an g analitica saeta adriel corregida

ANTOLOGÍA DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Ing. Adriel Martínez Rivera [email protected]

1

SAETA – APAN,HGO.

GEOMETRÍA ANALÍTICA


2

SISTEMA ABIERTO DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA AGROPECUARIA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

COMITÉ EDITORIAL

Ing. Older Samuel Cano García

Director del CBTa No. 152

Consejo Técnico Académico

Docentes de la Institución

El proceso de actualización y corrección de esta antología fue realizada por el Ing. Adriel

Martínez Rivera; docente de Matemáticas del Centro de Bachillerato Tecnológico

agropecuario No. 152, de San Juan Ixtilmaco Apan, Hgo.

Educación humana y de calidad

SAETA-APAN, HGO.


3

PRESENTACIÓN

El presente trabajo está dirigido a los estudiantes del Sistema Abierto de Educación

Tecnológica Agropecuaria y el Sistema escolarizado que cursan el tercer semestre del

Bachillerato Tecnológico con la intención de que sirva de guía y material de trabajo mínimo

para cubrir los contenidos programáticos que especifica el programa de estudios de la

asignatura.

Los conceptos que en este trabajo se presentan constituyen una herramienta básica

para quienes se inician en el estudio de la Geometría Analítica, parte de las Matemáticas que

representa la aplicación del álgebra y el análisis matemático a la Geometría. Para ello se le

asocia a cada punto del plano o del espacio unas coordenadas, ello permite expresar las

propiedades y relaciones geométricas de las figuras mediante ecuaciones algebraicas.

El comprender los conceptos aquí desarrollados, garantiza al estudiante transitar

felizmente en las asignaturas relacionadas con el análisis matemático y requiere tener

conocimientos fundamentales de álgebra, geometría y trigonometría. Conceptos desarrollados

en los cursos de matemáticas uno y dos del bachillerato tecnológico.

En esta recopilación de conceptos se incluyen algunas aportaciones que han realizado

las diferentes culturas, que pueden hacer más interesante y facilitar la comprensión de los

contenidos temáticos del curso; al mismo tiempo el poder valorar las aportaciones que

diversos personajes han legado a la humanidad y que ha permitido el desarrollo de la

matemática.

Con la construcción de los contenidos programáticos, mediante las actividades que

realices y las asesorías recibidas te permitirán apropiarte de los conceptos que integran esta

asignatura y el poder hacer una adecuada aplicación a diversos problemas de la vida

cotidiana.

¡FELICIDADES, TE FALTA MENOS QUE AYER!


4

MEXICO 2013

BACHILLERATO TECNOLÓGICO


5

¡FELICIDADES BIENVENIDO AL MUNDO DEL ANALISIS MATEMATICO!

INDICE DE CONTENIDOS PÁGINA

1.1 SISTEMA COORDENADO

1.1.1 Desarrollo histórico de la geometría analítica y análisis del sistema de coordenadas unidimensional

y bidimensional y conceptos relacionados.

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1.1.2 Sistema Cartesiano 7

1.1.3 Localización de puntos en el plano, coordenadas rectangulares y polares 9

1.1.4 Cálculo de la distancia entre dos puntos 11

1.1.5 Área de polígonos en función de sus coordenadas 15

1.1.6 Localización de un punto que divide a un segmento en una razón dada (punto medio, punto que

divide en una razón dada, área de polígonos 18

1.2 LA LÍNEA RECTA

1.2.1. Pendiente y ángulo de inclinación de una recta

19

1.2.2 Ecuación de la recta (general, punto pendiente, dos puntos, simétrica, simplificada y normal. 27

1.2.3 Intersección de rectas (punto de intersección, ángulo entre rectas) 41

1.2.4 Distancia de un punto a una recta 45

1.3 LA CIRCUNFERENCIA

1.3.1 Análisis de la circunferencia (formas de la ecuación de la circunferencia)

46

1.3.2 Relación entre circunferencia y recta 52

1.3.3 Ecuación de la circunferencia a partir de tres condiciones 54

1.4 LA PARÁBOLA

1.4.1 Ecuación de la parábola con vértice en el origen

58

1.4.2 Ecuación general de la parábola

1.5 LA ELIPSE

1.5.1 Ecuación de la elipse con centro en el origen

70

1.5.2 Ecuación de la elipse con centro fuera del origen 72

1.5.2 Ecuación general de la elipse. 76


6

1.1 SISTEMA COORDENADO

1.1.1 ANTECEDENTE HISTÓRICOS.

La idea básica de geometría analítica y de coordenadas es muy antigua, ya Arquímedes (250

A C), Apolunio de Perga (210 años A. C) en sus estudios de las secciones cónicas usaron

para sus representaciones, las coordenadas. Transcurrieron muchos años para que los

estudios de los griegos y otros filósofos y matemáticos llegaran a crear las herramientas que

sirven para la representación de las propiedades de las figuras y su análisis. Ideas que

culminan con las aportaciones de Descartes (1506-1650). Análisis de las figuras basado en el

sistema de los números reales y el uso de un enfoque algebraico sistemático para el estudio

de estas figuras y sus propiedades. Con las investigaciones realizadas por el grupo se podrá

hacer una ampliación más detallada sobre el desarrollo de la Geometría Analítica. Completa

estos antecedentes.

Estas a punto de comenzar un interesante tema, el cual utilizaras en el semestre, te

invitamos a que comiences resolviendo el siguiente acertijo.

Observa detenidamente el dibujo que se te presenta a continuación y determina si son rectas

o paralelas las figuras.

¿Qué líneas encontraste en figura?

¿Qué relación existe entre las líneas que observaste?

¿Qué aparente relación observas en las líneas?

PRISMAS BASALTICOS, SAN MIGUEL REGLA, HUASCA DE OCAMPO, HGO.


7

¿Te costó trabajo encontrar las líneas?

Ahora comprueba tus respuestas auxiliándote de una regla o una hoja de papel.

¿Existen diferencias entre las primeras observaciones y la comprobación realizada?

¿Cuáles son estas diferencias?

Investiga en algunos de los medios que ya conoces lo siguiente:

Conceptos de punto Concepto de segmento Recta Plano cartesiano

A continuación lee el contenido de tu antología sobre el tema que se presenta

1.1.2 Sistema cartesiano Este sistema se denomina cartesiano en honor a René Descartes, por haber sido quien lo empleara en la unión de álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría analítica. El sistema de coordenadas rectangulares consta de dos rectas dirigidas XX’ y YY’ llamadas ejes de coordenadas y que son perpendiculares entre sí; la recta horizontal se llama eje X’, la recta vertical se llama eje Y’; su punto de intersección 0 es el origen del sistema.

Estos ejes coordenadas dividen en planos de cuatro regiones llamados cuadrantes, los cuales se ordenan en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

Y

X

-Y

-X


8

En el plano coordenado cabe describir con precisión las coordenadas rectangulares, bidimensionales o cartesianas, que vienen siendo un par de números ordenados (x,y), de aquí que se corresponden con las polares que se forman a partir de una distancia D y un ángulo o dirección ; veamos la demostración trigonométrica:

En la calculadora científica esto se reduce a tan significantes pocos pasos; esto es: se dan como datos √ con un Ø=51°20’24.69’’, coordenadas polares, obtener las rectangulares:

Algoritmo shift Rec (√ , 51°20’24.69’’)= x = 4.000000007 ≈ 4 →y = 4.999999994≈5 CASIO fx-500ES; en otra versión de CASIO

Shift Rec (√ , 51°20’24.69’’) = 4.000000007 RCL TAN F= 4.999999994.

Ahora se dan como datos x= 4 & y= 5

Algoritmo Shift Pol (4,5)= r = 6.403124237, = 51.34019175° convertimos a grados 51°20’24.69’; en otra versión de CASIO

Shift Pol (4,5) = 6.403124237 RCL TAN F=51.34019175 ° ‘ ‘’ 51° 20’ 24.69’’

NOTA: La calculadora es para ahorrar tiempo haciendo las operaciones de manera inmediata y no para que se nos olviden los

procesos.


9

Las abscisas medidas sobre el eje X a la derecha del origen son positivas, y a la izquierda del origen son negativas; las ordenadas medidas sobre el eje Y hacia arriba del origen son positivas y hacia abajo del origen son negativas.

La localización de un punto por sus coordenadas se llama trazado del punto.

Cuando nos encontramos en una gran ciudad, podemos localizar cualquier esquina si contamos con dos datos: el nombre de la calle y el nombre de la avenida que la cruza; si estamos en un salón de clases se puede localizar cualquier asiento, con tan sólo dos datos: el número de la fila y el número de la hilera, así mismo lo podemos hacer en un sistema de coordenadas, mediante la:

1.1.3 Localización de puntos en el plano. En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plano y a cada punto del plano le corresponde un par de único de coordenadas (x, y). Ejemplo 1. Grafica los puntos B (2, 5) y G (-3, -4). Ejemplo 2. Grafica los puntos P (3, -5) Q (-7/2, 11/3) y R (1.75, 0.5)


10

A partir de los ejemplos anteriores realiza las siguientes: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Contesta las siguientes preguntas: 1. Nombre del fundador de la geometría analítica: 2. ¿Cuál fue el primer descubrimiento matemático de Descartes? 3. ¿Quién ya había intentado unir el álgebra y la geometría? 4. Explica de qué manera integró Descartes el álgebra y la geometría: 5. ¿Cuál es el concepto de geometría analítica? 6. ¿Cuál es la razón por la que el sistema de coordenadas rectangulares se denomina

también cartesiano? 7. ¿Cómo se ordenan los cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares? 8. Explica cuándo las abscisas y ordenadas son negativas: 9. ¿Cuál es la representación de las coordenadas de un punto de manera general?. II. ¿En qué cuadrante se localizan los siguientes puntos? a) N (3, 2) b) O (-4, -6) c) P (7, -8) d) R (-5, 6) III. Representa gráficamente los siguientes puntos: a) A (2, -1), B (-3, 6), C(-9, -2) b) C(1, 4), M(0 -7), R(-2, 3) IV. Representa gráficamente los siguientes triángulos, formados por las coordenadas de sus vértices. a) A (4, 5), B (-7, 0), C (-6, 4) b) A (-3, 6), B (6, 5), C (-4,-3) V. Grafica los siguientes polígonos cuyos vértices son: a) A (-4, 2), B (-1,-3), C (2, -6), D (0, 4) b) A (-3, -5), B (5, -2), C (5, 5), D (1, 5) E (-4, 2) ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. Construye la gráfica y di en qué cuadrantes se localizan los siguientes puntos:

1. S (-4.5,-2.5) 2. U (9/4,-4/2) 3. W (13/16,-7/3) 4. O (-8,10) 5. N (4,0) 6. A (5,-1) 7. A (0,8) II. Localiza en el plano cartesiano un triángulo isósceles, un rombo y un paralelogramo, cuyos vértices sean los que tú elijas y que queden en el primero, segundo y tercer cuadrante, respectivamente.


11

¿Te has imaginado cuál es la distancia que hay de tu casa a la escuela? Seguramente ya lo hiciste, lo cual te servirá para comprender el siguiente tema denominado: 1.1.4 Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas, las que explicaremos a continuación.

