Capítulo 5 METODO DE LAS FUERZAS

Dr. Fernando Flores - Dr. Alejandro Brewer

Los problemas hiperestáticos de barras o vigas no son posibles de resolver usando exclu-sivamente condiciones de equilibrio. Es necesario conocer las características seccionales y laspropiedades del material que constituye los elementos estructurales. El método de las fuerzaspermite solucionar este tipo de problemas a partir del planteo de condiciones de compatibilidadusando el Principio de Fuerzas Virtuales. Recordemos que dicho principio plantea (desde el puntode vista que nos interesa aquí) que un campo de deformaciones generalizadas es compatible, es de-cir que existe un campo de desplazamientos que satisface las condiciones de desplazamientos en elcontorno y del cual pueden derivarse las deformaciones, si para todo sistema de Fuerzas Virtualesse cumple que el Trabajo Virtual Complementario Interno (TVCI) es igual al Trabajo VirtualComplementario Externo (TVCE). En los sistemas de barras y vigas, elementos unidimensionalesen el sentido que todas las variables están referidas a la coordenada a lo largo del eje de la pieza,el grado de hiperestaticidad es finito, y la dimensión del espacio vectorial que define a todos losposibles sistemas de Fuerzas Virtuales es precisamente el grado de hiperestaticidad.

5.1. ESTRUCTURAS DE BARRAS ARTICULADASPara desarrollar los pasos necesarios para resolver una estructura de barras articuladas usando

el método de las fuerzas recurriremos a un ejemplo de tal forma de fijar algunas ideas con mayorfacilidad.

5.1.1. Un primer ejemplo

1 2

3 4

6

1

2

3

45

P1

P2

Figura 1 Ejemplo a considerar

La estructura tiene 4 nudos o articulaciones. En cada nudo es posible plantear dos condicionesde equilibrio (una en cada dirección del plano) lo que lleva a un total de 8. La cantidad de incógnitasde fuerzas (o esfuerzos) es 10, correspondientes a los esfuerzos (N �) en cada una de las 6 barras ya las cuatro reacciones de apoyo. Luego el problema es hiperestático de 2do. grado y requiere enconsecuencia de 2 condiciones adicionales para que sea posible obtener la solución.

Ordenemos los datos para plantear las condiciones de equilibrio necesarias89

Nudo X Y1 0.0 0.02 4.0 0.03 0.0 3.04 4.0 3.0

Barra Nudo-1 Nudo-2 Long. t� t�1 1 2 4.0 1.0 0.02 1 3 3.0 0.0 1.03 3 4 4.0 1.0 0.04 2 4 3.0 0.0 1.05 3 2 5.0 0.8 -0.66 1 4 5.0 0.8 0.6

5.1.1.1. Determinación de todas las soluciones de equilibrioLas ecuaciones de equilibrio son

1 0 0.8 10 1 0.6 1-1 0 -0.80 1 0.6 1

0 1 0.8 1-1 0 -0.6

-1 0 -0.80 -1 -0.6

N �

N �

N �

N �

N �

N �

R�

�

R�

�

R�

�

R�

�

+

000000P�

P�

= 0 (5.1)

O separando en el primer miembro las fuerzas internas y en el segundo miembro las fuerzasexternas:

-1 0 -0.80 -1 -0.61 0 0.80 -1 -0.6

0 -1 -0.81 0 0.6

1 0 0.80 1 0.6

N �

N �

N �

N �

N �

N �

=

R�

�

R�

�

0R�

�

R�

�

0P�

P�

(5.2)

Al haber más incógnitas que ecuaciones, desde el punto de vista del equilibrio el sistema admitemúltiples soluciones. Del sistema de ecuaciones (5.2) separemos aquellas asociadas a los nudos quepueden desplazarse, es decir aquellas que no están asociadas a reacciones

1 0.81 0.6

1 0 0.80 1 0.6

N �

N �

N �

N �

N �

N �

=

00P�

P�

(5.3)

En tanto que las cuatro ecuaciones asociadas a reacciones son

-1 0 -0.80 -1 -0.60 -1 -0.6

0 -1 -0.8

N �

N �

N �

N �

N �

N �

=

R�

�

R�

�

R�

�

R�

�

(5.4)

�

Estas últimas cuatro ecuaciones (5.4) permiten una vez conocidos los esfuerzos en barras,calcular las reacciones realizando la multiplicación matricial en el primer miembro.

Las ecuaciones de equilibrio (5.3) son 4 ecuaciones con 6 incógnitas y tienenmúltiples soluciones.La forma habitual de resolver un sistema de estas caracterísiticas es elegir algunas incógnitas (porej. las últimas dos) y pasar las columnas correspondientes al segundo miembro

11

1 00 1

N �

N �

N �

N �

=

00P�

P�

−

0.80.6

0.80.6

[ N �

N �

]

(5.5)

Dadas las características de la matriz de coeficientes del primer miembro (es la identidad) lasolución es inmediata. Denominando con X� = N � y X� = N �, las soluciones pueden escribirsecomo

N �

N �

N �

N �

N �

N �

=

00P�

P�

00

+X�

−0,8−0,60,00,010

+X�

0,00,0−0,8−0,601

(5.6)

N = N���+X�N

���+X�N��� (5.7)

Notar que en la solución debida a las cargas extenas N ���� = N ���� = 0, que en la solucióndebida a X�, N ���� = 1 y N ���� = 0, en tanto que para X�, N ���� = 0 y N ���� = 1

Un segundo elemento a tener en cuenta en estas soluciones de equilibrio son las reacciones deapoyo dadas por la multiplicación matricial en (5.4), reemplazando allí las (5.6) tenemos

-1 0 -0.80 -1 -0.60 -1 -0.6

0 -1 -0.8

00P�

P�

00

+X�

−0,8−0,60,00,010

+X�

0,00,0−0,8−0,601

=

R�

R�

R�

R�

(5.8)

00

−P�

−P�

+X�

0,80,6−0,6−0,8

+X�

0,8−0,6−0,80,6

=

R�

R�

R�

R�

(5.9)

R����

R����

R����

R����

+X�

R����

R����

R����

R����

+X�

R����

R����

R����

R����

=

R�

R�

R�

R�

(5.10)

Estas son todas las soluciones de equilibrio posibles y han quedado en función de dos incógni-tas hiperestáticas X� y X�, para obtener una de las posibles soluciones alcanza con darle valora las incógnitas. Al vector que agrupa a las incógnitas en la ecuación (5.1) lo llamaremos Y

[Y]� = [ N � N � N � N � N � N � R� R�

R� R�

]

Demos una interpretación física a la elección de las incógnitas hiperestáticas y observemos queotras posibilidades podrían considerarse. La solución del sistema de ecuaciones (5.2) o (5.3) hasido dividida en 3 partes.

�

(a) La primera parte indicada con un supraíndice 0 en (5.7) (5.10) y resulta de resolver las ecua-ciones de equilibrio nodales con las fuerzas nodales externas conocidas y sin la participaciónde las barras 5 y 6. Es equivalente a resolver el sistema isostático que resulta de eliminar lasbarras 5 y 6 del ejemplo.

[

Y���]� =

[

N ���� N �

��� N ���� N �

��� N ���� N

��� R����

R����

� R����

� R����

]

El análisis de un estado de carga diferente se resume a modificar el vector de fuerzas en losnudos.

(b) La segunda parte indicada con un supraíndice 1 y escalada por X�, resulta de resolver lasecuaciones de equilibrio nodales sin fuerzas externas y con la condición de que N � = 1. Esequivalente a resolver el isostático mencionado (es decir sin las barras 5 y 6), donde se hapuesto de manifiesto el estado tensional que produce un valor unitario de esfuerzo en la barra5 o las fuerzas que este introduce en el isostático,

(c) La tercera parte indicada con un supraíndice 2 y escalada por X�, resulta de resolver lasecuaciones de equilibrio nodales sin fuerzas externas y con la condición de que N = 1. Esequivalente a resolver el isostático sin las barras 5 y 6, donde se ha puesto de manifiesto elestado tensional que produce un valor unitario de esfuerzo en la barra 6.

