analisis epistemico godino

RESUMEN:

Se desarrolla una metodología de análisis de un proceso de enseñanza y aprendizaje de contenidos matemáticos que comprende tres facetas o dimensiones: (1) análisis epistémico (naturaleza y secuenciación de los distintos componentes del conocimiento matemático); (2) análisis semiótico-cognitivo (procesos de interpretación y negociación de significados); (3) análisis didáctico (interacción entre las funciones docentes, discentes y los distintos componentes epistémicos y cognitivos).

Esta metodología se ejemplifica mediante el análisis del proceso de instrucción propuesto por un libro de texto para la mediana, permitiendo caracterizar los significados locales, los conflictos semióticos potenciales y el patrón de interacción docente-discente en la trayectoria didáctica correspondiente.

1. UN ENFOQUE SEMIÓTICO DE LA INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA

En este trabajo desarrollamos una metodología de análisis de procesos de instrucción matemática que contempla las tres dimensiones principales de dichos procesos: la naturaleza del conocimiento matemático (dimensión epistemológica), los procesos interpretativos (dimensión semiótica) y los patrones de interacción profesor-alumnos-contenido matemático (dimensión didáctica).

Suponemos que el proceso de instrucción ha sido sistemáticamente observado y transcrito textualmente, obteniéndose la crónica del mismo, sobre la cual definimos las unidades y categorías de análisis correspondientes. Estas unidades y categorías se definen teniendo en cuenta los siguientes modelos teóricos desarrollados en trabajos previos:

l Teoría de los significados institucionales y personales de los objetos matemáticos (Godino y Batanero, 1994; 1998) (dimensión epistemológica)

l Teoría de las funciones semióticas (Godino, 1998; Godino y Batanero, 1999) (dimensión semiótico-cognitiva)

Utilizamos un ejemplo para presentar las tres facetas de la metodología propuesta. Por razones de simplicidad, hemos elegido el fragmento de la lección en el que se estudia la mediana en un texto de 3º de E.S.O (alumnos de 14 a 15 años) (Anexo 1), considerándolo como la crónica de un proceso de instrucción potencial. Aunque se trata de un proceso instruccional atípico veremos que permite mostrar los principales elementos de la metodología propuesta y su potencial utilidad en la investigación didáctica. Podemos suponer que un estudiante no puede asistir a clase, bien por enfermedad o por vivir en una zona rural apartada y, por tanto, el estudio de la mediana lo realiza según las indicaciones e información proporcionada por el libro de texto.

ANÁLISIS EPISTÉMICO, SEMIÓTICO Y DIDÁCTICO DE PROCESOS DE INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA

Juan D. Godino

Trabajo presentado en el Grupo de Trabajo, "La Didáctica de la Matemática como Disciplina Científica". III Simposio de la SEIEM, Valladolid, 1999.

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La metodología desarrollada trata de responder a cuestiones claves de la investigación didáctica planteables desde el enfoque de investigación que designamos como semiótico-antropológico descrito en los trabajos citados. En particular esta metodología pretende servir para,

l identificar los elementos del significado local de los contenidos matemáticos pretendidos en un proceso instruccional;

l evaluar el nivel de complejidad semiótica del proceso instruccional y determinar los aspectos críticos que requieren negociación de significados o cambios en el proceso;

l evaluar la eficacia del proceso instruccional y deducir criterios para su optimización.

Tradicionalmente se considera que en un proceso instruccional -o proceso de estudio de un contenido matemático - se ponen en juego los siguientes elementos:

(1) El contenido matemático pretendido (O), por ejemplo, 'la mediana'.

(2) Un "agente discente" (X), alumnos o personas que se proponen estudiar O.

(3) Un "agente docente" (Y), profesor que dirige y ayuda al estudio de O por parte de X.

(4) El contexto C (marco institucional y tecnológico) en que tiene lugar la instrucción.

Una de las características distintivas del enfoque epistemológico para la investigación en didáctica de las matemática en que nos situamos consiste en problematizar la naturaleza del contenido matemático O. Se parte del supuesto de que un mismo término o expresión matemática, por ejemplo, 'la mediana', designa entidades diversas. En particular, desde el punto de vista de la didáctica se considera necesario distinguir tres tipos de entidades que se designan con el mismo término:

a) El contenido a enseñar, aquello que el profesor se propone enseñar en unas circunstancias dadas (OY).

b) El contenido aprendido por los estudiantes tras el proceso de estudio (OX).

c) El contenido de referencia (OZ), que da cuenta del hecho de que el contenido a enseñar en unas circunstancias dadas no agota el significado completo (enciclopédido o sistémico) de O. El análisis de un proceso instruccional particular requiere introducir este "agente" que designaremos como Z, y que interpretamos como el "investigador" que se supone conoce el significado de referencia de O.

No es suficiente hacer esta distinción de objetos que son referidos por una misma expresión matemática: es necesario formular supuestos explícitos sobre la naturaleza de los propios objetos. En la epistemología semiótico-antropológica que adoptamos, a cada objeto (personal OX, o institucional OY, OZ) asociamos la entidad "significado" del objeto que es definido como el sistema de prácticas (operatorias y discursivas) realizadas por el "agente" correspondiente para resolver, y sistematizar la resolución de un campo de problemas específico . Representaremos estas entidades compuestas y sistémicas con las notaciones siguientes: S(OX) (significado del sujeto que aprende), S(OY) (significado local), S(OZ) (significado de referencia).

Esta modelización del conocimiento matemático nos lleva a describir un proceso de instrucción sobre un contenido matemático O como la secuenciación en el tiempo de los distintos elementos del significado de OY y su interacción con las diversas funciones docentes y discentes en un contexto C. El aprendizaje



será el acoplamiento progresivo de S(OX) con S(O Y).

2. ANÁLISIS EPISTÉMICO

Entenderemos por análisis epistémico de un proceso de instrucción matemática la identificación de los componentes del contenido matemático pretendido OY, que denotamos como S(OY) (significado de OY), su secuenciación a lo largo del mismo y comparación con el significado de referencia (SOZ). Como componentes del contenido vamos a considerar las identificadas como elementos del significado (sistémico) de un objeto matemático en nuestros trabajos previos (Godino, 1998), esto es, los elementos,

l Ostensivos (representaciones materiales, notaciones) l Extensivos (situaciones-problemas, tareas) l Actuativos (operaciones, algoritmos, procedimientos, técnicas) l Intensivos (definiciones, proposiciones) l Validativos (argumentaciones, justificaciones).

El análisis se basará en descomponer la crónica en unidades, que denominaremos epistémicas, esto es, relativas al conocimiento institucional. El criterio para definir las unidades de análisis será el cambio de elemento de significado, esto es, cuando se cambia de problema a estudiar dentro del campo de problemas considerado, se pasa del enunciado del problema al desarrollo de una técnica, el empleo de una notación, al uso o identificación de una propiedad, o a la descripción, sistematización y validación de las soluciones. Es decir, tendremos en cuenta para delimitar las unidades de análisis los momentos en los cuales se ponen en juego alguno de los cinco elementos introducidos en nuestro modelo epistemológico (ostensivos, extensivos, actuativos, intensivos, validativos), o también entidades mixtas derivadas.

Estas cinco entidades primarias pueden ser agrupadas, dando lugar a entidades mixtas, como las tecnologías y las teorías que describen Chevallard, Bosch y Gascón (1997). Para nosotros una tecnología es una agrupación estructurada (sistema) de entidades primarias que describe y sistematiza un campo de problemas (o una parte del mismo) y sus correspondientes técnicas de solución. Mientras que una teoría será una sistematización de los elementos intensionales y sus respectivas justificaciones.

