vectores · sistemas de coordenadas especificar posiciones en el espacio un sistema de coordenadas...

VECTORES Adriana Benitez

Definición de vector

Es una herramienta geométrica que se emplea para representar magnitudes físicas, definida por:

Magnitud (módulo o longitud)

Dirección (orientación)

Pueden representarse como segmentos de recta dirigidos en el plano ℝ𝑛, 𝑛∈ℕ.

Para nuestro caso nos limitaremos al plano ℝ2 y al espacio ℝ3.

Propiedades de los vectores

Suma Vectorial

Método del paralelogramo (Gráfico)

Método del polígono

Magnitud y orientación en ℝ2

Representación geométrica y gráfica en ℝ2

Coordenadas cartesiana y polares

Representación geométrica y gráfica en ℝ3

Sistemas de coordenadas

Especificar posiciones en el espacio

Un sistema de coordenadas se compone de lo siguiente:

* Un punto de referencia fijo, O, denominado el origen

*Un conjunto de ejes especificados con escalas y leyendas apropiadas sobre los ejes

* Instrucciones sobre cómo marcar un punto en dicho espacio.

Coordenadas rectangulares ℝ2

En el plano, la posición de un punto P se puede especificar con las coordenadas rectangulares (x, y) donde

x representa la distancia desde un origen hasta el punto P en la dirección horizontal

y representa la distancia desde un origen hasta el punto P en la dirección vertical.

Coordenadas polares ℝ2

En el plano, la posición de un punto P también se puede especificar con las coordenadas polares (r, θ) donde r representa la distancia desde el origen hasta el punto P y θ representa el ángulo formado por la línea OPy el eje positivo de las x

Relación entre coordenadas polares y coordenadas cartesianas ℝ2

x = rcosθ

y = rsenθ

θ = arc tan (y/x)

r =( x2 + y2 ) 1/2

COORDENADAS CARTESIANAS ℝ3

La posición de un punto P se especifica mediante tres números (x , y , z) proyecciones del vector de posición r de A sobre los ejes XYZ

COORDENADAS CILINDRICAS ℝ3 La posición de un punto P se especifica mediante tres cantidades (r, φ, z).

RELACION ENTRE COORDENADAS CILINDRICAS Y CARTESIANAS x = rcosφ y = rcosφ z = z

COORDENADAS ESFÉRICAS ℝ3

La posición de un punto P se especifica mediante tres cantidades (r, θ, Φ)

r es la distancia de P al origen (magnitud del vector de posición r)

θ es el ángulo que forma r con el eje Z positivo

Φ es ángulo entre el eje X positivo y la proyección de r sobre XY

RELACION ENTRE COORDENADAS CARTESIANAS Y ESFERICAS x = r sen θcos Φ y = r sen θsen Φ z = r cos θ

Componente de un vector

Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del vector.

La suma de las componentes de un vector dan como resultado el vector original.

VECTOR UNITARIO

Son vectores unitarios