P1

P2

(0) (1) (2)

1

11

1

Figura 2 SolucionesEsta segunda y tercera componente han sido resueltas, colocando como única acción una de

las incógnitas (la i) con valor unitario. A los esfuerzos y reacciones obtenidos de esta manera losdistinguiremos precisamente con el supra-índice i

[

Y���]� =

[

N ���� N �

��� N ���� N �

��� N ���� N

��� R����

R����

� R����

� R����

]

Luego todas las soluciones al sistema de ecuaciones Y pueden expresarse como

Y = Y���+ �∑

� �X�Y

��� (5.11)

Las Y en (5.11) son todas las soluciones (desde el punto de vista del equilibrio) que el sistematiene. Observemos que

-Y ���, corresponde a un estado de tensiones que equilibra las acciones externas, y por lo tantoindependientemente de los X� cualquier solución equilibra las cargas externas

-Y ���, corresponden a estados de tensiones en equilibrio sin acciones externas salvo reaccionesde apoyo. Es decir no hay cargas adicionales en los nudos libres.

La elección hecha al considerar como incógnitas a N � y N no es la única posibilidad. En estecaso resultó en forma natural por la forma en que se resolvió el sistema de ecuaciones (5.2) que��

fue separado en 2 grupos (5.3) y (5.4). La elección condujo a un sistema de resolución inmediatalo que ha resultado muy “conveniente”. Si de momento modificamos nuestra estructura originalde tal forma que si eliminamos las barras en donde hemos elejido los esfuerzos como incógnitashiperestáticas tendremos

P1

P2

X1

X1X2

X2

Figura 3 Isostático equivalenteQue corresponde a una estructura isostática. Notar aquí que la interpretación de “conveniente”

al fijar las incógnitas, es que conduzca por un lado a una estructura isostática, que si puederesolverse exclusivamente en base a consideraciones de equilibrio. Otros elementos asociados a la“conveniencia” resultan de la forma operativa del método y requieren de un poco de experiencia. Alsistema resultante (con cargas externas e incógnitas hiperestáticas) lo denominaremos isostáticoequivalente. A la estructura isostática la denominaremos isostático fundamental (I.F.).

Sin embargo la solución del sistema de ecuaciones (5.1) admite otras posibilidades. Es posibleelegir como incógnita hiperestática una reacción (no más de una en este caso) u otra barra distinta.No es posible cualquier selección de incógnitas como hiperestáticas. Por ej., en este caso no esposible elejir como incógnitas

-ambas reacciones verticales, porque no podrían equilibrarse fuerzas verticales-ambas reacciones horizontales, porque no podrían equilibrarse fuerzas horizontales-las barras 3 y 6, o 3 y 4, o 4 y 6 porque quedaría una única barra en el nudo 3-etc.

5.1.1.2. Sistemas de Fuerzas VirtualesObservemos además las particularidades de los esfuerzos Y ��� (i = 1, 2):

(a) son sistemas de fuerzas en equilibrio(b) no involucran a cargas externas, donde estas son “a priori” conocidas, Forman una base de un

sub-espacio vectorial (de dimensión igual al grado de hiperestaticidad del sistema original)que incluye a todos los sistemas en equilibrio que no involucren fuerzas externas en los nudos(salvo reacciones de apoyo).

En este aspecto cada uno de estos sistemas de fuerzas Y ��� puede verse como un sistema defuerzas virtuales, más aún todos los sistemas de fuerzas virtuales posibles pueden generarse a partirde estos, es decir pueden escribirse como una combinación lineal de ellos:

δY =�

∑

���δX� Y

� (5.12)

Hasta ahora hemos agotado las condiciones de equilibrio posible y disponemos entonces delespacio de soluciones posibles. A continuación veremos como generar las dos condiciones adicionalesimprescindibles para que el problema quede unívocamente resuelto. Para lo cual recurriremos alPrincipio de Fuerzas Virtuales.

��

5.1.1.3. Planteo de compatibilidadRecordemos que las ecuaciones de compatibilidad son relaciones que deben cumplir las defor-

maciones (elongaciones) de las distintas barras de tal forma que se satisfagan las condiciones dedesplazamientos en los apoyos y que la estructura mantenga su integridad o continuidad.

Expresemos entonce las elongaciones de las barras en función de las posibles soluciones deequilibrio utilizando la relación constitutiva correspondiente. La elongación de cada barra es:

e� = N �

EAL = N �

K�= N �f� (5.13)

Similarmente a los esfuerzos N � en (5.6) las elongaciones se pueden escribir

e� = N �

K�= N ���� +∑����X�N ����

K�= N ����

K�+

�∑

���X�N � ���

K�= e���� +

�∑

���X�e���� (5.14)

Veamos entonces cuales son las condiciones que es necesario imponer sobre las deformaciones,las cuales resultan de las modificaciones realizadas sobre la estructura original al transformarla enel isostático equivalente.

Estas pueden verse idealmente como haber cortado las barras 5 y 6 a la mitad de tal formaque no puedan transmitirse fuerzas y se muevan en forma independiente. La solución de equilibriocalculada asegura que las fuerzas en cada cara son iguales y opuestas. Tenemos ahora que asegurarque no hay desplazamiento relativo entre las caras de cada sección “cortada”.

Luego, una cualquiera de las barras donde se ha puesto como incógnita el esfuerzo (por ejemplola barra 5) deberá tener un desplazamiento relativo nulo entre las caras de una sección. Dichodesplazamiento relativo se puede calcular aplicando fuerzas virtuales unitarias y de sentido opuestosobre cada cara.

X1

X1

X2

X2

δ

δ

δ

δ

Figura 4 Compatibilidad en las barras

Aplicando el sistema virtual de fuerzas indicado, el sistema de esfuerzos virtuales coincide conel calculado para X� = 1, es decir Y ���. El principio de Fuerzas Virtuales conduce en este caso a

TVCI = TVCE = 0 no hay despl. de apoyoTVCI =

∑

���N � ���e� = 0

Reemplazando aquí la (5.14) tendremos

TVCI =

∑

���N � ���

[

e���� +�

∑

���X�e����

]

=

∑

���N � ���e���� +

�∑

���X�

∑

���N ����e���� = 0

�

Debemos reconocer aquí el significado de cada término. Notar que se han separado las influ-encias de las cargas externas (primer término) y de cada una de las soluciones debidas a valoresunitarios de las incógnitas (segunda sumatoria del segundo término). El primer término que es-cribiremos

� =�

∑

���N � ���e����

representa el desplazamiento relativo de las caras cortadas de la barra 5 (en el I.F.) debido alsistema de cargas externas. Cada uno de los términos

� =�

∑

���N � ���e����

representa el desplazamiento relativo de las caras cortadas de la barra 5 (en el I.F.) debido alsistema en equilibrio resultante de colocar un valor unitario para X�. Igualar a cero el TVCIestablece la condición de que la caras no van a desplazarse relativamente, luego podemos escribir

� +�

∑

���X�� = 0

Que establece entonces una condición de compatibilidad sobre los valores de las X�, es decirsobre el espacio de soluciones Y.

La segunda condición a plantear es completamente similar pero asociada al corte realizadosobre la barra 6. El sistema de ecuaciones a resolver puede escribirse

[ � �� �

] [ X�

X�

]

= −[ δ��δ��

]

La matriz de coeficientes [δ� ] se denomina matriz de flexibilidad del sistema, depende dela geometría y material de la estructura, y de la elección de las incógnitas hiperestáticas, peroNO depende del sistema de cargas externas o las solicitaciones. La dependencia con las cargas uotras solicitaciones aparece en el término independiente [δ��]. Para estudiar el comportamiento dela misma estructura frente a un estado distinto de solicitaciones basta con recalcular [δ��].