El análisis epistémico lo consideramos como etapa previa y crucial de los análisis semiótico-cognitivo y didáctico. La razón es que este análisis permitirá identificar el sistema de entidades que se ponen en juego en el estudio de un contenido matemático, los cuales requerir án procesos instruccionales específicos. Este análisis nos va a permitir describir el "significado local" del contenido estudiado, en nuestro caso "la mediana", y la distribución temporal de sus distintos elementos (trayectoria epistémica).

El proceso de estudio de un contenido matemático O tiene lugar en el tiempo, siendo esta variable esencial en los resultados finales. No es lo mismo dedicar una o dos sesiones de clase al estudio de la mediana, por ejemplo, que los alumnos hagan más o menos actividades, que el profesor ponga más o menos ejemplos, etc. Sin embargo, el "tiempo" que interesa a efectos didácticos se podría representar mejor por la secuencia de unidades epistémicas que por el "tiempo físico".

La valoración del carácter más o menos completo del significado local requiere disponer de un patrón de comparación que denominaremos significado de referencia S(OZ). Esta comparación entre S(OY) y S(OZ) se puede describir como la "transposición didáctica" localmente implementada en el proceso instruccional.



En el Anexo 2 incluimos un significado de referencia para la mediana, elaborado a partir del análisis epistémico de diversos textos y de la práctica del análisis estadístico.

2.1. Trayectoria epistémica

Para ejemplificar las nociones teóricas que acabamos de introducir analizaremos en este apartado las unidades epistémicas identificables en la crónica del proceso instruccional que usamos cmo ejemplo (Anexo 1). Tendremos en cuenta el orden en que aparecen a lo largo del proceso (trayectoria epistémica), y los tipos de entidades que se ponen en juego.

E1: Asignación a la media aritmética de una propiedad: ser el mejor representante de un conjunto de datos (intensivo).

E2: Jusficación de la propiedad asignada a la media (validativo)

E3: Asignación de una propiedad (intensivo) al objeto nombrado como 'mediana'

E4: Enunciado de una tarea problemática de búsqueda de un representante de una colección de datos (extensivo)

E5: Aplicación de una técnica ya conocida (cálculo de la media aritmética) (actuativo)

E6: Validación de la t écnica aplicada (validativo); apreciación de que el valor obtenido no es adecuado ya que está alejado de la mayor parte de los datos por haber un valor atípico.

E7: Asignación de una propiedad a la mediana (mejor representante que la media, en este caso) (intensivo proposicional).

E8: Definición de la mediana (intensivo nominal): valor que deja igual número de datos por encima de él que por debajo de él.

E9: Desarrollo de una nueva técnica (ordenación y centralización) (actuativo).

E10: Uso de una notación Me para representar la mediana (ostensivo)

E11: "Cuando el número de datos es par". Se describe una subclase de problemas de búsqueda de un representante de una colección de datos (es un tipo de tareas problemáticas que no se puede resolver aplicando la técnica previamente desarrollada) (extensivo).

E12: "la mediana es la media aritmética de los dos datos centrales". Nueva definición de mediana (intensivo nominal) como resultado de una operación.

E13: Ejemplo particular del tipo de problemas descrito en E11 (extensivo)

E14: Aplicación del método de solución fijado en E12 (actuativo).

E15: Justificación de la equivalencia de la definición E12 de mediana con la E8 (validativo).

E16: Asignación de una propiedad a la mediana (intensivo proposicional), sin validacion explícita (la mediana se puede utilizar con variables medibles en escala ordinal).



E17: Agrupación de tareas, técnicas y ostensivos que sistematizan las prácticas realizadas hasta este momento (tecnología)

E18: Agrupación de tareas que se proponen como ejercitación y aplicación de la tecnología desarrollada (es una colección de elementos extensionales)

E19: Enunciado de un nuevo tipo de problemas del campo considerado (extensivo) (tamaño de la colección de datos más grande y con valores repetidos)

E20: Aplicación de la t écnica desarrollada previamente (actuativo).

E21: Evaluación de la técnica desarrollada previamente (validativo) (dificultad de escribir en orden creciente todos los datos).

E22: Desarrollo de una nueva técnica (actuativo)

E23: Nueva definición de mediana (intensivo) (generalización de la mediana al caso considerado). No se valida la equivalencia de esta definición con las anteriores.

Este análisis sugiere la complejidad de cualquier noción matemática. El término 'mediana' designa a un sistema de prácticas (descriptivas, operatorias, discursivas) que progresivamente se va enriqueciendo a medida que progresa el proceso de estudio de un campo de problemas, en este caso, la búsqueda de un valor representante de un conjunto de datos, cuando tal conjunto tiene valores atípicos, se distribuye asimétricamente, o la escala de medida es ordinal.

Habitualmente se considera que la definición de la mediana describe el concepto de mediana, un objeto o entidad abstracta que tiene un cierto número de propiedades que el matemático descubre. Si bien este modo de considerar los conceptos parece útil para la organización teórica de los conocimientos matemáticos, desde el punto de vista de la didáctica (que tiene en cuenta, entre otras, las facetas epistemológica y cognitiva), ese modo platónico de considerar los conceptos matemáticos oculta la "razón de ser" de estas construcciones, su conexión y dependencia de las situaciones-problemas, de los recursos expresivos, de los modos de actuar y argumentar.

2.2. Significado local de la mediana. Comparación con el significado de referencia

El tipo de análisis que hemos desarrollado nos permite caracterizar los elementos del significado local del contenido matemático pretendido en el proceso de estudio, los cuales pueden ser confrontados con el significado de referencia correspondiente. Indicamos a continuación estos elementos para el ejemplo de la mediana y los comparamos con el significado de referencia (Anexo 2).

(1) Elementos ostensivos:

l 'Mediana', Me. l Ordenación de datos en forma de listado (horizontal y vertical) (lo que permite visualizar la

mediana como la posición central de la ordenación). l Ordenación tabular.

Representaciones no usadas:

l Percentil 50%; 2º cuartil; 5º decil.



l Abscisa del punto del gráfico acumulativo de frecuencias absolutas (relativas) cuya ordenada es n/2 (0.5)

(2) Elementos extensivos: Ejemplares de los siguientes tipos de problemas:

l Búsqueda de un valor representativo de una colección de datos de una variable estadística cuantitativa con un valor atípico (con número impar y par de datos).

l Búsqueda de un valor representativo de una colección de datos de una variable estadística medible en escala ordinal.

l Búsqueda de un valor representativo de una colección de datos de una variable estadística cuantitativa con datos repetidos dados en forma de listado y de tabla de frecuencia (situación no específica de la mediana).

Situaciones no estudiadas:

l Distribuciones de frecuencias no simétricas sin valores atípicos. l Variables continuas con datos agrupados en intervalos de clase. l Variables representadas gráficamente.

(3) Elementos actuativos: Ejemplares de las siguientes técnicas:

l Cálculo de la mediana para un número impar de valores. l Cálculo de la mediana para un número par de valores. l Cálculo de la mediana en la tabla de frecuencias acumuladas de variables discretas.

Técnicas no estudiadas:

l Cálculo correspondiente al caso de datos agrupados en intervalos de clase (interpolación). l Determinación gráfica mediante el polígono acumulativo de frecuencias. l Uso de software estadístico.

