análisis estructural solución de vigas por integración [guía de ejercicios]

DEPARTAMENTO DE PROGRAMACIÓN Y TECNOLOGÍA EDUCATIVA

PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Solución de Vigas por Integración Guía de Ejercicios

Profesor Francisco D’Amico D’Agosto

Abril 2003

Francisco D’Amico Vigas Isostáticas - 1

Guía de Ejercicios PROGRAMACIÓN APLICADA AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

Solución de Vigas por Integración Guía de Ejercicios 1

A continuación se muestran 6 modelos matemáticos diferentes de vigas

isostáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante y momento determine

para cada viga:

Reacciones en los vínculos.

Ecuaciones que describen a las características de solicitación en todas

las secciones.

Diagrama de fuerza cortante y momento flector.

No se dispone de información acerca de las características del material y de la

sección de las vigas.



Cálculo de las reacciones:

Por simetría:

4500 4 12 90002 2i jR R kgf⋅

= = ⋅ = ↑

Otra forma, por equilibrio:

1 4500 4 2 4500 40 4 4 4 8 03 2 3 2

90004500 40 2 9000 0

29000

V

Mi Rj

Rj kgf

F Ri

Ri kgf

⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + + ⋅ − =

⇒ = ↑⋅

= ⇒ − ⋅ + + =

⇒ = ↑

∑

∑

Cálculo de las características de solicitación:

( )

( ) ( ) 2

0 4 (primer segmento)4500 4500 1125 4500

4562,5 4500 9000

x

W x x x

V x W x dx x x

≤ ≤

= − = −

= = − +∫

Ri Rj



( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

3 2

2

3

187,5 2250 9000

4 0

4 120000 4 (segundo segmento)

4500 11254

562,5

187,5 12000

4 9000

4 0

M x V x dx x x x

V

M mkgfx

W x x x

V x W x dx x

M x V x dx x

V kgf

M

= = − +

=

=

≤ ≤

= − = −

= = −

= = − +

= −

=

∫

∫∫

Diagramas de cortante y momento:



Ri Rj


Por equilibrio:

( )

7,50 1 3000 7,50 2000 7,5 5 3000 7,5 7,5 02 3 2

132507,50 5000 2000 3000 13250 02

16000

V

Mi Rj

Rj kgf

F Ri

Ri kgf

⋅= ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − =

⇒ = ↑

= ⇒ − + − + =

⇒ = ↑

∑

∑


( )

( )

( )

( )( )

2

3 2

0 5 (primer segmento)5000 3000 5000 400 5000

5200 5000 16000200 2500 160003

5 4000

5 25833,33

x

W x x x

V x x x

M x x x x

V kgf

M mkgf

≤ ≤−

= − = −

= − +

= − +

= −

=



( )

( )

( )( )

( )

( )

2

1

2

0 200 5000 16000 03,7721,23 5 no es solución

3,77 28360,105 (fuerza puntual)

5 3000 4000 7000

5 25833,330 2,50 (segundo segmento)

3000 2000 3000 400 30002,5

20

V x x xx mx m mM mkgfxV kgf

M mkgfx

W x x x

V x

= ⇒ − + =

== >

=

=

= − − = −

=

≤ ≤−

= − = −

=

( )

( )( )

2

3 2

0 3000 7000200 1500 7000 25833,33

32,5 13250

2,5 0

x x

M x x x x

V kgf

M

− −

= − − +

= −

=

Diagramas de cortante y momento:




Por equilibrio:

( )2 3000 2 1 3000 3 30 2 750 2 3 5 1000 3 5 1,5 1500 8 03 2 3 2 2

5937,53000 2 3000 30 1000 3 1500 5937,5 0

2 26062,5

V

Mi Rj

Rj kgf

F Ri

Ri kgf

⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ − =

⇒ = ↑⋅ ⋅

= ⇒ − − − ⋅ − + =

⇒ = ↑

∑

∑


( )

( )( )( )( )

( )( )

2

3

0 2 (primer segmento)3000 1500

2750 6062,5

250 6062,5

2 3062,5

2 101252 (momento aplicado)

3062,5

750 10125 10875

x

W x x x

V x x

M x x x

V kgf

M mkgfxV x kgf

M x mkgf

≤ ≤

= − = −

= − +

= − +

=

=

=

=

= + =

Ri Rj



( )

( )

( )

( )( )( )

2

3 2

2

1

2

0 3 (segundo segmento)3000 3000 1000 3000

3500 3000 3062,5500 1500 3062,5 10875

33 1437,5

3 11062,59

0 500 3000 3062,5 01,34,7 3 no es solución

(1,3) 12

x

W x x x

V x x x

M x x x x

V kgf

M mkgf

V x x xx mx m m

M

≤ ≤

= − = −

= − +

= − + +

= −

=

= ⇒ − + =

⇒ =⇒ = >

=

( )( )( )( )( )

( )( )

2

687,420 1,5 (tercer segmento)

1000

1000 1437,5

500 1437,5 11062,59

1,5 2937,5

1,5 7781,341,5 (fuerza puntual)

1500 2937,5 4435,5

7781,340 1,5 (cuarto

mkgfx

W x

V x x

M x x x

V kgf

M mkgfxV x kgf

M x mkgfx

≤ ≤

= −

= − −

= − − +

= −

=

=

= − − = −

=

≤ ≤

( )( )( )( )( )

2

segmento)1000

1000 4437,5

500 4437,5 7781,34

1,5 5937,5

1,5 0

W x

V x x

M x x x

V kgf

M

= −

= − −

= − − +

= −

=



Diagramas de corte y momento:



Cálculo de las reacciones: Por equilibrio:

( )

1000 2,5 2100 3,50 2000 02 2

69252 1000 2,5 1 2100 3,50 2,5 2,5 1 2000 4,5 3,5 03 2 3 2

29908,33

VF Ri

Ri kgf

Mi Mi

Mi mkgf

⋅ ⋅= ⇒ − − − =

⇒ = ↑

⋅ ⋅ = ⇒ − + ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ =

⇒ =

∑

∑


( )

( )

( )

( )( )

2

3

0 2,5 (primer segmento)1000 4002,5

200 6925200 6925 29908,333

2,5 5675

2,5 13637,55

x

W x x x

V x x

M x x x

V kgf

M mkgf

≤ ≤

= − = −

= − +

= − + −

=

= −

( )( )( )

0 1 (segundo segmento)0

5675

5675 13637,55

xW x

V x

M x x

≤ ≤

=

=

= −

Ri

Mi



( )( )1 5675

1 7962,55

V kgf

M mkgf

=

= −

( )( )

( )( )( )( )( )

( )

( ) 2

1 (fuerza puntual)2000 5675 3675

7962,550 1 (tercer segmento)

0

3675

3675 7962,55

1 3675

1 4287,550 3,5 (cuarto segmento)

2100 2100 600 21003,5

300 2100

xV x

M x mkgfx

W x

V x

M x x

V kgf

M mkgfx

W x x x

V x x x

=

= − + =

= −

≤ ≤

=

=

= −

=

= −

≤ ≤

= − = −

= − +

( )( )( )

3 2

3675

100 1050 3675 4287,55

3,5 0

3,5 0

M x x x x

V

M

= − + −

=

=





6000 70 02

210002 6000 70 250 300 350 7 03 2

98900

VF Ri

Ri kgf

Mi Mi

Mi mkgf

⋅= ⇒ − =

⇒ = ↑⋅

= ⇒ − + + + + ⋅ ⋅ =

⇒ =

∑

∑


( )

( )( )( )( )

2

3

0 2 (primer segmento)1714,29 857,14

2428,57 21000

142,86 21000 98900

2 19285,72

2 58042,88

x

W x x x

V x x

M x x x

V kgf

M mkgf

≤ ≤

= − = −

= − +

= − + −

=

= −

( )( )

2 (momento aplicado)19285,72

58042,88 250 57792,88

xV x kgf

M x mkgf

=

=

= − + = −

Ri

Mi



( )

( )( )( )( )

2

3 2

0 2 (segundo segmento)1714,29 1714,29 857,14 1714,29

2428,57 1714,29 19285,72

142,86 857,15 19285,72 57792,88

2 14142,86

2 23792,87

x

W x x x

V x x x

M x x x x

V kgf

M mkgf

≤ ≤

= − − = − −

= − − +

= − − + −

=

= −

( )( )

2 (momento aplicado)14142,86

23792,87 300 23492,87

xV x kgf

M x mkgf

=

=

= − + = −

( )

( )( )( )( )

2

3 2

0 3 (tercer segmento)2571,43 3428,57 857,14 3428,57

3428,57 3428,57 14142,86

142,86 1714,29 14142,86 23492,87

3 0

3 350,12

x

W x x x

V x x x

M x x x x

V

M mkgf

≤ ≤

= − − = − −

= − − +

= − − + −

=

= −

( )( )

3 (momento aplicado)0

350,12 350 0,12 0

xV x

M x mkgf

=

=

= − + = − ≈





1,5 3 7500 1000 6 7500 12 9 1000

562500 7500 15 56250 0

56250

izq der

V

Mi Mi Rj

Rj kgfF Ri

Ri kgf

= ⇒ − ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ + +

⇒ = ↑

= ⇒ − ⋅ + + =

⇒ = ↑

∑ ∑

∑


( )( )( )( )( )

2

0 3 (primer segmento)7500

7500

3750

3 22500

3 33750

xW x

V x x

M x x

V kgf

M mkgf

≤ ≤

= −

= −

= −

= −

= −

( )( )

3 (momento aplicado + reacción)22500 56250 33750

33750 1000 32750

xV x kgf

M x mkgf

=

= − + =

= − + = −

Ri Rj



( )( )( )( )( )( )( )

( )

2

0 9 (segundo segmento)7500

7500 33750

3750 33750 32750

0 7500 33750 0 4,5

4,5 43187,50

9 33750

9 327509 (momento aplicado + reacción)

33750 56250 22500

xW x

V x x

M x x x

V x x x m

M mkgf

V kgf

M mkgfxV x kgf

M

≤ ≤

= −

= − +

= − + −

= ⇒ − + = ⇒ =

=

= −

= −

=

= − + =

( )

( )( )( )( )( )

2

32750 1000 337500 3 (tercer segmento)

7500

7500 22500

3750 22500 33750

3 0

0 0

x mkgfx

W x

V x x

M x x x

V

M

= − − = −

≤ ≤

= −

= − +

= − + −

=

=


Francisco D’Amico Vigas Hiperestáticas - 16




hiperestáticas; utilizando las relaciones entre carga, cortante, momento, rotación

y deformación determine para cada viga:

Ecuación general de la carga.

Ecuación general de la fuerza cortante.

Ecuación general del momento flector.

Ecuación general de la deformada (elástica).

Momento flector máximo y distancia a la cual se encuentra.

Deformación máxima y distancia a la cual ocurre.

Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia Ixx = 9600

cm4 en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm2.



Ri

Mi

Rj

Mj



( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )

2

3 2

4 3 21

1

5 4 3 22

2

4500 45008

4500 4500164500 2250

484500 2250192 3 2

0 0 0

4500 2250960 12 6 2

0 0 0

8 0

8 0

0 288000 32 8

0 6

xx

xx

W x x

V x x x Ri

M x x x Rix Mi

RiEI x x x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x x x C

x x C

x x

x x

Ri Mi

θ

θ

δ

δ

θ

δ

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= − + −

= − 14400 85,3 32resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:

12600

144004500 80 12600 0 5400

2V

Ri Mi

Ri kgf

Mi mkgf

F Rj Rj kgf

+ −

=

=⋅

= ⇒ − + = ⇒ =∑



( ) [ ]

( ) [ ]2

1 80 14400 8 4500 8 5400 0 96003 2

Ecuación general de la carga:562,50 4500 0,8

Ecuación general de la fuerza cortante:281,25 4500 12600 0,8

Ecuación general del moment

Mi M j M j mkgf

W x x x

V x x x x

= ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⇒ =

= − ∀ ∈

= − + ∀ ∈

∑

( ) [ ]( ) [ ]

( ) [ ]

( )

3 2

4 3 2

5 4 3 2

o flector:93,75 2250 12600 14400 0,8

23,44 750 6300 14400 0,8Ecuación general de la deformada:

4,69 187,5 2100 7200 0,8Máximo momento flector:

0 281

xx

xx

M x x x x x

EI x x x x x x

EI x x x x x x

V x

θ

δ

= − + − ∀ ∈

= − + − ∀ ∈

= − + − ∀ ∈

= ⇒

( )( )

( )

( )

2

1

2

4 3 2

1

2

3

, 25 4500 12600 03,6212,38 8 no es solución

3,62 6174,41

0 14400

0 14400 para 0Máxima deformación:

0 23,44 750 6300 14400 00 empotramiento3,8

x xx mx m m

M mkgf

M mkgf

M M mkgf x

x x x x xxx mx

θ

− + =

⇒ =⇒ = >

=

= −

⇒ = = − =

= ⇒ − + − =

⇒ =⇒ =⇒

( )4

8 empotramiento20,19 8 no es solución

3,8 1,2 para 3,8

mx m m

cm x mδ δ

=

⇒ = >

⇒ = = − =



( )( )( )

( )

( )

( )

( )( )( )

2

3 21

1

4 3 22

2

2000

2000

1000

333,32

0 0 0

83,36 2

0 0 0

8 0

8 0

170666,6 32 8

341333,3 85,3 32resolviendo el si

xx

xx

W x

V x x Ri

M x x Rix MiRiEI x x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x x C

x x C

x x

x x

Ri Mi

Ri Mi

θ

θ

δ

δ

θ

δ

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= −

= −stema de ecuaciones resulta:

8000

10666,67por simetría 8000

Ri kgf

Mi mkgfRj kgf

=

==

Ri

Mi

Rj

Mj



( ) [ ]

( ) [ ]

( ) 2

por simetría: 10666,67Ecuación general de la carga:

2000 0,8Ecuación general de la fuerza cortante:

2000 8000 0,8Ecuación general del momento flector:

1000 8000 10166,67

M j mkgf

W x x

V x x x

M x x x

=

= − ∀ ∈

= − + ∀ ∈

= − + − [ ]

( ) [ ]

( )

( )( )( )

( ) ( )

4 3 2

0,8Ecuación general de la deformada:

83,33 1333,33 5333,33 0,8Máximo momento flector:

0 2000 8000 04

4 5333,33

0 10666,67

8 10666,67

0 8 10666,67

xx

x

EI x x x x x

V x xx m

M mkgf

M mkgf

M mkgf

M M M mkgf

δ

∀ ∈

= − + − ∀ ∈

= ⇒ − + =

⇒ =

=

= −

=

⇒ = = = −

( )

( )

3 2

1

2

3

para 0 y 8Máxima deformación:

0 333,33 4000 10666,67 00 empotramiento48 empotramiento

4 1,06 para 4

x x

x x x xxx mx m

cm x m

θ

δ δ

= =

= ⇒ − + − =

⇒ =⇒ =⇒ =

⇒ = = − =



( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )

2

3 2

4 3 21

1

5 4 3 22

2

400 5000

200 5000200 25003

200 250012 3 2

0 0 0

200 250060 12 6 2

0 0 0

7,5 0

7,5 0

298828,13 28,13 7,5

580078

xx

xx

W x x

V x x x Ri

M x x x Rix Mi

RiEI x x x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x x x C

x x C

x x

x x

Ri Mi

θ

θ

δ

δ

θ

δ

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= −

,12 70,31 28,13resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:

15363,19

17778,44

Ri Mi

Ri kgf

Mi mkgf

= −

=

=

Ri

Mi

Rj

Mj



( ) [ ]

( ) [ ]

( )

2

3 2

Ecuación general de la carga:400 5000 0;7,5

Ecuación general de la fuerza cortante:200 5000 15363,19 0;7,5

Ecuación general del momento flector:66,67 2500 15363,19 17778,44

W x x x

V x x x x

M x x x x

= − ∀ ∈

= − + ∀ ∈

= − + − [ ]

( ) [ ]

( )

( )

5 4 3 2

2

1

2

0;7,5Ecuación general de la deformada:

3,33 208,33 2560,53 8889,22 0;7,5Máximo momento flector:

0 200 5000 15363,19 03,5921,41 7,5 no es solución

3,59 8239,88

xx

x

EI x x x x x x

V x x xx mx m m

M m

δ

∀ ∈

= − + − ∀ ∈

= ⇒ − + =

⇒ =⇒ = >

=

( )( )

( ) 4 3 2

1

2

3

4

0 17778,44

0 17778,44 para 0Máxima deformación:

0 16,67 833,33 7681,60 17778,44 00 empotramiento3,667,5 empotramiento38,83 7,5 no es solución

kgf

M mkgf

M M mkgf x

x x x x xxx mx mx m m

θ

δ

= −

⇒ = = − =

= ⇒ − + − =

⇒ =⇒ =⇒ =⇒ = >

⇒ = ( )3,66 1,43 para 3,66cm x mδ = − =



( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )( )

2

3

4 21

1

5 3 22

2

60007

6000146000

426000168 2

0 0 0

6000840 6 2

0 0 0

7 0

7 0

49000 7

120050 57,16 24,5resolviendo e

xx

xx

W x x

V x x Ri

M x x Rix Mi

RiEI x x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x x C

x x C

x M x

x x

Ri Mi

Ri Mi

θ

θ

δ

δ

δ

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

= −

= −l sistema de ecuaciones resulta:

9450

17150

Ri kgf

Mi mkgf

=

=

Ri

Mi

Rj



( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

2

3

Ecuación general de la carga:6000 0,7

7Ecuación general de la fuerza cortante:

6000 9450 0,714

Ecuación general del momento flector:6000 9450 17150 0,7

42Ecuación general

W x x x

V x x x

M x x x x

= − ∀ ∈

= − + ∀ ∈

= − + − ∀ ∈

( ) [ ]

( )

( )( )

( )

5 3 2

2

1

2

de la deformada:6000 9450 17150 0,7840 6 2

Máximo momento flector:60000 9450 014

4,74,7 0 no es solución

4,7 12433,18

0 17150

0 17150 para 0Máxi

xxEI x x x x x

V x x

x mx m

M mkgf

M mkgf

M M mkgf x

δ = − + − ∀ ∈

= ⇒ − + =

⇒ =⇒ = − <

=

= −

⇒ = = − =

( )

( )

4 2

1

2

3

4

ma deformación:0 35,71 4725 17150 00 empotramiento4,188,83 7 no es solución

13,01 0 no es solución

4,18 2,18 para 4,18

x x x xxx mx m mx m

cm x m

θ

δ δ

= ⇒ − + − =

⇒ =⇒ =⇒ = >⇒ = − <

⇒ = = − =

Francisco D’Amico Rotaciones y Deformaciones en Vigas - 27




hiperestáticas y 6 de vigas isostáticas; utilizando las relaciones entre carga,

cortante, momento, rotación y deformación determine para cada viga:

La rotación en las secciones I, J, A y B.

El desplazamiento vertical en las secciones I, J, A y B.

Todas las vigas poseen la misma sección transversal típica con inercia Ixx =

10000 cm4 en acero estructural con módulo de elasticidad E = 2100000 kgf/cm2.



( )( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

21

1

3 22

2

Tramo (I-J) 0 50

(1) 2

0 0 0

(2) 6 2

0 0 0condiciones en la frontera:

5

5 5255 52

xx

xx

xx

xW x

V x Ri

M x Rix MiRiEI x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x C

x x C

V Ri

M Ri Mi

EI Ri Mi

θ

θ

δ

δ

θ

≤ ≤

=

= −

= − +

= − + +

= ⇒ = ⇒ =

= − + +

= ⇒ = ⇒ =

= −

= − +

= − +

( )( )( ) 2

Articulación J (condiciones en la frontera)

5Voladizo (J-A) 0 2

1000

(3) 1000

(4) 500 5

Vj Ri Rj

Mj Ri Mix

W x

V x x Ri Rj

M x x Rix Rjx Ri Mi

= − +

= − +≤ ≤

= −

= − − +

= − − + − +

Ri

Mi

Rj



( )

( )

( )( ) ( )

( )

3 2 23

4 3 3 2 23 4

4

3 3

500(5) 53 2 2

500 5(6) 12 6 6 2 2

0 0 0

con (1) y (5): 5 025 255 5 0 (I)2 2

de (2) 5

xx

xx

tramo voladizoxx xx

Ri RjEI x x x x Rix Mix C

Ri Rj MiEI x x x x Rix x C x C

x x C

EI EI

Ri Mi C Ri Mi C

θ

δ

δ

θ θ

δ

= − − + − + +

= − − + − + + +

= ⇒ = ⇒ =

=

− + = ⇒ − + − =

=

( )( )

125 250 0 (II)6 2

de (3) 2 0 2000 0 2000 (III)

de (4) 2 0 2000 7 2 0 7 2 2000 (IV)formando sistema con I, II, III y IV:

25 0 5 12

125 250 06 21 1 0 07 2 1 0

Ri Mi

V Ri Rj Ri Rj

M Ri Rj Mi Ri Rj Mi

⇒ − + =

= ⇒ − − + = ⇒ − + =

= ⇒ − − + + = ⇒ − + + =

− −− −−

( )( )

23 3

600026000

2000 10002000 2500

Nodo I: de ecuación (1) 0 0

de ecuación (2) 0 0

Nodo B: de ec

Ri Ri kgfRj Rj kgf

Mi Mi mkgfC C kgfm

θ

δ

= = ⋅ = =

= −

=

=

( )( )( )( )( )