1. Sean P1 (x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje x), la distancia dirigida entre los dos puntos es:

Fórmula de la distancia dirigida de P1 a P2 o de P2 a P1. P1 P2 = x2 - x1 P2 P1 = x1 – x2

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos pertenecientes a una misma recta vertical (paralelas al eje y). La distancia dirigida entre los dos puntos es, conforme a las siguientes fórmulas:

P1 P2 = y2 - y1 P2 a P1 = y1 – y2

La fórmula de la distancia dirigida es:

P1 P2 = y2 - y1 = y1 – y2


12

Sean P1 (x1 , y1) y P2 = (x2 , y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta horizontal o vertical; se traza una recta que pasa por P1 , paralela al eje “x”, otra recta que pasa por el punto P2 paralela al eje “y”; estas rectas se intersectarán en un punto Q(x2 , y1) formando así un triángulo P2 QP1 en el cual identificamos:

P1 P2 = hipotenusa = d (distancia) P1 Q = cateto adyacente = (x2 - x1) QP2 = cateto opuesto = (y2 - y1)

La distancia no dirigida entre dos puntos se representa por:

d = y1)2- (y2 x1)2 - ((x2

Ejemplo 1: Encuentra la distancia entre los puntos cuya coordenadas son: P1 (-7 , 2) y P2 (8 , 2) Si graficamos los puntos dados, tenemos: Observa que los dos puntos pertenecen a una misma recta horizontal, por lo que la distancia dirigida entre los dos puntos es:

d = P1 P2 = X2 - X1 d = P2 P1 = X1 - X2

d = P1 P2 = 8 - ( -7 ) d = P1 P2 = - 7 - 8 d = P1 P2 = 8 + 7 d = P1 P2 = - 15 d = P1 P2 = 15

Y´

X X´

Y

0

P1(-7, 2) P2( 8, 2)


13

Ejemplo 2: Gráfica los puntos: A1 (-2, 4) y B2 (-2, - 6)

Observa que los dos puntos dados pertenecen a una misma recta vertical, por lo que la distancia no dirigida entre los dos puntos es: d = A1 B2 = Y2 - Y1 d = B2 A1 = Y1 - Y2

d = A1 B2 = - 6 - 4 d = B2 A1 = 4 - ( - 6 ) d = A1 B2 = - 10 d = B2 A1 = 4 + 6 d = B2 A1 = 10 Ejemplo 3: Calcula la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: A ( - 6, 3 ) y B ( 2, - 3 ) Si graficamos los puntos dados, tenemos: Observa que los puntos A y B no pertenecen a una distancia recta horizontal o vertival, por lo que su distancia se determina por la fórmula:

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)

2

Al sustituir los valores de las coordenadas en la ecuación, resulta:

d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)

2

d = ( 2 + 6 )2 + (- 3 - 3 )2

d = ( 8 )2 + ( - 6 )2

d = 64 + 36 = 100 = d = 10


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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

1. A ( 3, 5 ) y B ( 4, -1 ) 2. A ( -2, -3 ) y B (4, -2 )

II. Demuestra mediante la fórmula de la distancia, que los siguientes puntos son colineales. 1. A( -5, 6 ), B( 2, 4 ) y C( 16, 0 ) 2. A(-2, -5), B(2, -4) y C(10, -2) III. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo isósceles. 1. A( -2, 2 ), B( 3, 1 ) y C( -1, -2 ) 2. A( -6, -6 ), B( -2, 5 ) y C(2, -2) IV. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo rectángulo. 1. A( 3, 2 ), B( -2, -3 ) y C( 0, -4 ) 2. K( 3, 5 ), L( 7, 2 ) y M( 4, -2 ) V. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un paralelogramo. 1. A( 4, 2 ), B( 2, 6 ), C( 6, 8 ) y D ( 8, 4 ) VI. Sean A(0, 0 ), B( 3, 0 ), C( 4, 2 ) y D (1, 2 ) los vértices de un paralelogramo, halla la longitud de sus dos diagonales.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

I. Construye la gráfica y encuentra la distancia entre los dos puntos que se indican.

a) C( 2, 3/4 ), y M( -2, -3/2 )

b) U( 9/2, -3/4 ), y V( 17/5, -3/4 )

c) A( 10, 1 ), B ( 6, 1 ) y C( 2, -3 )

d) A( -4, 2 ), B ( 4, 6 ) y C( 8, 8 )

e) A( -2, -4 ), B ( -5, 1 ) y C ( -6, -5 ) f) A( -6, 4 ), B ( -5, -3 ) y C ( -1, -1 )

g) A( 1, 4 ), B ( -2, -1 ), C ( -1, -5 ) y D (2, 1) h) P( -2, -8 ), Q ( -6, -1 ) y C ( 0, -4 )


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1.1.5 El área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices. Área de una región triangular Sean P1 ( x1 - x1 ), P2 ( x2 - x2 ) y P3 ( x3 - x3 ) los vértices de un triángulo, su área “A” se puede obtener sumando las áreas de los trapecios Q1 Q3 P3 P1 y Q3 Q2 P2 P3 y resultando el área del trapecio Q1 Q2 P2 P1. Dichos trapecios se forman trazando perpendiculares de los vértices del triángulo al eje “x”.

El área de un trapecio es igual al producto de su altura por la semisuma de sus bases (lados paralelos); por lo tanto el área del triángulo P1 P2 P3 es: A = área del trapecio Q1 Q3 P3 P1 + área del trapecio Q3 Q2 P2 P3 - área del trapecio Q1 Q2 P2 P1

A = ( x3 - x1 ) ( ½ ) ( y1 + y3 ) + ( x2 - x3 ) ( ½ ) ( y3 + y2 ) - ( x2 - x1 ) ( ½ ) ( y1 + y2 ) A = ½ ( x3 y1 – x1 y3 + x2 y3 – x3 y2 + x1 y2 - x2 y1 ) El área resultante se expresa en una forma más fácil por: A = ½ Esta fórmula también se emplea para determinar el área de cualquier polígono. Se hace notar que el primer renglón se ha repetido al final con el fin de facilitar el cálculo.

0 X X

´

Y

Y´

P1(x1, x1)

P2(x2, x2)

P3(x3, x3)

Q1(x1, 0) Q2(x2, 0) Q3(x3, 0)

( - )

( - )

( - )

( + )

x1 y1

x2 y2

x3 y3

A = ½ ( x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 – x2 y1 - x3 y2 - x1 y3 )


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Si los vértices se ordenan en la fórmula en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el área resultante es de signo positivo; en caso contrario será negativa. Ejemplo 1. Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: A ( 3, 2 ), B ( 7, 4 ) y C ( -2, 5 ) Al sustituir los datos dados en la fórmula, resulta: A = ½ [(3)(4) + (7)(5) + (-2)(2) – (3)(5) – (-2)(4) – (7)(2)] A = ½ (12 + 35 – 4 – 15 + 8 – 14) = 22 / 2 A = 11 unidades cuadradas veamos la gráfica

Perímetro. Es la suma de las longitudes de los lados de una figura plana; matemáticamente se representa por la letra P. Semiperímetro. Es la mitad del perímetro; se representa por la letra “S” y matemáticamente se hace notar por S = P / 2


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Ejemplo 2: Encuentra el área, perímetro y semiperímetro del polígono si las coordenadas de sus vértices son: A (-8, 2), B (-1, 5), C (7, -1) y D (-2, -6)

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Encuentra el área, perímetro y semiperímetro para los siguientes triángulos cuyas coordenadas de los vértices son: 1. A (3, -3), B (-5, 2 ) y C ( 6, -4 ) 3. A (4, 9), B (-2, 1 ) y C ( -6, 2 ) 2. A (-4, -1), B (2, -6 ) y C ( 4, 2 ) 4. A (7, -3), B (-2, 2 ) y C ( 4, 4 ) II. Obtén el área, perímetro y semiperímetro para los siguientes polígonos cuyas coordenadas de los vértices son: 1. A (-3, 3 ), B (6, 2 ), C ( 7, 7 ) y D ( -2, 5 ) 2. K (-3, 1 ), L (-7, 1 ), M ( -2, 8 ), P ( 1, -5 ) y Q ( 7, 4 ) 3. R (-5, 1 ), X (-4, 7 ), Y ( 3, 5 ), Z ( 7, 2 ) y A ( -2, -4 )


18

1.1.6 Localización de un punto que divide a un segmento de recta en una razón dada. Para determinar las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyos extremos son P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ) en la razón r = P1P / PP2 se aplica el siguiente procedimiento:

Teorema. Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyos extremos son P1( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ) en la razón r = P1P / PP2 son:

,

siendo r Ejemplo 1: Encuentra las coordenadas del punto C(x, y) que divide al segmento determinado por A (8, 2) y B (-5, 7) en la razón = 3 / 4 Al sustituir los datos dados en las fórmulas, resulta:

,

C(2.4, 4.1), construye la

grafica.

Y

0 X X

Y

R2 (0, y2)

R ( 0, y )

R1 ( 0, y1 )

P ( x, y )

P1 ( x1, y1 )

Q1 ( x1, 0 )

Q ( x, 0 )

Q2 ( x2, 0 )

P2 ( x2, y2 )


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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I. Encuentra las coordenadas de un punto P (x, y) que divide a un segmento de recta determinado por: 1. P1 (-2, 3) y P2 (3, -2) r = 2 / 5 2. P1 (-2, 1) y P2 (3, -4) r = -8 / 3 ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN I. ¿Cuáles serán las coordenadas del punto de división a partir de los siguientes datos? 1. P1 (3, -1) y P2 (9, 7) r = 1 / 2 2. P1 (5, 3) y P2 (-4, 3) r = -3 / 2 Hemos llegado a un punto en que debemos dar un giro a nuestro estado de la geometría

analítica. Hasta aquí hemos deducido algunas relaciones fundamentales y considerando

métodos generales para la construcción de curvas y la obtención de la ecuación de un lugar

geométrico. Pero todavía no hemos hecho ningún intento sistemático para identificar las

ecuaciones y sus lugares geométricos de una manera

específica. Más aún, hasta este momento, no hemos

establecido ninguna de las propiedades particulares

que puede poseer una curva. En éste y en los

siguientes capítulos, haremos un estudio detallado de

la línea recta y de algunas de las curvas que son de

máxima importancia en la geometría analítica y sus

aplicaciones. Naturalmente comenzaremos con el

estudio de la línea recta debido a que su ecuación es la

más sencilla.

1.2 LA LÍNEA RECTA

Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos

diferentes cualesquiera P1 (χ1, y1) y P2 (χ2, y2) del lugar, el valor de la pendiente m

calculado por medio de la fórmula resulta siempre constante.


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, para el valor

angular se toma como función

de arco a m y como

es el cateto opuesto y

el cateto adyacente en un

triángulo rectángulo, usaremos

la función tangente para el

ángulo; veamos la figura:

Ø=Arc Tg

= shift tg m, en la calculadora científica para grados, minutos y

segundos (° ‘‘’)

1.2.1 PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN

Sea “l” una recta en el plano y el ángulo que forma dicha recta con el eje x , esto es, el ángulo más pequeño cuyo lado móvil gira en sentido positivo (contrario al del reloj) hasta coincidir con la recta dada (véase figura). Sí la recta está inclinada a la izquierda (o sea, desciende al avanzar uno de izquierda a derecha), es claro entonces que 90° < <180° y Tg es negativa. Si la recta está inclinada a la derecha (o bien, asciende), entonces 0° < < 90° y Tg es positiva. Si la recta fuera horizontal, entonces no cortaría al eje x. En este caso = 0°. Si la recta fuera vertical, entonces = 90° y Tg sería indefinida. Sin embargo, no hay peligro alguno en emplear el símbolo Tg 90° = si se tiene presente que no es un número, y no se hace ningún intento de efectuar operaciones algebraicas con él. Lo importante es que Tg es una medida conveniente para describir la situación angular de la recta: Tg es positiva para una recta ascendente, negativa para una descendente y nula en el caso de una recta horizontal; valores grandes del |Tg | indican que la recta está muy inclinada.

Donde Ø es el menor ángulo positivo desde el eje x hasta la recta. Si la línea fuera horizontal, m = 0, y si fuera vertical entonces su pendiente seria indefinida. El ángulo se denomina ángulo de inclinación de la recta.


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Es fácil calcular la pendiente de una recta si se conocen las coordenadas de los puntos de la misma. Ciertamente, sean P1(x 1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos de l . Se pueden escoger los subíndices de modo que P2 quede a la derecha de P1 y, por lo tanto, x2 > x1.