(4) Elementos intensionales:

l Cuatro caracterizaciones de la mediana (incluyendo la formulación como valor central): l Valor que deja igual número de datos por encima de él que por debajo. l El dato central de una colección de datos en número impar supuestos ordenados de menor a

mayor. l La media de los dos datos centrales de una colección de datos en número par, supuestos ordenados

de menor a mayor. l El primer valor de la variable que corresponde a la frecuencia absoluta acumulada,

inmediatamente superior a la mitad del número de datos. l Propiedad estadística: la mediana es un valor más representativo que la media en el caso de existir

un valor atípico. l La mediana es una medida de centralización.

Propiedades no estudiadas:

Dado el contexto institucional en que se prevé usar el texto (nivel de secundaria) no se estudian las propiedades intensionales de la mediana (a excepción de la mención a su carácter representativo de la colección de datos en algunos casos).



(5) Elementos validativos:

l Se justifica el uso de la mediana como valor más representativo que la media mediante un ejemplo (cuando la serie de datos tiene un valor atípico).

Validaciones evitadas:

l Equivalencia de las cuatro definiciones. l Las nociones de "valor central" y "mejor representante" no quedan justificadas. Habría que probar

que el valor central de la serie de datos es el más próximo a la mayoría de los datos, esto es, probar la propiedad de que la suma de las desviaciones absolutas respecto de un valor a de la serie de datos es mínima cuando a= Me.

Tecnologías y teorías:

- La unidad E17 es un ejemplo de un elemento tecnológico en este proceso de estudio escolar: una sistematización (parcial) de una clase de tareas y de las técnicas de solución. La justificación de la tecnología queda apenas establecida, dado que no se estudia de modo suficiente la noción de valor más representativo de un conjunto de datos.

- Se incluyen algunos elementos de lo que podría describirse como una "teoría matemática de las medidas de tendencia central de una variable estadística": definiciones de mediana y alguna propiedad característica. Pero dado el nivel de enseñanza no se sistematizan los elementos intensionales y sus correspondientes validaciones. Se aprecia, no obstante, en los autores una preferencia por presentar elementos teóricos (definiciones) antes que los correspondientes elementos praxémicos (problemas y técnicas de solución).

El componente teórico básico sería, en este caso, la demostración de que la mediana es el valor a de la variable estadística que hace mínima la suma de las desviaciones absolutas de los distintos valores respecto de a (Calot, 1988, p. 61).

2.3. Análisis de la transposición didáctica local

La metodología de análisis epistémico descrita permite caracterizar el tipo de transposición didáctica implementada en el proceso de instrucción. En nuestro ejemplo, los autores del texto han seleccionado una situación adecuada para iniciar el estudio de una subclase de problemas de búsqueda de un valor representativo de una colección de datos: el caso en que se incluye un valor at ípico. Esto permite mostrar que la media aritmética -que se acaba de estudiar - produce un valor alejado de la mayor parte de los datos. También se menciona la subclase de problemas en que la variable es ordinal, y por tanto no se puede calcular la media. Quedaría por tratar -aunque en otros niveles de enseñanza - el caso de distribuciones de frecuencias sin valores atípicos, pero asimétricas, en el cual también será preferible usar la mediana. También hay una subclase de problemas en los que la media y la mediana son igual de representativas, o incluso coinciden (distribuciones simétricas). Sin embargo, puede ser preferible el uso de la media por simplicidad de cálculo, o porque es un estadístico con mejores propiedades algebraicas. En otros casos (inferencia estadística con muestras pequeñas), el uso de los estadísticos de orden puede ser preferible a la media si se carece de información sobre la distribución de probabilidad de la variable aleatoria correspondiente.

En cuanto al orden de presentación de los elementos del significado de la mediana los autores del texto prefieren anticipar las entidades intensionales a las actuativas. Primero se define el objeto y se le



atribuyen propiedades y después de se introducen los modos de actuar para resolver las tareas problemáticas. Dado que la "razón de ser" de las entidades intensionales se encuentra en los modos de resolver las clases de situaciones-problemáticas parecería recomendable invertir el orden del estudio. Incluso en el nivel de enseñanza en que tiene lugar este proceso instruccional se podría prescindir del énfasis en presentar definiciones rigurosas, invirtiendo más tiempo en justificar (hacer razonable) la consideración del valor mediano como representativo.

Parecería deseable que se pudiera dedicar tiempo en el proceso de estudio para introducir el uso de elementos ostensivos tales como el 'polígono acumulativo de frecuencias' y el 'diagrama del tallo y las hojas', los cuales permiten visualizar y calcular de manera complementaria la mediana. La toma de conciencia de las carencias epistémicas de un proceso instruccional puede ser un factor clave para tomar decisiones sobre tal proceso, como puede ser, por ejemplo, la de posponer el estudio del tema hasta que se puedan disponer de los recursos necesarios.

3. ANALISIS SEMIÓTICO

El análisis semiótico de un proceso instruccional consiste, para nosotros, en identificar la trama de funciones semióticas (expresiones, contenidos y códigos interpretativos) (Godino, 1998; Godino y Batanero, 1999) que se establecen en los procesos de comunicación entre los agentes participantes (profesor y alumnos). Será pues la indagación sistemática de lo que puede significar el texto de la crónica del proceso, y de cada una de las partes en que se puede descomponer dicho texto, para un interpretante potencial (análisis a priori), o la identificación de los significados atribuidos de hecho por los emisores de las expresiones (análisis a posteriori). En ambos casos se pueden confrontar con los significados institucionales de referencia, lo que permite formular hipótesis sobre conflictos semióticos potenciales.

El análisis semiótico tendrá en cuenta:

l Los agentes involucrados: el estudiante (X) al que se dirige el texto, el profesor (Y) (en este caso los autores del texto) y el investigador o interprete de referencia (Z), que es la persona que realiza el análisis semiótico de las emisiones de Y y de las interpretacines de X.

l Objetos puestos en juego: expresiones, contenidos y códigos interpretativos (los objetos y significados que se ponen en juego en una expresión determinada pueden ser diferentes según el punto de vista del agente que se considere).

l Diversos tipos de correspondencias entre expresión y contenido, tanto de tipo representacional como instrumental, elemental y sistémico, etc. (Godino, 1998).

Este tipo de análisis ayudará a formular hipótesis sobre puntos críticos del proceso instruccional en los cuales pueden haber lagunas o vacios de significación, o disparidad de interpretaciones que requieran procesos de negociación de significados y cambios en el proceso de estudio. Asímismo, será una metodología básica para caracterizar los significados personales finales sobre los objetos matemáticos puestos en juego y el proceso de su constitución. El texto sometido a análisis puede ser el fragmento de una lección, la transcripción de un proceso de resolución de una tarea, entrevistas individuales, o los protocolos de las interacciones entre profesor y alumnos.

En la sección 3.1 presentamos la metodología de análisis semiótico aplicada a la parte del texto considerada (Anexo 1). Otros ejemplos de análisis similares los hemos desarrollado en Godino (1998) y Godino y Batanero (1999). No pretendemos hacer un análisis exhaustivo de todas las posibles interpretaciones que los diversos agentes pueden realizar de todas las unidades de análisis en que se puede descomponer la crónica. En principio cada unidad epistémica se puede descomponer en tantas



unidades semióticas como términos y expresiones matemáticas contenga, o también varias unidades epistémicas se pueden agrupar y constituir unidades semióticas más extensas. Esto puede hacer muy laborioso el análisis de las posibles interpretaciones. Será el profesor o investigador, dependiendo de los fines que pretenda, quién fijará el nivel de análisis necesario, teniendo en cuenta el medio cognitivo sobre el que se desarrolla el proceso, esto es, los conocimientos que se consideran transparentes en el contexto instruccional correspondiente. Por ejemplo, la expresión 'media aritmética' incluida en E1 puede no considerarse aquí como una unidad semiótica ya que acaba de ser inmediatamente estudiada en el libro de texto y se puede suponer que el aprendiz está en condiciones de asignar un significado a la misma. Igual ocurre con 'medidas de centralización'. No obstante, el significado (sistémico) personal de ambas expresiones va a ser ampliado tras este proceso de estudio. La media aritmética dejará de ser considerada como representante de un conjunto de datos que tenga algún valor atípico, o se trate de datos ordinales. Las medidas de centralización se enriquecerán con el conocimiento de la mediana.