La matriz de coeficientes es por supuesto no-singular y además es simétrica. La simetría provienede un teorema de reciprocidad (ley de Betti) y puede comprobarse fácilmente observando lasexpresiones correspondientes

δ� =�

∑

���N � � �e���� =

�∑

���N � � �N � ���

K� =�

∑

���

N � � �

K� N� ��� = δ �

Una vez resuelto el sistema ha quedado definida la (única) solución del problema (con los X�

ahora conocidos)Y = Y

���+�

∑

���X�Y

���

5.1.1.4. Compatibilidad Usando el principio de Fuerzas VirtualesUna forma general de ver el problema consiste en reconocer todos los sistemas virtuales de

fuerzas posibles (con NB=Número de Barras y NI=Número de Incógnitas hiperestáticas) ya de-scriptos en (5.12)

δY =�∑

��δX Y

��

El Principio de Fuerzas Virtuales exige qué para que las elongaciones

e� =[

e���� +��∑

���X�e����

]

sean compatibles, se cumpla que para todo δY, TVCI=TVCE, en este caso

TVCI =��∑

���δN �e� =

��∑

���

[ ��∑

��δX N � � �

][

e���� +��∑

���X�e����

]

= 0

Reordenando las sumatorias, sacando factor común a los δX

��∑

��δX

{��∑

���N � � �e���� +

��∑

���X�

[��∑

���N �� �e����

]}

= 0

Reconociendo que “para todo sistema de fuerzas virtuales” significa “para todo juego de valoresde δX”, en consecuencia para que la igualdad se satisfaga para todo δX lo que está dentro de lasllaves debe ser nulo, luego para cada j debe cumplirse

{��∑

���N � � �e���� +

��∑

���X�

[ ��∑

���N �� �e����

]}

= 0

δ� +��∑

���X�δ� = 0

Que es el mismo resultado obtenido antes.Para el ejemplo considerado los coeficientes valen

� =

∑

���N ����e���� = −4

5 × 0− 35 × 0 + 0× P�

K�+ 0× P�

K + 1× 0 + 0× 0 = 0

� =

∑

���N ����e���� = 0× 0 + 0× 0− 4

5 × P�

K�− 3

5 × P�

K + 0× 0 + 1× 0

= −(45P�

K�+ 3

5P�

K

)

� =

∑

���

N ����N ����

K� =(

−45)� 1K� +

(

−35)� 1K�

+ 0� 1K�

+ 0� 1K

+ 1� 1K�

+ 0� 1K

= 1625

1K� +

925

1K�

+ 1K�

� =

∑

���

N ����N ����

K� = − � ∗ 0K� −

�� ∗ 0K�

+ 0 ∗ (− �)

K�+ 0 ∗ (− �

�)

K + 1 ∗ 0K�

+ 0 ∗ 1K

= 0 = �� =

∑

���

N ����N ����

K� = 0�K� +

0�K�

+(−

�)�

K�+

(− ��)�

K + 0�K�

+ 1�K

= 1625

1K�

+ 925

1K

+ 1�K

��

Luego el sistema de ecuaciones a resolver es[ ��

����� + �

����� +

��� 0

0 ����

�� + �

���� +

����

]

[ X�

X�

]

=[ 0( �� �� + �

� ��

)

]

(5.15)

Cuya solución esX� = 0X� =

[0,8P�

K� + 0,6P�

K�

]

/( 1K� +

0,64K� + 0,36

K�

)

Lo que resuelve el problema y permite calcular esfuerzos (5.6) reacciones (5.4) y usando larelación cinemática (5.13) o las (5.14) evaluar las elongaciones

5.1.1.5. Un planteo diferente de la compatibilidadVeamos a continuación un camino diferente para la obtención de las ecuaciones de compati-

bilidad. El objetivo en este caso es mostrar como por un vía alternativa, diferente conceptual ymetodológicamente, es posible llegar a las mismas ecuaciones. La presentación está particularizadapara el ejemplo de trabajo.

Las ecuaciones cinemáticas nos permiten escribir las elongaciones en función de los desplaza-mientos de los nodos

e� = t� ·∆u� (5.16)Para el ejemplo considerado esto resulta (notar que la matriz de coeficientes que resulta es

igual a la transpuesta de la matriz de coeficientes de la ecuación (5.2))

-1 0 1 00 -1 0 1

-1 0 1 00 -1 0 10.8 -0.6 -0.8 0.6

-0.8 -0.6 0.8 0.6

u� = 0v� = 0u�

v� = 0u� = 0v�u�

v�

=

e�e�e�e�e�e�

(5.17)

Eliminando las columnas asociadas con los desplazamientos nulos (apoyos) queda

110 1 0

0 0 10.8 0.6

0.8 0.6

u�v�u�

v�

=

e�e�e�e�e�e�

(5.18)

Tenemos aquí 6 ecuaciones con cuatro incógnitas (los cuatro desplazamientos) en función delas 6 elongaciones. El sistema de ecuaciones no admite solución para valores arbitrarios de los e�, esdecir no cualquier combinación de los e� conduce a una solución. Para determinar que condicionesdeben cumplir los e� para que la solución exista, operemos con las filas (ecuaciones) de tal forma deeliminar los coeficientes de las dos últimas ecuaciones. Sumando a la quinta la primera multiplicadapor -0.8 y la segunda por -0.6 y sumando a la sexta la tercera multiplicada por -0.8 y la cuarta

��

por -0.6 resulta

110 1 0

0 0 10 0

0 0

u�v�u�v�

=

e�e�e�e�

e� − 0,8e�− 0,6e�e� − 0,8e� − 0,6e�

(5.19)

En el segundo miembro aparecen en las últimas dos filas las condiciones que deben satisfacerlas elongaciones e� para que existan valores de desplazamientos. Estas condiciones son ecuacionesde compatibilidad

e� − 0,8e�− 0,6e� = 0e� − 0,8e� − 0,6e� = 0 (5.20)

que deben hacerse cumplir y permiten determinar de las múltiples soluciones de equilibrio, cuál esla solución del problema.

Previamente se han obtenido todas las soluciones de equilibrio (5.6) y con ellas las elongacionesde todas las barras (5.14), que pueden escribirse

e = e�� +X�e

�� +X�e�� (5.21)

e� = −0,8K�

X�

e� = −0,6K� X�

e� = P�K� −

0,8K�X� (5.22)

e� = P�

K� −0,6K�X�

e� = 1K�X�

e� = 1K�X�

Reemplazando en (5.20) tenemos��X�+ ���� X�+ ����� X� = 0

��X� − � � − ���

�X� − ���� (P�− 0,6X�) = 0

Ordenando( �� + ���� + �����

)

X� = 0

X�( �� + ����� + �����

)

− ���� � − ������ = 0

(5.23)

Que es idéntico al sistema obtenido antes (5.15).El camino seguido para la obtención de las ecuaciones de compatibilidad (desde (5.16) hasta

(5.20)) es un tanto engorroso en un caso general, el objetivo del ejemplo es mostrar un procedimentomatricial que no es habitual para el planteo del método de las fuerzas. Un subproducto de estaaproximación es que una vez resuelta la compatibilidad es posible calcular los desplazamientosnodales usando (5.19)��

5.1.2. Cambios TérmicosMuchas veces una de las acciones a considerar es la influencia del cambio de temperatura

respecto a la de montaje (∆t) que podrá ser la misma para todas las barras o no, en este últimocaso distinguiremos en cada barra un∆t�. La única modificación al procedimiento anterior apareceal evaluar las deformaciones, ahora tendremos (con NI es el número de incógnitas hiperestática):

e� = N �

K� + α∆t�L� = N � ���

K� + α∆t�L� +��∑

��� X�N � ���

K� = e���� +��∑

���X�e����

La contribución debida al cambio térmico aparece en el cálculo de e����

e���� = N � ���

K� + α∆t�L�

lo que se traduce en una modificación del término independiente del sistema de ecuaciones aresolver. Como era de esperar esto no afecta a la matriz de flexibilidad del sistema.5.1.3. Desplazamientos de Apoyos