Se traza un triángulo rectángulo P1 Q P2 (como se indica en las figuras) trazando rectas por P1 y P2 paralelas a los ejes x e y respectivamente.

En el caso de una recta ascendente, como se ve en la primera figura, es obvio que el ángulo

= K Q P1P2 del triángulo rectángulo, de modo

tg = QP2 P1Q y, por consiguiente.

En el caso de una línea descendente, la fórmula anterior es aún válida, pero es necesario

extender un poco la demostración para tomar en cuenta el signo negativo. En este caso

(segunda figura)

Teorema:-

Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos de una recta ( no vertical), su pendiente m está

dada entonces por la ecuación

Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A1(-5 , 7) B2(13, 3)

Sea (13,3) el punto B2 y (-5,7) .el punto A1, entonces.

P1(χ1, y1)

P2(χ2, y2)

P2Q = y2 – y1

Q (χ2 , y1 )

P1Q =χ2–χ1

y

P1Q = χ2 -χ1

Q (χ2,y1 )

P2Q = y2 – y1

P1(x1, y1)

y

0

P2 (x2 , y2)


22

Ø=shift tan (-0.2222222222)= -12°31’43.71”

Puesto que la pendiente es negativa se sabe la recta inclinada a la izquierda.

Veamos la figura:

Ejemplo 2. Encontrar la pendiente y la inclinación de la recta que pasa por los puntos (2,-3) y

(4,6).

Ø=SHIFT tan (4.5)= 77.47119229 °’’’ 77°28’16.29’’

4.5 = tg Ø Ø = tg-1 4.5 Ø = 77° 28’ 16.29’’

Veamos la gráfica resultante:


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Para que no te quede nada pendiente en tus conocimientos, realiza las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I.- Dados los puntos en cada problema siguientes, encuentre las pendientes y la inclinación de

la recta que pase por dichos puntos.

1. P (2, -1) y Q (6, 5)

2. A (13 – 3) y B (-5, -5)

3. M (-5, 7) y N (1, -11)

4. R (-1, -2) y S (5, -5)

5. K (2, 4) y L (-4, 6)


I. Encontrar la pendiente y la inclinación de cada recta que pasa por los puntos que se

indican.

1. A (3, -5) y B (2, 6)

2. C (-2, -8) y D (5, -2)

3. E (3, 2) y F (9, 6)

4. G (8, -5) y H (-1, -1)

5. I (3, 7) y J (-5, -4)


24

Las rectas para su estudio en relación a sus pendientes pueden ser:

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.

Vamos a observar que pasa con las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares.

Rectas paralelas y su cálculo.

Ejemplo 1: De la gráfica anterior y con sus respectivos datos calcule las pendientes de cada recta e indique si son paralelas, oblicuas o perpendiculares.

—

Conclusión: como las pendientes m1 y m2, los ángulos son iguales, entonces las rectas L1 y L2 son paralelas.

Ejemplo 2: Determinar las pendientes de l1, que contiene a (1, 5) y a (3, 8), y l2 que contiene a

(-4, 1) y a (0, 7), determinar si l1 y l2 son paralelas, perpendiculares o si no están dentro de

estos casos.

Ahora calculemos primero y luego construyamos la gráfica.


25

Conclusión: como las pendientes m1 y m2, los ángulos son iguales, entonces las rectas L1 y L2 son paralelas.

Ejemplo 3: Determine si la recta l1 que pasa por los puntos A (1,-3) y B (3,1) es perpendicular a la recta l2 que pasa por los puntos C (1,-3) y D (-1, -2).

En el cálculo se observa que la pendiente de m1 es el recíproco de la pendiente m2, lo que

podemos demostrar si 2-1 = = 0.5, en la calculadora científica puede ser x-1, dependiendo la

versión.

Lo anterior corresponde exactamente al teorema de perpendicularidad entre rectas, que dice: “La pendiente de una recta perpendicular a otra, es el recíproco de la primera con signo contrario”, los ángulos de inclinación de cada recta corresponde en valor absoluto a un ángulo recto; esto es:

┴mAB = 1/-m en el caso anterior 2 X-1= 0.5 con signo contrario; ahora en cuestión de ángulos = 90°00’00.00’’, por lo tanto 63°26’05.82”+26°33’54.18”= 90°00’00.00’’ L.Q.D., veamos la gráfica.


26

A partir de los ejemplos vistos, analizados y comprendidos podrás realizar las siguientes:


I. Determina las pendientes de las rectas que pasan por los dos pares de puntos que se citan

en cada problema. A continuación determina si las rectas son paralelas, perpendiculares o no

caen bajo ninguna de estas clasificaciones.

1. (1, -2) (-2, -11) y (2, 8) (0, 2)

2. (1, 5) (-1, -1) y (0, 3) (2, 7)

3. (1, 1) (4, -1) y (-2, 3) (7, -3)

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN.

. Demuestra si los siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares:

1. (1, 2) (3, 2) y (4, 1) (4, -2)

2. (2, 1) (5, -1) y (3, 3) (12, -3)

3. (1, 5) (-2, -7) y (7, -1) (3 , 0)

Basado en lo anterior podemos concluir diciendo que los elementos básicos de una recta son

dos puntos cualesquiera sobre ella, su pendiente, su ángulo de inclinación y sus

intersecciones, de la manera en que se usen o combinen esos elementos, la ecuación adopta

distintas formas, que estudiaremos a continuación:


27

1.2.2 ECUACIÓN DE LA RECTA

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA PENDIENTE DADA.

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su dirección. Analíticamente, la ecuación de una recta puede estar perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación o su pendiente.

Teorema 1.- La recta que pasa por el punto P1 (x1,y1)

y tiene la pendiente dada m, tiene

por ecuación.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,-1) y tiene un ángulo de

inclinación de 135°.

La recta cuya ecuación se busca es la trazada en la figura, la pendiente de esta recta es m=

tan de 135° = -1.

Por el teorema 1 la ecuación resulta y-y1=m(x-x1), donde (y- -1)=-1(x-4); y+1=-x+4, igualando

a cero para dejarla en su forma general x+y-3= 0

P (x, y )

P1 (x1, y1)

y – y1 = m (x – x1)

PUNTO PENDIENTE y

0 X


28

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por dos cualquiera de sus

puntos. Analíticamente, la ecuación de la recta también queda perfectamente determinado

conociendo las coordenadas de sus dos puntos.

Teorema 2. La recta que pasa por dos puntos dados P1 (x1, y1) y P2(x2, y2), tiene por ecuación

(Ecuación cartesiana)

Ejemplo: Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, - 3) y B (-4, 5),

sustituimos los valores en la ecuación cartesiana, quedando de la siguiente manera:

, veamos la gráfica resultante:


29

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

Sean a 0 y b 0 los segmentos que una recta determina sobre los ejes x & y, es

decir, sus intersecciones. Entonces (a, 0) y (0, b) son dos puntos de la recta. Por tanto, el

problema de obtener la ecuación de una recta cuando se conocen los segmentos que

determina sobre los ejes se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y

tenemos

; esta ecuación se obtiene por las coordenadas que se forman en una recta

al hacer intersección con los ejes; veamos la gráfica siguiente:

Teorema 3. Demostración sean: A(a, 0) y B (0, b), a partir de la forma cartesiana

A esta igualdad se le llama ecuación simétrica de la recta.

Ejercicio. Halla la ecuación de una recta cuya intersección con los ejes x & y son 5 y -2


30

Solución:

Veamos la gráfica

ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA EN EL ORIGEN.

Consideremos una recta l cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen, es decir, su intersección con el eje Y, es b . Como se conoce b, el punto cuyas coordenadas son (0, b) está sobre la recta. Por tanto, el problema se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto (0, b) y tiene una pendiente dada. Según el teorema, la ecuación buscada es: y-b=m(x-0), donde despejando y multiplicando resulta y = mx +b

Podemos enunciar este resultado como el Teorema 4.- La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación y = mx+b.

Veamos la figura:


31

Ejemplo. Determina una ecuación para la recta de pendiente 3 que corta al eje y en el punto

P( 0,-5),que es lo mismo b= -5 de acuerdo a la forma

y-y1=m(x-x1)

y- -5 = 3(x-0); y+5 = 3x, donde 3x-y -5 = 0

Si m =3 y b = -5 la ecuación buscada es y o sea y = 3x-5, veamos la figura resultante:


32

Si ya comprendiste y entendiste las distintas formas de la ecuación de la recta, podrás realizar las siguientes:

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

I. Haz una gráfica para cada ejercicio:

1. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, -3) y tiene de pendiente 2. 2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto B (-4, -2) y tiene un ángulo de

inclinación de 45° 3. Halla la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el eje y es –5. 4. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (6, 4) y

B (-5, 7). 5. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x & y son 2 y –4

respectivamente, halla su ecuación. 6. Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7) y D(6, 0), halla las

ecuaciones de sus lados. ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

I. Encuentra y grafica la ecuación de la recta para cada ejercicio que se te propone.

a) Pasa por el punto M (3, 5) y tiene un ángulo de inclinación de 60°.

b) Pasa por el punto N (-4, 6) y tiene de pendiente 3.

c) Tiene pendiente –2 y su intersección con el eje y es 5.

d) Pasa por los puntos E (-3, 5) y L (4 , -2).

e) Si los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son –4 y 6

respectivamente.

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.

En los artículos precedentes hemos visto que la ecuación de una recta cualquiera, en el plano

coordenado, es de la forma lineal: Ax + By + C = 0 …(1), en donde ya sea A o B debe ser

diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. La ecuación (1) se llama la forma general

de la ecuación de una recta.

Teorema 5.- Una ecuación lineal en las variables x&y representan una recta y recíprocamente.

Ejemplo: Hallar los valores que deben tener los coeficientes de la ecuación general

Ax+Bx+C=0 de una recta, para que pase por los puntos A (-1, 4) y B (3, -2). De ahí hallar la

ecuación de la recta.

Como la recta pasa por dos puntos apliquemos la forma cartesiana:

, de aquí que


33

Reduciendo términos e igualando a 0 la ecuación resulta 6x+6+4y -16=0, 6x+4y-10=0,

dividimos toda la ecuación por 2 y finalmente tenemos 3x+2y-5=0 y comparamos

Ax+Bx+C=0, donde los valores de los coeficientes son A=3, B=2 y C=-5, de aquí que

podemos calcular otros elementos como la pendiente m, (a,0) y (0,b) que son coordenadas

de intersección con los ejes.

Ax +By + C = 0

By = - Ax- C

y=

Por comparación

Donde

P(0,b)

por consiguiente

Q(a,0)

Con las formas anteriores cualquier ecuación en su forma general se puede hacer su representación gráfica.

Veamos la gráfica.

Posiciones relativas de dos rectas (paralelas y perpendiculares). Ahora consideramos las posiciones relativas de la recta, cuyas ecuaciones pueden ponerse en las formas generales:

Ax + By + C = 0 (1)

A´x + By´ + C´ = 0 (2)

En particular, determinamos las condiciones analíticas bajo las cuales estas dos rectas son:

a) paralelas y b) perpendiculares.


34

Ejercicios

Hallar una ecuación de la recta que pasa por el punto A (5,1) y sea:

a) Es paralela a la recta y = 3x +7 y b) es perpendicular a tal recta.