4

4

3

uación (1) 2,5 2,976 10

de ecuación (2) 2,5 7, 440 10

Nodo J: de ecuación (5) 0 1,190 10


Nodo A: de ecuación (5) 2 1,82

rad

m

rad

θ

δ

θ

δ

θ

−

−

−

= ⋅

= ⋅

= − ⋅

=

= −

( )

3

3

5 10

de ecuación (6) 2 3,333 10

rad

mδ

−

−

⋅

= − ⋅



( )( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

21

1

3 22

2

Tramo (I-J) 0 50

(1) 2

0 0 0

(2) 6 2

0 0 0condiciones en la frontera:

5

5 5255 52

xx

xx

xx

xW x

V x Ri

M x Rix MiRiEI x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x C

x x C

V Ri

M Ri Mi

EI Ri Mi

θ

θ

δ

δ

θ

≤ ≤

=

= −

= − +

= − + +

= ⇒ = ⇒ =

= − + +

= ⇒ = ⇒ =

= −

= − +

= − +

( )( )

( )

2

3

Articulación J (condiciones en la frontera)

5Voladizo (J-A) 0 2

500

(3) 250250(4) 5

3

Vj Ri Rj

Mj Ri Mix

W x x

V x x Ri Rj

M x x Rix Rjx Ri Mi

= − +

= − +≤ ≤

= −

= − − +

= − − + − +

Ri

Mi

Rj



( )

( )

( )( ) ( )

( )

4 2 23

5 3 3 2 23 4

4

3 3

250(5) 512 2 2250 5(6) 60 6 6 2 2

0 0 0

con (1) y (5): 5 025 255 5 0 (I)2 2

de (2) 5

xx

xx

tramo voladizoxx xx

Ri RjEI x x x x Rix Mix C

Ri Rj MiEI x x x x Rix x C x C

x x C

EI EI

Ri Mi C Ri Mi C

θ

δ

δ

θ θ

δ

= − − + − + +

= − − + − + + +

= ⇒ = ⇒ =

=

− + = ⇒ − + − =

( )

( )

125 250 0 (II)6 2

de (3) 2 0 1000 0 1000 (III)2000 2000de (4) 2 0 7 2 0 7 2 (IV)

3 3formando sistema con I, II, III y IV:

25 0 5 12

125 250 06 21 1 0 07 2 1 0

Ri Mi

V Ri Rj Ri Rj

M Ri Rj Mi Ri Rj Mi

= ⇒ − + =

= ⇒ − − + = ⇒ − + =

= ⇒ − − + + = ⇒ − + + =

− −−

−−

( )( )

23 3

0 4000 1400

1000666,67

20001666,67

3

Nodo I: de ecuación (1) 0 0


No

Ri Ri kgfRj Rj kgf

Mi Mi mkgfC C kgfm

θ

δ

= = ⋅ = = = − =

=

( )( )( )( )

4

4

4

do B: de ecuación (1) 2,5 1,984 10

de ecuación (2) 2,5 4,960 10

Nodo J: de ecuación (5) 0 7,937 10


Nodo A: de ecuación (

rad

m

rad

θ

δ

θ

δ

−

−

−

= ⋅

= ⋅

= − ⋅

=

( )( )

3

3

5) 2 1,270 10

de ecuación (6) 2 2,286 10

rad

m

θ

δ

−

−

= − ⋅

= − ⋅



( )( )( )

( )( )

2

Por simetría: 1000Voladizo izquierdo 0 1

1000

1000

500condiciones en la frontera:

1 1000

1 500Articulación I condiciones en la frontera:

1000 1000 0500

Tr

Ri Rj kgfx

W x

V x x

M x x

V kgf

M mkgf

ViMi mkgf

= =≤ ≤

= −

= −

= −

= −

= −

= − + == −

( )( )( )

( )( )( )( )

1

21 2

2

2 21 1

amo (I-J) 0 50

0

500

(1) 500

(2) 250

0 0 0

5 0 250 5 5 1250

xx

xx

xW x

V x Vi

M x

EI x x C

EI x x C x C

x x C

x x C C kgfm

θ

δ

δ

δ

≤ ≤

=

= =

= −

= − +

= − + +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⇒ =

Ri Rj



( )( )( )( )( )( )

4

4

4

Nodo I: de (1) 0 5,952 10

de (2) 0 0

Nodo B: de (1) 2,5 0

de (2) 2,5 7,440 10

Nodo J: de (1) 5 5,952 10

de (2) 5 0Articu

rad

m

rad

θ

δ

θ

δ

θ

δ

−

−

−

= ⋅

=

=

= ⋅

= − ⋅

=

( )( )( )

( )

( )

2

3 23

4 3 23 4

lación J condiciones en la frontera1000

500Voladizo derecho 0 1

1000

1000 1000

500 1000 500500(3) 500 500

3500 500(4) 25012 3

xx

xx

Vj kgfMj mkgf

xW x

V x x

M x x x

EI x x x x C

EI x x x x C x C

x

θ

δ

== −

≤ ≤

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= − + − + +

= ( )( ) ( )

( )( )

4

3

23

4

4

0 0 0

con (1) y (3): 5 0500 5 1250

1250

Nodo A: de (3) 1 6,746 10

de (4) 1 6,548 10

tramo voladizo derechoxx xx

x C

EI EIC

C kgfmrad

m

δ

θ θ

θ

δ

−

−

⇒ = ⇒ =

=

⇒ − ⋅ + =

⇒ = −

= − ⋅

= − ⋅



( )( )