El análisis semiótico del texto tomado como ejemplo, desde el punto de vista de un alumno (X), tiene el carácter de análisis a priori (o potencial) ya que se refiere a las interpretaciones (o los "bloqueos" semióticos) que puede poner en juego un alumno hipotético que estudie la mediana en este "sistema didáctico". En consecuencia, los significados que aquí mencionamos son una muestra de los que efectivamente pudieran acontecer. Desde el punto de vista del profesor (Y) -autores del texto- el análisis tiene un caracter a posteriori ya que el texto es la expresión efectivamente emitida por Y. Las interpretaciones que atribuimos al investigador (Z) se deben adscribir al autor de este trabajo y tienen también un carácter a posteriori.

3.1. Trayectoria semiótico/cognitiva

El análisis se puede aplicar a cada unidad epist émica para identificar los términos y expresiones (unidades semióticas) que pueden plantear conflictos semióticos entre los agentes participantes en el proceso instruccional. Se tendrá en cuenta que cada unidad semiótica puede tener una valencia representacional (estar en lugar de un contenido) y otra instrumental (desempeñar un uso o función dentro del proceso comunicativo).

Dada la extensión de un análisis completo de la crónica del proceso analizaremos como ejemplo las unidades E1, E2, E3, E4 y E8.

Unidad E1:

Entre las medidas de centralización, la media aritmética es generalmente la que mejor representa a un conjunto de datos,

La propia expresión de E1 deberá ser interpretada globalmente constituyendo una unidad semiótica. A su vez se puede descomponer en otras subunidades:

E1-1: medidas de centralización; E1-2: media aritmética; E1-3: es generalmente

E1-4: mejor representa a un conjunto de datos.

El profesor (Y) usa la expresión E1 como parte de la motivación o justificación del proceso de estudio de la mediana que se presenta hasta la unidad E6. La media acaba de ser presentada en el libro de texto como una medida de centralización de un conjunto de datos y tras calcular la nota media de un conjunto de 5 calificaciones se afirma "luego la nota que mejor representa a las cinco evaluaciones es 7". Mediante E1 quiere expresar que no siempre (aunque sí en la mayoría de los casos) la media es el mejor



representante. El significado de este texto para Y está ligado al texto precedente y también al texto que sigue (presentación de situaciones en los que se debe elegir un representante diferente).

Para el profesor los términos y expresiones que componen E1 son transparentes, no precisan interpretación. El estudiante (X) tiene que descomponer E1 en sus términos constituyentes para asignarle un significado e interpretar dichos elementos. En este momento del proceso de estudio, X puede atribuir un significado a E1-2 (la media aritmética), ya que acaba de ser estudiada, y también a E1-3 por ser una expresión del lenguaje ordinario, pero puede tener dificultades con E1-1 y E1-4, ya que como medidas de centralizacion sólo conoce hasta este momento la media, y a la expresión "valor representante de una colección de datos" no se le ha asignado un significado (sólo se ha usado para afirmar que "la nota media 7 es la que mejor representa a las calificaciones 7, 8, 6, 5 y 9). ¿Qué significa para X que un valor represente a otros? Desde el punto de vista matemático se afirma que la media es un representante de un conjunto de datos porque la suma de las desviaciones de los datos a la media es cero. Pero en otros casos para afirmar tal representación se requiere que la suma de las desviaciones absolutas al valor tomado como representante sea mínima (la mediana).

Unidad E2:

ya que en el cálculo de la media intervienen todos los datos.

El uso que hace Y de E2 es el de servir de justificación a la afirmación hecha en E1. Ambas unidades son interdependientes, E2 es el instrumento con que pretende validar E1. Para el alumno la comprensión de la expresión requiere recordar cómo se calcula la media e interpretar la subexpresión 'intervienen todos los datos' como el hecho de que se suman todos los valores de la variable estadística.

Desde el punto de vista del "investigador" (Z), E2 no puede servir como validación de E1. El hecho de que en el cálculo de la media intervengan todos los valores de la variable no es la razón por la cual la media "es generalmente" el mejor representante. Precisamente, en el ejemplo del conjunto de datos con un valor atípico que se estudia a continuación, esa característica es la razón por la cual la media deja de ser buen representante.

Unidad E3:

Sin embargo, hay casos en que la mediana representa mejor a un conjunto de datos,

Para Y esta expresión forma parte de la secuencia que trata de justificar el estudio de la mediana, asignándole la propiedad de ser "mejor representante" en algunos casos. X puede tener dificultades para comprender la expresión, tanto por el término 'mediana' (al que aún no se ha asignado un significado) como por el término 'representa' según se ha indicado anteriormente.

Unidad E4:

como ocurre en el siguiente ejemplo:

En una oficina, los sueldos de las cinco personas que trabajan en ella son 60.000 pts, 70.000 pts, 80.000 pts, 90.000 pts y 380.000 pts ¿Qué cantidad puede representar mejor estos cinco sueldos?

Desde el punto de vista de Y, se trata de una expresión que designa un ejemplo particular de un tipo de problemas en los que se debe encontrar un valor representativo de un conjunto de datos en el caso de que exista algún valor atípico (380.000 pts). En este caso la media no se considera adecuada al ser un

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valor bastante diferente de la mayor parte de los datos de la colección (aunque estará más próxima al valor atípico). Aquí se está suponiendo que "el valor representativo" debe ser un valor próximo a la mayoría de los datos. Estas interpretaciones no son compartidas por X en este momento del proceso. ¿Qué es representar a una colección de datos? ¿En qué circunstancias se necesita representar una colección de datos por un único valor? Estas son cuestiones básicas para dotar de significado a la tarea propuesta y, por tanto, a todo el contenido pretendido.

La correspondencia semiótica entre ejemplar de tarea y el tipo correspondiente,así como entre el modo particular de actuar para resolverla y la técnica generalizada, no puede ser establecida por X, ya que la constitución de tales tipos no se contempla en el proceso.

Parece poco probable que el alumno ordene de menor a mayor el conjunto de datos y proponga el "valor central" de la serie ordenada como representante. La presentación de esta t écnica por parte del profesor parece inevitable dado el carácter convencional de la expresión "mejor representante" y su dependencia de las características de la variable estadística.

Análisis de E8:

La mediana de un conjunto ordenado de datos de una variable es el valor que deja igual número de datos por encima de él que por debajo de él.

Para Y esta expresión es la definición del concepto de mediana, una nueva medida de centralización de una colección de datos estadísticos que se caracteriza por dividir la colección de datos, supuesta ordenada, en dos partes de igual tamaño.

Desde una posición de investigador (Z) la definición dada no es válida en general ya que las desigualdades que se indican en el enunciado no son estrictas sino mayor o igual (menor o igual). En el caso de haber valores repetidos la definición dada no caracteriza la mediana. En el ejemplo propuesto en E19 y E20 (datos repetidos) la mediana es 14. Pero datos inferiores a 14 hay 4, y datos por encima de 14 hay 8. La aplicación de esa regla requiere una regulación diferente para aceptar que 14 es la mediana.