En general si algún apoyo presenta un desplazamiento conocido, aparecerá una contribuciónal TVCE al aplicar el PFV. Sea ∆ el desplazamiento conocido de un punto y sea R la reacciónasociada al mismo. El valor de la reacción resultará (como cualquier otra reacción o esfuerzointerno)

R = R���+��∑

��� X�R���

donde R��� es la reacción en el I.F. debido a las cargas externas y R��� son cada una de las reaccionesen el I.F. debido a la incógnita i con valor unitario. Paralelamente los valores posibles de la reacciónen los sistemas virtuales son

δR =��∑

��� δX�R�� �

El trabajo virtual complementario externo que produce esta reacción debido al movimiento ∆es

TVCE = ∆��∑

��� δX�R�� � =��∑

��� δX� (R�� �∆)

Luego las contribuciones que este término genera aparecen directamente en el segundo miembrodel sistema de ecuaciones a resolver. En este caso para cada ecuación j con (j = 1, NI) el términoindependiente será

−δ��+R�� �∆Por ejemplo si en la estructura considerada se tiene que el nudo 2 se mueve un valor dato u. La

contribución al TVCE resulta (Recordar de (5.9) que R = −P−0,8X�−0,6X y en consecuenciaδR = −0,8 δX�− 0,6 δX)TVCE = δR u = − (0,8 δX�+ 0,6 δX) u

que contribuye a las ecuaciones de compatibilidad (notar que u es positivo si coincide con ladirección positiva del eje y)

[ δ�� 00 δ

] [ X�X

]

= −[ δ��δ�

]

−[ 0,80,6

]

u (5.24)��

1 2 3

4 56

P

P 2P P

2P

1

2 4

3

5

67

8910 11

4.0 4.0

3.0

Figura 5 Segundo Ejemplo a considerar

5.1.4. Un segundo ejemploVeamos un segundo caso a los fines de ejemplificar el métodoLa estructura tiene 6 nudos o articulaciones. En cada nudo es posible plantear dos condiciones

de equilibrio (una en cada dirección del plano) lo que lleva a un total de 12. La cantidad deincógnitas de fuerzas (o esfuerzos) es 15, correspondientes a los esfuerzos (N �) en cada una de las11 barras y a las cuatro reacciones de apoyo. Luego el problema es hiperestático de 3er. grado yrequiere en consecuencia de 3 condiciones adicionales para que sea posible obtener la solución.

Hasta aquí el problema puede verse como un sistema de 12 ecuaciones con 15 incógnitas, luegodesde el punto de vista del equilibrio admite infinitas soluciones, para obtener una de las posiblessoluciones alcanza con darle valor a 3 de las incógnitas y resolver el sistema resultante de 12ecuaciones con 12 incógnitas.

Como primer paso elijamos convenientemente las incógnitas hiperestáticas a fijar. Por ejemplo:-Los esfuerzos en las barras inclinadas 10 y 11, a los que llamaremos respectivamente X� y X�.-La reacción horizontal en el apoyo derecho (nudo B) a la que llamaremos X�Si de momento modificamos nuestra estructura original de tal forma que:-Convertimos el apoyo derecho en un apoyo movil-Eliminamos las barras en donde hemos elejido los esfuerzos como incógnitas hiperestáticas.tendremos

X1

X2

X2

X3

X3

Figura 6 Isostático equivalente

Que corresponde a una estructura isostática.No es posible cualquier selección de incógnitas como hiperestáticas. Por ej. , en este caso no es

posible elejir como incógnitas���

-una reacción vertical-ambas reacciones horizontales-las barras 4, 10, 11 simultaneamente, etc.Veamos que forma tiene el sistema de 12 ecuaciones. Para ello planteamos en cada nudo las

dos ecuaciones de equilibrio posibles, en base a los siguientes datos:

nudo x y1 0 32 4 33 8 34 4 05 8 06 0 0

Barra Nudo 1 Nudo 2 Longitud t� = cosα t� =sen α1 6 1 3 0 12 1 2 4 1 03 1 4 5 4/5 -3/54 2 3 4 1 05 4 2 3 0 16 4 3 5 4/5 3/57 5 3 3 0 18 4 5 4 1 09 6 4 4 1 010 6 2 5 4/5 3/511 2 5 5 4/5 -3/5

Escribamos las 12 ecuaciones matricialmente, para lo cual ordenemos en el vector de incógnitas,primero las incógnitas que han quedado en el sistema isostático y luego las incógnitas hiperestáticas.De esta forma tendremos

0 -1 -4/51 0 3/5

1 -1 0 4/5 -4/50 0 1 3/5 3/5

1 4/5 00 3/5 1

4/5 0 -4/5 -1 1-3/5 -1 -3/5 0 0

0 1 4/5 -1-1 0 -3/5

0 -1 -4/5-1 0 -3/4

N �

N �

N �

N �

N �

N �

N �

N

N

N �� = X�

N �� = X�

R�� = X�

=

P−P

0−2PP

−P0

−2P0R��

R��

R��

(5.25)En el vector de incógnitas hemos incluido a la reacción horizontal en 5, que si bien es una

reacción, como la hemos elegido como incógnita hiperestática necesitamos su valor en cada pasode análisis.

Trabajaremos con las nueve primeras ecuaciones, las últimas tres sólo son necesarias paracalcular las reacciones, lo que puede hacerse al final (salvo que haya desplazamientos de apoyo) .Alas nueve primeras columnas de la matriz de coeficientes las asociaremos a una matriz A cuadrada(9× 9) a las últimas tres columnas las asociaremos a una matriz B (sólo las primeras nueve filas),a cada una de estas columnas las denominaremos como B�, al vector que agrupa a las incógnitaslo llamaremos Y y al término independiente (sólo las primeras nueve filas) lo denominaremos F,de forma que el sistema anterior puede escribirse

[A|B] ��Y�� � = F �

también podemos reescribirlo separando en Y las incógnitas hiperestáticas X del resto Y

[A|B][

Y �

X� �

]

= F �

���

o finalmente pasando las incógnitas hiperestáticas al segundo miembroA���Y��� = F���−B���X���

0 -1 -4/51 0 3/5

1 -1 00 0 1

1 4/5 00 3/5 1

4/5 0 -4/5 -1 1-3/5 -1 -3/5 0 0

0 1

N �

N �

N �

N �

N �

N �

N �

N

N �

=

P−P

0−2PP

−P0

−2P0R�

R��R�

−

4/5 -4/53/5 3/5

4/5 -1

N �� = X�N �� = X�R�

� = X�

(5.26)La matrizA es cuadrada y no singular (invertible), con ella se puede resolver el sistema isostáti-

co equivalente sometido a cualquier estado de carga. El análisis de un estado de carga diferente seresume a modificar el vector F.

