PRIMER PUNTO.SeaP(t) el tamao de la poblacin al tiempot, el modelo exponencial presupone que la tasa de aumento de lapoblacines proporcional a la poblacin en el instante:(1)Dondekes una constante de proporcionalidad yPes el tamao de la poblacin en el instantet. Esa ecuacin (1) puede resultar adecuada cuando el tamao de la poblacin es pequeo en relacin a las dimensiones del ecosistema, y en ese casokes la tasa de aumento de la poblacin que iguala a la tasa de natalidad menos la tasa de mortalidad.Si el tamao de la poblacin en un instantet0esP0, el modelo exponencial predice que en cualquier otro instante futuro (t>t0) la poblacin viene dada, por la solucin de la ecuacin diferencial (1): donde * significa elevado adP=kPdtdP/P=Kdtintegral dP/P=integralKdtlnP=Kt+Ce*lnP=e*kt+CP=e*kt+cP(t)=e*ktDp/dt=Ke*kt donde A = K, por tanto:

Tomando como condicin inicial tenemos: dP/dt=Ke*kt entonces P(0)=Ce*kt y as P(0)=C ahora, P(t)=Poe*kt que es la formula general, entonces P(t)=Ce*kt Y ESTA ES LA SOLUCION PARA CUALQUIER MODELO DE CRECIMIENTO. Tomando las estadsticas de Carolina del Norte, inicialmente para el ao 1970 se tenia una poblacin de 394000 habitantes, partiendo de ah tenemos:P(t)=Poe*kt entonces, dP/dt=394000k entonces P(0)=394000Ahora para poder tener otra referencia se puede decir que a partir del ao 1790 hasta el ao 1800 transcurren 10 aos, en esos aos la poblacin aumenta a 478000 habitantes, cabe recordar que en la tabla se muestra en miles por eso se aumentan los ceros. Ahora, 394000=P(10)=478000e*k(10)478000/394000=e*k(10)Ln 478000/394000=lne*k(10)Ln 478000/394000=k.10 entonces (ln 478000/394000)/10=kK=0,01932598 y este sera el valor de K REVISALO ESMERALDA PORQUE NO TENGO CALCULADORA CIENTIFICA, LO HICE EN LA DEL COMPUTADOR. Ahora como se parti del ao 1790 y se pide la poblacin para el ao 2000, es decir, 210 aos despus, se procede reemplazando la ecuacin original: P(t)=394000xe*((0.01932598)(t)) tenemos:P(210)=394000xe*(0.01932598)(210)P(210)=22806644,5 esta sera la poblacin en el 2000, revsalo Esmeralda, no s si mis razonamientos estn mal o algo! Las operaciones tambin revsalas por favor. Estuve revisndolo Esmi, y al reemplazar para t=20 nos da el valor exacto del ao 1800 que es 478000!!! Pero para los dems no! Entonces esa es una dificultad a comparacin con el mtodo logistoco!!! Mas adelante te explico las diferencias, pero parece que mis razonamientos estn bien! Miralos profa! Con los resultado podemos generar una grafica, se podra hacer con el programa winplot opino yo! No lo tengo entonces no te la envio. MIRA ESTE EJEMPLO Y LEELO CUIDADOSAMENTE AH ESTA CASI EL MISMO DE NOSOTRAS, ENTONCES CON ESE PODEMOS HACER EL ANALISIS Y LA COMPARACION PARA LOS DOS MODELOS.

Y tambin con ste podemos sacar las graficas!

SGUNDO PUNTO. Dinmica poblacional (II): la ecuacin logstica

La ecuacin logstica es un segundo modelo sobre evolucin poblacional que le pone ms realidad al modelo de crecimiento exponencial. Como antes definiremos porN(t) el tamao de la poblacin bajo estudio que para nuestro caso es P(t) pero que para explicarlo ser N(t), y como antes vamos a suponer que el coeficiente k es la tasa de crecimiento, pero esta vez no ser constante, y vamos intentar explicar no solo porqu no ser constante sino que tambin porqu asume el valor que vamos a proponer. En el modelo exponencial tenamos queN(t+t) =N(t) +kN(t)t (1)

y con esto estbamos diciendo que los nuevos miembros de la poblacin van a ser proporcionales al tamao de la poblacin con una constante de proporcionalidadk. Pues bien, lo que se propone aqu es lo siguiente: la tasa de crecimiento en condiciones "normales" ser constante o aproximadamente constante, pero en esta tasa de crecimiento se debe reflejar el hecho de que si la poblacin aumenta considerablemente ese mismo tamao va a inhibir el crecimiento o se reducir los nuevos miembros de la poblacin, es decir esta nueva tasa de crecimiento ser de la forma (2)Donde, como se ve a continuacin, el factoraindica una tasa de crecimiento "en condiciones normales" y el factorbN(t), conb> 0, indicar el retardo en la tasaacuando la poblacinN(t) sea muy grande. Entonces reemplazando (2) en (1) obtenemos