Solución a) Paralela

Si y = mx+b entonces m= 3 y b=7, la ecuación que se busca debe ser paralela y pasara por punto A (5,1), por lo tanto usaremos la forma (y-y1) = m(x-x1).

y-1= 3(x-5) y-1= 3x -15 y=3x-15+1 y = 3x-14 si se lleva a su forma general 3x-y-14=0; veamos la gráfica:

Solución b) Perpendicular. Puesto que la línea ha de ser perpendicular a la recta dada debe

tener una pendiente m = 3 recíproca y con signo contrario, por lo que

, y como pasa

por el punto A (5, 1) la ecuación será: y-y1=m (x-x1)

x+3y-8=0

Si m de la recta dada = 3 el Ø1= 71°33’54.18’’, la

el Ø2=18°26’05.82’’; si

Ø1+Ø2=90°00’00.00, entonces se cumple el tema de perpendiculares; veamos la gráfica:


35

A partir de los anteriores argumentos ahora podrás realizar:


I.- En los siguientes problemas se da un punto P y una recta l. Determine una ecuación para

la recta que pasa por P y sea a) paralela a l y b) perpendicular a l.

1. P (6, -2), y = x + 10 4. P (-1,-1) 5y- 2 x = 9

2. P (0, 5) 2y = x - 7 5. P (100,200), x –3y = 0

3. P (-3, 0) 3y + x = 11

II.-Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general;

1. Que pasa por el punto (-2,4) y tiene una pendiente igual a –2.

2. Si los segmentos que determinan sobre los ejes x & y es decir sus intersecciones, son

3 y –5 respectivamente.

3. Que es perpendicular a la recta 3x –4y+11=0 y pasa por el punto (-1,-3).


36

Otra de las formas de la ecuación de la recta es:

FORMA NORMAL DE LA ECUACION DE LA RECTA

Consideramos una recta 0P1 de longitud P y con uno de sus extremos 0 siempre en el origen,

tal como pueden verse en la figura. La posición exacta de este segmento de recta sobre el

punto coordenado, está determinada por el ángulo w, que, como en trigonometría, en el

ángulo positivo engendrado por el radio vector OP al girar alrededor del origen. De acuerdo

con esto, la longitud p se considera siempre positiva, y la variación de los valores del ángulo

w viene dada por 0° ≤ w < 360° ……….(1)

Es evidente que, para un par cualquiera de valores dados de p y w la recta L trazada por P1

(x1, y1) perpendicular a OP1 queda perfectamente determinada. Ahora obtendremos la

ecuación de L por medio de la fórmula de la recta que pasa por un punto y tiene una

pendiente dada; veamos la figura:

La pendiente de m= tan

…….. (3), según esto, de ( 2 ) y ( 3 ), la ecuación de

L es después de algunos artificios algebraicos resulta; x cos ω + y sen ω-p=0


37

Este resultado conduce al siguiente:

Teorema 7.- La forma normal de la ecuación de una recta es x cos ω + y sen ω-p=0, en donde p es un número positivo, numéricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta, y ω es el ángulo positivo < 360° medido a partir de la parte positiva del eje x a la normal; veamos las siguientes figura (diferentes posiciones de la recta normal):


38

Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma normal.

Usualmente, la ecuación de una recta se da en la forma general:

Ax + By + C = 0……………………………… (1)

Sin embargo, la forma normal: cos ω + y sen ω – p = 0………………… (2)

Es útil para ciertos tipos de problemas. Por esto consideramos en este artículo el método de obtener la forma normal a partir de la forma general de la ecuación.

Si las ecuaciones (1) y (2) representan la misma recta, sus coeficientes correspondientes

deben ser proporcionales. Por tanto:

Cos ω = KA …… (3) Sen ω = KB …… (4) - p = KC ……. (5)

si elevamos al cuadrado ambos miembros de (3) y (4), y sumamos, obtenemos:

Cos2 ω + Sen2 ω = K2 (A2 + B2 )

Pero como Cos2 ω + Sen2 ω = 1, esta última relación nos da:

√

Si se sustituye este valor de K en cada una de las ecuaciones (3), (4) y (5), obtenemos las

relaciones buscadas entre los coeficientes correspondientes de las dos formas (1) y (2), estas

son:

√

√

√

Y la recta definida por la forma general (1) tiene por ecuación en la forma normal:

√

√

√

Ejemplo 1: En un círculo de centro en el origen y radio igual a 5, hallar la forma normal de la

ecuación de su tangente en el punto (- 3, 4).

Por geometría elemental sabemos que el radio que va al punto de tangencia es perpendicular

a la tangente. Por tanto p = 5, y sen w = 4/5 y cos w = - 3/5. Luego la ecuación de L en la

forma normal es:

(

)

Veamos la gráfica:


39

Ejemplo 2: La ecuación de una recta es 5x – 7y – 11 = 0. Reducirla a la forma normal, y hallar los valores de p y w.

√

√

√

Los coeficientes corresponden a A=5; B=-7 y C= -11

√

√

√ ;

√

√

√

√

√

√

√

√ ;

√

√


40

De la ecuación 5x – 7y – 11 = 0 se obtienen sus coordenadas de intersección con los ejes y su pendiente m al igual que su ángulo Ø de inclinación.

Ø=shift tan m= 35°32’15.64’’, comparamos con el ángulo ω obtenido

54°27’44.36’’ de la recta normal reducida y corresponde exactamente a una perpendicular

que sumados entre si dan 90°00’00.00’’; veamos la gráfica:

¡Normalízate en tus estudios, realizando!


I. Dibujar una figura para cada ejercicio.

1. Hallar la ecuación de una recta en la forma normal, siendo w = 60 y p = 5.

2. La ecuación de una recta en la forma normal es x cos w + y sen w – 5 = 0. Hallar el valor de w para que la recta pase por el punto (4, -3).

3. Hallar la distancia * del origen a la recta 2x – 3y + 9 = 0.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN.

1. Hallar la ecuación de la recta en forma normal, siendo w = 45° y p = 5

2. La ecuación de la recta en la forma normal es x cos w + y sen w-p = 0, hallar el valor de w para que la recta pase por el punto M (3, 4)

3. Hallar la distancia el origen a la recta 6x – 4y – 5 = 0


41

1.2.3 INTERSECCIÓN DE RECTAS

Sean A1 x + B1 y + C1 = 0 y A2 x + B2 y + C2 = 0 dos rectas cualesquiera, razonaremos así: si P (x , y) es el punto de intersección y pertenece a los dos rectas, sus coordenadas satisfacen simultáneamente a ambas ecuaciones. Luego la coordenadas del punto P son las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de las rectas. Ejemplo: calcular el punto de intersección de las rectas 3x – y – 10 = 0 y 2x + y – 10 =0 resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones obtenemos:

Directamente por eliminación, cancelamos y obtenemos: 5x-20= 0 5x= 20

…..(3)

Sustituimos a (3) en (1) 3(4) –y-10=0 12-y-10=0 -y = -12+10 -y = -2 por (-1) y =2….(4) PI ( 4, 2)

Sustituyamos (3) y (4) en (1) y (2), para comprobar 3(4)-2-10 = 0 2(4)+2-10= 0

Veamos la gráfica:

¡Interséctate realizando!


42


I. Encuentra el punto de intersección de las siguientes rectas y compruébalo gráficamente.

a) 3x – 2y = 1………..… ( 1 )

6x – 4y = 5………...….( 2 )

b) 3x – 4y = 5..…………….(1)

x + 2y = 5 ..……………(2)

c) 2x + 3y = 4 …….………(1)

-3x + y = 5…….……….(2)

d) 4x – 5y = 8 …...…….…( 1)

2x + y = -10……….. ( 2 )

e). 5x – 2y = 5…………….(1)

2x + 3y = 6…………….(2)

f). 3x – 6y – 13 = 0 ……….(1)

4x + 3y + 1 = 0 ……….( 2)

g). 5x + 4y – 50 = 0………….(1)

5x – 4y – 50 = 0………….(2)

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Dos rectas al cruzarse forman cuatro ángulos, siendo iguales los ángulos opuestos por el

vértice y se define como el ángulo que forman dichas rectas. Al ángulo positivo más

pequeño que tiene su lado inicial en R1 el lado final en R2. Este ángulo lo

identificaremos con .

El valor del ángulo se puede obtener calculándolo por la fórmula de pendientes:

o por composición de arcos calculando .


43


Hallar las ecuaciones, el ángulo de intersección y construir su gráfica de las rectas formadas

por los puntos R1 A (-2,-1) y B (4,5); R2 C (-2,3) y D (4,1).

A partir de la cartesiana:

, para ecuaciones de rectas que pasan por dos

puntos; calculemos las ecuaciones

R1 de A-B

y+1=1(x+2) y+1 = x+2 x+2-y-1=0 x-y+1=0 … … … … … (1) Pendiente de A-B

=

m1 = 1, el = 45°00’00.00’’

R2 de C-D

3(y-3)= -1(x+2) 3y-9 = -x-2 3y-9+x+2=0; x+3y-7 = 0 … … … (2) Pendiente de C-D

m2 =

, el = -18°26’05.82’’

Coordenadas de intersección de las 2 rectas:

Ángulo de intersección:

(

)

=

= -2shift tan

-63°26’05.82’’siempre en valor

absoluto.

x –y+1=0 (-1) x+3y-7=0 -x +y -1 = 0 x+3y-7 = 0 0 +4y-8=0

4y= 8

y=

y=2

Sustituyendo y en x-y+1=0 x-2+1=0 x-1=0 x=1


44

Actividad: hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son: A(-2,1), B(3,4), C(5,-2)

1. Se recomienda graficar el problema para ubicar los ángulos

2. Obtener las pendientes de los lados del triángulo utilizando m = 12

12

xx

yy

m AB = )2(3

14

=

5

3 m BC = 3

2

6

35

42

m AC =

7

3

)2(5

12

3. Hallar los ángulos aplicando fórmula Tan A, B, C = 12

12

1 mm

mm

( )

Si A + B + C = 180o entonces


45


1. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135o, sabiendo que la recta final tiene una

pendiente de - 3 calcular la pendiente de la recta final.

2. El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos A(-4,5) y B(3,y) con la recta que

pasa por C(-2,-4) y D(9,1) es de 135°, hallar el valor de “y”

3 Hallar el ángulo agudo del paralelogramo cuyos vértices son: A (-2,1), B (1,5), C (10,7) y D

(7,3).

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN

4. Encontrar los ángulos interiores de los siguientes triángulos a) A (2, 5), B (8,-1), C (.2, 1). b) A(-3.-2), B(2,5), C(4,2) c) A(-2,1), B(3,4), C(5,2) d) A(1,-2), B(3,2), C(5,-4) e) A(0,-1), B(7,2), C(9,3)

1.2.4 Distancia de un punto a una recta Comúnmente suelen presentarse problemas de campo donde se necesita conocer la distancia de un punto a una recta, esto puede ser desde una casa, un árbol u otro objeto hacia un muro, una cerca de alambre, una barda perimetral, por citar algunos; de aquí que si se tienen los elementos como la ecuación de la recta que se forme y las coordenadas cartesianas del punto; se puede entonces calcular con la siguiente forma:

√

Ejemplo 1. Búsquese la distancia del punto P(1, 2) a la recta 2x - 3y-6 = 0. La distancia de

cualquier punto (x1, y1) a la recta dada;

donde A=2, B=-3 y C= -6; x1=1 y1=2

√

√

√

√

Veamos la gráfica:

PA debe ser perpendicular que es la

distancia buscada.

Nota: por la reducción de la imagen se nota

distorsionada.


46


I. Resuelve y grafica cada ejercicio.

1) Hallar la distancia de la recta 4x – 5y + 10 = 0 al punto P(3, 2).

2) Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2 y + 7 = 0 al punto P (-1, 4)

3) Hallar la distancia de la recta 5x + 12 y – 12 = 0 al punto P (3, -2)

4) Hallar la distancia dirigida de la recta 12x- 5 y + 3 = 0 al punto P(6, 4)

Ahora, mide muy bien tu distancia y ubícate en un punto de tu salón de clases para realizar:


I. Hallar la distancia de la recta al punto que se indica.

1) 3x – y + 6 = 0 , B (2, -1)

2) 2x + y – 10 = 0, C (-3, 5)

3) x + 2y – 5 = 0, D (6, 8)

4) 2x + 3y – 6 = 0, E (3, 4)

CÓNICAS

Las cónicas son curvas que surgen al cortar un cono con planos de distinta inclinación. Es importante tener en cuenta que son líneas curvas y no superficies.