El segundo paso consiste en resolver sucesivamente el isostático fundamental sometido a lossiguientes estados de carga

Las cargas y/o solicitaciones externas. Referido al último sistema de ecuaciones, es equiv-alente a resolver AY = F, es decir suponiendo que X = 0. A los esfuerzos y reaccionesobtenidos de esta manera los distinguiremos con un supra-índice 0, así tendremos

[

Y ��]� = [ N � �� N � �� N � �� N � �� N � �� N � �� N � �� N �� N � �� ]

-Colocando como única acción una de las incógnitas con valor unitario. Referido al sistemade ecuaciones, esto equivale a resolver AY = −B�, donde B�, es la columna asociada a laincógnita a la que estamos dando valor unitario. A los esfuerzos obtenidos de esta maneralos distinguiremos precisamente con el supra-índice i

[

Y ��]� = [ N �

�� N �

�� N �

�� N �

�� N �

�� N �

�� N �

�� N

�� N � �

� ]

Luego todas las soluciones al sistema de ecuaciones AY = F−BX pueden expresarse como

Y = Y ��+

�∑

���X�Y

��

Mas aún el vector Y completo puede escribirse a partir del anterior agregándole X, es decir

Y =[

YX

]

=

Y ��

000

+X�

Y ��

100

+X�

Y ��

010

+X�

Y ��

001

Y = Y ��+

�∑

���X�Y

��

���

Que son todas las soluciones que el sistema tiene.Hasta ahora hemos agotado las condiciones de equilibrio posible y disponemos entonces del

espacio de soluciones posibles. A continuación veremos como generar las tres condiciones adicionalesimprescindibles para que el problema quede unívocamente resuelto. Para lo cual recurriremosal Principio de Fuerzas Virtuales. Veamos entonces cuales son las condiciones que es necesarioimponer. Estas condiciones resultan de las modificaciones realizadas sobre la estructura original altransformarla en el isostático equivalente.

Para definir el I.F. eliminamos las contribuciones de las barras 10 y 11. Esto puede verseidealmente como haber cortado dichas barras a la mitad de tal forma que no puedan transmitirfuerzas. Tenemos ahora que asegurar que no hay desplazamiento relativo entre las caras de cadasección “cortada”.

Luego una cualquiera de las barras donde se ha puesto como incógnita el esfuerzo (por ejemplola barra 10) deberá tener un desplazamiento relativo nulo entre las cara de una sección. Dichodesplazamiento relativo se puede calcular aplicando fuerzas virtuales unitarias y de sentido opuestosobre cada cara.

11

Figura 7 Compatibilidad en las barras

Las elongaciones de las barras se obtienen utilizando la relación constitutiva correspondiente

e� = N �

K�= N � ���+∑����X�N � ���

K�= N ����

K�+

�∑

���X�N � ���

K�= e���� +

�∑

���X�e����

Aplicando el sistema virtual de fuerzas indicado, el sistema de esfuerzos virtuales coincide conel calculado para X� = 1, es decir Y ���. El principio de Fuerzas Virtuales conduce en este caso a

TVCI =��∑

���N ����

[

e���� +�

∑

���X�e����

]

=��∑

���N � ���e���� +

�∑

���X�

��∑

���N � ���e���� = 0

0 = � +�

∑

���X��

Similarmente al ejemplo anterior δ�� representa el desplazamiento relativo entre las seccionesdebido a las cargas externas y δ�� el debido a cada una de las incógnitas hiperestáticas de valorunitario. Un análisis similar permite obtener la condición correspondiente sobre la barra 11.

Por otro lado está claro que el apoyo derecho no puede desplazarse en la dirección horizontal.El conjunto de soluciones Y fue obtenido con un apoyo movil en lugar del apoyo fijo y por lo tantono asegura que el movimiento allí sea nulo. Es decir que de las soluciones posibles Y nos interesansólo aquellas en las que el apoyo derecho no se mueve. El cálculo del desplazamiento del apoyoderecho para cada solución enY puede realizarse de la siguiente manera: colocamos allí una fuerza

�

virtual unitaria y generamos un sistema virtual de fuerzas asociado, a continuación planteamosigualdad de TVCI y TVCE. La elección más sencilla del sistema de fuerzas virtuales, en función delo hecho hasta ahora, es usar el sistema de fuerzas en equilibrio que resulta de resolver el sistemaisostático fundamental con la carga unitaria puesta precisamente en el apoyo. Este sistema ya hasido resuelto al evaluar todas las posibles soluciones en equilibrio y coincide con Y

���. Tenemosentonces que

TVCE = 1 · u�� = 0TVCI =

��∑

���N ����e�

Llevando este resultado a la expresión del TVCI tendremos

TVCI =��∑

���N � ���

[

e���� +�

∑

��Xe���

]

=��∑

���N � ���e���� +

�∑

��X

��∑

���N � ���e���

Esta última expresión debe igualarse con el TVCE, el que es cero, luego esta última también loserá. Debemos reconocer aquí el significado de cada término. El primer término que escribiremos

δ�� =��∑

���N � ���e����

representa el desplazamiento del apoyo derecho (en el I.F.) debido al sistema de cargas externas.Cada uno de los términos

δ� =��∑

���N � ���e���

representa el desplazamiento del apoyo derecho (en el I.F.) debido al sistema en equilibrio resultantede colocar un valor unitario para X. Igualar a cero el TVCI establece la condición de que el apoyoderecho no va a desplazarse, luego podemos escribir

� +�

∑

��Xδ� = 0

Que establece entonces una condición de compatibilidad sobre los valores de las X, es decirsobre el espacio de soluciones Y.

El sistema de ecuaciones a resolver puede finalmente escribirse

δ�� δ� δ��δ� δ δ�δ�� δ� δ��

X�

X

X�

= −

δ��δ�δ��

Al mismo resultado se llega planteando en forma general a partir de reconocer todos los sistemasvirtuales de fuerzas posibles

δY =�

∑

���δX� Y

�� �

El Principio de Fuerzas Virtuales exige que para que las elongaciones

e� =[

e���� +�

∑

��Xe���

]

� �

sean compatibles, para todo δY debe cumplirse que TVCI=TVCE, en este caso��∑

��� δN�e� =

��∑

���

[ �∑

��� δX� N � �� �][

e���� +�

∑

���X�e����]

= 0

Reordenando las sumatorias, sacando factor común a los δX�

�∑

��� δX�{ ��∑

���N� �� �e���� +

�∑

��� X�[ ��∑

���N��� �e����

]}

= 0

Reconociendo que “para todo sistema de fuerzas virtuales” significa “para todo juego de valoresde δX�”, en consecuencia para que la igualdad se satisfaga para todo δX� lo que está dentro de lasllaves debe ser nulo, luego para cada j debe cumplirse

{ ��∑

���N� �� �e���� +

�∑

��� X�[ ��∑

���N��� �e����

]}

= 0

� +�

∑

���X�� = 0

Que es el mismo resultado obtenido antes.Para el presente ejemplo asumiendo que todas las barras están hechas del mismo material y

tienen la misma sección y tomando P = 1, Los resultados que se obtienen son los que se describenen continuación

Y��� Y��� Y�� Y��� (�� �)��� (����)��� (����)��� �� ������� ... ����������N � -2.625 -0.600 -0.000 0.000 1.08 0.00 0.00 0.00 ... 0.00N -3.167 -0.800 -0.000 0.000 2.56 0.00 0.00 0.00 ... 0.00N � 2.708 1.000 -0.000 0.000 5.00 0.00 0.00 0.00 ... 0.00N � -3.167 -0.000 -0.800 0.000 0.00 2.56 0.00 0.00 ... 0.00N � -2.000 -0.600 -0.600 0.000 1.08 1.08 0.00 1.08 ... 0.00N � 3.958 0.000 1.000 0.000 0.00 5.00 0.00 0.00 ... 0.00N � -3.375 -0.000 -0.600 0.000 0.00 1.08 0.00 0.00 ... 0.00N � 0.000 0.000 -0.800 1.000 0.00 2.56 4.00 0.00 ... 0.00N � 1.000 -0.800 0.000 1.000 2.56 0.00 4.00 0.00 ... 4.00N �� 0 1 0 0 5.00 0.00 0.00 0.00 ... 0.00N �� 0 0 1 0 0.00 5.00 0.00 0.00 ... 0.00∑ 17.28 17.28 8.00 1.08 ... 4.00R�� 0 0 0 1R�� 3.375 0.000 -0.000 0.000R�� -1.000 0.000 0.000 -1.000R�� 2.625 -0.000 0.000 0.000