Formando el cociente de Newton y pasando al lmite cuandotse aproxima a cero, se tiene que (3)Esta ecuacin se puede arreglar como (4)Observemos que el denominador admite la siguiente descomposicin

de tal forma que reescribimos la ecuacin (4) como

el segundo miembro de esta ecuacin es equivalente a las siguientes derivadas

Recordando que derivada de una suma es la suma de las derivadas y por propiedad de logaritmo, nos queda

esto significa entonces que

de modo que

como nuestro objetivo es "descubrir" la funcinN(t) estamos a un paso si la despejamos de esta igualdad. En efecto (5)Y esta funcinN(t) definida segn (5) que se conoce con el nombre de ecuacin logstica.Se puede observar el punto de inflexin y adems el lmite asinttico de la ecuacin logstica, esto es

y esto significa que la poblacin se estabiliza en el tamao poblacional a / b.Aun queda mucho que estudiar de esta funcin logstica, como por ejemplo, cules son las unidades deayb? qu valores puede tomaraybpara que la poblacin no se extinga?, para qu valores deaybla poblacin est condenada a la extincin? qu papel juegaN( 0 )? Adems se debe especificar claramente en que unidades de tiempo estamos trabajando.Debe usted comprender cun importante es el clculo diferencial en los estudios de dinmica poblacional.Para finalizar, se puede demostrar mediante unos pocos minutos de lgebra elemental que si hacemosk=a/bentonces

La constantekes llamada, por los ecologistas, la capacidad de "carga" del nicho que contiene a la poblacin. Qu unidades tienek?Lafuncin exponencial, que es un modelo vlido para crecimientos continuos en los que las condiciones son siempre igualmente favorables (aumento del capital ingresado, desintegracin de sustancias radiactivas, ...) no es del todo vlido para poblaciones animales o vegetales cuando stas se aproximan a un nivel de saturacin y, por tanto, a la necesidad de competir unos individuos con otros para la supervivencia. Entonces el modelo adecuado es el de lafuncin logstica.

Vemosla en comparacin con la exponencial:Si la funcin exponencial tiene como expresin analtica

la funcin logstica tendra como ecuacin

Observamos que, al comienzo, el crecimiento logstico es similar al exponencial. As, para, la funcin exponencial toma el valory la funcin logstica por tanto, podramos decir que La presin ambiental hace que el crecimiento sea cada vez ms lento. La capacidad poblacional,, no es superada:es asntota horizontal, es decir la poblacin tiende asin superarla.

En la figura se nos muestra una visin grfica de que lo que se representa al decir que las variables, tanto de nacimientos como de muertes, son denso-dependientes. Mostrndonos que las muertes y nacimientos solo son iguales en un punto, que es justo en el lugar en donde se intersectan. Antes de continuar, es preciso tener en cuenta, que la funcin exponencial ya que la funcin a estudiar est relacionada muy cercanamente con ella. Sin embargo, no debemos confundir una con la otra. A continuacin se presenta una representacin de cada uno de los modelos para darnos cuenta de lo que la semejanza significa.

CRECIMIENTO LOGSTICO

CRECIMIETO EXPONENCIAL

Es bueno mencionar el modelo de crecimiento discreto de una poblacin, que se define como N t+1 = N t + rd Nt [ 1- (Nt/K) Este modelo pareciera ser anlogo al modelo continuo y tambin al modelo original del modelo exponencial. Pero este modelo esta ajustado al tiempo de retrazo de longitud 1.0. La poblacin avanza en el futuro, dependiendo de la poblacin en la fecha inicial; es decir, la dinmica depende nicamente de rd.

