ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Ingeniería Química Q/E 103 Análisis de sensibilidad

Gerencia de Operaciones Deber

22-Abril-2012 Loachamin Cornejo Carlos Andrés

1. Carco fabrica automóviles y camiones. Cada automóvil contribuye con $300 dólares a la utilidad y cada camión aporta $400 dólares. Los recur-sos requeridos para fabricar un automóvil y un cambión se señalan en la Tabla 1. Carco renta todos los días hasta 98 máquinas tipo 1 a un costo de $50 dólares por máquina. La compañía tiene 73 máquinas tipo 2 y 260 toneladas de acero disponible. Las consideraciones de mercadotec-nia dictan que se tiene que producir por lo menos 88 automóviles y 26 camiones. Sea x1 la cantidad de automóviles que se producen diariamen-te, x2 la cantidad de camiones que se producen diariamente, y m1 las má-quinas tipo 1 que se rentan todos los días.Tabla 1. Datos para la resolución del problema Error: Reference source not foundVehículo Días con la máquina tipo 1 Días con la máquina tipo 2 Toneladas de acero

Automóvil 0,8 0,6 2Camión 1,8 0,7 3

max z=300 ∙ x1+400 ∙ x2−50 ∙m1

sujetoa {0,8 ∙ x1+x2−m1≤0

m1≤980,6 ∙ x1+0,7 ∙ x2≤732∙ x1+3∙ x2≤260

x1≥88x2≥26

→ R2→ R3→ R4→ R5→ R6→ R7

Para maximizar la utilidad, Carco debe resolver el PL de la Figura 1. Utilice los resultados de LINDO para responder las siguientes pre-guntas:a. Si cada automóvil contribuye con $310 dólares a la utilidad, ¿cuál sería la nueva solución óptima para el problema?

c1Original=300 ∧Allowable increase (AI )dec1=20Allowable decrease (AD )dec1=∞

−∞≤∆c1≤20

∆ c1Real=310−300→∆ c1Real=10<20

Como el AI de c1 es 20, y c1 sólo se incrementa en 10 dólares, la base actual sigue siendo óptima; es decir, los valores óptimos de las variables de decisión se conservan sin cambio (x1=88, x2=27,6 y m1=98), mientras que el nuevo valor óptimo de z es:zOptNuevo=zOptOriginal+∆ c1Real ∙ x1Opt

zOptNuevo=c1Nuevo ∙ x1Opt+c2Original ∙ x2Opt−c3Original∙m1Opt

zOptNuevo=32540+(10 ) ∙ (88 )zOptNuevo=310 ∙ (88 )+400 ∙ (27,6 )−50 ∙ (98 )

zOptNuevo=33420

Figura 1. Resultados de LINDO para el problema Error: Reference source not foundb. Si Carco tuviera que fabricar por lo menos 86 automóviles, ¿cuál sería la utilidad de Carco?

b6Original=88 ∧Allowable increase (AI )deb6=1,999999Allowable decrease ( AD )deb6=3,000008

−3,000008≤∆b6≤1,999999

∆ b6Real=86−88→∆ b6Real=−2>−3,000008

Como el AD de b6 es 3,000008 y b6 sólo decrece en 2, la base ac-tual sigue siendo óptima y el precio sombra de –20 es aún aplica-ble. Por lo tanto, el nuevo valor óptimo de z es:zOptNuevo=zOptOriginal+∆b6Real ∙ Dual prices

zOptNuevo=32540+ (−2 ) ∙ (−20 )→zOptNuevo=32580

2. Mi dieta requiere que todos los alimentos que ingiera pertenezcan a uno de los cuatro grupos básicos de alimentos (pastel de chocolate, helado de crema, bebidas carbonatadas y pastel de queso). Por ahora hay los siguientes cuatro alimentos: barras de chocolate, helado de crema de chocolate, bebida de cola y pastel de queso con piña. Cada barra de cho-colate cuesta $0,50, cada bola de helado de crema cuesta $0,20, cada botella de bebida de cola cuesta $0,30 y cada rebanada de pastel de queso con piña cuesta con $0,80. Todos los días debo ingerir por lo me-nos 500 cal, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azúcar y 8 onzas de gra-sa. El contenido nutricional por unidad de cada alimento se proporciona a continuación, en la Tabla 2.Tabla 2. Valores nutricionales de la dieta y datos para el problema 2

Tipo de alimento Calorías Chocolate(onzas)Azúcar(onzas)