Sistema final de ecuaciones y solución

17,28 1,08 −3,201,08 17,28 −3,20−3,20 −3,20 8,00

X�XX�

= −

28,839,64,0

X�XX�

=

−1,93249−2,59916−2,31266

Esfuerzos y reacciones finales���

N � -1.466N � -1.621N � 0.776N � -1.087N � 0.719N � 1.359N � -1.816N � -0.233N � 0.233N �

-1.932N �� -2.599R� -2.313R�� 3.375R� 1.313R�� 2.625

5.2. VIGAS CONTINUASComo paso previo a la aplicación a pórticos planos y emparrillados planos, analizaremos la

aplicación de la metodología anterior a vigas continua5.2.1. Viga empotrada articulada

Como primer ejemplo consideremos una viga continua de un solo tramo. Sea la viga empotrada-articulada de la figura bajo carga distribuída uniforme.

q

L

Figura 8 Viga empotrada - simplemente apoyada

Los pasos necesarios para la solución del problema por el método de las fuerzas consisten en:a)buscar todas las soluciones de equilibrio posibles. Para ello resulta necesario intro-

ducir “incógnitas hiperestáticas” que permitan expresar con facilidad las soluciones posibles. Lacantidad de incógnitas hiperestáticas X� a fijar es igual al orden de hiperestaticidad del problema.Para el ejemplo indicado el orden de hiperestaticidad es 1 y se ha elegido expresar las distintasposibilidades en función del valor del momento de empotramiento M = X�. De esta forma se hamomentaneamente liberado el empotramiento (la restricción al giro en dicho punto, lo que luegodebe compatibilizarse) convirtiendo a la viga original en simplemente apoyada en ambos extremos(isostático fundamental).

Podemos entonces calcular las posibles soluciones de equilibrio resolviendo la viga simplementeapoyada sucesivamente sometida a (1)la carga distribuida q y (2)el momento de empotramientoM = X�

M (x) =M �� (x) +X�M��� (x) (5.27)

De esta forma las posibles soluciones de equilibrio están conformadas de dos partes, una primeraparte que equilibra las cargas externas y una segunda parte que sólo incluye esfuerzos internos yreacciones.���

q

qL2

qL2

8

+

ME

ME

LME

L

+qL2

ME

Figura 9 soluciones de equilibrio

b)calcular las deformaciones asociadas. Esto normalmente consiste en escalar los diagra-mas de esfuerzos usando las ecuaciones constitutivas. Para el caso de la viga la deformación deinterés es

χ (x) = M (x)EI = M ��� (x)

EI +X�M ��� (x)EI = χ��� (x) +X�χ��� (x) (5.28)

qL2

EIME

+8EI

χ(1)(x)

χ(0)(x)

Figura 10 Deformaciones asociadas a soluciones de equilibrio

c)establecer todos los sistemas de fuerzas virtuales. Los posibles sistemas de fuerzasvirtuales (sistemas en equilibrio sin cargas externas salvo reacciones) son formalmente idénticos ala segunda parte de las soluciones en equilibrio, es decir

δM (x) = δX�M ��� (x) (5.29)

1L

1 1

1L

M1(x)

Figura 11 sistemas de fuerzas virtuales���

d)aplicar el principio de fuerzas virtuales. Establecer a través del principio de fuerzasvirtuales las condiciones que deben satisfacer las deformaciones (5.28) para ser compatibles conlas condiciones de apoyo (desplazamientos y/o giros conocidos a priori). La igualdad

TVCI = TVCEconduce en este caso en que no hay desplazamientos de apoyo a que el TVCE= 0, por lo cual

TVCI =∫ �

� χ (x) δM (x) dx =∫ �

�[χ��� (x) +X�χ��� (x)] δX�M ��� (x) dx = 0

= δX�

∫ �

�1EI

qL�8 +X�

dx

= δX�

∫ �

�qL�8EI dx+ X�

EI∫ �

� dx

= δX�{

− qL�8EI

L3 +X�

L3EI

}

(5.30)= δX�{δ�� +X�δ��} (5.31)

La condición de TVCI= 0 es independiente de δX� por lo que debe anularse lo que está entrellaves, lo que conduce a

X� = −δ��δ�� =qL�8

Si hubiera desplazamientos de apoyos es necesario modificar el término asociado al TV CE queahora no sería nulo. En el caso más general de que sean no nulos los desplazamientos de ambosapoyos (u� y u�)(suponiendo que son descensos) y el giro del empotramiento

(

β �)

(suponiendo quesea horario). El TV CE resulta

TVCE = δX�{ 1L(u�− u�)− β �

}

De tal forma que la igualdad de trabajos virtuales resulta ahora

δX�{

− qL�8EI

L3 +X�

L3EI

}

= δX�{ 1L(u�− u�)− β �

}

de dondeX� = qL�

8 + 3EIL

{ 1L(u�− u�)− β �

}

(5.32)Si hubieran cambios térmicos, hay que modificar (5.28) incluyendo las curvaturas debido a tales

efectos. Es decir

χ (x) = M ��� (x)EI +X�

M ��� (x)EI + χ���

�� (x) = χ���� (x) + χ���

�� (x) +X�χ��� (x) (5.33)

Lo cual conduce a modificar el término δ��

δ�� = δ ����� +∫ �

� χ����� dx

�

En todos los casos la ecuación de compatibilidad que resulta es equivalente a plantear sobre elisostático equivalente la condición de que el empotramiento (que ha sido liberado originalmente)no gire o que gire un valor β � en el caso que este valor sea conocido y distinto de cero (5.32). Queesto es así puede verse fácilmente. Si consideramos las curvaturas dadas por (5.28), y buscamosla condición que debe cumplir X� para que el apoyo izquierdo no gire, el método usual es colocaren tal apoyo un momento virtual unitario e igualar trabajo interno con externo. En tal caso si loque se busca es que el apoyo no gire, el trabajo (externo) que debe producir el momento virtuales nulo TV CE = δM β � = 0, en tanto que el trabajo interno es idéntico al calculado para llegara la ecuación (5.30).5.2.2. Viga continua

A continuación analizaremos la solución por el método de las fuerzas a una viga continua demás de un tramo(ver Fig. 12).

L1 L2L3

L4

P P Pq

1 2 3 4

Figura 12 Viga ContinuaLa estructura de la figura tiene una hiperestaticidad de 3er grado. El primer paso es establecer

una estructura isostática equivalente elijiendo adecuadamente las incógnitas hiperestáticas. Engeneral en este tipo de estrucuturas (vigas continuas) resulta conveniente elegir como incógnitas(en la medida de lo posible) los momentos flectores sobre los apoyos. Esto equivale a colocar allíuna articulación, es decir la estructura isostática fundamental no podrá tomar momentos dondeel momento es incógnita. Por razones que quedarán claras al desarrollar el ejemplo estas resultanser la opción más conveniente. La estructura equivalente puede verse en la Fig. 13

P P PLq

4

X1

X2X2 X3 X3

Figura 13 Isostático equivalenteEsta no es por supuesto la única opción, también pueden utilizarse como incógnitas hiper-

estáticas las reacciones de apoyo, o el corte en alguna sección, y por supuesto también el momentoflector en puntos diferentes a los apoyos.

Definido el I.F. el segundo paso consiste en resolver la estructura isostática resultante sometidaa:

Las cargas externas. Notar que al haber elejido los momentos sobre los apoyos, la soluciónde la viga continua se resume a resolver vigas simplemente apoyadas.