Las cónicas son:

Circunferencia. Es la línea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano paralelo a la base.

Elipse. Es la línea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano oblicuo.


47

Parábola.- Es la línea que se obtiene al cortar un

cono recto con un plano paralelo a una generatriz.

Hipérbola.- Es la línea que se observa al cortar un cono recto con un plano perpendicular a la base del mismo.

Si el plano que intersecta al cono perpendicularmente a la base contiene al vértice, se obtienen dos semirrectas que se cortan, también llamadas hipérbola degenerada.

En estos momentos vas a iniciar un nuevo tema en tu transitar por esta asignatura, tema que tiene aplicación en diversos problemas de construcción.

Observa detenidamente el dibujo que se te presenta a continuación y determina si las líneas curvas son circunferencias o espirales.

¿Qué es lo que ves? ¿Qué curva identificaste en el dibujo? ¿Cuál es tu concepto de circunferencia?


48

¿Cuál es tu concepto de círculo? ¿Qué relación encuentras en estos conceptos?

El tema que estudiarás ahora es la circunferencia, con los materiales que tienes a la mano traza una circunfería y de acuerdo a lo realizado rectifica o ratifica tu concepto de circunferencia. Ahora consulta tu guía de trabajo y analiza los contenidos expuestos sobre la circunferencia.

A partir de este ejemplo, analizaremos una de estas curvas, la circunferencia:

1.3.1 Análisis de la circunferencia.

Circunferencia.- Se llama circunferencia de centro O y radio r, al conjunto de puntos del plano que están a una distancia igual a r del centro O

Círculo.- Se llama círculo al conjunto de puntos de una circunferencia, más los puntos interiores a la misma.

Aunque a veces se confunden ambos

conceptos, observa que

geométricamente, la circunferencia es

una línea; en cambio el círculo es una

superficie.

Para determinar la gráfica y la ecuación algebraica que representa a una circunferencia, es suficiente conocer su centro y su radio. La representación geométrica y su definición, nos conducen a la expresión algebraica que le corresponde.

Realiza las siguientes actividades:

1. Con la ayuda de un compás traza una circunferencia, llamando centro al punto fijo y asignándole las coordenadas C (h, k).

2. Toma un punto cualquiera de la circunferencia y llámale P(x, y). 3. Traza un segmento que una al centro C (h, k) con el punto P(x, y), llamándole radio a la

distancia que los separa. 4. Definidas las coordenadas del centro y del punto, sustitúyelas en la fórmula de la distancia

entre dos puntos. P(x,y) & C(h,k); de abscisas y ordenadas respectivamente.

√

√

x2+y2 = r2 Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro el origen

Al observar esta ecuación notarás que es de segundo grado con dos variables, en la cual se requiere conocer el centro y el radio para determinar la ecuación de cualquier circunferencia.

C (h,k)


49

Esta ecuación es conocida como forma ordinaria de la circunferencia.

Ejemplo 1: Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en C (1,2) y radio r=3.

. Donde C (h, k); h= 1 & k=2

Sustituimos los datos que tenemos: (x- 1)2+ (y-2)2= 32, de la ordinaria resolvamos los binomios x2 -2x+1+ y2-4y+4=9; ordenar y reducir a la ecuación general x2+y2-2x – 4y+1+4-9=0

x2+y2-2x – 4y -4=0; reduciendo a la forma x2+y2+Dx+Ey+F=0.

Cuando el centro de cualquier circunferencia es el origen, h=0 y k=0, se obtiene una forma más sencilla: r2 = x2 + y2, a esta forma se le conoce como forma canónica de la circunferencia.

Ejemplo 2:

Determinar la ecuación de la circunferencia con centro C (0, 0) y radio r = 2

Sustituimos en la ecuación canónica x2+y2=4, resultando dicha ecuación general x2+y2-4=0

Veamos la gráfica en geogebra.

Observa que al conocer el centro y el radio de la circunferencia, es muy sencillo obtener la ecuación que la representa. En cualquier otra situación donde se desconozcan esos valores, se deben analizar las condiciones planteadas para obtenerlos.


50

Ejemplo 3: Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro el segmento formado por los puntos: M (1, 2) y N (-5, 4)

Solución

Cálculo de las coordenadas del centro C(h,k)

Cálculo del radio √ , usemos M(1,2) y C(-2,3)

√ = √ = √ = √ = √ = 3.16227

Donde r2 = 10

Ecuación ordinaria, con los datos obtenidos C(-2,3) y r2 = 10, apliquemos la forma

ordinaria:

(x+2)2+ (y-3)2=10, desarrollamos los binomios para encontrar la

forma general; esto es:

x2+4x+4+y2-6y+9-10=0, reduciendo x2+y2+4x-6y+3=0; veamos la gráfica en geogebra:

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

A partir de esta ecuación ordinaria (x-h)2 + (y-k)2 = r2, al desarrollar los binomios, para la

circunferencia dada se obtiene: x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0 comparando

x2+y2+Dx+Ey+F=0, se hacen las sustituciones de -2h por Dx, -2k por E y h2 + k2 – r2 por F.


51

Cualquier circunferencia puede ser expresada por medio de esta ecuación a la que se llama

forma general de la ecuación de la circunferencia.

Para conocer los elementos de una circunferencia dada su ecuación general, necesitamos

pasar de la forma general a la forma ordinaria; así se obtienen los elementos necesarios para

poder trazar una circunferencia dada su ecuación de la forma general.

Para el centro C ( h, k )

,

Para el radio

√

Ejemplo 1. Determina el centro y radio de la circunferencia que tiene por ecuación a

x2+y2+4x-6y-3=0.

Solución. Aplicando las formas anteriores diremos que D= 4, E= -6 & F= -3; para el centro

tenemos que:

C(h,k)→C(-2,3)

√ =

√ =

√ =

√ =

Veamos la gráfica en geogebra:


52

Por otro lado, si seguimos los pasos empleados para transformar la forma general a la forma ordinaria, tenemos: factorizando la ecuación x2+y2+4x-6y-3=0

1. (x2 + 4x) + (y2 – 6y) = 3

2. x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 3 + 4 + 9

3. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16

De donde el centro es el punto C (-2,3) y el radio es r = 4, obteniendo los mismos resultados que por el método anterior.

1.3.2 Relación entre circunferencia y recta

La geometría plana define la tangente a una circunferencia como la recta que tiene un solo punto en común con dicha curva. En general, la definición anterior no es aplicable para todas las curvas planas, ya que existen curvas en las cuales la recta tangente en un punto corta a la curva en uno o más puntos distintos.

Tangente a una circunferencia

La tangente a una circunferencia es la perpendicular al radio trazado al punto de tangencia.

La ecuación de la tangente a una circunferencia queda perfectamente determinada si se conocen su pendiente y el punto de tangencia o algún otro de sus puntos.

Cuando se conoce cualquiera de dichos datos, el otro se determinará a partir de las condiciones dadas en el problema.

Por lo anterior, consideramos los siguientes casos.

1. Determinar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada en un punto dado de tangencia.

2. Determinar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que tiene una pendiente dada.

3. Determinar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que pasa por un punto exterior dado.

El método de solución para cada uno de estos casos es muy semejante, en cada problema se presenta una condición y con base en ello, se escribe la ecuación de la familia de rectas que cumplan con dicha condición; la ecuación resultante contiene un parámetro que se calcula por medio de la condición de tangencia.

Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la recta tangente trazada del punto A (11, 4) a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y = 0 (doble solución).


53

Solución:

Al aplicar la ecuación punto y pendiente de la recta, se tiene que la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto dado A (11, 4), es: y-y1= m(x- x1); y-4 = m(x-11).

En la ecuación, m representa la pendiente de la recta tangente por determinar; al despejar con respecto a y, tenemos: y – 4 = m (x – 11), y – 4 = m x – 11m, despejando a y y = mx – 11m + 4.

Al sustituir esta igualdad en la ecuación de la circunferencia, resulta:

x2 + y2 – 8x – 6y = 0

x2 + (mx – 11m + 4)2 – 8x – 6 (mx – 11m + 4) = 0

x2 + m2x2 + 121m2 + 16 – 22m2x + 8mx – 88m – 8x –6mx +66 m – 24 = 0

x2 + m2x2 – 22m2x + 2mx – 8x +121m2 – 22m – 8 = 0

(1 + m2) x2 – (22m2 – 2m + 8) x + (121m2 – 22m – 8) = 0

Esta última ecuación está escrita en la forma ax2 + bx + c = 0; si se aplica la condición de tangencia, debemos comprobar que b2 – 4ac = 0, es decir: a=1 + m2, b= 22m2 – 2m + 8, c=121m2 – 22m – 8


54

- (22m2 – 2m + 8)2 – 4 (1 + m2) (121m2 – 22m – 8) = 0

484m4 + 4m2 + 64 – 88m3 + 352m2 – 32m – 484m2 + 88m + 32 – 484m4

+ 88m3 + 32m2 = 0

-96m2 + 56m + 96 = 0

Al simplificar tenemos: -12m2 + 7m + 12 = 0; al multiplicar por (-1), tenemos:

12m2 – 7m – 12 = 0

Al factorizar: (4m + 3) (3m – 4) = 0, igualamos a 0 cada factor 4m + 3 = 0 3m – 4 = 0

La pendiente de la recta tangente 1 es

y de la 2 es

.

Los ángulos, respectivamente son Ø1= -36°52’11.63’’ y el Ø2= -53°07’48.37’’, como dichas

tangentes son perpendiculares entre sí sus ángulos suman 90°.

Las ecuaciones de las rectas tangentes a partir de sus pendientes son:

Para

y P (11,4) → y – 4 =

(x – 11) 3x + 4y – 49 = 0

Para

y P (11,4) → y – 4 =

(x – 11) 4x + 3y – 32 = 0

Las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto A (11, 4) a la circunferencia

x2 + y2 – 8x – 6y = 0, son: 3x + 4y – 49 = 0 y 4x – 3y – 32 = 0. VEAMOS LA GRÁFICA EN GEOGEBRA.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE:

Determine las ecuaciones de la tangente a la circunferencia: x2 + y2 – 14x – 10y + 49 = 0 en el punto A (4, 1).

1.3.3 Ecuación de la circunferencia a partir de tres condiciones.

Analizando las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia, notarán que hay tres valores independientes: “h”, “k” y “r” en la primera y D, E, F en la segunda. Significa que, como toda circunferencia, puede plantearse analíticamente con cualquiera de las formas mencionadas, sólo se requiere encontrar el valor de tres constantes. Esto se logra con tres ecuaciones que pueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes.

Geométricamente, el trazo de la circunferencia requiere también de tres condiciones independientes para quedar perfectamente determinada. Estas pueden ser tres puntos, dos puntos y una recta que contenga al centro, tres rectas que formen un triángulo inscrito o circunscrito a una circunferencia, etc.

El objetivo será plantear adecuadamente las condiciones dadas en sistemas de ecuaciones.

Ejemplo 1: Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

A (2, - 3), B (4, - 1) y C (2, 1).

Solución: como la circunferencia pasa por estos puntos, cada uno de ellos debe satisfacer a la fórmula general, por lo cual se sustituyen “x” y “y” en la ecuación por los valores de las coordenadas de los puntos.