Para el alumno que se enfrenta por primera vez a esta clase de problemas, la comprensión de la expresión E8 requerirá atribuir significado a las dos subexpresiones siguientes: E8-1: conjunto ordenado de datos de una variable; E8-2: valor que deja igual número de datos por encima de él que por debajo de él.

No es suficiente con entender los términos y expresiones del enunciado de la regla. También hay que dominar las técnicas de su aplicación y, además, discriminar las diversas circunstancias en que se usa.

El texto desarrolla tres técnicas distintas para calcular la mediana: E9 (identificación del valor central de la serie ordenada cuando el número de datos es impar), E12 (cálculo de la media de los dos datos centrales cuando el número de datos es par) y E22 (identificar el primer valor de la variable que corresponde a la frecuencia absoluta acumulada inmediatamente superior a la mitad del número de datos). La forma de expresar el resultado de las técnicas, la mediana es ..., hace que el estudiante se encuentre aquí con tres nuevas definiciones de la mediana cuya equivalencia con la caracterización inicial no es evidente ni inmediata. Esto puede explicar algunos de los errores encontrados en diversas investigaciones sobre la mediana. Si decimos que la mediana "es el valor central de la serie de datos", el alumno, ante una tabla de frecuencias puede dudar si el valor central a que se refiere "la definición" es el que corresponde a las frecuencias, o a la serie de valores de la variable.



3.2. Dialéctica entre significados institucionales y personales

El análisis de la trayectoria semiótica del proceso nos permite tomar conciencia tanto de la complejidad semiótica del mismo como de las relaciones dialécticas entre los significados locales (puestos en juego por los autores del texto) y los significados personales (correspondientes al sujeto que aprende). Respecto de la complejidad basta recordar que, en principio, cada término o expresión debe ser interpretado al menos implícitamente por el aprendiz, y que en unos casos tal interpretación puede requerir recordar un convenio establecido previamente ('medidas de centralización' es un nombre común a la media, la mediana y la moda), pero en otros es necesario movilizar un significado sistémico previamente elaborado (por ejemplo, la media aritmética).

La dependencia entre los significados personales e institucionales es clara ya que el significado de las expresiones y entidades puestas en juego de las que el sujeto debe apropiarse son consecuencia de las informaciones y actividades propuestas por el profesor. Si entre el significado atribuido a la mediana no figura el ser el percentil del 50%, por ejemplo, el significado del aprendiz tendrá esa carencia. Igual ocurrirá si entre las tareas problemáticas propuestas no figura el caso de variables asimétricas sin valores atípicos (componente extensional), o el desarrollo de la técnica de cálculo de la mediana en el caso de variables continuas agrupadas en intervalos de clase (componente actuativo), etc.

Por otra parte, el proceso de apropiación progresiva de los significados por parte del aprendiz condiciona, a su vez, a los significados locales y su secuenciación. La forma y el orden de presentación de las informaciones y tareas debe adaptarse a los conocimientos del aprendiz en cada momento, ya que tales conocimientos serán los códigos que permiten establecer las correspondencias pretendidas por el profesor entre expresiones y contenidos. Si el receptor de la información no dispone de los códigos necesarios para interpretar un mensaje, o el emisor no aporta claves explícitas para la activación del código pertinente, se producirá una ruptura semiótica y, por tanto, una discontinuidad en el proceso instruccional. El análisis semiótico del proceso puede permitir identificar los momentos en los cuales tienen lugar tales rupturas.

En nuestro ejemplo, una expresión crítica nos parece que es 'representación' de una colección de datos por un valor de la variable, que es usada de manera sistemática en el proceso, pero de la que el aprendiz no ha tenido ocasión de apropiarse mínimamente. ¿Qué significa una tal representación? ¿En qué circunstancias se requiere que una colección de datos sea representada por un valor de la variable?.

Otro conflicto semiótico potencial que encontramos en el ejemplo se refiere a la secuenciación entre las entidades intensionales (componente discursivo del conocimiento) y las actuativas y extensionales (componente praxémico). En el texto se tiende a anticipar propiedades de la mediana (ser mejor representante que la media) y establecer la definición general, antes de presentar la práctica que constituye la razón de ser de tal definición. Se deja bajo responsabilidad del aprendiz responder a las delicadas cuestiones, ¿por qué se regula el uso de la palabra mediana de este modo? ¿qué utilidad tiene hacerlo así y no de otra manera?, pero cuya respuesta permite dotar de sentido al proceso instruccional en su conjunto.

4. ANÁLISIS DIDÁCTICO

El análisis didáctico de un proceso instruccional se propone caracterizar las diversas funciones docentes y discentes, así como los patrones de interacción de las mismas con los distintos componentes del contenido pretendido en dicho proceso. Para ello se identificarán nuevas unidades de análisis de la crónica del proceso, determinadas por los momentos en los que se produce un cambio en tales funciones y patrones de interacción.



Teniendo en cuenta las aportaciones sobre este tema hechas por la pedagogía y la didáctica, un primer inventario de funciones docentes y discentes podría ser el siguiente:

Funciones docentes:

1) Planificación: diseño del proceso, selección de los contenidos y significados a estudiar;

2) Dirección/ catalización: control del proceso de estudio, mediante el cambio de tareas, la orientación y estímulo de las funciones del estudiante;

3) Enseñanza: presentación de información;

4) Evaluación: valoración del estado del aprendizaje logrado en momentos críticos;

5) Investigación: reflexión y analisis del desarrollo del proceso para introducir cambios en futuras ediciones del mismo.

Funciones discentes:

1. Exploración: indagación, búsqueda de conjeturas y modos de responder a las cuestiones planteadas (situaciones de acción).

2. Formulación/comunicación: El sujeto que formula y comunica soluciones (situaciones de formulación-comunicación),

3. Validación: Argumentación y verificación de conjeturas (situaciones de validación). 4. Recepción: El sujeto receptor de información sobre modos de hacer, describir, nombrar, validar

(situaciones de institucionalización); 5. Ejercitación: realización de tareas rutinarias para dominar las técnicas específicas (situaciones de

ejercitación). 6. Aplicación: El sujeto que aplica conocimientos aprendidos a resolver problemas reales

(situaciones no-didácticas).

4.1. Trayectorias docente y discente

Llamaremos trayectoria docente (respec. discente) a la secuencia de funciones docentes (discentes) a lo largo del proceso de estudio de un contenido. En el ejemplo de estudio de la mediana identificamos tres unidades de análisis en las que tiene lugar un cambio en el tipo de función desempeñada:

D1: (Desde el comienzo hasta la unidad E17). El profesor presenta información y el alumno la recibe y memoriza (Patrón emisión -recepción).

D2: (Apartado de actividades). Función discente de ejercitación.

D3: (Apartado de datos repetidos). De nuevo se reproduce el patrón emisión - recepción.

Dado que el proceso instruccional analizado consiste en el uso de un libro de texto predomina de manera casi exclusiva la función docente de presentación de información, no solo de las tareas,sino también de las técnicas de solución, definiciones y justificaciones. La redacción del texto supone una intensa labor de planificación del proceso instruccional por parte de los autores del libro que tiene lugar previamente al segmento instruccional analizado; no figura un apartado en que se contemple la autoevaluación del proceso, aunque si una sección de resumen-sistematización de los conocimientos pretendidos.