( )

( )( )

2

3

Por simetría: 500Voladizo izquierdo 0 1

1000 1000

500 1000500 500

3condiciones en la frontera:

1 500

1 333,33Articulación I condiciones en la frontera:

500 500

Ri Rj kgfx

W x x

V x x x

M x x x

V kgf

M mkgf

Vi

= =≤ ≤

= −

= −

= −

= −

= −

= − + =

( )( )( )

( )( )( )( )

1

21 2

2

2 21 1

0333,33

Tramo (I-J) 0 50

0

333,33

(1) 333,33

(2) 166,67

0 0 0

5 0 166,67 5 5 833,33

xx

xx

Mi mkgfx

W x

V x Vi

M x

EI x x C

EI x x C x C

x x C

x x C C kgfm

θ

δ

δ

δ

= −≤ ≤

=

= =

= −

= − +

= − + +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⇒ =

Ri Rj



( )( )( )( )( )( )

4

4

4

Nodo I: de (1) 0 3,968 10

de (2) 0 0

Nodo B: de (1) 2,5 0

de (2) 2,5 4,960 10

Nodo J: de (1) 5 3,968 10

de (2) 5 0Articu

rad

m

rad

θ

δ

θ

δ

θ

δ

−

−

−

= ⋅

=

=

= ⋅

= − ⋅

=

( )( )

( )

( )

( )

2

3

4 23

5 3

lación J condiciones en la frontera500

333,33Voladizo derecho 0 1

1000

500 500500 500 333,33

3500(3) 250 333,3312500 500(4) 166,660 3

xx

xx

Vj kgfMj mkgf

xW x x

V x x

M x x x

EI x x x x C

EI x x x

θ

δ

== −

≤ ≤

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= − + −

( )( ) ( )

( )( )

23 4

4

3

23

4

4

7

0 0 0

con (1) y (3): 5 0333,33 5 833,33

833,33

Nodo A: de (3) 1 4,563 10

de (4) 1 4,405 10


x C x C

x x C

EI EIC

C kgfmrad

m

δ

θ θ

θ

δ

−

−

+ +

= ⇒ = ⇒ =

=

⇒ − ⋅ + =

⇒ = −

= − ⋅

= − ⋅



( )( )( )

5 20 1000 5 5 1666,672 3

50 1000 1666,67 0 833,332

Voladizo izquierdo 0 10

0

0Articulación I condiciones en la frontera

833,330

Tramo

izquierda derecha

V

Mi Mi

Rj Rj kgf

F Ri Ri kgf

xW x

V x

M x

Vi kgfMi

=

= − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ =

= ⇒ − ⋅ + + = ⇒ =

≤ ≤

=

=

=

==

∑ ∑

∑

( )( )

( )

( )( )

( )( )( )( )

2

3

4 21

5 31 2

2

5 3 21 1

0 5200

100 833,33100 833,33

35 1666,67

5 0

(1) 8,33 416,67

(2) 1,67 138,89

0 0 0

5 0 1,67 5 138,89 5 5 0 2430,56

xx

xx

xW x x

V x x

M x x x

V kgf

M

EI x x x C

EI x x x C x C

x x C

x x C C kgfm

θ

δ

δ

δ

≤ ≤

= −

= − +

= − +

= −

=

= − + +

= − + + +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ − ⋅ + ⋅ + = ⇒ = −

Ri Rj



( )( )( )( )( )

3

5

3

3

Nodo I: de (1) 0 1,157 10

de (2) 0 0

Nodo B: de (1) 2,5 7,234 10

de (2) 2,5 1,938 10

Nodo J: de (1) 5 1,323 10

de (2

rad

rad

m

rad

θ

δ

θ

δ

θ

−

−

−

−

= − ⋅

=

= − ⋅

= − ⋅

= ⋅

( )

( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )

3

3 4

4

4 23 3

) 5 0Voladizo derecho 0 1

0

1666,67 1666,67 0

0

(3)

(4)

0 0 0

con (1) y (3): 5 0

8,33 5 416,67 5 2430,56 2777,78

xx

xx


xW x

V x

M x

EI x C

EI x C x C

x x C

EI EI

C C

δ

θ

δ

δ

θ θ

=

≤ ≤

=

= − + =

=

=

= +

= ⇒ = ⇒ =

=

⇒ − ⋅ + ⋅ − = ⇒ =

( )( )

2

3

3

Nodo A: de (3) 0 1,323 10

de (4) 1 1,323 10

kgfmrad

m

θ

δ

−

−

= ⋅

= ⋅



Ri

Mi

Rj

( )( )( )

( )

( )

( )

( )( )

2

3 21

1

4 3 22

2

Tramo 0 51000

(1) 1000

(2) 500500(3)

3 20 0 0

500(4) 12 6 2

0 0 0

de (4): 5 0 26041,67 20,83 12,5 0

xx

xx

xW x

V x x Ri

M x x Rix MiRiEI x x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x x C

x x C

x x Ri Mi

θ

θ

δ

δ

δ

≤ ≤

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ − + − =

( )

( )

(I)

de (2): 5 0 12500 5 0 (II)formando sistema con ecuaciones I y II:

312520,83 12,5 26041,675 1 12500 3125

condiciones en la frontera:5 5000 3125 1

x M x Ri Mi

Ri Ri kgf

Mi Mi mkgf

V

= ⇒ = ⇒ − + − =

= − ⋅ = ⇒ − =

= − + = −

( )875

5 12500 5 3125 3125 0

0 1000 5 3125 0 1875V

kgf

M

F Rj Rj kgf

= − + ⋅ − =

= ⇒ − ⋅ + + = ⇒ =∑



( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )

3

3 4

4

3

Articulación J condiciones en la frontera:1875 1875 00

Voladizo 0 20

0

0

(5)

(6)

0 0 0

con (3) y (5): 5 0500 35

3

xx

xx


VjMj

xW x

V x

M x

EI x C

EI x C x C

x x C

EI EI

θ

δ

δ

θ θ

= − + ==

≤ ≤

=

=

=

=

= +

= ⇒ = ⇒ =

=

⇒ − ⋅ +

( )( )( )( )( )

2 23 3

4

3

125 5 3125 5 2604,162

Nodo I: de (3): 0 0

de (4): 0 0

Nodo B: de (3): 2,5 3,100 10

de (4): 2,5 1,550 10

Nodo J: de (3): 5 1, 240 10

C C kgfm

rad

m

θ

δ

θ

δ

θ

−

−

⋅ − ⋅ = ⇒ =

=

=

= − ⋅

= − ⋅

= ⋅

( )( )( )

3

3

3

de (4): 5 0

Nodo A: de (5): 2 1, 240 10

de (6): 2 2, 480 10

rad

rad

m

δ

θ

δ

−

−

−

=

= ⋅

= ⋅



Mi

Ri Rj

( )( )( )

( )

( )

( )

( )( )

2

3 2

4 3 21

1

5 4 3 22

2

Tramo 0 5200 1000

(1) 100 1000

(2) 33,3 500

(3) 8,3 166,62

0 0 0

(4) 1,6 41,66 2

0 0 0

de (4): 5

xx

xx

xW x x

V x x x Ri

M x x x Rix MiRiEI x x x x Mix C

x x C

Ri MiEI x x x x x C

x x C

x x

θ

θ

δ

δ

δ

≤ ≤

= −

= − +

= − + −

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= − + − +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒

( )0 20833,3 20,83 12,5 0 (I)

de (2): 5 0 8333,3 5 0 (II)formando sistema con ecuaciones I y II:

200020,83 12,5 20833,35 1 1666,678333,3

cond

Ri Mi

x M x Ri Mi

Ri Ri kgf

Mi Mi mkgf

= ⇒ − + − =

= ⇒ = ⇒ − + − =

= − ⋅ = ⇒ − =

( )( )

iciones en la frontera:5 2500 2000 500

5 8333,3 5 2000 1666,67 0

0 2500 2000 0 500V

V kgf

M

F Rj Rj kgf

= − + = −

= − + ⋅ − =

= ⇒ − + + = ⇒ =∑



( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )

3

3 4

4

3


Voladizo 0 20

0

0

(5)

(6)

0 0 0

con (3) y (5): 5 0

1041,6

xx

xx


VjMj

xW x

V x

M x

EI x C

EI x C x C

x x C

EI EI

C kg

θ

δ

δ

θ θ

= − + ==

≤ ≤

=

=

=

=

= +

= ⇒ = ⇒ =

=

⇒ =

( )( )( )( )( )

2

5

4

4

Nodo I: de (3): 0 0

de (4): 0 0

Nodo B: de (3): 2,5 9,301 10

de (4): 2,5 6,975 10

Nodo J: de (3): 5 4,960 10

de (4):

fm

rad

m

rad

θ

δ

θ

δ

θ

−

−

−

=

=

= − ⋅

= − ⋅

= ⋅

( )( )( )

4

4

5 0

Nodo A: de (5): 2 4,960 10

de (6): 2 9,921 10

rad

m

δ

θ

δ

−

−

=

= ⋅

= ⋅



Ri Rj

( )( )( )

( )( )

2

3

1 11 1000 5 33,33 2

10 1000 33,3 0 533,32

Voladizo izquierdo 0 11000

500

166,6condiciones en la frontera:

1 500

1 166,6Art

izquierda derecha

V

Mi Mi

Rj Rj kgf

F Ri Ri kgf

xW x x

V x x

M x x

V kgf

M mkgf

=

− ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ =

= ⇒ − ⋅ − + = ⇒ =

≤ ≤

= −

= −

= −

= −

= −

∑ ∑

∑

( )( )( )

( )( )( )

21

3 21 2

2

iculación I condiciones en la frontera:

500 533,3 33,3

166,6Tramo 0 5

0

33,3

33,3 166,6

(1) 16,6 166,6

(2) 5,5 83,3

0 0 0

xx

xx

Vi kgf

Mi mkgfx

W x

V x

M x x

EI x x x C

EI x x x C x C

x x C

θ

δ

δ

= − + =

= −≤ ≤

=

=

= −

= − +

= − + +

= ⇒ = ⇒ =



( )

( )( )

( )( )( )

( )

3 2 21 15 0 5,5 5 83,3 5 5 0 277,7

condiciones en la frontera:

5 33,3

5 0Articulación J condiciones en la frontera:

33,3 33,3 00

Voladizo derecho 0 10

0

0

(3) xx

x x C C kgfm

V kgf

M

VjMj

xW x

V x

M x

EI x

δ

θ

= ⇒ = ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ =

=

=

= − ==

≤ ≤

=

=

=

( )( )

( ) ( )

( )( )( )

3

3 4

4

23

4

5

(4)