Grasa(onzas)Costo

Barra de chocolate 400 3 2 2 $0,50Helado de crema de chocolate (1 bola) 200 2 2 4 $0,20Bebida de cola (1 botella) 150 0 4 1 $0,30Pastel de queso con piña (1 rebanada) 500 0 4 5 $0,80Total que debe ser consumido 500 6 10 8min z=50 ∙ br+20 ∙ic+30∙ cola+80 ∙ pc

sujetoa {400 ∙br+200∙ ic+150 ∙ cola+500∙ pc≥5003 ∙br+2∙ ic ≥62 ∙br+2∙ ic+4 ∙ cola+4 ∙ pc ≥102 ∙ br+4 ∙ic+1 ∙ cola+5∙ pc≥8

→ R2→ R3→ R4→ R5

Utilice los resultados de LINDO de la Figura 2 para contestar las si-guientes preguntas:a. Si una barra de chocolate cuesta $0,30 centavos de dólar, enton-ces ¿cuál sería la nueva solución óptima del problema?

cbrOriginal=50 ∧Allowable increase ( AI )de cbr=∞

Allowable decrease (AD )de cbr=27,5

−27,5≤∆cbr≤∞

∆ cbrReal=30−50→∆cbrReal=−20>−27,5

Como el AD de cbr es 25,7 y cbr sólo presenta un decremento de 20 centavos, la base actual sigue siendo óptima; es decir, los valores óptimos de las variables de decisión se conservan sin cambio (br=0, ic=3, cola=1 y pc=0), mientras que el nuevo valor óptimo de z es:

zOpt Nuevo=zOptOriginal+∆cbrReal ∙ brOptzOptNuevo=cbr ∙ b rOpt+c ic ∙ icOpt+ccola ∙ colaOpt+c pc ∙ pcOpt

zOpt Nuevo=90+(−20 ) ∙0zOptNuevo=30 ∙ (0 )+20 ∙ (3 )+30 ∙ (1 )+80 ∙ (0 )

zOptNuevo=90

Puesto que el valor de br en la solución óptima es 0, el cambio del precio de la barra de chocolate no modifica el valor óptimo de z.b. Si una botella de bebida de cola cuesta $0,35 centavos, entonces ¿cuál sería la nueva solución óptima del problema?

ccolaOriginal=30 ∧Allowable increase (AI )deccola=10Allowabledecrease (AD )deccola=30

−30≤∆c pc≤10

∆ ccolaReal=35−30→∆ccolaReal=5<10

Como el AI de ccola es 10 y ccola sólo presenta un incremento de 5 centavos, la base actual sigue siendo óptima; es decir, los valores óptimos de las variables de decisión se conservan sin cambio (br=0, ic=3, cola=1 y pc=0), mientras que el nuevo valor óptimo de z es:

zOptNuevo=zOptOriginal+∆ccolaReal ∙colaOptzOptNuevo=cbr ∙ b rOpt+c ic ∙ icOpt+ccola ∙ colaOpt+c pc ∙ pcOpt

zOptNuevo=90+(5 ) ∙ (1 )zOptNuevo=50 ∙ (0 )+20 ∙ (3 )+35 ∙ (1 )+80 ∙ (0 )

zOptNuevo=95

c. Si se requieren por lo menos 8 onzas de chocolate, entonces ¿cuál sería el costo de la dieta óptima?b3Original=6 ∧

Allowable increase ( AI )de b3=4,000000Allowable decrease ( AD )deb3=2,857143

−2,857143≤∆b3≤4

∆ b3Real=8−6→∆b3Real=2<4

Como el AI de b3 es 4 y b3 sólo aumenta en 2 onzas, la base actual sigue siendo óptima y el precio sombra de –2,5 centavos es aún aplicable. Entonces, el nuevo valor óptimo de z es:zOptNuevo=zOptOriginal−∆b3ℜal ∙ Dual prices

zOptNuevo=90−(2 ) ∙ (−2,5 )→zOptNuevo=95

d. Si se requieren por lo menos 600 calorías, entonces ¿cuál sería el costo de la dieta óptima?b2Original=500 ∧

Allowable increase ( AI )deb2=250Allowable decrease ( AD )de b2=∞

−∞≤∆b2≤250

∆ b2Real=600−500→∆b2Real=100<250

Como el AI de b2 es 250 y b2 crece en 100 calorías, la base actual sigue siendo óptima y el precio sombra de 0 centavos es aún apli-cable. Ahora, el excedente de esta restricción es igual a 250, ma-yor a cero, lo que implica que un exceso de 250 calorías a la dieta no incrementará el costo de la misma. Por lo tanto:zOptNuevo=zOptOriginal−∆b2Real ∙ Dual prices

zOptNuevo=90−(100 ) ∙ (0 )→zOptNuevo=90

e. Si el requisito fuera por lo menos 9 onzas de azúcar, entonces ¿cuál sería el costo de la dieta óptima?b4Original=10 ∧

