion
a) Determinar si es continua y/o derivable en los puntos indicados.
b) En los casos que resulte derivable estudiar la continuidad de la funcion derivada.
1) f(x) =
(x− 2)5/2 cos
(
1
x− 2
)
si x 6= 2
0 si x = 2en x = 2,
1
2) g(x) =
{
x3/2 ln (x+ 1) si x > 0x2 sen(x) si x ≤ 0
en x = 0.
3. Sea f(x) = (x − 1)x(x + 2)(x + 5). Sin hacer calculos, demostrar que f ′ tiene tres raıcesreales distintas.
4. Suponer en cada caso que la ecuacion dada define a y implıcitamente como una funcionde x. Hallar y′.
(a) ln y = ey senx (b) e2x = sen(x+ 3y).
5. Considerar la funcion
f(x) =
{
x2 sen(1/x2) x 6= 00 x = 0.
¿Es f es derivable en R? Justifique.
6. Dada la funcion
f(x) =
{
x2 x > 0
x2 − 1 x ≤ 0.
Calcular lımx→0+
f ′(x) y lımx→0−
f ′(x). ¿Es f derivable en x = 0?
7. Encontrar el(los) punto(s) de la grafica de f(x) = 3 lnx donde la recta tangente es paralelaa la recta 8x− 2y + 1 = 0. Graficar.
8. Encontrar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) = x lnx − x + 3 que esperpendicular a la recta x+ 2y = 1.
9. Encontrar la ecuacion de la recta normal a la grafica de f(x) =senx
xen el punto (π, 0).
10. ¿Existe algun punto de la grafica de f(x) = x3 − senx donde la recta tangente sea per-pendicular a la recta de ecuacion x = 3?
11. ¿Existe algun punto de la grafica de f(x) = sen(x)+1 donde la recta tangente sea paralelaa la recta tangente a g(x) = ex
2
en (0, 1)?
12. Encontrar, si existen, todos los puntos de la curva y2 + xy = 2 donde la pendiente de larecta tangente es −1.
Optimizacion
1. Determinar dos numeros cuya diferencia sea 100 y cuyo producto sea mınimo.
2. Encontrar el punto sobre la grafica de f(x) = −2x4 + 8x3 − 9x2 + 5x + 1, x ∈ [1, 2], quetiene la recta tangente con mayor pendiente.
3. ¿Existe algun punto sobre la grafica de f(x) = x3 − 2x2 + x − 2, x ∈ [0, 3], donde lapendiente de la recta tangente sea mayor que 10?
4. El costo diario de producir x unidades de un producto esta dado por la formula
f(x) = 2002 + 120x− 5x2 +1
3x3.
Cada unidad se vende por $230. ¿Cuantas unidades debera producirse por dıa para maximi-zar las ganacias? ¿Cual sera la ganancia diaria para este numero de unidades producidas?
2
Graficas
1. Realizar un estudio analıtico completo de cada una de las siguientes funciones. Graficar.
(a) f(x) = xln2 x (b) f(x) =x2√4− x2
(c) f(x) =1
x2 + 2x+ 2.
2. Considerar f(x) = e−1
x2 para x 6= 0 y f(0) = 0. Hacer un estudio analıtico completo de f
y graficar.
3. Realizar un estudio analıtico completo de la funcion f(x) = 1√2π
exp(−1
2x2). Graficar.
4. Las siguientes son las graficas de las funciones
h(x) =−x2 + 1
xf(x) = −x2 + 1
xg(x) =
−x3 + 1
x2k(x) = −x3 + 1
x2
Indicar que grafica corresponde a cada una de las funciones.
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–20 –10 10 20
x
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–20 –10 10 20
x
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–20 –10 10 20
x
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–20 –10 10 20
x
3