���

PL4L3

2qL2

2P 2

qL2

P2

P2

PL4L3

P2 P

qL22

8

PL4

2PL4

4PL1

4PL3

M (0)

Q(0)

Figura 14 Solución con carga externa

Cada una de las incógnitas hiperestáticas con valor unitario, (ver Fig. 15)Notar la similitud de las soluciones de los distintos casos y lo sencillo que resultaría sistemati-

zarlo.La solución global del problema desde el punto de vista de equilibrio es

Q (x) = Q��� (x) +�

∑

���X� Q��� (x)

M (x) = M ��� (x) +�

∑

���X� M ��� (x)

Por otro lado el conjunto de sistemas de fuerzas virtuales puede escribirse

δQ (x) =�

∑

���δX� Q�� � (x)

δM (x) =�

∑

���δX� M �� � (x)

La aplicación del Principio de Fuerzas Virtuales puede realizarse, reconociendo primero que lascurvaturas asociadas a las posibles soluciones de equilibrio son:

χ(x) = M (x)EI = 1

EI[

M ��� (x) +�

∑

���X� M ��� (x)

]

= χ��� (x) +�

∑

���X� χ��� (x)

Recordar que hemos despreciado las distorsiones transversales debidas al corte, luego el TrabajoVirtual Complementario Interno vale

TVCI =∫ �����

� δM (x)χ (x) dx =∫ �����

�

[ �∑

���δX� M �� � (x)

][

χ��� (x) +�

∑

���X� χ��� (x)

]

dx �

M (3)(x)

1L3

1 Q (3)(x)L2

M (1)(x)

11L1

1

Q (1)(x)L1

1 1

1

M (2)(x)

1L2

1 Q (2)(x)L1

1 1

1

Figura 15 Solución con momentos unitarios

El trabajo externo vale cero en este caso, será diferente de cero cuando haya desplazamientosde apoyos. Reacomodando las sumatorias e integrales, y sacando factor común a los δX� que sonarbitrarios, tenemos

TVCI =�

∑

���δX�

{

∫ ��������

M� (x)χ� (x) dx+�

∑

���X�

[∫ ��������

M� (x)χ�� (x) dx]

}

= 0

Reconociendo que esto debe ser igual a cero independientemente de los valores de los δX� , luegolo que está entre llaves debe anularse y para cada j tendremos una ecuación de compatibilidad

∫ ��������

M � � (x)χ� (x) dx+�

∑

���X�

[∫ ��������

M � � (x)χ�� (x) dx]

= 0

δ�+�

∑

���X� � = 0

donde hemos introducido las definiciones

δ�� =∫ ��������� M �� � (x)χ��� (x) dx

δ� =∫ ��������� M �� � (x)χ�� (x) dx

Estas tres ecuaciones adicionales, nos permiten calcular las incógnitas hiperestáticas y resolverel problema. Cada una de estas ecuaciones representa una ecuación de compatibilidad de despla-zamientos asociada al desplazamiento (generalizado) conjugado de cada incógnita hiperestática.Los desplazamientos generalizados conjugados a los momentos son los giros de las secciones dondeestán aplicados los momentos. En nuestro caso la primera incógnita corresponde al momento flec-tor en el empotramiento, luego el giro del empotramiento es su giro conjugado y claramente estedebe ser cero para satisfacer la condición cinemática impuesta. La primera ecuación (j = 1) co-rresponde a esta condición. La segunda incógnita corresponde al momento sobre el primer apoyo,allí hemos colocado un momento a cada lado, que tienen cada uno un giro conjugado, por razonesde continuidad el giro debe ser igual en ambas secciones, o lo que es mismo el giro relativo entre lassecciones debe ser nulo. La segunda ecuación (j = 2) plantea precisamente que este giro relativodebe ser nulo. Lo mismo puede decirse respecto a la tercera incógnita.

Podemos ver que efectivamente esto es así, supongamos que queremos calcular el giro delempotramiento β, entonces ponemos allí un momento virtual de valor unitario. El sistema virtualen equilibrio con tal momento unitario es Q��� (x), M ��� (x). Aplicando el principio de fuerzasvirtuales resulta

TVCE =M ���(x = 0)β = β

TVCI =∫ ��������� M ��� (x)

[

χ��� (x) +�

∑

� X χ�� (x)]

dx

Notar que la integral puede restringirse al primer tramo ya que en los otros M ��� (x) es nulo.Igualando ambos términos

β =∫ ��� M ��� (x)χ��� (x) dx+

�∑

� X∫ ��� M ��� (x)χ�� (x) dx

Esta ecuación igualada a cero es la primera de las condiciones resultantes de aplicar el P.F.V.En forma similar si deseamos calcular el giro relativo de las secciones a ambos lados de la

articulación sobre el primer apoyo movil, debemos colocar alli dos momentos virtuales unitarios,uno a cada lado de las sección, con sentido opuesto. El sistema virtual de fuerzas resultantes esQ��� (x), M ��� (x). Aplicando el principio de fuerzas virtuales resulta

TVCE = β� − β� = β���

TVCI =∫ ��������� M ��� (x)

[

χ��� (x) +�

∑

� X χ�� (x)]

dx

igualando ambos términos

β��� =∫ ������ M ��� (x)χ��� (x) dx+

�∑

� X∫ ������ M ��� (x)χ�� (x) dx

que corresponde a la segunda de las ecuaciones resultantes de aplicar el P.F.V.���

Veamos en detalle el cálculo de la matriz de coeficientes, es decir de los términos δ�� coni, j = 1, 2, 3

δ�� =∫ ��������

� M �� (x)χ�� (x) dxNotemos que cada diagrama de momentos abarca sólo los tramos adyacentes al apoyo donde

se aplica el momento incógnita M �� o el momento virtual M �� . En consecuencia si:-j e i coinciden la integral se extiende a los dos tramos adyacentes (uno solo en el caso deun extremo)

� = 1EI�

∫

�����

[M �� (x)]� dx = L�3EI� +

L��

3EI��

-j e i son consecutivos la integral se extiende sólo al tramo que los tiene como extremos

� = 1EI�

∫

�M �� (x)M �� (x) dx = L�

6EI�-j e i no son coincidentes ni consecutivos

� = 0

En vigas continuas con más tramos es posible sistematizar con facilidad el cálculo de la matrizde coeficientes, de forma que cada ecuación resulta

δ���� M�� + δ���M� + δ���� M�� = −δ��donde

��� = L��

6EI��

��� = L�6EI�

δ�� = 2(δ���� + δ���� )La matriz de coeficientes del sistema resulta tridiagonal (son no-nulos sólo los coeficientes de

la diagonal y los inmediatamente adyacentes), de muy rápida resolución. Esta sistematización delcálculo de vigas continuas por el método de las fuerzas se conoce como método de los tresmomentos.

5.3. PORTICOS PLANOSLas ideas y procedimientos expuestos hasta aquí se pueden aplicar al análisis de pórticos planos.

La secuencia operativa es la misma.

1- Obtener las posibles soluciones en equilibrio Primero se elijen las NI incógnitashiperestáticas, con lo que queda definido el Sistema Isostático equivalente y el Isostático Funda-mental. Las incógnitas hiperestáticas pueden ser:-a) Esfuerzos internos en alguna sección elejida

-Momento flector, lo que implica poner allí una articulación para el I.F.-Esfuerzo de Corte, lo que implica que la sección no podrá transmitir corte pero si otro tipo

de esfuerzo���

-Esfuerzo normal, que restringe a esa sección a transmitir sólo corte y flexión.-b) Reacciones de apoyo, incluyendo momentos de empotramiento por supuesto.

Sobre el I.F. se calculan los sistemas en equilibrio asociados a:-Cargas externas, lo que dará lugar a los correspondientes diagramas M ���(x), Q���(x) yN ���(x), para cada uno de los elementos (vigas o columnas) que compongan la estructura-Incógnitas hiperstáticas de valor unitario, con lo cual se tendrá para cada caso M ���(x),Q���(x) y N ���(x).