Allowableincrease ( AI )de b4=∞Allowable decrease (AD )deb4=4

−4≤∆b4≤∞

∆ b4Real=9−10→∆b4Real=−1>−4

Como el AD de b4 es 4 y b4 presenta un decremento de sólo 1 onza de azúcar, la base actual sigue siendo óptima y el precio sombra de –7,5 centavos es aún aplicable. Por lo tanto, el nuevo valor óp-timo de z es:zOptNuevo=zOptOriginal−∆b4Real ∙ Dual prices

zOptNuevo=90−(−1 ) ∙ (−7,5 )→zOptNuevo=82,5

f. ¿Cuál tendría que ser el precio de la rebanada de pastel de queso con piña antes de que resulte óptimo comer este pastel?80 – 50 = 30 centavos como máximo.

g. ¿Cuál tendría que ser el precio de la barra de chocolate antes de que resulte óptimo comer chocolate?50 – 27,5 = 22,5 centavos como máximo.

Figura 2. Resultados de LINDO para el problema 2h. Utilice la parte de SLACK o SURPLUS de los resultados de LIN-DO para determinar el decremento permisible y el decremento permisible para la restricción de la grasa. Si el requisito fuera 10 onzas de grasa, entonces ¿cambiaría la solución óptima del pro-blema?

b5Original=8 ∧Slack∨Surplusde b5=5>0

Dual Prices deb5=0

El excedente u holgura de la cuarta restricción (R5) es igual a 5, mayor a cero, lo cual implica que hay un exceso de 5 onzas de grasa en la dieta que resultó como óptima para los requerimien-tos iniciales. Por lo tanto, 5 onzas de grasa extra en la dieta no incrementará ni reducirá los gastos.La cuarta restricción es del tipo ≥, de modo que AI para el lado derecho es igual al valor de exceso, 5 en este caso, mientras que el AD para el lado derecho es ∞.

b5Original=8 ∧Allowable increase ( AI )de b5=5Allowable decrease ( AD )deb5=∞

−∞≤∆b5≤5

∆ b5Real=10−8→∆b5Real=2<5

Como el AI de b5 es 5 y b5 crece en tan sólo 2 onzas de grasa, la base actual sigue siendo óptima. Ahora, como esta restricción tie-ne una holgura positiva, su precio sombra es igual a cero, de modo que el valor óptimo de z y los valores de las variables de decisión permanecen sin cambio dentro del intervalo admitido del lado derecho.zOptNuevo=zOptOriginal−∆b5Real ∙Dual prices

zOptNuevo=90−(2 ) ∙ (0 )→zOptNuevo=90

3. Gepbab Corporation elabora tres productos en dos plantas distintas. El costo por producir una unidad en cada planta se indica en la Tabla 3. Cada planta puede producir un total de 10000 unidades. Se tienen que fabricar por lo menos 6000 unidades del producto 1, por lo menos 8000 unidades del producto 2 y por lo menos 5000 unidades del producto 3.Tabla 3. Datos para la resolución del problema 3Planta Producto (dólares)

1 2 31 5 6 82 8 7 10Para minimizar el costo de cumplir con la demanda se debe resolver el PL:

min z=5 ∙ x11+6 ∙ x12+8∙ x13+8∙ x21+7 ∙ x22+10 ∙ x23

sujetoa {x11+x12+x13≤10000x21+x22+ x23≤10000x11+x21≥6000x12+x22≥8000x13+x23≥5000

x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23≥0

→ R2→ R3→ R4→ R5→ R6→ R7

Aquí, x ij es la cantidad de unidades del producto j fabricado en la planta i. Utilice los resultados de LINDO de la Figura 3 para respon-der las preguntas:a. ¿Cuál tendría que ser el costo para elaborar el producto 2 en la planta 1 para que la compañía elija esa opción?

c12=6−1=5→ 5 dólares como máximo

Figura 3. Resultados de LINDO para el problema 3b. ¿Cuál es el costo total si la planta 1 tuviera 9000 unidades de ca-pacidad?

b2Original=10000 ∧Allowable increase ( AI )de b2=1000Allowable decrease ( AD )de b2=1000