0 0 0

con (1) y (3): 5 0

138,8

Nodo I de(1): 0 1,323 10

de(2): 0 0

Nodo B de(1): 2,5 1,653 10

xx


C

EI x C x C

x x C

EI EI

C kgfmrad

rad

δ

δ

θ θ

θ

δ

θ

−

−

=

= +

= ⇒ = ⇒ =

=

⇒ = −

= ⋅

=

= − ⋅

( )( )( )( )( )

4

5

5

5

de(2): 2,5 1,241 10

Nodo J de(1): 5 6,614 10

de(2): 5 0

Nodo A de(3): 1 6,614 10

de(4): 1 6,614 10

m

rad

rad

m

δ

θ

δ

θ

δ

−

−

−

−

= ⋅

= − ⋅

=

= ⋅

= − ⋅



Ri Rj

( )( )( )

( )( )( )( )

2

3 21

4 31 2

2

21

Por simetría: 2500Tramo 0 5

1000

1000 2500

500 2500

(1) 166,6 1250

(2) 41,6 416,6

0 0 0

5 0 5208,3

Nodo I de (1

xx

xx

Ri Rj kgfx

W x

V x x

M x x x

EI x x x C

EI x x x C x C

x x C

x x C kgfm

θ

δ

δ

δ

= =≤ ≤

= −

= − +

= − +

= − + +

= − + + +

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = −

( )( )( )( )( )( )

3

3

3

): 0 2, 480 10

de (2): 0 0

Nodo B de (1): 2,5 0

de (2): 2,5 3,875 10

Nodo J de (1): 5 2, 480 10

de (2): 5 0condiciones en la f

rad

m

rad

θ

δ

θ

δ

θ

δ

−

−

−

= − ⋅

=

=

= − ⋅

= ⋅

=

( )( )

rontera:5 2500

5 0

V kgf

M

= −

=



( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )

3

3 4

4

4


Voladizo derecho 0 10

0

0

(3)

(4)

0 0 0

con (1) y (3): 5 0

xx

xx


VjMj

xW x

V x

M x

EI x C

EI x C x C

x x C

EI EI

C

θ

δ

δ

θ θ

= − + ==

≤ ≤

=

=

=

=

= +

= ⇒ = ⇒ =

=

⇒

( )( )

2

3

3

5208,3

Nodo A de (3): 1 2,480 10

de (4): 1 2,480 10

kgfmrad

m

θ

δ

−

−

=

= ⋅

= ⋅



Ri Rj

( )( )( )

( )( )

2

3 2

4 3 21

5 4 3

Por simetría: 1250Tramo-segmento (I-B) 0 2,5

400 1000

(1) 200 1000 1250

(2) 66,6 500 1250

(3) 16,6 166,6 625

(4) 3,3 41,6 208,3xx

xx

Ri Rj kgfx

W x x

V x x x

M x x x x

EI x x x x C

EI x x x x C

θ

δ

= =≤ ≤

= −

= − +

= − +

= − + +

= − + +

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

1 2

2

2

3

43

5

0 0 0

de (1): 2,5 0

de (2): 2,5 1041,6Tramo-segmento (B-J) 0 2,5

400

(5) 200

(6) 66,6 1041,6

(7) 16,6 1041,6

(8) 3,3 520,83xx

xx

x C

x x C

V

M mkgfx

W x x

V x x

M x x

EI x x x C

EI x x x

δ

θ

δ

+

= ⇒ = ⇒ =

=

=

≤ ≤

= −

= −

= − +

= − + +

= − +

( ) ( )

( ) ( )

23 4

( ) ( )

4 3 21 3

( ) ( )

5 4 31 4

con (3) y (7): 2,5 0

16,6 2,5 166,6 2,5 625 2,5 (I)

con (4) y (8): 2,5 0

3,3 2,5 41,6 2,5 208,3 2,5 2,5 (II)

I B B Jxx xx

I B B Jxx xx

C x C

EI EI

C C

EI EI

C C

θ θ

δ δ

− −

− −

+ +

=

⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ + =

=

⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ + =



( )5 2

21 1

3 3

4

de (8): 2,5 0

3,3 2,5 520,83 2,5 2,5 3 4 0 (III)formando sistema con I, II y III:

1 1 0 1953,125 1953,1252,5 0 1 1953,125 00 2,5 1 2929,6875

xxEI

C C

C C kgfmC CC C

δ =

⇒ − ⋅ + ⋅ + + =

− − = − − ⋅ = − ⇒ = −

( )( )( )( )( )

24

4

3

4

2929,6875

Nodo I de (3): 0 9,301 10

de (4): 0 0

Nodo B de (3): 2,5 0

de (4): 2,5 1,395 10

Nodo J de (7): 2,5 9,301 10

kgfm

rad

m

rad

θ

δ

θ

δ

θ

−

−

−

= −

= − ⋅

=

=

= − ⋅

= ⋅

( )

( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )

5

5 6

6

( )

25

de (8): 2,5 0Voladizo derecho 0 1

0

0

0

(9)

(10)

0 0 0

con (7) y (9): 2,5 0

1953,125

Nodo A de (9): 1 9,301 10

xx

xx

B J voladizo derechoxx xx

xW x

V x

M x

EI x C

EI x C x C

x x C

EI EI

C kgfm

δ

θ

δ

δ

θ θ

θ

−

=

≤ ≤

=

=

=

=

= +

= ⇒ = ⇒ =

=

⇒ =

= ⋅

( )

4

4 de (10): 1 9,301 10

rad

mδ

−

−= ⋅

análisis estructural solución de vigas por integración [guía de ejercicios]

Engineering