Anlisis dimensionalIntroduccinLa planificacin experimental es fundamental en la investigacin cientfica. A la misma puede ayudar el conocimiento del Anlisis Dimensional. Esta herramienta sencilla, pero que impregna toda la Fsica, se basa en los conceptos de medida de una magnitud fsica y de las dimensiones asociadas con ella, una vez fijada una base de magnitudes fundamentales para una determinada teora fsica.Anlisis dimensionalEl anlisis dimensional es una herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenmeno en el que estn involucradas muchas magnitudes fsicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham (ms conocido por teorema ) permite cambiar el conjunto original de parmetros de entrada dimensionales de un problema fsico por otro conjunto de parmetros de entrada adimensionales ms reducido. Estos parmetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parmetros dimensionales y no son nicos, aunque s lo es el nmero mnimo necesario para estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamao mnimo se consigue: Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio. Reducir drsticamente el nmero de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.El anlisis dimensional es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniera, tales como la aeronutica, la automocin o la ingeniera civil. A partir de dichos ensayos se obtiene informacin sobre lo que ocurre en el fenmeno a escala real cuando existe semejanza fsica entre el fenmeno real y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son vlidos para el modelo a tamao real si los nmeros adimensionales que se toman como variables independientes para la experimentacin tienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real. As, para este tipo de clculos, se utilizan ecuaciones dimensionales, que son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y derivadas, las cuales se usan para demostrar frmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta.Finalmente, el anlisis dimensional tambin es una herramienta til para detectar errores en los clculos cientficos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los clculos, prestando especial atencin a las unidades de los resultados.Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parmetros, se siguen los siguientes pasos generales:1. Contar el nmero de variables dimensionalesn.2. Contar el nmero de unidades bsicas (longitud,tiempo,masa,temperatura, etc.)m3. Determinar el nmero de grupos adimensionales. El nmero de grupos o nmeros adimensionales ()esn - m.4. Hacer que cada nmerodependa den - mvariables fijas y que cada uno dependa adems de una de lasn - mvariables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido o medio, una geomtrica y otra cinemtica; ello para asegurar que los nmeros adimensionales hallados tengan en cuenta todos los datos del problema).5. Cadase pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada una a una potencia desconocida. Para garantizar adimensionalidad deben hallarse todos los valores de los exponentes tal que se cancelen todas las dimensiones implicadas.6. El nmeroque contenga la variable que se desea determinar se pone como funcin de los dems nmeros adimensionales.7. En caso de trabajar con un modelo a escala, ste debe tener todos sus nmeros adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud.

Aplicaciones del Anlisis dimensional[editar]Deteccin de errores de clculo.Resolucin de problemas cuya solucin directa conlleva dificultades matemticas insalvables.Creacin y estudio de modelos reducidos.Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, etc.Un ejemplo de Anlisis dimensional[editar]Calculemos mediante Anlisis Dimensional la velocidad de un cuerpo en cada libre. Sabemos que dicha velocidad v depender de la altura h y de la gravedad g. Pero imaginemos que tambin se nos ocurre decir que la velocidad depende de la masa m. Una de las bondades del Anlisis Dimensional es que es "autocorregible", es decir, el procedimiento, por s slo, elimina las unidades que no son necesarias. Identificar las magnitudes de las variables:

Formar la matriz

Hacer el producto de matrices:Aqu tenemos que decir que se refiere al exponente de la unidad , pero eso se ver en pasos sucesivos.

Desarrollar el producto de matrices y resolver el sistema de ecuaciones.Se forma un sistema de ecuaciones. Si nos fijamos, tenemos 4 incgnitas, y slo 3 ecuaciones, as que para que el sistema pueda ser resuelto, necesitamos tantas incgnitas como ecuaciones. Cmo se subsana el problema? Muy sencillo: se coge un cualquiera y le asignamos el valor que queramos, a excepcin del 0. En nuestro caso, vamos a tomar como 1.

Si aplicamos la solucin inicial que hemos propuesto anteriormente ( = 1), se realizan los sencillos clculos y llegamos a las soluciones:

Formar el/los grupos Un grupo es una ecuacin adimensional. Cuntos grupos vamos a obtener? Pues si m es el nmero de unidades (las unidades son el metro, el kilo, el segundo, el grado, ...), y h el rango mximo de la matriz que contiene los coeficientes de las magnitudes de las unidades (a veces coincide el rango de la matriz con el nmero de variables que tenemos, aunque sta no es una regla fiable), el nmero de grupos (o ecuaciones que obtendremos) ser m-h. En el caso que nos ocupa, 4-3 = 1 ecuacin.Ahora se cogen las unidades que hemos tomado en nuestro problema y las elevamos a los exponentes que hemos obtenido. sa es nuestra ecuacin.

(Ntese que es adimensional). Aqu obtenemos aquello que llambamos "autocorreccin": el exponente de la masa es 0, as que desaparece de nuestra ecuacin, demostrando una vez ms que la cada libre no depende de la masa del objeto en cuestin. Paso final: obtencin de la ecuacin.

con k valiendo , lo que nos da la frmula correcta:

Ejemplo 2:Partiendo de las dimensiones: longitud (L), masa (M) y tiempo (t), obtendremos las ecuaciones dimensionales de algunas cantidades fsicas: Ecuacin dimensional para el rea:A = lado x lado = l. l = l2 Ecuacin dimensional para la velocidad:V = d / t = l / tSi conocemos las dimensiones de una cantidad fsica podemos trabajar las unidades correspondientes segn el sistema de unidades.Ejemplo 3. Demostrar que la frmula:d = (V0t + at^2) / 2es dimensionalmente vlida.SOLUCIN.Sustituyendo las cantidades fsicas por sus dimensiones tenemos que:Por lo tanto l = lConclusionesExisten diferentes sistemas de unidades. Las cantidades fsicas pueden expresarse en distintas unidades segn la escala en que est graduado el instrumento de medicin.Una distancia puede expresarse en metros, kilmetros, centmetros o pes, sin importar cul sea la unidad empleada para medir la cantidad fsica distancia, pues todas ellas se refieren a una dimensin fundamental llamada longitud, representada por L.El buen manejo de las dimensiones de las cantidades fsicas en una ecuacin o frmula fsica, nos permite comprobar si son correctas y si se trabajaron debidamente.Al aplicar una ecuacin o frmula fsica, debemos recordar dos reglas:1. Las dimensiones de las cantidades fsicas a ambos lados del signo de igualdad, deben ser las mismas.2. Slo pueden sumarse o restarse cantidades fsicas de la misma dimensin.Bibliografa1. Mason, Stephen Finney (1962),A history of the sciences, New York: Collier Books, p. 169.2. Fsica I Esttica y dinmica. 2.6 Anlisis dimensional. Recuperado el 09 de septiembre de 2015. http://genesis.uag.mx/edmedia/material/fisica/introduccion10.htm.