Para A(2, -3) queda 22 + (-3)2 + 2D - 3E + F = 0

Para B(4, -1) queda 42 + (-1)2 + 4D – 1E + F = 0

Para C(2, 1) queda 22 + 12 + 2D + 1E + F = 0


55

Formándose un sistema 3x3 que ya reducido se expresa:

2D – 3E + F = - 13

4D – E + F = - 17

2D + E + F = -5

Regla de Cramer por determinantes algebraicos:

Matriz general

|

|

CALCULO DEL VALOR “D”

|

|

|

|

CÁLCULO DEL VALOR “E”

|

|

|

|

CÁLCULO DEL VALOR “F”

|

|

|

|

Al resolver este sistema con uno de los métodos ya estudiados, en cursos anteriores, nos quedan los siguientes resultados: D = -4, E = 2 y F= 1; sustituyendo estos valores en la forma general: x2 + y2 + Dx + Ey +F = 0, obtenemos:

x2+ y2 –4x + 2y + 1 = 0; que es la ecuación de la circunferencia buscada.

Su centro y su radio están dados por:

C(h,k)→C(2,-1)

√ =

√ =

√ =

√ =

Veamos la gráfica en geogebra:


56


1. Encuentra la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria y redúcela a la forma general.

a) Centro en (-6,4), radio 8.

b) Centro en (-2, -5), radio 4.

2. Encuentra el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

a) (x – 6)2 + (y + 4)2 = 25

b) (x + 3)2 + (y – 1)2 = 100

c) x2 + y2 – 20x + 40y + 379 = 0

d) 3x2 + 3y2 + 36x – 12y = 0


57

3. Encuentra las ecuaciones de las circunferencias que cumplen las siguientes condiciones:

a) Tiene su centro en (-4, -2) y pasa por (2, 5).

b) Tiene su centro en (-5,6) y es tangente al eje x.

c) Tiene su centro en (3,4) y es tangente a la recta cuya ecuación es 4x – 2y + 10 = 0.

4. Graficar las circunferencias que se dan en los incisos a, b, c del problema 3

5. Describir el lugar geométrico que representa cada una de las siguientes ecuaciones:

a) x2 + y2 – 10x + 8y + 5 = 0

b) 4x2 + 4y2 + 28x – 8y + 53 = 0

c) 16x2 + 16y2 – 64x + 8y + 177 = 0

6. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

a) A(0, 0), B(3, 6) y C(7, 0).

7. Encuentra la ecuación de la circunferencia con radio = 5 y tangente a la recta

3x + 4y - 16 = 0 en (4, 1).

8. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por A (3, 2) y B (-1, 6) y su centro está sobre la recta 6x + 15y + 3 = 0.

9. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia al origen es siempre el triple de su distancia al punto (8,0).

10. Determina la ecuación de la tangente a cada una de las circunferencias dadas en el punto indicado.

1. x2 + y2 – 8x – 2y + 7 = 0 en A (1,2)

2. x2 + y2 – 2x – 6y - 3 = 0 en A (-1,6)

3. x2 + y2 – 100 = 0 en A (6, -8)

11. Determina la ecuación de la tangente a cada una de las circunferencias dadas y que tengan la pendiente que se indica (todos los problemas tienen doble solución).

1. x2 + y2 – 4x – 16y + 43 = 0 para m = 3 / 4

2. x2 + y2 + 8x – 12y + 34 = 0 para m = -1

3. x2 + y2 – 10x + 2y + 18 = 0 para m = 1

4. x2 + y2 – 8x – 6y + 20 = 0 para m = - 2 / 3


I. Encuentra la ecuación de cada una de las siguientes circunferencias.

a) Centro en (0, -5), radio 8.

b) Tiene su centro sobre la recta y = x, es tangente a ambos ejes y radio igual a 4

c) Tiene su centro en el origen y es tangente a la recta x + y = 6

d) Circunscrita al triángulo de vértices: A(6, 2), B(7, 1) y C(8, -2)


58

II. Encuentra el centro y el radio de la siguiente circunferencia.

9x2 + 9y2 + 72x – 12y – 103 = 0

III. Encuentra el área del círculo y el perímetro de la circunferencia.

7x2 + 7y2 + 4x – 82y + 55 = 0

IV. Demuestra que los puntos (5,0), (5,-8), (4,1) y (5, 2) están sobre una misma circunferencia.

V. Determina la ecuación de la tangente a la siguiente circunferencia en el punto indicado.

x2 + y2 – 8x +3 = 0 en A (6,3)

Sin duda alguna conoces este dibujo:

¿Qué representa?

¿En que se utiliza?

¿Cómo funciona?

¿Quieres aprender más sobre la forma de esta antena?

Analiza los contenidos que a continuación se presentan y descubre nuevos conocimientos sobre la:

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1.4 LA PARÁBOLA

La parábola es una trayectoria común en nuestra vida cotidiana. Es el recorrido que sigue cualquier objeto cuando lo lanzamos con cierta velocidad e inclinación respecto a la horizontal. Este movimiento queda dibujado en el recorrido de las partículas de agua que salen de una manguera.

También forman parte de nuestro mundo las antenas parabólicas, en éstas cualquiera de las curvas contenidas, que pasan por el vértice de la antena es una parábola. El propósito de esta disposición es dejar las señales electromagnéticas (de televisión o de radio) de manera que todas ellas se concentren en un solo punto. Un propósito similar cumple los espejos parabólicos de los grandes telescopios, tales como el que posee México en San Pedro Mártir, o el de Monte Palomar, en Estados Unidos.

Como puede apreciarse existe una gran diversidad de aplicaciones que se generan al estudiar las propiedades de una curva, en esta ocasión la trayectoria parabólica, cuya definición es:


59

PARÁBOLA. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz.

Se compone de los siguientes elementos como se observa en la gráfica:

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

Un aspecto de gran importancia para la parábola es la distancia que existe entre su vértice y su foco. Sabemos por definición que ésta es equivalente a la distancia entre la directriz y el vértice, por lo general esta distancia suele representarse mediante la letra "a", es decir:

VF = VD = a

La importancia de "a" radica en que determina la forma de la parábola.

1.4.1 Ecuación de la parábola con vértice en el origen

La parábola a diferencia de la circunferencia, presenta posiciones distinguibles respecto a los ejes coordenados. Será necesario por esto, establecer una ecuación para cada posición; para su estudio dividiremos en cuatro casos en cuanto a su posición en los ejes coordenados.

D F

a


60

Analicemos la forma que presenta su ecuación si su vértice es en el origen y eje de simetría se encuentra sobre el eje de las abscisas.

La figura ilustra el caso, en donde la parábola se extiende hacia la derecha. Observe que las coordenadas del foco son F(a,0), P (x,y) un punto cualquiera de la parábola; la directriz corresponde al lugar geométrico cuyas abscisas son -a, su ecuación es: x = - a

El punto D se localiza sobre la directriz, por lo cual su abscisa es -a, además se encuentra

colocado a la misma altura que P, por lo que la ordenada de ambos es la misma, entonces las

coordenadas de D son: D (-a, y).

Una vez determinadas las coordenadas de P, D y F, recordemos la definición de

parábola:PF = PD = a

Que es equivalente a: √ √ , elevando al cuadrado

ambos miembros de la igualdad al cuadrado

(x-a)2 +(y-0)2 =(x+ a)2 +(y-y)2

x2-2ax+a2 +y2= x2+2ax+a2

y2-2ax-2ax= 0 resulta la ecuación de la parábola con ramas hacia la derecha y2=4ax

X

Y

D (-a, y)


61

Esta es la forma más simple como puede expresarse la ecuación de la parábola sujeta a las condiciones iniciales.

Para determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje de simetría coincidente con x que se extiende hacia la izquierda, la única modificación que existe es la ubicación de F, ahora con abscisa negativa y D cuya abscisa es positiva; para distinguir lo anterior basta con dar signo a "a”:

Si a > 0 ( positivo) la parábola se extiende a la derecha

Si a < 0 (negativo) la parábola se extiende a la izquierda

Resumiendo lo anterior quedaría de la siguiente manera:

La parábola también puede orientarse de manera que su vértice esté en el origen y su eje de simetría coincida con el eje de las ordenadas, como aparece en la figura:

Si P (x, y) es un punto cualquiera de la parábola,

entonces las coordenadas de D son D(x, a) ya que

comparte la abscisa con P; además la directriz es el

lugar geométrico de los puntos cuya ordenada es a, es

decir:

y = - a

Utilizamos el camino semejante al del primer caso, quedaría así:

x 2 = 4ay

Esto mismo puede ajustarse a una parábola cuya ubicación de los ejes coordenados en las ordenadas y se extiende hacia abajo. Para ello es necesario solamente proporcionar signo a "a”:

a > 0 ( positivo ) la parábola se extiende hacia arriba

Caso I Parábola con vértice en el origen y eje de simetría en las "x"

Ecuación de la parábola y2 = 4ax y2 = - 4ax

V ( 0 , 0 ) F ( a, o ) LR = 4a V ( 0 , 0 ) F (- a, o ) LR = 4a

Ecuación de la directriz x = -a x = a

Posición de la curva

a > 0 a < 0

X


62

a < 0 ( negativo ) la parábola se extiende hacia abajo

Resumiendo lo anterior esto quedaría así:

Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en el punto F (0, 3). Hallar además la ecuación de la directriz.

Por las coordenadas del foco podemos deducir que se trata de una parábola que se extiende hacia arriba.

F (0, 3), F ( 0, a ) entonces a = 3 y su ecuación sería

x 2 = 4ay,o bien

x 2 = 4 (3)y;

x2 = 12y, que también puede expresarse como

x 2 - 12y = 0

La ecuación de la directriz puede obtenerse así: y = -3; o bien y + 3 = 0.

TABULACIÓN

Si x2 - 12y = 0 → x 2 = 12y 12y= x2 entonces y =

, dominio para x=

X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Y 4.1 3.0 2.1 1.3 0.8 0.3 0.1 0.0 0.1 0.3 0.8 1.3 2.1 3.0 4.1

Veamos la gráfica resultante en geogebra.

X

Y

X

Y

Caso II Parábola con vértice en el origen y eje de simetría en las "y"

Ecuación de la parábola x2 = 4ay x2 = - 4ay

V( 0 , 0 ) F( o, a ) LR = 4a V( 0 , 0 ) F( o, - a ) LR = 4a

Ecuación de la directriz y = -a y = a

Posición de la curva

a > 0 a < 0


63

Ejemplo 2. Encontrar la ecuación de la parábola cuyo foco es F (-2, 0) si su directriz es la recta x = 2. Calcular además la longitud de su lado recto.

Por las coordenadas del foco, sabemos que se trata de una parábola que se extiende hacia la izquierda y que tiene su eje de simetría en las "x"

F (-2, 0) y la directriz x = 2

F (a, 0) o bien x = a

Ecuación de la parábola y2 = 4ax

Sustituyendo y2 = 4 (-2) x

y2 = - 8x

O bien y2 + 8x = 0

Además 4p = -8

Entonces el lado recto es LR = 4a

Sustituyendo LR = -8

LR = 8


64


I. Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en el origen, si el valor de " a" y el eje de simetría es el que se indica:

1. a = 4 eje en las " x " 2. a = -3 / 4 eje en las " x "

3. a = 6 eje en las "y" 4. a = -5 eje en las "y"

II. Determina la ecuación de la parábola, si sabemos que su vértice está en el origen. La longitud de su lado recto es el que se indica y la parábola se extiende como se señala.

1. LR = 10 abre hacia arriba 2. LR = 16 abre hacia abajo

3. LR = 4 abre hacia abajo 4. LR = 8 abre hacia la derecha

III. Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en el origen, las coordenadas del foco son las que se indican, además determine la ecuación de la directriz.