En este sistema didáctico "atípico" las funciones discentes se limitan a,

- recibir y retener la información presentada;

- realizar las tareas rutinarias propuestas.

No hay momentos de exploración de soluciones plausibles, de formulación y validación de las mismas. El ejercicio 3 podría haber sido una oportunidad de proponer una tarea no rutinaria en la que el alumno podría explorar una propiedad de la mediana: Cambiando el enunciado de modo que el peso del profesor sustituyera al de un alumno se comprueba que la mediana no cambia a pesar de haber cambiado uno de los valores.

4.2. Trayectorias didácticas

Llamaremos trayectoria didáctica a la conjunción interactiva entre las trayectorias epistémica, docente y discente relativas a un contenido y a unas circunstancias dadas. Esto es, el modo específico en que los distintos componentes o facetas del contenido son enseñados y aprendidos.

En las unidades D1 y D3 se pueden distinguir varias subunidades si atendemos a las distintas facetas del contenido que se tratan sucesivamente. Podemos observar cómo "el profesor" antepone sistemáticamente la presentación de los elementos intensionales (definiciones y asignación de propiedades) a las facetas actuativas y validativas. Sin embargo, en primer lugar, plantea una tarea problemática que trata de motivar el estudio de la nueva técnica.

La trayectoria didáctica podemos representarla en una matriz booleana disponiendo la secuencia de unidades epistémicas en filas, y en columnas, las diversas categorías de las trayectorias epist émica, semiótica, docente y discente. En cada celda de la matríz se indicará la presencia o ausencia de cada categoría en la unidad epistémica correspondiente. En el caso de la trayectoria semiótica sólo hemos tenido en cuenta la identificación o no de un posible conflicto semiótico en el texto o en las potenciales interpretacines del alumno desde el punto de vista del investigador. En el Anexo 3 representamos la trayectoria del proceso instruccional tomado como ejemplo.

Esta matriz permitirá identificar ciertas regularidades en los comportamiento entre el profesor y los estudiantes a propósito de los distintos elementos del significado de los objetos puestos en juego. Los "fenómenos de didáctica" descritos por la teoría de situaciones (efectos Topace, Jourdain, deslizamiento metacognitivo, etc.), la tipología de situaciones didácticas (Brousseau, 1986), los momentos didácticos descritos por la teoría antropológica (Chevallard, Bosch y Gascón (1997) y los patrones de interacción descritos por las investigaciones realizadas bajo el enfoque del interaccionismo simbólico (Godino y Llinares, 1999) podrían ser descritos como ejemplos de regularidades en las trayectorias didácticas. Pensamos que nuestro modelo puede permite identificar nuevas regularidades y sesgos de los procesos de estudio. Por ejemplo, el uso abusivo de medios expresivos (notaciones formales innecesarias, esquemas, representaciones, etc), presentación de una muestra sesgada de situaciones-problemas, excesivos ejercicios rutinarios, ausencia de validaciones, etc.

5. REFLEXIONES FINALES

En este artículo hemos desarrollado algunas consecuencias de tipo metodológico e instruccional de la aproximación semiótico-antropológica para la Didáctica de las Matemáticas en que venimos trabajando desde 1994 (Godino y Batanero, 1994), mediante la cual tratamos de articular, de manera crítica y constructiva, otros modelos teóricos, en particular la teoría de situaciones (Brousseau, 1986) y la teor ía



antropológica (Chevallard, 1992). La idea impulsora de nuestros trabajos ha sido la convicción de que la investigación didáctica tiene que articular de manera coherente y productiva las cuestiones epistemológicas sobre la naturaleza cultural del conocimiento matemático, con las relativas a la génesis personal de tales conocimientos. En consecuencia, el centro de atención será el estudio de las relaciones dialécticas entre lo epistemológico y lo cognitivo que tienen lugar en los procesos de instrucción matemática.

El análisis epistémico que hemos descrito nos ha permitido mostrar, con el ejemplo de la mediana, las características del constructo que denominamos "significado institucional" de un objeto matemático, distinguiendo y comparándolos, en este caso, entre el significado de referencia (o enciclopédico) y significado local (relativo a un proceso instruccional particular). Consideramos que estamos ahora en mejores condiciones para confrontar esta noción de significado institucional con la noción de praxeología introducida en la teoría antropológica (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997). En ambos casos se propone asociar a un contenido matemático (objeto u obra matemática) una entidad compuesta que tiene en cuenta el doble carácter de la matemática como actividad y como producto cultural. Como componentes básicos de las praxeologías u organizaciones matemáticas Chevallard, Bosch y Gascón (1997) incluyen los pares (tareas, técnicas) y (tecnología, teoría). El primer par (componente praxémico) nos parece equivalente a las entidades extensivas y actuativas de nuestro modelo, aunque nosotros pensamos que los ostensivos (notaciones, representaciones materiales) interesa tenerlos en cuenta como un tercer componente praxémico. Asímismo consideramos necesario introducir las entidades que denominamos intensivas y validativas, que no son equivalentes a las nociones de tecnología y teoría., sino que en todo caso son elementos constitutivos de las mismas, y nos parece que proporcionan mayores posibilidades analíticas de la actividad matemática y sus producciones culturales.

El esquema que incluimos en el Anexo 2 del significado de referencia de la mediana muestra la complejidad del conocimiento matemático, y cómo su estudio (enseñanza y aprendizaje) en un contexto instruccional particular será siempre parcial. La aspiración de la teoría de situaciones de modelizar el conocimiento matemático mediante una situación fundamental, esto es, una colección de problemas que proporcionen el sentido del conocimiento nos parece, desde nuestro modelo semiótico, poco pertinente, ya que al interrogarnos sobre qué puede ser tal sentido somos conducidos a un complejo praxeológico como el descrito para la mediana, cada uno de cuyos componentes constituyen "conocimientos" y requieren una atención particular en el proceso instruccional.

La instrucción matemática tiene que tener en cuenta la naturaleza cultural del conocimiento matemático, pero también los procesos de representación e interpretación que se ponen en juego en la producción y comunicación de dicho conocimiento. Por ello el análisis cognitivo (que en nuestro caso hemos abordado desde una perspectiva semiótica) de los procesos instruccionales nos parece necesario y complementario del análisis epistémico.

Finalmente, otro instrumento teórico esbozado en este trabajo es el de trayectoria didáctica, que pretende dar cuenta de las interacciones entre el conocimiento matemático, las funciones docentes y discentes, así como los procesos semióticos puestos en juego.

La metodología esbozada en este trabajo, basada en nuestro modelo teórico, pretende ser un instrumento analítico que permita describir la complejidad de los procesos de instrucción matemática como paso previo para comprender e intervenir en el diseño y desarrollo de tales procesos.

Otra cuestión esencial para la instrucción matemática, que requiere nuevos desarrollos teóricos e investigaciones empíricas, se refiere a la caracterización de las trayectorias didácticas que optimizen el aprendizaje matemático. El abordaje de esta problemática supone adoptar modelos prescriptivos, lo que requiere asumir explícitamente principios epistemológicos y axiológicos complementarios. Algunos de



tales principios, coherentes con el enfoque semiótico-antropológico, podrían ser que las trayectorias didácticas contengan una muestra representativa de los diversos componentes del significado de referencia (y por tanto comprender las dimensiones praxémicas y discursivas), y que se creen las condiciones idóneas para resolver los conflictos semióticos potenciales.