−1000≤∆b2≤1000

∆ b2Real=9000−10000→∆b2Real=−1000≥−1000

Como el AD de b2 es 1000 y b2 decrece justamente en 1000 unida-des, la base actual sigue siendo óptima y el precio sombra de 2 es aún aplicable. Entonces, el nuevo valor óptimo de z es:

zOptNuevo=zOptOriginal−∆b2Real ∙ Dual prices

zOptNuevo=128000−(−1000 ) ∙ (2 )→zOptNuevo=130000

c. Si cuesta $9 dólares producir una unidad del producto 3 en la planta 1, entonces ¿cuál sería la nueva solución óptima?c13Original=8 ∧

Allowable increase (AI )dec13=1Allowable decrease (AD )dec13=1

−1≤∆c13≤1

∆ c13Real=9−8→∆ c13Real=1≤1

Como el AI de c13 es 1 y c13 presenta justamente un incremento de una unidad, la base actual sigue siendo óptima; es decir los valo-res óptimos de las variables de decisión se conservan sin cambio (x11=6000, x12=0, x13=4000, x21=0, x22=8000 y x23=1000), mientras que el nuevo valor óptimo de z es:

zO ptNuevo=zOptOriginal+∆c13Real ∙ x13OptzOptNuevo=c11 ∙ x11+c12 ∙ x12+c13 ∙ x13+c21 ∙ x21+c22 ∙ x22+c23 ∙ x23

zOptNuevo=128000+(1 ) ∙ (4000 )zOptNuevo=5 ∙ (6000 )+6 ∙ (0 )+9 ∙ (4000 )+8∙ (0 )+7 ∙ (8000 )+10 ∙ (1000 )

zOptNuevo=132000

4. Mondo fabrica motocicletas en tres plantas. La mano de obra, materia prima y costos de producción (sin incluir los costos de mano de obra) necesarios para fabricar una motocicleta en cada planta se indican en la Tabla 4. Cada planta tiene suficiente capacidad de maquinaria para pro-ducir hasta 750 motocicletas por semana. Todos los trabajadores de Mondo pueden trabajar hasta 40 horas por semana y reciben $12,50 dólares por hora trabajada. Mondo tiene un total de 525 trabajadores y ahora posee 9400 unidades de materia prima. Se tienen que producir cada semana, por lo menos, 1400 Mondos. Sea x1 el número de motoci-cletas fabricadas en la planta 1, x2 el número de motocicletas fabricadas en la planta 2, y x3 el número de motocicletas fabricadas en la planta 3.Tabla 4. Datos para la resolución del problema 4

Planta Mano de obranecesaria (horas)Materia prima(unidades)

Costo de producción(dólares)Costo total(dólares)

1 20 5 50 3002 16 8 80 280

3 10 7 100 225La información que proporciona LINDO en la Figura 4 le permite a Mondo minimizar el costo variable (mano de obra más producción) por cumplir con la demanda. Utilice esta información para responder las preguntas que se indican a continuación:

min z=300 ∙ x1+280 ∙ x2+225 ∙ x3

sujetoa {20 ∙ x1+16 ∙ x2+10∙ x3≤210005 ∙ x1+8 ∙ x2+7 ∙ x3≤9400

x1≤750x2≤750x3≤750

x1+x2+x3≥1400

→ R2→ R3→ R4→ R5→ R6→ R7

a. ¿Cuál sería la nueva solución óptima del problema si el costo de producción fuera de sólo $40 dólares en la planta 1?Costototal=20×$ 12,5+$ 40=290

c1Original=300 ∧Allowable increase (AI )dec1=∞Allowable decrease (AD )dec1=20

−20≤∆c1≤∞

∆ c1Real=290−300→∆ c1Real=−10≥−20

Como el AD de c1 es 20 y c1 presenta un incremento de sólo 20 dólares, la base actual sigue siendo óptima; es decir los valores óptimos de las variables de decisión se conservan sin cambio (x1=350, x2=300 y x3=750), mientras que el nuevo valor óptimo de z es:

zOpt Nuevo=zOptOriginal+∆c1Real ∙ x1OptzOptNuevo=c1Nuevo ∙ x1+c2Original ∙ x12+c3Original ∙ x3

zOptNuevo=357750+(−10 ) ∙ (350 )zOptNuevo=290 ∙ (350 )+280 ∙ (300 )+225 ∙ (750 )

zOptNuevo=354250

b. ¿Cuánto dinero ahorraría Mondo si la capacidad de la planta 3 se incrementara en 100 motocicletas?

b6Original=750 ∧Allowable increase ( AI )de b6=450,000000Allowable decrease ( AD )deb6=231,818200

−231,8182≤∆b6≤450 ∧ ∆b6Real=100≤450

Como el AI de b6 es 450 y b6 crece en apenas 100 unidades, la base actual sigue siendo óptima y el precio sombra de 61,666660 dólares es aplicable. Entonces, el nuevo valor óptimo de z es:zOptNuevo=zOptOriginal−∆b6Real ∙Dual prices

zOptNuevo=357750−(100 ) ∙ (61,666660 )→zOptNuevo=351583,33

Por lo tanto, Mondo se ahorraría $6166,67 dólares.