Observemos la representacin de la grfica que nos comunica que el tamao de la poblacin no es muy grande ni muy pequeo, simplemente tiene una medida en trmino medio, lo cual provoca que se cree este modelo de una forma un poco compleja para ciertos puntos que tienen que ver con la rd. En el estudio de la funcin exponencial siempre tenemos que tener en cuenta que la base a es siempre positiva y que hay dos tipos claramente diferenciados dependiendo de si a > 1 0 < a < 1. La funcin exponencial es un modelo vlido para crecimientos o decrecimientos continuos en los que las condiciones son siempre igualmente favorables: aumento del capital ingresado en un banco, desintegracin de sustancias radioactivas. Las poblaciones de seres vivos comienzan creciendo segn una curva exponencial pero si no hay catstrofes, llegan a invadir su espacio vital y, debido a la limitacin de alimentos, peligro conforme a la especie, entre otras cosas mas, su crecimiento se amortigua, no sobrepasando su poblacin lmite. Este tipo de aumento, amortiguado por un nivel de saturacin se llama crecimiento logstico. La funcin logstica nos permite apreciar mucho mejor lo que ocurre con las poblaciones ya que describe de manera mas precisa que la exponencial lo que realmente ocurre con los seres vivos.En general, la funcin logstica asociada a una exponencial es: FUNCION EXPONENCIAL donde C es la poblacin inicial, x el tiempo FUNCION LOGSTICA donde L es la poblacin lmite, K = ( L / C ) - 1 Aqu podemos introducir un ejemplo muy claro que se puede apreciar en la vida real: En una isla dejamos escapar 100 conejos, especie desconocida hasta entonces en esos parajes. Supongamos que las condiciones para que se reproduzcan son ptimas, por lo que se incrementan en un 10% mensual. ( Hasta aqu sera un modelo exponencial tpico) Supongamos ahora que la isla tuviera un tamao y unas condiciones tales que, a lo sumo pudieran vivir 1000 conejos. Este es el nmero que consideraramos como nuestra poblacin lmite. En este caso la funcin que describe el crecimiento es la funcin logstica asociada. Observa en la siguiente escena sus caractersticas. L = 1000 y K = 9. En la siguiente tabla se observa el nmero de conejos que habra en la isla segn cada modelo.MES LOGISTICA EXPONENCIALDIFERENCIA

0 10 10 0

1 10,89108911 11 0,108910891

2 11,85112635 12,1 0,248873653

3 12,88355435 13,31 0,426445649

4 13,99164763 14,641 0,649352367

5 15,178441 16,1051 0,926659001

6 16,44665058 17,71561 1,268959417

7 17,79858848 19,487171 1,688582524

8 19,23607239 21,4358881 2,199815713

9 20,76033237 23,57947691 2,819144541

10 22,37191717 25,9374246 3,565507431

Hay que poner mucha atencin como durante los primeros meses los nmeros son casi idnticos: an estaba lejos el nivel de saturacin. Sin embargo, al el tiempo la diferencia es enorme y despus los resultados obtenidos para cada modelo no tienen nada que ver Se supone que la poblacin no crece indefinidamente y mientras mayor sea su densidad ms lento ser el crecimiento, se detendr cuando la poblacin alcance un lmite denominado capacidad de carga. Experimenta retroalimentacin negativa, la poblacin crece solo hasta un lmite, la capacidad de carga, y cuando se supera disminuir su tamao. Una poblacin est influenciada en su mayor o menor grado por el medio ambiente, esto manifiesta en el tamao y el crecimiento de la poblacin dN/dt = rN[ (k-N)/k]De una manera mas explcita, podemos decir que las poblaciones van creciendo inicialmente rpido en una fuente de presin constante, es decir, se vuelven tan numerosas que pierden su capacidad de crecer debido a interacciones entre los miembros de la poblacin, resultando entonces, como habra de esperarse, un estado de equilibrio. Este tipo de crecimiento se llama crecimiento logstico. Podemos decir que el crecimiento logstico es el balance entre produccin en proporcin a la poblacin, y a las prdidas en proporcin a la oportunidad de interacciones individuales.Leyendo esto podemos decir algo para le punto nmero 3 del lab. No se como formular la ecuacin logstica podras ayudarme? Y para el mtodo de euler encontr esto, nos puede servir para hacerlo mira: Para el punto 3, yo dira que el exponencial se adapta mas a nuestro problema y que el logstico funcionaria mucho mejor pero si tuviramos mas datos y muy exactos sobre natalidad, mortalidad, crecimiento y limite de poblacin. Nos toca hacer una breves ddescripcion de cada modelo, yo creo que leyendo bien lo que llevamos se puede decir cada cosa. Y como en las consultas que aca dejo hay graficas donde se compara pues las podemos poner! Tambin haba pensado en hacer todo esto del anlisis a impreso y lo dems, las graficas y otras cosas a mano, no se que digan! German!!! Esperamos algo de ti, un avance o alguna idea! Solo si puedes! No me refiero a ti en este trabajo como a esmeralda, porque se que tu andas ocupado, sin embargo lo dejo a conocimiento tuyo para que sepas como van los adelantos. Esmeralda si ves algo mas o lo puedes empezar a perfilar mejor pues dale, espero que me cuentes que mas hay que hacerle o con lo de german pues lo miramos de nuevo, si pueden nos veremos el lunes temprano para verlo y preparar la sustentacin, me dejan razn por el correo o por el face, lo reviso todos los das aunque no sirve muy bien por aca! He hecho lo que he podido, pues solo traje el internet y la hoja del lab! Asi que les envio el fruto de mi esfuerzo y trabajo! Jajaja espero respuestas! Juiciosos! Aaaa se me olvidaba! Si hay algo que pueda hacer mas, me dicen, estare leyendo sobre los tres mtodos para enviar mas cositas