Aceptando estos supuestos y fijado un contenido y un contexto instruccional, una trayectoria didáctica óptima debería tener en cuenta el doble carácter de las matemáticas como actividad y como producto. Por ello los alumnos deberían tener oportunidad de poner en práctica la actividad matemática, pero también de conocer y dominar los productos culturales matemáticos que otras personas han elaborado como resultado de su propia actividad.

Esto nos lleva a que debe haber una dialéctica compleja entre los patrones de interacción del tipo "emisión-recepción" y los de "reinvención guiada", para cada componente de los contenidos matemáticos. Los alumnos deberían tener oportunidad de formular sus propios problemas matemáticos, explorar soluciones, proponer modos de representación y de validación (como propone la teoría de situaciones). Pero también debe compartir los problemas y soluciones que constituyen la cultura matemática de su época, esto es, los significados matemáticos de referencia. Parece que el fomento del interés y la capacidad heur ística por parte de los alumnos debe llevar a implementar siempre que sea posible un formato de tipo heurístico; pero siendo conscientes que la apropiación del significado de referencia exigirá en algún momento un tipo de formato de interacción emisión-recepción.

En consecuencia, parece que la gestión de la dialéctica entre los distintos patrones de interacción tiene que basarse en la negociación de los significados. De este modo el análisis semiótico se revela como un elemento crucial de los procesos de estudio de las matemáticas. El análisis semiótico es el que permitirá identificar los puntos críticos en que se deben negociar los significados entre los distintos agentes que intervienen en el proceso educativo, aportar pautas para seleccionar los formatos de interacción más apropiados y caracterizar los aprendizajes logrados.

REFERENCIAS:

Brousseau, G. (1986). Foundaments et méthodes de la didactiques des mathématiques. Recherches en Didactiques des Mathématiques, Vol. 7, nº 2: 33-115.

Calot, G. (1988). Curso de estadística descriptiva. Madrid: Paraninfo.

Chevallard, Y. (1992). Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par une approche anthropologique. Recheches en Didactique des Mathématiques, 12 (1): 73-112.

Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas, el eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Barcelona: ICE Universidad Autónoma y Ed. Horsori.

Godino, J. D. (1998). Un modelo semiótico para el análisis de la actividad y la instrucción matemática. Comunicación presentada en el VIII Congreso Internacional de la Asociación Española de Semiótica. Granada.

(Recuperable en URL: http://www.ugr.es/~jgodino/semioesp/msemiotico.html)

Godino, J. D. y Batanero, C. (1994). Significado institucional y personal de los objetos matemáticos. Recherches en Didactiques des Mathématiques, Vol. 14 (3): 325-355.



Godino, J. D. y Batanero, C.. (1998). Clarifying the meaning of mathematical objects as a priority area of research in mathematics education. En A. Sierpinska y J. Kilpatrick (Eds.), Mathematics Education as a research domain: A search for identity. (pp. 177-195). Dordrecht: Kluwer, A. P.(Versión en español recuperable en URL: http://www.ugr.es/~jgodino/semioesp/clarifies.htm)

Godino, J. D. y Batanero, C. (en prensa). Semiotic functions in teaching and learning mathematics. En, M. Anderson, V. Cifarelli, A. Sáenz-Ludlow y A. Vile, Semiotics Perspectives in Mathematics Education. (Versión en español recuperable en URL:

http://www.ugr.es/~jgodino/semioesp/funciones.html)

Godino, J. y Llinares, S. (1999). El interaccionismo simbólico en educación matemática. Trabajo en elaboración.(Recuperable en URL: htpp://www.ugr.es/local/semioesp/interaccionismo.htm)

ANEXO 1:

PROCESO DE ESTUDIO DE LA MEDIANA EN UN LIBRO DE 3º DE E.S.O (Matemáticas. Santillana, Páginas 264 y 265)

Mediana de un número

Impar de datos

La mediana es el dato central.

Sueldos

60.000 pts

70.000 pts

80.000 pts

90.000 pts

380.000 pts

Mediana = 80.000 pts

Mediana de un número par de datos

La mediana es la media de los dos datos centrales.

Sueldos

70.000 pts.

80.000 pts

90.000 pts

La mediana

Entre las medidas de centralización, la media aritmética es generalmente la que mejor representa a un conjunto de datos♦ , ya que en el cálculo de la media intervienen todos los datos. ♦ Sin embargo, hay casos en que la mediana representa mejor a un conjunto de datos, ♦ como ocurre en el siguiente ejemplo:

En una oficina, los sueldos de las cinco personas que trabajan en ella son 60.000 pts, 70.000 pts, 80.000 pts, 90.000 pts y 380.000 pts ¿Qué cantidad puede representar mejor estos cinco sueldos? ♦

Calculemos la media:

X = (60.000 + 70.000 + 80.000 + 90.000 + 380.000) : 5 = 136.000 pts♦

Es evidente que esta media no representa bien a los sueldos de los trabajadores de la oficina, ya que los sueldos de cada una de las cinco personas están bastante alejados de las 136.000 pts. Esta falta de representatividzd de la media es debida a la existencia de un sueldo muy elevado (380.000 pts) comparado con los dem ás, que influye en la media. ♦

En este caso, la mediana resulta ser un número más representativo que la media aritmética.♦

La mediana de un conjunto ordenado de datos de una variable es el valor que deja igual número de datos por encima de él que por debajo de él. ♦

La mediana se obtiene ordenando en forma creciente los cinco sueldos y eligiendo aquel que deja por debajo el mismo número de sueldos que por arriba. Como el número de datos es impar, la mediana es el dato central.

60.000 pts, 70.000 pts, 80.000 pts, 90.000 pts, 380.000 pts.

La mediana de los cinco sueldos es 80.000 pts, 2 es decir, Me = 80.000. ♦

Cuando el número de datos es par, ♦ la mediana es la media aritmética de los dos datos centrales.2 Por ejemplo, si en la oficina que hemos considerado antes hay sólo cuatro empleados con sueldos de 70.000 pts, 80.000 pts, 90.000 pts y 380.000 pts, ♦ la mediana es:

Me = (80.000 +90.000):2 = 85.0002

E1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E8

E9

E10

E11



380.000 pts.

Mediana = 85.000 pts

♦ E17♦

Como se ve, también en este caso la mediana deja por encima el mismo número de datos que por debajo. ♦

La mediana se puede utilizar en distribuciones de tipo cualitativo, siempre que las modalidades se puedan ordenar, como es el caso de las calificaciones (Insuficiente, Suficiente, Bien, Notable y Sobresaliente). ♦

E12

E13

E14

E15

E16

Actividades

1. ♦ Las calificaciones obtenidas por 7 amigos en Lengua han sido: Suficiente, Sobresaliente, Insuficiente, Notable, Bien, Insuficiente y Notable. ¿Qué calificación los representa?

2. Las calificaciones obtenidas en Inglés por 8 alumnos han sido:

10, 6, 7, 4, 5, 8, 2, 8

¿Es representativa la media arimética? ¿Y la mediana? Expl ícalo.

3. El peso en kilos de 8 compañeros de clase de Inglés es: 53, 48, 47, 43, 52, 58, 62, 49.

¿Cuál es la mediana de los 8 compañeros? ¿Cuál es la mediana, sin incluimos al profesor que pesa 73 kg? ♦

E18

Tabla con frecuencias absolutas acumuladas

Mitad de los datos = 12.5

Mediana = 14

Cálculo de la mediana cuando hay datos repetidos

Si queremos obtener la mediana de la edad de los 25 alumnos de la clase♦ , ordenamos en forma creciente las edades.