Figura 4. Resultados de LINDO para el problema 4

c. ¿Cuánto se incrementaría el costo de Mondo si tuviera que produ-cir una motocicleta más?b7Original=1400 ∧

Allowableincrease ( AI )de b7=63,75Allowable decrease ( AD )de b7=131,25

−131,25≤∆b7≤63,75 ∧ ∆b7Real=1≤63,75

Como el AI de b7 es 63,75 y b7 crece en apenas una unidad, la base actual sigue siendo óptima y el precio sombra de –333,3333 dólares es aún aplicable. Por lo tanto, el nuevo valor óptimo de z es:zOptNuevo=zOptOriginal−∆b7Real ∙Dual prices

zOptNuevo=357750−(1 ) ∙ (−333,3333 )→zOptNuevo=358083,33

Por lo tanto, el costo se incrementaría en $333,33 si Mondo tuvie-ra que producir una motocicleta más.5. Steelco requiere carbón, hierro y mano de obra para producir tres tipos de acero. Los insumos (y los precios de venta) para una tonelada de cada tipo de acero se indican en la Tabla 5. Se pueden comprar hasta 200 toneladas de carbón a un precio de $10 dólares por tonelada. Se pueden comprar hasta 60 toneladas de hierro a $8 dólares la tonelada y hasta 100 horas de mano de obra a $5 dólares por hora. Sea x1 las tone-ladas de acero 1 fabricado, x2 las toneladas de acero 2 fabricado, y x3 las toneladas de acero 3 fabricado.

Tabla 5. Datos para la resolución del problema 5Acero Carbón(toneladas)

Hierro (toneladas)Mano de obra(horas)

Precio de venta(dólares)Utilidad(dólares)

1 3 1 1 51 82 2 0 1 30 53 1 1 1 25 2max z=8 ∙ x1+5 ∙ x2+2 ∙ x3

sujetoa {3 ∙ x1+2 ∙ x2+x3≤200x1+ x3≤60x1+x2+x3≤100

→ R2→ R3→ R4

La información de LINDO que genera una utilidad máxima para la compañía Steelco se da en la Figura 5. Utilice la información para contestar las preguntas siguientes:

a. ¿Cuál sería la utilidad si sólo se pudieran comprar 40 tones de hierro?b3Original=60 ∧

Allowable increase ( AI )de b3=6,666667Allowable decrease ( AD )deb3=60,000000

−60≤∆b3≤6,666667

∆ b3Real=40−60→∆b3Real=−20≥−60

Como el AD de b3 es 60 y b3 decrece en apenas 20 toneladas de hierro, la base actual sigue siendo óptima y el precio sombra de 0,5 dólares es aún aplicable. Por lo tanto, el nuevo valor óptimo de z es:zOptNuevo=zOptOriginal+∆b3Real ∙ Dual prices

zOptNuevo=530+ (−20 ) ∙ (0,5 )→zOptNuevo=520

b. ¿Cuál es el precio mínimo por tonelada de acero 3 que haría más atractivo producirlo?c3=2+1=2→ 3 dólares como mínimo.

c. Encuentre la nueva solución óptima si el acero 1 se vende a $55 dólares la tonelada.Utilidadinicial=51−3 ∙10−1 ∙8−1 ∙5=8Utilidad nueva=55−3 ∙10−1 ∙8−1 ∙5=12

c1Original=8 ∧Allowable increase ( AI )dec1=∞Allowable decrease (AD )dec1=0,5

−0,5≤∆c1≤∞

∆ c1Real=12−8→∆c1Real=4≤∞

Como el AI de c1 es indefinido y c1 presenta un incremento de sólo 4 dólares, la base actual sigue siendo óptima; es decir los valores óptimos de las variables de decisión se conservan sin cambio (x1=60, x2=10 y x3=0), mientras que:

zOpt Nuevo=zOptOriginal+∆c1Real ∙ x1OptzOptNuevo=c1Nuevo ∙ x1+c2Original ∙ x12+c3Original ∙ x3

zOptNuevo=530+(4 ) ∙ (60 )zOptNuevo=12 ∙ (60 )+5 ∙ (10 )+2 ∙ (0 )

→zOptNuev o=770

Figura 5. Resultados de LINDO para el problema 5