De esta forma por superposición lineal, en cada elemento estructural tendremos que la solucióncompleta será (todas las posibles soluciones de equilibrio)

N (x) = N ��� (x) +��∑

���X�N ��� (x)

M (x) = M ��� (x) +��∑

���X�M ��� (x)

Q (x) = Q��� (x) +��∑

���X�Q��� (x)

2- Deformaciones asociadas a equilibrio Las ecuaciones constitutivas nos permite calcu-lar las deformaciones generalizadas (reales) correspondientes (considerando las deformaciones deorigen térmico si las hubiere)

ε (x) = N (x)EA + α∆t = ε��� (x) +

��∑

���X��� (x)

χ (x) = M (x)EI + α

(∆t� −∆t�h

)

= χ��� (x) +��∑

���X�χ��� (x)

3- Posibles sistemas de fuerzas virtuales Por otro lado todos los posibles sistemas vir-tuales de fuerzas quedan definidos por

δN (x) =��∑

��δXN � � (x)

δM (x) =��∑

��δXM � � (x)

δQ (x) =��∑

��δXQ� � (x)

4- Determinación de las condiciones de compatibilidad La aplicación del Principio deFuerzas Virtuales conduce a determinar de todos las posibles deformaciones asociadas a sistemasen equilibrio la que además es compatible. Estas condiciones de compatibilidad surgen de igualartrabajo interno y externo. El segundo sólo aparece cuando hay desplazamientos de apoyos. Entonces�

sea NT el número de elementos estructurales (sobre los que hay que evaluar el trabajo interno) ysea NA el número de apoyos con desplazamientos prefijados de valor ∆�, luego

TVCE =��∑

���∆�

( ��∑

���δX�R�� �

�

)

TVCI =��∑

���

∫

� [δM (x)χ (x) + δN (x) ε (x)] dx

reemplazando en la última expresión los esfuerzos virtuales y las deformaciones reales tendresos��∑

���

∫

�

{[ ��∑

���δX�M �� � (x)

][

χ��� (x) +��∑

���X�χ��� (x)

]

+[ ��∑

���δX�N �� � (x)

][

ε��� (x) +��∑

���X��� (x)

]}

dx

Reordenando las sumatorias e integrales, esto puede escribirse��∑

���δX�

∑�����∫ �[M �� � (x)χ��� (x) +N �� � (x) ε��� (x)] dx

+∑�����X�

[

∑�����∫ �[M �� � (x)χ��� (x) +N �� � (x) ε��� (x)] dx

]

denominando como antes

δ�� =��∑

���

∫

�[M �� � (x)χ��� (x) +N �� � (x) ε��� (x)] dx

δ�� =��∑

���

∫

�[M �� � (x)χ��� (x) +N �� � (x) ε��� (x)] dx

Las condición para que el TVCI sea igual al TVCE para todo sistema virtual de fuerzas seresume a NI ecuaciones de compatibilidad (una para cada j)

��∑

���X� δ�� = −δ��+

��∑

���∆�R�� �

�

En la evaluación de las integrales, normalmente las contribuciones asociadas al esfuerzo normalson despreciables frente a las debidas a la flexión. Sin embargo esto no siempre es así y debetenerse cuidado al despreciar tales términos. Cuando las acciones corresponden a cambios térmicosdificilmente puedan despreciarse las integrales asociadas al esfuerzo normal.

5.4. EMPARRILLADOS PLANOSConsideremos el emparrillado plano de la figura. Esta compuesto de dos vigas a 90� apoyadas

en sus extremos y en la unión de las dos vigas. Uno de los apoyos extremos corresponde a unapoyo elástico de rigidez K. La cargas actuante es una carga distribuida de igual valor q en ambostramos.

El sistema tiene restringidos 3 grados de libertad por lo tanto no son posibles movimientosde cuerpo rígido por lo cual es claramente isostático. Para calcular las reacciones podemos tomarmomentos respecto a los ejes de las vigas de esta forma resulta:

-Tomando momento respecto al eje del tramo 1-2 (∑M = 0)

qb b2 −R�b = 0 → R� = qb2 ���

2

3

3K

X

Y

q

11

2

X

YZ

b

a

Figura 16 Emparrillado plano

-Tomando momento respeto al eje del tramo 2-3 (∑M� = 0)qaa2 −R�a = 0 → R� = qa

2-Finalmente, usando equilibrio de fuerzas (∑F� = 0)

−qa− qb+R�+R� +R� = 0 → R� = qa2 + qb2

Dada la geometría y el tipo de apoyos, no aparece torsión y sólo hay momentos flectores.

q b2

qa2

q a2bq 2

a2

q 8

1 2

M f

b2

q 8

2 3

M f

Figura 17 Reacciones y diagrama de momentosEl apoyo elástico se desplaza un valor (hacia abajo naturalmente)

u��� = R�

K = qb2K

El tramo 1-2 gira alrededor de su eje arrastrado por el giro del tramo 2-3 cuyo apoyo 2 giradebido a la flexión. A su vez el tramo 2-3 gira alrededor de su eje arrastrado por el tramo 1-2 cuyoapoyo 2 gira debido a la flexión.

Supongamos ahora que en el apoyo 1 se restringe el giro alrededor del eje de la viga. Estoconvierte al problema en hiperestático. Introduciendo como incógnita hiper-estática el momentocorrespondiente (en el sentido del eje de la viga, es decir el momento torsor). Debemos encontrar��

β(0)

β(0)

u(0)

β β

Figura 18 Desplazamiento de la estructura isostática

β(0)

β(0)

u(0)

β β

Figura 19 Reacciones y diagrama de momentos debido al Momento de Empotramiento

el valor del momento torsor que evita que la sección sobre el apoyo 1 gire (alrededor del eje, en elotro sentido, flexión, está libre).

La solución de equilibrio debido a este momento de empotramiento es:Todas las posibles soluciones de equilibrio quedan englobadas por la suma de la solución inicial

(que equilibra las cargas externas) y la segunda solución asociada al momento torsor reactivo.Para re-establecer la compatibilidad podemos aplicar el Principio de Fuerzas Virtuales. No haydesplazamientos conocidos, luego el TV CE = 0. El trabajo virtual interno es la suma de lostrabajos en cada una de las componentes estructurales, las dos vigas y el resorte.

1. -Tramo 1-2

Curvatura de flexión: Parábola cuadrática debida a cargas externas χ��� = ������ , no hay

curvatura debido a la incógnitaCurvatura de torsión: Valor constante asociado a la incógnita θ �� = �

� �

TV CI� =∫ �

�X

GJρ dx = XaGJρ

2. -Tramo 2-3

Curvatura de flexión: Parábola cuadrática debida a cargas externas χ��� = ������ más un

diagrama lineal debido a la incógnita χ�� = ������

���

Curvatura de torsión: no hay deformaciones por torsión

TV CI�� =∫ �

�1EI

+X�

dx = b3EI

(

−qb�8 +X�

)

3. -Resorte, el trabajo es idéntico a lo que ocurre en una barra de reticulado, es el esfuerzopor la elongación

TV CI� = (u���+ u���) 1b =( qb2K + X�

bK) 1b = q

2K + X�Kb�

Sumando las distintas contribuciones, y sacando factor común X�

TV CI = X�( aGJρ + b

3EI + 1Kb�

)

+ b3EI

qb�8 + q

2KIgualando a cero dado que el trabajo esterno es nulo, el valor de la incógnita hiperestática es

X� = −

��� ��� + �� ��� + ��� + �

���

Notar en esta última expresión el significado de cada término. Cada componente es un giroalrededor del eje y. El numerador es (cambiado de signo) el giro de la sección sobre el apopo 1debido a las cargas externas β ���. Este está compuesto de dos términos, el primero ( ��� �

�� ) es

debido a la curvatura en el tramo 2-3 y el segundo ( ��) es debido al giro como cuerpo rígido deltramo 2-3 debido al descenso del apoyo elástico.El numerador es el giro que produce un momento torsor unitario en el empotramiento β ���. Está

compuesto de tres términos. El primero ( ���) es la rotación relativa por torsión de las seccionesextremas del tramo 1-2. El segundo ( ���) es el giro de la sección 2 debido a la flexión en el tramo2-3 y finalmente ( �

���) es el giro del tramo 2-3 como cuerpo rígido debido al movimiento del apoyoelástico.

De esta forma se logra que el giro final β� en la sección 1 sea: β ���+X�β ��� = 0

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���

���