1. F ( -4, 0 ) 2. F (0, -8 )

3. F ( 3, 0 ) 4. F (0, 6 )

IV. Cuáles serán las coordenadas del foco, si la parábola tiene su vértice en el origen y la directriz es la siguiente:

1. y = -3 2. x = - 4

3. y = -7 4. x = 3 / 2

V. A partir de la ecuación de la parábola, encuentra todos sus elementos y graficar.

1. y2 = 16x 2. x 2 = 8y

3. y 2 = -12x 4. x2 = - 20y


I. A partir de los siguientes datos encuentra y grafica los elementos de la parábola.

1. a = 6 eje X 2. a = -10 eje Y

3. LR = 24 abre hacia la izquierda 4. LR= 24, abre hacia la derecha

5. F (0, -6) 6. F(-5, 0)

7. V (0, 0) y = 3 8. V(0, 0) x = -4/3


65

Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen

Existen dos casos:

a) Parábola con eje focal paralelo a las "x"

b) Parábola con eje focal paralelo a las "y"

Ambos casos tienen vértice (h, k)

En la siguiente gráfica encontrarás una parábola con vértice (h, k) y cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las "x" , de acuerdo al sistema de coordenadas.

Al mismo tiempo, la parábola tiene vértice en el origen si nos referimos al sistema X´Y´, por lo cual la ecuación toma la forma del primer caso.

y2 = 4ax

Para referir la curva al sistema XY , recordemos que:

x´= x - h

y´= y - k

Resumiendo lo anterior quedaría así:

Caso III Parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo a las “x”

Ecuación de la parábola con ramas hacia la derecha

Ecuación de la parábola con ramas hacia la izquierda

(y-k)2=4a(x-h) ; V(h,k); F(h +a , k) LR =|4a|

Directriz x= h - a

Posición de la parábola a>0

(y-k)2= - 4 a(x-h); V(h,k) F(h-a, k); LR =|4a|

Directriz x = h + a

Posición de la parábola a<0

Una argumentación semejante se aplica para la determinación de la ecuación de la parábola, cuyo eje de simetría es paralelo a las Y, cuyo resumen aparece en la siguiente tabla:

Caso III Parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo a las “y”

Ecuación de la parábola con ramas hacia arriba.

Ecuación de la parábola con ramas hacia abajo

(x-h)2= 4 a(y-k) ;V(h,k); F(h, k +a) LR =|4a|

Directriz y= k - a

Posición de la parábola a>0

(x-h)2= - 4 a(x-h); V(h,k) F(h,k-a); LR =|4a|

Directriz y = k + a

Posición de la parábola a<0


66

Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola con vértice en V (-2, 5) y foco en F (3, 5)

Si graficamos al vértice y foco podemos saber que el eje de simetría es paralelo a las "x" y que la parábola se extiende hacia la derecha, debido a que a > 0

Con la gráfica anterior podemos recordar que la magnitud de "a" es VF , por lo tanto podemos concluir que a = 5, y su ecuación sería:

( y - 5 )2 = 4 (5) (x + 2); (y - 5) 2 = 20 (x + 2) que corresponde a la ecuación ordinaria, resolvemos el binomio para dejarla en su forma general:

y2-10y+25=20x+40=0 donde y2-10y+25-20x-40=0 y reduciendo queda y2-20x - 10y-15 =0; para tabular y graficar consideremos a:

(y - 5) 2 = 20 (x + 2); despejamos a y, √ ; [ √ ] , el

dominio para x será [-2……+∞), intervalo cerrado desde -2 y abierto por la derecha.

X -2 -1 0 1 2 3 4

Y 5 9.5

0.5

11.3

-1.3

12.7

-2.7

13.9

-3.9

15

-5

16

-6


67


I. Determina la ecuación de la parábola dado el vértice y el foco:

1. V (3, -5) F(-4, -5) 2. V (5, 3 ) F (3, 3)

3. V (5, -6) F (5, 2) 4. V (4, -1) F (4, 6)

5. V (3, 6) F (-2, 6) 6. V (-6, 3 ) F(4, 3)

II. Encuentra la ecuación de la parábola y las coordenadas del foco, si el vértice y la directriz son las siguientes:

7. V ( 8, 5) y = 7 8. V (3, 5) y = - 6

9. V (-3, 6) x = - 5 10. V (2, -4) x = -7

11. V (-7, -2) y = 10 12 V (5, -3) y - 5 = 0

III. Dadas las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz, encontrar la ecuación de la parábola.

13. F (-9, 6) x = -5 14. F (7, -4) x + 1 = 0

15. F (3, -3) y = 4 16. F (6, 2) y = -16

17. F (8, -4) x + 12 = 0 18. F (7, -5) y + 5 = 0


I. A partir de los siguientes elementos, encuentra y grafica la ecuación de la parábola.

1. V (-3, 4) F(-2, 6) 2. V (10, 9) F(13, 11)

3. V (7, 2) F (6, 5) 4. V (1, 3) F (-4, 0)

5. V (4, 7) el eje y 6. V (0, 3) Y - 16 = 0

7. F (1, 4) Y + 8 = 0 8. F (-8, 0) X = - 9

1.4.2 Forma general de la ecuación de la parábola

Si partimos de la forma de una parábola con vértice V (h, k) y eje de simetría paralelo al eje "x", tendremos:

( y - k )2 = 4a ( x - h ) Si desarrollamos el binomio: y2- 2ky + k2 = 4ax - 4ah Trasladando todos los términos al primer miembro: y2 - 2ky + k2 - 4ax + 4ah = 0 Acomodando términos: y + (-2k)y + (-4a)x + (k + 4ah) = 0 Si D = - 2k E = - 4a F = k2 + 4ah Entonces la ecuación general sería: y2 + Dy + Ex + F = 0

Esta forma de la ecuación nos puede representar a cualquier parábola. De manera semejante la forma general para una parábola con v (h, k) y eje de simetría en las "x" sería:

(x - h) 2 = 4a (y - k) Se transforma en: x2 + (-2h)x + (-4 a)y + (h2 + 4ak) = 0 Por lo que: D = - 2h E = - 4a F = h2 + 4ah La ecuación se expresa así : x2 + Dx + Ey + F = 0


68

Ejemplo: La forma estándar de la ecuación de la parábola es (x - 3)2 = 20 (y - 1), transformarla a su forma general:

(x - 3) 2 = 20 ( y - 1 )

x2 -6x + 9 = 20y - 20

x2 - 6x + 9 - 20y + 20 = 0

x - 6x - 20y + 29 = 0

Si dada una ecuación general se desea conocer el vértice, foco, directriz, entre otros, además graficar el lugar geométrico, es necesario la:

Determinación de los elementos de una parábola a partir de la ecuación general:

Ejemplo 1: Encuentre el vértice, foco, ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola 6y2 - x = 0 ¿Hacia dónde se extiende?

Si analizamos la ecuación podemos decir que se trata de una parábola con vértice en el origen del plano y que tiene su eje simétrico en las "x”.

Realizando operaciones quedaría:

6y2 = x,

que corresponde a una parábola que abre hacia la derecha y su forma es

y2= 4ax, su eje focal coincide con el eje de las Xs.

Foco 4a =

, donde a = (1/6)/(4/1) =

F (

Directriz x= -a, X=

.

Longitud del lado recto LLR = 4a → =

Finalmente la parábola quedaría:


69

Ejemplo 2. A partir de la ecuación 4x2 - 4x + 16y + 49 = 0 de la parábola encuentra y grafica los elementos:

Despejemos a los términos en "x" 4x2 - 4x = -16y - 49

Puesto que el coeficiente de "x" debe ser 1, dividiremos entre 4: x2 - x = -4y - 49/4

Completando el trinomio: x2 - x + 1/4 = -4y - 49/4 + 1/4

Factorizando: ( x - 1/2 ) 2 = -4y - 48/4

( x - 1/2 ) 2 = -4y - 12

Transformando: ( x - 1/2) 2 = -4 ( y + 3 )

Entonces: h = 1/2 k = -3 4 a = - 4

Se desprende que: a = -1 V (1/2, -3) F (1/2, - 4) y = -2 LR = 4

La gráfica quedaría así:


70


I. A partir de la ecuación de la parábola encuentra sus elementos y gráfica.

1. x2 - 32y = 0 2. y2 + 4x = 0

3. x 2 - 64y + 20 = 0 4. x2 - 8x - 16y - 32 = 0

5. x2 + 12x - y + 6 = 0 6. y2 - 16y - 40x – 36 = 0


I. A partir de la ecuación general de la parábola, determina:

Vértice, Foco, Ecuación de la directriz, longitud del lado recto y gráfica.

1. x2 - 16y = 0 2. y2 + 32y =0

3. x2 + 24x + 16y + 54 = 0 4. y2 – 16y – 40x – 64 = 0

II. Un jugador de basquetbol hace un lanzamiento logrando la anotación, siendo su distancia al aro, en ese momento 5 m. La salida del balón se efectuó a 2m. Sobre el piso, la altura de la canasta es de 3 m. Si un espectador estima que el máximo alcance vertical de la pelota fue el doble de la altura del aro, ¿a qué distancia del jugador la pelota tocó el piso?. Considera que nada infirió con el movimiento hasta entonces.

1.5 LA ELIPSE

Hasta este momento se han analizado algunas formas geométricas, entre ellas la recta, la circunferencia y la parábola; ahora iniciaremos el estudio de otra figura formada por un conjunto de puntos que cumplen, al igual que en las anteriores figuras, con propiedades específicas que son diferentes a las anteriores figuras ya estudiadas. De cualquier forma la elipse es una cónica que resulta por el corte que se hace de un cono por un plano oblicuó a la base del cono.

¿Has observado esta figura? Enumera ejemplos:

Definición: Elipse es el lugar geométrico determinado por la trayectoria de un punto que se mueve de tal manera que las sumas de las distancias del punto a dos puntos fijos llamados focos es una constante. Esa constante se llama eje mayor.


71

Trazo: Para comprender este concepto y familiarizarnos con los elementos de esta curva, realicemos el trazo, para ello seguiremos los siguientes pasos.

a. Sobre una recta determinar los puntos A y A’ que formarán el eje mayor = 2a

b. Localizar el punto medio de A’A, que será el centro de la elipse O’

c. Localizar en A’A, F y F’ que serán los focos de le elipse, considerar que O’F = O’F’ y O’F < O’A

d. Con distancia O’A y haciendo centro en F y F’ se marcan los puntos B y B’ , extremos del eje menor B’B = 2b

e. trazar entre O’F los puntos: S, T, U, etc.

f. Con distancias SA y SA’ y haciendo centro en F y F´ , trazar y cortar arcos para determinar los puntos M, M’, N, N’, que cumplirán con la definición y por lo tanto pertenecerán a la curva

g. repetir el proceso con los puntos T, U, etc.

h. Unir a mano alzada los puntos pasando por A y A’ para cerrar la curva

NOMENCLATURA:

A’A y B’B: son los diámetros principales o ejes de simetría, eje mayor y eje menor respectivamente

A, A’ vértices de la elipse

A’A : es eje focal, eje mayor, se representa con 2a

B’B: es eje no focal, eje menor, se representa con 2b

F y F’ son los focos, F¨F es la distancia focal se representa con 2c

PF y PF’ se llaman radios vectores y PF + PF’ = 2 a = eje mayor

las cuerdas perpendiculares a los focos se llaman lado recto Lr = 2b2/a

Cualquier cuerda que pase por el centro se le llama diámetro

Las cuerdas que pasen por el foco y no por el centro se llaman cuerdas focales

O’ : centro de simetría

La relación entre la distancia focal y el eje mayor se llama excentricidad e = c/a, si e se acerca a 1 la curva se acerca a una recta , si e se acerca a cero la curva se aproxima la circunferencia por lo que 0 < e < 1

Actividad: trazar las siguientes elipses:

a) A(5,0) F(4,0)

b) 2 a = 12, B(3,0), O’(0,0)

c) O’(3,2) A(3, 7) B(7, 2)

d) Con una cuerda y dos clavos traza una elipse, coloca los clavos en el lugar que ocuparán los focos, amarra los extremos de la cuerda en los clavos, la medida de la cuerda representa el eje mayor, debe ser mayor que la distancia focal; con un lápiz tensa la cuerda y desliza el lápiz sobre la cuerda teniéndola siempre tensa hasta completar el trazo de la curva. Observa


72

que en este caso, la suma de los radios vectores que se forman al tensar la cuerda son igual al eje mayor.