13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16

En esta serie ordenada, la mediana es el número que ocupa el lugar central, es decir, el 14, Me = 14. ♦

Como escribir todos los datos ordenados en forma creciente es complicado cuando el número de datos es grande, ♦ se sigue el procedimiento de agregar a la tabla estadística una nueva columna con las frecuencias absolutas acumuladas (ver margen).

El primer número de la columna, el 4 representa los alumnos con edad igual a 13 años.

El segundo número, el 17, representa los alumnos con edad igual o inferior a 14 años.

Análogo significado tienen las frecuencias acumuladas 24 y 25.

♦ La mediana es el primer valor de la variable, que corresponde a la frecuencia absoluta acumulada, inmediatamente superior a la mitad del n úmero de datos. ♦

Como 25 : 2 = 12.5, la frecuencia acumulada inmediatamente superior a 12.5 es 17; luego Me = 14.

E19

E20

E21

E22

E23



ANEXO 2:

SIGNIFICADO REFERENCIAL DE LA MEDIANA

Con el término 'mediana' se designa un sistema de prácticas descriptivas, actuativas y discursirvas (una praxeología u organización matemática) cuyos elementos característicos describimos a continuación.

(1) Elementos extensionales:

El campo de problemas de cuya resolución emerge el objeto mediana son aquellos en las cuales se requiere determinar un valor representativo de los valores de una variable estadística en los siguientes casos:

l La variable es de tipo ordinal. l La variable se mide según una escala de razón pero es asimétrica, o bien presenta valores atípicos

(lo que haría poco representativa la media). l Se requiere estimar el valor representativo de un conjunto de datos cuya distribución es

desconocida con una muestra pequeña (en este caso la mediana de la muestra es un estimador mejor que la media porque no es sensible a los valores atípicos).

(2) Elementos actuativos:

Las situaciones-problemas descritas se pueden resolver aplicando la siguiente técnica general:

l Ordenación de los datos de menor a mayor l Identificación del valor central M, o sea el valor de la variable tal que la mitad tiene un valor

menor o igual que M, y la otra mitad mayor o igual que M.

Si se trata de una variable aleatoria la técnica general será resolver el siguiente sistema de inecuaciones,

F(x) < =1/2 ; F(x) >= 1/2, [F(x), función de distribución]

Esta técnica general se concreta en otras específicas según que la variable estadística sea discreta (con número par o impar de valores), haya datos repetidos, o se trate de una variable continua cuyos datos se agrupan en intervalos de clase.

La técnica se adapta o generaliza según los datos vengan dados por diversos ostensivos:

- Datos directos (en forma de listado)

- Datos presentados en tablas de frecuencias



- Datos presentados en diagrama del tronco

- Datos presentados en un polígono acumulativo de frecuencias

La disponibilidad de ordenadores introduce también cambios en las técnicas de cálculo. Si el problema es inferencial se calcula un intervalo de confianza.

(3)Elementos ostensivos (notacionales):

El valor de la variable estadística que resuelve la clase de situaciones descrita se denomina y simboliza de diversos modos:

- Mediana (M, Me), percentil del 50% (P50%) , 2º cuartil (Q2), 5º Decil (D5); F-1(1/2)

- Abscisa del punto de la curva empírica de distribución cuya ordenada es 1/2.

- Abscisa del punto del polígono acumulativo de frecuencias absolutas (respect. relativas) cuya ordenada es n/2 (respect. 0.5).

- Gráfico del tronco en el que se muestran los valores atípicos y la mediana.

(4) Elementos intensionales

Intensivos nominales (caracterizaciones):

Definición 1:

La mediana es el valor de la variable estadística que divide en dos subconjuntos de igual cardinal al conjunto de datos de la población supuestos ordenados por valor creciente del carácter.

Definición 2:

La mediana de una distribución de frecuencias de una variable estadística (F(x)) es el valor M solución del sistema de ecuaciones, F(M) # 1/2, F(M) $ 1/2.

Definición 3:

La mediana de una variable estadística es el valor de la variable tal que la ordenada correspondiente a dicho valor en el diagrama acumulativo de frecuencias absolutas es igual a n/2, siendo n el número de datos.

Definición 4:

La mediana de una variable estadística es el valor de la variable tal que la ordenada correspondiente a dicho valor en el diagrama acumulativo de frecuencias relativas es igual a 0.5.

Definición 5:

La mediana de una variable estadística es el percentil del 50%. (el segundo cuartil; el 5º decil)



...

Intensivos proposicionales

Propiedades estadísticas:

E1: La mediana es una medida de tendencia central, aunque puede que no coincida con el punto medio del recorrido. Se puede adoptar como valor típico o representativo de un conjunto de datos, tanto si la variable es cuantitativa medida en escala de razón, de intervalo u ordinal. (Ser representativo quiere decir que el valor M está próximo a la myor parte de los datos)

E2: La media ponderada de las desviaciones absolutas de los valores xi de la variable estadística respecto a un valor a es mínima si a = M.

E3: La mediana M no queda afectada por cambios en los valores menores que M (respec. mayores) si esos cambios hacen que dichos valores sigan siendo menores (respec. mayores) que M (no se ve afectada por valores atípicos).

E4: En una distribución simétrica la mediana coincide con la media y la moda.

E5: Si la distribución es asimétrica a la derecha el orden en que aparecen los tres estadísticos de posición central es moda-mediana-media. Si la asimetría es la izquierda el orden es media-mediana-moda (para distribuciones unimodales)

E6: Si los datos son ordinales la mediana existe, mientras que la media no tiene sentido.

E7: Si la distribución es asimétrica la mediana es una medida de centralización preferible a la media.

E8: la mediana es un dato (información contextualizada) y por tanto tiene las dimensiones de la variable estadística correspondiente (kg, m. etc.)

....

Propiedades numéricas:

N1: La mediana está comprendida entre el mínimo y el máximo valor de la variable estadística.

N2: La mediana puede no coincidir con ninguno de los valores de los datos (en el caso de indeterminación, número par de valores en distribuciones discretas, o cuando se interpola dentro de un intervalo de clase en variables continuas)

N3: La mediana es invariante si se disminuye una observación inferior a ella o si se aumenta una superior.

...

Propiedades algebraicas:

A1: No es una operación interna en el conjunto numérico empleado



A2: Conserva los cambios de origen y de escala

A3: No tiene elemento neutro ni elemento simétrico

A4: No tiene la propiedad asociativa

...

(5) Elementos validativos:

Son las argumentaciones que establecen la validez de las proposiciones enunciadas y la equivalencia de las diversas definiciones.

ANEXO 3: Trayectoria didáctica

U. epis

T. epistémica T. sem. T. docente T. discente

1 2 3 4 5 6 7 X .. Y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6

1 X x x x

2 x x x x x

3 X x x x

4 x x x x

5 x x x

6 x x x x

7 X x x x

8 X x x x x

9 x x x

10 x x x

11 x x x

12 X x x x

13 x x x

14 x x x

15 x x x

16 x x x x

17 x x x x



T. Epistémica:

x: Ostensivos; 2: Extensivos; 3: Actuativos; 4: Intensivos; 5: Validativos

6: Tecnologías; 7: Teorías

T. Semiótica: Conflictos semióticos relativos a,

X: Estudiante; Y: Profesor

T. Docente:

x: Planificación; 2: Dirección: 3: Presentacíón; 4: Evaluación; 5: Investigación

T. Discentes:

x: Exploración; 2: Formulación;3: Validación; 4: Recepción; 5: Ejercitación;

6: Aplicación

18 x x x x

19 x x x

20 x x x

2x x x x x

22 x x x

23 x x x x