Como habrás observado la elipse presenta diversas formas si se considera la posición del centro en el plano o la posición del eje mayor, éste puede ser vertical horizontal o inclinado, el centro puede estar en el origen o fuera del origen.

1.5.1 Ecuación de la elipse con centro en el origen

Por definición:

PF + PF’ = A’A = 2 a

Propiedad importante de la elipse:

En el triángulo BO’F que es rectángulo se tiene:

O’B = b y O’F = c son los catetos, BF = hipotenusa = a semieje mayor

Por Pitágoras: a2 = b2 + c2 propiedad importante de la elipse porque nos da la relación entre los semiejes y la semidistancia focal

Casos: y

x’ x Eje mayor horizontal O’(0,0) ecuación;

y

x’ x Eje mayor vertical O’(0,0); ecuación

y’

y

Eje horizontal O’ (h, k); ecuación

x’ x

y’

y

Eje vertical O’ (h, k); ecuación

x’ x

y’


73

Caso 1: O’ (0,0), F (3,0), A (5,0) centro de simetría en el origen, eje mayor en x’x

Por definición: FP + F’P = A’A …………… (1)

Por distancia entre dos puntos:

FP = 2222 )()0()( ycxycx ……..(2)

F’P = 2222 )()0()( ycxycx ………(3) 22)( ycx + 22)( ycx = 2 a………………(4) sustituyendo en (1) con (2) y (3) 22)( ycx = 2 a- 22)( ycx (5) despejar un radical y elevar al cuadrado

(x-c)2 + y2 = 4 a2 – 4 a( 22)( ycx )+ (x+c)2 +y2 desarrollando

x2-2cx +c2 + y2 = 4 a2 -4a 22)( ycx + x2 + 2cx + c2 + y2 reduciendo términos semejantes

-4cx – 4 a2 = 4a 22)( ycx dividiendo entre -4

cx +a2 =a 22)( ycx elevando al cuadrado

c2x2 + 2cxa 2 + a4 = a2(x2 + 2cx + c2 + y2) =

c2x2 +2cxa 2 + a4 = a2x2 +2 a2 c x + a 2c2 + a 2y2) pasar variables comunes a la izquierda

c2x2 2 - a2x2 - a 2y2 = a 2c2 – a4 ordenando y factorizando y multiplicando por (-1)

a2x2 – c2x2 +a2y2 = a2(a2- c2)

(a2 –c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2) como: a2 – c2 = b2

b2x2 + a2y2 = a2b2…………………….. (6) por propiedad importante

dividiendo por a2b2

12

2

2

2

b

y

a

x forma ordinaria de la ecuación de la elipse con O’(0,0)

Has de observar que el semieje mayor al cuadrado se relaciona con x2, si el semieje

mayor se relaciona con la variable y la posición del eje mayor será vertical y la ecuación

tendrá la forma

12

2

2

2

b

x

a

y forma ordinaria de la ecuación de la elipse con O’(0,0) eje mayor vertical

Propiedad intrínseca de la elipse:

Si se baja una perpendicular de un punto cualquiera de la elipse al eje mayor se tiene que:

PQ es perpendicular A’A

PQ = y , O’Q = x

PQ2 = y2 O’Q2 = x2

Como ya sabemos 12

2

2

2

b

y

a

xsustituyendo 1

'2

2

2

2

b

PQ

a

QO


74

Propiedad Intrínseca: “La distancia del centro al pie de la perpendicular bajada de un punto de la elipse al eje mayor al cuadrado es al semieje mayor al cuadrado más la longitud de la propia perpendicular al cuadrado es al semieje menor al cuadrado como 1”

Problemas de aplicación:

1) Hallar la ecuación de la elipse que tiene como focos (0, ),4 y un vértice en (0,6)

a) Graficar la elipse

b) la gráfica nos indica que el eje mayor es vertical por lo que se requiere utilizar la forma:

12

2

2

2

a

y

b

x . Por lo que se requiere conocer el valor de a y de b

Como O’A = a = y2 – y1 = 6-0 = 6 a = 6

O’F = c = y2 – y1 = 4 – 0 = 4 c = 4

b2 = a2 – c2 , b2 = 62 – 42 = 36 – 16 = 20

Entonces:

; de donde 36x2 + 20 y2 = 720 simplificando 9x2 + 5y2 – 180 = 0

ecuación pedida


75

1.5.2 Ecuación de la elipse con centro fuera del origen y ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados.


2) Hallar la ecuación de la elipse con focos en (4,-2) y (10, -2) y un vértice en (12, -2)

a) Graficar

b) Como se conocen los dos focos el punto medio entre ellos es el centro de simetría de la elipse, ello lo determinamos con el punto medio:

x = 72

410

2

12

xx y = 2

2

)2(2

2

12

yy

O’(7,-2)

c) Como O’V = a = distancia horizontal a = 12-7 = 5, a = 5

d) O’F = c = distancia horizontal, c = 10-7 = 3 c = 3

e) aplicando propiedad: b2 = a2 – c2 b2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16 por lo tanto b = 4

f) Como el eje mayor es horizontal la fórmula a utilizar es 1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx por lo que:

14

)2(

5

)7(2

2

2

2

yx

, 116

)2(

25

)7( 22

yx

forma ordinaria.

16(x – 7)2 + 25(y+2)2 = 400 desarrollando esta expresión se tiene:

16 x2 – 224 x + 784 + 25 y2 + 100 y + 100 – 400 = 0

16 x2 + 25 y2 -224x + 100 y + 584 = 0


76

Aquí se puede observar que la ecuación general de la elipse presenta la forma: con centro en (h,k) y ejes paralelos a los ejes coordenados es = Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 donde A = C pero de signos iguales.

Actividades de evaluación : Analizados los ejemplos anteriores, habrás observado que para hallar la ecuación de una elipse es necesario determinar los parámetros, h, k, a, b si se utiliza la forma ordinaria. Teniendo en cuenta esta observación, determinar la ecuación de la siguiente elipse, cuyos datos son:

a) O’(2,2), F(5,2) , A(6,2)

b) O’(-3,3), F(3,7) , A(-3,8)

c) A(8,2) A’(-2,2) , 2c = 8

d) F(2,3) F’(8,3), eje mayor = 10

e) F(5,1) F’(5,-3) eje menor = 16

f) B(3,5) ,, B’(3, -3) A(-2,1)

g) b = 3, lado recto = 3 eje mayor sobre y’y O’(0,0)

h) F(5,0), e = 2/3 eje mayor horizontal

i) e = 0.7 2 a = 20 O’(0,0) vertical

j) e = 4/5, O’(0,0) horizontal

k) Considerando la definición de elipse determinar la ecuación si se sabe que la suma de las distancias de cada punto de la curva a los puntos (5,3) y (4,-2) es 6

l) La suma de las distancias de cada punto de la curva a los puntos (2,3) y (5,-1) es 7

m) El centro es el origen , el eje mayor mide 6 unidades, el lado recto mide 8/3 u y los focos están sobre x´x

n) Hallar la ecuación de la elipse con vértices (1,-4), (1,6) y cuyo foco está sobre la recta: x - 2y + 7 = 0

1.5.2 Ecuación general de la elipse

Proceso inverso: si conocemos la ecuación de una elipse podremos determinar sus elementos y elaborar la gráfica correspondiente:

Si consideramos las condiciones para que una ecuación de segundo grado represente una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, estas condiciones son:

La ecuación general de segundo grado es: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ………..(1)

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx Ecuación de la elipse centro (h,k) eje mayor paralelo a x’x……………(2)

1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx Ecuación de la elipse centro en (h,k) eje mayor paralelo a y’y ………..(3)

Desarrollando 2 y 3 se tiene:

b2 x2 + a2 y2- 2b2 h x – 2 a2 k y + b2 h2 + a2 k2 - a2 b2 = 0……………………………………….(4)


77

a2 x2 + b2 y2 – 2 a2 h x – 2 b2 k y + a2 h2 + b2 k2 –a2 b2 = 0………………………………………(5)

Para que la ecuación (1) pertenezca a una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, sus

coeficientes y los de las ecuaciones (4) y (5) deben ser proporcionales

1. Como (4) y (5) carecen de x y, B = 0

2. Los coeficientes de A y C deben ser del mismo signo pero de diferente valor ya que A = b2 y C

= a2 o A = a2 y C = b2 y a2 = b2 + c2 según la posición del eje mayor

Por lo tanto: para que una ecuación de la forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 represente una elipse de

ejes paralelos a los ejes coordenados los coeficientes A y C deben ser de diferente valor ; pero del

mismo signo..

Ejemplo: 4x2 + 9y2 – 8x + 36y + 4 = 0, -x2 – 4y2 -2x +8y -4 = 0

Considerando estos criterios podemos determinar si la ecuación representa una elipse y una vez

identificada podremos determinar sus elementos. Para ello procederemos como en la circunferencia.

Ejemplo: dada la ecuación: 9x2 + 16y2 -54x +64y +1 = 0 determinar los elementos de la curva:

1. Como A = 9, C= 16 A y C son positivos, B = 0, la ecuación representa una elipse.

2. Los elementos a determinar son: O’, a, b, c, V, V’, B, B’, F, F’, e, Lr, ecuación eje mayor, ecuación

eje menor y su gráfica.

3. Pasar la ecuación a la forma ordinaria:

(9x2 – 54x) + (16y2 + 64y) = -1 agrupando términos en x y términos en y

9(x2 - 6x) + 16(y2 + 4y) = -1 factorizando los términos agrupados

9(x2 – 6x + 9) + 16(y2 + 4y + 4) = -1 + 81 + 64 completando trinomios cuadrados perfectos

9(x -3)2 + 16(y + 2)2 = 144 factorizando los trinomios

19

)2(

16

)3( 22

yx

Dividiendo por 144 para igualar a 1 tenemos la forma ordinaria, en ésta

ecuación se puede observar que 16 valor de (a) se relaciona con (x –h)2 por lo que el eje mayor de

esta elipse es paralelo a x’x. Hecho este análisis se procede a determinar los elementos:

O’ (3 , -2) se consideran las cantidades conocidas de los binomios con signo diferente

a2 = 16 a = 4, b2 = 9 , b = 3, c = 22 ba c =

22 34 = 7916


78

V(h + a, k), V(7,-2) V’(h-a, k), V’(-1,-2) puntos que están en una recta horizontal

B(h, k + b), B(3, 1) B’(h, k-b) B’(3, -5) puntos que están en una recta vertical

F(h + c, k) , F(3+ 7 , -2) F’(h-c, k) F’(3- 7 , -2) puntos que están en una horizontal

e = c/a e = 7 /4

Lr = 2

9

4

18

4

)3(22 22

a

b

Ecuación del eje mayor: y = k, y = -2 , y + 2 = 0 eje paralelo a x’x

Ecuación del eje menor: x = h, x = 3, x-3 = 0 eje paralelo a y’y

Gráfica:


79

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: hallar los elementos de las siguientes elipses y trazar la

curva:

(O’, a, b, c, V, V’, B, B’, F, F’ e, Lr., ecuación de los ejes)

1. 125

)2(

16

)1(22

yx

2. 116

)1(

25

)4(22

yx

3. 4(x-1)2 + (y+3)2 = 4

4. x2 + 4y2 + 8x -16y +28 = 0

5. 4x2 + y2 = 4

6. 49 x2 + 4y2 = 196

7. 1128

22

yx

.

an g analitica saeta adriel corregida

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